தத்துவார்த்த பொருள். ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலை என்றால் என்ன: ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச எக்ஸ்ட்ரீமாவின் முக்கியமான புள்ளிகள் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம்
பொருள்
மிகப் பெரியது
பொருள்
குறைந்தது
அதிகபட்ச புள்ளி
குறைந்தபட்ச புள்ளி
ஒரு தீவிர செயல்பாட்டின் புள்ளிகளைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கல்கள் 3 படிகளில் நிலையான திட்டத்தின் படி தீர்க்கப்படுகின்றன.
படி 1. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்
- அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல் சூத்திரங்கள் மற்றும் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய அடிப்படை வேறுபாடு விதிகளை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.
y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.
படி 2. வழித்தோன்றலின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டறியவும்
- வழித்தோன்றலின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டறிய விளைந்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
படி 3. தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்
- வழித்தோன்றலின் அறிகுறிகளைத் தீர்மானிக்க இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தவும்;
- குறைந்தபட்ச புள்ளியில், வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் மற்றும் மைனஸிலிருந்து கூட்டலுக்கு அடையாளத்தை மாற்றுகிறது, மேலும் அதிகபட்ச புள்ளியில், கூட்டிலிருந்து கழித்தல்.
பின்வரும் சிக்கலைத் தீர்க்க இந்த அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்துவோம்:
y=x3−243x+19 செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளியைக் கண்டறியவும்.
1) வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) சமன்பாடு y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) வழித்தோன்றல் x>9 மற்றும் xக்கு நேர்மறையாக உள்ளது<−9 и отрицательная при −9 ஒரு செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது ஒரு செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிவதில் சிக்கலைத் தீர்க்க தேவையான: பல பணிகளுக்கு உதவுகிறது தேற்றம்: ஒரு பிரிவில் ஒரே ஒரு தீவிர புள்ளி இருந்தால், இது குறைந்தபட்ச புள்ளியாக இருந்தால், செயல்பாட்டின் மிகச்சிறிய மதிப்பு அதில் அடையப்படுகிறது. இது அதிகபட்ச புள்ளியாக இருந்தால், மிகப்பெரிய மதிப்பு அங்கு அடையப்படுகிறது. 14. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் கருத்து மற்றும் அடிப்படை பண்புகள். செயல்பாடு என்றால் f(எக்ஸ் எக்ஸ், மற்றும் கே- எண், பின்னர் சுருக்கமாகச் சொன்னால்: மாறிலியை ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம். செயல்பாடுகள் என்றால் f(எக்ஸ்) மற்றும் g(எக்ஸ்) இடைவெளியில் ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் உள்ளன எக்ஸ், அந்த சுருக்கமாகச் சொன்னால்: கூட்டுத்தொகையின் கூட்டுத்தொகை முழுமைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். செயல்பாடு என்றால் f(எக்ஸ்) இடைவெளியில் ஒரு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் உள்ளது எக்ஸ், பின்னர் இந்த இடைவெளியின் உட்புற புள்ளிகளுக்கு: சுருக்கமாகச் சொன்னால்: ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம். செயல்பாடு என்றால் f(எக்ஸ்) இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக உள்ளது எக்ஸ்மற்றும் இந்த இடைவெளியின் உட்புற புள்ளிகளில் வேறுபடுகிறது, பின்னர்: சுருக்கமாகச் சொன்னால்: ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு இந்தச் சார்பு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு மாறிலிக்கு சமம். கடுமையான கணித வரையறையை வழங்குவோம் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் கருத்துக்கள். வடிவத்தின் வெளிப்பாடு அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைந்த f(x)
, எங்கே f(x)
- கொடுக்கப்பட்ட (தெரிந்த) ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு dx
- வேறுபாடு எக்ஸ்
, சின்னம் எப்போதும் இருக்கும் dx
. வரையறை. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புசெயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது F(x) + C
, தன்னிச்சையான மாறிலியைக் கொண்டுள்ளது சி
, இதன் வேறுபாடு சமம் ஒருங்கிணைந்தவெளிப்பாடு f(x)dx
, அதாவது அதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுவோம் - வேறுபட்ட செயல்பாடுமற்றும் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: சிக்கலைக் கண்டறிதல் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புஅத்தகைய செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்பதாகும் வழித்தோன்றல்இது ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம். இந்த செயல்பாடு ஒரு மாறிலிக்கு துல்லியமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் மாறிலியின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாகும். உதாரணமாக, அது அறியப்படுகிறது , பின்னர் அது மாறிவிடும் பணியைக் கண்டறிதல் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புசெயல்பாடுகள் முதல் பார்வையில் தோன்றும் அளவுக்கு எளிமையானது மற்றும் எளிதானது அல்ல. பல சந்தர்ப்பங்களில், வேலை செய்யும் திறமை இருக்க வேண்டும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள்,பயிற்சி மற்றும் நிலையான அனுபவம் இருக்க வேண்டும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கிறது.என்ற உண்மையை கருத்தில் கொள்வது மதிப்பு காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள்சில செயல்பாடுகளிலிருந்து (அவற்றில் நிறைய உள்ளன) அடிப்படை செயல்பாடுகளில் எடுக்கப்படவில்லை. 15. அடிப்படை காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை. அடிப்படை சூத்திரங்கள் 16. ஒருங்கிணைந்த கூட்டுத்தொகையின் வரம்பாக திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு. ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் மற்றும் உடல் பொருள். y=ƒ(x) சார்பு இடைவெளியில் வரையறுக்கப்படட்டும் [a; b], a< b. Выполним следующие действия. 1. x 0 =a, x 1, x 2, ..., x n = B (x 0) புள்ளிகளைப் பயன்படுத்துதல் 2. ஒவ்வொரு பகுதிப் பிரிவிலும் , i = 1,2,...,n, i є உடன் தன்னிச்சையான புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுத்து அதில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடவும், அதாவது மதிப்பு ƒ(i உடன்). 3. ƒ (i உடன்) செயல்பாட்டின் காணப்படும் மதிப்பை, தொடர்புடைய பகுதிப் பிரிவின் நீளம் ∆x i =x i -x i-1 ஆல் பெருக்கவும்: ƒ (i உடன்) ∆x i. 4. அத்தகைய அனைத்து தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை S n ஐ உருவாக்குவோம்: படிவத்தின் கூட்டுத்தொகை (35.1) y = ƒ(x) செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைந்த கூட்டுத்தொகை [a; b]. மிகப்பெரிய பகுதிப் பிரிவின் நீளத்தை λ ஆல் குறிப்போம்: λ = அதிகபட்சம் ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. n → ∞ ஆக λ→0 ஆக இருக்கும் போது ஒருங்கிணைந்த தொகையின் (35.1) வரம்பைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த வழக்கில் ஒருங்கிணைந்த கூட்டுத்தொகை S n ஒரு வரம்பு I ஐக் கொண்டிருந்தால், இது பிரிவைப் பிரிக்கும் முறையைப் பொறுத்து இல்லை [a; b] பகுதி பிரிவுகளில், அல்லது அவற்றில் உள்ள புள்ளிகளின் தேர்வின் மீது, எண் I ஆனது பிரிவில் y = ƒ(x) செயல்பாட்டின் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு [a; b] மற்றும் இவ்வாறு குறிக்கப்படுகிறது, எண்கள் a மற்றும் b ஆகியவை முறையே ஒருங்கிணைப்பின் கீழ் மற்றும் மேல் வரம்புகள் என அழைக்கப்படுகின்றன, ƒ(x) - ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு, ƒ(x) dx - ஒருங்கிணைப்பு, x - ஒருங்கிணைப்பின் மாறி, பிரிவு [a; b] - ஒருங்கிணைப்பின் பகுதி (பிரிவு). செயல்பாடு y=ƒ(x), இதற்கு இடைவெளியில் [a; b] இந்த இடைவெளியில் integrable எனப்படும் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு உள்ளது. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு இருப்பதற்கான ஒரு தேற்றத்தை இப்போது உருவாக்குவோம். தேற்றம் 35.1 (கௌச்சி). y = ƒ(x) சார்பு இடைவெளியில் [a; b], பின்னர் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி அதன் ஒருங்கிணைப்புக்கு போதுமான நிபந்தனையாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க. இருப்பினும், சில இடைவிடாத செயல்பாடுகளுக்கு ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு இருக்கலாம், குறிப்பாக ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான இடைநிறுத்தப் புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒரு இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட எந்தச் செயல்பாட்டிற்கும். அதன் வரையறையிலிருந்து (35.2) நேரடியாகப் பின்பற்றும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் சில பண்புகளைக் குறிப்பிடுவோம். 1. திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பானது ஒருங்கிணைப்பு மாறியின் பதவியிலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது: ஒருங்கிணைந்த தொகை (35.1), எனவே அதன் வரம்பு (35.2), கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வாதம் எந்த எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்தது அல்ல. 2. ஒருங்கிணைப்பின் அதே வரம்புகளைக் கொண்ட திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பானது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்: 3. எந்த உண்மையான எண்ணுக்கும் c. 17. நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம். ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை பண்புகள். செயல்படட்டும் y = f(x)பிரிவில் தொடர்ந்து
மற்றும் F(x)இந்த பிரிவில் செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களில் ஒன்றாகும் நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம்: நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸின் அடிப்படை சூத்திரம். நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தை நிரூபிக்க, மாறி மேல் வரம்பைக் கொண்ட ஒரு ஒருங்கிணைந்த கருத்து நமக்குத் தேவை. செயல்பாடு என்றால் y = f(x)பிரிவில் தொடர்ந்து
, பின்னர் வாதத்திற்கு படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்பானது மேல் வரம்பின் செயல்பாடாகும். இந்த செயல்பாட்டைக் குறிக்கலாம் உண்மையில், வாதத்தின் அதிகரிப்புடன் தொடர்புடைய செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பை எழுதுவோம் மற்றும் பத்தாவது சொத்தில் இருந்து திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் ஐந்தாவது பண்பைப் பயன்படுத்துவோம்: இந்த சமத்துவத்தை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம் கணக்கிடுவோம் F(a), திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் முதல் பண்புகளைப் பயன்படுத்துதல்: ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு பொதுவாக இவ்வாறு குறிக்கப்படுகிறது நியூட்டன்-லீப்னிஸ் ஃபார்முலாவைப் பயன்படுத்த, ஆன்டிடெரிவேடிவ்களில் ஒன்றைத் தெரிந்துகொண்டால் போதும். y=F(x)ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு y=f(x)பிரிவில்
மற்றும் இந்தப் பிரிவில் இந்த ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் அதிகரிப்பைக் கணக்கிடுங்கள். கட்டுரை ஒருங்கிணைப்பு முறைகள், ஆண்டிடெரிவேடிவ் கண்டுபிடிப்பதற்கான முக்கிய வழிகளைப் பற்றி விவாதிக்கிறது. தெளிவுபடுத்துவதற்காக நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான சில எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருவோம். உதாரணமாக. நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள். தீர்வு. தொடங்குவதற்கு, இடைவெளியில் ஒருங்கிணைப்பு தொடர்ச்சியாக இருப்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம்
எனவே, அதன் மீது ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது. (ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு உள்ள செயல்பாடுகள் பற்றிய பிரிவில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய செயல்பாடுகளைப் பற்றி நாங்கள் பேசினோம்). காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து, ஒரு செயல்பாட்டிற்கு வாதத்தின் அனைத்து உண்மையான மதிப்புகளுக்கும் (எனவே ) ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பு இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது என்பது தெளிவாகிறது. இப்போது திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிட நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்: 18. திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பயன்பாடுகள். உறுதியான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பயன்பாடுகள் உடலின் அளவைக் கணக்கிடுதல் இணையான பிரிவுகளின் அறியப்பட்ட பகுதிகளிலிருந்து உடலின் அளவைக் கணக்கிடுதல்: சுழற்சியின் உடலின் அளவு: ; . எடுத்துக்காட்டு 1. நேர்கோடுகளால் y=sinx என்ற வளைவினால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும் தீர்வு:உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறிதல்: எடுத்துக்காட்டு 2. கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள் தீர்வு:இந்த செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் abscissa ஐக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, சமன்பாடுகளின் அமைப்பை நாங்கள் தீர்க்கிறோம் இங்கிருந்து நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் x 1 =0, x 2 =2.5. 19. வேறுபட்ட கட்டுப்பாடுகளின் கருத்து. முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள். வகையீட்டு சமன்பாடு- ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் மதிப்பை, சார்பற்ற மாறியின் மதிப்புகள் மற்றும் எண்கள் (அளவுருக்கள்) ஆகியவற்றுடன் இணைக்கும் ஒரு சமன்பாடு. சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள வழித்தோன்றல்களின் வரிசை வேறுபட்டிருக்கலாம் (முறைப்படி இது எதனாலும் வரையறுக்கப்படவில்லை). வழித்தோன்றல்கள், செயல்பாடுகள், சார்பற்ற மாறிகள் மற்றும் அளவுருக்கள் பல்வேறு சேர்க்கைகளில் ஒரு சமன்பாட்டில் தோன்றலாம் அல்லது ஒரு வழித்தோன்றலைத் தவிர மற்ற அனைத்தும் முற்றிலும் இல்லாமல் இருக்கலாம். அறியப்படாத செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்ட ஒவ்வொரு சமன்பாடும் வேறுபட்ட சமன்பாடு அல்ல. உதாரணத்திற்கு, பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள்(PDF) பல மாறிகளின் அறியப்படாத செயல்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்ட சமன்பாடுகள். அத்தகைய சமன்பாடுகளின் பொதுவான வடிவத்தை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்: சுயாதீன மாறிகள் எங்கே, மற்றும் இந்த மாறிகளின் செயல்பாடு ஆகும். பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் வரிசையை சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளைப் போலவே தீர்மானிக்க