கடந்த வீடியோ டுடோரியலில், அடித்தளத்தின் பட்டம் என்பது அடிப்படை மற்றும் அதன் உற்பத்தியின் வெளிப்பாடாகும், இது அதிவேகத்திற்குச் சமமான தொகையில் எடுக்கப்பட்டதாகும். சக்திகளின் சில முக்கியமான பண்புகள் மற்றும் செயல்பாடுகளை இப்போது படிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு வெவ்வேறு சக்திகளை ஒரே அடித்தளத்துடன் பெருக்கலாம்:

இந்த பகுதியை முழுமையாகப் பார்ப்போம்:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

இந்த வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிட்டால், நாம் எண் 32 ஐப் பெறுவோம். மறுபுறம், அதே எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், 32 ஐ ஒரே அடித்தளத்தின் (இரண்டு), 5 முறை எடுக்கப்பட்ட ஒரு பொருளாகக் குறிப்பிடலாம். உண்மையில், நீங்கள் எண்ணினால், பின்:

எனவே, இதை பாதுகாப்பாக முடிவு செய்யலாம்:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

இந்த விதி எந்த குறிகாட்டிகள் மற்றும் எந்த அடிப்படையில் வெற்றிகரமாக வேலை செய்கிறது. பட்டத்தின் பெருக்கத்தின் இந்த பண்பு உற்பத்தியில் மாற்றங்களின் போது வெளிப்பாடுகளின் பொருளைப் பாதுகாக்கும் விதியிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. எந்த அடிப்படை a க்கும், (a) x மற்றும் (a) y ஆகிய இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் பெருக்கல் a (x + y) க்கு சமம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரே அடிப்படையுடன் எந்த வெளிப்பாடுகளையும் உருவாக்கும் போது, ​​இறுதி மோனோமியல் முதல் மற்றும் இரண்டாவது வெளிப்பாடுகளின் அளவைச் சேர்ப்பதன் மூலம் உருவாக்கப்பட்ட மொத்த பட்டம் கொண்டது.

பல வெளிப்பாடுகளை பெருக்கும் போது வழங்கப்பட்ட விதி சிறப்பாக செயல்படுகிறது. முக்கிய நிபந்தனை என்னவென்றால், அனைத்து அடிப்படைகளும் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும். உதாரணமாக:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

டிகிரிகளைச் சேர்ப்பது சாத்தியமற்றது, மேலும் அவற்றின் அடிப்படைகள் வேறுபட்டால், வெளிப்பாட்டின் இரண்டு கூறுகளுடன் எந்த சக்தி கூட்டு நடவடிக்கைகளையும் மேற்கொள்ள முடியாது.
எங்கள் வீடியோ காண்பிக்கிறபடி, பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் செயல்முறைகளின் ஒற்றுமை காரணமாக, ஒரு தயாரிப்பின் போது சக்திகளைச் சேர்ப்பதற்கான விதிகள் வகுத்தல் நடைமுறைக்கு மாற்றப்படுகின்றன. இந்த உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்:

வெளிப்பாட்டின் கால-படி-கால மாற்றத்தை ஒரு முழு வடிவமாக உருவாக்கி, ஈவுத்தொகை மற்றும் வகுப்பியில் உள்ள அதே கூறுகளைக் குறைப்போம்:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

இந்த எடுத்துக்காட்டின் இறுதி முடிவு அவ்வளவு சுவாரஸ்யமாக இல்லை, ஏனென்றால் ஏற்கனவே அதன் தீர்வின் போக்கில் வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு இரண்டின் சதுரத்திற்கு சமம் என்பது தெளிவாகிறது. மேலும் இது இரண்டாவது வெளிப்பாட்டின் பட்டத்தை முதல் அளவிலிருந்து கழிப்பதன் மூலம் பெறப்படும் டியூஸ் ஆகும்.

பங்கின் அளவைத் தீர்மானிக்க, ஈவுத்தொகையின் அளவிலிருந்து வகுப்பின் அளவைக் கழிப்பது அவசியம். விதி அதன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் மற்றும் அனைத்து இயற்கை சக்திகளுக்கும் ஒரே அடிப்படையில் செயல்படுகிறது. சுருக்க வடிவத்தில், எங்களிடம் உள்ளது:

(a) x / (a) y = (a) x - y

பூஜ்ஜிய பட்டத்திற்கான வரையறையானது ஒரே மாதிரியான அடிப்படைகளை அதிகாரங்களுடன் பிரிப்பதற்கான விதியிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, பின்வரும் வெளிப்பாடு:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

மறுபுறம், நாம் ஒரு காட்சி வழியில் பிரித்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

ஒரு பகுதியின் அனைத்து புலப்படும் கூறுகளையும் குறைக்கும் போது, ​​வெளிப்பாடு 1/1 எப்போதும் பெறப்படுகிறது, அதாவது ஒன்று. எனவே, பூஜ்ஜிய சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்ட எந்த அடித்தளமும் ஒன்றுக்கு சமம் என்று பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது:

ஒரு மதிப்பைப் பொருட்படுத்தாமல்.

எவ்வாறாயினும், 0 (எந்தப் பெருக்கத்திற்கும் 0 ஐக் கொடுக்கிறது) எப்படியாவது ஒன்றுக்கு சமமாக இருந்தால் அது அபத்தமானது, எனவே (0) 0 (பூஜ்ஜியத்திலிருந்து பூஜ்ஜிய டிகிரி வரை) போன்ற ஒரு வெளிப்பாடு வெறுமனே அர்த்தமற்றது மற்றும் சூத்திரம் (a) 0 = 1 ஒரு நிபந்தனையைச் சேர்க்கவும்: "a 0 க்கு சமமாக இல்லாவிட்டால்".

உடற்பயிற்சி செய்வோம். வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

அடிப்படை எல்லா இடங்களிலும் ஒரே மாதிரியாகவும், 34 க்கு சமமாகவும் இருப்பதால், இறுதி மதிப்பு ஒரு பட்டத்துடன் அதே அடித்தளத்தைக் கொண்டிருக்கும் (மேலே உள்ள விதிகளின்படி):

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

பதில்: வெளிப்பாடு ஒன்றுக்கு சமம்.

தலைப்பில் பாடம்: "ஒரே மற்றும் வெவ்வேறு அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகளைப் பெருக்க மற்றும் வகுப்பதற்கான விதிகள். எடுத்துக்காட்டுகள்"

கூடுதல் பொருட்கள்
அன்பான பயனர்களே, உங்கள் கருத்துகள், கருத்துகள், பரிந்துரைகளை மறக்க வேண்டாம். அனைத்து பொருட்களும் வைரஸ் தடுப்பு நிரலால் சரிபார்க்கப்படுகின்றன.

7 ஆம் வகுப்புக்கான ஆன்லைன் ஸ்டோரில் "இன்டெக்ரல்" கற்பித்தல் எய்ட்ஸ் மற்றும் சிமுலேட்டர்கள்
பாடப்புத்தகத்திற்கான கையேடு யு.என். பாடப்புத்தகத்திற்கான மகரிச்சேவா கையேடு ஏ.ஜி. மொர்ட்கோவிச்

பாடத்தின் நோக்கம்: எண்ணின் சக்திகளைக் கொண்டு எவ்வாறு செயல்பாடுகளைச் செய்வது என்பதைக் கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.

தொடங்குவதற்கு, "ஒரு எண்ணின் சக்தி" என்ற கருத்தை நினைவுபடுத்துவோம். $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ போன்ற வெளிப்பாடு $a^n$ ஆக குறிப்பிடப்படலாம்.

தலைகீழ் உண்மையும்: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

இந்த சமத்துவம் "பட்டத்தை ஒரு தயாரிப்பாக பதிவு செய்தல்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. சக்திகளை எவ்வாறு பெருக்குவது மற்றும் பிரிப்பது என்பதை தீர்மானிக்க இது உதவும்.
நினைவில் கொள்ளுங்கள்:
அ- பட்டத்தின் அடிப்படை.
n- அடுக்கு.
என்றால் n=1, அதாவது எண் அமுறையே ஒரு முறை எடுக்கப்பட்டது: $a^n= 1$.
என்றால் n=0, பிறகு $a^0= 1$.

இது ஏன் நிகழ்கிறது, அதிகாரங்களைப் பெருக்குவதற்கும் வகுப்பதற்கும் விதிகளை நாம் அறிந்தால் கண்டுபிடிக்கலாம்.

பெருக்கல் விதிகள்

உதாரணமாக.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

ஒரு எண்ணை ஒரு பெரிய சக்திக்கு உயர்த்தும்போது வேலையை எளிமைப்படுத்த இந்த சொத்து பயன்படுத்த வசதியானது.
உதாரணமாக.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) சக்திகள் வெவ்வேறு அடித்தளத்துடன் பெருக்கப்பட்டால், ஆனால் அதே அடுக்கு.
$a^n * b^n$ க்கு, சக்திகளை ஒரு தயாரிப்பாக எழுதுகிறோம்: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (மீ)$.
நாம் காரணிகளை மாற்றி, அதன் விளைவாக வரும் ஜோடிகளை எண்ணினால், நமக்கு கிடைக்கும்: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

எனவே $a^n * b^n= (a * b)^n$.

உதாரணமாக.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

பிரிவு விதிகள்

எனவே, இது அவசியம் $\frac(a^n)(a^m)$, எங்கே n>m.

டிகிரிகளை ஒரு பின்னமாக எழுதுகிறோம்:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

இப்போது பின்னத்தை குறைப்போம்.

இது மாறிவிடும்: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
பொருள் $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

ஒரு எண்ணை பூஜ்ஜியத்தின் சக்தியாக உயர்த்துவதன் மூலம் நிலைமையை விளக்க இந்த சொத்து உதவும். என்று வைத்துக் கொள்வோம் n=m, பின்னர் $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

எடுத்துக்காட்டுகள்.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) பட்டத்தின் அடிப்படைகள் வேறுபட்டவை, குறிகாட்டிகள் ஒரே மாதிரியானவை.
உங்களுக்கு $\frac(a^n)( b^n)$ தேவை என்று வைத்துக் கொள்வோம். எண்களின் சக்திகளை ஒரு பின்னமாக எழுதுகிறோம்:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

உதாரணமாக.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

அதிகாரங்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்

வெளிப்படையாக, சக்திகளைக் கொண்ட எண்கள் மற்ற அளவுகளைப் போலவே சேர்க்கப்படலாம் , அவற்றின் அடையாளங்களுடன் அவற்றை ஒவ்வொன்றாகச் சேர்ப்பதன் மூலம்.

எனவே, a 3 மற்றும் b 2 இன் கூட்டுத்தொகை ஒரு 3 + b 2 ஆகும்.
a 3 - b n மற்றும் h 5 -d 4 ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை 3 - b n + h 5 - d 4 ஆகும்.

முரண்பாடுகள் அதே மாறிகளின் அதே சக்திகள்சேர்க்கலாம் அல்லது கழிக்கலாம்.

எனவே, 2a 2 மற்றும் 3a 2 ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை 5a 2 ஆகும்.

இரண்டு சதுரங்கள் a, அல்லது மூன்று சதுரங்கள் a, அல்லது ஐந்து சதுரங்கள் a என எடுத்துக் கொண்டால் அதுவும் வெளிப்படை.

ஆனால் பட்டங்கள் பல்வேறு மாறிகள்மற்றும் பல்வேறு பட்டங்கள் ஒரே மாதிரியான மாறிகள், அவற்றின் அடையாளங்களுடன் அவற்றைச் சேர்ப்பதன் மூலம் சேர்க்கப்பட வேண்டும்.

எனவே, ஒரு 2 மற்றும் ஒரு 3 இன் கூட்டுத்தொகை 2 + a 3 இன் கூட்டுத்தொகையாகும்.

a இன் சதுரமும் a இன் கனசதுரமும் a இன் சதுரத்தின் இரண்டு மடங்கு அல்ல, ஆனால் a இன் கனசதுரத்தின் இரண்டு மடங்கு என்பது வெளிப்படையானது.

ஒரு 3 b n மற்றும் 3a 5 b 6 ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை 3 b n + 3a 5 b 6 ஆகும்.

கழித்தல்சப்ட்ராஹெண்டின் அறிகுறிகள் அதற்கேற்ப மாற்றப்பட வேண்டும் என்பதைத் தவிர, அதிகாரங்கள் கூடுதலாக அதே வழியில் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன.

அல்லது:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

சக்தி பெருக்கம்

அதிகாரங்களைக் கொண்ட எண்களை ஒன்றன் பின் ஒன்றாக எழுதுவதன் மூலம் மற்ற அளவுகளைப் போலவே பெருக்க முடியும், அவற்றுக்கிடையே உள்ள பெருக்கல் குறியுடன் அல்லது இல்லாமல்.

எனவே, a 3 ஐ b 2 ஆல் பெருக்குவதன் விளைவு 3 b 2 அல்லது aaabb ஆகும்.

அல்லது:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

கடைசி எடுத்துக்காட்டில் உள்ள முடிவை அதே மாறிகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் ஆர்டர் செய்யலாம்.
வெளிப்பாடு வடிவம் எடுக்கும்: a 5 b 5 y 3 .

பல எண்களை (மாறிகள்) சக்திகளுடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம், அவற்றில் ஏதேனும் இரண்டை பெருக்கினால், அதன் விளைவாக ஒரு எண் (மாறி) சக்தியுடன் சமமாக இருப்பதைக் காணலாம். தொகைவிதிமுறைகளின் அளவுகள்.

எனவே, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

இங்கே 5 என்பது பெருக்கல் முடிவின் சக்தி, 2 + 3 க்கு சமம், விதிமுறைகளின் சக்திகளின் கூட்டுத்தொகை.

