มุมที่สอดคล้องกันจะตรง สัญญาณความขนานของเส้นตรงสองเส้น

ให้เส้น c ตัดกับเส้นขนาน a และ b สิ่งนี้สร้างแปดมุม มุมที่เส้นตรงคู่ขนานและเส้นเซแคนต์มักใช้ในปัญหาจนได้รับชื่อพิเศษในเรขาคณิต

มุม 1 และ 3 - แนวตั้ง.อย่างชัดเจน, มุมแนวตั้งเท่ากันนั่นคือ
∠1 = ∠3,
∠2 = ∠4.

แน่นอนว่ามุม 5 และ 7, 6 และ 8 ก็เป็นแนวตั้งเช่นกัน

มุม 1 และ 2 - ที่อยู่ติดกันเรารู้อยู่แล้วว่า ผลรวมของมุมประชิดคือ180º

มุม 3 และ 5 (รวมทั้ง 2 และ 8, 1 และ 7, 4 และ 6) เป็นแบบขวาง มุมกากบาทเท่ากัน
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

มุม 1 และ 6 - ด้านเดียวพวกเขานอนตะแคงข้างหนึ่งของ "โครงสร้าง" ทั้งหมด มุม 4 และ 7 ก็เป็นด้านเดียวเช่นกัน ผลรวมของมุมด้านเดียวคือ 180 °, นั่นคือ
∠1 + ∠6 = 180 °
∠4 + ∠7 = 180 °

มุม 2 และ 6 (เช่นเดียวกับ 3 และ 7, 1 และ 5, 4 และ 8) เรียกว่า ตามลำดับ.

มุมที่สอดคล้องกันมีค่าเท่ากัน, นั่นคือ
∠2 = ∠6,
∠3 = ∠7.

มุม 3 และ 5 (เช่นเดียวกับ 2 และ 8, 1 และ 7, 4 และ 6) เรียกว่า นอนขวาง.

มุมนอนขวางมีค่าเท่ากัน, นั่นคือ
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

เพื่อนำข้อเท็จจริงทั้งหมดเหล่านี้ไปใช้ในการแก้ปัญหาของข้อสอบ คุณต้องเรียนรู้ที่จะเห็นพวกเขาในรูปวาด ตัวอย่างเช่น เมื่อดูสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือสี่เหลี่ยมคางหมู คุณจะเห็นเส้นคู่ขนานและซีแคนต์ เช่นเดียวกับมุมด้านเดียว เมื่อวาดเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราจะเห็นมุมนอนในรูปกากบาท นี่เป็นหนึ่งในขั้นตอนที่ประกอบขึ้นเป็นโซลูชัน

1. เส้นแบ่งครึ่งของมุมป้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งด้านตรงข้ามในอัตราส่วน 3: 4 นับจากยอดของมุมป้าน หาด้านที่ใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมด้านขนานถ้าเส้นรอบรูปเป็น 88

จำได้ว่าเส้นแบ่งครึ่งของมุมคือรังสีที่โผล่ออกมาจากยอดของมุมและแบ่งมุมออกเป็นสองส่วน

ให้ BM เป็นตัวแบ่งครึ่งของมุมป้าน B โดยเงื่อนไข เซ็กเมนต์ MD และ AB เท่ากับ 3x และ 4x ตามลำดับ

พิจารณามุม CBM และ VMA เนื่องจาก AD ​​ และ ВС ขนานกัน ВМ จึงเป็นเซแคนต์, มุม CBM และ ВМА จึงวางแนวขวาง เรารู้ว่ามุมที่วางขวางเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยม ABM เป็นหน้าจั่ว ดังนั้น AB = AM = 4x

เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นผลรวมของด้านทั้งหมด นั่นคือ
7x + 7x + 4x + 4x = 88
ดังนั้น x = 4, 7x = 28

2. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานทำมุม26ºและ34ºด้วยสองด้าน หามุมที่ใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ให้คำตอบเป็นองศา

วาดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและเส้นทแยงมุมของมัน เมื่อสังเกตมุมนอนกากบาทและมุมด้านเดียวในภาพวาด คุณจะได้คำตอบอย่างง่ายดาย: 120º

3. อะไรคือมุมที่ใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วถ้ารู้ว่าความแตกต่างระหว่างมุมตรงข้ามเท่ากับ50º? ให้คำตอบเป็นองศา

เรารู้ว่า หน้าจั่ว(หรือหน้าจั่ว) เรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งด้านเท่ากัน ดังนั้น มุมที่ฐานบนจึงเท่ากัน เช่นเดียวกับมุมที่ฐานล่าง

มาดูภาพวาดกัน ตามเงื่อนไข α - β = 50 ° นั่นคือ α = β + 50 °

มุม α และ β มีด้านเดียวที่มีเส้นตรงขนานกันและซีแคนต์ ดังนั้น
α + β = 180 °

ดังนั้น 2β + 50 ° = 180 °
β = 65 ° จากนั้น α = 115 °

คำตอบ: 115.

EGE-การศึกษา »วัสดุวิธีการ» เรขาคณิต: จากศูนย์ถึง C4 »ความสูง ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยม

สัญญาณความขนานของเส้นตรงสองเส้น

ทฤษฎีบทที่ 1 ถ้าอยู่ที่จุดตัดของเส้นตัดสองเส้น:

มุมตัดขวางเท่ากันหรือ

มุมที่สอดคล้องกันมีค่าเท่ากันหรือ

ผลรวมของมุมด้านเดียวคือ 180 ° จากนั้น

เส้นตรงขนานกัน(รูปที่ 1).

การพิสูจน์. เราจำกัดตัวเองไว้ที่หลักฐานของกรณีที่ 1

สมมติว่าที่จุดตัดของเส้น a และ b ตัด AB มุมตัดกันจะเท่ากัน ตัวอย่างเช่น ∠ 4 = ∠ 6 ให้เราพิสูจน์ว่า || NS.

สมมุติว่าเส้น a และ b ไม่ขนานกัน จากนั้นพวกมันจะตัดกันที่จุด M ดังนั้นมุมใดมุมหนึ่งที่ 4 หรือ 6 จะเป็นมุมด้านนอกของสามเหลี่ยม ABM เพื่อความชัดเจน ∠ 4 เป็นมุมด้านนอกของสามเหลี่ยม ABM และ ∠ 6 - ด้านใน จากทฤษฎีบทที่มุมด้านนอกของรูปสามเหลี่ยม ∠ 4 มากกว่า ∠ 6 และสิ่งนี้ขัดแย้งกับเงื่อนไข ซึ่งหมายความว่าเส้น a และ 6 ไม่สามารถตัดกันได้ จึงขนานกัน

ข้อพิสูจน์ 1 เส้นตรงสองเส้นที่ต่างกันในระนาบตั้งฉากกับเส้นตรงเดียวกันนั้นขนานกัน(รูปที่ 2).

ความคิดเห็น วิธีที่เราเพิ่งพิสูจน์กรณีที่ 1 ของทฤษฎีบท 1 เรียกว่าความขัดแย้งหรือการลดความไร้สาระ วิธีนี้ได้รับชื่อแรกเพราะในช่วงเริ่มต้นของการให้เหตุผล มีการตั้งสมมติฐานที่ตรงกันข้าม (ตรงกันข้าม) กับสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์ มันถูกเรียกว่าการลดความไร้สาระเนื่องจากการโต้เถียงบนพื้นฐานของสมมติฐานที่ทำขึ้นเราได้ข้อสรุปที่ไร้สาระ (สู่ความไร้สาระ) การรับข้อสรุปดังกล่าวบังคับให้เราปฏิเสธสมมติฐานที่ทำขึ้นในตอนเริ่มต้นและยอมรับข้อสันนิษฐานที่จำเป็นต้องพิสูจน์

วัตถุประสงค์ 1สร้างเส้นตรงผ่านจุดที่กำหนด M และขนานกับเส้นตรงที่กำหนด a ไม่ผ่าน M

สารละลาย. ลากผ่านจุด M เป็นเส้นตรง p ตั้งฉากกับเส้นตรง a (รูปที่ 3)

จากนั้นเราวาดเส้นตรง b ผ่านจุด M ตั้งฉากกับเส้นตรง p เส้น b ขนานกับเส้น a ตามผลที่ตามมาของทฤษฎีบท 1

ข้อสรุปที่สำคัญดังต่อไปนี้จากปัญหาที่พิจารณา:
ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงที่กำหนด คุณสามารถลากเส้นตรงขนานกับเส้นที่กำหนดได้เสมอ.

