தேர்வு எடுத்துக்காட்டுகளில் மடக்கைகள். மடக்கைகள்: எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தீர்வுகள்

மடக்கை வெளிப்பாடுகள், தீர்க்கும் எடுத்துக்காட்டுகள். இந்தக் கட்டுரையில் மடக்கைகளைத் தீர்ப்பது தொடர்பான சிக்கல்களைப் பார்ப்போம். பணிகள் ஒரு வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியும் கேள்வியைக் கேட்கின்றன. மடக்கையின் கருத்து பல பணிகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் அதன் பொருளைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியமானது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வைப் பொறுத்தவரை, சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது, ​​பயன்பாட்டு சிக்கல்களில் மற்றும் செயல்பாடுகளின் ஆய்வு தொடர்பான பணிகளில் மடக்கை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

மடக்கையின் பொருளைப் புரிந்துகொள்ள எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருவோம்:

அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்:

எப்போதும் நினைவில் கொள்ள வேண்டிய மடக்கைகளின் பண்புகள்:

*பொருளின் மடக்கையானது காரணிகளின் மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

* * *

*ஒரு பகுதியின் மடக்கை (பிராக்ஷன்) காரணிகளின் மடக்கைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம்.

* * *

*அதிவேகத்தின் மடக்கை அதிவேகத்தின் பெருக்கத்திற்கும் அதன் தளத்தின் மடக்கைக்கும் சமம்.

* * *

*புதிய அடித்தளத்திற்கு மாறுதல்

* * *

மேலும் பண்புகள்:

* * *

மடக்கைகளின் கணக்கீடு அடுக்குகளின் பண்புகளின் பயன்பாட்டுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது.

அவற்றில் சிலவற்றை பட்டியலிடுவோம்:

இந்த சொத்தின் சாராம்சம் என்னவென்றால், எண் வகுப்பிற்கு மாற்றப்படும்போது மற்றும் அதற்கு நேர்மாறாக, அதிவேகத்தின் அடையாளம் எதிர்மாறாக மாறுகிறது. உதாரணத்திற்கு:

இந்த சொத்திலிருந்து ஒரு தொடர்ச்சி:

* * *

ஒரு சக்தியை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தும் போது, ​​அடித்தளம் அப்படியே இருக்கும், ஆனால் அடுக்குகள் பெருக்கப்படுகின்றன.

* * *

நீங்கள் பார்த்தபடி, மடக்கையின் கருத்து எளிமையானது. முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், உங்களுக்கு நல்ல பயிற்சி தேவை, இது உங்களுக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட திறனை அளிக்கிறது. நிச்சயமாக, சூத்திரங்கள் பற்றிய அறிவு தேவை. அடிப்படை மடக்கைகளை மாற்றும் திறன் உருவாக்கப்படவில்லை என்றால், எளிய பணிகளைத் தீர்க்கும்போது நீங்கள் எளிதாக தவறு செய்யலாம்.

பயிற்சி, கணித பாடத்தில் இருந்து எளிமையான உதாரணங்களை முதலில் தீர்க்கவும், பின்னர் மிகவும் சிக்கலானவற்றுக்கு செல்லவும். எதிர்காலத்தில், "பயங்கரமான" மடக்கைகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை நான் நிச்சயமாகக் காண்பிப்பேன்; அவை ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் தோன்றாது, ஆனால் அவை ஆர்வமாக உள்ளன, அவற்றைத் தவறவிடாதீர்கள்!

அவ்வளவுதான்! அதிர்ஷ்டம் உங்களுக்கு உரித்தாகட்டும்!

உண்மையுள்ள, அலெக்சாண்டர் க்ருடிட்ஸ்கிக்

பி.எஸ்: சமூக வலைப்பின்னல்களில் தளத்தைப் பற்றி என்னிடம் சொன்னால் நான் நன்றியுள்ளவனாக இருப்பேன்.

உங்கள் தனியுரிமையை பராமரிப்பது எங்களுக்கு முக்கியம். இந்த காரணத்திற்காக, உங்கள் தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சேமிப்போம் என்பதை விவரிக்கும் தனியுரிமைக் கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்கியுள்ளோம். எங்கள் தனியுரிமை நடைமுறைகளை மதிப்பாய்வு செய்து, ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்தவும்.

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நபரை அடையாளம் காண அல்லது தொடர்பு கொள்ள பயன்படுத்தப்படும் தரவைக் குறிக்கிறது.

நீங்கள் எங்களைத் தொடர்பு கொள்ளும்போது எந்த நேரத்திலும் உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வழங்குமாறு கேட்கப்படலாம்.

நாங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய தனிப்பட்ட தகவல்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அத்தகைய தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம்.

என்ன தனிப்பட்ட தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:

• நீங்கள் தளத்தில் விண்ணப்பத்தை சமர்ப்பிக்கும் போது, ​​உங்கள் பெயர், தொலைபேசி எண், மின்னஞ்சல் முகவரி போன்ற பல்வேறு தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கலாம்.

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

• நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவல்கள், தனித்துவமான சலுகைகள், விளம்பரங்கள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகள் மற்றும் வரவிருக்கும் நிகழ்வுகளுடன் உங்களைத் தொடர்புகொள்ள அனுமதிக்கிறது.
• அவ்வப்போது, ​​முக்கியமான அறிவிப்புகள் மற்றும் தகவல்தொடர்புகளை அனுப்ப உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.
• நாங்கள் வழங்கும் சேவைகளை மேம்படுத்துவதற்கும் எங்கள் சேவைகள் தொடர்பான பரிந்துரைகளை உங்களுக்கு வழங்குவதற்கும் தணிக்கைகள், தரவு பகுப்பாய்வு மற்றும் பல்வேறு ஆராய்ச்சி போன்ற உள் நோக்கங்களுக்காக தனிப்பட்ட தகவலைப் பயன்படுத்துவோம்.
• பரிசுக் குலுக்கல், போட்டி அல்லது அது போன்ற விளம்பரங்களில் நீங்கள் பங்கேற்றால், அத்தகைய திட்டங்களை நிர்வகிக்க நீங்கள் வழங்கும் தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

உங்களிடமிருந்து பெறப்பட்ட தகவல்களை மூன்றாம் தரப்பினருக்கு நாங்கள் வெளியிட மாட்டோம்.

விதிவிலக்குகள்:

• தேவைப்பட்டால் - சட்டம், நீதித்துறை நடைமுறை, சட்ட நடவடிக்கைகளில், மற்றும்/அல்லது ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் பிரதேசத்தில் உள்ள அரசாங்க அதிகாரிகளிடமிருந்து பொது கோரிக்கைகள் அல்லது கோரிக்கைகளின் அடிப்படையில் - உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வெளிப்படுத்த. பாதுகாப்பு, சட்ட அமலாக்கம் அல்லது பிற பொது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த நோக்கங்களுக்காக இதுபோன்ற வெளிப்படுத்தல் அவசியம் அல்லது பொருத்தமானது என்று நாங்கள் தீர்மானித்தால், உங்களைப் பற்றிய தகவலையும் நாங்கள் வெளியிடலாம்.
• மறுசீரமைப்பு, இணைப்பு அல்லது விற்பனையின் போது, ​​நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவலை பொருந்தக்கூடிய மூன்றாம் தரப்பினருக்கு மாற்றலாம்.

