சைன் விகிதத்திற்கு சமம். கடுமையான கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட், கோட்டான்ஜென்ட்

சொற்பொழிவு: சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட், தன்னிச்சையான கோணத்தின் கோட்டான்ஜென்ட்

சைன், தன்னிச்சையான கோணத்தின் கொசைன்

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் என்ன என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, அலகு ஆரம் கொண்ட வட்டத்திற்குத் திரும்புவோம். இந்த வட்டம் ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தின் தோற்றத்தில் மையமாக உள்ளது. கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளைத் தீர்மானிக்க, ஆரம் வெக்டரைப் பயன்படுத்துவோம் அல்லதுஇது வட்டம் மற்றும் புள்ளியின் மையத்தில் தொடங்குகிறது ஆர்என்பது வட்டத்தின் புள்ளி. இந்த ஆரம் திசையன் அச்சுடன் ஒரு கோண ஆல்பாவை உருவாக்குகிறது ஓ... வட்டம் ஒன்றுக்கு சமமான ஆரம் கொண்டிருப்பதால், பிறகு OP = R = 1.

புள்ளியில் இருந்து இருந்தால் ஆர்அச்சுக்கு செங்குத்தாக குறைக்கவும் ஓ, பின்னர் நாம் ஒன்றுக்கு சமமான ஹைப்போடென்யூஸுடன் வலது கோண முக்கோணத்தைப் பெறுகிறோம்.

ஆரம் திசையன் கடிகார திசையில் நகர்ந்தால், இந்த திசை அழைக்கப்படுகிறது எதிர்மறை, அது எதிரெதிர் திசையில் நகர்ந்தால் - நேர்மறை.

சைன் கோணம் அல்லது, என்பது புள்ளியின் ஒழுங்குமுறை ஆர்ஒரு வட்டத்தில் திசையன்கள்.

அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட கோண ஆல்பாவின் சைன் மதிப்பைப் பெற, ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். வேண்டும்மேற்பரப்பில்.

இந்த மதிப்பு எப்படி கிடைத்தது? ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் தன்னிச்சையான கோணத்தின் சைன் என்பது எதிர் காலின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதமாகும் என்பதை நாம் அறிந்திருப்பதால், அதைப் பெறுகிறோம்

மற்றும் இருந்து ஆர் = 1, பிறகு பாவம் (α) = y 0 .

அலகு வட்டத்தில், ஆர்டினேட்டின் மதிப்பு -1 ஐ விட குறைவாகவும் 1 ஐ விட அதிகமாகவும் இருக்கக்கூடாது, அதாவது

அலகு வட்டத்தின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது காலாண்டில் சைன் நேர்மறையாகவும், மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது பாதகமாகவும் இருக்கும்.

கொசைன் கோணம்ஆரம் வெக்டரால் உருவாக்கப்பட்ட வட்டம் அல்லது, என்பது புள்ளியின் abscissa ஆகும் ஆர்ஒரு வட்டத்தில் திசையன்கள்.

அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட கோண ஆல்பாவின் கொசைனின் மதிப்பைப் பெற, ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். என். எஸ்மேற்பரப்பில்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் தன்னிச்சையான கோணத்தின் கோசைன் என்பது ஹைபோடென்யூஸுக்கு அருகிலுள்ள காலின் விகிதமாகும், நாம் அதைப் பெறுகிறோம்

மற்றும் இருந்து ஆர் = 1, பிறகு cos (α) = x 0 .

அலகு வட்டத்தில், abscissa இன் மதிப்பு -1 க்கும் குறைவாகவும் 1 ஐ விட அதிகமாகவும் இருக்கக்கூடாது, அதாவது

கோசைன் அலகு வட்டத்தின் முதல் மற்றும் நான்காவது காலாண்டுகளில் நேர்மறையாகவும், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது காலாண்டில் எதிர்மறையாகவும் உள்ளது.

தொடுகோடுதன்னிச்சையான கோணம்சைன் மற்றும் கொசைன் விகிதம் கருதப்படுகிறது.

நாம் ஒரு வலது கோண முக்கோணத்தைக் கருத்தில் கொண்டால், இது எதிர் காலின் விகிதமாகும். நாம் யூனிட் வட்டத்தைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்றால், இது அப்சிஸ்ஸாவிற்கு ஆர்டினேட்டின் விகிதமாகும்.

