ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள். சமன்பாடுகளின் அமைப்பை வரைதல்

) மற்றும் வகுப்பின் மூலம் வகுத்தல் (நாம் தயாரிப்பின் வகுப்பினைப் பெறுகிறோம்).

பின்னங்களை பெருக்குவதற்கான சூத்திரம்:

உதாரணத்திற்கு:

நீங்கள் எண்கள் மற்றும் வகுப்பிகளைப் பெருக்கத் தொடங்கும் முன், பின்னத்தை குறைக்க முடியுமா என்பதை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும். நீங்கள் பகுதியைக் குறைக்க முடிந்தால், மேலும் கணக்கீடுகளைச் செய்வது உங்களுக்கு எளிதாக இருக்கும்.

ஒரு பொதுவான பகுதியை ஒரு பகுதியால் வகுத்தல்.

இயற்கை எண்களை உள்ளடக்கிய பின்னங்களைப் பிரித்தல்.

இது தோன்றுவது போல் பயமாக இல்லை. கூட்டல் விஷயத்தைப் போலவே, முழு எண்ணையும் வகுப்பில் ஒன்றின் பின்னமாக மாற்றுகிறோம். உதாரணத்திற்கு:

கலப்பு பின்னங்களை பெருக்குதல்.

பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான விதிகள் (கலப்பு):

• கலப்பு பின்னங்களை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றவும்;
• பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை பெருக்குதல்;
• பகுதியை குறைக்க;
• தவறான பின்னத்தைப் பெற்றால், முறையற்ற பின்னத்தை கலப்புப் பின்னமாக மாற்றுவோம்.

குறிப்பு!ஒரு கலப்புப் பகுதியை மற்றொரு கலப்புப் பகுதியால் பெருக்க, முதலில் அவற்றை முறையற்ற பின்னங்களின் வடிவமாக மாற்ற வேண்டும், பின்னர் சாதாரண பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான விதியின்படி பெருக்க வேண்டும்.

ஒரு பகுதியை இயற்கை எண்ணால் பெருக்க இரண்டாவது வழி.

ஒரு பொதுவான பின்னத்தை ஒரு எண்ணால் பெருக்கும் இரண்டாவது முறையைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியாக இருக்கும்.

குறிப்பு!ஒரு பகுதியை இயற்கை எண்ணால் பெருக்க, பின்னத்தின் வகுப்பினை இந்த எண்ணால் வகுத்து, எண்ணை மாற்றாமல் விட வேண்டும்.

மேலே கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் இருந்து, ஒரு பகுதியின் வகுத்தல் ஒரு இயற்கை எண்ணால் மீதம் இல்லாமல் வகுக்கப்படும் போது இந்த விருப்பம் பயன்படுத்த மிகவும் வசதியானது என்பது தெளிவாகிறது.

பல அடுக்கு பின்னங்கள்.

உயர்நிலைப் பள்ளியில், மூன்று-அடுக்கு (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) பின்னங்கள் அடிக்கடி சந்திக்கப்படுகின்றன. உதாரணமாக:

அத்தகைய பகுதியை அதன் வழக்கமான வடிவத்திற்கு கொண்டு வர, 2 புள்ளிகள் மூலம் வகுக்கவும்:

குறிப்பு!பின்னங்களைப் பிரிக்கும்போது, ​​பிரிவின் வரிசை மிகவும் முக்கியமானது. கவனமாக இருங்கள், இங்கே குழப்பமடைவது எளிது.

குறிப்பு, உதாரணத்திற்கு:

ஒன்றை எந்தப் பின்னத்தால் வகுக்கும் போது, ​​விளைவு அதே பின்னமாக இருக்கும், தலைகீழாக மட்டுமே இருக்கும்:

பின்னங்களை பெருக்குவதற்கும் வகுப்பதற்கும் நடைமுறை குறிப்புகள்:

1. பகுதி வெளிப்பாடுகளுடன் பணிபுரியும் போது மிக முக்கியமான விஷயம் துல்லியம் மற்றும் கவனிப்பு. அனைத்து கணக்கீடுகளையும் கவனமாகவும் துல்லியமாகவும், செறிவுடனும் தெளிவாகவும் செய்யுங்கள். மனக் கணக்கீடுகளில் தொலைந்து போவதை விட உங்கள் வரைவில் சில கூடுதல் வரிகளை எழுதுவது நல்லது.

2. பல்வேறு வகையான பின்னங்களைக் கொண்ட பணிகளில், சாதாரண பின்னங்களின் வகைக்குச் செல்லவும்.

3. குறைக்க முடியாது வரை அனைத்து பின்னங்களையும் குறைக்கிறோம்.

4. 2 புள்ளிகள் மூலம் பிரிவைப் பயன்படுத்தி பல-நிலை பின்ன வெளிப்பாடுகளை சாதாரணமாக மாற்றுகிறோம்.

5. ஒரு யூனிட்டை உங்கள் தலையில் உள்ள ஒரு பகுதியால் பிரித்து, பின்னத்தை அப்படியே திருப்பவும்.

பின்னங்களைச் சேர்ப்பது மற்றும் கழிப்பது எப்படி என்பதை கடந்த முறை கற்றுக்கொண்டோம் ("பின்னங்களைக் கூட்டுதல் மற்றும் கழித்தல்" என்ற பாடத்தைப் பார்க்கவும்). அந்த செயல்களின் மிகவும் கடினமான பகுதி பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருவது.

இப்போது பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் சமாளிக்க நேரம். நல்ல செய்தி என்னவென்றால், இந்த செயல்பாடுகள் கூட்டல் மற்றும் கழிப்பதை விட எளிமையானவை. முதலில், பிரிக்கப்பட்ட முழு எண் பகுதி இல்லாமல் இரண்டு நேர்மறை பின்னங்கள் இருக்கும்போது எளிமையான வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

இரண்டு பின்னங்களைப் பெருக்க, அவற்றின் எண்களையும் வகுப்பினையும் தனித்தனியாகப் பெருக்க வேண்டும். முதல் எண் புதிய பின்னத்தின் எண்ணாகவும், இரண்டாவது பிரிவாகவும் இருக்கும்.

இரண்டு பின்னங்களைப் பிரிக்க, நீங்கள் முதல் பகுதியை "தலைகீழ்" இரண்டாவது பகுதியால் பெருக்க வேண்டும்.

பதவி:

பின்னங்களைப் பிரிப்பது பெருக்கமாகக் குறைகிறது என்பதை வரையறையிலிருந்து பின்பற்றுகிறது. ஒரு பகுதியை "புரட்ட", எண் மற்றும் வகுப்பினை மாற்றவும். எனவே, பாடம் முழுவதும் நாம் முக்கியமாக பெருக்கத்தை கருத்தில் கொள்வோம்.

பெருக்கத்தின் விளைவாக, குறைக்கக்கூடிய பின்னம் எழலாம் (பெரும்பாலும் எழுகிறது) - அது நிச்சயமாக குறைக்கப்பட வேண்டும். அனைத்து குறைப்புகளுக்குப் பிறகும் பின்னம் தவறாக மாறிவிட்டால், முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும். ஆனால் பெருக்கினால் நிச்சயமாக நடக்காதது ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்பதாகும்: குறுக்கு-குறுக்கு முறைகள் இல்லை, பெரிய காரணிகள் மற்றும் குறைவான பொதுவான மடங்குகள்.

வரையறையின்படி எங்களிடம் உள்ளது:

முழு பகுதிகள் மற்றும் எதிர்மறை பின்னங்களுடன் பின்னங்களை பெருக்குதல்

பின்னங்கள் ஒரு முழு எண் பகுதியைக் கொண்டிருந்தால், அவை முறையற்றவையாக மாற்றப்பட வேண்டும் - பின்னர் மட்டுமே மேலே விவரிக்கப்பட்ட திட்டங்களின்படி பெருக்கப்படும்.

ஒரு பின்னத்தின் எண்ணிலோ, வகுப்பிலோ அல்லது அதற்கு முன்னால் ஒரு கழித்தல் இருந்தால், அதை பின்வரும் விதிகளின்படி பெருக்கத்திலிருந்து எடுக்கலாம் அல்லது முழுவதுமாக அகற்றலாம்:

1. பிளஸ் பை மைனஸ் மைனஸ் கொடுக்கிறது;
2. இரண்டு எதிர்மறைகள் ஒரு உறுதிமொழியை உருவாக்குகின்றன.

இப்போது வரை, இந்த விதிகள் எதிர்மறையான பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போதும் கழிக்கும்போதும் மட்டுமே சந்தித்தன, முழுப் பகுதியையும் அகற்ற வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டால். ஒரு வேலையைப் பொறுத்தவரை, ஒரே நேரத்தில் பல குறைபாடுகளை "எரிக்க" அவை பொதுமைப்படுத்தப்படலாம்:

1. அவர்கள் முற்றிலும் மறைந்து போகும் வரை நாம் ஜோடிகளாக எதிர்மறைகளை கடக்கிறோம். தீவிர நிகழ்வுகளில், ஒரு மைனஸ் உயிர்வாழ முடியும் - துணை இல்லாத ஒன்று;
2. மைனஸ்கள் எதுவும் இல்லை என்றால், செயல்பாடு முடிந்தது - நீங்கள் பெருக்க ஆரம்பிக்கலாம். அதற்கு ஜோடி இல்லாததால் கடைசி கழித்தல் கடக்கப்படாவிட்டால், பெருக்கத்தின் வரம்புக்கு வெளியே அதை எடுத்துக்கொள்கிறோம். இதன் விளைவாக எதிர்மறை பின்னம்.

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

அனைத்து பின்னங்களையும் முறையற்றவையாக மாற்றுகிறோம், பின்னர் பெருக்கத்திலிருந்து கழித்தல்களை எடுத்துக்கொள்கிறோம். வழக்கமான விதிகளின்படி மீதமுள்ளவற்றைப் பெருக்குகிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

தனிப்படுத்தப்பட்ட முழுப் பகுதியையும் கொண்ட பின்னத்தின் முன் தோன்றும் கழித்தல் அதன் முழுப் பகுதியையும் அல்ல (இது கடைசி இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளுக்குப் பொருந்தும்) முழுப் பகுதியையும் குறிக்கிறது என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை நினைவுபடுத்துகிறேன்.

எதிர்மறை எண்களுக்கும் கவனம் செலுத்துங்கள்: பெருக்கும்போது, ​​அவை அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்படும். பெருக்கல் குறிகளிலிருந்து மைனஸ்களைப் பிரித்து முழுக் குறிப்பையும் துல்லியமாக மாற்றுவதற்காக இது செய்யப்படுகிறது.

பறக்கும்போது பின்னங்களைக் குறைத்தல்

பெருக்கல் என்பது மிகவும் உழைப்பு மிகுந்த செயலாகும். இங்குள்ள எண்கள் மிகப் பெரியதாக மாறிவிட்டன, மேலும் சிக்கலை எளிதாக்க, நீங்கள் பின்னத்தை மேலும் குறைக்க முயற்சி செய்யலாம். பெருக்குவதற்கு முன். உண்மையில், சாராம்சத்தில், பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகள் சாதாரண காரணிகள், எனவே, அவை ஒரு பின்னத்தின் அடிப்படை சொத்தைப் பயன்படுத்தி குறைக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

வரையறையின்படி எங்களிடம் உள்ளது:

எல்லா எடுத்துக்காட்டுகளிலும், குறைக்கப்பட்ட எண்கள் மற்றும் அவற்றில் எஞ்சியுள்ளவை சிவப்பு நிறத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன.

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: முதல் வழக்கில், பெருக்கிகள் முற்றிலும் குறைக்கப்பட்டன. அவற்றின் இடத்தில் பொதுவாக எழுதப்பட வேண்டிய அவசியமில்லாத அலகுகள் உள்ளன. இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில், முழுமையான குறைப்பை அடைவது சாத்தியமில்லை, ஆனால் கணக்கீடுகளின் மொத்த அளவு இன்னும் குறைந்துள்ளது.

இருப்பினும், பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போதும் கழிக்கும்போதும் இந்த நுட்பத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டாம்! ஆம், சில நேரங்களில் நீங்கள் குறைக்க விரும்பும் ஒரே மாதிரியான எண்கள் உள்ளன. இதோ, பார்:

உன்னால் அது முடியாது!

பிழை நிகழ்கிறது, ஏனெனில் சேர்க்கும் போது, ​​ஒரு பின்னத்தின் எண்ணிக்கையானது ஒரு தொகையை உருவாக்குகிறது, எண்களின் பெருக்கத்தை அல்ல. இதன் விளைவாக, ஒரு பின்னத்தின் அடிப்படை சொத்தை பயன்படுத்துவது சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் இந்த சொத்து குறிப்பாக எண்களின் பெருக்கத்துடன் தொடர்புடையது.

பின்னங்களைக் குறைப்பதற்கு வேறு காரணங்கள் எதுவும் இல்லை, எனவே முந்தைய சிக்கலுக்கான சரியான தீர்வு இதுபோல் தெரிகிறது:

சரியான தீர்வு:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சரியான பதில் மிகவும் அழகாக இல்லை. பொதுவாக, கவனமாக இருங்கள்.

இடைநிலை மற்றும் உயர்நிலைப் பள்ளிப் பாடங்களில், மாணவர்கள் "பிணங்கள்" என்ற தலைப்பை உள்ளடக்கியுள்ளனர். இருப்பினும், இந்த கருத்து கற்றல் செயல்பாட்டில் கொடுக்கப்பட்டதை விட மிகவும் விரிவானது. இன்று, ஒரு பின்னம் என்ற கருத்து அடிக்கடி எதிர்கொள்ளப்படுகிறது, மேலும் ஒவ்வொருவரும் எந்த வெளிப்பாட்டையும் கணக்கிட முடியாது, எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்களை பெருக்குதல்.

பின்னம் என்றால் என்ன?

வரலாற்று ரீதியாக, பகுதி எண்கள் அளவிட வேண்டிய தேவையிலிருந்து எழுந்தன. நடைமுறையில் காண்பிக்கிறபடி, ஒரு பிரிவின் நீளம் மற்றும் ஒரு செவ்வக செவ்வகத்தின் அளவை தீர்மானிப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் பெரும்பாலும் உள்ளன.

ஆரம்பத்தில், மாணவர்களுக்கு ஒரு பங்கு என்ற கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. உதாரணமாக, நீங்கள் ஒரு தர்பூசணியை 8 பகுதிகளாகப் பிரித்தால், ஒவ்வொருவருக்கும் தர்பூசணியில் எட்டில் ஒரு பங்கு கிடைக்கும். இந்த எட்டில் ஒரு பகுதி பங்கு எனப்படும்.

