มุมที่อยู่ติดกันและคุณสมบัติคืออะไร มุมใดที่เรียกว่าติดกัน? ผลรวมของมุมติดกันสองมุมคืออะไร

เรขาคณิตเป็นวิทยาศาสตร์ที่มีหลายแง่มุม เธอพัฒนาตรรกะจินตนาการและสติปัญญา แน่นอนว่าเนื่องจากความซับซ้อนและทฤษฎีบทและสัจพจน์จำนวนมากเด็กนักเรียนจึงไม่ชอบมันเสมอไป นอกจากนี้ยังมีความจำเป็นที่จะต้องพิสูจน์ข้อสรุปของคุณอย่างต่อเนื่องโดยใช้มาตรฐานและกฎเกณฑ์ที่ยอมรับโดยทั่วไป

มุมที่อยู่ติดกันและแนวตั้งเป็นส่วนสำคัญของรูปทรงเรขาคณิต แน่นอนว่าเด็กนักเรียนหลายคนชื่นชอบพวกเขาด้วยเหตุผลว่าคุณสมบัติของพวกเขานั้นชัดเจนและง่ายต่อการพิสูจน์

การขึ้นรูปมุม

มุมใด ๆ เกิดจากการตัดกันของเส้นตรงสองเส้นหรือโดยการวาดสองรังสีจากจุดหนึ่ง สามารถเรียกได้ว่าเป็นตัวอักษรตัวเดียวหรือสามตัวซึ่งกำหนดจุดก่อสร้างของมุมอย่างต่อเนื่อง

มุมวัดเป็นองศาและสามารถเรียกได้ (ขึ้นอยู่กับค่า) ต่างกัน ดังนั้นจึงมีมุมฉากเฉียบพลันป้านและกางออก แต่ละชื่อสอดคล้องกับการวัดระดับหนึ่งหรือช่วงเวลา

มุมเรียกว่าเฉียบพลันหากการวัดไม่เกิน 90 องศา

มุมป้านมากกว่า 90 องศา

มุมเรียกว่ามุมฉากเมื่อวัดองศาได้ 90

ในกรณีที่สร้างด้วยเส้นทึบเส้นเดียวและวัดองศาได้ 180 เรียกว่าขยาย

มุมที่มีด้านร่วมกันอีกด้านหนึ่งซึ่งต่อกันเรียกว่าประชิด อาจเป็นได้ทั้งคมหรือทื่อ จุดตัดของเส้นเป็นมุมที่อยู่ติดกัน คุณสมบัติของพวกเขามีดังนี้:

1. ผลรวมของมุมเหล่านี้จะเป็น 180 องศา (มีทฤษฎีบทที่พิสูจน์ได้) ดังนั้นหนึ่งในนั้นสามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายหากทราบข้อมูลอื่น
2. จากจุดแรกตามมาว่ามุมที่อยู่ติดกันไม่สามารถเกิดขึ้นจากมุมป้านสองมุมหรือสองมุมแหลม

ด้วยคุณสมบัติเหล่านี้คุณสามารถคำนวณการวัดองศาของมุมได้ตลอดเวลาโดยมีค่าของมุมอื่นหรืออย่างน้อยก็อัตราส่วนระหว่างทั้งสอง

มุมแนวตั้ง

มุมที่มีด้านต่อเนื่องกันเรียกว่าแนวตั้ง พันธุ์ใด ๆ ของพวกเขาสามารถทำหน้าที่เป็นคู่ได้ มุมในแนวตั้งจะเท่ากันเสมอ

พวกมันจะเกิดขึ้นเมื่อเส้นตรงตัดกัน มุมที่อยู่ติดกันมักจะปรากฏร่วมกับพวกเขา มุมสามารถอยู่ติดกับมุมหนึ่งและแนวตั้งกับอีกมุมหนึ่งพร้อมกัน