இந்த விகிதங்களின் மூலம் ஆராயும்போது, ​​அப்சிசாவின் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அதாவது 90 டிகிரி கோணத்தில் இருந்தால், தொடுகோடு இருக்க முடியாது என்பதை ஒருவர் புரிந்து கொள்ளலாம். டேன்ஜென்ட் மற்ற எல்லா மதிப்புகளையும் எடுக்கலாம்.

அலகு வட்டத்தின் முதல் மற்றும் மூன்றாம் காலாண்டுகளில் தொடுகோடு நேர்மறையாகவும், இரண்டாவது மற்றும் நான்காவது காலாண்டில் எதிர்மறையாகவும் இருக்கும்.

முக்கோணவியல், ஒரு அறிவியலாக, பண்டைய கிழக்கில் தோன்றியது. துல்லியமான காலண்டர் மற்றும் நட்சத்திர நோக்குநிலையை உருவாக்க வானியலாளர்களால் முதல் முக்கோணவியல் உறவுகள் பெறப்பட்டன. இந்தக் கணக்கீடுகள் கோள முக்கோணவியல் தொடர்பானவை, பள்ளிப் படிப்பில் தட்டையான முக்கோணத்தின் அம்சம் மற்றும் கோண விகிதங்கள் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன.

முக்கோணவியல் என்பது முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் பண்புகள் மற்றும் முக்கோணங்களின் பக்கங்கள் மற்றும் கோணங்களுக்கு இடையிலான உறவைக் கையாளும் கணிதத்தின் ஒரு கிளை ஆகும்.

கி.பி 1 ஆம் மில்லினியத்தின் கலாச்சாரம் மற்றும் அறிவியலின் உச்சக்கட்டத்தின் போது, ​​பண்டைய கிழக்கிலிருந்து கிரீஸ் வரை அறிவு பரவியது. ஆனால் முக்கோணவியலின் முக்கிய கண்டுபிடிப்புகள் அரபு கலிபாவின் ஆண்களின் தகுதியாகும். குறிப்பாக, துர்க்மென் விஞ்ஞானி அல்-மராஸ்வி, டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் போன்ற செயல்பாடுகளை அறிமுகப்படுத்தினார், சைன்கள், டேன்ஜென்ட்கள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்களுக்கான மதிப்புகளின் முதல் அட்டவணைகளைத் தொகுத்தார். சைன் மற்றும் கொசைன் என்ற கருத்து இந்திய விஞ்ஞானிகளால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. யூக்ளிட், ஆர்க்கிமிடிஸ் மற்றும் எரடோஸ்தீனஸ் போன்ற பழங்காலப் பெரியவர்களின் படைப்புகளில் முக்கோணவியல் மீது அதிக கவனம் செலுத்தப்படுகிறது.

முக்கோணவியலின் அடிப்படை அளவுகள்

ஒரு எண் வாதத்தின் அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட். அவை ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த வரைபடத்தைக் கொண்டுள்ளன: சைனூசாய்டு, கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்.

இந்த அளவுகளின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள் பித்தகோரியன் தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. சமபக்க வலது கோண முக்கோணத்தின் எடுத்துக்காட்டில் ஆதாரம் கொடுக்கப்பட்டதால், "பித்தகோரியன் கால்சட்டை, எல்லா திசைகளிலும் சமம்" என்ற வார்த்தைகளில் பள்ளிக்குழந்தைகள் இதை நன்கு அறிவார்கள்.

சைன், கொசைன் மற்றும் பிற சார்புகள் கடுமையான கோணங்களுக்கும் எந்த செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும் இடையே ஒரு உறவை ஏற்படுத்துகின்றன. கோணம் A க்கு இந்த மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களை வழங்குவோம் மற்றும் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் உறவைக் கண்டுபிடிப்போம்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, tg மற்றும் ctg ஆகியவை தலைகீழ் செயல்பாடுகள். நாம் leg a ஐ sin A மற்றும் hypotenuse c மற்றும் லெக் b ஐ cos A * c எனப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தினால், தொடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்டுக்கான பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம்:

முக்கோணவியல் வட்டம்

வரைபட ரீதியாக, இந்த அளவுகளின் விகிதத்தை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்:

வட்டம், இந்த விஷயத்தில், கோணத்தின் அனைத்து சாத்தியமான மதிப்புகளையும் குறிக்கிறது α - 0 ° முதல் 360 ° வரை. படத்தில் இருந்து நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒவ்வொரு செயல்பாடும் கோணத்தின் மதிப்பைப் பொறுத்து எதிர்மறை அல்லது நேர்மறை மதிப்பைப் பெறுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, α ஒரு வட்டத்தின் I மற்றும் II காலாண்டுகளுக்குச் சொந்தமானதாக இருந்தால், அதாவது 0 ° முதல் 180 ° வரையிலான வரம்பில் இருந்தால் sin α "+" அடையாளத்துடன் இருக்கும். α 180 ° முதல் 360 ° (III மற்றும் IV காலாண்டுகள்) வரை இருக்கும் போது, ​​பாவம் α எதிர்மறையாக மட்டுமே இருக்கும்.

