Mga katangian ng isang tatsulok na pyramid. Mga pangunahing katangian ng isang regular na pyramid

Ang video tutorial na ito ay makakatulong sa mga user na magkaroon ng ideya ng tema ng Pyramid. Tamang pyramid. Sa araling ito ay makikilala natin ang konsepto ng pyramid at bibigyan ito ng kahulugan. Isaalang-alang natin kung ano ang isang regular na pyramid at kung ano ang mga katangian nito. Pagkatapos ay patunayan namin ang theorem tungkol sa lateral surface ng isang regular na pyramid.

Sa araling ito ay makikilala natin ang konsepto ng pyramid at bibigyan ito ng kahulugan.

Isaalang-alang ang isang polygon A 1 A 2...Isang n, na nasa α plane, at ang punto P, na hindi namamalagi sa α plane (Larawan 1). Ikonekta natin ang mga tuldok P may mga taluktok A 1, A 2, A 3, … Isang n. Nakukuha namin n mga tatsulok: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R at iba pa.

Kahulugan. Polyhedron RA 1 A 2 ...A n, binubuo ng n-parisukat A 1 A 2...Isang n At n mga tatsulok RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 ang tinatawag n- pyramid ng karbon. kanin. 1.

kanin. 1

Isaalang-alang ang isang quadrangular pyramid PABCD(Larawan 2).

R- tuktok ng pyramid.

A B C D- ang base ng pyramid.

RA- gilid tadyang.

AB- base rib.

Mula sa punto R ihulog natin ang patayo RN sa base plane A B C D. Ang perpendikular na iginuhit ay ang taas ng pyramid.

kanin. 2

Ang buong ibabaw ng pyramid ay binubuo ng lateral surface, iyon ay, ang lugar ng lahat ng lateral faces, at ang lugar ng base:

S puno = S gilid + S pangunahing

Ang isang pyramid ay tinatawag na tama kung:

• ang base nito ay isang regular na polygon;
• ang segment na nag-uugnay sa tuktok ng pyramid sa gitna ng base ay ang taas nito.

Paliwanag gamit ang halimbawa ng isang regular na quadrangular pyramid

Isaalang-alang ang isang regular na quadrangular pyramid PABCD(Larawan 3).

R- tuktok ng pyramid. Base ng pyramid A B C D- isang regular na may apat na gilid, iyon ay, isang parisukat. Dot TUNGKOL SA, ang punto ng intersection ng mga diagonal, ay ang sentro ng parisukat. Ibig sabihin, RO ay ang taas ng pyramid.

kanin. 3

Paliwanag: sa tama n Sa isang tatsulok, ang gitna ng inscribed na bilog at ang gitna ng circumcircle ay nag-tutugma. Ang sentrong ito ay tinatawag na sentro ng polygon. Minsan sinasabi nila na ang vertex ay naka-project sa gitna.

Ang taas ng lateral face ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa vertex nito ay tinatawag apothem at itinalaga h a.

1. lahat ng lateral edges ng isang regular na pyramid ay pantay;

2. Ang mga gilid na mukha ay pantay na isosceles triangles.

Magbibigay kami ng patunay ng mga katangiang ito gamit ang halimbawa ng isang regular na quadrangular pyramid.

Ibinigay: PABCD- regular na quadrangular pyramid,

A B C D- parisukat,

RO- taas ng pyramid.

Patunayan:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Tingnan ang Fig. 4.

kanin. 4

Patunay.

RO- taas ng pyramid. Ibig sabihin, straight RO patayo sa eroplano ABC, at samakatuwid ay direkta JSC, VO, SO At GAWIN nakahiga sa loob nito. Kaya mga tatsulok ROA, ROV, ROS, ROD- hugis-parihaba.

Isaalang-alang ang isang parisukat A B C D. Mula sa mga katangian ng isang parisukat ito ay sumusunod na AO = VO = CO = GAWIN.

Pagkatapos ay ang mga tamang tatsulok ROA, ROV, ROS, ROD binti RO- pangkalahatan at mga binti JSC, VO, SO At GAWIN ay pantay, na nangangahulugan na ang mga tatsulok na ito ay pantay sa dalawang panig. Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay ng mga segment, RA = PB = RS = PD. Ang punto 1 ay napatunayan.

Mga segment AB At Araw ay pantay-pantay dahil sila ay mga gilid ng parehong parisukat, RA = PB = RS. Kaya mga tatsulok AVR At VSR - isosceles at pantay sa tatlong panig.

