คำนวณกำลังสองเฉลี่ยราก. ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคืออะไร - การใช้ฟังก์ชันค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเพื่อคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใน Excel

คุณลักษณะที่สมบูรณ์แบบที่สุดของการเปลี่ยนแปลงคือค่าเบี่ยงเบนกำลังสองเฉลี่ย ซึ่งเรียกว่าค่ามาตรฐาน (หรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน() เท่ากับรากที่สองของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองเฉลี่ยของแต่ละค่าของคุณลักษณะจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต:

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้นง่าย:

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานแบบถ่วงน้ำหนักใช้กับข้อมูลที่จัดกลุ่ม:

ระหว่างค่ารากกำลังสองและการเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ยภายใต้เงื่อนไขการแจกแจงแบบปกติ อัตราส่วนต่อไปนี้จะเกิดขึ้น: ~ 1.25

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานซึ่งเป็นการวัดความแปรผันหลักสัมบูรณ์ใช้ในการกำหนดค่าพิกัดของเส้นโค้งการกระจายปกติในการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับการจัดองค์กรของการสังเกตตัวอย่างและการสร้างความแม่นยำของคุณลักษณะตัวอย่างตลอดจนในการประเมิน ขีดจำกัดของการแปรผันของคุณลักษณะในประชากรเนื้อเดียวกัน

การกระจายตัว ชนิดของมัน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม— การวัดการแพร่กระจายของตัวแปรสุ่มที่กำหนด เช่น การเบี่ยงเบนไปจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ในทางสถิติ สัญกรณ์ หรือ มักใช้ รากที่สองของความแปรปรวนเรียกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือสเปรดมาตรฐาน

ผลต่างรวม (ซิ 2) วัดความแปรผันของคุณลักษณะทั้งหมดภายใต้อิทธิพลของปัจจัยทั้งหมดที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงนี้ ในเวลาเดียวกัน ด้วยวิธีการจัดกลุ่ม ทำให้สามารถระบุและวัดความแปรผันเนื่องจากลักษณะการจัดกลุ่มและความแปรผันที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของปัจจัยที่ไม่สามารถนับได้

ความแปรปรวนระหว่างกลุ่ม (σ 2 มก) กำหนดลักษณะความแปรปรวนอย่างเป็นระบบ เช่น ความแตกต่างในคุณค่าของลักษณะที่กำลังศึกษาซึ่งเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของลักษณะ - ปัจจัยที่สร้างพื้นฐานของกลุ่ม

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(คำพ้องความหมาย: ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน, ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน, ส่วนเบี่ยงเบนกำลังสอง; คำที่เกี่ยวข้อง: ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน, สเปรดมาตรฐาน) - ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติซึ่งเป็นตัวบ่งชี้ที่พบบ่อยที่สุดของการกระจายตัวของค่าของตัวแปรสุ่มที่สัมพันธ์กับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ด้วยอาร์เรย์ที่จำกัดของตัวอย่างค่า แทนที่จะใช้ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ จะใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของชุดตัวอย่าง

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานวัดเป็นหน่วยของตัวแปรสุ่ม และใช้ในการคำนวณค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยเลขคณิต เมื่อสร้างช่วงความเชื่อมั่น เมื่อทดสอบสมมติฐานทางสถิติ เมื่อวัดความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างตัวแปรสุ่ม กำหนดให้เป็นรากที่สองของความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน:

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(การประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม xสัมพันธ์กับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์โดยอิงจากการประมาณค่าความแปรปรวนที่เป็นกลาง):

การกระจายตัวอยู่ที่ไหน — ฉันองค์ประกอบที่ 3 ของการเลือก - ขนาดตัวอย่าง; — ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง:

ควรสังเกตว่าการประมาณการทั้งสองมีความลำเอียง ในกรณีทั่วไป ไม่สามารถสร้างการประมาณการที่เป็นกลางได้ อย่างไรก็ตาม การประมาณการตามการประมาณค่าความแปรปรวนที่เป็นกลางมีความสอดคล้องกัน

สาระสำคัญ ขอบเขต และขั้นตอนในการกำหนดรูปแบบและค่ามัธยฐาน

นอกเหนือจากค่าเฉลี่ยกำลังในสถิติแล้ว ค่าเฉลี่ยโครงสร้างยังใช้สำหรับการอธิบายลักษณะสัมพัทธ์ของค่าของคุณลักษณะที่แตกต่างกันและโครงสร้างภายในของซีรีย์การแจกแจง ซึ่งส่วนใหญ่แสดงด้วย แฟชั่นและค่ามัธยฐาน.

แฟชั่น- นี่คือรูปแบบที่พบบ่อยที่สุดของซีรีส์ ตัวอย่างเช่น มีการใช้แฟชั่นในการกำหนดขนาดของเสื้อผ้าและรองเท้าที่เป็นที่ต้องการมากที่สุดในหมู่ผู้ซื้อ โหมดสำหรับซีรีย์แยกคือโหมดที่มีความถี่สูงสุด เมื่อคำนวณโหมดสำหรับซีรีย์การเปลี่ยนแปลงช่วงเวลา คุณต้องกำหนดช่วงเวลาโมดอลก่อน (ขึ้นอยู่กับความถี่สูงสุด) จากนั้นจึงหาค่าของค่าโมดอลของแอททริบิวต์โดยใช้สูตร:

- - คุณค่าแฟชั่น

- — ขีดจำกัดล่างของช่วงเวลาโมดอล

- — ขนาดช่วงเวลา

- — ความถี่ช่วงโมดอล

- — ความถี่ของช่วงเวลาก่อนโมดอล

- — ความถี่ของช่วงเวลาตามโมดอล

ค่ามัธยฐาน -นี่คือค่าของแอตทริบิวต์ที่รองรับซีรีส์ที่ได้รับการจัดอันดับ และแบ่งซีรีส์นี้ออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน

หากต้องการหาค่ามัธยฐานในชุดข้อมูลแยกกันเมื่อมีความถี่ ขั้นแรกให้คำนวณผลรวมครึ่งหนึ่งของความถี่ จากนั้นจึงพิจารณาว่าค่าของตัวแปรตรงกับค่าใด (หากชุดข้อมูลที่เรียงลำดับมีจำนวนคุณลักษณะเป็นเลขคี่ จำนวนค่ามัธยฐานจะถูกคำนวณโดยใช้สูตร:

M e = (n (จำนวนคุณสมบัติทั้งหมด) + 1)/2,

ในกรณีที่มีคุณสมบัติเป็นเลขคู่ ค่ามัธยฐานจะเท่ากับค่าเฉลี่ยของคุณสมบัติทั้งสองที่อยู่ตรงกลางแถว)

เมื่อคำนวณแล้ว ค่ามัธยฐานสำหรับอนุกรมการแปรผันช่วง ขั้นแรกให้กำหนดช่วงค่ามัธยฐานซึ่งค่ามัธยฐานตั้งอยู่ จากนั้นจึงกำหนดค่าของค่ามัธยฐานโดยใช้สูตร:

- — ค่ามัธยฐานที่ต้องการ

- - ขีดจำกัดล่างของช่วงเวลาที่มีค่ามัธยฐาน

- — ขนาดช่วงเวลา

- — ผลรวมของความถี่หรือจำนวนเทอมอนุกรม

ผลรวมของความถี่สะสมของช่วงก่อนค่ามัธยฐาน

- — ความถี่ของช่วงค่ามัธยฐาน

ตัวอย่าง. ค้นหาโหมดและค่ามัธยฐาน

สารละลาย:
ในตัวอย่างนี้ ช่วงโมดอลอยู่ภายในกลุ่มอายุ 25-30 ปี เนื่องจากช่วงนี้มีความถี่สูงสุด (1,054)

มาคำนวณขนาดของโหมดกัน:

ซึ่งหมายความว่าอายุกิริยาของนักเรียนคือ 27 ปี

มาคำนวณค่ามัธยฐานกัน. ช่วงค่ามัธยฐานอยู่ในกลุ่มอายุ 25-30 ปี เนื่องจากภายในช่วงเวลานี้มีตัวเลือกที่แบ่งประชากรออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน (Σf i /2 = 3462/2 = 1731) ต่อไป เราจะแทนที่ข้อมูลตัวเลขที่จำเป็นลงในสูตรและรับค่ามัธยฐาน:

ซึ่งหมายความว่าครึ่งหนึ่งของนักเรียนมีอายุต่ำกว่า 27.4 ปี และอีกครึ่งหนึ่งมีอายุมากกว่า 27.4 ปี

นอกจากโหมดและค่ามัธยฐานแล้ว ยังสามารถใช้ตัวบ่งชี้ เช่น ควอร์ไทล์ โดยแบ่งอนุกรมการจัดอันดับออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆ กัน เดซิล- 10 ส่วนและเปอร์เซ็นไทล์ - ต่อ 100 ส่วน

แนวคิดของการสังเกตแบบเลือกสรรและขอบเขต

การสังเกตแบบเลือกสรรใช้เมื่อมีการใช้การเฝ้าระวังอย่างต่อเนื่อง เป็นไปไม่ได้ทางกายภาพเนื่องจากมีข้อมูลจำนวนมากหรือ ไม่สามารถทำได้ในเชิงเศรษฐกิจ. ความเป็นไปไม่ได้ทางกายภาพเกิดขึ้นเมื่อศึกษาจำนวนผู้โดยสาร ราคาตลาด และงบประมาณของครอบครัว ความไม่สะดวกทางเศรษฐกิจเกิดขึ้นเมื่อประเมินคุณภาพของสินค้าที่เกี่ยวข้องกับการทำลายล้าง เช่น การชิม การทดสอบอิฐเพื่อความแข็งแรง เป็นต้น

หน่วยทางสถิติที่เลือกสำหรับการสังเกตประกอบด้วยกรอบการสุ่มตัวอย่างหรือตัวอย่าง และหน่วยทางสถิติทั้งหมดประกอบด้วยประชากรทั่วไป (GS) ในกรณีนี้ จำนวนหน่วยในกลุ่มตัวอย่างจะแสดงด้วย nและใน HS ทั้งหมด - เอ็น. ทัศนคติ ไม่มี/ไม่มีเรียกว่าขนาดสัมพัทธ์หรือสัดส่วนของกลุ่มตัวอย่าง

คุณภาพของผลลัพธ์จากการสังเกตตัวอย่างขึ้นอยู่กับความเป็นตัวแทนของตัวอย่าง ซึ่งก็คือความเป็นตัวแทนใน HS มากน้อยเพียงใด เพื่อให้มั่นใจถึงความเป็นตัวแทนของตัวอย่าง จึงจำเป็นต้องปฏิบัติตาม หลักการสุ่มเลือกหน่วยซึ่งถือว่าการรวมหน่วย HS ไว้ในตัวอย่างไม่สามารถได้รับอิทธิพลจากปัจจัยอื่นใดนอกจากโอกาส

มีอยู่ 4 วิธีในการสุ่มเลือกตัวอย่าง:

1. จริงๆแล้วสุ่มเลยการเลือกหรือ "วิธีล็อตโต้" เมื่อมีการกำหนดปริมาณทางสถิติให้กับหมายเลขซีเรียล โดยบันทึกไว้บนวัตถุบางอย่าง (เช่น ถัง) จากนั้นจึงผสมในภาชนะบางชนิด (เช่น ในถุง) และเลือกโดยการสุ่ม ในทางปฏิบัติวิธีนี้ดำเนินการโดยใช้เครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มหรือตารางทางคณิตศาสตร์ของตัวเลขสุ่ม
2. เครื่องกลการคัดเลือกตามแต่ละ ( ไม่มี)-ค่าอันดับที่ 1 ของประชากรทั่วไป ตัวอย่างเช่น หากมีค่า 100,000 และคุณต้องเลือก 1,000 ทุก ๆ 100,000 / 1,000 = ค่าที่ 100 จะรวมอยู่ในตัวอย่าง ยิ่งไปกว่านั้น หากไม่ได้รับการจัดอันดับ ก็จะเลือกอันแรกโดยการสุ่มจากร้อยแรก และจำนวนอื่นๆ จะสูงกว่าหนึ่งร้อย เช่น ถ้าหน่วยแรกเป็นหมายเลข 19 หน่วยถัดไปก็ควรเป็นหมายเลข 119 ตามด้วยหมายเลข 219 และหมายเลข 319 เป็นต้น หากมีการจัดอันดับหน่วยประชากร หมายเลข 50 จะถูกเลือกก่อน จากนั้นจึงเลือกหมายเลข 150 และหมายเลข 250 และอื่นๆ
3. ดำเนินการเลือกค่าจากอาร์เรย์ข้อมูลที่ต่างกัน แบ่งชั้น(แบ่งชั้น) เมื่อประชากรถูกแบ่งออกเป็นกลุ่มเนื้อเดียวกันเป็นครั้งแรก โดยใช้การเลือกแบบสุ่มหรือเชิงกล
4. วิธีการสุ่มตัวอย่างแบบพิเศษคือ อนุกรมการเลือกซึ่งพวกเขาสุ่มหรือเลือกโดยกลไกไม่ใช่ค่าแต่ละค่า แต่เป็นอนุกรม (ลำดับจากตัวเลขบางตัวถึงตัวเลขบางตัวในแถว) ซึ่งดำเนินการสังเกตอย่างต่อเนื่อง

คุณภาพของการสังเกตตัวอย่างก็ขึ้นอยู่กับเช่นกัน ประเภทตัวอย่าง: ซ้ำแล้วซ้ำเล่าหรือ หยาบคาย.

