Extremum ng function. Ano ang extrema ng isang function: mga kritikal na punto ng maximum at minimum Extrema ng isang function na maximum at minimum

Ang extremum point ng isang function ay ang punto sa domain ng kahulugan ng function kung saan ang halaga ng function ay tumatagal sa isang minimum o maximum na halaga. Ang mga halaga ng function sa mga puntong ito ay tinatawag na extrema (minimum at maximum) ng function.

Kahulugan. Dot x1 function na domain f(x) ay tinatawag na maximum na punto ng function , kung ang halaga ng function sa puntong ito ay mas malaki kaysa sa mga halaga ng function sa mga puntong sapat na malapit dito, na matatagpuan sa kanan at kaliwa nito (iyon ay, ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maximum.

Kahulugan. Dot x2 function na domain f(x) ay tinatawag na pinakamababang punto ng function, kung ang halaga ng function sa puntong ito ay mas mababa kaysa sa mga halaga ng function sa mga puntong sapat na malapit dito, na matatagpuan sa kanan at kaliwa nito (iyon ay, ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Sa kasong ito, sinasabi namin na ang function ay nasa punto x2 pinakamababa.

Sabihin nating punto x1 - maximum na punto ng function f(x). Pagkatapos ay sa pagitan hanggang sa x1 tumataas ang function, samakatuwid ang derivative ng function ay mas malaki kaysa sa zero ( f "(x) > 0 ), at sa pagitan pagkatapos x1 bumababa ang function, samakatuwid, derivative ng isang function mas mababa sa zero ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Ipagpalagay din natin na ang punto x2 - pinakamababang punto ng function f(x). Pagkatapos ay sa pagitan hanggang sa x2 bumababa ang function, at ang derivative ng function ay mas mababa sa zero ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 tumataas ang function, at ang derivative ng function ay mas malaki sa zero ( f "(x) > 0 ). Sa kasong ito din sa punto x2 ang derivative ng function ay zero o wala.

Fermat's theorem (isang kinakailangang tanda ng pagkakaroon ng extremum ng isang function). Kung ang punto x0 - matinding punto ng pag-andar f(x) pagkatapos sa puntong ito ang derivative ng function ay katumbas ng zero ( f "(x) = 0 ) o wala.

Kahulugan. Ang mga punto kung saan ang derivative ng isang function ay zero o wala ay tinatawag kritikal na puntos .

Halimbawa 1. Isaalang-alang natin ang pag-andar.

Sa punto x= 0 ang derivative ng function ay zero, samakatuwid ang punto x= 0 ang kritikal na punto. Gayunpaman, tulad ng makikita sa graph ng function, tumataas ito sa buong domain ng kahulugan, kaya ang punto x Ang = 0 ay hindi ang extremum point ng function na ito.

Kaya, ang mga kundisyon na ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng zero o wala ay mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum, ngunit hindi sapat, dahil ang iba pang mga halimbawa ng mga function ay maaaring ibigay kung saan ang mga kundisyong ito ay natutugunan, ngunit ang function ay walang extremum sa kaukulang punto. kaya lang dapat may sapat na ebidensya, na nagpapahintulot sa isa na hatulan kung mayroong extremum sa isang partikular na kritikal na punto at kung anong uri ito ng extremum - maximum o minimum.

Theorem (ang unang sapat na tanda ng pagkakaroon ng isang extremum ng isang function). Kritikal na punto x0 f(x) kung, kapag dumadaan sa puntong ito, ang derivative ng function ay nagbabago ng sign, at kung ang sign ay nagbabago mula sa "plus" hanggang sa "minus", kung gayon ito ay isang maximum na punto, at kung mula sa "minus" hanggang "plus", kung gayon ito ay isang minimum na punto.

Kung malapit sa punto x0 , sa kaliwa at sa kanan nito, pinapanatili ng derivative ang tanda nito, nangangahulugan ito na ang function ay bumababa lamang o tumataas lamang sa isang tiyak na kapitbahayan ng punto x0 . Sa kasong ito, sa punto x0 walang sukdulan.

Kaya, upang matukoy ang extremum point ng function, kailangan mong gawin ang mga sumusunod :

1. Hanapin ang derivative ng function.
2. I-equate ang derivative sa zero at tukuyin ang mga kritikal na puntos.
3. Sa isip o sa papel, markahan ang mga kritikal na punto sa linya ng numero at tukuyin ang mga palatandaan ng derivative ng function sa mga resultang pagitan. Kung ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa "plus" hanggang sa "minus", kung gayon ang kritikal na punto ay ang pinakamataas na punto, at kung mula sa "minus" hanggang "plus", kung gayon ang pinakamababang punto.
4. Kalkulahin ang halaga ng function sa mga extremum point.

