வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் ஒரு பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் எளிய மற்றும் கலப்பு பின்னங்களை பெருக்குதல்

சாதாரண பின்னங்களுடன் செய்யக்கூடிய அடுத்த செயல் கழித்தல் ஆகும். இந்த பொருளில், லைக் மற்றும் டினோமினேட்டர்களைப் போலல்லாமல், ஒரு இயற்கை எண்ணிலிருந்து ஒரு பகுதியை எவ்வாறு கழிப்பது மற்றும் நேர்மாறாகவும் உள்ள பின்னங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை எவ்வாறு சரியாகக் கணக்கிடுவது என்பதைப் பார்ப்போம். அனைத்து எடுத்துக்காட்டுகளும் சிக்கல்களுடன் விளக்கப்படும். பின்னங்களின் வேறுபாடு நேர்மறை எண்ணில் விளையும் நிகழ்வுகளை மட்டுமே நாங்கள் ஆராய்வோம் என்பதை முன்கூட்டியே தெளிவுபடுத்துவோம்.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை எவ்வாறு கண்டறிவது

ஒரு தெளிவான உதாரணத்துடன் இப்போதே தொடங்குவோம்: எட்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட ஒரு ஆப்பிள் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். தட்டில் ஐந்து பாகங்களை விட்டு அதில் இரண்டை எடுத்துக் கொள்வோம். இந்த செயலை இப்படி எழுதலாம்:

இதன் விளைவாக, 5 − 2 = 3 என்பதால், எங்களிடம் 3 எட்டாவது மீதமுள்ளது. 5 8 - 2 8 = 3 8 என்று மாறிவிடும்.

இந்த எளிய உதாரணத்தின் மூலம், பிரிவினைகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் பின்னங்களுக்குக் கழித்தல் விதி எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்த்தோம். அதை முறைப்படுத்துவோம்.

வரையறை 1

ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைக் கண்டறிய, நீங்கள் ஒன்றின் எண்ணிலிருந்து மற்றொன்றின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும், மேலும் வகுப்பினை அப்படியே விட்டுவிட வேண்டும். இந்த விதியை b - c b = a - c b என எழுதலாம்.

எதிர்காலத்தில் இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

குறிப்பிட்ட உதாரணங்களை எடுத்துக் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

24 15 என்ற பின்னத்திலிருந்து பொதுவான பின்னம் 17 15 ஐ கழிக்கவும்.

தீர்வு

இந்த பின்னங்கள் ஒரே பிரிவைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்கிறோம். எனவே நாம் செய்ய வேண்டியது 24ல் இருந்து 17ஐ கழிப்பதுதான். நாம் 7 ஐப் பெறுகிறோம், அதில் வகுப்பினைச் சேர்த்தால், நமக்கு 7 15 கிடைக்கும்.

எங்கள் கணக்கீடுகளை பின்வருமாறு எழுதலாம்: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15

தேவைப்பட்டால், நீங்கள் ஒரு சிக்கலான பகுதியைக் குறைக்கலாம் அல்லது கணக்கீட்டை மிகவும் வசதியாக மாற்ற, முறையற்ற பகுதியிலிருந்து முழுப் பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கலாம்.

உதாரணம் 2

37 12 - 15 12 வித்தியாசத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

மேலே விவரிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடுவோம்: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

எண் மற்றும் வகுப்பினை 2 ஆல் வகுக்க முடியும் என்பதைக் கவனிப்பது எளிது (வகுத்தல் அறிகுறிகளை ஆராய்ந்தபோது இதைப் பற்றி முன்பே பேசினோம்). பதிலைச் சுருக்கினால், நமக்கு 11 6 கிடைக்கும். இது ஒரு முறையற்ற பின்னம், அதில் இருந்து முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுப்போம்: 11 6 = 1 5 6.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களின் வேறுபாட்டை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

இந்த கணித செயல்பாட்டை நாம் ஏற்கனவே மேலே விவரித்ததற்கு குறைக்கலாம். இதைச் செய்ய, தேவையான பின்னங்களை ஒரே வகுப்பிற்குக் குறைக்கிறோம். ஒரு வரையறையை உருவாக்குவோம்:

வரையறை 2

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைக் கண்டறிய, அவற்றை ஒரே வகுப்பிற்குக் குறைத்து, எண்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைக் கண்டறிய வேண்டும்.

இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 3

2 9 இலிருந்து 1 15 என்ற பின்னத்தை கழிக்கவும்.

தீர்வு

பிரிவுகள் வேறுபட்டவை, மேலும் அவற்றை நீங்கள் சிறிய பொதுவான மதிப்பாகக் குறைக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், LCM 45 ஆகும். முதல் பகுதிக்கு கூடுதல் காரணி 5 தேவைப்படுகிறது, இரண்டாவது - 3.

கணக்கிடுவோம்: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

எங்களிடம் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட இரண்டு பின்னங்கள் உள்ளன, இப்போது முன்னர் விவரிக்கப்பட்ட வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி அவற்றின் வேறுபாட்டை எளிதாகக் கண்டறியலாம்: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

தீர்வின் சுருக்கமான சுருக்கம் இதுபோல் தெரிகிறது: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45.

தேவைப்பட்டால், முடிவைக் குறைப்பதையோ அல்லது முழு பகுதியையும் அதிலிருந்து பிரிப்பதையோ புறக்கணிக்காதீர்கள். இந்த எடுத்துக்காட்டில் நாம் அதை செய்ய வேண்டியதில்லை.

எடுத்துக்காட்டு 4

வித்தியாசத்தைக் கண்டறியவும் 19 9 - 7 36.

தீர்வு

நிபந்தனையில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட பின்னங்களை மிகக் குறைந்த பொதுவான வகுப்பான 36 ஆகக் குறைத்து முறையே 76 9 மற்றும் 7 36 ஐப் பெறுவோம்.

நாங்கள் பதிலைக் கணக்கிடுகிறோம்: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36

முடிவை 3 ஆல் குறைக்கலாம் மற்றும் 23 12 ஐப் பெறலாம். எண் வகுப்பை விட பெரியது, அதாவது முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கலாம். இறுதி விடை 111 12 ஆகும்.

முழு தீர்வின் சுருக்கமான சுருக்கம் 19 9 - 7 36 = 1 11 12 ஆகும்.

ஒரு பொதுவான பின்னத்திலிருந்து இயற்கை எண்ணைக் கழிப்பது எப்படி

இந்தச் செயலை சாதாரண பின்னங்களின் எளிய கழிப்பிற்கு எளிதாகக் குறைக்கலாம். ஒரு இயற்கை எண்ணை ஒரு பின்னமாகக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் இதைச் செய்யலாம். அதை ஒரு உதாரணத்துடன் காண்போம்.

உதாரணம் 5

83 21 - 3 வித்தியாசத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

3 என்பது 3 1க்கு சமம். பின்னர் நீங்கள் அதை இவ்வாறு கணக்கிடலாம்: 83 21 - 3 = 20 21.

நிபந்தனைக்கு முறையற்ற பின்னத்திலிருந்து முழு எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும் என்றால், முதலில் அதிலிருந்து முழு எண்ணைப் பிரித்து கலப்பு எண்ணாக எழுதுவது மிகவும் வசதியானது. பின்னர் முந்தைய உதாரணத்தை வேறு விதமாக தீர்க்க முடியும்.

83 21 என்ற பகுதியிலிருந்து, முழுப் பகுதியையும் பிரிக்கும்போது, ​​83 21 = 3 20 21 கிடைக்கும்.

இப்போது அதிலிருந்து 3 ஐக் கழிப்போம்: 3 20 21 - 3 = 20 21.

இயற்கை எண்ணிலிருந்து ஒரு பகுதியை எப்படி கழிப்பது

இந்த செயல் முந்தையதைப் போலவே செய்யப்படுகிறது: இயற்கை எண்ணை ஒரு பின்னமாக மீண்டும் எழுதுகிறோம், இரண்டையும் ஒரே வகுப்பில் கொண்டு வந்து வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும். இதை ஒரு உதாரணத்தின் மூலம் விளக்குவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 6

வித்தியாசத்தைக் கண்டறியவும்: 7 - 5 3 .

தீர்வு

7 ஒரு பின்னம் 7 1 ஆக்குவோம். நாங்கள் கழித்தலைச் செய்து இறுதி முடிவை மாற்றுகிறோம், அதிலிருந்து முழு பகுதியையும் பிரிக்கிறோம்: 7 - 5 3 = 5 1 3.

கணக்கீடுகளை செய்ய மற்றொரு வழி உள்ளது. சிக்கலில் உள்ள பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகள் அதிக எண்ணிக்கையில் இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் இது சில நன்மைகளைக் கொண்டுள்ளது.

வரையறை 3

கழிக்கப்பட வேண்டிய பின்னம் சரியானதாக இருந்தால், நாம் கழிக்கும் இயற்கை எண்ணானது இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்பட வேண்டும், அதில் ஒன்று 1 க்கு சமம். இதற்குப் பிறகு, நீங்கள் ஒற்றுமையிலிருந்து விரும்பிய பகுதியைக் கழித்து, பதிலைப் பெற வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 7

1 065 - 13 62 வித்தியாசத்தைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு

கழிக்கப்பட வேண்டிய பின்னம் சரியான பின்னமாகும், ஏனெனில் அதன் எண் அதன் வகுப்பை விட குறைவாக உள்ளது. எனவே, நாம் 1065 இலிருந்து ஒன்றைக் கழித்து, அதிலிருந்து விரும்பிய பகுதியைக் கழிக்க வேண்டும்: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62

இப்போது நாம் பதில் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். கழித்தல் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, விளைவான வெளிப்பாட்டை 1064 + 1 - 13 62 என எழுதலாம். அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வேறுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம். இதைச் செய்ய, அலகு ஒரு பின்னம் 1 1 ஆக கற்பனை செய்வோம்.

