แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ - นี่คือระบบความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ สูตร สมการ อสมการ ฯลฯ ที่สะท้อนถึงคุณสมบัติที่สำคัญของวัตถุหรือปรากฏการณ์

ปรากฏการณ์ธรรมชาติทุกอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในความซับซ้อน. ให้เราอธิบายสิ่งนี้ด้วยความช่วยเหลือของตัวอย่างที่นำมาจากหนังสือโดย V.N. Trostnikov "Man and information" (สำนักพิมพ์ "Science", 1970)

ฆราวาสกำหนดปัญหาคณิตศาสตร์ดังนี้: “หินจะตกลงมาจากความสูง 200 เมตรได้นานแค่ไหน?”นักคณิตศาสตร์จะเริ่มสร้างปัญหาในแบบของเขาดังนี้: "เราจะถือว่าหินตกลงไปในความว่างเปล่าและความเร่งของแรงโน้มถ่วงคือ 9.8 เมตรต่อวินาทีต่อวินาที จากนั้น..."

- ให้ฉัน- สามารถพูดว่า "ลูกค้า", - ฉันไม่ชอบความเรียบง่ายนี้ อยากทราบว่าหินจะตกลงมาในสภาพจริงนานแค่ไหน และไม่อยู่ในความว่างเปล่าที่ไม่มีอยู่จริง

- ดี,นักคณิตศาสตร์เห็นด้วย - สมมุติว่าหินมีรูปร่างเป็นทรงกลมและมีเส้นผ่านศูนย์กลาง... เส้นผ่านศูนย์กลางประมาณเท่าไร?

- ประมาณห้าเซนติเมตร แต่มันไม่ได้เป็นทรงกลมเลย แต่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

- แล้วเราจะถือว่ามีรูปร่างเป็นทรงรี กับเพลาสี่ สาม และสามเซนติเมตร และเขาตกลงจนกึ่งแกนเอกยังคงเป็นแนวตั้งตลอดเวลา . เราใช้ความกดอากาศเท่ากับ760 mmHg จากที่นี่เราจะพบความหนาแน่นของอากาศ...

หากผู้กำหนดปัญหาในภาษา "มนุษย์" จะไม่เข้าไปยุ่งเกี่ยวกับความคิดของนักคณิตศาสตร์ต่อไป อีกครู่หนึ่งก็จะให้คำตอบเป็นตัวเลข แต่ "ผู้บริโภค" อาจคัดค้านเหมือนเมื่อก่อน: ก้อนหินไม่ได้เป็นวงรีเลย ความกดอากาศ ณ ที่นั้นและในขณะนั้นไม่เท่ากับปรอท 760 มม. เป็นต้น นักคณิตศาสตร์จะตอบเขาว่าอย่างไร?

เขาจะตอบว่า การแก้ปัญหาที่แท้จริงมักเป็นไปไม่ได้. ไม่เพียงแค่นั้น รูปร่างหินซึ่งส่งผลต่อแรงต้านของอากาศ ไม่สามารถอธิบายได้ด้วยสมการทางคณิตศาสตร์ใดๆ การหมุนของมันในการบินนั้นอยู่นอกเหนือการควบคุมของคณิตศาสตร์เพราะความซับซ้อนของมัน ไกลออกไป, อากาศไม่สม่ำเสมอเนื่องจากผลของการกระทำของปัจจัยสุ่มทำให้เกิดความผันผวนของความหนาแน่นขึ้น ยิ่งลึกยิ่งต้องคำนึงว่า ตามกฎความโน้มถ่วงสากล ทุก ๆ ตัวกระทำกับทุก ๆ กายอื่น ๆ. ตามมาด้วยว่าแม้แต่ลูกตุ้มของนาฬิกาแขวนก็เปลี่ยนวิถีของหินด้วยการเคลื่อนที่ของมัน

กล่าวโดยสรุป ถ้าเราต้องการตรวจสอบพฤติกรรมของวัตถุใดๆ อย่างแม่นยำ เราต้องรู้ตำแหน่งและความเร็วของวัตถุอื่นๆ ทั้งหมดในจักรวาลก่อน และนี้แน่นอน เป็นไปไม่ได้ .

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่มีประสิทธิภาพสูงสุดสามารถนำไปใช้กับคอมพิวเตอร์ในรูปแบบของแบบจำลองอัลกอริธึม - ที่เรียกว่า "การทดลองทางคอมพิวเตอร์" (ดู [1] วรรค 26)

แน่นอน ผลลัพธ์ของการทดลองทางคอมพิวเตอร์อาจไม่สอดคล้องกับความเป็นจริง หากไม่คำนึงถึงแง่มุมที่สำคัญบางประการของความเป็นจริงในแบบจำลอง

ดังนั้น การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับการแก้ปัญหา คุณต้อง:

1. เน้นสมมติฐานที่จะใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์
2. กำหนดสิ่งที่ต้องพิจารณาเป็นข้อมูลป้อนเข้าและผลลัพธ์
3. จดความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่เชื่อมโยงผลลัพธ์กับข้อมูลต้นฉบับ

เมื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เป็นไปไม่ได้เสมอที่จะค้นหาสูตรที่แสดงปริมาณที่ต้องการอย่างชัดเจนผ่านข้อมูล ในกรณีเช่นนี้ จะใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์เพื่อให้คำตอบที่มีระดับความแม่นยำต่างกัน ไม่เพียงแต่การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์ใดๆ เท่านั้น แต่ยังมีการสร้างแบบจำลองที่มองเห็นได้ตามธรรมชาติ ซึ่งจัดเตรียมโดยการแสดงปรากฏการณ์เหล่านี้โดยใช้คอมพิวเตอร์กราฟิก กล่าวคือ ผู้วิจัยได้แสดงประเภทของ "การ์ตูนคอมพิวเตอร์" ที่ถ่ายทำแบบเรียลไทม์ ทัศนวิสัยที่นี่สูงมาก

รายการอื่นๆ

06/10/2016. 8.3. ขั้นตอนหลักในกระบวนการพัฒนาซอฟต์แวร์มีอะไรบ้าง? 8.4. วิธีควบคุมข้อความของโปรแกรมก่อนส่งออกไปยังคอมพิวเตอร์

8.3. ขั้นตอนหลักในกระบวนการพัฒนาซอฟต์แวร์มีอะไรบ้าง? กระบวนการพัฒนาโปรแกรมสามารถแสดงได้ด้วยสูตรต่อไปนี้: การมีอยู่ของข้อผิดพลาดในโปรแกรมที่พัฒนาขึ้นใหม่นั้นค่อนข้างปกติ ...

06/10/2016. 8.5. การดีบักและการทดสอบมีไว้เพื่ออะไร? 8.6. การดีบักคืออะไร? 8.7. การทดสอบและการทดสอบคืออะไร? 8.8. ข้อมูลการทดสอบควรเป็นอย่างไร? 8.9. ขั้นตอนการทดสอบมีอะไรบ้าง?

8.5. การดีบักและการทดสอบมีไว้เพื่ออะไร? การดีบักโปรแกรมเป็นกระบวนการในการค้นหาและขจัดข้อผิดพลาดในโปรแกรมโดยพิจารณาจากผลลัพธ์ของการรันบนคอมพิวเตอร์ กำลังทดสอบ...

06/10/2016. 8.10. ข้อผิดพลาดในการเขียนโปรแกรมทั่วไปคืออะไร? 8.11. การไม่มีข้อผิดพลาดทางไวยากรณ์บ่งบอกถึงความถูกต้องของโปรแกรมหรือไม่? 8.12. คอมไพเลอร์ตรวจไม่พบข้อผิดพลาดใด 8.13. การสนับสนุนโปรแกรมคืออะไร?

8.10. ข้อผิดพลาดในการเขียนโปรแกรมทั่วไปคืออะไร? ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นได้ในทุกขั้นตอนของการแก้ปัญหา ตั้งแต่การกำหนดสูตรไปจนถึงการดำเนินการ มีข้อผิดพลาดหลากหลายและตัวอย่างที่เกี่ยวข้อง ...

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ b คือการแสดงทางคณิตศาสตร์ของความเป็นจริง

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์- กระบวนการสร้างและศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

วิทยาศาสตร์ธรรมชาติและสังคมศาสตร์ทั้งหมดที่ใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์นั้น แท้จริงแล้ว เกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ โดยแทนที่วัตถุจริงด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จากนั้นจึงศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

คำจำกัดความ

ไม่มีคำจำกัดความใดที่จะครอบคลุมกิจกรรมในชีวิตจริงของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้อย่างเต็มที่ อย่างไรก็ตาม เรื่องนี้ คำจำกัดความมีประโยชน์ในการพยายามเน้นคุณลักษณะที่สำคัญที่สุด

คำจำกัดความของแบบจำลองตาม A. A. Lyapunov: การสร้างแบบจำลองคือการศึกษาเชิงปฏิบัติหรือเชิงทฤษฎีทางอ้อมของวัตถุ ซึ่งไม่ใช่การศึกษาวัตถุที่เราสนใจโดยตรง แต่เป็นระบบเทียมหรือธรรมชาติเสริมบางระบบ:

ตั้งอยู่ในการติดต่อวัตถุประสงค์บางอย่างกับวัตถุที่รู้จัก;

สามารถแทนที่เขาในบางประเด็น;

ซึ่งในระหว่างการศึกษานั้น ในที่สุด ก็ได้ให้ข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุที่กำลังถูกจำลอง

ตามตำราของ Sovetov และ Yakovlev: "แบบจำลองเป็นสิ่งทดแทนวัตถุของวัตถุดั้งเดิมซึ่งให้การศึกษาคุณสมบัติบางอย่างของต้นฉบับ" “การแทนที่วัตถุหนึ่งด้วยวัตถุอื่นเพื่อรับข้อมูลเกี่ยวกับคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของวัตถุดั้งเดิมโดยใช้วัตถุแบบจำลองนั้นเรียกว่าการสร้างแบบจำลอง” “ภายใต้การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เราจะเข้าใจกระบวนการสร้างการโต้ตอบกับวัตถุจริงที่กำหนดของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ และการศึกษาแบบจำลองนี้ ซึ่งทำให้สามารถรับลักษณะของวัตถุจริงที่อยู่ในการพิจารณาได้ ประเภทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับทั้งธรรมชาติของวัตถุจริงและงานของการศึกษาวัตถุและความน่าเชื่อถือและความถูกต้องที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้

ตาม Samarsky และ Mikhailov แบบจำลองทางคณิตศาสตร์นั้น "เทียบเท่า" ของวัตถุซึ่งสะท้อนถึงคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดในรูปแบบทางคณิตศาสตร์: กฎหมายที่เชื่อฟังการเชื่อมต่อที่มีอยู่ในส่วนประกอบ ฯลฯ มันมีอยู่ในกลุ่มสาม " รุ่น-อัลกอริทึม-โปรแกรม” . หลังจากสร้าง "โมเดล-อัลกอริทึม-โปรแกรม" สามกลุ่มแล้ว ผู้วิจัยจะได้รับเครื่องมือที่เป็นสากล ยืดหยุ่น และราคาไม่แพง ซึ่งได้รับการดีบั๊กและทดสอบในการทดลองทางคอมพิวเตอร์ในการทดลองครั้งแรก หลังจากสร้างความเพียงพอของกลุ่มสามต่อวัตถุดั้งเดิมแล้ว "การทดลอง" ที่หลากหลายและมีรายละเอียดจะถูกดำเนินการกับแบบจำลอง โดยให้คุณสมบัติและคุณสมบัติเชิงคุณภาพและเชิงปริมาณที่จำเป็นทั้งหมดของวัตถุ

ตามเอกสารของ Myshkis: “เรามาดูคำจำกัดความทั่วไปกันดีกว่า ให้เราไปสำรวจชุด S ของคุณสมบัติของวัตถุจริง a with

ความช่วยเหลือของคณิตศาสตร์ ในการทำเช่นนี้เราเลือก "วัตถุทางคณิตศาสตร์" a" - ระบบสมการหรือความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์หรือรูปทรงเรขาคณิตหรือทั้งสองอย่างรวมกันเป็นต้น - การศึกษาโดยคณิตศาสตร์ควรตอบคำถามที่ตั้งไว้ เกี่ยวกับคุณสมบัติของ S ในเงื่อนไขเหล่านี้ a" เรียกว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุ a เทียบกับจำนวนทั้งหมด S ของคุณสมบัติของวัตถุ"

อ้างอิงจาก A. G. Sevostyanov: “แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือชุดของความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ สมการ ความไม่เท่าเทียมกัน ฯลฯ ที่อธิบายรูปแบบหลักที่มีอยู่ในกระบวนการ วัตถุ หรือระบบที่กำลังศึกษาอยู่”

คำจำกัดความทั่วไปที่ค่อนข้างน้อยกว่าของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ซึ่งมีพื้นฐานมาจากการทำให้เป็นอุดมคติของ "สถานะอินพุต-เอาท์พุต" ที่ยืมมาจากทฤษฎีออโตมาตา ถูกกำหนดโดยวิกิพจนานุกรม: "การแสดงแทนทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรมของกระบวนการ อุปกรณ์ หรือแนวคิดเชิงทฤษฎี มันใช้ชุดของตัวแปรเพื่อแสดงอินพุต เอาต์พุต และสถานะภายใน และชุดของสมการและอสมการเพื่ออธิบายการโต้ตอบของพวกเขา”

สุดท้าย คำจำกัดความที่กระชับที่สุดของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์: "สมการที่แสดงความคิด"

การจำแนกแบบจำลองอย่างเป็นทางการ

การจำแนกแบบจำลองอย่างเป็นทางการขึ้นอยู่กับการจำแนกประเภทของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ มักสร้างขึ้นในรูปแบบของการแบ่งขั้ว ตัวอย่างเช่น ชุดไดโคโทมียอดนิยมชุดหนึ่งคือ:

โมเดลเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น ระบบเข้มข้นหรือกระจาย; กำหนดหรือสุ่ม; คงที่หรือไดนามิก; ไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่อง

ฯลฯ แบบจำลองที่สร้างขึ้นแต่ละแบบเป็นแบบเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น กำหนดหรือสุ่ม ... โดยธรรมชาติแล้ว แบบผสมก็เป็นไปได้เช่นกัน: เข้มข้นในแง่หนึ่ง แบบจำลองแบบกระจายในอีกรูปแบบหนึ่ง เป็นต้น

การจำแนกประเภทตามวิธีการแสดงวัตถุ

นอกจากการจำแนกประเภทที่เป็นทางการแล้ว แบบจำลองต่างๆ ยังแตกต่างกันไปตามวิธีการเป็นตัวแทนของวัตถุ:

แบบจำลองโครงสร้างเป็นตัวแทนของวัตถุในฐานะระบบที่มีอุปกรณ์และกลไกการทำงานของตัวเอง แบบจำลองการทำงานไม่ได้ใช้การแสดงแทนดังกล่าวและสะท้อนให้เห็นเฉพาะพฤติกรรมที่รับรู้ภายนอกของวัตถุเท่านั้น ในการแสดงออกที่รุนแรง พวกเขาจะเรียกว่าโมเดล "กล่องดำ" นอกจากนี้ยังสามารถรวมประเภทของแบบจำลองซึ่งบางครั้งเรียกว่าแบบจำลอง "กล่องสีเทา"

