- นี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งประกอบขึ้นจากฐานของปิรามิดและส่วนขนานกับมัน. เราสามารถพูดได้ว่าปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นปิรามิดที่มียอดที่ถูกตัดทอน รูปร่างนี้มีคุณสมบัติพิเศษมากมาย:

• ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
• ซี่โครงด้านข้างของพีระมิดที่ตัดปกติมีความยาวเท่ากันและเอียงไปที่ฐานในมุมเดียวกัน
• ฐานเป็นเหมือนรูปหลายเหลี่ยม
• ในปิรามิดที่ถูกตัดทอนแบบปกติ ใบหน้าจะเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเหมือนกัน ซึ่งมีพื้นที่เท่ากัน พวกเขายังเอียงไปที่ฐานในมุมเดียวกัน

สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดที่ถูกตัดทอนคือผลรวมของพื้นที่ด้านข้าง:

เนื่องจากด้านข้างของพีระมิดที่ถูกตัดทอนเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู คุณจะต้องใช้สูตรในการคำนวณค่าพารามิเตอร์ พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู... สำหรับปิรามิดที่ตัดทอนให้ถูกต้อง คุณสามารถใช้สูตรพื้นที่อื่นได้ เนื่องจากด้าน หน้า และมุมที่ฐานทั้งหมดเท่ากัน จึงเป็นไปได้ที่จะใช้เส้นรอบวงของฐานและเส้นตั้งฉาก รวมถึงการอนุมานพื้นที่ผ่านมุมที่ฐาน

ถ้าตามเงื่อนไขในปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ ให้เส้นตั้งฉาก (ความสูงของด้านข้าง) และความยาวของด้านข้างของฐาน ก็สามารถคำนวณพื้นที่ผ่านผลคูณของผลรวมได้ครึ่งหนึ่ง ของปริมณฑลฐานและเส้นตั้งฉาก:

ลองดูตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอน
ให้พีระมิดห้าเหลี่ยมปกติ อโพเทม l= 5 ซม. ความยาวของหน้าฐานใหญ่เท่ากับ NS= 6 ซม. และขอบในฐานที่เล็กกว่า NS= 4 ซม. คำนวณพื้นที่ของพีระมิดที่ถูกตัดทอน

ขั้นแรก หาปริมณฑลของฐานกันก่อน เนื่องจากเราได้รับพีระมิดห้าเหลี่ยม เราจึงเข้าใจว่าฐานเป็นรูปห้าเหลี่ยม ซึ่งหมายความว่ารูปที่มีด้านเหมือนกันห้าด้านอยู่ที่ฐาน ค้นหาปริมณฑลของฐานที่ใหญ่กว่า:

ในทำนองเดียวกัน เราจะหาปริมณฑลของฐานที่เล็กกว่า:

ตอนนี้เราสามารถคำนวณพื้นที่ของปิรามิดที่ถูกตัดทอนได้อย่างถูกต้อง เราแทนที่ข้อมูลลงในสูตร:

ดังนั้นเราจึงคำนวณพื้นที่ของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติผ่านเส้นรอบวงและเส้นตั้งฉาก

อีกวิธีในการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดปกติคือสูตร ผ่านมุมฐานและบริเวณฐานเหล่านี้.

มาดูตัวอย่างการคำนวณกัน โปรดจำไว้ว่าสูตรนี้ใช้กับปิรามิดที่ถูกตัดทอนแบบปกติเท่านั้น

ให้พีระมิดสี่เหลี่ยมปกติ ขอบฐานล่างคือ a = 6 ซม. และขอบฐานบนคือ b = 4 ซม. มุมไดฮีดรัลที่ฐานคือ β = 60 ° ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดที่ถูกตัดทอน