เมื่อข้ามเส้นโดยพลการจะมีการพิจารณามุมอีกหลายประเภทด้วย เส้นดังกล่าวเรียกว่าเส้นคั่นและสร้างมุมด้านเดียวและด้านขวางที่สอดคล้องกัน พวกเขาเท่าเทียมกัน สามารถดูได้โดยคำนึงถึงคุณสมบัติของมุมแนวตั้งและมุมที่อยู่ติดกัน

ดังนั้นหัวข้อของมุมจึงค่อนข้างเรียบง่ายและตรงไปตรงมา คุณสมบัติทั้งหมดนั้นง่ายต่อการจดจำและพิสูจน์ การแก้ปัญหาไม่ใช่เรื่องยากตราบใดที่มุมตรงกับค่าตัวเลข ยิ่งไปกว่านั้นเมื่อการศึกษาเรื่อง sin และ cos เริ่มขึ้นคุณจะต้องจดจำสูตรที่ซับซ้อนข้อสรุปและผลที่ตามมา จนกว่าจะถึงเวลานั้นคุณสามารถสนุกกับงานง่าย ๆ ที่ต้องหามุมที่อยู่ติดกัน

มุมทั้งสองเรียกว่าอยู่ติดกันหากมีด้านหนึ่งเหมือนกันและอีกด้านของมุมเหล่านี้เป็นรังสีเพิ่มเติม ในรูปที่ 20 มุม AOB และ BOC อยู่ติดกัน

ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 180 °

ทฤษฎีบท 1. ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 180 °

หลักฐาน. ลำแสง OB (ดูรูปที่ 1) ผ่านระหว่างด้านข้างของมุมที่กางออก ดังนั้น ∠ AOB + ∠ BOS \u003d 180 °.

จากทฤษฎีบท 1 ตามมาว่าถ้ามุมสองมุมเท่ากันแล้วมุมที่อยู่ติดกับพวกเขาจะเท่ากัน

มุมในแนวตั้งจะเท่ากัน

มุมสองมุมเรียกว่าแนวตั้งถ้าด้านข้างของมุมหนึ่งเป็นรังสีเสริมของอีกด้านหนึ่ง มุม AOB และ COD BOD และ AOC ที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นตรงสองเส้นเป็นแนวตั้ง (รูปที่ 2)

ทฤษฎีบท 2. มุมในแนวตั้งมีค่าเท่ากัน

หลักฐาน. พิจารณามุมแนวตั้ง AOB และ COD (ดูภาพประกอบ 2) มุม BOD อยู่ติดกับมุม AOB และ COD แต่ละมุม ตามทฤษฎีบท 1 ∠ AOB + ∠ BOD \u003d 180 °, ∠ COD + ∠ BOD \u003d 180 °

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า∠ AOB \u003d ∠ COD

Corollary 1. มุมที่อยู่ติดกับมุมฉากคือมุมฉาก

พิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน AC และ BD (รูปที่ 3) พวกเขาสร้างสี่มุม ถ้าหนึ่งในนั้นตรง (มุม 1 ในรูปที่ 3) มุมอื่น ๆ ก็จะเป็นมุมฉากเช่นกัน (มุม 1 และ 2, 1 และ 4 อยู่ติดกันมุม 1 และ 3 เป็นแนวตั้ง) ในกรณีนี้พวกเขากล่าวว่าเส้นเหล่านี้ตัดกันเป็นมุมฉากและเรียกว่าตั้งฉาก (หรือตั้งฉากกัน) ความตั้งฉากของเส้นตรง AC และ BD กำหนดไว้ดังนี้ AC ⊥ BD

จุดกึ่งกลางที่ตั้งฉากกับส่วนคือเส้นตรงที่ตั้งฉากกับส่วนนี้และผ่านจุดกึ่งกลางของมัน

AH - ตั้งฉากกับเส้นตรง

พิจารณาเส้นตรง a และจุด A ที่ไม่พาดบนนั้น (รูปที่ 4) มาต่อจุด A กับเซ็กเมนต์กับจุด H บนเส้นตรงก. ส่วน AH เรียกว่าเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุด A ถึงเส้น a ถ้าเส้น AH และ a ตั้งฉากกัน จุด H เรียกว่าฐานของการตั้งฉาก

