Suluhisho la usawa wa busara na njia ya vipindi.

Njia ya nafasi ni njia ya ulimwengu ya kutatua karibu ukosefu wowote wa usawa unaotokea katika kozi ya algebra ya shule. Inategemea mali zifuatazo za kazi:

1. Kazi endelevu g (x) inaweza kubadilisha ishara tu mahali ambapo ni sawa na 0. Kwa picha, hii inamaanisha kuwa grafu ya kazi endelevu inaweza kutoka nusu-ndege kwenda nyingine ikiwa tu itavuka abscissa mhimili (tunakumbuka kwamba upangiaji wa nukta yoyote iliyolala kwenye mhimili wa OX (mhimili wa abscissa) ni sifuri, ambayo ni, thamani ya kazi wakati huu ni 0):

Tunaona kwamba kazi y = g (x) iliyoonyeshwa kwenye grafu inapita katikati ya mhimili wa OX kwenye alama x = -8, x = -2, x = 4, x = 8. Pointi hizi huitwa zero kazi. Na kwa alama zile zile kazi g (x) inabadilisha ishara.

2. Kazi inaweza pia kubadilisha ishara kwenye zero za dhehebu - mfano rahisi ni kazi inayojulikana:

Tunaona kwamba kazi inabadilisha ishara kwenye mzizi wa dhehebu, kwa hatua, lakini haitowi wakati wowote. Kwa hivyo, ikiwa kazi ina sehemu, inaweza kubadilisha ishara kwenye mizizi ya dhehebu.

2. Walakini, kazi haibadilishi ishara kila wakati kwenye mzizi wa hesabu au kwenye mzizi wa dhehebu. Kwa mfano, kazi y = x 2 haibadilishi ishara kwa uhakika x = 0:

Kwa sababu equation x 2 = 0 ina mizizi miwili sawa x = 0, kwa uhakika x = 0 kazi, kama ilivyokuwa, inageuka kuwa mara 0. Mzizi kama huo huitwa mzizi wa wingi wa pili.

Kazi inabadilisha ishara kwa sifuri ya hesabu, lakini haibadilishi ishara kwa sifuri ya dhehebu: kwani mzizi ni mzizi wa uwingi wa pili, ambayo ni, hata ya kuzidisha:

Muhimu! Katika mizizi ya kuzidisha hata, kazi haibadilishi ishara.

Kumbuka! Yoyote isiyo ya kawaida ukosefu wa usawa wa kozi ya algebra ya shule kawaida hutatuliwa kwa kutumia njia ya vipindi.

Ninakupa moja ya kina, kufuatia ambayo unaweza kuepuka makosa wakati kutatua ukosefu wa usawa.

1. Kwanza, unahitaji kuleta usawa kwa fomu

P (x) V0,

ambapo V ni ishara ya usawa:<,>, ≤ au ≥. Hii inahitaji:

a) kuhamisha masharti yote upande wa kushoto wa usawa,

b) pata mizizi ya usemi unaosababishwa,

c) onyesha upande wa kushoto wa usawa

d) andika sababu sawa na nguvu.

Tahadhari! Hatua ya mwisho lazima ifanyike ili usikosee na wingi wa mizizi - ikiwa matokeo ni sababu ya nguvu hata, basi mzizi unaofanana una wingi hata.

2. Weka mizizi iliyopatikana kwenye mhimili wa nambari.

3. Ikiwa usawa ni mkali, basi miduara inayoashiria mizizi kwenye mhimili wa nambari imesalia "tupu", ikiwa usawa sio mkali, basi tunajaza miduara.

4. Chagua mizizi ya kuzidisha hata - ndani yao P (x) ishara haibadiliki.

5. Tambua ishara P (x) kwenye kipindi cha kulia kabisa. Ili kufanya hivyo, tunachukua thamani holela x 0, ambayo ni kubwa kuliko mzizi mkubwa na kuibadilisha P (x).

Ikiwa P (x 0)> 0 (au ≥0), kisha weka ishara "+" kwa muda wa kulia kabisa.

Ikiwa P (x 0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Wakati wa kupita kwenye hatua inayoashiria mzizi wa kuzidisha hata, ishara HAIBADILIKI.

7. Mara nyingine tena tunaangalia ishara ya usawa wa asili, na chagua vipindi vya ishara tunayohitaji.

8. Makini! Ikiwa usawa wetu SI MGUMO, basi hali ya usawa hadi sifuri inathibitishwa kando.

9. Tunaandika jibu.

Ikiwa asili ukosefu wa usawa una haijulikani katika dhehebu, basi sisi pia tunahamisha masharti yote kushoto, na kupunguza upande wa kushoto wa usawa kwa fomu

(ambapo V ni ishara ya usawa:< или >)

Ukosefu mkali wa aina hii ni sawa na usawa

Sio mkali usawa wa fomu

sawa na mfumo:

Katika mazoezi, ikiwa kazi ina fomu, basi tunaendelea kama ifuatavyo:

1. Pata mizizi ya hesabu na dhehebu.
2. Tunawaweka kwenye mhimili. Acha miduara yote tupu. Halafu, ikiwa usawa sio mkali, basi paka rangi juu ya mizizi ya hesabu, na kila wakati uache mizizi ya dhehebu tupu.
3. Ifuatayo, tunafuata hesabu ya jumla:
4. Chagua mizizi ya kuzidisha hata (ikiwa hesabu na dhehebu zina mizizi sawa, basi tunahesabu ni mara ngapi mizizi hiyo hiyo inatokea). Katika mizizi ya kuzidisha hata, ishara haibadilika.
5. Tunapata ishara kwenye muda wa kulia kabisa.
6. Tunaweka ishara.
7. Katika hali ya kutokuwepo kwa usawa, hali ya usawa, hali ya usawa hadi sifuri, imethibitishwa kando.
8. Chagua mapungufu muhimu na mizizi iliyotengwa.
9. Tunaandika jibu.

Ili kuelewa vizuri algorithm ya kutatua usawa na njia ya vipindi, angalia Mafunzo ya VIDEO, ambayo inakwenda kwa undani juu ya mfano suluhisho la usawa kwa njia ya vipindi.

Mifumo ya usawa wa busara

Maandishi ya somo

• muhtasari [Bezdenezhnykh L.V.]

  Algebra, daraja la 9 UMK: A.G.Mordkovich. Algebra. Daraja la 9. Saa 2h. Sehemu ya 1: Kitabu cha kiada; Sehemu ya 2: Assassin M.: Mnemosina, 2010 Kiwango cha elimu: msingi Mada ya somo: Mifumo ya usawa wa busara. (Somo la kwanza juu ya mada, jumla ya masaa 3 yametengwa kwa utafiti wa mada) Somo katika utafiti wa mada mpya. Kusudi la somo: kurudia suluhisho la usawa wa mstari; kuanzisha dhana ya mfumo wa kukosekana kwa usawa, kuelezea suluhisho la mifumo rahisi ya usawa wa usawa; kuunda uwezo wa kutatua mifumo ya usawa usio na usawa wa utata wowote. Kazi: Elimu: kusoma mada kwa msingi wa maarifa yaliyopo, kuimarisha ustadi wa kiutendaji na uwezo wa kutatua mifumo ya kukosekana kwa usawa kama matokeo ya kazi huru ya wanafunzi na mihadhara na shughuli za ushauri wa walioandaliwa zaidi. Kuendeleza: kukuza hamu ya utambuzi, uhuru wa kufikiria, kumbukumbu, mpango wa wanafunzi kupitia utumiaji wa njia za mawasiliano - shughuli na mambo ya ujifunzaji wa shida. Elimu: malezi ya ustadi wa mawasiliano, utamaduni wa mawasiliano, ushirikiano. Njia za kufanya: - hotuba na vitu vya mazungumzo na ujifunzaji wa shida; - kazi ya kujitegemea ya wanafunzi na vifaa vya kinadharia na vitendo kutoka kwa kitabu cha maandishi; maendeleo ya utamaduni wa usajili wa suluhisho la mifumo ya usawa wa usawa. Matokeo yanayotarajiwa: wanafunzi watakumbuka jinsi ya kutatua ukosefu wa usawa, kuweka alama kwenye makutano ya suluhisho za kutokuwa na usawa kwenye nambari ya nambari, na kujifunza jinsi ya kusuluhisha mifumo ya ukosefu wa usawa. Vifaa vya somo: ubao, vitini (kiambatisho), vitabu vya kiada, vitabu vya kazi. Yaliyomo ya somo: 1. Wakati wa shirika. Ukaguzi wa kazi za nyumbani. 2. Kusasisha ujuzi. Wanafunzi pamoja na mwalimu hujaza meza kwenye ubao: Ukosefu wa Kuchora Pengo Ifuatayo ni jedwali lililokamilishwa: Ukosefu wa usawa wa Kuchora Pengo 3. Uelekezaji wa kihesabu. Maandalizi ya mtazamo wa mada mpya. 1. Suluhisha usawa kwa kutumia mfano wa jedwali: Chaguo 1 Chaguo 2 Chaguo 3 Chaguo 4 2. Suluhisha usawa, chora takwimu mbili kwenye mhimili mmoja na uangalie ikiwa nambari 5 ni suluhisho la usawa mbili: Chaguo 1 Chaguo 2 Chaguo 3 Chaguo 4 4. Ufafanuzi wa nyenzo mpya ... Maelezo ya nyenzo mpya (uk. 40-44): 1. Toa ufafanuzi wa mfumo wa ukosefu wa usawa (uk. 41). Ufafanuzi: Kukosekana kwa usawa kadhaa na moja ya kutofautisha x huunda mfumo wa usawa ikiwa jukumu ni kupata maadili yote kama hayo ambayo kila moja ya usawa uliopewa na tofauti hubadilika kuwa usawa wa nambari wa kweli. 2. Anzisha dhana ya suluhisho fulani na ya jumla ya mfumo wa usawa. Thamani yoyote kama hii ya x inaitwa suluhisho (au suluhisho fulani) ya mfumo wa ukosefu wa usawa. Seti ya suluhisho zote kwa mfumo wa ukosefu wa usawa ni suluhisho la jumla kwa mfumo wa ukosefu wa usawa. 3. Fikiria katika kitabu cha suluhisho suluhisho la mifumo ya usawa kulingana na mfano Nambari 3 (a, b, c). 4. Jumla ya hoja kwa kutatua mfumo: 5. Kupata nyenzo mpya. Suluhisha kazi kutoka Nambari 4.20 (a, b), 4.21 (a, b). 6. Kazi ya uthibitishaji Angalia uingizaji wa nyenzo mpya, kusaidia kikamilifu katika kutatua kazi kulingana na chaguzi: Chaguo 1 a, c Nambari 4.6, 4.8 Chaguo 2 b, d Namba 4.6, 4.8 7. Kuhitimisha. Tafakari Je! Umekutana na dhana zipi mpya leo? Je! Umejifunza jinsi ya kupata suluhisho kwa mfumo wa ukosefu wa usawa? Je! Umefanya nini zaidi, ni wakati gani umetimiza zaidi? 8. Kazi ya nyumbani: Nambari 4.5, 4.7.; nadharia katika kitabu cha maandishi uk. 40-44; Kwa wanafunzi walio na msukumo ulioongezeka № 4.23 (c, d). Matumizi. Chaguo 1. Ukosefu wa usawa Pengo la 2. Suluhisha usawa, chora takwimu mbili kwenye mhimili mmoja na uangalie ikiwa nambari 5 ni suluhisho la usawa mbili: Kielelezo cha usawa Jibu la swali. Chaguo 2. Kukosekana kwa usawa Pengo la Picha 2. Tatua usawa, chora picha mbili kwenye mhimili mmoja na uangalie ikiwa nambari 5 ni suluhisho la usawa mbili: Picha ya Ukosefu wa Usawa Jibu la swali. Chaguo 3. Ukosefu wa usawa Pengo la 2. Suluhisha usawa, chora takwimu mbili kwenye mhimili mmoja na uangalie ikiwa nambari 5 ni suluhisho la usawa mbili: Kielelezo cha usawa Jibu la swali. Chaguo 4. Ukosefu wa Picha Pengo la 2. Suluhisha usawa, chora picha mbili kwenye mhimili mmoja na uangalie ikiwa nambari 5 ni suluhisho la usawa mbili: Picha ya kutokuwa na usawa Jibu la swali.

  Pakua: Algebra 9kl - muhtasari wa [Bezdenezhnykh LV]. Docx

• muhtasari wa masomo 2-4 [Zvereva L.P.]