ผู้เขียนเกือบทั้งหมดที่อธิบายกระบวนการของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ระบุว่าในขั้นแรก การก่อสร้างในอุดมคติพิเศษซึ่งเป็นแบบจำลองที่มีความหมายได้ถูกสร้างขึ้น ไม่มีศัพท์เฉพาะในที่นี้ และผู้เขียนคนอื่นๆ เรียกวัตถุในอุดมคตินี้ว่าแบบจำลองแนวคิด แบบจำลองการเก็งกำไร หรือแบบจำลองล่วงหน้า ในกรณีนี้ โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ขั้นสุดท้ายเรียกว่า แบบจำลองที่เป็นทางการ หรือเพียงแค่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ที่ได้มาจากการทำให้รูปแบบเนื้อหานี้เป็นทางการ การสร้างแบบจำลองที่มีความหมายสามารถทำได้โดยใช้ชุดของอุดมคติสำเร็จรูป เช่นในกลไก ซึ่งสปริงในอุดมคติ ตัวเครื่องที่แข็งแรง ลูกตุ้มในอุดมคติ สื่อยืดหยุ่น ฯลฯ จัดเตรียมองค์ประกอบโครงสร้างสำเร็จรูปสำหรับการสร้างแบบจำลองที่มีความหมาย อย่างไรก็ตาม ในด้านความรู้ที่ไม่มีทฤษฎีที่เป็นทางการที่สมบูรณ์ การสร้างแบบจำลองที่มีความหมายจะซับซ้อนกว่ามาก

งานของ R. Peierls ให้การจำแนกประเภทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในฟิสิกส์และในวงกว้างมากขึ้นในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ในหนังสือโดย A. N. Gorban และ R. G. Khlebopros การจัดหมวดหมู่นี้ได้รับการวิเคราะห์และขยาย การจำแนกประเภทนี้มุ่งเน้นไปที่ขั้นตอนการสร้างแบบจำลองที่มีความหมายเป็นหลัก

โมเดลเหล่านี้ "เป็นตัวแทนของการทดลองอธิบายปรากฏการณ์นี้ และผู้เขียนก็เชื่อในความเป็นไปได้ของมัน หรือแม้กระทั่งคิดว่ามันเป็นความจริง" ตัวอย่างเช่น R. Peierls แบบจำลองของระบบสุริยะตามแบบจำลอง Ptolemy และ Copernican แบบจำลองอะตอมของ Rutherford และแบบจำลอง Big Bang

ไม่มีสมมติฐานทางวิทยาศาสตร์ใดที่สามารถพิสูจน์ได้ในคราวเดียว Richard Feynman กล่าวไว้อย่างชัดเจน:

“เรามีความสามารถในการพิสูจน์หักล้างทฤษฎีได้เสมอ แต่โปรดทราบว่าเราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎีนั้นถูกต้อง สมมติว่าคุณเสนอสมมติฐานที่ประสบความสำเร็จ คำนวณจากตำแหน่งที่นำไปสู่ ​​และพบว่าผลที่ตามมาทั้งหมดได้รับการยืนยันจากการทดลอง นี่หมายความว่าทฤษฎีของคุณถูกต้องหรือไม่? ไม่ มันหมายความว่าคุณล้มเหลวในการหักล้างมัน

หากมีการสร้างแบบจำลองประเภทแรกขึ้น แสดงว่าแบบจำลองนั้นรับรู้ชั่วคราวว่าเป็นความจริงและสามารถมุ่งความสนใจไปที่ปัญหาอื่นๆ ได้ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่สามารถเป็นจุดในการวิจัยได้ แต่เป็นการหยุดชั่วคราว: สถานะของแบบจำลองประเภทแรกสามารถอยู่ได้เพียงชั่วคราวเท่านั้น

แบบจำลองปรากฏการณ์วิทยามีกลไกในการอธิบายปรากฏการณ์ อย่างไรก็ตาม กลไกนี้ไม่น่าเชื่อถือเพียงพอ ไม่สามารถยืนยันเพียงพอโดยข้อมูลที่มีอยู่ หรือไม่เห็นด้วยดีกับทฤษฎีที่มีอยู่และความรู้ที่สะสมเกี่ยวกับวัตถุ ดังนั้น แบบจำลองปรากฏการณ์วิทยาจึงมีสถานะของการแก้ปัญหาชั่วคราว เชื่อว่ายังไม่ทราบคำตอบและจำเป็นต้องค้นหา "กลไกที่แท้จริง" ต่อไป ตัวอย่างเช่น Peierls อ้างถึงแบบจำลองแคลอรี่และแบบจำลองควาร์กของอนุภาคมูลฐานเป็นประเภทที่สอง

บทบาทของตัวแบบในการวิจัยอาจเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา ข้อมูลและทฤษฎีใหม่ๆ ได้ยืนยันแบบจำลองปรากฏการณ์วิทยาแล้วอาจเกิดขึ้นได้

สถานะสมมติฐาน ในทำนองเดียวกัน ความรู้ใหม่อาจค่อยๆ ขัดแย้งกับแบบจำลอง - สมมติฐานประเภทแรก และสามารถถ่ายโอนไปยังความรู้ที่สองได้ ดังนั้น แบบจำลองควาร์กจึงค่อยๆ เคลื่อนเข้าสู่หมวดหมู่ของสมมติฐาน อะตอมในฟิสิกส์เกิดขึ้นเป็นวิธีแก้ปัญหาชั่วคราว แต่ด้วยประวัติศาสตร์ก็ผ่านเข้าสู่ประเภทแรก แต่โมเดลอีเธอร์ได้เปลี่ยนจากประเภทที่ 1 เป็นประเภทที่ 2 และตอนนี้โมเดลเหล่านี้อยู่นอกเหนือวิทยาศาสตร์

แนวคิดเรื่องการทำให้เข้าใจง่ายเป็นที่นิยมอย่างมากเมื่อสร้างแบบจำลอง แต่การทำให้เข้าใจง่ายแตกต่างกัน Peierls แยกแยะความแตกต่างของการทำให้เข้าใจง่ายสามประเภทในการสร้างแบบจำลอง

หากสามารถสร้างสมการที่อธิบายระบบที่กำลังศึกษาอยู่ ไม่ได้หมายความว่าจะแก้ได้แม้จะใช้คอมพิวเตอร์ช่วยก็ตาม เทคนิคทั่วไปในกรณีนี้คือการใช้การประมาณ ในหมู่พวกเขามีรูปแบบการตอบสนองเชิงเส้น สมการจะถูกแทนที่ด้วยสมการเชิงเส้น ตัวอย่างมาตรฐานคือกฎของโอห์ม

หากเราใช้แบบจำลองก๊าซในอุดมคติเพื่ออธิบายก๊าซที่หายากเพียงพอ นี่คือแบบจำลองประเภท 3 ที่ความหนาแน่นของก๊าซที่สูงขึ้น การจินตนาการถึงสถานการณ์ก๊าซในอุดมคติที่ง่ายกว่าสำหรับความเข้าใจเชิงคุณภาพและการประเมินคุณภาพก็มีประโยชน์เช่นกัน แต่นี่เป็นประเภทที่ 4 แล้ว .

ในรุ่นประเภทที่ 4 รายละเอียดจะถูกละทิ้งที่สามารถสังเกตเห็นได้ชัดเจนและไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ที่ควบคุมได้เสมอไป สมการเดียวกันสามารถใช้เป็นแบบจำลองประเภท 3 หรือ 4 ขึ้นอยู่กับปรากฏการณ์ที่แบบจำลองใช้ในการศึกษา ดังนั้น หากใช้แบบจำลองการตอบสนองเชิงเส้นโดยที่ไม่มีตัวแบบที่ซับซ้อนกว่านี้ แสดงว่าโมเดลเหล่านี้เป็นแบบจำลองเชิงเส้นเชิงปรากฏการณ์วิทยาอยู่แล้ว และอยู่ในประเภท 4 ต่อไปนี้

ตัวอย่าง: การใช้แบบจำลองก๊าซในอุดมคติกับแบบจำลองที่ไม่อุดมคติ สมการสถานะแวนเดอร์วาลส์ แบบจำลองส่วนใหญ่ของสถานะของแข็ง ของเหลวและฟิสิกส์นิวเคลียร์ เส้นทางจาก microdescription ไปสู่คุณสมบัติของวัตถุที่ประกอบด้วยอนุภาคจำนวนมากนั้นยาวมาก ต้องทิ้งรายละเอียดไว้มากมาย สิ่งนี้นำไปสู่รุ่นประเภทที่ 4

แบบจำลองฮิวริสติกยังคงรักษาความคล้ายคลึงในเชิงคุณภาพกับความเป็นจริงไว้เท่านั้น และทำการคาดการณ์ "ตามลำดับความสำคัญ" เท่านั้น ตัวอย่างทั่วไปคือการประมาณเส้นทางอิสระเฉลี่ยในทฤษฎีจลนศาสตร์ มันให้สูตรง่าย ๆ สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ความหนืด การแพร่กระจาย การนำความร้อน สอดคล้องกับความเป็นจริงในลำดับความสำคัญ

แต่เมื่อสร้างฟิสิกส์ใหม่ มันยังห่างไกลจากการได้รับแบบจำลองที่ให้คำอธิบายเชิงคุณภาพของวัตถุอย่างน้อยในทันที - แบบจำลองประเภทที่ห้า ในกรณีนี้ แบบจำลองมักถูกใช้โดยการเปรียบเทียบ ซึ่งสะท้อนความเป็นจริงอย่างน้อยไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง

R. Peierls อ้างถึงประวัติของการใช้การเปรียบเทียบในบทความแรกของ W. Heisenberg เกี่ยวกับธรรมชาติของกองกำลังนิวเคลียร์ “สิ่งนี้เกิดขึ้นหลังจากการค้นพบนิวตรอน และถึงแม้ว่า W. Heisenberg เองจะเข้าใจว่านิวเคลียสสามารถอธิบายได้ว่าประกอบด้วยนิวตรอนและโปรตอน แต่เขาก็ยังไม่สามารถกำจัดความคิดที่ว่าในที่สุดนิวตรอนควรประกอบด้วยโปรตอนและอิเล็กตรอน . ในกรณีนี้ ความคล้ายคลึงเกิดขึ้นระหว่างอันตรกิริยาในระบบนิวตรอน-โปรตอนกับอันตรกิริยาของอะตอมไฮโดรเจนกับโปรตอน ความคล้ายคลึงนี้ทำให้เขาสรุปได้ว่าต้องมีแรงแลกเปลี่ยนปฏิสัมพันธ์ระหว่างนิวตรอนกับโปรตอน ซึ่งคล้ายคลึงกับแรงแลกเปลี่ยนในระบบ H − H เนื่องจากการเปลี่ยนผ่านของอิเล็กตรอนระหว่างโปรตอนสองตัว ... ต่อมามีการพิสูจน์การมีอยู่ของแรงแลกเปลี่ยนของปฏิสัมพันธ์ระหว่างนิวตรอนกับโปรตอนแม้ว่าพวกมันจะไม่หมดสิ้น

ปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาคสองอนุภาค ... แต่จากการเปรียบเทียบเดียวกัน W. Heisenberg ได้ข้อสรุปว่าไม่มีแรงนิวเคลียร์ในการโต้ตอบระหว่างโปรตอนสองตัวและการตั้งสมมติฐานการขับไล่ระหว่างสองนิวตรอน ข้อค้นพบหลังทั้งสองนี้ขัดแย้งกับผลการศึกษาในภายหลัง

A. Einstein เป็นหนึ่งในปรมาจารย์ที่ยิ่งใหญ่ของการทดลองทางความคิด นี่คือหนึ่งในการทดลองของเขา มันถูกประดิษฐ์ขึ้นในวัยหนุ่มสาวและในที่สุดก็นำไปสู่การสร้างทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ สมมติว่าในฟิสิกส์คลาสสิก เราติดตามคลื่นแสงด้วยความเร็วแสง เราจะสังเกตสนามแม่เหล็กไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงเป็นระยะในอวกาศและคงที่ตามเวลา ตามสมการของแมกซ์เวลล์ เป็นไปไม่ได้ จากสิ่งนี้ ไอน์สไตน์อายุน้อยสรุปว่า กฎแห่งธรรมชาติจะเปลี่ยนเมื่อกรอบอ้างอิงเปลี่ยนไป หรือความเร็วของแสงไม่ได้ขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิง เขาเลือกตัวเลือกที่สอง - สวยงามกว่า การทดลองทางความคิดของ Einstein ที่มีชื่อเสียงอีกอย่างหนึ่งคือ Einstein-Podolsky-Rosen Paradox

และนี่คือประเภทที่ 8 ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบทางชีววิทยา

สิ่งเหล่านี้ยังเป็นการทดลองทางความคิดกับสิ่งที่อยู่ในจินตภาพ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าปรากฏการณ์ที่ถูกกล่าวหานั้นสอดคล้องกับหลักการพื้นฐานและมีความสอดคล้องกันภายใน นี่คือข้อแตกต่างหลักจากรุ่น 7 ที่เผยให้เห็นความขัดแย้งที่ซ่อนอยู่

หนึ่งในการทดลองที่มีชื่อเสียงที่สุดคือเรขาคณิตของ Lobachevsky อีกตัวอย่างหนึ่งคือการผลิตจำนวนมากของแบบจำลองจลนศาสตร์อย่างเป็นทางการของการแกว่งทางเคมีและชีวภาพ คลื่นอัตโนมัติ ฯลฯ ความขัดแย้งของ Einstein-Podolsky-Rosen ถูกมองว่าเป็นแบบจำลองประเภท 7 เพื่อแสดงให้เห็นถึงความไม่สอดคล้องกันของกลศาสตร์ควอนตัม ในทางที่ไม่ได้วางแผนอย่างสมบูรณ์ ในที่สุดก็กลายเป็นแบบจำลองประเภท 8 ซึ่งเป็นการสาธิตความเป็นไปได้ของการเคลื่อนย้ายข้อมูลด้วยควอนตัม

พิจารณาระบบกลไกที่ประกอบด้วยสปริงจับจ้องอยู่ที่ปลายด้านหนึ่งและโหลดมวล m ติดกับปลายสปริงอิสระ เราจะถือว่าโหลดสามารถเคลื่อนที่ได้เฉพาะในทิศทางของแกนสปริงเท่านั้น ให้เราสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบนี้ เราจะอธิบายสถานะของระบบโดยระยะทาง x จากจุดศูนย์กลางของโหลดไปยังตำแหน่งสมดุล เราอธิบายปฏิกิริยาของสปริงและโหลดโดยใช้กฎของฮุค หลังจากนั้นเราใช้กฎข้อที่สองของนิวตันเพื่อแสดงออกในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์

โดยที่หมายถึงอนุพันธ์อันดับสองของ x เทียบกับเวลา..