กำลังวาดรูปสี่เหลี่ยม

ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง

ทฤษฎีบท 3. จากจุดใด ๆ ที่ไม่วางบนเส้นเราสามารถลากเส้นตั้งฉากกับเส้นนี้และยิ่งไปกว่านั้นเพียงจุดเดียว

ในการวาดเส้นตั้งฉากจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงในภาพวาดให้ใช้สี่เหลี่ยมวาดภาพ (รูปที่ 5)

แสดงความคิดเห็น. คำชี้แจงของทฤษฎีบทมักประกอบด้วยสองส่วน ส่วนหนึ่งพูดถึงสิ่งที่มอบให้ ส่วนนี้เรียกว่าเงื่อนไขของทฤษฎีบท อีกส่วนหนึ่งพูดถึงสิ่งที่ต้องพิสูจน์ ส่วนนี้เรียกว่าข้อสรุปของทฤษฎีบท ตัวอย่างเช่นเงื่อนไขของทฤษฎีบท 2 คือมุมเป็นแนวตั้ง ข้อสรุป - มุมเหล่านี้เท่ากัน

ทฤษฎีบทใด ๆ สามารถแสดงโดยละเอียดเป็นคำเพื่อให้เงื่อนไขเริ่มต้นด้วยคำว่า "if" และลงท้ายด้วยคำว่า "แล้ว" ตัวอย่างเช่น Theorem 2 สามารถระบุรายละเอียดได้ดังนี้: "ถ้ามุมสองมุมเป็นแนวตั้งก็จะเท่ากัน"

ตัวอย่าง 1. มุมหนึ่งที่อยู่ติดกันคือ 44 ° อื่น ๆ เท่ากับอะไร?

การตัดสินใจ. ให้เราแสดงการวัดองศาของอีกมุมหนึ่งด้วย x จากนั้นตามทฤษฎีบท 1
44 ° + x \u003d 180 °
การแก้สมการผลลัพธ์เราพบว่า x \u003d 136 ° ดังนั้นอีกมุมหนึ่งคือ 136 °

ตัวอย่าง 2. ให้มุม COD ในรูปที่ 21 เป็น 45 ° มุม AOB และ AOC คืออะไร?

การตัดสินใจ. มุม COD และ AOB เป็นแนวตั้งดังนั้นโดย Theorem 1.2 จึงมีค่าเท่ากันเช่น i AOB \u003d 45 ° มุม AOC อยู่ติดกับมุม COD ดังนั้นโดยทฤษฎีบท 1
∠ AOC \u003d 180 ° - ∠ COD \u003d 180 ° - 45 ° \u003d 135 °

ตัวอย่างที่ 3. หามุมที่อยู่ติดกันถ้ามุมหนึ่งเป็น 3 เท่าของอีกมุม

การตัดสินใจ. ขอแสดงการวัดองศาของมุมที่เล็กกว่าถึง x จากนั้นการวัดองศาของมุมที่ใหญ่กว่าจะเป็น Zx เนื่องจากผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 180 ° (ทฤษฎีบท 1) ดังนั้น x + 3x \u003d 180 °ดังนั้น x \u003d 45 °
ซึ่งหมายความว่ามุมที่อยู่ติดกันคือ 45 °และ 135 °

ตัวอย่างที่ 4. ผลรวมของมุมแนวตั้งทั้งสองคือ 100 ° ค้นหาขนาดของแต่ละมุมทั้งสี่มุม

การตัดสินใจ. ให้รูปที่ 2 สอดคล้องกับเงื่อนไขของปัญหามุมแนวตั้งของ COD ถึง AOB มีค่าเท่ากัน (ทฤษฎีบท 2) ดังนั้นการวัดระดับจึงเท่ากันด้วย ดังนั้น∠ COD \u003d ∠ AOB \u003d 50 ° (ผลรวมตามเงื่อนไขคือ 100 °) มุม BOD (รวมถึงมุม AOC) อยู่ติดกับมุม COD ดังนั้นตามทฤษฎีบท 1
∠ BOD \u003d ∠ AOC \u003d 180 ° - 50 ° \u003d 130 °