  Darasa la 9 la Algebra UMK: ALGEBRA-9CLASS, A.G. P. V. MORDKOVICH Semyonov, 2014. Kiwango - msingi-ujifunzaji Mada ya somo: Mifumo ya usawa wa mantiki Jumla ya masaa yaliyopewa kusoma mada-masaa 4 Mahali pa somo katika mfumo wa masomo juu ya mada Somo Na. 2; No. 3; Nambari 4. Kusudi la somo: Kuwafundisha wanafunzi kuandaa mifumo ya ukosefu wa usawa, na pia kufundisha jinsi ya kutatua mifumo iliyotengenezwa tayari iliyopendekezwa na mwandishi wa kitabu hicho. Malengo ya somo: Kuunda ujuzi: suluhisha kwa uhuru mifumo ya kutofautiana, na vile vile kuweza kuhamisha suluhisho kwa laini ya kuratibu ili kurekodi jibu kwa usahihi, fanya kazi kwa kujitegemea na nyenzo zilizopewa. Matokeo yaliyopangwa: Wanafunzi wanapaswa kuwa na uwezo wa kutatua mifumo iliyotengenezwa tayari, na pia kuunda mifumo ya kutokuwepo kwa usawa kwa hali ya maandishi ya majukumu na kutatua mfano ulioandaliwa. Msaada wa kiufundi wa somo: UMK: ALGEBRA-9CLASS, A.G. P. V. MORDKOVICH Semyonov. Kitabu cha kazi, projekta ya kuhesabu mdomo, kuchapishwa kwa kazi za ziada kwa wanafunzi wenye nguvu. Msaada wa ziada wa mbinu na mafunzo ya somo (viungo vya rasilimali za mtandao vinawezekana): 1. Mwongozo na N.N. Khlevnyuk, M.V. Ivanova, V.G. Ivaschenko, N.S. Melkov "Uundaji wa ufundi wa hesabu katika masomo ya hisabati darasa la 5-9 darasa" 2.G.G. Levitas "maagizo ya hesabu" darasa la 7-11. T.G. Gulina "simulator ya hisabati" 5-11 (viwango 4 vya ugumu) Mwalimu wa hisabati: Zvereva L.P. Malengo ya somo la 2: Fanya mazoezi ya ustadi wa kutatua mfumo wa usawa wa busara ukitumia tafsiri ya kijiometri kwa uwazi wa matokeo ya suluhisho. Mwendo wa somo 1. Wakati wa shirika: Mhemko wa darasa kazini, ujumbe wa mada na madhumuni ya somo la 11 Kuangalia kazi ya nyumbani 1. Sehemu ya kinadharia: * Je! Ni nini rekodi ya uchambuzi ya usawa wa busara * Je! rekodi ya uchambuzi ya mfumo wa usawa wa busara * Je! inamaanisha nini kutatua mfumo wa ukosefu wa usawa * Je! ni nini matokeo ya kutatua mfumo wa usawa wa busara. 2. Sehemu inayofaa: * Tatua kazi kwenye ubao ambazo zilisababisha ugumu kwa wanafunzi. Wakati wa mazoezi ya nyumbani II1 Zoezi. 1. Rudia njia za kusaini polynomial. 2. Pitia njia ya vipindi wakati wa kutatua usawa. 3. Tatua mfumo. Suluhisho linaongozwa na mwanafunzi hodari ubaoni chini ya usimamizi wa mwalimu. 1) Tatua usawa 3x - 10> 5x - 5; 3x - 5x> - 5 + 10; - 2x> 5; NS< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х>Suluhisho la mfumo huu wa ukosefu wa usawa x> Jibu: x> 6. Suluhisha Namba 4.10 (c) ubaoni na kwenye daftari. Wacha tutatue usawa 5x2 - 2x + 1 ≤ 0.5x2-2x + 1 = 0; D = 4 - 20 = -16< 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 >0.2x2 + 5x + 10 = 0; D = –55< 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >x> - 2, kisha - 2< х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р>7. 8. Kurudia kwa nyenzo zilizosomwa hapo awali. Suluhisha Nambari 2.33. Acha kasi ya mwendeshaji baiskeli x km / h, baada ya kupungua ikawa (x - 3) km / h. 15x - 45 + 6x = 1.5x (x - 3); 21x - 45 = 1.5x2 - 4.5x; 1.5x2 - 25.5x + 45 = 0 | : 1.5; kisha x2 - 17x + 30 = 0; D = 169; x1 = 15; x2 = 2 hairidhishi maana ya shida. Jibu: 15 km / h; 12 km / h IV. Hitimisho kutoka kwa somo: Kwenye somo ambalo tulijifunza kutatua mifumo ya usawa wa aina ngumu, haswa na moduli, tulijaribu mkono wetu kwa kazi ya kujitegemea. Kuashiria. Kazi ya nyumbani: kamilisha kwenye karatasi tofauti namba 1 ya jaribio la nyumbani kutoka kwa nambari 7 hadi nambari 10 kwenye uk. 32-33, No. 4.34 (a; b), Na. 4.35 (a; b). Somo la 4 Maandalizi ya kazi ya mtihani Malengo: kwa muhtasari na kupanga muundo wa nyenzo zilizojifunza, kuandaa wanafunzi kwa mtihani juu ya mada "Mifumo ya usawa wa busara" Mtiririko wa somo 1. Wakati wa shirika: Hali ya darasa kufanya kazi, ujumbe wa mada na madhumuni ya somo. 11. Kurudia kwa nyenzo zilizojifunza. * Je! Inamaanisha nini kutatua mfumo wa usawa 2. Je! Ni sheria gani zinazotumiwa kutatua usawa? Fafanua suluhisho la ukosefu wa usawa: a) 3x - 8<х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 >0; b) - 2x2 + x - 5> 0; c) 3x2 - x + 4 ≤ 0. 4. Tunga ufafanuzi wa mfumo wa kutofautiana katika vigezo viwili. Inamaanisha nini kutatua mfumo wa ukosefu wa usawa? 5. Je! Ni njia gani ya vipindi, ambayo hutumiwa kikamilifu katika kusuluhisha usawa wa busara? Fafanua hii ukitumia mfano wa kutatua ukosefu wa usawa: (2x - 4) (3 - x) ≥ 0; I11. Mazoezi ya mafunzo. 1. Tatua usawa: a) 12 (1 - x) ≥ 5x - (8x + 2); b) - 3x2 + 17x + 6< 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 >0, x> - 2. Hii hailingani na kazi yoyote a) au kazi b). Kwa hivyo, tunaweza kudhani kuwa p ≠ 2, ambayo ni, usawa uliopewa ni mraba. a) Ukosefu wa mraba wa fomu ax2 + bx + c> 0 haina suluhisho ikiwa a< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с>0 inashikilia kwa maadili yoyote ya x ikiwa> 0 na D< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р>IV. Muhtasari wa somo. Ni muhimu kutazama nyenzo zote zilizojifunza nyumbani na kujiandaa kwa mtihani. Kazi ya nyumbani: Nambari 1.21 (b; d), Na. 2.15 (c; d); Nambari 4.14 (g), Nambari 4.28 (g); Nambari 4.19 (a), Nambari 4.33 (d).

  
  

  Tunaendelea kutafakari juu ya mada ya "kutatua usawa na tofauti moja." Tayari tunafahamu usawa wa usawa na usawa wa mraba. Ni kesi maalum. usawa wa busara, ambayo tutasoma sasa. Wacha tuanze kwa kujua ni aina gani ya ukosefu wa usawa inayoitwa busara. Ifuatayo, tutashughulikia mgawanyiko wao kuwa usawa wa busara na wa sehemu ndogo. Na baada ya hapo tutasoma jinsi suluhisho la usawa wa mantiki na ubadilishaji mmoja hufanywa, andika algorithms zinazofanana na uzingatia suluhisho za mifano ya kawaida na maelezo ya kina.

  Urambazaji wa ukurasa.

  Je! Ni usawa gani wa busara?

  Kwenye shule, katika masomo ya algebra, mara tu mazungumzo yanapotokea juu ya kutatua usawa, kwa hivyo mara moja kuna mkutano na usawa wa busara. Walakini, mwanzoni hawajaitwa kwa jina lao, kwani katika hatua hii aina za kutokuwa na usawa hazina maslahi kidogo, na lengo kuu ni kupata ujuzi wa awali wa kufanya kazi na usawa. Neno "ukosefu wa usawa wa busara" huletwa baadaye katika daraja la 9, wakati utafiti wa kina wa usawa wa aina hii huanza.

  Wacha tujue ni nini usawa wa busara ni. Hapa kuna ufafanuzi:

  Ufafanuzi uliosikika hausemi chochote juu ya idadi ya vigeuzi, ambayo inamaanisha kuwa idadi yoyote yao inaruhusiwa. Kulingana na hii, usawa wa busara unatofautishwa na moja, mbili, nk. vigezo. Kwa njia, kitabu cha kiada kinatoa ufafanuzi sawa, lakini kwa usawa wa busara na ubadilishaji mmoja. Hii inaeleweka, kwani shule inazingatia kusuluhisha usawa na ubadilishaji mmoja (hapa chini tutazungumza tu juu ya kutatua usawa wa busara na ubadilishaji mmoja). Ukosefu wa usawa na vigezo viwili fikiria kidogo, na umakini mdogo hulipwa kwa usawa na anuwai tatu au zaidi.

  Kwa hivyo, usawa wa busara unaweza kutambuliwa na uandishi wake, kwa maana hii inatosha kutazama misemo kwenye pande zake za kushoto na kulia na uhakikishe kuwa ni maneno ya busara. Mawazo haya yanaturuhusu kutoa mifano ya usawa wa busara. Kwa mfano, x> 4, x 3 + 2 y≤5 (y - 1) (x 2 1), ni usawa wa busara. Na ukosefu wa usawa haina busara, kwani upande wake wa kushoto una ubadilishaji chini ya ishara ya mizizi, na, kwa hivyo, sio usemi wa busara. Ukosefu wa usawa pia sio busara, kwani sehemu zote mbili sio maneno ya busara.

  Kwa urahisi wa maelezo zaidi, tunaanzisha mgawanyiko wa usawa wa busara katika nambari na sehemu ndogo.

  Ufafanuzi.

  Ukosefu wa busara utaitwa nzima ikiwa sehemu zote mbili ni maneno kamili ya busara.

  Ufafanuzi.

  Ukosefu wa usawa wa busara Ni usawa wa busara, angalau sehemu moja ambayo ni usemi wa sehemu.

  Kwa hivyo 0.5 x≤3 (2−5 y), ukosefu wa usawa kamili, na 1: x + 3> 0 na - busara kidogo.

  Sasa tuna uelewa wazi wa nini usawa wa busara ni nini, na tunaweza salama kushughulikia kanuni za kutatua usawa wa usawa na wa sehemu na kutofautisha moja.

  Kutatua usawa kamili

  Wacha tujiwekee shida: hebu tuhitaji kutatua kukosekana kwa usawa kwa busara na kutofautiana kwa x ya fomu r (x) , ≥), ambapo r (x) na s (x) ni maneno mengine ya busara. Ili kuitatua, tutatumia mabadiliko sawa ya usawa.

  Tunahamisha usemi kutoka upande wa kulia kwenda kushoto, ambayo itatuongoza kwa usawa sawa wa fomu r (x) −s (x)<0 (≤, >, ≥) na sifuri upande wa kulia. Kwa wazi, usemi r (x) - s (x), ulioundwa upande wa kushoto, pia ni nambari kamili, lakini inajulikana kuwa yoyote inawezekana. Kwa kubadilisha usemi r (x) −s (x) kuwa sawa polynomial h (x) sawa (hapa tunaona kuwa misemo r (x) (s (x) na h (x) zina sawa x), tunapita kwa usawa sawa h (x)<0 (≤, >, ≥).

  Katika visa rahisi, mabadiliko yaliyofanywa yatatosha kupata suluhisho linalohitajika, kwani zitatupeleka kutoka usawa wa asili kabisa wa usawa hadi usawa ambao tunaweza kutatua, kwa mfano, kwa moja ya mraba au mraba. Wacha tuangalie mifano kadhaa.

  Mfano.

  Pata suluhisho la usawa wote wa busara x · (x + 3) + 2 · x≤ (x + 1) 2 +1.

  Suluhisho.

  Kwanza, tunahamisha usemi kutoka upande wa kulia kwenda kushoto: x (x + 3) + 2 x− (x + 1) 2 -1≤0... Kufanya kila kitu upande wa kushoto, tunafika kwenye usawa wa usawa 3 x - 2≤0, ambayo ni sawa na usawa wa nambari asili. Suluhisho lake sio ngumu:
  3 x≤2,
  x≤2 / 3.

  Jibu:

  x≤2 / 3.

  Mfano.

  Tatua usawa (x 2 1) 2 -3 x 2> (x 2 x) (x 2 + x).

  Suluhisho.

  Tunaanza kama kawaida kwa kuhamisha usemi kutoka upande wa kulia, na kisha ufanye mabadiliko upande wa kushoto ukitumia:
  (x 2 1) 2 -3 x 2 - (x 2 x) (x 2 + x)> 0,
  x 4 + 2 x 2 + 1−3 x 2 x x 4 + x 2> 0,
  1>0 .

  Kwa hivyo, tukifanya mabadiliko sawa, tulikuja kwa usawa 1> 0, ambayo ni kweli kwa maadili yoyote ya kutofautisha x. Hii inamaanisha kuwa suluhisho la ukosefu wa usawa kamili wa nambari ni nambari yoyote halisi.

  Jibu:

  x ni yoyote.

  Mfano.

  Tatua usawa x + 6 + 2 x 3 −2 x (x 2 + x - 5)> 0.

  Suluhisho.

  Kuna sifuri upande wa kulia, kwa hivyo hauitaji kuhamisha chochote kutoka kwake. Badilisha usemi mzima upande wa kushoto kuwa polynomial:
  x + 6 + 2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 + 10 x> 0,
  X2 x 2 + 11 x + 6> 0.

  Tulipata usawa wa mraba, ambayo ni sawa na usawa wa asili. Tunasuluhisha kwa njia yoyote inayojulikana kwetu. Wacha tusuluhishe usawa wa mraba kielelezo.