ขั้นแรก มาคำนวณพื้นที่ฐานกันก่อน เนื่องจากปิรามิดถูกต้อง ใบหน้าทั้งหมดของฐานจึงเท่ากัน เมื่อพิจารณาว่ามีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ที่ฐานเราเข้าใจว่าจำเป็นต้องคำนวณ พื้นที่สี่เหลี่ยม... มันเป็นผลคูณของความกว้างและความยาว แต่ค่าเหล่านี้กำลังสองเท่ากัน ค้นหาพื้นที่ฐานที่ใหญ่กว่า:


ตอนนี้เราใช้ค่าที่พบเพื่อคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้าง

เมื่อทราบสูตรง่ายๆ สองสามสูตร เราคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูด้านข้างของพีระมิดที่ถูกตัดทอนได้อย่างง่ายดายด้วยค่าต่างๆ

พีระมิด. ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

พีระมิดเรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยม ( ฐาน ) และใบหน้าอื่นๆ ทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม ( ใบหน้าด้านข้าง ) (รูปที่ 15). ปิรามิดเรียกว่า ถูกต้อง ถ้าฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและยอดปิรามิดถูกฉายไปที่กึ่งกลางฐาน (รูปที่ 16) พีระมิดสามเหลี่ยมที่ขอบทุกด้านเท่ากันเรียกว่า จัตุรมุข .

ซี่โครงข้างพีระมิด คือ ด้านของใบหน้าด้านข้างที่ไม่อยู่ในฐาน ส่วนสูง พีระมิดเรียกว่าระยะทางจากยอดถึงระนาบของฐาน ขอบด้านข้างของพีระมิดปกติเท่ากันหมด ขอบด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน ความสูงของใบหน้าด้านข้างของพีระมิดปกติที่ดึงมาจากด้านบนเรียกว่า เส้นตั้งฉาก . ส่วนทแยงมุม ส่วนของปิรามิดเรียกว่าระนาบที่ผ่านขอบด้านข้างสองด้านที่ไม่อยู่ในหน้าเดียว

พื้นที่ผิวด้านข้างพีระมิดเรียกว่าผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทุกด้าน พื้นที่ผิวเต็ม เรียกว่า ผลรวมของพื้นที่หน้าด้านทั้งหมดและฐาน

ทฤษฎีบท

1. ถ้าในปิรามิดขอบด้านทั้งหมดเอียงเท่ากันกับระนาบของฐาน ส่วนบนของปิรามิดจะถูกฉายเข้าที่กึ่งกลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐาน

2. ถ้าในปิรามิดขอบด้านทั้งหมดมีความยาวเท่ากัน ส่วนบนของปิรามิดจะถูกฉายเข้าที่กึ่งกลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐาน

3. หากใบหน้าทั้งหมดเอียงเข้าหาระนาบของฐานในปิรามิดเท่ากัน ส่วนบนของปิรามิดจะถูกฉายไปที่กึ่งกลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน

ในการคำนวณปริมาตรของปิรามิดตามอำเภอใจ สูตรต่อไปนี้ถูกต้อง:

ที่ไหน วี- ปริมาณ;

S หลัก- พื้นที่ฐาน

ชม- ความสูงของปิรามิด

สำหรับปิรามิดที่ถูกต้อง สูตรนั้นถูกต้อง:

ที่ไหน NS- ปริมณฑลฐาน

ห่า- ระยะตั้งฉาก

ชม- ความสูง;

อิ่ม

ด้านเอส

S หลัก- พื้นที่ฐาน

วี- ปริมาตรของปิรามิดที่ถูกต้อง

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่าส่วนของปิรามิดซึ่งอยู่ระหว่างฐานและระนาบซีแคนต์ขนานกับฐานของปิรามิด (รูปที่ 17) ปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ เรียกว่า ส่วนของพีระมิดปกติ อยู่ระหว่างฐานกับระนาบซีแคนต์ขนานกับฐานของพีระมิด

