உயர்நிலை மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கான தீர்வு எடுத்துக்காட்டுகள். மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகள் பற்றிய அனைத்தும்

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

டிடாக்டிக்:

• நிலை 1 - மடக்கையின் வரையறை, மடக்கைகளின் பண்புகள் ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி எளிமையான மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை கற்பிக்க;
• நிலை 2 - நீங்களே ஒரு தீர்வு முறையைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கவும்;
• நிலை 3 - தரமற்ற சூழ்நிலைகளில் அறிவு மற்றும் திறன்களைப் பயன்படுத்த முடியும்.

வளரும்:நினைவகம், கவனம், தர்க்கரீதியான சிந்தனை, ஒப்பிடும் திறன், பொதுமைப்படுத்த மற்றும் முடிவுகளை எடுக்க முடியும்

கல்வி:துல்லியம், நிறைவேற்றப்பட்ட பணிக்கான பொறுப்பு, பரஸ்பர உதவி ஆகியவற்றைக் கொண்டுவருதல்.

கற்பித்தல் முறைகள்: வாய்மொழி , சித்திரமான , நடைமுறை , பகுதி தேடல் , சுயராஜ்யம் , கட்டுப்பாடு.

மாணவர்களின் அறிவாற்றல் செயல்பாட்டை ஒழுங்கமைப்பதற்கான வடிவங்கள்: முன்பக்கம் , தனிப்பட்ட , ஜோடிகளாக வேலை.

உபகரணங்கள்: சோதனை உருப்படிகளின் தொகுப்பு, பின்னணி குறிப்புகள், தீர்வுகளுக்கான வெற்று தாள்கள்.

பாடம் வகை:புதிய பொருள் கற்றல்.

வகுப்புகளின் போது

1. நிறுவன தருணம்.பாடத்தின் தலைப்பு மற்றும் குறிக்கோள்கள், பாடத்தின் திட்டம் அறிவிக்கப்பட்டுள்ளது: ஒவ்வொரு மாணவருக்கும் ஒரு மதிப்பீட்டு தாள் வழங்கப்படுகிறது, அதை மாணவர் பாடத்தின் போது நிரப்புகிறார்; ஒவ்வொரு ஜோடி மாணவர்களுக்கும் - பணிகளுடன் அச்சிடப்பட்ட பொருட்கள், பணிகள் ஜோடிகளாக முடிக்கப்பட வேண்டும்; தீர்வுகளுக்கான வெற்று தாள்கள்; ஆதரவு தாள்கள்: மடக்கையின் வரையறை; மடக்கை செயல்பாட்டின் வரைபடம், அதன் பண்புகள்; மடக்கைகளின் பண்புகள்; மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்.

சுய மதிப்பீட்டிற்குப் பிறகு அனைத்து முடிவுகளும் ஆசிரியரிடம் சமர்ப்பிக்கப்படுகின்றன.

மாணவர் தர தாள்

2. அறிவைப் புதுப்பித்தல்.

ஆசிரியர் அறிவுறுத்தல்கள். மடக்கையின் வரையறை, மடக்கை செயல்பாட்டின் வரைபடம் மற்றும் அதன் பண்புகளை நினைவில் கொள்க. இதைச் செய்ய, Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin மற்றும் பலர் திருத்திய "இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வுகளின் ஆரம்பம் 10-11" என்ற பாடப்புத்தகத்தின் பக்கம் 88-90, 98-101 இல் உள்ள உரையைப் படிக்கவும்.

மாணவர்களுக்கு எழுதப்பட்ட தாள்கள் வழங்கப்படுகின்றன: மடக்கையின் வரையறை; மடக்கைச் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது, அதன் பண்புகள்; மடக்கைகளின் பண்புகள்; மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு வழிமுறை, ஒரு சதுரமாக குறைக்கும் மடக்கை சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு.

3. புதிய பொருள் கற்றல்.

மடக்கைச் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு மடக்கைச் செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டியை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்:

A) சமத்துவமின்மையின் டொமைனைக் கண்டறியவும் (துணை மடக்கை வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக உள்ளது).
B) சமத்துவமின்மையின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை ஒரே தளத்தில் மடக்கை வடிவில் (முடிந்தால்) வழங்கவும்.
C) மடக்கைச் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறதா அல்லது குறைகிறதா என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்: t> 1 எனில், அது அதிகரிக்கிறது; 0 என்றால் 1, பின்னர் குறைகிறது.
D) ஒரு எளிமையான சமத்துவமின்மைக்கு (துணை மடக்கை வெளிப்பாடுகள்) செல்லவும், செயல்பாடு அதிகரித்தால் சமத்துவமின்மை அடையாளம் இருக்கும், மேலும் அது குறைந்தால் மாறும்.

