தவறான பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது. பின்னங்கள் கொண்ட செயல்கள்

வீடு / அன்பு

இந்த பாடத்தில், வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் இயற்கணித பின்னங்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் ஆகியவற்றைக் கருத்தில் கொள்வோம். வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பொதுவான பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது மற்றும் கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இதைச் செய்ய, பின்னங்கள் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும். இயற்கணித பின்னங்கள் அதே விதிகளைப் பின்பற்றுகின்றன என்று மாறிவிடும். அதே நேரத்தில், இயற்கணித பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு எவ்வாறு குறைப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். 8 ஆம் வகுப்பு பாடத்தில் வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கூட்டுவதும் கழிப்பதும் மிக முக்கியமான மற்றும் கடினமான தலைப்புகளில் ஒன்றாகும். மேலும், இந்த தலைப்பு அல்ஜீப்ரா பாடத்தின் பல தலைப்புகளில் காணப்படும், இது நீங்கள் எதிர்காலத்தில் படிக்கும். பாடத்தின் ஒரு பகுதியாக, வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் இயற்கணித பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகளைப் படிப்போம், அத்துடன் பல பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

சாதாரண பின்னங்களுக்கு எளிமையான உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 1பின்னங்களைச் சேர்: .

தீர்வு:

பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கான விதியை நினைவில் கொள்க. தொடங்குவதற்கு, பின்னங்கள் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு குறைக்கப்பட வேண்டும். சாதாரண பின்னங்களின் பொதுவான வகுத்தல் மீச்சிறு பொது(எல்சிஎம்) அசல் பிரிவின்.

வரையறை

இரண்டு எண்களாலும் வகுபடும் சிறிய இயற்கை எண் மற்றும் .

LCM ஐக் கண்டுபிடிக்க, பிரிவினைகளை முதன்மைக் காரணிகளாகச் சிதைப்பது அவசியம், பின்னர் இரு பிரிவுகளின் விரிவாக்கத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள அனைத்து முதன்மை காரணிகளையும் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

; . பின்னர் LCM எண்களில் இரண்டு 2கள் மற்றும் இரண்டு 3கள் இருக்க வேண்டும்: .

பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறிந்த பிறகு, ஒவ்வொரு பின்னமும் ஒரு கூடுதல் காரணியைக் கண்டறிவது அவசியம் (உண்மையில், பொதுவான வகுப்பினை தொடர்புடைய பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுக்கவும்).

பின்னர் ஒவ்வொரு பின்னமும் அதன் விளைவாக வரும் கூடுதல் காரணியால் பெருக்கப்படுகிறது. முந்தைய பாடங்களில் சேர்க்க மற்றும் கழிக்க கற்றுக்கொண்ட அதே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைப் பெறுகிறோம்.

நாங்கள் பெறுகிறோம்: .

பதில்:.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் இயற்கணித பின்னங்களைச் சேர்ப்பதை இப்போது கவனியுங்கள். முதலில் எண்களைக் கொண்ட பின்னங்களைக் கவனியுங்கள்.

உதாரணம் 2பின்னங்களைச் சேர்: .

தீர்வு:

தீர்வு அல்காரிதம் முந்தைய உதாரணத்திற்கு முற்றிலும் ஒத்திருக்கிறது. இந்த பின்னங்களுக்கு ஒரு பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது: மேலும் அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் கூடுதல் காரணிகள்.

பதில்:.

எனவே உருவாக்குவோம் வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் இயற்கணித பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் அல்காரிதம்:

1. பின்னங்களின் சிறிய பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறியவும்.

2. ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணிகளைக் கண்டறியவும் (பொது வகுப்பினை இந்தப் பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுப்பதன் மூலம்).

3. பொருத்தமான கூடுதல் காரணிகளால் எண்களை பெருக்கவும்.

4. ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைக் கூட்டுதல் மற்றும் கழித்தல் விதிகளைப் பயன்படுத்தி பின்னங்களைச் சேர்க்கவும் அல்லது கழிக்கவும்.

எழுத்துப்பூர்வ வெளிப்பாடுகள் உள்ள வகுப்பில் உள்ள பின்னங்களைக் கொண்ட ஒரு உதாரணத்தை இப்போது கவனியுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 3பின்னங்களைச் சேர்: .

தீர்வு:

இரண்டு பிரிவுகளிலும் உள்ள நேரடி வெளிப்பாடுகள் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால், நீங்கள் எண்களுக்கான பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறிய வேண்டும். இறுதிப் பொது வகுப்பானது இப்படி இருக்கும்: . எனவே இந்த உதாரணத்திற்கான தீர்வு:

பதில்:.

எடுத்துக்காட்டு 4பின்னங்களை கழிக்கவும்: .

தீர்வு:

ஒரு பொதுவான வகுப்பினைத் தேர்ந்தெடுக்கும் போது உங்களால் "ஏமாற்ற" முடியாவிட்டால் (நீங்கள் அதை காரணியாக்கவோ அல்லது சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தவோ முடியாது), பின்னர் நீங்கள் இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பாக எடுக்க வேண்டும்.

பதில்:.

பொதுவாக, இத்தகைய உதாரணங்களைத் தீர்க்கும் போது, பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டுபிடிப்பதே மிகவும் கடினமான பணியாகும்.

இன்னும் சிக்கலான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 5எளிமையாக்கு: .

தீர்வு:

ஒரு பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறியும் போது, நீங்கள் முதலில் அசல் பின்னங்களின் வகுப்பினைக் காரணியாக்க முயற்சிக்க வேண்டும் (பொது வகுப்பினை எளிமைப்படுத்த).

இந்த குறிப்பிட்ட வழக்கில்:

பின்னர் பொதுவான வகுப்பினைத் தீர்மானிப்பது எளிது: .

கூடுதல் காரணிகளை நாங்கள் தீர்மானித்து இந்த உதாரணத்தை தீர்க்கிறோம்:

பதில்:.

இப்போது வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகளை சரிசெய்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 6எளிமையாக்கு: .

தீர்வு:

பதில்:.

எடுத்துக்காட்டு 7எளிமையாக்கு: .

தீர்வு:

பதில்:.

இரண்டு அல்ல, மூன்று பின்னங்கள் சேர்க்கப்படும் ஒரு உதாரணத்தை இப்போது கவனியுங்கள் (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, கூடுதல் பின்னங்களுக்கான கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் விதிகள் அப்படியே இருக்கும்).

எடுத்துக்காட்டு 8எளிமையாக்கு: .

சாதாரண பின்னங்களுக்கு எளிமையான உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 1பின்னங்களைச் சேர்: .

தீர்வு:

வரையறை

இரண்டு எண்களாலும் வகுபடும் சிறிய இயற்கை எண் மற்றும் .

; . பின்னர் LCM எண்களில் இரண்டு 2கள் மற்றும் இரண்டு 3கள் இருக்க வேண்டும்: .

நாங்கள் பெறுகிறோம்: .

பதில்:.

உதாரணம் 2பின்னங்களைச் சேர்: .

தீர்வு:

பதில்:.

1. பின்னங்களின் சிறிய பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறியவும்.

3. பொருத்தமான கூடுதல் காரணிகளால் எண்களை பெருக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 3பின்னங்களைச் சேர்: .

தீர்வு:

பதில்:.

எடுத்துக்காட்டு 4பின்னங்களை கழிக்கவும்: .

தீர்வு:

பதில்:.

இன்னும் சிக்கலான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 5எளிமையாக்கு: .

தீர்வு:

இந்த குறிப்பிட்ட வழக்கில்:

பின்னர் பொதுவான வகுப்பினைத் தீர்மானிப்பது எளிது: .

கூடுதல் காரணிகளை நாங்கள் தீர்மானித்து இந்த உதாரணத்தை தீர்க்கிறோம்:

பதில்:.

எடுத்துக்காட்டு 6எளிமையாக்கு: .

தீர்வு:

பதில்:.

எடுத்துக்காட்டு 7எளிமையாக்கு: .

தீர்வு:

பதில்:.

எடுத்துக்காட்டு 8எளிமையாக்கு: .

பகுதியளவு வெளிப்பாடுகள் ஒரு குழந்தைக்கு புரிந்துகொள்வது கடினம். பெரும்பாலான மக்களுக்கு சிரமங்கள் உள்ளன. "முழு எண்களுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்" என்ற தலைப்பைப் படிக்கும் போது, குழந்தை ஒரு மயக்கத்தில் விழுகிறது, பணியைத் தீர்ப்பது கடினம். பல எடுத்துக்காட்டுகளில், ஒரு செயலைச் செய்வதற்கு முன், தொடர்ச்சியான கணக்கீடுகள் செய்யப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்களை மாற்றவும் அல்லது முறையற்ற பின்னத்தை சரியான ஒன்றாக மாற்றவும்.

குழந்தைக்கு தெளிவாக விளக்கவும். மூன்று ஆப்பிள்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், அவற்றில் இரண்டு முழுதாக இருக்கும், மூன்றாவது 4 பகுதிகளாக வெட்டப்படும். வெட்டப்பட்ட ஆப்பிளில் இருந்து ஒரு துண்டுகளை பிரித்து, மீதமுள்ள மூன்றை இரண்டு முழு பழங்களுக்கு அடுத்ததாக வைக்கவும். ஒரு பக்கத்தில் ¼ ஆப்பிள்களும் மறுபுறம் 2 ¾ பழங்களும் கிடைக்கும். நாம் அவற்றை இணைத்தால், மூன்று முழு ஆப்பிள்கள் கிடைக்கும். 2 ¾ ஆப்பிள்களை ¼ ஆல் குறைக்க முயற்சிப்போம், அதாவது இன்னும் ஒரு துண்டை அகற்றினால் 2 2/4 ஆப்பிள்கள் கிடைக்கும்.

முழு எண்களை உள்ளடக்கிய பின்னங்கள் கொண்ட செயல்களை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்:

முதலில், ஒரு பொதுவான வகுப்பினருடன் பின்ன வெளிப்பாடுகளுக்கான கணக்கீட்டு விதியை நினைவு கூர்வோம்:

முதல் பார்வையில், எல்லாம் எளிதானது மற்றும் எளிமையானது. ஆனால் இது மாற்றம் தேவையில்லாத வெளிப்பாடுகளுக்கு மட்டுமே பொருந்தும்.

வகுப்புகள் வித்தியாசமாக இருக்கும் வெளிப்பாட்டின் மதிப்பை எவ்வாறு கண்டறிவது

சில பணிகளில், பிரிவுகள் வேறுபட்டிருக்கும் வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறிவது அவசியம். ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கைக் கவனியுங்கள்:
3 2/7+6 1/3

இந்த வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும், இதற்காக இரண்டு பின்னங்களுக்கு ஒரு பொதுவான வகுப்பினைக் காணலாம்.

எண்கள் 7 மற்றும் 3 க்கு, இது 21. முழு எண் பகுதிகளை அப்படியே விட்டுவிட்டு, பகுதியளவு பகுதிகளை 21 ஆகக் குறைக்கிறோம், இதற்காக முதல் பகுதியை 3 ஆல், இரண்டாவது பகுதியை 7 ஆல் பெருக்குகிறோம்:
6/21+7/21, முழு பகுதிகளும் மாற்றத்திற்கு உட்பட்டவை அல்ல என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள். இதன் விளைவாக, ஒரு வகுப்பில் இரண்டு பின்னங்களைப் பெற்று அவற்றின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடுகிறோம்:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
கூட்டலின் விளைவாக ஏற்கனவே ஒரு முழு எண் பகுதியைக் கொண்ட தவறான பின்னமாக இருந்தால் என்ன செய்வது:
2 1/3+3 2/3
இந்த வழக்கில், முழு எண் பாகங்கள் மற்றும் பகுதியளவு பகுதிகளைச் சேர்க்கிறோம், நாம் பெறுகிறோம்:
5 3/3, உங்களுக்குத் தெரியும், 3/3 ஒன்று, எனவே 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

தொகையைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம், எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது, கழித்தலை பகுப்பாய்வு செய்வோம்:

சொல்லப்பட்ட எல்லாவற்றிலிருந்தும், கலப்பு எண்களின் செயல்பாட்டு விதி பின்வருமாறு, இது போல் தெரிகிறது:

ஒரு பகுதியின் வெளிப்பாட்டிலிருந்து ஒரு முழு எண்ணைக் கழிக்க வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டால், இரண்டாவது எண்ணை ஒரு பின்னமாகக் குறிப்பிட வேண்டிய அவசியமில்லை, முழு எண் பாகங்களில் மட்டுமே செயல்பட போதுமானது.