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல்களை இழப்பு, திருட்டு மற்றும் தவறாகப் பயன்படுத்துதல், அத்துடன் அங்கீகரிக்கப்படாத அணுகல், வெளிப்படுத்துதல், மாற்றம் செய்தல் மற்றும் அழித்தல் போன்றவற்றிலிருந்து பாதுகாப்பதற்கு - நிர்வாகம், தொழில்நுட்பம் மற்றும் உடல்நிலை உள்ளிட்ட முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளை மேற்கொள்கிறோம்.

நிறுவன மட்டத்தில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல் பாதுகாப்பானது என்பதை உறுதிப்படுத்த, நாங்கள் எங்கள் ஊழியர்களுக்கு தனியுரிமை மற்றும் பாதுகாப்பு தரங்களைத் தொடர்புகொண்டு தனியுரிமை நடைமுறைகளை கண்டிப்பாகச் செயல்படுத்துகிறோம்.

இந்த வீடியோ டுடோரியலில் நாம் ஒரு தீவிரமான மடக்கை சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதைப் பார்ப்போம், அதில் நீங்கள் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பது மட்டுமல்லாமல், கொடுக்கப்பட்ட பிரிவில் உள்ளவற்றையும் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்.

சிக்கல் C1. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். இந்த சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களையும் இடைவெளிக்கு சொந்தமானது என்பதைக் கண்டறியவும்.

மடக்கை சமன்பாடுகள் பற்றிய குறிப்பு

இருப்பினும், ஆண்டுதோறும் மாணவர்கள் என்னிடம் வருகிறார்கள், அவர்கள் இதைத் தீர்க்க முயற்சிக்கிறார்கள், வெளிப்படையாக, கடினமான சமன்பாடுகள், ஆனால் அதே நேரத்தில் அவர்களால் புரிந்து கொள்ள முடியவில்லை: அவர்கள் எங்கு தொடங்க வேண்டும் மற்றும் மடக்கைகளை எவ்வாறு அணுகுவது? வலுவான, நன்கு தயாரிக்கப்பட்ட மாணவர்களிடையே கூட இந்த சிக்கல் எழலாம்.

இதன் விளைவாக, பலர் இந்த தலைப்புக்கு பயப்படத் தொடங்குகிறார்கள், அல்லது தங்களை முட்டாள்தனமாகக் கருதுகிறார்கள். எனவே, நினைவில் கொள்ளுங்கள்: அத்தகைய சமன்பாட்டை உங்களால் தீர்க்க முடியாவிட்டால், நீங்கள் முட்டாள் என்று இது அர்த்தப்படுத்துவதில்லை. ஏனெனில், எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் இந்த சமன்பாட்டை கிட்டத்தட்ட வாய்மொழியாகக் கையாளலாம்:

பதிவு 2 x = 4

இது அவ்வாறு இல்லையென்றால், நீங்கள் இப்போது இந்த உரையைப் படிக்க மாட்டீர்கள், ஏனென்றால் நீங்கள் எளிமையான மற்றும் மிகவும் சாதாரணமான பணிகளில் பிஸியாக இருந்தீர்கள். நிச்சயமாக, இப்போது யாராவது ஆட்சேபிப்பார்கள்: "இந்த எளிய சமன்பாட்டிற்கும் நமது ஆரோக்கியமான கட்டமைப்பிற்கும் என்ன தொடர்பு?" நான் பதிலளிக்கிறேன்: எந்த மடக்கை சமன்பாடும், அது எவ்வளவு சிக்கலானதாக இருந்தாலும், இறுதியில் வாய்வழியாக தீர்க்கப்படக்கூடிய இந்த எளிய கட்டமைப்புகளுக்கு வரும்.

நிச்சயமாக, ஒருவர் சிக்கலான மடக்கை சமன்பாடுகளிலிருந்து எளிமையானவற்றுக்கு மாற வேண்டும், தேர்வு அல்லது டம்பூரைக் கொண்டு நடனமாடுவதன் மூலம் அல்ல, ஆனால் தெளிவான, நீண்ட வரையறுக்கப்பட்ட விதிகளின்படி, அவை அழைக்கப்படுகின்றன - மடக்கை வெளிப்பாடுகளை மாற்றுவதற்கான விதிகள். அவற்றை அறிந்தால், கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் மிகவும் சிக்கலான சமன்பாடுகளைக் கூட நீங்கள் எளிதாகக் கையாளலாம்.

இந்த விதிகள் தான் இன்றைய பாடத்தில் பேசுவோம். போ!

சிக்கல் C1 இல் மடக்கை சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

எனவே, நாம் சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம்:

முதலில், மடக்கை சமன்பாடுகளுக்கு வரும்போது, ​​​​அடிப்படை தந்திரோபாயங்களை நாம் நினைவில் கொள்கிறோம் - பேசுவதற்கு, மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை விதி. இது பின்வருவனவற்றைக் கொண்டுள்ளது:

நியமன வடிவ தேற்றம். எந்த மடக்கைச் சமன்பாடும், அதில் எதை உள்ளடக்கியிருந்தாலும், எந்த மடக்கைகள், எந்தத் தளம், மற்றும் எதைக் கொண்டிருந்தாலும், படிவத்தின் சமன்பாட்டிற்கு அவசியம் குறைக்கப்பட வேண்டும்:

log a f (x) = log a g (x)

எங்கள் சமன்பாட்டைப் பார்த்தால், உடனடியாக இரண்டு சிக்கல்களைக் கவனிக்கிறோம்:

1. இடதுபுறம் எங்களிடம் உள்ளது இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை, அதில் ஒன்று மடக்கையே இல்லை.
2. வலதுபுறத்தில் ஒரு மடக்கை உள்ளது, ஆனால் அதன் அடிப்பகுதியில் ஒரு வேர் உள்ளது. இடதுபுறத்தில் உள்ள மடக்கை வெறுமனே 2 ஆகும், அதாவது. இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் உள்ள மடக்கைகளின் அடிப்படைகள் வேறுபட்டவை.

எனவே, எங்கள் சமன்பாட்டை அதிலிருந்து பிரிக்கும் சிக்கல்களின் பட்டியலை நாங்கள் தொகுத்துள்ளோம் நியமன சமன்பாடு, எந்த மடக்கை சமன்பாடு தீர்வு செயல்முறையின் போது குறைக்கப்பட வேண்டும். எனவே, இந்த கட்டத்தில் எங்கள் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது மேலே விவரிக்கப்பட்ட இரண்டு சிக்கல்களை நீக்குகிறது.