Sa katulad na paraan, nakita natin ang mga tatsulok ABP, VCP, CDP, DAP ay isosceles at pantay, gaya ng kinakailangan na patunayan sa talata 2.

Ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base at ang apothem:

Upang patunayan ito, pumili tayo ng isang regular na triangular na pyramid.

Ibinigay: RAVS- regular na triangular na pyramid.

AB = BC = AC.

RO- taas.

Patunayan: . Tingnan ang Fig. 5.

kanin. 5

Patunay.

RAVS- regular na triangular na pyramid. Yan ay AB= AC = BC. Hayaan TUNGKOL SA- gitna ng tatsulok ABC, Pagkatapos RO ay ang taas ng pyramid. Sa base ng pyramid ay matatagpuan ang isang equilateral triangle ABC. pansinin mo yan .

Mga tatsulok RAV, RVS, RSA- pantay na isosceles triangles (ayon sa ari-arian). Ang isang tatsulok na pyramid ay may tatlong gilid na mukha: RAV, RVS, RSA. Nangangahulugan ito na ang lugar ng lateral surface ng pyramid ay:

S side = 3S RAW

Ang teorama ay napatunayan.

Ang radius ng isang bilog na nakasulat sa base ng isang regular na quadrangular pyramid ay 3 m, ang taas ng pyramid ay 4 m. Hanapin ang lugar ng lateral surface ng pyramid.

Ibinigay: regular na quadrangular pyramid A B C D,

A B C D- parisukat,

r= 3 m,

RO- taas ng pyramid,

RO= 4 m.

Hanapin: S gilid. Tingnan ang Fig. 6.

kanin. 6

Solusyon.

Ayon sa napatunayang teorama, .

Hanapin muna natin ang gilid ng base AB. Alam namin na ang radius ng isang bilog na nakasulat sa base ng isang regular na quadrangular pyramid ay 3 m.

Pagkatapos, m.

Hanapin ang perimeter ng parisukat A B C D na may gilid na 6 m:

Isaalang-alang ang isang tatsulok BCD. Hayaan M- gitna ng gilid DC. kasi TUNGKOL SA- gitna BD, Iyon (m).

Tatsulok DPC- isosceles. M- gitna DC. Yan ay, RM- median, at samakatuwid ang taas sa tatsulok DPC. Pagkatapos RM- apothem ng pyramid.

RO- taas ng pyramid. Tapos, straight RO patayo sa eroplano ABC, at samakatuwid ay direkta OM, nakahiga sa loob nito. Hanapin natin ang apothem RM mula sa isang kanang tatsulok ROM.

Ngayon ay mahahanap natin ang lateral surface ng pyramid:

Sagot: 60 m2.

Ang radius ng bilog na nakapaligid sa base ng isang regular na triangular na pyramid ay katumbas ng m. Ang lateral surface area ay 18 m 2. Hanapin ang haba ng apothem.

Ibinigay: ABCP- regular na tatsulok na pyramid,

AB = BC = SA,

R= m,

S gilid = 18 m2.

Hanapin: . Tingnan ang Fig. 7.

kanin. 7

Solusyon.

Sa isang kanang tatsulok ABC Ang radius ng circumscribed circle ay ibinibigay. Humanap tayo ng side AB ang tatsulok na ito gamit ang batas ng mga sine.

Ang pag-alam sa gilid ng isang regular na tatsulok (m), nakita natin ang perimeter nito.

Sa pamamagitan ng theorem sa lateral surface area ng isang regular na pyramid, kung saan h a- apothem ng pyramid. Pagkatapos:

Sagot: 4 m.

Kaya, tiningnan namin kung ano ang isang pyramid, kung ano ang isang regular na pyramid, at napatunayan namin ang teorama tungkol sa lateral surface ng isang regular na pyramid. Sa susunod na aralin ay makikilala natin ang pinutol na pyramid.

Bibliograpiya

1. Geometry. Baitang 10-11: aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pangkalahatang edukasyon (pangunahing at dalubhasang antas) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5th ed., rev. at karagdagang - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: may sakit.
2. Geometry. Baitang 10-11: Teksbuk para sa pangkalahatang mga institusyong pang-edukasyon / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 pp.: ill.
3. Geometry. Baitang 10: Teksbuk para sa mga institusyong pangkalahatang edukasyon na may malalim at espesyal na pag-aaral ng matematika /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ika-6 na ed., stereotype. - M.: Bustard, 008. - 233 p.: may sakit.