Halimbawa 2. Hanapin ang extrema ng function .

Solusyon. Hanapin natin ang derivative ng function:

I-equate natin ang derivative sa zero upang mahanap ang mga kritikal na puntos:

.

Dahil para sa anumang mga halaga ng "x" ang denominator ay hindi katumbas ng zero, tinutumbas namin ang numerator sa zero:

Nakakuha ng isang kritikal na punto x= 3 . Tukuyin natin ang tanda ng derivative sa mga agwat na nililimitahan ng puntong ito:

sa saklaw mula sa minus infinity hanggang 3 - isang minus sign, iyon ay, bumababa ang function,

sa pagitan mula 3 hanggang plus infinity mayroong plus sign, iyon ay, tumataas ang function.

Ibig sabihin, period x= 3 ang pinakamababang punto.

Hanapin natin ang halaga ng function sa pinakamababang punto:

Kaya, ang extremum point ng function ay matatagpuan: (3; 0), at ito ang pinakamababang punto.

Theorem (ang pangalawang sapat na tanda ng pagkakaroon ng extremum ng isang function). Kritikal na punto x0 ay ang extremum point ng function f(x) kung ang pangalawang derivative ng function sa puntong ito ay hindi katumbas ng zero ( f ""(x) ≠ 0 ), at kung ang pangalawang derivative ay mas malaki sa zero ( f ""(x) > 0 ), pagkatapos ay ang pinakamataas na punto, at kung ang pangalawang derivative ay mas mababa sa zero ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Tandaan 1. Kung sa punto x0 Kung ang una at pangalawang derivatives ay nawala, pagkatapos ay sa puntong ito imposibleng hatulan ang pagkakaroon ng isang extremum batay sa pangalawang sapat na pamantayan. Sa kasong ito, kailangan mong gamitin ang unang sapat na criterion para sa extremum ng isang function.

Puna 2. Ang pangalawang sapat na criterion para sa extremum ng isang function ay hindi naaangkop kahit na ang unang derivative ay hindi umiiral sa isang nakatigil na punto (kung gayon ang pangalawang derivative ay wala rin). Sa kasong ito, kailangan mo ring gamitin ang unang sapat na tanda ng isang extremum ng isang function.

Lokal na katangian ng extrema ng function

Mula sa mga kahulugan sa itaas, sumusunod na ang extremum ng isang function ay lokal sa kalikasan - ito ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function kumpara sa mga kalapit na halaga.

Sabihin nating tinitingnan mo ang iyong mga kita sa loob ng isang taon. Kung noong Mayo ay nakakuha ka ng 45,000 rubles, at noong Abril 42,000 rubles at noong Hunyo 39,000 rubles, kung gayon ang mga kita sa Mayo ay ang pinakamataas na function ng kita kumpara sa mga kalapit na halaga. Ngunit noong Oktubre nakakuha ka ng 71,000 rubles, noong Setyembre 75,000 rubles, at noong Nobyembre 74,000 rubles, kaya ang mga kita sa Oktubre ay ang pinakamababa sa function ng kita kumpara sa mga kalapit na halaga. At madali mong makita na ang maximum sa mga halaga ng Abril-Mayo-Hunyo ay mas mababa kaysa sa minimum ng Setyembre-Oktubre-Nobyembre.

Sa pangkalahatan, sa pagitan ng isang function ay maaaring magkaroon ng ilang extrema, at maaaring lumabas na ang ilang minimum ng function ay mas malaki kaysa sa anumang maximum. Kaya, para sa function na ipinapakita sa figure sa itaas, .

Iyon ay, hindi dapat isipin ng isa na ang maximum at minimum ng isang function ay, ayon sa pagkakabanggit, ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga nito sa buong segment na isinasaalang-alang. Sa pinakamataas na punto, ang function ay may pinakamalaking halaga lamang kumpara sa mga halagang iyon na mayroon ito sa lahat ng mga punto na sapat na malapit sa pinakamataas na punto, at sa pinakamababang punto ito ay may pinakamaliit na halaga lamang kumpara sa mga halagang iyon. na mayroon ito sa lahat ng mga punto na sapat na malapit sa pinakamababang punto.

Samakatuwid, maaari nating linawin ang konsepto sa itaas ng mga extremum point ng isang function at tawagan ang mga minimum na puntos ng mga lokal na minimum na puntos, at ang maximum na mga puntos ng mga lokal na maximum na puntos.

Hinahanap namin ang extrema ng function nang magkasama

Halimbawa 3.

