Regular na triangular prism na ari-arian. Prisma

1. Ang pinakamaliit na bilang ng mga gilid ay may tetrahedron - 6.

2. Ang prisma ay may n mga mukha. Anong polygon ang nasa base nito?

(n - 2) - isang parisukat.

3. Tuwid ba ang isang prisma kung ang dalawang magkatabing mukha nito ay patayo sa eroplano ng base?

Oo nga.

4. Sa aling prisma ang mga gilid ng gilid ay kahanay sa taas nito?

sa isang tuwid na prisma.

5. Regular ba ang isang prisma kung ang lahat ng mga gilid nito ay pantay sa bawat isa?

Hindi, maaaring hindi ito direkta.

6. Ang taas ba ng isa sa mga gilid na mukha ng isang hilig na prisma ay ang taas din ng prisma?

Oo, kung ang mukha na ito ay patayo sa mga base.

7. Mayroon bang prisma kung saan: a) ang gilid ng gilid ay patayo sa isang gilid lamang ng base; b) isang gilid na mukha lamang ang patayo sa base?

a) oo. b) hindi.

8. Ang isang regular na tatsulok na prisma ay nahahati sa pamamagitan ng isang eroplanong dumadaan sa mga midline ng mga base sa dalawang prisma. Paano ang mga lugar ng mga lateral surface ng mga prisma na ito?

Ayon sa theorem ng item 27, nakuha namin na ang mga lateral surface ay nauugnay bilang 5: 3

9. Magiging regular ba ang pyramid kung ang mga gilid na mukha nito ay regular na tatsulok?

10. Ilang mukha patayo sa base plane ang maaaring magkaroon ng pyramid?

11. Mayroon bang quadrangular pyramid na ang magkabilang gilid ay patayo sa base?

Hindi, kung hindi, hindi bababa sa dalawang tuwid na linya, patayo sa mga base, ay dadaan sa tuktok ng pyramid.

12. Maaari bang maging tamang tatsulok ang lahat ng mukha ng isang tatsulok na pyramid?

Oo (Larawan 183).

Kasama sa video course na "Kumuha ng A" ang lahat ng mga paksang kailangan para sa matagumpay na pagpasa ng pagsusulit sa matematika sa pamamagitan ng 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile USE sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic USE sa matematika. Kung gusto mong pumasa sa pagsusulit na may 90-100 puntos, kailangan mong lutasin ang bahagi 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Paghahanda ng kurso para sa pagsusulit para sa mga baitang 10-11, pati na rin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo upang malutas ang bahagi 1 ng pagsusulit sa matematika (ang unang 12 problema) at problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Examination, at hindi magagawa ng isang daang puntos na mag-aaral o isang humanist kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na solusyon, bitag at sikreto ng pagsusulit. Ang lahat ng nauugnay na gawain ng bahagi 1 mula sa mga gawain ng Bank of FIPI ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng USE-2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain sa pagsusulit. Mga problema sa teksto at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm sa paglutas ng problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa PAGGAMIT. Stereometry. Mga tusong trick para sa paglutas, kapaki-pakinabang na mga cheat sheet, pagbuo ng spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula - hanggang sa gawain 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Visual na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Base para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng ika-2 bahagi ng pagsusulit.

Pangkalahatang impormasyon tungkol sa isang tuwid na prisma

Ang lateral surface ng prism (mas tiyak, ang lateral surface area) ay tinatawag sum mga bahagi ng mukha sa gilid. Ang kabuuang ibabaw ng prisma ay katumbas ng kabuuan ng lateral surface at ang mga lugar ng mga base.

Teorama 19.1. Ang gilid na ibabaw ng isang tuwid na prisma ay katumbas ng produkto ng perimeter ng base at ang taas ng prisma, ibig sabihin, ang haba ng gilid ng gilid.

Patunay. Ang mga gilid na mukha ng isang tuwid na prisma ay mga parihaba. Ang mga base ng mga parihaba na ito ay ang mga gilid ng polygon na nakahiga sa base ng prism, at ang mga taas ay katumbas ng haba ng mga gilid ng gilid. Ito ay sumusunod na ang lateral surface ng prism ay katumbas ng

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

kung saan ang a 1 at n ay ang mga haba ng ribs ng base, p ay ang perimeter ng base ng prism, at ang I ay ang haba ng side ribs. Napatunayan na ang theorem.

Praktikal na gawain

Gawain (22) . Sa isang hilig na prisma seksyon, patayo sa mga gilid ng gilid at intersecting sa lahat ng gilid ng gilid. Hanapin ang gilid na ibabaw ng prism kung ang perimeter ng seksyon ay p at ang mga gilid ng gilid ay l.

Solusyon. Ang eroplano ng seksyon na iginuhit ay naghahati sa prisma sa dalawang bahagi (Larawan 411). Ipasailalim natin ang isa sa kanila sa isang parallel na pagsasalin na pinagsasama ang mga base ng prisma. Sa kasong ito, nakakakuha kami ng isang tuwid na prisma, kung saan ang seksyon ng orihinal na prisma ay nagsisilbing base, at ang mga gilid ng gilid ay katumbas ng l. Ang prisma na ito ay may parehong gilid na ibabaw gaya ng orihinal. Kaya, ang gilid na ibabaw ng orihinal na prisma ay katumbas ng pl.

Paglalahat ng paksa

At ngayon subukan natin sa iyo na ibuod ang paksa ng prisma at tandaan kung ano ang mga katangian ng isang prisma.