குறிப்பிட்ட கோணங்களுக்கான முக்கோணவியல் அட்டவணைகளை உருவாக்கி, அளவுகளின் மதிப்பைக் கண்டறிய முயற்சிப்போம்.

α இன் மதிப்புகள் 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° மற்றும் பல சமமானவை சிறப்பு வழக்குகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவற்றுக்கான முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகள் கணக்கிடப்பட்டு சிறப்பு அட்டவணைகள் வடிவில் வழங்கப்படுகின்றன.

இந்த கோணங்கள் தற்செயலாக தேர்ந்தெடுக்கப்படவில்லை. அட்டவணையில் உள்ள π என்ற பெயர் ரேடியன்களைக் குறிக்கிறது. ரேட் என்பது ஒரு வட்ட வளைவின் நீளம் அதன் ஆரத்துடன் ஒத்திருக்கும் கோணம். உலகளாவிய சார்புநிலையை நிறுவுவதற்காக இந்த மதிப்பு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது; ரேடியன்களில் கணக்கிடும் போது, ​​செ.மீ இல் ஆரம் உண்மையான நீளம் ஒரு பொருட்டல்ல.

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கான அட்டவணையில் உள்ள கோணங்கள் ரேடியன்களின் மதிப்புகளுக்கு ஒத்திருக்கும்:

எனவே, 2π ஒரு முழு வட்டம் அல்லது 360 ° என்று யூகிக்க கடினமாக இல்லை.

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் பண்புகள்: சைன் மற்றும் கொசைன்

சைன் மற்றும் கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் அடிப்படை பண்புகளை கருத்தில் கொண்டு ஒப்பிடுவதற்கு, அவற்றின் செயல்பாடுகளை வரைய வேண்டியது அவசியம். இது இரு பரிமாண ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் அமைந்துள்ள வளைவு வடிவில் செய்யப்படலாம்.

சைன் அலை மற்றும் கொசைன் அலைக்கான பண்புகளின் ஒப்பீட்டு அட்டவணையைக் கவனியுங்கள்:

ஒரு செயல்பாடு சமமானதா இல்லையா என்பதை தீர்மானிப்பது மிகவும் எளிது. முக்கோணவியல் அளவுகளின் அறிகுறிகளுடன் ஒரு முக்கோணவியல் வட்டத்தை கற்பனை செய்து, OX அச்சைப் பற்றிய வரைபடத்தை மனதளவில் "மடி" செய்தால் போதும். அறிகுறிகள் பொருந்தினால், செயல்பாடு சமமாக இருக்கும்; இல்லையெனில், அது ஒற்றைப்படை.

ரேடியன்களின் அறிமுகம் மற்றும் சைனூசாய்டு மற்றும் கொசைன் ஆகியவற்றின் முக்கிய பண்புகளை கணக்கிடுவது பின்வரும் வடிவத்தை கொடுக்க அனுமதிக்கிறது:

சூத்திரத்தின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்க மிகவும் எளிதானது. எடுத்துக்காட்டாக, x = π / 2 க்கு, கோசைன் x = 0 போலவே சைன் 1 ஆகும். அட்டவணைகளைக் குறிப்பிடுவதன் மூலமோ அல்லது கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கான செயல்பாடுகளின் வளைவுகளைக் கண்டறிவதன் மூலமோ சரிபார்ப்பை மேற்கொள்ளலாம்.

டான்ஜெண்டாய்டு மற்றும் கோட்டான்ஜெண்டாய்டு பண்புகள்

டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் செயல்பாடுகளின் அடுக்குகள் சைன் மற்றும் கொசைனிலிருந்து கணிசமாக வேறுபடுகின்றன. tg மற்றும் ctg மதிப்புகள் ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறானது.