எந்த மடக்கை சமன்பாட்டையும் அதன் நியமன வடிவத்திற்குக் குறைத்தால் விரைவாகவும் எளிதாகவும் தீர்க்கப்படும்.

மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பொருளின் மடக்கை

வரிசையில் தொடரலாம். முதலில், இடதுபுறத்தில் உள்ள கட்டமைப்பைப் பார்ப்போம். இரண்டு மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை பற்றி நாம் என்ன சொல்ல முடியும்? அற்புதமான சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்வோம்:

log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

ஆனால் எங்கள் விஷயத்தில் முதல் சொல் ஒரு மடக்கை அல்ல என்பதைக் கருத்தில் கொள்வது மதிப்பு. இதன் பொருள், நாம் அலகு 2-க்கு ஒரு மடக்கையாகக் குறிப்பிட வேண்டும் (துல்லியமாக 2, ஏனெனில் அடிப்படை 2-க்கான மடக்கை இடதுபுறத்தில் உள்ளது). அதை எப்படி செய்வது? அற்புதமான சூத்திரத்தை மீண்டும் நினைவில் கொள்வோம்:

a = பதிவு b b a

இங்கே நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்: "எந்த அடிப்படை b" என்று நாம் கூறும்போது, ​​b இன்னும் தன்னிச்சையான எண்ணாக இருக்க முடியாது என்று அர்த்தம். மடக்கையில் எண்ணைச் செருகினால், நிச்சயம் கட்டுப்பாடுகள், அதாவது: மடக்கையின் அடிப்பகுதி 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும் மற்றும் 1 க்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது. இல்லையெனில், மடக்கைக்கு அர்த்தம் இல்லை. இதை எழுதுவோம்:

0 < b ≠ 1

எங்கள் விஷயத்தில் என்ன நடக்கிறது என்று பார்ப்போம்:

1 = பதிவு 2 2 1 = பதிவு 2 2

இப்போது இந்த உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு நமது முழு சமன்பாட்டையும் மீண்டும் எழுதுவோம். நாங்கள் உடனடியாக மற்றொரு விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்: மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை வாதங்களின் விளைபொருளின் மடக்கைக்கு சமம். இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்:

எங்களிடம் ஒரு புதிய சமன்பாடு உள்ளது. நாம் பார்க்கிறபடி, இது ஏற்கனவே நாம் பாடுபடும் நியமன சமன்பாட்டிற்கு மிகவும் நெருக்கமாக உள்ளது. ஆனால் ஒரு சிக்கல் உள்ளது, அதை நாங்கள் இரண்டாவது புள்ளியாக எழுதினோம்: இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் உள்ள எங்கள் மடக்கைகள், வெவ்வேறு காரணங்கள். அடுத்த படிக்கு செல்லலாம்.

மடக்கையிலிருந்து அதிகாரங்களைக் கழிப்பதற்கான விதிகள்

எனவே இடதுபுறத்தில் உள்ள மடக்கைக்கு வெறும் 2 அடிப்படையும், வலதுபுறத்தில் உள்ள மடக்கைக்கு அடிப்பகுதியும் உள்ளது. ஆனால் மடக்கையின் வாதங்களின் அடிப்படைகளை அதிகாரங்களுக்கு உயர்த்த முடியும் என்பதை நாம் நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இது ஒரு பிரச்சனையல்ல. இந்த விதிகளில் ஒன்றை எழுதுவோம்:

log a b n = n log a b

மனித மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டுள்ளது: மடக்கையின் அடிப்பகுதியில் இருந்து சக்தியை வெளியே எடுத்து பெருக்கியாக முன் வைக்கலாம். மடக்கையிலிருந்து n எண் "இடம்பெயர்ந்து" முன்னால் ஒரு குணகமாக மாறியது.

மடக்கையின் அடிப்பகுதியில் இருந்து சக்தியை நாம் எளிதாகப் பெறலாம். இது இப்படி இருக்கும்:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மடக்கையின் வாதத்திலிருந்து நீங்கள் பட்டத்தை நீக்கினால், இந்த பட்டமும் மடக்கைக்கு முன் ஒரு காரணியாக எழுதப்படுகிறது, ஆனால் ஒரு எண்ணாக அல்ல, மாறாக பரஸ்பர எண் 1/k.

எனினும், அது எல்லாம் இல்லை! நாம் இந்த இரண்டு சூத்திரங்களையும் இணைத்து பின்வரும் சூத்திரத்தைக் கொண்டு வரலாம்:

ஒரு மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதம் இரண்டிலும் ஒரு சக்தி தோன்றும்போது, ​​அடிப்படை மற்றும் வாதம் இரண்டிலிருந்தும் அதிகாரங்களை உடனடியாக எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் நேரத்தை மிச்சப்படுத்தலாம் மற்றும் கணக்கீடுகளை எளிதாக்கலாம். இந்த வழக்கில், வாதத்தில் என்ன இருந்தது (எங்கள் விஷயத்தில், இது குணகம் n) எண்களில் தோன்றும். மேலும் அடியில் இருந்த பட்டம் என்ன, ஒரு கே, வகுப்பிற்குச் செல்லும்.

இந்த ஃபார்முலாக்களைத்தான் நாம் இப்போது நமது மடக்கைகளை அதே தளத்திற்குக் குறைக்கப் பயன்படுத்துவோம்.

முதலில், அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ அழகான தளத்தைத் தேர்ந்தெடுப்போம். வெளிப்படையாக, ஒரு ரூட்டை விட அடிவாரத்தில் இரண்டுடன் வேலை செய்வது மிகவும் இனிமையானது. எனவே இரண்டாவது மடக்கையை அடிப்படை 2 ஆக குறைக்க முயற்சிப்போம். இந்த மடக்கையை தனியாக எழுதுவோம்:

நாம் இங்கே என்ன செய்ய முடியும்? பகுத்தறிவு அடுக்குடன் சக்தி சூத்திரத்தை நினைவுபடுத்துவோம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வேர்களை ஒரு பகுத்தறிவு அடுக்குடன் ஒரு சக்தியாக எழுதலாம். பின்னர் வாதம் மற்றும் மடக்கையின் அடிப்படை இரண்டிலும் 1/2 இன் சக்தியை எடுத்துக்கொள்கிறோம். மடக்கை எதிர்கொள்ளும் எண் மற்றும் வகுப்பில் உள்ள குணகங்களில் உள்ள இரண்டைக் குறைக்கிறோம்:

இறுதியாக, புதிய குணகங்களை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு அசல் சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம்:

பதிவு 2 2(9x 2 + 5) = பதிவு 2 (8x 4 + 14)

நாம் நியமன மடக்கை சமன்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம். இடது மற்றும் வலதுபுறம் இரண்டும் ஒரே தளத்திற்கு ஒரு மடக்கை உள்ளது 2. இந்த மடக்கைகள் தவிர, எந்த குணகங்களும் இல்லை, இடது அல்லது வலதுபுறத்தில் எந்த விதிமுறைகளும் இல்லை.

