ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியை தீர்மானிக்க, நீங்கள் வெவ்வேறு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம். அனைத்து முறைகளிலும், எளிதான மற்றும் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுவது அடித்தளத்தின் நீளத்தால் உயரத்தை பெருக்குவது, அதன் விளைவாக இரண்டால் வகுக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், இந்த முறை ஒரே ஒரு முறையிலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ளது. வெவ்வேறு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை கீழே படிக்கலாம்.

தனித்தனியாக, குறிப்பிட்ட வகை முக்கோணங்களின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம் - செவ்வக, சமபக்க மற்றும் சமபக்க. ஒவ்வொரு சூத்திரத்தையும் அதன் சாராம்சத்தைப் புரிந்துகொள்ள உதவும் ஒரு சிறிய விளக்கத்துடன் நாங்கள் இணைக்கிறோம்.

ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறிய உலகளாவிய வழிகள்

கீழே உள்ள சூத்திரங்கள் சிறப்பு குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்றன. அவை ஒவ்வொன்றையும் நாங்கள் புரிந்துகொள்வோம்:

• a, b, c ஆகியவை நாம் கருத்தில் கொண்ட உருவத்தின் மூன்று பக்கங்களின் நீளம்;
• r என்பது நமது முக்கோணத்தில் பொறிக்கக்கூடிய ஒரு வட்டத்தின் ஆரம்;
• R என்பது அதைச் சுற்றி விவரிக்கக்கூடிய வட்டத்தின் ஆரம்;
• α - பக்கங்கள் b மற்றும் c மூலம் உருவாக்கப்பட்ட கோணத்தின் மதிப்பு;
• β என்பது a மற்றும் c இடையே உள்ள கோணம்;
• γ - a மற்றும் b பக்கங்களால் உருவாக்கப்பட்ட கோணத்தின் மதிப்பு;
• h என்பது நமது முக்கோணத்தின் உயரம், கோணம் α இலிருந்து பக்கத்திற்கு a வரை குறைக்கப்படுகிறது;
• p என்பது a, b மற்றும் c பக்கங்களின் பாதித் தொகை.

இந்த வழியில் ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியை நீங்கள் ஏன் கண்டுபிடிக்க முடியும் என்பது தர்க்கரீதியாக தெளிவாக உள்ளது. முக்கோணம் ஒரு இணையான வரைபடத்திற்கு எளிதாக முடிக்கப்படுகிறது, இதில் முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கம் ஒரு மூலைவிட்டமாக செயல்படும். ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு அதன் பக்கங்களில் ஒன்றின் நீளத்தை அதன் உயரத்தின் மதிப்பால் பெருக்குவதன் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது. மூலைவிட்டமானது இந்த நிபந்தனை இணையான வரைபடத்தை 2 ஒத்த முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறது. எனவே, நமது அசல் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு இந்த துணை இணையான வரைபடத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது.

S=½ a b sin γ

இந்த சூத்திரத்தின்படி, ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு அதன் இரு பக்கங்களின் நீளத்தை, அதாவது a மற்றும் b, அவை உருவாக்கும் கோணத்தின் சைன் மூலம் பெருக்கப்படுகிறது. இந்த சூத்திரம் தர்க்கரீதியாக முந்தைய ஒன்றிலிருந்து பெறப்பட்டது. கோணம் β இலிருந்து பக்கத்திற்கு b க்கு உயரத்தைக் குறைத்தால், ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பண்புகளின்படி, a பக்கத்தின் நீளத்தை γ கோணத்தால் பெருக்கும்போது, ​​முக்கோணத்தின் உயரத்தைப் பெறுகிறோம், அதாவது h.

பரிசீலனையில் உள்ள உருவத்தின் பரப்பளவு வட்டத்தின் அரை ஆரம் பெருக்குவதன் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது, அதை அதன் சுற்றளவு மூலம் அதில் பொறிக்க முடியும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அரை சுற்றளவு மற்றும் குறிப்பிடப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் ஆகியவற்றின் பெருக்கத்தைக் காண்கிறோம்.

S= a b c/4R

இந்த சூத்திரத்தின்படி, உருவத்தின் பக்கங்களின் பலனை அதைச் சுற்றியுள்ள வட்டத்தின் 4 ஆரங்களால் வகுத்தால் நமக்குத் தேவையான மதிப்பைக் கண்டறியலாம்.

இந்த சூத்திரங்கள் உலகளாவியவை, ஏனெனில் அவை எந்த முக்கோணத்தின் பகுதியையும் (ஸ்கேலின், ஐசோசெல்ஸ், சமபக்க, வலது கோணம்) தீர்மானிக்க உதவுகிறது. இது மிகவும் சிக்கலான கணக்கீடுகளின் உதவியுடன் செய்யப்படலாம், இது நாம் விரிவாக வாழ மாட்டோம்.

குறிப்பிட்ட பண்புகள் கொண்ட முக்கோணங்களின் பகுதிகள்

செங்கோண முக்கோணத்தின் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? இந்த உருவத்தின் ஒரு அம்சம் என்னவென்றால், அதன் இரு பக்கங்களும் ஒரே நேரத்தில் அதன் உயரம் ஆகும். a மற்றும் b கால்களாக இருந்தால், c ஹைப்போடென்யூஸாக மாறினால், அந்தப் பகுதி பின்வருமாறு காணப்படும்:

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? நீளம் a மற்றும் ஒரு பக்கம் b நீளத்துடன் இரண்டு பக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, பக்கத்தின் சதுரத்தின் பெருக்கத்தை 2 ஆல் வகுப்பதன் மூலம் அதன் பரப்பளவை γ கோணத்தின் சைன் மூலம் தீர்மானிக்க முடியும்.

ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? அதில், அனைத்து பக்கங்களின் நீளம் a, மற்றும் அனைத்து கோணங்களின் மதிப்பு α. அதன் உயரம் பக்கத்தின் நீளத்தின் பாதிப் பெருக்கமாகும், இது 3 இன் வர்க்கமூலத்தை விட அதிகமாகும். வழக்கமான முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிய, பக்கத்தின் சதுரத்தை 3 இன் வர்க்க மூலத்தால் பெருக்கி 4 ஆல் வகுக்க வேண்டும்.

முக்கோணம் நன்கு அறியப்பட்ட உருவம். இது, அதன் வடிவங்களின் பணக்கார வகை இருந்தபோதிலும். செவ்வக, சமபக்க, கடுமையான, ஐசோசெல்ஸ், மழுங்கிய. அவை ஒவ்வொன்றும் சற்று வித்தியாசமானது. ஆனால் எதற்கும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவை அறிந்து கொள்வது அவசியம்.

பக்கங்களின் நீளம் அல்லது உயரத்தைப் பயன்படுத்தும் அனைத்து முக்கோணங்களுக்கும் பொதுவான சூத்திரங்கள்

அவற்றில் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட பெயர்கள்: பக்கங்கள் - a, b, c; a, n in, n s இல் தொடர்புடைய பக்கங்களில் உயரங்கள்.

1. ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ½, பக்கவாட்டு மற்றும் அதன் மீது குறைக்கப்பட்ட உயரத்தின் பெருக்கமாக கணக்கிடப்படுகிறது. S = ½ * a * n a. இதேபோல், மற்ற இரண்டு பக்கங்களுக்கும் சூத்திரங்களை எழுத வேண்டும்.

2. ஹெரானின் சூத்திரம், இதில் அரை சுற்றளவு தோன்றும் (முழு சுற்றளவிற்கு மாறாக, சிறிய எழுத்தான p உடன் குறிப்பது வழக்கம்). அரை சுற்றளவு பின்வருமாறு கணக்கிடப்பட வேண்டும்: அனைத்து பக்கங்களையும் கூட்டி அவற்றை 2 ஆல் வகுக்க வேண்டும். அரை-சுற்றளவு சூத்திரம்: p \u003d (a + b + c) / 2. பின்னர் \ பகுதிக்கான சமத்துவம் உருவம் இதுபோல் தெரிகிறது: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. நீங்கள் அரை சுற்றளவைப் பயன்படுத்த விரும்பவில்லை என்றால், அத்தகைய சூத்திரம் கைக்கு வரும், இதில் பக்கங்களின் நீளம் மட்டுமே இருக்கும்: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). இது முந்தையதை விட சற்று நீளமானது, ஆனால் அரை சுற்றளவை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நீங்கள் மறந்துவிட்டால் அது உதவும்.

ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்கள் தோன்றும் பொதுவான சூத்திரங்கள்

சூத்திரங்களைப் படிக்கத் தேவையான குறிப்பு: α, β, γ - கோணங்கள். அவை முறையே a, b, c ஆகிய எதிர் பக்கங்களில் அமைந்துள்ளன.

1. அதன் படி, இரு பக்கங்களின் பாதிப் பெருக்கமும் அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் சைனும் முக்கோணத்தின் பரப்பிற்குச் சமம். அதாவது: S = ½ a * b * sin γ. மற்ற இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கான சூத்திரங்களும் இதே வழியில் எழுதப்பட வேண்டும்.

2. ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவை ஒரு பக்கத்திலிருந்தும் அறியப்பட்ட மூன்று கோணங்களிலிருந்தும் கணக்கிடலாம். S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. அறியப்பட்ட ஒரு பக்கமும் அதை ஒட்டி இரண்டு கோணங்களும் கொண்ட சூத்திரமும் உள்ளது. இது போல் தெரிகிறது: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

கடைசி இரண்டு சூத்திரங்கள் எளிமையானவை அல்ல. அவர்களை நினைவில் கொள்வது மிகவும் கடினம்.

பொறிக்கப்பட்ட அல்லது சுற்றப்பட்ட வட்டங்களின் ஆரங்கள் அறியப்படும் சூழ்நிலைக்கான பொதுவான சூத்திரங்கள்

கூடுதல் பதவிகள்: r, R - radii. முதலில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இரண்டாவது விவரித்ததுக்கானது.

1. முக்கோணத்தின் பரப்பளவு கணக்கிடப்படும் முதல் சூத்திரம் அரை சுற்றளவுடன் தொடர்புடையது. எஸ் = ஆர் * ஆர். மற்றொரு வழியில், இதை பின்வருமாறு எழுதலாம்: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. இரண்டாவது வழக்கில், நீங்கள் முக்கோணத்தின் அனைத்து பக்கங்களையும் பெருக்க வேண்டும் மற்றும் சுற்றறிக்கை வட்டத்தின் நான்கு மடங்கு ஆரம் மூலம் அவற்றைப் பிரிக்க வேண்டும். உண்மையில், இது போல் தெரிகிறது: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. மூன்றாவது சூழ்நிலையானது பக்கங்களைத் தெரியாமல் செய்ய உங்களை அனுமதிக்கிறது, ஆனால் உங்களுக்கு மூன்று கோணங்களின் மதிப்புகள் தேவை. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

சிறப்பு வழக்கு: வலது முக்கோணம்

இரண்டு கால்களின் நீளம் மட்டுமே தேவைப்படுவதால், இது எளிமையான சூழ்நிலை. அவை லத்தீன் எழுத்துக்களான a மற்றும் b ஆகியவற்றால் குறிக்கப்படுகின்றன. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு அதனுடன் சேர்க்கப்பட்ட செவ்வகத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம்.