  Pata mizizi ya mraba trinomial −2 x 2 + 11 x + 6:
  

  Tunafanya mchoro wa skimu, ambayo tunaweka alama ya sifuri zilizopatikana, na kuzingatia kuwa matawi ya parabola yameelekezwa chini, kwani mgawo unaoongoza ni hasi:
  

  Kwa kuwa tunatatua ukosefu wa usawa na ishara>, tunavutiwa na vipindi ambavyo parabola iko juu ya mhimili wa abscissa. Hii hufanyika kwa muda (-0.5, 6), ambayo ni suluhisho linalohitajika.

  Jibu:

  (−0,5, 6) .

  Katika visa ngumu zaidi, upande wa kushoto wa usawa unaosababishwa h (x)<0 (≤, >, ≥) itakuwa polynomial ya digrii 3 au zaidi. Ili kutatua usawa kama huo, njia ya muda inafaa, kwa hatua ya kwanza ambayo itakuwa muhimu kupata mizizi yote ya polynomial h (x), ambayo hufanywa mara nyingi.

  Mfano.

  Pata suluhisho la usawa wote wa busara (x 2 + 2) (x + 4)<14−9·x .

  Suluhisho.

  Sogeza kila kitu upande wa kushoto, baada ya hapo na:
  (x 2 +2) (x + 4) -14 + 9 x<0 ,
  x 3 + 4 x 2 + 2 x + 8−14 + 9 x<0 ,
  x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6<0 .

  Ujanja uliofanywa hutupeleka kwenye usawa ambao ni sawa na ule wa asili. Kwa upande wake wa kushoto kuna digrii ya tatu polynomial. Unaweza kuitatua kwa kutumia njia ya vipindi. Ili kufanya hivyo, kwanza kabisa, unahitaji kupata mizizi ya polynomial, ambayo inakaa kwenye x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Wacha tujue ikiwa ina mizizi ya busara, ambayo inaweza kuwa tu kati ya wagawaji wa muda wa bure, ambayo ni, kati ya nambari ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Kubadilisha nambari hizi kwa zamu badala ya kutofautisha x kuwa equation x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0, tunaona kuwa mizizi ya equation ni nambari 1, 2 na 3. Hii inatuwezesha kuwakilisha polynomial x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 kama bidhaa (x - 1) (x - 2) (x - 3), na usawa x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

  Na kisha inabaki kutekeleza hatua za kawaida za njia ya muda: alama kwenye laini ya nambari alama na kuratibu 1, 2 na 3, ambayo hugawanya mstari huu katika vipindi vinne, tambua na uweke ishara, chora kutotolewa kwa vipindi na minus ishara (kwa kuwa tunasuluhisha usawa na ishara<) и записать ответ.
  

  Tulipata wapi (−∞, 1) ∪ (2, 3).

  Jibu:

  (−∞, 1)∪(2, 3) .

  Ikumbukwe kwamba wakati mwingine haiwezekani kutoka kwa kukosekana kwa usawa r (x) - s (x)<0 (≤, >, ≥) nenda kwenye usawa h (x)<0 (≤, >, ≥), ambapo h (x) ni polynomial ya kiwango cha juu kuliko mbili. Hii inatumika kwa kesi hizo wakati ni ngumu zaidi kugundua polynomial h (x) kuliko kuwakilisha usemi r (x) - s (x) kama bidhaa ya binomials laini na trinomials mraba, kwa mfano, ukiondoa kawaida sababu nje ya mabano. Wacha tueleze hii kwa mfano.

  Mfano.

  Tatua usawa (x 2 −2 x - 1) (x 2 −19) ≥2 x (x 2 −2 x - 1).

  Suluhisho.

  Hii ni usawa kamili. Ikiwa tutahamisha usemi kutoka upande wake wa kulia kwenda upande wa kushoto, kisha fungua mabano na utoe masharti sawa, tunapata usawa x 4 − x x 3-16 x 2 + 40 x + 19.0... Ni ngumu sana kuisuluhisha, kwani inajumuisha kupata mizizi ya polynomial ya kiwango cha nne. Ni rahisi kuangalia kuwa haina mizizi ya busara (zinaweza kuwa nambari 1, -1, 19, au -19), na ni shida kupata mizizi yake mingine. Kwa hivyo, njia hii ni ya mwisho.

  Wacha tuangalie uwezekano mwingine wa suluhisho. Ni rahisi kuona kwamba baada ya kuhamisha usemi kutoka upande wa kulia wa usawa wa nambari asili kwenda upande wa kushoto, tunaweza kubainisha sababu ya kawaida x 2−2 x - 1:
  (x 2 −2 x - 1) (x 2 −19) −2 x (x 2 −2 x - 1) ≥0,
  (x 2−2 x - 1) (x 2 −2 x - 19) ≥0.

  Mabadiliko yaliyofanywa ni sawa, kwa hivyo suluhisho la ukosefu wa usawa litakuwa suluhisho la ukosefu wa usawa wa asili.

  Na sasa tunaweza kupata sifuri za usemi upande wa kushoto wa usawa unaosababishwa, kwa hii tunahitaji x 2 − x - 1 = 0 na x 2 −2 x - 19 = 0. Mizizi yao ni namba ... Hii inatuwezesha kupitisha usawa sawa, na tunaweza kuisuluhisha kwa njia ya vipindi:
  

  Tunaandika jibu kulingana na mchoro.

  Jibu:

  Kwa kuhitimisha kifungu hiki, ningependa tu kuongeza kuwa haiwezekani kupata mizizi yote ya polynomial h (x), na kama matokeo ya kuipanua kuwa bidhaa ya binomials laini na trinomials mraba. Katika visa hivi, hakuna njia ya kutatua ukosefu wa usawa h (x)<0 (≤, >, ≥), ambayo inamaanisha kuwa hakuna njia ya kupata suluhisho kwa equation halisi ya busara.

  Suluhisho la usawa wa busara wa sehemu ndogo

  Sasa wacha tushughulikie shida ifuatayo: hebu itahitajika kutatua ukosefu wa usawa wa kimantiki na tofauti ya x ya fomu r (x) , ≥), ambapo r (x) na s (x) ni maneno ya busara, na angalau moja yao ni sehemu. Wacha mara moja tupe algorithm ya kuitatua, baada ya hapo tutatoa maelezo muhimu.

  Algorithm ya kutatua usawa wa busara wa sehemu na kutofautiana moja r (x) , ≥):

  • Kwanza, unahitaji kupata anuwai ya maadili yanayokubalika (ADV) ya kutofautisha x kwa usawa wa asili.
  • Ifuatayo, unahitaji kuhamisha usemi kutoka upande wa kulia wa ukosefu wa usawa kwenda kushoto, na ubadilishe usemi r (x) −s (x) iliyoundwa hapo kuwa fomu ya sehemu p (x) / q (x), ambapo p (x) na q (x) ni maneno kamili ambayo ni bidhaa za binomials za mstari, trinomials za mraba zisizoweza kushindwa na digrii zao na kielelezo cha asili.
  • Ifuatayo, unahitaji kutatua ukosefu wa usawa unaosababishwa na njia ya vipindi.
  • Mwishowe, kutoka kwa suluhisho lililopatikana katika hatua ya awali, ni muhimu kuwatenga vidokezo ambavyo havijajumuishwa kwenye GDV ya x ya kutofautisha kwa usawa wa asili, ambao ulipatikana katika hatua ya kwanza.

  Hii itatoa suluhisho linalohitajika kwa usawa wa busara wa sehemu.

  Hatua ya pili ya algorithm inahitaji ufafanuzi. Kuhamisha usemi kutoka upande wa kulia wa kukosekana kwa usawa kwenda upande wa kushoto kunatoa usawa r (x) −s (x)<0 (≤, >, ≥), ambayo ni sawa na ile ya asili. Kila kitu kiko wazi hapa. Lakini maswali yanafufuliwa na mabadiliko yake zaidi kuwa fomu p (x) / q (x)<0 (≤, >, ≥).

  Swali la kwanza: "Je! Inawezekana kila wakati kuifanya?" Kwa nadharia, ndio. Tunajua kwamba chochote kinawezekana. Nambari na dhehebu la sehemu ya busara ina polynomials. Na kutoka kwa nadharia kuu ya algebra na nadharia ya Bezout inafuata kwamba polynomial yoyote ya digrii n na ubadilishaji mmoja inaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya binomials laini. Hii inaelezea uwezekano wa kutekeleza mabadiliko haya.

  Katika mazoezi, ni ngumu sana kujua polynomials, na ikiwa kiwango chao ni cha juu kuliko cha nne, basi haiwezekani kila wakati. Ikiwa ujanibishaji hauwezekani, basi hakutakuwa na njia ya kupata suluhisho la usawa wa asili, lakini kesi kama hizo kawaida hazitokei shuleni.

  Swali la pili: "Je! Ukosefu wa usawa p (x) / q (x)<0 (≤, >, ≥) ni sawa na usawa r (x) - s (x)<0 (≤, >, ≥), na kwa hivyo asili "? Inaweza kuwa sawa na isiyo sawa. Ni sawa ikiwa ODV ya usemi p (x) / q (x) inafanana na ODV kwa usemi r (x) - s (x). Katika kesi hii, hatua ya mwisho ya algorithm itakuwa isiyo na maana. Lakini ODV ya usemi p (x) / q (x) inaweza kugeuka kuwa pana kuliko ODV ya usemi r (x) - s (x). Upanuzi wa ODZ unaweza kutokea wakati sehemu zimepunguzwa, kama, kwa mfano, wakati unapita kutoka Kwa. Pia, upanuzi wa ODZ unaweza kuwezeshwa na kupunguzwa kwa maneno sawa, kama, kwa mfano, katika mabadiliko kutoka Kwa. Kwa kesi hii, hatua ya mwisho ya algorithm imekusudiwa, ambayo haijumuishi maamuzi ya nje yanayotokana na upanuzi wa ODZ. Wacha tuangalie hii wakati tunapitia mifano hapa chini.

  Dhana ya ukosefu wa usawa wa hisabati ilianzia nyakati za zamani. Hii ilitokea wakati mtu wa zamani alikuwa na hitaji la kulinganisha idadi na saizi yao wakati wa kuhesabu na kutenda na vitu anuwai. Tangu nyakati za zamani, usawa umetumika katika hoja zao na Archimedes, Euclid na wanasayansi wengine mashuhuri: wanahisabati, wanaastronomia, wabunifu na wanafalsafa.

  Lakini wao, kama sheria, walitumia istilahi ya maneno katika kazi zao. Kwa mara ya kwanza, ishara za kisasa kuashiria dhana "zaidi" na "kidogo" kwa njia ambayo kila mtoto wa shule anazijua leo, zilibuniwa na kutumiwa kwa vitendo huko England. Mwanahisabati Thomas Garriot alitoa huduma kama hii kwa kizazi. Na ilitokea karibu karne nne zilizopita.

  Aina nyingi za usawa zinajulikana. Miongoni mwao ni rahisi, iliyo na anuwai moja, mbili au zaidi, mraba, sehemu, uwiano tata, na hata inawakilishwa na mfumo wa usemi. Na kuelewa jinsi ya kutatua ukosefu wa usawa, njia bora ni kutumia mifano anuwai.

  Usikose treni

  Kwanza, hebu fikiria kwamba mwanakijiji anakimbilia kituo cha reli, kilicho kilomita 20 kutoka kijiji chake. Ili asikose treni ya saa 11, lazima aondoke nyumbani kwa wakati. Je! Inapaswa kufanywa wakati gani ikiwa kasi ya mwendo wake ni 5 km / h? Suluhisho la shida hii ya vitendo imepunguzwa hadi kutimiza masharti ya usemi: 5 (11 - X) ≥ 20, ambapo X ni wakati wa kuondoka.

  Hii inaeleweka, kwa sababu umbali ambao mwanakijiji lazima afike kituo ni sawa na kasi ya harakati iliyozidishwa na idadi ya masaa njiani. Mtu anaweza kuja mapema, lakini hawezi kuchelewa. Kujua jinsi ya kutatua ukosefu wa usawa, na kutumia ujuzi wako katika mazoezi, mwishowe tunapata X ≤ 7, ambayo ni jibu. Hii inamaanisha kwamba mwanakijiji anapaswa kwenda kituo cha reli saa saba asubuhi au mapema kidogo.

  Vipindi vya nambari kwenye laini ya kuratibu

  Sasa wacha tujue jinsi ya kuchora uhusiano ulioelezewa kwa usawa uliopatikana hapo juu sio mkali. Inamaanisha kuwa ubadilishaji unaweza kuchukua maadili chini ya 7, au inaweza kuwa sawa na nambari hii. Hapa kuna mifano mingine. Ili kufanya hivyo, fikiria kwa umakini takwimu nne hapa chini.

  

  Kwenye ya kwanza unaweza kuona uwakilishi wa picha ya muda [-7; 7]. Inayo nambari nyingi ziko kwenye laini ya kuratibu na iko kati ya -7 na 7, pamoja na mipaka. Katika kesi hii, alama kwenye grafu zinaonyeshwa kama miduara iliyojazwa, na muda unarekodiwa ukitumia

  Takwimu ya pili ni uwakilishi wa kielelezo wa ukosefu mkubwa wa usawa. Katika kesi hii, nambari za mpaka -7 na 7, zilizoonyeshwa na nukta zilizochomwa (hazijajazwa), hazijumuishwa katika seti maalum. Na muda yenyewe umeandikwa katika mabano kama ifuatavyo: (-7; 7).