1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62 என்று மாறிவிடும்.

இப்போது 1064 ஐ நினைவில் வைத்து பதிலை உருவாக்குவோம்: 1064 49 62.

இது குறைவான வசதியானது என்பதை நிரூபிக்க பழைய முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம். நாங்கள் கொண்டு வரும் கணக்கீடுகள் இவை:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 64 = 1064

பதில் ஒன்றுதான், ஆனால் கணக்கீடுகள் மிகவும் சிக்கலானவை.

சரியான பின்னத்தை கழிக்க வேண்டிய வழக்கைப் பார்த்தோம். அது தவறாக இருந்தால், அதை ஒரு கலப்பு எண்ணுடன் மாற்றி, பழக்கமான விதிகளின்படி கழிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 8

644 - 73 5 வித்தியாசத்தைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு

இரண்டாவது பின்னம் ஒரு முறையற்ற பின்னம், மேலும் முழு பகுதியும் அதிலிருந்து பிரிக்கப்பட வேண்டும்.

இப்போது நாம் முந்தைய உதாரணத்தைப் போலவே கணக்கிடுகிறோம்: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

பின்னங்களுடன் பணிபுரியும் போது கழித்தல் பண்புகள்

இயற்கை எண்களைக் கழிக்கும் பண்புகள் சாதாரண பின்னங்களின் கழித்தல் நிகழ்வுகளுக்கும் பொருந்தும். எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கும்போது அவற்றை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 9

24 4 - 3 2 - 5 6 வித்தியாசத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

ஒரு எண்ணிலிருந்து ஒரு தொகையைக் கழிப்பதைப் பார்க்கும்போது இதே போன்ற எடுத்துக்காட்டுகளை நாங்கள் ஏற்கனவே தீர்த்துள்ளோம், எனவே நாங்கள் நன்கு அறியப்பட்ட வழிமுறையைப் பின்பற்றுகிறோம். முதலில், 25 4 - 3 2 வித்தியாசத்தைக் கணக்கிடுவோம், பின்னர் அதிலிருந்து கடைசி பகுதியைக் கழிப்போம்:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

அதிலிருந்து முழு பகுதியையும் பிரித்து பதிலை மாற்றுவோம். முடிவு - 3 11 12.

முழு தீர்வின் சுருக்கமான சுருக்கம்:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

வெளிப்பாட்டில் பின்னங்கள் மற்றும் இயற்கை எண்கள் இரண்டையும் கொண்டிருந்தால், கணக்கிடும் போது அவற்றை வகை வாரியாக தொகுக்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 10

98 + 17 20 - 5 + 3 5 வித்தியாசத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

கழித்தல் மற்றும் கூட்டல் ஆகியவற்றின் அடிப்படை பண்புகளை அறிந்து, எண்களை பின்வருமாறு தொகுக்கலாம்: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

கணக்கீடுகளை முடிப்போம்: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

எட்டாம் வகுப்பில் பள்ளி பாடமான அல்ஜீப்ராவில் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான சிக்கலைப் படிப்பது சில சமயங்களில் குழந்தைகளுக்குப் புரிந்துகொள்வதில் சிரமங்களை ஏற்படுத்துகிறது. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழிக்க, பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான செயல்முறை கூட்டலுக்கு ஒத்ததாகும், ஏனெனில் இது செயல்பாட்டின் கொள்கையை முழுமையாக நகலெடுக்கிறது.

முதலில், இரண்டு வகுப்பினதும் பெருக்கமான சிறிய எண்ணைக் கணக்கிடுகிறோம்.

இரண்டாவதாக, ஒவ்வொரு பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் பெருக்குகிறோம், இது ஒரு குறிப்பிட்ட குறைந்தபட்ச பொது வகுப்பிற்கு வகுப்பினைக் குறைக்க அனுமதிக்கும்.

மூன்றாவதாக, கழித்தல் செயல்முறையே நிகழ்கிறது, இறுதியில் வகுத்தல் நகலெடுக்கப்படும்போது, ​​​​இரண்டாவது பின்னத்தின் எண் முதல் கழிக்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 முழு 1/6

முதலில் நீங்கள் அவற்றை ஒரே வகுப்பிற்கு கொண்டு வர வேண்டும், பின்னர் கழிக்கவும். உதாரணமாக, 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. அல்லது, மிகவும் கடினமானது, 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15. பின்னங்கள் எவ்வாறு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்படுகின்றன என்பதை நீங்கள் விளக்க வேண்டுமா?

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் சாதாரண பின்னங்களைச் சேர்ப்பது அல்லது கழிப்பது போன்ற செயல்பாடுகளைச் செய்யும்போது, ​​​​ஒரு எளிய விதி பொருந்தும் - இந்த பின்னங்களின் பிரிவுகள் ஒரு எண்ணாகக் குறைக்கப்படுகின்றன, மேலும் செயல்பாடு எண்களில் உள்ள எண்களைக் கொண்டு செய்யப்படுகிறது. அதாவது, பின்னங்கள் ஒரு பொதுவான வகுப்பைப் பெறுகின்றன மற்றும் ஒன்றாக இணைக்கப்பட்டதாகத் தெரிகிறது. தன்னிச்சையான பின்னங்களுக்கு ஒரு பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறிவது பொதுவாக ஒவ்வொரு பின்னத்தையும் மற்ற பின்னத்தின் வகுப்பினால் பெருக்குவதற்கு வரும். ஆனால் எளிமையான சந்தர்ப்பங்களில், பின்னங்களின் வகுப்பினரை ஒரே எண்ணுக்குக் கொண்டுவரும் காரணிகளை நீங்கள் உடனடியாகக் கண்டறியலாம்.

பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21

பல பெரியவர்கள் ஏற்கனவே மறந்துவிட்டார்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது, ஆனால் இந்த நடவடிக்கை ஆரம்ப கணிதத்துடன் தொடர்புடையது.

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களைக் கழிக்க, நீங்கள் அவற்றை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டு வர வேண்டும், அதாவது, வகுப்பின் குறைந்தப் பொதுப் பெருக்கத்தைக் கண்டறிந்து, பின்னர் குறைவான பொதுவான மடங்கு மற்றும் வகுப்பின் விகிதத்திற்கு சமமான கூடுதல் காரணிகளால் எண்களைப் பெருக்கவும்.

பின்னம் குறிகள் பாதுகாக்கப்படுகின்றன. பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பினைக் கொண்டவுடன், நீங்கள் கழிக்கலாம், பின்னர், முடிந்தால், பின்னத்தை குறைக்கலாம்.

எலெனா, உங்கள் பள்ளி கணித பாடத்தை மீண்டும் செய்ய முடிவு செய்துள்ளீர்களா?)))

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களைக் கழிக்க, அவை முதலில் ஒரே வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட்டு பின்னர் கழிக்கப்பட வேண்டும். எளிமையான விருப்பம்: முதல் பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பை இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுப்பால் பெருக்கவும், மேலும் இரண்டாவது பகுதியின் எண் மற்றும் வகுப்பை முதல் பின்னத்தின் வகுப்பால் பெருக்கவும். ஒரே வகுப்பில் இரண்டு பின்னங்களைப் பெறுகிறோம். இப்போது நாம் முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையிலிருந்து இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணைக் கழிக்கிறோம், மேலும் அவை ஒரே வகுப்பைக் கொண்டுள்ளன.

எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு ஏழில் மூன்றில் ஐந்தில் கழித்தல் என்பது இருபத்தி ஒன்று முப்பத்தி ஐந்தில் பத்து முப்பத்தி ஐந்தில் கழித்தல் மற்றும் இது பதினொரு முப்பத்தி ஐந்தில் சமம்.

வகுத்தல்கள் பெரிய எண்களாக இருந்தால், அவற்றின் குறைந்தப் பொதுப் பெருக்கத்தைக் காணலாம், அதாவது. ஒரு எண் மற்றும் மற்ற வகுப்பால் வகுபடும். மற்றும் இரண்டு பின்னங்களையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வாருங்கள் (குறைந்தபட்சம் பொதுவான பல)

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பது மிகவும் எளிமையான பணியாகும் - நாம் பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டு வந்து, பின்னர் எண்ணில் கழித்தலைச் செய்கிறோம்.