கற்றல் உறுப்பு # 1.

நோக்கம்: எளிமையான மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தீர்வை சரிசெய்வது

மாணவர்களின் அறிவாற்றல் செயல்பாட்டை ஒழுங்கமைக்கும் வடிவம்: தனிப்பட்ட வேலை.

10 நிமிடங்களுக்கு சுய-படிப்பு பணிகள். ஒவ்வொரு சமத்துவமின்மைக்கும், பல பதில் விருப்பங்கள் உள்ளன, நீங்கள் சரியான ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுத்து விசை மூலம் சரிபார்க்க வேண்டும்.

முக்கிய: 13321, அதிகபட்ச புள்ளிகள் - 6 புள்ளிகள்.

கற்றல் உறுப்பு # 2.

நோக்கம்: மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தீர்வை சரிசெய்தல், மடக்கைகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துதல்.

ஆசிரியர் அறிவுறுத்தல்கள். மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகளை நினைவில் கொள்ளுங்கள். இதைச் செய்ய, பக்கங்கள் 92, 103-104 இல் உள்ள பாடப்புத்தகத்தின் உரையைப் படிக்கவும்.

10 நிமிடங்களுக்கு சுய-படிப்பு பணிகள்.

முக்கிய: 2113, அதிகபட்ச புள்ளிகள் - 8 புள்ளிகள்.

கற்றல் உறுப்பு # 3.

நோக்கம்: சதுரத்திற்கு குறைக்கும் முறையின் மூலம் மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தீர்வைப் படிப்பது.

ஆசிரியரின் அறிவுறுத்தல்கள்: சமத்துவமின்மையை ஒரு சதுரமாக குறைக்கும் முறை என்னவென்றால், நீங்கள் சமத்துவமின்மையை ஒரு வடிவத்திற்கு மாற்ற வேண்டும், சில மடக்கை செயல்பாடு ஒரு புதிய மாறியால் குறிக்கப்படுகிறது, இதனால் இந்த மாறியைப் பொறுத்து ஒரு சதுர சமத்துவமின்மை பெறப்படுகிறது.

இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

பொருளின் ஒருங்கிணைப்பின் முதல் நிலையை நீங்கள் கடந்துவிட்டீர்கள். இப்போது நீங்கள் உங்கள் அறிவு மற்றும் திறன்களைப் பயன்படுத்தி மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறையை சுயாதீனமாக தேர்வு செய்ய வேண்டும்.

கற்றல் உறுப்பு # 4.

நோக்கம்: ஒரு பகுத்தறிவு தீர்வைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தீர்வை ஒருங்கிணைக்க.

10 நிமிடங்களுக்கு சுய-படிப்பு பணிகள்

கற்றல் உறுப்பு # 5.

ஆசிரியர் அறிவுறுத்தல்கள். சபாஷ்! சிரமத்தின் இரண்டாம் நிலை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் தேர்ச்சி பெற்றுள்ளீர்கள். உங்கள் மேலும் பணியின் நோக்கம் உங்கள் அறிவு மற்றும் திறன்களை மிகவும் சிக்கலான மற்றும் தரமற்ற சூழ்நிலைகளில் பயன்படுத்துவதாகும்.

சுயாதீன தீர்வுக்கான பணிகள்:

ஆசிரியர் அறிவுறுத்தல்கள். நீங்கள் முழு பணியையும் சமாளித்தால் நன்றாக இருக்கும். சபாஷ்!

முழு பாடத்திற்கான தரமானது அனைத்து கல்வி கூறுகளுக்கும் அடித்த புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்தது:

• N ≥ 20 எனில், "5" தரத்தைப் பெறுவீர்கள்,
• 16 ≤ N ≤ 19 இல் - மதிப்பீடு “4”,
• 8 ≤ N ≤ 15 - தரம் “3”,
• N இல்< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

மதிப்பீட்டு நரிகளை ஆசிரியருக்கு அனுப்பவும்.