ที่ การคัดเลือกใหม่ค่าทางสถิติหรือชุดค่าที่รวมอยู่ในตัวอย่างจะถูกส่งกลับไปยังประชากรทั่วไปหลังการใช้งานโดยมีโอกาสที่จะรวมไว้ในตัวอย่างใหม่ ยิ่งกว่านั้นค่าทั้งหมดในประชากรมีความน่าจะเป็นที่เท่ากันในการรวมไว้ในตัวอย่าง

การเลือกแบบไม่มีซ้ำหมายความว่าค่าทางสถิติหรืออนุกรมที่รวมอยู่ในตัวอย่างจะไม่กลับสู่ประชากรทั่วไปหลังการใช้งาน ดังนั้นสำหรับค่าที่เหลือของค่าหลังความน่าจะเป็นที่จะรวมอยู่ในตัวอย่างถัดไปจะเพิ่มขึ้น

การสุ่มตัวอย่างแบบไม่ทำซ้ำจะให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น ดังนั้นจึงมีการใช้บ่อยกว่า แต่มีบางสถานการณ์ที่ไม่สามารถนำมาใช้ได้ (ศึกษาจำนวนผู้โดยสาร ความต้องการของผู้บริโภค ฯลฯ) จากนั้นจึงทำการเลือกซ้ำ

ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างจากการสังเกตสูงสุด ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ย ขั้นตอนการคำนวณ

ให้เราพิจารณารายละเอียดเกี่ยวกับวิธีการสร้างประชากรตัวอย่างที่ระบุไว้ข้างต้นและข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นเมื่อทำเช่นนั้น ความเป็นตัวแทน .
สุ่มพอดีการสุ่มตัวอย่างจะขึ้นอยู่กับการเลือกหน่วยจากประชากรโดยการสุ่มโดยไม่มีองค์ประกอบที่เป็นระบบ ในทางเทคนิคแล้ว การเลือกสุ่มตามจริงจะดำเนินการโดยการจับสลาก (เช่น ลอตเตอรี่) หรือใช้ตารางตัวเลขสุ่ม

การเลือกสุ่มที่เหมาะสม "ในรูปแบบบริสุทธิ์" ไม่ค่อยถูกนำมาใช้ในการฝึกการสังเกตแบบเลือก แต่เป็นการเลือกดั้งเดิมในบรรดาการเลือกประเภทอื่น ๆ โดยจะใช้หลักการพื้นฐานของการสังเกตแบบเลือก ลองพิจารณาคำถามบางข้อเกี่ยวกับทฤษฎีวิธีการสุ่มตัวอย่างและสูตรข้อผิดพลาดสำหรับตัวอย่างสุ่มอย่างง่าย

อคติในการสุ่มตัวอย่างคือความแตกต่างระหว่างค่าของพารามิเตอร์ในประชากรทั่วไปกับค่าที่คำนวณจากผลลัพธ์ของการสังเกตตัวอย่าง สำหรับคุณลักษณะเชิงปริมาณโดยเฉลี่ย ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างจะถูกกำหนดโดย

ตัวบ่งชี้นี้เรียกว่าข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างส่วนเพิ่ม
ค่าเฉลี่ยตัวอย่างเป็นตัวแปรสุ่มที่สามารถรับค่าที่แตกต่างกันได้ขึ้นอยู่กับหน่วยที่รวมอยู่ในตัวอย่าง ดังนั้นข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างจึงเป็นตัวแปรสุ่มและอาจรับค่าที่ต่างกันได้ ดังนั้นจึงกำหนดค่าเฉลี่ยของข้อผิดพลาดที่เป็นไปได้ - ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ยซึ่งขึ้นอยู่กับ:

ขนาดตัวอย่าง: ยิ่งตัวเลขมากเท่าไร ความคลาดเคลื่อนโดยเฉลี่ยก็จะน้อยลงเท่านั้น

ระดับของการเปลี่ยนแปลงในลักษณะที่กำลังศึกษา: ยิ่งความแปรผันของคุณลักษณะน้อยลง และผลที่ตามมาคือการกระจายตัว ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ยก็จะยิ่งน้อยลง

ที่ สุ่มเลือกใหม่คำนวณข้อผิดพลาดโดยเฉลี่ย:
.
ในทางปฏิบัติ ความแปรปรวนทั่วไปไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด แต่ทราบใน ทฤษฎีความน่าจะเป็นได้รับการพิสูจน์แล้วว่า
.
เนื่องจากค่าของ n ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอนั้นใกล้กับ 1 เราจึงสามารถสรุปได้ว่า จากนั้นสามารถคำนวณข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ยได้:
.
แต่ในกรณีตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ (มี n<30) коэффициент необходимо учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле
.

ที่ การสุ่มตัวอย่างแบบไม่ทำซ้ำสูตรที่กำหนดจะถูกปรับตามค่า ดังนั้นข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างแบบไม่ซ้ำโดยเฉลี่ยคือ:
และ .
เพราะ จะน้อยกว่าเสมอ ดังนั้นตัวคูณ () จะน้อยกว่า 1 เสมอ ซึ่งหมายความว่าข้อผิดพลาดโดยเฉลี่ยระหว่างการเลือกแบบไม่ซ้ำจะน้อยกว่าระหว่างการเลือกซ้ำเสมอ
การสุ่มตัวอย่างทางกลใช้เมื่อมีการเรียงลำดับประชากรทั่วไปด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง (เช่น รายชื่อผู้มีสิทธิเลือกตั้งเรียงตามตัวอักษร หมายเลขโทรศัพท์ เลขที่บ้าน เลขที่อพาร์ตเมนต์) การเลือกหน่วยจะดำเนินการในช่วงเวลาหนึ่งซึ่งเท่ากับค่าผกผันของเปอร์เซ็นต์การสุ่มตัวอย่าง ดังนั้น ด้วยตัวอย่าง 2% ทุก ๆ 50 หน่วย = 1/0.02 จะถูกเลือก โดยมีตัวอย่าง 5% ทุก ๆ 1/0.05 = 20 หน่วยของประชากรทั่วไป

จุดอ้างอิงถูกเลือกด้วยวิธีต่างๆ: แบบสุ่ม จากกึ่งกลางของช่วงเวลา โดยมีการเปลี่ยนแปลงในจุดอ้างอิง สิ่งสำคัญคือการหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ ตัวอย่างเช่น ด้วยตัวอย่าง 5% หากหน่วยแรกคือหน่วยที่ 13 หน่วยถัดไปคือ 33, 53, 73 เป็นต้น

ในแง่ของความแม่นยำ การเลือกทางกลนั้นใกล้เคียงกับการสุ่มตัวอย่างจริง ดังนั้น เพื่อกำหนดความคลาดเคลื่อนโดยเฉลี่ยของการสุ่มตัวอย่างเชิงกล จึงใช้สูตรการคัดเลือกแบบสุ่มที่เหมาะสม

ที่ การเลือกทั่วไป ประชากรที่ถูกสำรวจเบื้องต้นจะแบ่งออกเป็นกลุ่มที่เป็นเนื้อเดียวกันและคล้ายคลึงกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อสำรวจวิสาหกิจ อาจเป็นอุตสาหกรรม ภาคส่วนย่อย เมื่อศึกษาประชากร อาจเป็นภูมิภาค สังคม หรือกลุ่มอายุ จากนั้นจะทำการเลือกอย่างอิสระจากแต่ละกลุ่มโดยใช้กลไกหรือแบบสุ่มล้วนๆ

การสุ่มตัวอย่างโดยทั่วไปจะให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำมากกว่าวิธีอื่นๆ การพิมพ์ประชากรทั่วไปช่วยให้แน่ใจว่าแต่ละกลุ่มการพิมพ์จะแสดงอยู่ในตัวอย่าง ซึ่งทำให้สามารถขจัดอิทธิพลของความแปรปรวนระหว่างกลุ่มที่มีต่อข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ยได้ ดังนั้นเมื่อค้นหาข้อผิดพลาดของกลุ่มตัวอย่างทั่วไปตามกฎการเพิ่มความแปรปรวน () จำเป็นต้องคำนึงถึงเฉพาะค่าเฉลี่ยของความแปรปรวนกลุ่มเท่านั้น ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ยคือ:
เมื่อทำการคัดเลือกใหม่
,
ด้วยการเลือกแบบไม่ซ้ำซาก
,
ที่ไหน - ค่าเฉลี่ยของความแปรปรวนภายในกลุ่มในกลุ่มตัวอย่าง

การเลือกแบบอนุกรม (หรือรัง) ใช้เมื่อแบ่งประชากรออกเป็นชุดหรือกลุ่มก่อนเริ่มการสำรวจตัวอย่าง ซีรีส์เหล่านี้สามารถบรรจุภัณฑ์ของผลิตภัณฑ์สำเร็จรูป กลุ่มนักเรียน ทีม ชุดการตรวจสอบจะถูกเลือกโดยกลไกหรือแบบสุ่ม และภายในชุดจะมีการตรวจสอบหน่วยอย่างต่อเนื่อง ดังนั้น ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ยจึงขึ้นอยู่กับความแปรปรวนระหว่างกลุ่ม (interseries) เท่านั้น ซึ่งคำนวณโดยสูตร:

โดยที่ r คือจำนวนซีรี่ส์ที่เลือก
- ค่าเฉลี่ยของซีรีส์ i-th

ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างอนุกรมโดยเฉลี่ยได้รับการคำนวณ:

เมื่อทำการเลือกใหม่:
,
ด้วยการเลือกแบบไม่ซ้ำกัน:
,
โดยที่ R คือจำนวนตอนทั้งหมด

รวมการเลือกเป็นการผสมผสานวิธีการคัดเลือกที่พิจารณาแล้ว

ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ยสำหรับวิธีการสุ่มตัวอย่างใดๆ ขึ้นอยู่กับขนาดสัมบูรณ์ของกลุ่มตัวอย่างเป็นหลัก และขึ้นอยู่กับเปอร์เซ็นต์ของกลุ่มตัวอย่างในระดับที่น้อยกว่า สมมติว่ามีการสังเกต 225 ครั้งในกรณีแรกจากประชากร 4,500 หน่วย และกรณีที่ 2 จากประชากร 225,000 หน่วย ความแปรปรวนในทั้งสองกรณีจะเท่ากับ 25 จากนั้นในกรณีแรก เมื่อเลือก 5% ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างจะเป็น:

ในกรณีที่สอง เมื่อเลือก 0.1% จะเท่ากับ:

ดังนั้นเมื่อเปอร์เซ็นต์การสุ่มตัวอย่างลดลง 50 เท่า ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างเพิ่มขึ้นเล็กน้อย เนื่องจากขนาดตัวอย่างไม่เปลี่ยนแปลง
สมมติว่าขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้นเป็น 625 การสังเกต ในกรณีนี้ ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างคือ:

การเพิ่มตัวอย่าง 2.8 เท่าด้วยขนาดประชากรเท่ากันจะช่วยลดขนาดของข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างได้มากกว่า 1.6 เท่า

วิธีการและวิธีการสร้างประชากรตัวอย่าง

ในสถิติมีการใช้วิธีการต่างๆ ในการสร้างประชากรตัวอย่าง ซึ่งกำหนดโดยวัตถุประสงค์ของการศึกษาและขึ้นอยู่กับลักษณะเฉพาะของวัตถุประสงค์ของการศึกษา

เงื่อนไขหลักในการดำเนินการสำรวจตัวอย่างคือการป้องกันการเกิดข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบที่เกิดจากการละเมิดหลักการของโอกาสที่เท่าเทียมกันสำหรับแต่ละหน่วยของประชากรทั่วไปที่จะรวมไว้ในกลุ่มตัวอย่าง การป้องกันข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบทำได้โดยการใช้วิธีการทางวิทยาศาสตร์เพื่อสร้างประชากรตัวอย่าง

มีวิธีการเลือกหน่วยจากประชากรดังต่อไปนี้:

1) การเลือกรายบุคคล - เลือกแต่ละหน่วยสำหรับตัวอย่าง

2) การเลือกกลุ่ม - ตัวอย่างรวมถึงกลุ่มที่เป็นเนื้อเดียวกันหรือชุดของหน่วยที่กำลังศึกษาในเชิงคุณภาพ

3) การคัดเลือกแบบรวมคือการรวมกันของการเลือกรายบุคคลและกลุ่ม
วิธีการคัดเลือกถูกกำหนดโดยกฎสำหรับการสร้างประชากรตัวอย่าง

ตัวอย่างอาจเป็น:

