செயல்பாட்டின் உச்சம். ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலை என்றால் என்ன: ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச எக்ஸ்ட்ரீமாவின் முக்கியமான புள்ளிகள் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம்

செயல்பாட்டின் உச்சநிலை புள்ளி என்பது செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தில் உள்ள புள்ளியாகும், இதில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு குறைந்தபட்ச அல்லது அதிகபட்ச மதிப்பை எடுக்கும். இந்த புள்ளிகளில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் செயல்பாட்டின் தீவிர (குறைந்தபட்சம் மற்றும் அதிகபட்சம்) என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

வரையறை. புள்ளி எக்ஸ்1 செயல்பாட்டு களம் f(எக்ஸ்) என்று அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளி , இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு, அதன் வலது மற்றும் இடதுபுறத்தில் அமைந்துள்ள, அதற்கு போதுமான நெருக்கமான புள்ளிகளில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்புகளை விட அதிகமாக இருந்தால் (அதாவது, சமத்துவமின்மை உள்ளது. f(எக்ஸ்0 ) > f(எக்ஸ் 0 + Δ எக்ஸ்) எக்ஸ்1 அதிகபட்சம்.

வரையறை. புள்ளி எக்ஸ்2 செயல்பாட்டு களம் f(எக்ஸ்) என்று அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளி, இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு, அதன் வலது மற்றும் இடதுபுறத்தில் அமைந்துள்ள, அதற்கு போதுமான நெருக்கமான புள்ளிகளில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்புகளை விட குறைவாக இருந்தால் (அதாவது, சமத்துவமின்மை உள்ளது. f(எக்ஸ்0 ) < f(எக்ஸ் 0 + Δ எக்ஸ்) ) இந்த வழக்கில், செயல்பாடு புள்ளியில் இருப்பதாக கூறப்படுகிறது எக்ஸ்2 குறைந்தபட்சம்.

புள்ளி என்று சொல்லலாம் எக்ஸ்1 - செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளி f(எக்ஸ்) . பின்னர் வரை இடைவெளியில் எக்ஸ்1 செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது, எனவே செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக உள்ளது ( f "(எக்ஸ்) > 0 ), மற்றும் பின் இடைவெளியில் எக்ஸ்1 செயல்பாடு குறைகிறது, எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக ( f "(எக்ஸ்) < 0 ). Тогда в точке எக்ஸ்1

புள்ளி என்றும் வைத்துக்கொள்வோம் எக்ஸ்2 - செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளி f(எக்ஸ்) . பின்னர் வரை இடைவெளியில் எக்ஸ்2 செயல்பாடு குறைந்து வருகிறது, மேலும் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக உள்ளது ( f "(எக்ஸ்) < 0 ), а в интервале после எக்ஸ்2 செயல்பாடு அதிகரித்து வருகிறது, மேலும் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக உள்ளது ( f "(எக்ஸ்) > 0 ). இந்த விஷயத்திலும் புள்ளி எக்ஸ்2 செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்யம் அல்லது இல்லை.

ஃபெர்மட்டின் தேற்றம் (ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலை இருப்பதற்கான அவசியமான அடையாளம்). புள்ளி என்றால் எக்ஸ்0 - செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளி f(எக்ஸ்) பின்னர் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் ( f "(எக்ஸ்) = 0 ) அல்லது இல்லை.

வரையறை. ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் அல்லது இல்லாத புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன முக்கியமான புள்ளிகள் .

எடுத்துக்காட்டு 1.செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

புள்ளியில் எக்ஸ்= 0 செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாகும், எனவே புள்ளி எக்ஸ்= 0 என்பது முக்கியமான புள்ளி. இருப்பினும், செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் காணக்கூடியது, இது வரையறையின் முழு டொமைன் முழுவதும் அதிகரிக்கிறது, எனவே புள்ளி எக்ஸ்= 0 என்பது இந்தச் செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளி அல்ல.

எனவே, ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் அல்லது இல்லை என்ற நிபந்தனைகள் ஒரு உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனைகள், ஆனால் போதுமானதாக இல்லை, ஏனெனில் இந்த நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் செயல்பாடுகளின் பிற எடுத்துக்காட்டுகள் கொடுக்கப்படலாம், ஆனால் செயல்பாடு தொடர்புடைய புள்ளியில் ஒரு தீவிரம் இல்லை. அதனால் தான் போதுமான ஆதாரம் இருக்க வேண்டும், ஒரு குறிப்பிட்ட முக்கியமான கட்டத்தில் ஒரு உச்சநிலை இருக்கிறதா மற்றும் அது எந்த வகையான உச்சநிலை - அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம் என்பதை தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது.

தேற்றம் (ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலை இருப்பதற்கான முதல் போதுமான அறிகுறி).முக்கியமான புள்ளி எக்ஸ்0 f(எக்ஸ்) இந்த புள்ளியைக் கடக்கும்போது, ​​​​செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் அடையாளத்தை மாற்றினால், மற்றும் அடையாளம் "பிளஸ்" இலிருந்து "மைனஸ்" ஆக மாறினால், அது அதிகபட்ச புள்ளியாகும், மேலும் "மைனஸ்" இலிருந்து "பிளஸ்" ஆக இருந்தால், பின்னர் இது ஒரு குறைந்தபட்ச புள்ளி.

புள்ளிக்கு அருகில் இருந்தால் எக்ஸ்0 , அதன் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில், வழித்தோன்றல் அதன் அடையாளத்தைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது, இதன் பொருள் புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியில் மட்டுமே செயல்பாடு குறைகிறது அல்லது அதிகரிக்கிறது எக்ஸ்0 . இந்த வழக்கில், புள்ளியில் எக்ஸ்0 தீவிரம் இல்லை.

