Njia tofauti za kudhibitisha nadharia ya Pythagorean. Ukweli wa kupendeza juu ya nadharia ya Pythagorean: jifunze mambo mapya juu ya nadharia maarufu

(kulingana na papyrus 6619 ya Jumba la kumbukumbu la Berlin). Kulingana na Cantor, harpedonapts, au "washambuliaji wa kamba," walijenga pembe za kulia kwa kutumia pembetatu zenye pembe-kulia na pande 3, 4, na 5.

Ni rahisi sana kuzaa njia yao ya ujenzi. Chukua kamba urefu wa m 12 na uifunge pamoja na ukanda wa rangi umbali wa mita 3 kutoka mwisho mmoja na mita 4 kutoka upande mwingine. Pembe la kulia litafungwa kati ya pande urefu wa mita 3 na 4. Harpedonapts wanaweza kusema kuwa njia yao ya ujenzi inakuwa mbaya, ikiwa unatumia, kwa mfano, mraba wa mbao unaotumiwa na maremala wote. Kwa kweli, michoro za Misri zinajulikana ambamo chombo kama hicho hupatikana, kwa mfano, michoro inayoonyesha semina ya useremala.

Inajulikana zaidi juu ya nadharia ya Babeli ya Pythagorean. Katika maandishi moja ya wakati wa Hammurabi, ambayo ni, hadi 2000 KK. NS. , hesabu ya takriban ya dhana ya pembetatu ya kulia inapewa. Kutoka kwa hili tunaweza kuhitimisha kuwa huko Mesopotamia walijua jinsi ya kufanya mahesabu na pembetatu zenye pembe-kulia, angalau katika hali zingine. Kwa msingi, kwa upande mmoja, kwa kiwango cha sasa cha maarifa juu ya hesabu za Wamisri na Wababeli, na kwa upande mwingine, juu ya uchunguzi muhimu wa vyanzo vya Uigiriki, Van der Waerden (mtaalam wa hesabu wa Uholanzi) alihitimisha kuwa kuna uwezekano mkubwa kwamba nadharia juu ya mraba wa hypotenuse ilijulikana nchini India tayari karibu na karne ya 18 KK. NS.

Karibu 400 BC. e., kulingana na Proclus, Plato alitoa njia ya kutafuta vitatu vya Pythagorean, akichanganya algebra na jiometri. Karibu 300 BC. NS. uthibitisho wa zamani zaidi wa nadharia ya Pythagorean ulionekana katika "Elements" za Euclid.

Maneno

Uundaji wa kijiometri:

Hapo awali, nadharia hiyo iliundwa kama ifuatavyo:

Uundaji wa Algebraic:

Hiyo ni, kuashiria urefu wa dhana ya pembetatu kupitia, na urefu wa miguu kupitia na:

Kauli zote mbili za nadharia ni sawa, lakini taarifa ya pili ni ya msingi zaidi, haiitaji dhana ya eneo. Hiyo ni, taarifa ya pili inaweza kuchunguzwa bila kujua chochote juu ya eneo hilo na kwa kupima urefu tu wa pande za pembetatu iliyo na pembe ya kulia.

Nadharia ya nyuma ya Pythagorean:

Uthibitisho

Kwa sasa, uthibitisho 367 wa nadharia hii umerekodiwa katika fasihi ya kisayansi. Labda nadharia ya Pythagorean ndio nadharia pekee iliyo na idadi kubwa ya uthibitisho. Aina hii inaweza kuelezewa tu na maana ya kimsingi ya nadharia kwa jiometri.

Kwa kweli, kwa dhana zote zinaweza kugawanywa katika idadi ndogo ya madarasa. Maarufu zaidi yao: uthibitisho na njia ya eneo hilo, uthibitisho wa axiomatic na wa kigeni (kwa mfano, kutumia hesabu tofauti).

Kupitia pembetatu sawa

Uthibitisho ufuatao wa uundaji wa algebraic ni uthibitisho rahisi zaidi uliojengwa moja kwa moja kutoka kwa axioms. Hasa, haitumii dhana ya eneo la takwimu.

Hebu iwe ABC kuna pembetatu iliyo na pembe ya kulia na pembe ya kulia C... Wacha tuvute urefu kutoka C na kuashiria msingi wake kwa H... Pembetatu ACH kama pembetatu ABC katika pembe mbili. Vivyo hivyo, pembetatu CBH ni sawa ABC... Kuanzisha notation

tunapata

Je! Ni nini sawa

Kuongeza, tunapata

Maeneo ya uthibitisho

Dhibitisho hapa chini, licha ya unyenyekevu wao dhahiri, sio rahisi sana. Wote hutumia mali ya eneo hilo, ushahidi ambao ni ngumu zaidi kuliko uthibitisho wa nadharia ya Pythagorean yenyewe.

Uthibitisho sawa wa usawa

1. Weka pembetatu nne zenye pembe sawa sawa kama inavyoonekana kwenye Mchoro 1.
2. Quadrilateral na pande c mraba, kwani jumla ya pembe mbili za papo hapo ni 90 °, na pembe iliyofunuliwa ni 180 °.
3. Eneo la takwimu nzima, kwa upande mmoja, eneo la mraba na pande (a + b), na kwa upande mwingine, jumla ya maeneo ya pembetatu nne na eneo la mraba wa ndani.

Q.E.D.

Uthibitisho wa Euclid

Wazo nyuma ya uthibitisho wa Euclid ni kama ifuatavyo: wacha tujaribu kudhibitisha kuwa nusu ya eneo la mraba lililojengwa kwenye hypotenuse ni sawa na jumla ya nusu ya maeneo ya mraba yaliyojengwa kwenye miguu, na kisha maeneo ya viwanja vikubwa na viwili ni sawa.

Fikiria kuchora upande wa kushoto. Juu yake, tuliunda viwanja pande za pembetatu iliyo na kulia na kuchora ray kutoka kwa vertex ya pembe ya kulia C sawa na hypotenuse AB, inakata mraba wa ABIK, uliojengwa juu ya hypotenuse, kuwa mstatili mbili - BHJI na HAKJ, mtawaliwa. Inageuka kuwa maeneo ya mstatili haya ni sawa kabisa na maeneo ya mraba yaliyojengwa kwenye miguu inayofanana.

Wacha tujaribu kudhibitisha kuwa eneo la mraba DECA ni sawa na eneo la mstatili AHJK Kwa hili tunatumia uchunguzi msaidizi: Eneo la pembetatu lenye urefu sawa na msingi kama mstatili huu ni sawa hadi nusu ya eneo la mstatili uliopewa. Hii ni matokeo ya ufafanuzi wa eneo la pembetatu kama nusu ya bidhaa ya msingi na urefu. Kutoka kwa uchunguzi huu inafuata kwamba eneo la pembetatu ACK ni sawa na eneo la pembetatu AHK (haijaonyeshwa kwenye takwimu), ambayo, ambayo, ni sawa na nusu ya eneo la mstatili AHJK .

Wacha tuhakikishe kwamba eneo la pembetatu ACK pia ni sawa na nusu ya eneo la mraba DECA. Kitu pekee ambacho kinahitajika kufanywa kwa hii ni kudhibitisha usawa wa pembetatu ACK na BDA (kwani eneo la pembetatu BDA ni sawa na nusu ya eneo la mraba kulingana na mali hapo juu). Usawa ni dhahiri: pembetatu ni sawa kwa pande mbili na pembe kati yao. Yaani - AB = AK, AD = AC - usawa wa pembe CAK na BAD ni rahisi kudhibitishwa na njia ya mwendo: tunazungusha pembetatu CAK 90 ° kinyume na saa, basi ni dhahiri kuwa pande zinazofanana za pembetatu mbili chini kuzingatia kutafanana (kwani pembe kwenye kilele cha mraba ni 90 °).

Hoja juu ya usawa wa maeneo ya mraba wa BCFG na mstatili BHJI ni sawa kabisa.