கணித ரீதியாக, இது போல் தெரிகிறது: S = ½ a * b. அவள் நினைவில் கொள்ள எளிதானவள். இது ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவைக் குறிக்கும் சூத்திரம் போல் இருப்பதால், ஒரு பகுதி மட்டுமே தோன்றும், பாதியைக் குறிக்கிறது.

சிறப்பு வழக்கு: ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணம்

அதன் இரண்டு பக்கங்களும் சமமாக இருப்பதால், அதன் பகுதிக்கான சில சூத்திரங்கள் ஓரளவு எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடும் ஹெரானின் சூத்திரம் பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

நீங்கள் அதை மாற்றினால், அது குறுகியதாக மாறும். இந்த வழக்கில், ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்திற்கான ஹெரானின் சூத்திரம் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

பகுதி சூத்திரம் ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தை விட, பக்கங்களும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணமும் தெரிந்தால் ஓரளவு எளிமையாகத் தெரிகிறது. S \u003d ½ a 2 * sin β.

சிறப்பு வழக்கு: சமபக்க முக்கோணம்

பொதுவாக, அவரைப் பற்றிய பிரச்சனைகளில், பக்கமானது அறியப்படுகிறது அல்லது எப்படியாவது அங்கீகரிக்கப்படலாம். அத்தகைய முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம் பின்வருமாறு:

S = (a 2 √3) / 4.

முக்கோணம் சரிபார்க்கப்பட்ட காகிதத்தில் சித்தரிக்கப்பட்டிருந்தால், பகுதியைக் கண்டறிவதற்கான பணிகள்

ஒரு வலது கோண முக்கோணம் வரையப்பட்டால், அதன் கால்கள் காகிதத்தின் கோடுகளுடன் ஒத்துப்போகும் போது எளிமையான சூழ்நிலை. கால்களுக்குள் பொருந்தக்கூடிய செல்களின் எண்ணிக்கையை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும். பின்னர் அவற்றைப் பெருக்கி இரண்டால் வகுக்கவும்.

முக்கோணம் கூர்மையாகவோ அல்லது மழுங்கியதாகவோ இருக்கும்போது, ​​அது ஒரு செவ்வகத்திற்கு இழுக்கப்பட வேண்டும். இதன் விளைவாக வரும் படத்தில் 3 முக்கோணங்கள் இருக்கும். ஒன்று பணியில் கொடுக்கப்பட்ட ஒன்று. மற்றும் மற்ற இரண்டு துணை மற்றும் செவ்வக. கடைசி இரண்டின் பகுதிகள் மேலே விவரிக்கப்பட்ட முறையால் தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும். பின்னர் செவ்வகத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிட்டு அதிலிருந்து துணைப் பகுதிகளுக்குக் கணக்கிடப்பட்டதைக் கழிக்கவும். முக்கோணத்தின் பரப்பளவு தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் எதுவும் காகிதத்தின் கோடுகளுடன் ஒத்துப்போகாத சூழ்நிலை மிகவும் கடினமானது. பின்னர் அது ஒரு செவ்வக வடிவத்தில் பொறிக்கப்பட வேண்டும், இதனால் அசல் உருவத்தின் முனைகள் அதன் பக்கங்களில் இருக்கும். இந்த வழக்கில், மூன்று துணை வலது முக்கோணங்கள் இருக்கும்.

ஹெரானின் ஃபார்முலாவில் உள்ள சிக்கலின் உதாரணம்

நிலை. சில முக்கோணங்கள் பக்கங்களைக் கொண்டுள்ளன. அவர்கள் சமமாக 3, 5 மற்றும் 6 செ.மீ.. நீங்கள் அதன் பகுதியை அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

இப்போது மேலே உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடலாம். வர்க்க மூலத்தின் கீழ் நான்கு எண்களின் பெருக்கல்: 7, 4, 2 மற்றும் 1. அதாவது, பகுதி √ (4 * 14) = 2 √ (14).

உங்களுக்கு அதிக துல்லியம் தேவையில்லை என்றால், நீங்கள் 14 இன் வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக் கொள்ளலாம். இது 3.74 ஆகும். பின்னர் பரப்பளவு 7.48 ஆக இருக்கும்.

பதில். S \u003d 2 √14 cm 2 அல்லது 7.48 cm 2.

செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள சிக்கலின் உதாரணம்

நிலை. செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு கால் இரண்டாவது கால் பகுதியை விட 31 செ.மீ நீளமானது. முக்கோணத்தின் பரப்பளவு 180 செ.மீ 2 ஆக இருந்தால் அவற்றின் நீளத்தைக் கண்டறிய வேண்டும்.
முடிவு. நீங்கள் இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க வேண்டும். முதலாவது பகுதியுடன் தொடர்புடையது. இரண்டாவது கால்களின் விகிதத்துடன் உள்ளது, இது பிரச்சனையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
முதலில், "a" இன் மதிப்பு முதல் சமன்பாட்டில் மாற்றப்பட வேண்டும். இது மாறிவிடும்: 180 \u003d ½ (+ 31 இல்) * in. இது ஒரே ஒரு அறியப்படாத அளவைக் கொண்டுள்ளது, எனவே அதைத் தீர்ப்பது எளிது. அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்த பிறகு, ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு பெறப்படுகிறது: 2 + 31 இல் - 360 \u003d 0. இது "இன்" க்கு இரண்டு மதிப்புகளை அளிக்கிறது: 9 மற்றும் - 40. இரண்டாவது எண் ஒரு பதிலாக பொருந்தாது. , முக்கோணத்தின் பக்கத்தின் நீளம் எதிர்மறை மதிப்பாக இருக்க முடியாது என்பதால்.

இரண்டாவது லெக்கைக் கணக்கிடுவதற்கு இது உள்ளது: விளைந்த எண்ணுடன் 31 ஐச் சேர்க்கவும், அது 40 ஆக மாறும். இவை சிக்கலில் தேடப்படும் அளவுகள்.

பதில். முக்கோணத்தின் கால்கள் 9 மற்றும் 40 செ.மீ.

ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதி, பக்கம் மற்றும் கோணம் மூலம் பக்கத்தைக் கண்டறியும் பணி

நிலை. சில முக்கோணங்களின் பரப்பளவு 60 செமீ2 ஆகும். இரண்டாவது பக்கம் 15 செமீ மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் 30º ஆக இருந்தால் அதன் பக்கங்களில் ஒன்றைக் கணக்கிடுவது அவசியம்.

முடிவு. ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட பதவிகளின் அடிப்படையில், விரும்பிய பக்கம் “a”, அறியப்பட்ட “b”, கொடுக்கப்பட்ட கோணம் “γ”. பின்னர் பகுதி சூத்திரத்தை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. இங்கு 30 டிகிரியின் சைன் 0.5 ஆகும்.

மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, "a" 60 / (0.5 * 0.5 * 15) க்கு சமமாக மாறும். அதாவது 16.

பதில். விரும்பிய பக்கமானது 16 செ.மீ.

செங்கோண முக்கோணத்தில் பொறிக்கப்பட்ட சதுரத்தின் சிக்கல்

நிலை. 24 செ.மீ பக்கமுள்ள ஒரு சதுரத்தின் உச்சி முக்கோணத்தின் வலது கோணத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. மற்ற இருவரும் கால்களில் கிடக்கிறார்கள். மூன்றாவது ஹைப்போடென்ஸுக்கு சொந்தமானது. ஒரு காலின் நீளம் 42 செ.மீ. செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு என்ன?

முடிவு. இரண்டு வலது முக்கோணங்களைக் கவனியுங்கள். முதலாவது பணியில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. இரண்டாவது அசல் முக்கோணத்தின் அறியப்பட்ட கால்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது. அவை ஒரே மாதிரியானவை, ஏனெனில் அவை பொதுவான கோணத்தைக் கொண்டுள்ளன மற்றும் இணையான கோடுகளால் உருவாகின்றன.

பின்னர் அவர்களின் கால்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருக்கும். சிறிய முக்கோணத்தின் கால்கள் 24 செமீ (சதுரத்தின் பக்கம்) மற்றும் 18 செமீ (சதுரத்தின் பக்கம் 42 செமீ கழித்தல் 24 செமீ கொடுக்கப்பட்ட கால்). பெரிய முக்கோணத்தின் தொடர்புடைய கால்கள் 42 செ.மீ மற்றும் x செ.மீ ஆகும். முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கு இந்த "x" தேவைப்படுகிறது.

18/42 \u003d 24 / x, அதாவது x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

பின்னர் பரப்பளவு 56 மற்றும் 42 இன் பெருக்கத்திற்கு சமம், இரண்டால் வகுக்கப்படுகிறது, அதாவது 1176 செமீ 2.

பதில். விரும்பிய பகுதி 1176 செமீ 2 ஆகும்.

முக்கோணம் மிகவும் பொதுவான வடிவியல் வடிவங்களில் ஒன்றாகும், இது ஆரம்ப பள்ளியில் ஏற்கனவே நமக்குத் தெரிந்திருக்கும். ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்ற கேள்வி வடிவியல் பாடங்களில் ஒவ்வொரு மாணவரும் எதிர்கொள்ளும் கேள்வி. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவை வேறுபடுத்தி அறியக்கூடிய அம்சங்கள் என்ன? இந்த கட்டுரையில், அத்தகைய பணியை முடிக்க தேவையான அடிப்படை சூத்திரங்களை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம், மேலும் முக்கோணங்களின் வகைகளையும் பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

முக்கோணங்களின் வகைகள்

ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியை நீங்கள் முற்றிலும் வேறுபட்ட வழிகளில் காணலாம், ஏனெனில் வடிவவியலில் மூன்று கோணங்களைக் கொண்ட ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வகை உருவங்கள் உள்ளன. இந்த வகைகளில் பின்வருவன அடங்கும்:

• மழுங்கிய.
• சமபக்க (சரியானது).
• வலது முக்கோணம்.
• ஐசோசெல்ஸ்.

தற்போதுள்ள முக்கோணங்களின் ஒவ்வொரு வகையையும் கூர்ந்து கவனிப்போம்.

இத்தகைய வடிவியல் உருவம் வடிவியல் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் மிகவும் பொதுவானதாகக் கருதப்படுகிறது. ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தை வரைய வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டால், இந்த விருப்பம் மீட்புக்கு வருகிறது.

ஒரு தீவிர முக்கோணத்தில், பெயர் குறிப்பிடுவது போல, அனைத்து கோணங்களும் கூர்மையானவை மற்றும் 180° வரை சேர்க்கும்.

அத்தகைய முக்கோணம் மிகவும் பொதுவானது, ஆனால் ஒரு தீவிர கோணத்தை விட சற்றே குறைவான பொதுவானது. எடுத்துக்காட்டாக, முக்கோணங்களைத் தீர்க்கும்போது (அதாவது, அதன் பல பக்கங்களும் கோணங்களும் உங்களுக்குத் தெரியும், மீதமுள்ள கூறுகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்), சில சமயங்களில் கோணம் மழுங்கியதா இல்லையா என்பதை நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும். கோசைன் என்பது எதிர்மறை எண்.

ஒரு கோணத்தின் மதிப்பு 90° ஐ விட அதிகமாக உள்ளது, எனவே மீதமுள்ள இரண்டு கோணங்களும் சிறிய மதிப்புகளை எடுக்கலாம் (எடுத்துக்காட்டாக, 15° அல்லது 3° கூட).

இந்த வகை முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் சில நுணுக்கங்களை அறிந்து கொள்ள வேண்டும், அதை நாங்கள் அடுத்து பேசுவோம்.

வழக்கமான மற்றும் ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்கள்

ஒரு வழக்கமான பலகோணம் என்பது n கோணங்களை உள்ளடக்கிய ஒரு உருவமாகும், இதில் அனைத்து பக்கங்களும் கோணங்களும் சமமாக இருக்கும். இது வலது முக்கோணம். ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆக இருப்பதால், மூன்று கோணங்களும் 60° ஆகும்.

வலது முக்கோணம், அதன் சொத்து காரணமாக, ஒரு சமபக்க உருவம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு வழக்கமான முக்கோணத்தில் ஒரே ஒரு வட்டத்தை மட்டுமே பொறிக்க முடியும் என்பதும், அதைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை மட்டுமே சுற்ற முடியும் என்பதும் குறிப்பிடத்தக்கது, மேலும் அவற்றின் மையங்கள் ஒரு புள்ளியில் அமைந்துள்ளன.

சமபக்க வகைக்கு கூடுதலாக, ஒரு ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தையும் வேறுபடுத்தி அறியலாம், இது அதிலிருந்து சிறிது வேறுபடுகிறது. அத்தகைய முக்கோணத்தில், இரண்டு பக்கங்களும் இரண்டு கோணங்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும், மேலும் மூன்றாவது பக்கமானது (சமமான கோணங்கள் இணைந்திருக்கும்) அடித்தளமாகும்.

படம் ஒரு சமபக்க முக்கோண DEF ஐக் காட்டுகிறது, D மற்றும் F கோணங்கள் சமமாக இருக்கும், மேலும் DF என்பது அடிப்படை.

வலது முக்கோணம்

ஒரு செங்கோண முக்கோணம் என்று பெயரிடப்பட்டது, ஏனெனில் அதன் கோணங்களில் ஒன்று செங்கோணமாக உள்ளது, அதாவது 90°க்கு சமம். மற்ற இரண்டு கோணங்களும் 90° வரை சேர்க்கின்றன.

அத்தகைய முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய பக்கம், 90 ° கோணத்திற்கு எதிரே உள்ளது, இது ஹைபோடென்யூஸ் ஆகும், அதே நேரத்தில் அதன் மற்ற இரண்டு பக்கங்களும் கால்கள். இந்த வகை முக்கோணங்களுக்கு, பித்தகோரியன் தேற்றம் பொருந்தும்:

கால்களின் நீளத்தின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தின் சதுரத்திற்கு சமம்.

படம் ஹைப்போடென்யூஸ் AC மற்றும் கால்கள் AB மற்றும் BC உடன் BAC செங்கோண முக்கோணத்தைக் காட்டுகிறது.

ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியை சரியான கோணத்துடன் கண்டுபிடிக்க, அதன் கால்களின் எண் மதிப்புகளை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

கொடுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களுக்குச் செல்லலாம்.

பகுதியைக் கண்டறிவதற்கான அடிப்படை சூத்திரங்கள்

வடிவவியலில், பெரும்பாலான வகை முக்கோணங்களின் பரப்பளவைக் கண்டறிய பொருத்தமான இரண்டு சூத்திரங்களை வேறுபடுத்தி அறியலாம், அதாவது கடுமையான கோணம், மழுங்கிய கோணம், வழக்கமான மற்றும் ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்கள். அவை ஒவ்வொன்றையும் பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

பக்கத்திலும் உயரத்திலும்

நாம் பரிசீலிக்கும் உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறிய இந்த சூத்திரம் உலகளாவியது. இதைச் செய்ய, பக்கத்தின் நீளம் மற்றும் அதற்கு வரையப்பட்ட உயரத்தின் நீளம் ஆகியவற்றை அறிந்து கொள்வது போதுமானது. சூத்திரமே (அடிப்படை மற்றும் உயரத்தின் பாதி தயாரிப்பு) பின்வருமாறு:

இதில் A என்பது கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் பக்கமாகவும், H என்பது முக்கோணத்தின் உயரமாகவும் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு தீவிர கோண முக்கோண ACB இன் பகுதியைக் கண்டறிய, நீங்கள் அதன் பக்க AB ஐ உயர குறுவட்டால் பெருக்க வேண்டும் மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் மதிப்பை இரண்டால் வகுக்க வேண்டும்.

இருப்பினும், இந்த வழியில் ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பது எப்போதும் எளிதானது அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மழுங்கிய கோண முக்கோணத்திற்கு இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த, நீங்கள் அதன் பக்கங்களில் ஒன்றைத் தொடர வேண்டும், அதன் பிறகு மட்டுமே அதற்கு உயரத்தை வரைய வேண்டும்.

நடைமுறையில், இந்த சூத்திரம் மற்றவர்களை விட அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இரண்டு பக்கமும் ஒரு மூலையும்

இந்த சூத்திரம், முந்தையதைப் போலவே, பெரும்பாலான முக்கோணங்களுக்கு ஏற்றது மற்றும் அதன் பொருளில் ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கத்திலும் உயரத்திலும் பகுதியைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரத்தின் விளைவாகும். அதாவது, பரிசீலனையில் உள்ள சூத்திரத்தை முந்தைய ஒன்றிலிருந்து எளிதாகக் கழிக்க முடியும். அதன் வாசகம் இதுபோல் தெரிகிறது:

S = ½*sinO*A*B,

A மற்றும் B என்பது முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் மற்றும் O என்பது A மற்றும் B பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம்.