สมการที่ได้จะอธิบายแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบทางกายภาพที่พิจารณา รูปแบบนี้เรียกว่า "ฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์"

ตามการจัดประเภทที่เป็นทางการ โมเดลนี้เป็นเชิงเส้น กำหนด ไดนามิก เข้มข้น ต่อเนื่อง ในกระบวนการสร้าง เราได้ตั้งสมมติฐานหลายอย่างที่อาจไม่เป็นความจริง

เมื่อเทียบกับความเป็นจริง ส่วนใหญ่มักจะเป็นแบบจำลองประเภทที่ 4 ซึ่งเป็นการทำให้เข้าใจง่าย เนื่องจากไม่คำนึงถึงคุณลักษณะที่เป็นสากลที่จำเป็นบางประการ แบบจำลองดังกล่าวอธิบายระบบกลไกที่แท้จริงได้ค่อนข้างดี เนื่องจาก

ปัจจัยที่ถูกละทิ้งมีอิทธิพลเล็กน้อยต่อพฤติกรรมของมัน อย่างไรก็ตาม โมเดลนี้สามารถปรับแต่งได้โดยคำนึงถึงปัจจัยเหล่านี้บางส่วน ซึ่งจะนำไปสู่รูปแบบใหม่ที่มีขอบเขตที่กว้างขึ้น

อย่างไรก็ตาม เมื่อแบบจำลองได้รับการขัดเกลา ความซับซ้อนของการศึกษาทางคณิตศาสตร์ของมันสามารถเพิ่มขึ้นอย่างมากและทำให้แบบจำลองแทบไร้ประโยชน์ บ่อยครั้ง โมเดลที่เรียบง่ายช่วยให้คุณสำรวจระบบจริงได้ดียิ่งขึ้นและลึกซึ้งกว่าแบบที่ซับซ้อนกว่า

หากเราใช้แบบจำลองฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์กับวัตถุที่อยู่ไกลจากฟิสิกส์ สถานะที่มีความหมายอาจแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้แบบจำลองนี้กับประชากรทางชีววิทยา น่าจะเป็นการเปรียบเทียบประเภทที่ 6

รุ่นแข็งและอ่อน

ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างของรูปแบบที่เรียกว่า "ฮาร์ด" ได้มาจากการสร้างอุดมคติที่แข็งแกร่งของระบบทางกายภาพที่แท้จริง ในการแก้ไขปัญหาการบังคับใช้จำเป็นต้องเข้าใจว่าปัจจัยที่เราละเลยไปมีความสำคัญเพียงใด กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำเป็นต้องตรวจสอบโมเดล "อ่อน" ซึ่งได้มาจากการรบกวนเล็กน้อยของโมเดล "แข็ง" สามารถให้ได้ตัวอย่างเช่นโดยสมการต่อไปนี้:

ที่นี่ - ฟังก์ชั่นบางอย่างซึ่งสามารถคำนึงถึงแรงเสียดทานหรือการพึ่งพาค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริงกับระดับการยืด ε - พารามิเตอร์เล็ก ๆ บางส่วน รูปแบบที่ชัดเจนของฟังก์ชัน f ไม่ได้สนใจเราในขณะนี้ หากเราพิสูจน์ว่าพฤติกรรมของแบบจำลองที่อ่อนนุ่มนั้นไม่แตกต่างจากพฤติกรรมของแบบจำลองแบบแข็งโดยพื้นฐานแล้ว ปัญหาจะลดลงเหลือการศึกษาแบบจำลองแบบแข็ง มิฉะนั้น การประยุกต์ใช้ผลลัพธ์ที่ได้จากการศึกษาแบบจำลองที่เข้มงวดจะต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น คำตอบของสมการฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์คือฟังก์ชันของรูปแบบ

นั่นคือการแกว่งด้วยแอมพลิจูดคงที่ จากนี้ไปออสซิลเลเตอร์จริงจะแกว่งไปเรื่อย ๆ ด้วยแอมพลิจูดคงที่หรือไม่? ไม่ เพราะเมื่อพิจารณาถึงระบบที่มีการเสียดสีเล็กน้อยตามอำเภอใจ เราจึงเกิดการสั่นสะท้าน พฤติกรรมของระบบมีการเปลี่ยนแปลงในเชิงคุณภาพ

หากระบบยังคงพฤติกรรมเชิงคุณภาพภายใต้การรบกวนเล็กน้อย ถือว่ามีเสถียรภาพทางโครงสร้าง ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างของระบบที่ไม่เสถียรทางโครงสร้าง อย่างไรก็ตาม โมเดลนี้สามารถใช้เพื่อศึกษากระบวนการในช่วงเวลาจำกัด

ความเก่งกาจของรุ่น

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดมักจะมีคุณสมบัติที่สำคัญของความเป็นสากล: ปรากฏการณ์จริงที่แตกต่างกันโดยพื้นฐานสามารถอธิบายได้ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เดียวกัน ตัวอย่างเช่น ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกไม่ได้อธิบายแค่พฤติกรรมของโหลดบนสปริงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงกระบวนการออสซิลเลเตอร์อื่นๆ ซึ่งมักจะมีลักษณะที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง: การสั่นเล็กน้อยของลูกตุ้ม การผันผวนของระดับของเหลวในภาชนะรูปตัวยู หรือ การเปลี่ยนแปลงความแรงของกระแสในวงจรออสซิลเลเตอร์ ดังนั้น จากการศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หนึ่งแบบจำลอง เราจึงศึกษาปรากฏการณ์ทั้งชั้นที่อธิบายโดยแบบจำลองนั้นในคราวเดียว ความผิดเพี้ยนของกฎที่แสดงโดยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในส่วนต่างๆ ของความรู้ทางวิทยาศาสตร์ที่ทำให้ Ludwig von Bertalanffy สร้าง "ทฤษฎีระบบทั่วไป"

ปัญหาทางตรงและทางผกผันของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

มีปัญหามากมายที่เกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ประการแรก จำเป็นต้องสร้างโครงร่างพื้นฐานของวัตถุที่กำลังถูกจำลอง เพื่อทำซ้ำภายในกรอบของการทำให้เป็นอุดมคติของวิทยาศาสตร์นี้ ขบวนรถไฟจึงกลายเป็นระบบจานและซับซ้อนมากขึ้น

วัตถุจากวัสดุที่แตกต่างกัน วัสดุแต่ละชนิดถูกกำหนดให้เป็นอุดมคติทางกลมาตรฐาน หลังจากนั้นจะรวบรวมสมการ ระหว่างทางที่รายละเอียดบางส่วนถูกยกเลิกเนื่องจากไม่มีนัยสำคัญ ทำการคำนวณ เปรียบเทียบกับการวัด แบบจำลองได้รับการขัดเกลา และอื่นๆ อย่างไรก็ตาม สำหรับการพัฒนาเทคโนโลยีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จะเป็นประโยชน์ในการแยกกระบวนการนี้ออกเป็นองค์ประกอบหลัก

ตามเนื้อผ้า มีปัญหาหลักสองประเภทที่เกี่ยวข้องกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์: ตรงและผกผัน

งานตรง: รู้จักโครงสร้างของแบบจำลองและพารามิเตอร์ทั้งหมด ภารกิจหลักคือการศึกษาแบบจำลองเพื่อดึงความรู้ที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับวัตถุ สะพานสามารถทนต่อภาระสถิตใดได้บ้าง? มันจะตอบสนองต่อโหลดไดนามิกอย่างไร เครื่องบินจะเอาชนะอุปสรรคเสียงได้อย่างไร ไม่ว่าจะหลุดออกจากกระพือปีกหรือไม่ สิ่งเหล่านี้คือตัวอย่างทั่วไปของปัญหาโดยตรง การกำหนดปัญหาโดยตรงที่ถูกต้องต้องใช้ทักษะพิเศษ หากไม่ถามคำถามที่ถูกต้อง สะพานอาจพังได้ แม้ว่าจะมีการสร้างแบบจำลองที่ดีสำหรับพฤติกรรมของสะพานก็ตาม ดังนั้นในปี พ.ศ. 2422 ในสหราชอาณาจักร สะพานโลหะข้ามแม่น้ำเทย์จึงถล่มลงมา ผู้ออกแบบได้สร้างแบบจำลองของสะพานขึ้น โดยคำนวณจากส่วนต่างด้านความปลอดภัย 20 เท่าสำหรับน้ำหนักบรรทุก แต่ลืมไปว่าลมที่พัดอยู่ตลอดเวลาในนั้น สถานที่. และหลังจากนั้นหนึ่งปีครึ่งมันก็พังทลายลง

ใน ในกรณีที่ง่ายที่สุด ปัญหาโดยตรงนั้นง่ายมากและลดลงเป็นคำตอบของสมการนี้อย่างชัดเจน

ปัญหาผกผัน: ทราบชุดของแบบจำลองที่เป็นไปได้ จำเป็นต้องเลือกแบบจำลองเฉพาะตามข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับวัตถุ ส่วนใหญ่มักจะรู้จักโครงสร้างของแบบจำลองและจำเป็นต้องกำหนดพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักบางตัว ข้อมูลเพิ่มเติมอาจประกอบด้วยข้อมูลเชิงประจักษ์เพิ่มเติม หรือในข้อกำหนดสำหรับวัตถุ ข้อมูลเพิ่มเติมสามารถมาโดยอิสระจากกระบวนการแก้ปัญหาผกผันหรือเป็นผลมาจากการทดลองที่วางแผนไว้เป็นพิเศษในระหว่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างแรกๆ ของวิธีแก้ปัญหาอัจฉริยะของปัญหาผกผันที่มีการใช้ข้อมูลที่มีอยู่อย่างเต็มที่มากที่สุดคือวิธีการที่สร้างขึ้นโดย I. Newton สำหรับการสร้างแรงเสียดทานใหม่จากการสั่นของแดมเปอร์ที่สังเกตได้

ใน อีกตัวอย่างหนึ่งคือสถิติทางคณิตศาสตร์ งานของวิทยาศาสตร์นี้คือการพัฒนาวิธีการบันทึก อธิบาย และวิเคราะห์ข้อมูลเชิงสังเกตและการทดลองเพื่อสร้างแบบจำลองความน่าจะเป็นของปรากฏการณ์สุ่มมวล เหล่านั้น. ชุดของแบบจำลองที่เป็นไปได้ถูกจำกัดโดยแบบจำลองความน่าจะเป็น ในปัญหาเฉพาะ ชุดของรุ่นมีจำกัดมากขึ้น

ระบบคอมพิวเตอร์ของการสร้างแบบจำลอง

เพื่อสนับสนุนการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ระบบคณิตศาสตร์ของคอมพิวเตอร์ได้รับการพัฒนาขึ้น เช่น Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim เป็นต้น ซึ่งช่วยให้คุณสร้างแบบจำลองที่เป็นทางการและบล็อกของกระบวนการและอุปกรณ์ทั้งที่ง่ายและซับซ้อน และเปลี่ยนพารามิเตอร์ของแบบจำลองได้อย่างง่ายดายในระหว่าง การจำลอง โมเดลบล็อกแสดงด้วยบล็อก ชุดและการเชื่อมต่อที่ระบุโดยแผนภาพแบบจำลอง

ตัวอย่างเพิ่มเติม

อัตราการเติบโตเป็นสัดส่วนกับขนาดประชากรในปัจจุบัน อธิบายโดยสมการอนุพันธ์

โดยที่ α คือพารามิเตอร์บางตัวที่กำหนดโดยความแตกต่างระหว่างภาวะเจริญพันธุ์และการตาย คำตอบของสมการนี้คือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง x = x0 e หากอัตราการเกิดเกินอัตราการเสียชีวิต ขนาดของประชากรจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนดและรวดเร็วมาก เป็นที่ชัดเจนว่าสิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้เนื่องจากข้อจำกัด

ทรัพยากร. เมื่อถึงขนาดของประชากรที่สำคัญ แบบจำลองจะหยุดเพียงพอ เนื่องจากไม่คำนึงถึงทรัพยากรที่มีอยู่อย่างจำกัด การปรับแต่งแบบจำลอง Malthus อาจเป็นแบบจำลองด้านลอจิสติกส์ ซึ่งอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ของ Verhulst

โดยที่ xs คือขนาดประชากร "สมดุล" ซึ่งอัตราการเกิดจะได้รับการชดเชยด้วยอัตราการเสียชีวิตอย่างแน่นอน ขนาดประชากรในแบบจำลองดังกล่าวมีแนวโน้มที่ค่าดุลยภาพ xs และพฤติกรรมนี้มีความเสถียรทางโครงสร้าง

สมมติว่าสัตว์สองชนิดอาศัยอยู่ในอาณาเขตหนึ่ง: กระต่ายและจิ้งจอก ให้จำนวนกระต่ายเป็น x จำนวนจิ้งจอก y ด้วยการใช้แบบจำลอง Malthus พร้อมการแก้ไขที่จำเป็น โดยคำนึงถึงการกินกระต่ายของสุนัขจิ้งจอก เรามาถึงระบบต่อไปนี้ซึ่งมีชื่อของแบบจำลอง Lotka-Volterra:

ระบบนี้มีสภาวะสมดุลเมื่อจำนวนกระต่ายและสุนัขจิ้งจอกคงที่ การเบี่ยงเบนจากสถานะนี้นำไปสู่ความผันผวนของจำนวนกระต่ายและสุนัขจิ้งจอก คล้ายกับความผันผวนของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ ในกรณีของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ พฤติกรรมนี้ไม่มีความเสถียรทางโครงสร้าง: การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในแบบจำลองอาจนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพในพฤติกรรม ตัวอย่างเช่น สภาวะสมดุลสามารถมีเสถียรภาพ และความผันผวนของประชากรจะลดลง สถานการณ์ตรงกันข้ามก็เป็นไปได้เช่นกัน เมื่อการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากตำแหน่งสมดุลจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ร้ายแรง จนถึงการสูญพันธุ์โดยสมบูรณ์ของหนึ่งในสายพันธุ์ สำหรับคำถามที่ว่าสถานการณ์ใดเกิดขึ้นจริง โมเดล Volterra-Lotka ไม่ได้ให้คำตอบ: จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติมที่นี่

ระดับแรก

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ OGE และการสอบ Unified State (2019)

แนวคิดของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ลองนึกภาพเครื่องบิน: ปีก, ลำตัว, หาง, ทั้งหมดนี้เข้าด้วยกัน - เครื่องบินทั้งลำที่ใหญ่โตมโหฬารจริงๆ และคุณสามารถสร้างแบบจำลองของเครื่องบิน ขนาดเล็ก แต่ทุกอย่างเป็นของจริง ปีกเดียวกัน ฯลฯ แต่กะทัดรัด แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ก็เช่นกัน มีปัญหาเรื่องตัวอักษร ยุ่งยาก ดู อ่านได้ แต่ไม่ค่อยเข้าใจ และอีกมากมาย เลยไม่ชัดเจนว่าจะแก้ไขอย่างไร แต่ถ้าเราสร้างแบบจำลองขนาดเล็ก แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จากงานทางวาจาขนาดใหญ่ล่ะ คณิตศาสตร์หมายถึงอะไร? ดังนั้น โดยใช้กฎและกฎของสัญกรณ์คณิตศาสตร์ ให้สร้างข้อความใหม่เป็นการแสดงที่ถูกต้องตามตรรกะโดยใช้ตัวเลขและเครื่องหมายเลขคณิต ดังนั้น, แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือการแสดงสถานการณ์จริงโดยใช้ภาษาทางคณิตศาสตร์

มาเริ่มกันง่ายๆ กัน: ตัวเลขมากกว่าจำนวนตาม เราต้องจดมันโดยไม่ต้องใช้คำพูด แค่ใช้ภาษาคณิตศาสตร์เท่านั้น ถ้ามากกว่านั้น ปรากฎว่าถ้าเราลบออก ผลต่างของตัวเลขเหล่านี้จะยังคงเท่ากัน เหล่านั้น. หรือ. เข้าใจไหม?

ตอนนี้มันซับซ้อนขึ้นแล้ว ตอนนี้จะมีข้อความที่คุณควรพยายามนำเสนอในรูปแบบของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จนกว่าคุณจะอ่านวิธีทำ ลองทำเอง! มีสี่ตัวเลข: , และ. ผลิตภัณฑ์และผลิตภัณฑ์อื่น ๆ และสองครั้ง

เกิดอะไรขึ้น?

ในรูปแบบของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จะมีลักษณะดังนี้:

เหล่านั้น. ผลิตภัณฑ์มีความเกี่ยวข้องกับสองต่อหนึ่ง แต่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีก:

ด้วยตัวอย่างง่ายๆ คุณก็เข้าใจประเด็นแล้ว ไปสู่ภารกิจที่เต็มเปี่ยมซึ่งจำเป็นต้องแก้ไขแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ด้วย! นี่คือภารกิจ

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในทางปฏิบัติ

งาน 1

หลังฝนตก ระดับน้ำในบ่ออาจสูงขึ้น เด็กชายวัดเวลาที่ก้อนหินตกลงไปในบ่อน้ำและคำนวณระยะทางไปยังน้ำโดยใช้สูตร ซึ่งคือระยะทางเป็นเมตรและเป็นเวลาที่ตกลงมาในหน่วยวินาที ก่อนฝนจะตก เวลาตกของก้อนกรวดคือ s. ระดับน้ำต้องสูงขึ้นหลังฝนตกเท่าใดจึงจะเป็นเวลาที่วัดได้เปลี่ยนเป็น s? แสดงคำตอบของคุณเป็นเมตร

โอ้พระเจ้า! สูตรอะไร ดียังไง เกิดอะไรขึ้น ทำอย่างไร? ฉันอ่านใจคุณออกหรือเปล่า ผ่อนคลาย ในงานประเภทนี้ เงื่อนไขเลวร้ายยิ่งกว่าเดิม สิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้คือในงานนี้ คุณสนใจในสูตรและความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร และความหมายทั้งหมดในกรณีส่วนใหญ่นั้นไม่สำคัญมากนัก คุณเห็นว่ามีประโยชน์อะไรที่นี่? ส่วนตัวเห็นว่า. หลักการแก้ปัญหาเหล่านี้มีดังนี้: คุณนำปริมาณที่ทราบทั้งหมดมาแทนที่แต่บางครั้งต้องคิด!