  Hiyo ni, baada ya kujua jinsi ya kutatua usawa wa aina hii, na kupokea jibu kama hilo, tunaweza kuhitimisha kuwa ina idadi iliyo kati ya mipaka inayozingatiwa, isipokuwa -7 na 7. Kesi mbili zifuatazo lazima zikadiriwe katika njia sawa. Takwimu ya tatu inaonyesha picha za mapungufu (-∞; -7] U

  Sasa wacha tufanye ugumu wa kazi kidogo na uzingatie sio tu polynomials, lakini ile inayoitwa sehemu ndogo za busara za fomu:

  ambapo $ P \ kushoto (x \ kulia) $ na $ Q \ kushoto (x \ kulia) $ ni polynomials sawa za fomu $ ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (0)) $, au bidhaa ya polynomials kama hizo.

  Hii itakuwa usawa wa busara. Jambo la msingi ni uwepo wa $ x $ inayobadilika katika dhehebu. Kwa mfano, hizi ni usawa wa busara:

  \ [\ anza (pangilia) & \ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0; \\ & \ frac (kushoto (7x + 1 \ kulia) \ kushoto (11x + 2 \ kulia)) (13x-4) \ ge 0; \\ & \ frac (3 ((x) ^ (2)) + 10x + 3) (((kushoto (3-x \ kulia)) ^ (2)) kushoto (4 - ((x) ^ ( 2)) \ kulia)) \ ge 0. \\ \ mwisho (pangilia) \]

  Na hii sio busara, lakini usawa wa kawaida, ambao hutatuliwa na njia ya vipindi:

  \ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 9) (5) \ ge 0 \]

  Kuangalia mbele, nitasema mara moja: kuna angalau njia mbili za kutatua usawa wa busara, lakini zote hupunguza njia ya vipindi ambavyo tayari vinajulikana kwetu. Kwa hivyo, kabla ya kuchunguza njia hizi, wacha tukumbuke ukweli wa zamani, vinginevyo hakutakuwa na maana kutoka kwa nyenzo mpya.

  Nini unahitaji kujua tayari

  Hakuna ukweli muhimu. Kwa kweli tunahitaji nne tu.

  Njia fupi za kuzidisha

  Ndio, ndio: watatusumbua wakati wote wa mtaala wa hesabu za shule. Na katika chuo kikuu pia. Kuna aina kadhaa za fomula hizi, lakini tunahitaji tu yafuatayo:

  \ [\ anza (pangilia) & ((a) ^ (2)) \ pm 2ab + ((b) ^ (2)) = ((\ kushoto (a \ pm b \ kulia)) ^ (2)); \\ & ((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = kushoto (a-b \ kulia) \ kushoto (a + b \ kulia); \\ & ((a) ^ (3)) + ((b) ^ (3)) = kushoto (a + b \ kulia) \ kushoto (((a) ^ (2)) - ab + ((b ) (2)) \ kulia); \\ & ((a) ^ (3)) - ((b) ^ (3)) = kushoto (ab \ kulia) \ kushoto (((a) ^ (2)) + ab + ((b) ^ (2)) \ kulia). \\ \ mwisho (pangilia) \]

  Zingatia fomula mbili za mwisho - hizi ni jumla na tofauti ya cubes (sio jumla au mchemraba wa tofauti!). Ni rahisi kukumbuka ikiwa utagundua kuwa ishara katika mabano ya kwanza ni sawa na ishara katika usemi wa asili, na kwa pili ni kinyume cha ishara katika usemi wa asili.

  Usawa wa Linear

  Hizi ni hesabu rahisi za fomu $ shoka + b = 0 $, ambapo $ $ na $ b $ ni nambari za kawaida, na $ a \ ne 0 $. Mlingano huu unaweza kutatuliwa kwa urahisi:

  \ [\ anza (pangilia) & shoka + b = 0; \\ & shoka = -b; \\ & x = - \ frac (b) (a). \\ \ mwisho (pangilia) \]

  Kumbuka kuwa tuna haki ya kugawanya kwa mgawo $ a $, kwa sababu $ a \ ne 0 $. Mahitaji haya ni mantiki kabisa, kwani kwa $ a = 0 $ tunapata hii:

  Kwanza, hakuna tofauti ya $ x $ katika equation hii. Kwa ujumla, hii haipaswi kutuchanganya (hii hufanyika, tuseme, katika jiometri, na mara nyingi), lakini hata hivyo, hatukabiliwi tena na usawa wa mstari.

  Pili, suluhisho la equation hii inategemea tu mgawo wa $ b $. Ikiwa $ b $ pia ni sifuri, basi equation yetu ina fomu $ 0 = 0 $. Usawa huu daima ni kweli; kwa hivyo, $ x $ ni nambari yoyote (kawaida imeandikwa kama hii: $ x \ in \ mathbb (R) $). Ikiwa mgawo wa $ b $ sio sawa na sifuri, basi usawa $ b = 0 $ hauridhiki kamwe, i.e. hakuna majibu (andika $ x \ in \ varnothing $ na usome "seti ya suluhisho ni tupu").

  Ili kuepukana na shida hizi zote, tunachukulia tu $ a \ ne 0 $, ambayo kwa vyovyote inazuia mawazo yetu zaidi.

  Usawa wa Quadratic

  Wacha nikukumbushe kwamba hii inaitwa equation ya quadratic:

  Hapa kushoto ni polynomial ya digrii ya pili, na tena $ a \ ne 0 $ (vinginevyo, badala ya equation ya quadratic, tunapata laini). Hesabu zifuatazo zinatatuliwa kupitia ubaguzi:

  1. Ikiwa $ D \ gt 0 $, tunapata mizizi miwili tofauti;
  2. Ikiwa $ D = 0 $, basi kutakuwa na mzizi mmoja, lakini wa kuzidisha kwa pili (ni aina gani ya uwingi na jinsi ya kuzingatia - zaidi juu ya hii baadaye). Au tunaweza kusema kuwa equation ina mizizi miwili inayofanana;
  3. Kwa $ D \ lt 0 $, hakuna mizizi kabisa, na ishara ya polynomial $ a ((x) ^ (2)) + bx + c $ kwa $ x $ yoyote sanjari na ishara ya mgawo $ $. Kwa njia, hii ni ukweli muhimu sana, ambao kwa sababu fulani wanasahau kuzungumza juu ya masomo ya algebra.

  Mizizi yenyewe inachukuliwa kulingana na fomula inayojulikana:

  \ [((x) _ (1,2)) = frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \]

  Kwa hivyo, kwa kusema, na vizuizi kwa ubaguzi. Baada ya yote, mizizi ya mraba ya nambari hasi haipo. Kuhusu mizizi, wanafunzi wengi wana shida mbaya vichwani mwao, kwa hivyo niliandika somo zima: mzizi ni nini katika algebra na jinsi ya kuhesabu - ninapendekeza sana kuisoma. :)

  Vitendo vilivyo na sehemu ndogo za busara

  Kila kitu kilichoandikwa hapo juu, tayari unajua ikiwa umejifunza njia ya vipindi. Lakini kile tutachambua sasa hakina mfano katika siku za nyuma - hii ni ukweli mpya kabisa.

  Ufafanuzi. Sehemu ya busara ni usemi kama

  \ [\ frac (P \ kushoto (x \ kulia)) (Q \ kushoto (x \ kulia)) \]

  ambapo $ P \ kushoto (x \ kulia) $ na $ Q \ kushoto (x \ kulia) $ ni polynomials.

  Kwa wazi, ni rahisi kupata usawa kutoka kwa sehemu kama hiyo - inatosha tu kupeana ishara "zaidi" au "kidogo" kulia. Na mbele kidogo tutagundua kuwa ni raha kutatua shida kama hizo, kila kitu ni rahisi sana hapo.

  Shida huanza wakati kuna sehemu kadhaa katika usemi mmoja. Lazima zipunguzwe kwa dhehebu la kawaida - na ni kwa wakati huu kwamba idadi kubwa ya makosa ya kukera hufanywa.

  Kwa hivyo, ili kufanikiwa kusuluhisha hesabu za busara, ustadi mbili lazima ujue vizuri:

  1. Ukweli wa polynomial $ P \ kushoto (x \ kulia) $;
  2. Kweli, kupunguzwa kwa vipande kwa dhehebu la kawaida.

  Jinsi ya kuzingatia polynomial? Rahisi sana. Tuseme tuna polynomial ya fomu

  Tunalinganisha kuwa sifuri. Tunapata usawa wa digrii ya $ n $ -th:

  ([(a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + (( a) _ (1) x + ((a) _ (0)) = 0 \]

  Wacha tuseme tulitatua equation hii na tukapata mizizi $ ((x) _ (1)), \ ..., \ ((x) _ (n)) $ (usiogope: mara nyingi kutakuwa na si zaidi ya mbili ya mizizi hii) ... Katika kesi hii, polynomial yetu ya asili inaweza kuandikwa tena kama ifuatavyo:

  \ [\ anza (pangilia) & P \ kushoto (x \ kulia) = ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (1)) x + ((a) _ (0)) = \\ & = ((a) _ (n)) kushoto ( x - ((x) _ (1)) \ kulia) \ cdot \ kushoto (x - ((x) _ (2)) kulia = cdot ... \ cdot \ kushoto (x - ((x) _ (n)) \ kulia) \ mwisho (pangilia) \]

  Ni hayo tu! Tafadhali kumbuka: mgawo unaoongoza wa $ ((a) _ (n)) $ haujatoweka popote - itakuwa sababu tofauti mbele ya mabano, na, ikiwa ni lazima, inaweza kuingizwa kwenye mabano yoyote haya (fanya mazoezi inaonyesha kuwa na $ ((a) _ (n)) \ n \ pm 1 $ karibu kila sehemu kuna sehemu kati ya mizizi).

  Kazi. Kurahisisha usemi:

  \ [\ frac (((x) ^ (2)) + x-20) (x-4) - \ frac (2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3) (2x-3) - \ frac (4-8x-5 ((x) ^ (2))) (x + 2) \]

  Suluhisho. Kwanza, wacha tuangalie madhehebu: zote ni laini kubwa, na hakuna kitu cha kuzingatia. Wacha tuangalie hesabu:

  \ [\ anza (pangilia) & ((x) ^ (2)) + x-20 = \ kushoto (x + 5 \ kulia) \ kushoto (x-4 \ kulia); \\ & 2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3 = 2 \ kushoto (x- \ frac (3) (2) \ kulia) \ kushoto (x-1 \ kulia) = kushoto (2x- 3 \ kulia) \ kushoto (x-1 \ kulia); \\ & 4-8x-5 ((x) ^ (2)) = - 5 \ kushoto (x + 2 \ kulia) \ kushoto (x- \ frac (2) (5) \ kulia) = kushoto (x +2 \ kulia) \ kushoto (2-5x \ kulia). \\\ mwisho (pangilia) \]

  Makini: katika polynomial ya pili, mgawo wa kuongoza "2", kwa mujibu kamili wa mpango wetu, alionekana kwanza mbele ya bracket, na kisha akaingizwa kwenye bracket ya kwanza, kwani sehemu hiyo ilitoka huko nje.

  Jambo hilo hilo lilitokea katika polynomial ya tatu, tu hapo utaratibu wa masharti pia umechanganyikiwa. Walakini, mgawo "−5" uliishia kwenye mabano ya pili (kumbuka: unaweza kuweka sababu katika mabano moja na moja tu!), Ambayo ilituokoa kutoka kwa usumbufu unaohusishwa na mizizi ya sehemu.

  Ama polynomial ya kwanza, kila kitu ni rahisi: mizizi yake hutafutwa kwa njia ya kawaida kupitia kibaguzi, au kwa nadharia ya Vieta.

  Wacha turudi kwenye usemi wa asili na tuandike tena na hesabu zilizohesabiwa:

  \ [\ anza (matrix) \ frac (kushoto (x + 5 \ kulia) \ kushoto (x-4 \ kulia)) (x-4) - \ frac (\ kushoto (2x-3 \ kulia) \ kushoto ( x-1 \ kulia)) (2x-3) - \ frac (kushoto (x + 2 \ kulia) \ kushoto (2-5x \ kulia)) (x + 2) = \\ = \ kushoto (x + 5 \ kulia) - kushoto (x-1 \ kulia) - kushoto (2-5x \ kulia) = \\ = x + 5-x + 1-2 + 5x = \\ = 5x + 4. \\ \ mwisho (tumbo) \]

  Jibu: $ 5x + $ 4.

  Kama unavyoona, hakuna ngumu. Hisabati kidogo katika darasa la 7-8 - ndio tu. Jambo la mabadiliko yote ni kupata kitu rahisi kutoka kwa usemi tata na wa kutisha ambao ni rahisi kufanya kazi nao.

  Walakini, hii haitakuwa hivyo kila wakati. Kwa hivyo, sasa tutazingatia shida kubwa zaidi.

  Lakini kwanza, wacha tujue jinsi ya kuleta sehemu mbili kwa dhehebu la kawaida. Algorithm ni rahisi sana:

  1. Sababu madhehebu yote mawili;
  2. Fikiria dhehebu la kwanza na uongeze kwa sababu zilizopo kwenye dhehebu la pili, lakini sio kwenye ya kwanza. Bidhaa inayotokana itakuwa dhehebu la kawaida;
  3. Tafuta ni sababu gani zinakosekana kwa kila sehemu ya asili ili madhehebu yawe sawa na jumla.