Solusyon: Ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa buong linya ng numero. Ang hinango nito umiiral din sa buong linya ng numero. Samakatuwid, sa kasong ito, ang mga kritikal na punto ay ang mga kung saan, i.e. , mula saan at . Mga kritikal na punto at hatiin ang buong domain ng kahulugan ng function sa tatlong pagitan ng monotonicity: . Pumili tayo ng isang control point sa bawat isa sa kanila at hanapin ang sign ng derivative sa puntong ito.

Para sa pagitan, ang control point ay maaaring: hanapin. Ang pagkuha ng isang punto sa pagitan, nakukuha natin, at ang pagkuha ng isang punto sa pagitan, mayroon tayo. Kaya, sa pagitan at , at sa pagitan . Ayon sa unang sapat na criterion para sa isang extremum, walang extremum sa punto (dahil ang derivative ay nagpapanatili ng sign nito sa pagitan), at sa punto ang function ay may minimum (dahil ang derivative ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus kapag pumasa. sa pamamagitan ng puntong ito). Hanapin natin ang mga katumbas na halaga ng function: , a . Sa agwat ang pag-andar ay bumababa, dahil sa agwat na ito , at sa agwat ito ay tumataas, dahil sa agwat na ito .

Upang linawin ang pagbuo ng graph, makikita natin ang mga punto ng intersection nito sa mga coordinate axes. Kapag nakakuha tayo ng equation na ang mga ugat ay at , ibig sabihin, dalawang puntos (0; 0) at (4; 0) ng graph ng function ang matatagpuan. Gamit ang lahat ng impormasyong natanggap, bumuo kami ng isang graph (tingnan ang simula ng halimbawa).

Para sa self-checking sa panahon ng mga kalkulasyon, maaari mong gamitin online na derivative calculator .

Halimbawa 4. Hanapin ang extrema ng function at buuin ang graph nito.

Ang domain ng kahulugan ng isang function ay ang buong linya ng numero, maliban sa punto, i.e. .

Upang paikliin ang pag-aaral, maaari mong gamitin ang katotohanan na ang function na ito ay pantay, dahil . Samakatuwid, ang graph nito ay simetriko tungkol sa axis Oy at ang pag-aaral ay maaari lamang gawin para sa pagitan.

Paghahanap ng derivative at mga kritikal na punto ng function:

1) ;

2) ,

ngunit ang function ay naghihirap sa isang discontinuity sa puntong ito, kaya hindi ito maaaring maging isang extremum point.

Kaya, ang ibinigay na function ay may dalawang kritikal na punto: at . Isinasaalang-alang ang parity ng function, susuriin lamang namin ang punto gamit ang pangalawang sapat na criterion para sa isang extremum. Upang gawin ito, nakita namin ang pangalawang derivative at tukuyin ang sign nito sa: makuha natin . Dahil at , ito ang pinakamababang punto ng function, at .

Upang makakuha ng mas kumpletong larawan ng graph ng isang function, alamin natin ang pag-uugali nito sa mga hangganan ng domain ng kahulugan:

(dito ang simbolo ay nagpapahiwatig ng pagnanais x sa zero mula sa kanan, at x nananatiling positibo; katulad din ang ibig sabihin ng mithiin x sa zero mula sa kaliwa, at x nananatiling negatibo). Kaya, kung , pagkatapos . Susunod, hanapin namin

,

mga. kung , kung gayon .

Ang graph ng isang function ay walang intersection point sa mga axes. Ang larawan ay nasa simula ng halimbawa.

Para sa self-checking sa panahon ng mga kalkulasyon, maaari mong gamitin online na derivative calculator .

Patuloy kaming naghahanap ng extrema ng function nang magkasama

Halimbawa 8. Hanapin ang extrema ng function.

Solusyon. Hanapin natin ang domain ng kahulugan ng function. Dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay dapat masiyahan, nakukuha natin mula sa .

Hanapin natin ang unang derivative ng function.

Isang simpleng algorithm para sa paghahanap ng extrema..

• Paghahanap ng derivative ng function
• Itinutumbas namin ang derivative na ito sa zero
• Nahanap namin ang mga halaga ng variable ng nagresultang expression (ang mga halaga ng variable kung saan ang derivative ay na-convert sa zero)
• Gamit ang mga halagang ito, hinahati namin ang linya ng coordinate sa mga pagitan (huwag kalimutan ang tungkol sa mga break point, na kailangan ding i-plot sa linya), ang lahat ng mga puntong ito ay tinatawag na "kahina-hinala" na mga punto para sa extremum
• Kinakalkula namin kung alin sa mga agwat na ito ang derivative ay magiging positibo at alin ang magiging negatibo. Upang gawin ito, kailangan mong palitan ang halaga mula sa pagitan sa derivative.