அதனால், செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகளைத் தீர்மானிக்க, நீங்கள் பின்வருவனவற்றைச் செய்ய வேண்டும் :

1. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.
2. வழித்தோன்றலை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து முக்கியமான புள்ளிகளைத் தீர்மானிக்கவும்.
3. மனரீதியாக அல்லது காகிதத்தில், எண் கோட்டில் முக்கியமான புள்ளிகளைக் குறிக்கவும், அதன் விளைவாக வரும் இடைவெளிகளில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் அறிகுறிகளை தீர்மானிக்கவும். வழித்தோன்றலின் அடையாளம் “பிளஸ்” இலிருந்து “மைனஸ்” ஆக மாறினால், முக்கியமான புள்ளி அதிகபட்ச புள்ளியாகவும், “மைனஸ்” இலிருந்து “பிளஸ்” ஆகவும் இருந்தால், குறைந்தபட்ச புள்ளி.
4. தீவிர புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 2.செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டறிய, வழித்தோன்றலை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம்:

.

"x" இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை என்பதால், நாங்கள் எண்களை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்:

ஒரு முக்கியமான புள்ளி கிடைத்தது எக்ஸ்= 3 இந்த புள்ளியால் பிரிக்கப்பட்ட இடைவெளிகளில் வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தை தீர்மானிப்போம்:

கழித்தல் முடிவிலியிலிருந்து 3 வரையிலான இடைவெளியில் - ஒரு கழித்தல் அடையாளம், அதாவது செயல்பாடு குறைகிறது,

3 முதல் பிளஸ் முடிவிலி வரையிலான இடைவெளியில் ஒரு கூட்டல் அடையாளம் உள்ளது, அதாவது செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது.

அதாவது காலம் எக்ஸ்= 3 என்பது குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும்.

செயல்பாட்டின் மதிப்பை குறைந்தபட்ச புள்ளியில் கண்டுபிடிப்போம்:

இவ்வாறு, செயல்பாட்டின் உச்சநிலை புள்ளி காணப்படுகிறது: (3; 0), மேலும் இது குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும்.

தேற்றம் (ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலை இருப்பதற்கான இரண்டாவது போதுமான அடையாளம்).முக்கியமான புள்ளி எக்ஸ்0 செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளி f(எக்ஸ்) இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால் ( f ""(எக்ஸ்) ≠ 0 ), மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால் ( f ""(எக்ஸ்) > 0 ), பின்னர் அதிகபட்ச புள்ளி, மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருந்தால் ( f ""(எக்ஸ்) < 0 ), то точкой минимума.

குறிப்பு 1. புள்ளியில் இருந்தால் எக்ஸ்0 முதல் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்கள் மறைந்துவிட்டால், இந்த கட்டத்தில் இரண்டாவது போதுமான அளவுகோலின் அடிப்படையில் ஒரு தீவிரத்தின் இருப்பை தீர்மானிக்க முடியாது. இந்த வழக்கில், ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு நீங்கள் முதல் போதுமான அளவுகோலைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

குறிப்பு 2. ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கான இரண்டாவது போதுமான அளவுகோல், முதல் வழித்தோன்றல் ஒரு நிலையான புள்ளியில் இல்லாதபோதும் பொருந்தாது (பின்னர் இரண்டாவது வழித்தோன்றலும் இல்லை). இந்த வழக்கில், ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிரத்தின் முதல் போதுமான அடையாளத்தையும் நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும்.

செயல்பாட்டின் தீவிரத்தின் உள்ளூர் இயல்பு

மேலே உள்ள வரையறைகளிலிருந்து, ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையானது உள்ளூர் இயல்புடையது - இது அருகிலுள்ள மதிப்புகளுடன் ஒப்பிடும்போது செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பாகும்.

ஒரு வருடத்தில் உங்கள் வருவாயைப் பார்க்கிறீர்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். மே மாதத்தில் நீங்கள் 45,000 ரூபிள் சம்பாதித்திருந்தால், ஏப்ரல் மாதத்தில் 42,000 ரூபிள் மற்றும் ஜூன் மாதத்தில் 39,000 ரூபிள் சம்பாதித்திருந்தால், அருகிலுள்ள மதிப்புகளுடன் ஒப்பிடும்போது மே வருவாய் அதிகபட்ச வருவாய் செயல்பாடு ஆகும். ஆனால் அக்டோபரில் நீங்கள் 71,000 ரூபிள், செப்டம்பரில் 75,000 ரூபிள் மற்றும் நவம்பர் மாதம் 74,000 ரூபிள் சம்பாதித்தீர்கள், எனவே அக்டோபர் வருவாய் அருகிலுள்ள மதிப்புகளுடன் ஒப்பிடும்போது குறைந்தபட்ச வருவாய் செயல்பாடு ஆகும். ஏப்ரல்-மே-ஜூன் மதிப்புகளில் அதிகபட்சம் செப்டம்பர்-அக்டோபர்-நவம்பர் மாதங்களின் குறைந்தபட்ச மதிப்பை விட குறைவாக இருப்பதை நீங்கள் எளிதாகக் காணலாம்.

பொதுவாக, ஒரு இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாடு பல தீவிரங்களைக் கொண்டிருக்கலாம், மேலும் சில குறைந்தபட்ச செயல்பாடு எந்த அதிகபட்சத்தையும் விட அதிகமாக இருக்கும். எனவே, மேலே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள செயல்பாட்டிற்கு, .

அதாவது, ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் முறையே, பரிசீலனையில் உள்ள முழு பிரிவிலும் அதன் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகள் என்று ஒருவர் நினைக்கக்கூடாது. அதிகபட்ச புள்ளியில், செயல்பாடு அனைத்து புள்ளிகளிலும் அதிகபட்ச புள்ளிக்கு நெருக்கமாக இருக்கும் அந்த மதிப்புகளுடன் ஒப்பிடுகையில் மட்டுமே மிகப்பெரிய மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் குறைந்தபட்ச புள்ளியில் அந்த மதிப்புகளுடன் ஒப்பிடுகையில் மட்டுமே சிறிய மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது. அது அனைத்து புள்ளிகளிலும் குறைந்தபட்ச புள்ளிக்கு போதுமான அளவு நெருக்கமாக உள்ளது.

எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலை புள்ளிகளின் மேற்கூறிய கருத்தை நாம் தெளிவுபடுத்தலாம் மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளை உள்ளூர் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளிகள் உள்ளூர் அதிகபட்ச புள்ளிகள் என்று அழைக்கலாம்.

நாங்கள் ஒன்றாக செயல்பாட்டின் தீவிரத்தை தேடுகிறோம்

எடுத்துக்காட்டு 3.