சிறந்த சோவியத் கணிதவியலாளர் V. M. பிராடிஸ் பெயரிடப்பட்ட ஒரு சிறப்பு அட்டவணையில் ஒரு கோணத்தின் சைன் பார்க்கப்படலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க.

இப்போது விதிவிலக்கான முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே பொருத்தமான பிற சூத்திரங்களுக்கு செல்லலாம்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு

ஒரு முக்கோணத்தில் உயரத்தை வரைய வேண்டியதன் அவசியத்தை உள்ளடக்கிய உலகளாவிய சூத்திரத்திற்கு கூடுதலாக, வலது கோணம் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியை அதன் கால்களிலிருந்து காணலாம்.

எனவே, ஒரு செங்கோணத்தைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு அதன் கால்களின் பாதிப் பொருளாகும், அல்லது:

இதில் a மற்றும் b என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கால்கள்.

வலது முக்கோணம்

இந்த வகை வடிவியல் புள்ளிவிவரங்கள் அதன் பரப்பளவை அதன் ஒரு பக்கத்தின் குறிப்பிட்ட மதிப்புடன் மட்டுமே காணலாம் (வழக்கமான முக்கோணத்தின் அனைத்து பக்கங்களும் சமமாக இருப்பதால்). எனவே, "பக்கங்கள் சமமாக இருக்கும்போது ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிதல்" என்ற பணியைச் சந்தித்த பிறகு, நீங்கள் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

S = A 2 *√3 / 4,

இதில் A என்பது ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பக்கமாகும்.

ஹெரானின் சூத்திரம்

ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறிவதற்கான கடைசி விருப்பம் ஹெரானின் சூத்திரம். அதைப் பயன்படுத்த, உருவத்தின் மூன்று பக்கங்களின் நீளத்தை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். ஹெரானின் சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

இதில் a, b மற்றும் c ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் பக்கங்களாகும்.

சில நேரங்களில் பணி வழங்கப்படுகிறது: "வழக்கமான முக்கோணத்தின் பரப்பளவு அதன் பக்கத்தின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்பதாகும்." இந்த வழக்கில், ஒரு வழக்கமான முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிய எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரிந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் மற்றும் பக்கத்தின் மதிப்பை (அல்லது அதன் சதுரம்) பெற வேண்டும்:

A 2 \u003d 4S / √3.

தேர்வு சிக்கல்கள்

கணிதத்தில் GIA இன் பணிகளில் பல சூத்திரங்கள் உள்ளன. கூடுதலாக, சரிபார்க்கப்பட்ட தாளில் ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியை அடிக்கடி கண்டுபிடிப்பது அவசியம்.

இந்த வழக்கில், உருவத்தின் பக்கங்களில் ஒன்றிற்கு உயரத்தை வரையவும், செல்கள் மூலம் அதன் நீளத்தை தீர்மானிக்கவும், பகுதியைக் கண்டறிய உலகளாவிய சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் மிகவும் வசதியானது:

எனவே, கட்டுரையில் வழங்கப்பட்ட சூத்திரங்களைப் படித்த பிறகு, எந்த வகையான முக்கோணத்தின் பகுதியையும் கண்டுபிடிப்பதில் உங்களுக்கு சிக்கல் இருக்காது.

ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதி - சூத்திரங்கள் மற்றும் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

கீழே உள்ளன தன்னிச்சையான முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்கள்எந்த முக்கோணத்தின் பரப்பளவையும், அதன் பண்புகள், கோணங்கள் அல்லது பரிமாணங்களைப் பொருட்படுத்தாமல் கண்டறிய ஏற்றது. சூத்திரங்கள் ஒரு படத்தின் வடிவத்தில் வழங்கப்படுகின்றன, அவற்றின் சரியான தன்மையின் பயன்பாடு அல்லது நியாயப்படுத்தலுக்கான விளக்கங்கள் இங்கே உள்ளன. மேலும், ஒரு தனி உருவம், சூத்திரங்களில் உள்ள எழுத்து குறியீடுகள் மற்றும் வரைபடத்தில் உள்ள கிராஃபிக் குறியீடுகளின் கடிதப் பரிமாற்றத்தைக் காட்டுகிறது.

குறிப்பு . முக்கோணத்தில் சிறப்பு பண்புகள் இருந்தால் (ஐசோசெல்ஸ், செவ்வக, சமபக்க), நீங்கள் கீழே உள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம், மேலும் இந்த பண்புகளைக் கொண்ட முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே உண்மையாக இருக்கும் சிறப்பு சூத்திரங்கள்:

• "சமபக்க முக்கோணத்தின் பகுதிக்கான சூத்திரங்கள்"

முக்கோண பகுதி சூத்திரங்கள்

சூத்திரங்களுக்கான விளக்கங்கள்:
a, b, c- நாம் கண்டுபிடிக்க விரும்பும் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளம்
ஆர்- முக்கோணத்தில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம்
ஆர்- முக்கோணத்தைச் சுற்றியுள்ள வட்ட வட்டத்தின் ஆரம்
ம- முக்கோணத்தின் உயரம், பக்கமாக குறைக்கப்பட்டது
ப- ஒரு முக்கோணத்தின் அரை சுற்றளவு, அதன் பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 1/2 (சுற்றளவு)
α - முக்கோணத்தின் எதிர் பக்கம் a
β - முக்கோணத்தின் எதிர் பக்கம் b
γ - முக்கோணத்தின் எதிர் பக்கம் c
ம அ, ம பி , ம c- முக்கோணத்தின் உயரம், a, b, c பக்கமாக குறைக்கப்பட்டது

கொடுக்கப்பட்ட குறியீடானது மேலே உள்ள படத்துடன் ஒத்துப்போகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், எனவே வடிவவியலில் உண்மையான சிக்கலைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​சூத்திரத்தில் சரியான இடங்களில் சரியான மதிப்புகளை பார்வைக்கு மாற்றுவது உங்களுக்கு எளிதாக இருக்கும்.

• முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ஒரு முக்கோணத்தின் உயரத்தின் பாதிப் பெருக்கல் மற்றும் இந்த உயரம் குறைக்கப்பட்ட பக்கத்தின் நீளம்(ஃபார்முலா 1). இந்த சூத்திரத்தின் சரியான தன்மையை தர்க்கரீதியாக புரிந்து கொள்ள முடியும். அடித்தளத்திற்குக் குறைக்கப்பட்ட உயரம் ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தை இரண்டு செவ்வகங்களாகப் பிரிக்கும். அவை ஒவ்வொன்றையும் நாம் b மற்றும் h பரிமாணங்களுடன் ஒரு செவ்வகமாக முடித்தால், வெளிப்படையாக, இந்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவு செவ்வகத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமமாக இருக்கும் (Spr = bh)
• முக்கோணத்தின் பரப்பளவு அதன் இரு பக்கங்களின் பாதி தயாரிப்பு மற்றும் அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் சைன்(சூத்திரம் 2) (கீழே உள்ள இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்க்கவும்). இது முந்தையதை விட வித்தியாசமாகத் தோன்றினாலும், அதை எளிதாக மாற்றலாம். கோணம் B இலிருந்து பக்கத்திற்கு b க்கு உயரத்தைக் குறைத்தால், ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள சைனின் பண்புகளின்படி, பக்க a மற்றும் γ கோணத்தின் சைன் ஆகியவற்றின் பலன்கள் வரையப்பட்ட முக்கோணத்தின் உயரத்திற்கு சமம் என்று மாறிவிடும். எங்களுக்கு, இது முந்தைய சூத்திரத்தை நமக்கு வழங்கும்
• ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் காணலாம் மூலம் வேலைஒரு வட்டத்தின் அரை ஆரம் அதன் அனைத்து பக்கங்களின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகையால் அதில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது(சூத்திரம் 3), வேறுவிதமாகக் கூறினால், நீங்கள் முக்கோணத்தின் அரை சுற்றளவை பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் மூலம் பெருக்க வேண்டும் (இந்த வழியில் நினைவில் கொள்வது எளிது)
• ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தின் பரப்பளவை அதன் அனைத்து பக்கங்களின் பலனையும் அதைச் சுற்றியுள்ள வட்டத்தின் 4 ஆரங்களால் பிரிப்பதன் மூலம் கண்டறியலாம் (சூத்திரம் 4)
• ஃபார்முலா 5 என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவை அதன் பக்கங்களின் நீளம் மற்றும் அதன் அரை சுற்றளவு (அதன் அனைத்து பக்கங்களின் பாதித் தொகை) ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் கண்டறிகிறது.
• ஹெரானின் சூத்திரம்(6) என்பது அரைச்சுற்றளவு என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்தாமல், பக்கங்களின் நீளம் மூலம் மட்டுமே அதே சூத்திரத்தின் பிரதிநிதித்துவமாகும்.
• ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தின் பரப்பளவு முக்கோணத்தின் பக்கத்தின் சதுரத்தின் பெருக்கத்திற்கு சமம் மற்றும் இந்த பக்கத்திற்கு எதிரே உள்ள கோணத்தின் இரட்டை சைன் மூலம் வகுக்கப்பட்ட பக்கத்தின் சைன்கள் (ஃபார்முலா 7)
• ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தின் பரப்பளவை ஒரு வட்டத்தின் இரண்டு சதுரங்கள் மற்றும் அதன் ஒவ்வொரு கோணத்தின் சைன்களின் விளைபொருளாகக் காணலாம். (சூத்திரம் 8)
• ஒரு பக்கத்தின் நீளமும் அதை ஒட்டிய இரண்டு கோணங்களின் அளவும் தெரிந்தால், முக்கோணத்தின் பரப்பளவை இந்தப் பக்கத்தின் சதுரமாகக் காணலாம், இவைகளின் கோடன்ஜென்ட்களின் இரட்டைத் தொகையால் வகுக்கப்படும். கோணங்கள் (சூத்திரம் 9)
• ஒரு முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு உயரத்தின் நீளம் மட்டுமே அறியப்பட்டால் (சூத்திரம் 10), அத்தகைய முக்கோணத்தின் பரப்பளவு இந்த உயரங்களின் நீளங்களுக்கு நேர்மாறான விகிதாசாரமாகும், ஹெரானின் சூத்திரம்
• ஃபார்முலா 11 நீங்கள் கணக்கிட அனுமதிக்கிறது ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு அதன் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகளின்படி, இவை ஒவ்வொரு முனைகளுக்கும் (x;y) மதிப்புகளாக வழங்கப்படுகின்றன. தனிப்பட்ட (அல்லது அனைத்து) செங்குத்துகளின் ஆயத்தொலைவுகள் எதிர்மறை மதிப்புகளின் பகுதியில் இருக்கக்கூடும் என்பதால், இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு மாடுலோவாக எடுக்கப்பட வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்க.