இந்த பின்னங்களுக்கு அடுத்ததாக முழு எண்கள் இருக்கும்போது பலர் சிரமங்களை எதிர்கொள்கின்றனர், எனவே இதை எப்படி செய்வது என்பதை பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில் காட்ட விரும்பினேன்:

முழு பகுதிகள் மற்றும் வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்

முதலில் நாம் முழுப் பகுதிகளையும் 8-5 = 3 கழிப்போம் (மூன்று முதல் பகுதிக்கு அருகில் உள்ளது);

பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டு வருகிறோம் 6 (முதல் பின்னத்தின் எண் இரண்டாவது விட அதிகமாக இருந்தால், கழித்தலைச் செய்து முழுப் பகுதிக்கும் அடுத்ததாக எழுதுகிறோம், எங்கள் விஷயத்தில் நாம் தொடர்கிறோம்);

முழு பகுதி 3 ஐ 2 மற்றும் 1 ஆக சிதைக்கிறோம்;

நாம் 1 ஐ ஒரு பின்னம் 6/6 என்று எழுதுகிறோம்;

நாங்கள் 6/6+3/6-4/6 என்ற பொதுப் பிரிவின் கீழ் 6-ஐ எழுதி, எண்களில் செயல்பாடுகளைச் செய்கிறோம்;

கிடைத்த முடிவை 2 5/6 எழுதவும்.

பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்டிருந்தால் கழிக்கப்படும் என்பதை நினைவில் கொள்வது அவசியம். எனவே, வித்தியாசத்தில் வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்கள் இருக்கும்போது, ​​​​அவை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வரப்பட வேண்டும், அதைச் செய்வது கடினம் அல்ல. ஒவ்வொரு பின்னத்தின் எண்ணையும் நாம் காரணியாகக் கணக்கிட வேண்டும் மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கக் கூடாது. இதன் விளைவாக வரும் கூடுதல் காரணிகளால் எண்களை பெருக்க மறக்காதீர்கள், ஆனால் வசதிக்காக இங்கே ஒரு எடுத்துக்காட்டு:



பிரிவுகளைப் போலல்லாமல் பின்னங்களைக் கழிக்க விரும்பினால், முதலில் இரண்டு பின்னங்களுக்கும் பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். பின்னர் முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையிலிருந்து இரண்டாவது பகுதியைக் கழிக்கவும். ஒரு புதிய பின்னம் ஒரு புதிய அர்த்தத்துடன் பெறப்படுகிறது.

3 ஆம் வகுப்பு கணித பாடத்தில் இருந்து எனக்கு நினைவிருக்கும் வரை, வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழிக்க, நீங்கள் முதலில் பொதுவான வகுப்பைக் கணக்கிட்டு அதைக் குறைக்க வேண்டும், பின்னர் ஒருவருக்கொருவர் எண்களைக் கழிக்க வேண்டும், மேலும் வகுப்பானது அப்படியே இருக்கும்.

பிரிவுகளைப் போலல்லாமல் பின்னங்களைக் கழிக்க, முதலில் அந்த பின்னங்களின் மிகக் குறைந்த பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறிய வேண்டும்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:



பெரிய எண் 25 ஐ சிறிய 20 ஆல் வகுக்கவும். இது வகுபடாது. அதாவது 25 என்ற வகுப்பை அத்தகைய எண்ணால் பெருக்குகிறோம், இதன் விளைவாக வரும் தொகையை 20 ஆல் வகுக்க முடியும். இந்த எண் 4. 25x4=100 ஆக இருக்கும். 100:20=5. இவ்வாறு நாம் மிகக் குறைந்த பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டோம் - 100.

இப்போது ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, புதிய வகுப்பை பழையவற்றால் வகுக்கவும்.

9 ஐ 4 ஆல் பெருக்கவும் = 36. 7 ஐ 5 = 35 ஆல் பெருக்கவும்.

ஒரு பொதுவான வகுப்பைக் கொண்டிருப்பதால், எடுத்துக்காட்டில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி கழித்தலைச் செய்து முடிவைப் பெறுகிறோம்.

அகில்லெஸ் ஆமையை விட பத்து மடங்கு வேகமாக ஓடி அதற்கு ஆயிரம் அடிகள் பின்னால் செல்கிறது என்று வைத்துக் கொள்வோம். இந்த தூரம் ஓட அகில்லெஸ் எடுக்கும் நேரத்தில், ஆமை அதே திசையில் நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். அகில்லெஸ் நூறு படிகள் ஓடும்போது, ​​ஆமை இன்னும் பத்து படிகள் ஊர்ந்து செல்லும், மற்றும் பல. இந்த செயல்முறை முடிவில்லாமல் தொடரும், அகில்லெஸ் ஒருபோதும் ஆமையைப் பிடிக்க மாட்டார்.

இந்த பகுத்தறிவு அனைத்து அடுத்தடுத்த தலைமுறைகளுக்கும் ஒரு தர்க்கரீதியான அதிர்ச்சியாக மாறியது. அரிஸ்டாட்டில், டியோஜெனெஸ், கான்ட், ஹெகல், ஹில்பர்ட்... இவர்கள் அனைவரும் ஏதோ ஒரு வகையில் ஜெனோவின் அபோரியாவைக் கருதினர். அதிர்ச்சி மிகவும் வலுவாக இருந்தது" ... விவாதங்கள் இன்றுவரை தொடர்கின்றன; முரண்பாடுகளின் சாராம்சம் குறித்த பொதுவான கருத்துக்கு விஞ்ஞான சமூகம் இன்னும் வரவில்லை ... கணித பகுப்பாய்வு, தொகுப்பு கோட்பாடு, புதிய இயற்பியல் மற்றும் தத்துவ அணுகுமுறைகள் பிரச்சினையின் ஆய்வில் ஈடுபட்டுள்ளன. ; அவை எதுவும் பிரச்சனைக்கு பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட தீர்வாக மாறவில்லை."[விக்கிபீடியா, "ஜீனோஸ் அபோரியா". எல்லோரும் தாங்கள் ஏமாறுகிறார்கள் என்பதை புரிந்துகொள்கிறார்கள், ஆனால் ஏமாற்றுவது என்னவென்று யாருக்கும் புரியவில்லை.

கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், ஜெனோ தனது அபோரியாவில் அளவிலிருந்து க்கு மாறுவதைத் தெளிவாகக் காட்டினார். இந்த மாற்றம் நிரந்தரமானவற்றுக்குப் பதிலாக பயன்பாட்டைக் குறிக்கிறது. நான் புரிந்து கொண்டவரை, மாறி அளவீட்டு அலகுகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான கணிதக் கருவி இன்னும் உருவாக்கப்படவில்லை அல்லது அது ஜெனோவின் அபோரியாவில் பயன்படுத்தப்படவில்லை. நமது வழக்கமான தர்க்கத்தைப் பயன்படுத்துவது நம்மை ஒரு பொறிக்குள் இட்டுச் செல்கிறது. நாம், சிந்தனையின் மந்தநிலை காரணமாக, பரஸ்பர மதிப்புக்கு நேரத்தின் நிலையான அலகுகளைப் பயன்படுத்துகிறோம். இயற்பியல் கண்ணோட்டத்தில், அகில்லெஸ் ஆமையைப் பிடிக்கும் தருணத்தில் அது முற்றிலும் நின்றுவிடும் வரை நேரம் குறைவது போல் தெரிகிறது. நேரம் நின்று விட்டால், அகில்லெஸால் ஆமையை மிஞ்ச முடியாது.

நாம் நமது வழக்கமான தர்க்கத்தைத் திருப்பினால், எல்லாம் சரியாகிவிடும். அகில்லெஸ் நிலையான வேகத்தில் இயங்குகிறது. அவரது பாதையின் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த பிரிவும் முந்தையதை விட பத்து மடங்கு குறைவாக உள்ளது. அதன்படி, அதைக் கடக்க செலவழித்த நேரம் முந்தையதை விட பத்து மடங்கு குறைவு. இந்த சூழ்நிலையில் "முடிவிலி" என்ற கருத்தை நாம் பயன்படுத்தினால், "அகில்லெஸ் ஆமையை எல்லையற்ற விரைவாகப் பிடிக்கும்" என்று சொல்வது சரியாக இருக்கும்.

இந்த தர்க்கரீதியான பொறியைத் தவிர்ப்பது எப்படி? நேரத்தின் நிலையான அலகுகளில் இருங்கள் மற்றும் பரஸ்பர அலகுகளுக்கு மாறாதீர்கள். ஜெனோவின் மொழியில் இது போல் தெரிகிறது:

அகில்லெஸ் ஆயிரம் படிகள் ஓட எடுக்கும் நேரத்தில், ஆமை அதே திசையில் நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். முதல் முறைக்கு சமமான அடுத்த நேர இடைவெளியில், அகில்லெஸ் இன்னும் ஆயிரம் படிகள் ஓடுவார், ஆமை நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். இப்போது அகில்லெஸ் ஆமையை விட எண்ணூறு படிகள் முன்னால் இருக்கிறார்.

இந்த அணுகுமுறை தர்க்கரீதியான முரண்பாடுகள் இல்லாமல் யதார்த்தத்தை போதுமான அளவில் விவரிக்கிறது. ஆனால் இது பிரச்சனைக்கு முழுமையான தீர்வு அல்ல. ஒளியின் வேகத்தின் தவிர்க்க முடியாத தன்மையைப் பற்றிய ஐன்ஸ்டீனின் கூற்று ஜீனோவின் அபோரியா "அகில்லெஸ் மற்றும் ஆமை" போன்றது. நாம் இன்னும் இந்த சிக்கலைப் படித்து, மறுபரிசீலனை செய்து தீர்க்க வேண்டும். மேலும் தீர்வை எண்ணற்ற எண்ணிக்கையில் அல்ல, அளவீட்டு அலகுகளில் தேட வேண்டும்.