คุณสมบัติหลักของเส้นคู่ขนานมีดังนี้

สัจพจน์ของเส้นขนาน ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงที่กำหนดจะผ่านเพียงเส้นเดียวขนานกับเส้นที่กำหนด

พิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของเส้นคู่ขนานที่สืบเนื่องมาจากสัจพจน์นี้

1) หากเส้นหนึ่งตัดกับเส้นคู่ขนานเส้นใดเส้นหนึ่ง ก็จะตัดกับอีกเส้นหนึ่งด้วย (รูปที่ 4)

2) หากเส้นสองเส้นขนานกันกับเส้นที่สาม แสดงว่าขนานกัน (รูปที่ 5)

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ก็เป็นจริงเช่นกัน

ทฤษฎีบทที่ 2 หากเส้นคู่ขนานสองเส้นตัดกันด้วยซีแคนต์ ดังนั้น:

มุมกากบาทเท่ากัน

มุมที่สอดคล้องกันมีค่าเท่ากัน

ผลรวมของมุมด้านเดียวคือ 180 °

ข้อพิสูจน์ 2 หากเส้นตั้งฉากกับเส้นขนานหนึ่งในสองเส้น เส้นนั้นก็จะตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่ง(ดูรูปที่ 2).

ความคิดเห็น ทฤษฎีบทที่ 2 เรียกว่า คอนเวิร์สของทฤษฎีบทที่ 1 บทสรุปของทฤษฎีบทที่ 1 คือเงื่อนไขของทฤษฎีบทที่ 2 และเงื่อนไขของทฤษฎีบทที่ 1 ก็คือบทสรุปของทฤษฎีบทที่ 2 ไม่ใช่ทุกทฤษฎีบทที่มีการพูดคุย กล่าวคือ ถ้าทฤษฎีบทนี้เป็นจริง บทสนทนาของทฤษฎีบทอาจไม่เป็นจริง

ให้เราอธิบายโดยใช้ตัวอย่างทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมแนวตั้ง ทฤษฎีบทนี้สามารถกำหนดได้ดังนี้ ถ้ามุมสองมุมเป็นแนวตั้ง มุมทั้งสองจะเท่ากัน ทฤษฎีบทที่สนทนากับมันจะเป็นดังนี้: ถ้ามุมสองมุมเท่ากันก็จะเป็นแนวตั้ง และแน่นอนว่าสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง มุมสองมุมเท่ากันไม่จำเป็นต้องเป็นแนวตั้งเลย

ตัวอย่างที่ 1เส้นขนานสองเส้นตัดกันด้วยเส้นที่สาม เป็นที่ทราบกันดีว่าความแตกต่างระหว่างมุมด้านเดียวภายในสองมุมคือ 30 ° หามุมเหล่านี้

สารละลาย. ให้รูปที่ 6 ตรงตามเงื่อนไข

คำถามที่ 1.มุมใดเรียกว่าประชิด?
ตอบ.มุมสองมุมจะเรียกว่าประชิดถ้ามีด้านหนึ่งเหมือนกัน และด้านอื่นๆ ของมุมเหล่านี้เป็นเส้นแบ่งครึ่งเพิ่มเติม
ในรูปที่ 31 มุม (a 1 b) และ (a 2 b) อยู่ติดกัน พวกมันมีด้าน b ร่วมกัน และด้าน a 1 และ 2 เป็นครึ่งเส้นเพิ่มเติม