எனவே, a n .a m = a m+n .

ஒரு n க்கு, n இன் சக்தி எத்தனை முறை இருக்கிறதோ, அவ்வளவு மடங்கு ஒரு காரணியாக a எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது;

மற்றும் ஒரு m , பட்டம் m க்கு சமமான பல மடங்கு காரணியாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது;

அதனால், அதே தளங்களைக் கொண்ட சக்திகளை அடுக்குகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் பெருக்க முடியும்.

எனவே, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . மற்றும் x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

அல்லது:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

பெருக்கவும் (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
பதில்: x 4 - y 4.
பெருக்கவும் (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

இந்த விதியானது − என இருக்கும் எண்களுக்கும் பொருந்தும் எதிர்மறை.

1. எனவே, a -2 .a -3 = a -5 . இதை (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa என எழுதலாம்.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

a + b ஐ a - b ஆல் பெருக்கினால், விளைவு 2 - b 2 ஆக இருக்கும்: அதாவது

இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டைப் பெருக்குவதன் விளைவாக அவற்றின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டிற்கு சமம்.

இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டை உயர்த்தினால் சதுர, முடிவு இந்த எண்களின் கூட்டு அல்லது வேறுபாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும் நான்காவதுபட்டம்.

எனவே, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

பட்டங்களின் பிரிவு

அதிகாரங்களைக் கொண்ட எண்களை மற்ற எண்களைப் போல் வகுப்பியிலிருந்து கழிப்பதன் மூலமாகவோ அல்லது பின்னம் வடிவில் வைப்பதன் மூலமாகவோ வகுக்க முடியும்.

எனவே a 3 b 2 ஐ b 2 ஆல் வகுத்தல் a 3 ஆகும்.

5 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால் $\frac போல் தெரிகிறது $. ஆனால் இது 2 க்கு சமம். எண்களின் வரிசையில்
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
எந்த எண்ணையும் மற்றொன்றால் வகுக்க முடியும், மேலும் அடுக்கு சமமாக இருக்கும் வேறுபாடுவகுக்கக்கூடிய எண்களின் குறிகாட்டிகள்.

சக்திகளை ஒரே அடித்தளத்துடன் பிரிக்கும்போது, ​​அவற்றின் அடுக்குகள் கழிக்கப்படுகின்றன..

எனவே, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . அதாவது $\frac = y$.

மேலும் a n+1:a = a n+1-1 = a n . அதாவது $\frac = a^n$.

அல்லது:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

உடன் எண்களுக்கும் விதி செல்லுபடியாகும் எதிர்மறைபட்டம் மதிப்புகள்.
ஒரு -5 ஐ a -3 ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும் விளைவு a -2 ஆகும்.
மேலும், $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 அல்லது $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

இயற்கணிதத்தில் இத்தகைய செயல்பாடுகள் மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுவதால், சக்திகளின் பெருக்கல் மற்றும் பிரிவுகளை நன்றாகக் கற்றுக்கொள்வது அவசியம்.

சக்திகளுடன் எண்களைக் கொண்ட பின்னங்களுடன் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

1. $\frac $ இல் அடுக்குகளை குறைக்கவும் பதில்: $\frac $.

2. $\frac$ இல் அடுக்குகளை குறைக்கவும். பதில்: $\frac $ அல்லது 2x.

3. அடுக்குகளை a 2 / a 3 மற்றும் a -3 / a -4 ஐக் குறைத்து ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வரவும்.
a 2 .a -4 என்பது ஒரு -2 முதல் எண்ணாகும்.
a 3 .a -3 என்பது 0 = 1, இரண்டாவது எண்.
a 3 .a -4 என்பது a -1 , பொதுவான எண்.
எளிமைப்படுத்தப்பட்ட பிறகு: a -2 /a -1 மற்றும் 1/a -1 .

4. அடுக்குகள் 2a 4 /5a 3 மற்றும் 2 /a 4 ஐக் குறைத்து ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வரவும்.
பதில்: 2a 3 / 5a 7 மற்றும் 5a 5 / 5a 7 அல்லது 2a 3 / 5a 2 மற்றும் 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 ஐ (a - b)/3 ஆல் பெருக்கவும்.

6. (a 5 + 1)/x 2 ஐ (b 2 - 1)/(x + a) ஆல் பெருக்கவும்.

7. b 4 /a -2 ஐ h -3 /x மற்றும் a n /y -3 ஆல் பெருக்கவும்.

8. a 4 /y 3 ஐ 3 /y 2 ஆல் வகுக்கவும். பதில்: a/y.

பட்டம் பண்புகள்

இந்த பாடத்தில் நாங்கள் புரிந்துகொள்கிறோம் என்பதை நாங்கள் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறோம் பட்டம் பண்புகள்இயற்கை குறிகாட்டிகள் மற்றும் பூஜ்ஜியத்துடன். பகுத்தறிவு குறிகாட்டிகளுடன் கூடிய பட்டங்கள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள் தரம் 8 க்கான பாடங்களில் விவாதிக்கப்படும்.

இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய அடுக்கு பல முக்கியமான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை அடுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளில் கணக்கீடுகளை எளிதாக்க உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

சொத்து எண் 1
அதிகாரங்களின் தயாரிப்பு

ஒரே அடித்தளத்துடன் சக்திகளைப் பெருக்கும்போது, ​​அடிப்படை மாறாமல் இருக்கும், மேலும் அடுக்குகள் சேர்க்கப்படும்.

a m a n \u003d a m + n, இங்கு "a" என்பது எந்த எண்ணாகவும், "m", "n" என்பது எந்த இயற்கை எண்களாகவும் இருக்கும்.

அதிகாரங்களின் இந்த பண்பு மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சக்திகளின் உற்பத்தியையும் பாதிக்கிறது.

• வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• பட்டமாக வழங்கவும்.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• பட்டமாக வழங்கவும்.
  (0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

சுட்டிக்காட்டப்பட்ட சொத்தில், அதே அடிப்படைகளைக் கொண்ட சக்திகளைப் பெருக்குவது மட்டுமே என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.. அவர்களின் சேர்க்கைக்கு இது பொருந்தாது.

நீங்கள் தொகையை (3 3 + 3 2) 3 5 உடன் மாற்ற முடியாது. என்றால் இது புரியும்
கணக்கிட (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 மற்றும் 3 5 = 243

சொத்து எண் 2
தனியார் பட்டங்கள்

அதே அடித்தளத்துடன் சக்திகளைப் பிரிக்கும்போது, ​​அடிப்படை மாறாமல் இருக்கும், மேலும் வகுப்பியின் அடுக்கு ஈவுத்தொகையின் அடுக்குகளிலிருந்து கழிக்கப்படும்.

• விகுதியை ஒரு சக்தியாக எழுதுங்கள்
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2
• கணக்கிடு.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
உதாரணமாக. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். பகுதி டிகிரிகளின் சொத்தை நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம்.
3 8: t = 3 4

பதில்: t = 3 4 = 81

பண்புகள் எண். 1 மற்றும் எண். 2 ஐப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் எளிதாக வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கலாம் மற்றும் கணக்கீடுகளைச் செய்யலாம்.

உதாரணமாக. வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்.
4 5 மீ + 6 4 மீ + 2: 4 4 மீ + 3 = 4 5 மீ + 6 + மீ + 2: 4 4 மீ + 3 = 4 6 மீ + 8 - 4 மீ - 3 = 4 2 மீ + 5

உதாரணமாக. டிகிரி பண்புகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

சொத்து 2 அதே அடிப்படைகளைக் கொண்ட அதிகாரப் பகிர்வை மட்டுமே கையாள்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

நீங்கள் வேறுபாட்டை (4 3 -4 2) 4 1 உடன் மாற்ற முடியாது. (4 3 -4 2) = (64 - 16) = 48, மற்றும் 4 1 = 4 என்று கணக்கிட்டால் இது புரியும்.

சொத்து எண் 3
விரிவடைதல்

ஒரு சக்தியை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தும் போது, ​​சக்தியின் அடிப்படை மாறாமல் இருக்கும், மேலும் அடுக்குகள் பெருக்கப்படும்.

(a n) m \u003d a n m, இதில் "a" என்பது ஏதேனும் ஒரு எண்ணாகும், மேலும் "m", "n" என்பது இயற்கை எண்கள்.

ஒரு கோட்பாட்டை ஒரு பின்னமாகக் குறிப்பிடலாம் என்பதை நாங்கள் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறோம். எனவே, ஒரு பகுதியை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவது என்ற தலைப்பில் அடுத்த பக்கத்தில் இன்னும் விரிவாக வாழ்வோம்.

சக்திகளை எவ்வாறு பெருக்குவது

சக்திகளை எவ்வாறு பெருக்குவது? எந்த சக்திகளை பெருக்க முடியும், எது முடியாது? ஒரு எண்ணை ஒரு சக்தியால் எப்படி பெருக்குவது?

இயற்கணிதத்தில், சக்திகளின் பலனை இரண்டு சந்தர்ப்பங்களில் காணலாம்:

1) பட்டங்கள் ஒரே அடிப்படையில் இருந்தால்;

2) டிகிரிகளில் ஒரே குறிகாட்டிகள் இருந்தால்.

ஒரே அடித்தளத்துடன் சக்திகளைப் பெருக்கும்போது, ​​அடிப்படை ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும், மேலும் அடுக்குகள் சேர்க்கப்பட வேண்டும்:

ஒரே குறிகாட்டிகளுடன் டிகிரிகளை பெருக்கும்போது, ​​மொத்த காட்டி அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்கப்படலாம்:

குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளுடன் சக்திகளை எவ்வாறு பெருக்குவது என்பதைக் கவனியுங்கள்.

அடுக்குகளில் உள்ள அலகு எழுதப்படவில்லை, ஆனால் டிகிரிகளை பெருக்கும்போது, ​​அவை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன:

பெருக்கும்போது, ​​டிகிரிகளின் எண்ணிக்கை ஏதேனும் இருக்கலாம். கடிதத்திற்கு முன் நீங்கள் பெருக்கல் அடையாளத்தை எழுத முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்:

வெளிப்பாடுகளில், எக்ஸ்போனென்ஷியேஷன் முதலில் செய்யப்படுகிறது.

நீங்கள் ஒரு எண்ணை ஒரு சக்தியால் பெருக்க வேண்டும் என்றால், நீங்கள் முதலில் அதிவேகத்தை செய்ய வேண்டும், பின்னர் மட்டுமே - பெருக்கல்:

ஒரே அடித்தளத்துடன் சக்திகளைப் பெருக்குதல்

இந்த வீடியோ டுடோரியல் சந்தா மூலம் கிடைக்கும்

உங்களிடம் ஏற்கனவே சந்தா உள்ளதா? உள்ளே வர

இந்த பாடத்தில், அதே அடிப்படையுடன் சக்திகளை எவ்வாறு பெருக்குவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். முதலாவதாக, பட்டத்தின் வரையறையை நினைவுபடுத்தி, சமத்துவத்தின் செல்லுபடியாகும் ஒரு தேற்றத்தை உருவாக்குகிறோம் . பின்னர் குறிப்பிட்ட எண்களுக்கு அதன் பயன்பாட்டின் உதாரணங்களைக் கொடுத்து அதை நிரூபிக்கிறோம். பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கும் நாங்கள் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

தலைப்பு: ஒரு இயற்கை காட்டி மற்றும் அதன் பண்புகள் கொண்ட பட்டம்

பாடம்: ஒரே அடிப்படைகளைக் கொண்ட சக்திகளைப் பெருக்குதல் (சூத்திரம்)

1. அடிப்படை வரையறைகள்

அடிப்படை வரையறைகள்:

n- அடுக்கு,

— nஒரு எண்ணின் சக்தி.

2. தேற்றத்தின் அறிக்கை 1

தேற்றம் 1.எந்த எண்ணுக்கும் அமற்றும் எந்த இயற்கை nமற்றும் கேசமத்துவம் உண்மை:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்: என்றால் அ- எந்த எண்; nமற்றும் கேஇயற்கை எண்கள், பின்னர்:

எனவே விதி 1:

3. பணிகளை விளக்குதல்

முடிவுரை:சிறப்பு வழக்குகள் தேற்றம் எண் 1 இன் சரியான தன்மையை உறுதிப்படுத்தியது. பொது வழக்கில், அதாவது எதற்கும் அதை நிரூபிப்போம் அமற்றும் எந்த இயற்கை nமற்றும் கே.

4. தேற்றத்தின் ஆதாரம் 1

ஒரு எண் கொடுக்கப்பட்டது அ- ஏதேனும்; எண்கள் nமற்றும் k-இயற்கை. நிரூபிக்க:

ஆதாரம் பட்டத்தின் வரையறையின் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது.

5. தேற்றம் 1 ஐப் பயன்படுத்தி எடுத்துக்காட்டுகளின் தீர்வு

எடுத்துக்காட்டு 1:பட்டமாக வழங்கவும்.

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்க, நாங்கள் தேற்றம் 1 ஐப் பயன்படுத்துகிறோம்.

g)

6. தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் 1

இங்கே ஒரு பொதுமைப்படுத்தல் உள்ளது:

7. தேற்றம் 1 இன் பொதுமைப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி எடுத்துக்காட்டுகளின் தீர்வு

8. தேற்றம் 1 ஐப் பயன்படுத்தி பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது

எடுத்துக்காட்டு 2:கணக்கிடுங்கள் (நீங்கள் அடிப்படை டிகிரி அட்டவணையைப் பயன்படுத்தலாம்).

a) (அட்டவணையின் படி)

b)

எடுத்துக்காட்டு 3:அடிப்படை 2 உடன் சக்தியாக எழுதவும்.

a)

எடுத்துக்காட்டு 4:எண்ணின் அடையாளத்தைத் தீர்மானிக்கவும்:

, ஒரு -எதிர்மறை ஏனெனில் -13 இல் உள்ள அடுக்கு ஒற்றைப்படை.