Sa mga puntos na kahina-hinala para sa isang extremum, ito ay kinakailangan upang mahanap . Upang gawin ito, tinitingnan namin ang aming mga agwat sa linya ng coordinate. Kung, kapag dumadaan sa isang punto, ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa plus hanggang minus, kung gayon ang puntong ito ay magiging maximum, at kung mula minus hanggang plus, kung gayon pinakamababa.

Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function, kailangan mong kalkulahin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa mga extremum point. Pagkatapos ay piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.

Isaalang-alang ang isang halimbawa
Nahanap namin ang derivative at itinutumbas ito sa zero:

I-plot namin ang nakuha na mga halaga ng mga variable sa linya ng coordinate at kinakalkula ang tanda ng derivative sa bawat isa sa mga agwat. Well, halimbawa, para sa una ay kunin natin-2 , kung gayon ang derivative ay magiging pantay-0,24 , para sa pangalawang kukunin natin0 , kung gayon ang derivative ay magiging2 , at para sa pangatlo ay kukunin namin2 , kung gayon ang derivative ay magiging-0.24. Inilalagay namin ang naaangkop na mga palatandaan.

Nakikita namin na kapag dumadaan sa punto -1, ang derivative ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus, iyon ay, ito ang magiging pinakamababang punto, at kapag dumaan sa 1, babaguhin nito ang sign mula plus hanggang minus, ayon sa pagkakabanggit, ito ang magiging pinakamataas na punto.

Ang pag-andar at ang pag-aaral ng mga tampok nito ay sumasakop sa isa sa mga pangunahing kabanata sa modernong matematika. Ang pangunahing bahagi ng anumang function ay ang mga graph na naglalarawan hindi lamang ng mga katangian nito, kundi pati na rin ang mga parameter ng derivative ng function na ito. Unawain natin ang mahirap na paksang ito. Kaya ano ang pinakamahusay na paraan upang mahanap ang maximum at minimum na mga puntos ng isang function?

Tungkulin: kahulugan

Anumang variable na sa ilang paraan ay nakasalalay sa mga halaga ng isa pang dami ay maaaring tawaging isang function. Halimbawa, ang function na f(x 2) ay quadratic at tinutukoy ang mga halaga para sa buong set x. Sabihin natin na x = 9, kung gayon ang halaga ng ating function ay magiging katumbas ng 9 2 = 81.

Ang mga function ay may iba't ibang uri: logical, vector, logarithmic, trigonometric, numeric at iba pa. Ang mga ito ay pinag-aralan ng mga namumukod-tanging isip gaya ng Lacroix, Lagrange, Leibniz at Bernoulli. Ang kanilang mga gawa ay nagsisilbing pangunahing sa mga modernong paraan ng pag-aaral ng mga tungkulin. Bago hanapin ang pinakamababang puntos, napakahalagang maunawaan ang mismong kahulugan ng function at ang hinango nito.

Derivative at ang papel nito

Ang lahat ng mga function ay nakasalalay sa kanilang mga variable, na nangangahulugan na maaari nilang baguhin ang kanilang halaga anumang oras. Sa graph, ito ay ipapakita bilang isang curve na bumaba o tumataas sa kahabaan ng ordinate axis (ito ang buong hanay ng mga "y" na numero sa kahabaan ng patayong graph). Kaya, ang pagtukoy sa maximum at minimum na mga punto ng isang function ay tiyak na nauugnay sa mga "oscillations" na ito. Ipaliwanag natin kung ano ang relasyong ito.

Ang derivative ng anumang function ay naka-graph upang pag-aralan ang mga pangunahing katangian nito at kalkulahin kung gaano kabilis ang pagbabago ng function (ibig sabihin, nagbabago ang halaga nito depende sa variable na "x"). Sa sandaling tumaas ang function, tataas din ang graph ng derivative nito, ngunit anumang segundo ay maaaring magsimulang bumaba ang function, at pagkatapos ay bababa ang graph ng derivative. Ang mga punto kung saan nagbabago ang derivative mula sa isang minus sign patungo sa isang plus sign ay tinatawag na mga minimum na puntos. Upang malaman kung paano makahanap ng mga minimum na puntos, dapat mong mas maunawaan

Paano makalkula ang derivative?

Ang kahulugan at mga function ay nagpapahiwatig ng ilang mga konsepto mula sa Sa pangkalahatan, ang mismong kahulugan ng isang derivative ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod: ito ang dami na nagpapakita ng rate ng pagbabago ng function.