1. Y = tg x.
2. டேன்ஜெண்டாய்டு x = π / 2 + πk இல் உள்ள y-மதிப்புகளுக்குச் செல்கிறது, ஆனால் அவற்றை ஒருபோதும் அடையாது.
3. டேன்ஜெண்டாய்டின் மிகச் சிறிய நேர்மறை காலம் π ஆகும்.
4. Tg (- x) = - tg x, அதாவது செயல்பாடு ஒற்றைப்படை.
5. Tg x = 0, x = πk.
6. செயல்பாடு அதிகரித்து வருகிறது.
7. Tg x ›0, x ϵக்கு (πk, π / 2 + πk).
8. Tg x ‹0, x ϵக்கு (- π / 2 + πk, πk).
9. வழித்தோன்றல் (tg x) ’= 1 / cos 2 ⁡x.

உரையில் கீழே உள்ள cotangentoid இன் வரைகலைப் பிரதிநிதித்துவத்தைக் கவனியுங்கள்.

ஒரு cotangensoid முக்கிய பண்புகள்:

1. Y = ctg x.
2. சைன் மற்றும் கொசைன் செயல்பாடுகளைப் போலல்லாமல், டேன்ஜெண்டாய்டில் Y ஆனது அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பின் மதிப்புகளைப் பெறலாம்.
3. cotangensoid x = πk இல் y இன் மதிப்புகளை நோக்கி செல்கிறது, ஆனால் அவற்றை ஒருபோதும் அடையாது.
4. ஒரு cotangensoid இன் மிகச் சிறிய நேர்மறை காலம் π ஆகும்.
5. Ctg (- x) = - ctg x, அதாவது செயல்பாடு ஒற்றைப்படை.
6. Ctg x = 0, x = π / 2 + πk.
7. செயல்பாடு குறைந்து வருகிறது.
8. Ctg x ›0, x ϵ (πk, π / 2 + πk).
9. Ctg x ‹0, x ϵக்கு (π / 2 + πk, πk).
10. வழித்தோன்றல் (ctg x) ’= - 1 / sin 2 ⁡x சரி

சைனை எப்படி கண்டுபிடிப்பது?

வடிவவியலைப் படிப்பது சிந்தனையை வளர்க்க உதவுகிறது. இந்த பாடம் பள்ளி பயிற்சியில் அவசியம் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. வாழ்க்கையில், இந்த விஷயத்தைப் பற்றிய அறிவு பயனுள்ளதாக இருக்கும் - உதாரணமாக, ஒரு அபார்ட்மெண்ட் திட்டமிடும் போது.

வரலாற்றில் இருந்து

வடிவியல் பாடத்தின் ஒரு பகுதியாக, முக்கோணவியல் ஆய்வு செய்யப்படுகிறது, இது முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை ஆராய்கிறது. முக்கோணவியலில், ஒரு கோணத்தின் சைன்கள், கோசைன்கள், தொடுகோடுகள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்கள் ஆகியவற்றைப் படிக்கிறோம்.

ஆனால் இப்போதைக்கு, எளிமையான விஷயத்துடன் தொடங்குவோம் - சைன். வடிவவியலில் ஒரு கோணத்தின் சைன் - முதல் கருத்தை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம். சைன் என்றால் என்ன, அதை எப்படி கண்டுபிடிப்பது?

"சைன் கோணம்" மற்றும் சைனூசாய்டுகளின் கருத்து

ஒரு கோணத்தின் சைன் என்பது எதிர் காலின் மதிப்புகள் மற்றும் வலது முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் ஆகியவற்றின் விகிதமாகும். இது ஒரு நேரடி முக்கோணவியல் செயல்பாடாகும், இது எழுத்தில் "sin (x)" எனக் குறிக்கப்படுகிறது, இங்கு (x) என்பது முக்கோணத்தின் கோணம்.

வரைபடத்தில், ஒரு கோணத்தின் சைன் அதன் சொந்த குணாதிசயங்களைக் கொண்ட ஒரு சைனூசாய்டால் குறிக்கப்படுகிறது. ஒரு சைனூசாய்டு ஒரு தொடர்ச்சியான அலை அலையான கோடு போல தோற்றமளிக்கிறது, இது ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் சில வரம்புகளுக்குள் உள்ளது. செயல்பாடு ஒற்றைப்படை, எனவே இது ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் 0 உடன் சமச்சீராக உள்ளது (இது ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்தை விட்டு வெளியேறுகிறது).

இந்தச் செயல்பாட்டின் நோக்கம் கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் -1 முதல் +1 வரையிலான வரம்பில் உள்ளது. சைன் கோண செயல்பாட்டின் காலம் 2 பை ஆகும். இதன் பொருள் ஒவ்வொரு 2 பைக்கும் முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது மற்றும் சைனூசாய்டு முழு சுழற்சியில் செல்கிறது.