ทำตามคำแนะนำแรกของฉันและแทนที่สิ่งที่รู้จักทั้งหมดลงในสมการ เราได้รับ:

ฉันเองที่เปลี่ยนเวลาของวินาทีและพบความสูงที่หินโบยบินก่อนฝน และตอนนี้เราต้องนับหลังฝนตกและค้นหาความแตกต่าง!

ตอนนี้ฟังคำแนะนำที่สองแล้วลองคิดดู คำถามระบุว่า "ระดับน้ำต้องเพิ่มขึ้นหลังฝนตกเท่าใด เวลาที่วัดได้จะเปลี่ยนเป็น s" คุณต้องคิดออกทันทีว่าหลังจากฝนตกระดับน้ำจะเพิ่มขึ้นซึ่งหมายความว่าเวลาที่หินตกลงสู่ระดับน้ำจะน้อยลงและนี่คือวลีที่หรูหรา "เพื่อให้เวลาที่วัดได้เปลี่ยนไป" ในความหมายเฉพาะ: เวลาตกไม่เพิ่มขึ้น แต่ลดลงตามวินาทีที่ระบุ ซึ่งหมายความว่าในกรณีของการโยนหลังฝน เราแค่ต้องลบ c ออกจากเวลาเริ่มต้น c และเราได้สมการความสูงที่หินจะบินหลังฝน:

และสุดท้าย เพื่อค้นหาว่าระดับน้ำควรเพิ่มขึ้นหลังฝนตกเท่าใด เพื่อให้เวลาที่วัดได้เปลี่ยนแปลงโดย s คุณเพียงแค่ลบวินาทีจากความสูงแรกของการตก!

เราได้รับคำตอบ: ต่อเมตร

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อน ที่สำคัญที่สุด อย่าไปใส่ใจมากเกินไป ที่ซึ่งสมการที่เข้าใจยากและบางครั้งซับซ้อนเช่นนั้น มาจากเงื่อนไขและความหมายทุกอย่างในนั้น เชื่อฉันเถอะ สมการส่วนใหญ่คือ นำมาจากฟิสิกส์และที่นั่นป่านั้นแย่กว่าในพีชคณิต สำหรับฉันบางครั้งดูเหมือนว่างานเหล่านี้ถูกคิดค้นขึ้นเพื่อข่มขู่นักเรียนในการสอบด้วยสูตรและคำศัพท์ที่ซับซ้อนมากมาย และในกรณีส่วนใหญ่แทบไม่ต้องมีความรู้เลย เพียงอ่านเงื่อนไขอย่างระมัดระวังและแทนที่ค่าที่ทราบในสูตร!

นี่เป็นอีกปัญหาหนึ่ง ซึ่งไม่ใช่ในฟิสิกส์อีกต่อไป แต่มาจากโลกของทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ แม้ว่าความรู้ด้านวิทยาศาสตร์อื่นที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์จะไม่จำเป็นอีกต่อไปที่นี่

งาน2

การพึ่งพาปริมาณความต้องการ (หน่วยต่อเดือน) สำหรับผลิตภัณฑ์ขององค์กรผูกขาดในราคา (พันรูเบิล) ถูกกำหนดโดยสูตร

รายได้ต่อเดือนของบริษัท (พันรูเบิล) คำนวณโดยใช้สูตร กำหนดราคาสูงสุดที่รายได้ต่อเดือนจะอย่างน้อยหนึ่งพันรูเบิล ให้คำตอบเป็นพันรูเบิล

คาดเดาสิ่งที่ฉันจะทำอย่างไรตอนนี้? ใช่ ฉันจะเริ่มแทนที่สิ่งที่เรารู้ แต่คุณยังต้องคิดอีกเล็กน้อย ไปจากจุดสิ้นสุดเราต้องหาที่ ดังนั้น มี เท่ากับบางส่วน เราพบสิ่งอื่นที่มันเท่ากับ และมันเท่ากัน และเราจะเขียนมันลงไป อย่างที่คุณเห็น ฉันไม่ได้สนใจเป็นพิเศษเกี่ยวกับความหมายของปริมาณเหล่านี้ ฉันแค่มองจากเงื่อนไข เท่ากับอะไร นั่นคือสิ่งที่คุณต้องทำ กลับไปที่ภารกิจกันเถอะ คุณมีอยู่แล้ว แต่อย่างที่คุณจำได้ จากสมการหนึ่งที่มีสองตัวแปร ไม่พบเลย จะทำอย่างไร? ใช่ เรายังมีอนุภาคที่ไม่ได้ใช้ในสภาพนี้ ที่นี่มีสมการสองสมการและตัวแปรสองตัวอยู่แล้ว ซึ่งหมายความว่าตอนนี้สามารถพบตัวแปรทั้งสองได้แล้ว - เยี่ยมมาก!

คุณสามารถแก้ระบบดังกล่าวได้หรือไม่

เราแก้ได้ด้วยการแทนที่ เราได้แสดงออกไปแล้ว ซึ่งหมายความว่าเราจะแทนที่มันเป็นสมการแรกและทำให้ง่ายขึ้น

ปรากฎว่านี่คือสมการกำลังสอง: , เราแก้, รากเป็นแบบนี้, . ในงานจะต้องค้นหาราคาสูงสุดที่จะตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดที่เราพิจารณาเมื่อเรารวบรวมระบบ โอ้ปรากฎว่าเป็นราคา เจ๋ง ดังนั้นเราจึงพบราคา: และ. ราคาสูงสุดคุณพูด? โอเค ใหญ่ที่สุด เห็นได้ชัดว่าเราเขียนตอบ แล้วมันยากไหม? ฉันคิดว่าไม่ และคุณไม่จำเป็นต้องเจาะลึกเรื่องนี้มากเกินไป!

และนี่คือฟิสิกส์ที่น่ากลัวสำหรับคุณ หรือมากกว่าปัญหาอื่น:

งาน3

ในการกำหนดอุณหภูมิประสิทธิผลของดาวฤกษ์ กฎของสเตฟาน-โบลต์ซมันน์ถูกใช้โดยที่พลังการแผ่รังสีของดาวฤกษ์อยู่ที่ไหน เป็นค่าคงที่ คือพื้นที่ผิวของดาวฤกษ์ และเป็นอุณหภูมิ เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าพื้นที่ผิวของดาวฤกษ์ดวงหนึ่งเท่ากัน และกำลังการแผ่รังสีของดาวฤกษ์นั้นเท่ากับ W จงหาอุณหภูมิของดาวดวงนี้เป็นองศาเคลวิน

ชัดเจนตรงไหน? ใช่เงื่อนไขบอกว่าอะไรเท่ากับอะไร ก่อนหน้านี้ ฉันแนะนำให้แทนที่สิ่งที่ไม่รู้จักทั้งหมดทันที แต่ในที่นี้ เป็นการดีกว่าที่จะแสดงสิ่งที่ไม่รู้จักที่ต้องการก่อน ดูสิว่าทุกอย่างเรียบง่ายแค่ไหน: มีสูตรและเป็นที่รู้จักในนั้นและ (นี่คือตัวอักษรกรีก "ซิกมา" โดยทั่วไปแล้วนักฟิสิกส์ชอบตัวอักษรกรีกทำความคุ้นเคยกับมัน) ไม่ทราบอุณหภูมิ ให้แสดงออกในรูปของสูตร จะทำอย่างไรฉันหวังว่าคุณรู้? การมอบหมายดังกล่าวสำหรับ GIA ในเกรด 9 มักจะให้:

ตอนนี้ยังคงแทนที่ตัวเลขแทนที่จะเป็นตัวอักษรทางด้านขวาและทำให้ง่ายขึ้น:

นี่คือคำตอบ: องศาเคลวิน! และมันเป็นงานที่แย่มาก!

เรายังคงทรมานปัญหาทางฟิสิกส์ต่อไป

งาน 4

ความสูงเหนือพื้นของลูกบอลที่โยนขึ้นจะเปลี่ยนไปตามกฎหมาย โดยที่ความสูงเป็นเมตร คือ เวลาในหน่วยวินาทีที่ผ่านไปตั้งแต่การโยน ลูกบอลจะสูงอย่างน้อยสามเมตรกี่วินาที?

นั่นคือสมการทั้งหมด แต่ในที่นี้ จำเป็นต้องกำหนดว่าลูกบอลอยู่ที่ความสูงอย่างน้อยสามเมตรเท่าใด ซึ่งหมายถึงความสูง เรากำลังจะทำอะไร? ความไม่เท่าเทียมกัน ใช่! เรามีฟังก์ชันที่อธิบายว่าลูกบอลลอยอย่างไร ความสูงเท่ากันทุกประการในหน่วยเมตร เราต้องการความสูง วิธี

และตอนนี้คุณแค่แก้อสมการ ที่สำคัญที่สุด อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการจากมากหรือเท่ากับน้อยกว่าหรือเท่ากับเมื่อคุณคูณด้วยอสมการทั้งสองส่วนเพื่อกำจัดลบข้างหน้า

นี่คือรากเหง้า เราสร้างช่วงเวลาสำหรับความไม่เท่าเทียมกัน:

เรามีความสนใจในช่วงเวลาที่เครื่องหมายเป็นลบ เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันใช้ค่าลบที่นั่น ค่านี้มาจากถึงทั้งสองอย่าง และตอนนี้เราเปิดสมองและคิดอย่างรอบคอบ: สำหรับความไม่เท่าเทียมกัน เราใช้สมการที่อธิบายการเคลื่อนที่ของลูกบอล มันลอยไปตามพาราโบลา เช่น มันบินขึ้นถึงยอดเขาแล้วตกลงมาจะเข้าใจได้อย่างไรว่ามันจะสูงอย่างน้อยเมตรนานแค่ไหน? พบจุดเปลี่ยน 2 จุด คือ ช่วงเวลาที่มันลอยอยู่เหนือเมตรและช่วงเวลาที่มันถึงจุดเดียวกันในขณะที่ตกลงมา จุดสองนี้จะแสดงในรูปแบบของเราในรูปแบบของเวลาเช่น เรารู้ว่ามันเข้าไปในโซนที่เราสนใจในวินาทีใดของเที่ยวบิน (สูงกว่าเมตร) และทิ้งมันไว้ (ตกลงต่ำกว่าเครื่องหมายเมตร) เขาอยู่ในโซนนี้กี่วินาที? มีเหตุผลที่เราใช้เวลาในการออกจากโซนและลบออกจากเวลาที่เข้าสู่โซนนี้ ดังนั้น: - เขาอยู่ในโซนเหนือเมตรมาก นี่คือคำตอบ

คุณโชคดีมากที่ตัวอย่างส่วนใหญ่ในหัวข้อนี้สามารถนำมาจากหมวดหมู่ของปัญหาในวิชาฟิสิกส์ ดังนั้นจับอีกอันคืออันสุดท้าย ดันตัวเอง เหลือน้อยมาก!

งาน 5

สำหรับองค์ประกอบความร้อนของอุปกรณ์บางอย่างนั้นได้มาจากการทดลองโดยขึ้นอยู่กับอุณหภูมิตามเวลาทำงาน:

เวลาอยู่ที่ไหนเป็นนาที เป็นที่ทราบกันว่าที่อุณหภูมิขององค์ประกอบความร้อนที่อยู่เหนืออุปกรณ์อาจเสื่อมสภาพจึงจำเป็นต้องปิด ค้นหาเวลาสูงสุดหลังจากเริ่มทำงานเพื่อปิดเครื่อง แสดงคำตอบของคุณในไม่กี่นาที

เราดำเนินการตามโครงการที่กำหนดไว้อย่างดี ทุกสิ่งที่เราให้มา ก่อนอื่นเราเขียนว่า:

ตอนนี้เราใช้สูตรและเทียบเป็นค่าอุณหภูมิที่อุปกรณ์สามารถให้ความร้อนได้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้จนกว่าจะเกิดการเผาไหม้นั่นคือ:

ตอนนี้เราแทนที่ตัวเลขแทนตัวอักษรที่ทราบ:

อย่างที่คุณเห็น อุณหภูมิระหว่างการทำงานของอุปกรณ์อธิบายโดยสมการกำลังสอง ซึ่งหมายความว่าอุณหภูมิจะกระจายไปตามพาราโบลา กล่าวคือ อุปกรณ์ร้อนขึ้นถึงอุณหภูมิหนึ่งแล้วเย็นลง เราได้รับคำตอบ ดังนั้น ในระหว่างและระหว่างนาทีของการให้ความร้อน อุณหภูมิจึงเป็นสิ่งสำคัญ แต่ระหว่างและนาทีนั้นสูงกว่าขีดจำกัด!

ดังนั้น คุณต้องปิดเครื่องหลังจากผ่านไปหนึ่งนาที

โมเดลทางคณิตศาสตร์ สั้น ๆ เกี่ยวกับ MAIN

ส่วนใหญ่มักใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในวิชาฟิสิกส์ เพราะคุณอาจต้องจำสูตรทางกายภาพหลายสิบสูตร และสูตรคือการแสดงสถานการณ์ทางคณิตศาสตร์

ใน OGE และ Unified State Examination มีงานเฉพาะในหัวข้อนี้ ใน USE (โปรไฟล์) นี่คือภารกิจหมายเลข 11 (เดิมคือ B12) ใน OGE - งานหมายเลข 20

รูปแบบการแก้ปัญหานั้นชัดเจน:

1) จากข้อความของเงื่อนไขจำเป็นต้อง "แยก" ข้อมูลที่เป็นประโยชน์ - สิ่งที่เราเขียนในปัญหาฟิสิกส์ภายใต้คำว่า "ให้" ข้อมูลที่เป็นประโยชน์นี้คือ:

• สูตร
• ปริมาณทางกายภาพที่ทราบ

นั่นคือแต่ละตัวอักษรจากสูตรจะต้องกำหนดตัวเลขที่แน่นอน

2) นำปริมาณที่ทราบทั้งหมดแล้วแทนที่ลงในสูตร ค่าที่ไม่รู้จักยังคงเป็นตัวอักษร ตอนนี้คุณเพียงแค่ต้องแก้สมการ (โดยปกติค่อนข้างง่าย) และคำตอบก็พร้อมแล้ว

เอาล่ะ หัวข้อจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถควบคุมบางสิ่งได้ด้วยตนเอง และถ้าคุณอ่านจนจบ คุณอยู่ใน 5%!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณได้คิดออกทฤษฎีในหัวข้อนี้ และขอย้ำอีกครั้งว่า ... มันสุดยอดมาก! คุณดีกว่าเพื่อนส่วนใหญ่ของคุณอยู่แล้ว

ปัญหาคือแค่นี้ยังไม่เพียงพอ ...

เพื่ออะไร?

สำหรับการผ่านการสอบที่ประสบความสำเร็จสำหรับการเข้าศึกษาในสถาบันด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใดฉันจะพูดสิ่งหนึ่ง ...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะได้รับมากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาดังกล่าว) อาจเป็นเพราะมีโอกาสมากขึ้นต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่ทราบ...

แต่คิดเอาเอง...