வெளிப்பாடுகளின் மதிப்பை சொந்தமாக கணக்கிட முயற்சிப்போம்:

"m" என்ற எழுத்தின் கீழ் உள்ள உதாரணத்தை உற்று நோக்கலாம்:

4 5/11-2 8/11, முதல் பின்னத்தின் எண் இரண்டாவது பகுதியை விட குறைவாக உள்ளது. இதைச் செய்ய, முதல் பகுதியிலிருந்து ஒரு முழு எண்ணை எடுத்துக்கொள்கிறோம்.
3 5/11+11/11=3 முழு 16/11, முதல் பின்னத்தில் இருந்து இரண்டாவது கழிக்கவும்:
3 16/11-2 8/11=1 முழு 8/11

பணியை முடிக்கும்போது கவனமாக இருங்கள், முறையற்ற பின்னங்களை கலவையாக மாற்ற மறக்காதீர்கள், முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்தவும். இதைச் செய்ய, எண் மதிப்பை வகுப்பின் மதிப்பால் வகுக்க வேண்டியது அவசியம், பின்னர் என்ன நடந்தது என்பது முழு எண் பகுதியின் இடத்தைப் பெறுகிறது, மீதமுள்ளவை எண்களாக இருக்கும், எடுத்துக்காட்டாக:

19/4=4 ¾, சரிபார்க்கவும்: 4*4+3=19, வகுப்பில் 4 மாறாமல் உள்ளது.

சுருக்கமாக:

பின்னங்கள் தொடர்பான பணியைத் தொடர்வதற்கு முன், அது எந்த வகையான வெளிப்பாடு, தீர்வு சரியாக இருக்க, பின்னத்தில் என்ன மாற்றங்கள் செய்யப்பட வேண்டும் என்பதை பகுப்பாய்வு செய்வது அவசியம். மேலும் பகுத்தறிவு தீர்வுகளைத் தேடுங்கள். கடினமான வழியில் செல்ல வேண்டாம். அனைத்து செயல்களையும் திட்டமிடுங்கள், முதலில் வரைவு பதிப்பில் முடிவு செய்யுங்கள், பின்னர் பள்ளி நோட்புக்கிற்கு மாற்றவும்.

பகுதி வெளிப்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது குழப்பத்தைத் தவிர்க்க, வரிசை விதியைப் பின்பற்றுவது அவசியம். அவசரப்படாமல் எல்லாவற்றையும் கவனமாக முடிவு செய்யுங்கள்.

வேதியியல், இயற்பியல் மற்றும் உயிரியல் போன்ற துறைகளில் காணப்படும் மிக முக்கியமான அறிவியல்களில் ஒன்று, கணிதம் ஆகும். இந்த அறிவியலின் ஆய்வு சில மன குணங்களை வளர்க்கவும், கவனம் செலுத்தும் திறனை மேம்படுத்தவும் உங்களை அனுமதிக்கிறது. "கணிதம்" பாடத்தில் சிறப்பு கவனம் செலுத்த வேண்டிய தலைப்புகளில் ஒன்று பின்னங்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் ஆகும். பல மாணவர்கள் படிக்க முடியாமல் சிரமப்படுகின்றனர். இந்த தலைப்பை நன்கு புரிந்துகொள்ள எங்கள் கட்டுரை உதவும்.

பிரிவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது

பின்னங்கள் நீங்கள் பல்வேறு செயல்களைச் செய்யக்கூடிய அதே எண்கள். முழு எண்களிலிருந்து அவற்றின் வேறுபாடு ஒரு வகுப்பின் முன்னிலையில் உள்ளது. அதனால்தான் பின்னங்களுடன் செயல்களைச் செய்யும்போது, அவற்றின் சில அம்சங்களையும் விதிகளையும் நீங்கள் படிக்க வேண்டும். எளிமையான வழக்கு என்பது சாதாரண பின்னங்களின் கழித்தல் ஆகும், அவற்றின் பிரிவுகள் ஒரே எண்ணாக குறிப்பிடப்படுகின்றன. உங்களுக்கு ஒரு எளிய விதி தெரிந்தால், இந்த செயலைச் செய்வது கடினம் அல்ல:

ஒரு பின்னத்திலிருந்து இரண்டாவது பகுதியைக் கழிக்க, குறைக்கப்பட்ட பின்னத்தின் எண்ணிலிருந்து கழிக்க வேண்டிய பின்னத்தின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும். இந்த எண்ணை வேறுபாட்டின் எண்ணிக்கையில் எழுதுகிறோம், மேலும் வகுப்பினை அப்படியே விடுகிறோம்: k / m - b / m = (k-b) / m.

பிரிவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

குறைக்கப்பட்ட பின்னம் "7" இன் எண்ணிலிருந்து கழித்த பின்னம் "3" இன் எண்ணைக் கழித்தால், நமக்கு "4" கிடைக்கும். இந்த எண்ணை நாங்கள் பதிலின் எண்ணிக்கையில் எழுதுகிறோம், மேலும் முதல் மற்றும் இரண்டாவது பின்னங்களின் வகுப்பில் இருந்த அதே எண்ணை வகுப்பில் வைக்கிறோம் - "19".

கீழே உள்ள படம் இன்னும் சில உதாரணங்களைக் காட்டுகிறது.

மிகவும் சிக்கலான உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

"3", "8", "2", "7" - குறைக்கப்பட்ட பின்னம் "29" இன் எண்ணிலிருந்து அனைத்து அடுத்தடுத்த பின்னங்களின் எண்களையும் கழிப்பதன் மூலம். இதன் விளைவாக, "9" என்ற முடிவைப் பெறுகிறோம், அதை நாம் பதிலின் எண்ணில் எழுதுகிறோம், மேலும் இந்த அனைத்து பின்னங்களின் வகுப்பிலும் உள்ள எண்ணை வகுப்பில் எழுதுகிறோம் - "47".

ஒரே வகுப்பில் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

சாதாரண பின்னங்களின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் அதே கொள்கையின்படி மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்க்க, நீங்கள் எண்களைச் சேர்க்க வேண்டும். இதன் விளைவாக வரும் எண்ணானது கூட்டுத்தொகையின் எண்ணாகும், மேலும் வகுப்பானது அப்படியே இருக்கும்: k/m + b/m = (k + b)/m.

ஒரு எடுத்துக்காட்டில் இது எப்படி இருக்கிறது என்று பார்ப்போம்:

1/4 + 2/4 = 3/4.

பின்னத்தின் முதல் காலத்தின் எண் - "1" - பின்னத்தின் இரண்டாவது காலத்தின் எண் - "2" ஐச் சேர்க்கிறோம். முடிவு - "3" - தொகையின் எண்ணிக்கையில் எழுதப்பட்டுள்ளது, மேலும் பிரிவுகளில் இருந்ததைப் போலவே வகுத்தல் - "4".

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் மற்றும் அவற்றின் கழித்தல்

ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களைக் கொண்ட செயலை நாங்கள் ஏற்கனவே கருத்தில் கொண்டுள்ளோம். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எளிய விதிகளை அறிந்து, அத்தகைய உதாரணங்களைத் தீர்ப்பது மிகவும் எளிதானது. ஆனால் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களைக் கொண்டு ஒரு செயலைச் செய்ய வேண்டுமானால் என்ன செய்வது? பல உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்கள் இதுபோன்ற உதாரணங்களால் குழப்பமடைந்துள்ளனர். ஆனால் இங்கே கூட, தீர்வின் கொள்கை உங்களுக்குத் தெரிந்தால், எடுத்துக்காட்டுகள் இனி உங்களுக்கு கடினமாக இருக்காது. இங்கே ஒரு விதி உள்ளது, இது இல்லாமல் அத்தகைய பின்னங்களின் தீர்வு வெறுமனே சாத்தியமற்றது.

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களைக் கழிக்க, அவை அதே சிறிய வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்.

இதை எப்படி செய்வது என்பது பற்றி இன்னும் விரிவாகப் பேசுவோம்.

பின்னம் சொத்து

பல பின்னங்களை ஒரே வகுப்பிற்குக் குறைக்க, நீங்கள் பின்னத்தின் முக்கிய சொத்தை கரைசலில் பயன்படுத்த வேண்டும்: எண் மற்றும் வகுப்பினை ஒரே எண்ணால் வகுத்தல் அல்லது பெருக்கிய பிறகு, கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு சமமான பகுதியைப் பெறுவீர்கள்.

எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, பின்னம் 2/3 ஆனது "6", "9", "12" போன்ற பிரிவுகளைக் கொண்டிருக்கலாம், அதாவது, "3" இன் பெருக்கமான எந்த எண்ணைப் போலவும் இருக்கலாம் எண் மற்றும் வகுப்பினை "2" ஆல் பெருக்கினால், நமக்கு 4/6 இன் பின்னம் கிடைக்கும். அசல் பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை "3" ஆல் பெருக்கினால், நமக்கு 6/9 கிடைக்கும், மேலும் "4" எண்ணுடன் இதேபோன்ற செயலைச் செய்தால், 8/12 கிடைக்கும். ஒரு சமன்பாட்டில், இதை இவ்வாறு எழுதலாம்:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

ஒரே வகுப்பிற்கு பல பின்னங்களை எவ்வாறு கொண்டு வருவது

பல பின்னங்களை ஒரே வகுப்பிற்கு எவ்வாறு குறைப்பது என்பதைக் கவனியுங்கள். எடுத்துக்காட்டாக, கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள பின்னங்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். அவை அனைத்திற்கும் எந்த எண் வகுப்பாக மாறும் என்பதை முதலில் நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும். அதை எளிதாக்க, கிடைக்கக்கூடிய பிரிவுகளை காரணிகளாக சிதைப்போம்.

பின்னம் 1/2 மற்றும் பின்னம் 2/3 ஆகியவற்றின் வகுப்பினை காரணியாக்க முடியாது. 7/9 இன் வகுப்பில் இரண்டு காரணிகள் 7/9 = 7/(3 x 3), பின்னம் 5/6 = 5/(2 x 3) இந்த நான்கு பின்னங்களுக்கும் எந்த காரணிகள் சிறியதாக இருக்கும் என்பதை இப்போது நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும். முதல் பின்னம் வகுப்பில் “2” என்ற எண்ணைக் கொண்டிருப்பதால், அது அனைத்துப் பிரிவுகளிலும் இருக்க வேண்டும் என்று அர்த்தம், 7/9 என்ற பின்னத்தில் இரண்டு மும்மடங்குகள் உள்ளன, அதாவது அவை வகுப்பிலும் இருக்க வேண்டும். மேற்கூறியவற்றின் அடிப்படையில், வகுத்தல் மூன்று காரணிகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்: 3, 2, 3 மற்றும் 3 x 2 x 3 = 18 க்கு சமம்.