எடுத்துக்காட்டு 5:( ) ஒரு சக்தியை அடித்தளத்துடன் மாற்றவும் ஆர்:

எங்களிடம் உள்ளது, அதாவது.

9. சுருக்கம்

1. டோரோஃபீவ் ஜி.வி., சுவோரோவா எஸ்.பி., புனிமோவிச் ஈ.ஏ. மற்றும் பலர் அல்ஜீப்ரா 7. 6வது பதிப்பு. எம்.: அறிவொளி. 2010

1. பள்ளி உதவியாளர் (ஆதாரம்).

1. ஒரு பட்டமாக வெளிப்படுத்தவும்:

ஏ பி சி டி இ)

3. அடிப்படை 2 உடன் சக்தியாக எழுதவும்:

4. எண்ணின் அடையாளத்தைத் தீர்மானிக்கவும்:

a)

5. ஒரு எண்ணின் சக்தியை அடிப்படையுடன் ( ) மாற்றவும் ஆர்:

a) r 4 ( ) = r 15 ; b) () r 5 = r 6

ஒரே அடுக்குகளுடன் கூடிய அதிகாரங்களின் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல்

இந்தப் பாடத்தில், அதே அடுக்குகளுடன் கூடிய சக்திகளின் பெருக்கத்தைப் படிப்போம். முதலாவதாக, அதே அடிப்படைகளைக் கொண்ட சக்திகளைப் பெருக்கி வகுத்து ஒரு சக்தியை ஒரு சக்திக்கு உயர்த்துவது பற்றிய அடிப்படை வரையறைகள் மற்றும் கோட்பாடுகளை நினைவு கூர்வோம். பின்னர் அதே அடுக்குகளுடன் பெருக்கல் மற்றும் அதிகாரங்களைப் பிரித்தல் பற்றிய கோட்பாடுகளை உருவாக்கி நிரூபிக்கிறோம். பின்னர் அவர்களின் உதவியுடன் பல பொதுவான சிக்கல்களைத் தீர்ப்போம்.

அடிப்படை வரையறைகள் மற்றும் கோட்பாடுகளின் நினைவூட்டல்

இங்கே அ- பட்டத்தின் அடிப்படை

— nஒரு எண்ணின் சக்தி.

தேற்றம் 1.எந்த எண்ணுக்கும் அமற்றும் எந்த இயற்கை nமற்றும் கேசமத்துவம் உண்மை:

ஒரே அடித்தளத்துடன் சக்திகளைப் பெருக்கும் போது, ​​அடுக்குகள் சேர்க்கப்படும், அடிப்படை மாறாமல் இருக்கும்.

தேற்றம் 2.எந்த எண்ணுக்கும் அமற்றும் எந்த இயற்கை nமற்றும் கே,அதை போல n > கேசமத்துவம் உண்மை:

ஒரே அடித்தளத்துடன் சக்திகளைப் பிரிக்கும்போது, ​​அடுக்குகள் கழிக்கப்படுகின்றன, மேலும் அடிப்படை மாறாமல் இருக்கும்.

தேற்றம் 3.எந்த எண்ணுக்கும் அமற்றும் எந்த இயற்கை nமற்றும் கேசமத்துவம் உண்மை:

மேலே உள்ள அனைத்து கோட்பாடுகளும் ஒரே சக்தியைப் பற்றியவை மைதானங்கள், இந்த பாடம் அதே பட்டங்களை பரிசீலிக்கும் குறிகாட்டிகள்.

ஒரே அடுக்குகளுடன் சக்திகளைப் பெருக்குவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

பின்வரும் உதாரணங்களைக் கவனியுங்கள்:

பட்டத்தை நிர்ணயிப்பதற்கான வெளிப்பாடுகளை எழுதுவோம்.

முடிவுரை:உதாரணங்களிலிருந்து, நீங்கள் அதைக் காணலாம் , ஆனால் இது இன்னும் நிரூபிக்கப்பட வேண்டும். நாங்கள் தேற்றத்தை உருவாக்கி, பொது வழக்கில், அதாவது எதற்கும் நிரூபிக்கிறோம் அமற்றும் பிமற்றும் எந்த இயற்கை n

தேற்றம் 4 இன் அறிக்கை மற்றும் ஆதாரம்

எந்த எண்களுக்கும் அமற்றும் பிமற்றும் எந்த இயற்கை nசமத்துவம் உண்மை:

ஆதாரம்தேற்றம் 4 .

பட்டத்தின் வரையறையின்படி:

எனவே நாங்கள் அதை நிரூபித்துள்ளோம் .

ஒரே அடுக்குடன் சக்திகளை பெருக்க, அடிப்படைகளை பெருக்கி, அடுக்கு மாறாமல் விட்டால் போதும்.

தேற்றம் 5 இன் அறிக்கை மற்றும் ஆதாரம்

அதே அடுக்குகளுடன் சக்திகளைப் பிரிப்பதற்கான ஒரு தேற்றத்தை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்.

எந்த எண்ணுக்கும் அமற்றும் b() மற்றும் எந்த இயற்கை nசமத்துவம் உண்மை:

ஆதாரம்தேற்றம் 5 .

பட்டத்தின் வரையறையின்படி எழுதுவோம்:

வார்த்தைகளில் கோட்பாடுகளின் அறிக்கை

எனவே நாங்கள் அதை நிரூபித்துள்ளோம்.

ஒரே அடுக்குகளைக் கொண்ட டிகிரிகளை ஒன்றோடொன்று பிரிக்க, ஒரு அடித்தளத்தை மற்றொன்றால் வகுத்து, அடுக்கு மாறாமல் விடவும்.

தேற்றம் 4 ஐப் பயன்படுத்தி வழக்கமான சிக்கல்களுக்கு தீர்வு

எடுத்துக்காட்டு 1:சக்திகளின் விளைபொருளாக வெளிப்படுத்துங்கள்.

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்க, நாங்கள் தேற்றம் 4 ஐப் பயன்படுத்துகிறோம்.

பின்வரும் உதாரணத்தைத் தீர்க்க, சூத்திரங்களை நினைவுபடுத்தவும்:

தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் 4

தேற்றம் 4 இன் பொதுமைப்படுத்தல்:

பொதுவான தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது 4

வழக்கமான சிக்கல்களைத் தொடர்ந்து தீர்ப்பது

எடுத்துக்காட்டு 2:தயாரிப்பு பட்டம் என எழுதுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 3: 2 இன் அடுக்குடன் ஒரு சக்தியாக எழுதவும்.

கணக்கீட்டு எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 4:மிகவும் பகுத்தறிவு வழியில் கணக்கிடுங்கள்.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. இயற்கணிதம் 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., ஃபெடோரோவா N.E. இயற்கணிதம் 7 .எம் .: கல்வி. 2006

2. பள்ளி உதவியாளர் (ஆதாரம்).

1. அதிகாரங்களின் விளைபொருளாக வழங்குதல்:

a) ; b) ; v) ; ஜி) ;

2. தயாரிப்பின் அளவு என எழுதவும்:

3. 2 இன் குறிகாட்டியுடன் பட்டத்தின் வடிவத்தில் எழுதவும்:

4. மிகவும் பகுத்தறிவு வழியில் கணக்கிடுங்கள்.

"அதிகாரங்களின் பெருக்கல் மற்றும் பிரிவு" என்ற தலைப்பில் கணித பாடம்

பிரிவுகள்:கணிதம்

கல்வியியல் இலக்கு:

பணிகள்:

கோட்பாட்டின் செயல்பாட்டு அலகுகள்:ஒரு இயற்கை காட்டி கொண்டு பட்டம் தீர்மானித்தல்; பட்டம் கூறுகள்; பிரைவேட் வரையறை; பெருக்கத்தின் துணை விதி.

I. மாணவர்களால் இருக்கும் அறிவை மாஸ்டர் செய்வதற்கான ஒரு ஆர்ப்பாட்டத்தின் அமைப்பு. (படி 1)

அ) அறிவைப் புதுப்பித்தல்:

2) ஒரு இயற்கை காட்டி மூலம் பட்டத்தின் வரையறையை உருவாக்கவும்.

a n \u003d a a a a ... a (n முறை)

b k \u003d b b b b a ... b (k times) உங்கள் பதிலை நியாயப்படுத்தவும்.

II. தொடர்புடைய அனுபவத்தின் அளவைக் கொண்டு பயிற்சியாளரின் சுய மதிப்பீட்டின் அமைப்பு. (படி 2)

சுய பரிசோதனைக்கான சோதனை: (தனிப்பட்ட வேலை இரண்டு பதிப்புகளில்.)

A1) தயாரிப்பு 7 7 7 7 x x x ஐ சக்தியாக வெளிப்படுத்தவும்:

A2) ஒரு விளைபொருளாக பட்டம் (-3) 3 x 2 ஐ வெளிப்படுத்தவும்

A3) கணக்கிடவும்: -2 3 2 + 4 5 3

வகுப்பு மட்டத்தின் தயாரிப்புக்கு ஏற்ப தேர்வில் பணிகளின் எண்ணிக்கையைத் தேர்ந்தெடுக்கிறேன்.

சோதனைக்கு, நான் சுய பரிசோதனைக்கு ஒரு சாவியை தருகிறேன். அளவுகோல்: தேர்ச்சி தோல்வி.

III. கல்வி மற்றும் நடைமுறைப் பணி (படி 3) + படி 4. (மாணவர்களே பண்புகளை உருவாக்குவார்கள்)

1) மற்றும் 2) சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போக்கில், மாணவர்கள் ஒரு தீர்வை முன்மொழிகிறார்கள், ஒரு ஆசிரியராக நான், அதே அடிப்படைகளுடன் பெருக்கும் போது அதிகாரங்களை எளிதாக்குவதற்கான வழியைக் கண்டறிய ஒரு வகுப்பை ஏற்பாடு செய்கிறேன்.

ஆசிரியர்: ஒரே அடித்தளத்துடன் பெருக்கும் போது சக்திகளை எளிமையாக்க ஒரு வழியைக் கொண்டு வாருங்கள்.

கிளஸ்டரில் ஒரு நுழைவு தோன்றும்:

பாடத்தின் தீம் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. சக்திகளின் பெருக்கம்.

ஆசிரியர்: டிகிரிகளை ஒரே அடிப்படையுடன் பிரிப்பதற்கான விதியைக் கொண்டு வாருங்கள்.

காரணம்: பிரிவைச் சரிபார்க்கும் செயல் என்ன? a 5: a 3 = ? அதாவது a 2 a 3 = a 5

நான் திட்டத்திற்குத் திரும்புகிறேன் - ஒரு கிளஸ்டர் மற்றும் உள்ளீட்டை நிரப்புகிறேன் - ..வகுத்தல், கழித்தல் மற்றும் பாடத்தின் தலைப்பைச் சேர்க்கும் போது. ... மற்றும் பட்டங்களின் பிரிவு.

IV. அறிவின் வரம்புகளைப் பற்றிய மாணவர்களுக்கு தொடர்பு (குறைந்தபட்சம் மற்றும் அதிகபட்சம்).

ஆசிரியர்: இன்றைய பாடத்திற்கான குறைந்தபட்ச பணி, பெருக்கல் மற்றும் அதிகாரங்களைப் பிரிப்பதற்கான பண்புகளை ஒரே அடிப்படைகளுடன் எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வது, மற்றும் அதிகபட்சம்: பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் ஆகியவற்றை ஒன்றாகப் பயன்படுத்துவது.

பலகையின் மீது எழுதுக : a m a n = a m + n; a m: a n = a m-n

V. புதிய பொருள் பற்றிய ஆய்வு அமைப்பு. (படி 5)

அ) பாடப்புத்தகத்தின் படி: எண். 403 (a, c, e) வெவ்வேறு வார்த்தைகளைக் கொண்ட பணிகள்

எண் 404 (a, e, f) சுயாதீனமான வேலை, பின்னர் நான் பரஸ்பர சரிபார்ப்பை ஏற்பாடு செய்கிறேன், நான் விசைகளை கொடுக்கிறேன்.

b) சமத்துவம் m இன் எந்த மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது? a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

பணி: பிரிவுக்கு ஒத்த எடுத்துக்காட்டுகளுடன் வாருங்கள்.

c) எண். 417(a), No. 418 (a) மாணவர்களுக்கான பொறிகள்: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 \u003d a 2.

VI. கற்றுக்கொண்டதைச் சுருக்கமாகக் கூறுதல், கண்டறியும் பணியை நடத்துதல் (இது மாணவர்களை ஊக்குவிக்கிறது, ஆசிரியர்கள் அல்ல, இந்தத் தலைப்பைப் படிக்க ஊக்குவிக்கிறது) (படி 6)

கண்டறியும் பணி.

சோதனை(சோதனையின் பின்புறத்தில் விசைகளை வைக்கவும்).

பணி விருப்பங்கள்: x 15: x 3 என்ற விகிதத்தை ஒரு பட்டமாக வழங்கவும்; ஒரு சக்தியாக தயாரிப்பு (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; இதற்கு m என்பது சமத்துவம் a 16 a m = a 32 true; h 0: h 2 உடன் h = 0.2 என்ற வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்; வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள் (5 2 5 0) : 5 2 .

பாடத்தின் சுருக்கம். பிரதிபலிப்பு.நான் வகுப்பை இரண்டு குழுக்களாகப் பிரிக்கிறேன்.

