பெருக்கும்போது பின்னங்களைக் குறைப்பதற்கான விதிகள். பின்னம்

பின்னங்களைச் சேர்ப்பது மற்றும் கழிப்பது எப்படி என்பதை கடந்த முறை கற்றுக்கொண்டோம் ("பின்னங்களைக் கூட்டுதல் மற்றும் கழித்தல்" என்ற பாடத்தைப் பார்க்கவும்). அந்த செயல்களின் மிகவும் கடினமான பகுதி பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருவது.

இப்போது பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் சமாளிக்க நேரம். நல்ல செய்தி என்னவென்றால், இந்த செயல்பாடுகள் கூட்டல் மற்றும் கழிப்பதை விட எளிமையானவை. முதலில், பிரிக்கப்பட்ட முழு எண் பகுதி இல்லாமல் இரண்டு நேர்மறை பின்னங்கள் இருக்கும்போது எளிமையான வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

இரண்டு பின்னங்களைப் பெருக்க, அவற்றின் எண்களையும் வகுப்பினையும் தனித்தனியாகப் பெருக்க வேண்டும். முதல் எண் புதிய பின்னத்தின் எண்ணாகவும், இரண்டாவது பிரிவாகவும் இருக்கும்.

இரண்டு பின்னங்களைப் பிரிக்க, நீங்கள் முதல் பகுதியை "தலைகீழ்" இரண்டாவது பகுதியால் பெருக்க வேண்டும்.

பதவி:

பின்னங்களைப் பிரிப்பது பெருக்கமாகக் குறைகிறது என்பதை வரையறையிலிருந்து பின்பற்றுகிறது. ஒரு பகுதியை "புரட்ட", எண் மற்றும் வகுப்பினை மாற்றவும். எனவே, பாடம் முழுவதும் நாம் முக்கியமாக பெருக்கத்தை கருத்தில் கொள்வோம்.

பெருக்கத்தின் விளைவாக, குறைக்கக்கூடிய பின்னம் எழலாம் (பெரும்பாலும் எழுகிறது) - அது நிச்சயமாக குறைக்கப்பட வேண்டும். அனைத்து குறைப்புகளுக்குப் பிறகும் பின்னம் தவறாக மாறிவிட்டால், முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும். ஆனால் பெருக்கினால் நிச்சயமாக நடக்காதது ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்பதாகும்: குறுக்கு-குறுக்கு முறைகள் இல்லை, பெரிய காரணிகள் மற்றும் குறைவான பொதுவான மடங்குகள்.

வரையறையின்படி எங்களிடம் உள்ளது:

முழு பகுதிகள் மற்றும் எதிர்மறை பின்னங்களுடன் பின்னங்களை பெருக்குதல்

பின்னங்கள் ஒரு முழு எண் பகுதியைக் கொண்டிருந்தால், அவை முறையற்றவையாக மாற்றப்பட வேண்டும் - பின்னர் மட்டுமே மேலே விவரிக்கப்பட்ட திட்டங்களின்படி பெருக்கப்படும்.

ஒரு பின்னத்தின் எண்ணிலோ, வகுப்பிலோ அல்லது அதற்கு முன்னால் ஒரு கழித்தல் இருந்தால், அதை பின்வரும் விதிகளின்படி பெருக்கத்திலிருந்து எடுக்கலாம் அல்லது முழுவதுமாக அகற்றலாம்:

1. பிளஸ் பை மைனஸ் மைனஸ் கொடுக்கிறது;
2. இரண்டு எதிர்மறைகள் ஒரு உறுதிமொழியை உருவாக்குகின்றன.

இப்போது வரை, இந்த விதிகள் எதிர்மறையான பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போதும் கழிக்கும்போதும் மட்டுமே சந்தித்தன, முழுப் பகுதியையும் அகற்ற வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டால். ஒரு வேலையைப் பொறுத்தவரை, ஒரே நேரத்தில் பல குறைபாடுகளை "எரிக்க" அவை பொதுமைப்படுத்தப்படலாம்:

1. அவர்கள் முற்றிலும் மறைந்து போகும் வரை நாம் ஜோடிகளாக எதிர்மறைகளை கடக்கிறோம். தீவிர நிகழ்வுகளில், ஒரு மைனஸ் உயிர்வாழ முடியும் - துணை இல்லாத ஒன்று;
2. மைனஸ்கள் எதுவும் இல்லை என்றால், செயல்பாடு முடிந்தது - நீங்கள் பெருக்க ஆரம்பிக்கலாம். அதற்கு ஜோடி இல்லாததால் கடைசி கழித்தல் கடக்கப்படாவிட்டால், பெருக்கத்தின் வரம்புக்கு வெளியே அதை எடுத்துக்கொள்கிறோம். இதன் விளைவாக எதிர்மறை பின்னம்.

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

அனைத்து பின்னங்களையும் முறையற்றவையாக மாற்றுகிறோம், பின்னர் பெருக்கத்திலிருந்து கழித்தல்களை எடுத்துக்கொள்கிறோம். வழக்கமான விதிகளின்படி மீதமுள்ளவற்றைப் பெருக்குகிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

தனிப்படுத்தப்பட்ட முழுப் பகுதியையும் கொண்ட பின்னத்தின் முன் தோன்றும் கழித்தல் அதன் முழுப் பகுதியையும் அல்ல (இது கடைசி இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளுக்குப் பொருந்தும்) முழுப் பகுதியையும் குறிக்கிறது என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை நினைவுபடுத்துகிறேன்.

எதிர்மறை எண்களுக்கும் கவனம் செலுத்துங்கள்: பெருக்கும்போது, ​​அவை அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்படும். பெருக்கல் குறிகளிலிருந்து மைனஸ்களைப் பிரித்து முழுக் குறிப்பையும் துல்லியமாக மாற்றுவதற்காக இது செய்யப்படுகிறது.

பறக்கும்போது பின்னங்களைக் குறைத்தல்

பெருக்கல் என்பது மிகவும் உழைப்பு மிகுந்த செயலாகும். இங்குள்ள எண்கள் மிகப் பெரியதாக மாறிவிட்டன, மேலும் சிக்கலை எளிதாக்க, நீங்கள் பின்னத்தை மேலும் குறைக்க முயற்சி செய்யலாம். பெருக்குவதற்கு முன். உண்மையில், சாராம்சத்தில், பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகள் சாதாரண காரணிகள், எனவே, அவை ஒரு பின்னத்தின் அடிப்படை சொத்தைப் பயன்படுத்தி குறைக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

வரையறையின்படி எங்களிடம் உள்ளது:

எல்லா எடுத்துக்காட்டுகளிலும், குறைக்கப்பட்ட எண்கள் மற்றும் அவற்றில் எஞ்சியுள்ளவை சிவப்பு நிறத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன.

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: முதல் வழக்கில், பெருக்கிகள் முற்றிலும் குறைக்கப்பட்டன. அவற்றின் இடத்தில் பொதுவாக எழுதப்பட வேண்டிய அவசியமில்லாத அலகுகள் உள்ளன. இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில், முழுமையான குறைப்பை அடைவது சாத்தியமில்லை, ஆனால் கணக்கீடுகளின் மொத்த அளவு இன்னும் குறைந்துள்ளது.

இருப்பினும், பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போதும் கழிக்கும்போதும் இந்த நுட்பத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டாம்! ஆம், சில நேரங்களில் நீங்கள் குறைக்க விரும்பும் ஒரே மாதிரியான எண்கள் உள்ளன. இதோ, பார்:

உன்னால் அது முடியாது!

பிழை நிகழ்கிறது, ஏனெனில் சேர்க்கும் போது, ​​ஒரு பின்னத்தின் எண்ணிக்கையானது ஒரு தொகையை உருவாக்குகிறது, எண்களின் பெருக்கத்தை அல்ல. இதன் விளைவாக, ஒரு பின்னத்தின் அடிப்படை சொத்தை பயன்படுத்துவது சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் இந்த சொத்து குறிப்பாக எண்களின் பெருக்கத்துடன் தொடர்புடையது.

பின்னங்களைக் குறைப்பதற்கு வேறு காரணங்கள் எதுவும் இல்லை, எனவே முந்தைய சிக்கலுக்கான சரியான தீர்வு இதுபோல் தெரிகிறது:

சரியான தீர்வு:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சரியான பதில் மிகவும் அழகாக இல்லை. பொதுவாக, கவனமாக இருங்கள்.