சைன் அலை சமன்பாடு

• பாவம் x = a / c
• இதில் a என்பது முக்கோணத்தின் கோணத்திற்கு எதிர் கால்
• c - செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ்

சைன் ஆங்கிள் பண்புகள்

1. பாவம் (x) = - பாவம் (x). இந்த அம்சம் செயல்பாடு சமச்சீர் என்பதை நிரூபிக்கிறது, மேலும் இரு திசைகளிலும் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் x மற்றும் (-x) மதிப்புகளை நாம் தள்ளி வைத்தால், இந்த புள்ளிகளின் ஆர்டினேட்டுகள் எதிர்மாறாக இருக்கும். அவை ஒன்றுக்கொன்று சமமான தொலைவில் இருக்கும்.
2. இந்த செயல்பாட்டின் மற்றொரு அம்சம் என்னவென்றால், செயல்பாட்டின் வரைபடம் [- P / 2 + 2 Pn] இடைவெளியில் அதிகரிக்கிறது; [П / 2 + 2Пn], n என்பது எந்த முழு எண். கோணத்தின் சைனின் வரைபடத்தில் ஒரு குறைவு பிரிவில் கவனிக்கப்படும்: [P / 2 + 2 Pn]; [3P / 2 + 2Pn].
3. sin (x)> 0 வரம்பில் x இருக்கும் போது (2Пn, П + 2Пn)
4. (எக்ஸ்)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

கோணத்தின் சைன்களின் மதிப்புகள் சிறப்பு அட்டவணைகளின்படி தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. சிக்கலான சூத்திரங்கள் மற்றும் சமன்பாடுகளைக் கணக்கிடுவதற்கான செயல்முறையை எளிதாக்குவதற்கு இத்தகைய அட்டவணைகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. இது பயன்படுத்த எளிதானது மற்றும் பாவம் (x) செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் மட்டுமல்ல, பிற செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளையும் கொண்டுள்ளது.

மேலும், இந்த செயல்பாடுகளின் நிலையான மதிப்புகளின் அட்டவணை ஒரு பெருக்கல் அட்டவணை போன்ற கட்டாய நினைவக ஆய்வில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. உடல் மற்றும் கணித சார்பு கொண்ட வகுப்புகளுக்கு இது குறிப்பாக உண்மை. முக்கோணவியலில் பயன்படுத்தப்படும் முக்கிய கோணங்களின் மதிப்புகளை அட்டவணையில் காணலாம்: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 மற்றும் 360 டிகிரி.

தரமற்ற கோணங்களின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளை நிர்ணயிக்கும் அட்டவணையும் உள்ளது. வெவ்வேறு அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி, சில கோணங்களின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை எளிதாகக் கணக்கிடலாம்.

சமன்பாடுகள் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்டு உருவாக்கப்படுகின்றன. எளிமையான முக்கோணவியல் அடையாளங்கள் மற்றும் செயல்பாடுகளின் மாற்றங்களை நீங்கள் அறிந்திருந்தால், இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது எளிது, எடுத்துக்காட்டாக, sin (P / 2 + x) = cos (x) மற்றும் பிற. அத்தகைய வார்ப்புகளுக்காக ஒரு தனி அட்டவணையும் தொகுக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒரு கோணத்தின் சைனை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

ஒரு கோணத்தின் சைனைக் கண்டறிவதே பணியாக இருக்கும்போது, ​​நிபந்தனையின்படி ஒரு கோணத்தின் கோசைன், டேன்ஜென்ட் அல்லது கோடேன்ஜென்ட் மட்டுமே இருக்கும் போது, ​​முக்கோணவியல் அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தி நமக்குத் தேவையானதை எளிதாகக் கணக்கிடலாம்.

• sin 2 x + cos 2 x = 1

இந்த சமன்பாட்டின் அடிப்படையில், எந்த மதிப்பு தெரியவில்லை என்பதைப் பொறுத்து, சைன் மற்றும் கொசைன் இரண்டையும் காணலாம். தெரியாத ஒரு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

• பாவம் 2 x = 1 - cos 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 = 1 / sin 2 x

இந்த சமன்பாட்டிலிருந்து, கோணத்தின் கோடேன்ஜென்ட்டின் மதிப்பை அறிந்து, சைனின் மதிப்பைக் கண்டறியலாம். எளிமைக்கு, sin 2 x = y ஐ மாற்றவும், பின்னர் உங்களிடம் ஒரு எளிய சமன்பாடு உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, கோடேன்ஜென்ட் மதிப்பு 1, பிறகு:

• 1 + 1 = 1 / y
• 2 = 1 / y
• 2y = 1
• y = 1/2

இப்போது நாங்கள் விளையாட்டின் தலைகீழ் மாற்றீட்டைச் செய்கிறோம்:

• பாவம் 2 x = ½
• பாவம் x = 1 / √2

நிலையான கோணத்திற்கான (45 0) கோட்டான்ஜென்ட் மதிப்பை நாங்கள் எடுத்ததால், பெறப்பட்ட மதிப்புகளை அட்டவணைக்கு எதிராகச் சரிபார்க்கலாம்.