குழு I இன் வாதங்களைக் கண்டறியவும்: பட்டத்தின் பண்புகள் பற்றிய அறிவுக்கு ஆதரவாக, மற்றும் குழு II - நீங்கள் பண்புகள் இல்லாமல் செய்ய முடியும் என்று சொல்லும் வாதங்கள். நாங்கள் எல்லா பதில்களையும் கேட்கிறோம், முடிவுகளை எடுக்கிறோம். அடுத்த பாடங்களில், நீங்கள் புள்ளிவிவரத் தரவை வழங்கலாம் மற்றும் "இது என் தலையில் பொருந்தாது!"

VII. வீட்டு பாடம்.

வரலாற்று குறிப்பு. என்ன எண்கள் ஃபெர்மாட் எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

பி.19 #403, #408, #417

பயன்படுத்திய புத்தகங்கள்:

பட்டங்களின் பண்புகள், சூத்திரங்கள், சான்றுகள், எடுத்துக்காட்டுகள்.

எண்ணின் அளவு தீர்மானிக்கப்பட்ட பிறகு, அதைப் பற்றி பேசுவது தர்க்கரீதியானது பட்டம் பண்புகள். இந்த கட்டுரையில், சாத்தியமான அனைத்து அடுக்குகளையும் தொடும் போது, ​​எண்ணின் பட்டத்தின் அடிப்படை பண்புகளை வழங்குவோம். பட்டத்தின் அனைத்து பண்புகளின் சான்றுகளையும் இங்கே தருவோம், மேலும் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கும்போது இந்த பண்புகள் எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகின்றன என்பதையும் காண்பிப்போம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

இயற்கை குறிகாட்டிகளுடன் பட்டங்களின் பண்புகள்

இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய சக்தியின் வரையறையின்படி, n இன் சக்தியானது n காரணிகளின் விளைபொருளாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் a க்கு சமம். இந்த வரையறையின் அடிப்படையில், மற்றும் பயன்படுத்தி உண்மையான எண் பெருக்கல் பண்புகள், பின்வருவனவற்றை நாம் பெற்று நியாயப்படுத்தலாம் இயற்கை அடுக்குடன் பட்டத்தின் பண்புகள்:

இயற்கணிதம் பாடத்தில் 7 ஆம் வகுப்பிலேயே கணிதத்தில் பட்டம் என்ற கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. எதிர்காலத்தில், கணிதம் படிக்கும் காலம் முழுவதும், இந்த கருத்து அதன் பல்வேறு வடிவங்களில் தீவிரமாக பயன்படுத்தப்படுகிறது. பட்டங்கள் மிகவும் கடினமான தலைப்பு, மதிப்புகளை மனப்பாடம் செய்வது மற்றும் சரியாகவும் விரைவாகவும் எண்ணும் திறன் தேவைப்படுகிறது. கணிதப் பட்டங்களுடன் வேகமான மற்றும் சிறந்த வேலைக்காக, அவர்கள் பட்டத்தின் பண்புகளைக் கொண்டு வந்தனர். அவை பெரிய கணக்கீடுகளைக் குறைக்க உதவுகின்றன, ஒரு பெரிய உதாரணத்தை ஓரளவிற்கு ஒற்றை எண்ணாக மாற்றுகின்றன. பல பண்புகள் இல்லை, மேலும் அவை அனைத்தையும் நினைவில் வைத்து நடைமுறையில் பயன்படுத்த எளிதானது. எனவே, பட்டத்தின் முக்கிய பண்புகள் மற்றும் அவை எங்கு பயன்படுத்தப்படுகின்றன என்பதைப் பற்றி கட்டுரை விவாதிக்கிறது.

பட்டம் பண்புகள்

ஒரு பட்டத்தின் 12 பண்புகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், அதே அடிப்படையிலான அதிகாரங்களின் பண்புகள் உட்பட, ஒவ்வொரு சொத்துக்கும் ஒரு உதாரணம் தருவோம். இந்த பண்புகள் ஒவ்வொன்றும் டிகிரிகளில் உள்ள சிக்கல்களை விரைவாக தீர்க்க உதவும், மேலும் பல கணக்கீட்டு பிழைகளிலிருந்து உங்களை காப்பாற்றும்.

1 வது சொத்து.

பலர் இந்த சொத்தை அடிக்கடி மறந்துவிடுகிறார்கள், தவறு செய்கிறார்கள், பூஜ்ஜியத்திற்கு ஒரு எண்ணை பூஜ்ஜியமாகக் குறிப்பிடுகிறார்கள்.

2 வது சொத்து.

3 வது சொத்து.

எண்களை பெருக்கும் போது மட்டுமே இந்த சொத்தை பயன்படுத்த முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், இது தொகையுடன் வேலை செய்யாது! இதுவும் பின்வரும் பண்புகளும் ஒரே அடிப்படையைக் கொண்ட அதிகாரங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும் என்பதை நாம் மறந்துவிடக் கூடாது.

4 வது சொத்து.

வகுப்பில் உள்ள எண் எதிர்மறை சக்தியாக உயர்த்தப்பட்டால், கழிக்கும்போது, ​​மேலும் கணக்கீடுகளில் குறியை சரியாக மாற்ற, பிரிவின் அளவு அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்கப்படுகிறது.

சொத்து பிரிக்கும் போது மட்டுமே வேலை செய்கிறது, கழிக்கும்போது அல்ல!

5 வது சொத்து.

6 வது சொத்து.

இந்த பண்பு தலைகீழாகவும் பயன்படுத்தப்படலாம். ஒரு எண்ணால் ஓரளவிற்கு வகுக்கப்படும் அலகு அந்த எண்ணை எதிர்மறை சக்தியாகக் கொண்டது.

7 வது சொத்து.

இந்த சொத்தை தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்குப் பயன்படுத்த முடியாது! ஒரு தொகை அல்லது வேறுபாட்டை ஒரு சக்திக்கு உயர்த்தும்போது, ​​சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, சக்தியின் பண்புகள் அல்ல.

8 வது சொத்து.

9 வது சொத்து.

இந்த சொத்து எந்த பகுதியளவு பட்டத்திற்கும் சமமான ஒரு எண் கொண்டதாக இருக்கும், சூத்திரம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், பட்டத்தின் வகுப்பைப் பொறுத்து ரூட்டின் அளவு மட்டுமே மாறும்.

மேலும், இந்த சொத்து பெரும்பாலும் தலைகீழ் வரிசையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு எண்ணின் எந்த சக்தியின் மூலமும் அந்த எண்ணின் சக்தியால் வகுக்கப்படும் எண்ணாக குறிப்பிடப்படலாம். எண்ணின் வேர் பிரித்தெடுக்கப்படாத சந்தர்ப்பங்களில் இந்த சொத்து மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

10 வது சொத்து.

இந்த சொத்து வர்க்கமூலம் மற்றும் இரண்டாவது பட்டத்துடன் மட்டும் வேலை செய்கிறது. வேரின் அளவும், இந்த வேர் உயர்த்தப்படும் அளவும் ஒன்றாக இருந்தால், பதில் தீவிர வெளிப்பாடாக இருக்கும்.

11 வது சொத்து.

பெரிய கணக்கீடுகளில் இருந்து உங்களைக் காப்பாற்றிக் கொள்ள, அதைத் தீர்க்கும் போது இந்தச் சொத்தை நீங்கள் சரியான நேரத்தில் பார்க்க வேண்டும்.

12 வது சொத்து.

இந்த பண்புகள் ஒவ்வொன்றும் பணிகளில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை உங்களைச் சந்திக்கும், அது அதன் தூய வடிவத்தில் கொடுக்கப்படலாம் அல்லது சில மாற்றங்கள் மற்றும் பிற சூத்திரங்களின் பயன்பாடு தேவைப்படலாம். எனவே, சரியான தீர்வுக்கு, பண்புகளை மட்டும் அறிந்தால் போதாது, மீதமுள்ள கணித அறிவைப் பயிற்சி செய்து இணைக்க வேண்டும்.

பட்டங்களின் பயன்பாடு மற்றும் அவற்றின் பண்புகள்

அவை இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவவியலில் தீவிரமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. கணிதத்தில் பட்டங்களுக்கு தனி, முக்கிய இடம் உண்டு. அவற்றின் உதவியுடன், அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் தீர்க்கப்படுகின்றன, அதே போல் சக்திகள் பெரும்பாலும் கணிதத்தின் பிற பிரிவுகளுடன் தொடர்புடைய சமன்பாடுகள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளை சிக்கலாக்குகின்றன. அடுக்குகள் பெரிய மற்றும் நீண்ட கணக்கீடுகளைத் தவிர்க்க உதவுகின்றன, அடுக்குகளைக் குறைத்து கணக்கிடுவது எளிது. ஆனால் பெரிய சக்திகளுடன் அல்லது பெரிய எண்களின் சக்திகளுடன் பணிபுரிய, நீங்கள் பட்டத்தின் பண்புகளை மட்டும் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும், ஆனால் உங்கள் பணியை எளிதாக்கும் வகையில் தளங்களுடன் திறமையாக வேலை செய்ய வேண்டும். வசதிக்காக, சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்ட எண்களின் அர்த்தத்தையும் நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இது நீண்ட கணக்கீடுகளின் தேவையை நீக்கி தீர்க்கும் நேரத்தை குறைக்கும்.

மடக்கைகளில் பட்டம் என்ற கருத்து சிறப்புப் பங்கு வகிக்கிறது. மடக்கை, சாராம்சத்தில், ஒரு எண்ணின் சக்தி என்பதால்.

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள் அதிகாரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு. அவர்கள் டிகிரிகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்த முடியாது, அவை சிறப்பு விதிகளின்படி சிதைக்கப்படுகின்றன, ஆனால் ஒவ்வொரு சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரத்திலும் மாறாமல் டிகிரி உள்ளன.

இயற்பியல் மற்றும் கணினி அறிவியலிலும் பட்டங்கள் தீவிரமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. SI அமைப்பில் உள்ள அனைத்து மொழிபெயர்ப்புகளும் டிகிரிகளைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படுகின்றன, மேலும் எதிர்காலத்தில், சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது, ​​பட்டத்தின் பண்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. கணினி அறிவியலில், எண்களின் உணர்வை எண்ணுவதற்கும் எளிமைப்படுத்துவதற்கும் வசதிக்காக இரண்டின் சக்திகள் தீவிரமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அளவீட்டு அலகுகளை மாற்றுவதற்கான கூடுதல் கணக்கீடுகள் அல்லது சிக்கல்களின் கணக்கீடுகள், இயற்பியலில் உள்ளதைப் போலவே, பட்டத்தின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி நிகழ்கின்றன.

பட்டங்கள் வானியலில் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், அங்கு நீங்கள் ஒரு பட்டத்தின் பண்புகளின் பயன்பாட்டை அரிதாகவே காணலாம், ஆனால் பல்வேறு அளவுகள் மற்றும் தூரங்களின் பதிவைக் குறைக்க டிகிரிகள் தீவிரமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பகுதிகள், தொகுதிகள், தூரங்களைக் கணக்கிடும் போது, ​​அன்றாட வாழ்விலும் டிகிரி பயன்படுத்தப்படுகிறது.

டிகிரி உதவியுடன், எந்த அறிவியல் துறையிலும் மிகப் பெரிய மற்றும் மிகச் சிறிய மதிப்புகள் எழுதப்படுகின்றன.

அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள்

அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளில் பட்டம் பண்புகள் ஒரு சிறப்பு இடத்தைப் பெறுகின்றன. இந்தப் பணிகள் பள்ளிப் பாடத்திலும் தேர்வுகளிலும் மிகவும் பொதுவானவை. அவை அனைத்தும் பட்டத்தின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன. தெரியாதது எப்போதும் பட்டப்படிப்பில் இருக்கும், எனவே, அனைத்து பண்புகளையும் அறிந்தால், அத்தகைய சமன்பாடு அல்லது சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது கடினம் அல்ல.

முதல் நிலை

பட்டம் மற்றும் அதன் பண்புகள். விரிவான வழிகாட்டி (2019)

பட்டங்கள் ஏன் தேவை? உங்களுக்கு அவை எங்கே தேவை? அவற்றைப் படிப்பதில் நீங்கள் ஏன் நேரத்தை செலவிட வேண்டும்?

பட்டங்கள், அவை எதற்காக, அன்றாட வாழ்க்கையில் உங்கள் அறிவை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைப் பற்றி அனைத்தையும் அறிய, இந்த கட்டுரையைப் படியுங்கள்.

மற்றும், நிச்சயமாக, டிகிரிகளை அறிவது OGE அல்லது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெறுவதற்கும் உங்கள் கனவுகளின் பல்கலைக்கழகத்தில் நுழைவதற்கும் உங்களை நெருக்கமாகக் கொண்டுவரும்.

போகலாம்... (போகலாம்!)

முக்கியமான குறிப்பு! சூத்திரங்களுக்குப் பதிலாக நீங்கள் முட்டாள்தனமாக இருந்தால், உங்கள் தற்காலிக சேமிப்பை அழிக்கவும். இதைச் செய்ய, CTRL+F5 (விண்டோஸில்) அல்லது Cmd+R (Mac இல்) அழுத்தவும்.

முதல் நிலை

கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் அல்லது வகுத்தல் போன்ற அதே கணிதச் செயல்பாடுதான் அதிவேகமாகும்.

இப்போது நான் எல்லாவற்றையும் மனித மொழியில் மிக எளிய உதாரணங்களைப் பயன்படுத்தி விளக்குகிறேன். கவனம் செலுத்துங்கள். எடுத்துக்காட்டுகள் அடிப்படை, ஆனால் முக்கியமான விஷயங்களை விளக்குகின்றன.