இதன் விளைவாக, மடக்கையின் அடையாளத்தை நாம் அகற்றலாம். நிச்சயமாக, வரையறையின் களத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது. ஆனால் அதைச் செய்வதற்கு முன், பின்னங்கள் பற்றி கொஞ்சம் தெளிவுபடுத்துவோம்.

ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் வகுத்தல்: கூடுதல் பரிசீலனைகள்

சரியான மடக்கைக்கு முன்னால் உள்ள காரணிகள் எங்கிருந்து வருகின்றன, அவை எங்கு செல்கின்றன என்பதை எல்லா மாணவர்களுக்கும் புரியவில்லை. அதை மீண்டும் எழுதுவோம்:

பின்னம் என்றால் என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். எழுதுவோம்:

இப்போது பின்னங்களைப் பிரிப்பதற்கான விதியை நினைவில் கொள்வோம்: 1/2 ஆல் வகுக்க, நீங்கள் தலைகீழ் பின்னத்தால் பெருக்க வேண்டும்:

நிச்சயமாக, மேலும் கணக்கீடுகளின் வசதிக்காக, நாம் இரண்டை 2/1 என எழுதலாம் - மேலும் இது தீர்வு செயல்பாட்டில் இரண்டாவது குணகமாக நாம் கவனிக்கிறோம்.

இரண்டாவது குணகம் எங்கிருந்து வருகிறது என்பதை இப்போது அனைவரும் புரிந்துகொள்வார்கள் என்று நம்புகிறேன், எனவே நமது நியமன மடக்கை சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கு நேரடியாக செல்லலாம்.

மடக்கை குறியிலிருந்து விடுபடுதல்

இப்போது நாம் மடக்கைகளை அகற்றிவிட்டு பின்வரும் வெளிப்பாடுகளை விட்டுவிடலாம் என்பதை நினைவூட்டுகிறேன்:

2(9x 2 + 5) = 8x 4 + 14

இடதுபுறத்தில் உள்ள அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

18x 2 + 10 = 8x 4 + 14

எல்லாவற்றையும் இடது பக்கத்திலிருந்து வலது பக்கம் நகர்த்துவோம்:

8x 4 + 14 - 18x 2 - 10 = 0

இதே போன்றவற்றைக் கொண்டு வந்து பெறுவோம்:

8x 4 - 18x 2 + 4 = 0

குணகங்களை எளிதாக்க இந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2 ஆல் வகுக்க முடியும், மேலும் நாம் பெறுகிறோம்:

4x 4 - 9x 2 + 2 = 0

எங்களுக்கு முன் வழக்கமானது இருபடி சமன்பாடு, மற்றும் அதன் வேர்கள் பாகுபாடு மூலம் எளிதாக கணக்கிடப்படுகிறது. எனவே, பாகுபாடுகளை எழுதுவோம்:

D = 81 - 4 4 2 = 81 - 32 = 49

பெரியது, பாகுபாடு காட்டுபவர் "அழகானவர்", அதன் வேர் 7. அவ்வளவுதான், X-ஐ எண்ணுவோம். ஆனால் இந்த விஷயத்தில், வேர்கள் x அல்ல, ஆனால் x 2 ஆக இருக்கும், ஏனென்றால் நம்மிடம் இருகோடி சமன்பாடு உள்ளது. எனவே, எங்கள் விருப்பங்கள்:

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: நாங்கள் வேர்களை பிரித்தெடுத்தோம், எனவே இரண்டு பதில்கள் இருக்கும், ஏனென்றால்... சதுரம் - கூட செயல்பாடு. இரண்டின் மூலத்தை மட்டும் எழுதினால், இரண்டாவது மூலத்தை நாம் இழக்க நேரிடும்.

இப்போது நாம் இருபடி சமன்பாட்டின் இரண்டாவது மூலத்தை எழுதுகிறோம்:

மீண்டும், நமது சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் எண்கணித வர்க்க மூலத்தை எடுத்து இரண்டு வேர்களைப் பெறுகிறோம். இருப்பினும், நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

மடக்கைகளின் வாதங்களை நியதி வடிவில் சமன்படுத்துவது மட்டும் போதாது. வரையறையின் களத்தை நினைவில் கொள்க!

மொத்தம் நான்கு வேர்கள் கிடைத்தன. அவை அனைத்தும் உண்மையில் நமது அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள். பாருங்கள்: நமது அசல் மடக்கைச் சமன்பாட்டில், உள்ளே இருக்கும் மடக்கைகள் 9x 2 + 5 (இந்தச் செயல்பாடு எப்போதும் நேர்மறை) அல்லது 8x 4 + 14 - இதுவும் எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும். எனவே, மடக்கைகளின் வரையறையின் களம் எந்த வகையிலும் திருப்தி அடைகிறது, எந்த ரூட் கிடைத்தாலும் சரி, அதாவது நான்கு வேர்களும் நமது சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள்.

சரி, இப்போது சிக்கலின் இரண்டாம் பகுதிக்கு செல்லலாம்.

ஒரு பிரிவில் மடக்கைச் சமன்பாட்டின் வேர்களைத் தேர்ந்தெடுப்பது

எங்கள் நான்கு வேர்களில் இருந்து பிரிவில் [−1; 8/9]. நாங்கள் எங்கள் வேர்களுக்குத் திரும்புகிறோம், இப்போது அவர்களின் தேர்வை மேற்கொள்வோம். தொடங்குவதற்கு, ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அச்சை வரைந்து, அதில் பிரிவின் முனைகளைக் குறிக்க பரிந்துரைக்கிறேன்:

இரண்டு புள்ளிகளும் நிழலிடப்படும். அந்த. சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, நாங்கள் நிழல் பிரிவில் ஆர்வமாக உள்ளோம். இப்போது வேர்களைப் பார்ப்போம்.

பகுத்தறிவற்ற வேர்கள்

பகுத்தறிவற்ற வேர்களுடன் ஆரம்பிக்கலாம். 8/9 என்பதை நினைவில் கொள்க< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

இரண்டின் வேர் நமக்கு ஆர்வமுள்ள பிரிவில் வராது என்பதை இதிலிருந்து பின்பற்றுகிறது. இதேபோல், நாம் எதிர்மறை மூலத்தைப் பெறுவோம்: இது −1 ஐ விடக் குறைவாக உள்ளது, அதாவது, அது நமக்கு ஆர்வமுள்ள பிரிவின் இடதுபுறத்தில் உள்ளது.

பகுத்தறிவு வேர்கள்

இரண்டு வேர்கள் உள்ளன: x = 1/2 மற்றும் x = -1/2. பிரிவின் இடது முனை (−1) எதிர்மறையாகவும், வலது முனை (8/9) நேர்மறையாகவும் இருப்பதைக் கவனிப்போம். எனவே, இந்த முனைகளுக்கு இடையில் எங்காவது எண் 0 உள்ளது. ரூட் x = -1/2 −1 மற்றும் 0 க்கு இடையில் இருக்கும், அதாவது. இறுதி விடையில் முடிவடையும். x = 1/2 என்ற ரூட்டிலும் இதையே செய்கிறோம். இந்த ரூட் பரிசீலனையில் உள்ள பிரிவில் உள்ளது.