தொடுகோட்டின் மதிப்பு உங்களுக்கு வழங்கப்பட்டாலும், நீங்கள் சைனைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், மற்றொரு முக்கோணவியல் அடையாளம் உதவும்:

• tg x * ctg x = 1

அது பின்வருமாறு:

• ctg x = 1 / tg x

தரமற்ற கோணத்தின் சைனைக் கண்டுபிடிக்க, எடுத்துக்காட்டாக, 240 0, நீங்கள் கோணக் குறைப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும். π என்பது நமக்கு 180 0 க்கு ஒத்திருக்கிறது என்பது நமக்குத் தெரியும். எனவே, விரிவடைவதன் மூலம் நிலையான கோணங்களின் அடிப்படையில் நமது சமத்துவத்தை வெளிப்படுத்துவோம்.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

பின்வருவனவற்றை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்: பாவம் (180 0 + 60 0). முக்கோணவியல் இந்த வழக்கில் கைக்கு வரும் குறைப்பு சூத்திரங்களைக் கொண்டுள்ளது. இதுதான் சூத்திரம்:

• பாவம் (π + x) = - பாவம் (x)

எனவே, 240 டிகிரி கோணத்தின் சைன்:

• பாவம் (180 0 + 60 0) = - பாவம் (60 0) = - √3 / 2

எங்கள் விஷயத்தில், x = 60, மற்றும் P, முறையே, 180 டிகிரி. நிலையான கோணங்களின் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து மதிப்பை (-√3 / 2) கண்டறிந்தோம்.

எனவே, நீங்கள் தரமற்ற கோணங்களை விரிவாக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக: 210 = 180 + 30.

நீர் சேர்க்கைசெங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணம் α என்பது விகிதமாகும் எதிர்க்கிறதுஹைப்போடென்ஸுக்கு கால்.
இது இவ்வாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது: sin α.

கொசைன்ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணம் α என்பது ஹைபோடென்யூஸுக்கு அருகில் உள்ள காலின் விகிதமாகும்.
இது இவ்வாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது: cos α.

தொடுகோடுகடுமையான கோணம் α என்பது எதிர் காலுக்கும் அருகில் உள்ள காலுக்கும் உள்ள விகிதமாகும்.
இது பின்வருமாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது: tg α.

கோடன்ஜென்ட்கடுமையான கோணம் α என்பது அருகில் உள்ள காலின் எதிர் காலின் விகிதமாகும்.
இது பின்வருமாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது: ctg α.

ஒரு கோணத்தின் சைன், கோசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவை கோணத்தின் அளவை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது.

விதிகள்:

செங்கோண முக்கோணத்தில் அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள்:

(α - காலுக்கு எதிரே கடுமையான கோணம் பி மற்றும் காலுக்கு அருகில் அ ... பக்கம் உடன் - ஹைப்போடென்யூஸ். β இரண்டாவது கடுமையான கோணம்).

அதிகரிக்கும் தீவிர கோணத்துடன்பாவம் α மற்றும்tg α அதிகரிப்பு, மற்றும்cos α குறைகிறது.

எந்த தீவிர கோணத்திற்கும் α:

பாவம் (90 ° - α) = cos α

cos (90 ° - α) = sin α

எடுத்துக்காட்டு தெளிவுபடுத்தல்:

ஒரு செங்கோண முக்கோண ABC இல் விடுங்கள்
ஏபி = 6,
BC = 3,
கோணம் A = 30º.

கோணம் A இன் சைன் மற்றும் கோண B இன் கொசைன் ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு .

1) முதலில், B கோணத்தின் மதிப்பைக் காண்கிறோம். இங்கே எல்லாம் எளிமையானது: செங்கோண முக்கோணத்தில் கடுமையான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90º, பின்னர் கோணம் B = 60º:

B = 90º - 30º = 60º.