Ang mathematical na paraan ng pagtukoy nito ay tila kumplikado para sa maraming mga mag-aaral, ngunit sa katotohanan ang lahat ay mas simple. Kailangan mo lang sundin ang karaniwang plano para sa paghahanap ng derivative ng anumang function. Inilalarawan namin sa ibaba kung paano mo mahahanap ang pinakamababang punto ng isang function nang hindi inilalapat ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at nang hindi sinasaulo ang talahanayan ng mga derivatives.

1. Maaari mong kalkulahin ang derivative ng isang function gamit ang isang graph. Upang gawin ito, kailangan mong ilarawan ang function mismo, pagkatapos ay kumuha ng isang punto dito (point A sa figure). Gumuhit ng isang linya patayo pababa sa abscissa axis (point x 0), at sa point A gumuhit ng tangent sa graph ng function. Ang x-axis at ang tangent ay bumubuo ng isang tiyak na anggulo a. Upang kalkulahin ang halaga kung gaano kabilis tumaas ang isang function, kailangan mong kalkulahin ang tangent ng anggulong ito a.
2. Lumalabas na ang tangent ng anggulo sa pagitan ng tangent at ang direksyon ng x-axis ay ang derivative ng function sa isang maliit na lugar na may point A. Ang pamamaraang ito ay itinuturing na isang geometric na paraan para sa pagtukoy ng derivative.

Mga pamamaraan para sa pag-aaral ng function

Sa kurikulum ng matematika ng paaralan, posibleng mahanap ang pinakamababang punto ng isang function sa dalawang paraan. Napag-usapan na natin ang unang paraan gamit ang isang graph, ngunit paano natin matutukoy ang numerical value ng derivative? Upang gawin ito, kakailanganin mong matutunan ang ilang mga formula na naglalarawan sa mga katangian ng derivative at tumulong na i-convert ang mga variable tulad ng "x" sa mga numero. Ang sumusunod na pamamaraan ay unibersal, kaya maaari itong ilapat sa halos lahat ng mga uri ng mga pag-andar (parehong geometric at logarithmic).

1. Kinakailangang ipantay ang function sa derivative function, at pagkatapos ay pasimplehin ang expression gamit ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan.
2. Sa ilang mga kaso, kapag binigyan ng isang function kung saan ang variable na "x" ay nasa divisor, kinakailangan upang matukoy ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga, hindi kasama ang puntong "0" mula dito (para sa simpleng dahilan na sa matematika ay hindi dapat hatiin sa zero).
3. Pagkatapos nito, dapat mong baguhin ang orihinal na anyo ng function sa isang simpleng equation, equating ang buong expression sa zero. Halimbawa, kung ganito ang hitsura ng function: f(x) = 2x 3 +38x, kung gayon ayon sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan, ang derivative nito ay katumbas ng f"(x) = 3x 2 +1. Pagkatapos ay binago namin ang expression na ito sa isang equation ng sumusunod na anyo: 3x 2 +1 = 0 .
4. Pagkatapos malutas ang equation at hanapin ang "x" na mga puntos, dapat mong i-plot ang mga ito sa x-axis at tukuyin kung ang derivative sa mga seksyong ito sa pagitan ng mga markang punto ay positibo o negatibo. Matapos ang pagtatalaga, magiging malinaw sa kung anong punto ang pag-andar ay nagsisimulang bumaba, iyon ay, nagbabago ang sign mula sa minus hanggang sa kabaligtaran. Sa ganitong paraan maaari mong mahanap ang parehong minimum at maximum na mga puntos.

Mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan

Ang pinakapangunahing bahagi sa pag-aaral ng isang function at ang hinango nito ay ang kaalaman sa mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan. Tanging sa kanilang tulong maaari mong baguhin ang masalimuot na mga expression at malalaking kumplikadong mga function. Kilalanin natin sila, marami sa kanila, ngunit lahat sila ay napaka-simple dahil sa mga likas na katangian ng parehong kapangyarihan at logarithmic function.

1. Ang derivative ng anumang constant ay katumbas ng zero (f(x) = 0). Ibig sabihin, ang derivative f(x) = x 5 + x - 160 ay kukuha ng sumusunod na anyo: f" (x) = 5x 4 +1.
2. Derivative ng kabuuan ng dalawang termino: (f+w)" = f"w + fw".
3. Derivative ng isang logarithmic function: (log a d)" = d/ln a*d. Nalalapat ang formula na ito sa lahat ng uri ng logarithms.
4. Derivative ng power: (x n)"= n*x n-1. Halimbawa, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Ang derivative ng sinusoidal function: (sin a)" = cos a. Kung ang sin ng anggulo a ay 0.5, ang derivative nito ay √3/2.

