สูตรสำหรับพื้นที่ตัดขวางของวงกลม พื้นที่ของวงกลม: สูตร

คำแนะนำ

ใช้ Pi เพื่อค้นหารัศมีตามพื้นที่ที่ทราบของวงกลม ค่าคงที่นี้กำหนดสัดส่วนระหว่างเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมและความยาวของเส้นขอบ (วงกลม) ความยาวของวงกลมคือพื้นที่สูงสุดของระนาบที่สามารถครอบคลุมได้และเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับสองรัศมีดังนั้นพื้นที่ที่มีรัศมีจึงมีความสัมพันธ์ซึ่งกันและกันด้วยสัดส่วนที่สามารถแสดงผ่าน หมายเลข Pi. ค่าคงที่ (π) นี้ถูกกำหนดให้เป็นพื้นที่ (S) และรัศมีกำลังสอง (r) ของวงกลม จากนี้รัศมีสามารถแสดงเป็นรากที่สองของผลหารของการหารพื้นที่ด้วยจำนวน Pi: r \u003d √ (S / π)

เป็นเวลานาน Erastophenes มุ่งหน้าไปที่ Library of Alexandria ซึ่งเป็นห้องสมุดที่มีชื่อเสียงที่สุดในโลกยุคโบราณ นอกเหนือจากการคำนวณขนาดของโลกของเราแล้วเขายังได้สร้างสิ่งประดิษฐ์และการค้นพบที่สำคัญหลายอย่าง เขาคิดค้นวิธีง่ายๆในการกำหนดจำนวนเฉพาะซึ่งปัจจุบันเรียกว่า "ตะแกรงแห่งเอราสโตเฟน"

เขาวาด "แผนที่โลก" ซึ่งแสดงให้เห็นทุกส่วนของโลกที่ชาวกรีกโบราณรู้จักในเวลานั้น แผนที่ถือเป็นหนึ่งในแผนที่ที่ดีที่สุดในสมัยนั้น พัฒนาระบบลองจิจูดและละติจูดและปฏิทินที่รวมปีอธิกสุรทิน เป็นผู้คิดค้น Armillary Sphere ซึ่งเป็นอุปกรณ์เชิงกลที่นักดาราศาสตร์รุ่นแรกใช้เพื่อสาธิตและทำนายการเคลื่อนที่ของดวงดาวบนท้องฟ้า นอกจากนี้เขายังรวบรวมแคตตาล็อกดาวฤกษ์ที่มีดาว 675 ดวง

แหล่งที่มา:

• นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีก Eratosthenes of Cyrene ได้คำนวณรัศมีของโลกเป็นครั้งแรกในโลก
• เส้นรอบวง "การคำนวณของโลก" ของ Eratosthenes
• เอราทอสเทเนส

เป็นรูปแบนที่เป็นเซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่า ๆ กัน พวกมันทั้งหมดอยู่ในระยะทางเท่ากันและก่อตัวเป็นวงกลม

เรียกว่าส่วนที่เชื่อมต่อศูนย์กลางของวงกลมกับจุดของวงกลม รัศมี... ในแต่ละวงกลมรัศมีทั้งหมดจะเท่ากัน เรียกว่าเส้นตรงที่เชื่อมสองจุดบนวงกลมและผ่านจุดศูนย์กลาง เส้นผ่านศูนย์กลาง... สูตรสำหรับพื้นที่ของวงกลมคำนวณโดยใช้ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ - จำนวนπ ..

มันน่าสนใจ : หมายเลขπ. คืออัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางและคงที่ ค่าπ \u003d 3.1415926 ถูกนำไปใช้หลังจากผลงานของ L. Euler ในปี 1737

พื้นที่ของวงกลมสามารถคำนวณได้โดยใช้ค่าคงที่π และรัศมีของวงกลม สูตรสำหรับพื้นที่ของวงกลมผ่านรัศมีมีลักษณะดังนี้:

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของวงกลมผ่านรัศมี ให้วงกลมที่มีรัศมี R \u003d 4 ซม. หาพื้นที่ของรูป

พื้นที่เส้นรอบวงของเราคือ 50.24 ตารางเมตร ซม.