முதல் பகுதியைக் கவனியுங்கள் - 1/2. அதன் வகுப்பில் "2" உள்ளது, ஆனால் ஒரு "3" இல்லை, ஆனால் இரண்டு இருக்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, நாம் வகுப்பினை இரண்டு மும்மடங்காகப் பெருக்குகிறோம், ஆனால், பின்னத்தின் சொத்தின்படி, நாம் எண்ணை இரண்டு மும்மடங்காகப் பெருக்க வேண்டும்:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

இதேபோல், மீதமுள்ள பின்னங்களுடன் செயல்களைச் செய்கிறோம்.

2/3 - ஒன்று மூன்று மற்றும் ஒன்று இரண்டு வகுப்பில் இல்லை:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
7/9 அல்லது 7/(3 x 3) - வகுப்பில் இரண்டு இல்லை:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
5/6 அல்லது 5/(2 x 3) - வகுப்பில் மூன்று மடங்கு இல்லை:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

எல்லாம் சேர்ந்து இது போல் தெரிகிறது:

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது மற்றும் சேர்ப்பது

மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்க்க அல்லது கழிக்க, அவை ஒரே வகுப்பில் குறைக்கப்பட வேண்டும், பின்னர் ஏற்கனவே விவரிக்கப்பட்டுள்ள அதே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான விதிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

இதை ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் கவனியுங்கள்: 4/18 - 3/15.

18 மற்றும் 15 இன் மடங்குகளைக் கண்டறிதல்:

எண் 18 3 x 2 x 3 ஐக் கொண்டுள்ளது.
எண் 15 5 x 3 ஐக் கொண்டுள்ளது.
பொதுவான மடங்கு பின்வரும் காரணிகளைக் கொண்டிருக்கும் 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

வகுத்தல் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பிறகு, ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் வித்தியாசமாக இருக்கும் ஒரு காரணியைக் கணக்கிடுவது அவசியம், அதாவது, வகுப்பினை மட்டுமல்ல, எண்ணையும் பெருக்க வேண்டிய எண். இதைச் செய்ய, கூடுதல் காரணிகளைத் தீர்மானிக்க வேண்டிய பின்னத்தின் வகுப்பினால் நாம் கண்டறிந்த எண்ணை (பொதுவான பல) வகுக்கிறோம்.

90 ஐ 15 ஆல் வகுத்தல். இதன் விளைவாக வரும் எண் "6" 3/15க்கான பெருக்கியாக இருக்கும்.
90 ஐ 18 ஆல் வகுத்தல். இதன் விளைவாக வரும் எண் "5" 4/18க்கான பெருக்கியாக இருக்கும்.

எங்கள் தீர்வின் அடுத்த படி, ஒவ்வொரு பின்னத்தையும் "90" என்ற வகுப்பிற்கு கொண்டு வர வேண்டும்.

இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதை நாங்கள் ஏற்கனவே விவாதித்தோம். ஒரு எடுத்துக்காட்டில் இது எவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது என்பதைப் பார்ப்போம்:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

சிறிய எண்களைக் கொண்ட பின்னங்கள் என்றால், கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போல, பொதுவான வகுப்பினை நீங்கள் தீர்மானிக்கலாம்.

இதேபோல் உற்பத்தி மற்றும் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டது.

கழித்தல் மற்றும் முழு எண் பாகங்கள் கொண்டவை

பின்னங்களின் கழித்தல் மற்றும் அவற்றின் கூட்டல், நாங்கள் ஏற்கனவே விரிவாக பகுப்பாய்வு செய்துள்ளோம். ஆனால் பின்னத்தில் முழு எண் பகுதி இருந்தால் எப்படி கழிப்பது? மீண்டும், சில விதிகளைப் பயன்படுத்துவோம்:

முழு எண் பகுதியைக் கொண்ட அனைத்து பின்னங்களையும் முறையற்றவற்றிற்கு மாற்றவும். எளிமையான வார்த்தைகளில், முழு பகுதியையும் அகற்றவும். இதைச் செய்ய, முழு எண் பகுதியின் எண்ணிக்கை பின்னத்தின் வகுப்பால் பெருக்கப்படுகிறது, இதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்பு எண்களில் சேர்க்கப்படுகிறது. இந்த செயல்களுக்குப் பிறகு பெறப்படும் எண் தவறான பின்னத்தின் எண்ணாகும். வகுத்தல் மாறாமல் உள்ளது.
பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டிருந்தால், அவை ஒரே மாதிரியாகக் குறைக்கப்பட வேண்டும்.
ஒரே வகுப்பினருடன் கூட்டல் அல்லது கழித்தல் செய்யவும்.
தவறான பகுதியைப் பெறும்போது, முழுப் பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

முழு எண் பகுதிகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்க்க மற்றும் கழிக்க மற்றொரு வழி உள்ளது. இதற்காக, செயல்கள் முழு எண் பகுதிகளுடன் தனித்தனியாகவும், பின்னங்களுடன் தனித்தனியாகவும் செய்யப்படுகின்றன, மேலும் முடிவுகள் ஒன்றாக பதிவு செய்யப்படுகின்றன.

மேலே உள்ள உதாரணம் ஒரே வகுப்பினைக் கொண்ட பின்னங்களைக் கொண்டுள்ளது. பிரிவுகள் வேறுபட்டால், அவை ஒரே மாதிரியாகக் குறைக்கப்பட வேண்டும், பின்னர் எடுத்துக்காட்டில் காட்டப்பட்டுள்ள படிகளைப் பின்பற்றவும்.

முழு எண்ணிலிருந்து பின்னங்களைக் கழித்தல்

பின்னங்களுடனான செயல்களின் வகைகளில் ஒன்று, முதல் பார்வையில் இருந்து பின்னம் கழிக்கப்பட வேண்டும், அத்தகைய உதாரணத்தை தீர்ப்பது கடினம். இருப்பினும், இங்கே எல்லாம் மிகவும் எளிது. அதைத் தீர்க்க, ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னமாக மாற்றுவது அவசியம், மேலும் கழிக்கப்பட வேண்டிய பின்னத்தில் உள்ள அத்தகைய வகுப்போடு. அடுத்து, அதே வகுப்பினருடன் கழிப்பதைப் போன்ற ஒரு கழிப்பைச் செய்கிறோம். உதாரணமாக, இது போல் தெரிகிறது:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

இந்த கட்டுரையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள பின்னங்களின் கழித்தல் (கிரேடு 6) மிகவும் சிக்கலான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படையாகும், அவை அடுத்தடுத்த வகுப்புகளில் கருதப்படுகின்றன. இந்தத் தலைப்பைப் பற்றிய அறிவு செயல்பாடுகள், வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் பலவற்றைத் தீர்க்க பின்னர் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எனவே, மேலே விவாதிக்கப்பட்ட பின்னங்களுடன் செயல்களைப் புரிந்துகொள்வதும் புரிந்துகொள்வதும் மிகவும் முக்கியம்.

§ 87. பின்னங்களின் சேர்த்தல்.

பின்னங்களைச் சேர்ப்பது முழு எண்களைச் சேர்ப்பதற்கு பல ஒற்றுமைகளைக் கொண்டுள்ளது. பின்னங்களைச் சேர்ப்பது என்பது பல கொடுக்கப்பட்ட எண்கள் (விதிமுறைகள்) ஒரு எண்ணாக (தொகை) இணைக்கப்பட்டிருப்பதைக் கொண்ட ஒரு செயலாகும், இதில் அனைத்து அலகுகள் மற்றும் சொற்களின் அலகுகளின் பின்னங்கள் உள்ளன.

மூன்று வழக்குகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்:

1. ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்.
2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்.
3. கலப்பு எண்களைச் சேர்த்தல்.

1. ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்.

ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்: 1 / 5 + 2 / 5 .

AB பிரிவை (படம் 17) எடுத்து, அதை ஒரு யூனிட்டாக எடுத்து 5 சம பாகங்களாகப் பிரிக்கவும், பிறகு இந்தப் பிரிவின் AC பகுதி AB பிரிவின் 1/5 ஆகவும், அதே பகுதி CD யின் பகுதியாகவும் இருக்கும். 2/5 AB க்கு சமமாக இருக்கும்.

AD பிரிவை எடுத்துக் கொண்டால், அது 3/5 AB க்கு சமமாக இருக்கும் என்பதை வரைபடத்திலிருந்து காணலாம்; ஆனால் பிரிவு AD என்பது துல்லியமாக AC மற்றும் CD பிரிவுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். எனவே, நாம் எழுதலாம்:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

இந்த விதிமுறைகளையும் அதன் விளைவாக வரும் தொகையையும் கருத்தில் கொண்டு, சொற்களின் எண்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் கூட்டுத்தொகையின் எண் கிடைத்ததையும், வகுத்தல் மாறாமல் இருப்பதையும் காண்கிறோம்.

இதிலிருந்து நாம் பின்வரும் விதியைப் பெறுகிறோம்: ஒரே வகுப்பில் பின்னங்களைச் சேர்க்க, அவற்றின் எண்களைச் சேர்த்து, அதே வகுப்பினை விட்டுவிட வேண்டும்.

ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்:

2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்.

பின்னங்களைச் சேர்ப்போம்: 3/4 + 3/8 முதலில் அவை குறைந்த பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்:

இடைநிலை இணைப்பு 6/8 + 3/8 எழுதப்பட்டிருக்க முடியாது; அதிக தெளிவுக்காக இங்கே எழுதியுள்ளோம்.

எனவே, வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்க்க, நீங்கள் முதலில் அவற்றை மிகக் குறைந்த பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டு வந்து, அவற்றின் எண்களைச் சேர்த்து, பொதுவான வகுப்பில் கையொப்பமிட வேண்டும்.

ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள் (தொடர்புடைய பின்னங்களின் மீது கூடுதல் காரணிகளை எழுதுவோம்):

3. கலப்பு எண்களைச் சேர்த்தல்.

எண்களைச் சேர்ப்போம்: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

முதலில் நமது எண்களின் பகுதிகளை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வந்து மீண்டும் எழுதுவோம்:

இப்போது முழு எண் மற்றும் பின்ன பகுதிகளை வரிசையில் சேர்க்கவும்:

§ 88. பின்னங்களின் கழித்தல்.

பின்னங்களின் கழித்தல் முழு எண்களின் கழித்தல் போன்றே வரையறுக்கப்படுகிறது. இது ஒரு செயலாகும், இதன் மூலம் இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அவற்றில் ஒன்று, மற்றொரு சொல் காணப்படுகிறது. மூன்று நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

1. ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களின் கழித்தல்.
2. வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களின் கழித்தல்.
3. கலப்பு எண்களின் கழித்தல்.

1. ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களின் கழித்தல்.

ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்:

13 / 15 - 4 / 15

AB பிரிவை எடுத்துக்கொள்வோம் (படம் 18), அதை ஒரு அலகாக எடுத்து 15 சம பாகங்களாக பிரிக்கவும்; இந்த பிரிவின் AC பகுதி AB இன் 1/15 ஆக இருக்கும், அதே பிரிவின் AD பகுதி 13/15 AB உடன் ஒத்திருக்கும். 4/15 AB க்கு சமமான மற்றொரு பிரிவு ED ஐ ஒதுக்குவோம்.

13/15 இலிருந்து 4/15 ஐ கழிக்க வேண்டும். வரைபடத்தில், இதன் பொருள் ED பிரிவானது AD பிரிவில் இருந்து கழிக்கப்பட வேண்டும். இதன் விளைவாக, பிரிவு AE இருக்கும், இது AB பிரிவின் 9/15 ஆகும். எனவே நாம் எழுதலாம்:

நாங்கள் செய்த உதாரணம், எண்களைக் கழிப்பதன் மூலம் வேறுபாட்டின் எண் பெறப்பட்டது என்பதைக் காட்டுகிறது, மேலும் வகுத்தல் அப்படியே இருந்தது.