கூட்டலுடன் ஆரம்பிக்கலாம்.

இங்கே விளக்க எதுவும் இல்லை. உங்களுக்கு ஏற்கனவே எல்லாம் தெரியும்: நாங்கள் எட்டு பேர் இருக்கிறோம். ஒவ்வொன்றிலும் இரண்டு பாட்டில் கோலா உள்ளது. எவ்வளவு கோலா? அது சரி - 16 பாட்டில்கள்.

இப்போது பெருக்கல்.

கோலாவுடன் அதே உதாரணத்தை வேறு விதமாக எழுதலாம்: . கணிதவியலாளர்கள் தந்திரமான மற்றும் சோம்பேறிகள். அவர்கள் முதலில் சில வடிவங்களைக் கவனிக்கிறார்கள், பின்னர் அவற்றை விரைவாக "எண்ண" ஒரு வழியைக் கொண்டு வருகிறார்கள். எங்கள் விஷயத்தில், எட்டு பேரில் ஒவ்வொருவருக்கும் ஒரே எண்ணிக்கையிலான கோலா பாட்டில்கள் இருப்பதை அவர்கள் கவனித்தனர் மற்றும் பெருக்கல் என்ற நுட்பத்தை கண்டுபிடித்தனர். ஒப்புக்கொள், அதை விட எளிதாகவும் வேகமாகவும் கருதப்படுகிறது.

எனவே, வேகமாக, எளிதாக மற்றும் பிழைகள் இல்லாமல் எண்ண, நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும் பெருக்கல் அட்டவணை. நிச்சயமாக, நீங்கள் எல்லாவற்றையும் மெதுவாக, கடினமாக மற்றும் தவறுகளுடன் செய்யலாம்! ஆனாலும்…

இங்கே பெருக்கல் அட்டவணை உள்ளது. மீண்டும் செய்யவும்.

மற்றொன்று, அழகான ஒன்று:

சோம்பேறி கணிதவியலாளர்கள் வேறு என்ன தந்திரமான எண்ணும் தந்திரங்களைக் கொண்டு வந்தார்கள்? வலது - ஒரு எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துதல்.

ஒரு எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துதல்

நீங்கள் ஒரு எண்ணை ஐந்து முறை பெருக்க வேண்டும் என்றால், கணிதவியலாளர்கள் இந்த எண்ணை ஐந்தாவது சக்தியாக உயர்த்த வேண்டும் என்று கூறுகிறார்கள். உதாரணமாக, . இரண்டு முதல் ஐந்தாவது சக்தி என்று கணிதவியலாளர்கள் நினைவில் கொள்கிறார்கள். மேலும் அவர்கள் தங்கள் மனதில் இத்தகைய பிரச்சனைகளை தீர்க்கிறார்கள் - வேகமாக, எளிதாக மற்றும் பிழைகள் இல்லாமல்.

இதைச் செய்ய, உங்களுக்கு மட்டுமே தேவை எண்களின் அதிகாரங்களின் அட்டவணையில் நிறத்தில் சிறப்பிக்கப்பட்டுள்ளதை நினைவில் கொள்க. என்னை நம்புங்கள், இது உங்கள் வாழ்க்கையை மிகவும் எளிதாக்கும்.

மூலம், இரண்டாவது பட்டம் ஏன் அழைக்கப்படுகிறது சதுரஎண்கள் மற்றும் மூன்றாவது கன? இதற்கு என்ன அர்த்தம்? மிக நல்ல கேள்வி. இப்போது உங்களிடம் சதுரங்கள் மற்றும் க்யூப்ஸ் இரண்டும் இருக்கும்.

நிஜ வாழ்க்கை உதாரணம் #1

ஒரு எண்ணின் சதுரம் அல்லது இரண்டாவது சக்தியுடன் ஆரம்பிக்கலாம்.

ஒரு சதுரக் குளத்தை மீட்டரை மீட்டரைக் கற்பனை செய்து பாருங்கள். குளம் உங்கள் கொல்லைப்புறத்தில் உள்ளது. சூடாக இருக்கிறது, எனக்கு நீந்த வேண்டும். ஆனால்... அடியில்லா குளம்! குளத்தின் அடிப்பகுதியை ஓடுகளால் மூடுவது அவசியம். உங்களுக்கு எத்தனை ஓடுகள் தேவை? இதைத் தீர்மானிக்க, குளத்தின் அடிப்பகுதியை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

குளத்தின் அடிப்பகுதி மீட்டருக்கு மீட்டர் க்யூப்ஸ் என்று உங்கள் விரலைக் குத்துவதன் மூலம் எண்ணலாம். உங்கள் ஓடுகள் மீட்டருக்கு மீட்டராக இருந்தால், உங்களுக்கு துண்டுகள் தேவைப்படும். இது சுலபம்... ஆனால் அப்படி ஒரு ஓடு எங்கே பார்த்தீர்கள்? ஓடு செ.மீ.க்கு செ.மீ ஆக இருக்கும்.பின்னர் "விரலால் எண்ணி" நீங்கள் வேதனைப்படுவீர்கள். பின்னர் நீங்கள் பெருக்க வேண்டும். எனவே, குளத்தின் அடிப்பகுதியின் ஒரு பக்கத்தில், நாங்கள் ஓடுகள் (துண்டுகள்) மற்றும் மறுபுறம், ஓடுகள் பொருத்துவோம். பெருக்கினால், நீங்கள் ஓடுகளைப் பெறுவீர்கள் ().

குளத்தின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவைக் கண்டறிய, அதே எண்ணைத் தானே பெருக்கினோம் என்பதை நீங்கள் கவனித்தீர்களா? இதற்கு என்ன அர்த்தம்? ஒரே எண் பெருக்கப்படுவதால், எக்ஸ்போனென்ஷியேஷன் நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தலாம். (நிச்சயமாக, உங்களிடம் இரண்டு எண்கள் மட்டுமே இருக்கும்போது, ​​​​நீங்கள் இன்னும் அவற்றைப் பெருக்க வேண்டும் அல்லது அவற்றை ஒரு சக்தியாக உயர்த்த வேண்டும். ஆனால் உங்களிடம் நிறைய இருந்தால், ஒரு சக்திக்கு உயர்த்துவது மிகவும் எளிதானது மற்றும் கணக்கீடுகளில் குறைவான பிழைகள் உள்ளன. தேர்வுக்கு, இது மிகவும் முக்கியமானது).
எனவே, முப்பது முதல் இரண்டாவது பட்டம் () ஆக இருக்கும். அல்லது முப்பது சதுரமாக இருக்கும் என்று சொல்லலாம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு எண்ணின் இரண்டாவது சக்தியை எப்போதும் ஒரு சதுரமாக குறிப்பிடலாம். மற்றும் நேர்மாறாக, நீங்கள் ஒரு சதுரத்தைப் பார்த்தால், அது எப்போதும் சில எண்ணின் இரண்டாவது சக்தியாகும். சதுரம் என்பது எண்ணின் இரண்டாவது சக்தியின் உருவம்.

நிஜ வாழ்க்கை உதாரணம் #2

இதோ உங்களுக்காக ஒரு பணி, சதுரங்கப் பலகையில் எத்தனை சதுரங்கள் உள்ளன என்பதை எண்ணின் சதுரத்தைப் பயன்படுத்தி எண்ணுங்கள்... கலங்களின் ஒரு பக்கமும் மறுபுறமும். அவற்றின் எண்ணிக்கையை எண்ணுவதற்கு, நீங்கள் எட்டை எட்டால் பெருக்க வேண்டும், அல்லது ... சதுரங்கப் பலகை ஒரு பக்கத்துடன் ஒரு சதுரம் என்பதை நீங்கள் கவனித்தால், நீங்கள் எட்டு சதுரம் செய்யலாம். செல்களைப் பெறுங்கள். () அதனால்?

நிஜ வாழ்க்கை உதாரணம் #3

இப்போது கன சதுரம் அல்லது ஒரு எண்ணின் மூன்றாவது சக்தி. அதே குளம். ஆனால் இந்த குளத்தில் எவ்வளவு தண்ணீர் ஊற்ற வேண்டும் என்பதை இப்போது நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். நீங்கள் அளவைக் கணக்கிட வேண்டும். (வால்யூம்கள் மற்றும் திரவங்கள், க்யூபிக் மீட்டரில் அளவிடப்படுகின்றன. எதிர்பாராதது, சரியா?) ஒரு குளத்தை வரையவும்: கீழே ஒரு மீட்டர் அளவு மற்றும் ஒரு மீட்டர் ஆழம் மற்றும் ஒரு மீட்டர் மூலம் ஒரு மீட்டரை அளவிடும் எத்தனை கனசதுரங்கள் உங்கள் நுழையும் என்பதைக் கணக்கிட முயற்சிக்கவும். குளம்.

விரலை நீட்டி எண்ணினால் போதும்! ஒன்று, இரண்டு, மூன்று, நான்கு... இருபத்தி இரண்டு, இருபத்தி மூன்று... எவ்வளவு ஆனது? தொலைந்து போகவில்லையா? விரலால் எண்ணுவது கடினமா? அதனால்! கணிதவியலாளர்களிடமிருந்து ஒரு உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். அவர்கள் சோம்பேறிகள், எனவே குளத்தின் அளவைக் கணக்கிட, அதன் நீளம், அகலம் மற்றும் உயரத்தை ஒருவருக்கொருவர் பெருக்க வேண்டும் என்பதை அவர்கள் கவனித்தனர். எங்கள் விஷயத்தில், குளத்தின் அளவு க்யூப்ஸுக்கு சமமாக இருக்கும் ... எளிதானது, இல்லையா?

கணிதவியலாளர்கள் அதை மிகவும் எளிதாக்கினால் எவ்வளவு சோம்பேறிகள் மற்றும் தந்திரமானவர்கள் என்று இப்போது கற்பனை செய்து பாருங்கள். எல்லாவற்றையும் ஒரே செயலாகக் குறைத்தது. நீளம், அகலம் மற்றும் உயரம் சமமாக இருப்பதையும், அதே எண் தானே பெருக்கப்படுவதையும் அவர்கள் கவனித்தனர் ... மேலும் இதன் பொருள் என்ன? இதன் பொருள் நீங்கள் பட்டத்தைப் பயன்படுத்தலாம். எனவே, நீங்கள் ஒருமுறை விரலால் எண்ணியதை, அவர்கள் ஒரு செயலில் செய்கிறார்கள்: ஒரு கனசதுரத்தில் மூன்று சமம். இது இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

மட்டுமே மிச்சம் டிகிரி அட்டவணையை மனப்பாடம் செய்யுங்கள். நிச்சயமாக, நீங்கள் கணிதவியலாளர்களைப் போல சோம்பேறியாகவும் தந்திரமாகவும் இல்லை. நீங்கள் கடினமாக உழைத்து தவறு செய்ய விரும்பினால், உங்கள் விரல் விட்டு எண்ணிக்கொண்டே இருக்கலாம்.

சரி, பட்டங்கள் லோஃபர்கள் மற்றும் தந்திரமான நபர்களால் தங்கள் வாழ்க்கைப் பிரச்சினைகளைத் தீர்ப்பதற்கும், உங்களுக்காக பிரச்சினைகளை உருவாக்குவதற்கும் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது என்பதை இறுதியாக உங்களை நம்ப வைக்க, வாழ்க்கையிலிருந்து இன்னும் சில எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே.

நிஜ வாழ்க்கை உதாரணம் #4

உங்களிடம் ஒரு மில்லியன் ரூபிள் உள்ளது. ஒவ்வொரு வருடத்தின் தொடக்கத்திலும், ஒவ்வொரு மில்லியனுக்கும் மற்றொரு மில்லியன் சம்பாதிக்கிறீர்கள். அதாவது, ஒவ்வொரு வருடத்தின் தொடக்கத்திலும் உங்களின் ஒவ்வொரு மில்லியனும் இரட்டிப்பாகும். ஆண்டுகளில் உங்களிடம் எவ்வளவு பணம் இருக்கும்? நீங்கள் இப்போது உட்கார்ந்து "உங்கள் விரல் கொண்டு எண்ணுகிறீர்கள்" என்றால், நீங்கள் மிகவும் கடின உழைப்பாளி மற்றும் .. முட்டாள். ஆனால் பெரும்பாலும் நீங்கள் இரண்டு வினாடிகளில் பதிலைக் கொடுப்பீர்கள், ஏனென்றால் நீங்கள் புத்திசாலி! எனவே, முதல் ஆண்டில் - இரண்டு முறை இரண்டு ... இரண்டாவது ஆண்டில் - என்ன நடந்தது, மேலும் இரண்டு, மூன்றாம் ஆண்டில் ... நிறுத்து! எண்ணானது ஒருமுறை தன்னால் பெருக்கப்படுவதை நீங்கள் கவனித்தீர்கள். எனவே இரண்டு முதல் ஐந்தாவது சக்தி ஒரு மில்லியன்! இப்போது உங்களுக்கு ஒரு போட்டி இருப்பதாகவும், வேகமாக கணக்கிடுபவர் இந்த மில்லியன்களைப் பெறுவார் என்றும் கற்பனை செய்து பாருங்கள் ... எண்களின் பட்டங்களை நினைவில் கொள்வது மதிப்புள்ளதா, நீங்கள் என்ன நினைக்கிறீர்கள்?