முடியும். பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் மற்றொரு முக்கியமான வகைப்பாடு, அவை நீள்வட்ட, பரவளைய மற்றும் ஹைபர்போலிக் வகைகளின் சமன்பாடுகளாக பிரிக்கப்படுகின்றன, குறிப்பாக இரண்டாம்-வரிசை சமன்பாடுகளுக்கு. சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள் மற்றும் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் இரண்டையும் பிரிக்கலாம் நேரியல்மற்றும் நேரியல் அல்லாத. அறியப்படாத செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்கள் முதல் நிலைக்கு மட்டுமே சமன்பாட்டிற்குள் நுழைந்தால் (மற்றும் ஒன்றுடன் ஒன்று பெருக்கப்படாமல்) ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாடு நேரியல் ஆகும். அத்தகைய சமன்பாடுகளுக்கு, தீர்வுகள் செயல்பாடுகளின் இடத்தின் ஒரு இணைப்பு துணைவெளியை உருவாக்குகின்றன. நேரியல் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கோட்பாடு நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டை விட மிகவும் ஆழமாக உருவாக்கப்பட்டுள்ளது. நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான பார்வை n- வரிசை: எங்கே p i(எக்ஸ்) சமன்பாட்டின் குணகங்கள் எனப்படும் சுயாதீன மாறியின் அறியப்பட்ட செயல்பாடுகள். செயல்பாடு ஆர்(எக்ஸ்) வலது பக்கத்தில் அழைக்கப்படுகிறது இலவச உறுப்பினர்(தெரியாத செயல்பாட்டைச் சார்ந்து இல்லாத ஒரே சொல்) நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரு முக்கியமான குறிப்பிட்ட வகுப்பு நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள் நிலையான குணகங்கள். நேரியல் சமன்பாடுகளின் துணைப்பிரிவு ஒரேவிதமானவேறுபட்ட சமன்பாடுகள் - இலவசச் சொல்லைக் கொண்டிருக்காத சமன்பாடுகள்: ஆர்(எக்ஸ்) = 0. ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கு, சூப்பர்போசிஷன் கொள்கை உள்ளது: அத்தகைய சமன்பாட்டிற்கான பகுதி தீர்வுகளின் நேரியல் கலவையும் அதன் தீர்வாக இருக்கும். மற்ற அனைத்து நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகளும் அழைக்கப்படுகின்றன பன்முகத்தன்மை கொண்டவகைக்கெழு சமன்பாடுகள். சில சிறப்பு வகுப்புகளைத் தவிர, பொதுவான வழக்கில் நேரியல் அல்லாத வேறுபாடு சமன்பாடுகள் தீர்வு முறைகளை உருவாக்கவில்லை. சில சந்தர்ப்பங்களில் (சில தோராயங்களைப் பயன்படுத்தி) அவை நேரியல் நிலைக்குக் குறைக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டரின் நேரியல் சமன்பாடு · - நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசையின் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடு. தீர்வு என்பது செயல்பாடுகளின் குடும்பம் ஆகும், அங்கு மற்றும் தன்னிச்சையான மாறிலிகள், ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வுக்கு தனித்தனியாக குறிப்பிடப்பட்ட ஆரம்ப நிலைகளில் இருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இந்த சமன்பாடு, குறிப்பாக, 3 இன் சுழற்சி அதிர்வெண் கொண்ட ஒரு ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டரின் இயக்கத்தை விவரிக்கிறது. நியூட்டனின் இரண்டாவது விதியை வேறுபாடு சமன்பாட்டின் வடிவத்தில் எழுதலாம் மீ- உடல் நிறை, எக்ஸ்- அதன் ஒருங்கிணைப்பு, எஃப்(எக்ஸ், டி) - ஒருங்கிணைப்புடன் உடலில் செயல்படும் சக்தி எக்ஸ்ஒரு கட்டத்தில் டி. அதன் தீர்வு என்பது குறிப்பிட்ட சக்தியின் செயல்பாட்டின் கீழ் உடலின் பாதையாகும். · பெசல் வேறுபாடு சமன்பாடு என்பது மாறி குணகங்களைக் கொண்ட இரண்டாவது வரிசையின் ஒரு சாதாரண நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு ஆகும்: அதன் தீர்வுகள் பெசல் செயல்பாடுகள் ஆகும். · 1 வது வரிசையின் ஒரே மாதிரியான நேரியல் அல்லாத சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டு: எடுத்துக்காட்டுகளின் அடுத்த குழுவில் அறியப்படாத செயல்பாடு உள்ளது uஇரண்டு மாறிகள் சார்ந்தது எக்ஸ்மற்றும் டிஅல்லது எக்ஸ்மற்றும் ஒய். · முதல் வரிசையின் ஒரே மாதிரியான நேரியல் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடு: · ஒரு பரிமாண அலை சமன்பாடு - நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட இரண்டாம் வரிசை ஹைபர்போலிக் வகையின் பகுதி வழித்தோன்றல்களில் ஒரே மாதிரியான நேரியல் சமன்பாடு, ஒரு சரத்தின் அலைச்சலை விவரிக்கிறது என்றால் - ஒருங்கிணைப்புடன் ஒரு கட்டத்தில் சரத்தின் விலகல் எக்ஸ்ஒரு கட்டத்தில் டி, மற்றும் அளவுரு அசரத்தின் பண்புகளை அமைக்கிறது: · இரு பரிமாண இடைவெளியில் லாப்லேஸின் சமன்பாடு என்பது நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட நீள்வட்ட வகையின் இரண்டாவது வரிசையின் ஒரே மாதிரியான நேரியல் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடு ஆகும், இது இயக்கவியல், வெப்ப கடத்துத்திறன், மின்னியல், ஹைட்ராலிக்ஸ் போன்ற பல உடல் சிக்கல்களில் எழுகிறது: · கோர்டெவெக்-டி வ்ரீஸ் சமன்பாடு, சோலிட்டான்கள் உட்பட நிலையான நேரியல் அல்லாத அலைகளை விவரிக்கும் மூன்றாம் வரிசை நேரியல் அல்லாத பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடு: 20. பொருந்தக்கூடிய பிரிக்கக்கூடிய வேறுபட்ட சமன்பாடுகள். நேரியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் பெர்னோலியின் முறை. ஒரு முதல்-வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடு என்பது அறியப்படாத செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் தொடர்பாக நேரியல் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும். இது முழு சக்தி வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. உண்மையில், நீங்கள் கருதப்படும் வகைகளின் சமன்பாடுகளைக் கண்டுபிடித்து மாற்றினால், நீங்கள் உண்மையான சமத்துவத்தைப் பெறுவீர்கள். பற்றி கட்டுரையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள், நிபந்தனையின் படி ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை மட்டுமே கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், செயல்பாடு, வெளிப்படையான காரணங்களுக்காக, நம்மைத் தொந்தரவு செய்யாது, ஆனால் ஒரு பொதுவான தீர்வு/ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டியிருக்கும் போது, அதை உறுதிப்படுத்துவது அவசியம். இந்த செயல்பாடு இழக்கப்படவில்லை! பெர்னோலி சமன்பாட்டின் அனைத்து பிரபலமான மாறுபாடுகளையும் ஒரு பெரிய பரிசுப் பையில் கொண்டு வந்து விநியோகிக்க ஆரம்பித்தேன். உங்கள் காலுறைகளை மரத்தின் கீழ் தொங்க விடுங்கள். எடுத்துக்காட்டு 1 கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலையுடன் தொடர்புடைய வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும். முதல் பரிசு உடனடியாக பையில் இருந்து எடுக்கப்பட்டது என்று பலர் ஆச்சரியப்பட்டனர் காச்சி பிரச்சனை. இது விபத்து அல்ல. பெர்னௌலி சமன்பாடு தீர்வுக்காக முன்மொழியப்படும் போது, சில காரணங்களால் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறிவது அவசியமாகும். எனது சேகரிப்பில் இருந்து, நான் 10 பெர்னௌல்லி சமன்பாடுகளை சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுத்துள்ளேன், மேலும் பொதுவான தீர்வு (குறிப்பிட்ட தீர்வு இல்லாமல்) 2 சமன்பாடுகளில் மட்டுமே காணப்பட வேண்டும். ஆனால், உண்மையில், இது ஒரு அற்பமானது, ஏனென்றால் எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் ஒரு பொதுவான தீர்வைத் தேட வேண்டும். தீர்வு:இந்த டிஃப்பியூசருக்கு வடிவம் உள்ளது, எனவே இது பெர்னோலியின் சமன்பாடு ஆகும் செயல்பாடு மற்றும் அதன் அம்சங்களின் ஆய்வு நவீன கணிதத்தின் முக்கிய அத்தியாயங்களில் ஒன்றாகும். எந்தவொரு செயல்பாட்டின் முக்கிய கூறுகளும் அதன் பண்புகளை மட்டுமல்ல, இந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் அளவுருக்களையும் சித்தரிக்கும் வரைபடங்கள் ஆகும். இந்த கடினமான தலைப்பை புரிந்துகொள்வோம். ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளைக் கண்டறிய சிறந்த வழி எது? ஏதோவொரு வகையில் மற்றொரு அளவின் மதிப்புகளைச் சார்ந்திருக்கும் எந்த மாறியையும் ஒரு செயல்பாடு என்று அழைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, f(x 2) செயல்பாடு இருபடி மற்றும் முழு தொகுப்பு x க்கான மதிப்புகளை தீர்மானிக்கிறது. x = 9 என்று வைத்துக்கொள்வோம், அப்போது நமது செயல்பாட்டின் மதிப்பு 9 2 = 81 க்கு சமமாக இருக்கும். செயல்பாடுகள் பல்வேறு வகைகளில் வருகின்றன: தருக்க, திசையன், மடக்கை, முக்கோணவியல், எண் மற்றும் பிற. லாக்ரோயிக்ஸ், லாக்ரேஞ்ச், லீப்னிஸ் மற்றும் பெர்னௌலி போன்ற சிறந்த சிந்தனையாளர்களால் அவை ஆய்வு செய்யப்பட்டன. செயல்பாடுகளைப் படிக்கும் நவீன வழிகளில் அவர்களின் படைப்புகள் ஒரு முக்கிய அம்சமாக செயல்படுகின்றன. குறைந்தபட்ச புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு முன், செயல்பாட்டின் அர்த்தத்தையும் அதன் வழித்தோன்றலையும் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியம். அனைத்து செயல்பாடுகளும் அவற்றின் மாறிகளைப் பொறுத்தது, அதாவது அவை எந்த நேரத்திலும் அவற்றின் மதிப்பை மாற்றலாம். வரைபடத்தில், இது ஆர்டினேட் அச்சில் விழும் அல்லது உயரும் ஒரு வளைவாக சித்தரிக்கப்படும் (இது செங்குத்து வரைபடத்தில் உள்ள "y" எண்களின் முழு தொகுப்பாகும்). எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளைத் தீர்மானிப்பது இந்த "ஊசலாட்டங்களுடன்" துல்லியமாக தொடர்புடையது. இந்த உறவு என்ன என்பதை விளக்குவோம். எந்தவொரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலும் அதன் அடிப்படை குணாதிசயங்களைப் படிப்பதற்கும், செயல்பாடு எவ்வளவு விரைவாக மாறுகிறது என்பதைக் கணக்கிடுவதற்கும் வரைபடமாக்கப்படுகிறது (அதாவது "x" மாறியைப் பொறுத்து அதன் மதிப்பை மாற்றுகிறது). செயல்பாடு அதிகரிக்கும் தருணத்தில், அதன் வழித்தோன்றலின் வரைபடமும் அதிகரிக்கும், ஆனால் எந்த நொடியிலும் செயல்பாடு குறையத் தொடங்கும், பின்னர் வழித்தோன்றலின் வரைபடம் குறையும். மைனஸ் குறியிலிருந்து கூட்டல் குறிக்கு வழித்தோன்றல் மாறும் புள்ளிகள் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் எனப்படும். குறைந்தபட்ச புள்ளிகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை அறிய, நீங்கள் நன்றாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும் வரையறை மற்றும் செயல்பாடுகள் பொதுவாக பல கருத்துக்களைக் குறிக்கின்றன, ஒரு வழித்தோன்றலின் வரையறையை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தலாம்: இது செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதத்தைக் காட்டும் அளவு. அதைத் தீர்மானிப்பதற்கான கணித வழி பல மாணவர்களுக்கு சிக்கலானதாகத் தெரிகிறது, ஆனால் உண்மையில் எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது. எந்தவொரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கான நிலையான திட்டத்தை நீங்கள் பின்பற்ற வேண்டும். வேறுபாட்டின் விதிகளைப் பயன்படுத்தாமல் மற்றும் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையை மனப்பாடம் செய்யாமல், ஒரு செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை கீழே விவரிக்கிறோம். பள்ளி கணித பாடத்திட்டத்தில், ஒரு செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளியை இரண்டு வழிகளில் கண்டுபிடிக்க முடியும். வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி முதல் முறையை நாங்கள் ஏற்கனவே விவாதித்தோம், ஆனால் வழித்தோன்றலின் எண் மதிப்பை எவ்வாறு தீர்மானிக்க முடியும்? இதைச் செய்ய, வழித்தோன்றலின் பண்புகளை விவரிக்கும் மற்றும் "x" போன்ற மாறிகளை எண்களாக மாற்ற உதவும் பல சூத்திரங்களை நீங்கள் கற்றுக் கொள்ள வேண்டும். பின்வரும் முறை உலகளாவியது, எனவே இது கிட்டத்தட்ட அனைத்து வகையான செயல்பாடுகளுக்கும் (வடிவியல் மற்றும் மடக்கை இரண்டும்) பயன்படுத்தப்படலாம். ஒரு செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றலைப் படிப்பதில் மிக அடிப்படையான கூறு வேறுபாடு விதிகள் பற்றிய அறிவு. அவர்களின் உதவியுடன் மட்டுமே நீங்கள் சிக்கலான வெளிப்பாடுகள் மற்றும் பெரிய சிக்கலான செயல்பாடுகளை மாற்ற முடியும். அவர்களுடன் பழகுவோம், அவற்றில் நிறைய உள்ளன, ஆனால் அவை அனைத்தும் ஆற்றல் மற்றும் மடக்கை செயல்பாடுகளின் இயற்கையான பண்புகள் காரணமாக மிகவும் எளிமையானவை. குறைந்தபட்ச புள்ளிகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நாங்கள் ஏற்கனவே விவாதித்தோம், ஆனால் ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளிகளின் கருத்தும் உள்ளது. மைனஸ் குறியிலிருந்து கூட்டலுக்கு செயல்பாடு மாறும் புள்ளிகளை குறைந்தபட்சம் குறிக்கிறது என்றால், அதிகபட்ச புள்ளிகள் x-அச்சில் உள்ள புள்ளிகளாகும், இதில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பிளஸிலிருந்து எதிர் - கழித்தல். மேலே விவரிக்கப்பட்ட முறையைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் அதைக் காணலாம், ஆனால் அவை செயல்பாடு குறையத் தொடங்கும் பகுதிகளைக் குறிக்கின்றன என்பதை நீங்கள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும், அதாவது, வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருக்கும். கணிதத்தில், இரண்டு கருத்துகளையும் பொதுமைப்படுத்துவது வழக்கமாக உள்ளது, அவற்றை "தீவிர புள்ளிகள்" என்ற சொற்றொடருடன் மாற்றுகிறது. இந்தப் புள்ளிகளைத் தீர்மானிக்க ஒரு பணி உங்களிடம் கேட்கும் போது, கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிட்டு குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளிகளைக் கண்டறிய வேண்டும் என்று அர்த்தம். மிகப்பெரிய செயல்பாட்டு மதிப்பு மிகச் சிறிய செயல்பாட்டு மதிப்பு காட்பாதர் கூறியது போல்: "தனிப்பட்ட எதுவும் இல்லை." வழித்தோன்றல்கள் மட்டுமே! புள்ளியியல் பணி 12 மிகவும் கடினமாகக் கருதப்படுகிறது, மேலும் இந்த கட்டுரையை தோழர்களே படிக்காததால் (நகைச்சுவை). பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், கவனக்குறைவுதான் காரணம். 12 பணி இரண்டு வகைகளில் வருகிறது: ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகள்: செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளியைக் கண்டறியவும் செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளியைக் கண்டறியவும் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகள்: செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பை இடைவெளியில் [−4; −1] பதில்: −6 பிரிவில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பைக் கண்டறியவும் பதில்: 11 முடிவுரை: தேற்றம்.
(ஒரு முனையின் இருப்புக்கு அவசியமான நிபந்தனை) x = x 1 என்ற புள்ளியில் f(x) சார்பு வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால் மற்றும் x 1 புள்ளி ஒரு தீவிர புள்ளியாக இருந்தால், இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மறைந்துவிடும். ஆதாரம்.
x = x 1 என்ற புள்ளியில் f(x) சார்பு அதிகபட்சம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் போதுமான சிறிய நேர்மறை Dх>0 க்கு பின்வரும் சமத்துவமின்மை உண்மை: A-priory: அந்த. Dх®0 என்றால், ஆனால் Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, பின்னர் f¢(x 1) £ 0. Dх®0 f¢(x 1) = 0 இல் இருந்தால் மட்டுமே இது சாத்தியமாகும். வழக்கில் f(x) சார்பு x 2 புள்ளியில் குறைந்தபட்சம் இருந்தால், தேற்றம் இதே வழியில் நிரூபிக்கப்படும். தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. விளைவு.