เริ่มต้นใช้งาน Angles

ให้เราได้รับสองรังสีตามอำเภอใจ มาใส่ทับกัน แล้ว

คำจำกัดความ 1

มุมจะถูกเรียกว่ารังสีสองตัวที่มีจุดกำเนิดเดียวกัน

คำจำกัดความ 2

จุดที่เป็นต้นกำเนิดของรังสีในนิยาม 3 เรียกว่าจุดยอดของมุมนั้น

มุมจะถูกแสดงด้วยจุดสามจุดต่อไปนี้: จุดยอดจุดบนหนึ่งในรังสีและจุดบนรังสีอื่นและปลายของมุมจะเขียนไว้ตรงกลางของการกำหนด (รูปที่ 1)

ตอนนี้ให้เราพิจารณาว่าค่าของมุมคืออะไร

ในการทำเช่นนี้คุณต้องเลือกมุม "อ้างอิง" บางประเภทซึ่งเราจะใช้เป็นหน่วย ส่วนใหญ่แล้วมุมนี้เป็นมุมที่เท่ากับ $ \\ frac (1) (180) $ ส่วนหนึ่งของมุมที่แบน ค่านี้เรียกว่าปริญญา หลังจากเลือกมุมดังกล่าวแล้วเราจะเปรียบเทียบมุมกับมันเพื่อหาค่าที่ต้องการ

มุมมี 4 ประเภท:

คำจำกัดความ 3

มุมเรียกว่ามุมแหลมถ้าน้อยกว่า $ 90 ^ 0 $

คำจำกัดความ 4

มุมเรียกว่าป้านถ้ามากกว่า $ 90 ^ 0 $

คำจำกัดความ 5

มุมเรียกว่ากางออกถ้าเท่ากับ 180 เหรียญ ^ 0 $

คำจำกัดความ 6

มุมเรียกว่ามุมฉากถ้าเท่ากับ $ 90 ^ 0 $

นอกจากประเภทของมุมที่อธิบายไว้ข้างต้นแล้วคุณยังสามารถเลือกประเภทของมุมที่สัมพันธ์กัน ได้แก่ มุมแนวตั้งและมุมที่อยู่ติดกัน

มุมที่อยู่ติดกัน

พิจารณามุม $ COB $ ที่กางออก วาด ray $ OA $ จากจุดยอด รังสีนี้จะแยกต้นฉบับออกเป็นสองมุม แล้ว

คำจำกัดความ 7

มุมทั้งสองจะถูกเรียกว่าอยู่ติดกันหากคู่ใดด้านหนึ่งเป็นมุมที่พัฒนาแล้วและอีกคู่หนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกัน (รูปที่ 2)

ในกรณีนี้มุม $ COA $ และ $ BOA $ อยู่ติดกัน

ทฤษฎีบท 1

ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ $ 180 ^ 0 $

หลักฐาน.

พิจารณารูปที่ 2

ตามนิยาม 7 มุม $ COB $ ในนั้นจะเป็น $ 180 ^ 0 $ เนื่องจากด้านคู่ที่สองของมุมที่อยู่ติดกันนั้น $ OA $ ray จะหารมุมขยายด้วย 2 ดังนั้น

$ ∠COA + ∠BOA \u003d 180 ^ 0 $

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

พิจารณาแก้ปัญหาโดยใช้แนวคิดนี้

ตัวอย่าง 1

หามุม $ C $ จากรูปด้านล่าง

ตามคำจำกัดความ 7 เราจะเห็นว่ามุม $ BDA $ และ $ ADC $ อยู่ติดกัน ดังนั้นโดยทฤษฎีบท 1 เราได้รับ