எந்த மதிப்பிலும் ½க்கு சமமான பங்கு பாதி எனப்படும்; ⅓ - மூன்றாவது; ¼ - கால். 5/8, 4/5, 2/4 படிவத்தின் பதிவுகள் சாதாரண பின்னங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு பொதுவான பின்னம் ஒரு எண் மற்றும் ஒரு வகுப்பாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. அவற்றுக்கிடையே பின்னம் பட்டை அல்லது பின்னம் பட்டை உள்ளது. பின்னக் கோட்டை கிடைமட்டமாகவோ அல்லது சாய்ந்த கோடாகவோ வரையலாம். இந்த வழக்கில், இது பிரிவு அடையாளத்தைக் குறிக்கிறது.

அளவு அல்லது பொருள் எத்தனை சம பாகங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை வகுத்தல் குறிக்கிறது; மற்றும் ஒரே மாதிரியான எத்தனை பங்குகள் எடுக்கப்படுகின்றன என்பதுதான் எண். பின்னக் கோட்டிற்கு மேலே எண் எழுதப்பட்டுள்ளது, அதன் கீழே வகுப்பான் எழுதப்பட்டுள்ளது.

ஒரு ஆயக் கதிரில் சாதாரண பின்னங்களைக் காண்பிப்பது மிகவும் வசதியானது. ஒரு பகுதி 4 சம பாகங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டால், ஒவ்வொரு பகுதியும் ஒரு லத்தீன் எழுத்தால் நியமிக்கப்பட்டால், இதன் விளைவாக ஒரு சிறந்த காட்சி உதவியாக இருக்கும். எனவே, புள்ளி A ஆனது முழு யூனிட் பிரிவின் 1/4 க்கு சமமான பங்கைக் காட்டுகிறது, மேலும் புள்ளி B கொடுக்கப்பட்ட பிரிவின் 2/8 ஐக் குறிக்கிறது.

பின்னங்களின் வகைகள்

பின்னங்கள் சாதாரண, தசம மற்றும் கலப்பு எண்களாக இருக்கலாம். கூடுதலாக, பின்னங்களை சரியான மற்றும் முறையற்றதாக பிரிக்கலாம். இந்த வகைப்பாடு சாதாரண பின்னங்களுக்கு மிகவும் பொருத்தமானது.

சரியான பின்னம் என்பது அதன் வகுப்பினை விடக் குறைவாக உள்ள எண்ணாகும். அதன்படி, ஒரு முறையற்ற பின்னம் என்பது அதன் வகுப்பினை விட எண் அதிகமாக இருக்கும் எண்ணாகும். இரண்டாவது வகை பொதுவாக ஒரு கலப்பு எண்ணாக எழுதப்படுகிறது. இந்த வெளிப்பாடு ஒரு முழு எண் மற்றும் ஒரு பகுதியளவு பகுதியைக் கொண்டுள்ளது. உதாரணமாக, 1½. 1 ஒரு முழு எண் பகுதி, ½ என்பது ஒரு பகுதியளவு பகுதி. இருப்பினும், நீங்கள் வெளிப்பாட்டுடன் சில கையாளுதல்களைச் செய்ய வேண்டும் என்றால் (பின்னங்களைப் பிரித்தல் அல்லது பெருக்குதல், அவற்றைக் குறைத்தல் அல்லது மாற்றுதல்), கலப்பு எண் தவறான பின்னமாக மாற்றப்படும்.

சரியான பின்னம் வெளிப்பாடு எப்போதும் ஒன்றை விட குறைவாக இருக்கும், மேலும் தவறானது எப்போதும் 1 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும்.

இந்த வெளிப்பாட்டைப் பொறுத்தவரை, எந்தவொரு எண்ணும் குறிப்பிடப்படும் ஒரு பதிவைக் குறிக்கிறோம், அதன் பகுதியளவு வெளிப்பாட்டின் வகுப்பானது பல பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்ட ஒன்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம். பின்னம் சரியாக இருந்தால், தசம குறியீட்டில் உள்ள முழு எண் பகுதி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

ஒரு தசமப் பகுதியை எழுத, நீங்கள் முதலில் முழுப் பகுதியையும் எழுத வேண்டும், கமாவைப் பயன்படுத்தி பின்னத்திலிருந்து பிரித்து, பின்னம் வெளிப்பாட்டை எழுத வேண்டும். தசம புள்ளிக்குப் பிறகு, எண் வகுப்பில் பூஜ்ஜியங்கள் இருக்கும் அதே எண்ணிக்கையிலான டிஜிட்டல் எழுத்துகள் இருக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

உதாரணமாக. பின்னம் 7 21 / 1000 ஐ தசம குறியீட்டில் வெளிப்படுத்தவும்.

முறையற்ற பின்னத்தை கலப்பு எண்ணாகவும், நேர்மாறாகவும் மாற்றுவதற்கான அல்காரிதம்

சிக்கலுக்கான பதிலில் தவறான பின்னத்தை எழுதுவது தவறானது, எனவே அதை கலப்பு எண்ணாக மாற்ற வேண்டும்:

• தற்போதுள்ள வகுப்பினால் எண்ணை வகுக்கவும்;
• ஒரு குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டில், முழுமையடையாத பகுதி முழுமை;
• மற்றும் எஞ்சிய பகுதியின் பகுதியின் எண் ஆகும், வகுத்தல் மாறாமல் இருக்கும்.

உதாரணமாக. முறையற்ற பின்னத்தை கலப்பு எண்ணாக மாற்றவும்: 47/5.

தீர்வு. 47: 5. பகுதி அளவு 9, மீதி = 2. எனவே, 47 / 5 = 9 2 / 5.

சில நேரங்களில் நீங்கள் ஒரு கலப்பு எண்ணை தவறான பின்னமாக குறிப்பிட வேண்டும். பின்னர் நீங்கள் பின்வரும் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

• முழு எண் பகுதி பகுதி வெளிப்பாட்டின் வகுப்பினால் பெருக்கப்படுகிறது;
• இதன் விளைவாக தயாரிப்பு எண்களில் சேர்க்கப்படுகிறது;
• முடிவு எண்ணில் எழுதப்பட்டுள்ளது, வகுத்தல் மாறாமல் இருக்கும்.

உதாரணமாக. தவறான பின்னமாக கலப்பு வடிவத்தில் எண்ணை வழங்கவும்: 9 8 / 10.

தீர்வு. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 என்பது எண்.

பதில்: 98 / 10.

பின்னங்களை பெருக்குதல்

பல்வேறு இயற்கணித செயல்பாடுகளை சாதாரண பின்னங்களில் செய்ய முடியும். இரண்டு எண்களைப் பெருக்க, நீங்கள் எண்ணை எண்ணுடன் பெருக்க வேண்டும். மேலும், வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டு பின்னங்களைப் பெருக்குவது, ஒரே வகுப்பில் உள்ள பின்னங்களைப் பெருக்குவதில் இருந்து வேறுபட்டதல்ல.

முடிவைக் கண்டறிந்த பிறகு, நீங்கள் பகுதியைக் குறைக்க வேண்டும். இதன் விளைவாக வெளிப்பாட்டை முடிந்தவரை எளிதாக்குவது கட்டாயமாகும். நிச்சயமாக, ஒரு பதிலில் ஒரு தவறான பின்னம் ஒரு பிழை என்று சொல்ல முடியாது, ஆனால் அதை சரியான பதில் என்று அழைப்பதும் கடினம்.

உதாரணமாக. இரண்டு சாதாரண பின்னங்களின் பலனைக் கண்டறியவும்: ½ மற்றும் 20/18.

எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், தயாரிப்பைக் கண்டுபிடித்த பிறகு, குறைக்கக்கூடிய பகுதி குறியீடு பெறப்படுகிறது. இந்த வழக்கில் எண் மற்றும் வகுத்தல் இரண்டும் 4 ஆல் வகுக்கப்படுகின்றன, இதன் விளைவாக பதில் 5/9 ஆகும்.

தசம பின்னங்களை பெருக்குதல்

தசம பின்னங்களின் பலன் அதன் கொள்கையில் சாதாரண பின்னங்களின் பெருக்கத்திலிருந்து முற்றிலும் வேறுபட்டது. எனவே, பின்னங்களை பெருக்குவது பின்வருமாறு:

• இரண்டு தசம பின்னங்கள் ஒன்றின் கீழ் மற்றொன்றின் கீழ் எழுதப்பட வேண்டும், இதனால் வலதுபுற இலக்கங்கள் ஒன்றின் கீழ் ஒன்றாக இருக்கும்;
• நீங்கள் எழுதப்பட்ட எண்களை, காற்புள்ளிகள் இருந்தபோதிலும், அதாவது இயற்கை எண்களாகப் பெருக்க வேண்டும்;
• ஒவ்வொரு எண்ணிலும் தசம புள்ளிக்குப் பிறகு இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையை எண்ணுங்கள்;
• பெருக்கலுக்குப் பிறகு பெறப்பட்ட முடிவில், தசமப் புள்ளிக்குப் பிறகு இரண்டு காரணிகளிலும் கூட்டுத்தொகையில் உள்ள பல டிஜிட்டல் சின்னங்களை நீங்கள் வலதுபுறத்தில் இருந்து எண்ணி, பிரிக்கும் அடையாளத்தை வைக்க வேண்டும்;
• தயாரிப்பில் குறைவான எண்கள் இருந்தால், இந்த எண்ணை மறைக்க அவற்றின் முன் பல பூஜ்ஜியங்களை எழுத வேண்டும், கமாவை வைத்து முழு பகுதியையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக சேர்க்க வேண்டும்.

உதாரணமாக. இரண்டு தசம பின்னங்களின் பெருக்கத்தைக் கணக்கிடுக: 2.25 மற்றும் 3.6.

தீர்வு.

கலப்பு பின்னங்களை பெருக்குதல்

இரண்டு கலப்பு பின்னங்களின் உற்பத்தியைக் கணக்கிட, பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

• கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றவும்;
• எண்களின் பலனைக் கண்டறியவும்;
• பிரிவுகளின் விளைபொருளைக் கண்டறியவும்;
• முடிவை எழுதுங்கள்;
• முடிந்தவரை வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்.

உதாரணமாக. 4½ மற்றும் 6 2/5 இன் பலன்களைக் கண்டறியவும்.

ஒரு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல் (ஒரு எண்ணால் பின்னங்கள்)

இரண்டு பின்னங்கள் மற்றும் கலப்பு எண்களின் பெருக்கத்தைக் கண்டறிவதைத் தவிர, நீங்கள் ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க வேண்டிய பணிகள் உள்ளன.

எனவே, ஒரு தசம பின்னம் மற்றும் இயற்கை எண்ணின் விளைபொருளைக் கண்டறிய, உங்களுக்கு இது தேவை:

• பின்னத்தின் கீழ் எண்ணை எழுதவும், இதனால் வலதுபுற இலக்கங்கள் ஒன்றின் மேல் ஒன்றாக இருக்கும்;
• காற்புள்ளி இருந்தபோதிலும் தயாரிப்பு கண்டுபிடிக்க;
• இதன் விளைவாக வரும் முடிவில், பகுதியிலுள்ள பகுதியிலிருந்து முழு எண் பகுதியை கமாவைப் பயன்படுத்தி பிரிக்கவும், பின்னத்தில் உள்ள தசமப் புள்ளிக்குப் பிறகு அமைந்துள்ள இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையை வலதுபுறத்தில் இருந்து எண்ணவும்.

ஒரு பொதுவான பின்னத்தை ஒரு எண்ணால் பெருக்க, நீங்கள் எண் மற்றும் இயற்கை காரணியின் பெருக்கத்தைக் கண்டறிய வேண்டும். பதில் குறைக்கக்கூடிய ஒரு பகுதியை உருவாக்கினால், அதை மாற்ற வேண்டும்.

உதாரணமாக. 5/8 மற்றும் 12 இன் பலனைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

பதில்: 7 1 / 2.

முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் இருந்து நீங்கள் பார்க்கக்கூடியது போல, இதன் விளைவாக வரும் முடிவைக் குறைப்பது மற்றும் தவறான பகுதியளவு வெளிப்பாட்டை கலப்பு எண்ணாக மாற்றுவது அவசியம்.

பின்னங்களின் பெருக்கல், கலப்பு வடிவத்திலும் இயற்கையான காரணியிலும் எண்ணின் பெருக்கத்தைக் கண்டறிவதும் சம்பந்தப்பட்டது. இந்த இரண்டு எண்களையும் பெருக்க, கலப்பு காரணியின் முழுப் பகுதியையும் எண்ணால் பெருக்க வேண்டும், அதே மதிப்பால் எண்ணைப் பெருக்கி, வகுப்பினை மாற்றாமல் விட வேண்டும். தேவைப்பட்டால், விளைந்த முடிவை முடிந்தவரை எளிதாக்க வேண்டும்.

உதாரணமாக. 9 5 / 6 மற்றும் 9 இன் பலன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

பதில்: 88 1 / 2.

10, 100, 1000 அல்லது 0.1 காரணிகளால் பெருக்கல்; 0.01; 0.001

பின்வரும் விதி முந்தைய பத்தியிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. ஒரு தசமப் பகுதியை 10, 100, 1000, 10000, போன்றவற்றால் பெருக்க, தசமப் புள்ளியை பல இலக்கங்களால் வலதுபுறமாக நகர்த்த வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 1. 0.065 மற்றும் 1000 இன் பலன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

பதில்: 65.

எடுத்துக்காட்டு 2. 3.9 மற்றும் 1000 இன் பலன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

பதில்: 3900.

நீங்கள் ஒரு இயற்கை எண் மற்றும் 0.1 ஐ பெருக்க வேண்டும் என்றால்; 0.01; 0.001; 0.0001, முதலியன, விளைந்த தயாரிப்பில் உள்ள கமாவை ஒன்றுக்கு முன் பூஜ்ஜியங்கள் இருக்கும் அளவுக்கு பல இலக்க எழுத்துகளால் இடதுபுறமாக நகர்த்த வேண்டும். தேவைப்பட்டால், இயற்கை எண்ணுக்கு முன் போதுமான எண்ணிக்கையிலான பூஜ்ஜியங்கள் எழுதப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு 1. 56 மற்றும் 0.01 இன் பலன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

பதில்: 0,56.

எடுத்துக்காட்டு 2. 4 மற்றும் 0.001 இன் பலன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

பதில்: 0,004.