ฐานรากปิรามิดที่ถูกตัดทอน - รูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน ใบหน้าด้านข้าง - สี่เหลี่ยมคางหมู ส่วนสูง ปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือระยะห่างระหว่างฐานของมัน เส้นทแยงมุม พีระมิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่าส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดที่ไม่อยู่บนใบหน้าเดียวกัน ส่วนทแยงมุม ส่วนของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่าระนาบที่ผ่านขอบด้านข้างสองด้านซึ่งไม่ได้เป็นของใบหน้าเดียว

สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอน ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:

(4)

ที่ไหน NS 1 , NS 2 - พื้นที่ของฐานบนและล่าง;

อิ่ม- พื้นที่ผิวทั้งหมด

ด้านเอส- พื้นที่ผิวด้านข้าง

ชม- ความสูง;

วี- ปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอนที่ถูกต้อง สูตรนั้นถูกต้อง:

ที่ไหน NS 1 , NS 2 - ปริมณฑลของฐาน;

ห่า- apothem ของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ

ตัวอย่างที่ 1ในปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ มุมไดฮีดรัลที่ฐานคือ60º หาค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของขอบด้านข้างกับระนาบของฐาน

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 18)

พีระมิดเป็นแบบปกติ ดังนั้นที่ฐานจะมีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า และด้านด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน มุมไดฮีดรัลที่ฐานคือมุมเอียงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดกับระนาบของฐาน มุมเชิงเส้นคือมุม NSระหว่างสองฉากตั้งฉาก: และ i.e. ด้านบนของปิรามิดถูกฉายที่กึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม (ศูนย์กลางของ circumcircle และวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม ABC). มุมเอียงของซี่โครงด้านข้าง (เช่น SB) คือมุมระหว่างขอบของตัวมันเองกับการฉายภาพบนระนาบของฐาน สำหรับซี่โครง SBมุมนี้จะเป็นมุม SBD... ในการหาเส้นสัมผัส คุณต้องรู้ขา ดังนั้นและ OB... ให้ความยาวของส่วน BDเท่ากับ 3 NS... Dot อู๋ส่วน BDแบ่งออกเป็นส่วนๆ และ จากเราพบว่า ดังนั้น: จากเราพบว่า:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 2จงหาปริมาตรของพีระมิดทรงสี่เหลี่ยมที่ถูกตัดทอนแบบปกติ ถ้าฐานของมันคือ ซม. และ ซม. และความสูงคือ 4 ซม.

สารละลาย.ในการหาปริมาตรของพีระมิดที่ถูกตัดทอน เราใช้สูตร (4) ในการหาพื้นที่ฐาน คุณต้องหาด้านข้างของฐานสี่เหลี่ยม โดยรู้แนวทแยง ด้านข้างของฐานคือ 2 ซม. และ 8 ซม. ตามลำดับ ดังนั้นพื้นที่ของฐาน และ เมื่อแทนที่ข้อมูลทั้งหมดในสูตรแล้ว เราจะคำนวณปริมาตรของพีระมิดที่ถูกตัดทอน:

ตอบ: 112 ซม. 3

ตัวอย่างที่ 3หาพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างของพีระมิดที่ตัดเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ด้านข้างของฐานมี 10 ซม. และ 4 ซม. และความสูงของปิรามิดคือ 2 ซม.

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 19)

ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดนี้เป็นสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู คุณต้องรู้ฐานและความสูง ฐานถูกกำหนดโดยเงื่อนไข เฉพาะความสูงยังไม่ทราบ เราจะหาได้จากที่ไหน NS 1 อีตั้งฉากจากจุด NS 1 บนระนาบของฐานล่าง NS 1 NS- ตั้งฉากจาก NS 1 วัน เช่น. NS 1 อี= 2 ซม. เนื่องจากเป็นความสูงของปิรามิด การค้นหา DEเราจะสร้างภาพวาดเพิ่มเติมซึ่งเราจะแสดงมุมมองด้านบน (รูปที่ 20) จุด อู๋- การฉายภาพศูนย์กลางของฐานบนและล่าง ตั้งแต่ (ดูรูปที่ 20) และในทางกลับกัน ตกลงคือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้และ โอม- รัศมีของวงกลมจารึก:

MK = เดอ.

โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสจาก

บริเวณใบหน้าด้านข้าง:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 4ที่ฐานของปิรามิดมีสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วซึ่งฐานของนั้น NSและ NS (NS> NS). ใบหน้าแต่ละข้างเป็นมุมที่มีระนาบฐานของปิรามิดเท่ากับ NS... หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด.

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 21) พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด SABCDเท่ากับผลรวมของพื้นที่และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดี.

ให้เราใช้คำกล่าวที่ว่าถ้าทุกหน้าของพีระมิดเอียงเท่ากันกับระนาบของฐาน ปลายยอดจะถูกฉายไปที่ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน จุด อู๋- การฉายภาพจุดยอด NSที่ฐานของปิรามิด สามเหลี่ยม SODคือเส้นโครงฉากของสามเหลี่ยม CSDบนระนาบของฐาน โดยทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูประนาบ เราจะได้:

ในทำนองเดียวกันก็หมายความว่า จึงลดงานลงเพื่อหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดี... วาดสี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดีแยกกัน (รูปที่ 22) จุด อู๋- ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู

เนื่องจากวงกลมสามารถถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู ไม่ว่าจะเป็น From โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราก็ได้

ในบทนี้ เราจะดูปิรามิดที่ถูกตัดทอน ทำความคุ้นเคยกับปิรามิดที่ถูกตัดทอนให้ถูกต้อง และศึกษาคุณสมบัติของมัน

ให้เราระลึกถึงแนวคิดของพีระมิดด้าน n โดยใช้ตัวอย่างของปิรามิดสามเหลี่ยม สามเหลี่ยม ABC ถูกตั้งค่า นอกระนาบของสามเหลี่ยม ใช้จุด P เชื่อมต่อกับจุดยอดของสามเหลี่ยม พื้นผิวรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ได้นั้นเรียกว่าปิรามิด (รูปที่ 1)

ข้าว. 1. พีระมิดสามเหลี่ยม

มาตัดปิรามิดด้วยระนาบขนานกับระนาบของฐานปิรามิดกัน ตัวเลขที่ได้รับระหว่างระนาบเหล่านี้เรียกว่าปิรามิดที่ถูกตัดทอน (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

องค์ประกอบหลัก:

ฐานบน;

ฐานล่าง ABC;

ขอบด้านข้าง

ถ้า PH คือความสูงของปิรามิดดั้งเดิม ก็จะเป็นความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

คุณสมบัติของปิรามิดที่ถูกตัดทอนตามวิธีการก่อสร้าง กล่าวคือจากความขนานของระนาบฐาน:

ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู พิจารณาตัวอย่างเช่นแง่มุม ตามคุณสมบัติของระนาบคู่ขนาน (เนื่องจากระนาบขนานกันจึงตัดหน้าด้านข้างของพีระมิด ABP เดิมตามเส้นตรงคู่ขนาน) ในขณะเดียวกันก็ไม่ขนานกัน เห็นได้ชัดว่า รูปสี่เหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู เหมือนทุกด้านของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

อัตราส่วนพื้นฐานจะเท่ากันสำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูทั้งหมด:

เรามีรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันหลายคู่ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยมและ RAV มีความคล้ายคลึงกันเนื่องจากการขนานกันของระนาบและค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน:

ในเวลาเดียวกัน สามเหลี่ยมและ RBCs มีความคล้ายคลึงกันโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน:

เห็นได้ชัดว่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันทั้งสามคู่นั้นเท่ากัน ดังนั้นอัตราส่วนของฐานจะเท่ากันสำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูทั้งหมด

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติเรียกว่าปิรามิดที่ถูกตัดทอนซึ่งได้มาจากการตัดปิรามิดปกติที่มีระนาบขนานกับฐาน (รูปที่ 3)

ข้าว. 3. แก้ไขปิรามิดที่ถูกตัดทอน

คำนิยาม.