ஜீனோவின் மற்றொரு சுவாரஸ்யமான அபோரியா பறக்கும் அம்பு பற்றி கூறுகிறது:

பறக்கும் அம்பு அசைவற்றது, ஏனெனில் அது ஒவ்வொரு தருணத்திலும் ஓய்வில் உள்ளது, மேலும் ஒவ்வொரு தருணத்திலும் அது ஓய்வில் இருப்பதால், அது எப்போதும் ஓய்வில் இருக்கும்.

இந்த அபோரியாவில், தர்க்கரீதியான முரண்பாடு மிகவும் எளிமையாகக் கடக்கப்படுகிறது - ஒவ்வொரு தருணத்திலும் ஒரு பறக்கும் அம்பு விண்வெளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளில் ஓய்வில் உள்ளது என்பதை தெளிவுபடுத்துவது போதுமானது, இது உண்மையில் இயக்கம். இன்னொரு விஷயத்தையும் இங்கு கவனிக்க வேண்டும். சாலையில் ஒரு காரின் ஒரு புகைப்படத்திலிருந்து அதன் இயக்கத்தின் உண்மை அல்லது அதற்கான தூரத்தை தீர்மானிக்க முடியாது. ஒரு கார் நகர்கிறதா என்பதைத் தீர்மானிக்க, ஒரே புள்ளியில் இருந்து வெவ்வேறு நேரங்களில் எடுக்கப்பட்ட இரண்டு புகைப்படங்கள் தேவை, ஆனால் அவற்றிலிருந்து தூரத்தை நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியாது. ஒரு காருக்கான தூரத்தை தீர்மானிக்க, உங்களுக்கு ஒரு நேரத்தில் விண்வெளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட இரண்டு புகைப்படங்கள் தேவை, ஆனால் அவற்றிலிருந்து நீங்கள் இயக்கத்தின் உண்மையை தீர்மானிக்க முடியாது (நிச்சயமாக, கணக்கீடுகளுக்கு உங்களுக்கு இன்னும் கூடுதல் தரவு தேவை, முக்கோணவியல் உங்களுக்கு உதவும். ) நான் சிறப்பு கவனம் செலுத்த விரும்புவது என்னவென்றால், நேரத்தில் இரண்டு புள்ளிகள் மற்றும் விண்வெளியில் இரண்டு புள்ளிகள் குழப்பமடையக்கூடாது, ஏனென்றால் அவை ஆராய்ச்சிக்கு வெவ்வேறு வாய்ப்புகளை வழங்குகின்றன.

புதன், ஜூலை 4, 2018

செட் மற்றும் மல்டிசெட் இடையே உள்ள வேறுபாடுகள் விக்கிபீடியாவில் நன்றாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. பார்க்கலாம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, "ஒரு தொகுப்பில் இரண்டு ஒத்த கூறுகள் இருக்க முடியாது," ஆனால் ஒரு தொகுப்பில் ஒரே மாதிரியான கூறுகள் இருந்தால், அத்தகைய தொகுப்பு "மல்டிசெட்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. நியாயமான மனிதர்கள் இத்தகைய அபத்தமான தர்க்கத்தை ஒருபோதும் புரிந்து கொள்ள மாட்டார்கள். "முழுமையாக" என்ற வார்த்தையிலிருந்து எந்த அறிவும் இல்லாத, பேசும் கிளிகள் மற்றும் பயிற்சி பெற்ற குரங்குகளின் நிலை இதுதான். கணிதவியலாளர்கள் சாதாரண பயிற்சியாளர்களாக செயல்படுகிறார்கள், அவர்களின் அபத்தமான கருத்துக்களை நமக்குப் போதிக்கிறார்கள்.

ஒரு சமயம், பாலத்தை கட்டிய பொறியாளர்கள் பாலத்தின் அடியில் படகில் சென்று சோதனை செய்து கொண்டிருந்தனர். பாலம் இடிந்து விழுந்தால், சாதாரண பொறியாளர் தனது படைப்பின் இடிபாடுகளில் இறந்தார். பாலம் சுமைகளைத் தாங்கினால், திறமையான பொறியாளர் மற்ற பாலங்களைக் கட்டினார்.

கணிதவியலாளர்கள் "என்னை மனதில் கொள்ளுங்கள், நான் வீட்டில் இருக்கிறேன்" அல்லது "கணிதம் சுருக்கக் கருத்துக்களைப் படிக்கிறது" என்ற சொற்றொடருக்குப் பின்னால் எப்படி மறைந்தாலும், அவற்றை யதார்த்தத்துடன் பிரிக்கமுடியாத வகையில் இணைக்கும் ஒரு தொப்புள் கொடி உள்ளது. இந்த தொப்புள் கொடி பணம். கணிதத் தொகுப்புக் கோட்பாட்டை கணிதவியலாளர்களுக்கே பயன்படுத்துவோம்.

நாங்கள் கணிதத்தை நன்றாகப் படித்தோம், இப்போது நாங்கள் பணப் பதிவேட்டில் உட்கார்ந்து சம்பளம் கொடுக்கிறோம். எனவே ஒரு கணிதவியலாளர் தனது பணத்திற்காக எங்களிடம் வருகிறார். நாங்கள் அவருக்கு முழுத் தொகையையும் எண்ணி, அதை வெவ்வேறு குவியல்களில் எங்கள் மேஜையில் வைக்கிறோம், அதில் ஒரே மதிப்பின் பில்களை வைக்கிறோம். ஒவ்வொரு பைலில் இருந்தும் ஒரு பில் எடுத்து கணிதவியலாளருக்கு அவருடைய "கணித சம்பளம்" கொடுக்கிறோம். ஒரே மாதிரியான தனிமங்கள் இல்லாத ஒரு தொகுப்பு, ஒரே மாதிரியான தனிமங்களைக் கொண்ட தொகுப்பிற்குச் சமமானதல்ல என்பதை நிரூபித்தபோதுதான் மீதமுள்ள பில்களைப் பெறுவார் என்பதை கணிதவியலாளருக்கு விளக்குவோம். இங்குதான் வேடிக்கை தொடங்குகிறது.

முதலாவதாக, பிரதிநிதிகளின் தர்க்கம் வேலை செய்யும்: "இது மற்றவர்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படலாம், ஆனால் எனக்கு அல்ல!" ஒரே மதிப்பின் பில்களில் வெவ்வேறு பில் எண்கள் உள்ளன, அதாவது அவை ஒரே கூறுகளாக கருதப்பட முடியாது என்று அவர்கள் எங்களுக்கு உறுதியளிக்கத் தொடங்குவார்கள். சரி, சம்பளத்தை நாணயங்களில் எண்ணுவோம் - நாணயங்களில் எண்கள் இல்லை. இங்கே கணிதவியலாளர் இயற்பியலை வெறித்தனமாக நினைவில் கொள்ளத் தொடங்குவார்: வெவ்வேறு நாணயங்களில் வெவ்வேறு அளவு அழுக்குகள் உள்ளன, படிக அமைப்பு மற்றும் அணுக்களின் அமைப்பு ஒவ்வொரு நாணயத்திற்கும் தனித்துவமானது.

இப்போது எனக்கு மிகவும் சுவாரஸ்யமான கேள்வி உள்ளது: மல்டிசெட்டின் கூறுகள் ஒரு தொகுப்பின் கூறுகளாக மாறுவதற்கும் நேர்மாறாகவும் மாற்றும் கோடு எங்கே? அத்தகைய வரி இல்லை - எல்லாம் ஷாமன்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, விஞ்ஞானம் இங்கே பொய் சொல்லக்கூட இல்லை.

இங்கே பாருங்கள். நாங்கள் ஒரே மைதானம் கொண்ட கால்பந்து மைதானங்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். வயல்களின் பகுதிகள் ஒரே மாதிரியானவை - அதாவது எங்களிடம் மல்டிசெட் உள்ளது. ஆனால் இதே மைதானங்களின் பெயர்களைப் பார்த்தால், பெயர்கள் வித்தியாசமாக இருப்பதால், பலவற்றைப் பெறுகிறோம். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரே மாதிரியான தனிமங்கள் ஒரு தொகுப்பு மற்றும் மல்டிசெட் ஆகும். எது சரி? இங்கே கணிதவியலாளர்-ஷாமன்-கூர்மையானவர் தனது ஸ்லீவிலிருந்து டிரம்ப்களின் சீட்டுகளை வெளியே இழுத்து, ஒரு செட் அல்லது மல்டிசெட் பற்றி எங்களிடம் சொல்லத் தொடங்குகிறார். எப்படியிருந்தாலும், அவர் சொல்வது சரி என்று நம்மை நம்ப வைப்பார்.

நவீன ஷாமன்கள் எவ்வாறு செட் கோட்பாட்டுடன் செயல்படுகிறார்கள் என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, அதை யதார்த்தத்துடன் இணைத்து, ஒரு கேள்விக்கு பதிலளிப்பது போதுமானது: ஒரு தொகுப்பின் கூறுகள் மற்றொரு தொகுப்பின் கூறுகளிலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன? "ஒரு முழுமையல்ல" அல்லது "ஒற்றை முழுதாக கற்பனை செய்ய முடியாதது" எதுவுமின்றி நான் உங்களுக்குக் காட்டுகிறேன்.