มีสูตร พื้นที่ของวงกลมผ่านเส้นผ่านศูนย์กลาง... นอกจากนี้ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณพารามิเตอร์ที่ต้องการ สูตรเหล่านี้สามารถใช้เพื่อค้นหา

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของวงกลมผ่านเส้นผ่านศูนย์กลางโดยรู้รัศมี ให้วงกลมที่มีรัศมี R \u003d 4 ซม. เริ่มต้นด้วยการหาเส้นผ่านศูนย์กลางซึ่งตามที่คุณทราบคือสองเท่าของรัศมี


ตอนนี้เราจะใช้ข้อมูลสำหรับตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของวงกลมโดยใช้สูตรด้านบน:

อย่างที่คุณเห็นเราได้รับคำตอบเช่นเดียวกับในการคำนวณครั้งแรก

ความรู้เกี่ยวกับสูตรมาตรฐานสำหรับการคำนวณพื้นที่ของวงกลมจะช่วยในอนาคตเพื่อกำหนดได้ง่าย พื้นที่ภาค และง่ายต่อการค้นหาปริมาณที่ขาดหายไป

เรารู้แล้วว่าสูตรสำหรับพื้นที่ของวงกลมคำนวณโดยผลคูณของค่าคงที่πโดยกำลังสองของรัศมีของวงกลม รัศมีสามารถแสดงในรูปของเส้นรอบวงและแทนนิพจน์ในสูตรสำหรับพื้นที่ของวงกลมในแง่ของเส้นรอบวง:
ตอนนี้เราแทนที่ความเท่าเทียมกันนี้ในสูตรสำหรับการคำนวณพื้นที่ของวงกลมและรับสูตรสำหรับการหาพื้นที่ของวงกลมผ่านเส้นรอบวง

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของวงกลมในแง่ของเส้นรอบวง ให้วงกลมที่มีความยาว l \u003d 8 ซม. เราแทนค่าในสูตรที่ได้รับ:

พื้นที่ทั้งหมดของวงกลมจะเท่ากับ 5 ตารางเมตร ซม.

พื้นที่ของวงกลมล้อมรอบสี่เหลี่ยม

มันง่ายมากที่จะหาพื้นที่ของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยม

สิ่งนี้ต้องการเพียงด้านข้างของสี่เหลี่ยมและความรู้เกี่ยวกับสูตรง่ายๆ เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเท่ากับเส้นทแยงมุมของเส้นรอบวง การรู้ด้าน a สามารถพบได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส: จากที่นี่
หลังจากหาเส้นทแยงมุมเราสามารถคำนวณรัศมี:.
จากนั้นเราแทนที่ทุกอย่างเป็นสูตรพื้นฐานสำหรับพื้นที่ของวงกลมที่อธิบายรอบ ๆ สี่เหลี่ยม:

วงกลมคือจุดที่มองเห็นได้หลายจุดซึ่งอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางในระยะเดียวกัน ในการหาพื้นที่คุณต้องรู้ว่ารัศมีเส้นผ่านศูนย์กลางหมายเลขπและเส้นรอบวงคืออะไร

ปริมาณที่เกี่ยวข้องในการคำนวณพื้นที่ของวงกลม

ระยะทางที่ถูก จำกัด โดยจุดศูนย์กลางของวงกลมและจุดใด ๆ ของวงกลมเรียกว่ารัศมีของรูปเรขาคณิตนี้ ความยาวของรัศมีทั้งหมดของวงกลมหนึ่งวงเท่ากัน ส่วนระหว่าง 2 จุดใด ๆ ของวงกลมที่ผ่านจุดศูนย์กลางเรียกว่าเส้นผ่านศูนย์กลาง ความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับความยาวของรัศมีคูณ 2

ในการคำนวณพื้นที่ของวงกลมให้ใช้ค่าของπ ค่านี้จะเท่ากับอัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมและมีค่าคงที่ Π \u003d 3.1415926 เส้นรอบวงคำนวณโดยสูตร L \u003d 2πR

ค้นหาพื้นที่ของวงกลมผ่านรัศมี

ดังนั้นพื้นที่ของวงกลมจึงเท่ากับผลคูณของจำนวนπโดยรัศมีของวงกลมยกกำลัง 2 ตัวอย่างเช่นให้เราใช้ความยาวของรัศมีของวงกลมเท่ากับ 5 ซม. จากนั้นพื้นที่ของวงกลม S จะเป็น 3.14 * 5 ^ 2 \u003d 78.5 ตร.ม. ซม.

พื้นที่ของวงกลมผ่านเส้นผ่านศูนย์กลาง

พื้นที่ของวงกลมยังสามารถคำนวณได้โดยทราบขนาดของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ในกรณีนี้ S \u003d (π / 4) * d ^ 2 โดยที่ d คือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ลองใช้ตัวอย่างเดียวกันโดยรัศมีคือ 5 ซม. จากนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางของมันจะเป็น 5 * 2 \u003d 10 ซม. พื้นที่ของวงกลม S \u003d 3.14 / 4 * 10 ^ 2 \u003d 78.5 ตร.ซม. ผลลัพธ์เท่ากับผลรวมของการคำนวณในตัวอย่างแรกเป็นการยืนยันความถูกต้องของการคำนวณในทั้งสองกรณี

พื้นที่ของวงกลมผ่านเส้นรอบวง

ถ้ารัศมีของวงกลมแสดงในรูปของเส้นรอบวงสูตรจะมีลักษณะดังนี้: R \u003d (L / 2) π เราแทนนิพจน์นี้ในสูตรสำหรับพื้นที่ของวงกลมและด้วยเหตุนี้เราจึงได้ S \u003d (L ^ 2) / 4π ลองพิจารณาตัวอย่างที่เส้นรอบวงเท่ากับ 10 ซม. จากนั้นพื้นที่ของวงกลมคือ S \u003d (10 ^ 2) / 4 * 3.14 \u003d 7.96 ตร.ม. ซม.

พื้นที่ของวงกลมตามความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้

หากสี่เหลี่ยมถูกจารึกเป็นวงกลมความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมจะเท่ากับความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยม เมื่อทราบขนาดของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคุณสามารถหาเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมได้อย่างง่ายดายโดยใช้สูตร: d ^ 2 \u003d 2a ^ 2 กล่าวอีกนัยหนึ่งเส้นผ่านศูนย์กลางกำลัง 2 เท่ากับด้านกำลัง 2 ของกำลังสองคูณ 2

เมื่อคำนวณค่าของความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมแล้วคุณจะพบรัศมีของมันจากนั้นใช้สูตรใดสูตรหนึ่งเพื่อกำหนดพื้นที่ของวงกลม

พื้นที่เซกเตอร์วงกลม

เซกเตอร์เป็นส่วนหนึ่งของวงกลมที่มีรัศมี 2 รัศมีและส่วนโค้งระหว่างพวกเขา ในการหาพื้นที่คุณต้องวัดมุมของเซกเตอร์ หลังจากนั้นคุณต้องสร้างเศษส่วนในตัวเศษซึ่งจะมีค่าของมุมของเซกเตอร์และในตัวส่วน - 360 ในการคำนวณพื้นที่ของเซกเตอร์ค่าที่ได้รับเป็นผลลัพธ์ การหารเศษส่วนจะต้องคูณด้วยพื้นที่ของวงกลมที่คำนวณโดยใช้หนึ่งในสูตรข้างต้น

แวดวงต้องการแนวทางที่ระมัดระวังมากขึ้นและพบได้น้อยกว่าในรายการ B5 ในขณะเดียวกันรูปแบบการแก้ปัญหาทั่วไปยังง่ายกว่าในกรณีของรูปหลายเหลี่ยม (ดูบทเรียน "พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมบนเส้นตารางพิกัด")