Kwa hivyo, tumethibitisha kuwa eneo la mraba lililojengwa kwenye hypotenuse ni jumla ya maeneo ya mraba yaliyojengwa kwenye miguu. Wazo nyuma ya uthibitisho huu linaonyeshwa zaidi na uhuishaji hapo juu.

Uthibitisho wa Leonardo da Vinci

Vitu kuu vya uthibitisho ni ulinganifu na mwendo.

Fikiria kuchora, kama inavyoonekana kutoka kwa ulinganifu, sehemu hiyo inakata mraba kuwa sehemu mbili zinazofanana (tangu pembetatu na ni sawa katika ujenzi).

Kwa kuzungusha digrii 90 kinyume na saa kuzunguka hatua, tunaona kwamba takwimu zenye kivuli na ni sawa.

Sasa ni wazi kuwa eneo la takwimu yenye kivuli ni sawa na jumla ya nusu ya maeneo ya viwanja vidogo (vilivyojengwa kwa miguu) na eneo la pembetatu ya asili. Kwa upande mwingine, ni sawa na nusu ya eneo la mraba mkubwa (uliojengwa kwenye hypotenuse) pamoja na eneo la pembetatu ya asili. Kwa hivyo, nusu ya jumla ya maeneo ya mraba mdogo ni sawa na nusu ya eneo la mraba mkubwa, na kwa hivyo jumla ya maeneo ya mraba yaliyojengwa kwa miguu ni sawa na eneo la mraba kujengwa juu ya hypotenuse.

Uthibitisho wa njia isiyo na kipimo

Uthibitisho ufuatao unaotumia hesabu za kutofautisha mara nyingi huhusishwa na mtaalam mashuhuri wa Kiingereza Hardy, ambaye aliishi katika nusu ya kwanza ya karne ya 20.

Kuangalia mchoro ulioonyeshwa kwenye takwimu na kuona mabadiliko ya upande a, tunaweza kuandika uwiano ufuatao kwa nyongeza ndogo za pande na na a(kutumia kufanana kwa pembetatu):

Kutumia njia ya kutenganisha anuwai, tunapata

Maneno ya jumla ya kubadilisha hypotenuse katika kesi ya nyongeza ya miguu yote miwili

Kuunganisha equation hii na kutumia hali ya awali, tunapata

Kwa hivyo, tunafika kwenye jibu linalohitajika

Kama inavyoonekana kwa urahisi, utegemezi wa quadratic katika fomula ya mwisho unaonekana kwa sababu ya uwiano sawa kati ya pande za pembetatu na nyongeza, wakati jumla inahusiana na michango huru kutoka kwa nyongeza ya miguu tofauti.

Uthibitisho rahisi unaweza kupatikana ikiwa tunafikiria kuwa mmoja wa miguu haupati nyongeza (katika kesi hii, mguu). Halafu kwa ujumuishaji wa ujumuishaji tunapata

Tofauti na ujanibishaji

Maumbo sawa ya kijiometri pande tatu

Ujumla wa pembetatu zinazofanana, eneo la maumbo ya kijani A + B = eneo la bluu C

Nadharia ya Pythagoras kutumia pembetatu sawa za kulia

Ujumla wa nadharia ya Pythagorean ilitengenezwa na Euclid katika kazi yake Mwanzo, kupanua maeneo ya mraba pande kwa maeneo ya maumbo sawa ya kijiometri:

Ikiwa utaunda maumbo ya kijiometri sawa (angalia jiometri ya Euclidean) pande za pembetatu iliyo na pembe ya kulia, basi jumla ya takwimu mbili ndogo itakuwa sawa na eneo la takwimu kubwa.

Wazo kuu la ujumlishaji huu ni kwamba eneo la kielelezo kama hicho ni sawa na mraba wa vipimo vyake vyovyote, na haswa kwa mraba wa urefu wa upande wowote. Kwa hivyo, kwa takwimu sawa na maeneo A, B na C iliyojengwa pande na urefu a, b na c, tuna:

Lakini, kulingana na nadharia ya Pythagorean, a 2 + b 2 = c 2, basi A + B = C.

Kinyume chake, ikiwa tunaweza kudhibitisha hilo A + B = C kwa takwimu tatu zinazofanana za kijiometri bila kutumia nadharia ya Pythagorean, basi tunaweza kudhibitisha nadharia yenyewe, ikienda upande mwingine. Kwa mfano, pembetatu ya kituo cha kuanzia inaweza kutumika tena kama pembetatu C juu ya hypotenuse, na pembetatu mbili sawa za pembe-kulia ( A na B), iliyojengwa kwa pande zingine mbili, ambazo hutengenezwa kama matokeo ya kugawanya pembetatu ya kati na urefu wake. Jumla ya maeneo mawili madogo ya pembetatu basi ni sawa na eneo la tatu, kwa hivyo A + B = C na kufanya uthibitisho uliopita kwa mpangilio wa nyuma, tunapata nadharia ya Pythagorean 2 + b 2 = c 2.

Nadharia ya Cosine

Nadharia ya Pythagorean ni kesi maalum ya nadharia ya jumla ya cosine, ambayo inahusiana na urefu wa pande zote kwenye pembetatu holela:

wapi θ iko pembe kati ya pande a na b.

Ikiwa θ ni digrii 90 basi cos θ = 0 na fomula imerahisishwa kwa nadharia ya kawaida ya Pythagorean.

Pembetatu holela

Kwa kona yoyote iliyochaguliwa ya pembetatu holela na pande a, b, c andika pembetatu ya isosceles kwa njia ambayo pembe sawa kwenye msingi wake θ ni sawa na pembe iliyochaguliwa. Tuseme kwamba pembe iliyochaguliwa θ iko kinyume na upande uliowekwa alama c... Kama matokeo, tulipata ABD ya pembetatu na pembe θ, ambayo iko upande wa kando a na vyama r... Pembetatu ya pili huundwa na pembe θ, ambayo iko kinyume na kando b na vyama na urefu s, kama inavyoonyeshwa kwenye picha. Thabit Ibn Qurrah alisema kuwa pande katika pembetatu hizi zimeunganishwa kama ifuatavyo:

Wakati pembe θ inakaribia π / 2, msingi wa pembetatu ya isosceles hupungua, na pande mbili r na s zinaingiliana kidogo na kidogo. Wakati θ = π / 2, ADB inakuwa pembetatu ya kulia, r + s = c na tunapata nadharia ya awali ya Pythagorean.

Wacha tuchunguze moja ya sababu. Triangle ABC ina pembe sawa na ABD ya pembetatu, lakini kwa mpangilio wa nyuma. (Pembetatu mbili zina pembe ya kawaida kwenye vertex B, zote zina pembe θ na pia zina pembe sawa ya tatu, kulingana na jumla ya pembe za pembetatu.) Kwa hivyo, ABC ni sawa na kielelezo cha ABD cha pembetatu DBA, kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu ya chini. Wacha tuandike uwiano kati ya pande tofauti na karibu na pembe θ,

Mwonekano wa pembetatu nyingine,

Wacha tuzidishe sehemu na tuongeze uwiano huu mbili:

Q.E.D.

Ujumlishaji wa pembetatu holela kupitia vielelezo

Ujumla wa pembetatu holela,
eneo la kijani njama = eneo bluu

Uthibitisho wa thesis kwamba kwenye picha hapo juu

Wacha tujumlishe zaidi kwa pembetatu zisizo za mstatili kwa kutumia vielelezo pande tatu badala ya mraba. (mraba ni kesi maalum.) Takwimu ya juu inaonyesha kuwa kwa pembetatu iliyo na pembe kali, eneo la parallelogram upande mrefu ni sawa na jumla ya vielelezo kwenye pande mbili zingine, mradi tu parallelogram kwenye upande mrefu umejengwa kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu (vipimo vilivyowekwa alama na mishale ni sawa na huamua pande za parallelogram ya chini). Uingizwaji wa viwanja na parallelograms hufanana kabisa na nadharia ya kwanza ya Pythagoras, inaaminika kuwa iliundwa na Pappus wa Alexandria mnamo 4 BK. NS.