• สุ่มจริงๆประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าประชากรตัวอย่างเกิดขึ้นจากการสุ่มเลือกหน่วยแต่ละหน่วยจากประชากรทั่วไปโดยการสุ่ม (โดยไม่ได้ตั้งใจ) ในกรณีนี้ จำนวนหน่วยที่เลือกในประชากรตัวอย่างมักจะถูกกำหนดตามสัดส่วนตัวอย่างที่ยอมรับ สัดส่วนตัวอย่างคืออัตราส่วนของจำนวนหน่วยในประชากรตัวอย่าง n ต่อจำนวนหน่วยในประชากรทั่วไป N เช่น

• เครื่องกลประกอบด้วยการเลือกหน่วยในประชากรตัวอย่างโดยเลือกจากประชากรทั่วไปโดยแบ่งเป็นช่วงเท่าๆ กัน (กลุ่ม) ในกรณีนี้ ขนาดของช่วงเวลาในประชากรจะเท่ากับค่าผกผันของสัดส่วนตัวอย่าง ดังนั้น ด้วยตัวอย่าง 2% ทุกๆ หน่วยที่ 50 จะถูกเลือก (1:0.02) โดยมีตัวอย่าง 5% ทุกๆ หน่วยที่ 20 (1:0.05) เป็นต้น ดังนั้น ตามสัดส่วนการคัดเลือกที่ยอมรับ ประชากรทั่วไปจึงถูกแบ่งโดยอัตโนมัติออกเป็นกลุ่มที่มีขนาดเท่ากัน จากแต่ละกลุ่ม จะมีการเลือกเพียงหนึ่งหน่วยสำหรับตัวอย่างเท่านั้น
• ทั่วไป -โดยที่ประชากรทั่วไปจะถูกแบ่งออกเป็นกลุ่มทั่วไปที่เป็นเนื้อเดียวกันก่อน จากนั้น จากกลุ่มทั่วไปแต่ละกลุ่ม จะมีการใช้ตัวอย่างแบบสุ่มหรือตัวอย่างเชิงกลเพื่อเลือกหน่วยต่างๆ ในกลุ่มตัวอย่าง คุณลักษณะที่สำคัญของกลุ่มตัวอย่างทั่วไปคือ ให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำมากกว่าเมื่อเปรียบเทียบกับวิธีอื่นๆ ในการเลือกหน่วยในประชากรตัวอย่าง
• อนุกรม- โดยที่ประชากรทั่วไปแบ่งออกเป็นกลุ่มที่มีขนาดเท่ากัน - อนุกรม ชุดข้อมูลจะถูกเลือกในกลุ่มประชากรตัวอย่าง ภายในอนุกรม จะมีการสังเกตหน่วยที่รวมอยู่ในอนุกรมอย่างต่อเนื่อง
• รวมกัน- การสุ่มตัวอย่างสามารถเป็นสองขั้นตอน ในกรณีนี้ ประชากรจะถูกแบ่งออกเป็นกลุ่มก่อน จากนั้นจะมีการเลือกกลุ่ม และภายในกลุ่มหลังจะมีการเลือกแต่ละหน่วย

ในสถิติ มีวิธีการเลือกหน่วยในประชากรตัวอย่างดังนี้:

• ขั้นตอนเดียวการสุ่มตัวอย่าง - แต่ละหน่วยที่เลือกจะต้องได้รับการศึกษาทันทีตามเกณฑ์ที่กำหนด (การสุ่มตัวอย่างและการสุ่มตัวอย่างแบบอนุกรมที่เหมาะสม)
• หลายขั้นตอนการสุ่มตัวอย่าง - การเลือกจะทำจากประชากรทั่วไปของแต่ละกลุ่ม และเลือกแต่ละหน่วยจากกลุ่ม (การสุ่มตัวอย่างทั่วไปด้วยวิธีเชิงกลในการเลือกหน่วยเข้าไปในประชากรตัวอย่าง)

นอกจากนี้ยังมี:

• การคัดเลือกใหม่- ตามรูปแบบการคืนบอล ในกรณีนี้ แต่ละหน่วยหรือซีรีส์ที่รวมอยู่ในตัวอย่างจะถูกส่งกลับไปยังประชากรทั่วไป ดังนั้นจึงมีโอกาสที่จะรวมไว้ในตัวอย่างอีกครั้ง
• เลือกซ้ำ- ตามแผนบอลที่ไม่ถูกคืน ให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้นด้วยขนาดตัวอย่างที่เท่ากัน

การกำหนดขนาดตัวอย่างที่ต้องการ (โดยใช้ตารางทีของนักเรียน)

หลักการทางวิทยาศาสตร์ประการหนึ่งในทฤษฎีการสุ่มตัวอย่างคือต้องแน่ใจว่าได้เลือกหน่วยในจำนวนที่เพียงพอ ตามทฤษฎี ความจำเป็นในการปฏิบัติตามหลักการนี้แสดงไว้ในบทพิสูจน์ทฤษฎีบทขีดจำกัดในทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งทำให้สามารถกำหนดปริมาตรของหน่วยที่ควรเลือกจากประชากรเพื่อให้เพียงพอและรับประกันความเป็นตัวแทนของกลุ่มตัวอย่าง

การลดลงของข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างมาตรฐานและดังนั้นความแม่นยำของการประมาณการที่เพิ่มขึ้นจึงสัมพันธ์กับการเพิ่มขนาดตัวอย่างเสมอดังนั้นในขั้นตอนของการจัดระเบียบการสังเกตตัวอย่างจึงจำเป็นต้องตัดสินใจว่าขนาดของตัวอย่างจะขนาดไหน ประชากรตัวอย่างควรอยู่เพื่อให้แน่ใจว่าผลการสังเกตมีความถูกต้องแม่นยำ การคำนวณขนาดตัวอย่างที่ต้องการสร้างขึ้นโดยใช้สูตรที่ได้มาจากสูตรสำหรับข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสูงสุด (A) ซึ่งสอดคล้องกับประเภทและวิธีการเลือกเฉพาะ ดังนั้น สำหรับการสุ่มขนาดตัวอย่างซ้ำ (n) เรามี:

สาระสำคัญของสูตรนี้คือ ด้วยการสุ่มเลือกหมายเลขที่ต้องการซ้ำ ขนาดตัวอย่างจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสองของสัมประสิทธิ์ความเชื่อมั่น (ที2)และความแปรปรวนของคุณลักษณะแปรผัน (?2) และแปรผกผันกับกำลังสองของค่าคลาดเคลื่อนตัวอย่างสูงสุด (?2) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อค่าความผิดพลาดสูงสุดเพิ่มขึ้น 2 เท่า ขนาดตัวอย่างที่ต้องการจะลดลง 4 เท่า จากพารามิเตอร์ทั้งสามตัวนั้น ผู้วิจัยเป็นผู้กำหนดสองตัว (t และ?)

ขณะเดียวกันผู้วิจัยก็อาศัยจากวัตถุประสงค์และวัตถุประสงค์ของการสำรวจตัวอย่าง คำถามจะต้องได้รับการแก้ไข: ควรรวมพารามิเตอร์เหล่านี้ไว้ในชุดค่าผสมเชิงปริมาณใดเพื่อให้แน่ใจว่าเป็นตัวเลือกที่เหมาะสมที่สุด ในกรณีหนึ่ง เขาอาจพอใจกับความน่าเชื่อถือของผลลัพธ์ที่ได้รับ (t) มากกว่าการวัดความแม่นยำ (?) ในอีกทางหนึ่ง - ในทางกลับกัน การแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับค่าของข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสูงสุดนั้นยากกว่า เนื่องจากผู้วิจัยไม่มีตัวบ่งชี้นี้ในขั้นตอนการออกแบบการสังเกตตัวอย่าง ดังนั้นในทางปฏิบัติจึงเป็นเรื่องปกติที่จะตั้งค่าของข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสูงสุด โดยปกติจะอยู่ภายใน 10% ของระดับเฉลี่ยที่คาดหวังของแอตทริบิวต์ การสร้างค่าเฉลี่ยโดยประมาณสามารถทำได้หลายวิธี: การใช้ข้อมูลจากการสำรวจครั้งก่อนที่คล้ายกัน หรือใช้ข้อมูลจากกรอบการสุ่มตัวอย่างและดำเนินการตัวอย่างนำร่องขนาดเล็ก

สิ่งที่ยากที่สุดในการออกแบบการสังเกตตัวอย่างคือพารามิเตอร์ที่สามในสูตร (5.2) - การกระจายตัวของประชากรตัวอย่าง ในกรณีนี้จำเป็นต้องใช้ข้อมูลทั้งหมดตามที่ผู้วิจัยได้รับจากการสำรวจที่คล้ายกันและการสำรวจนำร่องที่ดำเนินการก่อนหน้านี้

คำถามเกี่ยวกับคำจำกัดความขนาดตัวอย่างที่ต้องการจะซับซ้อนมากขึ้นหากการสำรวจการสุ่มตัวอย่างเกี่ยวข้องกับการศึกษาคุณลักษณะหลายประการของหน่วยสุ่มตัวอย่าง ในกรณีนี้ ระดับเฉลี่ยของแต่ละลักษณะและการแปรผันตามกฎจะแตกต่างกัน ดังนั้นการตัดสินใจว่าความแปรปรวนใดของลักษณะที่จะให้ความสำคัญนั้นเป็นไปได้โดยคำนึงถึงวัตถุประสงค์และวัตถุประสงค์ของ สำรวจ.

เมื่อออกแบบการสังเกตตัวอย่าง ค่าที่กำหนดไว้ล่วงหน้าของข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างที่อนุญาตจะถือว่าเป็นไปตามวัตถุประสงค์ของการศึกษาเฉพาะและความน่าจะเป็นของข้อสรุปตามผลการสังเกต

โดยทั่วไป สูตรสำหรับข้อผิดพลาดสูงสุดของค่าเฉลี่ยตัวอย่างช่วยให้เราสามารถระบุ:

ขนาดความเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้ของตัวบ่งชี้ประชากรทั่วไปจากตัวบ่งชี้ประชากรตัวอย่าง

ขนาดตัวอย่างที่ต้องการ เพื่อให้มั่นใจถึงความแม่นยำที่ต้องการ ซึ่งขีดจำกัดของข้อผิดพลาดที่เป็นไปได้จะไม่เกินค่าที่ระบุ

ความน่าจะเป็นที่ข้อผิดพลาดในตัวอย่างจะมีขีดจำกัดที่ระบุ

การกระจายตัวของนักเรียนในทฤษฎีความน่าจะเป็น มันเป็นกลุ่มพารามิเตอร์เดียวของการแจกแจงต่อเนื่องอย่างแน่นอน

อนุกรมไดนามิก (ช่วงเวลา, โมเมนต์), อนุกรมไดนามิกปิด

ซีรี่ส์ไดนามิก- นี่คือค่าของตัวชี้วัดทางสถิติที่นำเสนอตามลำดับเวลาที่แน่นอน

แต่ละอนุกรมเวลาประกอบด้วยสององค์ประกอบ:

1) ตัวบ่งชี้ช่วงเวลา (ปี ไตรมาส เดือน วัน หรือวันที่)

2) ตัวบ่งชี้ที่แสดงลักษณะของวัตถุที่กำลังศึกษาตามช่วงเวลาหรือวันที่ที่เกี่ยวข้องซึ่งเรียกว่าระดับอนุกรม

ระดับของซีรีส์จะแสดงออกมาทั้งค่าสัมบูรณ์และค่าเฉลี่ยหรือค่าสัมพัทธ์ ขึ้นอยู่กับลักษณะของตัวบ่งชี้ อนุกรมเวลาของค่าสัมบูรณ์ ค่าสัมพัทธ์ และค่าเฉลี่ยจะถูกสร้างขึ้น อนุกรมไดนามิกจากค่าสัมพัทธ์และค่าเฉลี่ยถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของอนุกรมที่ได้รับของค่าสัมบูรณ์ มีอนุกรมช่วงเวลาและโมเมนต์ของไดนามิก

อนุกรมช่วงไดนามิกมีค่าตัวบ่งชี้สำหรับช่วงระยะเวลาหนึ่ง ในอนุกรมช่วงเวลา สามารถสรุประดับต่างๆ เพื่อให้ได้ปริมาตรของปรากฏการณ์ในช่วงเวลาที่นานขึ้น หรือที่เรียกว่าผลรวมสะสม

ซีรีส์ช่วงเวลาแบบไดนามิกสะท้อนถึงค่าของตัวชี้วัด ณ จุดใดจุดหนึ่ง (วันที่เวลา) ในซีรีส์โมเมนต์ ผู้วิจัยอาจสนใจเพียงความแตกต่างของปรากฏการณ์ที่สะท้อนถึงการเปลี่ยนแปลงระดับของซีรีส์ระหว่างวันที่กำหนด เนื่องจากผลรวมของระดับที่นี่ไม่มีเนื้อหาที่แท้จริง ผลรวมสะสมจะไม่ถูกคำนวณที่นี่