ต้องทำอย่างไรจึงจะเก่งกว่าคนอื่นในการสอบและในที่สุด ... มีความสุขมากขึ้น?

กรอกมือเพื่อแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

ในการสอบคุณจะไม่ถูกถามทฤษฎี

คุณจะต้องการ แก้ปัญหาตรงเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ปัญหา (จำนวนมาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ ที่ไหนสักแห่งหรือไม่สามารถทำมันได้ทันเวลา

เหมือนอยู่ในกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลายครั้งเพื่อชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันได้ทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นด้วยการแก้ปัญหาการวิเคราะห์รายละเอียดและตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และเราแนะนำพวกเขาอย่างแน่นอน

เพื่อที่จะได้รับความช่วยเหลือจากงานของเรา คุณต้องช่วยยืดอายุตำราเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ - 299 ถู
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมด 99 บทความของบทช่วยสอน - 999 ถู

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนและเข้าถึงงานทั้งหมดและเปิดอ่านข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

ในกรณีที่สอง เราจะให้คุณโปรแกรมจำลอง "งาน 6000 พร้อมคำตอบและคำตอบ สำหรับแต่ละหัวข้อ สำหรับทุกระดับของความซับซ้อน" เพียงพอที่จะแก้ไขปัญหาในหัวข้อใดก็ได้

อันที่จริง นี่เป็นมากกว่าแค่เครื่องจำลอง - เป็นโปรแกรมการฝึกอบรมทั้งหมด หากจำเป็น คุณยังสามารถใช้งานได้ฟรี

เข้าถึงข้อความและโปรแกรมทั้งหมดได้ตลอดอายุของเว็บไซต์

สรุปแล้ว...

ถ้าคุณไม่ชอบงานของเรา หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจ” กับ “ฉันรู้วิธีแก้ปัญหา” เป็นทักษะที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

พบปัญหาและแก้ไข!

ตามตำราของ Sovetov และ Yakovlev: “แบบจำลอง (lat. โมดูลัส - การวัด) เป็นการทดแทนวัตถุของวัตถุดั้งเดิมโดยให้การศึกษาคุณสมบัติบางอย่างของต้นฉบับ” (หน้า 6) “การแทนที่วัตถุหนึ่งด้วยวัตถุอื่นเพื่อรับข้อมูลเกี่ยวกับคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของวัตถุดั้งเดิมโดยใช้วัตถุแบบจำลองเรียกว่าการสร้างแบบจำลอง” (หน้า 6) “ภายใต้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เราจะเข้าใจกระบวนการสร้างสัมพันธ์กับวัตถุจริงที่กำหนดของวัตถุทางคณิตศาสตร์บางอย่างที่เรียกว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ และการศึกษาแบบจำลองนี้ ซึ่งทำให้ได้ลักษณะของวัตถุจริงที่อยู่ในการพิจารณา . ประเภทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับทั้งธรรมชาติของวัตถุจริงและงานของการศึกษาวัตถุและความน่าเชื่อถือและความถูกต้องที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้

สุดท้าย คำจำกัดความที่กระชับที่สุดของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์: “สมการแสดงความคิด"

การจำแนกแบบจำลอง

การจำแนกแบบจำลองอย่างเป็นทางการ

การจำแนกแบบจำลองอย่างเป็นทางการขึ้นอยู่กับการจำแนกประเภทของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ มักสร้างขึ้นในรูปแบบของการแบ่งขั้ว ตัวอย่างเช่น ชุดไดโคโทมียอดนิยมชุดหนึ่งคือ:

ฯลฯ แบบจำลองที่สร้างขึ้นแต่ละแบบเป็นแบบเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น กำหนดหรือสุ่ม ... โดยธรรมชาติแล้ว แบบผสมก็เป็นไปได้เช่นกัน: เน้นในลักษณะหนึ่ง (ในแง่ของพารามิเตอร์) แบบจำลองแบบกระจายในอีกรูปแบบหนึ่ง เป็นต้น

การจำแนกตามวิธีการแสดงวัตถุ

นอกจากการจำแนกประเภทที่เป็นทางการแล้ว แบบจำลองต่างๆ ยังแตกต่างกันไปตามวิธีการเป็นตัวแทนของวัตถุ:

• แบบจำลองโครงสร้างหรือการใช้งาน

แบบจำลองโครงสร้างเป็นตัวแทนของวัตถุในฐานะระบบที่มีอุปกรณ์และกลไกการทำงานของตัวเอง แบบจำลองการทำงานไม่ได้ใช้การแสดงแทนดังกล่าวและสะท้อนถึงพฤติกรรมการรับรู้ภายนอก (การทำงาน) ของวัตถุเท่านั้น ในการแสดงออกที่รุนแรง พวกเขาจะเรียกว่าโมเดล "กล่องดำ" นอกจากนี้ยังสามารถรวมประเภทของแบบจำลองซึ่งบางครั้งเรียกว่าแบบจำลอง "กล่องสีเทา"

เนื้อหาและรูปแบบที่เป็นทางการ

ผู้เขียนเกือบทั้งหมดที่อธิบายกระบวนการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ระบุว่าในขั้นแรก การก่อสร้างในอุดมคติแบบพิเศษได้ถูกสร้างขึ้น โมเดลเนื้อหา. ไม่มีศัพท์เฉพาะในที่นี้ และผู้เขียนคนอื่นๆ เรียกสิ่งนี้ว่า วัตถุในอุดมคติ รูปแบบความคิด , แบบจำลองเก็งกำไรหรือ พรีโมเดล. ในกรณีนี้ จะเรียกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ขั้นสุดท้ายว่า แบบเป็นทางการหรือเพียงแค่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับจากการจัดรูปแบบเนื้อหานี้ให้เป็นแบบแผน (รุ่นก่อนแบบจำลอง) การสร้างแบบจำลองที่มีความหมายสามารถทำได้โดยใช้ชุดของอุดมคติสำเร็จรูป เช่นในกลไก ซึ่งสปริงในอุดมคติ ตัวเครื่องที่แข็งแรง ลูกตุ้มในอุดมคติ สื่อยืดหยุ่น ฯลฯ จัดเตรียมองค์ประกอบโครงสร้างสำเร็จรูปสำหรับการสร้างแบบจำลองที่มีความหมาย อย่างไรก็ตาม ในด้านความรู้ที่ไม่มีทฤษฎีที่เป็นทางการที่สมบูรณ์ (ความล้ำหน้าของฟิสิกส์ ชีววิทยา เศรษฐศาสตร์ สังคมวิทยา จิตวิทยา และสาขาอื่น ๆ ส่วนใหญ่) การสร้างแบบจำลองที่มีความหมายนั้นซับซ้อนกว่ามาก

การจำแนกแบบจำลองที่มีความหมาย

ไม่มีสมมติฐานทางวิทยาศาสตร์ใดที่สามารถพิสูจน์ได้ในคราวเดียว Richard Feynman กล่าวไว้อย่างชัดเจน:

“เรามีความสามารถในการพิสูจน์หักล้างทฤษฎีได้เสมอ แต่โปรดทราบว่าเราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎีนั้นถูกต้อง สมมติว่าคุณเสนอสมมติฐานที่ประสบความสำเร็จ คำนวณจากตำแหน่งที่นำไปสู่ ​​และพบว่าผลที่ตามมาทั้งหมดได้รับการยืนยันจากการทดลอง นี่หมายความว่าทฤษฎีของคุณถูกต้องหรือไม่? ไม่ มันหมายความว่าคุณล้มเหลวในการหักล้างมัน

หากมีการสร้างแบบจำลองประเภทแรกขึ้น แสดงว่าแบบจำลองนั้นรับรู้ชั่วคราวว่าเป็นความจริงและสามารถมุ่งความสนใจไปที่ปัญหาอื่นๆ ได้ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่สามารถเป็นจุดในการวิจัยได้ แต่เป็นการหยุดชั่วคราว: สถานะของแบบจำลองประเภทแรกสามารถอยู่ได้เพียงชั่วคราวเท่านั้น

ประเภทที่ 2: แบบจำลองปรากฏการณ์ (ทำตัวเหมือน…)

แบบจำลองปรากฏการณ์วิทยามีกลไกในการอธิบายปรากฏการณ์ อย่างไรก็ตาม กลไกนี้ไม่น่าเชื่อถือเพียงพอ ไม่สามารถยืนยันเพียงพอโดยข้อมูลที่มีอยู่ หรือไม่เห็นด้วยดีกับทฤษฎีที่มีอยู่และความรู้ที่สะสมเกี่ยวกับวัตถุ ดังนั้น แบบจำลองปรากฏการณ์วิทยาจึงมีสถานะของการแก้ปัญหาชั่วคราว เชื่อว่ายังไม่ทราบคำตอบและจำเป็นต้องค้นหา "กลไกที่แท้จริง" ต่อไป ตัวอย่างเช่น Peierls อ้างถึงแบบจำลองแคลอรี่และแบบจำลองควาร์กของอนุภาคมูลฐานเป็นประเภทที่สอง

บทบาทของตัวแบบในการวิจัยอาจเปลี่ยนแปลงได้เมื่อเวลาผ่านไป ข้อมูลและทฤษฎีใหม่ๆ อาจเกิดขึ้นได้เพื่อยืนยันแบบจำลองทางปรากฏการณ์วิทยาและได้รับการเลื่อนตำแหน่งให้เป็นสมมติฐาน ในทำนองเดียวกัน ความรู้ใหม่อาจค่อยๆ ขัดแย้งกับแบบจำลอง - สมมติฐานประเภทแรก และสามารถถ่ายโอนไปยังความรู้ที่สองได้ ดังนั้น แบบจำลองควาร์กจึงค่อยๆ เคลื่อนเข้าสู่หมวดหมู่ของสมมติฐาน อะตอมในฟิสิกส์เกิดขึ้นเป็นวิธีแก้ปัญหาชั่วคราว แต่ด้วยประวัติศาสตร์ก็ผ่านเข้าสู่ประเภทแรก แต่โมเดลอีเธอร์ได้เปลี่ยนจากประเภทที่ 1 เป็นประเภทที่ 2 และตอนนี้โมเดลเหล่านี้อยู่นอกเหนือวิทยาศาสตร์

แนวคิดเรื่องการทำให้เข้าใจง่ายเป็นที่นิยมอย่างมากเมื่อสร้างแบบจำลอง แต่การทำให้เข้าใจง่ายแตกต่างกัน Peierls แยกแยะความแตกต่างของการทำให้เข้าใจง่ายสามประเภทในการสร้างแบบจำลอง

ประเภท 3: ค่าประมาณ (บางอย่างถือว่าใหญ่มากหรือเล็กมาก)

หากสามารถสร้างสมการที่อธิบายระบบที่กำลังศึกษาอยู่ ไม่ได้หมายความว่าจะแก้ได้แม้จะใช้คอมพิวเตอร์ช่วยก็ตาม เทคนิคทั่วไปในกรณีนี้คือการใช้การประมาณ (แบบจำลองประเภท 3) ในหมู่พวกเขา แบบจำลองการตอบสนองเชิงเส้น. สมการจะถูกแทนที่ด้วยสมการเชิงเส้น ตัวอย่างมาตรฐานคือกฎของโอห์ม

และนี่คือประเภทที่ 8 ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบทางชีววิทยา

ประเภทที่ 8: การสาธิตความเป็นไปได้ (สิ่งสำคัญคือการแสดงความสอดคล้องภายในของความเป็นไปได้)

สิ่งเหล่านี้ยังเป็นการทดลองทางความคิดกับสิ่งที่อยู่ในจินตภาพอีกด้วย ซึ่งแสดงให้เห็นว่า ปรากฏการณ์ที่ควรจะเป็นสอดคล้องกับหลักการพื้นฐานและความสอดคล้องภายใน นี่คือข้อแตกต่างหลักจากรุ่น 7 ที่เผยให้เห็นความขัดแย้งที่ซ่อนอยู่

หนึ่งในการทดลองที่มีชื่อเสียงที่สุดคือเรขาคณิตของ Lobachevsky (Lobachevsky เรียกมันว่า "เรขาคณิตจินตภาพ") อีกตัวอย่างหนึ่งคือการผลิตจำนวนมากของแบบจำลองจลนศาสตร์อย่างเป็นทางการของการแกว่งทางเคมีและชีวภาพ คลื่นอัตโนมัติ ฯลฯ ความขัดแย้งของ Einstein-Podolsky-Rosen ถูกมองว่าเป็นแบบจำลองประเภท 7 เพื่อแสดงให้เห็นถึงความไม่สอดคล้องกันของกลศาสตร์ควอนตัม ในทางที่ไม่ได้วางแผนอย่างสมบูรณ์ ในที่สุดก็กลายเป็นแบบจำลองประเภท 8 ซึ่งเป็นการสาธิตความเป็นไปได้ของการเคลื่อนย้ายข้อมูลด้วยควอนตัม

ตัวอย่าง

พิจารณาระบบกลไกที่ประกอบด้วยสปริงจับจ้องอยู่ที่ปลายด้านหนึ่งและรับน้ำหนัก มติดกับปลายสปริงอิสระ เราจะถือว่าโหลดสามารถเคลื่อนที่ได้เฉพาะในทิศทางของแกนสปริง (เช่น การเคลื่อนที่เกิดขึ้นตามแนวแกน) ให้เราสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบนี้ เราจะอธิบายสถานะของระบบตามระยะทาง xจากศูนย์กลางของโหลดไปยังตำแหน่งสมดุล ให้เราอธิบายการโต้ตอบของสปริงและโหลดโดยใช้ กฎของฮุก (F = − kx ) หลังจากนั้นเราใช้กฎข้อที่สองของนิวตันเพื่อแสดงในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์:

โดยที่หมายถึงอนุพันธ์อันดับสองของ xตามเวลา: .