5. வீட்டுப்பாடம்: நீங்கள் 15 பிக்கு மேல் மதிப்பெண் பெறவில்லை என்றால் - தவறுகளுக்கான வேலையை முடிக்கவும் (நீங்கள் ஆசிரியரிடமிருந்து தீர்வுகளை எடுக்கலாம்), நீங்கள் 15 பிக்கு மேல் மதிப்பெண் பெற்றால் - "மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகள்" என்ற தலைப்பில் ஆக்கப்பூர்வமான பணியை முடிக்கவும்.

பயன்பாட்டில் உள்ள மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகள்

செச்சின் மிகைல் அலெக்ஸாண்ட்ரோவிச்

கஜகஸ்தான் குடியரசின் மாணவர் இளைஞர்களின் சிறிய அறிவியல் அகாடமி "சீக்கர்"

MBOU "Sovetskaya மேல்நிலைப் பள்ளி எண் 1", தரம் 11, நகரம். சோவெட்ஸ்கி சோவெட்ஸ்கி மாவட்டம்

குன்கோ லியுட்மிலா டிமிட்ரிவ்னா, MBOU "சோவியத் பள்ளி எண் 1" இன் ஆசிரியர்

சோவியத் மாவட்டம்

வேலையின் நோக்கம்:மடக்கை சமத்துவமின்மை C3 ஐ தரமற்ற முறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கும் பொறிமுறையின் விசாரணை, மடக்கையின் சுவாரஸ்யமான உண்மைகளை வெளிப்படுத்துகிறது.

ஆய்வுப் பொருள்:

3) தரமற்ற முறைகளைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிட்ட மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகளை C3 தீர்க்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.

முடிவுகள்:

உள்ளடக்கம்

அறிமுகம் ………………………………………………………………………… .4

அத்தியாயம் 1. பின்னணி …………………………………………… ... 5

அத்தியாயம் 2. மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகளின் சேகரிப்பு ……………………………… 7

2.1 சமமான மாற்றங்கள் மற்றும் இடைவெளிகளின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட முறை …………… 7

2.2 பகுத்தறிவு முறை …………………………………………… 15

2.3 தரமற்ற மாற்று ……………………………………………………. ..... 22

2.4 பொறி பணிகள் …………………………………………… 27

முடிவு ……………………………………………………………… 30

இலக்கியம்………………………………………………………………. 31

அறிமுகம்

நான் 11 ஆம் வகுப்பில் இருக்கிறேன், கணிதம் ஒரு சிறப்புப் பாடமாக இருக்கும் பல்கலைக்கழகத்தில் நுழையத் திட்டமிட்டுள்ளேன். எனவே, பகுதி C இன் சிக்கல்களுடன் நான் நிறைய வேலை செய்கிறேன். பணி C3 இல், நீங்கள் ஒரு தரமற்ற சமத்துவமின்மை அல்லது சமத்துவமின்மை அமைப்பைத் தீர்க்க வேண்டும், பொதுவாக மடக்கைகளுடன் தொடர்புடையது. பரீட்சைக்குத் தயாராகும் போது, ​​C3 இல் வழங்கப்பட்ட பரீட்சை மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் மற்றும் நுட்பங்களின் பற்றாக்குறையின் சிக்கலை எதிர்கொண்டேன். இந்த தலைப்பில் பள்ளி பாடத்திட்டத்தில் படிக்கப்படும் முறைகள் C3 பணிகளைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படையை வழங்கவில்லை. கணித ஆசிரியர் தனது வழிகாட்டுதலின் கீழ் சி3 பணிகளுடன் நான் சொந்தமாக வேலை செய்ய என்னை அழைத்தார். கூடுதலாக, நான் கேள்வியில் ஆர்வமாக இருந்தேன்: மடக்கைகள் நம் வாழ்க்கையில் ஏற்படுகின்றனவா?

இதைக் கருத்தில் கொண்டு, தலைப்பு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது:

"தேர்வில் மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகள்"

வேலையின் நோக்கம்:தரமற்ற முறைகளைப் பயன்படுத்தி C3 சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான பொறிமுறையின் விசாரணை, மடக்கையின் சுவாரஸ்யமான உண்மைகளை வெளிப்படுத்துகிறது.

ஆய்வுப் பொருள்:

1) மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான தரமற்ற முறைகள் பற்றிய தேவையான தகவலைக் கண்டறியவும்.

2) மடக்கைகளைப் பற்றிய கூடுதல் தகவல்களைக் கண்டறியவும்.