เงื่อนไขที่สำคัญที่สุดสำหรับการสร้างอนุกรมเวลาที่ถูกต้องคือความสามารถในการเปรียบเทียบระดับของอนุกรมที่อยู่ในช่วงเวลาต่างๆ ระดับจะต้องนำเสนอในปริมาณที่เป็นเนื้อเดียวกัน และจะต้องมีความสมบูรณ์เท่ากันของความครอบคลุมของส่วนต่างๆ ของปรากฏการณ์

เพื่อที่จะเพื่อหลีกเลี่ยงการบิดเบือนของไดนามิกที่แท้จริง ในการศึกษาเชิงสถิติจะมีการคำนวณเบื้องต้น (ปิดอนุกรมไดนามิก) ซึ่งอยู่หน้าการวิเคราะห์ทางสถิติของอนุกรมเวลา การปิดซีรีย์ไดนามิกนั้นเข้าใจว่าเป็นการรวมกันเป็นซีรีย์เดียวจากสองซีรีย์ขึ้นไป โดยระดับของซีรีย์นั้นคำนวณโดยใช้วิธีการที่แตกต่างกัน หรือไม่สอดคล้องกับขอบเขตอาณาเขต เป็นต้น การปิดซีรีส์ไดนามิกอาจหมายความถึงการนำระดับสัมบูรณ์ของซีรีส์ไดนามิกมาสู่พื้นฐานทั่วไป ซึ่งจะทำให้ระดับของซีรีส์ไดนามิกที่ไม่มีใครเทียบได้เป็นกลาง

แนวคิดเรื่องความสามารถในการเปรียบเทียบอนุกรมไดนามิก สัมประสิทธิ์ การเติบโต และอัตราการเติบโต

ซีรี่ส์ไดนามิก- เป็นชุดของตัวบ่งชี้ทางสถิติที่แสดงถึงพัฒนาการของปรากฏการณ์ทางธรรมชาติและสังคมเมื่อเวลาผ่านไป คอลเลกชันทางสถิติที่เผยแพร่โดยคณะกรรมการสถิติแห่งรัฐของรัสเซียประกอบด้วยชุดไดนามิกจำนวนมากในรูปแบบตาราง อนุกรมไดนามิกทำให้สามารถระบุรูปแบบของการพัฒนาปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาได้

ซีรี่ส์ Dynamics มีตัวบ่งชี้สองประเภท ตัวบ่งชี้เวลา(ปี ไตรมาส เดือน ฯลฯ) หรือจุดในเวลา (ต้นปี ต้นเดือนของแต่ละเดือน เป็นต้น) ตัวบ่งชี้ระดับแถว. ตัวบ่งชี้ระดับของชุดไดนามิกสามารถแสดงเป็นค่าสัมบูรณ์ (การผลิตผลิตภัณฑ์เป็นตันหรือรูเบิล) ค่าสัมพัทธ์ (ส่วนแบ่งของประชากรในเมืองเป็น %) และค่าเฉลี่ย (ค่าจ้างเฉลี่ยของคนงานในอุตสาหกรรมต่อปี ฯลฯ) ในรูปแบบตาราง อนุกรมเวลาประกอบด้วยสองคอลัมน์หรือสองแถว

การสร้างอนุกรมเวลาที่ถูกต้องจำเป็นต้องปฏิบัติตามข้อกำหนดหลายประการ:

1. ตัวชี้วัดทั้งหมดของชุดของพลวัตจะต้องมีพื้นฐานทางวิทยาศาสตร์และเชื่อถือได้
2. ตัวบ่งชี้ของชุดของไดนามิกจะต้องเปรียบเทียบกันได้เมื่อเวลาผ่านไปเช่น จะต้องคำนวณในช่วงเวลาเดียวกันหรือวันเดียวกัน
3. ตัวบ่งชี้ของพลวัตจำนวนหนึ่งจะต้องเปรียบเทียบได้ทั่วทั้งอาณาเขต
4. ตัวบ่งชี้ของชุดของไดนามิกจะต้องเปรียบเทียบได้ในเนื้อหาเช่น คำนวณตามวิธีการเดียวในลักษณะเดียวกัน
5. ตัวชี้วัดของการเปลี่ยนแปลงจำนวนหนึ่งควรจะสามารถเปรียบเทียบได้ตลอดช่วงของฟาร์มที่นำมาพิจารณา ตัวบ่งชี้ทั้งหมดของชุดไดนามิกจะต้องได้รับในหน่วยการวัดเดียวกัน

ตัวชี้วัดทางสถิติสามารถบอกลักษณะผลลัพธ์ของกระบวนการที่กำลังศึกษาในช่วงเวลาหนึ่งหรือสถานะของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษา ณ จุดใดจุดหนึ่งได้ เช่น ตัวบ่งชี้สามารถเป็นช่วงเวลา (เป็นระยะ) และชั่วขณะ ดังนั้น ในตอนแรกอนุกรมไดนามิกสามารถเป็นได้ทั้งช่วงเวลาหรือโมเมนต์ อนุกรมโมเมนต์ไดนามิกส์อาจมีช่วงเวลาเท่ากันหรือไม่เท่ากันก็ได้

ซีรีย์ไดนามิกดั้งเดิมสามารถเปลี่ยนเป็นชุดของค่าเฉลี่ยและชุดของค่าสัมพัทธ์ (ลูกโซ่และพื้นฐาน) อนุกรมเวลาดังกล่าวเรียกว่าอนุกรมเวลาที่ได้รับ

วิธีการคำนวณระดับเฉลี่ยในชุดไดนามิกจะแตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับประเภทของซีรีส์ไดนามิก จากตัวอย่าง เราจะพิจารณาประเภทของชุดไดนามิกและสูตรสำหรับการคำนวณระดับเฉลี่ย

เพิ่มขึ้นอย่างแน่นอน (∆y) แสดงจำนวนหน่วยที่ระดับต่อมาของซีรีส์มีการเปลี่ยนแปลงเมื่อเปรียบเทียบกับระดับก่อนหน้า (gr. 3. - การเพิ่มขึ้นแบบสัมบูรณ์ของลูกโซ่) หรือเปรียบเทียบกับระดับเริ่มต้น (gr. 4. - การเพิ่มขึ้นแบบสัมบูรณ์พื้นฐาน) สูตรการคำนวณสามารถเขียนได้ดังนี้:

เมื่อค่าสัมบูรณ์ของอนุกรมลดลง ก็จะมี “ลดลง” หรือ “ลดลง” ตามลำดับ

ตัวชี้วัดการเติบโตที่แน่นอนบ่งชี้ว่าตัวอย่างเช่นในปี 1998 การผลิตผลิตภัณฑ์ "A" เพิ่มขึ้น 4,000 ตันเมื่อเทียบกับปี 1997 และ 34,000 ตันเมื่อเทียบกับปี 1994 สำหรับปีอื่นๆ ดูตาราง 11.5 กรัม 3 และ 4.

อัตราการเจริญเติบโตแสดงจำนวนครั้งที่ระดับของซีรีส์มีการเปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับระดับก่อนหน้า (gr. 5 - ค่าสัมประสิทธิ์ลูกโซ่ของการเติบโตหรือการลดลง) หรือเปรียบเทียบกับระดับเริ่มต้น (gr. 6 - สัมประสิทธิ์พื้นฐานของการเติบโตหรือการลดลง) สูตรการคำนวณสามารถเขียนได้ดังนี้:

อัตราการเจริญเติบโตแสดงเปอร์เซ็นต์ของระดับถัดไปของซีรีส์เมื่อเปรียบเทียบกับระดับก่อนหน้า (กรัม 7 - อัตราการเติบโตของห่วงโซ่) หรือเปรียบเทียบกับระดับเริ่มต้น (กรัม 8 - อัตราการเติบโตพื้นฐาน) สูตรการคำนวณสามารถเขียนได้ดังนี้:

ตัวอย่างเช่นในปี 1997 ปริมาณการผลิตผลิตภัณฑ์ "A" เทียบกับปี 1996 คือ 105.5% (

อัตราการเจริญเติบโตแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ของระดับของระยะเวลาการรายงานที่เพิ่มขึ้นเมื่อเทียบกับระดับก่อนหน้า (คอลัมน์ 9 - อัตราการเติบโตของห่วงโซ่) หรือเปรียบเทียบกับระดับเริ่มต้น (คอลัมน์ 10 - อัตราการเติบโตพื้นฐาน) สูตรการคำนวณสามารถเขียนได้ดังนี้:

T pr = T r - 100% หรือ T pr = การเติบโตสัมบูรณ์ / ระดับของช่วงก่อนหน้า * 100%

ตัวอย่างเช่นในปี 1996 เมื่อเทียบกับปี 1995 ผลิตภัณฑ์ "A" ผลิตขึ้น 3.8% (103.8% - 100%) หรือมากขึ้น (8:210)x100% และเมื่อเทียบกับปี 1994 - 9% (109% - 100%)

หากระดับสัมบูรณ์ในชุดข้อมูลลดลง อัตราจะน้อยกว่า 100% และจะมีอัตราการลดลงตามไปด้วย (อัตราการเพิ่มขึ้นที่มีเครื่องหมายลบ)

ค่าสัมบูรณ์เพิ่มขึ้น 1%(คอลัมน์ 11) แสดงจำนวนหน่วยที่ต้องผลิตในช่วงเวลาที่กำหนด เพื่อให้ระดับของช่วงก่อนหน้าเพิ่มขึ้น 1% ในตัวอย่างของเราในปี 1995 จำเป็นต้องผลิต 2.0 พันตันและในปี 1998 - 2.3 พันตันนั่นคือ ใหญ่กว่ามาก

ค่าสัมบูรณ์ของการเติบโต 1% สามารถกำหนดได้สองวิธี:

ระดับของช่วงเวลาก่อนหน้านี้หารด้วย 100

การเพิ่มขึ้นแบบสัมบูรณ์ของลูกโซ่จะถูกหารด้วยอัตราการเติบโตของลูกโซ่ที่สอดคล้องกัน

ค่าสัมบูรณ์เพิ่มขึ้น 1% =

ในการเปลี่ยนแปลง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในระยะยาว การวิเคราะห์อัตราการเติบโตร่วมกับเนื้อหาของการเพิ่มหรือลดลงแต่ละเปอร์เซ็นต์เป็นสิ่งสำคัญ

โปรดทราบว่าวิธีการที่พิจารณาสำหรับการวิเคราะห์อนุกรมเวลานั้นใช้ได้กับทั้งอนุกรมเวลาซึ่งระดับจะแสดงเป็นค่าสัมบูรณ์ (t, พันรูเบิล, จำนวนพนักงาน ฯลฯ ) และสำหรับอนุกรมเวลาซึ่งเป็นระดับที่ แสดงเป็นตัวบ่งชี้สัมพัทธ์ (% ของข้อบกพร่อง % ปริมาณเถ้าของถ่านหิน ฯลฯ ) หรือค่าเฉลี่ย (ผลผลิตเฉลี่ยเป็น c/ha ค่าจ้างเฉลี่ย ฯลฯ )

นอกเหนือจากตัวบ่งชี้การวิเคราะห์ที่พิจารณาแล้ว ซึ่งคำนวณในแต่ละปีโดยเปรียบเทียบกับระดับก่อนหน้าหรือระดับเริ่มต้น เมื่อวิเคราะห์ชุดไดนามิกส์ จำเป็นต้องคำนวณตัวบ่งชี้การวิเคราะห์โดยเฉลี่ยสำหรับช่วงเวลานั้น: ระดับเฉลี่ยของชุดข้อมูล การเพิ่มขึ้นสัมบูรณ์โดยเฉลี่ยต่อปี (ลดลง) และอัตราการเติบโตเฉลี่ยต่อปีและอัตราการเติบโต

วิธีการคำนวณระดับเฉลี่ยของชุดของไดนามิกถูกกล่าวถึงข้างต้น ในซีรีย์ไดนามิกตามช่วงเวลาที่เรากำลังพิจารณา ระดับเฉลี่ยของซีรีย์นั้นคำนวณโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย:

ปริมาณการผลิตเฉลี่ยต่อปีของผลิตภัณฑ์ พ.ศ. 2537-2541 มีจำนวน 218.4 พันตัน

การเติบโตแบบสัมบูรณ์โดยเฉลี่ยต่อปียังคำนวณโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย:

การเพิ่มขึ้นที่แน่นอนต่อปีแตกต่างกันไปในช่วงหลายปีที่ผ่านมาตั้งแต่ 4 ถึง 12,000 ตัน (ดูคอลัมน์ 3) และการเพิ่มขึ้นเฉลี่ยต่อปีของการผลิตในช่วงปี 1995 - 1998 มีจำนวน 8.5 พันตัน

วิธีการคำนวณอัตราการเติบโตเฉลี่ยและอัตราการเติบโตเฉลี่ยต้องพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติม ให้เราพิจารณาโดยใช้ตัวอย่างของตัวบ่งชี้ระดับอนุกรมประจำปีที่ระบุในตาราง

ระดับเฉลี่ยของซีรีย์ไดนามิก

อนุกรมไดนามิก (หรืออนุกรมเวลา)- ค่าเหล่านี้เป็นค่าตัวเลขของตัวบ่งชี้ทางสถิติบางอย่างในช่วงเวลาหรือช่วงระยะเวลาต่อเนื่องกัน (เช่น จัดเรียงตามลำดับเวลา)

มีการเรียกค่าตัวเลขของตัวบ่งชี้ทางสถิติหนึ่งหรือตัวอื่นที่ประกอบเป็นชุดไดนามิก ระดับซีรีส์และมักจะแสดงด้วยตัวอักษร ย. ภาคแรกของซีรีส์ คุณ 1เรียกว่าเริ่มต้นหรือ ระดับพื้นฐานและอันสุดท้าย ใช่ - สุดท้าย. ช่วงเวลาหรือช่วงเวลาที่เกี่ยวข้องกับระดับที่กำหนดโดย ที.