8/9 1/2 ஐ விட அதிகமாக இருப்பதை உறுதிசெய்யலாம். இந்த எண்களை ஒருவருக்கொருவர் கழிப்போம்:

7/18 > 0 என்ற பின்னத்தைப் பெற்றுள்ளோம், அதாவது 8/9 > 1/2.

ஒருங்கிணைப்பு அச்சில் பொருத்தமான வேர்களைக் குறிப்போம்:

இறுதி பதில் இரண்டு வேர்களாக இருக்கும்: 1/2 மற்றும் −1/2.

பகுத்தறிவற்ற எண்களின் ஒப்பீடு: ஒரு உலகளாவிய வழிமுறை

முடிவில், நான் மீண்டும் ஒரு முறை விகிதாசார எண்களுக்குத் திரும்ப விரும்புகிறேன். அவர்களின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி, கணிதத்தில் பகுத்தறிவு மற்றும் பகுத்தறிவற்ற அளவுகளை எவ்வாறு ஒப்பிடுவது என்பதை இப்போது பார்ப்போம். தொடங்குவதற்கு, அவற்றுக்கிடையே அத்தகைய டிக் உள்ளது V - ஒரு "அதிக" அல்லது "குறைவான" அடையாளம், ஆனால் அது எந்த திசையில் இயக்கப்படுகிறது என்பது எங்களுக்கு இன்னும் தெரியவில்லை. எழுதுவோம்:

நமக்கு ஏன் எந்த ஒப்பீட்டு அல்காரிதம்கள் தேவை? உண்மை என்னவென்றால், இந்த சிக்கலில் நாங்கள் மிகவும் அதிர்ஷ்டசாலிகள்: பிரிக்கும் எண் 1 ஐத் தீர்க்கும் செயல்பாட்டில் எழுந்தது, அதைப் பற்றி நாம் நிச்சயமாக சொல்லலாம்:

இருப்பினும், அத்தகைய எண்ணை நீங்கள் எப்போதும் உடனடியாகப் பார்க்க மாட்டீர்கள். எனவே நமது எண்களை நேரடியாக, நேரடியாக ஒப்பிட்டுப் பார்க்க முயற்சிப்போம்.

அது எப்படி முடிந்தது? சாதாரண ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் போலவே நாங்கள் செய்கிறோம்:

1. முதலில், எங்காவது எதிர்மறை குணகங்கள் இருந்தால், சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் −1 ஆல் பெருக்குவோம். நிச்சயமாக அடையாளத்தை மாற்றுதல். இந்த சரிபார்ப்பு குறி V இதற்கு மாறும் - Λ.
2. ஆனால் எங்கள் விஷயத்தில், இரு பக்கங்களும் ஏற்கனவே நேர்மறையானவை, எனவே எதையும் மாற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை. உண்மையில் என்ன தேவை இருபுறமும் சதுரம்தீவிரவாதத்திலிருந்து விடுபட.

பகுத்தறிவற்ற எண்களை ஒப்பிடும்போது, ​​பிரிக்கும் உறுப்பை உடனடியாகத் தேர்ந்தெடுக்க முடியாவிட்டால், அத்தகைய ஒப்பீட்டை “தலைகீழாக” செய்ய பரிந்துரைக்கிறேன் - இது ஒரு சாதாரண சமத்துவமின்மை என்று விவரிக்கிறது.

அதைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​அது பின்வருமாறு முறைப்படுத்தப்படுகிறது:

இப்போது எல்லாவற்றையும் ஒப்பிடுவது எளிது. புள்ளி 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

அவ்வளவுதான், எல்லா எண்களும் x என்ற எண் வரிசையில் சரியாகவும், அவை உண்மையில் இருக்க வேண்டிய வரிசையில் சரியாகவும் குறிக்கப்பட்டுள்ளன என்பதற்கான கடுமையான ஆதாரம் எங்களிடம் உள்ளது. இந்த தீர்வில் யாரும் தவறு காண மாட்டார்கள், எனவே நினைவில் கொள்ளுங்கள்: நீங்கள் உடனடியாகப் பிரிக்கும் எண்ணைக் காணவில்லை என்றால் (எங்கள் விஷயத்தில் இது 1), பின்னர் மேலே உள்ள கட்டுமானத்தை எழுதவும், பெருக்கவும், சதுரப்படுத்தவும் - இறுதியில் நீங்கள் செய்வீர்கள். அழகான சமத்துவமின்மை கிடைக்கும். இந்த சமத்துவமின்மையிலிருந்து எந்த எண் அதிகம், எது குறைவு என்பது தெளிவாகும்.

எங்கள் சிக்கலுக்குத் திரும்புகையில், எங்கள் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது ஆரம்பத்தில் நாங்கள் என்ன செய்தோம் என்பதை மீண்டும் உங்கள் கவனத்தை ஈர்க்க விரும்புகிறேன். அதாவது: எங்கள் அசல் மடக்கை சமன்பாட்டை நாங்கள் கூர்ந்து கவனித்து அதை குறைக்க முயற்சித்தோம் நியமனம்மடக்கை சமன்பாடு. இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் மடக்கைகள் மட்டுமே இருக்கும் இடத்தில் - கூடுதல் விதிமுறைகள் இல்லாமல், முன் குணகங்கள் போன்றவை. நமக்கு இரண்டு மடக்கைகள் தேவை இல்லை a அல்லது b அடிப்படையில், ஆனால் மற்றொரு மடக்கைக்கு சமமான மடக்கை.

கூடுதலாக, மடக்கைகளின் தளங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும். மேலும், சமன்பாடு சரியாக இயற்றப்பட்டிருந்தால், அடிப்படை மடக்கை மாற்றங்களின் உதவியுடன் (மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை, ஒரு எண்ணை மடக்கையாக மாற்றுவது போன்றவை) இந்த சமன்பாட்டை நியமனத்திற்கு குறைப்போம்.

எனவே, இனிமேல், நீங்கள் உடனடியாக தீர்க்க முடியாத மடக்கை சமன்பாட்டைக் காணும்போது, ​​​​நீங்கள் தொலைந்து போகவோ அல்லது பதிலைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவோ கூடாது. நீங்கள் செய்ய வேண்டியது எல்லாம் இந்த வழிமுறைகளை பின்பற்றவும்:

1. அனைத்து இலவச கூறுகளையும் மடக்கைக்கு மாற்றவும்;
2. பின்னர் இந்த மடக்கைகளைச் சேர்க்கவும்;
3. இதன் விளைவாக கட்டுமானத்தில், அனைத்து மடக்கைகளையும் ஒரே தளத்திற்கு குறைக்கவும்.