எனவே, வெவ்வேறு பின்னங்களின் விளைபொருளைக் கண்டறிவது, ஒருவேளை முடிவைக் கணக்கிடுவதைத் தவிர, எந்த சிரமத்தையும் ஏற்படுத்தக்கூடாது; இந்த வழக்கில், நீங்கள் ஒரு கால்குலேட்டர் இல்லாமல் செய்ய முடியாது.

§ 87. பின்னங்களின் சேர்த்தல்.

பின்னங்களைச் சேர்ப்பது முழு எண்களைச் சேர்ப்பதில் பல ஒற்றுமைகள் உள்ளன. பின்னங்களைச் சேர்ப்பது என்பது பல கொடுக்கப்பட்ட எண்கள் (விதிமுறைகள்) ஒரு எண்ணாக (தொகை) இணைக்கப்பட்டு, விதிமுறைகளின் அலகுகளின் அனைத்து அலகுகள் மற்றும் பின்னங்களைக் கொண்ட ஒரு செயலாகும்.

நாங்கள் மூன்று வழக்குகளை தொடர்ச்சியாக பரிசீலிப்போம்:

1. ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்.
2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்.
3. கலப்பு எண்களைச் சேர்த்தல்.

1. ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்.

ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்: 1/5 + 2/5.

AB பிரிவை எடுத்துக் கொள்வோம் (படம் 17), அதை ஒன்றாக எடுத்து 5 சம பாகங்களாகப் பிரித்தால், இந்தப் பிரிவின் AC பகுதி AB இன் 1/5க்கு சமமாக இருக்கும், அதே பகுதி CD யின் பகுதி சமமாக இருக்கும். 2/5 ஏபி.

AD பிரிவை எடுத்துக் கொண்டால், அது 3/5 AB க்கு சமமாக இருக்கும் என்பது வரைபடத்திலிருந்து தெளிவாகிறது; ஆனால் பிரிவு AD என்பது துல்லியமாக AC மற்றும் CD ஆகிய பிரிவுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். எனவே நாம் எழுதலாம்:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

இந்த விதிமுறைகளையும் அதன் விளைவாக வரும் தொகையையும் கருத்தில் கொண்டு, சொற்களின் எண்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் கூட்டுத்தொகையின் எண் கிடைத்ததையும், வகுத்தல் மாறாமல் இருப்பதையும் காண்கிறோம்.

இதிலிருந்து நாம் பின்வரும் விதியைப் பெறுகிறோம்: ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்க்க, அவற்றின் எண்களைச் சேர்த்து, அதே வகுப்பினை விட்டுவிட வேண்டும்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்.

பின்னங்களைச் சேர்ப்போம்: 3 / 4 + 3 / 8 முதலில் அவை குறைந்த பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்:

இடைநிலை இணைப்பு 6/8 + 3/8 எழுத முடியவில்லை; தெளிவுக்காக இங்கே எழுதியுள்ளோம்.

எனவே, வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்க்க, நீங்கள் முதலில் அவற்றைக் குறைந்த பொது வகுப்பிற்குக் குறைத்து, அவற்றின் எண்களைச் சேர்த்து, பொதுவான வகுப்பினை லேபிளிட வேண்டும்.

ஒரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம் (தொடர்புடைய பின்னங்களுக்கு மேலே கூடுதல் காரணிகளை எழுதுவோம்):

3. கலப்பு எண்களைச் சேர்த்தல்.

எண்களைச் சேர்ப்போம்: 2 3/8 + 3 5/6.

முதலில் நமது எண்களின் பகுதிகளை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வந்து மீண்டும் எழுதுவோம்:

இப்போது நாம் முழு எண் மற்றும் பின்ன பகுதிகளை வரிசையாக சேர்க்கிறோம்:

§ 88. பின்னங்களின் கழித்தல்.

பின்னங்களைக் கழிப்பது முழு எண்களைக் கழிப்பதைப் போலவே வரையறுக்கப்படுகிறது. இது ஒரு செயலாகும், இதன் உதவியுடன் இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அவற்றில் ஒன்று, மற்றொரு சொல் காணப்படுகிறது. அடுத்தடுத்து மூன்று நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

1. ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்.
2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்.
3. கலப்பு எண்களின் கழித்தல்.

1. ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

13 / 15 - 4 / 15

AB பிரிவை எடுத்துக்கொள்வோம் (படம் 18), அதை ஒரு அலகாக எடுத்து 15 சம பாகங்களாக பிரிக்கவும்; இந்த பிரிவின் பகுதி AC AB இன் 1/15 ஐக் குறிக்கும், அதே பிரிவின் பகுதி AD 13/15 AB க்கு ஒத்திருக்கும். 4/15 AB க்கு சமமான மற்றொரு பிரிவான ED ஐ ஒதுக்குவோம்.

4/15 என்ற பின்னத்தை 13/15 இலிருந்து கழிக்க வேண்டும். வரைபடத்தில், பிரிவு ED பிரிவிலிருந்து AD கழிக்கப்பட வேண்டும் என்பதாகும். இதன் விளைவாக, பிரிவு AE இருக்கும், இது AB பிரிவின் 9/15 ஆகும். எனவே நாம் எழுதலாம்:

நாங்கள் செய்த உதாரணம், எண்களைக் கழிப்பதன் மூலம் வேறுபாட்டின் எண் பெறப்பட்டது என்பதைக் காட்டுகிறது, ஆனால் வகுத்தல் அப்படியே இருந்தது.

எனவே, ஒத்த வகுப்பிகளுடன் பின்னங்களைக் கழிக்க, நீங்கள் சப்ட்ராஹெண்டின் எண்ணை மினுஎண்டின் எண்ணிலிருந்து கழிக்க வேண்டும் மற்றும் அதே வகுப்பை விட்டுவிட வேண்டும்.

2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்.

உதாரணமாக. 3/4 - 5/8

முதலில், இந்த பின்னங்களை மிகக் குறைந்த பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்போம்:

இடைநிலை 6 / 8 - 5 / 8 தெளிவுக்காக இங்கே எழுதப்பட்டுள்ளது, ஆனால் பின்னர் தவிர்க்கலாம்.

எனவே, ஒரு பின்னத்திலிருந்து ஒரு பகுதியைக் கழிக்க, நீங்கள் முதலில் அவற்றை மிகக் குறைந்த பொது வகுப்பிற்குக் குறைக்க வேண்டும், பின்னர் மினுவெண்டின் எண்ணிலிருந்து மினுவெண்டின் எண்களைக் கழித்து அவற்றின் வேறுபாட்டின் கீழ் பொதுவான வகுப்பில் கையொப்பமிட வேண்டும்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

3. கலப்பு எண்களின் கழித்தல்.

உதாரணமாக. 10 3/4 - 7 2/3.

மினுஎண்டின் பகுதியளவு பகுதிகளைக் குறைப்போம் மற்றும் மிகக் குறைந்த பொதுப் பிரிவிற்கு துணைபுரிவோம்:

ஒரு முழுமையிலிருந்து ஒரு முழுமையையும், ஒரு பகுதியிலிருந்து ஒரு பகுதியையும் கழித்தோம். ஆனால் சப்ட்ராஹெண்டின் பகுதியளவு மினுவெண்டின் பகுதியளவு பகுதியை விட அதிகமாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்கள் உள்ளன. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், நீங்கள் மினுவெண்டின் முழுப் பகுதியிலிருந்தும் ஒரு யூனிட்டை எடுத்து, பகுதியளவு வெளிப்படுத்தப்பட்ட பகுதிகளாகப் பிரித்து, மினுவெண்டின் பகுதியளவு பகுதியுடன் சேர்க்க வேண்டும். பின்னர் கழித்தல் முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போலவே செய்யப்படும்:

§ 89. பின்னங்களின் பெருக்கல்.

பின்னம் பெருக்கத்தைப் படிக்கும்போது, ​​​​பின்வரும் கேள்விகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

1. ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் பெருக்குதல்.
2. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பகுதியைக் கண்டறிதல்.
3. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.
4. ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.
5. கலப்பு எண்களின் பெருக்கல்.
6. வட்டி கருத்து.
7. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் சதவீதத்தைக் கண்டறிதல். அவற்றை வரிசையாகக் கருதுவோம்.

1. ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் பெருக்குதல்.

ஒரு முழு எண்ணால் ஒரு பகுதியைப் பெருக்குவது ஒரு முழு எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்குவது போன்ற அதே பொருளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு பகுதியை (பெருக்கி) ஒரு முழு எண் (காரணி) மூலம் பெருக்குவது என்பது ஒரே மாதிரியான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை உருவாக்குவதாகும்.

இதன் பொருள் நீங்கள் 1/9 ஐ 7 ஆல் பெருக்க வேண்டும் என்றால், அதை இப்படி செய்யலாம்:

ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கு நடவடிக்கை குறைக்கப்பட்டதால், முடிவை எளிதாகப் பெற்றோம். எனவே,

இந்தச் செயலைக் கருத்தில் கொண்டால், ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் பெருக்குவது, முழு எண்ணில் எத்தனை அலகுகள் இருக்கிறதோ, அவ்வளவு முறை இந்தப் பின்னத்தை அதிகரிப்பதற்குச் சமம் என்பதைக் காட்டுகிறது. மேலும் ஒரு பகுதியை அதிகரிப்பதால் அதன் எண்ணிக்கையை அதிகரிப்பதன் மூலம் அடையலாம்

அல்லது அதன் பிரிவைக் குறைப்பதன் மூலம் , அப்படிப் பிரித்தல் சாத்தியம் என்றால், நாம் எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்கலாம் அல்லது வகுப்பினை அதன் மூலம் வகுக்கலாம்.

இங்கிருந்து நாம் விதியைப் பெறுகிறோம்:

ஒரு பகுதியை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்க, நீங்கள் அந்த முழு எண்ணால் எண்ணைப் பெருக்கி, வகுப்பினை அப்படியே விட்டுவிடுங்கள் அல்லது முடிந்தால், அந்த எண்ணால் வகுப்பினைப் பிரித்து, அந்த எண்ணை மாற்றாமல் விடவும்.

பெருக்கும்போது, ​​சுருக்கங்கள் சாத்தியமாகும், எடுத்துக்காட்டாக:

2. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பகுதியைக் கண்டறிதல்.கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க அல்லது கணக்கிட வேண்டிய பல சிக்கல்கள் உள்ளன. இந்த சிக்கல்களுக்கும் மற்றவற்றுக்கும் உள்ள வித்தியாசம் என்னவென்றால், அவை சில பொருள்களின் எண்ணிக்கை அல்லது அளவீட்டு அலகுகளைக் கொடுக்கின்றன, மேலும் இந்த எண்ணின் ஒரு பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், இது ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியாலும் குறிக்கப்படுகிறது. புரிந்துகொள்வதற்கு வசதியாக, முதலில் இதுபோன்ற சிக்கல்களின் உதாரணங்களைத் தருவோம், பின்னர் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறையை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

பணி 1.என்னிடம் 60 ரூபிள் இருந்தது; இந்தப் பணத்தில் 1/3 பங்கு புத்தகங்கள் வாங்கச் செலவு செய்தேன். புத்தகங்களின் விலை எவ்வளவு?

பணி 2.ரயில் ஏ மற்றும் பி நகரங்களுக்கு இடையே 300 கிமீ தூரம் பயணிக்க வேண்டும். அவர் ஏற்கனவே இந்த தூரத்தில் 2/3 ஐ கடந்துள்ளார். இது எத்தனை கிலோமீட்டர்?

பணி 3.கிராமத்தில் 400 வீடுகள் உள்ளன, அவற்றில் 3/4 செங்கல், மீதமுள்ளவை மர. மொத்தம் எத்தனை செங்கல் வீடுகள் உள்ளன?

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதில் நாம் சந்திக்கும் பல சிக்கல்களில் சில இவை. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதில் பொதுவாக அவை சிக்கல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

பிரச்சனைக்கு தீர்வு 1. 60 ரூபிள் இருந்து. நான் புத்தகங்களுக்காக 1/3 செலவு செய்தேன்; இதன் பொருள் புத்தகங்களின் விலையைக் கண்டுபிடிக்க நீங்கள் 60 என்ற எண்ணை 3 ஆல் வகுக்க வேண்டும்:

சிக்கலைத் தீர்ப்பது 2.பிரச்சனையின் புள்ளி நீங்கள் 300 கிமீ 2/3 கண்டுபிடிக்க வேண்டும். முதலில் 300ல் 1/3ஐக் கணக்கிடுவோம்; 300 கிமீ 3 ஆல் வகுப்பதன் மூலம் இது அடையப்படுகிறது:

300: 3 = 100 (அது 300 இல் 1/3).

300-ல் மூன்றில் இரண்டு பங்கைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் பெறப்பட்ட பகுதியை இரட்டிப்பாக்க வேண்டும், அதாவது 2 ஆல் பெருக்கவும்:

100 x 2 = 200 (அது 300 இல் 2/3).

சிக்கலைத் தீர்ப்பது 3.இங்கு 400 இல் 3/4 செங்கல் வீடுகளின் எண்ணிக்கையை நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும். முதலில் 400 இல் 1/4 ஐக் கண்டுபிடிப்போம்,

400: 4 = 100 (அது 400 இல் 1/4).

400 இன் முக்கால்வாசியைக் கணக்கிட, விளைந்த பங்கு மூன்று மடங்காக இருக்க வேண்டும், அதாவது 3 ஆல் பெருக்க வேண்டும்:

100 x 3 = 300 (அது 400 இல் 3/4).

இந்த சிக்கல்களுக்கான தீர்வின் அடிப்படையில், பின்வரும் விதியை நாம் பெறலாம்:

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணிலிருந்து ஒரு பின்னத்தின் மதிப்பைக் கண்டறிய, நீங்கள் இந்த எண்ணை பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுத்து, அதன் எண்ணால் விளைந்த பகுதியைப் பெருக்க வேண்டும்.

3. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.

முன்னதாக (§ 26) முழு எண்களின் பெருக்கல் ஒரே மாதிரியான சொற்களின் கூட்டலாக புரிந்து கொள்ளப்பட வேண்டும் என்று நிறுவப்பட்டது (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). இந்த பத்தியில் (புள்ளி 1) ஒரு பகுதியை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்குவது என்பது இந்த பின்னத்திற்கு சமமான ஒரே மாதிரியான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்பதாகும்.

இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், பெருக்கல் என்பது ஒரே மாதிரியான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிவதாகும்.