எனவே, அதே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைக் கழிக்க, நீங்கள் மைனுஎண்டின் எண்ணிலிருந்து சப்ட்ராஹெண்டின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும் மற்றும் அதே வகுப்பை விட்டு வெளியேற வேண்டும்.

2. வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களின் கழித்தல்.

உதாரணமாக. 3/4 - 5/8

முதலில், இந்த பின்னங்களை மிகச் சிறிய பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்போம்:

இடைநிலை இணைப்பு 6 / 8 - 5 / 8 தெளிவுக்காக இங்கே எழுதப்பட்டுள்ளது, ஆனால் அது எதிர்காலத்தில் தவிர்க்கப்படலாம்.

எனவே, ஒரு பின்னத்திலிருந்து ஒரு பகுதியைக் கழிக்க, நீங்கள் முதலில் அவற்றை மிகச்சிறிய பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டு வர வேண்டும், பின்னர் சப்ட்ராஹெண்டின் எண்ணிக்கையை மினுஎண்டின் எண்ணிலிருந்து கழித்து, அவற்றின் வேறுபாட்டின் கீழ் பொதுவான வகுப்பில் கையொப்பமிட வேண்டும்.

ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்:

3. கலப்பு எண்களின் கழித்தல்.

உதாரணமாக. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

மினுவென்ட் மற்றும் சப்ட்ராஹெண்டின் பின்ன பகுதிகளை மிகக் குறைந்த பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டு வருவோம்:

ஒரு முழுமையிலிருந்து ஒரு முழுமையையும், ஒரு பகுதியிலிருந்து ஒரு பகுதியையும் கழித்தோம். ஆனால் சப்ட்ராஹெண்டின் பகுதியளவு மினுவெண்டின் பகுதியளவு பகுதியை விட அதிகமாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்கள் உள்ளன. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், நீங்கள் குறைக்கப்பட்ட முழு எண் பகுதியிலிருந்து ஒரு யூனிட்டை எடுத்து, பகுதியளவு வெளிப்படுத்தப்பட்ட பகுதிகளாகப் பிரித்து, குறைக்கப்பட்ட பகுதியின் பகுதியுடன் சேர்க்க வேண்டும். பின்னர் கழித்தல் முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போலவே செய்யப்படும்:

§ 89. பின்னங்களின் பெருக்கல்.

பின்னங்களின் பெருக்கத்தைப் படிக்கும்போது, பின்வரும் கேள்விகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

1. ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் பெருக்குதல்.
2. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் ஒரு பகுதியைக் கண்டறிதல்.
3. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.
4. ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.
5. கலப்பு எண்களின் பெருக்கல்.
6. வட்டி கருத்து.
7. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் சதவீதங்களைக் கண்டறிதல். அவற்றை வரிசையாகக் கருதுவோம்.

1. ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் பெருக்குதல்.

ஒரு பகுதியை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்குவது ஒரு முழு எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்குவது போன்ற அதே அர்த்தம் கொண்டது. ஒரு பகுதியை (பெருக்கி) ஒரு முழு எண்ணால் (பெருக்கி) பெருக்குவது என்பது ஒரே மாதிரியான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை உருவாக்குவதாகும்.

எனவே, நீங்கள் 1/9 ஐ 7 ஆல் பெருக்க வேண்டும் என்றால், இதை இப்படி செய்யலாம்:

ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கு நடவடிக்கை குறைக்கப்பட்டதால், முடிவை எளிதாகப் பெற்றோம். இதன் விளைவாக,

இந்தச் செயலைக் கருத்தில் கொண்டால், ஒரு பகுதியை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்குவது, முழு எண்ணில் உள்ள அலகுகள் எத்தனை முறை இந்த பின்னத்தை அதிகரிப்பதற்குச் சமம் என்பதைக் காட்டுகிறது. பின்னத்தின் அதிகரிப்பு அதன் எண்ணிக்கையை அதிகரிப்பதன் மூலம் அடையப்படுகிறது

அல்லது அதன் வகுப்பினைக் குறைப்பதன் மூலம் , அப்படியான ஒரு பிரிவு சாத்தியமானால், நாம் எண்ணை முழு எண்ணால் பெருக்கலாம் அல்லது வகுப்பை அதன் மூலம் வகுக்கலாம்.

இங்கிருந்து நாம் விதியைப் பெறுகிறோம்:

ஒரு பகுதியை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்க, நீங்கள் இந்த முழு எண்ணால் எண்ணைப் பெருக்க வேண்டும் மற்றும் வகுப்பை அப்படியே விட்டுவிட வேண்டும், அல்லது முடிந்தால், இந்த எண்ணால் வகுப்பை வகுத்து, எண் மாறாமல் இருக்க வேண்டும்.

பெருக்கும்போது, சுருக்கங்கள் சாத்தியமாகும், எடுத்துக்காட்டாக:

2. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் ஒரு பகுதியைக் கண்டறிதல்.கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் ஒரு பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க அல்லது கணக்கிட வேண்டிய பல சிக்கல்கள் உள்ளன. இந்த பணிகளுக்கும் மற்றவற்றுக்கும் உள்ள வித்தியாசம் என்னவென்றால், அவை சில பொருள்கள் அல்லது அளவீட்டு அலகுகளின் எண்ணிக்கையைக் கொடுக்கின்றன, மேலும் இந்த எண்ணின் ஒரு பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், இது ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியால் இங்கே குறிக்கப்படுகிறது. புரிந்து கொள்ள வசதியாக, முதலில் இதுபோன்ற பிரச்சனைகளுக்கு உதாரணங்களைத் தருவோம், பின்னர் அவற்றைத் தீர்க்கும் முறையை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

பணி 1.என்னிடம் 60 ரூபிள் இருந்தது; இந்தப் பணத்தில் 1/3 புத்தகம் வாங்கச் செலவு செய்தேன். புத்தகங்களின் விலை எவ்வளவு?

பணி 2.ரயில் A மற்றும் B நகரங்களுக்கு இடையேயான தூரத்தை 300 கி.மீ.க்கு சமமாக கடக்க வேண்டும். அந்த தூரத்தில் 2/3 பகுதியை அவர் ஏற்கனவே கடந்துவிட்டார். இது எத்தனை கிலோமீட்டர்?

பணி 3.கிராமத்தில் 400 வீடுகள் உள்ளன, அவற்றில் 3/4 செங்கல், மீதமுள்ளவை மர. எத்தனை செங்கல் வீடுகள் உள்ளன?

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் ஒரு பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க நாம் சமாளிக்க வேண்டிய பல சிக்கல்களில் சில இங்கே உள்ளன. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் ஒரு பகுதியைக் கண்டறிவதில் பொதுவாக அவை சிக்கல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

பிரச்சனையின் தீர்வு 1. 60 ரூபிள் இருந்து. நான் புத்தகங்களுக்காக 1/3 செலவு செய்தேன்; எனவே, புத்தகங்களின் விலையைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் 60 என்ற எண்ணை 3 ஆல் வகுக்க வேண்டும்:

பிரச்சனை 2 தீர்வு.சிக்கலின் பொருள் என்னவென்றால், நீங்கள் 300 கிமீயில் 2/3 ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். 300 இல் முதல் 1/3 ஐக் கணக்கிடுங்கள்; 300 கிமீ 3 ஆல் வகுப்பதன் மூலம் இது அடையப்படுகிறது:

300: 3 = 100 (அது 300 இல் 1/3).

300ல் மூன்றில் இரண்டு பங்கைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் பெறப்பட்ட பகுதியை இரட்டிப்பாக்க வேண்டும், அதாவது 2 ஆல் பெருக்க வேண்டும்:

100 x 2 = 200 (அது 300 இல் 2/3).

பிரச்சனையின் தீர்வு 3.இங்கே நீங்கள் செங்கல் வீடுகளின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்க வேண்டும், அவை 400 இல் 3/4 ஆகும். முதலில் 400 இல் 1/4 ஐக் கண்டுபிடிப்போம்,

400: 4 = 100 (அது 400 இல் 1/4).

400 இன் முக்கால் பகுதியைக் கணக்கிட, இதன் விளைவாக வரும் பங்கு மூன்று மடங்காக இருக்க வேண்டும், அதாவது 3 ஆல் பெருக்க வேண்டும்:

100 x 3 = 300 (அது 400 இல் 3/4).

இந்த சிக்கல்களின் தீர்வின் அடிப்படையில், பின்வரும் விதியை நாம் பெறலாம்:

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் ஒரு பகுதியின் மதிப்பைக் கண்டறிய, நீங்கள் இந்த எண்ணை பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுத்து, அதன் எண்ணால் விளைந்த பகுதியைப் பெருக்க வேண்டும்.

3. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.

முன்னதாக (§ 26) முழு எண்களின் பெருக்கல் ஒரே மாதிரியான சொற்களின் கூட்டலாக புரிந்து கொள்ளப்பட வேண்டும் என்று நிறுவப்பட்டது (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). இந்த பத்தியில் (பத்தி 1) ஒரு பகுதியை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்குவது என்பது இந்த பின்னத்திற்கு சமமான ஒரே மாதிரியான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்பதாகும்.

இரண்டு நிகழ்வுகளிலும், ஒரே மாதிரியான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிவதில் பெருக்கல் இருந்தது.

இப்போது நாம் ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவோம். இங்கே நாம் அத்தகையவற்றைச் சந்திப்போம், எடுத்துக்காட்டாக, பெருக்கல்: 9 2/3. பெருக்கத்தின் முந்தைய வரையறை இந்த வழக்கில் பொருந்தாது என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது. சம எண்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் அத்தகைய பெருக்கத்தை மாற்ற முடியாது என்பதிலிருந்து இது தெளிவாகிறது.

இதன் காரணமாக, நாம் பெருக்கத்திற்கு ஒரு புதிய வரையறையை கொடுக்க வேண்டும், அதாவது, வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவதன் மூலம் எதைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும், இந்த செயலை எவ்வாறு புரிந்து கொள்ள வேண்டும் என்ற கேள்விக்கு பதிலளிக்க வேண்டும்.

ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவதன் பொருள் பின்வரும் வரையறையிலிருந்து தெளிவாகிறது: ஒரு முழு எண்ணை (பெருக்கி) ஒரு பின்னத்தால் (பெருக்கி) பெருக்குவது என்பது பெருக்கியின் இந்த பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதாகும்.

அதாவது, 9ஐ 2/3 ஆல் பெருக்கினால், ஒன்பது அலகுகளில் 2/3ஐக் கண்டறிவது. முந்தைய பத்தியில், அத்தகைய சிக்கல்கள் தீர்க்கப்பட்டன; எனவே நாம் 6 உடன் முடிவடைகிறோம் என்பதைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது.

ஆனால் இப்போது ஒரு சுவாரஸ்யமான மற்றும் முக்கியமான கேள்வி எழுகிறது: சம எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிதல் மற்றும் ஒரு எண்ணின் பகுதியைக் கண்டறிதல் போன்ற வெளித்தோற்றத்தில் வேறுபட்ட செயல்கள் ஏன் எண்கணிதத்தில் ஒரே வார்த்தையான "பெருக்கல்" என்று அழைக்கப்படுகின்றன?

முந்தைய செயல் (நிபந்தனைகளுடன் எண்ணை பல முறை திரும்பத் திரும்பச் சொல்வது) மற்றும் புதிய செயல் (எண்ணின் பகுதியைக் கண்டறிதல்) ஒரே மாதிரியான கேள்விகளுக்குப் பதிலைக் கொடுப்பதால் இது நிகழ்கிறது. ஒரே மாதிரியான கேள்விகள் அல்லது பணிகள் ஒரே செயலால் தீர்க்கப்படுகின்றன என்ற கருத்தில் இருந்து இங்கு தொடர்கிறோம் என்பதே இதன் பொருள்.