3) தரமற்ற முறைகளைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிட்ட C3 சிக்கல்களைத் தீர்க்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.

முடிவுகள்:

C3 சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான கருவியின் விரிவாக்கத்தில் நடைமுறை முக்கியத்துவம் உள்ளது. இந்த பொருள் சில பாடங்களில், வட்டங்களுக்கு, கணிதத்தில் சாராத செயல்பாடுகளில் பயன்படுத்தப்படலாம்.

திட்ட தயாரிப்பு "தீர்வுகளுடன் மடக்கை C3 ஏற்றத்தாழ்வுகள்" தொகுப்பாக இருக்கும்.

அத்தியாயம் 1. பின்னணி

16 ஆம் நூற்றாண்டின் போது, ​​தோராயமான கணக்கீடுகளின் எண்ணிக்கை வேகமாக அதிகரித்தது, முதன்மையாக வானியல். கருவிகளின் மேம்பாடு, கிரக இயக்கங்கள் மற்றும் பிற வேலைகளின் ஆய்வுக்கு மிகப்பெரிய, சில நேரங்களில் பல ஆண்டுகள், கணக்கீடுகள் தேவைப்பட்டன. வானியல் உண்மையாகவே நிறைவேறாத கணக்கீடுகளில் மூழ்கும் அபாயத்தில் இருந்தது. மற்ற பகுதிகளில் சிரமங்கள் எழுந்தன, எடுத்துக்காட்டாக, காப்பீட்டு வணிகத்தில், பல்வேறு வட்டி மதிப்புகளுக்கு கூட்டு வட்டி அட்டவணைகள் தேவைப்பட்டன. முக்கிய சிரமம் பெருக்கல், பல இலக்க எண்களின் வகுத்தல், குறிப்பாக முக்கோணவியல் அளவுகளால் குறிப்பிடப்படுகிறது.

மடக்கைகளின் கண்டுபிடிப்பு 16 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் முன்னேற்றங்களின் நன்கு அறியப்பட்ட பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. q, q2, q3, ... வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களுக்கு இடையே உள்ள தொடர்பைப் பற்றி ஆர்க்கிமிடிஸ் பேசினார். மற்றொரு முன்நிபந்தனையானது, பட்டம் என்ற கருத்தை எதிர்மறை மற்றும் பகுதியளவு குறிகாட்டிகளுக்கு நீட்டிப்பது ஆகும். பல ஆசிரியர்கள் பெருக்கல், வகுத்தல், ஒரு சக்திக்கு உயர்த்துதல் மற்றும் ஒரு வேரின் பிரித்தெடுத்தல் ஆகியவை எண்கணிதத்தில் அதிவேகமாக ஒத்திருக்கின்றன - அதே வரிசையில் - கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல்.

இது மடக்கையை ஒரு அடுக்கு என எண்ணியது.

மடக்கைகளின் கோட்பாட்டின் வளர்ச்சியின் வரலாற்றில் பல கட்டங்கள் கடந்துவிட்டன.

நிலை 1

மடக்கைகள் 1594 இல் ஸ்காட்டிஷ் பேரோன் நேப்பியர் (1550-1617) மற்றும் பத்து ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு சுவிஸ் மெக்கானிக் பர்கி (1552-1632) என்பவரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. இருவரும் வெவ்வேறு வழிகளில் இந்த சிக்கலை அணுகினாலும், எண்கணித கணக்கீடுகளுக்கு ஒரு புதிய வசதியான வழிமுறையை வழங்க விரும்பினர். நெப்பர் இயக்கவியல் ரீதியாக மடக்கைச் செயல்பாட்டை வெளிப்படுத்தினார், இதனால், செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் புதிய பகுதிக்குள் நுழைந்தார். புர்கி தனித்துவமான முன்னேற்றங்களைக் கருத்தில் கொண்டதன் அடிப்படையில் இருந்தார். இருப்பினும், இரண்டிற்கும் மடக்கையின் வரையறை நவீன ஒன்றை ஒத்திருக்கவில்லை. " மடக்கை" ( மடக்கை) என்ற சொல் நேப்பியருக்கு சொந்தமானது. இது கிரேக்க வார்த்தைகளின் கலவையிலிருந்து எழுந்தது: லோகோக்கள் - "உறவு" மற்றும் அரிக்மோ - "எண்", அதாவது "உறவுகளின் எண்ணிக்கை". தொடக்கத்தில், நேப்பியர் ஒரு வித்தியாசமான சொல்லைப் பயன்படுத்தினார்: எண் செயற்கை எண்கள் - "செயற்கை எண்கள்", எண்களின் இயற்கைக்கு மாறாக - "இயற்கை எண்கள்".