நிஜ வாழ்க்கை உதாரணம் #5

உங்களிடம் ஒரு மில்லியன் உள்ளது. ஒவ்வொரு வருடத்தின் தொடக்கத்திலும், ஒவ்வொரு மில்லியனுக்கும் மேலும் இரண்டு சம்பாதிக்கிறீர்கள். நன்றாக இருக்கிறது, இல்லையா? ஒவ்வொரு மில்லியன் மும்மடங்காகும். ஒரு வருடத்தில் உங்களிடம் எவ்வளவு பணம் இருக்கும்? எண்ணுவோம். முதல் ஆண்டு - மூலம் பெருக்கவும், பின்னர் மற்றொரு முடிவு ... இது ஏற்கனவே சலிப்பாக இருக்கிறது, ஏனென்றால் நீங்கள் ஏற்கனவே எல்லாவற்றையும் புரிந்துகொண்டீர்கள்: மூன்று தானே முறை பெருக்கப்படுகிறது. எனவே நான்காவது சக்தி ஒரு மில்லியன். மூன்று முதல் நான்காவது சக்தி அல்லது என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

ஒரு எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவதன் மூலம், உங்கள் வாழ்க்கையை மிகவும் எளிதாக்குவீர்கள் என்பதை இப்போது நீங்கள் அறிவீர்கள். பட்டங்கள் மூலம் நீங்கள் என்ன செய்யலாம் மற்றும் அவற்றைப் பற்றி நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டியது என்ன என்பதைப் பற்றி மேலும் பார்க்கலாம்.

விதிமுறைகள் மற்றும் கருத்துக்கள் ... குழப்பமடையாமல் இருக்க

எனவே, முதலில், கருத்துகளை வரையறுப்போம். நீங்கள் என்ன நினைக்கறீர்கள், அடுக்கு என்றால் என்ன? இது மிகவும் எளிமையானது - இது எண்ணின் சக்தியின் "மேல்" உள்ள எண். விஞ்ஞானம் அல்ல, ஆனால் தெளிவாகவும் நினைவில் கொள்ளவும் எளிதானது ...

சரி, அதே நேரத்தில், என்ன அத்தகைய ஒரு பட்டப்படிப்பு? இன்னும் எளிமையானது கீழே, அடிவாரத்தில் இருக்கும் எண்.

நீங்கள் உறுதியாக இருக்க இதோ ஒரு படம்.

சரி, பொதுவாக, பொதுமைப்படுத்தவும் சிறப்பாக நினைவில் கொள்ளவும் ... ஒரு அடிப்படை "" மற்றும் ஒரு காட்டி "" கொண்ட பட்டம் "பட்டத்தில்" படிக்கப்பட்டு பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது:

இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய எண்ணின் சக்தி

நீங்கள் ஏற்கனவே யூகித்திருக்கலாம்: ஏனெனில் அடுக்கு ஒரு இயற்கை எண். ஆம், ஆனால் என்ன இயற்கை எண்? தொடக்கநிலை! பொருட்களை பட்டியலிடும்போது எண்ணும் போது இயற்கை எண்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: ஒன்று, இரண்டு, மூன்று ... நாம் பொருட்களை எண்ணும் போது, ​​நாம் சொல்ல மாட்டோம்: "கழித்தல் ஐந்து", "கழித்தல் ஆறு", "கழித்தல் ஏழு". "மூன்றில் ஒரு பங்கு" அல்லது "பூஜ்ஜியப் புள்ளி ஐந்து பத்தில் ஒரு பங்கு" என்று நாங்கள் கூறவில்லை. இவை இயற்கை எண்கள் அல்ல. இந்த எண்கள் என்ன என்று நீங்கள் நினைக்கிறீர்கள்?

"மைனஸ் ஐந்து", "மைனஸ் ஆறு", "மைனஸ் ஏழு" போன்ற எண்கள் குறிப்பிடுகின்றன முழு எண்கள்.பொதுவாக, முழு எண்களில் அனைத்து இயற்கை எண்கள், இயற்கை எண்களுக்கு எதிர் எண்கள் (அதாவது ஒரு கழித்தல் குறியுடன் எடுக்கப்பட்டது) மற்றும் ஒரு எண் ஆகியவை அடங்கும். பூஜ்ஜியத்தைப் புரிந்துகொள்வது எளிது - இது எதுவும் இல்லாதபோது. எதிர்மறை ("கழித்தல்") எண்கள் எதைக் குறிக்கின்றன? ஆனால் அவை முதன்மையாக கடன்களைக் குறிக்க கண்டுபிடிக்கப்பட்டன: உங்கள் தொலைபேசியில் ரூபிள் இருப்பு இருந்தால், நீங்கள் ஆபரேட்டர் ரூபிள் கடன்பட்டிருக்கிறீர்கள் என்று அர்த்தம்.

அனைத்து பின்னங்களும் பகுத்தறிவு எண்கள். அவர்கள் எப்படி வந்தார்கள், நீங்கள் நினைக்கிறீர்களா? மிகவும் எளிமையான. பல ஆயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன்பு, நம் முன்னோர்கள் நீளம், எடை, பரப்பளவு போன்றவற்றை அளவிட போதுமான இயற்கை எண்கள் இல்லை என்று கண்டுபிடித்தனர். அவர்கள் கொண்டு வந்தனர் விகிதமுறு எண்கள்… சுவாரஸ்யமானது, இல்லையா?

விகிதாச்சார எண்களும் உள்ளன. இந்த எண்கள் என்ன? சுருக்கமாக, எல்லையற்ற தசம பின்னம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவை அதன் விட்டத்தால் வகுத்தால், நீங்கள் ஒரு விகிதாசார எண்ணைப் பெறுவீர்கள்.

சுருக்கம்:

பட்டத்தின் கருத்தை வரையறுப்போம், அதன் அடுக்கு ஒரு இயற்கை எண் (அதாவது முழு எண் மற்றும் நேர்மறை).

1. முதல் சக்திக்கு எந்த எண்ணும் தனக்கு சமம்:
2. ஒரு எண்ணை வர்க்கமாக்குவது அதைத் தானாகப் பெருக்குவது:
3. ஒரு எண்ணை க்யூப் செய்வது என்பது அதை மூன்று முறை தன்னால் பெருக்குவதாகும்.

வரையறை.ஒரு எண்ணை இயற்கையான சக்தியாக உயர்த்துவது, எண்ணை பலமுறை பெருக்குவது:
.

பட்டம் பண்புகள்

இந்த சொத்துக்கள் எங்கிருந்து வந்தன? நான் இப்போது காட்டுகிறேன்.

என்னவென்று பார்ப்போம் மற்றும் ?

வரையறையின்படி:

மொத்தம் எத்தனை பெருக்கிகள் உள்ளன?

இது மிகவும் எளிமையானது: காரணிகளுக்கு காரணிகளைச் சேர்த்துள்ளோம், அதன் விளைவு காரணிகளாகும்.

ஆனால் வரையறையின்படி, இது ஒரு அடுக்கு கொண்ட எண்ணின் அளவு, அதாவது: , இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

உதாரணமாக: வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கு.

தீர்வு:

உதாரணமாக:வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்.

தீர்வு:நமது ஆட்சியில் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது அவசியம்அதே காரணம் இருக்க வேண்டும்!
எனவே, நாங்கள் டிகிரிகளை அடித்தளத்துடன் இணைக்கிறோம், ஆனால் ஒரு தனி காரணியாக இருக்கிறோம்:

சக்திகளின் தயாரிப்புகளுக்கு மட்டுமே!

எந்த சூழ்நிலையிலும் அப்படி எழுதக்கூடாது.

2. அதாவது -ஒரு எண்ணின் சக்தி

முந்தைய சொத்தைப் போலவே, பட்டத்தின் வரையறைக்கு வருவோம்:

வெளிப்பாடு ஒரு முறை தன்னால் பெருக்கப்படுகிறது என்று மாறிவிடும், அதாவது, வரையறையின்படி, இது எண்ணின் வது சக்தி:

உண்மையில், இதை "காட்டிகாட்டி அடைப்புக்குறி" என்று அழைக்கலாம். ஆனால் நீங்கள் இதை ஒருபோதும் செய்ய முடியாது:

சுருக்கமான பெருக்கத்திற்கான சூத்திரங்களை நினைவு கூர்வோம்: எத்தனை முறை எழுத விரும்பினோம்?

ஆனால் அது உண்மையல்ல, உண்மையில்.

எதிர்மறை அடிப்படையுடன் பட்டம்

இது வரை, அடுக்கு என்னவாக இருக்க வேண்டும் என்பதை மட்டுமே நாங்கள் விவாதித்தோம்.

ஆனால் என்ன அடிப்படையாக இருக்க வேண்டும்?

இருந்து டிகிரிகளில் இயற்கை காட்டிஅடிப்படை இருக்கலாம் எந்த எண். உண்மையில், நாம் எந்த எண்ணையும் ஒருவருக்கொருவர் பெருக்க முடியும், அவை நேர்மறை, எதிர்மறை அல்லது கூட.

எந்த அறிகுறிகளில் ("" அல்லது "") நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை எண்கள் இருக்கும் என்று யோசிப்போம்?

எடுத்துக்காட்டாக, எண் நேர்மறை அல்லது எதிர்மறையாக இருக்குமா? ஏ? ? முதலில், எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது: எத்தனை நேர்மறை எண்களை நாம் ஒருவருக்கொருவர் பெருக்கினாலும், விளைவு நேர்மறையாக இருக்கும்.

ஆனால் எதிர்மறையானவை இன்னும் கொஞ்சம் சுவாரஸ்யமானவை. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, 6 ஆம் வகுப்பிலிருந்து ஒரு எளிய விதியை நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம்: "ஒரு கழித்தல் முறை ஒரு கூட்டலைக் கொடுக்கும்." அதாவது, அல்லது. ஆனால் நாம் பெருக்கினால், அது மாறிவிடும்.

பின்வரும் வெளிப்பாடுகள் என்ன அடையாளத்தைக் கொண்டிருக்கும் என்பதை நீங்களே தீர்மானிக்கவும்:

சமாளித்தாயா?

இங்கே பதில்கள் உள்ளன: முதல் நான்கு எடுத்துக்காட்டுகளில், எல்லாம் தெளிவாக இருப்பதாக நம்புகிறேன்? நாம் அடிப்படை மற்றும் அடுக்கு ஆகியவற்றைப் பார்த்து, பொருத்தமான விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

எடுத்துக்காட்டு 5 இல், எல்லாமே தோன்றுவது போல் பயமாக இல்லை: அடிப்படை எது சமமாக இருந்தாலும் பரவாயில்லை - பட்டம் சமமானது, இதன் விளைவாக எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும்.

சரி, அடிப்படை பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது தவிர. அடிப்படை ஒரே மாதிரி இல்லை, இல்லையா? வெளிப்படையாக இல்லை, ஏனெனில் (ஏனெனில்).

எடுத்துக்காட்டு 6) இனி அவ்வளவு எளிதல்ல!

6 பயிற்சி உதாரணங்கள்

தீர்வு 6 எடுத்துக்காட்டுகளின் பகுப்பாய்வு

எட்டாவது பட்டத்தை நாம் கவனிக்கவில்லை என்றால், நாம் இங்கே என்ன பார்க்கிறோம்? 7 ஆம் வகுப்பு திட்டத்தைப் பார்ப்போம். எனவே, நினைவிருக்கிறதா? இது சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரம், அதாவது சதுரங்களின் வேறுபாடு! நாங்கள் பெறுகிறோம்:

நாங்கள் வகுப்பை கவனமாகப் பார்க்கிறோம். இது எண் காரணிகளில் ஒன்று போல் தெரிகிறது, ஆனால் என்ன தவறு? விதிமுறைகளின் தவறான வரிசை. அவை மாற்றப்பட்டால், விதி பொருந்தும்.

ஆனால் அதை எப்படி செய்வது? இது மிகவும் எளிதானது என்று மாறிவிடும்: வகுப்பின் சம அளவு இங்கே நமக்கு உதவுகிறது.

விதிமுறைகள் மாயமாக இடங்களை மாற்றிவிட்டன. இந்த "நிகழ்வு" எந்தவொரு வெளிப்பாட்டிற்கும் சமமான அளவிற்கு பொருந்தும்: அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள அடையாளங்களை நாம் சுதந்திரமாக மாற்றலாம்.

ஆனால் நினைவில் கொள்வது முக்கியம்: அனைத்து அறிகுறிகளும் ஒரே நேரத்தில் மாறுகின்றன!

உதாரணத்திற்கு திரும்புவோம்:

மீண்டும் சூத்திரம்:

முழுவதும்இயற்கை எண்கள், அவற்றின் எதிரெதிர்கள் (அதாவது, "" அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்டவை) மற்றும் எண்ணை நாங்கள் பெயரிடுகிறோம்.

நேர்மறை முழு எண், மற்றும் இது இயற்கையிலிருந்து வேறுபட்டதல்ல, பின்னர் எல்லாம் முந்தைய பிரிவில் சரியாகத் தெரிகிறது.

இப்போது புதிய வழக்குகளைப் பார்ப்போம். சமமான குறிகாட்டியுடன் தொடங்குவோம்.

பூஜ்ஜிய சக்திக்கு எந்த எண்ணும் ஒன்றுக்கு சமம்:

எப்போதும் போல, நாம் நம்மை நாமே கேட்டுக்கொள்கிறோம்: இது ஏன்?

ஒரு அடித்தளத்துடன் சில சக்தியைக் கவனியுங்கள். உதாரணமாக எடுத்து, பெருக்கவும்:

எனவே, எண்ணைப் பெருக்கி, அது இருந்ததைப் போலவே கிடைத்தது -. எதுவும் மாறாமல் இருக்க எந்த எண்ணை பெருக்க வேண்டும்? அது சரி, அன்று. பொருள்.

நாம் ஒரு தன்னிச்சையான எண்ணுடன் இதைச் செய்யலாம்:

விதியை மீண்டும் செய்வோம்:

பூஜ்ஜிய சக்திக்கு எந்த எண்ணும் ஒன்றுக்கு சமம்.