สิ่งที่ต้องใช้ในงานดังกล่าวคือการหารัศมีของวงกลม R จากนั้นคุณสามารถคำนวณพื้นที่ของวงกลมโดยใช้สูตร S \u003d πR 2 จากสูตรนี้ก็เช่นกันสำหรับวิธีแก้ปัญหาก็เพียงพอที่จะหา R 2

ในการค้นหาค่าที่ระบุก็เพียงพอที่จะชี้ไปที่วงกลมจุดที่อยู่ตรงจุดตัดของเส้นกริด จากนั้นใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ลองพิจารณาตัวอย่างเฉพาะของการคำนวณรัศมี:

งาน. ค้นหารัศมีของวงกลมทั้งสามที่แสดงในรูป:

มาทำการก่อสร้างเพิ่มเติมในแต่ละแวดวง:

ในแต่ละกรณีจุด B จะถูกเลือกบนวงกลมเพื่อให้อยู่ตรงจุดตัดของเส้นกริด จุด C ในวงกลม 1 และ 3 ทำให้รูปร่างเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก มันยังคงค้นหารัศมี:

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC ในวงกลมแรก ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8

สำหรับวงกลมที่สองทุกอย่างชัดเจน: R \u003d AB \u003d 2

กรณีที่สามคล้ายกับกรณีแรก จากสามเหลี่ยม ABC โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 1 2 + 2 2 \u003d 5

ตอนนี้เรารู้วิธีหารัศมีของวงกลม (หรืออย่างน้อยก็คือสี่เหลี่ยมจัตุรัส) ดังนั้นเราสามารถหาพื้นที่ มีงานที่คุณต้องหาพื้นที่ของเซกเตอร์ไม่ใช่ทั้งวงกลม ในกรณีเช่นนี้มันเป็นเรื่องง่ายที่จะค้นหาว่าส่วนใดของวงกลมนี้คือส่วนใดและจึงหาพื้นที่

งาน. ค้นหาพื้นที่ S ของเซกเตอร์ที่เติม โปรดระบุ S / πในคำตอบของคุณ

เห็นได้ชัดว่าเซกเตอร์เป็นหนึ่งในสี่ของวงกลม ดังนั้น S \u003d 0.25 · S วงกลม

ยังคงหา S ของวงกลม - พื้นที่ของวงกลม ในการทำสิ่งนี้ให้ทำการก่อสร้างเพิ่มเติม:

สามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสเรามี: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8

ตอนนี้เราพบพื้นที่ของวงกลมและเซกเตอร์: S circle \u003d πR 2 \u003d 8π; S \u003d 0.25 S วงกลม \u003d 2π

สุดท้ายค่าที่ต้องการคือ S / π \u003d 2

พื้นที่ส่วนที่ไม่ทราบรัศมี

นี่เป็นปัญหารูปแบบใหม่โดยสิ้นเชิงไม่มีอะไรเหมือนในปี 2553-2554 ตามเงื่อนไขเราได้รับวงกลมของพื้นที่หนึ่ง (คือพื้นที่ไม่ใช่รัศมี!) จากนั้นเซกเตอร์จะถูกเลือกภายในวงกลมนี้ซึ่งเป็นพื้นที่ที่จะพบ

ข่าวดีก็คือปัญหาดังกล่าวเป็นปัญหาที่ง่ายที่สุดในบรรดาปัญหาในตารางที่อยู่ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ นอกจากนี้วงกลมและเซกเตอร์จะถูกวางไว้บนเส้นตารางเสมอ ดังนั้นหากต้องการเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวเพียงแค่ดูภาพ:

ให้วงกลมดั้งเดิมมีพื้นที่ S ของวงกลม \u003d 80 จากนั้นแบ่งออกเป็นสองส่วนโดยมีพื้นที่ S \u003d 40 แต่ละส่วน (ดูขั้นตอนที่ 2) ในทำนองเดียวกันแต่ละเซกเตอร์ "ครึ่ง" เหล่านี้สามารถแบ่งครึ่งอีกครั้ง - เราได้สี่เซกเตอร์โดยมีพื้นที่ S \u003d 20 แต่ละเซกเตอร์ (ดูขั้นตอนที่ 3) ในที่สุดคุณสามารถแบ่งแต่ละภาคออกเป็นสองส่วน - เราได้รับ 8 ภาค "เรื่องที่สนใจ" พื้นที่ของ "เรื่องที่สนใจ" แต่ละรายการจะเป็น S \u003d 10

โปรดทราบ: ไม่มีการแบ่งส่วนปลีกย่อยในปัญหาใด ๆ ของการสอบในวิชาคณิตศาสตร์! ดังนั้นอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหา B-3 จึงมีดังนี้:

1. ตัดวงกลมเดิมออกเป็น 8 ส่วน "เรื่องที่สนใจ" พื้นที่ของแต่ละวงเท่ากับ 1/8 ของพื้นที่ของวงกลมทั้งหมด ตัวอย่างเช่นถ้าโดยเงื่อนไขวงกลมมีพื้นที่ S ของวงกลม \u003d 240 ดังนั้น "ชิ้น" มีพื้นที่ S \u003d 240: 8 \u003d 30;
2. ค้นหาว่ามี "เรื่องที่สนใจ" จำนวนเท่าใดในภาคต้นฉบับซึ่งเป็นพื้นที่ที่คุณต้องการค้นหา ตัวอย่างเช่นถ้าในเซกเตอร์ของเรามี "ชิ้น" 3 ชิ้นที่มีพื้นที่ 30 ดังนั้นพื้นที่ของเซกเตอร์ที่ต้องการคือ S \u003d 3 · 30 \u003d 90 นี่จะเป็นคำตอบ

แค่นั้นแหละ! ปัญหาได้รับการแก้ไขด้วยปากเปล่า หากคุณยังไม่เข้าใจบางอย่างให้ซื้อพิซซ่าแล้วหั่นเป็น 8 ชิ้น ชิ้นส่วนแต่ละชิ้นจะเป็นส่วน "เรื่องที่สนใจ" เดียวกันซึ่งสามารถรวมกันเป็นชิ้นใหญ่ได้

ตอนนี้มาดูตัวอย่างจากข้อสอบทดลอง:

งาน. วงกลมถูกวาดบนกระดาษตาหมากรุกโดยมีพื้นที่ 40 ค้นหาพื้นที่ของรูปที่แรเงา

ดังนั้นพื้นที่ของวงกลมคือ 40 ลองแบ่งมันออกเป็น 8 ภาค - แต่ละภาคมีพื้นที่ S \u003d 40: 5 \u003d 8 เราได้:

เห็นได้ชัดว่าภาคที่เต็มไปประกอบด้วย "เรื่องที่สนใจ" สองภาค ดังนั้นพื้นที่ของมันคือ 2 · 5 \u003d 10 นั่นคือทางออกทั้งหมด!

งาน. วงกลมถูกวาดบนกระดาษทาร์ทันซึ่งมีพื้นที่ 64 หาพื้นที่ของรูปที่แรเงา

แบ่งวงกลมทั้งหมดออกเป็น 8 ส่วนเท่า ๆ กันอีกครั้ง เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ของหนึ่งในนั้นคือสิ่งที่คุณต้องหา ดังนั้นพื้นที่ของมันคือ S \u003d 64: 8 \u003d 8

งาน. วงกลมถูกวาดลงบนกระดาษตาหมากรุกพื้นที่คือ 48 จงหาพื้นที่ของรูปที่แรเงา

แบ่งวงกลมออกเป็น 8 ส่วนเท่า ๆ กันอีกครั้ง พื้นที่ของแต่ละส่วนเท่ากับ S \u003d 48: 8 \u003d 6 มีการวางเซกเตอร์สามส่วนไว้ในเซกเตอร์ที่ต้องการ - "ชิ้นส่วน" (ดูรูป) ดังนั้นพื้นที่ของเซกเตอร์ที่ต้องการคือ 3 6 \u003d 18