$ ∠BDA + ∠ADC \u003d 180 ^ 0 $

$ ∠ADC \u003d 180 ^ 0-∠BDA \u003d 180 〗 0-59 ^ 0 \u003d 121 ^ 0 $

ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมเรามี

$ ∠A + ∠ADC + ∠C \u003d 180 ^ 0 $

$ ∠C \u003d 180 ^ 0-∠A-∠ADC \u003d 180 ^ 0-19 ^ 0-121 ^ 0 \u003d 40 ^ 0 $

คำตอบ: $ 40 ^ 0 $

มุมแนวตั้ง

พิจารณามุมที่กางออก $ AOB $ และ $ MOC $ มาจัดแนวจุดยอดกัน (นั่นคือเราวางจุด $ O "$ ไว้ที่จุด $ O $) เพื่อไม่ให้ด้านของมุมเหล่านี้ตรงกันจากนั้น

คำจำกัดความ 8

มุมสองมุมจะถูกเรียกว่าแนวตั้งหากคู่ของทั้งสองด้านเป็นมุมที่กางออกและค่าของมันตรงกัน (รูปที่ 3)

ในกรณีนี้มุม $ MOA $ และ $ BOC $ เป็นแนวตั้งและมุม $ MOB $ และ $ AOC $ ก็เป็นแนวตั้งเช่นกัน

ทฤษฎีบท 2

มุมในแนวตั้งจะเท่ากัน

หลักฐาน.

ลองพิจารณารูปที่ 3 ตัวอย่างเช่นให้เราพิสูจน์ว่า $ MOA $ เท่ากับ $ BOC $

มุมสองมุมที่ตั้งอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวและมีจุดยอดหนึ่งจุดเรียกว่าอยู่ติดกัน

มิฉะนั้นถ้าผลรวมของสองมุมบนเส้นตรงหนึ่งคือ 180 องศาและมีด้านหนึ่งเหมือนกันนั่นคือมุมที่อยู่ติดกัน

1 มุมประชิด + 1 มุมประชิด \u003d 180 องศา

มุมที่อยู่ติดกันคือมุมสองมุมที่ด้านหนึ่งเหมือนกันและอีกสองด้านโดยทั่วไปจะเป็นเส้นตรง

ผลรวมของมุมสองมุมที่อยู่ติดกันจะเท่ากับ 180 องศาเสมอ ตัวอย่างเช่นถ้ามุมหนึ่งเป็น 60 องศาวินาทีจะต้องเท่ากับ 120 องศา (180-60)

มุม AOC และ BOC เป็นมุมที่อยู่ติดกันเนื่องจากตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดสำหรับลักษณะของมุมที่อยู่ติดกัน:

1. OS เป็นด้านทั่วไปของสองมุม

2. AO คือด้านข้างของมุม AOC OV คือด้านของมุม BOC ด้านเหล่านี้รวมกันเป็นเส้นตรง AOB

3. มุมเป็นสองและผลรวมคือ 180 องศา

เมื่อนึกถึงหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนเราสามารถพูดได้ดังต่อไปนี้เกี่ยวกับมุมที่อยู่ติดกัน:

มุมที่อยู่ติดกันมีด้านหนึ่งเหมือนกันและอีกสองด้านเป็นเส้นตรงเดียวกันนั่นคือพวกมันอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ถ้าตามรูปแล้วมุมของ COB และ BOA เป็นมุมที่อยู่ติดกันผลรวมจะเท่ากับ 180 เสมอเนื่องจากมีการแบ่งมุมขยายและมุมที่ขยายจะเท่ากับ 180 เสมอ



มุมที่อยู่ติดกันเป็นแนวคิดที่ง่ายในรูปทรงเรขาคณิต มุมที่อยู่ติดกันมุมบวกมุมบวกได้ถึง 180 องศา