ஞாயிற்றுக்கிழமை, மார்ச் 18, 2018

ஒரு எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையானது ஷாமன்களின் நடனம் ஆகும், இது கணிதத்துடன் எந்த தொடர்பும் இல்லை. ஆம், கணித பாடங்களில் ஒரு எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடித்து அதைப் பயன்படுத்த கற்றுக்கொடுக்கிறோம், ஆனால் அதனால்தான் அவர்கள் ஷாமன்கள், அவர்களின் சந்ததியினருக்கு அவர்களின் திறமைகளையும் ஞானத்தையும் கற்பிக்கிறார்கள், இல்லையெனில் ஷாமன்கள் வெறுமனே இறந்துவிடுவார்கள்.

ஆதாரம் தேவையா? விக்கிபீடியாவைத் திறந்து, "ஒரு எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை" பக்கத்தைக் கண்டறிய முயற்சிக்கவும். அவள் இல்லை. எந்த எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க கணிதத்தில் எந்த சூத்திரமும் இல்லை. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, எண்கள் நாம் எண்களை எழுதும் கிராஃபிக் குறியீடுகள், மேலும் கணிதத்தின் மொழியில் பணி இதுபோல் தெரிகிறது: "எந்த எண்ணையும் குறிக்கும் கிராஃபிக் சின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்." கணிதவியலாளர்களால் இந்த சிக்கலை தீர்க்க முடியாது, ஆனால் ஷாமன்கள் அதை எளிதாக செய்ய முடியும்.

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய என்ன, எப்படிச் செய்கிறோம் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். எனவே, 12345 என்ற எண்ணைப் பெறுவோம். இந்த எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க என்ன செய்ய வேண்டும்? அனைத்து படிகளையும் வரிசையாகக் கருதுவோம்.

1. ஒரு காகிதத்தில் எண்ணை எழுதுங்கள். நாம் என்ன செய்தோம்? எண்ணை வரைகலை எண் குறியீடாக மாற்றியுள்ளோம். இது கணித செயல்பாடு அல்ல.

2. ஒரு விளைவான படத்தை தனிப்பட்ட எண்களைக் கொண்ட பல படங்களாக வெட்டுகிறோம். ஒரு படத்தை வெட்டுவது ஒரு கணித செயல்பாடு அல்ல.

3. தனிப்பட்ட கிராஃபிக் குறியீடுகளை எண்களாக மாற்றவும். இது கணித செயல்பாடு அல்ல.

4. இதன் விளைவாக வரும் எண்களைச் சேர்க்கவும். இப்போது இது கணிதம்.

12345 என்ற எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 15. இவை கணிதவியலாளர்கள் பயன்படுத்தும் ஷாமன்களால் கற்பிக்கப்படும் "வெட்டு மற்றும் தையல் படிப்புகள்" ஆகும். ஆனால் அது மட்டும் அல்ல.

கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், எந்த எண் அமைப்பில் எண்ணை எழுதுகிறோம் என்பது முக்கியமல்ல. எனவே, வெவ்வேறு எண் அமைப்புகளில் ஒரே எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை வேறுபட்டதாக இருக்கும். கணிதத்தில், எண் அமைப்பு எண்ணின் வலதுபுறத்தில் சப்ஸ்கிரிப்டாகக் குறிக்கப்படுகிறது. பெரிய எண் 12345 உடன், நான் என் தலையை முட்டாளாக்க விரும்பவில்லை, கட்டுரையில் இருந்து எண் 26 ஐக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த எண்ணை பைனரி, ஆக்டல், டெசிமல் மற்றும் ஹெக்ஸாடெசிமல் எண் அமைப்புகளில் எழுதுவோம். ஒவ்வொரு அடியையும் நுண்ணோக்கியில் பார்க்க மாட்டோம்; நாங்கள் ஏற்கனவே அதைச் செய்துவிட்டோம். முடிவைப் பார்ப்போம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, வெவ்வேறு எண் அமைப்புகளில் ஒரே எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை வேறுபட்டது. இந்த முடிவுக்கும் கணிதத்திற்கும் எந்த சம்பந்தமும் இல்லை. ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவை மீட்டர் மற்றும் சென்டிமீட்டர்களில் தீர்மானித்தது போலவே, நீங்கள் முற்றிலும் மாறுபட்ட முடிவுகளைப் பெறுவீர்கள்.

பூஜ்ஜியம் அனைத்து எண் அமைப்புகளிலும் ஒரே மாதிரியாகத் தெரிகிறது மற்றும் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை இல்லை. இது உண்மைக்கு ஆதரவான மற்றொரு வாதம். கணிதவியலாளர்களுக்கான கேள்வி: எண் இல்லாத ஒன்று கணிதத்தில் எவ்வாறு குறிப்பிடப்படுகிறது? என்ன, கணிதவியலாளர்களுக்கு எண்களைத் தவிர வேறு எதுவும் இல்லை? நான் ஷாமன்களுக்கு இதை அனுமதிக்க முடியும், ஆனால் விஞ்ஞானிகளுக்கு அனுமதிக்க முடியாது. எதார்த்தம் என்பது எண்களைப் பற்றியது மட்டுமல்ல.

எண் அமைப்புகள் எண்களுக்கான அளவீட்டு அலகுகள் என்பதற்கான ஆதாரமாக பெறப்பட்ட முடிவு கருதப்பட வேண்டும். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, வெவ்வேறு அளவீட்டு அலகுகளுடன் எண்களை ஒப்பிட முடியாது. ஒரே அளவின் வெவ்வேறு அலகுகளைக் கொண்ட அதே செயல்கள் அவற்றை ஒப்பிட்டுப் பார்த்த பிறகு வெவ்வேறு முடிவுகளுக்கு வழிவகுத்தால், இதற்கும் கணிதத்திற்கும் எந்தத் தொடர்பும் இல்லை.

உண்மையான கணிதம் என்றால் என்ன? ஒரு கணித செயல்பாட்டின் முடிவு எண்ணின் அளவு, பயன்படுத்தப்படும் அளவீட்டு அலகு மற்றும் இந்த செயலை யார் செய்கிறார் என்பதைப் பொறுத்து இருக்காது.

ஓ! இது பெண்கள் கழிவறை இல்லையா?
- இளம்பெண்! ஆன்மாக்கள் சொர்க்கத்திற்கு ஏறும் போது அவர்களின் தூய்மையற்ற புனிதத்தன்மையை ஆய்வு செய்வதற்கான ஆய்வகம் இது! மேலே ஒளிவட்டம் மற்றும் அம்புக்குறி. வேறு என்ன கழிப்பறை?

பெண்... மேலுள்ள ஒளிவட்டமும் கீழே உள்ள அம்பும் ஆண்.

அத்தகைய வடிவமைப்பு கலை ஒரு நாளைக்கு பல முறை உங்கள் கண்களுக்கு முன்பாக ஒளிரும் என்றால்,

திடீரென்று உங்கள் காரில் ஒரு விசித்திரமான ஐகானைக் கண்டால் ஆச்சரியப்படுவதற்கில்லை:

தனிப்பட்ட முறையில், நான் ஒரு மலம் கழிக்கும் நபரில் மைனஸ் நான்கு டிகிரிகளைப் பார்க்க முயற்சி செய்கிறேன் (ஒரு படம்) (பல படங்களின் கலவை: ஒரு கழித்தல் அடையாளம், எண் நான்கு, டிகிரிகளின் பதவி). மேலும் இந்த பெண் இயற்பியல் தெரியாத ஒரு முட்டாள் என்று நான் நினைக்கவில்லை. கிராஃபிக் படங்களை உணரும் வலுவான ஸ்டீரியோடைப் மட்டுமே அவளுக்கு உள்ளது. மேலும் கணிதவியலாளர்கள் இதை நமக்கு எப்பொழுதும் கற்பிக்கிறார்கள். இதோ ஒரு உதாரணம்.

1A என்பது "மைனஸ் நான்கு டிகிரி" அல்லது "ஒரு a" அல்ல. இது "பூப்பிங் மேன்" அல்லது ஹெக்ஸாடெசிமல் குறியீட்டில் "இருபத்தி ஆறு" எண். இந்த எண் அமைப்பில் தொடர்ந்து பணியாற்றுபவர்கள் தானாக ஒரு எண்ணையும் ஒரு எழுத்தையும் ஒரு கிராஃபிக் சின்னமாக உணர்கிறார்கள்.

பின்னங்கள் கொண்ட செயல்கள்.

கவனம்!
கூடுதல் உள்ளன
சிறப்புப் பிரிவு 555 இல் உள்ள பொருட்கள்.
மிகவும் "மிகவும் இல்லை..." என்று இருப்பவர்களுக்கு.
மற்றும் "மிகவும்..." இருப்பவர்களுக்கு)

எனவே, பின்னங்கள் என்ன, பின்னங்களின் வகைகள், மாற்றங்கள் - நாங்கள் நினைவில் வைத்தோம். முக்கிய பிரச்சினைக்கு வருவோம்.

பின்னங்களை வைத்து என்ன செய்யலாம்?ஆம், எல்லாம் சாதாரண எண்களைப் போலவே உள்ளது. கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல்.

இந்த நடவடிக்கைகள் அனைத்தும் தசமபின்னங்களுடன் வேலை செய்வது முழு எண்களுடன் வேலை செய்வதிலிருந்து வேறுபட்டதல்ல. உண்மையில், அதுதான் அவர்களுக்கு நல்லது, தசமம். ஒரே விஷயம் என்னவென்றால், நீங்கள் கமாவை சரியாக வைக்க வேண்டும்.