พีระมิดเรียกว่าพีระมิดปกติที่ฐานซึ่งมี n-gon ปกติอยู่ และจุดยอดถูกฉายไปที่ศูนย์กลางของ n-gon นี้ (ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกและล้อมรอบ)

ในกรณีนี้ สี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ที่ฐานของปิรามิด และด้านบนถูกฉายไปยังจุดตัดของเส้นทแยงมุม พีระมิดที่ตัดทอนเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าปกติที่ได้ ABCD มีฐานล่างและฐานบน ความสูงของปิรามิดดั้งเดิม - RO ปิรามิดที่ถูกตัดทอน - (รูปที่ 4)

ข้าว. 4. พีระมิดที่ตัดทอนสี่เหลี่ยมปกติ

คำนิยาม.

ความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดใดก็ได้บนฐานหนึ่งไปยังระนาบของฐานอื่น

จุดตั้งฉากของพีระมิดดั้งเดิมคือ PM (M คือจุดกึ่งกลางของ AB) จุดตั้งฉากของพีระมิดที่ถูกตัดทอนคือ (รูปที่ 4)

คำนิยาม.

เส้นตั้งฉากของพีระมิดที่ถูกตัดทอนคือความสูงของใบหน้าด้านข้าง

เป็นที่ชัดเจนว่าขอบด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดที่ถูกตัดทอนจะเท่ากัน กล่าวคือ ขอบด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเท่ากัน

พื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดที่ถูกตัดทอนปกติจะเท่ากับผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปฐานและเส้นตั้งฉาก

หลักฐาน (สำหรับพีระมิดที่ตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าปกติ - รูปที่ 4):

จึงต้องพิสูจน์ว่า

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างที่นี่จะประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้าง - สี่เหลี่ยมคางหมู เนื่องจากสี่เหลี่ยมคางหมูเหมือนกัน เราจึงมี:

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเป็นผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของฐานและความสูง apothem คือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู เรามี:

คิวอีดี

สำหรับปิรามิดด้าน n:

โดยที่ n คือจำนวนด้านของหน้าพีระมิด a และ b เป็นฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู คือเส้นตั้งฉาก

ด้านข้างของฐานของปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมที่ถูกตัดทอนปกติ เท่ากับ 3 ซม. และ 9 ซม. สูง - 4 ซม. หาพื้นที่ผิวด้านข้าง

ข้าว. 5. ภาพประกอบสำหรับปัญหา 1

สารละลาย. มาอธิบายเงื่อนไขกัน:

ที่ให้ไว้:,,

ผ่านจุด O เราวาดเส้นตรง MN ขนานกับทั้งสองด้านของฐานล่าง ในทำนองเดียวกันผ่านจุดที่เราวาดเส้นตรง (รูปที่ 6) เนื่องจากสี่เหลี่ยมและโครงสร้างขนานกันในฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอน เราจึงได้สี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับใบหน้าด้านข้าง ยิ่งไปกว่านั้น ด้านข้างของมันจะผ่านตรงกลางของขอบด้านบนและด้านล่างของใบหน้าด้านข้าง และเป็นเส้นตั้งฉากของพีระมิดที่ถูกตัดทอน

ข้าว. 6. การก่อสร้างเพิ่มเติม

พิจารณาผลลัพธ์ของสี่เหลี่ยมคางหมู (รูปที่ 6) ในสี่เหลี่ยมคางหมูนี้ ฐานบน ฐานล่าง และความสูงเป็นที่รู้จัก จำเป็นต้องหาด้านซึ่งเป็นจุดตั้งฉากของพีระมิดที่ถูกตัดทอนให้ ลองวาดแนวตั้งฉากกับ MN ให้เราปล่อย NQ ตั้งฉากออกจากจุด เราพบว่าฐานที่ใหญ่กว่านั้นแบ่งออกเป็นส่วน ๆ สามเซนติเมตร () พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งรู้จักขาในนั้นนี่คือสามเหลี่ยมอียิปต์ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสเรากำหนดความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก: 5 ซม.