มุมสองมุมที่อยู่ติดกัน - นี่คือมุมหนึ่งที่กางออก

มีคุณสมบัติอื่น ๆ อีกมากมาย ง่ายต่อการแก้ปัญหาและทฤษฎีบทที่มีมุมติดกัน

มุมที่อยู่ติดกันเกิดขึ้นเมื่อรังสีถูกดึงจากจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรง จากนั้นจุดที่กำหนดเองนี้จะกลายเป็นจุดยอดของมุมรังสีคือด้านร่วมของมุมที่อยู่ติดกันและเส้นตรงที่ดึงเรย์คือด้านที่เหลืออีกสองด้านของมุมที่อยู่ติดกัน มุมที่อยู่ติดกันอาจเหมือนกันได้ในกรณีที่ตั้งฉากหรือต่างกันในกรณีของคานเฉียง เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจว่าผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 180 องศาหรือเพียงแค่เส้นตรง ในอีกวิธีหนึ่งมุมนี้สามารถอธิบายได้ด้วยตัวอย่างง่ายๆ - ก่อนอื่นคุณเดินไปในทิศทางเดียวเป็นเส้นตรงจากนั้นเปลี่ยนใจตัดสินใจย้อนกลับและหันไป 180 องศาแล้วออกเดินทางตามเส้นตรงเดียวกันใน ทิศทางตรงกันข้าม



แล้วมุมที่อยู่ติดกันคืออะไร? คำจำกัดความ:

ที่อยู่ติดกันคือสองมุมที่มีจุดยอดทั่วไปและอีกด้านหนึ่งของมุมเหล่านี้วางอยู่บนเส้นตรงหนึ่งเส้น



และบทเรียนวิดีโอขนาดเล็กซึ่งจะแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนเกี่ยวกับมุมที่อยู่ติดกันมุมในแนวตั้งบวกเกี่ยวกับเส้นตรงตั้งฉากซึ่งเป็นกรณีพิเศษของมุมที่อยู่ติดกันและแนวตั้ง

มุมที่อยู่ติดกันคือมุมที่ด้านหนึ่งเหมือนกันและอีกด้านเป็นเส้นเดียว

มุมที่อยู่ติดกันคือมุมที่พึ่งพาซึ่งกันและกัน นั่นคือถ้าหมุนด้านทั่วไปเล็กน้อยมุมหนึ่งจะลดลงบางองศาและโดยอัตโนมัติมุมที่สองจะเพิ่มขึ้นตามจำนวนที่เท่ากัน คุณสมบัติของมุมที่อยู่ติดกันนี้ช่วยในการแก้ปัญหาต่างๆและพิสูจน์ทฤษฎีต่างๆในเรขาคณิต

ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันจะเท่ากับ 180 องศาเสมอ



จากวิชาเรขาคณิต (เท่าที่จำได้ตอนป. 6) มุม 2 มุมเรียกว่าประชิดซึ่งด้านหนึ่งเหมือนกันและอีกด้านเป็นรังสีเพิ่มเติมผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันเท่ากับ 180 แต่ละมุมติดกัน มุมเสริมอีกมุมหนึ่งให้เป็นมุมที่พัฒนาแล้ว ตัวอย่างมุมที่อยู่ติดกัน:



มุมที่อยู่ติดกันคือมุมสองมุมที่มีจุดยอดทั่วไปซึ่งด้านใดด้านหนึ่งเป็นเรื่องธรรมดาและด้านที่เหลืออยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว (ไม่ตรงกัน) ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือหนึ่งร้อยแปดสิบองศา โดยทั่วไปแล้วทั้งหมดนี้หาได้ง่ายมากใน Google หรือตำราเกี่ยวกับเรขาคณิต

1. มุมที่อยู่ติดกัน

ถ้าเราขยายด้านของมุมใด ๆ เกินจุดยอดเราจะได้มุมสองมุม (รูปที่ 72): ∠ABSและ∠СВDซึ่งด้านหนึ่ง BC เป็นเรื่องธรรมดาและอีกสองมุม AB และ BD เป็นเส้นตรง

มุมสองมุมที่ด้านหนึ่งเหมือนกันและอีกสองมุมเป็นเส้นตรงเรียกว่ามุมที่อยู่ติดกัน

มุมที่อยู่ติดกันสามารถหาได้ด้วยวิธีนี้: ถ้าเราวาดเรย์จากจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรง (ไม่นอนบนเส้นตรงนี้) เราจะได้มุมที่อยู่ติดกัน