இதன் விளைவாக, தரம் 8-9 பொருட்களிலிருந்து அடிப்படை இயற்கணிதம் கருவிகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கக்கூடிய எளிய சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள். பொதுவாக, எனது வலைத்தளத்திற்குச் சென்று, மடக்கைகளைத் தீர்க்கப் பயிற்சி செய்யுங்கள், என்னைப் போன்ற மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும், என்னை விட சிறப்பாக அவற்றைத் தீர்க்கவும். எனக்கும் அவ்வளவுதான். பாவெல் பெர்டோவ் உங்களுடன் இருந்தார். மீண்டும் சந்திப்போம்!

மடக்கை என்றால் என்ன?

கவனம்!
கூடுதல் உள்ளன
சிறப்புப் பிரிவு 555 இல் உள்ள பொருட்கள்.
மிகவும் "மிகவும் இல்லை..." என்று இருப்பவர்களுக்கு.
மற்றும் "மிகவும்..." இருப்பவர்களுக்கு)

மடக்கை என்றால் என்ன? மடக்கைகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது? இந்த கேள்விகள் பல பட்டதாரிகளை குழப்புகின்றன. பாரம்பரியமாக, மடக்கைகளின் தலைப்பு சிக்கலான, புரிந்துகொள்ள முடியாத மற்றும் பயமுறுத்துவதாக கருதப்படுகிறது. குறிப்பாக மடக்கைகளுடன் கூடிய சமன்பாடுகள்.

இது முற்றிலும் உண்மை இல்லை. முற்றிலும்! என்னை நம்பவில்லையா? நன்றாக. இப்போது, ​​வெறும் 10 - 20 நிமிடங்களில் நீங்கள்:

1. புரிந்து கொள்ளுங்கள் மடக்கை என்றால் என்ன.

2. அதிவேக சமன்பாடுகளின் முழு வகுப்பையும் தீர்க்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள். நீங்கள் அவர்களைப் பற்றி எதுவும் கேட்காவிட்டாலும் கூட.

3. எளிய மடக்கைகளை கணக்கிட கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.

மேலும், இதற்காக நீங்கள் பெருக்கல் அட்டவணை மற்றும் ஒரு எண்ணை எவ்வாறு சக்தியாக உயர்த்துவது என்பதை மட்டும் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

உங்களுக்கு சந்தேகம் இருப்பது போல் உணர்கிறேன்... சரி, நேரம் குறிக்கவும்! போ!

முதலில், இந்த சமன்பாட்டை உங்கள் தலையில் தீர்க்கவும்:

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களைப் பற்றி நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

உங்களுக்குத் தெரியும், வெளிப்பாடுகளை சக்திகளுடன் பெருக்கும்போது, ​​அவற்றின் அடுக்குகள் எப்போதும் சேர்க்கப்படுகின்றன (a b *a c = a b+c). இந்த கணித விதி ஆர்க்கிமிடீஸால் பெறப்பட்டது, பின்னர், 8 ஆம் நூற்றாண்டில், விராசென் என்ற கணிதவியலாளர் முழு எண் அடுக்குகளின் அட்டவணையை உருவாக்கினார். மடக்கைகளின் மேலும் கண்டுபிடிப்புக்கு அவர்கள்தான் உதவினார்கள். இந்தச் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள், எளிமையான கூட்டல் மூலம் சிக்கலான பெருக்கத்தை எளிதாக்க வேண்டிய எல்லா இடங்களிலும் காணலாம். இந்தக் கட்டுரையைப் படிக்க நீங்கள் 10 நிமிடங்கள் செலவழித்தால், மடக்கைகள் என்றால் என்ன, அவற்றுடன் எவ்வாறு வேலை செய்வது என்பதை நாங்கள் உங்களுக்கு விளக்குவோம். எளிமையான மற்றும் அணுகக்கூடிய மொழியில்.

கணிதத்தில் வரையறை

மடக்கை என்பது பின்வரும் வடிவத்தின் வெளிப்பாடாகும்: log a b=c, அதாவது, எந்த எதிர்மில்லாத எண்ணின் மடக்கை (அதாவது நேர்மறை) "b" அதன் அடிப்படையான "a" க்கு "c" சக்தியாகக் கருதப்படுகிறது. இறுதியில் "b" மதிப்பைப் பெறுவதற்கு "a" அடிப்படை உயர்த்தப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி மடக்கையை பகுப்பாய்வு செய்வோம், வெளிப்பாடு பதிவு 2 இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம் 8. பதிலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? இது மிகவும் எளிமையானது, நீங்கள் ஒரு சக்தியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதாவது 2 முதல் தேவையான சக்தி வரை உங்களுக்கு 8 கிடைக்கும். உங்கள் தலையில் சில கணக்கீடுகளைச் செய்த பிறகு, நாங்கள் எண் 3 ஐப் பெறுகிறோம்! அது உண்மைதான், ஏனென்றால் 2-க்கு 3-ன் பலம் 8-ஆக பதில் அளிக்கிறது.

மடக்கைகளின் வகைகள்

பல மாணவர்கள் மற்றும் மாணவர்களுக்கு, இந்த தலைப்பு சிக்கலானதாகவும் புரிந்துகொள்ள முடியாததாகவும் தோன்றுகிறது, ஆனால் உண்மையில் மடக்கைகள் அவ்வளவு பயமாக இல்லை, முக்கிய விஷயம் அவற்றின் பொதுவான பொருளைப் புரிந்துகொள்வதும் அவற்றின் பண்புகள் மற்றும் சில விதிகளை நினைவில் கொள்வதும் ஆகும். மடக்கை வெளிப்பாடுகளில் மூன்று தனித்தனி வகைகள் உள்ளன:

1. இயற்கை மடக்கை ln a, இங்கு அடிப்படையானது யூலர் எண்ணாகும் (e = 2.7).
2. தசமம் a, இங்கு அடிப்படை 10 ஆகும்.
3. எந்த எண்ணின் மடக்கை b க்கு அடிப்படை a>1.

அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு நிலையான வழியில் தீர்க்கப்படுகின்றன, இதில் எளிமைப்படுத்தல், குறைத்தல் மற்றும் மடக்கைத் தேற்றங்களைப் பயன்படுத்தி ஒற்றை மடக்கைக்கு அடுத்தடுத்த குறைப்பு ஆகியவை அடங்கும். மடக்கைகளின் சரியான மதிப்புகளைப் பெற, அவற்றைத் தீர்க்கும்போது அவற்றின் பண்புகள் மற்றும் செயல்களின் வரிசையை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

விதிகள் மற்றும் சில கட்டுப்பாடுகள்

கணிதத்தில், பல விதிகள்-கட்டுப்பாடுகள் உள்ளன, அவை ஒரு கொள்கையாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகின்றன, அதாவது அவை விவாதத்திற்கு உட்பட்டவை அல்ல, உண்மை. எடுத்துக்காட்டாக, எண்களை பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க இயலாது, மேலும் எதிர்மறை எண்களின் சம மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கவும் இயலாது. மடக்கைகளும் அவற்றின் சொந்த விதிகளைக் கொண்டுள்ளன, அதைத் தொடர்ந்து நீண்ட மற்றும் திறன் கொண்ட மடக்கை வெளிப்பாடுகளுடன் கூட எளிதாக வேலை செய்ய கற்றுக்கொள்ளலாம்:

• அடிப்படை "a" எப்போதும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், மேலும் 1 க்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது, இல்லையெனில் வெளிப்பாடு அதன் அர்த்தத்தை இழக்கும், ஏனெனில் எந்த அளவிற்கு "1" மற்றும் "0" எப்போதும் அவற்றின் மதிப்புகளுக்கு சமமாக இருக்கும்;
• a > 0, a b >0 எனில், “c” பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும்.