Takwimu ya chini inaonyesha maendeleo ya ushahidi. Wacha tuangalie upande wa kushoto wa pembetatu. Parallelogram ya kijani ya kushoto ina eneo sawa na upande wa kushoto wa parallelogram ya bluu kwa sababu wana msingi sawa b na urefu h... Kwa kuongezea, parallelogram ya kijani kibichi ina eneo sawa na parallelogram ya kushoto ya kijani kwenye kielelezo cha juu kwa sababu wana msingi wa kawaida (upande wa kushoto wa juu wa pembetatu) na urefu wa jumla kwa upande huo wa pembetatu. Kuhojiana vile vile kwa upande wa kulia wa pembetatu, tunathibitisha kuwa parallelogram ya chini ina eneo sawa na zile parallelogramu mbili za kijani.

Nambari ngumu

Nadharia ya Pythagorean hutumiwa kupata umbali kati ya nukta mbili kwenye mfumo wa uratibu wa Cartesian, na nadharia hii ni kweli kwa kuratibu zote za kweli: umbali s kati ya alama mbili ( a, b) na ( c, d) sawa

Hakuna shida na fomula ikiwa unatibu nambari ngumu kama veki zilizo na vifaa halisi x + i y = (x, y). ... Kwa mfano, umbali s kati ya 0 + 1 i na 1 + 0 i tunahesabu kama moduli ya vector (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), au

Walakini, kwa shughuli na vector zilizo na kuratibu ngumu, inahitajika kufanya maboresho fulani kwa fomula ya Pythagorean. Umbali kati ya alama na nambari ngumu ( a, b) na ( c, d); a, b, c, na d zote ngumu, tutaunda kwa kutumia maadili kamili. Umbali s kulingana na tofauti ya vector (a − c, b − d) kwa fomu ifuatayo: acha tofauti a − c = p+ i q, wapi p- sehemu halisi ya tofauti, q ni sehemu ya kufikiria, na i = √ (−1). Vivyo hivyo, wacha b − d = r+ i s... Kisha:

nambari tata ya conjugate iko wapi. Kwa mfano, umbali kati ya alama (a, b) = (0, 1) na (c, d) = (i, 0) , tutahesabu tofauti (a − c, b − d) = (−i, 1) na kama matokeo tutapata 0 ikiwa conjugates tata hazitatumiwa. Kwa hivyo, kwa kutumia fomula iliyoboreshwa, tunapata

Moduli hufafanuliwa kama ifuatavyo:

Stereometri

Ujumla muhimu wa nadharia ya Pythagorean kwa nafasi ya pande tatu ni nadharia ya de Gua, iliyopewa jina la J.-P. de Gua: ikiwa tetrahedron ina pembe ya kulia (kama kwenye mchemraba), basi mraba wa eneo la uso uliolala mkabala na pembe ya kulia ni sawa na jumla ya mraba wa maeneo ya nyuso zingine tatu. Hitimisho hili linaweza kufupishwa kama " n nadharia ya nadharia ya Pythagorean ":

Nadharia ya Pythagorean katika nafasi ya pande tatu inaunganisha AD ya diagon na pande tatu.

Ujanibishaji mwingine: nadharia ya Pythagorean inaweza kutumika kwa stereometry kwa fomu ifuatayo. Fikiria parallelepipipiped kama ilivyoonyeshwa kwenye takwimu. Wacha tupate urefu wa diagonal BD na nadharia ya Pythagorean:

ambapo pande hizo tatu huunda pembetatu yenye pembe-kulia. Tunatumia usawa wa BD ya usawa na makali ya wima AB kupata urefu wa AD ya diagonal, kwa hii tunatumia tena nadharia ya Pythagorean:

au, ikiwa kila kitu kimeandikwa kwa usawa mmoja:

Matokeo haya ni usemi wa 3D wa kuamua ukubwa wa vector v(diagonal AD) imeonyeshwa kulingana na vifaa vyake vya kupendeza ( v k) (pande tatu za pande zote mbili):

Usawa huu unaweza kutazamwa kama ujumlishaji wa nadharia ya Pythagorean kwa nafasi ya anuwai. Walakini, matokeo sio kitu zaidi ya utumizi wa mara kwa mara wa nadharia ya Pythagorean kwa mlolongo wa pembetatu zenye pembe-kulia katika ndege za mfululizo.

Nafasi ya Vector

Katika kesi ya mfumo wa orthogonal wa vectors, usawa unashikilia, ambao pia huitwa nadharia ya Pythagorean:

Ikiwa makadirio ya vector kwenye shoka za kuratibu, basi fomula hii inafanana na umbali wa Euclidean - na inamaanisha kuwa urefu wa vector ni sawa na mzizi wa mraba wa jumla ya mraba wa vifaa vyake.

Analog ya usawa huu katika kesi ya mfumo usio na kipimo wa vectors inaitwa usawa wa Parseval.

Jiometri isiyo ya euclidean

Nadharia ya Pythagorean imechukuliwa kutoka kwa axioms ya jiometri ya Euclidean na, kwa kweli, sio halali kwa jiometri isiyo ya Euclidean, kwa njia ambayo imeandikwa hapo juu. (Hiyo ni, nadharia ya Pythagorean inageuka kuwa aina sawa na msimamo wa Euclid wa ulinganifu) Kwa maneno mengine, katika jiometri isiyo ya Euclidean, uwiano kati ya pande za pembetatu lazima uwe katika fomu tofauti na nadharia ya Pythagorean. . Kwa mfano, katika jiometri ya duara, pande zote tatu za pembetatu iliyo na kulia (sema a, b na c), ambayo hupunguza octant (sehemu ya nane) ya uwanja wa kitengo, ina urefu π / 2, ambayo inapingana na nadharia ya Pythagorean, kwa sababu a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Fikiria hapa kesi mbili za jiometri isiyo ya Euclidean - jiometri ya spherical na hyperbolic; katika visa vyote viwili, kama katika nafasi ya Euclidean ya pembetatu wenye pembe-kulia, matokeo ambayo huchukua nafasi ya nadharia ya Pythagorean ifuatavyo kutoka kwa nadharia ya cosine.

Walakini, nadharia ya Pythagorean inabaki halali kwa jiometri ya hyperbolic na elliptic, ikiwa mahitaji ya mstatili wa pembetatu inabadilishwa na hali kwamba jumla ya pembe mbili za pembetatu lazima iwe sawa na ya tatu, sema A+B = C... Kisha uwiano kati ya pande unaonekana kama hii: jumla ya maeneo ya miduara yenye kipenyo a na b sawa na eneo la mduara na kipenyo c.

Jiometri ya spherical

Kwa pembetatu yoyote yenye pembe ya kulia kwenye uwanja wa eneo R(kwa mfano, ikiwa pembe γ kwenye pembetatu ni laini moja kwa moja) na pande a, b, c uhusiano kati ya wahusika utaonekana kama hii:

Usawa huu unaweza kutolewa kama kesi maalum ya nadharia ya spherical cosine, ambayo ni kweli kwa pembetatu zote za duara:

ambapo cosh ni cosine ya hyperbolic. Fomula hii ni kesi maalum ya nadharia ya oksiboli ya hyperbolic, ambayo ni halali kwa pembetatu zote:

iko wapi whose pembe ambayo vertex iko kinyume na kando c.

wapi g ij inaitwa metric tensor. Inaweza kuwa kazi ya msimamo. Nafasi kama hizo zilizopindika ni pamoja na jiometri ya Riemannian kama mfano wa jumla. Uundaji huu pia unafaa kwa nafasi ya Euclidean wakati wa kutumia kuratibu za curvilinear. Kwa mfano, kwa kuratibu polar:

Bidhaa ya Vector

Nadharia ya Pythagorean inaunganisha misemo miwili kwa ukubwa wa bidhaa ya vector. Njia moja ya kufafanua bidhaa ya msalaba inahitaji iwe kutosheleza equation:

fomula hii hutumia bidhaa ya nukta. Upande wa kulia wa equation unaitwa Gram determinant kwa a na b, ambayo ni sawa na eneo la parallelogram iliyoundwa na vectors hizi mbili. Kulingana na mahitaji haya, na vile vile mahitaji ya utaftaji wa bidhaa ya vector kwa vifaa vyake a na b inafuata kwamba, isipokuwa kesi ndogo kutoka nafasi ya 0- na 1-dimensional, bidhaa ya vector inaelezewa tu kwa vipimo vitatu na saba. Tunatumia ufafanuzi wa pembe ndani n-dimensional nafasi:

mali hii ya bidhaa ya vector inatoa thamani yake kwa fomu ifuatayo:

Kupitia kitambulisho cha kimsingi cha trigonometri ya Pythagoras, tunapata aina nyingine ya kurekodi dhamana yake:

Njia mbadala ya kufafanua bidhaa ya msalaba hutumia usemi kwa ukubwa wake. Halafu, tukibishana kwa mpangilio wa nyuma, tunapata unganisho na bidhaa ya nukta:

Angalia pia

Vidokezo (hariri)

1. Mada ya historia: Nadharia ya Pythagoras katika hesabu za Babeli
2. (, Uk. 351) uk. 351
3. (, Juzuu ya 1, uk. 144)
4. Mjadala wa ukweli wa kihistoria umetolewa katika (, p. 351) p. 351
5. Kurt Von Fritz (Aprili 1945). "Ugunduzi wa kutowezekana kwa Hippasus wa Metapontum". Annals ya Hisabati, Mfululizo wa Pili(Annals ya Hisabati) 46 (2): 242–264.
6. Lewis Carroll, "Hadithi yenye Mafundo", M., Mir, 1985, p. 7
7. Hasira aaboe Vipindi kutoka historia ya mapema ya hisabati. - Chama cha Hisabati cha Amerika, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
8. Pendekezo la Pythagorean, na Elisha Scott Loomis
9. Ya Euclid Vipengele: Kitabu cha VI, Pendekezo la VI 31: "Katika pembetatu zenye pembe-kulia takwimu iliyo upande inayotumia pembe ya kulia ni sawa na takwimu zinazofanana na zilizoelezewa sawa kwenye pande zilizo na pembe ya kulia."
10. Lawrence S. Leff kazi iliyotajwa... - Mfululizo wa Elimu wa Barron - P. 326. - ISBN 0764128922
11. Howard whitley anakula§4.8: ... ujumlishaji wa nadharia ya Pythagorean // Wakati mzuri katika hesabu (kabla ya 1650). - Chama cha Hisabati cha Amerika, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
12. Tâbit ibn Qorra (jina kamili Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 BK) alikuwa daktari anayeishi Baghdad ambaye aliandika sana juu ya Vipengele vya Euclid na masomo mengine ya hisabati.
13. Aydin Sayili (Machi 1960). Ujumbe wa "Thâbit ibn Qurra" ya nadharia ya Pythagorean. " Isis 51 (1): 35-37. DOI: 10.1086 / 348837.
14. Judith D. Sally, Paul Sally Zoezi 2.10 (ii) // Kazi iliyotajwa. - P. 62. - ISBN 0821844032
15. Kwa maelezo ya ujenzi huo, angalia George jennings Kielelezo 1.32: nadharia ya jumla ya Pythagorean // Jiometri ya kisasa na matumizi: na takwimu 150. - 3. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy Bidhaa C: Norm kwa kiholela n-tuple ... // Utangulizi wa uchambuzi. - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 Ona pia ukurasa wa 47-50.
17. Alfred Grey, Elsa Abbena, Simon Salamon Jiometri ya kisasa ya curves na nyuso zilizo na Mathematica. - 3. - CRC Press, 2006 - P. 194. - ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatia Uchambuzi wa tumbo. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
19. Stephen W. Hawking kazi iliyotajwa... - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
20. Eric W. Weisstein Ensaiklopidia fupi ya hesabu ya CRC. - 2. - 2003. - P. 2147. - ISBN 1584883472
21. Alexander R. Pruss

Kwa jambo moja, unaweza kuwa na uhakika kwa asilimia mia moja kwamba ukiulizwa mraba wa hypotenuse ni nini, mtu mzima yeyote atajibu kwa ujasiri: "Jumla ya mraba wa miguu." Nadharia hii imejikita katika akili za kila mtu aliyeelimika, lakini inatosha kumwuliza mtu athibitishe, na kisha shida zinaweza kutokea. Kwa hivyo, hebu tukumbuke na kuzingatia njia tofauti za kudhibitisha nadharia ya Pythagorean.

Maelezo mafupi ya wasifu

Nadharia ya Pythagorean inajulikana kwa karibu kila mtu, lakini kwa sababu fulani wasifu wa mtu aliyemzaa sio maarufu sana. Hii inaweza kutengenezwa. Kwa hivyo, kabla ya kusoma njia tofauti za kudhibitisha nadharia ya Pythagorean, unahitaji kufahamiana kwa muda mfupi na utu wake.

Pythagoras ni mwanafalsafa, mtaalam wa hesabu, mfikiriaji kutoka Leo ni ngumu sana kutofautisha wasifu wake kutoka kwa hadithi ambazo zimeunda katika kumbukumbu ya mtu huyu mkubwa. Lakini kama ifuatavyo kutoka kwa maandishi ya wafuasi wake, Pythagoras wa Samos alizaliwa kwenye kisiwa cha Samos. Baba yake alikuwa mkataji wa mawe wa kawaida, lakini mama yake alitoka kwa familia mashuhuri.

Kulingana na hadithi, kuzaliwa kwa Pythagoras kulitabiriwa na mwanamke aliyeitwa Pythia, ambaye kwa heshima hiyo kijana huyo aliitwa. Kulingana na utabiri wake, mvulana aliyezaliwa alipaswa kuleta faida nyingi na wema kwa wanadamu. Ambayo alifanya kweli.

Kuzaliwa kwa nadharia

Katika ujana wake, Pythagoras alihamia Misri kukutana na wahenga maarufu wa Misri huko. Baada ya kukutana nao, alilazwa kusoma, ambapo alijifunza mafanikio yote makubwa ya falsafa ya Misri, hisabati na tiba.

Labda, ilikuwa huko Misri kwamba Pythagoras aliongozwa na ukuu na uzuri wa piramidi na akaunda nadharia yake kuu. Hii inaweza kushtua wasomaji, lakini wanahistoria wa kisasa wanaamini kuwa Pythagoras hakuthibitisha nadharia yake. Alipitisha tu maarifa yake kwa wafuasi wake, ambao baadaye walimaliza mahesabu yote muhimu ya hesabu.

Iwe hivyo, leo hakuna njia moja ya kudhibitisha nadharia hii inajulikana, lakini kadhaa mara moja. Leo, inabaki tu kudhani jinsi Wagiriki wa zamani walifanya mahesabu yao, kwa hivyo hapa tutazingatia njia tofauti za kudhibitisha nadharia ya Pythagorean.

Nadharia ya Pythagorean

Kabla ya kuanza mahesabu yoyote, unahitaji kujua ni nadharia gani ithibitishwe. Nadharia ya Pythagorean inasoma hivi: "Katika pembetatu, ambayo moja ya pembe ni 90 °, jumla ya mraba wa miguu ni sawa na mraba wa hypotenuse."

Kwa jumla, kuna njia 15 tofauti za kudhibitisha nadharia ya Pythagorean. Hii ni takwimu kubwa sana, kwa hivyo wacha tuangalie maarufu zaidi.

Njia ya kwanza

Kwanza, wacha tuainishe kile tunachopewa. Takwimu hizi pia zitatumika kwa njia zingine za kudhibitisha nadharia ya Pythagorean, kwa hivyo unapaswa kumbuka mara moja maandishi yote yanayopatikana.

Tuseme pembetatu yenye pembe-kulia imepewa, na miguu a, b na hypotenuse sawa na c. Njia ya kwanza ya uthibitisho inategemea ukweli kwamba mraba lazima ichukuliwe kutoka pembetatu ya pembe-kulia.

Ili kufanya hivyo, unahitaji kuteka sehemu sawa na mguu b kwa mguu wa urefu a, na kinyume chake. Hii inapaswa kuunda pande mbili sawa za mraba. Inabaki tu kuteka mistari miwili inayofanana, na mraba uko tayari.