Extremum na puntos

Napag-usapan na natin kung paano maghanap ng mga minimum na puntos, ngunit mayroon ding konsepto ng maximum na mga puntos ng isang function. Kung ang minimum ay tumutukoy sa mga puntong iyon kung saan nagbabago ang function mula sa isang minus sign patungo sa isang plus, kung gayon ang pinakamataas na puntos ay ang mga punto sa x-axis kung saan ang derivative ng function ay nagbabago mula sa plus hanggang sa kabaligtaran - minus.

Mahahanap mo ito gamit ang pamamaraang inilarawan sa itaas, ngunit dapat mong isaalang-alang na ipinapahiwatig nila ang mga lugar kung saan nagsisimulang bumaba ang function, iyon ay, ang derivative ay magiging mas mababa sa zero.

Sa matematika, kaugalian na gawing pangkalahatan ang parehong mga konsepto, na pinapalitan ang mga ito ng pariralang "mga punto ng extrema." Kapag hiniling sa iyo ng isang gawain na tukuyin ang mga puntong ito, nangangahulugan ito na kailangan mong kalkulahin ang derivative ng isang naibigay na function at hanapin ang minimum at maximum na mga puntos.

Isaalang-alang ang function na y = f(x), na isinasaalang-alang sa pagitan (a, b).

Kung posibleng magpahiwatig ng b-kapitbahayan ng isang puntong x1 na kabilang sa pagitan (a, b) para sa lahat ng x (x1, b), ang hindi pagkakapantay-pantay na f(x1) > f(x) ay humahawak, pagkatapos ay y1 = f1(x1) ay tinatawag maximum ng function y = f(x) tingnan ang fig.

Tinutukoy namin ang maximum ng function na y = f(x) ng max f(x). Kung posible na magpahiwatig ng isang b-kapitbahayan ng isang punto x2 na kabilang sa pagitan (a, b) para sa lahat ng x ito ay kabilang sa O (x2, 6), x ay hindi katumbas ng x2, ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak f(x2)< f(x) , pagkatapos ay ang y2= f(x2) ay tinatawag na minimum ng function na y-f(x) (tingnan ang figure).

Para sa isang halimbawa ng paghahanap ng maximum, tingnan ang sumusunod na video

Minimum na function

Tinutukoy namin ang minimum ng function na y = f(x) ng min f(x). Sa ibang salita, maximum o minimum ng isang function y = f(x) tinawag ang halaga nito na mas malaki (mas mababa) kaysa sa lahat ng iba pang mga halaga na tinatanggap sa mga puntong sapat na malapit sa ibinigay na isa at naiiba mula dito.

Tandaan 1. Pinakamataas na function, na tinukoy ng hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag na isang mahigpit na maximum; ang hindi mahigpit na maximum ay tinutukoy ng hindi pagkakapantay-pantay f(x1) > = f(x2)

Tandaan 2. magkaroon ng isang lokal na karakter (ito ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng pag-andar sa isang sapat na maliit na kapitbahayan ng kaukulang punto); Ang indibidwal na minima ng isang function ay maaaring mas malaki kaysa sa maxima ng parehong function

Bilang resulta, ang maximum (minimum) ng function ay tinatawag lokal na maximum(lokal na minimum) sa kaibahan sa absolute maximum (minimum) - ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga sa domain ng kahulugan ng function.

Ang maximum at minimum ng isang function ay tinatawag na extremum . Ang Extrema sa ay matatagpuan upang bumuo ng mga graph ng mga function

Latin extremum ay nangangahulugang "matinding" ibig sabihin. Ang halaga ng argumentong x kung saan naabot ang extremum ay tinatawag na extremum point. Ang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum ay ipinahayag ng sumusunod na teorama.

Teorama. Sa extremum point ng differentiable function, ang derivative nito ay katumbas ng zero.

Ang theorem ay may simpleng geometric na kahulugan: ang tangent sa graph ng differentiable function sa kaukulang punto ay parallel sa Ox axis

1°. Pagpapasiya ng extremum ng isang function.

Ang mga konsepto ng maximum, minimum, at extremum ng isang function ng dalawang variable ay katulad ng mga katumbas na konsepto ng isang function ng isang independent variable.

Hayaan ang function z =f (x ; y) tinukoy sa ilang lugar D tuldok N (x 0 ;y 0) D.

Dot (x 0 ;y 0) tinatawag na isang punto maximum mga function z= f (x ;y ), kung mayroong ganoong -kapitbahayan ng punto (x 0 ;y 0), na para sa bawat punto (x;y), Iba sa (x 0 ;y 0) mula sa kapitbahayang ito ang hindi pagkakapantay-pantay f (x ;y)< f (x 0 ;y 0). Sa Figure 12: N 1 - pinakamataas na punto, a N 2 - pinakamababang punto ng function z =f (x ;y).