ஆனால் பல விதிகளுக்கு விதிவிலக்குகள் உள்ளன. இங்கே அதுவும் உள்ளது - இது ஒரு எண் (அடிப்படையாக).

ஒருபுறம், அது எந்த அளவிற்கும் சமமாக இருக்க வேண்டும் - நீங்கள் பூஜ்ஜியத்தை எவ்வளவு பெருக்கினாலும், நீங்கள் இன்னும் பூஜ்ஜியத்தைப் பெறுவீர்கள், இது தெளிவாகிறது. ஆனால் மறுபுறம், பூஜ்ஜிய டிகிரிக்கு எந்த எண்ணையும் போல, அது சமமாக இருக்க வேண்டும். அப்படியானால் இதன் உண்மை என்ன? கணிதவியலாளர்கள் ஈடுபட வேண்டாம் என்று முடிவு செய்து பூஜ்ஜியத்தை பூஜ்ஜிய சக்தியாக உயர்த்த மறுத்துவிட்டனர். அதாவது, இப்போது நாம் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியாது, ஆனால் அதை பூஜ்ஜிய சக்தியாக உயர்த்தவும் முடியும்.

மேலும் செல்வோம். இயற்கை எண்கள் மற்றும் எண்களுக்கு கூடுதலாக, முழு எண்களில் எதிர்மறை எண்களும் அடங்கும். எதிர்மறை பட்டம் என்றால் என்ன என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, கடந்த முறை செய்ததைப் போலவே செய்வோம்: சில சாதாரண எண்ணை எதிர்மறையான டிகிரியில் பெருக்குகிறோம்:

இங்கிருந்து விரும்பியதை வெளிப்படுத்த ஏற்கனவே எளிதானது:

இப்போது இதன் விளைவாக வரும் விதியை தன்னிச்சையான அளவிற்கு நீட்டிக்கிறோம்:

எனவே, விதியை உருவாக்குவோம்:

ஒரு எண் எதிர்மறை சக்திக்கு நேர்மாறாக அதே எண்ணின் நேர்மாறானது. ஆனால் அதே நேரத்தில் அடிப்படை பூஜ்யமாக இருக்க முடியாது:(ஏனென்றால் பிரிக்க இயலாது).

சுருக்கமாகக் கூறுவோம்:

I. வெளிப்பாடு வழக்கில் வரையறுக்கப்படவில்லை. என்றால், பின்னர்.

II. பூஜ்ஜிய சக்திக்கு எந்த எண்ணும் ஒன்று: .

III. எதிர்மறை சக்திக்கு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத எண், அதே எண்ணின் நேர்மாறாக நேர்மாறாக இருக்கும்: .

சுயாதீன தீர்வுக்கான பணிகள்:

சரி, வழக்கம் போல், ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:

சுயாதீன தீர்வுக்கான பணிகளின் பகுப்பாய்வு:

எனக்குத் தெரியும், எனக்குத் தெரியும், எண்கள் பயங்கரமானவை, ஆனால் தேர்வில் நீங்கள் எதற்கும் தயாராக இருக்க வேண்டும்! இந்த உதாரணங்களைத் தீர்க்கவும் அல்லது அவற்றைத் தீர்க்க முடியாவிட்டால் அவற்றின் தீர்வைப் பகுப்பாய்வு செய்யவும், தேர்வில் அவற்றை எவ்வாறு எளிதாகச் சமாளிப்பது என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள்!

"பொருத்தமான" எண்களின் வரம்பை ஒரு அடுக்கு என விரிவுபடுத்துவோம்.

இப்போது கருதுங்கள் விகிதமுறு எண்கள்.என்ன எண்கள் பகுத்தறிவு என்று அழைக்கப்படுகின்றன?

பதில்: ஒரு பின்னமாக குறிப்பிடக்கூடிய அனைத்தும், எங்கே மற்றும் முழு எண்கள், மேலும்.

என்ன என்பதைப் புரிந்து கொள்ள "பிரிவு பட்டம்"ஒரு பகுதியைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவோம்:

இப்போது விதியை நினைவில் கொள்க "பட்டம் முதல் பட்டம்":

பெறுவதற்கு எந்த எண்ணை சக்தியாக உயர்த்த வேண்டும்?

இந்த உருவாக்கம் வது பட்டத்தின் மூலத்தின் வரையறை ஆகும்.

நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: ஒரு எண்ணின் வது சக்தியின் வேர் () ஒரு எண்ணாகும், அது ஒரு சக்தியாக உயர்த்தப்படும் போது சமமாக இருக்கும்.

அதாவது, வது பட்டத்தின் மூலமானது அதிவேகத்தின் தலைகீழ் செயல்பாடு: .

அது மாறிவிடும் என்று. வெளிப்படையாக, இந்த சிறப்பு வழக்கு நீட்டிக்கப்படலாம்: .

இப்போது எண்ணைச் சேர்க்கவும்: அது என்ன? பவர்-டு-பவர் விதி மூலம் பதிலைப் பெறுவது எளிது:

ஆனால் அடிப்படை ஏதேனும் எண்ணாக இருக்க முடியுமா? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, எல்லா எண்களிலிருந்தும் ரூட் பிரித்தெடுக்க முடியாது.

இல்லை!

விதியை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: சம சக்தியாக உயர்த்தப்படும் எந்த எண்ணும் நேர்மறை எண்ணாகும். அதாவது, எதிர்மறை எண்களில் இருந்து சம அளவு வேர்களைப் பிரித்தெடுப்பது சாத்தியமில்லை!

இதன் பொருள், அத்தகைய எண்களை ஒரு சமமான வகுப்பைக் கொண்ட ஒரு பகுதியளவு சக்தியாக உயர்த்த முடியாது, அதாவது வெளிப்பாடு அர்த்தமற்றது.

வெளிப்பாடு பற்றி என்ன?

ஆனால் இங்கே ஒரு சிக்கல் எழுகிறது.

எண்ணை மற்ற, குறைக்கப்பட்ட பின்னங்களாகக் குறிப்பிடலாம், எடுத்துக்காட்டாக, அல்லது.

அது உள்ளது, ஆனால் இல்லை என்று மாறிவிடும், இவை ஒரே எண்ணின் இரண்டு வெவ்வேறு பதிவுகள்.

அல்லது மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு: ஒருமுறை, நீங்கள் அதை எழுதலாம். ஆனால் குறிகாட்டியை வேறு வழியில் எழுதியவுடன், நாங்கள் மீண்டும் சிக்கலைப் பெறுகிறோம்: (அதாவது, எங்களுக்கு முற்றிலும் மாறுபட்ட முடிவு கிடைத்தது!).

இத்தகைய முரண்பாடுகளைத் தவிர்க்க, கருத்தில் கொள்ளுங்கள் பகுதியளவு அடுக்குடன் மட்டுமே நேர்மறை அடிப்படை அடுக்கு.

அப்படியென்றால்:

• - இயற்கை எண்;
• ஒரு முழு எண்;

எடுத்துக்காட்டுகள்:

பகுத்தறிவு அடுக்குடன் கூடிய சக்திகள் வெளிப்பாடுகளை வேர்களுடன் மாற்றுவதற்கு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், எடுத்துக்காட்டாக:

5 பயிற்சி எடுத்துக்காட்டுகள்

பயிற்சிக்கான 5 எடுத்துக்காட்டுகளின் பகுப்பாய்வு

சரி, இப்போது - மிகவும் கடினம். இப்போது நாம் பகுப்பாய்வு செய்வோம் ஒரு பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் பட்டம்.

இங்குள்ள டிகிரிகளின் அனைத்து விதிகளும் பண்புகளும் பகுத்தறிவு அடுக்குடன் கூடிய டிகிரிகளைப் போலவே உள்ளன.

உண்மையில், வரையறையின்படி, பகுத்தறிவற்ற எண்கள் ஒரு பின்னமாக குறிப்பிடப்பட முடியாத எண்கள், எங்கே மற்றும் அவை முழு எண்கள் (அதாவது, பகுத்தறிவு எண்கள் தவிர அனைத்து உண்மையான எண்கள்).

இயற்கையான, முழு எண் மற்றும் பகுத்தறிவு குறிகாட்டியுடன் பட்டங்களைப் படிக்கும்போது, ​​ஒவ்வொரு முறையும் ஒரு குறிப்பிட்ட "படம்", "ஒப்புமை" அல்லது மிகவும் பழக்கமான சொற்களில் விளக்கத்தை உருவாக்குகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டாக, இயற்கை அடுக்கு என்பது பலமுறை தன்னால் பெருக்கப்படும் எண்ணாகும்;

...பூஜ்ஜிய சக்தி- இது, ஒரு முறை தன்னால் பெருக்கப்பட்ட எண், அதாவது, அது இன்னும் பெருக்கத் தொடங்கவில்லை, அதாவது அந்த எண் இன்னும் தோன்றவில்லை - எனவே, இதன் விளைவாக ஒரு குறிப்பிட்ட “தயாரிப்பு மட்டுமே. ஒரு எண்”, அதாவது ஒரு எண்;

...எதிர்மறை முழு எண் அடுக்கு- இது ஒரு குறிப்பிட்ட "தலைகீழ் செயல்முறை" நடந்ததைப் போன்றது, அதாவது, எண் தானாகவே பெருக்கப்படவில்லை, ஆனால் வகுக்கப்பட்டது.

மூலம், அறிவியலில், ஒரு சிக்கலான அடுக்கு கொண்ட பட்டம் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதாவது, ஒரு அடுக்கு உண்மையான எண் கூட இல்லை.

ஆனால் பள்ளியில், இதுபோன்ற சிரமங்களைப் பற்றி நாங்கள் நினைக்கவில்லை; இந்த புதிய கருத்துக்களை நிறுவனத்தில் புரிந்து கொள்ள உங்களுக்கு வாய்ப்பு கிடைக்கும்.

நீங்கள் எங்கு செல்வீர்கள் என்பதில் நாங்கள் உறுதியாக உள்ளோம்! (அத்தகைய உதாரணங்களை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை நீங்கள் கற்றுக்கொண்டால் :))

உதாரணமாக:

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

தீர்வுகளின் பகுப்பாய்வு:

1. ஒரு பட்டத்தை ஒரு நிலைக்கு உயர்த்துவதற்கு ஏற்கனவே உள்ள வழக்கமான விதியுடன் ஆரம்பிக்கலாம்:

இப்போது மதிப்பெண்ணைப் பாருங்கள். அவர் உங்களுக்கு ஏதாவது நினைவூட்டுகிறாரா? சதுரங்களின் வேறுபாட்டின் சுருக்கமான பெருக்கத்திற்கான சூத்திரத்தை நாங்கள் நினைவுபடுத்துகிறோம்:

இந்நிலையில்,

அது மாறிவிடும் என்று:

பதில்: .

2. அடுக்குகளில் உள்ள பின்னங்களை ஒரே வடிவத்தில் கொண்டு வருகிறோம்: தசமம் அல்லது இரண்டும் சாதாரணமானது. நாம் பெறுகிறோம், எடுத்துக்காட்டாக:

பதில்: 16

3. சிறப்பு எதுவும் இல்லை, டிகிரிகளின் வழக்கமான பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

மேம்பட்ட நிலை

பட்டத்தின் வரையறை

பட்டம் என்பது படிவத்தின் வெளிப்பாடு: , எங்கே:

• — பட்டத்தின் அடிப்படை;
• - அடுக்கு.

இயற்கை அடுக்குடன் பட்டம் (n = 1, 2, 3,...)

ஒரு எண்ணை இயற்கையான சக்தி n க்கு உயர்த்துவது என்பது எண்ணை பலமுறை பெருக்குவதாகும்:

முழு எண் அடுக்கு கொண்ட சக்தி (0, ±1, ±2,...)

அடுக்கு என்றால் நேர்மறை முழு எண்எண்:

விறைப்பு பூஜ்ஜிய சக்திக்கு:

வெளிப்பாடு காலவரையற்றது, ஏனென்றால், ஒருபுறம், எந்த அளவிற்கு இது உள்ளது, மறுபுறம், வது டிகிரிக்கு எந்த எண்ணும் இதுதான்.

அடுக்கு என்றால் முழு எண் எதிர்மறைஎண்:

(ஏனென்றால் பிரிக்க இயலாது).

பூஜ்யங்களைப் பற்றி மேலும் ஒரு முறை: வெளிப்பாடு வழக்கில் வரையறுக்கப்படவில்லை. என்றால், பின்னர்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

பகுத்தறிவு அடுக்குடன் பட்டம்

• - இயற்கை எண்;
• ஒரு முழு எண்;

எடுத்துக்காட்டுகள்:

பட்டம் பண்புகள்

சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதை எளிதாக்க, புரிந்து கொள்ள முயற்சிப்போம்: இந்த பண்புகள் எங்கிருந்து வந்தன? அவற்றை நிரூபிப்போம்.

பார்ப்போம்: என்ன மற்றும்?

வரையறையின்படி:

எனவே, இந்த வெளிப்பாட்டின் வலது பக்கத்தில், பின்வரும் தயாரிப்பு பெறப்படுகிறது:

ஆனால் வரையறையின்படி, இது ஒரு அதிவேகத்துடன் கூடிய எண்ணின் சக்தியாகும், அதாவது:

கே.இ.டி.

உதாரணமாக : வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கு.

தீர்வு : .

உதாரணமாக : வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கு.

தீர்வு : நமது ஆட்சியில் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது அவசியம்அதே அடிப்படையில் இருக்க வேண்டும். எனவே, நாங்கள் டிகிரிகளை அடித்தளத்துடன் இணைக்கிறோம், ஆனால் ஒரு தனி காரணியாக இருக்கிறோம்:

மற்றொரு முக்கிய குறிப்பு: இந்த விதி - சக்திகளின் தயாரிப்புகளுக்கு மட்டுமே!