1. Internet portal na "Yaklass" ()
2. Internet portal na "Festival ng mga ideya sa pedagogical "Una ng Setyembre" ()
3. Internet portal na “Slideshare.net” ()

Takdang aralin

1. Maaari bang maging base ng isang iregular na pyramid ang isang regular na polygon?
2. Patunayan na ang magkahiwalay na mga gilid ng isang regular na pyramid ay patayo.
3. Hanapin ang halaga ng dihedral angle sa gilid ng base ng isang regular na quadrangular pyramid kung ang apothem ng pyramid ay katumbas ng gilid ng base nito.
4. RAVS- regular na triangular na pyramid. Buuin ang linear na anggulo ng dihedral angle sa base ng pyramid.

Panimula

Noong nagsimula kaming mag-aral ng mga stereometric figure, hinawakan namin ang paksang "Pyramid". Nagustuhan namin ang paksang ito dahil ang pyramid ay kadalasang ginagamit sa arkitektura. At dahil ang aming hinaharap na propesyon ng arkitektura ay inspirasyon ng figure na ito, sa tingin namin na maaari niyang itulak kami sa mahusay na mga proyekto.

Ang lakas ng mga istruktura ng arkitektura ay ang kanilang pinakamahalagang kalidad. Ang pag-uugnay ng lakas, una, sa mga materyales kung saan sila nilikha, at, pangalawa, sa mga tampok ng mga solusyon sa disenyo, lumalabas na ang lakas ng isang istraktura ay direktang nauugnay sa geometric na hugis na pangunahing para dito.

Sa madaling salita, pinag-uusapan natin ang isang geometric na pigura na maaaring ituring bilang isang modelo ng kaukulang anyo ng arkitektura. Lumalabas na ang geometric na hugis ay tumutukoy din sa lakas ng isang istraktura ng arkitektura.

Mula noong sinaunang panahon, ang Egyptian pyramids ay itinuturing na pinaka matibay na istruktura ng arkitektura. Tulad ng alam mo, mayroon silang hugis ng regular na quadrangular pyramids.

Ito ang geometriko na hugis na nagbibigay ng pinakamalaking katatagan dahil sa malaking lugar ng base. Sa kabilang banda, tinitiyak ng hugis ng pyramid na bumababa ang masa habang tumataas ang taas sa ibabaw ng lupa. Ang dalawang katangiang ito ang nagpapatatag sa pyramid, at samakatuwid ay malakas sa ilalim ng mga kondisyon ng grabidad.

Layunin ng proyekto: matuto ng bago tungkol sa mga pyramids, palalimin ang iyong kaalaman at maghanap ng praktikal na aplikasyon.

Upang makamit ang layuning ito, kinakailangan upang malutas ang mga sumusunod na gawain:

· Alamin ang makasaysayang impormasyon tungkol sa pyramid

· Isaalang-alang ang pyramid bilang isang geometric figure

· Maghanap ng aplikasyon sa buhay at arkitektura

· Maghanap ng mga pagkakatulad at pagkakaiba sa pagitan ng mga pyramids na matatagpuan sa iba't ibang bahagi ng mundo

Teoretikal na bahagi

Makasaysayang impormasyon

Nagsimula ang Pyramid geometry sa Sinaunang Egypt at Babylon, ngunit aktibong binuo sa Sinaunang Greece. Ang unang nagtaguyod ng dami ng pyramid ay si Democritus, at pinatunayan ito ni Eudoxus ng Cnidus. Ang sinaunang Greek mathematician na si Euclid ay nag-systematize ng kaalaman tungkol sa pyramid sa XII volume ng kanyang "Elements", at hinango rin ang unang kahulugan ng isang pyramid: isang solidong figure na napapalibutan ng mga eroplano na nagtatagpo mula sa isang eroplano hanggang sa isang punto.