தலைகீழ் அறிக்கை உண்மையல்ல. ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு ஒரு உச்சநிலையைக் கொண்டுள்ளது என்று அர்த்தமல்ல. y = x 3 சார்பு இதற்கு ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு ஆகும், இதன் வழித்தோன்றல் x = 0 புள்ளியில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், ஆனால் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு ஒரு ஊடுருவலை மட்டுமே கொண்டுள்ளது, அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம் அல்ல. வரையறை.முக்கியமான புள்ளிகள்செயல்பாடுகள் என்பது செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இல்லாத அல்லது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான புள்ளிகள். மேலே விவாதிக்கப்பட்ட தேற்றம் ஒரு தீவிரத்தின் இருப்புக்கான தேவையான நிபந்தனைகளை நமக்கு வழங்குகிறது, ஆனால் இது போதாது. உதாரணமாக: f(x) = ôxô உதாரணமாக: f(x) = x = 0 புள்ளியில் செயல்பாடு குறைந்தபட்சம் உள்ளது, ஆனால் x = 0 புள்ளியில் செயல்பாடு எதுவும் இல்லை வழித்தோன்றல் இல்லை. அதிகபட்சம், குறைந்தபட்சம் இல்லை, உற்பத்தி இல்லை பொதுவாக, f(x) சார்பு, வழித்தோன்றல் இல்லாத அல்லது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான புள்ளிகளில் உச்சநிலையைக் கொண்டிருக்கலாம். தேற்றம்.
(ஒரு முனையின் இருப்புக்கு போதுமான நிபந்தனைகள்) முக்கியமான புள்ளி x 1 ஐக் கொண்டிருக்கும் இடைவெளியில் (a, b) செயல்பாடு f(x) தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும், மேலும் இந்த இடைவெளியின் எல்லாப் புள்ளிகளிலும் (ஒருவேளை, x 1 புள்ளியைத் தவிர) வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருக்கட்டும். x 1 புள்ளியை இடமிருந்து வலமாக கடக்கும்போது, f¢(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் குறியை “+” இலிருந்து “-“ ஆக மாற்றினால், x = x 1 என்ற புள்ளியில் f(x) சார்பு உள்ளது அதிகபட்சம், மற்றும் வழித்தோன்றல் "- " இலிருந்து "+" க்கு அடையாளத்தை மாற்றினால் - செயல்பாடு குறைந்தபட்சம். ஆதாரம்.
விடுங்கள் லாக்ரேஞ்ச் தேற்றத்தின்படி: f(x) – f(x 1) = f¢(e)(x – x 1),எங்கே x< e < x 1 . பிறகு: 1) x என்றால்< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1). 2) x > x 1 என்றால், e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1). பதில்கள் ஒத்துப்போவதால், f(x) என்று சொல்லலாம்.< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума. குறைந்தபட்ச புள்ளிக்கான தேற்றத்தின் ஆதாரம் ஒத்ததாகும். தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. மேலே உள்ளவற்றின் அடிப்படையில், ஒரு பிரிவில் ஒரு செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிவதற்கான ஒரு ஒருங்கிணைந்த செயல்முறையை நீங்கள் உருவாக்கலாம்: 1) செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டறியவும். 2) முக்கியமான புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும். 3) பிரிவின் முனைகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும். 4) பெறப்பட்ட மதிப்புகளில் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறியதைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். ஒரு எக்ஸ்ட்ரீம் பயன்பாட்டிற்கான செயல்பாட்டைப் படிப்பது உயர் ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்கள். புள்ளியில் x = x 1 f¢(x 1) = 0 மற்றும் f¢¢(x 1) உள்ளது மற்றும் x 1 புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறங்களில் தொடர்ந்து இருக்கும். தேற்றம்.
f¢(x 1) = 0 எனில், x = x 1 புள்ளியில் f(x) சார்பு f¢¢(x 1) எனில் அதிகபட்சமாக இருக்கும்.<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.
ஆதாரம்.
f¢(x 1) = 0 மற்றும் f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 . ஏனெனில் f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 இல் x குறைந்தபட்ச செயல்பாட்டின் விஷயத்தில், தேற்றம் இதேபோல் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. f¢¢(x) = 0 எனில், முக்கியமான புள்ளியின் தன்மை தெரியவில்லை. அதைத் தீர்மானிக்க மேலும் ஆராய்ச்சி தேவை. ஒரு வளைவின் குவிவு மற்றும் குழிவு. ஊடுருவல் புள்ளிகள். வரையறை.
வளைவு குவிந்துள்ளது வரைஇடைவெளியில் (a, b) அதன் அனைத்து புள்ளிகளும் இந்த இடைவெளியில் அதன் எந்த தொடுகோளுக்கும் கீழே இருந்தால். ஒரு வளைவு மேல்நோக்கி அழைக்கப்படுகிறது குவிந்த, மற்றும் குவிந்த கீழ்நோக்கி எதிர்கொள்ளும் வளைவு அழைக்கப்படுகிறது குழிவான. மேலே உள்ள வரையறையின் விளக்கத்தை படம் காட்டுகிறது. தேற்றம் 1.
இடைவெளியின் எல்லாப் புள்ளிகளிலும் (a, b) f(x) செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் எதிர்மறையாக இருந்தால், வளைவு y = f(x) மேல்நோக்கி குவிந்திருக்கும் (குவிந்த). ஆதாரம்.
x 0 О (a, b) ஐ விடுங்கள். இந்த இடத்தில் வளைவுக்கு ஒரு தொடுகோடு வரைவோம். வளைவு சமன்பாடு: y = f(x); தொடு சமன்பாடு: என்பதை நிரூபிக்க வேண்டும். F(x) - f(x 0): , x 0 க்கான லாக்ரேஞ்ச் தேற்றம் மூலம்< c < x. லக்ரேஞ்ச் தேற்றத்தின்படி x > x 0 மற்றும் x 0 ஐ விடுங்கள்< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 மற்றும் c – x 0 > 0, மற்றும் கூடுதலாக, நிபந்தனையின்படி எனவே, . x ஐ விடுங்கள்< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то அதேபோல இடைவெளியில் (a, b) f¢¢(x) > 0 எனில், வளைவு y=f(x) இடைவெளியில் (a, b) குழிவாக இருக்கும் என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. வரையறை.
வளைவின் குவிந்த பகுதியை குழிவான பகுதியிலிருந்து பிரிக்கும் புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது தொற்று புள்ளி. ஊடுருவல் புள்ளியில் தொடுகோடு வளைவை வெட்டுகிறது என்பது வெளிப்படையானது. தேற்றம் 2.
வளைவை y = f(x) சமன்பாட்டால் வரையறுக்கலாம். இரண்டாவது வழித்தோன்றல் f¢¢(a) = 0 அல்லது f¢¢(a) இல்லை மற்றும் x = a f¢¢(x) புள்ளியைக் கடக்கும்போது அடையாளத்தை மாற்றினால், abscissa x = வளைவின் புள்ளி a என்பது ஒரு ஊடுருவல் புள்ளி. ஆதாரம்.
1) f¢¢(x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >x க்கு 0 > a. பின்னர் மணிக்கு எக்ஸ்< a кривая выпукла, а при x >a வளைவு குழிவானது, அதாவது. புள்ளி x = a – inflection point. 2) xக்கு f¢¢(x) > 0 ஐ விடுங்கள்< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >b - குவிந்த மேல்நோக்கி. பின்னர் x = b என்பது ஊடுருவல் புள்ளி. தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. அறிகுறிகள் செயல்பாடுகளைப் படிக்கும் போது, ஒரு வளைவில் உள்ள ஒரு புள்ளியின் x-ஒருங்கிணைப்பு முடிவிலிக்கு நகரும் போது, வளைவு காலவரையின்றி ஒரு குறிப்பிட்ட நேர்க்கோட்டை நெருங்குகிறது. வரையறை.