ตัวอย่างเช่น∠ADFและ∠FDBเป็นมุมที่อยู่ติดกัน (รูปที่ 73)

มุมที่อยู่ติดกันสามารถมีตำแหน่งได้หลากหลาย (รูปที่ 74)

มุมที่อยู่ติดกันจะรวมกันเป็นมุมราบ ผลรวมของสองมุมที่อยู่ติดกันคือ 180 °

จากตรงนี้มุมฉากสามารถกำหนดเป็นมุมที่เท่ากับมุมประชิดได้

เมื่อทราบค่าของมุมที่อยู่ติดกันเราสามารถหาค่าของมุมที่อยู่ติดกันอีกมุมหนึ่งได้

ตัวอย่างเช่นถ้าหนึ่งในมุมที่อยู่ติดกันคือ 54 °มุมที่สองจะเป็น:

180 ° - 54 ° \u003d l26 °

2. มุมแนวตั้ง

ถ้าเราขยายด้านข้างของมุมเกินจุดยอดเราจะได้มุมแนวตั้ง ในรูปที่ 75 มุม EOF และ AOC เป็นแนวตั้ง มุม AOE และ COF ยังเป็นแนวตั้ง

มุมสองมุมเรียกว่าแนวตั้งหากด้านของมุมหนึ่งเป็นส่วนขยายของด้านข้างของอีกมุมหนึ่ง

ให้∠1 \u003d \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 ° (รูปที่ 76) ∠2ที่อยู่ติดกันจะเท่ากับ 180 ° - \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 °นั่นคือ 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 °

ในทำนองเดียวกันคุณสามารถคำนวณว่า∠3และ∠4เท่ากับเท่าใด

∠3 \u003d 180 ° - 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 ° \u003d \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 °;

∠4 \u003d 180 ° - \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 ° \u003d 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 ° (รูปที่ 77)

เราจะเห็นว่า∠1 \u003d ∠3และ∠2 \u003d ∠4

คุณสามารถแก้ปัญหาเดิม ๆ ได้อีกหลายอย่างและทุกครั้งที่ได้ผลลัพธ์เดียวกัน: มุมในแนวตั้งจะเท่ากัน

อย่างไรก็ตามเพื่อให้แน่ใจว่ามุมในแนวตั้งจะเท่ากันเสมอจึงไม่เพียงพอที่จะพิจารณาตัวอย่างตัวเลขแต่ละตัวอย่างเนื่องจากข้อสรุปที่ดึงมาจากตัวอย่างบางครั้งอาจผิดพลาดได้

จำเป็นต้องตรวจสอบความถูกต้องของคุณสมบัติของมุมแนวตั้งโดยการพิสูจน์

การพิสูจน์สามารถทำได้ดังนี้ (รูปที่ 78):

∠a +∠ค \u003d 180 °;

∠b +∠ค \u003d 180 °;

(เนื่องจากผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 180 °)

∠a +∠ค = ∠b +∠ค

(เนื่องจากด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้คือ 180 °และด้านขวาคือ 180 °ด้วย)

ความเท่าเทียมกันนี้รวมถึงมุมเดียวกัน จาก.

ถ้าเราลบเท่า ๆ กันจากค่าที่เท่ากันมันก็จะยังคงเท่ากัน ผลลัพธ์จะเป็น: ∠ก = ∠ขนั่นคือมุมในแนวตั้งมีค่าเท่ากัน

3. ผลรวมของมุมที่มีจุดยอดร่วม

ในภาพวาด 79 ∠1, ∠2, ∠3และ∠4ตั้งอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นตรงและมีจุดยอดทั่วไปบนเส้นตรงนี้ มุมเหล่านี้ประกอบกันเป็นมุมที่ปรับใช้เช่น

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 \u003d 180 °

ในภาพวาด 80 1, ∠2, ∠3, ∠4และ∠5มีจุดยอดทั่วไป มุมเหล่านี้รวมกันเป็นมุมเต็มเช่นт1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 \u003d 360 °