คำถามที่ 2พิสูจน์ว่าผลรวมของมุมประชิดคือ 180 °
ตอบ. ทฤษฎีบท 2.1.ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 180 °
การพิสูจน์.ให้มุม (a 1 b) และมุม (a 2 b) เป็นมุมที่อยู่ติดกันที่กำหนด (ดูรูปที่ 31) Ray b ผ่านระหว่างด้าน a 1 และ a 2 ของมุมที่พัฒนาแล้ว ดังนั้น ผลรวมของมุม (a 1 b) และ (a 2 b) เท่ากับมุมขยาย นั่นคือ 180 ° คิวอีดี

คำถามที่ 3พิสูจน์ว่าถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมที่อยู่ประชิดมุมทั้งสองก็เท่ากัน
ตอบ.

จากทฤษฎีบท 2.1 มันตามมาว่าถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมที่อยู่ประชิดมุมทั้งสองจะเท่ากัน
สมมุติว่ามุม (a 1 b) และ (c 1 d) เท่ากัน เราต้องพิสูจน์ว่ามุม (a 2 b) และ (c 2 d) เท่ากัน
ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 180 ° จากนี้ไป a 1 b + a 2 b = 180 ° และ c 1 d + c 2 d = 180 ° ดังนั้น a 2 b = 180 ° - a 1 b และ c 2 d = 180 ° - c 1 d เนื่องจากมุม (a 1 b) และ (c 1 d) เท่ากัน เราจะได้ว่า a 2 b = 180 ° - a 1 b = c 2 d โดยคุณสมบัติของทรานสซิทิฟของเครื่องหมายเท่ากับ a 2 b = c 2 d. คิวอีดี

คำถามที่ 4มุมใดที่เรียกว่าขวา (เฉียบพลัน, ป้าน)?
ตอบ.มุมเท่ากับ 90 °เรียกว่ามุมฉาก
มุมที่น้อยกว่า 90 °เรียกว่ามุมแหลม
มุมที่มากกว่า 90 °และน้อยกว่า 180 °เรียกว่ามุมป้าน

คำถามที่ 5.พิสูจน์ว่ามุมประชิดมุมฉากเป็นมุมฉาก
ตอบ.จากทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมประชิด มุมที่อยู่ประชิดมุมฉากคือมุมฉาก: x + 90 ° = 180 °, x = 180 ° - 90 °, x = 90 °

คำถามที่ 6มุมใดที่เรียกว่าแนวตั้ง?
ตอบ.สองมุมเรียกว่าแนวตั้งถ้าด้านหนึ่งของมุมหนึ่งเป็นด้านตรงครึ่งทางของอีกด้านหนึ่ง

คำถามที่ 7พิสูจน์ว่ามุมแนวตั้งเท่ากัน
ตอบ. ทฤษฎีบท 2.2. มุมแนวตั้งเท่ากัน
การพิสูจน์.ให้ (a 1 b 1) และ (a 2 b 2) เป็นมุมแนวตั้งที่กำหนด (รูปที่ 34) มุม (a 1 b 2) อยู่ติดกับมุม (a 1 b 1) และกับมุม (a 2 b 2) ดังนั้น โดยทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมที่อยู่ติดกัน เราสรุปได้ว่าแต่ละมุม (a 1 b 1) และ (a 2 b 2) เติมเต็มมุม (a 1 b 2) ถึง 180 ° นั่นคือ มุม (a 1 b 1) และ (a 2 b 2) เท่ากัน คิวอีดี

คำถามที่ 8พิสูจน์ว่าถ้าตรงจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นตรงมุมใดมุมหนึ่งเป็นเส้นตรง อีกสามมุมที่เหลือก็เป็นเส้นตรงเช่นกัน
ตอบ.สมมติว่าเส้น AB และ CD มาบรรจบกันที่จุด O สมมติว่ามุม AOD เท่ากับ 90 ° เนื่องจากผลรวมของมุมประชิดคือ 180 ° เราจึงได้ AOC = 180 ° -AOD = 180 ° - 90 ° = 90 ° มุม COB เป็นแนวตั้งกับมุม AOD จึงมีค่าเท่ากัน นั่นคือมุม COB = 90 ° COA อยู่ในแนวตั้งกับ BOD ดังนั้นพวกมันจึงเท่ากัน นั่นคือ มุม BOD = 90 ° ดังนั้นมุมทั้งหมดจึงเท่ากับ 90 °นั่นคือทั้งหมดถูกต้อง คิวอีดี