இப்போது நாம் ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவோம். இங்கே நாம் சந்திப்போம், எடுத்துக்காட்டாக, பெருக்கல்: 9 2/3. பெருக்கல் பற்றிய முந்தைய வரையறை இந்த வழக்கில் பொருந்தாது என்பது தெளிவாகிறது. சம எண்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் அத்தகைய பெருக்கத்தை மாற்ற முடியாது என்பதிலிருந்து இது தெளிவாகிறது.

இதன் காரணமாக, நாம் பெருக்கத்திற்கு ஒரு புதிய வரையறையை கொடுக்க வேண்டும், அதாவது, வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு பகுதியால் பெருக்குவதன் மூலம் எதைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும், இந்த செயலை எவ்வாறு புரிந்து கொள்ள வேண்டும் என்ற கேள்விக்கு பதிலளிக்கவும்.

ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவதன் பொருள் பின்வரும் வரையறையிலிருந்து தெளிவாகிறது: ஒரு முழு எண்ணை (பெருக்கி) ஒரு பின்னத்தால் (பெருக்கி) பெருக்குவது என்பது பெருக்கத்தின் இந்த பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதாகும்.

அதாவது, 9ஐ 2/3 ஆல் பெருக்கினால், ஒன்பது அலகுகளில் 2/3ஐக் கண்டறிவது. முந்தைய பத்தியில், அத்தகைய சிக்கல்கள் தீர்க்கப்பட்டன; எனவே நாம் 6 உடன் முடிப்போம் என்பதைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது.

ஆனால் இப்போது ஒரு சுவாரஸ்யமான மற்றும் முக்கியமான கேள்வி எழுகிறது: சம எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிதல் மற்றும் ஒரு எண்ணின் பகுதியைக் கண்டறிதல் போன்ற வெளித்தோற்றத்தில் வேறுபட்ட செயல்பாடுகள் ஏன் "பெருக்கல்" என்ற ஒரே வார்த்தையால் எண்கணிதத்தில் அழைக்கப்படுகின்றன?

முந்தைய செயலும் (ஒரு எண்ணை பல முறை விதிமுறைகளுடன் மீண்டும் செய்வது) மற்றும் புதிய செயல் (எண்ணின் பகுதியைக் கண்டறிதல்) ஒரே மாதிரியான கேள்விகளுக்கு பதில்களை வழங்குவதால் இது நிகழ்கிறது. ஒரே மாதிரியான கேள்விகள் அல்லது பணிகள் ஒரே செயலால் தீர்க்கப்படுகின்றன என்ற கருத்தில் இருந்து இங்கு தொடர்கிறோம் என்பதே இதன் பொருள்.

இதைப் புரிந்து கொள்ள, பின்வரும் சிக்கலைக் கவனியுங்கள்: “1 மீ துணிக்கு 50 ரூபிள் செலவாகும். அத்தகைய 4 மீ துணியின் விலை எவ்வளவு?

இந்த சிக்கல் ரூபிள் (50) எண்ணிக்கையை மீட்டர் (4) மூலம் பெருக்குவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது, அதாவது 50 x 4 = 200 (ரூபிள்கள்).

அதே சிக்கலை எடுத்துக் கொள்வோம், ஆனால் அதில் துணியின் அளவு ஒரு பகுதியாக வெளிப்படுத்தப்படும்: “1 மீ துணிக்கு 50 ரூபிள் செலவாகும். அத்தகைய துணியின் 3/4 மீ விலை எவ்வளவு?"

ரூபிள் எண்ணிக்கையை (50) மீட்டர் எண்ணிக்கையால் (3/4) பெருக்குவதன் மூலமும் இந்த சிக்கலை தீர்க்க வேண்டும்.

சிக்கலின் அர்த்தத்தை மாற்றாமல், அதில் உள்ள எண்களை இன்னும் பல முறை மாற்றலாம், எடுத்துக்காட்டாக, 9/10 மீ அல்லது 2 3/10 மீ போன்றவற்றை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

இந்த சிக்கல்கள் ஒரே உள்ளடக்கம் மற்றும் எண்களில் மட்டுமே வேறுபடுவதால், அவற்றைத் தீர்ப்பதில் பயன்படுத்தப்படும் செயல்களை ஒரே வார்த்தையாக அழைக்கிறோம் - பெருக்கல்.

ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் எவ்வாறு பெருக்குவது?

கடைசி சிக்கலில் சந்தித்த எண்களை எடுத்துக் கொள்வோம்:

வரையறையின்படி, நாம் 50 இல் 3/4 ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். முதலில் 50 இல் 1/4 ஐக் கண்டுபிடிப்போம், பின்னர் 3/4 ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.

50 இல் 1/4 என்பது 50/4;

எண் 50 இல் 3/4 ஆகும்.

எனவே.

மற்றொரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்: 12 5/8 =?

12 என்ற எண்ணின் 1/8 என்பது 12/8,

எண் 12 இல் 5/8 ஆகும்.

எனவே,

இங்கிருந்து நாம் விதியைப் பெறுகிறோம்:

ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் முழு எண்ணையும் பின்னத்தின் எண் மூலம் பெருக்கி, இந்த தயாரிப்பை எண்ணாக மாற்ற வேண்டும், மேலும் இந்த பின்னத்தின் வகுப்பை வகுப்பாக கையொப்பமிட வேண்டும்.

எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்தி இந்த விதியை எழுதுவோம்:

இந்த விதியை முற்றிலும் தெளிவுபடுத்துவதற்கு, ஒரு பகுதியை ஒரு பங்காகக் கருதலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். எனவே, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட விதியை § 38 இல் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு எண்ணை ஒரு கோட்டால் பெருக்குவதற்கான விதியுடன் ஒப்பிடுவது பயனுள்ளது.

பெருக்கல் செய்வதற்கு முன், நீங்கள் (முடிந்தால்) செய்ய வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்வது அவசியம். குறைப்புகள், உதாரணத்திற்கு:

4. ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.ஒரு பின்னத்தை ஒரு பகுதியால் பெருக்குவது ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவது போன்ற அதே பொருளைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்கும்போது, ​​முதல் பின்னத்திலிருந்து (பெருக்கி) காரணியில் உள்ள பின்னத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

அதாவது, 3/4 ஐ 1/2 ஆல் பெருக்கினால் (பாதி) 3/4 இல் பாதியைக் கண்டறிவது.

ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் எவ்வாறு பெருக்குவது?

ஒரு உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்: 3/4 5/7 ஆல் பெருக்கப்படுகிறது. இதன் பொருள் நீங்கள் 3/4 இல் 5/7 ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். முதலில் 3/4ல் 1/7ஐயும், பிறகு 5/7ஐயும் கண்டுபிடிப்போம்

3/4 என்ற எண்ணின் 1/7 பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படும்:

5/7 எண்கள் 3/4 பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படும்:

இதனால்,

மற்றொரு உதாரணம்: 5/8 பெருக்கல் 4/9.

5/8 இல் 1/9 என்பது,

5/8 என்ற எண்ணின் 4/9 என்பது .

இதனால்,

இந்த எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, பின்வரும் விதியைக் கண்டறியலாம்:

ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் எண்ணை எண்களால் பெருக்க வேண்டும், மற்றும் வகுப்பை வகுப்பால் பெருக்க வேண்டும், மேலும் முதல் தயாரிப்பை எண்ணாகவும், இரண்டாவது தயாரிப்பை உற்பத்தியின் வகுப்பாகவும் மாற்ற வேண்டும்.

இந்த விதியை பொதுவான வடிவத்தில் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

பெருக்கும்போது, ​​(முடிந்தால்) குறைப்புகளைச் செய்வது அவசியம். எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

5. கலப்பு எண்களின் பெருக்கல்.கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களால் எளிதாக மாற்ற முடியும் என்பதால், கலப்பு எண்களை பெருக்கும் போது இந்த சூழ்நிலை பொதுவாக பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதன் பொருள், பெருக்கல், அல்லது பெருக்கி, அல்லது இரண்டு காரணிகளும் கலப்பு எண்களாக வெளிப்படுத்தப்படும் சந்தர்ப்பங்களில், அவை முறையற்ற பின்னங்களால் மாற்றப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, கலப்பு எண்களை பெருக்கலாம்: 2 1/2 மற்றும் 3 1/5. அவை ஒவ்வொன்றையும் முறையற்ற பின்னமாக மாற்றுவோம், பின்னர் ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவதற்கான விதியின்படி அதன் விளைவாக வரும் பின்னங்களை பெருக்கலாம்:

விதி.கலப்பு எண்களைப் பெருக்க, நீங்கள் முதலில் அவற்றை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்ற வேண்டும், பின்னர் பின்னங்களை பின்னங்களால் பெருக்குவதற்கான விதியின்படி அவற்றைப் பெருக்க வேண்டும்.

குறிப்பு.காரணிகளில் ஒன்று முழு எண்ணாக இருந்தால், பகிர்வு விதியின் அடிப்படையில் பெருக்கல் பின்வருமாறு செய்யப்படலாம்:

6. வட்டி கருத்து.சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் மற்றும் பல்வேறு நடைமுறைக் கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது, ​​​​எல்லா வகையான பின்னங்களையும் பயன்படுத்துகிறோம். ஆனால் பல அளவுகள் அவற்றுக்கான இயற்கையான பிளவுகளை மட்டும் அனுமதிக்காது என்பதை மனதில் கொள்ள வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் ஒரு ரூபிளின் நூறில் (1/100) எடுக்கலாம், அது ஒரு கோபெக், இருநூறில் ஒரு பங்கு 2 கோபெக்குகள், முந்நூறில் ஒரு பங்கு 3 கோபெக்குகள். நீங்கள் ஒரு ரூபிளில் 1/10 ஐ எடுத்துக் கொள்ளலாம், அது "10 கோபெக்குகள் அல்லது பத்து-கோபெக் துண்டுகளாக இருக்கும். நீங்கள் ஒரு ரூபிலின் கால் பகுதி, அதாவது 25 கோபெக்குகள், அரை ரூபிள், அதாவது 50 கோபெக்குகள் (ஐம்பது கோபெக்குகள்) எடுத்துக் கொள்ளலாம். அவர்கள் நடைமுறையில் அதை எடுத்துக்கொள்வதில்லை, எடுத்துக்காட்டாக, ரூபிளின் 2/7, ஏனெனில் ரூபிள் ஏழில் பிரிக்கப்படவில்லை.

எடையின் அலகு, அதாவது கிலோகிராம், முதன்மையாக தசமப் பிரிவுகளை அனுமதிக்கிறது, உதாரணமாக 1/10 கிலோ, அல்லது 100 கிராம். மேலும் ஒரு கிலோகிராமின் 1/6, 1/11, 1/13 போன்ற பின்னங்கள் பொதுவானவை அல்ல.

பொதுவாக, எங்கள் (மெட்ரிக்) நடவடிக்கைகள் தசம மற்றும் தசமப் பிரிவுகளை அனுமதிக்கின்றன.

எவ்வாறாயினும், அளவுகளை உட்பிரிப்பதற்கான ஒரே (சீரான) முறையைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் பயனுள்ளது மற்றும் பலவகையான நிகழ்வுகளில் வசதியானது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். இத்தகைய நன்கு நியாயப்படுத்தப்பட்ட பிரிவு "நூறாவது" பிரிவு என்பதை பல வருட அனுபவம் காட்டுகிறது. மனித நடைமுறையின் மிகவும் மாறுபட்ட பகுதிகள் தொடர்பான பல உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

1. புத்தகங்களின் விலை முந்தைய விலையில் 12/100 குறைந்துள்ளது.

உதாரணமாக. புத்தகத்தின் முந்தைய விலை 10 ரூபிள். இது 1 ரூபிள் குறைந்துள்ளது. 20 கோபெக்குகள்

2. சேமிப்பு வங்கிகள் வைப்புத்தொகையாளர்களுக்கு வருடத்தில் சேமிப்பிற்காக டெபாசிட் செய்யப்பட்ட தொகையில் 2/100 செலுத்துகின்றன.

உதாரணமாக. 500 ரூபிள் பணப் பதிவேட்டில் டெபாசிட் செய்யப்பட்டுள்ளது, இந்த ஆண்டுக்கான வருமானம் 10 ரூபிள் ஆகும்.

3. ஒரு பள்ளியில் பட்டம் பெற்றவர்களின் எண்ணிக்கை மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கையில் 5/100 ஆக இருந்தது.

உதாரணமாக பள்ளியில் 1,200 மாணவர்கள் மட்டுமே இருந்தனர், அதில் 60 பேர் தேர்ச்சி பெற்றனர்.

எண்ணின் நூறாவது பகுதி சதவீதம் எனப்படும்.

"சதவீதம்" என்ற சொல் லத்தீன் மொழியிலிருந்து கடன் வாங்கப்பட்டது மற்றும் அதன் மூலமான "சென்ட்" என்பது நூறு என்று பொருள். முன்மொழிவுடன் (ப்ரோ சென்டம்), இந்த வார்த்தைக்கு "நூறுக்கு" என்று பொருள். இந்த வெளிப்பாட்டின் பொருள், ஆரம்பத்தில் பண்டைய ரோமில் வட்டி என்பது கடனாளி கடனளிப்பவருக்கு "ஒவ்வொரு நூற்றுக்கும்" செலுத்திய பணத்திற்கு கொடுக்கப்பட்ட பெயர் என்பதிலிருந்து பின்பற்றுகிறது. "சென்ட்" என்ற வார்த்தை மிகவும் பழக்கமான வார்த்தைகளில் கேட்கப்படுகிறது: சென்டர் (நூறு கிலோகிராம்), சென்டிமீட்டர் (சென்டிமீட்டர் என்று சொல்லுங்கள்).

எடுத்துக்காட்டாக, கடந்த மாதத்தில் ஆலை உற்பத்தி செய்த அனைத்து பொருட்களில் 1/100 குறைபாடுள்ளது என்று கூறுவதற்குப் பதிலாக, நாங்கள் இதைச் சொல்வோம்: கடந்த மாதத்தில் ஆலை ஒரு சதவீத குறைபாடுகளை உருவாக்கியது. கூறுவதற்குப் பதிலாக: ஆலை நிறுவப்பட்ட திட்டத்தை விட 4/100 கூடுதல் தயாரிப்புகளை உற்பத்தி செய்தது, நாங்கள் கூறுவோம்: ஆலை திட்டத்தை 4 சதவிகிதம் தாண்டியது.

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளை வேறு விதமாக வெளிப்படுத்தலாம்:

1. புத்தகங்களின் விலை முந்தைய விலையை விட 12 சதவீதம் குறைந்துள்ளது.