Mga libingan ng mga pharaoh ng Egypt. Ang pinakamalaki sa kanila - ang mga pyramids ng Cheops, Khafre at Mikerin sa El Giza - ay itinuturing na isa sa Pitong Kababalaghan ng Mundo noong sinaunang panahon. Ang pagtatayo ng pyramid, kung saan nakita na ng mga Griyego at Romano ang isang monumento sa walang uliran na pagmamataas ng mga hari at kalupitan na nagpahamak sa buong mamamayan ng Ehipto sa walang kabuluhang pagtatayo, ay ang pinakamahalagang kulto at dapat na ipahayag, tila, ang mystical identity ng bansa at pinuno nito. Ang populasyon ng bansa ay nagtrabaho sa pagtatayo ng libingan sa bahagi ng taon na walang trabaho sa agrikultura. Ang ilang mga teksto ay nagpapatotoo sa atensyon at pagmamalasakit na ibinayad ng mga hari mismo (bagaman sa ibang pagkakataon) sa pagtatayo ng kanilang libingan at ng mga tagapagtayo nito. Ito ay kilala rin tungkol sa mga espesyal na parangal sa kulto na ibinigay sa mismong pyramid.

Pangunahing Konsepto

Pyramid ay tinatawag na polyhedron na ang base ay isang polygon, at ang natitirang mga mukha ay mga tatsulok na may karaniwang vertex.

Apothem- ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid, na iginuhit mula sa tuktok nito;

Mga mukha sa gilid- mga tatsulok na nagpupulong sa isang vertex;

Mga tadyang sa gilid- karaniwang mga gilid ng mga gilid na mukha;

Tuktok ng pyramid- isang punto na nagkokonekta sa mga tadyang sa gilid at hindi nakahiga sa eroplano ng base;

taas- isang patayong segment na iginuhit sa tuktok ng pyramid hanggang sa eroplano ng base nito (ang mga dulo ng segment na ito ay ang tuktok ng pyramid at ang base ng patayo);

Diagonal na seksyon ng isang pyramid- seksyon ng pyramid na dumadaan sa tuktok at dayagonal ng base;

Base- isang polygon na hindi kabilang sa vertex ng pyramid.

Mga pangunahing katangian ng isang regular na pyramid

Ang mga lateral edge, lateral faces at apothems ay magkapareho.

Ang mga anggulo ng dihedral sa base ay pantay.

Ang mga anggulo ng dihedral sa mga gilid na gilid ay pantay.

Ang bawat taas na punto ay katumbas ng layo mula sa lahat ng mga vertex ng base.

Ang bawat taas na punto ay katumbas ng layo mula sa lahat ng panig na mukha.

Mga pangunahing pormula ng pyramid

Ang lugar ng lateral at kabuuang ibabaw ng pyramid.

Ang lugar ng lateral surface ng isang pyramid (puno at pinutol) ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga lateral na mukha nito, ang kabuuang lugar ng ibabaw ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha nito.

Theorem: Ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base at ang apothem ng pyramid.

p- base perimeter;

h- apothem.

Ang lugar ng lateral at buong ibabaw ng isang pinutol na pyramid.

p 1, p 2 - base perimeter;

h- apothem.

R- kabuuang lugar sa ibabaw ng isang regular na pinutol na pyramid;

S gilid- lugar ng lateral surface ng isang regular na pinutol na pyramid;

S 1 + S 2- base na lugar

Dami ng pyramid

Form volume ula ay ginagamit para sa mga pyramids ng anumang uri.

H- taas ng pyramid.

Mga sulok ng pyramid

Ang mga anggulo na nabuo ng gilid na mukha at ang base ng pyramid ay tinatawag na dihedral na mga anggulo sa base ng pyramid.

Ang isang dihedral na anggulo ay nabuo sa pamamagitan ng dalawang perpendicular.

Upang matukoy ang anggulong ito, madalas mong kailangang gamitin ang tatlong perpendicular theorem.

Ang mga anggulo na nabuo ng lateral edge at ang projection nito sa base plane ay tinatawag anggulo sa pagitan ng gilid ng gilid at ng eroplano ng base.

Ang anggulo na nabuo ng dalawang lateral na gilid ay tinatawag dihedral angle sa lateral edge ng pyramid.

Ang anggulo na nabuo ng dalawang lateral na gilid ng isang mukha ng pyramid ay tinatawag anggulo sa tuktok ng pyramid.

Mga seksyon ng pyramid

Ang ibabaw ng isang pyramid ay ang ibabaw ng isang polyhedron. Ang bawat isa sa mga mukha nito ay isang eroplano, samakatuwid ang seksyon ng isang pyramid na tinukoy ng isang cutting plane ay isang putol na linya na binubuo ng mga indibidwal na tuwid na linya.