สมการที่ได้จะอธิบายแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบทางกายภาพที่พิจารณา รูปแบบนี้เรียกว่า "ฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์"

ตามการจัดประเภทที่เป็นทางการ โมเดลนี้เป็นเชิงเส้น กำหนด ไดนามิก เข้มข้น ต่อเนื่อง ในกระบวนการสร้าง เราตั้งสมมติฐานหลายอย่าง (เกี่ยวกับการไม่มีแรงภายนอก การไม่มีแรงเสียดทาน ความเบี่ยงเบนเล็กน้อย ฯลฯ) ซึ่งในความเป็นจริงอาจไม่สำเร็จ

ตามความเป็นจริงแล้ว โมเดลนี้มักจะเป็นแบบที่ 4 การทำให้เข้าใจง่าย(“เราละรายละเอียดบางอย่างเพื่อความชัดเจน”) เนื่องจากคุณสมบัติสากลที่จำเป็นบางอย่าง (เช่น การกระจายตัว) ถูกละไว้ ในการประมาณค่าบางอย่าง (เช่น ตราบใดที่ความเบี่ยงเบนของโหลดจากสมดุลยังน้อย มีแรงเสียดทานน้อย ไม่นานเกินไปและอยู่ภายใต้เงื่อนไขอื่นๆ บางอย่าง) โมเดลดังกล่าวอธิบายระบบกลไกที่แท้จริงได้ค่อนข้างดี เนื่องจาก ปัจจัยที่ถูกละทิ้งมีผลกระทบเล็กน้อยต่อพฤติกรรมของมัน อย่างไรก็ตาม โมเดลนี้สามารถปรับแต่งได้โดยคำนึงถึงปัจจัยเหล่านี้บางส่วน สิ่งนี้จะนำไปสู่โมเดลใหม่ที่มีขอบเขตที่กว้างขึ้น (แต่ก็ถูกจำกัดอีกครั้ง)

อย่างไรก็ตาม เมื่อแบบจำลองได้รับการขัดเกลา ความซับซ้อนของการศึกษาทางคณิตศาสตร์ของมันสามารถเพิ่มขึ้นอย่างมากและทำให้แบบจำลองแทบไร้ประโยชน์ บ่อยครั้ง โมเดลที่เรียบง่ายช่วยให้คุณสำรวจระบบจริงได้ดียิ่งขึ้นและลึกซึ้งยิ่งขึ้น มากกว่าแบบจำลองที่ซับซ้อนกว่า (และเป็นทางการ "ถูกต้องกว่า")

หากเราใช้แบบจำลองฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์กับวัตถุที่อยู่ไกลจากฟิสิกส์ สถานะที่มีความหมายอาจแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้แบบจำลองนี้กับประชากรทางชีววิทยา น่าจะมาจากประเภท 6 ความคล้ายคลึง(“มาพิจารณาคุณสมบัติบางอย่างเท่านั้น”)

รุ่นแข็งและอ่อน

ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างของรูปแบบที่เรียกว่า "ฮาร์ด" ได้มาจากการสร้างอุดมคติที่แข็งแกร่งของระบบทางกายภาพที่แท้จริง ในการแก้ไขปัญหาการบังคับใช้จำเป็นต้องเข้าใจว่าปัจจัยที่เราละเลยไปมีความสำคัญเพียงใด กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำเป็นต้องตรวจสอบโมเดล "อ่อน" ซึ่งได้มาจากการรบกวนเล็กน้อยของโมเดล "แข็ง" สามารถให้ได้ตัวอย่างเช่นโดยสมการต่อไปนี้:

ที่นี่ - ฟังก์ชั่นบางอย่างซึ่งสามารถคำนึงถึงแรงเสียดทานหรือการพึ่งพาค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริงกับระดับการยืด - พารามิเตอร์เล็ก ๆ บางอย่าง รูปแบบที่ชัดเจนของฟังก์ชัน ฉเราไม่สนใจในขณะนี้ หากเราพิสูจน์ว่าพฤติกรรมของแบบจำลองที่อ่อนนุ่มนั้นไม่ได้มีความแตกต่างโดยพื้นฐานจากพฤติกรรมของแบบจำลองที่แข็ง (โดยไม่คำนึงถึงรูปแบบที่ชัดเจนของปัจจัยที่ก่อกวน หากมีขนาดเล็กเพียงพอ) ปัญหาจะลดลงเหลือเพียงการศึกษาแบบจำลองที่ยาก มิฉะนั้น การประยุกต์ใช้ผลลัพธ์ที่ได้จากการศึกษาแบบจำลองที่เข้มงวดจะต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น คำตอบของสมการของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์คือฟังก์ชันของรูปแบบ นั่นคือ การแกว่งที่มีแอมพลิจูดคงที่ จากนี้ไปออสซิลเลเตอร์จริงจะแกว่งไปเรื่อย ๆ ด้วยแอมพลิจูดคงที่หรือไม่? ไม่ เนื่องจากการพิจารณาระบบที่มีการเสียดสีเล็กน้อยตามอำเภอใจ (มักอยู่ในระบบจริงเสมอ) เราจึงเกิดการสั่นสะท้าน พฤติกรรมของระบบมีการเปลี่ยนแปลงในเชิงคุณภาพ

หากระบบยังคงพฤติกรรมเชิงคุณภาพภายใต้การรบกวนเล็กน้อย ถือว่ามีเสถียรภาพทางโครงสร้าง ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างของระบบโครงสร้างที่ไม่เสถียร (ไม่หยาบ) อย่างไรก็ตาม โมเดลนี้สามารถใช้เพื่อศึกษากระบวนการในช่วงเวลาจำกัด

ความเป็นสากลของรุ่น

ตัวแบบทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดมักจะมีคุณสมบัติที่สำคัญ ความเป็นสากล: ปรากฏการณ์จริงที่แตกต่างกันโดยพื้นฐานสามารถอธิบายได้ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เดียวกัน ตัวอย่างเช่น ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกไม่ได้อธิบายเฉพาะพฤติกรรมของโหลดบนสปริงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงกระบวนการออสซิลเลเตอร์อื่นๆ ซึ่งมักจะมีลักษณะที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง: การสั่นเล็กน้อยของลูกตุ้ม การผันผวนของระดับของเหลวใน ยู- รูปภาชนะหรือการเปลี่ยนแปลงของความแรงของกระแสในวงจรออสซิลเลเตอร์ ดังนั้น จากการศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หนึ่งแบบจำลอง เราจึงศึกษาปรากฏการณ์ทั้งชั้นที่อธิบายโดยแบบจำลองนั้นในคราวเดียว ความผิดเพี้ยนของกฎที่แสดงโดยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในส่วนต่างๆ ของความรู้ทางวิทยาศาสตร์ที่ทำให้ Ludwig von Bertalanffy สร้าง "ทฤษฎีระบบทั่วไป"

ปัญหาทางตรงและทางผกผันของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

มีปัญหามากมายที่เกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ประการแรก จำเป็นต้องสร้างโครงร่างพื้นฐานของวัตถุที่กำลังถูกจำลอง เพื่อทำซ้ำภายในกรอบของการทำให้เป็นอุดมคติของวิทยาศาสตร์นี้ ดังนั้น รถยนต์รถไฟจึงกลายเป็นระบบของเพลตและวัตถุที่ซับซ้อนมากขึ้นที่ทำจากวัสดุที่แตกต่างกัน วัสดุแต่ละชนิดถูกกำหนดให้เป็นอุดมคติทางกลมาตรฐาน (ความหนาแน่น โมดูลียืดหยุ่น ลักษณะความแข็งแรงมาตรฐาน) หลังจากนั้นจะวาดสมการขึ้นตลอดทาง รายละเอียดบางอย่างถูกยกเลิกเนื่องจากไม่มีนัยสำคัญ มีการคำนวณ เปรียบเทียบกับการวัด แบบจำลองได้รับการขัดเกลา และอื่นๆ อย่างไรก็ตาม สำหรับการพัฒนาเทคโนโลยีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จะเป็นประโยชน์ในการแยกกระบวนการนี้ออกเป็นองค์ประกอบหลัก

ตามเนื้อผ้า มีปัญหาหลักสองประเภทที่เกี่ยวข้องกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์: ตรงและผกผัน

ปัญหาโดยตรง: พิจารณาโครงสร้างของแบบจำลองและพารามิเตอร์ทั้งหมด หน้าที่หลักคือการศึกษาแบบจำลองเพื่อดึงความรู้ที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับวัตถุ สะพานสามารถทนต่อภาระสถิตใดได้บ้าง? มันจะตอบสนองต่อโหลดแบบไดนามิกอย่างไร (เช่นในการเดินขบวนของกองทหารหรือทางเดินของรถไฟด้วยความเร็วที่แตกต่างกัน) เครื่องบินจะเอาชนะอุปสรรคเสียงได้อย่างไรไม่ว่าจะกระพือปีกหรือไม่ - นี่เป็นตัวอย่างทั่วไปของงานโดยตรง การกำหนดปัญหาโดยตรงที่ถูกต้อง (การถามคำถามที่ถูกต้อง) ต้องใช้ทักษะพิเศษ หากไม่ถามคำถามที่ถูกต้อง สะพานอาจพังได้ แม้ว่าจะมีการสร้างแบบจำลองที่ดีสำหรับพฤติกรรมของสะพานก็ตาม ดังนั้นในปี พ.ศ. 2422 ในอังกฤษ สะพานโลหะข้ามแม่น้ำเทย์จึงถล่มลงมา ผู้ออกแบบได้สร้างแบบจำลองของสะพานขึ้น โดยคำนวณจากระยะขอบ 20 เท่าของความปลอดภัยสำหรับน้ำหนักบรรทุก แต่ลืมไปว่าลมที่พัดตลอดเวลานั้น สถานที่. และหลังจากนั้นหนึ่งปีครึ่งมันก็พังทลายลง

ในกรณีที่ง่ายที่สุด (เช่น สมการออสซิลเลเตอร์หนึ่งสมการ) ปัญหาโดยตรงจะง่ายมากและลดลงเป็นคำตอบที่ชัดเจนของสมการนี้

ปัญหาผกผัน: รู้จักโมเดลที่เป็นไปได้มากมาย จำเป็นต้องเลือกโมเดลเฉพาะตามข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับออบเจ็กต์ ส่วนใหญ่มักจะรู้จักโครงสร้างของแบบจำลองและจำเป็นต้องกำหนดพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักบางตัว ข้อมูลเพิ่มเติมอาจประกอบด้วยข้อมูลเชิงประจักษ์เพิ่มเติมหรือในข้อกำหนดสำหรับวัตถุ ( งานออกแบบ). ข้อมูลเพิ่มเติมสามารถเกิดขึ้นได้โดยไม่คำนึงถึงกระบวนการแก้ปัญหาผกผัน ( การสังเกตแบบพาสซีฟ) หรือเป็นผลจากการทดลองที่วางแผนไว้เป็นพิเศษในระหว่างการแก้ ( การเฝ้าระวังเชิงรุก).

ตัวอย่างแรกๆ ของวิธีแก้ปัญหาอัจฉริยะของปัญหาผกผันที่มีการใช้ข้อมูลที่มีอยู่อย่างเต็มที่มากที่สุดคือวิธีการที่สร้างขึ้นโดย I. Newton สำหรับการสร้างแรงเสียดทานใหม่จากการสั่นของแดมเปอร์ที่สังเกตได้

ตัวอย่างเพิ่มเติม

ที่ไหน x ส- ขนาดประชากร "สมดุล" ซึ่งอัตราการเกิดได้รับการชดเชยอย่างแน่นอนโดยอัตราการเสียชีวิต ขนาดประชากรในแบบจำลองดังกล่าวมีแนวโน้มที่ค่าดุลยภาพ x สและพฤติกรรมนี้มีความเสถียรทางโครงสร้าง

ระบบนี้มีสภาวะสมดุลซึ่งจำนวนกระต่ายและจิ้งจอกจะคงที่ การเบี่ยงเบนจากสถานะนี้นำไปสู่ความผันผวนของจำนวนกระต่ายและสุนัขจิ้งจอก คล้ายกับความผันผวนของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ ในกรณีของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ พฤติกรรมนี้ไม่มีความเสถียรทางโครงสร้าง: การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในแบบจำลอง (เช่น การพิจารณาทรัพยากรที่จำกัดที่กระต่ายต้องการ) อาจนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพในพฤติกรรม ตัวอย่างเช่น สภาวะสมดุลสามารถมีเสถียรภาพ และความผันผวนของประชากรจะลดลง สถานการณ์ตรงกันข้ามก็เป็นไปได้เช่นกัน เมื่อการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากตำแหน่งสมดุลจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ร้ายแรง จนถึงการสูญพันธุ์โดยสมบูรณ์ของหนึ่งในสายพันธุ์ สำหรับคำถามที่ว่าสถานการณ์ใดเกิดขึ้นจริง โมเดล Volterra-Lotka ไม่ได้ให้คำตอบ: จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติมที่นี่

หมายเหตุ

1. "การแทนค่าทางคณิตศาสตร์ของความเป็นจริง" (Encyclopaedia Britanica)
2. โนวิก ไอ.บี., เกี่ยวกับคำถามเชิงปรัชญาของการสร้างแบบจำลองไซเบอร์เนติกส์ ม., ความรู้, 2507.
3. Sovetov B. Ya. , Yakovlev S. A., การสร้างแบบจำลองระบบ: Proc. สำหรับมหาวิทยาลัย - ครั้งที่ 3, ปรับปรุง. และเพิ่มเติม - ม.: สูงกว่า. โรงเรียน 2544. - 343 น. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A. , Mikhailov A. P.แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ไอเดีย. วิธีการ ตัวอย่าง. . - 2nd ed., Rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. มิชกิส เอ.ดี., องค์ประกอบของทฤษฎีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์. - ครั้งที่ 3 รายได้ - M.: KomKniga, 2007. - 192 with ISBN 978-5-484-00953-4
6. วิกิพจนานุกรม: แบบจำลองทางคณิตศาสตร์
7. คลิฟส์โน้ต
8. การลดแบบจำลองและแนวทางการเกรนหยาบสำหรับปรากฏการณ์หลายขนาด, สปริงเกอร์, ซีรีส์ความซับซ้อน, เบอร์ลิน-ไฮเดลเบิร์ก-นิวยอร์ก, 2549. XII+562 pp. ไอเอสบีเอ็น 3-540-35885-4
9. “ทฤษฎีที่ถือว่าเป็นเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น ขึ้นอยู่กับว่า - เครื่องมือเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น - เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ อะไร - เชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น - แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ ...โดยไม่ปฏิเสธอย่างหลัง นักฟิสิกส์สมัยใหม่ ถ้าเขาบังเอิญกำหนดเอนทิตีที่สำคัญเช่น non-linearity ใหม่ ก็มักจะทำหน้าที่แตกต่างออกไป และโดยเลือกความไม่เป็นเชิงเส้นว่ามีความสำคัญมากกว่าและเป็นเรื่องธรรมดาของสิ่งที่ตรงกันข้ามทั้งสอง จะนิยามความเป็นเส้นตรงว่า "ไม่ใช่-ไม่ใช่- ความเป็นเส้นตรง” Danilov Yu. A., การบรรยายเกี่ยวกับพลวัตไม่เชิงเส้น. เบื้องต้นเบื้องต้น. Synergetics จากอดีตสู่อนาคต เอ็ด.2. - M.: URSS, 2549. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
10. “ระบบไดนามิกที่สร้างแบบจำลองโดยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญจำนวนจำกัดเรียกว่าระบบก้อนหรือระบบจุด มีการอธิบายโดยใช้พื้นที่เฟสที่มีขอบเขตจำกัด และมีลักษณะเป็นองศาอิสระจำนวนจำกัด ระบบเดียวและระบบเดียวกันภายใต้เงื่อนไขที่แตกต่างกันสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นระบบเข้มข้นหรือแบบกระจาย ตัวแบบทางคณิตศาสตร์ของระบบแบบกระจายคือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย สมการปริพันธ์ หรือสมการหน่วงเวลาธรรมดา จำนวนองศาอิสระของระบบแบบกระจายนั้นไม่มีที่สิ้นสุด และจำเป็นต้องมีข้อมูลจำนวนไม่สิ้นสุดเพื่อกำหนดสถานะของระบบ Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, ฉบับที่ 11, p. 77-84.
11. “ขึ้นอยู่กับธรรมชาติของกระบวนการที่ศึกษาในระบบ S การสร้างแบบจำลองทุกประเภทสามารถแบ่งออกเป็นแบบกำหนดและสุ่ม แบบคงที่และแบบไดนามิก แบบไม่ต่อเนื่อง แบบต่อเนื่อง และแบบไม่ต่อเนื่องแบบต่อเนื่อง แบบจำลองเชิงกำหนดจะแสดงกระบวนการที่กำหนดขึ้นเอง กล่าวคือ กระบวนการที่ถือว่าไม่มีอิทธิพลแบบสุ่มใดๆ เกิดขึ้น แบบจำลองสุ่มแสดงกระบวนการและเหตุการณ์ที่น่าจะเป็น … แบบจำลองคงที่ใช้เพื่ออธิบายพฤติกรรมของวัตถุ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง ในขณะที่การสร้างแบบจำลองแบบไดนามิกจะสะท้อนพฤติกรรมของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง การสร้างแบบจำลองแบบไม่ต่อเนื่องใช้เพื่ออธิบายกระบวนการที่ถือว่าไม่ต่อเนื่องตามลำดับ การสร้างแบบจำลองต่อเนื่องช่วยให้คุณสะท้อนถึงกระบวนการที่ต่อเนื่องในระบบ และการสร้างแบบจำลองต่อเนื่องแบบไม่ต่อเนื่องจะใช้สำหรับกรณีที่คุณต้องการเน้นการมีอยู่ของกระบวนการที่ไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง Sovetov B. Ya. , Yakovlev S. A., การสร้างแบบจำลองระบบ: Proc. สำหรับมหาวิทยาลัย - ครั้งที่ 3, ปรับปรุง. และเพิ่มเติม - ม.: สูงกว่า. โรงเรียน 2544. - 343 น. ISBN 5-06-003860-2
12. โดยปกติ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จะสะท้อนโครงสร้าง (อุปกรณ์) ของวัตถุที่กำลังสร้างแบบจำลอง คุณสมบัติและการเชื่อมต่อระหว่างส่วนประกอบต่างๆ ของวัตถุนี้ซึ่งจำเป็นสำหรับวัตถุประสงค์ของการศึกษา แบบจำลองดังกล่าวเรียกว่าโครงสร้าง หากแบบจำลองสะท้อนถึงวิธีการทำงานของวัตถุเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ปฏิกิริยาตอบสนองต่ออิทธิพลภายนอก จะเรียกว่ากล่องดำที่ใช้งานได้จริงหรือในเชิงเปรียบเทียบ โมเดลรวมก็เป็นไปได้เช่นกัน มิชกิส เอ.ดี., องค์ประกอบของทฤษฎีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์. - ครั้งที่ 3 รายได้ - M.: KomKniga, 2007. - 192 with ISBN 978-5-484-00953-4
13. “ชัดเจน แต่ขั้นตอนเริ่มต้นที่สำคัญที่สุดในการสร้างหรือเลือกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือการได้แนวคิดที่ชัดเจนที่สุดเกี่ยวกับวัตถุที่กำลังสร้างแบบจำลองและปรับแต่งโมเดลเนื้อหาตามการสนทนาที่ไม่เป็นทางการ ไม่ควรสละเวลาและความพยายามในขั้นตอนนี้ ความสำเร็จของการศึกษาทั้งหมดส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับมัน เกิดขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้งที่งานจำนวนมากที่ใช้ไปในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์กลับกลายเป็นว่าไม่ได้ผลหรือสูญเปล่าเพราะไม่สนใจเรื่องด้านนี้เลย มิชกิส เอ.ดี., องค์ประกอบของทฤษฎีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์. - ครั้งที่ 3 รายได้ - M.: KomKniga, 2007. - 192 with ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
14. « คำอธิบายของรูปแบบแนวคิดของระบบในขั้นตอนย่อยของการสร้างแบบจำลองระบบ: ก) แบบจำลองแนวคิด M ถูกอธิบายในศัพท์และแนวคิดที่เป็นนามธรรม b) คำอธิบายของแบบจำลองได้รับโดยใช้รูปแบบทางคณิตศาสตร์ทั่วไป ค) สมมติฐานและสมมติฐานเป็นที่ยอมรับในที่สุด d) การเลือกขั้นตอนสำหรับการประมาณกระบวนการจริงเมื่อสร้างแบบจำลองได้รับการพิสูจน์แล้ว Sovetov B. Ya. , Yakovlev S. A., การสร้างแบบจำลองระบบ: Proc. สำหรับมหาวิทยาลัย - ครั้งที่ 3, ปรับปรุง. และเพิ่มเติม - ม.: สูงกว่า. โรงเรียน 2544. - 343 น. ISBN 5-06-003860-2, หน้า 93.