2. சேமிப்பு வங்கிகள் வைப்பாளர்களுக்கு சேமிப்பில் டெபாசிட் செய்யப்பட்ட தொகையில் ஆண்டுக்கு 2 சதவீதம் செலுத்துகின்றன.

3. ஒரு பள்ளியில் பட்டதாரிகளின் எண்ணிக்கை அனைத்து பள்ளி மாணவர்களில் 5 சதவீதமாக இருந்தது.

கடிதத்தை சுருக்க, "சதவீதம்" என்ற வார்த்தைக்கு பதிலாக % குறியீட்டை எழுதுவது வழக்கம்.

இருப்பினும், கணக்கீடுகளில் % அடையாளம் பொதுவாக எழுதப்படவில்லை என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்; இது சிக்கல் அறிக்கையிலும் இறுதி முடிவிலும் எழுதப்படலாம். கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது, ​​இந்தக் குறியீட்டைக் கொண்டு முழு எண்ணுக்குப் பதிலாக 100 என்ற வகுப்பில் ஒரு பகுதியை எழுத வேண்டும்.

நீங்கள் ஒரு முழு எண்ணை சுட்டிக்காட்டப்பட்ட ஐகானுடன் 100 பிரிவின் ஒரு பகுதியுடன் மாற்ற வேண்டும்:

மாறாக, 100 என்ற பிரிவைக் கொண்ட பின்னத்திற்குப் பதிலாக சுட்டிக்காட்டப்பட்ட குறியீட்டைக் கொண்டு ஒரு முழு எண்ணை எழுதப் பழக வேண்டும்:

7. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் சதவீதத்தைக் கண்டறிதல்.

பணி 1.பள்ளிக்கு 200 கன மீட்டர் தண்ணீர் வந்தது. மீ விறகு, பிர்ச் விறகு 30% கணக்கில் உள்ளது. எவ்வளவு பிர்ச் விறகு இருந்தது?

இந்த சிக்கலின் பொருள் என்னவென்றால், பள்ளிக்கு வழங்கப்பட்ட விறகின் ஒரு பகுதியை மட்டுமே பிர்ச் விறகு உருவாக்கியது, மேலும் இந்த பகுதி 30/100 என்ற பின்னத்தில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு எண்ணின் ஒரு பகுதியைக் கண்டுபிடிக்கும் பணி நமக்கு உள்ளது என்பதே இதன் பொருள். அதைத் தீர்க்க, நாம் 200 ஐ 30/100 ஆல் பெருக்க வேண்டும் (எண்ணின் பின்னத்தை கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கல்கள் எண்ணை பின்னத்தால் பெருக்குவதன் மூலம் தீர்க்கப்படும்.).

இதன் பொருள் 200 இல் 30% 60 க்கு சமம்.

இந்த சிக்கலில் எதிர்கொள்ளும் 30/100 என்ற பின்னத்தை 10 ஆல் குறைக்கலாம். ஆரம்பத்தில் இருந்தே இந்தக் குறைப்பைச் செய்ய முடியும்; பிரச்சனைக்கான தீர்வு மாறியிருக்காது.

பணி 2.முகாமில் பல்வேறு வயதுடைய 300 குழந்தைகள் கலந்து கொண்டனர். 11 வயது குழந்தைகள் 21% ஆகவும், 12 வயது குழந்தைகள் 61% ஆகவும், இறுதியாக 13 வயது குழந்தைகள் 18% ஆகவும் உள்ளனர். முகாமில் ஒவ்வொரு வயதினரும் எத்தனை குழந்தைகள் இருந்தனர்?

இந்த சிக்கலில் நீங்கள் மூன்று கணக்கீடுகளைச் செய்ய வேண்டும், அதாவது 11 வயது, பின்னர் 12 வயது மற்றும் இறுதியாக 13 வயது குழந்தைகளின் எண்ணிக்கையை தொடர்ச்சியாகக் கண்டறியவும்.

இதன் பொருள் இங்கே நீங்கள் எண்ணின் பகுதியை மூன்று முறை கண்டுபிடிக்க வேண்டும். அதை செய்வோம்:

1) 11 வயது குழந்தைகள் எத்தனை பேர்?

2) 12 வயது குழந்தைகள் எத்தனை பேர்?

3) 13 வயது குழந்தைகள் எத்தனை பேர்?

சிக்கலைத் தீர்த்த பிறகு, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண்களைச் சேர்ப்பது பயனுள்ளது; அவற்றின் தொகை 300 ஆக இருக்க வேண்டும்:

63 + 183 + 54 = 300

சிக்கல் அறிக்கையில் கொடுக்கப்பட்ட சதவீதங்களின் கூட்டுத்தொகை 100 என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்:

21% + 61% + 18% = 100%

முகாமில் உள்ள மொத்த குழந்தைகளின் எண்ணிக்கை 100% ஆக எடுக்கப்பட்டதாக இது தெரிவிக்கிறது.

3 a d a h a 3.தொழிலாளி மாதத்திற்கு 1,200 ரூபிள் பெற்றார். இதில், அவர் 65% உணவுக்காகவும், 6% அடுக்குமாடி குடியிருப்புகள் மற்றும் வெப்பமாக்கலுக்காகவும், 4% எரிவாயு, மின்சாரம் மற்றும் வானொலிக்காகவும், 10% கலாச்சார தேவைகளுக்காகவும், 15% சேமிப்பிற்காகவும் செலவிட்டார். பிரச்சனையில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட தேவைகளுக்கு எவ்வளவு பணம் செலவிடப்பட்டது?

இந்த சிக்கலை தீர்க்க நீங்கள் 1,200 இன் பின்னத்தை 5 முறை கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இதைச் செய்வோம்.

1) உணவுக்காக எவ்வளவு பணம் செலவிடப்பட்டது? இந்தச் செலவு மொத்த வருவாயில் 65% என்று சிக்கல் கூறுகிறது, அதாவது 1,200 எண்ணில் 65/100. கணக்கீடு செய்வோம்:

2) வெப்பமூட்டும் அடுக்குமாடி குடியிருப்புக்கு எவ்வளவு பணம் செலுத்தினீர்கள்? முந்தைய கணக்கீட்டைப் போலவே, நாங்கள் பின்வரும் கணக்கீட்டிற்கு வருகிறோம்:

3) எரிவாயு, மின்சாரம் மற்றும் வானொலிக்கு எவ்வளவு பணம் செலுத்தினீர்கள்?

4) கலாச்சார தேவைகளுக்கு எவ்வளவு பணம் செலவிடப்பட்டது?

5) தொழிலாளி எவ்வளவு பணம் சேமித்தார்?

சரிபார்க்க, இந்த 5 கேள்விகளில் காணப்படும் எண்களைக் கூட்டுவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். தொகை 1,200 ரூபிள் இருக்க வேண்டும். அனைத்து வருவாய்களும் 100% ஆகக் கணக்கிடப்படுகின்றன, இது சிக்கல் அறிக்கையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சதவீத எண்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் சரிபார்க்க எளிதானது.

நாங்கள் மூன்று பிரச்சினைகளை தீர்த்தோம். இந்த சிக்கல்கள் வெவ்வேறு விஷயங்களைக் கையாண்ட போதிலும் (பள்ளிக்கு விறகு விநியோகம், வெவ்வேறு வயது குழந்தைகளின் எண்ணிக்கை, தொழிலாளியின் செலவுகள்), அவை அதே வழியில் தீர்க்கப்பட்டன. எல்லா சிக்கல்களிலும் கொடுக்கப்பட்ட எண்களில் பல சதவீதத்தைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம் என்பதால் இது நடந்தது.

§ 90. பின்னங்களின் பிரிவு.

பின்னங்களின் பிரிவைப் படிக்கும்போது, ​​​​பின்வரும் கேள்விகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

1. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் வகுக்கவும்.
2. ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் வகுத்தல்
3. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் வகுத்தல்.
4. ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் வகுத்தல்.
5. கலப்பு எண்களின் பிரிவு.
6. கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தில் இருந்து எண்ணைக் கண்டறிதல்.
7. ஒரு எண்ணை அதன் சதவீதத்தால் கண்டறிதல்.

அவற்றை வரிசையாகக் கருதுவோம்.

1. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் வகுக்கவும்.

முழு எண்களின் பிரிவில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளபடி, பிரிவு என்பது இரண்டு காரணிகளின் (ஈவுத்தொகை) மற்றும் இந்த காரணிகளில் ஒன்றின் (வகுப்பான்) விளைபொருளைக் கொடுத்தால், மற்றொரு காரணி கண்டறியப்படும் என்ற உண்மையை உள்ளடக்கிய செயலாகும்.

முழு எண்களின் பிரிவில் ஒரு முழு எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் வகுப்பதைப் பார்த்தோம். பிரிவின் இரண்டு நிகழ்வுகளை நாங்கள் அங்கு சந்தித்தோம்: மீதி இல்லாத பிரிவு, அல்லது "முழுமையாக" (150: 10 = 15), மற்றும் மீதியுடன் பிரிவு (100: 9 = 11 மற்றும் 1 மீதி). எனவே முழு எண்களின் துறையில், துல்லியமான வகுத்தல் எப்போதும் சாத்தியமில்லை என்று நாம் கூறலாம், ஏனெனில் ஈவுத்தொகை எப்போதும் முழு எண்ணால் வகுக்கும் பொருளாக இருக்காது. ஒரு பின்னத்தால் பெருக்கலை அறிமுகப்படுத்திய பிறகு, முழு எண்களைப் வகுக்கும் எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்தையும் நாம் பரிசீலிக்கலாம் (பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல் மட்டுமே விலக்கப்பட்டுள்ளது).

எடுத்துக்காட்டாக, 7 ஐ 12 ஆல் வகுத்தல் என்பது 12 ஆல் 7 க்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். அத்தகைய எண் 7 / 12 பின்னம், ஏனெனில் 7 / 12 12 = 7 ஆகும். மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு: 14: 25 = 14 / 25, ஏனெனில் 14 / 25 25 = 14.

எனவே, ஒரு முழு எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் வகுக்க, நீங்கள் ஒரு பகுதியை உருவாக்க வேண்டும், அதன் எண் ஈவுத்தொகைக்கு சமமாகவும், வகுத்தல் வகுப்பிற்கு சமமாகவும் இருக்கும்.

2. ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் வகுத்தல்.

பின்னம் 6 / 7 ஐ 3 ஆல் வகுக்கவும். மேலே கொடுக்கப்பட்ட வகுப்பின் வரையறையின்படி, நாம் இங்கே தயாரிப்பு (6 / 7) மற்றும் காரணிகளில் ஒன்று (3); 3 ஆல் பெருக்கினால், கொடுக்கப்பட்ட தயாரிப்பு 6/7 ஐக் கொடுக்கும் இரண்டாவது காரணியைக் கண்டறிய வேண்டும். வெளிப்படையாக, இது இந்த தயாரிப்பை விட மூன்று மடங்கு சிறியதாக இருக்க வேண்டும். அதாவது 6/7 என்ற பகுதியை 3 மடங்கு குறைப்பதே நமக்கு முன் வைக்கப்பட்ட பணி.

ஒரு பகுதியைக் குறைப்பது அதன் எண்ணிக்கையைக் குறைப்பதன் மூலமோ அல்லது அதன் வகுப்பை அதிகரிப்பதன் மூலமோ செய்யப்படலாம் என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிவோம். எனவே நீங்கள் எழுதலாம்:

இந்த வழக்கில், எண் 6 ஆனது 3 ஆல் வகுபடும், எனவே எண் 3 மடங்கு குறைக்கப்பட வேண்டும்.

மற்றொரு உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்: 5/8 ஐ 2 ஆல் வகுக்க வேண்டும். இங்கே எண் 5 ஐ 2 ஆல் வகுக்க முடியாது, அதாவது வகுப்பினை இந்த எண்ணால் பெருக்க வேண்டும்:

இதன் அடிப்படையில், ஒரு விதியை உருவாக்கலாம்: ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் வகுக்க, பின்னத்தின் எண்ணை அந்த முழு எண்ணால் வகுக்க வேண்டும்.(முடிந்தால்), அதே வகுப்பை விட்டு, அல்லது பின்னத்தின் வகுப்பினை இந்த எண்ணால் பெருக்கி, அதே எண்ணை விட்டு.

3. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் வகுத்தல்.

5 ஐ 1/2 ஆல் வகுக்க வேண்டியது அவசியமாக இருக்கட்டும், அதாவது, 1/2 ஆல் பெருக்கினால், தயாரிப்பு 5 ஐக் கொடுக்கும் எண்ணைக் கண்டறியவும். வெளிப்படையாக, இந்த எண் 5 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் 1/2 சரியான பின்னம். , மற்றும் ஒரு எண்ணைப் பெருக்கும் போது சரியான பின்னத்தின் பலன் பெருக்கப்படும் விளைபொருளை விட குறைவாக இருக்க வேண்டும். இதை தெளிவுபடுத்த, எங்கள் செயல்களை பின்வருமாறு எழுதுவோம்: 5: 1 / 2 = எக்ஸ் , அதாவது x 1/2 = 5.

அத்தகைய எண்ணை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் எக்ஸ் , இது, 1/2 ஆல் பெருக்கினால், 5 கிடைக்கும். ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை 1/2 ஆல் பெருக்கினால், இந்த எண்ணின் 1/2 ஐக் கண்டுபிடிப்பது, எனவே, தெரியாத எண்ணின் 1/2 எக்ஸ் 5 க்கு சமம், மற்றும் முழு எண் எக்ஸ் இரண்டு மடங்கு, அதாவது 5 2 = 10.

எனவே 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

சரிபார்ப்போம்:

இன்னொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். 6ஐ 2/3ஆல் வகுக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். முதலில் வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி விரும்பிய முடிவைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம் (படம் 19).