இதைப் புரிந்து கொள்ள, பின்வரும் சிக்கலைக் கவனியுங்கள்: “1 மீ துணிக்கு 50 ரூபிள் செலவாகும். அத்தகைய 4 மீ துணியின் விலை எவ்வளவு?

இந்த சிக்கல் ரூபிள் (50) எண்ணிக்கையை மீட்டர் (4) மூலம் பெருக்குவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது, அதாவது 50 x 4 = 200 (ரூபிள்கள்).

அதே சிக்கலை எடுத்துக் கொள்வோம், ஆனால் அதில் துணியின் அளவு ஒரு பகுதி எண்ணாக வெளிப்படுத்தப்படும்: “1 மீ துணிக்கு 50 ரூபிள் செலவாகும். அத்தகைய துணியின் 3/4 மீ விலை எவ்வளவு?

ரூபிள் எண்ணிக்கையை (50) மீட்டர் எண்ணிக்கையால் (3/4) பெருக்குவதன் மூலமும் இந்த சிக்கலை தீர்க்க வேண்டும்.

சிக்கலின் அர்த்தத்தை மாற்றாமல் அதில் உள்ள எண்களை நீங்கள் பல முறை மாற்றலாம், எடுத்துக்காட்டாக, 9/10 மீ அல்லது 2 3/10 மீ, முதலியவற்றை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

இந்த சிக்கல்கள் ஒரே உள்ளடக்கம் மற்றும் எண்களில் மட்டுமே வேறுபடுவதால், அவற்றைத் தீர்ப்பதில் பயன்படுத்தப்படும் செயல்களை ஒரே வார்த்தையாக அழைக்கிறோம் - பெருக்கல்.

ஒரு முழு எண் ஒரு பின்னத்தால் எப்படி பெருக்கப்படுகிறது?

கடைசி சிக்கலில் சந்தித்த எண்களை எடுத்துக் கொள்வோம்:

வரையறையின்படி, 50ல் 3/4ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். முதலில் 50ல் 1/4ஐயும், பிறகு 3/4ஐயும் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

50 இல் 1/4 என்பது 50/4;

50 இல் 3/4 ஆகும்.

இதன் விளைவாக.

மற்றொரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்: 12 5/8 = ?

12/8 என்பது 12/8,

எண் 12 இல் 5/8 ஆகும்.

இதன் விளைவாக,

இங்கிருந்து நாம் விதியைப் பெறுகிறோம்:

ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் பின்னத்தின் எண்ணால் முழு எண்ணைப் பெருக்கி, இந்த தயாரிப்பை எண்ணாக மாற்ற வேண்டும், மேலும் கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் வகுப்பை வகுப்பாக கையொப்பமிட வேண்டும்.

கடிதங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த விதியை எழுதுகிறோம்:

இந்த விதியை முழுமையாக தெளிவுபடுத்துவதற்கு, ஒரு பகுதியை ஒரு பங்காகக் கருதலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். எனவே, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட விதியை § 38 இல் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு எண்ணை ஒரு கோட்டால் பெருக்குவதற்கான விதியுடன் ஒப்பிடுவது பயனுள்ளது.

பெருக்கல் செய்வதற்கு முன், நீங்கள் (முடிந்தால்) செய்ய வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். வெட்டுக்கள், உதாரணத்திற்கு:

4. ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவது ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவது போன்ற அதே பொருளைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்கும்போது, முதல் பின்னத்திலிருந்து (பெருக்கி) நீங்கள் பின்னத்தில் உள்ள பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

அதாவது, 3/4 ஐ 1/2 ஆல் பெருக்கினால் (பாதி) 3/4 இல் பாதியைக் கண்டறிவது.

ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் எவ்வாறு பெருக்குவது?

ஒரு உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்: 3/4 பெருக்கல் 5/7. இதன் பொருள் நீங்கள் 3/4 இலிருந்து 5/7 ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். முதலில் 1/7 இல் 3/4 மற்றும் பின்னர் 5/7 ஐக் கண்டறியவும்

3/4 இல் 1/7 இவ்வாறு வெளிப்படுத்தப்படும்:

5/7 எண்கள் 3/4 பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படும்:

இந்த வழியில்,

மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு: 5/8 பெருக்கல் 4/9.

5/8 இல் 1/9 என்பது,

4/9 எண்கள் 5/8 ஆகும்.

இந்த வழியில்,

இந்த எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, பின்வரும் விதியைக் கண்டறியலாம்:

ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் எண்ணை எண் மூலம் பெருக்க வேண்டும், மற்றும் வகுப்பை வகுப்பால் பெருக்கி முதல் தயாரிப்பை எண் மற்றும் இரண்டாவது தயாரிப்பை உற்பத்தியின் வகுப்பாக மாற்ற வேண்டும்.

இந்த விதியை பொதுவாக பின்வருமாறு எழுதலாம்:

பெருக்கும்போது, (முடிந்தால்) குறைப்புகளைச் செய்வது அவசியம். எடுத்துக்காட்டுகளைக் கவனியுங்கள்:

5. கலப்பு எண்களின் பெருக்கல்.கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களால் எளிதாக மாற்ற முடியும் என்பதால், கலப்பு எண்களை பெருக்கும் போது இந்த சூழ்நிலை பொதுவாக பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதன் பொருள், பெருக்கல், அல்லது பெருக்கி, அல்லது இரண்டு காரணிகளும் கலப்பு எண்களாக வெளிப்படுத்தப்படும் சந்தர்ப்பங்களில், அவை முறையற்ற பின்னங்களால் மாற்றப்படுகின்றன. பெருக்கவும், எடுத்துக்காட்டாக, கலப்பு எண்கள்: 2 1/2 மற்றும் 3 1/5. அவை ஒவ்வொன்றையும் ஒரு முறையற்ற பின்னமாக மாற்றுகிறோம், பின்னர் ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்கும் விதியின்படி அதன் விளைவாக வரும் பின்னங்களை பெருக்குவோம்:

விதி.கலப்பு எண்களைப் பெருக்க, முதலில் அவற்றை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்ற வேண்டும், பின்னர் ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்கும் விதியின்படி பெருக்க வேண்டும்.

குறிப்பு.காரணிகளில் ஒன்று முழு எண்ணாக இருந்தால், பகிர்வு விதியின் அடிப்படையில் பெருக்கல் பின்வருமாறு செய்யப்படலாம்:

6. வட்டி கருத்து.சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது மற்றும் பல்வேறு நடைமுறைக் கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது, எல்லா வகையான பின்னங்களையும் பயன்படுத்துகிறோம். ஆனால் பல அளவுகள் அவற்றுக்கான இயற்கையான உட்பிரிவுகளை ஒப்புக்கொள்ளவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் ஒரு ரூபிளில் நூறில் ஒரு பங்கு (1/100) எடுக்கலாம், அது ஒரு பைசாவாக இருக்கும், இருநூறில் ஒரு பங்கு 2 கோபெக்குகள், முந்நூறில் ஒரு பங்கு 3 கோபெக்குகள். நீங்கள் ரூபிளில் 1/10 ஐ எடுத்துக் கொள்ளலாம், அது "10 கோபெக்குகள் அல்லது ஒரு நாணயம் இருக்கும். நீங்கள் ரூபிளின் கால் பகுதி, அதாவது 25 கோபெக்குகள், அரை ரூபிள், அதாவது 50 கோபெக்குகள் (ஐம்பது கோபெக்குகள்) எடுக்கலாம். ஆனால் அவை நடைமுறையில் இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, 2/7 ரூபிள் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், ஏனெனில் ரூபிள் ஏழில் பிரிக்கப்படவில்லை.

எடைக்கான அளவீட்டு அலகு, அதாவது, கிலோகிராம், முதலில், தசம உட்பிரிவுகளை அனுமதிக்கிறது, எடுத்துக்காட்டாக, 1/10 கிலோ அல்லது 100 கிராம். மற்றும் ஒரு கிலோகிராமின் பின்னங்கள் 1/6, 1/11, 1/ 13 அசாதாரணமானது.

பொதுவாக எங்கள் (மெட்ரிக்) அளவீடுகள் தசம மற்றும் தசம உட்பிரிவுகளை அனுமதிக்கும்.

எவ்வாறாயினும், அளவுகளை உட்பிரிப்பதற்கான ஒரே (சீரான) முறையைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் பயனுள்ளது மற்றும் பலவகையான நிகழ்வுகளில் வசதியானது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். பல வருட அனுபவங்கள் அப்படி நியாயப்படுத்தப்பட்ட பிரிவுதான் "நூறில்" பிரிவு என்பதை நிரூபித்துள்ளது. மனித நடைமுறையின் மிகவும் மாறுபட்ட பகுதிகள் தொடர்பான சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

1. புத்தகங்களின் விலை முந்தைய விலையில் 12/100 குறைந்துள்ளது.

உதாரணமாக. புத்தகத்தின் முந்தைய விலை 10 ரூபிள். அவள் 1 ரூபிள் கீழே சென்றாள். 20 காப்.

2. சேமிப்பு வங்கிகள் சேமிப்பில் போடப்படும் தொகையில் 2/100 தொகையை வைப்பாளர்களுக்கு வருடத்தில் செலுத்துகின்றன.

உதாரணமாக. 500 ரூபிள் பண மேசையில் வைக்கப்படுகிறது, இந்த ஆண்டுக்கான வருமானம் 10 ரூபிள் ஆகும்.

3. ஒரு பள்ளியின் பட்டதாரிகளின் எண்ணிக்கை மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கையில் 5/100 ஆக இருந்தது.

உதாரணமாக பள்ளியில் 1,200 மாணவர்கள் மட்டுமே படித்தனர், அவர்களில் 60 பேர் பள்ளியில் பட்டம் பெற்றனர்.

ஒரு எண்ணின் நூறாவது ஒரு சதவீதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது..

"சதவீதம்" என்ற சொல் லத்தீன் மொழியிலிருந்து கடன் வாங்கப்பட்டது மற்றும் அதன் வேர் "சென்ட்" என்பது நூறு என்று பொருள். முன்மொழிவுடன் (ப்ரோ சென்டம்), இந்த வார்த்தைக்கு "நூறுக்கு" என்று பொருள். இந்த வெளிப்பாட்டின் பொருள் ஆரம்பத்தில் பண்டைய ரோமில் வட்டி "ஒவ்வொரு நூற்றுக்கும்" கடனளிப்பவருக்கு கடனாளி செலுத்திய பணம் என்பதிலிருந்து பின்வருமாறு. "சென்ட்" என்ற வார்த்தை மிகவும் பழக்கமான வார்த்தைகளில் கேட்கப்படுகிறது: சென்ட்னர் (நூறு கிலோகிராம்), சென்டிமீட்டர் (அவர்கள் சென்டிமீட்டர் என்று சொல்கிறார்கள்).

எடுத்துக்காட்டாக, ஆலை கடந்த மாதத்தில் உற்பத்தி செய்த அனைத்து பொருட்களில் 1/100 உற்பத்தி செய்ததாகக் கூறுவதற்குப் பதிலாக, நாங்கள் இதைச் சொல்வோம்: கடந்த மாதத்தில் ஆலை ஒரு சதவீத நிராகரிப்புகளை உற்பத்தி செய்தது. கூறுவதற்குப் பதிலாக: ஆலை நிறுவப்பட்ட திட்டத்தை விட 4/100 கூடுதல் தயாரிப்புகளை உற்பத்தி செய்தது, நாங்கள் கூறுவோம்: ஆலை திட்டத்தை 4 சதவிகிதம் தாண்டியது.

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளை வேறு விதமாக வெளிப்படுத்தலாம்:

1. புத்தகங்களின் விலை முந்தைய விலையை விட 12 சதவீதம் குறைந்துள்ளது.