சாத்தியமான பல விருப்பங்களில் சாதாரண பின்னங்களின் பெருக்கத்தை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

ஒரு பொதுவான பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்

நீங்கள் பின்வருவனவற்றைப் பயன்படுத்த வேண்டிய எளிய வழக்கு இதுவாகும் பின்னங்களை பெருக்குவதற்கான விதிகள்.

செய்ய பின்னத்தை பின்னத்தால் பெருக்கவும், அவசியம்:

• முதல் பின்னத்தின் எண்கணிதத்தை இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்கணிதத்தால் பெருக்கி, அவற்றின் உற்பத்தியை புதிய பின்னத்தின் எண்ணிக்கையில் எழுதவும்;
• முதல் பின்னத்தின் வகுப்பினை இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுப்பினால் பெருக்கி, அவற்றின் உற்பத்தியை புதிய பின்னத்தின் வகுப்பில் எழுதவும்;

எண்கள் மற்றும் வகுப்பிகளைப் பெருக்கும் முன், பின்னங்களைக் குறைக்க முடியுமா என்பதைப் பார்க்கவும். கணக்கீடுகளில் பின்னங்களைக் குறைப்பது உங்கள் கணக்கீடுகளை மிகவும் எளிதாக்கும்.



ஒரு பகுதியை இயற்கை எண்ணால் பெருக்குதல்

ஒரு பகுதியை உருவாக்க இயற்கை எண்ணால் பெருக்கவும்நீங்கள் பின்னத்தின் எண்ணை இந்த எண்ணால் பெருக்க வேண்டும், மேலும் பின்னத்தின் வகுப்பினை மாறாமல் விடவும்.

பெருக்கத்தின் முடிவு தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதை ஒரு கலப்பு எண்ணாக மாற்ற மறக்காதீர்கள், அதாவது முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்தவும்.



கலப்பு எண்களைப் பெருக்குதல்

கலப்பு எண்களைப் பெருக்க, நீங்கள் முதலில் அவற்றை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்ற வேண்டும், பின்னர் சாதாரண பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான விதியின் படி பெருக்க வேண்டும்.



ஒரு பகுதியை இயற்கை எண்ணால் பெருக்க மற்றொரு வழி

சில நேரங்களில் கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது ஒரு பொதுவான பகுதியை எண்ணால் பெருக்கும் மற்றொரு முறையைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது.

ஒரு பகுதியை ஒரு இயற்கை எண்ணால் பெருக்க, நீங்கள் பின்னத்தின் வகுப்பினை இந்த எண்ணால் வகுத்து, எண்ணை அப்படியே விட வேண்டும்.



எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், பின்னத்தின் வகுப்பானது மீதி இல்லாமல் இயற்கை எண்ணால் வகுக்கப்பட்டால், விதியின் இந்த பதிப்பு பயன்படுத்த மிகவும் வசதியானது.

பின்னங்கள் கொண்ட செயல்பாடுகள்

ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

பின்னங்களைச் சேர்ப்பதில் இரண்டு வகைகள் உள்ளன:

• ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்
• வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

முதலாவதாக, ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். இங்கே எல்லாம் எளிது. ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்க்க, அவற்றின் எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்கள் மற்றும் . எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும்:



நான்கு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நாம் நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். பீட்சாவுடன் பீட்சாவை சேர்த்தால், பீட்சா கிடைக்கும்:

உதாரணம் 2.பின்னங்களைச் சேர்க்கவும் மற்றும் .

மீண்டும், நாங்கள் எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விடுகிறோம்:



பதில் தவறான பின்னமாக மாறியது. பணியின் முடிவு வரும்போது, ​​முறையற்ற பின்னங்களை அகற்றுவது வழக்கம். ஒரு முறையற்ற பகுதியை அகற்ற, நீங்கள் அதன் முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். எங்கள் விஷயத்தில், முழு பகுதியும் எளிதில் தனிமைப்படுத்தப்படுகிறது - இரண்டை இரண்டால் வகுக்க ஒன்று சமம்:



இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவைப் பற்றி நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் அதிக பீட்சாவைச் சேர்த்தால், ஒரு முழு பீட்சா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 3. பின்னங்களைச் சேர்க்கவும் மற்றும் .



மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் அதிக பீட்சாவைச் சேர்த்தால், உங்களுக்கு பீட்சா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 4.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

இந்த எடுத்துக்காட்டு முந்தையதைப் போலவே தீர்க்கப்படுகிறது. எண்கள் சேர்க்கப்பட வேண்டும் மற்றும் வகுப்பினை மாற்றாமல் விட வேண்டும்:

ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி எங்கள் தீர்வை சித்தரிக்க முயற்சிப்போம். நீங்கள் ஒரு பீட்சாவில் பீட்சாவைச் சேர்த்து மேலும் அதிக பீட்சாக்களைச் சேர்த்தால், 1 முழு பீட்சாவும் மேலும் பீட்சாவும் கிடைக்கும்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அதே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை. பின்வரும் விதிகளைப் புரிந்துகொள்வது போதுமானது:

1. ஒரே வகுப்பில் பின்னங்களைச் சேர்க்க, அவற்றின் எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை அப்படியே விட்டுவிட வேண்டும்;
2. பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழு பகுதியையும் நீங்கள் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பதை இப்போது கற்றுக்கொள்வோம். பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போது, ​​பின்னங்களின் பிரிவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும். ஆனால் அவை எப்போதும் ஒரே மாதிரி இருப்பதில்லை.

எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்களைச் சேர்க்கலாம், ஏனெனில் அவை ஒரே வகுப்பினரைக் கொண்டுள்ளன.

ஆனால் இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டிருப்பதால், பின்னங்களை உடனடியாகச் சேர்க்க முடியாது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்.

பின்னங்களை ஒரே வகுப்பில் குறைக்க பல வழிகள் உள்ளன. இன்று நாம் அவற்றில் ஒன்றை மட்டுமே பார்ப்போம், ஏனென்றால் மற்ற முறைகள் ஒரு தொடக்கக்காரருக்கு சிக்கலானதாகத் தோன்றலாம்.

இந்த முறையின் சாராம்சம் என்னவென்றால், முதலில் நாம் இரு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் மிகக் குறைந்த பொதுவான பல (LCM) ஐத் தேடுகிறோம். முதல் கூடுதல் காரணியைப் பெற, LCM ஆனது முதல் பின்னத்தின் வகுப்பால் வகுக்கப்படுகிறது. அவை இரண்டாவது பின்னத்துடன் அவ்வாறே செய்கின்றன - LCM இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கப்படுகிறது மற்றும் இரண்டாவது கூடுதல் காரணி பெறப்படுகிறது.

பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகள் அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கப்படுகின்றன. இந்த செயல்களின் விளைவாக, வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்.

எடுத்துக்காட்டு 1. பின்னங்களைச் சேர்ப்போம் மற்றும்

இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளன, எனவே நீங்கள் அவற்றை ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்க வேண்டும்.

முதலாவதாக, இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் மிகக் குறைவான பொதுவான மடங்குகளைக் காண்கிறோம். முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3, மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும். இந்த எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் 6 ஆகும்.

LCM (2 மற்றும் 3) = 6

இப்போது பின்னங்கள் மற்றும் . முதலில், LCM ஐ முதல் பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுத்து முதல் கூடுதல் காரணியைப் பெறவும். LCM என்பது எண் 6, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3. 6 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 2 கிடைக்கும்.

இதன் விளைவாக வரும் எண் 2 முதல் கூடுதல் பெருக்கி ஆகும். நாங்கள் அதை முதல் பகுதிக்கு எழுதுகிறோம். இதைச் செய்ய, பின்னத்தின் மீது ஒரு சிறிய சாய்ந்த கோட்டை உருவாக்கி, அதற்கு மேலே காணப்படும் கூடுதல் காரணியை எழுதவும்:

இரண்டாவது பகுதியிலும் நாங்கள் அதையே செய்கிறோம். LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் பிரித்து இரண்டாவது கூடுதல் காரணியைப் பெறுகிறோம். LCM என்பது எண் 6, மற்றும் இரண்டாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும். 6 ஐ 2 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 3 கிடைக்கும்.