คำถามที่ 9เส้นตรงใดเรียกว่าเส้นตั้งฉาก เครื่องหมายใดใช้แสดงถึงความตั้งฉากของเส้นตรง
ตอบ.เส้นตรงสองเส้นเรียกว่าตั้งฉากถ้าตัดกันเป็นมุมฉาก
ความตั้งฉากของเส้นแสดงโดย \ (\ perp \) รายการ \ (a \ perp b \) อ่านว่า: "เส้น a ตั้งฉากกับบรรทัด b"

คำถามที่ 10.พิสูจน์ว่าคุณสามารถวาดเส้นตรงตั้งฉากกับเส้นตรงจุดใดก็ได้และมีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น
ตอบ. ทฤษฎีบท 2.3คุณสามารถวาดเส้นตรงในแนวตั้งฉากกับเส้นตรงแต่ละเส้นได้ และมีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น
การพิสูจน์.ให้ a เป็นเส้นที่กำหนด และ A เป็นจุดที่กำหนดบนเส้นนั้น ให้เราแทนด้วย 1 ของครึ่งเส้นตรง a ที่มีจุดเริ่มต้น A (รูปที่ 38) ให้เรากันมุม (a 1 b 1) เท่ากับ 90 °จากครึ่งเส้น a 1 จากนั้นเส้นตรงที่มีรังสี b 1 จะตั้งฉากกับเส้นตรง a

สมมุติว่ามีอีกเส้นหนึ่งผ่านจุด A และตั้งฉากกับเส้น A ด้วย เราแสดงด้วย c 1 ครึ่งเสนของเส้นนี้ซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกับรังสี b 1
มุม (a 1 b 1) และ (a 1 c 1) ซึ่งแต่ละอันมีค่าเท่ากับ 90 ° ถูกพล็อตในระนาบเดียวจากครึ่งบรรทัด a 1 แต่จากครึ่งเส้น a 1 ถึงครึ่งระนาบนี้ สามารถเลื่อนได้เพียงมุมเดียวเท่ากับ 90 ° ดังนั้นจึงไม่ควรมีเส้นตรงอื่นผ่านจุด A และตั้งฉากกับเส้นตรง a ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำถามที่ 11เส้นตั้งฉากคืออะไร?
ตอบ.ตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนดคือส่วนของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดซึ่งมีจุดสิ้นสุดจุดตัดของมันด้านหนึ่ง ส่วนท้ายนี้เรียกว่า พื้นฐานตั้งฉาก

คำถามที่ 12.อธิบายว่าข้อพิสูจน์ที่ตรงกันข้ามคืออะไร
ตอบ.วิธีการพิสูจน์ที่เราใช้ในทฤษฎีบท 2.3 เรียกว่าการพิสูจน์โดยความขัดแย้ง วิธีการพิสูจน์นี้คือ ขั้นแรกเราจะตั้งสมมติฐานตรงข้ามกับที่ทฤษฎีบทกล่าวอ้าง จากนั้น โดยการให้เหตุผล โดยอาศัยสัจพจน์และทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว เราได้ข้อสรุปที่ขัดแย้งกับเงื่อนไขของทฤษฎีบท หรือสัจพจน์อย่างใดอย่างหนึ่ง หรือทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้ บนพื้นฐานนี้ เราสรุปได้ว่าสมมติฐานของเราไม่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าข้อความของทฤษฎีบทนี้เป็นความจริง

คำถามที่ 13สิ่งที่เรียกว่า bisector ของมุม?
ตอบ.เส้นแบ่งครึ่งของมุมคือรังสีที่เล็ดลอดออกมาจากปลายมุม ผ่านระหว่างด้านข้างและแบ่งมุมออกเป็นสองส่วน