2. சேமிப்பு வங்கிகள் வைப்பாளர்களுக்கு சேமிப்பில் போடப்படும் தொகையில் 2 சதவீதத்தை வருடத்திற்கு செலுத்துகின்றன.

3. ஒரு பள்ளியின் பட்டதாரிகளின் எண்ணிக்கை, பள்ளியில் உள்ள அனைத்து மாணவர்களின் எண்ணிக்கையில் 5 சதவீதமாக இருந்தது.

கடிதத்தை சுருக்க, "சதவீதம்" என்ற வார்த்தைக்கு பதிலாக% குறி எழுதுவது வழக்கம்.

இருப்பினும், % அடையாளம் பொதுவாக கணக்கீடுகளில் எழுதப்படவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், இது சிக்கல் அறிக்கையிலும் இறுதி முடிவிலும் எழுதப்படலாம். கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது, இந்த ஐகானுடன் ஒரு முழு எண்ணுக்குப் பதிலாக 100 என்ற வகுப்பில் ஒரு பகுதியை எழுத வேண்டும்.

நீங்கள் ஒரு முழு எண்ணை குறிப்பிட்ட ஐகானுடன் 100 பிரிவின் ஒரு பகுதியுடன் மாற்ற வேண்டும்:

மாறாக, 100 என்ற பிரிவைக் கொண்ட பின்னத்திற்குப் பதிலாக சுட்டிக்காட்டப்பட்ட ஐகானுடன் ஒரு முழு எண்ணை எழுதப் பழக வேண்டும்:

7. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் சதவீதங்களைக் கண்டறிதல்.

பணி 1.பள்ளிக்கு 200 கன மீட்டர் தண்ணீர் வந்தது. மீ விறகு, பிர்ச் விறகு 30% கணக்கில் உள்ளது. பீர்ச் மரம் எவ்வளவு இருந்தது?

இந்த சிக்கலின் பொருள் என்னவென்றால், பிர்ச் விறகு பள்ளிக்கு வழங்கப்பட்ட விறகின் ஒரு பகுதி மட்டுமே, மேலும் இந்த பகுதி 30/100 இன் ஒரு பகுதியாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. எனவே, எண்ணின் ஒரு பகுதியைக் கண்டுபிடிக்கும் பணியை நாங்கள் எதிர்கொள்கிறோம். அதைத் தீர்க்க, நாம் 200 ஐ 30/100 ஆல் பெருக்க வேண்டும் (ஒரு எண்ணின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான பணிகள் ஒரு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன.).

எனவே 200 இல் 30% 60க்கு சமம்.

இந்த சிக்கலில் எதிர்கொள்ளும் 30/100 என்ற பின்னத்தை 10 ஆல் குறைக்கலாம். இந்த குறைப்பை ஆரம்பத்தில் இருந்தே செய்ய முடியும்; பிரச்சனைக்கான தீர்வு மாறாது.

பணி 2.முகாமில் பல்வேறு வயதுடைய 300 குழந்தைகள் கலந்து கொண்டனர். 11 வயது குழந்தைகள் 21%, 12 வயது குழந்தைகள் 61% மற்றும் இறுதியாக 13 வயது குழந்தைகள் 18%. ஒவ்வொரு வயதிலும் எத்தனை குழந்தைகள் முகாமில் இருந்தனர்?

இந்த சிக்கலில், நீங்கள் மூன்று கணக்கீடுகளைச் செய்ய வேண்டும், அதாவது 11 வயது, பின்னர் 12 வயது மற்றும் இறுதியாக 13 வயது குழந்தைகளின் எண்ணிக்கையை அடுத்தடுத்து கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

எனவே, இங்கே ஒரு எண்ணின் ஒரு பகுதியை மூன்று முறை கண்டுபிடிக்க வேண்டியது அவசியம். அதை செய்வோம்:

1) 11 வயதில் எத்தனை குழந்தைகள்?

2) 12 வயதில் எத்தனை குழந்தைகள்?

3) 13 வயதில் எத்தனை குழந்தைகள்?

சிக்கலைத் தீர்த்த பிறகு, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண்களைச் சேர்ப்பது பயனுள்ளது; அவற்றின் தொகை 300 ஆக இருக்க வேண்டும்:

63 + 183 + 54 = 300

சிக்கலின் நிலையில் கொடுக்கப்பட்ட சதவீதங்களின் கூட்டுத்தொகை 100 என்பதற்கும் நீங்கள் கவனம் செலுத்த வேண்டும்:

21% + 61% + 18% = 100%

முகாமில் உள்ள மொத்த குழந்தைகளின் எண்ணிக்கை 100% ஆக எடுக்கப்பட்டதாக இது தெரிவிக்கிறது.

3 a da cha 3.தொழிலாளி மாதத்திற்கு 1,200 ரூபிள் பெற்றார். இதில், அவர் 65% உணவுக்காகவும், 6% அபார்ட்மெண்ட் மற்றும் வெப்பத்திற்காகவும், 4% எரிவாயு, மின்சாரம் மற்றும் வானொலிக்காகவும், 10% கலாச்சார தேவைகளுக்காகவும், 15% சேமித்துள்ளார். பணியில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட தேவைகளுக்கு எவ்வளவு பணம் செலவிடப்பட்டது?

இந்த சிக்கலை தீர்க்க, நீங்கள் 1,200 என்ற எண்ணின் ஒரு பகுதியை 5 முறை கண்டுபிடிக்க வேண்டும். அதை செய்வோம்.

1) உணவுக்காக எவ்வளவு பணம் செலவிடப்படுகிறது? இந்தச் செலவு மொத்த வருமானத்தில் 65% என்று பணி கூறுகிறது, அதாவது 1,200 எண்ணில் 65/100. கணக்கீடு செய்வோம்:

2) வெப்பத்துடன் கூடிய அபார்ட்மெண்டிற்கு எவ்வளவு பணம் செலுத்தப்பட்டது? முந்தையதைப் போலவே வாதிட்டு, பின்வரும் கணக்கீட்டிற்கு வருகிறோம்:

3) எரிவாயு, மின்சாரம் மற்றும் வானொலிக்கு எவ்வளவு பணம் செலுத்தினீர்கள்?

4) கலாச்சார தேவைகளுக்கு எவ்வளவு பணம் செலவிடப்படுகிறது?

5) தொழிலாளி எவ்வளவு பணம் சேமித்தார்?

சரிபார்ப்புக்கு, இந்த 5 கேள்விகளில் காணப்படும் எண்களைச் சேர்ப்பது பயனுள்ளது. தொகை 1,200 ரூபிள் இருக்க வேண்டும். அனைத்து வருவாய்களும் 100% ஆகக் கணக்கிடப்படுகின்றன, சிக்கல் அறிக்கையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சதவீதங்களைக் கூட்டிச் சரிபார்ப்பது எளிது.

நாங்கள் மூன்று பிரச்சினைகளை தீர்த்துள்ளோம். இந்த பணிகள் வெவ்வேறு விஷயங்களைப் பற்றியதாக இருந்தபோதிலும் (பள்ளிக்கு விறகு விநியோகம், வெவ்வேறு வயது குழந்தைகளின் எண்ணிக்கை, தொழிலாளியின் செலவுகள்), அவை அதே வழியில் தீர்க்கப்பட்டன. எல்லா பணிகளிலும் கொடுக்கப்பட்ட எண்களில் சில சதவீதங்களைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம் என்பதால் இது நடந்தது.

§ 90. பின்னங்களின் பிரிவு.

பின்னங்களின் பிரிவைப் படிக்கும்போது, பின்வரும் கேள்விகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

1. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் வகுக்கவும்.
2. ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் வகுத்தல்
3. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் வகுத்தல்.
4. ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் வகுத்தல்.
5. கலப்பு எண்களின் பிரிவு.
6. அதன் பின்னம் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணைக் கண்டறிதல்.
7. ஒரு எண்ணை அதன் சதவீதத்தால் கண்டறிதல்.

அவற்றை வரிசையாகக் கருதுவோம்.

1. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் வகுக்கவும்.

முழு எண்களின் பிரிவில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளபடி, வகுத்தல் என்பது இரண்டு காரணிகளின் (ஈவுத்தொகை) மற்றும் இந்த காரணிகளில் ஒன்றின் (வகுப்பான்) பிற காரணிகளின் விளைபொருளைக் கொடுத்தால், மற்றொரு காரணி கண்டறியப்படும்.

ஒரு முழு எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் வகுத்தல் என்பது முழு எண்களின் துறையில் நாங்கள் கருதினோம். இரண்டு பிரிவு நிகழ்வுகளை நாங்கள் சந்தித்தோம்: மீதி இல்லாமல் பிரித்தல், அல்லது "முழுமையாக" (150: 10 = 15), மற்றும் மீதியுடன் பிரிவு (100: 9 = 11 மற்றும் 1). எனவே முழு எண்களின் துறையில், சரியான வகுத்தல் எப்போதும் சாத்தியமில்லை என்று நாம் கூறலாம், ஏனெனில் ஈவுத்தொகை எப்போதும் வகுத்தல் மற்றும் முழு எண்ணின் விளைபொருளாக இருக்காது. ஒரு பின்னம் மூலம் பெருக்கல் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட பிறகு, முடிந்தவரை முழு எண்களைப் பிரிப்பதற்கான எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்தையும் நாம் பரிசீலிக்கலாம் (பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல் மட்டுமே விலக்கப்பட்டுள்ளது).

எடுத்துக்காட்டாக, 7 ஐ 12 ஆல் வகுத்தல் என்பது 12 ஆனது 7 ஆக இருக்கும் எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். இந்த எண் 7/12 பின்னம், ஏனெனில் 7/12 12 = 7 மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு: 14: 25 = 14/25 ஏனெனில் 14/25 25 = 14.

எனவே, ஒரு முழு எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் வகுக்க, நீங்கள் ஒரு பகுதியை உருவாக்க வேண்டும், அதன் எண் ஈவுத்தொகைக்கு சமம், மற்றும் வகுப்பான் வகுப்பான்.

2. ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் வகுத்தல்.

பின்னம் 6 / 7 ஐ 3 ஆல் வகுக்கவும். மேலே கொடுக்கப்பட்ட வகுப்பின் வரையறையின்படி, நாம் இங்கே தயாரிப்பு (6 / 7) மற்றும் காரணிகளில் ஒன்று (3); 3 ஆல் பெருக்கினால், கொடுக்கப்பட்ட தயாரிப்பு 6/7 ஐக் கொடுக்கும் இரண்டாவது காரணியைக் கண்டறிய வேண்டும். வெளிப்படையாக, இது இந்த தயாரிப்பை விட மூன்று மடங்கு சிறியதாக இருக்க வேண்டும். இதன் பொருள், 6/7 என்ற பின்னத்தை 3 மடங்கு குறைப்பதே நமக்கு முன் அமைக்கப்பட்ட பணி.

ஒரு பின்னத்தின் குறைப்பை அதன் எண்ணிக்கையைக் குறைப்பதன் மூலமோ அல்லது அதன் வகுப்பினை அதிகரிப்பதன் மூலமோ செய்ய முடியும் என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிவோம். எனவே, நீங்கள் எழுதலாம்:

இந்த வழக்கில், எண் 6 ஆனது 3 ஆல் வகுபடும், எனவே எண் 3 மடங்கு குறைக்கப்பட வேண்டும்.

மற்றொரு உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்: 5/8 ஐ 2 ஆல் வகுக்க வேண்டும். இங்கே எண் 5 ஐ 2 ஆல் வகுக்க முடியாது, அதாவது வகுப்பினை இந்த எண்ணால் பெருக்க வேண்டும்:

இதன் அடிப்படையில், நாம் விதியைக் கூறலாம்: ஒரு பகுதியை ஒரு முழு எண்ணால் வகுக்க, நீங்கள் பின்னத்தின் எண்ணை அந்த முழு எண்ணால் வகுக்க வேண்டும்.(முடிந்தால்), அதே வகுப்பை விட்டு, அல்லது பின்னத்தின் வகுப்பினை இந்த எண்ணால் பெருக்கி, அதே எண்ணை விட்டு.

3. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் வகுத்தல்.

5 ஐ 1/2 ஆல் வகுக்க வேண்டும், அதாவது 1/2 ஆல் பெருக்கினால், 5 ஐக் கொடுக்கும் எண்ணைக் கண்டறியவும். வெளிப்படையாக, இந்த எண் 5 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் 1/2 சரியான பின்னம், ஒரு எண்ணை சரியான பின்னத்தால் பெருக்கும்போது, பெருக்கத்தை விட தயாரிப்பு குறைவாக இருக்க வேண்டும். அதை தெளிவுபடுத்த, எங்கள் செயல்களை பின்வருமாறு எழுதுவோம்: 5: 1 / 2 = எக்ஸ் , எனவே x 1 / 2 \u003d 5.

அத்தகைய எண்ணை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் எக்ஸ் , இது, 1/2 ஆல் பெருக்கினால், 5 கிடைக்கும். ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை 1/2 ஆல் பெருக்கினால், இந்த எண்ணின் 1/2ஐக் கண்டுபிடிப்பது, எனவே, தெரியாத எண்ணின் 1/2 எக்ஸ் 5, மற்றும் முழு எண் எக்ஸ் இரண்டு மடங்கு, அதாவது 5 2 \u003d 10.

எனவே 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

சரிபார்ப்போம்:

இன்னும் ஒரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம். 6 ஐ 2/3 ஆல் வகுக்க வேண்டும். முதலில் வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி விரும்பிய முடிவைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம் (படம் 19).

படம்.19

சில அலகுகளில் 6 க்கு சமமான AB பிரிவை வரைந்து, ஒவ்வொரு யூனிட்டையும் 3 சம பாகங்களாகப் பிரிக்கவும். ஒவ்வொரு யூனிட்டிலும், AB முழுப் பிரிவிலும் மூன்றில் மூன்று பங்கு (3/3) 6 மடங்கு பெரியது, அதாவது. உ. 18/3. சிறிய அடைப்புக்குறிகள் 18 பெறப்பட்ட பிரிவுகளின் உதவியுடன் இணைக்கிறோம் 2; 9 பிரிவுகள் மட்டுமே இருக்கும். இதன் பொருள் 2/3 என்ற பின்னம் b அலகுகளில் 9 முறை உள்ளது, அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், 2/3 பின்னம் 6 முழு எண் அலகுகளை விட 9 மடங்கு குறைவாக உள்ளது. இதன் விளைவாக,

கணக்கீடுகளை மட்டும் பயன்படுத்தி வரைதல் இல்லாமல் இந்த முடிவை எவ்வாறு பெறுவது? நாங்கள் பின்வருமாறு வாதிடுவோம்: 6 ஐ 2/3 ஆல் வகுக்க வேண்டும், அதாவது, 6 இல் 2/3 எத்தனை முறை உள்ளது என்ற கேள்விக்கு பதிலளிக்க வேண்டியது அவசியம். முதலில் கண்டுபிடிப்போம்: எத்தனை முறை 1/3 6ல் உள்ளதா? ஒரு முழு அலகு - 3 மூன்றில், மற்றும் 6 அலகுகளில் - 6 மடங்கு அதிகமாக, அதாவது 18 மூன்றில்; இந்த எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க, நாம் 6 ஐ 3 ஆல் பெருக்க வேண்டும். எனவே, 1/3 ஆனது b அலகுகளில் 18 முறை உள்ளது, மேலும் 2/3 ஆனது b அலகுகளில் 18 முறை அல்ல, ஆனால் பாதி மடங்கு அதிகமாக உள்ளது, அதாவது 18: 2 = 9 எனவே, 6 ஐ 2/3 ஆல் வகுக்கும் போது பின்வருவனவற்றைச் செய்தோம்:

இங்கிருந்து ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் வகுக்கும் விதியைப் பெறுகிறோம். ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பகுதியால் வகுக்க, நீங்கள் இந்த முழு எண்ணை கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் வகுப்பினால் பெருக்க வேண்டும், மேலும் இந்த தயாரிப்பை எண்ணாக மாற்றினால், கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் எண்ணால் வகுக்க வேண்டும்.

கடிதங்களைப் பயன்படுத்தி விதியை எழுதுகிறோம்:

இந்த விதியை முழுமையாக தெளிவுபடுத்துவதற்கு, ஒரு பகுதியை ஒரு பங்காகக் கருதலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். எனவே, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட விதியை § 38 இல் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு கோட்டால் வகுக்கும் விதியுடன் ஒப்பிடுவது பயனுள்ளது. அதே சூத்திரம் அங்கும் பெறப்பட்டது என்பதை நினைவில் கொள்க.

பிரிக்கும்போது, சுருக்கங்கள் சாத்தியமாகும், எடுத்துக்காட்டாக:

4. ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் வகுத்தல்.

3/4 ஐ 3/8 ஆல் வகுக்க வேண்டும். பிரிவின் விளைவாக பெறப்படும் எண்ணை எது குறிக்கும்? 3/4 என்ற பின்னத்தில் 3/8 என்ற பின்னம் எத்தனை முறை உள்ளது என்ற கேள்விக்கு இது பதிலளிக்கும். இந்த சிக்கலைப் புரிந்து கொள்ள, ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 20).

AB பிரிவை எடுத்து, அதை ஒரு யூனிட்டாக எடுத்து, அதை 4 சம பாகங்களாகப் பிரித்து, அத்தகைய 3 பகுதிகளைக் குறிக்கவும். ஏசி பிரிவு AB பிரிவின் 3/4க்கு சமமாக இருக்கும். இப்போது நான்கு ஆரம்பப் பிரிவுகளில் ஒவ்வொன்றையும் பாதியாகப் பிரிப்போம், பின்னர் AB பிரிவு 8 சம பாகங்களாகப் பிரிக்கப்படும், மேலும் அத்தகைய ஒவ்வொரு பகுதியும் AB பிரிவின் 1/8 க்கு சமமாக இருக்கும். அத்தகைய 3 பிரிவுகளை வளைவுகளுடன் இணைக்கிறோம், பின்னர் AD மற்றும் DC பிரிவுகள் ஒவ்வொன்றும் AB பிரிவின் 3/8 க்கு சமமாக இருக்கும். 3/8 க்கு சமமான பிரிவு 3/4 க்கு சமமான பிரிவில் சரியாக 2 முறை இருப்பதை வரைபடம் காட்டுகிறது; எனவே பிரிவின் முடிவை இப்படி எழுதலாம்:

3 / 4: 3 / 8 = 2

இன்னும் ஒரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம். 15/16 ஐ 3/32 ஆல் வகுக்க வேண்டும்:

நாம் இப்படி நியாயப்படுத்தலாம்: 3/32 ஆல் பெருக்கப்பட்ட பிறகு, 15/16க்கு சமமான ஒரு பொருளைக் கொடுக்கும் எண்ணை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். கணக்கீடுகளை இப்படி எழுதுவோம்:

15 / 16: 3 / 32 = எக்ஸ்

3 / 32 எக்ஸ் = 15 / 16

3/32 தெரியாத எண் எக்ஸ் ஒப்பனை 15/16

1/32 தெரியாத எண் எக்ஸ் இருக்கிறது ,

32/32 எண்கள் எக்ஸ் ஒப்பனை .

இதன் விளைவாக,

எனவே, ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் வகுக்க, நீங்கள் முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை இரண்டின் வகுப்பால் பெருக்க வேண்டும், மேலும் முதல் பின்னத்தின் வகுப்பை இரண்டின் எண்ணால் பெருக்கி முதல் தயாரிப்பை எண் மற்றும் தி இரண்டாவது வகுத்தல்.

எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்தி விதியை எழுதுவோம்:

பிரிக்கும்போது, சுருக்கங்கள் சாத்தியமாகும், எடுத்துக்காட்டாக:

5. கலப்பு எண்களின் பிரிவு.

கலப்பு எண்களை வகுக்கும் போது, அவை முதலில் தவறான பின்னங்களாக மாற்றப்பட வேண்டும், பின்னர் அதன் விளைவாக வரும் பின்னங்கள் பின்ன எண்களைப் பிரிப்பதற்கான விதிகளின்படி பிரிக்கப்பட வேண்டும். ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்:

கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றவும்:

இப்போது பிரிப்போம்:

எனவே, கலப்பு எண்களைப் பிரிக்க, நீங்கள் அவற்றை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்ற வேண்டும், பின்னர் பின்னங்களைப் பிரிப்பதற்கான விதியின்படி பிரிக்க வேண்டும்.

6. அதன் பின்னம் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணைக் கண்டறிதல்.

பின்னங்களில் உள்ள பல்வேறு பணிகளில், சில சமயங்களில் அறியப்படாத எண்ணின் சில பகுதியின் மதிப்பு கொடுக்கப்பட்டு, இந்த எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் ஒரு பகுதியைக் கண்டறியும் சிக்கலுக்கு இந்த வகையான சிக்கல் நேர்மாறாக இருக்கும்; அங்கு ஒரு எண் கொடுக்கப்பட்டது, இந்த எண்ணின் சில பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க அது தேவைப்பட்டது, இங்கே ஒரு எண்ணின் ஒரு பகுதி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் இந்த எண்ணையே கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இந்த மாதிரியான பிரச்சனைக்கான தீர்வுக்கு நாம் திரும்பினால் இந்த யோசனை இன்னும் தெளிவாகிவிடும்.

பணி 1.முதல் நாளில், கிளாசியர்ஸ் 50 ஜன்னல்களை மெருகூட்டியது, இது கட்டப்பட்ட வீட்டின் அனைத்து ஜன்னல்களிலும் 1/3 ஆகும். இந்த வீட்டில் எத்தனை ஜன்னல்கள் உள்ளன?

தீர்வு. 50 மெருகூட்டப்பட்ட ஜன்னல்கள் வீட்டின் அனைத்து ஜன்னல்களிலும் 1/3 ஆகும் என்று சிக்கல் கூறுகிறது, அதாவது மொத்தம் 3 மடங்கு அதிகமான ஜன்னல்கள் உள்ளன, அதாவது.

வீட்டில் 150 ஜன்னல்கள் இருந்தன.

பணி 2.கடையில் 1,500 கிலோ மாவு விற்பனையானது, இது கடையில் உள்ள மொத்த மாவில் 3/8 ஆகும். கடையின் ஆரம்ப சப்ளை மாவு என்ன?

தீர்வு.விற்ற 1,500 கிலோ மாவு மொத்த கையிருப்பில் 3/8 ஆகும் என்பதை பிரச்சனையின் நிலையிலிருந்து பார்க்கலாம்; இதன் பொருள் இந்த பங்கின் 1/8 3 மடங்கு குறைவாக இருக்கும், அதாவது, அதைக் கணக்கிட, நீங்கள் 1500 ஐ 3 மடங்கு குறைக்க வேண்டும்:

1,500: 3 = 500 (அது 1/8 பங்கு).

வெளிப்படையாக, முழு பங்கும் 8 மடங்கு பெரியதாக இருக்கும். இதன் விளைவாக,

500 8 \u003d 4,000 (கிலோ).

கடையில் ஆரம்பகட்ட மாவு 4,000 கிலோவாக இருந்தது.

இந்த சிக்கலைக் கருத்தில் கொண்டு, பின்வரும் விதியைக் கண்டறியலாம்.

ஒரு எண்ணை அதன் பின்னத்தின் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பால் கண்டுபிடிக்க, இந்த மதிப்பை பின்னத்தின் எண்ணிக்கையால் வகுத்து, பின்னத்தின் வகுப்பால் முடிவைப் பெருக்க போதுமானது.