Diagonal na seksyon

Ang seksyon ng isang pyramid sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi nakahiga sa parehong mukha ay tinatawag na diagonal na seksyon mga pyramid.

Mga parallel na seksyon

Teorama:

Kung ang pyramid ay intersected sa pamamagitan ng isang eroplano parallel sa base, pagkatapos ay ang mga lateral na gilid at taas ng pyramid ay hinati ng eroplanong ito sa mga proporsyonal na bahagi;

Ang seksyon ng eroplanong ito ay isang polygon na katulad ng base;

Ang mga lugar ng seksyon at ang base ay nauugnay sa isa't isa bilang mga parisukat ng kanilang mga distansya mula sa tuktok.

Mga uri ng pyramid

Tamang pyramid– isang pyramid na ang base ay isang regular na polygon, at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng base.

Para sa isang regular na pyramid:

1. magkapantay ang side ribs

2. magkapantay ang mga mukha sa gilid

3. pantay-pantay ang mga apothems

4. pantay ang mga anggulo ng dihedral sa base

5. pantay ang mga anggulo ng dihedral sa mga gilid na gilid

6. ang bawat punto ng taas ay katumbas ng layo mula sa lahat ng vertices ng base

7. ang bawat taas na punto ay katumbas ng layo mula sa lahat ng gilid na gilid

Pinutol na pyramid- bahagi ng pyramid na nakapaloob sa pagitan ng base nito at ng cutting plane na kahanay ng base.

Ang base at kaukulang seksyon ng isang pinutol na pyramid ay tinatawag mga base ng isang pinutol na pyramid.

Ang isang patayo na iginuhit mula sa anumang punto ng isang base patungo sa eroplano ng isa pa ay tinatawag ang taas ng pinutol na pyramid.

Mga gawain

No. 1. Sa isang regular na quadrangular pyramid, ang point O ay ang sentro ng base, SO=8 cm, BD=30 cm. Hanapin ang gilid na gilid SA.

Pagtugon sa suliranin

No. 1. Sa isang regular na pyramid, lahat ng mga mukha at gilid ay pantay.

Isaalang-alang ang OSB: Ang OSB ay isang hugis-parihaba na parihaba, dahil.

SB 2 =SO 2 +OB 2

SB 2 =64+225=289

Pyramid sa arkitektura

Ang isang pyramid ay isang monumental na istraktura sa anyo ng isang ordinaryong regular na geometric pyramid, kung saan ang mga gilid ay nagtatagpo sa isang punto. Ayon sa kanilang functional na layunin, ang mga pyramid noong sinaunang panahon ay mga lugar ng libing o pagsamba sa kulto. Ang base ng isang pyramid ay maaaring triangular, quadrangular, o polygonal na hugis na may arbitrary na bilang ng vertices, ngunit ang pinakakaraniwang bersyon ay ang quadrangular base.

Mayroong isang malaking bilang ng mga pyramid na binuo ng iba't ibang kultura ng Sinaunang Mundo, pangunahin bilang mga templo o monumento. Kasama sa malalaking pyramids ang Egyptian pyramids.

Sa buong Earth maaari mong makita ang mga istrukturang arkitektura sa anyo ng mga pyramids. Ang mga pyramid na gusali ay nakapagpapaalaala sa sinaunang panahon at napakaganda ng hitsura.

Ang Egyptian pyramids ay ang pinakadakilang architectural monuments ng Sinaunang Egypt, kabilang ang isa sa "Seven Wonders of the World", ang Pyramid of Cheops. Mula sa paa hanggang sa tuktok umabot ito sa 137.3 m, at bago ito mawala sa tuktok, ang taas nito ay 146.7 m

Ang gusali ng istasyon ng radyo sa kabisera ng Slovakia, na kahawig ng isang baligtad na pyramid, ay itinayo noong 1983. Bilang karagdagan sa mga tanggapan at lugar ng serbisyo, sa loob ng volume mayroong isang medyo maluwang na bulwagan ng konsiyerto, na may isa sa mga pinakamalaking organo sa Slovakia.

Ang Louvre, na "tahimik, hindi nagbabago at marilag, tulad ng isang pyramid," ay dumanas ng maraming pagbabago sa paglipas ng mga siglo bago naging ang pinakadakilang museo sa mundo. Ito ay ipinanganak bilang isang kuta, na itinayo ni Philip Augustus noong 1190, na sa lalong madaling panahon ay naging isang maharlikang tirahan. Noong 1793 naging museo ang palasyo. Ang mga koleksyon ay pinayaman sa pamamagitan ng mga pamana o pagbili.