โดยปกติแล้วซีรีส์ Dynamics จะแสดงในรูปแบบของตารางหรือกราฟ และมาตราส่วนเวลาจะถูกสร้างขึ้นตามแกน Abscissa ทีและตามแกนกำหนด - สเกลของระดับอนุกรม ย.

ตัวชี้วัดเฉลี่ยของซีรีย์ไดนามิก

ไดนามิกแต่ละชุดถือได้ว่าเป็นชุดที่แน่นอน nตัวชี้วัดที่แปรผันตามเวลาที่สามารถสรุปเป็นค่าเฉลี่ยได้ ตัวบ่งชี้ทั่วไป (โดยเฉลี่ย) ดังกล่าวมีความจำเป็นอย่างยิ่งเมื่อเปรียบเทียบการเปลี่ยนแปลงของตัวบ่งชี้เฉพาะในช่วงเวลาต่างๆ ในประเทศต่างๆ เป็นต้น

คุณสมบัติทั่วไปของซีรีย์ไดนามิกสามารถให้บริการได้ ประการแรกคือ ระดับแถวกลาง. วิธีการคำนวณระดับเฉลี่ยขึ้นอยู่กับว่าอนุกรมนั้นเป็นอนุกรมชั่วขณะหรือเป็นช่วง (คาบ)

เมื่อไร ช่วงเวลาของอนุกรม ระดับเฉลี่ยจะถูกกำหนดโดยสูตรของค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายของระดับของอนุกรม เช่น

=
ถ้ามี ช่วงเวลาแถวที่มี nระดับ ( ย1, y2, …, ยิน) โดยมีช่วงเวลาเท่ากันระหว่างวันที่ (เวลา) ดังนั้นชุดดังกล่าวจึงสามารถแปลงเป็นชุดของค่าเฉลี่ยได้อย่างง่ายดาย ในกรณีนี้ ตัวบ่งชี้ (ระดับ) ที่จุดเริ่มต้นของแต่ละช่วงเวลาจะเป็นตัวบ่งชี้ที่จุดสิ้นสุดของช่วงเวลาก่อนหน้าพร้อมกัน จากนั้นค่าเฉลี่ยของตัวบ่งชี้สำหรับแต่ละช่วงเวลา (ช่วงเวลาระหว่างวันที่) สามารถคำนวณได้เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของค่า ที่ในตอนต้นและปลายงวดเช่น ยังไง . จำนวนค่าเฉลี่ยดังกล่าวจะเป็น ตามที่ระบุไว้ข้างต้น สำหรับชุดของค่าเฉลี่ย ระดับเฉลี่ยจะคำนวณโดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้ว่า:
.
หลังจากแปลงตัวเศษแล้วเราจะได้:
,

ที่ไหน Y1และ ยิน— ระดับแรกและสุดท้ายของแถว ยี่— ระดับกลาง.

ค่าเฉลี่ยนี้เป็นที่รู้จักในสถิติว่า ลำดับเหตุการณ์โดยเฉลี่ยสำหรับซีรี่ส์ช่วงเวลา ได้ชื่อมาจากคำว่า "cronos" (เวลา, ภาษาละติน) เนื่องจากคำนวณจากตัวบ่งชี้ที่เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา

ในกรณีที่ไม่เท่ากันช่วงเวลาระหว่างวันที่ ค่าเฉลี่ยตามลำดับเวลาสำหรับอนุกรมช่วงเวลาสามารถคำนวณได้เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าเฉลี่ยของระดับสำหรับแต่ละคู่ช่วงเวลา โดยถ่วงน้ำหนักด้วยระยะทาง (ช่วงเวลา) ระหว่างวันที่ เช่น
.
ในกรณีนี้สันนิษฐานว่าในช่วงเวลาระหว่างวันที่ ระดับใช้ค่าที่แตกต่างกัน และเราเป็นหนึ่งในสองค่าที่ทราบ ( ยี่และ ยี่+1) เรากำหนดค่าเฉลี่ย จากนั้นเราจะคำนวณค่าเฉลี่ยโดยรวมสำหรับช่วงเวลาที่วิเคราะห์ทั้งหมด
หากจะถือว่าแต่ละค่า ยี่ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงจนกว่าจะถึงครั้งต่อไป (ฉัน+ 1)- ช่วงเวลาที่นั่นคือ หากทราบวันที่แน่นอนของการเปลี่ยนแปลงระดับ การคำนวณสามารถทำได้โดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก:
,

โดยที่ช่วงเวลาที่ระดับยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

นอกเหนือจากระดับเฉลี่ยในชุดไดนามิกแล้ว ยังมีการคำนวณตัวบ่งชี้เฉลี่ยอื่น ๆ - การเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยในระดับของซีรีส์ (วิธีพื้นฐานและลูกโซ่) อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ย

เส้นฐานหมายถึงการเปลี่ยนแปลงโดยสมบูรณ์คือผลหารของการเปลี่ยนแปลงสัมบูรณ์ล่าสุดหารด้วยจำนวนการเปลี่ยนแปลง นั่นคือ

โซ่ หมายถึง การเปลี่ยนแปลงโดยสมบูรณ์ ระดับของอนุกรมคือผลหารของการหารผลรวมของการเปลี่ยนแปลงสัมบูรณ์ของลูกโซ่ทั้งหมดด้วยจำนวนการเปลี่ยนแปลงนั่นคือ

สัญญาณของการเปลี่ยนแปลงสัมบูรณ์โดยเฉลี่ยยังใช้เพื่อตัดสินลักษณะของการเปลี่ยนแปลงในปรากฏการณ์โดยเฉลี่ย: การเติบโต การลดลง หรือความมั่นคง

จากกฎสำหรับการควบคุมการเปลี่ยนแปลงพื้นฐานและการเปลี่ยนแปลงสัมบูรณ์ของลูกโซ่ การเปลี่ยนแปลงขั้นพื้นฐานและค่าเฉลี่ยลูกโซ่จะต้องเท่ากัน

นอกจากการเปลี่ยนแปลงสัมบูรณ์ของค่าเฉลี่ยแล้ว ค่าเฉลี่ยสัมพัทธ์ยังถูกคำนวณโดยใช้วิธีพื้นฐานและแบบลูกโซ่อีกด้วย

การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์เฉลี่ยพื้นฐานกำหนดโดยสูตร:

การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ของค่าเฉลี่ยลูกโซ่กำหนดโดยสูตร:

โดยธรรมชาติแล้ว การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์พื้นฐานและค่าเฉลี่ยลูกโซ่จะต้องเหมือนกัน และเมื่อเปรียบเทียบกับค่าเกณฑ์ 1 จะได้ข้อสรุปเกี่ยวกับธรรมชาติของการเปลี่ยนแปลงในปรากฏการณ์โดยเฉลี่ย ได้แก่ การเติบโต การลดลง หรือความมั่นคง
โดยการลบ 1 ออกจากการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ของค่าเฉลี่ยฐานหรือลูกโซ่ ค่าที่สอดคล้องกัน อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยโดยสัญญาณที่สามารถตัดสินลักษณะของการเปลี่ยนแปลงในปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาได้ซึ่งสะท้อนให้เห็นจากชุดของพลวัตนี้

ความผันผวนตามฤดูกาลและดัชนีฤดูกาล

ความผันผวนตามฤดูกาลมีความผันผวนภายในปีคงที่

หลักการพื้นฐานของการจัดการเพื่อให้ได้ผลสูงสุดคือการเพิ่มรายได้สูงสุดและลดค่าใช้จ่ายให้เหลือน้อยที่สุด จากการศึกษาความผันผวนตามฤดูกาล ปัญหาของสมการสูงสุดจะได้รับการแก้ไขในแต่ละระดับของปี

เมื่อศึกษาความผันผวนตามฤดูกาล ปัญหาสองประการที่เกี่ยวข้องกันได้รับการแก้ไข:

1. การระบุลักษณะเฉพาะของการพัฒนาปรากฏการณ์ในพลวัตระหว่างปี

2. การวัดความผันผวนตามฤดูกาลด้วยการสร้างแบบจำลองคลื่นตามฤดูกาล

ในการวัดการเปลี่ยนแปลงตามฤดูกาล มักจะนับไก่งวงตามฤดูกาล โดยทั่วไป สมการเหล่านี้จะถูกกำหนดโดยอัตราส่วนของสมการเริ่มต้นของอนุกรมไดนามิกต่อสมการทางทฤษฎี ซึ่งทำหน้าที่เป็นพื้นฐานสำหรับการเปรียบเทียบ

เนื่องจากการเบี่ยงเบนแบบสุ่มซ้อนทับกับความผันผวนตามฤดูกาล ดัชนีฤดูกาลจึงถูกเฉลี่ยเพื่อกำจัดสิ่งเหล่านั้น

ในกรณีนี้ ในแต่ละช่วงของรอบปี ตัวบ่งชี้ทั่วไปจะถูกกำหนดในรูปแบบของดัชนีฤดูกาลโดยเฉลี่ย:

ดัชนีความผันผวนตามฤดูกาลโดยเฉลี่ยจะปราศจากอิทธิพลของการเบี่ยงเบนแบบสุ่มของแนวโน้มการพัฒนาหลัก

สูตรสำหรับดัชนีฤดูกาลโดยเฉลี่ยอาจมีรูปแบบต่อไปนี้ ขึ้นอยู่กับลักษณะของแนวโน้ม

1.สำหรับชุดของพลวัตภายในปีพร้อมแนวโน้มการพัฒนาหลักที่แสดงออกมาอย่างชัดเจน:

2. สำหรับชุดของพลวัตระหว่างปีซึ่งไม่มีแนวโน้มเพิ่มขึ้นหรือลดลงหรือไม่มีนัยสำคัญ:

ค่าเฉลี่ยโดยรวมอยู่ที่ไหน

วิธีการวิเคราะห์แนวโน้มหลัก

การพัฒนาปรากฏการณ์เมื่อเวลาผ่านไปได้รับอิทธิพลจากปัจจัยที่มีลักษณะแตกต่างกันและความแข็งแกร่งของอิทธิพล บางส่วนมีลักษณะสุ่ม บางส่วนมีผลกระทบเกือบคงที่และสร้างแนวโน้มการพัฒนาบางอย่างในพลวัต

งานสำคัญของสถิติคือการระบุไดนามิกของเทรนด์เป็นอนุกรม โดยปราศจากอิทธิพลของปัจจัยสุ่มต่างๆ เพื่อจุดประสงค์นี้ อนุกรมเวลาจะถูกประมวลผลโดยวิธีการขยายช่วงเวลา ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ และการปรับระดับเชิงวิเคราะห์ ฯลฯ

วิธีการขยายช่วงขึ้นอยู่กับการขยายช่วงเวลาซึ่งรวมถึงระดับของชุดของไดนามิก เช่น คือการแทนที่ข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับช่วงเวลาที่สั้นด้วยข้อมูลในช่วงเวลาที่ใหญ่ขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อระดับเริ่มต้นของซีรีส์เกี่ยวข้องกับช่วงเวลาสั้นๆ ตัวอย่างเช่น ชุดตัวบ่งชี้ที่เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์รายวันจะถูกแทนที่ด้วยชุดที่เกี่ยวข้องกับรายสัปดาห์ รายเดือน ฯลฯ จะแสดงให้เห็นได้ชัดเจนยิ่งขึ้น “แกนการพัฒนาปรากฏการณ์”. ค่าเฉลี่ยที่คำนวณตามช่วงเวลาที่ขยาย ช่วยให้เราสามารถระบุทิศทางและธรรมชาติ (การเร่งหรือการชะลอตัวของการเติบโต) ของแนวโน้มการพัฒนาหลัก

วิธีค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่คล้ายกับครั้งก่อน แต่ในกรณีนี้ระดับจริงจะถูกแทนที่ด้วยระดับเฉลี่ยที่คำนวณสำหรับช่วงเวลาที่ขยาย (เลื่อน) ตามลำดับซึ่งครอบคลุม มระดับซีรีส์

ตัวอย่างเช่นถ้าเรายอมรับ ม.=3,จากนั้นคำนวณค่าเฉลี่ยของสามระดับแรกของซีรีส์ก่อนจากนั้น - จากจำนวนระดับเดียวกัน แต่เริ่มจากระดับที่สองจากนั้น - เริ่มจากระดับที่สามเป็นต้น ดังนั้นค่าเฉลี่ยของ "สไลด์" ในชุดไดนามิกจะเคลื่อนที่ไปทีละเทอม คำนวณจาก มสมาชิก ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่หมายถึงจุดกึ่งกลาง (กึ่งกลาง) ของแต่ละช่วงเวลา