Ndani ya takwimu inayosababisha, unahitaji kuteka mraba mwingine na upande sawa na hypotenuse ya pembetatu ya asili. Ili kufanya hivyo, kutoka kwa vipeo ac na sv, unahitaji kuteka sehemu mbili zinazofanana sawa na c. Kwa hivyo, tunapata pande tatu za mraba, moja ambayo ni hypotenuse ya pembetatu ya asili iliyo na kulia. Inabaki kumaliza tu sehemu ya nne.

Kulingana na takwimu iliyosababishwa, tunaweza kuhitimisha kuwa eneo la mraba wa nje ni (a + b) 2. Ukiangalia ndani ya takwimu, unaweza kuona kuwa pamoja na mraba wa ndani, ina pembetatu zenye pembe tatu za kulia. Eneo la kila mmoja ni sawa na 0.5 av.

Kwa hivyo, eneo hilo ni sawa na: 4 * 0.5av + s 2 = 2av + s 2

Kwa hivyo (a + b) 2 = 2ab + c 2

Na kwa hivyo c 2 = a 2 + b 2

Nadharia imethibitishwa.

Njia ya pili: pembetatu sawa

Fomula hii ya uthibitisho wa nadharia ya Pythagorean ilitolewa kwa msingi wa taarifa kutoka kwa sehemu ya jiometri juu ya pembetatu kama hizo. Inasema kwamba mguu wa pembetatu iliyo na pembe ya kulia ni wastani wa kadiri ya hypotenuse yake na sehemu ya hypotenuse inayotokana na vertex ya angle ya 90 °.

Takwimu za awali zinabaki zile zile, kwa hivyo wacha tuanze mara moja na uthibitisho. Wacha tuvute sehemu ya SD kwa upande wa AB. Kulingana na taarifa hapo juu, miguu ya pembetatu ni:

AC = √AB * Kuzimu, SV = √AB * DV.

Ili kujibu swali la jinsi ya kudhibitisha nadharia ya Pythagorean, uthibitisho lazima ukamilishwe kwa kubagua usawa wote wawili.

AC 2 = AB * HELL na SV 2 = AB * DV

Sasa unahitaji kuongeza usawa unaosababishwa.

AC 2 + SV 2 = AB * (HELL * DV), ambapo HELL + DV = AB

Inageuka kuwa:

AC 2 + SV 2 = AB * AB

Na kwa hivyo:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Uthibitisho wa nadharia ya Pythagorean na njia anuwai za kuisuluhisha zinahitaji njia inayofaa ya shida hii. Walakini, chaguo hili ni moja wapo ya rahisi zaidi.

Mbinu nyingine ya hesabu

Maelezo ya njia tofauti za kudhibitisha nadharia ya Pythagorean haiwezi kusema chochote, mpaka uanze kufanya mazoezi peke yako. Mbinu nyingi hazipei tu mahesabu ya hisabati, bali pia ujenzi wa takwimu mpya kutoka pembetatu ya asili.

Katika kesi hii, inahitajika kukamilisha pembetatu nyingine ya angled ya kulia ya VSD kutoka mguu wa BC. Kwa hivyo, sasa kuna pembetatu mbili zilizo na mguu wa kawaida BC.

Kujua kuwa maeneo ya takwimu kama hizi yana uwiano kama mraba wa vipimo vyao sawa, basi:

S avd * s 2 - S avd * a 2 = S avd * a 2 - S awd * a 2

S abc * (s 2 -v 2) = 2 * (S abd -S vd)

s 2 -w 2 = a 2

c 2 = a 2 + b 2

Kwa kuwa chaguo hili haliwezekani kutoka kwa njia tofauti za kudhibitisha nadharia ya Pythagorean kwa daraja la 8, unaweza kutumia mbinu ifuatayo.

Njia rahisi kabisa ya kudhibitisha nadharia ya Pythagorean. Mapitio

Wanahistoria wanaamini kwamba njia hii ilitumika kwanza kuthibitisha nadharia huko Ugiriki ya zamani. Ni moja rahisi, kwani haiitaji mahesabu yoyote. Ikiwa unachora takwimu kwa usahihi, basi uthibitisho wa taarifa kwamba 2 + katika 2 = c 2 itaonekana wazi.

Masharti ya njia hii yatakuwa tofauti kidogo na ile ya awali. Ili kudhibitisha nadharia, tuseme kuwa pembetatu yenye pembe-kulia ABC ni isosceles.

Tunachukua hypotenuse ya AC kama upande wa mraba na kugawanya pande zake tatu. Kwa kuongeza, ni muhimu kuteka mistari miwili ya diagonal kwenye mraba unaosababisha. Ili ndani yake kuna pembetatu za isosceles.

Unahitaji pia kuchora mraba kwa miguu AB na CB na chora mstari mmoja wa diagonal katika kila moja yao. Mstari wa kwanza umetolewa kutoka kwa vertex A, ya pili kutoka kwa C.

Sasa unahitaji kuangalia kwa karibu kuchora inayosababisha. Kwa kuwa kuna pembetatu nne sawa na ile ya asili kwenye hypotenuse ya AC, na mbili kwa miguu, hii inaonyesha ukweli wa nadharia hii.

Kwa njia, shukrani kwa njia hii ya kudhibitisha nadharia ya Pythagorean, kifungu maarufu kilizaliwa: "Suruali ya Pythagorean ni sawa kwa pande zote."

Uthibitisho wa J. Garfield

James Garfield ni Rais wa 20 wa Merika. Mbali na kuacha alama yake kwenye historia kama mtawala wa Merika, pia alikuwa mtu mwenye talanta ya kujifundisha.

Mwanzoni mwa kazi yake, alikuwa mwalimu wa kawaida katika shule ya watu, lakini hivi karibuni alikua mkurugenzi wa moja ya taasisi za juu za elimu. Tamaa ya maendeleo ya kibinafsi ilimruhusu kupendekeza nadharia mpya ya kudhibitisha nadharia ya Pythagorean. Nadharia na mfano wa suluhisho lake ni kama ifuatavyo.

Kwanza, unahitaji kuteka pembetatu za pembe-kulia kwenye karatasi kwa njia ambayo mguu wa mmoja wao ni mwendelezo wa pili. Vipeo vya pembetatu hizi vinahitaji kushikamana na hatimaye kuunda trapezoid.

Kama unavyojua, eneo la trapezoid ni sawa na bidhaa ya nusu-jumla ya besi zake na urefu.

S = a + b / 2 * (a + b)

Ikiwa tutazingatia trapezoid inayosababishwa kama takwimu iliyo na pembetatu tatu, basi eneo lake linaweza kupatikana kama ifuatavyo:

S = av / 2 * 2 + s 2/2

Sasa unahitaji kusawazisha misemo miwili ya asili

2av / 2 + s / 2 = (a + b) 2/2

c 2 = a 2 + b 2

Zaidi ya juzuu moja ya kitabu cha maandishi inaweza kuandikwa juu ya nadharia ya Pythagorean na njia za uthibitisho wake. Lakini je! Ina mantiki wakati ujuzi huu hauwezi kutumika kwa vitendo?

Matumizi ya vitendo ya nadharia ya Pythagorean

Kwa bahati mbaya, mitaala ya kisasa ya shule hutoa matumizi ya nadharia hii tu katika shida za kijiometri. Wahitimu wataacha kuta za shule hivi karibuni bila kujua ni vipi wanaweza kutumia maarifa na ujuzi wao katika mazoezi.

Kwa kweli, kila mtu anaweza kutumia nadharia ya Pythagorean katika maisha yao ya kila siku. Na sio tu katika shughuli za kitaalam, lakini pia katika kazi za kawaida za nyumbani. Wacha tuchunguze kesi kadhaa wakati nadharia ya Pythagorean na njia za uthibitisho wake zinaweza kuwa muhimu sana.

Uunganisho kati ya nadharia na unajimu

Inaonekana jinsi nyota na pembetatu zinaweza kushikamana kwenye karatasi. Kwa kweli, unajimu ni uwanja wa kisayansi ambao nadharia ya Pythagorean hutumiwa sana.