தீர்வு: செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு முழு எண் கோட்டிலும் தொடர்கிறது. அதன் வழித்தோன்றல் முழு எண் கோட்டிலும் உள்ளது. எனவே, இந்த விஷயத்தில், முக்கியமான புள்ளிகள் மட்டுமே உள்ளன, அதாவது. , எங்கிருந்து மற்றும் . முக்கியமான புள்ளிகள் மற்றும் செயல்பாட்டின் வரையறையின் முழு டொமைனையும் மோனோடோனிசிட்டியின் மூன்று இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கவும்: . ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு கட்டுப்பாட்டுப் புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுத்து, இந்த கட்டத்தில் வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.

இடைவெளிக்கு, கட்டுப்பாட்டு புள்ளி இருக்க முடியும்: கண்டுபிடி. இடைவெளியில் ஒரு புள்ளியை எடுத்துக் கொண்டால், நாம் பெறுகிறோம், இடைவெளியில் ஒரு புள்ளியை எடுத்துக்கொள்கிறோம். எனவே, இடைவெளிகளில் மற்றும் , மற்றும் இடைவெளியில் . ஒரு உச்சநிலைக்கான முதல் போதுமான அளவுகோலின்படி, புள்ளியில் உச்சநிலை இல்லை (வழித்தோன்றல் இடைவெளியில் அதன் அடையாளத்தைத் தக்கவைத்துக்கொள்வதால்), மற்றும் புள்ளியில் செயல்பாடு குறைந்தபட்சம் (வழித்தோன்றல் மாற்றங்களின் அடையாளம் கடந்து செல்லும் போது மைனஸிலிருந்து பிளஸ் வரை) இந்த புள்ளி மூலம்). செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்: , a . இடைவெளியில் செயல்பாடு குறைகிறது, ஏனெனில் இந்த இடைவெளியில் , மற்றும் இடைவெளியில் அது அதிகரிக்கிறது, ஏனெனில் இந்த இடைவெளியில் .

வரைபடத்தின் கட்டுமானத்தை தெளிவுபடுத்த, ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் அதை வெட்டும் புள்ளிகளைக் காண்கிறோம். நாம் ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறும்போது, ​​அதன் வேர்கள் மற்றும், அதாவது, செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் இரண்டு புள்ளிகள் (0; 0) மற்றும் (4; 0) கண்டறியப்பட்டது. பெறப்பட்ட அனைத்து தகவல்களையும் பயன்படுத்தி, நாங்கள் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குகிறோம் (எடுத்துக்காட்டின் தொடக்கத்தைப் பார்க்கவும்).

கணக்கீடுகளின் போது சுய சரிபார்ப்புக்கு, நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் வழித்தோன்றல் கால்குலேட்டர் .

எடுத்துக்காட்டு 4.செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறிந்து அதன் வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் என்பது புள்ளியைத் தவிர, முழு எண் கோட்டாகும், அதாவது. .

ஆய்வைக் குறைக்க, இந்த செயல்பாடு சமமாக உள்ளது என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தலாம் . எனவே, அதன் வரைபடம் அச்சைப் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது ஓமற்றும் படிப்பை இடைவெளிக்கு மட்டுமே செய்ய முடியும்.

வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல் மற்றும் செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளிகள்:

1) ;

2) ,

ஆனால் செயல்பாடு இந்த கட்டத்தில் ஒரு இடைநிறுத்தத்தை பாதிக்கிறது, எனவே அது ஒரு தீவிர புள்ளியாக இருக்க முடியாது.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு இரண்டு முக்கியமான புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது: மற்றும் . செயல்பாட்டின் சமநிலையை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, ஒரு தீவிரத்திற்கான இரண்டாவது போதுமான அளவுகோலைப் பயன்படுத்தி புள்ளியை மட்டும் சரிபார்ப்போம். இதைச் செய்ய, இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம் மற்றும் அதன் அடையாளத்தை இதில் தீர்மானிக்கவும்: நாம் பெறுகிறோம் . இருந்து மற்றும் , இது செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளி, மற்றும் .

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் முழுமையான படத்தைப் பெற, வரையறையின் டொமைனின் எல்லையில் அதன் நடத்தையைக் கண்டுபிடிப்போம்:

(இங்கே சின்னம் ஆசையைக் குறிக்கிறது எக்ஸ்வலதுபுறத்தில் இருந்து பூஜ்ஜியத்திற்கு, மற்றும் எக்ஸ்நேர்மறையாக உள்ளது; அதே போல ஆசை என்று பொருள் எக்ஸ்இடமிருந்து பூஜ்ஜியத்திற்கு, மற்றும் எக்ஸ்எதிர்மறையாக உள்ளது). எனவே, என்றால், பின்னர் . அடுத்து, நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

,

அந்த. என்றால் , பிறகு .

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் அச்சுகளுடன் வெட்டுப்புள்ளிகள் இல்லை. படம் எடுத்துக்காட்டின் தொடக்கத்தில் உள்ளது.

கணக்கீடுகளின் போது சுய சரிபார்ப்புக்கு, நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் வழித்தோன்றல் கால்குலேட்டர் .

செயல்பாட்டின் தீவிரத்தை நாங்கள் ஒன்றாகத் தேடுகிறோம்

எடுத்துக்காட்டு 8.செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைக் கண்டுபிடிப்போம். சமத்துவமின்மை திருப்திப்படுத்தப்பட வேண்டும் என்பதால், நாங்கள் பெறுகிறோம்.

செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்.

தீவிரத்தை கண்டுபிடிப்பதற்கான எளிய வழிமுறை..

• செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல்
• இந்த வழித்தோன்றலை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்
• விளைந்த வெளிப்பாட்டின் மாறியின் மதிப்புகளைக் காண்கிறோம் (வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாக மாற்றப்படும் மாறியின் மதிப்புகள்)
• இந்த மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி, ஆயக் கோட்டை இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கிறோம் (பிரேக் புள்ளிகளைப் பற்றி மறந்துவிடாதீர்கள், அவை வரியில் திட்டமிடப்பட வேண்டும்), இந்த புள்ளிகள் அனைத்தும் உச்சநிலைக்கு "சந்தேகத்திற்குரிய" புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
• இந்த இடைவெளிகளில் எந்த வழித்தோன்றல் நேர்மறையாகவும் எதிர்மறையாகவும் இருக்கும் என்பதை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் இடைவெளியிலிருந்து வழித்தோன்றலுக்கு மதிப்பை மாற்ற வேண்டும்.