நேர் கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது அறிகுறியற்றதுவளைவின் மாறி புள்ளியிலிருந்து இந்த நேர்கோட்டிற்கான தூரம் புள்ளி முடிவிலிக்கு நகரும்போது பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் வளைவு. ஒவ்வொரு வளைவுக்கும் ஒரு அறிகுறி இல்லை என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். அறிகுறிகள் நேராகவோ அல்லது சாய்வாகவோ இருக்கலாம். அறிகுறிகளின் இருப்புக்கான செயல்பாடுகளைப் படிப்பது மிகவும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது மற்றும் செயல்பாட்டின் தன்மை மற்றும் வளைவு வரைபடத்தின் நடத்தை ஆகியவற்றை இன்னும் துல்லியமாக தீர்மானிக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. பொதுவாக, ஒரு வளைவு, காலவரையின்றி அதன் அறிகுறியை நெருங்குகிறது, கீழே உள்ள செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, ஒரு புள்ளியில் அல்ல. வளைவுகளின் அறிகுறிகளைக் கண்டறியும் முறைகளை இன்னும் விரிவாகக் கருதுவோம். செங்குத்து அறிகுறிகள். ஒரு அசிம்ப்டோட்டின் வரையறையிலிருந்து, என்றால் அல்லது அல்லது x = a என்ற நேர்கோடு y = f(x) வளைவின் அறிகுறியாகும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செயல்பாட்டிற்கு, வரி x = 5 ஒரு செங்குத்து அறிகுறியாகும். சாய்ந்த அறிகுறிகள். y = f(x) வளைவு y = kx + b என்ற சாய்ந்த அறிகுறியைக் கொண்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். வளைவின் குறுக்குவெட்டு புள்ளி மற்றும் அசிம்டோட்டிற்கு செங்குத்தாக - எம், பி - இந்த செங்குத்தாக அசிம்டோட்டுடன் வெட்டும் புள்ளியைக் குறிக்கலாம். அசிம்ப்டோட் மற்றும் ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை j எனக் குறிப்போம். ஆக்ஸ் அச்சுக்கு செங்குத்தாக உள்ள MQ ஆனது புள்ளி N இல் அசிம்ப்டோட்டை வெட்டுகிறது. பின்னர் MQ = y என்பது வளைவின் புள்ளியின் ஆர்டினேட், NQ = என்பது அசிம்ப்டோட்டில் உள்ள புள்ளி N இன் ஆர்டினேட் ஆகும். நிபந்தனையின்படி: , ÐNMP = j, . கோணம் j நிலையானது மற்றும் 90 0 க்கு சமமாக இருக்காது பிறகு எனவே, நேர்கோடு y = kx + b என்பது வளைவின் அறிகுறியாகும். இந்த வரியை துல்லியமாக தீர்மானிக்க, k மற்றும் b குணகங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான வழியைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம். இதன் விளைவாக வெளிப்பாட்டில் நாம் x ஐ அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்கிறோம்: ஏனெனில் x®¥, பிறகு பிறகு ஏனெனில் கிடைமட்ட அசிம்ப்டோட்கள் k = 0 க்கான சாய்ந்த அறிகுறிகளின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வு என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். உதாரணமாக. 1) செங்குத்து அறிகுறிகள்: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, எனவே, x = 0 என்பது செங்குத்து அறிகுறியாகும். 2) சாய்ந்த அறிகுறிகள்: எனவே, நேர்கோடு y = x + 2 ஒரு சாய்ந்த அறிகுறியாகும். செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுவோம்: உதாரணமாக.அறிகுறிகளைக் கண்டறிந்து செயல்பாட்டை வரைபடமாக்குங்கள். x = 3 மற்றும் x = -3 கோடுகள் வளைவின் செங்குத்து அறிகுறிகளாகும். சாய்ந்த அறிகுறிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்: y = 0 - கிடைமட்ட அசிம்ப்டோட். உதாரணமாக.அறிகுறிகளைக் கண்டறிந்து செயல்பாட்டை வரைபடமாக்குங்கள் நேர் கோடு x = -2 என்பது வளைவின் செங்குத்து அறிகுறியாகும். சாய்ந்த அறிகுறிகளைக் கண்டுபிடிப்போம். மொத்தத்தில், நேர்கோடு y = x – 4 ஒரு சாய்ந்த அறிகுறியாகும். செயல்பாட்டு ஆய்வு திட்டம் செயல்பாட்டு ஆராய்ச்சி செயல்முறை பல நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது. செயல்பாட்டின் நடத்தை மற்றும் அதன் வரைபடத்தின் தன்மை பற்றிய முழுமையான புரிதலுக்கு, கண்டுபிடிக்க வேண்டியது அவசியம்: 1) செயல்பாட்டின் இருப்பு களம். இந்த கருத்து மதிப்புகளின் டொமைன் மற்றும் ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் ஆகிய இரண்டையும் உள்ளடக்கியது. 2) முறிவு புள்ளிகள். (கிடைத்தால்). 3) அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகள். 4) அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள். 5) ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தில் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்பு. 6) குவிவு மற்றும் குழிவு பகுதிகள். 7) ஊடுருவல் புள்ளிகள் (ஏதேனும் இருந்தால்). 8) அறிகுறிகள் (ஏதேனும் இருந்தால்). 9) வரைபடத்தை உருவாக்குதல். ஒரு உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த திட்டத்தின் பயன்பாட்டைப் பார்ப்போம். உதாரணமாக.செயல்பாட்டை ஆராய்ந்து அதன் வரைபடத்தை உருவாக்கவும். செயல்பாட்டின் இருப்புக்கான களத்தைக் காண்கிறோம். என்பது வெளிப்படையானது வரையறையின் களம்செயல்பாடு என்பது பகுதி (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). இதையொட்டி, நேர்கோடுகள் x = 1, x = -1 என்பது தெளிவாகிறது செங்குத்து அறிகுறிகள்வளைந்த. மதிப்புகளின் வரம்புஇந்த செயல்பாட்டின் இடைவெளி (-¥; ¥) ஆகும். முறிவு புள்ளிகள்செயல்பாடுகள் புள்ளிகள் x = 1, x = -1. கண்டுபிடிக்கிறோம் முக்கியமான புள்ளிகள். செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம் முக்கியமான புள்ளிகள்: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1. செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம் இடைவெளியில் வளைவின் குவிவு மற்றும் குழிவுத்தன்மையை தீர்மானிப்போம். -¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая - < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < 0, y¢¢ >0, குழிவான வளைவு 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < , y¢¢ >0, குழிவான வளைவு < x < ¥, y¢¢ >0, குழிவான வளைவு இடைவெளிகளைக் கண்டறிதல் அதிகரித்து வருகிறதுமற்றும் இறங்குதல்செயல்பாடுகள். இதைச் செய்ய, செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் அறிகுறிகளை இடைவெளியில் தீர்மானிக்கிறோம். -¥ < x < - , y¢ >0, செயல்பாடு அதிகரித்து வருகிறது - < x < -1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает < x < ¥, y¢¢ >0, செயல்பாடு அதிகரித்து வருகிறது x = - என்பது ஒரு புள்ளியாக இருப்பதைக் காணலாம் அதிகபட்சம், மற்றும் புள்ளி x = ஒரு புள்ளி குறைந்தபட்சம். இந்த புள்ளிகளில் செயல்பாட்டு மதிப்புகள் முறையே -3/2 மற்றும் 3/2 க்கு சமம். செங்குத்து பற்றி அறிகுறிகள்ஏற்கனவே மேலே கூறப்பட்டுள்ளது. இப்போது கண்டுபிடிப்போம் சாய்ந்த அறிகுறிகள். மொத்தத்தில், சாய்ந்த அறிகுறியின் சமன்பாடு y = x ஆகும். கட்டலாம் அட்டவணைஅம்சங்கள்: பல மாறிகளின் செயல்பாடுகள்
பல மாறிகளின் செயல்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் விரிவான விளக்கத்திற்கு நம்மை கட்டுப்படுத்துவோம், ஏனெனில் பெறப்பட்ட அனைத்து முடிவுகளும் தன்னிச்சையான எண்ணிக்கையிலான மாறிகளின் செயல்பாடுகளுக்கு செல்லுபடியாகும். வரையறை: ஒரு குறிப்பிட்ட தொகுப்பிலிருந்து பரஸ்பர சுயாதீன எண்களின் (x, y) ஒவ்வொரு ஜோடியும், சில விதிகளின்படி, z மாறியின் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மதிப்புகளுடன் தொடர்புடையதாக இருந்தால், மாறி z இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. வரையறை:
ஒரு ஜோடி எண்கள் (x, y) ஒரு மதிப்பு z உடன் ஒத்திருந்தால், செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது தெளிவற்ற, மற்றும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டதாக இருந்தால் - பலசொற்கள். வரையறை:வரையறையின் களம்செயல்பாடு z என்பது ஜோடிகளின் தொகுப்பாகும் (x, y) இதற்கு z செயல்பாடு உள்ளது. வரையறை:ஒரு புள்ளியின் அக்கம் R ஆரம் M 0 (x 0, y 0) என்பது நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் அனைத்து புள்ளிகளின் (x, y) தொகுப்பாகும் வரையறை:
எண் A அழைக்கப்படுகிறது அளவு F(x, y) சார்பு M(x, y) புள்ளி M 0 (x 0, y 0) க்கு முனைகிறது, ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் e > 0 எனில் எந்தப் புள்ளிக்கும் M என்ற எண் r > 0 இருக்கும் (x, y), இதற்கு நிபந்தனை உண்மை நிபந்தனையும் உண்மை எழுது: வரையறை:
புள்ளி M 0 (x 0, y 0) f(x, y) செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தைச் சேர்ந்ததாக இருக்கட்டும். பின்னர் z = f(x, y) செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது தொடர்ச்சியானபுள்ளி M 0 (x 0, y 0), என்றால் மற்றும் புள்ளி M(x, y) ஒரு தன்னிச்சையான முறையில் M 0 (x 0, y 0) புள்ளியை நோக்கி செல்கிறது. ஏதேனும் ஒரு கட்டத்தில் நிபந்தனை (1) திருப்தி அடையவில்லை என்றால், இந்த புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது முறிவு புள்ளிசெயல்பாடுகள் f(x, y). இது பின்வரும் சந்தர்ப்பங்களில் இருக்கலாம்: 1) z = f(x, y) செயல்பாடு M 0 (x 0, y 0) புள்ளியில் வரையறுக்கப்படவில்லை. 2) வரம்பு இல்லை. 3) இந்த வரம்பு உள்ளது, ஆனால் இது f(x 0 , y 0) க்கு சமமாக இல்லை. சொத்து.