  Labda hii algorithm itaonekana kwako maandishi tu ambayo kuna "barua nyingi". Kwa hivyo, tutachambua kila kitu na mfano maalum.

  Kazi. Kurahisisha usemi:

  \ [\ kushoto (\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3)) ) -8) - \ frac (1) (x-2) \ kulia) \ cdot \ kushoto (\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) \ kulia) \]

  Suluhisho. Ni bora kutatua shida kubwa kama hizo katika sehemu. Wacha tuandike yaliyo katika mabano ya kwanza:

  \ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3)) - 8 - - frac (1) (x-2) \]

  Tofauti na shida ya hapo awali, hapa kila kitu sio rahisi sana na madhehebu. Wacha tuangalie kila mmoja wao.

  Mraba trinomial $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 $ haiwezi kuhesabiwa, kwani equation $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 = 0 $ haina mizizi (kibaguzi ni hasi ). Tunaiacha bila kubadilika.

  Dhehebu la pili - ujazo polynomial $ ((x) ^ (3)) - 8 $ - wakati wa uchunguzi wa karibu ni tofauti ya cubes na inaweza kuoza kwa urahisi kulingana na kanuni zilizofupishwa za kuzidisha:

  \ [((x) ^ (3)) - 8 = ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (3)) = kushoto (x-2 \ kulia) \ kushoto ((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kulia) \]

  Hakuna kitu kingine chochote kinachoweza kuangaziwa, kwa kuwa kwenye bracket ya kwanza kuna alama ndogo, na kwa pili kuna ujenzi ambao tayari umejulikana kwetu, ambao hauna mizizi halisi.

  Mwishowe, dhehebu la tatu ni binomial laini ambayo haiwezi kuoza. Kwa hivyo, equation yetu itachukua fomu:

  \ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (kushoto (x-2 \ kulia) \ kushoto (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kulia)) - \ frac (1) (x-2) \]

  Ni dhahiri kabisa kuwa dhehebu la kawaida litakuwa $ \ kushoto (x-2 \ kulia) \ kushoto (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kulia) $, na kupunguza sehemu zote kwa hiyo, unahitaji kuzidisha sehemu ya kwanza hadi $ \ kushoto (x-2 \ kulia) $, na ya mwisho hadi $ \ kushoto (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kulia) $. Halafu inabaki kutoa zifuatazo tu:

  \ [\ anza (matrix) \ frac (x \ cdot \ kushoto (x-2 \ kulia)) (kushoto (x-2 \ kulia) \ kushoto (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kulia)) + frac (((x) ^ (2)) + 8) (kushoto (x-2 \ kulia) \ kushoto (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kulia)) - \ frac (1 \ cdot \ kushoto (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kulia)) (kushoto (x-2 \ kulia) \ kushoto (((x) ^ (2)) + 2x +4 \ kulia) = = \\ = \ frac (x \ cdot \ kushoto (x-2 \ kulia) + \ kushoto (((x) ^ (2)) + 8 \ kulia) - \ kushoto (((x ) (2)) + 2x + 4 \ kulia)) (kushoto (x-2 \ kulia) \ kushoto (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kulia)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (kushoto (x-2 \ kulia) \ kushoto (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kulia)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (kushoto (x-2 \ kulia) kushoto (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kulia)). \\ \ mwisho (tumbo) \]

  Zingatia mstari wa pili: wakati dhehebu tayari ni la kawaida, i.e. badala ya sehemu tatu tofauti, tuliandika moja kubwa, haupaswi kuondoa mabano mara moja. Ni bora kuandika laini ya ziada na kumbuka kuwa, tuseme, kulikuwa na minus mbele ya sehemu ya tatu - na haitaenda popote, lakini "itanyongwa" kwenye nambari kabla ya mabano. Hii itakuokoa makosa mengi.

  Kweli, katika mstari wa mwisho ni muhimu kuhesabu nambari. Kwa kuongezea, huu ni mraba halisi, na njia zilizofupishwa za kuzidisha zinatusaidia tena. Tuna:

  \ [\ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (kushoto (x-2 \ kulia) \ kushoto (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kulia) = = \ frac (((\ kushoto (x-2 \ kulia)) ^ (2))) (kushoto (x-2 \ kulia) \ kushoto ((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kulia) = = frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \]

  Sasa wacha tushughulike na bracket ya pili kwa njia ile ile. Hapa nitaandika tu mlolongo wa usawa:

  [[kuanza [tumbo] \ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) = \ frac (((( x) ^ (2))) (kushoto (x-2 \ kulia) \ kushoto (x + 2 \ kulia)) - \ frac (2) (2-x) = \\ = \ frac (((x) ((2))) (kushoto (x-2 \ kulia) \ kushoto (x + 2 \ kulia)) + \ frac (2) (x-2) = \\ = \ frac (((x) ^ ( 2))) (kushoto (x-2 \ kulia) \ kushoto (x + 2 \ kulia)) + \ frac (2 \ cdot \ kushoto (x + 2 \ kulia)) (kushoto (x-2 \ kulia) \ cdot \ kushoto (x + 2 \ kulia)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) + 2 \ cdot \ kushoto (x + 2 \ kulia)) (kushoto (x-2) \ kulia) kushoto (x + 2 \ kulia)) = frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (kushoto (x-2 \ kulia) \ kushoto (x + 2 \ kulia) ). \\ \ mwisho (tumbo) \]

  Tunarudi kwa shida ya asili na kuangalia bidhaa:

  \ [\ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (kushoto (x-2) \ kulia) kushoto (x + 2 \ kulia)) = frac (1) (x + 2) \]

  Jibu: \ [\ frac (1) (x + 2) \].

  Maana ya kazi hii ni sawa na ile ya hapo awali: kuonyesha ni kiasi gani maneno ya busara yanaweza kurahisishwa ikiwa unakaribia mabadiliko yao kwa busara.

  Na kwa kuwa unajua haya yote, wacha tuendelee na mada kuu ya somo la leo - kutatua usawa wa usawa wa busara. Kwa kuongezea, baada ya utayarishaji kama huo, usawa wenyewe utapasuka kama karanga. :)

  Njia kuu ya kutatua usawa wa busara

  Kuna angalau njia mbili za kutatua usawa wa busara. Sasa tutazingatia moja yao - ile ambayo inakubaliwa kwa ujumla katika kozi ya hisabati ya shule.

  Lakini kwanza, wacha tuangalie maelezo muhimu. Ukosefu wote umegawanywa katika aina mbili:

  1. Mkali: $ f \ kushoto (x \ kulia) \ gt 0 $ au $ f \ kushoto (x \ kulia) \ lt 0 $;
  2. Lax: $ f \ kushoto (x \ kulia) \ ge 0 $ au $ f \ kushoto (x \ kulia) \ le 0 $.

  Ukosefu wa usawa wa aina ya pili unaweza kupunguzwa kwa urahisi kuwa wa kwanza, na pia equation:

  Hii "nyongeza" $ f \ kushoto (x \ kulia) = 0 $ inaongoza kwa jambo lisilo la kufurahisha kama dots zilizojazwa - tukawajua tena katika njia ya nafasi. Vinginevyo, hakuna tofauti kati ya usawa mkali na usio mkali, kwa hivyo wacha tuchambue hesabu ya ulimwengu:

  1. Kukusanya vipengee vyote vya nonzero upande mmoja wa ishara ya kutofautiana. Kwa mfano, upande wa kushoto;
  2. Kuleta sehemu zote kwa dhehebu la kawaida (ikiwa kuna sehemu kadhaa kama hizo), kuleta zilezile. Halafu, ikiwezekana, ingiza hesabu na nambari. Njia moja au nyingine, tunapata usawa wa fomu $ \ frac (P \ kushoto (x \ kulia)) (Q \ kushoto (x \ kulia)) \ vee 0 $, ambapo alama ya kuangalia ni ishara ya usawa.
  3. Weka hesabu kuwa sifuri: $ P \ kushoto (x \ kulia) = 0 $. Tunasuluhisha equation hii na kupata mizizi $ ((x) _ (1)) $, $ ((x) _ (2)) $, $ ((x) _ (3)) $, ... Halafu tunahitaji kwamba madhehebu hayakuwa sawa na sifuri: $ Q \ kushoto (x \ kulia) \ ne 0 $. Kwa kweli, kwa kweli, tunapaswa kutatua equation $ Q \ kushoto (x \ kulia) = 0 $, na tunapata mizizi $ x_ (1) ^ (*) $, $ x_ (2) ^ (*) $, $ x_ (3) ^ (*) $, ... (katika shida halisi hakutakuwa na zaidi ya mizizi hiyo mitatu).
  4. Tunatia alama mizizi hii yote (na bila au nyota) kwenye laini moja ya nambari, na mizizi bila nyota imepakwa rangi, na kwa nyota wamechomwa nje.
  5. Tunaweka alama "plus" na "minus", chagua vipindi ambavyo tunahitaji. Ikiwa ukosefu wa usawa unaonekana kama $ f \ kushoto (x \ kulia) \ gt 0 $, basi jibu litakuwa vipindi vilivyowekwa alama na "plus". Ikiwa $ f \ kushoto (x \ kulia) \ lt 0 $, kisha angalia vipindi na "minuses".

  Mazoezi yanaonyesha kuwa shida kubwa husababishwa na nukta 2 na 4 - mabadiliko yenye uwezo na mpangilio sahihi wa nambari kwa utaratibu wa kupanda. Kweli, na katika hatua ya mwisho, kuwa mwangalifu sana: kila wakati tunaweka ishara, tukitegemea usawa wa hivi karibuni ulioandikwa kabla ya kwenda kwenye equations... Hii ni sheria ya ulimwengu iliyorithiwa kutoka kwa njia ya nafasi.

  Kwa hivyo, mpango huo upo. Wacha tufanye mazoezi.

  Kazi. Tatua usawa:

  \ [\ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0 \]

  Suluhisho. Mbele yetu kuna usawa mkali wa fomu $ f \ kushoto (x \ kulia) \ lt 0 $. Kwa wazi, nukta 1 na 2 kutoka kwa mpango wetu tayari zimekamilika: vitu vyote vya ukosefu wa usawa hukusanywa upande wa kushoto, hakuna chochote kinachohitajika kuletwa kwa dhehebu la kawaida. Kwa hivyo, tunaenda moja kwa moja kwa hatua ya tatu.

  Weka hesabu kuwa sifuri:

  \ [\ anza (pangilia) & x-3 = 0; \\ & x = 3. \ mwisho (panga) \]

  Na dhehebu:

  \ [\ anza (pangilia) & x + 7 = 0; \\ & ((x) ^ (*)) = - 7. \\ \ mwisho (pangilia) \]

  Watu wengi wanashikilia mahali hapa, kwa sababu kwa nadharia unahitaji kuandika $ x + 7 \ ne 0 $, kama inavyotakiwa na ODZ (huwezi kugawanya kwa sifuri, ndio hivyo). Lakini baada ya yote, katika siku zijazo tutachambua vidokezo ambavyo vilitoka kwa dhehebu, kwa hivyo haupaswi kusumbua mahesabu yako tena - andika ishara sawa kila mahali na usijali. Hakuna mtu atakayepunguza alama kwa hii. :)

  Jambo la nne. Tunaweka alama kwenye mizizi kwenye nambari:

  Pointi zote zimepigwa kwa sababu ukosefu wa usawa ni mkali

  Kumbuka: vidokezo vyote vimechomwa, kwani usawa wa asili ni mkali... Na hapa haijalishi ikiwa nukta hizi zilitoka kwa nambari au kutoka kwa dhehebu.

  Kweli, tunaangalia ishara. Chukua nambari yoyote $ ((x) _ (0)) \ gt 3 $. Kwa mfano, $ ((x) _ (0)) = 100 $ (lakini unaweza pia kuchukua $ ((x) _ (0)) = 3,1 $ au $ ((x) _ (0) = 1 000 000 $). Tunapata:

  Kwa hivyo, upande wa kulia wa mizizi yote, tuna eneo zuri. Na wakati wa kupita kila mzizi, ishara inabadilika (hii haitakuwa hivyo kila wakati, lakini zaidi juu ya hiyo baadaye). Kwa hivyo, tunaendelea kwa hatua ya tano: tunapanga ishara na kuchagua ile unayohitaji:

  

  Tunarudi kwenye usawa wa mwisho, ambao ulikuwa kabla ya suluhisho la hesabu. Kweli, inafanana na ile ya asili, kwa sababu hatukufanya mabadiliko yoyote katika kazi hii.

  Kwa kuwa inahitajika kutatua kukosekana kwa usawa kama $ f \ kushoto (x \ kulia) \ lt 0 $, nilitia kivuli $ x \ kwa \ kushoto (-7; 3 \ kulia) $ - ndio pekee iliyowekwa alama na ishara ya kuondoa. Hili ndilo jibu.