படம்.19

6 அலகுகளுக்கு சமமான AB பிரிவை வரைவோம், மேலும் ஒவ்வொரு யூனிட்டையும் 3 சம பாகங்களாகப் பிரிப்போம். ஒவ்வொரு யூனிட்டிலும், AB முழு பிரிவின் மூன்றில் மூன்று பங்கு (3/3) 6 மடங்கு பெரியது, அதாவது. உ. 18/3. சிறிய அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தி, 2 இன் 18 விளைவான பிரிவுகளை இணைக்கிறோம்; 9 பிரிவுகள் மட்டுமே இருக்கும். இதன் பொருள் 2/3 என்ற பின்னம் 6 அலகுகளில் 9 முறை உள்ளது அல்லது வேறுவிதமாகக் கூறினால், 2/3 என்ற பின்னம் 6 முழு அலகுகளை விட 9 மடங்கு குறைவாக உள்ளது. எனவே,

கணக்கீடுகளை மட்டும் பயன்படுத்தி வரைதல் இல்லாமல் இந்த முடிவை எவ்வாறு பெறுவது? இப்படிக் காரணம் கூறுவோம்: 6ஐ 2/3 ஆல் வகுக்க வேண்டும், அதாவது 6ல் 2/3 எத்தனை முறை உள்ளது என்ற கேள்விக்கு நாம் பதிலளிக்க வேண்டும். முதலில் கண்டுபிடிப்போம்: 6ல் 1/3 எத்தனை முறை உள்ளது? ஒரு முழு அலகில் மூன்றில் 3 பங்கு உள்ளது, மேலும் 6 அலகுகளில் 6 மடங்கு அதிகம், அதாவது 18 மூன்றில்; இந்த எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க நாம் 6 ஐ 3 ஆல் பெருக்க வேண்டும். இதன் பொருள் 1/3 என்பது b அலகுகளில் 18 முறை உள்ளது, மேலும் 2/3 என்பது b அலகுகளில் 18 முறை அல்ல, ஆனால் பாதி மடங்கு அதிகமாக உள்ளது, அதாவது 18: 2 = 9 எனவே, 6 ஐ 2/3 ஆல் வகுக்கும் போது பின்வருவனவற்றைச் செய்தோம்:

இங்கிருந்து ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் வகுக்கும் விதியைப் பெறுகிறோம். ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பகுதியால் வகுக்க, நீங்கள் இந்த முழு எண்ணையும் கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் வகுப்பினால் பெருக்க வேண்டும், மேலும் இந்த தயாரிப்பை எண்ணாக மாற்றினால், கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் எண்ணால் வகுக்க வேண்டும்.

எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்தி விதியை எழுதுவோம்:

இந்த விதியை முற்றிலும் தெளிவுபடுத்துவதற்கு, ஒரு பகுதியை ஒரு பங்காகக் கருதலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். எனவே, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட விதியை § 38 இல் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு கோட்டால் வகுக்கும் விதியுடன் ஒப்பிடுவது பயனுள்ளது. அதே சூத்திரம் அங்கேயும் பெறப்பட்டது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

பிரிக்கும்போது, ​​சுருக்கங்கள் சாத்தியமாகும், எடுத்துக்காட்டாக:

4. ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் வகுத்தல்.

3/4 ஐ 3/8 ஆல் வகுக்க வேண்டும் என்று வைத்துக் கொள்வோம். பிரிவதால் வரும் எண் என்ன அர்த்தம்? 3/4 என்ற பின்னத்தில் 3/8 என்ற பின்னம் எத்தனை முறை உள்ளது என்ற கேள்விக்கு இது பதிலளிக்கும். இந்த சிக்கலைப் புரிந்து கொள்ள, ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 20).

AB பிரிவை எடுத்து, அதை ஒன்றாக எடுத்து, அதை 4 சம பாகங்களாகப் பிரித்து, அத்தகைய 3 பகுதிகளைக் குறிக்கவும். ஏசி பிரிவு AB பிரிவின் 3/4க்கு சமமாக இருக்கும். இப்போது நான்கு அசல் பிரிவுகளில் ஒவ்வொன்றையும் பாதியாகப் பிரிப்போம், பின்னர் பிரிவு AB 8 சம பாகங்களாகப் பிரிக்கப்படும் மற்றும் அத்தகைய ஒவ்வொரு பகுதியும் AB பிரிவின் 1/8 க்கு சமமாக இருக்கும். அத்தகைய 3 பிரிவுகளை வளைவுகளுடன் இணைப்போம், பின்னர் AD மற்றும் DC பிரிவுகள் ஒவ்வொன்றும் AB பிரிவின் 3/8 க்கு சமமாக இருக்கும். 3/8 க்கு சமமான ஒரு பிரிவு 3/4 க்கு சமமான ஒரு பிரிவில் சரியாக 2 மடங்கு இருப்பதை வரைபடம் காட்டுகிறது; இதன் பொருள் பிரிவின் முடிவை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

3 / 4: 3 / 8 = 2

இன்னொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். 15/16 ஐ 3/32 ஆல் வகுக்க வேண்டும் என்று வைத்துக் கொள்வோம்:

நாம் இப்படி நியாயப்படுத்தலாம்: 3/32 ஆல் பெருக்கினால், 15/16க்கு சமமான ஒரு பொருளைக் கொடுக்கும் எண்ணை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். கணக்கீடுகளை இப்படி எழுதுவோம்:

15 / 16: 3 / 32 = எக்ஸ்

3 / 32 எக்ஸ் = 15 / 16

3/32 தெரியாத எண் எக்ஸ் 15/16 ஆகும்

தெரியாத எண்ணில் 1/32 எக்ஸ் இருக்கிறது ,

32/32 எண்கள் எக்ஸ் ஒப்பனை .

எனவே,

எனவே, ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் வகுக்க, நீங்கள் முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை இரண்டின் வகுப்பால் பெருக்க வேண்டும், மேலும் முதல் பின்னத்தின் வகுப்பை இரண்டின் எண்ணால் பெருக்கி, முதல் தயாரிப்பை எண்ணாக மாற்ற வேண்டும். மற்றும் இரண்டாவது வகுத்தல்.

எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்தி விதியை எழுதுவோம்:

பிரிக்கும்போது, ​​சுருக்கங்கள் சாத்தியமாகும், எடுத்துக்காட்டாக:

5. கலப்பு எண்களின் பிரிவு.

கலப்பு எண்களை வகுக்கும் போது, ​​முதலில் அவை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றப்பட வேண்டும், பின்னர் அதன் விளைவாக வரும் பின்னங்கள் பின்னங்களைப் பிரிப்பதற்கான விதிகளின்படி பிரிக்கப்பட வேண்டும். ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றுவோம்:

இப்போது பிரிப்போம்:

எனவே, கலப்பு எண்களைப் பிரிக்க, நீங்கள் அவற்றை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்ற வேண்டும், பின்னர் பின்னங்களைப் பிரிப்பதற்கான விதியைப் பயன்படுத்தி பிரிக்க வேண்டும்.

6. கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தில் இருந்து எண்ணைக் கண்டறிதல்.

பல்வேறு பின்னம் சிக்கல்களில், சில சமயங்களில் அறியப்படாத எண்ணின் சில பகுதியின் மதிப்பு கொடுக்கப்பட்டிருக்கும், இந்த எண்ணை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பகுதியைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கலின் நேர்மாறாக இந்த வகையான சிக்கல் இருக்கும்; அங்கு ஒரு எண் கொடுக்கப்பட்டது, இந்த எண்ணின் சில பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க அது தேவைப்பட்டது, இங்கே ஒரு எண்ணின் ஒரு பகுதி கொடுக்கப்பட்டது மற்றும் இந்த எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க அது தேவைப்பட்டது. இந்த வகையான சிக்கலை தீர்க்க நாம் திரும்பினால் இந்த யோசனை இன்னும் தெளிவாகிவிடும்.

பணி 1.முதல் நாளில், கிளாசியர்ஸ் 50 ஜன்னல்களை மெருகூட்டியது, இது கட்டப்பட்ட வீட்டின் அனைத்து ஜன்னல்களிலும் 1/3 ஆகும். இந்த வீட்டில் எத்தனை ஜன்னல்கள் உள்ளன?

தீர்வு. 50 மெருகூட்டப்பட்ட ஜன்னல்கள் வீட்டின் அனைத்து ஜன்னல்களிலும் 1/3 ஆகும் என்று பிரச்சனை கூறுகிறது, அதாவது மொத்தம் 3 மடங்கு அதிகமான ஜன்னல்கள் உள்ளன, அதாவது.

வீட்டில் 150 ஜன்னல்கள் இருந்தன.

பணி 2.கடையில் 1,500 கிலோ மாவு விற்கப்பட்டது, இது கடையில் இருந்த மொத்த மாவில் 3/8 ஆகும். கடையின் ஆரம்ப சப்ளை மாவு என்ன?

தீர்வு.பிரச்சனையின் நிலைமைகளில் இருந்து 1,500 கிலோ மாவு விற்பனையானது மொத்த கையிருப்பில் 3/8 ஆகும் என்பது தெளிவாகிறது; இதன் பொருள் இந்த இருப்பில் 1/8 3 மடங்கு குறைவாக இருக்கும், அதாவது அதைக் கணக்கிட நீங்கள் 1500 ஐ 3 மடங்கு குறைக்க வேண்டும்:

1,500: 3 = 500 (இது கையிருப்பில் 1/8 ஆகும்).

வெளிப்படையாக, முழு விநியோகமும் 8 மடங்கு அதிகமாக இருக்கும். எனவே,

500 8 = 4,000 (கிலோ).

கடையில் ஆரம்பகட்ட மாவு இருப்பு 4,000 கிலோவாக இருந்தது.

இந்த சிக்கலைக் கருத்தில் கொண்டு, பின்வரும் விதியைப் பெறலாம்.

அதன் பின்னத்தின் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பிலிருந்து ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க, இந்த மதிப்பை பின்னத்தின் எண்ணிக்கையால் வகுத்து, பின்னத்தின் வகுப்பால் முடிவைப் பெருக்க போதுமானது.

ஒரு எண்ணை அதன் பின்னம் மூலம் கண்டுபிடிப்பதில் இரண்டு சிக்கல்களைத் தீர்த்தோம். இத்தகைய சிக்கல்கள், குறிப்பாக கடந்த ஒன்றிலிருந்து தெளிவாகக் காணப்படுகின்றன, இரண்டு செயல்களால் தீர்க்கப்படுகின்றன: பிரிவு (ஒரு பகுதி கண்டுபிடிக்கப்படும்போது) மற்றும் பெருக்கல் (முழு எண் கண்டுபிடிக்கப்படும்போது).

இருப்பினும், பின்னங்களைப் பிரிப்பதைக் கற்றுக்கொண்ட பிறகு, மேலே உள்ள சிக்கல்களை ஒரு செயலால் தீர்க்க முடியும், அதாவது: ஒரு பகுதியால் வகுத்தல்.

எடுத்துக்காட்டாக, கடைசி பணியை இது போன்ற ஒரு செயலில் தீர்க்க முடியும்:

எதிர்காலத்தில், அதன் பின்னத்திலிருந்து ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கல்களை ஒரு செயலின் மூலம் தீர்ப்போம் - பிரிவு.

7. ஒரு எண்ணை அதன் சதவீதத்தால் கண்டறிதல்.

இந்தச் சிக்கல்களில், அந்த எண்ணின் சில சதவீதத்தை அறிந்து ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

பணி 1.இந்த ஆண்டின் தொடக்கத்தில் நான் சேமிப்பு வங்கியில் இருந்து 60 ரூபிள் பெற்றேன். ஒரு வருடத்திற்கு முன்பு நான் சேமித்த தொகையிலிருந்து வருமானம். சேமிப்பு வங்கியில் எவ்வளவு பணம் போட்டுள்ளேன்? (பண மேசைகள் வைப்புத்தொகையாளர்களுக்கு வருடத்திற்கு 2% வருமானத்தை அளிக்கின்றன.)

ஒரு சேமிப்பு வங்கியில் குறிப்பிட்ட தொகையை போட்டுவிட்டு ஓராண்டு காலம் தங்கியிருந்தேன் என்பதே பிரச்சனையின் புள்ளி. ஒரு வருடம் கழித்து, நான் அவளிடமிருந்து 60 ரூபிள் பெற்றேன். வருமானம், நான் டெபாசிட் செய்த பணத்தில் 2/100. நான் எவ்வளவு பணம் போட்டேன்?

இதன் விளைவாக, இந்த பணத்தின் ஒரு பகுதியை அறிந்துகொள்வது, இரண்டு வழிகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது (ரூபிள் மற்றும் பின்னங்கள்), நாம் முழு, இன்னும் அறியப்படாத, தொகை கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இது ஒரு எண்ணை அதன் பின்னத்தில் கண்டறிவதில் ஏற்படும் ஒரு சாதாரண பிரச்சனை. பின்வரும் சிக்கல்கள் பிரிப்பதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன:

இதன் பொருள் சேமிப்பு வங்கியில் 3,000 ரூபிள் டெபாசிட் செய்யப்பட்டது.

பணி 2.மீனவர்கள் மாதாந்திர திட்டத்தை இரண்டு வாரங்களில் 64% பூர்த்தி செய்து 512 டன் மீன்களை அறுவடை செய்தனர். அவர்களின் திட்டம் என்ன?

பிரச்சினையின் நிலைமைகளிலிருந்து மீனவர்கள் திட்டத்தின் ஒரு பகுதியை முடித்தனர் என்பது அறியப்படுகிறது. இந்த பகுதி 512 டன்களுக்கு சமம், இது திட்டத்தின் 64% ஆகும். திட்டத்தின் படி எத்தனை டன் மீன்கள் தயாரிக்கப்பட வேண்டும் என்பது எங்களுக்குத் தெரியாது. இந்த எண்ணைக் கண்டறிவது பிரச்சனைக்கு தீர்வாக இருக்கும்.

இத்தகைய சிக்கல்கள் பிரிப்பதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன:

அதாவது திட்டத்தின்படி 800 டன் மீன்கள் தயார் செய்ய வேண்டும்.

பணி 3.ரயில் ரிகாவிலிருந்து மாஸ்கோவிற்குச் சென்றது. அவர் 276 வது கிலோமீட்டரைக் கடந்தபோது, ​​பயணிகளில் ஒருவர் அந்த வழியாகச் சென்ற கண்டக்டரிடம் தாங்கள் ஏற்கனவே எவ்வளவு பயணத்தை கடந்துவிட்டீர்கள் என்று கேட்டார். இதற்கு நடத்துனர் பதிலளித்தார்: "முழு பயணத்தில் 30% நாங்கள் ஏற்கனவே முடித்துவிட்டோம்." ரிகாவிலிருந்து மாஸ்கோவிற்கு உள்ள தூரம் என்ன?

சிக்கல் நிலைமைகளில் இருந்து ரிகாவிலிருந்து மாஸ்கோவிற்கு 30% பாதை 276 கிமீ ஆகும் என்பது தெளிவாகிறது. இந்த நகரங்களுக்கிடையேயான முழு தூரத்தையும் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதாவது, இந்த பகுதிக்கு, முழுவதையும் கண்டறியவும்:

§ 91. பரஸ்பர எண்கள். பெருக்கல் மூலம் வகுத்தல் பதிலாக.