ขณะนี้มีองค์ประกอบทั้งหมดสำหรับกำหนดพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิด:

พีระมิดถูกข้ามโดยระนาบขนานกับฐาน พิสูจน์โดยใช้ตัวอย่างของปิรามิดสามเหลี่ยมว่าขอบด้านข้างและความสูงของปิรามิดถูกแบ่งโดยระนาบนี้ออกเป็นส่วนๆ

การพิสูจน์. มาอธิบายกัน:

ข้าว. 7. ภาพประกอบสำหรับปัญหา 2

พีระมิด RAVS ถูกตั้งค่า RO คือความสูงของปิรามิด ปิรามิดถูกผ่าโดยเครื่องบิน ได้ปิรามิดที่ถูกตัดทอน และ จุด - จุดตัดของความสูง RO กับระนาบของฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอน จำเป็นต้องพิสูจน์:

กุญแจสำคัญในการแก้ปัญหาคือคุณสมบัติของระนาบคู่ขนาน ระนาบขนานสองระนาบตัดระนาบที่สามเพื่อให้เส้นตัดขนานกัน เพราะฉะนั้น:. ความขนานของเส้นตรงที่สอดคล้องกันแสดงถึงการมีรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสี่คู่:

สัดส่วนของด้านที่สัมพันธ์กันตามมาจากความคล้ายคลึงของสามเหลี่ยม คุณลักษณะที่สำคัญคือสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้เหมือนกัน:

คิวอีดี

RAVS พีระมิดสามเหลี่ยมปกติที่มีความสูงและด้านข้างของฐานถูกผ่าโดยระนาบที่ผ่านตรงกลางของความสูง RN ขนานกับฐาน ABC ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดที่ถูกตัดทอนผลลัพธ์

สารละลาย. มาอธิบายกัน:

ข้าว. 8. ภาพประกอบสำหรับปัญหา 3

ACB เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก H เป็นจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมนี้ (ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกและล้อมรอบ) RM คือเส้นตั้งฉากของพีระมิดที่กำหนด - เส้นตั้งฉากของปิรามิดที่ถูกตัดทอน ตามคุณสมบัติของระนาบขนาน (ระนาบคู่ขนานสองระนาบตัดระนาบที่สามเพื่อให้เส้นตัดกันขนานกัน) เรามีรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันหลายคู่ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงเท่ากัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรามีความสนใจในความสัมพันธ์:

มาหา NM กันเถอะ นี่คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน เราทราบสูตรที่สอดคล้องกัน:

จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก РНМ ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราพบ РМ ซึ่งเป็นจุดตั้งฉากของพีระมิดดั้งเดิม:

จากอัตราส่วนเริ่มต้น:

ตอนนี้เรารู้องค์ประกอบทั้งหมดในการหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอน:

ดังนั้นเราจึงทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของปิรามิดที่ถูกตัดทอนและปิรามิดที่ถูกตัดทอนแบบปกติ ให้คำจำกัดความพื้นฐาน พิจารณาคุณสมบัติ และพิสูจน์ทฤษฎีบทบนพื้นที่ผิวด้านข้าง บทเรียนต่อไปจะเกี่ยวกับการแก้ปัญหา

บรรณานุกรม

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. เรขาคณิต. เกรด 10-11: ตำราสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา (ระดับพื้นฐานและโปรไฟล์) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov - ครั้งที่ 5 สาธุคุณ และเพิ่ม - M.: Mnemozina, 2008 .-- 288 p.: ป่วย
2. Sharygin I.F. เรขาคณิต เกรด 10-11: ตำราเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. E.V. Potoskuev, L.I. Zvalich. เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10: ตำราสำหรับสถาบันการศึกษาที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึกและเฉพาะทาง / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich - ครั้งที่ 6, Stereotype. - M.: Bustard, 2008 .-- 233 p.: ill.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

การบ้าน