மடக்கைகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

எடுத்துக்காட்டாக, 10 x = 100 என்ற சமன்பாட்டிற்கான பதிலைக் கண்டறியும் பணி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இது மிகவும் எளிதானது, நீங்கள் 100 ஐப் பெறும் எண்ணை உயர்த்துவதன் மூலம் ஒரு சக்தியைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். இது நிச்சயமாக 10 2 = 100

இப்போது இந்த வெளிப்பாட்டை மடக்கை வடிவத்தில் குறிப்பிடுவோம். நாம் பதிவு 10 100 = 2 ஐப் பெறுகிறோம். மடக்கைகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​கொடுக்கப்பட்ட எண்ணைப் பெறுவதற்கு மடக்கையின் அடிப்பகுதியை உள்ளிட வேண்டிய சக்தியைக் கண்டறிய அனைத்து செயல்களும் நடைமுறையில் ஒன்றிணைகின்றன.

அறியப்படாத பட்டத்தின் மதிப்பை துல்லியமாக தீர்மானிக்க, டிகிரி அட்டவணையுடன் எவ்வாறு வேலை செய்வது என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்ள வேண்டும். இது போல் தெரிகிறது:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நீங்கள் ஒரு தொழில்நுட்ப மனம் மற்றும் பெருக்கல் அட்டவணையின் அறிவு இருந்தால், சில அடுக்குகளை உள்ளுணர்வாக யூகிக்க முடியும். இருப்பினும், பெரிய மதிப்புகளுக்கு உங்களுக்கு சக்தி அட்டவணை தேவைப்படும். சிக்கலான கணித தலைப்புகளைப் பற்றி எதுவும் தெரியாதவர்களால் கூட இதைப் பயன்படுத்தலாம். இடது நெடுவரிசையில் எண்கள் உள்ளன (அடிப்படை a), எண்களின் மேல் வரிசையானது சக்தி c இன் மதிப்பாகும், அதில் எண் a உயர்த்தப்படுகிறது. குறுக்குவெட்டில், செல்கள் எண் மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கின்றன, அவை பதில் (a c =b). எடுத்துக்காட்டாக, எண் 10 ஐக் கொண்ட முதல் கலத்தை எடுத்து அதை சதுரமாக எடுத்துக்கொள்வோம், நமது இரண்டு கலங்களின் குறுக்குவெட்டில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட மதிப்பு 100 ஐப் பெறுகிறோம். எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது மற்றும் எளிதானது, மிகவும் உண்மையான மனிதநேயவாதி கூட புரிந்துகொள்வார்!

சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள்

சில நிபந்தனைகளின் கீழ் அடுக்கு என்பது மடக்கை என்று மாறிவிடும். எனவே, எந்த கணித எண் வெளிப்பாடுகளையும் மடக்கை சமத்துவமாக எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 3 4 =81 ஐ நான்கிற்கு சமமான 81 இன் அடிப்படை 3 மடக்கையாக எழுதலாம் (பதிவு 3 81 = 4). எதிர்மறை சக்திகளுக்கு விதிகள் ஒரே மாதிரியானவை: 2 -5 = 1/32 அதை ஒரு மடக்கையாக எழுதுகிறோம், பதிவு 2 (1/32) = -5 கிடைக்கும். கணிதத்தின் மிகவும் கவர்ச்சிகரமான பிரிவுகளில் ஒன்று "மடக்கை" என்ற தலைப்பு. கீழே உள்ள சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தீர்வுகளைப் பார்ப்போம், அவற்றின் பண்புகளைப் படித்த உடனேயே. இப்போது ஏற்றத்தாழ்வுகள் எப்படி இருக்கும் மற்றும் சமன்பாடுகளிலிருந்து அவற்றை எவ்வாறு வேறுபடுத்துவது என்பதைப் பார்ப்போம்.

பின்வரும் வெளிப்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: பதிவு 2 (x-1) > 3 - இது ஒரு மடக்கை சமத்துவமின்மை, ஏனெனில் அறியப்படாத மதிப்பு “x” மடக்கை அடையாளத்தின் கீழ் உள்ளது. மேலும் வெளிப்பாட்டில் இரண்டு அளவுகள் ஒப்பிடப்படுகின்றன: அடிப்படை இரண்டிற்கு தேவையான எண்ணின் மடக்கை எண் மூன்றை விட அதிகமாக உள்ளது.

மடக்கை சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு இடையே உள்ள மிக முக்கியமான வேறுபாடு என்னவென்றால், மடக்கைகளுடன் கூடிய சமன்பாடுகள் (உதாரணமாக, மடக்கை 2 x = √9) பதிலில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட குறிப்பிட்ட எண் மதிப்புகளைக் குறிக்கிறது, அதே சமயம் ஒரு சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கும்போது, ​​ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய வரம்பு இரண்டும் மதிப்புகள் மற்றும் புள்ளிகள் இந்த செயல்பாட்டை உடைத்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இதன் விளைவாக, பதில் ஒரு சமன்பாட்டிற்கான பதிலைப் போல தனிப்பட்ட எண்களின் எளிய தொகுப்பு அல்ல, ஆனால் தொடர்ச்சியான தொடர் அல்லது எண்களின் தொகுப்பு.

மடக்கைகளைப் பற்றிய அடிப்படைக் கோட்பாடுகள்

மடக்கையின் மதிப்புகளைக் கண்டறியும் பழமையான பணிகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​அதன் பண்புகள் அறியப்படாமல் இருக்கலாம். இருப்பினும், மடக்கை சமன்பாடுகள் அல்லது ஏற்றத்தாழ்வுகள் என்று வரும்போது, ​​முதலில், மடக்கைகளின் அனைத்து அடிப்படை பண்புகளையும் தெளிவாகப் புரிந்துகொண்டு நடைமுறையில் பயன்படுத்த வேண்டியது அவசியம். சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைப் பின்னர் பார்ப்போம்; முதலில் ஒவ்வொரு சொத்தையும் இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

1. முக்கிய அடையாளம் இது போல் தெரிகிறது: a logaB =B. a 0 ஐ விட அதிகமாகவும், ஒன்றுக்கு சமமாக இல்லாமல், மற்றும் B பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவும் இருக்கும்போது மட்டுமே இது பொருந்தும்.
2. தயாரிப்பின் மடக்கை பின்வரும் சூத்திரத்தில் குறிப்பிடப்படலாம்: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. இந்த வழக்கில், கட்டாய நிபந்தனை: d, s 1 மற்றும் s 2 > 0; a≠1. இந்த மடக்கைச் சூத்திரத்திற்கு நீங்கள் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தீர்வுகளுடன் ஒரு ஆதாரத்தை வழங்கலாம். a s 1 = f 1 ஐ பதிவு செய்து, a s 2 = f 2 ஐ பதிவு செய்யலாம், பின்னர் a f1 = s 1, a f2 = s 2. s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (பண்புகள் டிகிரி ), பின்னர் வரையறையின்படி: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.
3. விகுதியின் மடக்கை இது போல் உள்ளது: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. ஒரு சூத்திரத்தின் வடிவில் உள்ள தேற்றம் பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்: log a q b n = n/q log a b.