பின்னம் 2/3 ஐ எடுத்து, வகுப்பின் இடத்தில் எண்களை மாற்றுவோம், நமக்கு 3/2 கிடைக்கும். இந்த பின்னத்தின் தலைகீழ் எங்களுக்கு கிடைத்தது.

கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் நேர்மாறான ஒரு பகுதியைப் பெற, நீங்கள் அதன் எண்ணை வகுப்பின் இடத்திலும், வகுப்பின் இடத்தில் வகுப்பையும் வைக்க வேண்டும். இந்த வழியில் நாம் எந்த பின்னத்தின் மறுபக்கத்தையும் பெறலாம். உதாரணத்திற்கு:

3/4, தலைகீழ் 4/3; 5/6, தலைகீழ் 6/5

முதலின் எண் இரண்டின் வகுத்தல், முதலின் வகுத்தல் இரண்டின் எண் ஆகிய பண்புகளைக் கொண்ட இரண்டு பின்னங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன. பரஸ்பர தலைகீழ்.

இப்போது 1/2 இன் எதிரொலியாக என்ன பின்னம் இருக்கும் என்பதைப் பற்றி சிந்திப்போம். வெளிப்படையாக, அது 2/1 அல்லது 2 ஆக இருக்கும். கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றின் தலைகீழ் பகுதியைத் தேடுவதன் மூலம், நமக்கு ஒரு முழு எண் கிடைத்தது. இந்த வழக்கு தனிமைப்படுத்தப்படவில்லை; மாறாக, 1 (ஒன்று) எண் கொண்ட அனைத்து பின்னங்களுக்கும், பரஸ்பர எண்கள் முழு எண்களாக இருக்கும், எடுத்துக்காட்டாக:

1/3, தலைகீழ் 3; 1/5, தலைகீழ் 5

பரஸ்பர பின்னங்களைக் கண்டுபிடிப்பதில் முழு எண்களையும் சந்தித்ததால், பின்வருவனவற்றில் நாம் பரஸ்பர பின்னங்களைப் பற்றி அல்ல, மாறாக பரஸ்பர எண்களைப் பற்றி பேசுவோம்.

ஒரு முழு எண்ணின் தலைகீழ் எவ்வாறு எழுதுவது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். பின்னங்களுக்கு, இது எளிமையாக தீர்க்கப்படும்: நீங்கள் எண்களின் இடத்தில் வகுப்பினை வைக்க வேண்டும். அதே வழியில், நீங்கள் ஒரு முழு எண்ணின் தலைகீழ் பெறலாம், ஏனெனில் எந்த முழு எண்ணும் 1 இன் பிரிவைக் கொண்டிருக்கலாம். இதன் பொருள் 7 இன் தலைகீழ் 1/7 ஆக இருக்கும், ஏனெனில் 7 = 7/1; 10 = 10/1 என்பதால், 10 என்ற எண்ணுக்கு தலைகீழ் 1/10 ஆக இருக்கும்

இந்த யோசனையை வேறு விதமாக வெளிப்படுத்தலாம்: கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பரஸ்பரம் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணால் ஒன்றைப் பிரிப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. இந்த அறிக்கை முழு எண்களுக்கு மட்டுமல்ல, பின்னங்களுக்கும் பொருந்தும். உண்மையில், நாம் பின்னம் 5/9 இன் தலைகீழ் எழுத வேண்டும் என்றால், நாம் 1 ஐ எடுத்து 5/9 ஆல் வகுக்கலாம், அதாவது.

இப்போது ஒன்றைக் குறிப்பிடுவோம் சொத்துபரஸ்பர எண்கள், இது எங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும்: பரஸ்பர எண்களின் பலன் ஒன்றுக்கு சமம்.உண்மையில்:

இந்த பண்பைப் பயன்படுத்தி, நாம் பின்வரும் வழியில் பரஸ்பர எண்களைக் கண்டறியலாம். நாம் 8 இன் தலைகீழ் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

அதை எழுத்தால் குறிப்போம் எக்ஸ் , பின்னர் 8 எக்ஸ் = 1, எனவே எக்ஸ் = 1/8. 7/12 இன் தலைகீழ் உள்ள மற்றொரு எண்ணைக் கண்டுபிடித்து அதை எழுத்தால் குறிக்கலாம் எக்ஸ் , பின்னர் 7/12 எக்ஸ் = 1, எனவே எக்ஸ் = 1: 7 / 12 அல்லது எக்ஸ் = 12 / 7 .

பின்னங்களைப் பிரிப்பது பற்றிய தகவல்களைச் சற்று கூடுதலாக்கும் வகையில், பரஸ்பர எண்களின் கருத்தை இங்கு அறிமுகப்படுத்தினோம்.

எண் 6 ஐ 3/5 ஆல் வகுத்தால், பின்வருவனவற்றைச் செய்கிறோம்:

வெளிப்பாட்டிற்கு சிறப்பு கவனம் செலுத்தி, கொடுக்கப்பட்டவற்றுடன் ஒப்பிடுக: .

முந்தையதைத் தொடர்புபடுத்தாமல் தனித்தனியாக வெளிப்பாட்டை எடுத்துக் கொண்டால், அது எங்கிருந்து வந்தது என்ற கேள்வியைத் தீர்க்க முடியாது: 6 ஐ 3/5 ஆல் வகுத்தல் அல்லது 6 ஐ 5/3 ஆல் பெருக்குவது. இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும் ஒரே விஷயம் நடக்கும். எனவே நாம் கூறலாம் ஒரு எண்ணை மற்றொன்றால் வகுத்தால், ஈவுத்தொகையை வகுக்கும் தலைகீழ் மூலம் பெருக்க முடியும்.

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் இந்த முடிவை முழுமையாக உறுதிப்படுத்துகின்றன.

அகில்லெஸ் ஆமையை விட பத்து மடங்கு வேகமாக ஓடி அதற்கு ஆயிரம் அடிகள் பின்னால் செல்கிறது என்று வைத்துக் கொள்வோம். இந்த தூரம் ஓட அகில்லெஸ் எடுக்கும் நேரத்தில், ஆமை அதே திசையில் நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். அகில்லெஸ் நூறு படிகள் ஓடும்போது, ​​ஆமை இன்னும் பத்து படிகள் ஊர்ந்து செல்லும், மற்றும் பல. இந்த செயல்முறை முடிவில்லாமல் தொடரும், அகில்லெஸ் ஒருபோதும் ஆமையைப் பிடிக்க மாட்டார்.

இந்த பகுத்தறிவு அனைத்து அடுத்தடுத்த தலைமுறைகளுக்கும் ஒரு தர்க்கரீதியான அதிர்ச்சியாக மாறியது. அரிஸ்டாட்டில், டியோஜெனெஸ், கான்ட், ஹெகல், ஹில்பர்ட்... இவர்கள் அனைவரும் ஏதோ ஒரு வகையில் ஜெனோவின் அபோரியாவைக் கருதினர். அதிர்ச்சி மிகவும் வலுவாக இருந்தது" ... விவாதங்கள் இன்றுவரை தொடர்கின்றன; முரண்பாடுகளின் சாராம்சம் குறித்த பொதுவான கருத்துக்கு விஞ்ஞான சமூகம் இன்னும் வரவில்லை ... கணித பகுப்பாய்வு, தொகுப்பு கோட்பாடு, புதிய இயற்பியல் மற்றும் தத்துவ அணுகுமுறைகள் பிரச்சினையின் ஆய்வில் ஈடுபட்டுள்ளன. ; அவை எதுவும் பிரச்சனைக்கு பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட தீர்வாக மாறவில்லை."[விக்கிபீடியா, "ஜீனோஸ் அபோரியா". எல்லோரும் தாங்கள் ஏமாறுகிறார்கள் என்பதை புரிந்துகொள்கிறார்கள், ஆனால் ஏமாற்றுவது என்னவென்று யாருக்கும் புரியவில்லை.

கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், ஜெனோ தனது அபோரியாவில் அளவிலிருந்து க்கு மாறுவதைத் தெளிவாகக் காட்டினார். இந்த மாற்றம் நிரந்தரமானவற்றுக்குப் பதிலாக பயன்பாட்டைக் குறிக்கிறது. நான் புரிந்து கொண்டவரை, மாறி அளவீட்டு அலகுகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான கணிதக் கருவி இன்னும் உருவாக்கப்படவில்லை அல்லது அது ஜெனோவின் அபோரியாவில் பயன்படுத்தப்படவில்லை. நமது வழக்கமான தர்க்கத்தைப் பயன்படுத்துவது நம்மை ஒரு பொறிக்குள் இட்டுச் செல்கிறது. நாம், சிந்தனையின் மந்தநிலை காரணமாக, பரஸ்பர மதிப்புக்கு நேரத்தின் நிலையான அலகுகளைப் பயன்படுத்துகிறோம். இயற்பியல் கண்ணோட்டத்தில், அகில்லெஸ் ஆமையைப் பிடிக்கும் தருணத்தில் அது முற்றிலும் நின்றுவிடும் வரை நேரம் குறைவது போல் தெரிகிறது. நேரம் நின்று விட்டால், அகில்லெஸால் ஆமையை மிஞ்ச முடியாது.

நாம் நமது வழக்கமான தர்க்கத்தைத் திருப்பினால், எல்லாம் சரியாகிவிடும். அகில்லெஸ் நிலையான வேகத்தில் இயங்குகிறது. அவரது பாதையின் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த பிரிவும் முந்தையதை விட பத்து மடங்கு குறைவாக உள்ளது. அதன்படி, அதைக் கடக்க செலவழித்த நேரம் முந்தையதை விட பத்து மடங்கு குறைவு. இந்த சூழ்நிலையில் "முடிவிலி" என்ற கருத்தை நாம் பயன்படுத்தினால், "அகில்லெஸ் ஆமையை எல்லையற்ற விரைவாகப் பிடிக்கும்" என்று சொல்வது சரியாக இருக்கும்.

இந்த தர்க்கரீதியான பொறியைத் தவிர்ப்பது எப்படி? நேரத்தின் நிலையான அலகுகளில் இருங்கள் மற்றும் பரஸ்பர அலகுகளுக்கு மாறாதீர்கள். ஜெனோவின் மொழியில் இது போல் தெரிகிறது:

அகில்லெஸ் ஆயிரம் படிகள் ஓட எடுக்கும் நேரத்தில், ஆமை அதே திசையில் நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். முதல் முறைக்கு சமமான அடுத்த நேர இடைவெளியில், அகில்லெஸ் இன்னும் ஆயிரம் படிகள் ஓடுவார், ஆமை நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். இப்போது அகில்லெஸ் ஆமையை விட எண்ணூறு படிகள் முன்னால் இருக்கிறார்.

இந்த அணுகுமுறை தர்க்கரீதியான முரண்பாடுகள் இல்லாமல் யதார்த்தத்தை போதுமான அளவில் விவரிக்கிறது. ஆனால் இது பிரச்சனைக்கு முழுமையான தீர்வு அல்ல. ஒளியின் வேகத்தின் தவிர்க்க முடியாத தன்மையைப் பற்றிய ஐன்ஸ்டீனின் கூற்று ஜீனோவின் அபோரியா "அகில்லெஸ் மற்றும் ஆமை" போன்றது. நாம் இன்னும் இந்த சிக்கலைப் படித்து, மறுபரிசீலனை செய்து தீர்க்க வேண்டும். மேலும் தீர்வை எண்ணற்ற எண்ணிக்கையில் அல்ல, அளவீட்டு அலகுகளில் தேட வேண்டும்.

ஜீனோவின் மற்றொரு சுவாரஸ்யமான அபோரியா பறக்கும் அம்பு பற்றி கூறுகிறது:

பறக்கும் அம்பு அசைவற்றது, ஏனெனில் அது ஒவ்வொரு தருணத்திலும் ஓய்வில் உள்ளது, மேலும் ஒவ்வொரு தருணத்திலும் அது ஓய்வில் இருப்பதால், அது எப்போதும் ஓய்வில் இருக்கும்.

இந்த அபோரியாவில், தர்க்கரீதியான முரண்பாடு மிகவும் எளிமையாகக் கடக்கப்படுகிறது - ஒவ்வொரு தருணத்திலும் ஒரு பறக்கும் அம்பு விண்வெளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளில் ஓய்வில் உள்ளது என்பதை தெளிவுபடுத்துவது போதுமானது, இது உண்மையில் இயக்கம். இன்னொரு விஷயத்தையும் இங்கு கவனிக்க வேண்டும். சாலையில் ஒரு காரின் ஒரு புகைப்படத்திலிருந்து அதன் இயக்கத்தின் உண்மை அல்லது அதற்கான தூரத்தை தீர்மானிக்க முடியாது. ஒரு கார் நகர்கிறதா என்பதைத் தீர்மானிக்க, ஒரே புள்ளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளில் எடுக்கப்பட்ட இரண்டு புகைப்படங்கள் உங்களுக்குத் தேவை, ஆனால் அவற்றிலிருந்து தூரத்தை நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியாது. ஒரு காருக்கான தூரத்தை தீர்மானிக்க, உங்களுக்கு ஒரு நேரத்தில் விண்வெளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட இரண்டு புகைப்படங்கள் தேவை, ஆனால் அவற்றிலிருந்து நீங்கள் இயக்கத்தின் உண்மையை தீர்மானிக்க முடியாது (நிச்சயமாக, கணக்கீடுகளுக்கு உங்களுக்கு இன்னும் கூடுதல் தரவு தேவை, முக்கோணவியல் உங்களுக்கு உதவும். ) நான் சிறப்பு கவனம் செலுத்த விரும்புவது என்னவென்றால், நேரத்தில் இரண்டு புள்ளிகள் மற்றும் விண்வெளியில் இரண்டு புள்ளிகள் குழப்பமடையக்கூடாது, ஏனென்றால் அவை ஆராய்ச்சிக்கு வெவ்வேறு வாய்ப்புகளை வழங்குகின்றன.