วิธีนี้จะกำจัดความผันผวนแบบสุ่มเท่านั้น หากชุดข้อมูลมีคลื่นตามฤดูกาล ค่าดังกล่าวจะคงอยู่แม้ว่าจะปรับให้เรียบแล้วโดยใช้วิธีค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ก็ตาม

การจัดตำแหน่งเชิงวิเคราะห์ เพื่อขจัดความผันผวนแบบสุ่มและระบุแนวโน้ม จึงมีการใช้การปรับระดับของระดับอนุกรมโดยใช้สูตรการวิเคราะห์ (หรือการปรับระดับเชิงวิเคราะห์) สาระสำคัญของมันคือการแทนที่ระดับเชิงประจักษ์ (จริง) ด้วยระดับเชิงทฤษฎี ซึ่งคำนวณโดยใช้สมการบางอย่างที่ใช้เป็นแบบจำลองแนวโน้มทางคณิตศาสตร์ โดยที่ระดับทางทฤษฎีถือเป็นฟังก์ชันของเวลา: ในกรณีนี้ แต่ละระดับจริงจะถือเป็นผลรวมของสององค์ประกอบ: โดยที่ องค์ประกอบที่เป็นระบบและแสดงโดยสมการหนึ่ง และเป็นตัวแปรสุ่มที่ทำให้เกิดความผันผวนรอบแนวโน้ม

งานการจัดตำแหน่งเชิงวิเคราะห์มีดังต่อไปนี้:

1. การกำหนดประเภทของฟังก์ชันสมมุติที่สามารถสะท้อนแนวโน้มการพัฒนาของตัวบ่งชี้ที่กำลังศึกษาอยู่บนพื้นฐานของข้อมูลจริงได้อย่างเหมาะสมที่สุด

2. ค้นหาพารามิเตอร์ของฟังก์ชันที่ระบุ (สมการ) จากข้อมูลเชิงประจักษ์

3. การคำนวณโดยใช้สมการที่พบของระดับทางทฤษฎี (แนว)

ตามกฎแล้วการเลือกฟังก์ชันเฉพาะนั้นดำเนินการบนพื้นฐานของการแสดงข้อมูลเชิงประจักษ์แบบกราฟิก

แบบจำลองคือสมการการถดถอย ซึ่งพารามิเตอร์ต่างๆ คำนวณโดยใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุด

ด้านล่างนี้คือสมการการถดถอยที่ใช้บ่อยที่สุดสำหรับการจัดลำดับอนุกรมเวลา ซึ่งบ่งชี้ว่าแนวโน้มการพัฒนาแบบใดที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการสะท้อน

เพื่อค้นหาพารามิเตอร์ของสมการข้างต้นมีอัลกอริธึมพิเศษและโปรแกรมคอมพิวเตอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากต้องการค้นหาพารามิเตอร์ของสมการเส้นตรง สามารถใช้อัลกอริธึมต่อไปนี้:

หากมีการกำหนดหมายเลขช่วงเวลาหรือช่วงเวลาเพื่อให้ St = 0 อัลกอริทึมข้างต้นจะง่ายขึ้นอย่างมากและเปลี่ยนเป็น

ระดับที่จัดเรียงไว้บนกราฟจะอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว โดยผ่านระยะทางที่ใกล้ที่สุดจากระดับจริงของซีรีย์ไดนามิกนี้ ผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองเป็นการสะท้อนถึงอิทธิพลของปัจจัยสุ่ม

เมื่อใช้มัน เราจะคำนวณค่าคลาดเคลื่อนโดยเฉลี่ย (มาตรฐาน) ของสมการ:

โดยที่ n คือจำนวนการสังเกต และ m คือจำนวนพารามิเตอร์ในสมการ (เรามีสองตัวคือ b 1 และ b 0)

แนวโน้มหลัก (แนวโน้ม) แสดงให้เห็นว่าปัจจัยที่เป็นระบบมีอิทธิพลต่อระดับของชุดของไดนามิกอย่างไร และความผันผวนของระดับรอบแนวโน้ม () ทำหน้าที่เป็นตัววัดอิทธิพลของปัจจัยคงเหลือ

เพื่อประเมินคุณภาพของแบบจำลองอนุกรมเวลาที่ใช้ ก็จะใช้เช่นกัน การทดสอบ F ของฟิชเชอร์. เป็นอัตราส่วนของความแปรปรวนสองค่า กล่าวคือ อัตราส่วนของความแปรปรวนที่เกิดจากการถดถอย กล่าวคือ ปัจจัยที่กำลังศึกษาถึงความแปรปรวนที่เกิดจากสาเหตุที่สุ่ม ได้แก่ การกระจายตัวของสารตกค้าง:

ในรูปแบบขยายสามารถนำเสนอสูตรสำหรับเกณฑ์นี้ได้ดังนี้:

โดยที่ n คือจำนวนการสังเกตเช่น จำนวนระดับแถว

m คือจำนวนพารามิเตอร์ในสมการ y คือระดับที่แท้จริงของอนุกรม

ระดับแถวเรียงกัน-ระดับแถวกลาง

โมเดลที่ประสบความสำเร็จมากกว่าโมเดลอื่นอาจไม่ได้น่าพึงพอใจเพียงพอเสมอไป สามารถรับรู้ได้เฉพาะในกรณีที่เกณฑ์ F ข้ามขีดจำกัดวิกฤตที่ทราบเท่านั้น ขอบเขตนี้กำหนดขึ้นโดยใช้ตารางการแจกแจงแบบ F

สาระสำคัญและการจำแนกดัชนี

ในสถิติ ดัชนีถือเป็นตัวบ่งชี้สัมพัทธ์ที่แสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงขนาดของปรากฏการณ์ในเวลา พื้นที่ หรือเมื่อเปรียบเทียบกับมาตรฐานใดๆ

องค์ประกอบหลักของความสัมพันธ์ดัชนีคือค่าที่จัดทำดัชนี ค่าที่จัดทำดัชนีเข้าใจว่าเป็นมูลค่าของคุณลักษณะของประชากรทางสถิติ การเปลี่ยนแปลงซึ่งเป็นเป้าหมายของการศึกษา

เมื่อใช้ดัชนี งานหลักสามประการจะได้รับการแก้ไข:

1) การประเมินการเปลี่ยนแปลงในปรากฏการณ์ที่ซับซ้อน

2) การกำหนดอิทธิพลของปัจจัยส่วนบุคคลต่อการเปลี่ยนแปลงในปรากฏการณ์ที่ซับซ้อน

3) การเปรียบเทียบขนาดของปรากฏการณ์กับขนาดของช่วงเวลาที่ผ่านมา ขนาดของดินแดนอื่น ตลอดจนมาตรฐาน แผนงาน และการพยากรณ์

ดัชนีจำแนกตามเกณฑ์ 3 ประการ:

2) ตามระดับความครอบคลุมขององค์ประกอบของประชากร

3) ตามวิธีการคำนวณดัชนีทั่วไป

ตามเนื้อหาปริมาณที่จัดทำดัชนี ดัชนีจะแบ่งออกเป็นดัชนีตัวบ่งชี้เชิงปริมาณ (ปริมาณ) และดัชนีตัวบ่งชี้เชิงคุณภาพ ดัชนีตัวชี้วัดเชิงปริมาณ - ดัชนีปริมาณทางกายภาพของผลิตภัณฑ์อุตสาหกรรม, ปริมาณการขายทางกายภาพ, จำนวนพนักงาน ฯลฯ ดัชนีตัวชี้วัดเชิงคุณภาพ - ดัชนีราคา, ต้นทุน, ผลิตภาพแรงงาน, ค่าจ้างเฉลี่ย ฯลฯ

ตามระดับความครอบคลุมของหน่วยประชากร ดัชนีจะแบ่งออกเป็นสองประเภท: รายบุคคลและทั่วไป เพื่ออธิบายลักษณะเหล่านี้ เราแนะนำแบบแผนต่อไปนี้ที่นำมาใช้ในการฝึกใช้วิธีดัชนี:

ถาม- ปริมาณ (ปริมาตร) ของผลิตภัณฑ์ใด ๆ ในแง่กายภาพ ; ร- ราคาต่อหน่วย; z- ต้นทุนต่อหน่วยการผลิต ที— เวลาที่ใช้ในการผลิตหน่วยผลิตภัณฑ์ (ความเข้มข้นของแรงงาน) ; ว- การผลิตผลิตภัณฑ์ในแง่มูลค่าต่อหน่วยเวลา โวลต์- ผลผลิตในแง่กายภาพต่อหน่วยเวลา ต— เวลาทั้งหมดที่ใช้หรือจำนวนพนักงาน

เพื่อแยกแยะว่าปริมาณที่จัดทำดัชนีเป็นของช่วงเวลาหรือวัตถุใด เป็นเรื่องปกติที่จะวางตัวห้อยไว้ที่มุมขวาล่างของสัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้อง ตัวอย่างเช่นในดัชนีไดนามิกตามกฎแล้วตัวห้อย 1 จะถูกใช้สำหรับช่วงเวลาที่มีการเปรียบเทียบ (ปัจจุบันการรายงาน) และสำหรับช่วงเวลาที่ทำการเปรียบเทียบ

ดัชนีส่วนบุคคลทำหน้าที่อธิบายลักษณะการเปลี่ยนแปลงในแต่ละองค์ประกอบของปรากฏการณ์ที่ซับซ้อน (เช่นการเปลี่ยนแปลงปริมาณผลผลิตของผลิตภัณฑ์ประเภทหนึ่ง) พวกเขาแสดงถึงค่าสัมพัทธ์ของพลวัต, การปฏิบัติตามภาระผูกพัน, การเปรียบเทียบค่าที่จัดทำดัชนี

มีการกำหนดดัชนีแต่ละรายการของปริมาณทางกายภาพของผลิตภัณฑ์

จากมุมมองเชิงวิเคราะห์ ดัชนีไดนามิกที่กำหนดแต่ละรายการจะคล้ายกับค่าสัมประสิทธิ์การเติบโต (อัตรา) และแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงของค่าที่จัดทำดัชนีในช่วงเวลาปัจจุบันเมื่อเปรียบเทียบกับช่วงฐาน เช่น พวกเขาแสดงจำนวนครั้งที่เพิ่มขึ้น (ลดลง) หรือโต(ลดลง)กี่เปอร์เซ็นต์ ค่าดัชนีจะแสดงเป็นค่าสัมประสิทธิ์หรือเปอร์เซ็นต์

ดัชนีทั่วไป (คอมโพสิต)สะท้อนการเปลี่ยนแปลงในทุกองค์ประกอบของปรากฏการณ์ที่ซับซ้อน

ดัชนีรวมเป็นรูปแบบพื้นฐานของดัชนี มันถูกเรียกว่ามวลรวมเพราะตัวเศษและส่วนเป็นชุดของ "มวลรวม"

ดัชนีเฉลี่ย คำจำกัดความ

นอกเหนือจากดัชนีรวมแล้ว ยังมีการใช้รูปแบบอื่นในสถิติ - ดัชนีถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก การคำนวณจะใช้เมื่อข้อมูลที่มีอยู่ไม่อนุญาตให้คำนวณดัชนีรวมทั่วไป ดังนั้นหากไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับราคา แต่มีข้อมูลเกี่ยวกับต้นทุนของผลิตภัณฑ์ในช่วงเวลาปัจจุบันและทราบดัชนีราคาแต่ละรายการสำหรับแต่ละผลิตภัณฑ์แล้วดัชนีราคาทั่วไปก็ไม่สามารถกำหนดเป็นดัชนีรวมได้ แต่เป็นไปได้ เพื่อคำนวณเป็นค่าเฉลี่ยของแต่ละบุคคล ในทำนองเดียวกัน หากไม่ทราบปริมาณของผลิตภัณฑ์แต่ละประเภทที่ผลิต แต่ทราบดัชนีแต่ละรายการและต้นทุนการผลิตในช่วงเวลาฐาน ดัชนีทั่วไปของปริมาณทางกายภาพของการผลิตสามารถกำหนดเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักได้ ค่า.