உச்சநிலைக்கு சந்தேகத்திற்குரிய புள்ளிகளில், கண்டுபிடிக்க வேண்டியது அவசியம். இதைச் செய்ய, ஒருங்கிணைப்பு வரிசையில் எங்கள் இடைவெளிகளைப் பார்க்கிறோம். சில புள்ளிகளைக் கடக்கும்போது, ​​வழித்தோன்றலின் அடையாளம் கூட்டலில் இருந்து கழித்தலுக்கு மாறினால், இந்த புள்ளி அதிகபட்சம், மற்றும் மைனஸ் முதல் பிளஸ் வரை இருந்தால், பிறகு குறைந்தபட்சம்.

ஒரு செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிய, பிரிவின் முனைகளிலும், உச்சநிலை புள்ளிகளிலும் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும். பின்னர் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்
வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடித்து அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்யவும்:

ஆயக் கோட்டில் மாறிகளின் பெறப்பட்ட மதிப்புகளை நாங்கள் வரைகிறோம் மற்றும் ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தை கணக்கிடுகிறோம். சரி, உதாரணமாக, முதல் ஒன்றை எடுத்துக் கொள்வோம்-2 , பின்னர் வழித்தோன்றல் சமமாக இருக்கும்-0,24 , இரண்டாவது நாம் எடுப்போம்0 , பின்னர் வழித்தோன்றல் இருக்கும்2 , மற்றும் மூன்றாவது நாம் எடுத்து2 , பின்னர் வழித்தோன்றல் இருக்கும்-0.24. பொருத்தமான அடையாளங்களை நாங்கள் கீழே வைக்கிறோம்.

புள்ளி -1 ஐக் கடக்கும்போது, ​​வழித்தோன்றல் குறியை மைனஸிலிருந்து கூட்டாக மாற்றுகிறது, அதாவது, இது குறைந்தபட்ச புள்ளியாக இருக்கும், மேலும் 1 ஐக் கடக்கும்போது, ​​முறையே, இது கூட்டிலிருந்து கழித்தலுக்கு அடையாளமாக மாறும். அதிகபட்ச புள்ளி.

செயல்பாடு மற்றும் அதன் அம்சங்களின் ஆய்வு நவீன கணிதத்தின் முக்கிய அத்தியாயங்களில் ஒன்றாகும். எந்தவொரு செயல்பாட்டின் முக்கிய கூறுகளும் அதன் பண்புகளை மட்டுமல்ல, இந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் அளவுருக்களையும் சித்தரிக்கும் வரைபடங்கள் ஆகும். இந்த கடினமான தலைப்பை புரிந்துகொள்வோம். ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளைக் கண்டறிய சிறந்த வழி எது?

செயல்பாடு: வரையறை

ஏதோவொரு வகையில் மற்றொரு அளவின் மதிப்புகளைச் சார்ந்திருக்கும் எந்த மாறியையும் செயல்பாடு என்று அழைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, f(x 2) செயல்பாடு இருபடி மற்றும் முழு தொகுப்பு x க்கான மதிப்புகளை தீர்மானிக்கிறது. x = 9 என்று வைத்துக்கொள்வோம், அப்போது நமது செயல்பாட்டின் மதிப்பு 9 2 = 81 க்கு சமமாக இருக்கும்.

செயல்பாடுகள் பல்வேறு வகைகளில் வருகின்றன: தருக்க, திசையன், மடக்கை, முக்கோணவியல், எண் மற்றும் பிற. லாக்ரோயிக்ஸ், லாக்ரேஞ்ச், லீப்னிஸ் மற்றும் பெர்னௌலி போன்ற சிறந்த சிந்தனையாளர்களால் அவை ஆய்வு செய்யப்பட்டன. செயல்பாடுகளைப் படிக்கும் நவீன வழிகளில் அவர்களின் படைப்புகள் ஒரு முக்கிய அம்சமாக செயல்படுகின்றன. குறைந்தபட்ச புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு முன், செயல்பாட்டின் அர்த்தத்தையும் அதன் வழித்தோன்றலையும் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியம்.

வழித்தோன்றல் மற்றும் அதன் பங்கு

அனைத்து செயல்பாடுகளும் அவற்றின் மாறிகளைப் பொறுத்தது, அதாவது அவை எந்த நேரத்திலும் அவற்றின் மதிப்பை மாற்றலாம். வரைபடத்தில், இது ஆர்டினேட் அச்சில் விழும் அல்லது உயரும் வளைவாக சித்தரிக்கப்படும் (இது செங்குத்து வரைபடத்தில் உள்ள "y" எண்களின் முழுத் தொகுப்பாகும்). எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளைத் தீர்மானிப்பது இந்த "ஊசலாட்டங்களுடன்" துல்லியமாக தொடர்புடையது. இந்த உறவு என்ன என்பதை விளக்குவோம்.

எந்தவொரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலும் அதன் அடிப்படை குணாதிசயங்களைப் படிப்பதற்கும், செயல்பாடு எவ்வளவு விரைவாக மாறுகிறது என்பதைக் கணக்கிடுவதற்கும் வரைபடமாக்கப்படுகிறது (அதாவது "x" மாறியைப் பொறுத்து அதன் மதிப்பை மாற்றுகிறது). செயல்பாடு அதிகரிக்கும் தருணத்தில், அதன் வழித்தோன்றலின் வரைபடமும் அதிகரிக்கும், ஆனால் எந்த நொடியிலும் செயல்பாடு குறையத் தொடங்கும், பின்னர் வழித்தோன்றலின் வரைபடம் குறையும். மைனஸ் குறியிலிருந்து கூட்டல் குறிக்கு வழித்தோன்றல் மாறும் புள்ளிகள் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் எனப்படும். குறைந்தபட்ச புள்ளிகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை அறிய, நீங்கள் நன்றாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும்

வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?

வரையறை மற்றும் செயல்பாடுகள் பொதுவாக பல கருத்துக்களைக் குறிக்கின்றன, ஒரு வழித்தோன்றலின் வரையறையை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தலாம்: இது செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதத்தைக் காட்டும் அளவு.