இதன் விளைவாக வரும் எண் 3 இரண்டாவது கூடுதல் பெருக்கி ஆகும். நாங்கள் அதை இரண்டாவது பகுதிக்கு எழுதுகிறோம். மீண்டும், இரண்டாவது பகுதியின் மீது ஒரு சிறிய சாய்ந்த கோட்டை உருவாக்கி, அதற்கு மேலே காணப்படும் கூடுதல் காரணியை எழுதுகிறோம்:

இப்போது நாம் கூடுதலாக அனைத்தையும் தயார் செய்துள்ளோம். பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்க வேண்டும்:



நாம் வந்ததை கவனமாக பாருங்கள். வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இந்த உதாரணத்தை இறுதிவரை எடுத்துக்கொள்வோம்:



இது உதாரணத்தை நிறைவு செய்கிறது. இது சேர்க்க மாறிவிடும்.

ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி எங்கள் தீர்வை சித்தரிக்க முயற்சிப்போம். பீட்சாவில் பீட்சாவைச் சேர்த்தால், ஒரு முழு பீட்சாவும், பீட்சாவில் ஆறில் ஒரு பங்கும் கிடைக்கும்.

பின்னங்களை ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைப்பதும் படத்தைப் பயன்படுத்தி சித்தரிக்கப்படலாம். பின்னங்களைக் குறைத்து ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு, பின்னங்கள் மற்றும் . இந்த இரண்டு பின்னங்களும் ஒரே பீட்சா துண்டுகளால் குறிக்கப்படும். ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், இந்த முறை அவை சம பங்குகளாக பிரிக்கப்படும் (ஒரே வகுப்பிற்கு குறைக்கப்படும்).



முதல் வரைபடம் ஒரு பகுதியைக் குறிக்கிறது (ஆறில் நான்கு துண்டுகள்), மற்றும் இரண்டாவது வரைபடம் ஒரு பகுதியைக் குறிக்கிறது (ஆறில் மூன்று துண்டுகள்). இந்த துண்டுகளைச் சேர்த்தால் நமக்குக் கிடைக்கும் (ஆறில் ஏழு துண்டுகள்). இந்த பின்னம் முறையற்றது, எனவே அதன் முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்தினோம். இதன் விளைவாக, எங்களுக்கு கிடைத்தது (ஒரு முழு பீஸ்ஸா மற்றும் மற்றொரு ஆறாவது பீஸ்ஸா).

இந்த உதாரணத்தை நாங்கள் மிகவும் விரிவாக விவரித்துள்ளோம் என்பதை நினைவில் கொள்க. கல்வி நிறுவனங்களில் இவ்வளவு விரிவாக எழுதும் வழக்கம் இல்லை. நீங்கள் இரண்டு பிரிவுகளின் LCM மற்றும் அவற்றுக்கான கூடுதல் காரணிகளை விரைவாகக் கண்டறிய முடியும், அத்துடன் கண்டறியப்பட்ட கூடுதல் காரணிகளை உங்கள் எண்கள் மற்றும் வகுப்பின் மூலம் விரைவாகப் பெருக்க வேண்டும். நாம் பள்ளியில் இருந்திருந்தால், இந்த உதாரணத்தை பின்வருமாறு எழுத வேண்டும்:



ஆனால் நாணயத்திற்கு மற்றொரு பக்கமும் உள்ளது. கணிதம் படிக்கும் முதல் கட்டங்களில் நீங்கள் விரிவான குறிப்புகளை எடுக்கவில்லை என்றால், அந்த வகையான கேள்விகள் தோன்ற ஆரம்பிக்கும். "அந்த எண் எங்கிருந்து வருகிறது?", "பின்னங்கள் ஏன் திடீரென்று முற்றிலும் மாறுபட்ட பின்னங்களாக மாறுகின்றன? «.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதை எளிதாக்க, நீங்கள் பின்வரும் படிப்படியான வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தலாம்:

3. பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும்;
4. ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுப்பினால் LCM ஐப் பிரித்து ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணியைப் பெறவும்;
5. பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கவும்;
6. ஒரே வகுப்பினைக் கொண்ட பின்னங்களைச் சேர்க்கவும்;
7. பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கவும்;

உதாரணம் 2.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் .

நாம் மேலே வழங்கிய வரைபடத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

படி 1. பின்னங்களின் வகுப்பிற்கான LCM ஐக் கண்டறியவும்

இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினருக்கான LCM ஐக் கண்டறியவும். பின்னங்களின் பிரிவுகள் எண்கள் 2, 3 மற்றும் 4 ஆகும். இந்த எண்களுக்கான LCM ஐ நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:

படி 2. LCM ஐ ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுத்து, ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணியைப் பெறவும்

LCM ஐ முதல் பின்னத்தின் வகுப்பால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும். 12 ஐ 2 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 6 கிடைக்கும். முதல் கூடுதல் காரணி 6 கிடைத்தது. முதல் பின்னத்திற்கு மேலே அதை எழுதுகிறோம்:

இப்போது நாம் LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கிறோம். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3. 12 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 4 கிடைக்கும். இரண்டாவது கூடுதல் காரணி 4. இரண்டாவது பின்னத்திற்கு மேலே அதை எழுதுகிறோம்:

இப்போது நாம் LCM ஐ மூன்றாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கிறோம். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் மூன்றாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 4. 12 ஐ 4 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 3 கிடைக்கும். மூன்றாவது கூடுதல் காரணி 3. மூன்றாவது பின்னத்திற்கு மேலே அதை எழுதுகிறோம்:

படி 3. பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கவும்

எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்குகிறோம்:

படி 4. அதே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்க்கவும்

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். இந்த பின்னங்களைச் சேர்ப்பது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது. அதைச் சேர்க்கவும்:



கூட்டல் ஒரு வரியில் பொருந்தவில்லை, எனவே மீதமுள்ள வெளிப்பாட்டை அடுத்த வரிக்கு நகர்த்தினோம். இது கணிதத்தில் அனுமதிக்கப்படுகிறது. ஒரு வெளிப்பாடு ஒரு வரியில் பொருந்தாதபோது, ​​​​அது அடுத்த வரிக்கு நகர்த்தப்படுகிறது, மேலும் முதல் வரியின் முடிவிலும் புதிய வரியின் தொடக்கத்திலும் சமமான அடையாளத்தை (=) வைக்க வேண்டியது அவசியம். இரண்டாவது வரியில் உள்ள சம அடையாளம் இது முதல் வரியில் இருந்த வெளிப்பாட்டின் தொடர்ச்சி என்பதைக் குறிக்கிறது.

படி 5. பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்தவும்

எங்கள் பதில் தவறான பின்னமாக மாறியது. அதன் முழுப் பகுதியையும் நாம் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும். நாங்கள் முன்னிலைப்படுத்துகிறோம்:



எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது

ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்

பின்னங்களின் கழித்தல் இரண்டு வகைகள் உள்ளன:

8. ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்
9. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்

முதலாவதாக, ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். இங்கே எல்லாம் எளிது. ஒரு பின்னத்திலிருந்து மற்றொன்றைக் கழிக்க, முதல் பின்னத்தின் எண்ணிலிருந்து இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும், ஆனால் வகுப்பினை அப்படியே விடவும்.

எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த எடுத்துக்காட்டைத் தீர்க்க, நீங்கள் முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையிலிருந்து இரண்டாவது பகுதியின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும், மேலும் வகுப்பை அப்படியே விடவும். இதை செய்வோம்:

நான்கு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நாம் நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் இருந்து பீட்சாவை வெட்டினால், உங்களுக்கு பீஸ்ஸா கிடைக்கும்:

உதாரணம் 2.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

மீண்டும், முதல் பின்னத்தின் எண்கணிதத்திலிருந்து, இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணைக் கழித்து, வகுப்பினை அப்படியே விடவும்:

மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் இருந்து பீட்சாவை வெட்டினால், உங்களுக்கு பீஸ்ஸா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 3.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

இந்த எடுத்துக்காட்டு முந்தையதைப் போலவே தீர்க்கப்படுகிறது. முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையிலிருந்து மீதமுள்ள பின்னங்களின் எண்களைக் கழிக்க வேண்டும்:

பதில் ஒரு முறையற்ற பின்னம். எடுத்துக்காட்டு முடிந்தால், முறையற்ற பகுதியை அகற்றுவது வழக்கம். பதிலில் உள்ள தவறான பின்னத்தை அகற்றுவோம். இதைச் செய்ய, அதன் முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கவும்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அதே பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழிப்பதில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை. பின்வரும் விதிகளைப் புரிந்துகொள்வது போதுமானது:

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்

எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் ஒரு பின்னத்திலிருந்து ஒரு பகுதியைக் கழிக்கலாம், ஏனெனில் பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பினரைக் கொண்டுள்ளன. ஆனால் இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டிருப்பதால், ஒரு பின்னத்திலிருந்து ஒரு பகுதியைக் கழிக்க முடியாது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போது நாம் பயன்படுத்திய அதே கொள்கையைப் பயன்படுத்தி பொதுவான வகுப்பான் காணப்படுகிறது. முதலில், இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும். பின்னர் LCM முதல் பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுக்கப்படுகிறது மற்றும் முதல் கூடுதல் காரணி பெறப்படுகிறது, இது முதல் பின்னத்திற்கு மேலே எழுதப்பட்டுள்ளது. இதேபோல், LCM இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுக்கப்படுகிறது மற்றும் இரண்டாவது கூடுதல் காரணி பெறப்படுகிறது, இது இரண்டாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதப்பட்டுள்ளது.

பின்னங்கள் அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கப்படுகின்றன. இந்த செயல்பாட்டின் விளைவாக, வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாற்றப்படுகின்றன. அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

முதலில் இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டுபிடிப்போம். முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3, மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 4 ஆகும். இந்த எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் 12 ஆகும்.

LCM (3 மற்றும் 4) = 12

இப்போது பின்னங்கள் மற்றும் திரும்புவோம்

முதல் பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, LCM ஐ முதல் பகுதியின் வகுப்பால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3 ஆகும். 12 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 4 கிடைக்கும். முதல் பின்னத்திற்கு மேலே நான்கை எழுதவும்:

இரண்டாவது பகுதியிலும் நாங்கள் அதையே செய்கிறோம். LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 4. 12 ஐ 4 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 3 கிடைக்கும். இரண்டாவது பின்னத்தின் மீது மூன்றை எழுதவும்:

இப்போது நாம் கழிப்பதற்கு தயாராக உள்ளோம். பின்னங்களை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்க இது உள்ளது:

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இந்த உதாரணத்தை இறுதிவரை எடுத்துக்கொள்வோம்:

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது

ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி எங்கள் தீர்வை சித்தரிக்க முயற்சிப்போம். நீங்கள் பீட்சாவிலிருந்து பீட்சாவை வெட்டினால், உங்களுக்கு பீட்சா கிடைக்கும்

இது தீர்வின் விரிவான பதிப்பாகும். நாங்கள் பள்ளியில் இருந்திருந்தால், இந்த உதாரணத்தை சுருக்கமாக தீர்க்க வேண்டும். அத்தகைய தீர்வு இப்படி இருக்கும்:

பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்பது ஒரு படத்தைப் பயன்படுத்தி சித்தரிக்கப்படலாம். இந்த பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைத்து, பின்னங்கள் மற்றும் . இந்த பின்னங்கள் ஒரே பீஸ்ஸா துண்டுகளால் குறிக்கப்படும், ஆனால் இந்த முறை அவை சம பங்குகளாகப் பிரிக்கப்படும் (ஒரே வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்படும்):

முதல் படம் ஒரு பகுதியைக் காட்டுகிறது (பன்னிரண்டில் எட்டு துண்டுகள்), இரண்டாவது படம் ஒரு பகுதியைக் காட்டுகிறது (பன்னிரண்டில் மூன்று துண்டுகள்). எட்டு துண்டுகளிலிருந்து மூன்று துண்டுகளை வெட்டுவதன் மூலம், பன்னிரண்டில் ஐந்து துண்டுகள் கிடைக்கும். பின்னம் இந்த ஐந்து பகுதிகளை விவரிக்கிறது.

உதாரணம் 2.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளன, எனவே முதலில் அவற்றை ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்க வேண்டும்.

இந்த பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.

பின்னங்களின் வகுத்தல்கள் எண்கள் 10, 3 மற்றும் 5 ஆகும். இந்த எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் 30 ஆகும்.

LCM(10, 3, 5) = 30

இப்போது ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணிகளைக் காண்கிறோம். இதைச் செய்ய, LCM ஐ ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுக்கவும்.

முதல் பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் கண்டுபிடிப்போம். LCM என்பது எண் 30, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 10 ஆகும். 30 ஐ 10 ஆல் வகுத்தால், முதல் கூடுதல் காரணி 3 ஐப் பெறுகிறோம். அதை முதல் பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:

இப்போது இரண்டாவது பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் காண்கிறோம். LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 30, மற்றும் இரண்டாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 3 ஆகும். 30 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், இரண்டாவது கூடுதல் காரணி 10 ஐப் பெறுகிறோம். அதை இரண்டாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:

இப்போது மூன்றாவது பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் காண்கிறோம். LCM ஐ மூன்றாவது பகுதியின் வகுப்பால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 30, மற்றும் மூன்றாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 5 ஆகும். 30 ஐ 5 ஆல் வகுத்தால், மூன்றாவது கூடுதல் காரணி 6 ஐப் பெறுகிறோம். அதை மூன்றாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:

இப்போது எல்லாம் கழிக்க தயாராக உள்ளது. பின்னங்களை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்க இது உள்ளது:

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இந்த உதாரணத்தை முடிப்போம்.

உதாரணத்தின் தொடர்ச்சி ஒரு வரியில் பொருந்தாது, எனவே தொடர்ச்சியை அடுத்த வரிக்கு நகர்த்துகிறோம். புதிய வரியில் சம அடையாளத்தை (=) மறந்துவிடாதீர்கள்:

பதில் ஒரு வழக்கமான பின்னமாக மாறியது, எல்லாமே நமக்கு ஏற்றதாகத் தெரிகிறது, ஆனால் அது மிகவும் சிக்கலானது மற்றும் அசிங்கமானது. அதை எளிமையாகவும் அழகாகவும் மாற்றுவது அவசியம். என்ன செய்ய முடியும்? இந்த பகுதியை நீங்கள் சுருக்கலாம். ஒரு பகுதியைக் குறைப்பது என்பது எண் மற்றும் வகுப்பின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தால் எண் மற்றும் வகுப்பின் வகுத்தல் என்பதை நினைவில் கொள்க.

ஒரு பகுதியைச் சரியாகக் குறைக்க, அதன் எண் மற்றும் வகுப்பினை 20 மற்றும் 30 எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பினால் (GCD) வகுக்க வேண்டும்.

GCD ஐ NOC உடன் குழப்பிக் கொள்ளக்கூடாது. பல தொடக்கக்காரர்களின் மிகவும் பொதுவான தவறு. GCD என்பது மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான். ஒரு பகுதியைக் குறைக்க அதைக் காண்கிறோம்.

மேலும் LCM என்பது மிகக் குறைவான பொதுவான மடங்கு ஆகும். பின்னங்களை ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்கு கொண்டு வருவதற்காக அதைக் காண்கிறோம்.

இப்போது 20 மற்றும் 30 எண்களின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியை (GCD) கண்டுபிடிப்போம்.

எனவே, 20 மற்றும் 30 எண்களுக்கான GCD ஐக் காண்கிறோம்:

GCD (20 மற்றும் 30) ​​= 10

இப்போது நாம் எங்கள் உதாரணத்திற்குத் திரும்பி, பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 10 ஆல் வகுக்கிறோம்:

அழகான பதில் கிடைத்தது

ஒரு பின்னத்தை எண்ணால் பெருக்குதல்

ஒரு பின்னத்தை எண்ணால் பெருக்க, கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் எண்ணை அந்த எண்ணால் பெருக்கி, வகுப்பை அப்படியே விட்டுவிட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 1. ஒரு பகுதியை எண் 1 ஆல் பெருக்கவும்.

பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை எண் 1 ஆல் பெருக்கவும்

ரெக்கார்டிங் அரை 1 முறை எடுத்ததை புரிந்து கொள்ளலாம். உதாரணமாக, நீங்கள் ஒரு முறை பீட்சா எடுத்தால், உங்களுக்கு பீட்சா கிடைக்கும்

பெருக்கல் விதிகள் மூலம், பெருக்கல் மற்றும் காரணி மாற்றப்பட்டால், தயாரிப்பு மாறாது என்பதை நாம் அறிவோம். வெளிப்பாடு என எழுதப்பட்டால், தயாரிப்பு இன்னும் சமமாக இருக்கும். மீண்டும், ஒரு முழு எண்ணையும் ஒரு பகுதியையும் பெருக்குவதற்கான விதி செயல்படுகிறது:

இந்த குறியீடானது ஒன்றின் பாதியை எடுத்துக்கொள்வதாக புரிந்து கொள்ளலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 1 முழு பீட்சா இருந்தால், அதில் பாதியை எடுத்துக் கொண்டால், நாம் பீட்சா சாப்பிடுவோம்:

உதாரணம் 2. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

பின்னத்தின் எண்ணை 4 ஆல் பெருக்கவும்

இரண்டு காலாண்டுகளை 4 முறை எடுத்துக்கொள்வதாக வெளிப்பாடு புரிந்து கொள்ள முடியும். உதாரணமாக, நீங்கள் 4 பீஸ்ஸாக்களை எடுத்துக் கொண்டால், உங்களுக்கு இரண்டு முழு பீஸ்ஸாக்கள் கிடைக்கும்

மேலும் நாம் பெருக்கி மற்றும் பெருக்கியை மாற்றினால், வெளிப்பாடு கிடைக்கும். இது 2க்கு சமமாக இருக்கும். இந்த வெளிப்பாடு நான்கு முழு பீஸ்ஸாக்களிலிருந்து இரண்டு பீஸ்ஸாக்களை எடுப்பதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம்:

பின்னங்களை பெருக்குதல்

பின்னங்களைப் பெருக்க, அவற்றின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை நீங்கள் பெருக்க வேண்டும். பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழு பகுதியையும் நீங்கள் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது. இந்த பகுதியைக் குறைப்பது நல்லது. பின்னத்தை 2 ஆல் குறைக்கலாம். பின்னர் இறுதி தீர்வு பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:

அரை பீட்சாவிலிருந்து பீட்சாவை எடுப்பது போன்ற வெளிப்பாடுகளை புரிந்து கொள்ளலாம். எங்களிடம் அரை பீட்சா உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

இந்த பாதியில் இருந்து மூன்றில் இரண்டு பங்கை எப்படி எடுப்பது? முதலில் நீங்கள் இந்த பாதியை மூன்று சம பாகங்களாக பிரிக்க வேண்டும்:

இந்த மூன்று துண்டுகளிலிருந்து இரண்டை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்:

நாங்கள் பீட்சா செய்வோம். மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கும்போது பீட்சா எப்படி இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

இந்த பீட்சாவின் ஒரு துண்டு மற்றும் நாங்கள் எடுத்த இரண்டு துண்டுகள் ஒரே பரிமாணங்களைக் கொண்டிருக்கும்:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நாங்கள் அதே அளவு பீட்சாவைப் பற்றி பேசுகிறோம். எனவே வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு

உதாரணம் 2. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணால் பெருக்கவும், முதல் பின்னத்தின் வகுப்பை இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுப்பால் பெருக்கவும்:

பதில் ஒரு முறையற்ற பின்னம். அதன் முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்துவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 3.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

பதில் ஒரு வழக்கமான பின்னமாக மாறியது, ஆனால் அதை சுருக்கினால் நன்றாக இருக்கும். இந்தப் பகுதியைக் குறைக்க, அதை எண் மற்றும் வகுப்பின் gcd ஆல் வகுக்க வேண்டும். எனவே, 105 மற்றும் 450 எண்களின் gcd ஐக் கண்டுபிடிப்போம்:

(105 மற்றும் 150)க்கான ஜிசிடி 15 ஆகும்

இப்போது நமது பதிலின் எண் மற்றும் வகுப்பினை gcd ஆல் வகுக்கிறோம்:

ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னமாகக் குறிக்கும்

எந்த முழு எண்ணையும் ஒரு பின்னமாக குறிப்பிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, எண் 5 ஐக் குறிப்பிடலாம். இது ஐந்தின் பொருளை மாற்றாது, ஏனெனில் வெளிப்பாட்டின் பொருள் "ஒன்றால் வகுக்கப்படும் எண் ஐந்து", மேலும் இது ஐந்துக்கு சமம்:

பரஸ்பர எண்கள்

இப்போது நாம் கணிதத்தில் மிகவும் சுவாரஸ்யமான தலைப்பைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம். இது "தலைகீழ் எண்கள்" என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை. எண்ணுக்குத் தலைகீழ் அ பெருக்கப்படும் போது ஒரு எண் அ ஒன்றை கொடுக்கிறது.

இந்த வரையறையில் மாறிக்கு பதிலாக மாற்றுவோம் அஎண் 5 மற்றும் வரையறையைப் படிக்க முயற்சிக்கவும்:

எண்ணுக்குத் தலைகீழ் 5 பெருக்கப்படும் போது ஒரு எண் 5 ஒன்றை கொடுக்கிறது.

5 ஆல் பெருக்கினால், ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? அது சாத்தியம் என்று மாறிவிடும். ஐந்தை ஒரு பின்னமாக கற்பனை செய்வோம்:

இந்த பின்னத்தை தானாகவே பெருக்கி, எண் மற்றும் வகுப்பினை மாற்றவும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு பகுதியைத் தானே பெருக்கவும், தலைகீழாக மட்டுமே:

இதன் விளைவாக என்ன நடக்கும்? இந்த உதாரணத்தைத் தொடர்ந்து தீர்த்துக்கொண்டால், ஒன்றைப் பெறுவோம்:

இதன் பொருள், எண் 5 இன் தலைகீழ் எண் , நீங்கள் 5 ஐப் பெருக்கும்போது ஒன்று கிடைக்கும்.

ஒரு எண்ணின் எதிரொலியை வேறு எந்த முழு எண்ணுக்கும் காணலாம்.

• 3 இன் எதிரொலி ஒரு பின்னமாகும்
• 4 இன் எதிரொலி ஒரு பின்னமாகும்

வேறு எந்தப் பகுதியினதும் எதிரொலியையும் நீங்கள் காணலாம். இதைச் செய்ய, அதைத் திருப்புங்கள்.

இடைநிலை மற்றும் உயர்நிலைப் பள்ளிப் பாடங்களில், மாணவர்கள் "பிணங்கள்" என்ற தலைப்பை உள்ளடக்கியுள்ளனர். இருப்பினும், இந்த கருத்து கற்றல் செயல்பாட்டில் கொடுக்கப்பட்டதை விட மிகவும் விரிவானது. இன்று, ஒரு பின்னம் என்ற கருத்து அடிக்கடி எதிர்கொள்ளப்படுகிறது, மேலும் ஒவ்வொருவரும் எந்த வெளிப்பாட்டையும் கணக்கிட முடியாது, எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்களை பெருக்குதல்.

பின்னம் என்றால் என்ன?

வரலாற்று ரீதியாக, பகுதி எண்கள் அளவிட வேண்டிய தேவையிலிருந்து எழுந்தன. நடைமுறையில் காண்பிக்கிறபடி, ஒரு பிரிவின் நீளம் மற்றும் ஒரு செவ்வக செவ்வகத்தின் அளவை தீர்மானிப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் பெரும்பாலும் உள்ளன.

ஆரம்பத்தில், மாணவர்களுக்கு ஒரு பங்கு என்ற கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. உதாரணமாக, நீங்கள் ஒரு தர்பூசணியை 8 பகுதிகளாகப் பிரித்தால், ஒவ்வொருவருக்கும் தர்பூசணியில் எட்டில் ஒரு பங்கு கிடைக்கும். இந்த எட்டில் ஒரு பகுதி பங்கு எனப்படும்.

எந்த மதிப்பிலும் ½க்கு சமமான பங்கு பாதி எனப்படும்; ⅓ - மூன்றாவது; ¼ - கால். 5/8, 4/5, 2/4 படிவத்தின் பதிவுகள் சாதாரண பின்னங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு பொதுவான பின்னம் ஒரு எண் மற்றும் ஒரு வகுப்பாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. அவற்றுக்கிடையே பின்னம் பட்டை அல்லது பின்னம் பட்டை உள்ளது. பின்னக் கோட்டை கிடைமட்டமாகவோ அல்லது சாய்ந்த கோடாகவோ வரையலாம். இந்த வழக்கில், இது பிரிவு அடையாளத்தைக் குறிக்கிறது.