கலப்பு எண்கள், நான் ஏற்கனவே கூறியது போல், பெரும்பாலான செயல்களுக்கு சிறிய பயன் இல்லை. அவை இன்னும் சாதாரண பின்னங்களாக மாற்றப்பட வேண்டும்.

ஆனால் உடன் செயல்கள் சாதாரண பின்னங்கள்அவர்கள் அதிக தந்திரமாக இருப்பார்கள். மேலும் மிக முக்கியமானது! நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: எழுத்துக்கள், சைன்கள், தெரியாதவை மற்றும் பலவற்றுடன் பின்னம் வெளிப்பாடுகள் கொண்ட அனைத்து செயல்களும் சாதாரண பின்னங்கள் கொண்ட செயல்களிலிருந்து வேறுபட்டவை அல்ல.! சாதாரண பின்னங்கள் கொண்ட செயல்பாடுகள் அனைத்து இயற்கணிதத்திற்கும் அடிப்படையாகும். இந்த காரணத்திற்காகவே இந்த எண்கணிதத்தை மிக விரிவாக இங்கே பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

பின்னங்களை கூட்டுதல் மற்றும் கழித்தல்.

அனைவரும் ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்க்கலாம் (கழிக்கலாம்) (நான் நம்புகிறேன்!). சரி, முற்றிலும் மறந்தவர்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: சேர்க்கும்போது (கழிக்கும்போது), வகுப்பு மாறாது. முடிவின் எண்ணிக்கையைக் கொடுக்க எண்கள் சேர்க்கப்படுகின்றன (கழிக்கப்படுகின்றன). வகை:

சுருக்கமாக, பொதுவாக:

பிரிவுகள் வேறுபட்டால் என்ன செய்வது? பின்னர், ஒரு பின்னத்தின் அடிப்படைச் சொத்தைப் பயன்படுத்தி (இங்கே அது மீண்டும் கைக்கு வருகிறது!), நாங்கள் வகுப்பினரை ஒரே மாதிரியாக ஆக்குகிறோம்! உதாரணத்திற்கு:

இங்கே நாம் 2/5 என்ற பின்னத்திலிருந்து 4/10 என்ற பகுதியை உருவாக்க வேண்டும். பகுத்தறிவுகளை ஒரே மாதிரியாக மாற்றும் நோக்கத்திற்காக. 2/5 மற்றும் 4/10 என்பதை நான் கவனிக்கிறேன் அதே பின்னம்! 2/5 மட்டுமே எங்களுக்கு சங்கடமாக இருக்கிறது, மேலும் 4/10 உண்மையில் பரவாயில்லை.

மூலம், இது எந்த கணித சிக்கல்களையும் தீர்ப்பதன் சாராம்சம். நாம் எப்போது சங்கடமானநாங்கள் வெளிப்பாடுகளை செய்கிறோம் அதே விஷயம், ஆனால் தீர்க்க மிகவும் வசதியானது.

மற்றொரு உதாரணம்:

நிலைமையும் அப்படித்தான். இங்கே நாம் 16 இலிருந்து 48 ஐ உருவாக்குகிறோம். 3 ஆல் எளிய பெருக்கல் மூலம். இவை அனைத்தும் தெளிவாக உள்ளன. ஆனால் இதுபோன்ற ஒன்றை நாங்கள் கண்டோம்:

எப்படி இருக்க வேண்டும்?! ஏழில் ஒன்பதை உருவாக்குவது கடினம்! ஆனால் நாங்கள் புத்திசாலிகள், எங்களுக்கு விதிகள் தெரியும்! மாற்றுவோம் ஒவ்வொருபின்னம் அதனால் வகுப்புகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். இது "பொது வகுப்பிற்குக் குறைத்தல்" என்று அழைக்கப்படுகிறது:

ஆஹா! 63 பற்றி எனக்கு எப்படித் தெரியும்? மிக எளிய! 63 என்பது ஒரே நேரத்தில் 7 மற்றும் 9 ஆல் வகுபடும் எண். அத்தகைய எண்ணை எப்பொழுதும் வகுத்தல்களைப் பெருக்குவதன் மூலம் பெறலாம். உதாரணமாக, ஒரு எண்ணை 7 ஆல் பெருக்கினால், முடிவு நிச்சயமாக 7 ஆல் வகுபடும்!

நீங்கள் பல பின்னங்களைச் சேர்க்க (கழிக்க) விரும்பினால், அதை ஜோடிகளாக, படிப்படியாக செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை. அனைத்து பின்னங்களுக்கும் பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறிந்து, ஒவ்வொரு பின்னத்தையும் இதே வகுப்பிற்குக் குறைக்க வேண்டும். உதாரணத்திற்கு:

மேலும் பொதுவான அம்சம் என்னவாக இருக்கும்? நீங்கள் நிச்சயமாக, 2, 4, 8 மற்றும் 16 ஐப் பெருக்கலாம். நாங்கள் 1024 ஐப் பெறுகிறோம். கெட்ட கனவு. எண் 16 ஆனது 2, 4 மற்றும் 8 ஆல் முழுமையாக வகுபடும் என்று மதிப்பிடுவது எளிது. எனவே, இந்த எண்களிலிருந்து 16 ஐப் பெறுவது எளிது. இந்த எண் பொதுவான வகுப்பாக இருக்கும். 1/2 ஐ 8/16 ஆகவும், 3/4 ஐ 12/16 ஆகவும், மற்றும் பலவற்றை மாற்றுவோம்.

மூலம், நீங்கள் 1024 ஐ பொதுவான வகுப்பாக எடுத்துக் கொண்டால், எல்லாம் வேலை செய்யும், இறுதியில் எல்லாம் குறைக்கப்படும். ஆனால் எல்லோரும் இந்த முடிவுக்கு வர மாட்டார்கள், ஏனெனில் கணக்கீடுகள் ...

உதாரணத்தை நீங்களே முடிக்கவும். ஒருவித மடக்கை அல்ல... அது 29/16 ஆக இருக்க வேண்டும்.

எனவே, பின்னங்களின் கூட்டல் (கழித்தல்) தெளிவாக உள்ளது, நான் நம்புகிறேன்? நிச்சயமாக, கூடுதல் பெருக்கிகளுடன் சுருக்கப்பட்ட பதிப்பில் வேலை செய்வது எளிது. ஆனால் இந்த இன்பம் குறைந்த வகுப்பில் நேர்மையாக உழைத்தவர்களுக்கே கிடைக்கும்... எதையும் மறக்கவில்லை.

இப்போது நாம் அதே செயல்களைச் செய்வோம், ஆனால் பின்னங்களுடன் அல்ல, ஆனால் உடன் பகுதி வெளிப்பாடுகள். புதிய ரேக் இங்கே வெளிப்படுத்தப்படும், ஆம்...

எனவே, நாம் இரண்டு பகுதி வெளிப்பாடுகளைச் சேர்க்க வேண்டும்:

பகுத்தறிவுகளை நாம் ஒரே மாதிரியாக மாற்ற வேண்டும். மற்றும் உதவியுடன் மட்டுமே பெருக்கல்! ஒரு பகுதியின் முக்கிய சொத்து கட்டளையிடுவது இதுதான். எனவே, வகுப்பில் முதல் பின்னத்தில் X உடன் ஒன்றைச் சேர்க்க முடியாது. (அது நன்றாக இருக்கும்!). ஆனால் நீங்கள் பிரிவினைகளைப் பெருக்கினால், எல்லாம் ஒன்றாக வளர்கிறது! எனவே நாம் பின்னத்தின் கோட்டை எழுதி, மேலே ஒரு வெற்று இடத்தை விட்டு, பின்னர் அதைச் சேர்த்து, மறந்துவிடாதபடி கீழே உள்ள வகுப்பினரின் தயாரிப்பை எழுதுகிறோம்:

மற்றும், நிச்சயமாக, நாம் வலது பக்கத்தில் எதையும் பெருக்க மாட்டோம், அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க மாட்டோம்! இப்போது, ​​​​வலது பக்கத்தில் உள்ள பொதுவான வகுப்பைப் பார்க்கும்போது, ​​​​நாங்கள் புரிந்துகொள்கிறோம்: முதல் பின்னத்தில் x (x+1) வகுப்பைப் பெற, நீங்கள் இந்த பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பை (x+1) ஆல் பெருக்க வேண்டும். . மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தில் - x வரை. நீங்கள் பெறுவது இதுதான்:

குறிப்பு! இதோ அடைப்புக்குறிகள்! பலர் மிதிக்கும் ரேக் இது. நிச்சயமாக அடைப்புக்குறிகள் அல்ல, ஆனால் அவை இல்லாதது. நாம் பெருக்குவதால் அடைப்புக்குறிகள் தோன்றும் அனைத்துஎண் மற்றும் அனைத்துவகுக்கும்! அவர்களின் தனிப்பட்ட துண்டுகள் அல்ல...