1615 ஆம் ஆண்டில், லண்டனில் உள்ள கிரெஷ் கல்லூரியின் கணிதப் பேராசிரியரான ஹென்றி பிரிக்ஸ் (1561-1631) உடனான உரையாடலில், நேப்பியர் ஒன்றின் மடக்கைக்கு பூஜ்ஜியத்தையும், பத்தின் மடக்கைக்கு 100 ஐயும் எடுக்க முன்மொழிந்தார். அதே விஷயம், எளிமையாக 1. இப்படித்தான் தசம மடக்கைகள் தோன்றி முதல் மடக்கை அட்டவணைகள் அச்சிடப்பட்டன. பின்னர், டச்சு புத்தக விற்பனையாளரும் கணிதவியலாளருமான ஆண்ட்ரியன் ஃப்ளாக் (1600-1667) ப்ரிக்ஸ் அட்டவணைகளை நிரப்பினார். நேப்பியர் மற்றும் பிரிக்ஸ், அவர்கள் யாரையும் விட முன்னதாகவே மடக்கைகளுக்கு வந்திருந்தாலும், தங்கள் அட்டவணையை மற்றவர்களை விட தாமதமாக வெளியிட்டனர் - 1620 இல். பதிவு மற்றும் பதிவு அடையாளங்கள் 1624 இல் I. கெப்லரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. "இயற்கை மடக்கை" என்ற சொல் 1659 இல் மெங்கோலியால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, அதைத் தொடர்ந்து 1668 இல் N. மெர்கேட்டரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, மேலும் லண்டன் ஆசிரியர் ஜான் ஸ்பீடல் 1 முதல் 1000 வரையிலான எண்களின் இயற்கை மடக்கைகளின் அட்டவணைகளை "புதிய மடக்கைகள்" என்ற தலைப்பில் வெளியிட்டார்.

ரஷ்ய மொழியில், முதல் மடக்கை அட்டவணைகள் 1703 இல் வெளியிடப்பட்டன. ஆனால் அனைத்து மடக்கை அட்டவணைகளிலும், கணக்கீட்டில் பிழைகள் செய்யப்பட்டன. முதல் பிழை இல்லாத அட்டவணைகள் 1857 இல் பெர்லினில் வெளியிடப்பட்டன, இது ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் கே. பிரெமிக்கரால் (1804-1877) செயலாக்கப்பட்டது.

நிலை 2

மடக்கைகளின் கோட்பாட்டின் மேலும் வளர்ச்சியானது பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் பரவலான பயன்பாடு மற்றும் இன்ஃபினிட்டிசிமல் கால்குலஸ் ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடையது. ஒரு சமபக்க ஹைப்பர்போலாவின் இருபடிக்கும் இயற்கை மடக்கைக்கும் இடையே ஒரு தொடர்பை நிறுவுவது அந்தக் காலத்திலேயே இருந்து வருகிறது. இந்த காலகட்டத்தின் மடக்கைகளின் கோட்பாடு பல கணிதவியலாளர்களின் பெயர்களுடன் தொடர்புடையது.

ஜேர்மன் கணிதவியலாளர், வானியலாளர் மற்றும் பொறியாளர் நிகோலஸ் மெர்கேட்டர் தொகுப்பில்

"மடக்கை" (1668) இல் ln (x + 1) இன் விரிவாக்கத்தைக் கொடுக்கும் ஒரு தொடரைக் கொடுக்கிறது.

x இன் சக்திகள்:

இந்த வெளிப்பாடு அவரது சிந்தனையின் வரிக்கு சரியாக ஒத்திருக்கிறது, இருப்பினும் அவர் நிச்சயமாக d, ..., ஆனால் மிகவும் சிக்கலான சின்னங்களைப் பயன்படுத்தவில்லை. மடக்கைத் தொடரின் கண்டுபிடிப்புடன், மடக்கைகளைக் கணக்கிடுவதற்கான நுட்பம் மாறியது: அவை எல்லையற்ற தொடர்களைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்கத் தொடங்கின. 1907-1908 இல் வழங்கப்பட்ட "எலிமெண்டரி கணிதம்" என்ற அவரது விரிவுரைகளில், மடக்கைக் கோட்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான ஒரு தொடக்க புள்ளியாக ஃபார்முலாவைப் பயன்படுத்துமாறு எஃப். க்ளீன் பரிந்துரைத்தார்.