அளவு அல்லது பொருள் எத்தனை சம பாகங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை வகுத்தல் குறிக்கிறது; மற்றும் ஒரே மாதிரியான எத்தனை பங்குகள் எடுக்கப்படுகின்றன என்பதுதான் எண். பின்னக் கோட்டிற்கு மேலே எண் எழுதப்பட்டுள்ளது, அதன் கீழே வகுப்பான் எழுதப்பட்டுள்ளது.

ஒரு ஆயக் கதிரில் சாதாரண பின்னங்களைக் காண்பிப்பது மிகவும் வசதியானது. ஒரு பகுதி 4 சம பாகங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டால், ஒவ்வொரு பகுதியும் ஒரு லத்தீன் எழுத்தால் நியமிக்கப்பட்டால், இதன் விளைவாக ஒரு சிறந்த காட்சி உதவியாக இருக்கும். எனவே, புள்ளி A ஆனது முழு யூனிட் பிரிவின் 1/4 க்கு சமமான பங்கைக் காட்டுகிறது, மேலும் புள்ளி B கொடுக்கப்பட்ட பிரிவின் 2/8 ஐக் குறிக்கிறது.

பின்னங்களின் வகைகள்

பின்னங்கள் சாதாரண, தசம மற்றும் கலப்பு எண்களாக இருக்கலாம். கூடுதலாக, பின்னங்களை சரியான மற்றும் முறையற்றதாக பிரிக்கலாம். இந்த வகைப்பாடு சாதாரண பின்னங்களுக்கு மிகவும் பொருத்தமானது.

சரியான பின்னம் என்பது அதன் வகுப்பினை விடக் குறைவாக உள்ள எண்ணாகும். அதன்படி, ஒரு முறையற்ற பின்னம் என்பது அதன் வகுப்பினை விட எண் அதிகமாக இருக்கும் எண்ணாகும். இரண்டாவது வகை பொதுவாக ஒரு கலப்பு எண்ணாக எழுதப்படுகிறது. இந்த வெளிப்பாடு ஒரு முழு எண் மற்றும் ஒரு பகுதியளவு பகுதியைக் கொண்டுள்ளது. உதாரணமாக, 1½. 1 ஒரு முழு எண் பகுதி, ½ என்பது ஒரு பகுதியளவு பகுதி. இருப்பினும், நீங்கள் வெளிப்பாட்டுடன் சில கையாளுதல்களைச் செய்ய வேண்டும் என்றால் (பின்னங்களைப் பிரித்தல் அல்லது பெருக்குதல், அவற்றைக் குறைத்தல் அல்லது மாற்றுதல்), கலப்பு எண் தவறான பின்னமாக மாற்றப்படும்.

சரியான பின்னம் வெளிப்பாடு எப்போதும் ஒன்றை விட குறைவாக இருக்கும், மேலும் தவறானது எப்போதும் 1 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும்.

இந்த வெளிப்பாட்டைப் பொறுத்தவரை, எந்தவொரு எண்ணும் குறிப்பிடப்படும் ஒரு பதிவைக் குறிக்கிறோம், அதன் பகுதியளவு வெளிப்பாட்டின் வகுப்பானது பல பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்ட ஒன்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம். பின்னம் சரியாக இருந்தால், தசம குறியீட்டில் உள்ள முழு எண் பகுதி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

ஒரு தசமப் பகுதியை எழுத, நீங்கள் முதலில் முழுப் பகுதியையும் எழுத வேண்டும், கமாவைப் பயன்படுத்தி பின்னத்திலிருந்து பிரித்து, பின்னம் வெளிப்பாட்டை எழுத வேண்டும். தசம புள்ளிக்குப் பிறகு, எண் வகுப்பில் பூஜ்ஜியங்கள் இருக்கும் அதே எண்ணிக்கையிலான டிஜிட்டல் எழுத்துகள் இருக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

உதாரணமாக. பின்னம் 7 21 / 1000 ஐ தசம குறியீட்டில் வெளிப்படுத்தவும்.

முறையற்ற பின்னத்தை கலப்பு எண்ணாகவும், நேர்மாறாகவும் மாற்றுவதற்கான அல்காரிதம்

சிக்கலுக்கான பதிலில் தவறான பின்னத்தை எழுதுவது தவறானது, எனவே அதை கலப்பு எண்ணாக மாற்ற வேண்டும்:

• தற்போதுள்ள வகுப்பினால் எண்ணை வகுக்கவும்;
• ஒரு குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டில், முழுமையடையாத பகுதி முழுமை;
• மற்றும் எஞ்சிய பகுதியின் பகுதியின் எண் ஆகும், வகுத்தல் மாறாமல் இருக்கும்.

உதாரணமாக. முறையற்ற பின்னத்தை கலப்பு எண்ணாக மாற்றவும்: 47/5.

தீர்வு. 47: 5. பகுதி அளவு 9, மீதி = 2. எனவே, 47 / 5 = 9 2 / 5.

சில நேரங்களில் நீங்கள் ஒரு கலப்பு எண்ணை தவறான பின்னமாக குறிப்பிட வேண்டும். பின்னர் நீங்கள் பின்வரும் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

• முழு எண் பகுதி பகுதி வெளிப்பாட்டின் வகுப்பினால் பெருக்கப்படுகிறது;
• இதன் விளைவாக தயாரிப்பு எண்களில் சேர்க்கப்படுகிறது;
• முடிவு எண்ணில் எழுதப்பட்டுள்ளது, வகுத்தல் மாறாமல் இருக்கும்.

உதாரணமாக. தவறான பின்னமாக கலப்பு வடிவத்தில் எண்ணை வழங்கவும்: 9 8 / 10.

தீர்வு. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 என்பது எண்.

பதில்: 98 / 10.

பின்னங்களை பெருக்குதல்

பல்வேறு இயற்கணித செயல்பாடுகளை சாதாரண பின்னங்களில் செய்ய முடியும். இரண்டு எண்களைப் பெருக்க, நீங்கள் எண்ணை எண்ணுடன் பெருக்க வேண்டும். மேலும், வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டு பின்னங்களைப் பெருக்குவது, ஒரே வகுப்பில் உள்ள பின்னங்களைப் பெருக்குவதில் இருந்து வேறுபட்டதல்ல.

முடிவைக் கண்டறிந்த பிறகு, நீங்கள் பகுதியைக் குறைக்க வேண்டும். இதன் விளைவாக வெளிப்பாட்டை முடிந்தவரை எளிதாக்குவது கட்டாயமாகும். நிச்சயமாக, ஒரு பதிலில் ஒரு தவறான பின்னம் ஒரு பிழை என்று சொல்ல முடியாது, ஆனால் அதை சரியான பதில் என்று அழைப்பதும் கடினம்.

உதாரணமாக. இரண்டு சாதாரண பின்னங்களின் பலனைக் கண்டறியவும்: ½ மற்றும் 20/18.

எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், தயாரிப்பைக் கண்டுபிடித்த பிறகு, குறைக்கக்கூடிய பகுதி குறியீடு பெறப்படுகிறது. இந்த வழக்கில் எண் மற்றும் வகுத்தல் இரண்டும் 4 ஆல் வகுக்கப்படுகின்றன, இதன் விளைவாக பதில் 5/9 ஆகும்.