வலது பக்க எண்களில் நாம் எண்களின் கூட்டுத்தொகையை எழுதுகிறோம், எல்லாமே எண் பின்னங்களில் உள்ளது, பின்னர் வலது பக்க எண்களில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கிறோம், அதாவது. நாம் எல்லாவற்றையும் பெருக்கி ஒத்தவற்றைக் கொடுக்கிறோம். வகுப்பில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கவோ அல்லது எதையும் பெருக்கவோ தேவையில்லை! பொதுவாக, பிரிவுகளில் (ஏதேனும்) தயாரிப்பு எப்போதும் மிகவும் இனிமையானது! நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எனவே விடை கிடைத்தது. செயல்முறை நீண்ட மற்றும் கடினமாக தெரிகிறது, ஆனால் அது நடைமுறையில் சார்ந்துள்ளது. நீங்கள் உதாரணங்களைத் தீர்த்தவுடன், அதைப் பழக்கப்படுத்துங்கள், எல்லாம் எளிமையாகிவிடும். சரியான நேரத்தில் பின்னங்களில் தேர்ச்சி பெற்றவர்கள் இந்த செயல்பாடுகளை ஒரு இடது கையால் தானாகவே செய்கிறார்கள்!

மேலும் ஒரு குறிப்பு. பலர் பின்னங்களை புத்திசாலித்தனமாக கையாளுகிறார்கள், ஆனால் உதாரணங்களில் சிக்கிக் கொள்கிறார்கள் முழுவதும்எண்கள். இப்படி: 2 + 1/2 + 3/4= ? இரண்டு துண்டுகளை எங்கே கட்டுவது? நீங்கள் அதை எங்கும் கட்ட வேண்டிய அவசியமில்லை, இரண்டில் ஒரு பகுதியை நீங்கள் உருவாக்க வேண்டும். இது எளிதானது அல்ல, ஆனால் மிகவும் எளிமையானது! 2=2/1. இது போன்ற. எந்த முழு எண்ணையும் பின்னமாக எழுதலாம். எண் என்பது எண் தானே, வகுத்தல் ஒன்று. 7 என்பது 7/1, 3 என்பது 3/1 மற்றும் பல. எழுத்துக்களிலும் அப்படித்தான். (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, போன்றவை. பின்னர் அனைத்து விதிகளின்படி இந்த பின்னங்களுடன் நாங்கள் வேலை செய்கிறோம்.

சரி, பின்னங்களின் கூட்டல் கழித்தல் பற்றிய அறிவு புத்துணர்ச்சி பெற்றது. பின்னங்களை ஒரு வகையிலிருந்து மற்றொரு வகைக்கு மாற்றுவது மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்பட்டது. நீங்கள் சரிபார்க்கவும் முடியும். கொஞ்சம் தீர்த்து வைப்போமா?)

கணக்கிடு:

பதில்கள் (குழப்பத்தில்):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

பின்னங்களின் பெருக்கல்/வகுத்தல் - அடுத்த பாடத்தில். பின்னங்கள் கொண்ட அனைத்து செயல்பாடுகளுக்கும் பணிகளும் உள்ளன.

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களைப் பற்றி நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

வேதியியல், இயற்பியல் மற்றும் உயிரியல் போன்ற துறைகளில் காணப்படும் மிக முக்கியமான அறிவியல்களில் ஒன்று, கணிதம் ஆகும். இந்த அறிவியலைப் படிப்பதன் மூலம் சில மன குணங்களை வளர்த்துக்கொள்ளவும், கவனம் செலுத்தும் திறனை மேம்படுத்தவும் உங்களை அனுமதிக்கிறது. கணித பாடத்தில் சிறப்பு கவனம் செலுத்த வேண்டிய தலைப்புகளில் ஒன்று பின்னங்களைக் கூட்டுவதும் கழிப்பதும் ஆகும். பல மாணவர்கள் படிக்க முடியாமல் சிரமப்படுகின்றனர். இந்த தலைப்பை நன்கு புரிந்துகொள்ள எங்கள் கட்டுரை உங்களுக்கு உதவும்.

பிரிவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது

பின்னங்கள் நீங்கள் பல்வேறு செயல்பாடுகளைச் செய்யக்கூடிய அதே எண்கள். முழு எண்களிலிருந்து அவற்றின் வேறுபாடு ஒரு வகுப்பின் முன்னிலையில் உள்ளது. அதனால்தான், பின்னங்களுடன் செயல்பாடுகளைச் செய்யும்போது, ​​​​அவற்றின் சில அம்சங்களையும் விதிகளையும் நீங்கள் படிக்க வேண்டும். எளிமையான வழக்கு என்பது சாதாரண பின்னங்களின் கழித்தல் ஆகும், அதன் பிரிவுகள் ஒரே எண்ணாக குறிப்பிடப்படுகின்றன. ஒரு எளிய விதி உங்களுக்குத் தெரிந்தால், இந்தச் செயலைச் செய்வது கடினமாக இருக்காது:

• ஒரு பின்னத்திலிருந்து ஒரு வினாடியைக் கழிக்க, குறைக்கப்பட்ட பின்னத்தின் எண்ணிலிருந்து கழித்த பின்னத்தின் எண்ணைக் கழிப்பது அவசியம். இந்த எண்ணை வேறுபாட்டின் எண்ணிக்கையில் எழுதுகிறோம், மேலும் வகுப்பினை அப்படியே விட்டுவிடுகிறோம்: k/m - b/m = (k-b)/m.

பிரிவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

"7" என்ற பின்னத்தின் எண்ணிலிருந்து கழிக்க வேண்டிய "3" என்ற பின்னத்தின் எண்ணைக் கழித்தால், நமக்கு "4" கிடைக்கும். இந்த எண்ணை பதிலின் எண்ணிக்கையில் எழுதுகிறோம், முதல் மற்றும் இரண்டாவது பின்னங்களின் வகுப்பில் இருந்த அதே எண்ணை வகுப்பில் வைக்கிறோம் - “19”.

கீழே உள்ள படம் இன்னும் பல ஒத்த உதாரணங்களைக் காட்டுகிறது.

மிகவும் சிக்கலான உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

"29" என்ற பின்னத்தின் எண்ணிக்கையிலிருந்து, அனைத்து அடுத்தடுத்த பின்னங்களின் எண்களையும் கழிப்பதன் மூலம் குறைக்கப்படுகிறது - "3", "8", "2", "7". இதன் விளைவாக, “9” என்ற முடிவைப் பெறுகிறோம், அதை நாம் பதிலின் எண்ணிக்கையில் எழுதுகிறோம், மேலும் இந்த அனைத்து பின்னங்களின் வகுப்பிலும் உள்ள எண்ணை வகுப்பில் எழுதுகிறோம் - “47”.

ஒரே வகுப்பினைக் கொண்ட பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

சாதாரண பின்னங்களைக் கூட்டுவதும் கழிப்பதும் இதே கொள்கையைப் பின்பற்றுகிறது.

• பிரிவுகள் ஒரே மாதிரியான பின்னங்களைச் சேர்க்க, நீங்கள் எண்களைச் சேர்க்க வேண்டும். இதன் விளைவாக வரும் எண்ணானது கூட்டுத்தொகையின் எண்ணாகும், மேலும் வகுத்தல் அப்படியே இருக்கும்: k/m + b/m = (k + b)/m.

ஒரு உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இது எப்படி இருக்கும் என்று பார்ப்போம்:

1/4 + 2/4 = 3/4.

பின்னத்தின் முதல் காலத்தின் எண்ணிக்கையில் - “1” - பின்னத்தின் இரண்டாவது காலத்தின் எண் - “2” ஐச் சேர்க்கவும். முடிவு - “3” - கூட்டுத்தொகையின் எண்ணில் எழுதப்பட்டுள்ளது, மேலும் வகுத்தல் பின்னங்களில் உள்ளதைப் போலவே இருக்கும் - “4”.

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் மற்றும் அவற்றின் கழித்தல்

ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களைக் கொண்ட செயல்பாட்டை நாங்கள் ஏற்கனவே பரிசீலித்துள்ளோம். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எளிய விதிகளை அறிந்து, அத்தகைய உதாரணங்களைத் தீர்ப்பது மிகவும் எளிதானது. ஆனால் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களுடன் நீங்கள் ஒரு செயல்பாட்டைச் செய்ய வேண்டுமானால் என்ன செய்வது? பல இடைநிலைப் பள்ளி மாணவர்கள் இதுபோன்ற உதாரணங்களால் குழப்பமடைந்துள்ளனர். ஆனால் இங்கே கூட, தீர்வின் கொள்கை உங்களுக்குத் தெரிந்தால், எடுத்துக்காட்டுகள் இனி உங்களுக்கு கடினமாக இருக்காது. இங்கே ஒரு விதி உள்ளது, இது இல்லாமல் அத்தகைய பின்னங்களைத் தீர்ப்பது வெறுமனே சாத்தியமற்றது.

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களைக் கழிக்க, அவை அதே சிறிய வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்.



இதை எப்படி செய்வது என்பது பற்றி இன்னும் விரிவாகப் பேசுவோம்.

ஒரு பகுதியின் சொத்து

பல பின்னங்களை ஒரே வகுப்பிற்குக் கொண்டு வர, நீங்கள் ஒரு பின்னத்தின் முக்கிய சொத்தை கரைசலில் பயன்படுத்த வேண்டும்: எண் மற்றும் வகுப்பினை ஒரே எண்ணால் வகுத்தல் அல்லது பெருக்கிய பிறகு, கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு சமமான ஒரு பகுதியைப் பெறுவீர்கள்.

எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, பின்னம் 2/3 ஆனது "6", "9", "12" போன்ற பிரிவுகளைக் கொண்டிருக்கலாம், அதாவது, "3" இன் பெருக்கல் எந்த எண்ணின் வடிவத்தையும் கொண்டிருக்கலாம். எண் மற்றும் வகுப்பினை "2" ஆல் பெருக்கினால், 4/6 என்ற பின்னம் கிடைக்கும். அசல் பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை "3" ஆல் பெருக்கிய பிறகு, நமக்கு 6/9 கிடைக்கும், மேலும் "4" எண்ணுடன் இதேபோன்ற செயல்பாட்டைச் செய்தால், 8/12 கிடைக்கும். ஒரு சமத்துவத்தை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

பல பின்னங்களை ஒரே வகுப்பிற்கு மாற்றுவது எப்படி

பல பின்னங்களை ஒரே வகுப்பிற்கு எவ்வாறு குறைப்பது என்று பார்ப்போம். எடுத்துக்காட்டாக, கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள பின்னங்களை எடுத்துக் கொள்வோம். அவை அனைத்திற்கும் எந்த எண் வகுப்பாக மாறும் என்பதை முதலில் நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும். விஷயங்களை எளிதாக்க, ஏற்கனவே உள்ள வகைகளை காரணியாக்குவோம்.

பின்னம் 1/2 மற்றும் பின்னம் 2/3 ஆகியவற்றின் வகுப்பினை காரணியாக்க முடியாது. வகுத்தல் 7/9 இரண்டு காரணிகளைக் கொண்டுள்ளது 7/9 = 7/(3 x 3), பின்னம் 5/6 = 5/(2 x 3). இந்த நான்கு பின்னங்களுக்கும் எந்த காரணிகள் சிறியதாக இருக்கும் என்பதை இப்போது நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும். முதல் பின்னம் வகுப்பில் “2” என்ற எண்ணைக் கொண்டிருப்பதால், அது எல்லாப் பிரிவுகளிலும் இருக்க வேண்டும் என்று அர்த்தம்; 7/9 என்ற பின்னத்தில் இரண்டு மும்மடங்குகள் உள்ளன, அதாவது அவை இரண்டும் வகுப்பில் இருக்க வேண்டும். மேற்கூறியவற்றைக் கருத்தில் கொண்டு, வகுத்தல் மூன்று காரணிகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்: 3, 2, 3 மற்றும் 3 x 2 x 3 = 18 க்கு சமம்.



முதல் பகுதியைக் கருத்தில் கொள்வோம் - 1/2. அதன் வகுப்பில் "2" உள்ளது, ஆனால் ஒரு "3" இலக்கம் இல்லை, ஆனால் இரண்டு இருக்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, நாம் வகுப்பினை இரண்டு மும்மடங்காகப் பெருக்குகிறோம், ஆனால், ஒரு பகுதியின் சொத்தின்படி, நாம் எண்ணை இரண்டு மும்மடங்காகப் பெருக்க வேண்டும்:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

மீதமுள்ள பின்னங்களுடன் அதே செயல்பாடுகளைச் செய்கிறோம்.

• 2/3 - ஒன்று மூன்று மற்றும் ஒன்று இரண்டு வகுப்பில் இல்லை:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 அல்லது 7/(3 x 3) - வகுப்பில் இரண்டைக் காணவில்லை:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 அல்லது 5/(2 x 3) - வகுப்பில் மூன்று இல்லை:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

எல்லாம் சேர்ந்து இது போல் தெரிகிறது:



வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது மற்றும் சேர்ப்பது

மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களைச் சேர்க்க அல்லது கழிக்க, அவை ஒரே வகுப்பாகக் குறைக்கப்பட வேண்டும், பின்னர் ஏற்கனவே விவாதிக்கப்பட்ட அதே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான விதிகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

இதை ஒரு உதாரணமாகப் பார்ப்போம்: 4/18 - 3/15.

18 மற்றும் 15 எண்களின் பெருக்கத்தைக் கண்டறிதல்:

• எண் 18 ஆனது 3 x 2 x 3 ஆல் ஆனது.
• எண் 15 ஆனது 5 x 3 ஆல் ஆனது.
• பொதுவான மடங்கு பின்வரும் காரணிகளாக இருக்கும்: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

வகுத்தல் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பிறகு, ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் வித்தியாசமாக இருக்கும் காரணியைக் கணக்கிடுவது அவசியம், அதாவது, வகுப்பினை மட்டுமல்ல, எண்ணையும் பெருக்க வேண்டிய எண். இதைச் செய்ய, கூடுதல் காரணிகளைத் தீர்மானிக்க வேண்டிய பின்னத்தின் வகுப்பினால் நாம் கண்டறிந்த எண்ணை (பொது மடங்கு) வகுக்கவும்.

• 90 ஐ 15 ஆல் வகுத்தல். இதன் விளைவாக வரும் எண் "6" 3/15க்கு ஒரு பெருக்கியாக இருக்கும்.
• 90 ஐ 18 ஆல் வகுத்தல். இதன் விளைவாக வரும் எண் "5" 4/18க்கு ஒரு பெருக்கியாக இருக்கும்.

எங்கள் தீர்வின் அடுத்த கட்டம், ஒவ்வொரு பகுதியையும் "90" என்ற வகுப்பிற்குக் குறைப்பதாகும்.

இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பது பற்றி நாங்கள் ஏற்கனவே பேசினோம். ஒரு எடுத்துக்காட்டில் இது எவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது என்பதைப் பார்ப்போம்:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

பின்னங்கள் சிறிய எண்களைக் கொண்டிருந்தால், கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போல, பொதுவான வகுப்பினை நீங்கள் தீர்மானிக்கலாம்.



வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டவர்களுக்கும் இதுவே பொருந்தும்.

கழித்தல் மற்றும் முழு எண் பாகங்கள் கொண்டவை

பின்னங்களின் கழித்தல் மற்றும் அவற்றின் கூட்டல் பற்றி ஏற்கனவே விரிவாக விவாதித்தோம். ஆனால் ஒரு பின்னத்தில் முழு எண் பகுதி இருந்தால் எப்படி கழிப்பது? மீண்டும், சில விதிகளைப் பயன்படுத்துவோம்:

• முழு எண் பகுதியைக் கொண்ட அனைத்து பின்னங்களையும் முறையற்றவற்றிற்கு மாற்றவும். எளிமையான வார்த்தைகளில், முழு பகுதியையும் அகற்றவும். இதைச் செய்ய, முழு எண் பகுதியின் எண்ணிக்கையை பின்னத்தின் வகுப்பினால் பெருக்கி, அதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்பை எண்ணுடன் சேர்க்கவும். இந்த செயல்களுக்குப் பிறகு வெளிவரும் எண் முறையற்ற பின்னத்தின் எண் ஆகும். வகுத்தல் மாறாமல் உள்ளது.
• பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டிருந்தால், அவை ஒரே வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்.
• ஒரே வகுப்பினருடன் கூட்டல் அல்லது கழித்தல் செய்யவும்.
• தவறான பகுதியைப் பெறும்போது, ​​முழுப் பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கவும்.



முழு பகுதிகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்க்க மற்றும் கழிக்க மற்றொரு வழி உள்ளது. இதைச் செய்ய, செயல்கள் முழு பகுதிகளுடன் தனித்தனியாகவும், பின்னங்களுடன் செயல்கள் தனித்தனியாகவும் செய்யப்படுகின்றன, மேலும் முடிவுகள் ஒன்றாக பதிவு செய்யப்படுகின்றன.



கொடுக்கப்பட்ட உதாரணம் ஒரே வகுப்பினைக் கொண்ட பின்னங்களைக் கொண்டுள்ளது. பிரிவுகள் வேறுபட்டால், அவை ஒரே மதிப்பிற்கு கொண்டு வரப்பட வேண்டும், பின்னர் எடுத்துக்காட்டில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி செயல்களைச் செய்ய வேண்டும்.

முழு எண்களிலிருந்து பின்னங்களைக் கழித்தல்

பின்னங்களுடனான மற்றொரு வகையான செயல்பாடு, ஒரு பின்னத்திலிருந்து கழிக்கப்பட வேண்டும்.முதல் பார்வையில், அத்தகைய உதாரணத்தை தீர்ப்பது கடினம். இருப்பினும், இங்கே எல்லாம் மிகவும் எளிது. அதைத் தீர்க்க, நீங்கள் முழு எண்ணை ஒரு பின்னமாக மாற்ற வேண்டும், மேலும் கழித்த பின்னத்தில் உள்ள அதே வகுப்போடு. அடுத்து, ஒரே மாதிரியான பிரிவுகளுடன் கழிப்பதைப் போன்ற ஒரு கழிப்பைச் செய்கிறோம். ஒரு எடுத்துக்காட்டில் இது போல் தெரிகிறது:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

இந்த கட்டுரையில் வழங்கப்பட்ட பின்னங்களின் கழித்தல் (தரம் 6) அடுத்தடுத்த தரங்களில் உள்ள மிகவும் சிக்கலான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படையாகும். இந்தத் தலைப்பைப் பற்றிய அறிவு, செயல்பாடுகள், வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் பலவற்றைத் தீர்க்க பின்னர் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எனவே, மேலே விவாதிக்கப்பட்ட பின்னங்களுடன் செயல்பாடுகளைப் புரிந்துகொள்வதும் புரிந்துகொள்வதும் மிகவும் முக்கியம்.