புதன், ஜூலை 4, 2018

செட் மற்றும் மல்டிசெட் இடையே உள்ள வேறுபாடுகள் விக்கிபீடியாவில் நன்றாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. பார்க்கலாம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, "ஒரு தொகுப்பில் இரண்டு ஒத்த கூறுகள் இருக்க முடியாது," ஆனால் ஒரு தொகுப்பில் ஒரே மாதிரியான கூறுகள் இருந்தால், அத்தகைய தொகுப்பு "மல்டிசெட்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. நியாயமான மனிதர்கள் இத்தகைய அபத்தமான தர்க்கத்தை ஒருபோதும் புரிந்து கொள்ள மாட்டார்கள். "முழுமையாக" என்ற வார்த்தையிலிருந்து எந்த அறிவும் இல்லாத, பேசும் கிளிகள் மற்றும் பயிற்சி பெற்ற குரங்குகளின் நிலை இதுதான். கணிதவியலாளர்கள் சாதாரண பயிற்சியாளர்களாக செயல்படுகிறார்கள், அவர்களின் அபத்தமான கருத்துக்களை நமக்குப் போதிக்கிறார்கள்.

ஒரு சமயம், பாலத்தை கட்டிய பொறியாளர்கள் பாலத்தின் அடியில் படகில் சென்று சோதனை செய்து கொண்டிருந்தனர். பாலம் இடிந்து விழுந்தால், சாதாரண பொறியாளர் தனது படைப்பின் இடிபாடுகளில் இறந்தார். பாலம் சுமைகளைத் தாங்கினால், திறமையான பொறியாளர் மற்ற பாலங்களைக் கட்டினார்.

கணிதவியலாளர்கள் "என்னை மனதில் கொள்ளுங்கள், நான் வீட்டில் இருக்கிறேன்" அல்லது "கணிதம் சுருக்கக் கருத்துக்களைப் படிக்கிறது" என்ற சொற்றொடருக்குப் பின்னால் எப்படி மறைந்தாலும், அவற்றை யதார்த்தத்துடன் பிரிக்கமுடியாத வகையில் இணைக்கும் ஒரு தொப்புள் கொடி உள்ளது. இந்த தொப்புள் கொடி பணம். கணிதத் தொகுப்புக் கோட்பாட்டை கணிதவியலாளர்களுக்கே பயன்படுத்துவோம்.

நாங்கள் கணிதத்தை நன்றாகப் படித்தோம், இப்போது நாங்கள் பணப் பதிவேட்டில் உட்கார்ந்து சம்பளம் கொடுக்கிறோம். எனவே ஒரு கணிதவியலாளர் தனது பணத்திற்காக எங்களிடம் வருகிறார். நாங்கள் அவருக்கு முழுத் தொகையையும் எண்ணி, அதை வெவ்வேறு குவியல்களில் எங்கள் மேஜையில் வைக்கிறோம், அதில் ஒரே மதிப்பின் பில்களை வைக்கிறோம். ஒவ்வொரு பைலில் இருந்தும் ஒரு பில் எடுத்து கணிதவியலாளருக்கு அவருடைய "கணித சம்பளம்" கொடுக்கிறோம். ஒரே மாதிரியான தனிமங்கள் இல்லாத ஒரு தொகுப்பு, ஒரே மாதிரியான தனிமங்களைக் கொண்ட தொகுப்பிற்குச் சமமானதல்ல என்பதை நிரூபித்தபோதுதான் மீதமுள்ள பில்களைப் பெறுவார் என்பதை கணிதவியலாளருக்கு விளக்குவோம். இங்குதான் வேடிக்கை தொடங்குகிறது.

முதலாவதாக, பிரதிநிதிகளின் தர்க்கம் வேலை செய்யும்: "இது மற்றவர்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படலாம், ஆனால் எனக்கு அல்ல!" ஒரே மதிப்பின் பில்களில் வெவ்வேறு பில் எண்கள் உள்ளன, அதாவது அவை ஒரே கூறுகளாக கருதப்பட முடியாது என்று அவர்கள் எங்களுக்கு உறுதியளிக்கத் தொடங்குவார்கள். சரி, சம்பளத்தை நாணயங்களில் எண்ணுவோம் - நாணயங்களில் எண்கள் இல்லை. இங்கே கணிதவியலாளர் இயற்பியலை வெறித்தனமாக நினைவில் கொள்ளத் தொடங்குவார்: வெவ்வேறு நாணயங்களில் வெவ்வேறு அளவு அழுக்குகள் உள்ளன, படிக அமைப்பு மற்றும் அணுக்களின் அமைப்பு ஒவ்வொரு நாணயத்திற்கும் தனித்துவமானது.

இப்போது எனக்கு மிகவும் சுவாரஸ்யமான கேள்வி உள்ளது: மல்டிசெட்டின் கூறுகள் ஒரு தொகுப்பின் கூறுகளாக மாறுவதற்கும் நேர்மாறாகவும் மாற்றும் கோடு எங்கே? அத்தகைய வரி இல்லை - எல்லாம் ஷாமன்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, விஞ்ஞானம் இங்கே பொய் சொல்லக்கூட இல்லை.

இங்கே பாருங்கள். நாங்கள் ஒரே மைதானம் கொண்ட கால்பந்து மைதானங்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். வயல்களின் பகுதிகள் ஒரே மாதிரியானவை - அதாவது எங்களிடம் மல்டிசெட் உள்ளது. ஆனால் இதே மைதானங்களின் பெயர்களைப் பார்த்தால், பெயர்கள் வித்தியாசமாக இருப்பதால், பலவற்றைப் பெறுகிறோம். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரே மாதிரியான தனிமங்கள் ஒரு தொகுப்பு மற்றும் மல்டிசெட் ஆகும். எது சரி? இங்கே கணிதவியலாளர்-ஷாமன்-கூர்மையானவர் தனது ஸ்லீவிலிருந்து டிரம்ப்களின் சீட்டுகளை வெளியே இழுத்து, ஒரு செட் அல்லது மல்டிசெட் பற்றி எங்களிடம் சொல்லத் தொடங்குகிறார். எப்படியிருந்தாலும், அவர் சொல்வது சரி என்று நம்மை நம்ப வைப்பார்.

நவீன ஷாமன்கள் எவ்வாறு செட் கோட்பாட்டுடன் செயல்படுகிறார்கள் என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, அதை யதார்த்தத்துடன் இணைத்து, ஒரு கேள்விக்கு பதிலளிப்பது போதுமானது: ஒரு தொகுப்பின் கூறுகள் மற்றொரு தொகுப்பின் கூறுகளிலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன? "ஒரு முழுமையல்ல" அல்லது "ஒற்றை முழுதாக கற்பனை செய்ய முடியாதது" எதுவுமின்றி நான் உங்களுக்குக் காட்டுகிறேன்.

ஞாயிற்றுக்கிழமை, மார்ச் 18, 2018

ஒரு எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையானது ஷாமன்களின் நடனம் ஆகும், இது கணிதத்துடன் எந்த தொடர்பும் இல்லை. ஆம், கணித பாடங்களில் ஒரு எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடித்து அதைப் பயன்படுத்த கற்றுக்கொடுக்கிறோம், ஆனால் அதனால்தான் அவர்கள் ஷாமன்கள், அவர்களின் சந்ததியினருக்கு அவர்களின் திறமைகளையும் ஞானத்தையும் கற்பிக்கிறார்கள், இல்லையெனில் ஷாமன்கள் வெறுமனே இறந்துவிடுவார்கள்.

ஆதாரம் தேவையா? விக்கிபீடியாவைத் திறந்து, "ஒரு எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை" பக்கத்தைக் கண்டறிய முயற்சிக்கவும். அவள் இல்லை. எந்த எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க கணிதத்தில் எந்த சூத்திரமும் இல்லை. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, எண்கள் நாம் எண்களை எழுதும் கிராஃபிக் குறியீடுகள், மேலும் கணிதத்தின் மொழியில் பணி இதுபோல் தெரிகிறது: "எந்த எண்ணையும் குறிக்கும் கிராஃபிக் சின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்." கணிதவியலாளர்களால் இந்த சிக்கலை தீர்க்க முடியாது, ஆனால் ஷாமன்கள் அதை எளிதாக செய்ய முடியும்.

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய என்ன, எப்படிச் செய்கிறோம் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். எனவே, 12345 என்ற எண்ணைப் பெறுவோம். இந்த எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க என்ன செய்ய வேண்டும்? அனைத்து படிகளையும் வரிசையாகக் கருதுவோம்.

1. ஒரு காகிதத்தில் எண்ணை எழுதுங்கள். நாம் என்ன செய்தோம்? எண்ணை வரைகலை எண் குறியீடாக மாற்றியுள்ளோம். இது கணித செயல்பாடு அல்ல.

2. ஒரு விளைவான படத்தை தனிப்பட்ட எண்களைக் கொண்ட பல படங்களாக வெட்டுகிறோம். ஒரு படத்தை வெட்டுவது ஒரு கணித செயல்பாடு அல்ல.

3. தனிப்பட்ட கிராஃபிக் குறியீடுகளை எண்களாக மாற்றவும். இது கணித செயல்பாடு அல்ல.

4. இதன் விளைவாக வரும் எண்களைச் சேர்க்கவும். இப்போது இது கணிதம்.

12345 என்ற எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 15. இவை கணிதவியலாளர்கள் பயன்படுத்தும் ஷாமன்களால் கற்பிக்கப்படும் "வெட்டு மற்றும் தையல் படிப்புகள்" ஆகும். ஆனால் அது மட்டும் அல்ல.

கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், எந்த எண் அமைப்பில் எண்ணை எழுதுகிறோம் என்பது முக்கியமல்ல. எனவே, வெவ்வேறு எண் அமைப்புகளில் ஒரே எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை வேறுபட்டதாக இருக்கும். கணிதத்தில், எண் அமைப்பு எண்ணின் வலதுபுறத்தில் சப்ஸ்கிரிப்டாகக் குறிக்கப்படுகிறது. பெரிய எண் 12345 உடன், நான் என் தலையை முட்டாளாக்க விரும்பவில்லை, கட்டுரையில் இருந்து எண் 26 ஐக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த எண்ணை பைனரி, ஆக்டல், டெசிமல் மற்றும் ஹெக்ஸாடெசிமல் எண் அமைப்புகளில் எழுதுவோம். ஒவ்வொரு அடியையும் நுண்ணோக்கியில் பார்க்க மாட்டோம்; நாங்கள் ஏற்கனவே அதைச் செய்துவிட்டோம். முடிவைப் பார்ப்போம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, வெவ்வேறு எண் அமைப்புகளில் ஒரே எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை வேறுபட்டது. இந்த முடிவுக்கும் கணிதத்திற்கும் எந்த சம்பந்தமும் இல்லை. ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவை மீட்டர் மற்றும் சென்டிமீட்டர்களில் தீர்மானித்தது போலவே, நீங்கள் முற்றிலும் மாறுபட்ட முடிவுகளைப் பெறுவீர்கள்.

பூஜ்ஜியம் அனைத்து எண் அமைப்புகளிலும் ஒரே மாதிரியாகத் தெரிகிறது மற்றும் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை இல்லை. இது உண்மைக்கு ஆதரவான மற்றொரு வாதம். கணிதவியலாளர்களுக்கான கேள்வி: எண் இல்லாத ஒன்று கணிதத்தில் எவ்வாறு குறிப்பிடப்படுகிறது? என்ன, கணிதவியலாளர்களுக்கு எண்களைத் தவிர வேறு எதுவும் இல்லை? நான் ஷாமன்களுக்கு இதை அனுமதிக்க முடியும், ஆனால் விஞ்ஞானிகளுக்கு அனுமதிக்க முடியாது. எதார்த்தம் என்பது எண்களைப் பற்றியது மட்டுமல்ல.

எண் அமைப்புகள் எண்களுக்கான அளவீட்டு அலகுகள் என்பதற்கான ஆதாரமாக பெறப்பட்ட முடிவு கருதப்பட வேண்டும். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, வெவ்வேறு அளவீட்டு அலகுகளுடன் எண்களை ஒப்பிட முடியாது. ஒரே அளவின் வெவ்வேறு அளவீட்டு அலகுகளைக் கொண்ட அதே செயல்கள் அவற்றை ஒப்பிட்டுப் பார்த்த பிறகு வெவ்வேறு முடிவுகளுக்கு வழிவகுத்தால், இதற்கும் கணிதத்திற்கும் எந்த தொடர்பும் இல்லை.

உண்மையான கணிதம் என்றால் என்ன? ஒரு கணித செயல்பாட்டின் முடிவு எண்ணின் அளவு, பயன்படுத்தப்படும் அளவீட்டு அலகு மற்றும் இந்த செயலை யார் செய்கிறார் என்பதைப் பொறுத்து இருக்காது.

ஓ! இது பெண்கள் கழிவறை இல்லையா?
- இளம்பெண்! ஆன்மாக்கள் சொர்க்கத்திற்கு ஏறும் போது அவர்களின் தூய்மையற்ற புனிதத்தன்மையை ஆய்வு செய்வதற்கான ஆய்வகம் இது! மேலே ஒளிவட்டம் மற்றும் அம்புக்குறி. வேறு என்ன கழிப்பறை?

பெண்... மேலுள்ள ஒளிவட்டமும் கீழே உள்ள அம்பும் ஆண்.

அத்தகைய வடிவமைப்பு கலை ஒரு நாளைக்கு பல முறை உங்கள் கண்களுக்கு முன்பாக ஒளிரும் என்றால்,

திடீரென்று உங்கள் காரில் ஒரு விசித்திரமான ஐகானைக் கண்டால் ஆச்சரியப்படுவதற்கில்லை:

தனிப்பட்ட முறையில், நான் ஒரு மலம் கழிக்கும் நபரில் மைனஸ் நான்கு டிகிரிகளைப் பார்க்க முயற்சிக்கிறேன் (ஒரு படம்) (பல படங்களின் கலவை: ஒரு கழித்தல் அடையாளம், எண் நான்கு, டிகிரிகளின் பதவி). மேலும் இந்த பெண் இயற்பியல் தெரியாத ஒரு முட்டாள் என்று நான் நினைக்கவில்லை. கிராஃபிக் படங்களை உணரும் வலுவான ஸ்டீரியோடைப் மட்டுமே அவளுக்கு உள்ளது. மேலும் கணிதவியலாளர்கள் இதை நமக்கு எப்பொழுதும் கற்பிக்கிறார்கள். இதோ ஒரு உதாரணம்.

1A என்பது "மைனஸ் நான்கு டிகிரி" அல்லது "ஒரு a" அல்ல. இது "பூப்பிங் மேன்" அல்லது ஹெக்ஸாடெசிமல் குறியீட்டில் "இருபத்தி ஆறு" எண். இந்த எண் அமைப்பில் தொடர்ந்து பணியாற்றுபவர்கள் தானாக ஒரு எண்ணையும் ஒரு எழுத்தையும் ஒரு கிராஃபிக் சின்னமாக உணர்கிறார்கள்.