அதைத் தீர்மானிப்பதற்கான கணித வழி பல மாணவர்களுக்கு சிக்கலானதாகத் தோன்றுகிறது, ஆனால் உண்மையில் எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது. எந்தவொரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கான நிலையான திட்டத்தை நீங்கள் பின்பற்ற வேண்டும். வேறுபாட்டின் விதிகளைப் பயன்படுத்தாமல் மற்றும் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையை மனப்பாடம் செய்யாமல் ஒரு செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளியை நீங்கள் எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை கீழே விவரிக்கிறோம்.

1. வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடலாம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் செயல்பாட்டையே சித்தரிக்க வேண்டும், அதன் மீது ஒரு புள்ளியை எடுக்க வேண்டும் (புள்ளி A ஐ அப்சிஸ்ஸா அச்சுக்கு (புள்ளி x 0) செங்குத்தாக வரையவும், மற்றும் A புள்ளியில் ஒரு தொடுகோடு வரையவும். செயல்பாட்டின் வரைபடம். x-அச்சு மற்றும் தொடுகோடு ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தை உருவாக்குகின்றன a. ஒரு சார்பு எவ்வளவு விரைவாக அதிகரிக்கிறது என்பதன் மதிப்பைக் கணக்கிட, இந்த கோணத்தின் தொடுகைக் கணக்கிட வேண்டும் a.
2. இது தொடுகோடு மற்றும் x-அச்சின் திசைக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் தொடுகோடு புள்ளி A உடன் ஒரு சிறிய பகுதியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்று மாறிவிடும். இந்த முறை வழித்தோன்றலை நிர்ணயிப்பதற்கான ஒரு வடிவியல் முறையாக கருதப்படுகிறது.

செயல்பாட்டைப் படிப்பதற்கான முறைகள்

பள்ளி கணித பாடத்திட்டத்தில், ஒரு செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளியை இரண்டு வழிகளில் கண்டுபிடிக்க முடியும். வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி முதல் முறையை நாங்கள் ஏற்கனவே விவாதித்தோம், ஆனால் வழித்தோன்றலின் எண் மதிப்பை எவ்வாறு தீர்மானிக்க முடியும்? இதைச் செய்ய, வழித்தோன்றலின் பண்புகளை விவரிக்கும் மற்றும் "x" போன்ற மாறிகளை எண்களாக மாற்ற உதவும் பல சூத்திரங்களை நீங்கள் கற்றுக் கொள்ள வேண்டும். பின்வரும் முறை உலகளாவியது, எனவே இது கிட்டத்தட்ட அனைத்து வகையான செயல்பாடுகளுக்கும் (வடிவியல் மற்றும் மடக்கை இரண்டும்) பயன்படுத்தப்படலாம்.

1. செயல்பாட்டை வழித்தோன்றல் செயல்பாட்டிற்கு சமன் செய்வது அவசியம், பின்னர் வேறுபாட்டின் விதிகளைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குகிறது.
2. சில சமயங்களில், "x" மாறியானது வகுப்பியில் இருக்கும் ஒரு செயல்பாட்டைக் கொடுக்கும்போது, ​​அதிலிருந்து "0" என்ற புள்ளியைத் தவிர்த்து, ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம் (கணிதத்தில் ஒரு போதும் கூடாது என்ற எளிய காரணத்திற்காக. பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க).
3. இதற்குப் பிறகு, நீங்கள் செயல்பாட்டின் அசல் வடிவத்தை ஒரு எளிய சமன்பாடாக மாற்ற வேண்டும், முழு வெளிப்பாட்டையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்ய வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, செயல்பாடு இப்படி இருந்தால்: f(x) = 2x 3 +38x, வேறுபாட்டின் விதிகளின்படி அதன் வழித்தோன்றல் f"(x) = 3x 2 +1 க்கு சமம். பின்னர் இந்த வெளிப்பாட்டை ஒரு ஆக மாற்றுவோம். பின்வரும் படிவத்தின் சமன்பாடு: 3x 2 +1 = 0 .
4. சமன்பாட்டைத் தீர்த்து, "x" புள்ளிகளைக் கண்டறிந்த பிறகு, நீங்கள் அவற்றை x- அச்சில் வரைந்து, குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளுக்கு இடையில் இந்த பிரிவுகளில் உள்ள வழித்தோன்றல் நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை என்பதை தீர்மானிக்க வேண்டும். பதவிக்கு பிறகு, செயல்பாடு எந்த புள்ளியில் குறையத் தொடங்குகிறது என்பது தெளிவாகிவிடும், அதாவது, மைனஸிலிருந்து எதிரெதிர் மாற்றங்களின் அடையாளத்தை மாற்றுகிறது. இந்த வழியில் நீங்கள் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளிகளைக் கண்டறியலாம்.

வேறுபாடு விதிகள்

ஒரு செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றலைப் படிப்பதில் மிக அடிப்படையான கூறு, வேறுபாடு விதிகள் பற்றிய அறிவு. அவர்களின் உதவியுடன் மட்டுமே நீங்கள் சிக்கலான வெளிப்பாடுகள் மற்றும் பெரிய சிக்கலான செயல்பாடுகளை மாற்ற முடியும். அவர்களுடன் பழகுவோம், அவற்றில் நிறைய உள்ளன, ஆனால் அவை அனைத்தும் ஆற்றல் மற்றும் மடக்கை செயல்பாடுகளின் இயற்கையான பண்புகள் காரணமாக மிகவும் எளிமையானவை.

1. எந்த மாறிலியின் வழித்தோன்றலும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் (f(x) = 0). அதாவது, f(x) = x 5 + x - 160 என்ற வழித்தோன்றல் பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்: f" (x) = 5x 4 +1.
2. இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகையின் வழித்தோன்றல்: (f+w)" = f"w + fw".
3. மடக்கைச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்: (log a d)" = d/ln a*d. இந்த சூத்திரம் அனைத்து வகையான மடக்கைகளுக்கும் பொருந்தும்.
4. சக்தியின் வழித்தோன்றல்: (x n)"= n*x n-1. எடுத்துக்காட்டாக, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. சைனூசாய்டல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்: (sin a)" = cos a. கோணத்தின் பாவம் 0.5 எனில், அதன் வழித்தோன்றல் √3/2 ஆகும்.

தீவிர புள்ளிகள்

குறைந்தபட்ச புள்ளிகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நாங்கள் ஏற்கனவே விவாதித்தோம், ஆனால் ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளிகளின் கருத்தும் உள்ளது. மைனஸ் குறியிலிருந்து கூட்டலுக்கு செயல்பாடு மாறும் புள்ளிகளை குறைந்தபட்சம் குறிக்கிறது என்றால், அதிகபட்ச புள்ளிகள் x-அச்சில் உள்ள புள்ளிகளாகும், இதில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பிளஸிலிருந்து எதிர் - கழித்தல்.

மேலே விவரிக்கப்பட்ட முறையைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் அதைக் காணலாம், ஆனால் அவை செயல்பாடு குறையத் தொடங்கும் பகுதிகளைக் குறிக்கின்றன என்பதை நீங்கள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும், அதாவது, வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருக்கும்.

கணிதத்தில், இரண்டு கருத்துகளையும் பொதுமைப்படுத்துவது வழக்கமாக உள்ளது, அவற்றை "தீவிர புள்ளிகள்" என்ற சொற்றொடருடன் மாற்றுகிறது. இந்தப் புள்ளிகளைத் தீர்மானிக்க ஒரு பணி உங்களிடம் கேட்கும் போது, ​​கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிட்டு குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளிகளைக் கண்டறிய வேண்டும் என்று அர்த்தம்.

y = f(x) செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள், இது இடைவெளியில் (a, b) கருதப்படுகிறது.

அனைத்து x (x1, b) க்கும் சமத்துவமின்மை f(x1) > f(x) வைத்திருக்கும் இடைவெளியில் (a, b) சேர்ந்த புள்ளி x1 இன் b-அருகில் இருப்பதைக் குறிக்க முடிந்தால், y1 = f1(x1) என்று அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடு அதிகபட்சம் y = f(x) படம் பார்க்கவும்.

y = f(x) செயல்பாட்டின் அதிகபட்சத்தை அதிகபட்சமாக f(x) மூலம் குறிக்கிறோம். அனைத்து x க்கும் O (x2, 6) க்கு உரிய இடைவெளி (a, b) க்கு சொந்தமான ஒரு புள்ளி x2 இன் b-அருகில் குறிப்பிட முடிந்தால், x x2 க்கு சமமாக இருக்காது, சமத்துவமின்மை உள்ளது f(x2)< f(x) , பின்னர் y2= f(x2) என்பது y-f(x) செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்சம் என்று அழைக்கப்படுகிறது (படத்தைப் பார்க்கவும்).

அதிகபட்சத்தைக் கண்டறிவதற்கான உதாரணத்திற்கு, பின்வரும் வீடியோவைப் பார்க்கவும்

குறைந்தபட்ச செயல்பாடுகள்

y = f(x) செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்சத்தை நிமிடம் f(x) ஆல் குறிக்கிறோம். வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒரு செயல்பாடு அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம் y = f(x) அழைக்கப்பட்டதுஅதன் மதிப்பு, கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு போதுமான அளவு நெருக்கமான மற்றும் அதிலிருந்து வேறுபட்ட புள்ளிகளில் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட மற்ற எல்லா மதிப்புகளையும் விட அதிகமாக (குறைவாக) உள்ளது.

குறிப்பு 1. அதிகபட்ச செயல்பாடு, சமத்துவமின்மையால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு கடுமையான அதிகபட்சம் என்று அழைக்கப்படுகிறது; கடுமையான அல்லாத அதிகபட்சம் சமத்துவமின்மையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது f(x1) > = f(x2)

குறிப்பு 2. உள்ளூர் தன்மையைக் கொண்டுள்ளது (இவை தொடர்புடைய புள்ளியின் போதுமான சிறிய சுற்றுப்புறத்தில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகள்); ஒரு செயல்பாட்டின் தனிப்பட்ட குறைந்தபட்சம் அதே செயல்பாட்டின் அதிகபட்சத்தை விட அதிகமாக இருக்கலாம்

இதன் விளைவாக, செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச (குறைந்தபட்சம்) அழைக்கப்படுகிறது உள்ளூர் அதிகபட்சம்(உள்ளூர் குறைந்தபட்சம்) முழுமையான அதிகபட்ச (குறைந்தபட்சம்) க்கு மாறாக - செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தில் மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பு.

ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் எக்ஸ்ட்ரம் எனப்படும் . எக்ஸ்ட்ரீமா இன் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்க கண்டறியப்பட்டுள்ளது

லத்தீன் தீவிரம் என்றால் "தீவிரம்" பொருள். உச்சநிலையை அடையும் வாதம் x இன் மதிப்பு தீவிர புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனை பின்வரும் தேற்றத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

தேற்றம். வேறுபட்ட செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளியில், அதன் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

தேற்றம் ஒரு எளிய வடிவியல் பொருளைக் கொண்டுள்ளது: தொடர்புடைய புள்ளியில் உள்ள வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது.

1°. ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சத்தை தீர்மானித்தல்.

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம், குறைந்தபட்சம் மற்றும் உச்சம் ஆகியவற்றின் கருத்துக்கள் ஒரு சார்பற்ற மாறியின் செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய கருத்துகளைப் போலவே இருக்கும்.

செயல்படட்டும் z =f (எக்ஸ் ; y)சில பகுதியில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது டிபுள்ளி N (x 0 ;y 0) டி.

புள்ளி (x 0 ;y 0)ஒரு புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது அதிகபட்சம்செயல்பாடுகள் z= f (எக்ஸ் ;y),அத்தகைய -அருகில் புள்ளி இருந்தால் (x 0 ;y 0),ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் என்று (x;y),வேறுபட்டது (x 0 ;y 0)இந்த சுற்றுப்புறத்தில் இருந்து சமத்துவமின்மை உள்ளது f (எக்ஸ் ;y)< f (x 0 ;y 0).படம் 12 இல்: N 1 -அதிகபட்ச புள்ளி, a N 2 -செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளி z =f (எக்ஸ் ;y).