நிலை 3

மடக்கைச் செயல்பாட்டின் விளக்கம் தலைகீழ் செயல்பாடாக

அதிவேக, கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் அளவின் குறிகாட்டியாக மடக்கை

உடனடியாக உருவாக்கப்படவில்லை. லியோனார்ட் யூலர் (1707-1783) எழுதியது

முடிவிலியின் பகுப்பாய்விற்கு ஒரு அறிமுகம் (1748) மேலும் செயல்பட்டது

மடக்கை செயல்பாட்டின் கோட்பாட்டின் வளர்ச்சி. இதனால்,

மடக்கைகள் முதலில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு 134 ஆண்டுகள் கடந்துவிட்டன

(1614 இல் இருந்து கணக்கிடப்படுகிறது) கணிதவியலாளர்கள் வரையறைக்கு வருவதற்கு முன்பு

மடக்கையின் கருத்து, இது இப்போது பள்ளி பாடத்தின் அடிப்படையாகும்.

அத்தியாயம் 2. மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகளின் சேகரிப்பு

2.1 சமமான மாற்றங்கள் மற்றும் இடைவெளிகளின் பொதுவான முறை.

சமமான மாற்றங்கள்

a> 1 என்றால்

0 என்றால் < а < 1

பொதுவான இடைவெளி முறை

ஏறக்குறைய எந்த வகையிலும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கு இந்த முறை மிகவும் பல்துறை ஆகும். தீர்வு திட்டம் இதுபோல் தெரிகிறது:

1. சமத்துவமின்மையை இடது புறத்தில் செயல்பாடு அமைந்துள்ள வடிவத்திற்கு குறைக்கவும்
, மற்றும் வலதுபுறம் 0.

2. செயல்பாட்டின் டொமைனைக் கண்டறியவும்
.

3. செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டறியவும்
, அதாவது சமன்பாட்டை தீர்க்க
(மற்றும் ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது பொதுவாக சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பதை விட எளிதானது).

4. எண் கோட்டில் செயல்பாட்டின் டொமைன் மற்றும் பூஜ்ஜியங்களை வரையவும்.

5. செயல்பாட்டின் அறிகுறிகளைத் தீர்மானிக்கவும்
பெறப்பட்ட இடைவெளியில்.

6. செயல்பாடு தேவையான மதிப்புகளை எடுக்கும் இடைவெளிகளைத் தேர்ந்தெடுத்து, பதிலை எழுதவும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.

தீர்வு:

இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்துவோம்

எங்கே

இந்த மதிப்புகளுக்கு, மடக்கைகளின் அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள அனைத்து வெளிப்பாடுகளும் நேர்மறையானவை.

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 2.

தீர்வு:

1வது வழி . ODZ சமத்துவமின்மையால் வரையறுக்கப்படுகிறது எக்ஸ்> 3. அத்தகையவற்றுக்கான மடக்கையை எடுத்துக்கொள்வது எக்ஸ்அடிப்படை 10, நாம் பெறுகிறோம்

சிதைவு விதிகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் கடைசி சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்க முடியும், அதாவது. காரணிகளை பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுதல். இருப்பினும், இந்த விஷயத்தில், செயல்பாட்டின் நிலைத்தன்மையின் இடைவெளிகளை தீர்மானிக்க எளிதானது

எனவே இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தலாம்.

செயல்பாடு f(எக்ஸ்) = 2எக்ஸ்(எக்ஸ்- 3,5) lgǀ எக்ஸ்- 3ǀ தொடர்ந்து உள்ளது எக்ஸ்> 3 மற்றும் புள்ளிகளில் மறைந்துவிடும் எக்ஸ் 1 = 0, எக்ஸ் 2 = 3,5, எக்ஸ் 3 = 2, எக்ஸ் 4 = 4. இவ்வாறு, செயல்பாட்டின் நிலைத்தன்மையின் இடைவெளிகளை வரையறுக்கிறோம் f(எக்ஸ்):

பதில்:

2வது வழி . இடைவெளிகளின் முறையின் யோசனைகளை அசல் சமத்துவமின்மைக்கு நேரடியாகப் பயன்படுத்துவோம்.