  Jibu: $ x \ kwa \ kushoto (-7; 3 \ kulia) $

  Ni hayo tu! Je! Ni ngumu? Hapana, sio ngumu. Ukweli, na kazi ilikuwa rahisi. Sasa wacha tufanye ugumu wa utume kidogo na fikiria usawa zaidi "mzuri". Wakati wa kusuluhisha, sitatoa tena mahesabu ya kina - nitaelezea tu mambo muhimu. Kwa ujumla, tutaipanga kwa njia ile ile kama itakavyofanyika kwenye kazi huru au mtihani. :)

  Kazi. Tatua usawa:

  \ [\ frac (kushoto (7x + 1 \ kulia) \ kushoto (11x + 2 \ kulia)) (13x-4) \ ge 0 \]

  Suluhisho. Huu ni ukosefu wa usawa wa fomu $ f \ kushoto (x \ kulia) \ ge 0 $. Vipengele vyote vya nonzero vinakusanywa upande wa kushoto, hakuna madhehebu tofauti. Wacha tuendelee kwa equations.

  Hesabu:

  \ [\ anza (pangilia) na \ kushoto (7x + 1 \ kulia) \ kushoto (11x + 2 \ kulia) = 0 \\ & 7x + 1 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (1)) = - \ frac (1) (7); \\ & 11x + 2 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (2)) = - \ frac (2) (11). \\ \ mwisho (pangilia) \]

  Dhehebu:

  \ [\ anza (pangilia) & 13x-4 = 0; \\ & 13x = 4; \\ & ((x) ^ (*)) = frac (4) (13). \\ \ mwisho (pangilia) \]

  Sijui ni shida gani ya kupotosha shida hii, lakini mizizi haikufanya kazi vizuri sana: itakuwa ngumu kuiweka kwenye laini ya nambari. Na ikiwa na mzizi $ ((x) ^ (*)) = (4) / (13) \; $ kila kitu ni wazi zaidi au chini (hii ndiyo nambari pekee chanya - itakuwa upande wa kulia), basi $ ((x) _ (1)) = - (1) / (7) \; $ na $ ((x) _ (2)) = - (2) / (11) \; $ zinahitaji utafiti wa ziada: ni ipi ni kubwa zaidi?

  Unaweza kujua, kwa mfano, kama hii:

  \ [((x) _ (1)) = - \ frac (1) (7) = - \ frac (2) (14) \ gt - \ frac (2) (11) = ((x) _ (2) )) \]

  Natumai hakuna haja ya kuelezea kwanini sehemu ya nambari $ - (2) / (14) \; \ gt - (2) / (11) \; $? Ikiwa ni lazima, ninapendekeza kukumbuka jinsi ya kufanya vitendo na vipande.

  Na tunaashiria mizizi yote mitatu kwenye mstari wa nambari:

  Dots kutoka kwa hesabu zimejazwa, kutoka kwa dhehebu - zimechomwa nje

  Tunaweka ishara. Kwa mfano, unaweza kuchukua $ ((x) _ (0)) = 1 $ na ujue ishara wakati huu:

  [[\ anza (pangilia) & f \ kushoto (x \ kulia) = \ frac (\ kushoto (7x + 1 \ kulia) \ kushoto (11x + 2 \ kulia)) (13x-4); \\ & f \ kushoto (1 \ kulia) = \ frac (kushoto (7 \ cdot 1 + 1 \ kulia) \ kushoto (11 \ cdot 1 + 2 \ kulia)) (13 \ cdot 1-4) = \ frac (8 \ cdot 13) (9) \ gt 0. \\\ mwisho (pangilia) \]

  Ukosefu wa usawa wa mwisho kabla ya hesabu ilikuwa $ f \ kushoto (x \ kulia) \ 0 $, kwa hivyo tunavutiwa na ishara ya pamoja.

  

  Tulipata seti mbili: moja ni sehemu ya kawaida, na nyingine ni ray wazi kwenye laini ya nambari.

  Jibu: $ x \ kwa \ kushoto [- \ frac (2) (11); - \ frac (1) (7) \ kulia] \ bigcup \ kushoto (\ frac (4) (13); + \ infty \ kulia ) $

  Ujumbe muhimu kuhusu nambari ambazo tunabadilisha ili kujua ishara kwenye muda wa kulia. Sio lazima kabisa kubadilisha nambari karibu na mzizi wa kulia kabisa. Unaweza kuchukua mabilioni au hata "plus-infinity" - katika kesi hii, ishara ya polynomial katika mabano, hesabu au dhehebu imedhamiriwa peke na ishara ya mgawo unaoongoza.

  Wacha tuangalie tena kazi ya $ f \ kushoto (x \ kulia) $ kutoka usawa wa mwisho:

  Kuna polynomials tatu katika rekodi yake:

  \ [\ anza (pangilia) & ((P) _ (1)) \ kushoto (x \ kulia) = 7x + 1; \\ & ((P) _ (2)) kushoto (x \ kulia) = 11x + 2; \\ & Q \ kushoto (x \ kulia) = 13x-4. \ mwisho (panga) \]

  Wote ni binomials zenye mstari, na coefficients zinazoongoza (nambari 7, 11 na 13) ni chanya. Kwa hivyo, wakati wa kubadilisha idadi kubwa sana, polynomials yenyewe pia itakuwa chanya. :)

  Sheria hii inaweza kuonekana kuwa ngumu kupita kiasi, lakini mwanzoni tu, wakati tunachambua kazi rahisi sana. Katika usawa mkubwa, uingizwaji wa pamoja-infinity utaturuhusu kujua ishara haraka sana kuliko kiwango cha kawaida cha $ ((x) _ (0)) = 100 $.

  Tutakabiliwa na changamoto kama hizi hivi karibuni. Lakini kwanza, wacha tuangalie njia mbadala ya kutatua kutofautiana kwa busara kwa sehemu.

  Njia mbadala

  Mbinu hii ilipendekezwa na mmoja wa wanafunzi wangu. Mimi mwenyewe sijawahi kuitumia, lakini mazoezi yameonyesha kuwa wanafunzi wengi ni rahisi zaidi kusuluhisha usawa kwa njia hii.

  Kwa hivyo, data ya awali ni sawa. Inahitajika kutatua ukosefu wa usawa wa busara:

  \ [\ frac (P \ kushoto (x \ kulia)) (Q \ kushoto (x \ kulia)) \ gt 0 \]

  Wacha tufikiri: ni kwa jinsi gani polynomial $ Q \ kushoto (x \ kulia) $ "mbaya" kuliko polynomial $ P \ kushoto (x \ kulia) $? Kwa nini tunapaswa kuzingatia vikundi tofauti vya mizizi (na bila kinyota), fikiria juu ya sehemu za kuchomwa, nk. Ni rahisi: sehemu ina kikoa cha ufafanuzi, konsonanti ambayo sehemu hiyo ina maana tu wakati dhehebu lake halina msingi.

  Vinginevyo, hakuna tofauti inayoweza kufuatiliwa kati ya nambari na dhehebu: sisi pia tunalinganisha hadi sifuri, tafuta mizizi, kisha uiweke alama kwenye laini ya nambari. Kwa hivyo kwanini usibadilishe sehemu ya sehemu (kwa kweli, ishara ya mgawanyiko) na kuzidisha kawaida, na uandike mahitaji yote ya DHS kwa njia ya tofauti tofauti? Kwa mfano, kama hii:

  \ [\ frac (P \ kushoto (x \ kulia)) (Q \ kushoto (x \ kulia)) \ gt 0 \ Rightarrow \ kushoto \ (\ anza (pangilia) & P \ kushoto (x \ kulia) \ cdot Q kushoto (x \ kulia) \ gt 0, \\ & Q \ kushoto (x \ kulia) \ ne 0. \\ \ mwisho (pangilia) \ kulia. \]

  Tafadhali kumbuka: njia hii itapunguza shida kwa njia ya vipindi, lakini wakati huo huo haitasumbua suluhisho hata. Baada ya yote, bado tutalinganisha polynomial $ Q \ kushoto (x \ kulia) $ hadi sifuri.

  Wacha tuone jinsi hii inafanya kazi kwa shida za ulimwengu wa kweli.

  Kazi. Tatua usawa:

  \ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \]

  Suluhisho. Basi wacha tuendelee kwa njia ya nafasi:

  \ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \ Rightarrow \ kushoto \ (\ anza (pangilia) na \ kushoto (x + 8 \ kulia) \ kushoto (x-11 \ kulia) \ gt 0 , \\ & x-11 \ ne 0. \\ \ mwisho (pangilia) \ kulia. \]

  Ukosefu wa usawa wa kwanza ni rahisi kutatua. Tunalinganisha kila mabano kwa sifuri:

  \ [\ anza (pangilia) & x + 8 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (1)) = - 8; \\ & x-11 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (2)) = 11. \\ \ mwisho (pangilia) \]

  Ukosefu wa pili pia ni rahisi:

  Tunatia alama $ ((x) _ (1)) $ na $ ((x) _ (2)) $ kwenye laini ya nambari. Wote wametolewa nje, kwani ukosefu wa usawa ni mkali:

  Hatua ya kulia ilichomwa mara mbili. Hii ni sawa.

  Angalia hatua $ x = 11 $. Inageuka kuwa "imechomwa mara mbili": kwa upande mmoja, tunaichomoa kwa sababu ya ukali wa ukosefu wa usawa, kwa upande mwingine, kwa sababu ya mahitaji ya ziada ya DHS.

  Kwa hali yoyote, itakuwa mahali pa kuchomwa tu. Kwa hivyo, tunaweka alama za ukosefu wa usawa $ \ kushoto (x + 8 \ kulia) \ kushoto (x-11 \ kulia) \ gt 0 $ - ile ya mwisho ambayo tuliona kabla ya kuanza kutatua hesabu:

  

  Tunavutiwa na maeneo mazuri, kwani tunasuluhisha usawa wa fomu $ f \ kushoto (x \ kulia) \ gt 0 $ - na uwavike. Inabaki tu kuandika jibu.

  Jibu. $ x \ kwa \ kushoto (- \ infty; -8 \ kulia) \ bigcup \ kushoto (11; + \ infty \ kulia) $

  Kutumia suluhisho hili kama mfano, ningependa kukuonya dhidi ya kosa la kawaida kati ya wanafunzi wa novice. Yaani: usipanue mabano kwa usawa! Kinyume chake, jaribu kuzingatia kila kitu - itarahisisha suluhisho na kukuokoa kutoka kwa shida nyingi.

  Sasa wacha tujaribu kitu ngumu zaidi.

  Kazi. Tatua usawa:

  \ [\ frac (kushoto (2x-13 \ kulia) \ kushoto (12x-9 \ kulia)) (15x + 33) \ le 0 \]

  Suluhisho. Huu ni ukosefu wa usawa wa fomu $ f \ kushoto (x \ kulia) \ le 0 $, kwa hivyo unahitaji kuzingatia sana nukta zilizojazwa hapa.

  Kuendelea kwa njia ya nafasi:

  \ [\ kushoto \ (\ anza (pangilia) & \ kushoto (2x-13 \ kulia) \ kushoto (12x-9 \ kulia) \ kushoto (15x + 33 \ kulia) \ le 0, \\ & 15x + 33 \ ne 0. \\ \ mwisho (pangilia) \ kulia. \]

  Wacha tuendelee kwa equation:

  = _ _ (1) = 6.5; \\ & 12x-9 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (2)) = 0.75; \\ & 15x + 33 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (3)) = - 2.2. \\ \ mwisho (pangilia) \]

  Tunazingatia mahitaji ya ziada:

  Tunatia alama mizizi yote iliyopatikana kwenye laini ya nambari:

  Ikiwa nukta imechomwa na imetiwa kivuli kwa wakati mmoja, inachukuliwa kama hatua ya kuchomwa.

  Tena, alama mbili "zinaingiliana" kila mmoja - hii ni kawaida, itakuwa hivyo kila wakati. Ni muhimu kuelewa tu kwamba alama iliyochomwa na imejazwa imechomwa. Wale. "Kuchua" ni hatua kali kuliko "uchoraji".

  Hii ni mantiki kabisa, kwa sababu kwa kuguna, tunaashiria alama ambazo zinaathiri ishara ya kazi hiyo, lakini wenyewe hawashiriki katika jibu. Na ikiwa wakati fulani nambari inaacha kutufaa (kwa mfano, haianguki kwenye ODZ), tunaifuta kutoka kwa kuzingatia hadi mwisho wa shida.

  Kwa ujumla, acha falsafa. Tunaweka ishara na kupaka rangi juu ya vipindi ambavyo vimewekwa alama na alama ya kuondoa:

  

  Jibu. $ x \ kwa \ kushoto (- \ infty; -2.2 \ kulia) \ bigcup \ kushoto [0.75; 6.5 \ kulia] $.

  Na tena ningependa kukuangazia usawa huu:

  \ [kushoto (2x-13 \ kulia) \ kushoto (12x-9 \ kulia) \ kushoto (15x + 33 \ kulia) = 0 \]

  Mara nyingine tena: usifungue mabano kwa usawa kama hii! Utasumbua tu kazi yako. Kumbuka: bidhaa ni sifuri wakati moja ya sababu ni sifuri. Kwa hivyo, equation hii "inagawanyika tu" katika ndogo ndogo, ambazo tulitatua katika shida ya hapo awali.

  Kuzingatia wingi wa mizizi

  Kutoka kwa majukumu ya hapo awali, ni rahisi kuona kuwa ni ukosefu wa usawa ulio ngumu zaidi, kwa sababu ndani yao lazima ufuatilie nukta zilizojazwa.

  Lakini kuna uovu mkubwa zaidi ulimwenguni - hizi ni mizizi mingi katika usawa. Hapa tayari lazima ufuate sio nukta kadhaa zilizojazwa - hapa ishara ya usawa inaweza kubadilika ghafla wakati unapitia alama hizi hizo.