Kwa mfano, fikiria mwendo wa boriti nyepesi angani. Inajulikana kuwa mwanga hutembea kwa pande zote mbili kwa kasi sawa. Trajectory AB, ambayo boriti nyepesi inasonga, inaitwa l. Na nusu ya wakati inachukua kwa nuru kupata kutoka hatua A hadi hatua B, wacha tupige simu t... Na kasi ya boriti - c. Inageuka kuwa: c * t = l

Ukiangalia mwangaza huu kutoka kwa ndege nyingine, kwa mfano, kutoka kwenye mjengo wa nafasi, ambao huenda kwa kasi ya v, basi kwa uchunguzi kama huo wa miili, kasi yao itabadilika. Katika kesi hii, hata vitu vilivyosimama vitaanza kusonga kwa kasi v kwa mwelekeo mwingine.

Wacha tuseme mjengo wa vichekesho unasafiri kwenda kulia. Kisha alama A na B, kati ya ambayo ray imetupwa, itaenda kushoto. Kwa kuongezea, wakati boriti inahama kutoka hatua A hadi hatua B, nambari A ina wakati wa kusonga na, ipasavyo, taa tayari itafika katika hatua mpya C. Ili kupata nusu ya umbali ambao hatua A imehama, unahitaji kuzidisha kasi ya mjengo na nusu wakati wa kusafiri wa boriti (t ").

Na ili kupata umbali gani miale ya taa inaweza kusafiri wakati huu, unahitaji kuteua nusu ya njia na herufi mpya na upate usemi ufuatao:

Ikiwa tunafikiria kuwa alama za taa C na B, pamoja na mjengo wa nafasi, ni wima ya pembetatu ya isosceles, basi sehemu kutoka kwa nambari A hadi mjengo itaigawanya katika pembetatu za pembe-kulia. Kwa hivyo, kwa sababu ya nadharia ya Pythagorean, unaweza kupata umbali ambao miale ya taa inaweza kusafiri.

Mfano huu, kwa kweli, sio bora zaidi, kwani ni wachache tu wanaoweza kuwa na bahati ya kujaribu katika mazoezi. Kwa hivyo, tutazingatia matumizi ya kawaida ya nadharia hii.

Radi ya usambazaji wa ishara ya rununu

Maisha ya kisasa tayari hayawezekani kufikiria bila uwepo wa simu mahiri. Lakini je! Zingekuwa na matumizi mengi ikiwa hangeweza kuunganisha wanaofuatilia kupitia mawasiliano ya rununu?

Ubora wa mawasiliano ya rununu moja kwa moja inategemea urefu ambao antenna ya mwendeshaji wa rununu iko. Ili kuhesabu umbali gani simu inaweza kupokea ishara kutoka kwa mnara wa rununu, unaweza kutumia nadharia ya Pythagorean.

Wacha tuseme unahitaji kupata urefu wa takriban mnara uliosimama ili iweze kueneza ishara ndani ya eneo la kilomita 200.

AB (urefu wa mnara) = x;

Ndege (eneo la usafirishaji wa ishara) = 200 km;

OS (eneo la ulimwengu) = 6380 km;

OB = OA + ABOV = r + x

Kutumia nadharia ya Pythagorean, tunaona kuwa urefu wa chini wa mnara unapaswa kuwa kilomita 2.3.

Nadharia ya Pythagorean katika maisha ya kila siku

Kwa kushangaza, nadharia ya Pythagorean inaweza kuwa na faida hata katika maswala ya kila siku, kama vile kuamua urefu wa WARDROBE, kwa mfano. Kwa mtazamo wa kwanza, hakuna haja ya kutumia mahesabu magumu kama hayo, kwa sababu unaweza kuchukua vipimo na kipimo cha mkanda. Lakini wengi wanashangaa kwanini shida zingine zinaibuka wakati wa mchakato wa mkutano, ikiwa vipimo vyote vilichukuliwa zaidi ya usahihi.

Ukweli ni kwamba WARDROBE imekusanyika katika nafasi ya usawa na kisha tu huinuka na imewekwa dhidi ya ukuta. Kwa hivyo, upande wa baraza la mawaziri katika mchakato wa kuinua muundo unapaswa kupita kwa uhuru kwa urefu na diagonally ya chumba.

Tuseme una WARDROBE yenye kina cha 800 mm. Umbali kutoka sakafu hadi dari ni 2600 mm. Mtengenezaji mwenye ujuzi atakuambia kuwa urefu wa baraza la mawaziri unapaswa kuwa chini ya mm 126 kuliko urefu wa chumba. Lakini kwanini haswa mm 126? Wacha tuangalie mfano.

Na vipimo bora vya baraza la mawaziri, tunaangalia hatua ya nadharia ya Pythagorean:

AC = -AB 2 + -BBC 2

AC = -2474 2 +800 2 = 2600 mm - kila kitu kinaungana.

Wacha tuseme urefu wa baraza la mawaziri sio 2474 mm, lakini 2505 mm. Kisha:

AC = -2505 2 + - 800 2 = 2629 mm.

Kwa hivyo, baraza hili la mawaziri halifaa kwa usanikishaji kwenye chumba hiki. Kwa kuwa kuinua kwa wima kunaweza kuharibu mwili wake.

Labda, kwa kuzingatia njia tofauti za kudhibitisha nadharia ya Pythagorean na wanasayansi tofauti, tunaweza kuhitimisha kuwa ni zaidi ya kweli. Sasa unaweza kutumia habari uliyopokea katika maisha yako ya kila siku na uhakikishe kabisa kuwa mahesabu yote hayatakuwa ya manufaa tu, bali pia ni sahihi.

Uthibitisho wa uhuishaji wa nadharia ya Pythagorean ni moja ya msingi nadharia za jiometri ya Euclidean, ikianzisha uhusiano kati ya pande za pembetatu yenye pembe-kulia. Inaaminika kuwa ilithibitishwa na mtaalam wa hesabu wa Uigiriki Pythagoras, ambaye jina lake lilipewa jina (kuna matoleo mengine, haswa, maoni mbadala kwamba nadharia hii kwa jumla iliundwa na mtaalam wa hesabu wa Pythagorean Hippasus).
Theorem inasema:

Katika pembetatu iliyo na pembe ya kulia, eneo la mraba lililojengwa kwenye hypotenuse ni sawa na jumla ya maeneo ya mraba yaliyojengwa kwenye miguu.

Kuashiria urefu wa dhana ya pembetatu c, na urefu wa miguu kama a na b, tunapata fomula ifuatayo:

Kwa hivyo, nadharia ya Pythagorean huanzisha uhusiano ambao hukuruhusu kuamua upande wa pembetatu ya kulia, ukijua urefu wa zile zingine mbili. Nadharia ya Pythagorean ni kesi maalum ya nadharia ya cosine, ambayo huamua uwiano kati ya pande za pembetatu holela.
Taarifa ya mazungumzo pia imethibitishwa (pia inaitwa nadharia ya Pythagorean inverse):

Kwa nambari yoyote chanya tatu, b na c kama hiyo? + b? = c?, kuna pembetatu yenye pembe-kulia na miguu a na b na hypotenuse c.