தசம பின்னங்களை பெருக்குதல்

தசம பின்னங்களின் பலன் அதன் கொள்கையில் சாதாரண பின்னங்களின் பெருக்கத்திலிருந்து முற்றிலும் வேறுபட்டது. எனவே, பின்னங்களை பெருக்குவது பின்வருமாறு:

• இரண்டு தசம பின்னங்கள் ஒன்றின் கீழ் மற்றொன்றின் கீழ் எழுதப்பட வேண்டும், இதனால் வலதுபுற இலக்கங்கள் ஒன்றின் கீழ் ஒன்றாக இருக்கும்;
• நீங்கள் எழுதப்பட்ட எண்களை, காற்புள்ளிகள் இருந்தபோதிலும், அதாவது இயற்கை எண்களாகப் பெருக்க வேண்டும்;
• ஒவ்வொரு எண்ணிலும் தசம புள்ளிக்குப் பிறகு இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையை எண்ணுங்கள்;
• பெருக்கலுக்குப் பிறகு பெறப்பட்ட முடிவில், தசமப் புள்ளிக்குப் பிறகு இரண்டு காரணிகளிலும் கூட்டுத்தொகையில் உள்ள பல டிஜிட்டல் சின்னங்களை நீங்கள் வலதுபுறத்தில் இருந்து எண்ணி, பிரிக்கும் அடையாளத்தை வைக்க வேண்டும்;
• தயாரிப்பில் குறைவான எண்கள் இருந்தால், இந்த எண்ணை மறைக்க அவற்றின் முன் பல பூஜ்ஜியங்களை எழுத வேண்டும், கமாவை வைத்து முழு பகுதியையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக சேர்க்க வேண்டும்.

உதாரணமாக. இரண்டு தசம பின்னங்களின் பெருக்கத்தைக் கணக்கிடுக: 2.25 மற்றும் 3.6.

தீர்வு.

கலப்பு பின்னங்களை பெருக்குதல்

இரண்டு கலப்பு பின்னங்களின் உற்பத்தியைக் கணக்கிட, பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

• கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றவும்;
• எண்களின் பலனைக் கண்டறியவும்;
• பிரிவுகளின் விளைபொருளைக் கண்டறியவும்;
• முடிவை எழுதுங்கள்;
• முடிந்தவரை வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்.

உதாரணமாக. 4½ மற்றும் 6 2/5 இன் பலன்களைக் கண்டறியவும்.

ஒரு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல் (ஒரு எண்ணால் பின்னங்கள்)

இரண்டு பின்னங்கள் மற்றும் கலப்பு எண்களின் பெருக்கத்தைக் கண்டறிவதைத் தவிர, நீங்கள் ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க வேண்டிய பணிகள் உள்ளன.

எனவே, ஒரு தசம பின்னம் மற்றும் இயற்கை எண்ணின் விளைபொருளைக் கண்டறிய, உங்களுக்கு இது தேவை:

• பின்னத்தின் கீழ் எண்ணை எழுதவும், இதனால் வலதுபுற இலக்கங்கள் ஒன்றின் மேல் ஒன்றாக இருக்கும்;
• காற்புள்ளி இருந்தபோதிலும் தயாரிப்பு கண்டுபிடிக்க;
• இதன் விளைவாக வரும் முடிவில், பகுதியிலுள்ள பகுதியிலிருந்து முழு எண் பகுதியை கமாவைப் பயன்படுத்தி பிரிக்கவும், பின்னத்தில் உள்ள தசமப் புள்ளிக்குப் பிறகு அமைந்துள்ள இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையை வலதுபுறத்தில் இருந்து எண்ணவும்.

ஒரு பொதுவான பின்னத்தை ஒரு எண்ணால் பெருக்க, நீங்கள் எண் மற்றும் இயற்கை காரணியின் பெருக்கத்தைக் கண்டறிய வேண்டும். பதில் குறைக்கக்கூடிய ஒரு பகுதியை உருவாக்கினால், அதை மாற்ற வேண்டும்.

உதாரணமாக. 5/8 மற்றும் 12 இன் பலனைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

பதில்: 7 1 / 2.

முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் இருந்து நீங்கள் பார்க்கக்கூடியது போல, இதன் விளைவாக வரும் முடிவைக் குறைப்பது மற்றும் தவறான பகுதியளவு வெளிப்பாட்டை கலப்பு எண்ணாக மாற்றுவது அவசியம்.

பின்னங்களின் பெருக்கல், கலப்பு வடிவத்திலும் இயற்கையான காரணியிலும் எண்ணின் பெருக்கத்தைக் கண்டறிவதும் சம்பந்தப்பட்டது. இந்த இரண்டு எண்களையும் பெருக்க, கலப்புக் காரணியின் முழுப் பகுதியையும் எண்ணால் பெருக்க வேண்டும், அதே மதிப்பால் எண்ணைப் பெருக்கி, வகுப்பினை மாறாமல் விட வேண்டும். தேவைப்பட்டால், விளைந்த முடிவை முடிந்தவரை எளிதாக்க வேண்டும்.

உதாரணமாக. 9 5 / 6 மற்றும் 9 இன் பலன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

பதில்: 88 1 / 2.

10, 100, 1000 அல்லது 0.1 காரணிகளால் பெருக்கல்; 0.01; 0.001

பின்வரும் விதி முந்தைய பத்தியிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. ஒரு தசமப் பகுதியை 10, 100, 1000, 10000, போன்றவற்றால் பெருக்க, தசம புள்ளியை பல இலக்கங்களால் வலதுபுறமாக நகர்த்த வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 1. 0.065 மற்றும் 1000 இன் பலன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

பதில்: 65.

உதாரணம் 2. 3.9 மற்றும் 1000 இன் பலன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

பதில்: 3900.

நீங்கள் ஒரு இயற்கை எண் மற்றும் 0.1 ஐ பெருக்க வேண்டும் என்றால்; 0.01; 0.001; 0.0001, முதலியன, விளைந்த தயாரிப்பில் உள்ள கமாவை ஒன்றுக்கு முன் பூஜ்ஜியங்கள் இருக்கும் அளவுக்கு பல இலக்க எழுத்துகளால் இடதுபுறமாக நகர்த்த வேண்டும். தேவைப்பட்டால், இயற்கை எண்ணுக்கு முன் போதுமான எண்ணிக்கையிலான பூஜ்ஜியங்கள் எழுதப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு 1. 56 மற்றும் 0.01 இன் பலன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

பதில்: 0,56.

உதாரணம் 2. 4 மற்றும் 0.001 இன் பலன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

பதில்: 0,004.

எனவே, வெவ்வேறு பின்னங்களின் விளைபொருளைக் கண்டறிவது, ஒருவேளை முடிவைக் கணக்கிடுவதைத் தவிர, எந்த சிரமத்தையும் ஏற்படுத்தக்கூடாது; இந்த வழக்கில், நீங்கள் ஒரு கால்குலேட்டர் இல்லாமல் செய்ய முடியாது.

சாதாரண பின்ன எண்கள் முதலில் 5 ஆம் வகுப்பில் பள்ளி மாணவர்களைச் சந்தித்து அவர்களின் வாழ்நாள் முழுவதும் அவர்களுடன் செல்கின்றன, ஏனெனில் அன்றாட வாழ்க்கையில் ஒரு பொருளை முழுவதுமாக அல்ல, ஆனால் தனித்தனி துண்டுகளாகக் கருத்தில் கொள்வது அல்லது பயன்படுத்துவது அவசியம். இந்த தலைப்பைப் படிக்கத் தொடங்குங்கள் - பங்குகள். பங்குகள் சம பாகங்கள், இதில் இந்த அல்லது அந்த பொருள் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒரு முழு எண்ணாக ஒரு பொருளின் நீளம் அல்லது விலையை வெளிப்படுத்துவது எப்போதும் சாத்தியமில்லை; சில அளவின் பாகங்கள் அல்லது பின்னங்கள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும். "பிளவு" என்ற வினைச்சொல்லில் இருந்து உருவாக்கப்பட்டது - பகுதிகளாகப் பிரித்து, அரபு வேர்களைக் கொண்ட, "பின்னம்" என்ற வார்த்தை 8 ஆம் நூற்றாண்டில் ரஷ்ய மொழியில் எழுந்தது.

பின்னம் வெளிப்பாடுகள் நீண்ட காலமாக கணிதத்தின் மிகவும் கடினமான கிளையாகக் கருதப்படுகின்றன. 17 ஆம் நூற்றாண்டில், கணிதத்தின் முதல் பாடப்புத்தகங்கள் தோன்றியபோது, ​​​​அவை "உடைந்த எண்கள்" என்று அழைக்கப்பட்டன, இது மக்கள் புரிந்து கொள்ள மிகவும் கடினமாக இருந்தது.