ดัชนีเฉลี่ย -นี้ดัชนีที่คำนวณเป็นค่าเฉลี่ยของแต่ละดัชนี ดัชนีรวมเป็นรูปแบบพื้นฐานของดัชนีทั่วไป ดังนั้นดัชนีเฉลี่ยจะต้องเหมือนกันกับดัชนีรวม เมื่อคำนวณดัชนีเฉลี่ย จะใช้ค่าเฉลี่ยสองรูปแบบ: เลขคณิตและฮาร์มอนิก

ดัชนีค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะเหมือนกันกับดัชนีรวม หากน้ำหนักของดัชนีแต่ละรายการเป็นเงื่อนไขของตัวส่วนของดัชนีรวม เฉพาะในกรณีนี้ ค่าของดัชนีที่คำนวณโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะเท่ากับดัชนีรวม

ความคาดหวังและความแปรปรวน

ให้เราวัดตัวแปรสุ่ม เอ็นเช่นเราวัดความเร็วลมสิบครั้งแล้วต้องการหาค่าเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันการแจกแจงอย่างไร

เราจะทอยลูกเต๋าเป็นจำนวนมาก จำนวนแต้มที่จะปรากฏบนลูกเต๋าในการโยนแต่ละครั้งเป็นตัวแปรสุ่มและสามารถรับค่าธรรมชาติใดๆ ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 6 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของแต้มที่หล่นซึ่งคำนวณสำหรับการโยนลูกเต๋าทั้งหมดก็เป็นตัวแปรสุ่มเช่นกัน แต่สำหรับขนาดใหญ่ เอ็นมันมีแนวโน้มที่จะเป็นจำนวนที่เฉพาะเจาะจงมาก - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เอ็ม เอ็กซ์. ในกรณีนี้ เอ็ม เอ็กซ์ = 3,5.

คุณได้รับคุณค่านี้มาได้อย่างไร? ให้เข้า เอ็นการทดสอบ เมื่อคุณได้รับ 1 คะแนน เมื่อคุณได้รับ 2 คะแนน และอื่นๆ แล้วเมื่อไหร่ เอ็น→ ∞ จำนวนผลลัพธ์ที่มีการทอยหนึ่งแต้ม ในทำนองเดียวกัน ดังนั้น

รุ่น 4.5 ลูกเต๋า

ให้เราสมมติว่าเรารู้กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม xนั่นคือเรารู้ว่าตัวแปรสุ่ม xสามารถรับค่าได้ x 1 , x 2 , ..., เอ็กซ์ เคด้วยความน่าจะเป็น พี 1 , พี 2 , ..., พีเค.

มูลค่าที่คาดหวัง เอ็ม เอ็กซ์ตัวแปรสุ่ม xเท่ากับ:

คำตอบ. 2,8.

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่การประมาณการที่สมเหตุสมผลของตัวแปรสุ่มบางตัวเสมอไป ดังนั้นในการประมาณเงินเดือนโดยเฉลี่ยจึงสมเหตุสมผลกว่าที่จะใช้แนวคิดเรื่องค่ามัธยฐานนั่นคือค่าที่จำนวนผู้ที่ได้รับเงินเดือนต่ำกว่าค่ามัธยฐานและจำนวนที่มากกว่าตรงกัน

ค่ามัธยฐานตัวแปรสุ่มเรียกว่าตัวเลข x 1/2 เป็นเช่นนั้น พี (x < x 1/2) = 1/2.

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือความน่าจะเป็น พี 1 ว่าตัวแปรสุ่ม xจะเล็กลง x 1/2 และความน่าจะเป็น พี 2 นั่นคือตัวแปรสุ่ม xจะยิ่งใหญ่กว่า x 1/2 เท่ากันและเท่ากับ 1/2 ค่ามัธยฐานไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะสำหรับการแจกแจงทั้งหมด

ลองกลับไปสู่ตัวแปรสุ่มกัน xซึ่งสามารถรับค่าได้ x 1 , x 2 , ..., เอ็กซ์ เคด้วยความน่าจะเป็น พี 1 , พี 2 , ..., พีเค.

ความแปรปรวนตัวแปรสุ่ม xค่าเฉลี่ยของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เรียกว่า:

ตัวอย่างที่ 2

ภายใต้เงื่อนไขของตัวอย่างก่อนหน้านี้ ให้คำนวณความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม x.

คำตอบ. 0,16, 0,4.

รุ่น 4.6 การยิงไปที่เป้าหมาย

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาการกระจายความน่าจะเป็นของจำนวนแต้มที่ปรากฏบนลูกเต๋าในการโยนครั้งแรก ค่ามัธยฐาน ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ขอบใดๆ มีโอกาสหลุดออกเท่าๆ กัน ดังนั้นการกระจายจะมีลักษณะดังนี้:

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน จะเห็นได้ว่าค่าเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยมีขนาดใหญ่มาก

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

• ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมและผลคูณของแต้มที่ทอยบนลูกเต๋าสองลูก

ในตัวอย่างที่ 3 เราพบว่าสำหรับหนึ่งลูกบาศก์ ม (x) = 3.5 ดังนั้นสำหรับสองลูกบาศก์

คุณสมบัติการกระจายตัว:

• ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน:

ดีเอ็กซ์ + ย = ดีเอ็กซ์ + ดี.

ปล่อยให้ เอ็นทอยลูกเต๋า ยคะแนน แล้ว

ผลลัพธ์นี้เป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับการทอยลูกเต๋าเท่านั้น ในหลายกรณี จะกำหนดความแม่นยำในการวัดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เชิงประจักษ์ จะเห็นได้ว่าด้วยจำนวนการวัดที่เพิ่มขึ้น เอ็นการแพร่กระจายของค่ารอบค่าเฉลี่ยซึ่งก็คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะลดลงตามสัดส่วน

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มสัมพันธ์กับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของตัวแปรสุ่มนี้โดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

ลองหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันนี้กัน A-ไพรเออรี่

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของด้านขวาของความเท่าเทียมกันตามคุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะเท่ากับ

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับรากที่สองของความแปรปรวน:
เมื่อกำหนดค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับประชากรที่กำลังศึกษาในปริมาณมากเพียงพอ (n > 30) จะใช้สูตรต่อไปนี้:

ข้อมูลที่เกี่ยวข้อง.

ในการทดสอบสมมติฐานทางสถิติ เมื่อทำการวัดความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างตัวแปรสุ่ม

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน:

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(ค่าประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม พื้น ผนังรอบตัวเรา และเพดาน xสัมพันธ์กับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์โดยอิงจากการประมาณค่าความแปรปรวนที่เป็นกลาง):

การกระจายตัวอยู่ที่ไหน - พื้น ผนังรอบตัวเรา และเพดาน ฉันองค์ประกอบที่ 3 ของการเลือก - ขนาดตัวอย่าง; - ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง:

ควรสังเกตว่าการประมาณการทั้งสองมีความลำเอียง ในกรณีทั่วไป ไม่สามารถสร้างการประมาณการที่เป็นกลางได้ อย่างไรก็ตาม การประมาณการตามการประมาณค่าความแปรปรวนที่เป็นกลางมีความสอดคล้องกัน

กฎสามซิกมา

กฎสามซิกมา() - ค่าเกือบทั้งหมดของตัวแปรสุ่มแบบกระจายปกติจะอยู่ในช่วงเวลา เข้มงวดมากขึ้น - ด้วยความเชื่อมั่นไม่ต่ำกว่า 99.7% ค่าของตัวแปรสุ่มแบบกระจายแบบปกติจะอยู่ในช่วงที่ระบุ (โดยมีเงื่อนไขว่าค่าเป็นจริงและไม่ได้รับจากการประมวลผลตัวอย่าง)

หากไม่ทราบมูลค่าที่แท้จริง เราก็ไม่ควรใช้ แต่พื้น ผนังรอบตัวเรา และเพดาน ส. ดังนั้น กฎสามซิกมาจึงเปลี่ยนเป็นกฎสามชั้น ผนังรอบตัวเรา และเพดาน ส .

การตีความค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่มีค่ามากจะแสดงค่าสเปรดจำนวนมากในชุดที่นำเสนอพร้อมกับค่าเฉลี่ยของชุด ค่าเล็กน้อยแสดงว่าค่าในชุดจัดกลุ่มอยู่รอบค่ากลาง

ตัวอย่างเช่น เรามีชุดตัวเลขสามชุด: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) และ (6, 6, 8, 8) ทั้งสามชุดมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 7 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 7, 5 และ 1 ตามลำดับ ชุดสุดท้ายมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเล็กน้อยเนื่องจากค่าในชุดถูกจัดกลุ่มตามค่าเฉลี่ย ชุดแรกมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ใหญ่ที่สุด - ค่าภายในชุดแตกต่างจากค่าเฉลี่ยอย่างมาก

โดยทั่วไปแล้ว ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานถือได้ว่าเป็นการวัดความไม่แน่นอน ตัวอย่างเช่น ในวิชาฟิสิกส์ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้ในการระบุข้อผิดพลาดของชุดการวัดปริมาณบางค่าที่ต่อเนื่องกัน ค่านี้มีความสำคัญมากในการพิจารณาความน่าเชื่อถือของปรากฏการณ์ภายใต้การศึกษาเมื่อเปรียบเทียบกับค่าที่ทำนายโดยทฤษฎี: หากค่าเฉลี่ยของการวัดแตกต่างอย่างมากจากค่าที่ทำนายโดยทฤษฎี (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานขนาดใหญ่) ดังนั้นควรตรวจสอบค่าที่ได้รับหรือวิธีการรับอีกครั้ง

การใช้งานจริง

ในทางปฏิบัติ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานช่วยให้คุณสามารถกำหนดได้ว่าค่าในชุดอาจแตกต่างจากค่าเฉลี่ยมากน้อยเพียงใด

ภูมิอากาศ

สมมติว่ามีสองเมืองที่มีอุณหภูมิสูงสุดเฉลี่ยต่อวันเท่ากัน แต่เมืองหนึ่งตั้งอยู่บนชายฝั่งและอีกเมืองหนึ่งอยู่บนบก เป็นที่ทราบกันดีว่าเมืองต่างๆ ที่ตั้งอยู่บนชายฝั่งมีอุณหภูมิสูงสุดในเวลากลางวันที่แตกต่างกันหลายประการ ซึ่งต่ำกว่าเมืองที่ตั้งอยู่ในแผ่นดิน ดังนั้น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของอุณหภูมิสูงสุดรายวันสำหรับเมืองชายฝั่งทะเลจะน้อยกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของเมืองที่สอง แม้ว่าค่าเฉลี่ยของค่านี้จะเท่ากันก็ตาม ซึ่งในทางปฏิบัติหมายความว่าความน่าจะเป็นที่อุณหภูมิอากาศสูงสุดบน วันใดวันหนึ่งของปีจะสูงกว่าแตกต่างจากค่าเฉลี่ย ซึ่งสูงกว่าสำหรับเมืองที่ตั้งอยู่ในแผ่นดิน

กีฬา

สมมติว่ามีทีมฟุตบอลหลายทีมที่จัดอันดับตามพารามิเตอร์บางชุด เช่น จำนวนประตูที่ทำได้และเสียโอกาสทำประตู เป็นต้น มีแนวโน้มว่าทีมที่ดีที่สุดในกลุ่มนี้จะมีมูลค่าที่ดีกว่า ​​บนพารามิเตอร์เพิ่มเติม ยิ่งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของทีมสำหรับแต่ละพารามิเตอร์ที่นำเสนอน้อยเท่าใด ผลลัพธ์ของทีมก็จะยิ่งคาดเดาได้มากขึ้นเท่านั้น ทีมดังกล่าวจะมีความสมดุล ในทางกลับกัน ทีมที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสูงนั้นยากที่จะคาดเดาผลลัพธ์ ซึ่งในทางกลับกัน อธิบายได้จากความไม่สมดุล เช่น การป้องกันที่แข็งแกร่งแต่การโจมตีที่อ่อนแอ

การใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของพารามิเตอร์ทีมทำให้สามารถทำนายผลการแข่งขันระหว่างสองทีมได้ในระดับหนึ่งหรืออย่างอื่น ประเมินจุดแข็งและจุดอ่อนของทีม และดังนั้นวิธีการต่อสู้ที่เลือก

การวิเคราะห์ทางเทคนิค

ดูสิ่งนี้ด้วย

วรรณกรรม

* โบโรวิคอฟ, วี.สถิติ. ศิลปะการวิเคราะห์ข้อมูลบนคอมพิวเตอร์: สำหรับมืออาชีพ / V. Borovikov - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก. : ปีเตอร์, 2546. - 688 น. - ไอ 5-272-00078-1.