ஒரு எண்ணை அதன் பின்னம் மூலம் கண்டுபிடிப்பதில் இரண்டு சிக்கல்களைத் தீர்த்தோம். இத்தகைய சிக்கல்கள், குறிப்பாக கடைசியில் இருந்து பார்க்கப்படுவதால், இரண்டு செயல்களால் தீர்க்கப்படுகின்றன: பிரிவு (ஒரு பகுதி கண்டுபிடிக்கப்படும்போது) மற்றும் பெருக்கல் (முழு எண் கண்டுபிடிக்கப்படும்போது).

இருப்பினும், பின்னங்களின் பிரிவைப் படித்த பிறகு, மேலே உள்ள சிக்கல்களை ஒரு செயலில் தீர்க்க முடியும், அதாவது: ஒரு பகுதியால் வகுத்தல்.

எடுத்துக்காட்டாக, கடைசி பணியை இது போன்ற ஒரு செயலில் தீர்க்க முடியும்:

எதிர்காலத்தில், ஒரு எண்ணை அதன் பின்னத்தால் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலை ஒரு செயலில் - பிரிவு மூலம் தீர்ப்போம்.

7. ஒரு எண்ணை அதன் சதவீதத்தால் கண்டறிதல்.

இந்த பணிகளில், இந்த எண்ணின் சில சதவீதத்தை அறிந்து, நீங்கள் ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

பணி 1.இந்த ஆண்டின் தொடக்கத்தில், சேமிப்பு வங்கியிலிருந்து 60 ரூபிள் பெற்றேன். ஒரு வருடத்திற்கு முன்பு நான் சேமித்த தொகையிலிருந்து வருமானம். சேமிப்பு வங்கியில் எவ்வளவு பணம் போட்டேன்? (பண அலுவலகங்கள் டெபாசிட் செய்பவர்களுக்கு ஆண்டுக்கு 2% வருமானத்தை அளிக்கின்றன.)

சிக்கலின் பொருள் என்னவென்றால், ஒரு குறிப்பிட்ட தொகையை நான் ஒரு சேமிப்பு வங்கியில் வைத்து ஒரு வருடம் அங்கேயே கிடந்தேன். ஒரு வருடம் கழித்து, நான் அவளிடமிருந்து 60 ரூபிள் பெற்றேன். வருமானம், நான் போட்ட பணத்தில் 2/100. நான் எவ்வளவு பணம் டெபாசிட் செய்தேன்?

எனவே, இந்த பணத்தின் ஒரு பகுதியை அறிந்துகொள்வது, இரண்டு வழிகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது (ரூபிள் மற்றும் பின்னங்களில்), நாம் முழு, இன்னும் அறியப்படாத, அளவு கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இது ஒரு எண்ணை அதன் பின்னத்தில் கண்டறிவதில் ஏற்படும் ஒரு சாதாரண பிரச்சனை. பின்வரும் பணிகள் பிரிவு மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன:

எனவே, 3,000 ரூபிள் சேமிப்பு வங்கியில் போடப்பட்டது.

பணி 2.இரண்டு வாரங்களில், மீனவர்கள் 512 டன் மீன்களை தயார் செய்து, 64% மாதாந்திர திட்டத்தை நிறைவேற்றினர். அவர்களின் திட்டம் என்ன?

பிரச்சினையின் நிலையிலிருந்து, மீனவர்கள் திட்டத்தின் ஒரு பகுதியை முடித்தனர் என்பது அறியப்படுகிறது. இந்த பகுதி 512 டன்களுக்கு சமம், இது திட்டத்தின் 64% ஆகும். திட்டப்படி எத்தனை டன் மீன்களை அறுவடை செய்ய வேண்டும் என்பது எங்களுக்குத் தெரியாது. இந்த எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கலின் தீர்வு இருக்கும்.

இத்தகைய பணிகள் பிரிப்பதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன:

எனவே, திட்டத்தின் படி, நீங்கள் 800 டன் மீன் தயார் செய்ய வேண்டும்.

பணி 3.ரயில் ரிகாவிலிருந்து மாஸ்கோவிற்குச் சென்றது. 276வது கிலோமீட்டரைக் கடந்தபோது, பயணிகளில் ஒருவர் அந்த வழியாகச் சென்ற கண்டக்டரிடம் தாங்கள் ஏற்கனவே எவ்வளவு பயணம் செய்தீர்கள் என்று கேட்டார். இதற்கு நடத்துனர் பதிலளித்தார்: "முழு பயணத்தில் 30% நாங்கள் ஏற்கனவே முடித்துவிட்டோம்." ரிகாவிலிருந்து மாஸ்கோவிற்கு உள்ள தூரம் என்ன?

ரிகாவிலிருந்து மாஸ்கோவிற்கு 30% பயணமானது 276 கி.மீ ஆகும் என்பதை பிரச்சனையின் நிலையில் இருந்து பார்க்கலாம். இந்த நகரங்களுக்கிடையேயான முழு தூரத்தையும் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதாவது, இந்த பகுதிக்கு, முழுவதையும் கண்டறியவும்:

§ 91. பரஸ்பர எண்கள். பெருக்கல் மூலம் வகுத்தல் பதிலாக.

2/3 என்ற பகுதியை எடுத்து, எண்களை வகுப்பின் இடத்திற்கு மறுசீரமைக்கவும், நமக்கு 3/2 கிடைக்கும். எங்களிடம் ஒரு பகுதி கிடைத்தது, இது ஒன்றின் பரஸ்பரம்.

கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றின் எதிரொலியின் ஒரு பகுதியைப் பெற, நீங்கள் அதன் எண்ணை வகுப்பின் இடத்தில் வைக்க வேண்டும், மேலும் வகுப்பின் இடத்தில் வகுப்பை வைக்க வேண்டும். இந்த வழியில், நாம் எந்த பின்னத்தின் மறுபக்கமாக ஒரு பின்னத்தைப் பெறலாம். உதாரணத்திற்கு:

3/4, தலைகீழ் 4/3; 5/6, தலைகீழ் 6/5

முதலின் எண் இரண்டின் வகுத்தல் மற்றும் முதல் வகுப்பின் எண் இரண்டின் எண் என்ற பண்பு கொண்ட இரண்டு பின்னங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன. பரஸ்பர தலைகீழ்.

இப்போது 1/2 இன் எதிரொலியாக என்ன பின்னம் இருக்கும் என்பதைப் பற்றி சிந்திப்போம். வெளிப்படையாக, அது 2/1 அல்லது 2 ஆக இருக்கும். இதன் எதிரொலியைத் தேடும்போது, நமக்கு ஒரு முழு எண் கிடைத்தது. இந்த வழக்கு தனிமைப்படுத்தப்படவில்லை; மாறாக, 1 (ஒன்று) எண் கொண்ட அனைத்து பின்னங்களுக்கும், பரஸ்பர எண்கள் முழு எண்களாக இருக்கும், எடுத்துக்காட்டாக:

1 / 3, தலைகீழ் 3; 1/5, தலைகீழ் 5

பரஸ்பரங்களைக் கண்டறியும் போது முழு எண்களையும் சந்தித்தோம் என்பதால், எதிர்காலத்தில் நாம் பரஸ்பரங்களைப் பற்றி பேச மாட்டோம், ஆனால் பரஸ்பரங்களைப் பற்றி பேசுவோம்.

ஒரு முழு எண்ணின் எதிரொலியை எவ்வாறு எழுதுவது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். பின்னங்களுக்கு, இது எளிமையாக தீர்க்கப்படுகிறது: நீங்கள் எண்ணிக்கையின் இடத்தில் வகுப்பினை வைக்க வேண்டும். அதே வழியில், நீங்கள் ஒரு முழு எண்ணின் எதிரொலியைப் பெறலாம், ஏனெனில் எந்த முழு எண்ணும் 1 இன் பிரிவைக் கொண்டிருக்கலாம். எனவே, 7 இன் எதிரொலி 1 / 7 ஆக இருக்கும், ஏனெனில் 7 \u003d 7 / 1; எண் 10க்கு 10 = 10/1 என்பதிலிருந்து தலைகீழ் 1/10 ஆகும்

இந்த யோசனையை வேறு விதமாக வெளிப்படுத்தலாம்: கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பரஸ்பரம் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணால் ஒன்றைப் பிரிப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. இந்த அறிக்கை முழு எண்களுக்கு மட்டுமல்ல, பின்னங்களுக்கும் பொருந்தும். உண்மையில், நீங்கள் 5/9 என்ற பின்னத்தின் பரஸ்பர எண்ணை எழுத விரும்பினால், நாம் 1 ஐ எடுத்து 5/9 ஆல் வகுக்கலாம், அதாவது.

இப்போது ஒன்றைக் குறிப்பிடுவோம் சொத்துபரஸ்பர பரஸ்பர எண்கள், இது எங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும்: பரஸ்பர பரஸ்பர எண்களின் பலன் ஒன்றுக்கு சமம்.உண்மையில்:

இந்த சொத்தைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் வழியில் நாம் பரஸ்பரங்களைக் கண்டறியலாம். 8 இன் எதிரொலியைக் கண்டுபிடிப்போம்.

அதை எழுத்துடன் குறிப்போம் எக்ஸ் , பின்னர் 8 எக்ஸ் = 1, எனவே எக்ஸ் = 1/8. மற்றொரு எண்ணைக் கண்டுபிடிப்போம், 7/12 இன் தலைகீழ், அதை ஒரு எழுத்தால் குறிக்கவும் எக்ஸ் , பின்னர் 7/12 எக்ஸ் = 1, எனவே எக்ஸ் = 1:7 / 12 அல்லது எக்ஸ் = 12 / 7 .

பின்னங்களின் பிரிவு பற்றிய தகவல்களை சற்று கூடுதலாக்கும் வகையில், பரஸ்பர எண்களின் கருத்தை இங்கு அறிமுகப்படுத்தினோம்.

எண் 6 ஐ 3/5 ஆல் வகுத்தால், பின்வருவனவற்றைச் செய்கிறோம்:

வெளிப்பாட்டிற்கு சிறப்பு கவனம் செலுத்தி, கொடுக்கப்பட்டவற்றுடன் ஒப்பிடுக: .

முந்தையதைத் தொடர்புபடுத்தாமல் தனித்தனியாக வெளிப்பாட்டை எடுத்துக் கொண்டால், அது எங்கிருந்து வந்தது என்ற கேள்வியைத் தீர்க்க முடியாது: 6 ஐ 3/5 ஆல் வகுத்தல் அல்லது 6 ஐ 5/3 ஆல் பெருக்குவது. இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் முடிவு ஒன்றுதான். எனவே நாம் கூறலாம் ஒரு எண்ணை மற்றொரு எண்ணால் வகுத்தால், ஈவுத்தொகையை வகுக்கும் எதிரொலியால் பெருக்க முடியும்.

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் இந்த முடிவை முழுமையாக உறுதிப்படுத்துகின்றன.

முழு எண்களை உள்ளடக்கிய பின்னங்கள் கொண்ட செயல்களை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்:

வகுப்புகள் வித்தியாசமாக இருக்கும் வெளிப்பாட்டின் மதிப்பை எவ்வாறு கண்டறிவது

பிரிவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது

பிரிவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

ஒரே வகுப்பில் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் மற்றும் அவற்றின் கழித்தல்

பின்னம் சொத்து

ஒரே வகுப்பிற்கு பல பின்னங்களை எவ்வாறு கொண்டு வருவது

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது மற்றும் சேர்ப்பது

கழித்தல் மற்றும் முழு எண் பாகங்கள் கொண்டவை

முழு எண்ணிலிருந்து பின்னங்களைக் கழித்தல்

ஆசிரியர் தேர்வு