புள்ளி இதேபோல் தீர்மானிக்கப்படுகிறது குறைந்தபட்சம்செயல்பாடுகள்: அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் (x 0 ;y 0),வேறுபட்டது (x 0 ;y 0),ஒரு புள்ளியின் d-அருகில் இருந்து (x 0 ;y 0)சமத்துவமின்மை உள்ளது: f (x 0 ;y 0) >f (x 0 ;y 0).

மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சம் இதேபோல் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

அதிகபட்ச (குறைந்தபட்ச) புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு அழைக்கப்படுகிறது அதிகபட்சம் (குறைந்தபட்சம்)செயல்பாடுகள்.

ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் அழைக்கப்படுகிறது உச்சநிலை.

வரையறையின்படி, செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளியானது செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்திற்குள் உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க; அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் உள்ளது உள்ளூர்(உள்ளூர்) எழுத்து: ஒரு புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்பு (x 0 ;y 0)போதுமான நெருக்கமான புள்ளிகளில் அதன் மதிப்புகளுடன் ஒப்பிடப்படுகிறது (x 0 ;y 0).பகுதியில் டிஒரு செயல்பாட்டில் பல தீவிரங்கள் இருக்கலாம் அல்லது எதுவுமில்லை.

2°. ஒரு உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனைகள்.

ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலை இருப்பதற்கான நிபந்தனைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

வடிவியல் சமத்துவங்கள் f"y (x 0 ;y 0)= 0 மற்றும் f"y (x 0 ;y 0) = 0 என்பது செயல்பாட்டின் உச்ச கட்டத்தில் என்று பொருள் z = f (எக்ஸ் ; y)செயல்பாட்டைக் குறிக்கும் மேற்பரப்புக்கு தொடுவான விமானம் f (எக்ஸ் ; y),விமானத்திற்கு இணையாக ஓ ஹூஏனெனில் தொடுவான விமானத்தின் சமன்பாடு z =z 0.

கருத்து.ஒரு செயல்பாடு குறைந்தபட்சம் பகுதி வழித்தோன்றல்களில் ஒன்று இல்லாத புள்ளிகளில் உச்சநிலையைக் கொண்டிருக்கலாம். உதாரணமாக, செயல்பாடு புள்ளியில் அதிகபட்சம் உள்ளது பற்றி(0;0), ஆனால் இந்த கட்டத்தில் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் இல்லை.

செயல்பாட்டின் முதல் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களின் புள்ளி z = f (எக்ஸ் ;y)பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதாவது. f"எக்ஸ் = 0, f" y= 0, அழைக்கப்படுகிறது நிலையான புள்ளிசெயல்பாடுகள் z.

நிலையான புள்ளிகள் மற்றும் குறைந்தபட்சம் ஒரு பகுதி வழித்தோன்றல் இல்லாத புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன முக்கியமான புள்ளிகள்.

முக்கியமான புள்ளிகளில், செயல்பாடு ஒரு உச்சநிலையைக் கொண்டிருக்கலாம் அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம். பூஜ்ஜியத்திற்கு பகுதி வழித்தோன்றல்களின் சமத்துவம் ஒரு தீவிரத்தின் இருப்புக்கு அவசியமான ஆனால் போதுமான நிபந்தனை அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள் z = ஹூ.அதற்கு, புள்ளி 0(0; 0) முக்கியமானது (அது பூஜ்ஜியமாக மாறும்). இருப்பினும், அதில் உள்ள தீவிர செயல்பாடு z = xyஇல்லை, ஏனெனில் O(0;0) புள்ளியின் போதுமான சிறிய சுற்றுப்புறத்தில் அதற்கான புள்ளிகள் உள்ளன z> 0 (1வது மற்றும் 3வது காலாண்டுகளின் புள்ளிகள்) மற்றும் z< 0 (II மற்றும் IV காலாண்டுகளின் புள்ளிகள்).

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட பகுதியில் ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிரத்தை கண்டறிய, செயல்பாட்டின் ஒவ்வொரு முக்கிய புள்ளியையும் கூடுதல் ஆராய்ச்சிக்கு உட்படுத்துவது அவசியம்.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம் நிலையான புள்ளிகள் கண்டறியப்படுகின்றன

(ஒரு உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனைகள்).

அமைப்பு (1) என்பது ஒரு சமன்பாட்டிற்குச் சமம் df(x, y)=0.பொதுவாக, தீவிர புள்ளியில் பி(a, b)செயல்பாடுகள் f(x, y)அல்லது df(x, y)=0, அல்லது df(a, b) இல்லை.

3°. ஒரு உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனைகள். விடுங்கள் பி(அ; ஆ)- செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளி f(x,y),அதாவது . df(a, b) = 0. பிறகு:

மற்றும் என்றால் d2f (a, b)< 0 மணிக்கு, பின்னர் f(a, b) அங்கு உள்ளது அதிகபட்சம்செயல்பாடுகள் f (x, y);

b) என்றால் d2f (a, b) > 0மணிக்கு, பின்னர் f(a, b)அங்கு உள்ளது குறைந்தபட்சம்செயல்பாடுகள் f (x,y);

c) என்றால் d2f (a, b)பிறகு, அடையாளத்தை மாற்றுகிறது f (a, b) செயல்பாட்டின் உச்சநிலை அல்ல f (x, y).

கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகள் பின்வருவனவற்றிற்கு சமமானவை: நாம் மற்றும் . இசையமைப்போம் பாரபட்சமான Δ=AC -B².

1) Δ > 0 எனில், செயல்பாடு புள்ளியில் ஒரு உச்சநிலையைக் கொண்டுள்ளது பி(a;b)அதாவது, அதிகபட்சம் என்றால் ஏ<0 (அல்லது உடன்<0 ), மற்றும் குறைந்தபட்சம் என்றால் A>0(அல்லது С>0);

2) Δ என்றால்< 0, то экстремума в точке பி(அ; ஆ)இல்லை;

3) Δ =0 எனில், புள்ளியில் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையின் இருப்பு பற்றிய கேள்வி பி(அ; ஆ)திறந்த நிலையில் உள்ளது (மேலும் ஆராய்ச்சி தேவை).