இந்த சூத்திரம் "மடக்கையின் பட்டத்தின் சொத்து" என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது சாதாரண டிகிரிகளின் பண்புகளை ஒத்திருக்கிறது, மேலும் இது ஆச்சரியமல்ல, ஏனென்றால் எல்லா கணிதமும் இயற்கையான போஸ்டுலேட்டுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. ஆதாரத்தைப் பார்ப்போம்.

a b = t ஐ பதிவு செய்யலாம், அது t =b ஆக மாறும். இரண்டு பகுதிகளையும் சக்திக்கு உயர்த்தினால் m: a tn = b n ;

ஆனால் a tn = (a q) nt/q = b n ஆக இருப்பதால், a q b n = (n*t)/t ஐப் பதிவு செய்யவும், பின்னர் a q b n = n/q log a b ஐப் பதிவு செய்யவும். தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

சிக்கல்கள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கைகளில் மிகவும் பொதுவான வகை சிக்கல்கள் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். அவை கிட்டத்தட்ட எல்லா சிக்கல் புத்தகங்களிலும் காணப்படுகின்றன, மேலும் அவை கணிதத் தேர்வுகளின் அவசியமான பகுதியாகும். ஒரு பல்கலைக்கழகத்தில் நுழைய அல்லது கணிதத்தில் நுழைவுத் தேர்வில் தேர்ச்சி பெற, இதுபோன்ற பணிகளை எவ்வாறு சரியாகத் தீர்ப்பது என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

துரதிர்ஷ்டவசமாக, மடக்கையின் அறியப்படாத மதிப்பைத் தீர்ப்பதற்கும் தீர்மானிப்பதற்கும் எந்த ஒரு திட்டமும் இல்லை, ஆனால் ஒவ்வொரு கணித சமத்துவமின்மை அல்லது மடக்கை சமன்பாட்டிற்கும் சில விதிகள் பயன்படுத்தப்படலாம். முதலில், வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்க முடியுமா அல்லது பொதுவான வடிவத்திற்கு குறைக்க முடியுமா என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். நீங்கள் அவற்றின் பண்புகளை சரியாகப் பயன்படுத்தினால், நீண்ட மடக்கை வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கலாம். அவற்றை விரைவில் அறிந்து கொள்வோம்.

மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​நம்மிடம் எந்த வகையான மடக்கை உள்ளது என்பதை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும்: ஒரு எடுத்துக்காட்டு வெளிப்பாடு ஒரு இயற்கை மடக்கை அல்லது தசம ஒன்றைக் கொண்டிருக்கலாம்.

இங்கே உதாரணங்கள் ln100, ln1026. அடிப்படை 10 முறையே 100 மற்றும் 1026 க்கு சமமாக இருக்கும் சக்தியை அவர்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும் என்ற உண்மைக்கு அவற்றின் தீர்வு கொதிக்கிறது. இயற்கை மடக்கைகளைத் தீர்க்க, நீங்கள் மடக்கை அடையாளங்கள் அல்லது அவற்றின் பண்புகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும். பல்வேறு வகையான மடக்கைச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

மடக்கை சூத்திரங்களை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது: எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தீர்வுகளுடன்

எனவே, மடக்கைகளைப் பற்றிய அடிப்படைக் கோட்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

1. ஒரு பொருளின் மடக்கையின் பண்புகளை பணிகளில் பயன்படுத்தலாம், அங்கு b எண்ணின் பெரிய மதிப்பை எளிமையான காரணிகளாக சிதைக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, பதிவு 2 4 + பதிவு 2 128 = பதிவு 2 (4*128) = பதிவு 2 512. பதில் 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, மடக்கை சக்தியின் நான்காவது பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, சிக்கலான மற்றும் தீர்க்க முடியாத வெளிப்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்க முடிந்தது. நீங்கள் அடித்தளத்தை காரணியாக்க வேண்டும், பின்னர் மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து அடுக்கு மதிப்புகளை எடுக்க வேண்டும்.

ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் இருந்து பணிகள்

மடக்கைகள் பெரும்பாலும் நுழைவுத் தேர்வுகளில் காணப்படுகின்றன, குறிப்பாக ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் (அனைத்து பள்ளி பட்டதாரிகளுக்கான மாநிலத் தேர்வு) பல மடக்கைச் சிக்கல்கள். பொதுவாக, இந்தப் பணிகள் பகுதி A இல் (தேர்வின் எளிதான சோதனைப் பகுதி) மட்டுமல்ல, பகுதி C (மிகவும் சிக்கலான மற்றும் மிகப்பெரிய பணிகள்) உள்ளன. தேர்வுக்கு "இயற்கை மடக்கைகள்" என்ற தலைப்பில் துல்லியமான மற்றும் சரியான அறிவு தேவை.

சிக்கல்களுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தீர்வுகள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் அதிகாரப்பூர்வ பதிப்புகளிலிருந்து எடுக்கப்படுகின்றன. அத்தகைய பணிகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம்.

கொடுக்கப்பட்ட பதிவு 2 (2x-1) = 4. தீர்வு:
வெளிப்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம், அதை சிறிது லாக் 2 (2x-1) = 2 2 என்று எளிதாக்குவோம், மடக்கையின் வரையறையின்படி 2x-1 = 2 4, எனவே 2x = 17; x = 8.5.

• அனைத்து மடக்கைகளையும் ஒரே தளத்திற்குக் குறைப்பது சிறந்தது, இதனால் தீர்வு சிக்கலானதாகவும் குழப்பமாகவும் இருக்காது.
• மடக்கைக் குறியின் கீழ் உள்ள அனைத்து வெளிப்பாடுகளும் நேர்மறையாகக் குறிக்கப்படுகின்றன, எனவே, மடக்கைக் குறியின் கீழ் இருக்கும் ஒரு வெளிப்பாட்டின் அடுக்கு மற்றும் அதன் அடித்தளத்தை ஒரு பெருக்கியாக எடுத்துக் கொள்ளும்போது, ​​மடக்கையின் கீழ் மீதமுள்ள வெளிப்பாடு நேர்மறையாக இருக்க வேண்டும்.