Kahulugan. Gilid na gilid- ito ay isang tatsulok kung saan ang isang anggulo ay namamalagi sa tuktok ng pyramid, at ang kabaligtaran na bahagi ay nag-tutugma sa gilid ng base (polygon).

Kahulugan. Mga tadyang sa gilid- ito ang mga karaniwang panig ng mga gilid na mukha. Ang isang pyramid ay may kasing dami ng mga gilid gaya ng mga anggulo ng isang polygon.

Kahulugan. Taas ng pyramid- ito ay isang patayo na ibinababa mula sa itaas hanggang sa base ng pyramid.

Kahulugan. Apothem- ito ay isang patayo sa gilid na mukha ng pyramid, na ibinaba mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa gilid ng base.

Kahulugan. Diagonal na seksyon- ito ay isang seksyon ng isang pyramid sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa tuktok ng pyramid at ang dayagonal ng base.

Kahulugan. Tamang pyramid ay isang pyramid kung saan ang base ay isang regular na polygon, at ang taas ay bumababa sa gitna ng base.

Dami at lugar ng ibabaw ng pyramid

Formula. Dami ng pyramid sa pamamagitan ng base area at taas:

Mga katangian ng pyramid

Kung ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay, kung gayon ang isang bilog ay maaaring iguhit sa paligid ng base ng pyramid, at ang gitna ng base ay tumutugma sa gitna ng bilog. Gayundin, ang isang patayo na bumaba mula sa itaas ay dumadaan sa gitna ng base (bilog).

Kung ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay, kung gayon sila ay hilig sa eroplano ng base sa parehong mga anggulo.

Ang mga lateral edge ay pantay-pantay kapag bumubuo ang mga ito ng pantay na mga anggulo sa eroplano ng base o kung ang isang bilog ay maaaring ilarawan sa paligid ng base ng pyramid.

Kung ang mga mukha sa gilid ay nakakiling sa eroplano ng base sa parehong anggulo, kung gayon ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa base ng pyramid, at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang nasa gitna nito.

Kung ang mga mukha sa gilid ay nakakiling sa eroplano ng base sa parehong anggulo, kung gayon ang mga apothems ng mga gilid na mukha ay pantay.

Mga katangian ng isang regular na pyramid

1. Ang tuktok ng pyramid ay katumbas ng layo mula sa lahat ng sulok ng base.

2. Ang lahat ng gilid ng gilid ay pantay.

3. Ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay nakakiling sa pantay na mga anggulo sa base.

4. Ang mga apothems ng lahat ng lateral na mukha ay pantay.

5. Ang mga lugar ng lahat ng panig na mukha ay pantay.

6. Ang lahat ng mga mukha ay may parehong dihedral (flat) na anggulo.

7. Ang isang sphere ay maaaring ilarawan sa paligid ng pyramid. Ang gitna ng circumscribed sphere ay ang intersection point ng mga perpendicular na dumadaan sa gitna ng mga gilid.

8. Maaari mong ilagay ang isang sphere sa isang pyramid. Ang gitna ng nakasulat na globo ay ang punto ng intersection ng mga bisector na nagmumula sa anggulo sa pagitan ng gilid at base.

9. Kung ang sentro ng inscribed sphere ay tumutugma sa gitna ng circumscribed sphere, kung gayon ang kabuuan ng mga anggulo ng plane sa vertex ay katumbas ng π o vice versa, ang isang anggulo ay katumbas ng π/n, kung saan n ang numero ng mga anggulo sa base ng pyramid.

Ang koneksyon sa pagitan ng pyramid at ng globo

Ang isang globo ay maaaring ilarawan sa paligid ng isang pyramid kapag sa base ng pyramid ay mayroong isang polyhedron sa paligid kung saan ang isang bilog ay maaaring ilarawan (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang gitna ng globo ay ang intersection point ng mga eroplano na dumaraan nang patayo sa mga midpoint ng mga gilid na gilid ng pyramid.

Palaging posible na ilarawan ang isang globo sa paligid ng anumang triangular o regular na pyramid.