Ushahidi wa kuona wa pembetatu (3, 4, 5) kutoka kitabu "Chu Pei" 500-200 KK. Historia ya nadharia inaweza kugawanywa katika sehemu nne: maarifa juu ya nambari za Pythagorean, maarifa juu ya uwiano wa pande kwenye pembetatu ya kulia, maarifa juu ya uwiano wa pembe zilizo karibu, na uthibitisho wa nadharia hiyo.
Miundo ya Megalithic karibu 2500 KK huko Misri na Ulaya ya Kaskazini, zina pembetatu zenye pembe-kulia na pande za nambari. Bartel Leendert van der Waerden alidhani kwamba wakati huo nambari za Pythagorean zilipatikana kwa hesabu.
Imeandikwa kati ya 2000 na 1876 KK papyrus ya ufalme wa kati wa Misri Berlin 6619 ina shida ambayo suluhisho ni nambari za Pythagorean.
Wakati wa utawala wa Hammurabi Mkuu, kibao cha Babeli Plimptoni 322, iliyoandikwa kati ya 1790 na 1750 KK ina maandishi mengi yanayohusiana sana na nambari za Pythagoras.
Katika Budhayana sutras, ambayo ni ya tarehe kulingana na matoleo anuwai hadi karne ya nane au ya pili KK. nchini India, ina idadi ya Pythagorean inayotokana na kimahesabu, uundaji wa nadharia ya Pythagorean, na uthibitisho wa jiometri wa pembetatu ya kulia ya sagittal.
Apastamba sutras (karibu mwaka 600 KK) hutoa uthibitisho wa nambari ya nadharia ya Pythagorean kwa kutumia mahesabu ya eneo. Van der Waerden anaamini kuwa ilitokana na mila ya watangulizi wake. Kulingana na Albert Burko, huu ni uthibitisho wa asili wa nadharia hiyo na anafikiria kuwa Pythagoras alizuru Aracons na kuziiga.
Pythagoras, ambaye miaka ya maisha kawaida huonyeshwa na 569 - 475 KK. hutumia njia za algebra kwa kuhesabu nambari za Pythagorean, kulingana na ufafanuzi wa Proklov juu ya Euclid. Proclus, hata hivyo, aliishi kati ya 410 na 485 A.D. Kulingana na Thomas Giese, hakuna dalili ya uandishi wa nadharia hiyo kwa karne tano baada ya Pythagoras. Walakini, wakati waandishi kama vile Plutarch au Cicero wanasema nadharia hiyo kwa Pythagoras, hufanya hivyo kama uandishi unajulikana sana na hauwezi kukanushwa.
Karibu 400 BC Kulingana na Proclus, Plato alitoa njia ya kuhesabu nambari za Pythagorean, akichanganya algebra na jiometri. Karibu 300 BC, katika Mwanzo Euclid, tuna uthibitisho wa zamani zaidi wa axiomatic, ambao umenusurika hadi leo.
Imeandikwa mahali fulani kati ya 500 KK na 200 KK, kitabu cha hesabu cha Wachina "Chu Pei" (????), kinatoa uthibitisho wa kuona wa nadharia ya Pythagorean, ambayo huko China inaitwa nadharia ya gugu (????), kwa pembetatu iliyo na pande (3 , 4, 5). Wakati wa enzi ya Enzi ya Han, kutoka 202 KK kabla ya 220 BK Nambari za Pythagorean zinaonekana katika Sehemu Sita za Sanaa ya Hisabati, pamoja na kutajwa kwa pembetatu za pembe-kulia.
Matumizi ya nadharia hiyo ilirekodiwa kwa mara ya kwanza nchini China, ambapo inajulikana kama nadharia ya gugu (????), na nchini India, ambapo inajulikana kama nadharia ya Baskar.
Imejadiliwa kuwa nadharia ya Pythagorean iligunduliwa mara moja au mara nyingi. Boyer (1991) anaamini kuwa ujuzi unaopatikana katika Shulba Sutra unaweza kuwa wa asili ya Mesopotamia.
Uthibitisho wa Algebraic
Mraba hutengenezwa kutoka kwa pembetatu nne zenye pembe za kulia. Uthibitisho zaidi ya mia ya nadharia ya Pythagorean hujulikana. Hapa ushahidi unategemea nadharia ya uwepo wa eneo la takwimu:

Weka pembetatu nne zinazofanana za kulia kama inavyoonekana kwenye picha.
Pembetatu na pande c ni mraba, kwani jumla ya pembe mbili za papo hapo, pembe iliyofunuliwa ni.
Eneo la takwimu nzima, kwa upande mmoja, eneo la mraba na upande "a + b", na kwa upande mwingine, jumla ya maeneo ya pembetatu nne na mraba wa ndani.

Ambayo ndiyo inahitaji kudhibitishwa.
Kwa kufanana kwa pembetatu
Kutumia pembetatu sawa. Hebu iwe ABC Je! Ni pembetatu yenye pembe-kulia ambayo pembe C sawa kama inavyoonyeshwa kwenye mfano. Wacha tuvute urefu kutoka kwa uhakika C, na tupige simu H sehemu ya makutano ya upande AB. Pembetatu huundwa ACH kama pembetatu ABC, kwa kuwa zote ni za mstatili (kwa ufafanuzi wa urefu) na zinashiriki pembe ya kawaida A, ni wazi pembe ya tatu itakuwa sawa katika pembetatu hizi pia. Vile vile mirkuyuchy, pembetatu CBH pia kama pembetatu ABC. Kutoka kwa kufanana kwa pembetatu: Ikiwa

Hii inaweza kuandikwa kama

Ikiwa tunaongeza usawa hizi mbili, tunapata

HB + c mara AH = c mara (HB + AH) = c ^ 2 ,! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Kwa maneno mengine, nadharia ya Pythagorean:

Uthibitisho wa Euclid
Uthibitisho wa Euclid katika "Kanuni" za Euclidean, nadharia ya Pythagorean inathibitishwa na njia ya parallelograms. Hebu iwe A, B, C vipeo vya pembetatu iliyo na pembe ya kulia, pembe-kulia A. Tone perpendicular kutoka kwa uhakika A kwa upande ulio kinyume na hypotenuse kwenye mraba uliojengwa kwenye hypotenuse. Mstari huo hugawanya mraba katika mstatili mbili, ambayo kila moja ina eneo sawa na mraba iliyojengwa kwenye miguu. Wazo kuu katika uthibitisho ni kwamba viwanja vya juu hubadilika kuwa vielelezo vya eneo moja, na kisha hurudi na kugeuka kuwa mstatili kwenye mraba wa chini na tena na eneo moja.

Wacha tuvute sehemu CF na AD, tunapata pembetatu BCF na BDA.
Pembe CAB na MFUKO- mistari iliyonyooka; mtiririko huo unaonyesha C, A na G Je, ni collinear. Njia sawa B, A na H.
Pembe CBD na FBA- mistari yote moja kwa moja, halafu pembe ABD sawa na pembe FBC, kwa kuwa zote mbili ni jumla ya pembe ya kulia na pembe ABC.
Pembetatu ABD na FBC kiwango kwa pande zote mbili na kona kati yao.
Tangu vidokezo A, K na L- kola, eneo la mstatili BDLK ni sawa na maeneo mawili ya pembetatu ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
Vivyo hivyo, tunapata CKLE = ACIH = AC 2
Eneo moja la upande CBDE sawa na jumla ya maeneo ya mstatili BDLK na CKLE, na kwa upande mwingine, eneo la mraba BC 2, au AB 2 + AC 2 = BC 2.

Kutumia tofauti
Kutumia tofauti. Nadharia ya Pythagorean inaweza kufikiwa kwa kusoma jinsi faida ya upande inavyoathiri thamani ya hypotenuse kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu upande wa kulia na kutumia hesabu kidogo.
Kama matokeo ya kuongezeka kwa upande a, ya pembetatu sawa na nyongeza ndogo

Kuunganisha tunapata

Kama a= 0 basi c = b, hivyo "mara kwa mara" ni b 2. Basi

Kama unavyoona, mraba hupatikana kwa sababu ya idadi kati ya nyongeza na pande, wakati jumla ni matokeo ya mchango huru wa nyongeza za pande, sio dhahiri kutoka kwa ushahidi wa kijiometri. Katika hesabu hizi da na dc- mtawaliwa, nyongeza ndogo za pande a na c. Lakini badala yao tunatumia? a na? c, basi kikomo cha uwiano, ikiwa huwa na sifuri, ni da / dc, inayotokana, na pia ni sawa na c / a, uwiano wa urefu wa pande za pembetatu, kama matokeo tunapata usawa tofauti.
Katika kesi ya mfumo wa orthogonal wa vectors, usawa unashikilia, ambao pia huitwa nadharia ya Pythagorean:

Ikiwa - Huu ndio makadirio ya vector kwenye shoka za kuratibu, basi fomula hii inafanana na umbali wa Euclidean na inamaanisha kuwa urefu wa vector ni sawa na mzizi wa mraba wa jumla ya mraba wa vifaa vyake.
Analog ya usawa huu katika kesi ya mfumo usio na kipimo wa vectors inaitwa usawa wa Parseval.