எளிமையான பகுதியளவு எச்சங்களின் நவீன வடிவம், அதன் பகுதிகள் கிடைமட்டக் கோட்டால் பிரிக்கப்படுகின்றன, முதலில் ஃபைபோனச்சி - லியோனார்டோ ஆஃப் பைசாவால் ஊக்குவிக்கப்பட்டது. இவருடைய படைப்புகள் 1202 ஆம் ஆண்டைச் சேர்ந்தவை. ஆனால் இக்கட்டுரையின் நோக்கமானது, பல்வேறு பிரிவுகளுடன் கலந்த பின்னங்கள் எவ்வாறு பெருக்கப்படுகின்றன என்பதை எளிமையாகவும் தெளிவாகவும் வாசகருக்கு விளக்குவதாகும்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைப் பெருக்குதல்

ஆரம்பத்தில் அதை தீர்மானிப்பது மதிப்பு பின்னங்களின் வகைகள்:

• சரி;
• தவறான;
• கலந்தது.

அடுத்து, ஒரே வகுப்பினருடன் பின்ன எண்கள் எவ்வாறு பெருக்கப்படுகின்றன என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். இந்த செயல்முறையின் விதியை சுயாதீனமாக உருவாக்குவது கடினம் அல்ல: ஒரே மாதிரியான பிரிவுகளுடன் எளிய பின்னங்களைப் பெருக்குவதன் விளைவு ஒரு பகுதியளவு வெளிப்பாடு ஆகும், இதன் எண் எண்களின் விளைபொருளாகும், மேலும் வகுப்பானது இந்த பின்னங்களின் வகுப்பினரின் விளைபொருளாகும். . அதாவது, உண்மையில், புதிய வகுப்பானது ஆரம்பத்தில் இருக்கும் ஒன்றின் சதுரமாகும்.

பெருக்கும் போது வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட எளிய பின்னங்கள்இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணிகளுக்கு விதி மாறாது:

ஒரு/பி * c/ஈ = a*c / b*d.

ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், பின்னக் கோட்டின் கீழ் உருவாக்கப்பட்ட எண் வெவ்வேறு எண்களின் விளைபொருளாக இருக்கும், இயற்கையாகவே, அதை ஒரு எண் வெளிப்பாட்டின் சதுரம் என்று அழைக்க முடியாது.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களின் பெருக்கத்தைக் கருத்தில் கொள்வது மதிப்பு:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

எடுத்துக்காட்டுகள் பகுதியளவு வெளிப்பாடுகளைக் குறைக்கும் முறைகளைப் பயன்படுத்துகின்றன. டினாமினேட்டர் எண்களுடன் மட்டுமே நீங்கள் எண் எண்களைக் குறைக்க முடியும்; பின்னம் கோட்டிற்கு மேலே அல்லது கீழே உள்ள காரணிகளைக் குறைக்க முடியாது.

எளிய பின்னங்களுடன், கலப்பு பின்னங்கள் என்ற கருத்தும் உள்ளது. ஒரு கலப்பு எண் ஒரு முழு எண் மற்றும் ஒரு பகுதியளவு பகுதியைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, இது இந்த எண்களின் கூட்டுத்தொகை:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

பெருக்கல் எவ்வாறு செயல்படுகிறது?

பரிசீலனைக்கு பல எடுத்துக்காட்டுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

எடுத்துக்காட்டு ஒரு எண்ணின் பெருக்கத்தைப் பயன்படுத்துகிறது சாதாரண பகுதியளவு, இந்த செயலுக்கான விதியை இவ்வாறு எழுதலாம்:

ஒரு* b/c = a*b /c.

உண்மையில், அத்தகைய தயாரிப்பு ஒரே மாதிரியான பகுதியளவு எச்சங்களின் கூட்டுத்தொகையாகும், மேலும் சொற்களின் எண்ணிக்கை இந்த இயற்கை எண்ணைக் குறிக்கிறது. சிறப்பு வழக்கு:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

ஒரு எண்ணை ஒரு பகுதி மீதியால் பெருக்க மற்றொரு தீர்வு உள்ளது. நீங்கள் வகுப்பினை இந்த எண்ணால் வகுக்க வேண்டும்:

d* இ/f = இ/f: d.

வகுத்தல் ஒரு இயற்கை எண்ணால் மீதம் இல்லாமல் அல்லது அவர்கள் சொல்வது போல் முழு எண்ணால் வகுக்கப்படும் போது இந்த நுட்பம் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றி, முன்பு விவரிக்கப்பட்ட வழியில் தயாரிப்பைப் பெறவும்:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

இந்த எடுத்துக்காட்டில் ஒரு கலப்புப் பகுதியை ஒரு முறையற்ற பின்னமாகக் குறிப்பிடும் வழியை உள்ளடக்கியது, மேலும் பொதுவான சூத்திரமாகவும் குறிப்பிடலாம்:

அ பிc = a*b+ c / c, புதிய பின்னத்தின் வகுத்தல், முழுப் பகுதியையும் வகுப்பினருடன் பெருக்கி, அசல் பின்னம் எஞ்சியிருக்கும் எண்ணுடன் சேர்ப்பதன் மூலம் உருவாகிறது, மேலும் வகுப்பானது அப்படியே இருக்கும்.

இந்த செயல்முறையும் எதிர் திசையில் செயல்படுகிறது. முழு பகுதியையும் பகுதியளவு எஞ்சிய பகுதியையும் பிரிக்க, நீங்கள் ஒரு "மூலையில்" பயன்படுத்தி தவறான பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை அதன் வகுப்பினால் வகுக்க வேண்டும்.

முறையற்ற பின்னங்களைப் பெருக்குதல்பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட முறையில் தயாரிக்கப்பட்டது. ஒற்றைப் பின்னக் கோட்டின் கீழ் எழுதும் போது, ​​இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி எண்களைக் குறைக்கவும், முடிவைக் கணக்கிடுவதை எளிதாக்கவும் தேவையான பின்னங்களை நீங்கள் குறைக்க வேண்டும்.

நிரல்களின் பல்வேறு மாறுபாடுகளில் சிக்கலான கணித சிக்கல்களைக் கூட தீர்க்க இணையத்தில் பல உதவியாளர்கள் உள்ளனர். இத்தகைய சேவைகளின் போதுமான எண்ணிக்கையானது பிரிவுகளில் வெவ்வேறு எண்களைக் கொண்ட பின்னங்களின் பெருக்கத்தைக் கணக்கிடுவதில் தங்கள் உதவியை வழங்குகின்றன - பின்னங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான ஆன்லைன் கால்குலேட்டர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவை பெருக்குவது மட்டுமல்லாமல், சாதாரண பின்னங்கள் மற்றும் கலப்பு எண்களுடன் மற்ற அனைத்து எளிய எண்கணித செயல்பாடுகளையும் செய்ய முடியும். வேலை செய்வது கடினம் அல்ல; இணையதளப் பக்கத்தில் பொருத்தமான புலங்களை நிரப்பவும், கணித செயல்பாட்டின் அடையாளத்தைத் தேர்ந்தெடுத்து, "கணக்கிடு" என்பதைக் கிளிக் செய்யவும். நிரல் தானாகவே கணக்கிடுகிறது.

பின்னங்கள் கொண்ட எண்கணித செயல்பாடுகளின் தலைப்பு நடுத்தர மற்றும் உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களின் கல்வி முழுவதும் பொருத்தமானது. உயர்நிலைப் பள்ளியில், அவர்கள் இனி எளிய இனங்கள் கருதுகின்றனர், ஆனால் முழு எண் பகுதி வெளிப்பாடுகள், ஆனால் மாற்றத்திற்கான விதிகள் மற்றும் முன்னர் பெறப்பட்ட கணக்கீடுகளின் அறிவு அதன் அசல் வடிவத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. நன்கு தேர்ச்சி பெற்ற அடிப்படை அறிவு மிகவும் சிக்கலான பிரச்சனைகளை வெற்றிகரமாக தீர்ப்பதில் முழுமையான நம்பிக்கையை அளிக்கிறது.

முடிவில், லெவ் நிகோலாவிச் டால்ஸ்டாயின் வார்த்தைகளை மேற்கோள் காட்டுவது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது: "மனிதன் ஒரு பின்னம். ஒரு நபரின் எண்ணிக்கையை - அவரது தகுதிகளை - அதிகரிப்பது ஒரு நபரின் சக்தியில் இல்லை, ஆனால் அவரது வகுப்பை - தன்னைப் பற்றிய அவரது கருத்தை யாரும் குறைக்க முடியும், மேலும் இந்த குறைவினால் அவரது முழுமைக்கு நெருங்கி வருகிறது.