Ang isang globo ay maaaring isulat sa isang pyramid kung ang mga bisector plane ng mga panloob na dihedral na anggulo ng pyramid ay nagsalubong sa isang punto (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang puntong ito ang magiging sentro ng globo.

Koneksyon ng isang pyramid na may isang kono

Ang isang kono ay sinasabing nakasulat sa isang pyramid kung ang kanilang mga vertices ay magkasabay at ang base ng kono ay nakasulat sa base ng pyramid.

Ang isang kono ay maaaring isulat sa isang pyramid kung ang mga apothems ng pyramid ay katumbas ng bawat isa.

Ang isang kono ay sinasabing napapaligiran sa paligid ng isang pyramid kung ang kanilang mga vertices ay nagsasabay at ang base ng kono ay napapaligiran sa paligid ng base ng pyramid.

Ang isang kono ay maaaring ilarawan sa paligid ng isang pyramid kung ang lahat ng mga lateral na gilid ng pyramid ay pantay sa bawat isa.

Relasyon sa pagitan ng isang pyramid at isang silindro

Ang isang pyramid ay tinatawag na inscribed sa isang cylinder kung ang tuktok ng pyramid ay nasa isang base ng cylinder, at ang base ng pyramid ay nakasulat sa isa pang base ng cylinder.

Ang isang silindro ay maaaring ilarawan sa paligid ng isang pyramid kung ang isang bilog ay maaaring ilarawan sa paligid ng base ng pyramid.

Ang isang tetrahedron ay may apat na mukha at apat na vertice at anim na gilid, kung saan ang alinmang dalawang gilid ay walang mga karaniwang vertex ngunit hindi magkadikit.

Ang bawat taluktok ay binubuo ng tatlong mukha at mga gilid na nabuo tatsulok na anggulo.

Ang segment na nagkokonekta sa vertex ng isang tetrahedron sa gitna ng kabaligtaran na mukha ay tinatawag median ng tetrahedron(GM).

Bimedian tinatawag na segment na nagdudugtong sa mga midpoint ng magkasalungat na gilid na hindi magkadikit (KL).

Ang lahat ng bimedians at median ng isang tetrahedron ay nagsalubong sa isang punto (S). Sa kasong ito, ang mga bimedian ay nahahati sa kalahati, at ang mga median ay nahahati sa isang ratio na 3:1 simula sa itaas.

Kahulugan. Talamak na angled pyramid- isang pyramid kung saan ang apothem ay higit sa kalahati ng haba ng gilid ng base.

Kahulugan. Obtuse pyramid- isang pyramid kung saan ang apothem ay mas mababa sa kalahati ng haba ng gilid ng base.

Kahulugan. Regular na tetrahedron- isang tetrahedron kung saan ang lahat ng apat na mukha ay equilateral triangles. Ito ay isa sa limang regular na polygons. Sa isang regular na tetrahedron, lahat ng dihedral na anggulo (sa pagitan ng mga mukha) at trihedral na anggulo (sa vertex) ay pantay.

Kahulugan. Parihabang tetrahedron ay tinatawag na tetrahedron kung saan mayroong tamang anggulo sa pagitan ng tatlong gilid sa tuktok (ang mga gilid ay patayo). Tatlong mukha ang nabuo hugis-parihaba tatsulok na anggulo at ang mga mukha ay tamang tatsulok, at ang base ay isang di-makatwirang tatsulok. Ang apothem ng anumang mukha ay katumbas ng kalahati ng gilid ng base kung saan nahuhulog ang apothem.

Kahulugan. Isohedral tetrahedron ay tinatawag na tetrahedron na ang mga gilid ng mukha ay pantay sa bawat isa, at ang base ay isang regular na tatsulok. Ang nasabing tetrahedron ay may mga mukha na isosceles triangles.

Kahulugan. Orthocentric tetrahedron ay tinatawag na tetrahedron kung saan ang lahat ng taas (perpendiculars) na ibinababa mula sa itaas hanggang sa tapat na mukha ay nagsalubong sa isang punto.

Kahulugan. Piramid ng bituin tinatawag na polyhedron na ang base ay isang bituin.

Dito mahahanap mo ang pangunahing impormasyon tungkol sa mga pyramids at mga kaugnay na formula at konsepto. Lahat sila ay pinag-aaralan sa isang mathematics tutor bilang paghahanda para sa Unified State Exam.