  Hatujazingatia chochote kama hiki katika somo hili (ingawa shida kama hiyo ilikutana mara nyingi katika njia ya muda). Kwa hivyo, tunaanzisha ufafanuzi mpya:

  Ufafanuzi. Mzizi wa equation $ ((\ kushoto (x-a \ kulia)) ^ (n)) = 0 $ ni sawa na $ x = a $ na inaitwa mzizi wa wingi wa $ n $ th.

  Kwa kweli, hatupendezwi na dhamana haswa ya wingi. Jambo muhimu tu ni kwamba nambari hii $ n $ ni sawa au isiyo ya kawaida. Kwa sababu:

  1. Ikiwa $ x = a $ ni mzizi wa kuzidisha hata, basi ishara ya kazi haibadilika wakati wa kuipitia;
  2. Na kinyume chake, ikiwa $ x = a $ ni mzizi wa kuzidisha isiyo ya kawaida, basi ishara ya kazi itabadilika.

  Shida zote za hapo awali zilizojadiliwa katika somo hili ni kesi maalum ya mzizi wa kuzidisha isiyo ya kawaida: kila mahali uwingi ni sawa na moja.

  Na zaidi. Kabla ya kuanza kutatua shida, ningependa kuteka mawazo yako kwa ujanja mmoja ambao utaonekana dhahiri kwa mwanafunzi mzoefu, lakini unawaongoza Kompyuta wengi kuwa wajinga. Yaani:

  Mzizi wa kuzidisha $ n $ unatokea tu wakati usemi mzima umeinuliwa kwa nguvu hii: $ ((\ kushoto (xa \ kulia)) ^ (n)) $, na sio $ \ kushoto (((x) ^ (n )) - haki = $.

  Mara nyingine tena: bracket $ ((\ kushoto (xa \ kulia)) ^ (n)) $ inatupa mzizi $ x = a $ of multiplicity $ n $, but the bracket $ \ left (((x) ^ ( n)) -a kulia = $ au, kama kawaida hufanyika, $ (a - ((x) ^ (n))) $ inatupa mzizi (au mizizi miwili, ikiwa $ n $ ni sawa) ya wingi wa kwanza , bila kujali ni sawa na $ n $.

  Linganisha:

  \ [(((kushoto (x-3 \ kulia)) ^ (5)) = 0 \ Rightarrow x = 3 \ kushoto (5k \ kulia) \]

  Kila kitu kiko wazi hapa: bracket nzima ilifufuliwa kwa nguvu ya tano, kwa hivyo kwenye pato tulipata mzizi wa nguvu ya tano. Na sasa:

  \ [\ kushoto (((x) ^ (2)) - 4 kulia) = 0 \ Rightarrow ((x) ^ (2)) = 4 \ Rightarrow x = \ pm 2 \]

  Tulipata mizizi miwili, lakini zote mbili zina wingi wa kwanza. Au hapa kuna nyingine:

  \ [\ kushoto (((x) ^ (10)) - 1024 \ kulia) = 0 \ Rightarrow ((x) ^ (10)) = 1024 \ Rightarrow x = \ pm 2 \]

  Na usichanganyike na kiwango cha kumi. Jambo kuu ni kwamba 10 ni nambari hata, kwa hivyo kwenye pato tuna mizizi miwili, na zote mbili zina wingi wa kwanza.

  Kwa ujumla, kuwa mwangalifu: kuzidisha hufanyika tu wakati shahada inahusu mabano yote, sio tu ya kutofautisha.

  Kazi. Tatua usawa:

  \ [\ frac (((x) ^ (2)) ((kushoto (6-x \ kulia)) ^ (3)) kushoto (x + 4 \ kulia)) (((kushoto (x + 7) \ kulia)) ^ (5))) \ ge 0 \]

  Suluhisho. Wacha tujaribu kuisuluhisha kwa njia mbadala - kupitia mpito kutoka kwa fulani kwenda kazini:

  \ [\ kushoto \ (\ anza (pangilia) & ((x) ^ (2)) ((kushoto (6-x \ kulia)) ^ (3)) kushoto (x + 4 \ kulia) \ cdot ( (\ kushoto (x + 7 \ kulia)) ^ (5)) \ ge 0, \\ & ((\ kushoto (x + 7 \ kulia)) ^ (5)) \ ne 0. \\ \ end (align ) \ haki. \]

  Tunashughulikia ukosefu wa usawa wa kwanza kutumia njia ya muda:

  \ [\ anza (pangilia) & ((x) ^ (2)) ((kushoto (6-x \ kulia)) ^ (3)) kushoto (x + 4 \ kulia) \ cdot ((kushoto) x + 7 \ kulia)) ^ (5)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) = 0 \ Rightarrow x = 0 \ kushoto (2k \ kulia); \\ & ((\ kushoto (6-x \ kulia)) ^ (3)) = 0 \ Rightarrow x = 6 \ kushoto (3k \ kulia); \\ & x + 4 = 0 \ Rightarrow x = -4; \\ & ((\ kushoto (x + 7 \ kulia)) ^ (5)) = 0 \ Rightarrow x = -7 \ kushoto (5k \ kulia). \\ \ mwisho (pangilia) \]

  Kwa kuongeza, tunatatua usawa wa pili. Kwa kweli, tayari tumesuluhisha, lakini ili wahakiki wasipate kosa na suluhisho, ni bora kuisuluhisha tena:

  \ (((\ kushoto (x + 7 \ kulia)) ^ (5)) \ ne 0 \ Rightarrow x \ ne -7 \]

  Tafadhali kumbuka: hakuna kuzidisha katika usawa wa mwisho. Kwa kweli: ni tofauti gani inafanya ni mara ngapi kuvuka nukta $ x = -7 $ kwenye laini ya nambari? Angalau mara moja, angalau tano - matokeo yatakuwa sawa: hatua iliyopigwa.

  Wacha tuweke alama kila kitu ambacho tumepata kwenye laini ya nambari:

  

  Kama nilivyosema, uhakika $ x = -7 $ hatimaye utachomwa. Kuzidisha hupangwa kulingana na suluhisho la kutokuwepo kwa usawa kwa njia ya vipindi.

  Inabaki kuweka ishara:

  

  Kwa kuwa uhakika $ x = 0 $ ni mzizi wa kuzidisha hata, ishara haibadilika wakati wa kuipitia. Sehemu zingine zote zina uwingi wa kawaida, na kila kitu ni rahisi nao.

  Jibu. $ x \ kwa \ kushoto (- \ infty; -7 \ kulia) \ bigcup \ kushoto [-4; 6 \ kulia] $

  Kumbuka tena $ x = 0 $. Kwa sababu ya kuzidisha hata, athari ya kuvutia inatokea: kushoto kwake, kila kitu kimechorwa juu, kulia pia, na hatua yenyewe imechorwa kabisa.

  Kama matokeo, haiitaji kutengwa wakati wa kurekodi majibu. Wale. hakuna haja ya kuandika kitu kama $ x \ in \ left [-4; 0 \ right] \ bigcup \ left [0; 6 \ right] $ (ingawa hapo awali jibu hili pia litakuwa sahihi). Badala yake, sisi mara moja tunaandika $ x \ in \ left [-4; 6 \ right] $.

  Athari kama hizo zinawezekana tu kwa mizizi ya kuzidisha hata. Na katika kazi inayofuata tutakabiliana na "dhihirisho" la athari hii. Uko tayari?

  Kazi. Tatua usawa:

  \ [\ frac (((\ kushoto (x-3 \ kulia)) ^ (4)) kushoto (x-4 \ kulia)) (((kushoto (x-1 \ kulia)) (2)) kushoto (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ kulia)) \ ge 0 \]

  Suluhisho. Wakati huu tutakwenda kulingana na mpango wa kawaida. Weka hesabu kuwa sifuri:

  \ [\ anza (pangilia) & ((\ kushoto (x-3 \ kulia)) ^ (4)) kushoto (x-4 \ kulia) = 0; \\ & ((\ kushoto (x-3 \ kulia)) ^ (4)) = 0 \ Rightarrow ((x) _ (1)) = 3 \ kushoto (4k \ kulia); \\ & x-4 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (2)) = 4. \\ \ mwisho (pangilia) \]

  Na dhehebu:

  \ [\ anza (pangilia) & ((\ kushoto (x-1 \ kulia)) ^ (2)) kushoto (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ kulia) = 0; \\ & ((\ kushoto (x-1 \ kulia)) ^ (2)) = 0 \ Rightarrow x_ (1) ^ (*) = 1 \ kushoto (2k \ kulia); \\ & 7x-10 - ((x) ^ (2)) = 0 \ Rightarrow x_ (2) ^ (*) = 5; \ x_ (3) ^ (*) = 2. \\ \ mwisho (pangilia) \]

  Kwa kuwa tunasuluhisha ukosefu wa usawa dhaifu wa fomu $ f \ kushoto (x \ kulia) \ $ 0 $, mizizi kutoka kwa dhehebu (ambayo iko na nyota) itachomwa, na kutoka kwa hesabu watajazwa.

  

  Tunaweka alama na maeneo ya kutotolewa yaliyowekwa alama ya "plus":

  Eleza $ x = 3 $ imetengwa. Hii ni sehemu ya jibu

  Kabla ya kuandika jibu la mwisho, angalia picha hiyo kwa karibu:

  1. Kiwango cha $ x = 1 $ kina wingi hata, lakini yenyewe imechomwa. Kwa hivyo, italazimika kutengwa katika jibu: unahitaji kuandika $ x \ kwa \ kushoto (- \ infty; 1 \ kulia) \ bigcup \ kushoto (1; 2 \ kulia) $, na sio $ x \ in kushoto (- \ infty; 2 \ kulia) $.
  2. Kiwango cha $ x = 3 $ pia kina idadi nyingi na imejazwa kwa wakati mmoja. Mpangilio wa ishara unaonyesha kuwa hatua yenyewe inatufaa, lakini hatua ya kushoto na kulia - na tunajikuta katika eneo ambalo hakika halitufaa. Vitu vile huitwa pekee na vimeandikwa kama $ x \ katika \ kushoto \ (3 \ kulia \) $.

  Tunachanganya vipande vyote vilivyosababishwa kuwa seti ya kawaida na andika jibu.

  Jibu: $ x \ kwa \ kushoto (- \ infty; 1 \ kulia) \ bigcup \ kushoto (1; 2 \ kulia) \ bigcup \ kushoto \ (3 \ kulia \) \ bigcup \ kushoto [4; 5 \ kulia) $

  Ufafanuzi. Kutatua usawa kunamaanisha pata suluhisho zake nyingi, au thibitisha kuwa seti hii haina kitu.

  Inaonekana: ni nini kinachoweza kueleweka hapa? Ndio, ukweli wa mambo ni kwamba seti zinaweza kutajwa kwa njia tofauti. Wacha tuandike jibu la shida ya mwisho tena:

  Tunasoma kiuhalisi kile kilichoandikwa. "X" inayobadilika ni ya seti fulani, ambayo hupatikana kwa kuchanganya (alama "U") seti nne tofauti:

  • $ \ Kushoto (- \ infty; 1 \ kulia) $ interval, ambayo inamaanisha "nambari zote chini ya moja, lakini sio ile yenyewe";
  • $ \ Kushoto (1; 2 \ kulia) nafasi ya $, i.e. "Nambari zote katika masafa kutoka 1 hadi 2, lakini sio nambari 1 na 2 zenyewe";
  • Seti $ \ kushoto \ (3 \ kulia \) $, yenye nambari moja - tatu;
  • $ \ Kushoto [4; 5 \ kulia) $ interval, iliyo na nambari zote kati ya 4 na 5, na vile vile nne yenyewe, lakini sio tano.

  Jambo la tatu linavutia hapa. Tofauti na vipindi, ambavyo vinataja seti zisizo na idadi na zinaashiria tu mipaka ya seti hizi, $ $ kushoto \ (3 \ kulia \) $ inataja nambari moja kwa hesabu.

  Ili kuelewa kuwa tunaorodhesha tu nambari maalum zilizojumuishwa kwenye seti (na sio kuweka mipaka au kitu kingine chochote), braces curly hutumiwa. Kwa mfano, nukuu $ \ kushoto \ (1; 2 \ kulia \) $ inamaanisha haswa "seti iliyo na nambari mbili: 1 na 2", lakini sio sehemu kutoka 1 hadi 2. .

  Kanuni ya kuongeza kuzidisha

  Kweli, kwa kumalizia somo la leo, bati kidogo kutoka kwa Pavel Berdov. :)

  Wanafunzi waangalifu labda tayari wamejiuliza: nini kitatokea ikiwa mizizi hiyo hiyo inapatikana katika hesabu na dhehebu? Kwa hivyo, sheria ifuatayo inafanya kazi:

  Kuzidisha kwa mizizi hiyo hiyo kunaongezwa. Ni daima. Hata kama mzizi huu unatokea kwa hesabu na dhehebu.

  Wakati mwingine ni bora kuamua kuliko kusema. Kwa hivyo, tunasuluhisha shida ifuatayo:

  Kazi. Tatua usawa:

  \ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 8) (\ kushoto (((x) ^ (2)) - 16 \ kulia) \ kushoto (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ kulia)) \ ge 0 \]

  \ [\ anza (pangilia) & ((x) ^ (2)) + 6x + 8 = 0 \\ & ((x) _ (1)) = - 2; -4. \\ \ mwisho (pangilia) \]

  Hakuna kitu maalum bado. Weka dhehebu kuwa sifuri:

  \ [\ anza (pangilia) na \ kushoto (((x) ^ (2)) - 16 \ kulia) \ kushoto (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ kulia) = 0 \\ & ( (x) ^ (2)) - 16 = 0 \ Rightarrow x_ (1) ^ (*) = 4; \ x_ (2) ^ (*) = - 4; \\ & ((x) ^ (2)) + 9x + 14 = 0 \ Rightarrow x_ (3) ^ (*) = - 7; \ x_ (4) ^ (*) = - 2. \\ \ mwisho (pangilia) \]

  Imepata mizizi miwili inayofanana: $ ((x) _ (1)) = - 2 $ na $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $. Wote ni mara ya kwanza. Kwa hivyo, tunawabadilisha na mzizi mmoja $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $, lakini tayari na uwingi 1 + 1 = 2.

  Kwa kuongeza, pia kuna mizizi inayofanana: $ ((x) _ (2)) = - 4 $ na $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $. Wao pia ni wa wingi wa kwanza, kwa hivyo tu $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $ ya kuzidisha 1 + 1 = 2 bado.

  Tafadhali kumbuka: katika visa vyote viwili, tumeacha mzizi "uliotobolewa" haswa, na "waliopakwa rangi" ilitupiliwa mbali ya kuzingatia. Kwa sababu hata mwanzoni mwa somo tulikubaliana: ikiwa hoja imechomwa na kupakwa rangi, basi bado tunachukulia kuwa imechomwa.

  Kama matokeo, tuna mizizi minne, na yote yalitolewa:

  \ [\ anza (pangilia) & x_ (1) ^ (*) = 4; \\ & x_ (2) ^ (*) = - 4 \ kushoto (2k \ kulia); \\ & x_ (3) ^ (*) = - 7; \\ & x_ (4) ^ (*) = - 2 \ kushoto (2k \ kulia). \\ \ mwisho (pangilia) \]

  Tunawaweka alama kwenye mstari wa nambari, kwa kuzingatia kuzidisha:

  

  Tunaweka alama na kupaka rangi juu ya maeneo ya kupendeza kwetu:

  

  Kila kitu. Hakuna vidokezo vilivyotengwa na upotovu mwingine. Unaweza kuandika jibu.

  Jibu. $ x \ kwa \ kushoto (- \ infty; -7 \ kulia) \ bigcup \ kushoto (4; + \ infty \ kulia) $.

  Sheria ya kuzidisha

  Wakati mwingine hali mbaya zaidi hufanyika: equation na mizizi mingi yenyewe imeinuliwa kwa nguvu fulani. Katika kesi hii, msururu wa mizizi yote ya asili hubadilika.

  Hii ni nadra, kwa hivyo wanafunzi wengi hawana uzoefu wa kutatua shida kama hizo. Na sheria hapa ni kama ifuatavyo:

  Wakati equation imeinuliwa kwa nguvu $ n $, msururu wa mizizi yake yote pia huongeza mara $ n $.

  Kwa maneno mengine, ufafanuzi unaongoza kwa kuzidisha kuzidishwa na nguvu sawa. Wacha tuchunguze sheria hii na mfano:

  Kazi. Tatua usawa:

  \ [\ frac (x ((\ kushoto (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ kulia)) ^ (2)) ((kushoto (x-4 \ kulia)) ^ (5)) (((kushoto) (2-x \ kulia)) ^ (3)) ((kushoto (x-1 \ kulia)) (2)) \ le 0 \]

  Suluhisho. Weka hesabu kuwa sifuri:

  Bidhaa hiyo ni sifuri wakati angalau moja ya sababu ni sifuri. Na sababu ya kwanza, kila kitu ni wazi: $ x = 0 $. Lakini basi shida zinaanza:

  \ [\ anza (pangilia) & ((\ kushoto (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ kulia)) ^ (2)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 \ kushoto (2k \ kulia); \\ & D = ((6) ^ (3)) - 4 cd cd 9 = 0 \\ & ((x) _ (2)) = 3 \ kushoto (2k \ kulia) \ kushoto (2k \ kulia) \ \ & ((x) _ (2)) = 3 \ kushoto (4k \ kulia) \\ \ end (align) \]

  Kama unavyoona, equation $ ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 $ ina mzizi mmoja wa kuzidisha kwa pili: $ x = 3 $. Kisha equation nzima ni mraba. Kwa hivyo, kuzidisha kwa mzizi itakuwa $ 2 \ cdot 2 = 4 $, ambayo mwishowe tuliandika.

  \ [(((kushoto (x-4 \ kulia)) ^ (5)) = 0 \ Rightarrow x = 4 \ kushoto (5k \ kulia) \]

  Hakuna shida na dhehebu ama:

  \ [\ anza (pangilia) & ((kushoto (2-x \ kulia)) ^ (3)) ((kushoto (x-1 \ kulia)) ^ (2)) = 0; \\ & ((\ kushoto (2-x \ kulia)) ^ (3)) = 0 \ Rightarrow x_ (1) ^ (*) = 2 \ kushoto (3k \ kulia); \\ & ((\ kushoto (x-1 \ kulia)) ^ (2)) = 0 \ Rightarrow x_ (2) ^ (*) = 1 \ kushoto (2k \ kulia). \\ \ mwisho (pangilia) \]

  Kwa jumla, tumepata alama tano: mbili zimepigwa na tatu zimejazwa. Hakuna mizizi ya bahati mbaya katika hesabu na dhehebu, kwa hivyo tunaweka alama kwenye mstari wa nambari:

  

  Tunapanga ishara kwa kuzingatia kuzidisha na kupaka rangi kwa vipindi vya kupendeza kwetu:

  Tena, sehemu moja iliyotengwa na moja imechomwa

  Kwa sababu ya mizizi ya kuzidisha hata, tulipata tena vitu kadhaa "visivyo vya kawaida". Hii ni $ x \ kushoto \ 0 [0; 1 \ kulia) \ bigcup \ kushoto (1; 2 \ kulia) $, sio $ x \ in \ kushoto [0; 2 \ kulia) $, na vile vile mahali pekee $ x \ kwa \ kushoto \ (3 \ kulia \) $.

  Jibu. $ x \ in \ kushoto [0; 1 \ kulia) \ bigcup \ kushoto (1; 2 \ kulia) \ bigcup \ kushoto \ (3 \ kulia \) \ bigcup \ kushoto [4; + \ infty \ kulia) $

  Kama unavyoona, kila kitu sio ngumu sana. Jambo kuu ni usikivu. Sehemu ya mwisho ya somo hili inazingatia mabadiliko - yale yale tuliyojadili mwanzoni kabisa.

  Utangulizi wa mapema

  Ukosefu wa usawa ambao tunajadili katika sehemu hii sio ngumu. Walakini, tofauti na majukumu ya hapo awali, hapa itabidi utumie ustadi kutoka kwa nadharia ya sehemu ndogo - busara na upunguzaji kwa dhehebu la kawaida.

  Tulijadili suala hili kwa undani mwanzoni kabisa mwa somo la leo. Ikiwa hauna hakika kuwa unaelewa ni nini, ninapendekeza sana urudi na urudie. Kwa sababu hakuna maana katika njia nyingi za kusuluhisha usawa ikiwa "utaelea" katika mabadiliko ya vipande.

  Katika kazi ya nyumbani, kwa kusema, pia kutakuwa na kazi nyingi zinazofanana. Imewekwa katika kifungu tofauti. Na hapo utapata mifano isiyo ya maana sana. Lakini hii itakuwa katika kazi ya nyumbani, na sasa hebu tuchambue ukosefu wa usawa kama huu.

  Kazi. Tatua usawa:

  \ [\ frac (x) (x-1) \ le \ frac (x-2) (x) \]

  Suluhisho. Sogeza kila kitu kushoto:

  \ [\ frac (x) (x-1) - \ frac (x-2) (x) \ le 0 \]

  Tunaleta kwa dhehebu la kawaida, tunafungua mabano, tunatoa maneno sawa katika hesabu:

  \ [\ anza (pangilia) & \ frac (x \ cdot x) (\ kushoto (x-1 \ kulia) \ cdot x) - \ frac (\ kushoto (x-2 \ kulia) \ kushoto (x-1 \ kulia)) (x \ cdot \ kushoto (x-1 \ kulia)) \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - kushoto (((x) ^ (2)) - 2x-x + 2 \ kulia)) (x \ kushoto (x-1 \ kulia)) \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - ((x) ^ (2)) + 3x-2) (x \ kushoto (x-1 \ kulia)) \ le 0; \\ & \ frac (3x-2) (x \ kushoto (x-1 \ kulia)) \ le 0. \\\ end (pangilia) \]

  Sasa tuna usawa wa kawaida wa sehemu ndogo, suluhisho ambalo sio ngumu tena. Ninapendekeza kuisuluhisha kwa njia mbadala - kupitia njia ya vipindi:

  \ [\ anza (pangilia) na \ kushoto (3x-2 \ kulia) \ cdot x \ cdot \ kushoto (x-1 \ kulia) = 0; \\ & ((x) _ (1)) = frac (2) (3); ((x) _ (2)) = 0; ((x) _ (3)) = 1. \\ \ mwisho (pangilia) \]

  Usisahau kikwazo kilichotokana na dhehebu:

  Tunatia alama nambari zote na vizuizi kwenye laini ya nambari:

  Mizizi yote ina wingi wa kwanza. Hakuna shida. Tunaweka tu alama na rangi juu ya maeneo tunayohitaji:

  

  Ni yote. Unaweza kuandika jibu.

  Jibu. $ x \ kwa \ kushoto (- \ infty; 0 \ kulia) \ bigcup \ kushoto [(2) / (3) \ ;; 1 \ kulia) $.

  Kwa kweli, hii ilikuwa mfano tu. Kwa hivyo, sasa tutazingatia shida kwa umakini zaidi. Na kwa njia, kiwango cha kazi hii ni sawa kabisa na kazi za kujitegemea na udhibiti kwenye mada hii katika daraja la 8.

  Kazi. Tatua usawa:

  \ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) \ ge \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \]

  Suluhisho. Sogeza kila kitu kushoto:

  \ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) - \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \ ge 0 \]

  Kabla ya kupunguza visehemu vyote kuwa dhehebu la kawaida, tunasababisha madhehebu haya. Je! Ikiwa mabano yale yale yatatoka? Na dhehebu la kwanza, ni rahisi:

  \ [((x) ^ (2)) + 8x-9 = \ kushoto (x-1 \ kulia) \ kushoto (x + 9 \ kulia) \]

  Ya pili ni ngumu zaidi. Jisikie huru kuweka kipatanishi cha mara kwa mara kwenye mabano ambapo sehemu hiyo inaonekana. Kumbuka: polynomial ya asili ilikuwa na coefficients kamili, kwa hivyo kuna uwezekano mkubwa kuwa sababu hiyo itakuwa na mgawo kamili (kwa kweli, itakuwa hivyo kila wakati, isipokuwa wakati ubaguzi hauna mantiki).

  = \\ & = \ kushoto (x-1 \ kulia) \ kushoto (3x-2 \ kulia) \ mwisho (pangilia) \]

  Kama unavyoona, kuna mabano ya kawaida: $ \ kushoto (x-1 \ kulia) $. Tunarudi kwenye usawa na kuleta sehemu zote mbili kwa dhehebu la kawaida:

  \ [\ anza (pangilia) & \ frac (1) (kushoto (x-1 \ kulia) \ kushoto (x + 9 \ kulia)) - \ frac (1) (kushoto (x-1 \ kulia) \ kushoto (3x-2 \ kulia)) \ ge 0; \\ & \ frac (1 \ cdot \ kushoto (3x-2 \ kulia) -1 \ cdot \ kushoto (x + 9 \ kulia)) (kushoto (x-1 \ kulia) \ kushoto (x + 9 \ kulia kushoto) (3x-2 \ kulia)) \ ge 0; \\ & \ frac (3x-2-x-9) (kushoto (x-1 \ kulia) \ kushoto (x + 9 \ kulia) \ kushoto (3x-2 \ kulia)) \ ge 0; \\ & \ frac (2x-11) (kushoto (x-1 \ kulia) \ kushoto (x + 9 \ kulia) \ kushoto (3x-2 \ kulia)) \ ge 0; \\ \ mwisho (pangilia) \]

  Weka dhehebu kuwa sifuri:

  \ [\ anza (pangilia) na \ kushoto (x-1 \ kulia) \ kushoto (x + 9 \ kulia) \ kushoto (3x-2 \ kulia) = 0; \\ & x_ (1) ^ (*) = 1; x x (2) ^ (*) = - 9; \ x_ (3) ^ (*) = \ frac (2) (3) \\ \ mwisho panga) \]

  Hakuna kuzidisha au mizizi ya bahati mbaya. Tunatia alama nambari nne kwa mstari ulionyooka:

  Tunaweka ishara:

  

  Tunaandika jibu.

  Jibu: $ x \ kwa \ kushoto (- \ infty; -9 \ kulia) \ bigcup \ kushoto ((2) / (3) \ ;; 1 \ kulia) \ bigcup \ kushoto [5,5; + \ infty \ kulia) $.