2) பாவத்தை கணக்கிடுக A. சைன் என்பது எதிர் காலின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதத்திற்கு சமம் என்பதை நாம் அறிவோம். கோணம் A க்கு, எதிர் கால் கி.மு. அதனால்:

கிமு 3 1
பாவம் A = - = - = -
ஏபி 6 2

3) இப்போது cos B ஐக் கணக்கிடுகிறோம். கொசைன், அருகிலுள்ள காலின் ஹைப்போடென்யூஸுக்கு சமமான விகிதத்திற்கு சமம் என்பதை நாம் அறிவோம். கோணம் Bக்கு, அருகில் உள்ள கால் கி.மு. இதன் பொருள் நாம் மீண்டும் BC ஐ AB ஆல் வகுக்க வேண்டும் - அதாவது, A கோணத்தின் சைனைக் கணக்கிடும்போது அதே செயல்களைச் செய்யுங்கள்:

கிமு 3 1
cos B = - = - = -
ஏபி 6 2

முடிவு:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

இதிலிருந்து ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் ஒரு தீவிர கோணத்தின் சைன் மற்றொரு தீவிர கோணத்தின் கோசைனுக்கு சமம் - மற்றும் நேர்மாறாகவும் இருக்கும். எங்களின் இரண்டு சூத்திரங்களின் அர்த்தம் இதுதான்:
பாவம் (90 ° - α) = cos α
cos (90 ° - α) = sin α

இதை மீண்டும் உறுதி செய்வோம்:

1) α = 60º. சைன் சூத்திரத்தில் α இன் மதிப்பை மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:
பாவம் (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) α = 30º. கொசைன் சூத்திரத்தில் α இன் மதிப்பை மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:
cos (90 ° - 30 °) = பாவம் 30 °.
cos 60 ° = பாவம் 30 °.

(முக்கோணவியல் பற்றிய கூடுதல் தகவலுக்கு, இயற்கணிதம் பகுதியைப் பார்க்கவும்)

வலது கோண முக்கோணத்துடன் முக்கோணவியல் ஆய்வைத் தொடங்குவோம். சைன் மற்றும் கோசைன் என்ன, அதே போல் ஒரு தீவிர கோணத்தின் தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றை வரையறுப்போம். இவையே முக்கோணவியலின் அடிப்படைகள்.

அதை நினைவு கூருங்கள் வலது கோணம் 90 டிகிரி கோணம் ஆகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு தட்டையான மூலையில் பாதி.

கூர்மையான மூலை- 90 டிகிரிக்கு குறைவாக.

மழுங்கிய கோணம்- 90 டிகிரிக்கு மேல். அத்தகைய ஒரு மூலையில் பயன்படுத்தினால், "ஊமை" என்பது ஒரு அவமானம் அல்ல, ஆனால் ஒரு கணித சொல் :-)

வலது கோண முக்கோணத்தை வரைவோம். ஒரு வலது கோணம் பொதுவாக குறிக்கப்படுகிறது. மூலைக்கு எதிரே உள்ள பக்கமானது அதே எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது, சிறியது மட்டுமே. எனவே, A மூலைக்கு எதிரே உள்ள பக்கம் குறிக்கப்படுகிறது.

கோணம் தொடர்புடைய கிரேக்க எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

ஹைபோடென்யூஸ்வலது கோண முக்கோணம் என்பது வலது கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள பக்கமாகும்.

கால்கள்- கூர்மையான மூலைகளுக்கு எதிரே உள்ள பக்கங்கள்.

மூலைக்கு எதிரே இருக்கும் கால் என்று அழைக்கப்படுகிறது எதிர்க்கிறது(மூலையில் தொடர்பாக). மூலையின் ஒரு பக்கத்தில் இருக்கும் மற்றொரு கால் அழைக்கப்படுகிறது அருகில்.

நீர் சேர்க்கைஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் ஒரு தீவிர கோணம் என்பது எதிர் காலின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதமாகும்:

கொசைன்ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் ஒரு தீவிர கோணம் என்பது ஹைபோடென்யூஸுக்கு அருகிலுள்ள காலின் விகிதமாகும்:

தொடுகோடுஒரு வலது கோண முக்கோணத்தில் ஒரு தீவிர கோணம் - எதிர் காலின் விகிதம் அருகிலுள்ள ஒன்றுக்கு:

மற்றொரு (சமமான) வரையறை: கடுமையான கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் அதன் கோசைன் விகிதமாகும்:

கோடன்ஜென்ட்ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் ஒரு தீவிர கோணம் என்பது, அருகில் உள்ள காலின் எதிர் காலின் விகிதமாகும் (அல்லது, இது ஒன்றே, கொசைன் மற்றும் சைன் விகிதம்):

சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றிற்கான அடிப்படை உறவுகளை கீழே கவனியுங்கள். பிரச்சனைகளை தீர்க்கும் போது அவை நமக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

அவற்றில் சிலவற்றை நிரூபிப்போம்.