นักคณิตศาสตร์และนักสถิติที่ชาญฉลาดได้คิดค้นตัวบ่งชี้ที่น่าเชื่อถือมากขึ้น แม้ว่าจะมีจุดประสงค์ที่แตกต่างกันเล็กน้อยก็ตาม ค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ย. ตัวบ่งชี้นี้เป็นการระบุลักษณะการวัดการกระจายตัวของค่าของชุดข้อมูลรอบค่าเฉลี่ย

ในการแสดงการวัดการกระจายของข้อมูล คุณต้องตัดสินใจก่อนว่าจะคำนวณการกระจายนี้ว่าใด ซึ่งโดยปกติจะเป็นค่าเฉลี่ย ถัดไปคุณต้องคำนวณว่าค่าของชุดข้อมูลที่วิเคราะห์นั้นอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยมากน้อยเพียงใด เห็นได้ชัดว่าแต่ละค่าสอดคล้องกับค่าเบี่ยงเบนที่แน่นอน แต่เราสนใจในการประเมินโดยรวมซึ่งครอบคลุมประชากรทั้งหมด ดังนั้นค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยจึงคำนวณโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตปกติ แต่! แต่เพื่อที่จะคำนวณค่าเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนนั้น จะต้องบวกเข้าด้วยกันก่อน และถ้าเราบวกจำนวนบวกและลบ พวกมันจะหักล้างกัน และผลรวมของพวกมันจะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ การเบี่ยงเบนทั้งหมดจะถูกนำมาใช้แบบโมดูโล กล่าวคือ จำนวนลบทั้งหมดจะกลายเป็นบวก ตอนนี้ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยจะแสดงการวัดโดยทั่วไปของการแพร่กระจายของค่า เป็นผลให้ค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ยจะถูกคำนวณโดยใช้สูตร:

ก– ค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ย

x– ตัวบ่งชี้ที่วิเคราะห์ โดยมีขีดด้านบน – ค่าเฉลี่ยของตัวบ่งชี้

n– จำนวนค่าในชุดข้อมูลที่วิเคราะห์

ฉันหวังว่าตัวดำเนินการรวมจะไม่ทำให้ใครกลัว

ค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ยที่คำนวณโดยใช้สูตรที่ระบุสะท้อนถึงค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์โดยเฉลี่ยจากค่าเฉลี่ยสำหรับประชากรที่กำหนด

ในภาพเส้นสีแดงคือค่าเฉลี่ย การเบี่ยงเบนของการสังเกตแต่ละครั้งจากค่าเฉลี่ยจะแสดงด้วยลูกศรเล็กๆ เป็นแบบโมดูโลและสรุปผล จากนั้นทุกอย่างจะถูกหารด้วยจำนวนค่า

เพื่อให้ภาพสมบูรณ์ เราต้องยกตัวอย่าง สมมติว่ามีบริษัทหนึ่งที่ผลิตใบตัดสำหรับพลั่ว การตัดแต่ละครั้งควรมีความยาว 1.5 เมตร แต่ที่สำคัญกว่านั้นคือทั้งหมดควรเท่ากันหรือบวกหรือลบ 5 ซม. เป็นอย่างน้อย อย่างไรก็ตาม คนงานที่ไม่ระมัดระวังจะตัดออก 1.2 ม. หรือ 1.8 ม. ผู้อยู่อาศัยในฤดูร้อนไม่พอใจ ผู้อำนวยการของบริษัทตัดสินใจทำการวิเคราะห์ทางสถิติเกี่ยวกับความยาวของการตัด ฉันเลือกชิ้นส่วน 10 ชิ้นแล้ววัดความยาว หาค่าเฉลี่ย และคำนวณค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นโดยเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยกลายเป็นเพียงสิ่งที่จำเป็น - 1.5 ม. แต่ค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ยอยู่ที่ 0.16 ม. ปรากฎว่าการตัดแต่ละครั้งยาวหรือสั้นกว่าที่ต้องการโดยเฉลี่ย 16 ซม. มีบางอย่างที่จะพูดคุยเกี่ยวกับ คนงาน อันที่จริง ฉันไม่เคยเห็นการใช้ตัวบ่งชี้นี้จริง ๆ เลย ดังนั้นฉันจึงคิดตัวอย่างขึ้นมาเอง อย่างไรก็ตาม มีตัวบ่งชี้ดังกล่าวในสถิติ

การกระจายตัว

เช่นเดียวกับค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นโดยเฉลี่ย ความแปรปรวนยังสะท้อนถึงขอบเขตของการแพร่กระจายของข้อมูลรอบๆ ค่าเฉลี่ยอีกด้วย

สูตรการคำนวณความแปรปรวนมีลักษณะดังนี้:

(สำหรับอนุกรมรูปแบบ (ผลต่างถ่วงน้ำหนัก))

(สำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม (ความแปรปรวนอย่างง่าย))

โดยที่: σ 2 – การกระจายตัว สี– เราวิเคราะห์ตัวบ่งชี้ sq (ค่าของคุณลักษณะ), – ค่าเฉลี่ยของตัวบ่งชี้, f i – จำนวนค่าในชุดข้อมูลที่วิเคราะห์

การกระจายตัวคือกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบน

ขั้นแรกให้คำนวณค่าเฉลี่ย จากนั้นนำความแตกต่างระหว่างค่าดั้งเดิมและค่าเฉลี่ยแต่ละค่า ยกกำลังสอง คูณด้วยความถี่ของค่าแอตทริบิวต์ที่เกี่ยวข้อง เพิ่มแล้วหารด้วยจำนวนค่าในประชากร

อย่างไรก็ตาม ในรูปแบบบริสุทธิ์ เช่น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือดัชนี จะไม่มีการใช้การกระจายตัว ค่อนข้างเป็นตัวบ่งชี้เสริมและระดับกลางที่ใช้สำหรับการวิเคราะห์ทางสถิติประเภทอื่นๆ

วิธีง่ายๆ ในการคำนวณความแปรปรวน

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

หากต้องการใช้ความแปรปรวนในการวิเคราะห์ข้อมูล จะต้องหารากที่สองของความแปรปรวน ปรากฎสิ่งที่เรียกว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน.

อย่างไรก็ตาม ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเรียกอีกอย่างว่าซิกมา - จากอักษรกรีกที่แสดงถึงค่าดังกล่าว

แน่นอนว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานยังเป็นตัวกำหนดลักษณะการวัดการกระจายตัวของข้อมูล แต่ตอนนี้ (ไม่เหมือนกับความแปรปรวน) สามารถนำมาเปรียบเทียบกับข้อมูลต้นฉบับได้ ตามกฎแล้ว การวัดรากกำลังสองในสถิติจะให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำมากกว่าการวัดเชิงเส้น ดังนั้น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจึงเป็นการวัดการกระจายตัวของข้อมูลที่แม่นยำมากกว่าค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยเชิงเส้น

เนื้อหาจากวิกิพีเดีย - สารานุกรมเสรี

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(คำพ้องความหมาย: ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน, ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน, ส่วนเบี่ยงเบนกำลังสอง; คำที่เกี่ยวข้อง: ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน, สเปรดมาตรฐาน) - ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติ ตัวบ่งชี้ที่พบบ่อยที่สุดของการกระจายตัวของค่าของตัวแปรสุ่มที่สัมพันธ์กับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ด้วยอาร์เรย์ที่จำกัดของตัวอย่างค่า แทนที่จะใช้ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ จะใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของชุดตัวอย่าง

ข้อมูลพื้นฐาน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานวัดเป็นหน่วยของตัวแปรสุ่ม และใช้ในการคำนวณค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยเลขคณิต ในการสร้างช่วงความเชื่อมั่น ในการทดสอบสมมติฐานทางสถิติ และในการวัดความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างตัวแปรสุ่ม กำหนดให้เป็นรากที่สองของความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน:

$\backslash sigma=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar(x)\backslash right)^2)$

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(การประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม xสัมพันธ์กับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์โดยอิงจากการประมาณค่าความแปรปรวนที่เป็นกลาง) $ส$:

$s=\backslash sqrt(\backslash frac(n)(n-1)\backslash sigma^2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n-1)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar\; (x)\backslash ขวา)^2);$

กฎสามซิกมา

กฎสามซิกมา ($3\backslash ซิกมา$) - ค่าเกือบทั้งหมดของตัวแปรสุ่มแบบกระจายปกติจะอยู่ในช่วงเวลา $\backslash left(\backslash bar(x)-3\backslash sigma;\backslash bar(x)+3\backslash sigma\backslash right)$. เข้มงวดมากขึ้น - ด้วยความน่าจะเป็นประมาณ 0.9973 ค่าของตัวแปรสุ่มแบบกระจายปกติจะอยู่ในช่วงเวลาที่ระบุ (โดยมีเงื่อนไขว่าค่า $\backslash บาร์(x)$จริง และไม่ได้รับจากการประมวลผลตัวอย่าง)

ถ้าเห็นคุณค่าที่แท้จริง $\backslash บาร์(x)$ไม่รู้จัก ก็ไม่ควรใช้ $\backslash ซิกม่า$, ก ส. ดังนั้นกฎสามซิกมาจึงเปลี่ยนเป็นกฎสามซิกมา ส .

การตีความค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่มากขึ้นจะแสดงค่าสเปรดที่มากขึ้นในชุดที่นำเสนอพร้อมกับค่าเฉลี่ยของชุด ค่าที่น้อยกว่าแสดงว่าค่าในชุดถูกจัดกลุ่มตามค่าเฉลี่ย

ตัวอย่างเช่น เรามีชุดตัวเลขสามชุด: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) และ (6, 6, 8, 8) ทั้งสามชุดมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 7 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 7, 5 และ 1 ตามลำดับ ชุดสุดท้ายมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเล็กน้อยเนื่องจากค่าในชุดถูกจัดกลุ่มตามค่าเฉลี่ย ชุดแรกมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ใหญ่ที่สุด - ค่าภายในชุดแตกต่างจากค่าเฉลี่ยอย่างมาก

โดยทั่วไปแล้ว ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานถือได้ว่าเป็นการวัดความไม่แน่นอน ตัวอย่างเช่น ในวิชาฟิสิกส์ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้ในการระบุข้อผิดพลาดของชุดการวัดปริมาณบางค่าที่ต่อเนื่องกัน ค่านี้มีความสำคัญมากในการพิจารณาความน่าเชื่อถือของปรากฏการณ์ภายใต้การศึกษาเมื่อเปรียบเทียบกับค่าที่ทำนายโดยทฤษฎี: หากค่าเฉลี่ยของการวัดแตกต่างอย่างมากจากค่าที่ทำนายโดยทฤษฎี (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานขนาดใหญ่) ดังนั้นควรตรวจสอบค่าที่ได้รับหรือวิธีการรับอีกครั้ง

การใช้งานจริง

ในทางปฏิบัติ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานทำให้คุณสามารถประมาณค่าจากชุดหนึ่งที่อาจแตกต่างจากค่าเฉลี่ยได้

เศรษฐศาสตร์และการเงิน

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทนพอร์ตโฟลิโอ $\backslash sigma\; =\backslash sqrt(D[X])$ระบุด้วยความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน

ภูมิอากาศ

สมมติว่ามีสองเมืองที่มีอุณหภูมิสูงสุดเฉลี่ยต่อวันเท่ากัน แต่เมืองหนึ่งตั้งอยู่บนชายฝั่งและอีกเมืองหนึ่งอยู่บนที่ราบ เป็นที่ทราบกันดีว่าเมืองต่างๆ ที่ตั้งอยู่บนชายฝั่งมีอุณหภูมิสูงสุดในเวลากลางวันที่แตกต่างกันหลายประการ ซึ่งต่ำกว่าเมืองที่ตั้งอยู่ในแผ่นดิน ดังนั้น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของอุณหภูมิสูงสุดรายวันสำหรับเมืองชายฝั่งทะเลจะน้อยกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของเมืองที่สอง แม้ว่าค่าเฉลี่ยของค่านี้จะเท่ากันก็ตาม ซึ่งในทางปฏิบัติหมายความว่าความน่าจะเป็นที่อุณหภูมิอากาศสูงสุดบน วันใดวันหนึ่งของปีจะสูงกว่าแตกต่างจากค่าเฉลี่ย ซึ่งสูงกว่าสำหรับเมืองที่ตั้งอยู่ในแผ่นดิน

กีฬา

สมมติว่ามีทีมฟุตบอลหลายทีมที่จัดอันดับตามพารามิเตอร์บางชุด เช่น จำนวนประตูที่ทำได้และเสียโอกาสทำประตู เป็นต้น มีแนวโน้มว่าทีมที่ดีที่สุดในกลุ่มนี้จะมีมูลค่าที่ดีกว่า ​​บนพารามิเตอร์เพิ่มเติม ยิ่งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของทีมสำหรับแต่ละพารามิเตอร์ที่นำเสนอน้อยเท่าใด ผลลัพธ์ของทีมก็จะยิ่งคาดเดาได้มากขึ้นเท่านั้น ทีมดังกล่าวจะมีความสมดุล ในทางกลับกัน ทีมที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสูงนั้นยากที่จะคาดเดาผลลัพธ์ ซึ่งในทางกลับกัน อธิบายได้จากความไม่สมดุล เช่น การป้องกันที่แข็งแกร่งแต่การโจมตีที่อ่อนแอ

การใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของพารามิเตอร์ทีมทำให้สามารถทำนายผลการแข่งขันระหว่างสองทีมได้ในระดับหนึ่งหรืออย่างอื่น ประเมินจุดแข็งและจุดอ่อนของทีม และดังนั้นวิธีการต่อสู้ที่เลือก

ดูสิ่งนี้ด้วย

เขียนบทวิจารณ์เกี่ยวกับบทความ "Root Mean Square Deviation"

วรรณกรรม

• โบโรวิคอฟ วี.สถิติ. ศิลปะการวิเคราะห์ข้อมูลบนคอมพิวเตอร์: สำหรับมืออาชีพ / V. Borovikov - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก. : ปีเตอร์, 2546. - 688 น. - ไอ 5-272-00078-1..

ข้อความที่ตัดตอนมาซึ่งแสดงถึงค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน