Fomula za wingi wa miili ya kijiometri. Kiasi cha takwimu

Ili kutatua matatizo katika jiometri, unahitaji kujua fomula - kama vile eneo la pembetatu au eneo la parallelogram - pamoja na hila rahisi ambazo tutazungumzia.

Kwanza, hebu tujifunze fomula za maeneo ya takwimu. Tumezikusanya haswa kwenye meza inayofaa. Chapisha, Jifunze na Utumie!

Kwa kweli, sio fomula zote za jiometri ziko kwenye meza yetu. Kwa mfano, kutatua shida katika jiometri na sterometri katika sehemu ya pili ya wasifu TUMIA katika hisabati, kanuni zingine za eneo la pembetatu pia hutumiwa. Hakika tutakuambia juu yao.

Lakini vipi ikiwa hauitaji kupata eneo la trapezoid au pembetatu, lakini eneo la takwimu ngumu? Kuna njia za ulimwengu! Wacha tuwaonyeshe kwa mifano kutoka kwa benki ya kazi ya FIPI.

1. Jinsi ya kupata eneo la sura isiyo ya kawaida? Kwa mfano, quadrilateral holela? Ujanja rahisi ni kuvunja takwimu hii kuwa zile ambazo sote tunazijua, na kupata eneo lake - kama jumla ya maeneo ya takwimu hizi.

Gawanya sehemu hii ya pembe nne na mstari wa mlalo katika pembetatu mbili na msingi wa kawaida sawa na. Urefu wa pembetatu hizi ni sawa na. Kisha eneo la quadrilateral ni sawa na jumla ya maeneo ya pembetatu mbili :.

Jibu:.

2. Katika baadhi ya matukio, eneo la takwimu linaweza kuwakilishwa kama tofauti kati ya baadhi ya maeneo.

Si rahisi sana kuhesabu ni nini msingi na urefu katika pembetatu hii ni sawa! Lakini tunaweza kusema kwamba eneo lake ni sawa na tofauti kati ya maeneo ya mraba yenye upande na pembetatu tatu za kulia. Unawaona kwenye picha? Tunapata:.

Jibu:.

3. Wakati mwingine katika kazi ni muhimu kupata eneo si la takwimu nzima, lakini sehemu yake. Kawaida tunazungumza juu ya eneo la sekta - sehemu ya duara. Pata eneo la sekta ya mduara wa radius, urefu wa arc ambayo ni.

Katika picha hii, tunaona sehemu ya duara. Eneo la mzunguko mzima ni sawa tangu wakati huo. Inabakia kujua ni sehemu gani ya duara iliyoonyeshwa. Kwa kuwa urefu wa mduara mzima ni sawa (tangu), na urefu wa arc ya sekta hii ni, kwa hiyo, urefu wa arc ni mara moja chini ya urefu wa mzunguko mzima. Pembe ambayo arc hii inakaa pia ni mara moja chini ya duara kamili (yaani, digrii). Hii inamaanisha kuwa eneo la sekta hiyo litakuwa chini ya mara moja kuliko eneo la duara zima.

Na Wamisri wa kale walitumia mbinu za kuhesabu maeneo ya maumbo mbalimbali, sawa na njia zetu.

Katika vitabu vyao "Mwanzo" mtaalam maarufu wa hesabu wa Uigiriki Euclid alielezea idadi kubwa ya njia za kuhesabu maeneo ya takwimu nyingi za kijiometri. Maandishi ya kwanza nchini Urusi, ambayo yana habari za kijiometri, yaliandikwa katika karne ya $ XVI $. Wanaelezea sheria za kutafuta maeneo ya takwimu za maumbo mbalimbali.

Leo, kwa kutumia njia za kisasa, unaweza kupata eneo la sura yoyote kwa usahihi mkubwa.

Fikiria moja ya maumbo rahisi - mstatili - na fomula ya kutafuta eneo lake.

Mfumo wa eneo la mstatili

Fikiria takwimu (Mchoro 1), ambayo ina $ 8 $ mraba na pande za $ 1 $ cm. Eneo la mraba moja na pande $ 1 $ cm inaitwa sentimita ya mraba na imeandikwa kama $ 1 \ cm. ^ 2 $.

Eneo la takwimu hii (Mchoro 1) litakuwa sawa na $ 8 \ cm ^ 2 $.

Eneo la takwimu, ambalo linaweza kugawanywa katika mraba kadhaa na pande $ 1 \ cm $ (kwa mfano, $ p $), itakuwa sawa na $ p \ cm ^ 2 $.

Kwa maneno mengine, eneo la takwimu litakuwa sawa na $ cm ^ 2 $ nyingi, ndani ya mraba ngapi na upande wa $ 1 \ cm $ takwimu hii inaweza kuvunjika.

Fikiria mstatili (Mchoro 2), ambao una vipande vya $ 3 $, ambayo kila moja imegawanywa katika mraba $ 5 $ na pande $ 1 \ cm $. mstatili mzima una $ 5 \ cdot 3 = 15 $ mraba vile, na eneo lake ni $ 15 \ cm ^ 2 $.

Picha 1.

Kielelezo cha 2.

Eneo la takwimu kawaida huonyeshwa na barua $ S $.

Ili kupata eneo la mstatili, unahitaji kuzidisha urefu wake kwa upana wake.

Ikiwa tunaashiria urefu wake kwa herufi $ a $, na upana kwa herufi $ b $, basi fomula ya eneo la mstatili itaonekana kama hii:

Ufafanuzi 1

Takwimu zinaitwa sawa, ikiwa, yanapowekwa juu zaidi, maumbo yanapatana. Maumbo sawa yana maeneo sawa na mzunguko sawa.

Eneo la takwimu linaweza kupatikana kama jumla ya maeneo ya sehemu zake.

Mfano 1

Kwa mfano, katika Kielelezo $ 3 $, mstatili $ ABCD $ umegawanyika katika sehemu mbili na mstari $ KLMN $. Eneo la sehemu moja ni $ 12 \ cm ^ 2 $, na nyingine ni $ 9 \ cm ^ 2 $. Kisha eneo la mstatili $ ABCD $ itakuwa sawa na $ 12 \ cm ^ 2 + 9 \ cm ^ 2 = 21 \ cm ^ 2 $. Wacha tupate eneo la mstatili kwa formula:

Kama unaweza kuona, maeneo yaliyopatikana kwa njia zote mbili ni sawa.

Kielelezo cha 3.

Kielelezo cha 4.

Sehemu ya $ AC $ inagawanya mstatili katika pembetatu mbili sawa: $ ABC $ na $ ADC $. Hii inamaanisha kuwa eneo la kila pembetatu ni sawa na nusu ya eneo la mstatili mzima.

Ufafanuzi 2

Mstatili wenye pande sawa huitwa mraba.

Ikiwa tutateua upande wa mraba na herufi $ a $, basi eneo la mraba litapatikana kwa formula:

Kwa hivyo jina la mraba la nambari $ a $.

Mfano 2

Kwa mfano, ikiwa upande wa mraba ni $ 5 $ cm, basi eneo lake ni:

Kiasi

Pamoja na maendeleo ya biashara na ujenzi katika siku za ustaarabu wa kale, ikawa muhimu kupata kiasi. Katika hisabati, kuna sehemu ya jiometri inayohusika na utafiti wa takwimu za anga, inayoitwa sterometry. Mazungumzo ya eneo hili tofauti la hisabati yalipatikana tayari katika $ IV $ karne ya KK.

Wanahisabati wa kale walitengeneza njia ya kuhesabu kiasi cha takwimu rahisi - mchemraba na parallelepiped. Miundo yote ya nyakati hizo ilikuwa ya sura hii haswa. Lakini baadaye, mbinu zilipatikana za kuhesabu kiasi cha takwimu za maumbo magumu zaidi.

Kiasi cha parallelepiped ya mstatili

Ikiwa unajaza mold na mchanga wa mvua na kisha ugeuke, tunapata takwimu ya volumetric, ambayo ina sifa ya kiasi. Ikiwa unafanya takwimu kadhaa hizo kwa kutumia mold sawa, utapata takwimu ambazo zina kiasi sawa. Ikiwa unajaza mold kwa maji, basi kiasi cha maji na kiasi cha takwimu ya mchanga pia itakuwa sawa.

Kielelezo cha 5.

Unaweza kulinganisha wingi wa vyombo viwili kwa kujaza moja na maji na kumwaga ndani ya chombo cha pili. Ikiwa chombo cha pili kimejaa kabisa, basi vyombo vina kiasi sawa. Ikiwa, wakati huo huo, maji hubakia katika kwanza, basi kiasi cha chombo cha kwanza ni kikubwa zaidi kuliko kiasi cha pili. Ikiwa, wakati wa kumwaga maji kutoka kwenye chombo cha kwanza, haiwezekani kujaza kabisa chombo cha pili, basi kiasi cha chombo cha kwanza ni chini ya kiasi cha pili.

Kiasi hupimwa kwa kutumia vitengo vifuatavyo:

$ mm ^ 3 $ - milimita za ujazo,

$ cm ^ 3 $ - sentimita za ujazo,

$ dm ^ 3 $ - desimita za ujazo,

$ m ^ 3 $ - mita za ujazo,

$ km ^ 3 $ - kilomita za ujazo.

Uhakiki wa jumla. Njia za Stereometry!

Habari marafiki wapendwa! Katika makala hii, niliamua kufanya muhtasari wa jumla wa kazi katika stereometry ambayo itakuwa juu Mtihani wa Jimbo la Umoja katika mwanahisabati e) Lazima niseme kwamba kazi kutoka kwa kikundi hiki ni tofauti kabisa, lakini sio ngumu. Hizi ni kazi za kutafuta kiasi cha kijiometri: urefu, pembe, maeneo, kiasi.

Inazingatiwa: mchemraba, parallelepiped ya mstatili, prism, piramidi, polyhedron ya kiwanja, silinda, koni, mpira. Inasikitisha ukweli kwamba baadhi ya wahitimu hawafanyi hata matatizo hayo wakati wa mtihani, ingawa zaidi ya 50% yao hutatuliwa kimsingi, karibu kwa maneno.

Wengine wanahitaji juhudi kidogo, ujuzi na mbinu maalum. Katika makala zijazo, tutazingatia kazi hizi, usikose, jiandikishe kwa sasisho la blogi.

Ili kutatua, unahitaji kujua fomula za maeneo ya uso na ujazo parallelepiped, piramidi, prism, silinda, koni na mpira. Hakuna kazi ngumu, zote zinatatuliwa kwa hatua 2-3, ni muhimu "kuona" ambayo formula inahitaji kutumika.

Fomula zote zinazohitajika zimewasilishwa hapa chini:

Mpira au tufe. Uso wa spherical au spherical (wakati mwingine tu tufe) ni eneo la pointi katika nafasi ya usawa kutoka sehemu moja - katikati ya mpira.

Kiasi cha mpira ni sawa na kiasi cha piramidi, ambayo msingi wake una eneo sawa na uso wa mpira, na urefu ni radius ya mpira.

Kiasi cha nyanja ni mara moja na nusu chini ya kiasi cha silinda iliyoelezwa karibu nayo.

Koni ya pande zote inaweza kupatikana kwa kuzunguka pembetatu ya mstatili karibu na moja ya miguu yake, kwa hiyo koni ya pande zote pia inaitwa koni ya mapinduzi. Tazama pia eneo la uso wa koni ya mviringo

Kiasi cha koni ya pande zote ni sawa na theluthi moja ya bidhaa ya eneo la msingi S kwa urefu H:

(H ni urefu wa ukingo wa mchemraba)

Parallelepiped ni prism ambayo msingi wake ni parallelogram. Parallelepiped ina nyuso sita, na zote ni msambamba. Parallelepiped, nyuso nne za upande ambazo ni rectangles, inaitwa moja kwa moja. Sambamba ya mstatili yenye pande zote sita za mstatili inaitwa mstatili.

Kiasi cha parallelepiped ya mstatili ni sawa na bidhaa ya eneo la msingi kwa urefu:

(S ni eneo la msingi wa piramidi, h ni urefu wa piramidi)

Piramidi ni polyhedron yenye uso mmoja - msingi wa piramidi - poligoni ya kiholela, na wengine - nyuso za upande - pembetatu na vertex ya kawaida, inayoitwa juu ya piramidi.

Sehemu inayofanana na msingi wa piramidi inagawanya piramidi katika sehemu mbili. Sehemu ya piramidi kati ya msingi wake na sehemu hii ni piramidi iliyopunguzwa.

Kiasi cha piramidi kilichopunguzwa sawa na theluthi moja ya bidhaa ya urefu h (OS) kwa jumla ya maeneo ya msingi wa juu S1 (abcde), msingi wa chini wa piramidi iliyopunguzwa S2 (ABCDE) na uwiano wa wastani kati yao.

n - idadi ya pande za poligoni ya kawaida - msingi wa piramidi ya kawaida
a - upande wa poligoni ya kawaida - msingi wa piramidi ya kawaida
h - urefu wa piramidi ya kawaida

Piramidi ya kawaida ya triangular ni polyhedron ambayo uso mmoja - msingi wa piramidi - ni pembetatu ya kawaida, na wengine - nyuso za upande - ni pembetatu sawa na vertex ya kawaida. Urefu unashuka hadi katikati ya msingi kutoka juu.