சரி, நாங்கள் வரையறைகளை வழங்கியுள்ளோம் மற்றும் சூத்திரங்களை எழுதினோம். சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் எதற்காக?

எங்களுக்கு தெரியும் எந்த முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை.

இடையே உள்ள உறவை நாம் அறிவோம் கட்சிகள்வலது முக்கோணம். இது பித்தகோரியன் தேற்றம்:.

முக்கோணத்தில் இரண்டு கோணங்களை அறிந்தால், மூன்றாவதாக நீங்கள் கண்டுபிடிக்கலாம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் இரண்டு பக்கங்களையும் தெரிந்துகொள்வதன் மூலம், நீங்கள் மூன்றாவதாகக் காணலாம். இதன் பொருள் மூலைகளுக்கு - அதன் சொந்த விகிதம், பக்கங்களுக்கு - அதன் சொந்தம். ஆனால் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் ஒரு கோணம் தெரிந்தால் (சரியான ஒன்றைத் தவிர) மற்றும் ஒரு பக்கம், ஆனால் நீங்கள் மற்ற பக்கங்களைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டுமா?

கடந்த காலங்களில் மக்கள் இதை எதிர்கொண்டனர், பகுதி மற்றும் நட்சத்திரங்கள் நிறைந்த வானத்தின் வரைபடங்களை உருவாக்கினர். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து பக்கங்களையும் நேரடியாக அளவிடுவது எப்போதும் சாத்தியமில்லை.

சைன், கொசைன் மற்றும் டேன்ஜென்ட் - அவை என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன ஒரு கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்- இடையே உறவைக் கொடுங்கள் கட்சிகள்மற்றும் மூலைகள்முக்கோணம். கோணத்தை அறிந்தால், சிறப்பு அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி அதன் அனைத்து முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளையும் நீங்கள் காணலாம். ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்கள் மற்றும் அதன் பக்கங்களில் ஒன்றின் சைன்கள், கோசைன்கள் மற்றும் தொடுகோடுகளை அறிந்தால், மீதமுள்ளவற்றை நீங்கள் கண்டுபிடிக்கலாம்.

"நல்ல" கோணங்களுக்கு சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் மதிப்புகளின் அட்டவணையையும் வரைவோம்.

அட்டவணையில் இரண்டு சிவப்பு கோடுகளைக் கவனியுங்கள். தொடர்புடைய கோணங்களுக்கு, தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் இல்லை.

FIPI வேலை வங்கியிலிருந்து பல முக்கோணவியல் பணிகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

1. ஒரு முக்கோணத்தில், கோணம்,. கண்டுபிடி.

நான்கு வினாடிகளில் பிரச்சனை தீர்ந்துவிடும்.

இது வரை , .

2. ஒரு முக்கோணத்தில், கோணம்,,. கண்டுபிடி.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் மூலம் கண்டறியவும்.

பிரச்சனை தீர்ந்து விட்டது.

மூலைகளுடனும் அல்லது மூலைகளுடனும் முக்கோணங்கள் மற்றும் அடிக்கடி பிரச்சனைகளை சந்திக்கின்றன. அவர்களுக்கான அடிப்படை விகிதங்களை மனப்பாடம் செய்யுங்கள்!

மூலைகளைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்திற்கு மற்றும் b கோணத்திற்கு எதிரே இருக்கும் கால் சமம் ஹைபோடென்யூஸின் பாதி.

மூலைகளைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணம் மற்றும் ஐசோசெல்ஸ் ஆகும். அதில், ஹைப்போடென்யூஸ் காலை விட மடங்கு பெரியது.

வலது கோண முக்கோணங்களைத் தீர்ப்பதில் உள்ள சிக்கலை நாங்கள் ஆராய்ந்தோம் - அதாவது அறியப்படாத பக்கங்கள் அல்லது கோணங்களைக் கண்டறிதல். ஆனால் அதெல்லாம் இல்லை! கணிதத்தில் பரீட்சையின் பதிப்புகளில், முக்கோணத்தின் வெளிப்புற மூலையின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் அல்லது கோடேன்ஜென்ட் தோன்றும் பல சிக்கல்கள் உள்ளன. இதைப் பற்றி அடுத்த கட்டுரையில்.