แนวคิดของแบบจำลองและการจำลอง

แบบจำลองในความหมายกว้าง- นี่คือภาพใดๆ ที่คล้ายคลึงกันของภาพในจิตใจหรือภาพที่สร้างขึ้น คำอธิบาย ไดอะแกรม ภาพวาด แผนที่ ฯลฯ ของปริมาณ กระบวนการหรือปรากฏการณ์ใดๆ ที่ใช้แทนหรือเป็นตัวแทน วัตถุ กระบวนการ หรือปรากฏการณ์นั้นเรียกว่าต้นแบบของโมเดลนี้

การสร้างแบบจำลอง - เป็นการศึกษาวัตถุหรือระบบของวัตถุใด ๆ โดยการสร้างและศึกษาแบบจำลองของมัน นี่คือการใช้แบบจำลองเพื่อกำหนดหรือปรับแต่งคุณลักษณะและหาเหตุผลเข้าข้างตนเองของวิธีการสร้างวัตถุที่สร้างขึ้นใหม่

วิธีการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ใด ๆ ขึ้นอยู่กับแนวคิดของการสร้างแบบจำลองในเวลาเดียวกันเครื่องหมายประเภทต่างๆแบบจำลองนามธรรมถูกนำมาใช้ในวิธีการทางทฤษฎีและแบบจำลองหัวเรื่องที่ใช้ในการทดลอง

ในการศึกษานี้ ปรากฏการณ์จริงที่ซับซ้อนถูกแทนที่ด้วยสำเนาหรือโครงร่างที่ง่ายขึ้น บางครั้งสำเนาดังกล่าวมีไว้เพื่อจดจำและรับรู้ปรากฏการณ์ที่ต้องการในการประชุมครั้งต่อไปเท่านั้น บางครั้งรูปแบบที่สร้างขึ้นสะท้อนถึงคุณสมบัติที่สำคัญบางอย่างช่วยให้คุณเข้าใจกลไกของปรากฏการณ์ทำให้สามารถทำนายการเปลี่ยนแปลงได้ โมเดลที่แตกต่างกันสามารถสอดคล้องกับปรากฏการณ์เดียวกันได้

หน้าที่ของผู้วิจัยคือการทำนายธรรมชาติของปรากฏการณ์และกระบวนการ

บางครั้ง วัตถุมีอยู่จริง แต่การทดลองกับวัตถุนั้นมีราคาแพงหรือนำไปสู่ผลกระทบด้านสิ่งแวดล้อมที่ร้ายแรง ความรู้เกี่ยวกับกระบวนการดังกล่าวได้มาจากความช่วยเหลือของแบบจำลอง

จุดสำคัญคือธรรมชาติของวิทยาศาสตร์ไม่ได้เกี่ยวข้องกับการศึกษาปรากฏการณ์เฉพาะอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่เป็นปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้องกันในวงกว้าง มันแสดงถึงความจำเป็นในการกำหนดข้อความหมวดหมู่ทั่วไปซึ่งเรียกว่ากฎหมาย โดยธรรมชาติแล้ว ด้วยสูตรดังกล่าว รายละเอียดมากมายจึงถูกละเลย เพื่อที่จะระบุรูปแบบได้ชัดเจนยิ่งขึ้น พวกเขาจงใจใช้ความหยาบ การทำให้เป็นอุดมคติ แผนผัง กล่าวคือ พวกเขาไม่ได้ศึกษาปรากฏการณ์นั้นเอง แต่เป็นสำเนาหรือแบบจำลองที่แน่นอนไม่มากก็น้อย กฎหมายทั้งหมดเป็นกฎหมายเกี่ยวกับแบบจำลอง ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่เมื่อเวลาผ่านไป จะพบว่าทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์บางอย่างใช้ไม่ได้ สิ่งนี้ไม่ได้นำไปสู่การล่มสลายของวิทยาศาสตร์ เนื่องจากแบบจำลองหนึ่งถูกแทนที่ด้วยแบบจำลองอื่น ทันสมัยขึ้น.

บทบาทพิเศษทางวิทยาศาสตร์เล่นโดยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ วัสดุก่อสร้างและเครื่องมือของแบบจำลองเหล่านี้ - แนวคิดทางคณิตศาสตร์ ได้สะสมและปรับปรุงมาเป็นเวลาหลายพันปี คณิตศาสตร์สมัยใหม่เป็นวิธีการวิจัยที่มีประสิทธิภาพและเป็นสากล เกือบทุกแนวคิดในวิชาคณิตศาสตร์ ทุกวัตถุทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากแนวคิดของตัวเลข เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เมื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุหรือปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาอยู่ คุณลักษณะ คุณลักษณะ และรายละเอียดของวัตถุนั้นจะถูกแยกออกมา ซึ่งในอีกด้านหนึ่ง มีข้อมูลที่ครบถ้วนสมบูรณ์เกี่ยวกับวัตถุนั้นไม่มากก็น้อย และในทางกลับกัน อนุญาตให้ การทำให้เป็นทางการทางคณิตศาสตร์ การจัดรูปแบบทางคณิตศาสตร์หมายความว่าคุณลักษณะและรายละเอียดของวัตถุสามารถเชื่อมโยงกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมเพียงพอ: ตัวเลข ฟังก์ชัน เมทริกซ์ และอื่นๆ จากนั้น การเชื่อมต่อและความสัมพันธ์ที่พบและสันนิษฐานในวัตถุภายใต้การศึกษาระหว่างแต่ละส่วนและส่วนประกอบสามารถเขียนได้โดยใช้ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ ความเท่าเทียมกัน ความไม่เท่าเทียมกัน สมการ ผลที่ได้คือคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการหรือปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษา กล่าวคือ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

การศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักเกี่ยวข้องกับกฎการดำเนินการบางอย่างกับวัตถุที่กำลังศึกษา กฎเหล่านี้สะท้อนถึงความสัมพันธ์ระหว่างเหตุและผล

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นขั้นตอนสำคัญในการศึกษาหรือออกแบบระบบใดๆ การวิเคราะห์วัตถุในภายหลังทั้งหมดขึ้นอยู่กับคุณภาพของแบบจำลอง การสร้างแบบจำลองไม่ใช่ขั้นตอนที่เป็นทางการ ขึ้นอยู่กับผู้วิจัยอย่างมาก ประสบการณ์และรสนิยมของเขา ขึ้นอยู่กับวัสดุทดลองบางอย่างเสมอ แบบจำลองควรมีความถูกต้องเพียงพอ เพียงพอ และสะดวกต่อการใช้งาน

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

การจำแนกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สามารถเป็นมุ่งมั่น และ สุ่ม .

กำหนดขึ้น แบบอย่าง และ - เหล่านี้เป็นแบบจำลองที่มีการกำหนดความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างตัวแปรที่อธิบายวัตถุหรือปรากฏการณ์

วิธีนี้ขึ้นอยู่กับความรู้เกี่ยวกับกลไกการทำงานของวัตถุ วัตถุที่กำลังสร้างแบบจำลองมักจะซับซ้อน และการถอดรหัสกลไกของวัตถุนั้นอาจใช้เวลานานและใช้เวลานาน ในกรณีนี้ พวกเขาดำเนินการดังนี้: การทดลองดำเนินการกับต้นฉบับ ผลลัพธ์จะถูกประมวลผล และโดยไม่ต้องเจาะลึกกลไกและทฤษฎีของวัตถุแบบจำลอง โดยใช้วิธีการของสถิติทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีความน่าจะเป็น พวกเขาสร้างความสัมพันธ์ระหว่าง ตัวแปรที่อธิบายวัตถุ ในกรณีนี้ รับสุ่ม แบบอย่าง . ใน สุ่ม แบบจำลอง ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรเป็นแบบสุ่ม บางครั้งก็เกิดขึ้นโดยพื้นฐาน ผลกระทบของปัจจัยจำนวนมาก การรวมกันของปัจจัยเหล่านี้นำไปสู่ชุดตัวแปรสุ่มที่อธิบายวัตถุหรือปรากฏการณ์ โดยธรรมชาติของโหมด ตัวแบบคือสถิติ และ พลวัต.

สถิติแบบอย่างรวมคำอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรหลักของวัตถุจำลองในสถานะคงตัวโดยไม่คำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงของพารามิเตอร์เมื่อเวลาผ่านไป

ใน พลวัตรุ่นอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรหลักของวัตถุจำลองในการเปลี่ยนจากโหมดหนึ่งไปอีกโหมดหนึ่ง

โมเดลคือ ไม่ต่อเนื่องและ ต่อเนื่อง, เช่นเดียวกับ ผสม พิมพ์. ใน ต่อเนื่อง ตัวแปรรับค่าจากช่วงเวลาหนึ่งในไม่ต่อเนื่องตัวแปรรับค่าที่แยกออกมา

โมเดลเชิงเส้น- ฟังก์ชันและความสัมพันธ์ทั้งหมดที่อธิบายแบบจำลองนั้นขึ้นอยู่กับตัวแปรเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นมิฉะนั้น.

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ความต้องการ , นำเสนอ ให้กับนางแบบ

1. ความเก่งกาจ- กำหนดลักษณะความสมบูรณ์ของการแสดงผลตามแบบจำลองคุณสมบัติที่ศึกษาของวัตถุจริง

1. ความเพียงพอ - ความสามารถในการสะท้อนคุณสมบัติที่ต้องการของวัตถุโดยมีข้อผิดพลาดไม่สูงกว่าที่ระบุ
2. ความแม่นยำ - ประมาณโดยระดับของความบังเอิญของค่าลักษณะของวัตถุจริงและค่าของลักษณะเหล่านี้ที่ได้รับโดยใช้แบบจำลอง
3. เศรษฐกิจ - กำหนดโดยต้นทุนของทรัพยากรหน่วยความจำคอมพิวเตอร์และเวลาสำหรับการใช้งานและการดำเนินงาน

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ขั้นตอนหลักของการสร้างแบบจำลอง

1. คำชี้แจงของปัญหา

การกำหนดวัตถุประสงค์ของการวิเคราะห์และวิธีการเพื่อให้บรรลุและพัฒนาแนวทางร่วมกันสำหรับปัญหาภายใต้การศึกษา ในขั้นตอนนี้ จำเป็นต้องมีความเข้าใจอย่างลึกซึ้งในสาระสำคัญของงาน บางครั้ง การกำหนดงานให้ถูกต้องนั้นไม่ยากน้อยกว่าการแก้ปัญหา การแสดงละครไม่ใช่กระบวนการที่เป็นทางการ ไม่มีกฎเกณฑ์ทั่วไป

2. การศึกษาฐานรากทางทฤษฎีและการรวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุประสงค์ของต้นฉบับ

ในขั้นตอนนี้ มีการเลือกหรือพัฒนาทฤษฎีที่เหมาะสม หากไม่มีอยู่ จะมีการสร้างความสัมพันธ์เชิงสาเหตุระหว่างตัวแปรที่อธิบายอ็อบเจ็กต์ ข้อมูลอินพุตและเอาต์พุตถูกกำหนดโดยทำให้สมมติฐานง่ายขึ้น

3. การทำให้เป็นทางการ

ประกอบด้วยการเลือกระบบสัญลักษณ์และใช้เพื่อเขียนความสัมพันธ์ระหว่างส่วนประกอบของวัตถุในรูปแบบของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ มีการสร้างคลาสของงานซึ่งสามารถนำมาประกอบกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เป็นผลลัพธ์ของวัตถุได้ อาจยังไม่ได้ระบุค่าของพารามิเตอร์บางตัวในขั้นตอนนี้

4. การเลือกวิธีการแก้ปัญหา

ในขั้นตอนนี้ มีการตั้งค่าพารามิเตอร์สุดท้ายของแบบจำลองโดยคำนึงถึงเงื่อนไขสำหรับการทำงานของวัตถุ สำหรับปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับ จะเลือกวิธีแก้ไขหรือพัฒนาวิธีพิเศษ เมื่อเลือกวิธีการ ความรู้ของผู้ใช้ ความชอบของเขา และความชอบของนักพัฒนาจะถูกนำมาพิจารณาด้วย

5. การดำเนินการตามแบบจำลอง

หลังจากพัฒนาอัลกอริธึมแล้ว โปรแกรมจะถูกเขียนขึ้นซึ่งถูกดีบั๊ก ทดสอบ และได้วิธีแก้ไขปัญหาที่ต้องการ

6. การวิเคราะห์ข้อมูลที่ได้รับ

มีการเปรียบเทียบโซลูชันที่ได้รับและที่คาดไว้ ข้อผิดพลาดของแบบจำลองถูกควบคุม

7. ตรวจสอบความเพียงพอของวัตถุจริง

ผลลัพธ์ที่ได้จากแบบจำลองจะถูกเปรียบเทียบไม่ว่าจะด้วยข้อมูลที่มีอยู่เกี่ยวกับวัตถุหรือทำการทดลองและเปรียบเทียบผลลัพธ์กับสิ่งที่คำนวณได้