f(x, y, ...) செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு ஒரு மூடிய மற்றும் தொடர்ச்சியாக இருந்தால் வரம்பிற்குட்பட்ட டொமைன் D, இந்த டொமைனில் குறைந்தது ஒரு புள்ளியாவது உள்ளது N(x 0 , y 0 , …), அதாவது மீதமுள்ள புள்ளிகளுக்கு சமத்துவமின்மை உண்மை f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …) அதே போல் புள்ளி N 1 (x 01, y 01, ...), மற்ற எல்லா புள்ளிகளுக்கும் சமத்துவமின்மை உண்மை f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …) பிறகு f(x 0 , y 0 , …) = M – மிக உயர்ந்த மதிப்புசெயல்பாடுகள், மற்றும் f(x 01 , y 01 , ...) = m – மிகச்சிறிய மதிப்பு D டொமைனில் f(x, y, …) செயல்பாடுகள். ஒரு மூடிய மற்றும் வரம்புக்குட்பட்ட டொமைன் D இல் ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு அதன் மிகப்பெரிய மதிப்பை ஒரு முறையும், அதன் சிறிய மதிப்பை ஒரு முறையும் அடையும். சொத்து.
F(x, y, …) சார்பு வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் ஒரு மூடிய வரம்பிற்குட்பட்ட டொமைனில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், M மற்றும் m ஆகியவை முறையே, இந்த டொமைனில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளாக இருந்தால், எந்தப் புள்ளிக்கும் m O ஒரு புள்ளி உள்ளது N 0 (x 0, y 0, …) அதாவது f(x 0, y 0, …) = m. எளிமையாகச் சொன்னால், ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு D டொமைனில் M மற்றும் m இடையே உள்ள அனைத்து இடைநிலை மதிப்புகளையும் எடுக்கும். இந்தச் சொத்தின் விளைவாக M மற்றும் m எண்கள் வெவ்வேறு அடையாளங்களைக் கொண்டிருந்தால், D டொமைனில் செயல்பாடு ஒருமுறையாவது மறைந்துவிடும் என்ற முடிவாக இருக்கலாம். சொத்து.
செயல்பாடு f(x, y, …), மூடிய எல்லைக்குட்பட்ட டொமைன் D இல் தொடர்கிறது, வரையறுக்கப்பட்டஇந்த பிராந்தியத்தில், ஒரு எண் K இருந்தால், பிராந்தியத்தில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் ஏற்றத்தாழ்வு உண்மையாக இருக்கும் சொத்து.
ஒரு செயல்பாடு f(x, y, …) வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் ஒரு மூடிய வரம்புடைய டொமைன் D இல் தொடர்ந்தால், அது சீரான தொடர்ச்சியானஇந்த பகுதியில், அதாவது. எந்த நேர்மறை எண்ணிற்கும் D > 0 என்ற எண் உள்ளது, அதாவது D ஐ விட குறைவான தூரத்தில் அமைந்துள்ள பிராந்தியத்தின் ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகள் (x 1, y 1) மற்றும் (x 2, y 2) சமத்துவமின்மை உள்ளது மேலே உள்ள பண்புகள் ஒரு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் ஒரு மாறியின் செயல்பாடுகளின் பண்புகளைப் போலவே இருக்கும். ஒரு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் பண்புகளைப் பார்க்கவும். வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் செயல்பாடுகளின் வேறுபாடுகள் பல மாறிகள். வரையறை.
z = f(x, y) சார்பு சில டொமைனில் கொடுக்கப்படட்டும். ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி M(x, y) ஐ எடுத்து Dx என்ற மாறியை x ஆக அமைக்கலாம். பின்னர் D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) அளவு அழைக்கப்படுகிறது x இல் செயல்பாட்டின் பகுதி அதிகரிப்பு. நீங்கள் எழுதலாம் பின்னர் அது அழைக்கப்படுகிறது பகுதி வழித்தோன்றல் x இல் z = f(x, y) செயல்பாடுகள். பதவி: y தொடர்பான செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல் இதேபோல் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. வடிவியல் உணர்வுபகுதி வழித்தோன்றல் (சொல்லலாம்) என்பது புள்ளி N 0 (x 0, y 0, z 0) புள்ளியில் y = y 0 மூலம் மேற்பரப்பின் பகுதிக்கு வரையப்பட்ட தொடுகோணத்தின் சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு ஆகும். முழு அதிகரிப்பு மற்றும் முழு வேறுபாடு.
தொடுகோடு விமானம் N மற்றும் N 0 இந்த மேற்பரப்பின் புள்ளிகளாக இருக்கட்டும். NN 0 என்ற நேர்கோட்டை வரைவோம். புள்ளி N 0 வழியாக செல்லும் விமானம் என்று அழைக்கப்படுகிறது தொடுகோடு விமானம் secant NN 0 மற்றும் இந்த விமானம் இடையே உள்ள கோணம் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், தூரம் NN 0 பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் போது மேற்பரப்புக்கு. வரையறை.இயல்பானது N 0 புள்ளியில் உள்ள மேற்பரப்பிற்கு இந்த மேற்பரப்பிற்கான தொடுதளத்திற்கு செங்குத்தாக புள்ளி N 0 வழியாக செல்லும் ஒரு நேர்கோடு. எந்தப் புள்ளியிலும் மேற்பரப்பில் ஒரே ஒரு தொடுகோடு விமானம் இருக்கும் அல்லது அது இல்லை. z = f(x, y) சமன்பாட்டின் மூலம் மேற்பரப்பு கொடுக்கப்பட்டால், அங்கு f(x, y) என்பது M 0 (x 0, y 0) புள்ளியில் வேறுபடக்கூடிய ஒரு செயல்பாடாகும், N 0 புள்ளியில் உள்ள தொடுவானம் ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) உள்ளது மற்றும் சமன்பாடு உள்ளது: இந்த கட்டத்தில் மேற்பரப்புக்கு இயல்பான சமன்பாடு: வடிவியல் உணர்வுபுள்ளியில் (x 0, y 0) இரண்டு மாறிகள் f(x, y) ஒரு செயல்பாட்டின் மொத்த வேறுபாடு என்பது புள்ளியில் இருந்து நகரும் போது (x 0) தொடுவான விமானத்தின் அப்ளிகேட் (z ஆயத்தொகுப்புகள்) அதிகரிப்பு ஆகும். , y 0) புள்ளிக்கு (x 0 + Dx, y 0 +Dу). நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் மொத்த வேறுபாட்டின் வடிவியல் பொருள் ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் வடிவியல் அர்த்தத்தின் இடஞ்சார்ந்த அனலாக் ஆகும். உதாரணமாக.தொடு விமானத்தின் சமன்பாடுகளைக் கண்டறியவும் மற்றும் மேற்பரப்புக்கு இயல்பானது புள்ளி M(1, 1, 1) இல். தொடு விமானம் சமன்பாடு: இயல்பான சமன்பாடு: மொத்த வேறுபாடுகளைப் பயன்படுத்தி தோராயமான கணக்கீடுகள்.