குறிப்பு. ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறிய வடிவவியலில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறு. வடிவவியலில் ஒரு சிக்கலை நீங்கள் தீர்க்க வேண்டும் என்றால், அதைப் போன்றது இங்கே இல்லை - அதைப் பற்றி மன்றத்தில் எழுதுங்கள். தீர்வுகளில், sqrt() செயல்பாடு "சதுர மூல" குறியீட்டிற்குப் பதிலாகப் பயன்படுத்தப்படலாம், இதில் sqrt என்பது வர்க்கமூலக் குறியீடு, மற்றும் தீவிர வெளிப்பாடு அடைப்புக்குறிக்குள் குறிக்கப்படுகிறது..சில நேரங்களில் குறியீட்டை எளிய தீவிர வெளிப்பாடுகளுக்குப் பயன்படுத்தலாம் √

பணி. இரண்டு பக்கங்கள் கொடுக்கப்பட்ட பகுதியையும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தையும் கண்டறியவும்

முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் 5 மற்றும் 6 செ.மீ., அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் 60 டிகிரி ஆகும். ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

முடிவு.

இந்த சிக்கலை தீர்க்க, பாடத்தின் தத்துவார்த்த பகுதியிலிருந்து சூத்திர எண் இரண்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவை இரண்டு பக்கங்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் சைன் மூலம் காணலாம் மற்றும் சமமாக இருக்கும்
S=1/2 ab sin γ

தீர்வுக்கு தேவையான அனைத்து தரவும் எங்களிடம் இருப்பதால் (சூத்திரத்தின் படி), சிக்கல் அறிக்கையிலிருந்து சூத்திரத்தில் மதிப்புகளை மட்டுமே மாற்ற முடியும்:
S=1/2*5*6*sin60

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளின் அட்டவணையில், சைன் 60 டிகிரியின் மதிப்பை வெளிப்பாட்டில் கண்டுபிடித்து மாற்றுகிறோம். இது மூன்றின் மூலத்திற்கு இரண்டுக்கு சமமாக இருக்கும்.
எஸ் = 15 √3 / 2

பதில்: 7.5 √3 (ஆசிரியரின் தேவைகளைப் பொறுத்து, 15 √3/2 ஐ விட்டுவிடலாம்)

பணி. ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்

3 செமீ பக்கத்துடன் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

முடிவு .

ஹெரானின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறியலாம்:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

ஒரு \u003d b \u003d c என்பதால், ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரம் வடிவம் எடுக்கும்:

S = √3 / 4 * a2

எஸ் = √3 / 4 * 3 2

பதில்: 9 √3 / 4.

பணி. பக்கங்களின் நீளத்தை மாற்றும்போது பகுதியில் மாற்றவும்

பக்கங்கள் நான்காக இருந்தால் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு எத்தனை மடங்கு அதிகரிக்கும்?

முடிவு.

முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் பரிமாணங்கள் நமக்குத் தெரியாததால், சிக்கலைத் தீர்க்க, பக்கங்களின் நீளம் முறையே தன்னிச்சையான எண்கள் a, b, c என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர், சிக்கலின் கேள்விக்கு பதிலளிக்க, இந்த முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிந்து, அதன் பக்கங்கள் நான்கு மடங்கு பெரியதாக இருக்கும் ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியைக் காண்கிறோம். இந்த முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் விகிதம் பிரச்சினைக்கான பதிலை நமக்குத் தரும்.

அடுத்து, சிக்கலின் தீர்வுக்கான உரை விளக்கத்தை படிகளில் தருகிறோம். இருப்பினும், முடிவில், அதே தீர்வு ஒரு வரைகலை வடிவத்தில் வழங்கப்படுகிறது, இது கருத்துக்கு மிகவும் வசதியானது. விருப்பமுள்ளவர்கள் உடனடியாக தீர்வைக் கைவிடலாம்.

தீர்க்க, நாங்கள் ஹெரான் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (பாடத்தின் தத்துவார்த்த பகுதியில் மேலே பார்க்கவும்). இது போல் தெரிகிறது:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(கீழே உள்ள படத்தின் முதல் வரியைப் பார்க்கவும்)

ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளம் a, b, c மாறிகள் மூலம் கொடுக்கப்படுகிறது.
பக்கங்கள் 4 மடங்கு அதிகரித்தால், புதிய முக்கோணத்தின் பரப்பளவு c யின் பரப்பளவு:

S 2 = 1/4 சதுரடி((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(கீழே உள்ள படத்தில் இரண்டாவது வரியைப் பார்க்கவும்)

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, 4 என்பது ஒரு பொதுவான காரணியாகும், இது கணிதத்தின் பொதுவான விதிகளின்படி நான்கு வெளிப்பாடுகளிலிருந்தும் அடைப்புக்குறிக்குள் இருக்கும்.
பிறகு

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - படத்தின் மூன்றாவது வரியில்
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - நான்காவது வரி

256 என்ற எண்ணிலிருந்து, வர்க்கமூலம் சரியாகப் பிரித்தெடுக்கப்பட்டது, எனவே அதை வேரின் கீழ் இருந்து வெளியே எடுப்போம்.
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(கீழே உள்ள படத்தின் ஐந்தாவது வரியைப் பார்க்கவும்)

சிக்கலில் எழுப்பப்பட்ட கேள்விக்கு பதிலளிக்க, விளைந்த முக்கோணத்தின் பரப்பளவை அசல் பகுதியால் வகுத்தால் போதும்.
வெளிப்பாடுகளை ஒருவருக்கொருவர் பிரித்து, அதன் விளைவாக வரும் பகுதியைக் குறைப்பதன் மூலம் பகுதி விகிதங்களை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்.