กระบวนการสร้างแบบจำลองเป็นแบบวนซ้ำ กรณีที่ผลงานไม่เป็นที่น่าพอใจของระยะต่างๆ 6. หรือ 7. กลับไปสู่ระยะแรกซึ่งอาจนำไปสู่การพัฒนาแบบจำลองที่ไม่ประสบความสำเร็จ ขั้นตอนนี้และขั้นตอนที่ตามมาทั้งหมดได้รับการขัดเกลา และการปรับแต่งแบบจำลองดังกล่าวจะเกิดขึ้นจนกว่าจะได้ผลลัพธ์ที่ยอมรับได้

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นคำอธิบายโดยประมาณของปรากฏการณ์หรือวัตถุในโลกแห่งความเป็นจริงในภาษาคณิตศาสตร์ วัตถุประสงค์หลักของการสร้างแบบจำลองคือการสำรวจวัตถุเหล่านี้และทำนายผลการสังเกตในอนาคต อย่างไรก็ตาม การสร้างแบบจำลองยังเป็นวิธีการรับรู้ของโลกรอบข้าง ซึ่งทำให้สามารถควบคุมได้

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการทดลองทางคอมพิวเตอร์ที่เกี่ยวข้องเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในกรณีที่การทดลองเต็มรูปแบบเป็นไปไม่ได้หรือยากด้วยเหตุผลใดก็ตาม ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างการทดลองเต็มรูปแบบในประวัติศาสตร์เพื่อตรวจสอบ "จะเกิดอะไรขึ้นถ้า..." เป็นไปไม่ได้ที่จะตรวจสอบความถูกต้องของทฤษฎีจักรวาลวิทยานี้หรือทฤษฎีนั้น โดยหลักการแล้ว เป็นไปได้ แต่แทบจะไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะทดลองการแพร่กระจายของโรคบางอย่าง เช่น โรคระบาด หรือเพื่อทำการระเบิดนิวเคลียร์เพื่อศึกษาผลที่ตามมา อย่างไรก็ตาม ทั้งหมดนี้สามารถทำได้บนคอมพิวเตอร์ โดยก่อนหน้านี้ได้สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาอยู่

1.1.2 2. ขั้นตอนหลักของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

1) การสร้างแบบจำลอง. ในขั้นตอนนี้ มีการระบุวัตถุที่ "ไม่ใช่ทางคณิตศาสตร์" บางอย่าง เช่น ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ การก่อสร้าง แผนเศรษฐกิจ กระบวนการผลิต ฯลฯ ในกรณีนี้ คำอธิบายสถานการณ์ที่ชัดเจนเป็นเรื่องยากขั้นแรกให้ระบุคุณสมบัติหลักของปรากฏการณ์และความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขาในระดับคุณภาพ จากนั้นการพึ่งพาเชิงคุณภาพที่พบจะถูกกำหนดขึ้นในภาษาของคณิตศาสตร์ กล่าวคือ มีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขึ้น นี่เป็นส่วนที่ยากที่สุดของการสร้างแบบจำลอง

2) การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ตัวแบบนำไปสู่. ในขั้นตอนนี้ให้ความสำคัญกับการพัฒนาอัลกอริธึมและวิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหาบนคอมพิวเตอร์ด้วยความช่วยเหลือซึ่งผลลัพธ์จะพบได้อย่างแม่นยำและภายในเวลาที่อนุญาต

3) การตีความผลที่ตามมาจากแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ผลที่ตามมาจากแบบจำลองในภาษาของคณิตศาสตร์จะถูกตีความในภาษาที่ยอมรับในสาขานี้

4) การตรวจสอบความเพียงพอของแบบจำลองในขั้นตอนนี้ จะพบว่าผลลัพธ์ของการทดลองสอดคล้องกับผลทางทฤษฎีจากแบบจำลองภายในความแม่นยำที่แน่นอนหรือไม่

5) การปรับเปลี่ยนโมเดลในขั้นตอนนี้ แบบจำลองจะซับซ้อนมากขึ้นเพื่อให้มีความเพียงพอต่อความเป็นจริง หรือทำให้ง่ายขึ้นเพื่อให้ได้วิธีแก้ปัญหาที่ยอมรับได้ในทางปฏิบัติ

1.1.3 3. การจำแนกแบบจำลอง

โมเดลสามารถจำแนกได้ตามเกณฑ์ต่างๆ ตัวอย่างเช่น ตามลักษณะของปัญหาที่กำลังแก้ไข แบบจำลองสามารถแบ่งออกเป็นแบบที่ใช้งานได้และแบบโครงสร้าง ในกรณีแรก ปริมาณทั้งหมดที่แสดงถึงปรากฏการณ์หรือวัตถุจะแสดงเป็นปริมาณ ในขณะเดียวกัน ตัวแปรบางตัวถือเป็นตัวแปรอิสระ ในขณะที่บางตัวถือเป็นฟังก์ชันของปริมาณเหล่านี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักจะเป็นระบบสมการประเภทต่างๆ (ดิฟเฟอเรนเชียล พีชคณิต ฯลฯ) ที่สร้างความสัมพันธ์เชิงปริมาณระหว่างปริมาณที่พิจารณา ในกรณีที่สอง แบบจำลองกำหนดลักษณะของโครงสร้างของวัตถุที่ซับซ้อน ซึ่งประกอบด้วยส่วนที่แยกจากกัน ซึ่งมีการเชื่อมต่อบางอย่าง โดยทั่วไปแล้ว ความสัมพันธ์เหล่านี้ไม่สามารถวัดปริมาณได้ ในการสร้างแบบจำลองดังกล่าว สะดวกในการใช้ทฤษฎีกราฟ กราฟเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นชุดของจุด (จุดยอด) บนระนาบหรือในอวกาศ ซึ่งบางส่วนเชื่อมต่อกันด้วยเส้น (ขอบ)

ตามลักษณะของข้อมูลเบื้องต้นและผลการทำนาย ตัวแบบสามารถแบ่งออกเป็นค่ากำหนดและสถิติความน่าจะเป็น แบบจำลองประเภทแรกให้การคาดการณ์ที่ชัดเจนและชัดเจน แบบจำลองประเภทที่สองนั้นอิงตามข้อมูลทางสถิติ และการคาดคะเนที่ได้รับจากความช่วยเหลือนั้นมีความน่าจะเป็น

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์และคอมพิวเตอร์ทั่วไปหรือแบบจำลองการจำลอง

ตอนนี้เมื่อระบบคอมพิวเตอร์เกือบเป็นสากลเกิดขึ้นในประเทศเราสามารถได้ยินคำพูดจากผู้เชี่ยวชาญจากหลากหลายอาชีพ: "มาแนะนำคอมพิวเตอร์ในประเทศของเรากันเถอะงานทั้งหมดจะได้รับการแก้ไขทันที" มุมมองนี้ผิดอย่างสิ้นเชิง คอมพิวเตอร์เองไม่สามารถทำอะไรได้หากไม่มีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการบางอย่าง และใครๆ ก็ฝันถึงการใช้คอมพิวเตอร์แบบสากลเท่านั้น

เพื่อสนับสนุนสิ่งที่กล่าวมา เราจะพยายามปรับความจำเป็นในการสร้างแบบจำลอง รวมถึงการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เปิดเผยข้อดีในความรู้และการเปลี่ยนแปลงของโลกภายนอกโดยบุคคล ระบุข้อบกพร่องที่มีอยู่ และไปที่ ... การจำลองแบบจำลอง เช่น การสร้างแบบจำลองโดยใช้คอมพิวเตอร์ แต่ทุกอย่างเป็นระเบียบ

ก่อนอื่น มาตอบคำถามกันก่อนว่า Model คืออะไร?

แบบจำลองคือวัสดุหรือวัตถุที่แสดงออกทางจิตใจซึ่งในกระบวนการรับรู้ (การศึกษา) แทนที่ของเดิม โดยคงคุณสมบัติทั่วไปบางอย่างที่มีความสำคัญสำหรับการศึกษานี้ไว้

โมเดลที่สร้างขึ้นมาอย่างดีนั้นสามารถเข้าถึงได้สำหรับการวิจัยมากกว่าวัตถุจริง ตัวอย่างเช่น การทดลองกับเศรษฐกิจของประเทศเพื่อวัตถุประสงค์ทางการศึกษานั้นเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้ ซึ่งเราไม่สามารถทำได้หากไม่มีแบบจำลอง

เมื่อสรุปสิ่งที่พูดไปแล้ว เราสามารถตอบคำถามว่า โมเดลมีไว้เพื่ออะไร? เพื่อที่จะ

• เข้าใจว่าวัตถุทำงานอย่างไร (โครงสร้าง คุณสมบัติ กฎการพัฒนา ปฏิสัมพันธ์กับโลกภายนอก)
• เรียนรู้ที่จะจัดการวัตถุ (กระบวนการ) และกำหนดกลยุทธ์ที่ดีที่สุด
• ทำนายผลของผลกระทบต่อวัตถุ

อะไรคือค่าบวกในทุกรูปแบบ? ช่วยให้คุณได้รับความรู้ใหม่เกี่ยวกับวัตถุ แต่น่าเสียดายที่มันไม่ครบถ้วนในระดับหนึ่งหรืออย่างอื่น

แบบอย่างสูตรในภาษาของคณิตศาสตร์โดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์เรียกว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

จุดเริ่มต้นของการก่อสร้างมักจะเป็นงานบางอย่าง เช่น งานที่เกี่ยวกับเศรษฐกิจ ทางคณิตศาสตร์ที่แพร่หลายทั้งเชิงพรรณนาและการปรับให้เหมาะสม จำแนกลักษณะต่างๆ กระบวนการทางเศรษฐกิจและเหตุการณ์เช่น:

• การจัดสรรทรัพยากร
• การตัดอย่างมีเหตุผล
• การขนส่ง
• การรวมกิจการ
• การวางแผนเครือข่าย

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สร้างขึ้นได้อย่างไร?

• ขั้นแรกให้กำหนดวัตถุประสงค์และหัวข้อของการศึกษา
• ประการที่สอง มีการเน้นคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดที่สอดคล้องกับเป้าหมายนี้
• ประการที่สาม อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบของแบบจำลองด้วยวาจา
• นอกจากนี้ ความสัมพันธ์ยังเป็นแบบแผน
• และการคำนวณจะดำเนินการตามแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการวิเคราะห์โซลูชันที่ได้รับ

เมื่อใช้อัลกอริทึมนี้ คุณจะแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมได้ รวมถึงปัญหาหลายเกณฑ์ เช่น ซึ่งไม่ใช่เป้าหมายเดียว แต่หลายเป้าหมาย รวมทั้งเป้าหมายที่ขัดแย้งด้วย

ลองมาดูตัวอย่างกัน ทฤษฎีการจัดคิว - ปัญหาการเข้าคิว คุณต้องสร้างสมดุลระหว่างสองปัจจัย - ค่าใช้จ่ายในการบำรุงรักษาอุปกรณ์บริการและค่าใช้จ่ายในการอยู่ในสายการผลิต หลังจากสร้างคำอธิบายอย่างเป็นทางการของแบบจำลองแล้ว การคำนวณจะทำโดยใช้วิธีการวิเคราะห์และการคำนวณ หากแบบจำลองดี คำตอบที่พบด้วยความช่วยเหลือก็เพียงพอสำหรับระบบการสร้างแบบจำลอง หากไม่ดีก็จะต้องปรับปรุงและเปลี่ยน เกณฑ์ความเพียงพอคือการปฏิบัติ

โมเดลการปรับให้เหมาะสมรวมถึงแบบหลายเกณฑ์มีคุณสมบัติร่วมกัน - เป้าหมาย (หรือหลายเป้าหมาย) เป็นที่รู้จักกันเพื่อให้บรรลุซึ่งมักจะต้องจัดการกับระบบที่ซับซ้อนซึ่งไม่ได้เกี่ยวกับการแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมมากนัก แต่เกี่ยวกับการวิจัยและคาดการณ์สถานะ ขึ้นอยู่กับกลยุทธ์การควบคุมที่เลือก และที่นี่เรากำลังประสบปัญหาในการดำเนินการตามแผนก่อนหน้านี้ พวกเขามีดังนี้:

• ระบบที่ซับซ้อนประกอบด้วยความเชื่อมโยงระหว่างองค์ประกอบต่างๆ มากมาย
• ระบบจริงได้รับอิทธิพลจากปัจจัยสุ่ม เป็นไปไม่ได้ที่จะนำมาพิจารณาในเชิงวิเคราะห์
• ความเป็นไปได้ของการเปรียบเทียบต้นฉบับกับแบบจำลองนั้นมีเฉพาะตอนเริ่มต้นและหลังการใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์เพราะ ผลลัพธ์ขั้นกลางอาจไม่มีแอนะล็อกในระบบจริง

ในการเชื่อมต่อกับปัญหาที่ระบุไว้ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อศึกษาระบบที่ซับซ้อน การฝึกต้องใช้วิธีการที่ยืดหยุ่นกว่าและปรากฏว่า - แบบจำลองการจำลอง " การสร้างแบบจำลอง Simujation".

โดยปกติ โมเดลจำลองจะเข้าใจว่าเป็นชุดของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่อธิบายการทำงานของแต่ละกลุ่มของระบบและกฎของการโต้ตอบระหว่างกัน การใช้ตัวแปรสุ่มทำให้จำเป็นต้องทำการทดลองซ้ำๆ ด้วยระบบจำลอง (บนคอมพิวเตอร์) และการวิเคราะห์ทางสถิติที่ตามมาของผลลัพธ์ที่ได้ ตัวอย่างทั่วไปของการใช้แบบจำลองการจำลองคือการแก้ปัญหาการเข้าคิวโดยวิธี MONTE CARLO

ดังนั้น การทำงานกับระบบจำลองจึงเป็นการทดลองบนคอมพิวเตอร์ มีประโยชน์อย่างไร?

– ความใกล้ชิดกับระบบจริงมากกว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

– หลักการบล็อกทำให้สามารถตรวจสอบแต่ละบล็อกได้ก่อนที่จะรวมไว้ในระบบโดยรวม

– การใช้การพึ่งพาในลักษณะที่ซับซ้อนมากขึ้น ไม่ได้อธิบายโดยความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์อย่างง่าย

ข้อดีที่ระบุไว้กำหนดข้อเสีย

– การสร้างแบบจำลองนั้นยาวกว่า ยากกว่า และมีราคาแพงกว่า

– การทำงานกับระบบจำลองต้องมีคอมพิวเตอร์ที่เหมาะกับการเรียน

– ปฏิสัมพันธ์ระหว่างผู้ใช้กับแบบจำลอง (อินเทอร์เฟซ) ไม่ควรซับซ้อนเกินไป สะดวกและเป็นที่รู้จักกันดี

- การสร้างแบบจำลองการจำลองต้องมีการศึกษากระบวนการจริงที่ลึกซึ้งกว่าการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

คำถามเกิดขึ้น: การจำลองแบบจำลองสามารถแทนที่วิธีการเพิ่มประสิทธิภาพได้หรือไม่? ไม่ แต่สะดวกเสริมพวกเขา โมเดลจำลองคือโปรแกรมที่ใช้อัลกอริธึมบางอย่างเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพการควบคุมซึ่งปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพจะได้รับการแก้ไขก่อน

ดังนั้น คอมพิวเตอร์หรือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หรืออัลกอริทึมสำหรับการศึกษาแยกกันไม่สามารถแก้ปัญหาที่ค่อนข้างซับซ้อนได้ แต่ร่วมกันเป็นตัวแทนของพลังที่ช่วยให้คุณรู้จักโลกรอบตัวคุณจัดการเพื่อผลประโยชน์ของมนุษย์

1.2 การจำแนกแบบจำลอง