எந்த சூழ்நிலையிலும் நான் அதை எழுதக்கூடாது.

முந்தைய சொத்தைப் போலவே, பட்டத்தின் வரையறைக்கு வருவோம்:

இதை இப்படி மறுசீரமைப்போம்:

வெளிப்பாடு ஒரு முறை தன்னால் பெருக்கப்படுகிறது என்று மாறிவிடும், அதாவது, வரையறையின்படி, இது எண்ணின் -வது சக்தி:

உண்மையில், இதை "காட்டிகாட்டி அடைப்புக்குறி" என்று அழைக்கலாம். ஆனால் இதை நீங்கள் ஒருபோதும் மொத்தமாக செய்ய முடியாது:!

சுருக்கமான பெருக்கத்திற்கான சூத்திரங்களை நினைவு கூர்வோம்: எத்தனை முறை எழுத விரும்பினோம்? ஆனால் அது உண்மையல்ல, உண்மையில்.

எதிர்மறை அடித்தளத்துடன் சக்தி.

எதுவாக இருக்க வேண்டும் என்பதை மட்டுமே இது வரை விவாதித்தோம் காட்டிபட்டம். ஆனால் என்ன அடிப்படையாக இருக்க வேண்டும்? இருந்து டிகிரிகளில் இயற்கை காட்டி அடிப்படை இருக்கலாம் எந்த எண் .

உண்மையில், நாம் எந்த எண்ணையும் ஒருவருக்கொருவர் பெருக்க முடியும், அவை நேர்மறை, எதிர்மறை அல்லது கூட. எந்த அறிகுறிகளில் ("" அல்லது "") நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை எண்கள் இருக்கும் என்று யோசிப்போம்?

எடுத்துக்காட்டாக, எண் நேர்மறை அல்லது எதிர்மறையாக இருக்குமா? ஏ? ?

முதலாவதாக, எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது: எத்தனை நேர்மறை எண்களை நாம் ஒருவருக்கொருவர் பெருக்கினாலும், விளைவு நேர்மறையாக இருக்கும்.

ஆனால் எதிர்மறையானவை இன்னும் கொஞ்சம் சுவாரஸ்யமானவை. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, 6 ஆம் வகுப்பிலிருந்து ஒரு எளிய விதியை நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம்: "ஒரு கழித்தல் முறை ஒரு கூட்டலைக் கொடுக்கும்." அதாவது, அல்லது. ஆனால் () ஆல் பெருக்கினால் - கிடைக்கும்.

விளம்பர முடிவில்லாதது: ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த பெருக்கத்திலும், அடையாளம் மாறும். இந்த எளிய விதிகளை நீங்கள் உருவாக்கலாம்:

1. கூடபட்டம், - எண் நேர்மறை.
2. எதிர்மறை எண் உயர்த்தப்பட்டது ஒற்றைப்படைபட்டம், - எண் எதிர்மறை.
3. எந்த சக்திக்கும் நேர்மறை எண் நேர்மறை எண்.
4. எந்த சக்திக்கும் பூஜ்ஜியம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

பின்வரும் வெளிப்பாடுகள் என்ன அடையாளத்தைக் கொண்டிருக்கும் என்பதை நீங்களே தீர்மானிக்கவும்:

சமாளித்தாயா? இதோ பதில்கள்:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

முதல் நான்கு எடுத்துக்காட்டுகளில், எல்லாம் தெளிவாக இருக்கும் என்று நம்புகிறேன்? நாம் அடிப்படை மற்றும் அடுக்கு ஆகியவற்றைப் பார்த்து, பொருத்தமான விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 5 இல், எல்லாமே தோன்றுவது போல் பயமாக இல்லை: அடிப்படை எதற்கு சமம் என்பது முக்கியமல்ல - பட்டம் சமமானது, இதன் விளைவாக எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும். சரி, அடிப்படை பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது தவிர. அடிப்படை ஒரே மாதிரி இல்லை, இல்லையா? வெளிப்படையாக இல்லை, ஏனெனில் (ஏனெனில்).

எடுத்துக்காட்டு 6) இனி அவ்வளவு எளிதல்ல. எது குறைவு என்பதை இங்கே நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்: அல்லது? நீங்கள் அதை நினைவில் வைத்துக் கொண்டால், அடிப்படை பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது. அதாவது, நாங்கள் விதி 2 ஐப் பயன்படுத்துகிறோம்: முடிவு எதிர்மறையாக இருக்கும்.

மீண்டும் நாம் பட்டத்தின் வரையறையைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

எல்லாம் வழக்கம் போல் உள்ளது - நாங்கள் டிகிரிகளின் வரையறையை எழுதி, அவற்றை ஒருவருக்கொருவர் பிரித்து, ஜோடிகளாகப் பிரித்து பெறுகிறோம்:

கடைசி விதியை பகுப்பாய்வு செய்வதற்கு முன், சில எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்போம்.

வெளிப்பாடுகளின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள்:

தீர்வுகள் :

எட்டாவது பட்டத்தை நாம் கவனிக்கவில்லை என்றால், நாம் இங்கே என்ன பார்க்கிறோம்? 7 ஆம் வகுப்பு திட்டத்தைப் பார்ப்போம். எனவே, நினைவிருக்கிறதா? இது சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரம், அதாவது சதுரங்களின் வேறுபாடு!

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

நாங்கள் வகுப்பை கவனமாகப் பார்க்கிறோம். இது எண் காரணிகளில் ஒன்று போல் தெரிகிறது, ஆனால் என்ன தவறு? விதிமுறைகளின் தவறான வரிசை. அவை தலைகீழாக மாற்றப்பட்டால், விதி 3 பயன்படுத்தப்படலாம், ஆனால் இதை எப்படி செய்வது? இது மிகவும் எளிதானது என்று மாறிவிடும்: வகுப்பின் சம அளவு இங்கே நமக்கு உதவுகிறது.

நீங்கள் அதை பெருக்கினால், எதுவும் மாறாது, இல்லையா? ஆனால் இப்போது இது போல் தெரிகிறது:

விதிமுறைகள் மாயமாக இடங்களை மாற்றிவிட்டன. இந்த "நிகழ்வு" எந்தவொரு வெளிப்பாட்டிற்கும் சமமான அளவிற்கு பொருந்தும்: அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள அடையாளங்களை நாம் சுதந்திரமாக மாற்றலாம். ஆனால் நினைவில் கொள்வது முக்கியம்: அனைத்து அறிகுறிகளும் ஒரே நேரத்தில் மாறுகின்றன!ஒரே ஒரு ஆட்சேபனைக்குரிய மைனஸை மாற்றுவதன் மூலம் அதை மாற்ற முடியாது!

உதாரணத்திற்கு திரும்புவோம்:

மீண்டும் சூத்திரம்:

எனவே இப்போது கடைசி விதி:

அதை எப்படி நிரூபிக்கப் போகிறோம்? நிச்சயமாக, வழக்கம் போல்: பட்டத்தின் கருத்தை விரிவுபடுத்தி எளிமைப்படுத்துவோம்:

சரி, இப்போது அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம். எத்தனை எழுத்துக்கள் இருக்கும்? பெருக்கிகள் மூலம் முறை - அது எப்படி இருக்கும்? இது செயல்பாட்டின் வரையறையைத் தவிர வேறில்லை பெருக்கல்: மொத்தத்தில் பெருக்கிகளாக மாறியது. அதாவது, இது வரையறையின்படி, ஒரு அடுக்குடன் கூடிய எண்ணின் சக்தி:

உதாரணமாக:

பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் பட்டம்

சராசரி நிலைக்கான டிகிரி பற்றிய தகவலுடன் கூடுதலாக, பகுத்தறிவற்ற காட்டி மூலம் பட்டத்தை பகுப்பாய்வு செய்வோம். இங்குள்ள டிகிரிகளின் அனைத்து விதிகளும் பண்புகளும் ஒரு பகுத்தறிவு அடுக்குடன் கூடிய பட்டத்திற்கு ஒரே மாதிரியானவை, விதிவிலக்கு - எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, வரையறையின்படி, பகுத்தறிவற்ற எண்கள் ஒரு பின்னமாக குறிப்பிட முடியாத எண்கள், எங்கே மற்றும் முழு எண்கள் (அதாவது , பகுத்தறிவற்ற எண்கள் அனைத்தும் உண்மையான எண்கள் தவிர விகிதமுறு எண்கள்).

இயற்கையான, முழு எண் மற்றும் பகுத்தறிவு குறிகாட்டியுடன் பட்டங்களைப் படிக்கும்போது, ​​ஒவ்வொரு முறையும் ஒரு குறிப்பிட்ட "படம்", "ஒப்புமை" அல்லது மிகவும் பழக்கமான சொற்களில் விளக்கத்தை உருவாக்குகிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, இயற்கை அடுக்கு என்பது பலமுறை தன்னால் பெருக்கப்படும் எண்ணாகும்; பூஜ்ஜிய டிகிரிக்கு ஒரு எண், அது போலவே, ஒரு முறை தன்னால் பெருக்கப்படும் எண், அதாவது, அது இன்னும் பெருக்கத் தொடங்கவில்லை, அதாவது அந்த எண் இன்னும் தோன்றவில்லை - எனவே, முடிவு ஒரு மட்டுமே குறிப்பிட்ட "ஒரு எண்ணின் தயாரிப்பு", அதாவது ஒரு எண்; எதிர்மறை முழு எண்ணுடன் ஒரு பட்டம் - இது ஒரு குறிப்பிட்ட "தலைகீழ் செயல்முறை" நிகழ்ந்தது போல் உள்ளது, அதாவது, எண் தன்னால் பெருக்கப்படவில்லை, ஆனால் வகுக்கப்பட்டது.

ஒரு பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் ஒரு பட்டத்தை கற்பனை செய்வது மிகவும் கடினம் (4-பரிமாண இடத்தை கற்பனை செய்வது கடினம்). மாறாக, இது முற்றிலும் கணிதப் பொருளாகும், இது கணிதவியலாளர்கள் ஒரு பட்டம் என்ற கருத்தை எண்களின் முழு இடத்திற்கும் நீட்டிக்க உருவாக்கியுள்ளனர்.

மூலம், அறிவியலில், ஒரு சிக்கலான அடுக்கு கொண்ட பட்டம் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதாவது, ஒரு அடுக்கு உண்மையான எண் கூட இல்லை. ஆனால் பள்ளியில், இதுபோன்ற சிரமங்களைப் பற்றி நாங்கள் நினைக்கவில்லை; இந்த புதிய கருத்துக்களை நிறுவனத்தில் புரிந்து கொள்ள உங்களுக்கு வாய்ப்பு கிடைக்கும்.

பகுத்தறிவற்ற அடுக்குகளைக் கண்டால் என்ன செய்வது? அதிலிருந்து விடுபட எங்களால் முடிந்தவரை முயற்சி செய்கிறோம்! :)

உதாரணமாக:

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

பதில்கள்:

1. சதுர சூத்திரத்தின் வித்தியாசத்தை நினைவில் கொள்ளுங்கள். பதில்: .
2. பின்னங்களை ஒரே வடிவத்தில் கொண்டு வருகிறோம்: இரண்டு தசமங்கள் அல்லது இரண்டும் சாதாரணமானவை. நாம் பெறுகிறோம், எடுத்துக்காட்டாக: .
3. சிறப்பு எதுவும் இல்லை, டிகிரிகளின் வழக்கமான பண்புகளை நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம்:

பிரிவு சுருக்கம் மற்றும் அடிப்படை சூத்திரம்

பட்டம்படிவத்தின் வெளிப்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது: , எங்கே:

முழு எண் அடுக்குடன் பட்டம்

பட்டம், அதிர்வெண் ஒரு இயற்கை எண் (அதாவது முழு எண் மற்றும் நேர்மறை).

பகுத்தறிவு அடுக்குடன் பட்டம்

பட்டம், இதன் காட்டி எதிர்மறை மற்றும் பின்ன எண்கள் ஆகும்.

பகுத்தறிவற்ற அடுக்குடன் பட்டம்

அடுக்கு ஒரு எல்லையற்ற தசம பின்னம் அல்லது வேர்.

பட்டம் பண்புகள்

டிகிரி அம்சங்கள்.

• எதிர்மறை எண் உயர்த்தப்பட்டது கூடபட்டம், - எண் நேர்மறை.
• எதிர்மறை எண் உயர்த்தப்பட்டது ஒற்றைப்படைபட்டம், - எண் எதிர்மறை.
• எந்த சக்திக்கும் நேர்மறை எண் நேர்மறை எண்.
• பூஜ்ஜியம் எந்த சக்திக்கும் சமம்.
• பூஜ்ஜிய சக்திக்கு எந்த எண்ணும் சமம்.

இப்போது உங்களிடம் ஒரு வார்த்தை இருக்கிறது...

கட்டுரை உங்களுக்கு எப்படி பிடித்திருக்கிறது? நீங்கள் விரும்பினாலும் விரும்பாவிட்டாலும் கீழே உள்ள கருத்துகளில் எனக்குத் தெரியப்படுத்துங்கள்.

ஆற்றல் பண்புகளுடன் உங்கள் அனுபவத்தைப் பற்றி எங்களிடம் கூறுங்கள்.

ஒருவேளை உங்களிடம் கேள்விகள் இருக்கலாம். அல்லது பரிந்துரைகள்.

கருத்துகளில் எழுதுங்கள்.

மற்றும் உங்கள் தேர்வுகள் வெற்றிபெற வாழ்த்துக்கள்!