Kiasi cha piramidi ya kawaida ya pembetatu ni sawa na theluthi moja ya bidhaa ya eneo la pembetatu ya kawaida, ambayo ni msingi S (ABC) kwa urefu h (OS)

a - upande wa pembetatu ya kawaida - msingi wa piramidi ya kawaida ya triangular
h - urefu wa piramidi ya kawaida ya triangular

Utoaji wa formula kwa kiasi cha tetrahedron

Kiasi cha tetrahedron kinahesabiwa kwa kutumia formula ya classical kwa kiasi cha piramidi. Inahitajika kuchukua nafasi ya urefu wa tetrahedron na eneo la pembetatu ya kawaida (ya usawa) ndani yake.

Kiasi cha Tetrahedron- ni sawa na sehemu katika nambari ambayo mzizi wa mraba wa mbili kwenye dhehebu ni kumi na mbili, ikizidishwa na mchemraba wa urefu wa ukingo wa tetrahedron.

(h ni urefu wa upande wa rhombus)

Mduara uk ni takriban tatu nzima na moja ya saba urefu wa kipenyo cha duara. Uwiano halisi wa mzunguko wa mduara kwa kipenyo chake unaonyeshwa na barua ya Kigiriki π

Matokeo yake, mzunguko wa mduara au mzunguko wa mduara huhesabiwa na formula

(r ni radius ya arc, n ni pembe ya katikati ya arc kwa digrii.)

Pima umbali wote unaohitajika kwa mita. Kiasi cha maumbo mengi ya pande tatu kinaweza kuhesabiwa kwa urahisi kwa kutumia fomula zinazofaa. Walakini, maadili yote yaliyowekwa katika fomula lazima yapimwe kwa mita. Kwa hivyo, kabla ya kubadilisha maadili katika fomula, hakikisha kuwa zote zimepimwa kwa mita, au kwamba umebadilisha vitengo vingine kuwa mita.

• 1 mm = 0.001 m
• 1 cm = 0.01 m
• 1 km = 1000 m

Kozi ya video "Pata A" inajumuisha mada zote muhimu ili kufaulu mtihani wa hisabati kwa alama 60-65. Kabisa kazi zote 1-13 za Mtihani wa Jimbo la Umoja wa Profaili katika Hisabati. Inafaa pia kwa kufaulu mtihani wa Msingi katika hisabati. Ikiwa unataka kupitisha mtihani kwa pointi 90-100, unahitaji kutatua sehemu ya 1 katika dakika 30 na bila makosa!

Kozi ya maandalizi ya mtihani wa darasa la 10-11, na vile vile kwa walimu. Kila kitu unachohitaji kutatua sehemu ya 1 ya mtihani katika hisabati (matatizo 12 ya kwanza) na tatizo la 13 (trigonometry). Na hii ni zaidi ya alama 70 kwenye mtihani, na hakuna mwanafunzi wa alama mia au mwanafunzi wa kibinadamu anayeweza kufanya bila wao.

Nadharia yote unayohitaji. Ufumbuzi wa haraka, mitego na siri za mtihani. Ilitenganisha kazi zote muhimu za sehemu ya 1 kutoka kwa Benki ya Majukumu ya FIPI. Kozi hiyo inakidhi kikamilifu mahitaji ya mtihani-2018.

Kozi hiyo ina mada 5 kubwa, masaa 2.5 kila moja. Kila mada imetolewa kutoka mwanzo, rahisi na moja kwa moja.

Mamia ya kazi za mitihani. Matatizo ya neno na nadharia ya uwezekano. Rahisi na rahisi kukumbuka algoriti za kutatua matatizo. Jiometri. Nadharia, nyenzo za kumbukumbu, uchambuzi wa aina zote za kazi za USE. Stereometry. Suluhisho gumu, karatasi za kudanganya zinazosaidia, kukuza mawazo ya anga. Trigonometry kutoka mwanzo hadi tatizo 13. Kuelewa badala ya kubana. Maelezo ya kuona ya dhana ngumu. Aljebra. Mizizi, digrii na logarithms, kazi na derivative. Msingi wa kutatua shida ngumu za sehemu ya 2 ya mtihani.