Isaalang-alang ang isang eroplano, isang polygon , nakahiga dito at isang punto S, hindi nakahiga dito. Ikonekta natin ang S sa lahat ng vertices ng polygon. Ang nagresultang polyhedron ay tinatawag na isang pyramid. Ang mga segment ay tinatawag na side ribs. Ang polygon ay tinatawag na base, at ang puntong S ay ang tuktok ng pyramid. Depende sa bilang n, ang pyramid ay tinatawag na triangular (n=3), quadrangular (n=4), pentagonal (n=5) at iba pa. Ang isang alternatibong pangalan para sa isang tatsulok na pyramid ay tetrahedron. Ang taas ng isang pyramid ay ang perpendikular na pababa mula sa tuktok nito hanggang sa eroplano ng base.

Ang isang pyramid ay tinatawag na regular kung isang regular na polygon, at ang base ng altitude ng pyramid (ang base ng patayo) ay ang sentro nito.

Komento ng tutor:
Huwag malito ang mga konsepto ng "regular pyramid" at "regular tetrahedron". Sa isang regular na pyramid, ang mga gilid na gilid ay hindi kinakailangang katumbas ng mga gilid ng base, ngunit sa isang regular na tetrahedron, lahat ng 6 na gilid ay pantay. Ito ang kanyang kahulugan. Madaling patunayan na ang pagkakapantay-pantay ay nagpapahiwatig na ang sentro P ng polygon ay nag-tutugma na may taas na base, kaya ang isang regular na tetrahedron ay isang regular na pyramid.

Ano ang apothem?
Ang apothem ng isang pyramid ay ang taas ng gilid ng mukha nito. Kung regular ang pyramid, pantay ang lahat ng apothems nito. Ang kabaligtaran ay hindi totoo.

Isang tutor sa matematika tungkol sa kanyang terminolohiya: 80% ng trabaho sa mga pyramids ay binuo sa pamamagitan ng dalawang uri ng mga tatsulok:
1) Naglalaman ng apothem SK at taas SP
2) Naglalaman ng lateral edge SA at ang projection na PA nito

Upang gawing simple ang mga sanggunian sa mga tatsulok na ito, mas maginhawa para sa isang math tutor na tawagan ang una sa mga ito apothemal, at pangalawa costal. Sa kasamaang palad, hindi mo makikita ang terminolohiya na ito sa alinman sa mga aklat-aralin, at kailangang ipakilala ito ng guro nang unilaterally.

Formula para sa dami ng isang pyramid:
1) , kung saan ang lugar ng base ng pyramid, at ang taas ng pyramid
2) , kung saan ang radius ng inscribed sphere, at ang lugar ng kabuuang ibabaw ng pyramid.
3) , kung saan ang MN ay ang distansya sa pagitan ng alinmang dalawang crossing edge, at ang lugar ng parallelogram na nabuo ng mga midpoint ng apat na natitirang mga gilid.

Pag-aari ng base ng taas ng isang pyramid:

Ang punto P (tingnan ang figure) ay tumutugma sa gitna ng nakasulat na bilog sa base ng pyramid kung ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:
1) Ang lahat ng apothems ay pantay
2) Ang lahat ng mga gilid na mukha ay pantay na nakahilig sa base
3) Ang lahat ng apothems ay pantay na nakahilig sa taas ng pyramid
4) Ang taas ng pyramid ay pantay na nakahilig sa lahat ng panig na mukha

komento ng math tutor: Pakitandaan na ang lahat ng mga punto ay pinagsama ng isang karaniwang pag-aari: isang paraan o iba pa, ang mga lateral na mukha ay kasangkot sa lahat ng dako (apothems ang kanilang mga elemento). Samakatuwid, ang tagapagturo ay maaaring mag-alok ng isang hindi gaanong tumpak, ngunit mas maginhawa para sa pag-aaral, pagbabalangkas: ang punto P ay tumutugma sa gitna ng inscribed na bilog, ang base ng pyramid, kung mayroong anumang pantay na impormasyon tungkol sa mga lateral na mukha nito. Upang patunayan ito, sapat na upang ipakita na ang lahat ng mga tatsulok ng apothem ay pantay.

Ang punto P ay tumutugma sa gitna ng isang bilog na nakapaligid malapit sa base ng pyramid kung ang isa sa tatlong kundisyon ay totoo:
1) Ang lahat ng gilid ng gilid ay pantay
2) Ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay pantay na nakahilig sa base
3) Ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay pantay na nakahilig sa taas