இதைச் செய்ய, வெளிப்பாடுகளை நினைவில் கொள்க அ b - அ c மற்றும் ( அ - 1)(பி- 1) ஒரு அடையாளம் உள்ளது. பிறகு நமது சமத்துவமின்மை எக்ஸ்> 3 என்பது சமத்துவமின்மைக்கு சமம்

அல்லது

கடைசி சமத்துவமின்மை இடைவெளிகளின் முறையால் தீர்க்கப்படுகிறது

பதில்:

உதாரணம் 3.

தீர்வு:

இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்துவோம்

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 4.

தீர்வு:

2 முதல் எக்ஸ் 2 - 3எக்ஸ்+ 3> 0 அனைத்து உண்மையானது எக்ஸ், பிறகு

இரண்டாவது சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்க, இடைவெளிகளின் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம்

முதல் சமத்துவமின்மையில், நாங்கள் மாற்றீடு செய்கிறோம்

பின்னர் நாம் சமத்துவமின்மை 2y 2 க்கு வருகிறோம் - ஒய் - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те ஒய்அது சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துகிறது -0.5< ஒய் < 1.

எங்கே, இருந்து

சமத்துவமின்மையைப் பெறுகிறோம்

அவற்றுடன் மேற்கொள்ளப்படுகிறது எக்ஸ்அதற்கு 2 எக்ஸ் 2 - 3எக்ஸ் - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

இப்போது, ​​அமைப்பின் இரண்டாவது சமத்துவமின்மையின் தீர்வை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, இறுதியாக நாம் பெறுகிறோம்

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 5.

தீர்வு:

சமத்துவமின்மை என்பது அமைப்புகளின் தொகுப்பிற்குச் சமம்

அல்லது

இடைவெளிகளின் முறையைப் பயன்படுத்துவோம் அல்லது

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 6.

தீர்வு:

சமத்துவமின்மை அமைப்புக்கு சமம்

இருக்கட்டும்

பிறகு ஒய் > 0,

மற்றும் முதல் சமத்துவமின்மை

அமைப்பு வடிவம் பெறுகிறது

அல்லது விரிவாக்குவதன் மூலம்

காரணிகளால் சதுர முக்கோணம்,

கடைசி சமத்துவமின்மைக்கு இடைவெளிகளின் முறையைப் பயன்படுத்துதல்,

அதன் தீர்வுகள் நிலைமையை திருப்திப்படுத்துவதை நாம் காண்கிறோம் ஒய்> 0 எல்லாம் இருக்கும் ஒய் > 4.

எனவே, அசல் சமத்துவமின்மை அமைப்புக்கு சமம்:

எனவே, சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வுகள் அனைத்தும்

2.2 பகுத்தறிவு முறை.

முன்னதாக, சமத்துவமின்மையை பகுத்தறியும் முறை தீர்க்கப்படவில்லை, அது தெரியவில்லை. இது "அதிவேக மற்றும் மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு புதிய நவீன பயனுள்ள முறை" (S. I. கோல்ஸ்னிகோவாவின் புத்தகத்திலிருந்து மேற்கோள்)
ஆசிரியருக்கு அவரைத் தெரிந்திருந்தாலும், பயம் இருந்தது - தேர்வாளருக்கு அவரைத் தெரியுமா, ஏன் பள்ளியில் கொடுக்கப்படவில்லை? ஆசிரியர் மாணவனிடம் சொன்னபோது சூழ்நிலைகள் இருந்தன: "எங்கே கிடைத்தது? உட்கார் - 2."
இந்த முறை இப்போது பரவலாக ஊக்குவிக்கப்படுகிறது. நிபுணர்களுக்கு இந்த முறையுடன் தொடர்புடைய வழிகாட்டுதல்கள் உள்ளன, மேலும் "நிலையான விருப்பங்களின் முழுமையான பதிப்புகள் ..." தீர்வு C3 இல் இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது.
அற்புதமான முறை!

"மேஜிக் டேபிள்"

மற்ற ஆதாரங்களில்

என்றால் a> 1 மற்றும் b> 1, பின்னர் a b> 0 மற்றும் (a -1) (b -1)> 0;

என்றால் a> 1 மற்றும் 0

0 என்றால்<அ<1 и b >1, பின்னர் பதிவு a b<0 и (a -1)(b -1)<0;