4°. பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் வழக்கு. மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கு, ஒரு எக்ஸ்ட்ரம் இருப்பதற்கான தேவையான நிபந்தனைகள் நிபந்தனைகள் (1), மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகள் நிபந்தனைகள் a), b), c) 3° போன்றது.

உதாரணமாக. தீவிர செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள் z=x³+3xy²-15x-12y.

தீர்வு. பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடித்து சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குவோம் (1):

அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம், நான்கு நிலையான புள்ளிகளைப் பெறுகிறோம்:

2வது வரிசை வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்

மற்றும் ஒரு பாகுபாட்டை உருவாக்குங்கள் Δ=AC - B²ஒவ்வொரு நிலையான புள்ளிக்கும்.

1) புள்ளிக்கு: , Δ=AC-B²=36-144<0 . இதன் பொருள் புள்ளியில் உச்சநிலை இல்லை.

2) புள்ளி P2க்கு: A=12, B=6, C=12; Δ=144-36>0, A>0. புள்ளி P2 இல் செயல்பாடு குறைந்தபட்சம் உள்ளது. இந்த குறைந்தபட்சம் செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமம் x=2, y=1: ​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) புள்ளிக்கு: A= -6, B=-12, C= -6; Δ = 36-144<0 . தீவிரம் இல்லை.

4) புள்ளி P 4க்கு: A=-12, B=-6, C=-12; Δ=144-36>0. புள்ளி P4 இல் செயல்பாடு அதிகபட்சம் சமமாக உள்ளது Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. நிபந்தனை உச்சநிலை. எளிமையான வழக்கில் நிபந்தனை உச்சநிலைசெயல்பாடுகள் f(x,y) இந்த செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம், அதன் வாதங்கள் சமன்பாட்டின் மூலம் தொடர்புடைய நிபந்தனையின் கீழ் அடையப்படுகிறது φ(x,y)=0 (இணைப்பு சமன்பாடு) ஒரு செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கண்டறிய f(x, y) ஒரு உறவின் முன்னிலையில் φ(x,y) = 0, என்று அழைக்கப்படுபவை லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாடு

எஃப் (எக்ஸ்,y )=f (எக்ஸ்,y)+λφ (எக்ஸ்,y),

இதில் λ என்பது வரையறுக்கப்படாத நிலையான காரணியாகும், மேலும் இந்த துணைச் செயல்பாட்டின் வழக்கமான உச்சம் தேடப்படுகிறது. ஒரு உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனைகள் மூன்று சமன்பாடுகளின் அமைப்பாக குறைக்கப்படுகின்றன

மூன்று தெரியாதவர்களுடன் x, y, λ, இதில் இருந்து இந்த அறியப்படாதவை, பொதுவாக பேசினால், தீர்மானிக்க முடியும்.

லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வேறுபாட்டின் அடையாளத்தைப் படிப்பதன் அடிப்படையில் நிபந்தனை உச்சநிலையின் இருப்பு மற்றும் தன்மை பற்றிய கேள்வி தீர்க்கப்படுகிறது.

சோதனையில் உள்ள மதிப்பு அமைப்புக்கு x, y, λ, (2) இலிருந்து பெறப்பட்டது என்று வழங்கப்பட்டது dxமற்றும் dуசமன்பாட்டின் மூலம் தொடர்புடையது

.

அதாவது, செயல்பாடு f(x,y) நிபந்தனை அதிகபட்சம் இருந்தால் d²F< 0, மற்றும் நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்சம் என்றால் d²F>0. குறிப்பாக, செயல்பாட்டிற்கான பாகுபாடு Δ என்றால் F(x,y)ஒரு நிலையான புள்ளியில் நேர்மறையாக உள்ளது, பின்னர் இந்த கட்டத்தில் ஒரு நிபந்தனை அதிகபட்ச செயல்பாடு உள்ளது f(x, y), என்றால் ஏ< 0 (அல்லது உடன்< 0), மற்றும் நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்சம் என்றால் ஏ > ஓ(அல்லது С>0).

இதேபோல், மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகளின் செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சம் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட இணைப்புச் சமன்பாடுகளின் முன்னிலையில் காணப்படுகிறது (இதன் எண்ணிக்கை, மாறிகளின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக இருக்க வேண்டும்). இணைக்கும் சமன்பாடுகள் இருப்பதால், Lagrange செயல்பாட்டில் பல நிச்சயமற்ற காரணிகளை இங்கு அறிமுகப்படுத்த வேண்டும்.

உதாரணமாக. செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும் z =6-4x -3ஒய்மாறிகள் என்று வழங்கியது எக்ஸ்மற்றும் மணிக்குசமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தவும் x²+y²=1.

தீர்வு. வடிவியல் ரீதியாக, பயன்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிவதில் சிக்கல் வருகிறது zவிமானம் z=6 - 4x - Zuசிலிண்டருடன் அதை வெட்டும் புள்ளிகளுக்கு x2+y2=1.

Lagrange செயல்பாட்டை தொகுத்தல் F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

எங்களிடம் உள்ளது . தேவையான நிபந்தனைகள் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை வழங்குகின்றன

நாம் கண்டுபிடிக்கும் தீர்வு:

.

,

d²F =2λ (dx²+dy²).

என்றால் மற்றும், பின்னர் d²F >0, மற்றும், எனவே, இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு ஒரு நிபந்தனை குறைந்தபட்ச உள்ளது. என்றால் மற்றும் , பின்னர் d²எஃப்<0, மற்றும், எனவே, இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு ஒரு நிபந்தனை அதிகபட்ச உள்ளது.

இதனால்,

6°. ஒரு செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகள்.

செயல்படட்டும் z =f (எக்ஸ் ; y)வரையறுக்கப்பட்ட மூடிய பகுதியில் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் தொடர்ந்து . பின்னர் அவள் சில புள்ளிகளை அடைகிறாள் உங்கள் பெரிய எம்மற்றும் குறைந்தது டிமதிப்புகள் (என்று அழைக்கப்படும் உலகளாவிய தீவிரம்).இந்த மதிப்புகள் பிராந்தியத்தின் உள்ளே அமைந்துள்ள புள்ளிகளில் செயல்பாட்டால் அடையப்படுகின்றன , அல்லது பிராந்தியத்தின் எல்லையில் அமைந்துள்ள புள்ளிகளில்.