Ang punto ay tinutukoy nang katulad pinakamababa function: para sa lahat ng puntos (x 0 ;y 0), Iba sa (x 0 ;y 0), mula sa d -kapitbahayan ng isang punto (x 0 ;y 0) ang hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong: f (x 0 ;y 0) >f (x 0 ;y 0).

Ang extremum ng isang function ng tatlo o higit pang mga variable ay tinutukoy nang katulad.

Ang halaga ng function sa maximum (minimum) na punto ay tinatawag maximum (minimum) mga function.

Tinatawag ang maximum at minimum ng isang function sukdulan.

Tandaan na, sa pamamagitan ng kahulugan, ang extremum point ng function ay nasa loob ng domain ng kahulugan ng function; maximum at minimum na mayroon lokal(lokal) character: ang halaga ng isang function sa isang punto (x 0 ;y 0) ay inihambing sa mga halaga nito sa mga puntong sapat na malapit sa (x 0 ;y 0). Sa lugar D ang isang function ay maaaring magkaroon ng ilang extrema o wala.

2°. Mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum.

Isaalang-alang natin ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum ng isang function.

Geometrically pagkakapantay-pantay f"y (x 0 ;y 0)= 0 at f"y (x 0 ;y 0) = 0 ay nangangahulugan na sa matinding punto ng function z = f (x ; y) tangent plane sa ibabaw na kumakatawan sa function f (x ; y), parallel sa eroplano Oh hoo dahil ang equation ng tangent plane ay z =z 0.

Magkomento. Ang isang function ay maaaring magkaroon ng isang extremum sa mga punto kung saan hindi bababa sa isa sa mga bahagyang derivatives ay hindi umiiral. Halimbawa, ang function ay may pinakamataas sa punto TUNGKOL SA(0;0), ngunit walang partial derivatives sa puntong ito.

Ang punto kung saan ang unang pagkakasunud-sunod ng mga partial derivatives ng function z = f (x ;y) ay katumbas ng zero, i.e. f"x = 0, f" y = 0, tinawag nakatigil na punto mga function z.

Ang mga nakatigil na punto at mga punto kung saan hindi umiiral ang kahit isang bahagyang derivative ay tinatawag kritikal na puntos.

Sa mga kritikal na punto, ang function ay maaaring magkaroon ng isang extremum o hindi. Ang pagkakapantay-pantay ng mga partial derivatives sa zero ay isang kinakailangan ngunit hindi sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum. Isaalang-alang, halimbawa, ang pag-andar z = hu. Para dito, ang puntong 0(0; 0) ay kritikal (ito ay nagiging zero). Gayunpaman, ang extremum function sa loob nito ay z = xy ay wala, dahil sa isang sapat na maliit na kapitbahayan ng puntong O(0;0) mayroong mga punto kung saan z> 0 (puntos ng 1st at 3rd quarter) at z< 0 (punto ng II at IV quarters).

Kaya, upang mahanap ang extrema ng isang function sa isang partikular na lugar, kinakailangan na isailalim ang bawat kritikal na punto ng function sa karagdagang pananaliksik.

Ang mga nakatigil na puntos ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation

(mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum).

Ang sistema (1) ay katumbas ng isang equation df(x, y)=0. Sa pangkalahatan, sa matinding punto P(a, b) mga function f(x, y) o df(x, y)=0, o df(a, b) ay wala.

3°. Sapat na mga kondisyon para sa isang extremum. Hayaan P(a;b)- nakatigil na punto ng function f(x,y), i.e. . df(a, b) = 0. Pagkatapos:

at kung d2f (a, b)< 0 sa , pagkatapos f(a, b) Meron maximum mga function f (x, y);

b) kung d2f (a, b) > 0 sa , pagkatapos f(a, b)Meron pinakamababa mga function f (x,y);

c) kung d2f (a, b) nagbabago ang tanda, pagkatapos f (a, b) ay hindi isang extremum ng function f (x, y).

Ang mga ibinigay na kondisyon ay katumbas ng mga sumusunod: hayaan At . Mag-compose tayo may diskriminasyon Δ=AC -B².

1) kung Δ > 0, kung gayon ang function ay may extremum sa punto P(a;b) ibig sabihin, ang maximum kung A<0 (o SA<0 ), at pinakamababa kung A>0(o С>0);

2) kung Δ< 0, то экстремума в точке P(a;b) Hindi;

3) kung Δ = 0, pagkatapos ay ang tanong ng pagkakaroon ng isang extremum ng function sa punto P(a;b) nananatiling bukas (kailangan ng karagdagang pananaliksik).