Nadharia ya Pythagorean

Uthibitisho

Kwa sasa, uthibitisho 367 wa nadharia hii umerekodiwa katika fasihi ya kisayansi. Labda nadharia ya Pythagorean ndio nadharia pekee iliyo na idadi kubwa ya uthibitisho. Aina hii inaweza kuelezewa tu na maana ya kimsingi ya nadharia kwa jiometri.
Kwa kweli, kwa dhana zote zinaweza kugawanywa katika idadi ndogo ya madarasa. Maarufu zaidi yao: uthibitisho na njia ya eneo hilo, uthibitisho wa axiomatic na wa kigeni (kwa mfano, kutumia hesabu tofauti).

Kupitia pembetatu sawa

Uthibitisho ufuatao wa uundaji wa algebraic ni uthibitisho rahisi zaidi uliojengwa moja kwa moja kutoka kwa axioms. Hasa, haitumii dhana ya eneo la takwimu.
Wacha ABC iwe pembetatu yenye pembe-kulia na pembe ya kulia C. Chora urefu kutoka C na uashiria msingi wake na H. Triangle ACH ni sawa na pembetatu ABC katika pembe mbili.
Vivyo hivyo, pembetatu CBH ni sawa na ABC. Kuanzisha notation

tunapata

Je! Ni nini sawa

Kuongeza, tunapata

au

Maeneo ya uthibitisho

Dhibitisho hapa chini, licha ya unyenyekevu wao dhahiri, sio rahisi sana. Wote hutumia mali ya eneo hilo, ushahidi ambao ni ngumu zaidi kuliko uthibitisho wa nadharia ya Pythagorean yenyewe.

Uthibitisho sawa wa usawa

Ushahidi kupitia kuongeza

Mfano wa moja ya uthibitisho kama huo umeonyeshwa kwenye kuchora upande wa kulia, ambapo mraba uliojengwa kwenye hypotenuse hubadilishwa na ruhusa kuwa viwanja viwili vilivyojengwa kwenye miguu.

Uthibitisho wa Euclid

Uthibitisho wa Leonardo da Vinci

Vitu kuu vya uthibitisho ni ulinganifu na mwendo.

Fikiria kuchora, kama inavyoonekana kutoka kwa ulinganifu, sehemu ya CI inakata mraba ABHJ katika sehemu mbili zinazofanana (kwani pembetatu ABC na JHI ni sawa katika ujenzi). Kutumia mzunguko wa 90 digrii ya saa, tunaona kwamba takwimu zenye kivuli CAJI na GDAB ni sawa. Sasa ni wazi kuwa eneo la kielelezo kilicho na kivuli ni sawa na jumla ya nusu ya maeneo ya mraba yaliyojengwa kwenye miguu na eneo la pembetatu ya asili. Kwa upande mwingine, ni sawa na nusu ya eneo la mraba iliyojengwa kwenye hypotenuse, pamoja na eneo la pembetatu ya asili. Hatua ya mwisho katika uthibitisho imeachwa kwa msomaji.

Uthibitisho unaovutia zaidi wa PYTHAGORUS 'THEOREM

Nadharia ya Pythagorean ni moja wapo ya nadharia za kimsingi za jiometri ya Euclidean, ambayo huanzisha uhusiano kati ya pande za pembetatu iliyo na kona ya kulia. c2 = a2 + b2 Kuna njia nyingi za kudhibitisha nadharia hii, lakini tulichagua ya kupendeza zaidi ..

Kiti cha bibi arusi Katika kielelezo, viwanja vilivyojengwa kwenye miguu vimewekwa katika hatua moja karibu na nyingine. Takwimu hii, ambayo inapatikana katika ushahidi wa mapema karne ya 9 BK. e., Wahindi waliitwa "mwenyekiti wa bibi arusi". Njia ya kujenga mraba na upande sawa na hypotenuse iko wazi kutoka kwa kuchora. Sehemu ya kawaida ya mraba miwili iliyojengwa kwa miguu na mraba uliojengwa kwenye hypotenuse ni pentagon yenye kivuli isiyo ya kawaida 5. Kuunganisha pembetatu 1 na 2 kwake, tunapata mraba wote uliojengwa kwa miguu; ikiwa tutabadilisha pembetatu 1 na 2 na pembetatu sawa 3 na 4, basi tunapata mraba uliojengwa kwenye hypotenuse. Takwimu hapa chini zinaonyesha maeneo mawili tofauti karibu na ile iliyotolewa kwenye takwimu ya kwanza.

Uthibitisho wa mtaalam wa hesabu wa India Bhaskari Fikiria mraba ulioonyeshwa kwenye takwimu. Upande wa mraba ni sawa na b, pembetatu asili 4 na miguu a na c zimewekwa juu kwenye mraba, kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu. Upande wa mraba mdogo katikati ni c - a, basi: b2 = 4 * a * c / 2 + (ca) 2 = = 2 * a * c + c2 - 2 * a * c + a2 = a a + c2

Uthibitisho rahisi zaidi wa nadharia ya Pythagorean. Fikiria mraba ulioonyeshwa kwenye takwimu. Upande wa mraba ni + c. Katika kesi moja (kushoto), mraba umegawanywa katika mraba na upande b na pembetatu nne-angled kulia na miguu a na c. Katika kesi nyingine (upande wa kulia), mraba umegawanywa katika viwanja viwili na pande a na c na pembetatu nne zenye pembe-kulia na miguu a na c. Kwa hivyo, tunaona kuwa eneo la mraba na upande b ni sawa na jumla ya maeneo ya mraba na pande a na c.

Uthibitisho kupitia pembetatu sawa Acha ABC iwe pembetatu yenye pembe-kulia na pembe ya kulia C. Chora urefu kutoka C na ueleze msingi wake na H. Triangle ACH ni sawa na pembetatu ABC katika pembe mbili. Vivyo hivyo, pembetatu CBH ni sawa na ABC. Kuanzisha notation, tunapata kilicho sawa. Kuongeza, tunapata au

Uthibitisho wa Hawkins Hapa kuna uthibitisho mwingine zaidi, ambao ni wa hali ya hesabu, lakini ni tofauti sana na zile zilizotangulia. Ilichapishwa na Mwingereza Hawkins mnamo 1909; ikiwa inajulikana hapo awali ni ngumu kusema. Zungusha pembetatu iliyo na angled ya kulia ABC na pembe ya kulia C kwa 90 ° ili ichukue nafasi "CB". Wacha tuongeze dhana ya A "B" kupita nukta A "hadi itakapokatiza mstari wa AB katika hatua ya D. Sehemu ya B" D itakuwa urefu wa pembetatu B "AB. Fikiria sasa pembe-mraba yenye" ​​A "AB" B. Inaweza kuwa iliyooza katika pembetatu za isosceles CAA "na CBB" (au pembetatu mbili A "B" A na A "B" B). SCAA "= b² / 2 SCBB" = a² / 2 SA "AB" B = (a² + b²) / 2 Pembetatu A "B" A na A "B" B wana msingi wa kawaida c na urefu wa DA na DB, kwa hivyo: SA "AB" B = c * DA / 2 + c * DB / 2 = c (DA + DB ] / 2 = c² / 2 Kulinganisha misemo miwili iliyopatikana ya eneo hilo, tunapata: a b + b ² = c ² Theorem imethibitishwa.

Uthibitisho wa Woldheim Ushuhuda huu ni wa kihesabu. Ili kudhibitisha nadharia kwa kutumia kielelezo cha kwanza, inatosha kuelezea eneo la trapezoid kwa njia mbili. Strapeziums = (a + b) ² / 2 Strapeziums = a²b² + c² / 2 Kulinganisha pande za mkono wa kulia tunazopata: a² + b² = c² Theorem imethibitishwa.