u செயல்பாட்டின் மொத்த வேறுபாடு இதற்கு சமம்: இந்த வெளிப்பாட்டின் சரியான மதிப்பு 1.049275225687319176 ஆகும். உயர் ஆர்டர்களின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள். சில டொமைன் D இல் f(x, y) சார்பு வரையறுக்கப்பட்டால், அதன் பகுதி வழித்தோன்றல்களும் அதே டொமைனில் அல்லது அதன் ஒரு பகுதியில் வரையறுக்கப்படும். இவற்றை டெரிவேட்டிவ்கள் என்று அழைப்போம் முதல் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள். இந்த செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள் இருக்கும் இரண்டாம் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள். இதன் விளைவாக வரும் சமத்துவங்களை வேறுபடுத்துவதைத் தொடர்ந்து, அதிக ஆர்டர்களின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைப் பெறுகிறோம். y = f(x) செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள், இது இடைவெளியில் (a, b) கருதப்படுகிறது. அனைத்து x (x1, b) க்கும் சமத்துவமின்மை f(x1) > f(x) வைத்திருக்கும் இடைவெளியில் (a, b) சேர்ந்த புள்ளி x1 இன் b-அருகில் இருப்பதைக் குறிக்க முடிந்தால், y1 = f1(x1) என்று அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடு அதிகபட்சம் y = f(x) படம் பார்க்கவும். y = f(x) செயல்பாட்டின் அதிகபட்சத்தை அதிகபட்சமாக f(x) மூலம் குறிக்கிறோம். இடைவெளியில் (a, b) சேர்ந்த ஒரு புள்ளி x2 இன் b-அருகில் இருப்பதைக் குறிக்க முடிந்தால், அனைத்து x க்கும் அது O (x2, 6) க்கு சொந்தமானது, x x2 க்கு சமமாக இருக்காது, சமத்துவமின்மை உள்ளது f(x2)< f(x)
, பின்னர் y2= f(x2) என்பது y-f(x) செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்சம் என்று அழைக்கப்படுகிறது (படத்தைப் பார்க்கவும்). அதிகபட்சத்தைக் கண்டறிவதற்கான உதாரணத்திற்கு, பின்வரும் வீடியோவைப் பார்க்கவும் y = f(x) செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்சத்தை நிமிடம் f(x) ஆல் குறிக்கிறோம். வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒரு செயல்பாடு அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம் y = f(x) அழைக்கப்பட்டதுஅதன் மதிப்பு, கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு போதுமான அளவு நெருக்கமான மற்றும் அதிலிருந்து வேறுபட்ட புள்ளிகளில் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட மற்ற எல்லா மதிப்புகளையும் விட அதிகமாக (குறைவாக) உள்ளது. குறிப்பு 1. அதிகபட்ச செயல்பாடு, சமத்துவமின்மையால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு கடுமையான அதிகபட்சம் என்று அழைக்கப்படுகிறது; கடுமையான அல்லாத அதிகபட்சம் சமத்துவமின்மையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது f(x1) > = f(x2) குறிப்பு 2. உள்ளூர் தன்மையைக் கொண்டுள்ளது (இவை தொடர்புடைய புள்ளியின் போதுமான சிறிய சுற்றுப்புறத்தில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகள்); ஒரு செயல்பாட்டின் தனிப்பட்ட குறைந்தபட்சம் அதே செயல்பாட்டின் அதிகபட்சத்தை விட அதிகமாக இருக்கலாம் ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் எக்ஸ்ட்ரம் எனப்படும்
. எக்ஸ்ட்ரீமா இன் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்க கண்டறியப்பட்டுள்ளது லத்தீன் தீவிரம் என்றால் "தீவிரம்"
பொருள். உச்சநிலையை அடையும் வாதம் x இன் மதிப்பு தீவிர புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனை பின்வரும் தேற்றத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. தேற்றம். வேறுபட்ட செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளியில், அதன் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். தேற்றம் ஒரு எளிய வடிவியல் பொருளைக் கொண்டுள்ளது: தொடர்புடைய புள்ளியில் உள்ள வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது.
அல்லது செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடு. ஒரு செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேடிவ் ஒரு நிலையான மதிப்பு வரை தீர்மானிக்கப்படுகிறது.
, இங்கே ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி உள்ளது.
.
, மற்றும் இந்த செயல்பாடு தொடர்ச்சியானது மற்றும் சமத்துவம் உண்மை 
.
எங்கே .
. ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் வரையறையை நினைவுபடுத்தி, இல் உள்ள வரம்பிற்குச் சென்றால், நமக்குக் கிடைக்கும். அதாவது, இது செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களில் ஒன்றாகும் y = f(x)பிரிவில்
. இவ்வாறு, அனைத்து ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பு F(x)என எழுதலாம் 
, எங்கே உடன்- தன்னிச்சையான மாறிலி.
, எனவே,. கணக்கிடும்போது இந்த முடிவைப் பயன்படுத்துவோம் F(b): , அது 
. இந்த சமத்துவம் நிரூபிக்கக்கூடிய நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தை அளிக்கிறது .
. இந்த குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம் வடிவம் பெறுகிறது 
.
. இதற்கான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் எடுத்துக்கொள்வோம் C=0: .
.செவ்வக எஸ்.கே. செயல்பாடு அளவுருவாக குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது Polyarnaya எஸ்.கே.
விமான புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளின் கணக்கீடு
விமான வளைவின் வில் நீளத்தைக் கணக்கிடுதல்
புரட்சியின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல்
வேறுபட்ட சமன்பாடு அல்ல.
ஒரு கணித ஊசலின் நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டின் தோராயமாகக் கருதலாம் 
சிறிய வீச்சுகளின் விஷயத்தில், எப்போது ஒய்≈ பாவம் ஒய்.
, செயல்பாடு: வரையறை
வழித்தோன்றல் மற்றும் அதன் பங்கு
வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?
செயல்பாட்டைப் படிப்பதற்கான முறைகள்
வேறுபாடு விதிகள்
தீவிர புள்ளிகள்
செயல்பாட்டு மதிப்புகள் மற்றும் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள்
இந்த வழக்குகளில் எவ்வாறு செயல்படுவது? அதிகபட்ச/குறைந்தபட்ச புள்ளியைக் கண்டறியவும்
அது சரி, முதலில் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது, பின்னர் குறைகிறது - இது அதிகபட்ச புள்ளி!
பதில்: −15 
பதில்: −2 செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய/சிறிய மதிப்பைக் கண்டறியவும்
ஒய் ஒய்
மணிக்கு
. அதன் சாய்ந்த அறிகுறி y = x ஆகும்.
.
, ஏனெனில் b = const, பின்னர் 
.
, எனவே,
.
, அந்த 
, எனவே,
.
.
.
.
(1)
.
.
குறைந்தபட்ச செயல்பாடுகள்
இதன் விளைவாக, செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச (குறைந்தபட்சம்) அழைக்கப்படுகிறது உள்ளூர் அதிகபட்சம்(உள்ளூர் குறைந்தபட்சம்) முழுமையான அதிகபட்ச (குறைந்தபட்சம்) க்கு மாறாக - செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தில் மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பு.