4°. Ang kaso ng isang function ng ilang mga variable. Para sa isang function ng tatlo o higit pang mga variable, ang mga kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum ay katulad ng mga kondisyon (1), at ang sapat na mga kondisyon ay katulad ng mga kondisyon a), b), c) 3°.

Halimbawa. Suriin ang extremum function z=x³+3xy²-15x-12y.

Solusyon. Maghanap tayo ng mga partial derivatives at lumikha ng isang sistema ng mga equation (1):

Ang paglutas ng system, nakakakuha kami ng apat na nakatigil na puntos:

Hanapin natin ang 2nd order derivatives

at lumikha ng diskriminasyon Δ=AC - B² para sa bawat nakatigil na punto.

1) Para sa punto: , Δ=AC-B²=36-144<0 . Nangangahulugan ito na walang extremum sa punto.

2) Para sa puntong P2: A=12, B=6, C=12; Δ=144-36>0, A>0. Sa puntong P2 ang function ay may pinakamababa. Ang minimum na ito ay katumbas ng halaga ng function sa x=2, y=1: ​​​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) Para sa punto: A= -6, B=-12, C= -6; Δ = 36-144<0 . Walang extreme.

4) Para sa punto P 4: A=-12, B=-6, C=-12; Δ=144-36>0. Sa puntong P4 ang function ay may pinakamataas na katumbas ng Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. Conditional extremum. Sa pinakasimpleng kaso conditional extremum mga function f(x,y) ay ang maximum o minimum ng function na ito, na nakamit sa ilalim ng kondisyon na ang mga argumento nito ay nauugnay sa equation φ(x,y)=0 (equation ng koneksyon). Upang mahanap ang conditional extremum ng isang function f(x, y) sa pagkakaroon ng isang relasyon φ(x,y) = 0, bumubuo sa tinatawag na Lagrange function

F (x,y )=f (x,y )+λφ (x,y ),

kung saan ang λ ay isang undefined constant factor, at ang karaniwang extremum ng auxiliary function na ito ay hinahanap. Ang mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum ay nabawasan sa isang sistema ng tatlong equation

na may tatlong hindi alam x, y, λ, kung saan maaaring matukoy ang mga hindi alam na ito, sa pangkalahatan.

Ang tanong ng pagkakaroon at likas na katangian ng conditional extremum ay nalutas batay sa pag-aaral ng tanda ng pangalawang kaugalian ng Lagrange function.

para sa sistema ng halaga sa ilalim ng pagsubok x, y, λ, nakuha mula sa (2) sa kondisyon na dx At dу nauugnay sa equation

.

Namely, ang function f(x,y) ay may conditional maximum kung d²F< 0, at isang minimum na kondisyon kung d²F>0. Sa partikular, kung ang discriminant Δ para sa function F(x,y) ay positibo sa isang nakatigil na punto, pagkatapos ay sa puntong ito ay may kondisyon na maximum ng function f(x, y), Kung A< 0 (o SA< 0), at isang minimum na kondisyon kung A > O(o С>0).

Katulad nito, ang conditional extremum ng isang function ng tatlo o higit pang mga variable ay matatagpuan sa pagkakaroon ng isa o higit pang mga equation ng koneksyon (ang bilang nito, gayunpaman, ay dapat na mas mababa kaysa sa bilang ng mga variable). Dito kailangan nating ipakilala ang maraming hindi tiyak na mga kadahilanan sa Lagrange function dahil mayroong mga coupling equation.

Halimbawa. Hanapin ang extremum ng function z =6-4x -3y sa kondisyon na ang mga variable X At sa matugunan ang equation x²+y²=1.

Solusyon. Sa geometriko, ang problema ay bumababa sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng applicate z eroplano z=6 - 4x - Zu para sa mga punto ng intersection nito sa silindro x2+y2=1.

Pag-compile ng Lagrange function F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

Meron kami . Ang mga kinakailangang kondisyon ay nagbibigay ng sistema ng mga equation

paglutas na aming nahanap:

.

,

d²F =2λ (dx²+dy²).

Kung at , kung gayon d²F >0, at, samakatuwid, sa puntong ito ang function ay may kondisyon na minimum. Kung at , pagkatapos d²F<0, at, samakatuwid, sa puntong ito ang function ay may conditional maximum.

kaya,

6°. Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function.

Hayaan ang function z =f (x ; y) tinukoy at tuloy-tuloy sa isang limitadong saradong rehiyon . Pagkatapos ay umabot siya sa ilang mga punto iyong pinakadakila M at ang pinakamaliit T mga halaga (tinatawag na global extremum). Ang mga halagang ito ay nakakamit sa pamamagitan ng pag-andar sa mga puntong matatagpuan sa loob ng rehiyon , o sa mga puntong nasa hangganan ng rehiyon.