Mga Katangian ng Prism

Una, para sa isang prisma, ang lahat ng mga base nito ay pantay na mga polygon;
Pangalawa, para sa isang prisma, ang lahat ng mga gilid na mukha nito ay parallelograms;
Pangatlo, sa tulad ng isang multifaceted figure bilang isang prisma, lahat ng gilid gilid ay pantay;

Gayundin, dapat tandaan na ang polyhedra tulad ng mga prisma ay maaaring tuwid at hilig.

Ano ang isang tuwid na prisma?

Kung ang gilid ng gilid ng isang prisma ay patayo sa eroplano ng base nito, kung gayon ang gayong prisma ay tinatawag na isang tuwid na linya.

Hindi magiging labis na alalahanin na ang mga gilid na mukha ng isang tuwid na prisma ay mga parihaba.

Ano ang isang oblique prism?

Ngunit kung ang gilid ng gilid ng prisma ay hindi matatagpuan patayo sa eroplano ng base nito, maaari nating ligtas na sabihin na ito ay isang hilig na prisma.

Ano ang tamang prisma?

Kung ang isang regular na polygon ay nasa base ng isang tuwid na prisma, kung gayon ang gayong prisma ay regular.

Ngayon, alalahanin natin ang mga katangian na mayroon ang isang regular na prisma.

Mga katangian ng isang regular na prisma

Una, ang mga regular na polygon ay palaging nagsisilbing mga base ng isang regular na prisma;
Pangalawa, kung isasaalang-alang natin ang mga gilid na mukha ng isang regular na prisma, kung gayon sila ay palaging pantay na mga parihaba;
Pangatlo, kung ihahambing natin ang mga sukat ng mga tadyang sa gilid, kung gayon sa tamang prisma sila ay palaging pantay.
Ikaapat, ang isang regular na prisma ay palaging tuwid;
Ikalima, kung sa isang regular na prisma ang mga mukha sa gilid ay nasa anyo ng mga parisukat, kung gayon ang naturang figure, bilang panuntunan, ay tinatawag na semi-regular na polygon.

Seksyon ng prisma

Ngayon tingnan natin ang cross section ng isang prisma:

Takdang aralin

At ngayon subukan nating pagsamahin ang pinag-aralan na paksa sa pamamagitan ng paglutas ng mga problema.

Gumuhit tayo ng isang hilig na tatsulok na prisma, kung saan ang distansya sa pagitan ng mga gilid nito ay magiging: 3 cm, 4 cm at 5 cm, at ang gilid na ibabaw ng prisma na ito ay magiging katumbas ng 60 cm2. Gamit ang mga parameter na ito, hanapin ang lateral edge ng ibinigay na prisma.

Alam mo ba na ang mga geometric na numero ay patuloy na pumapalibot sa amin hindi lamang sa mga aralin sa geometry, kundi pati na rin sa pang-araw-araw na buhay may mga bagay na kahawig ng isa o isa pang geometric na pigura.

Ang bawat tahanan, paaralan o trabaho ay may computer, ang system unit nito ay nasa anyo ng isang tuwid na prisma.

Kung kukuha ka ng isang simpleng lapis, makikita mo na ang pangunahing bahagi ng lapis ay isang prisma.

Sa paglalakad sa kahabaan ng pangunahing kalye ng lungsod, nakita namin na sa ilalim ng aming mga paa ay namamalagi ang isang tile na may hugis ng isang hexagonal prism.

A. V. Pogorelov, Geometry para sa mga baitang 7-11, Textbook para sa mga institusyong pang-edukasyon

Kahulugan 1. Prismatic surface
Theorem 1. Sa parallel na mga seksyon ng isang prismatic surface
Kahulugan 2. Perpendikular na seksyon ng isang prismatic surface
Kahulugan 3. Prisma
Kahulugan 4. Taas ng prisma
Kahulugan 5. Direktang prisma
Theorem 2. Ang lugar ng lateral surface ng prism

Parallelepiped :
Kahulugan 6. Parallelepiped
Theorem 3. Sa intersection ng mga diagonal ng isang parallelepiped
Kahulugan 7. Kanang parallelepiped
Kahulugan 8. Parihabang parallelepiped
Kahulugan 9. Mga sukat ng parallelepiped
Kahulugan 10. Kubo
Kahulugan 11. Rhombohedron
Theorem 4. Sa mga dayagonal ng isang parihabang parallelepiped
Theorem 5. Dami ng isang prisma
Theorem 6. Dami ng isang tuwid na prisma
Theorem 7. Dami ng isang parihabang parallelepiped

prisma tinatawag ang isang polyhedron, kung saan ang dalawang mukha (mga base) ay nakahiga sa magkatulad na mga eroplano, at ang mga gilid na hindi nakahiga sa mga mukha na ito ay parallel sa bawat isa.
Ang mga mukha maliban sa mga base ay tinatawag lateral.
Ang mga gilid ng gilid na mukha at base ay tinatawag mga gilid ng prisma, ang mga dulo ng mga gilid ay tinatawag ang mga tuktok ng prisma. Mga lateral ribs tinatawag na mga gilid na hindi kabilang sa mga base. Ang pagsasama ng mga mukha sa gilid ay tinatawag gilid na ibabaw ng prisma, at ang pagkakaisa ng lahat ng mukha ay tinatawag buong ibabaw ng prisma. Taas ng prisma tinatawag na patayo na bumaba mula sa punto ng itaas na base hanggang sa eroplano ng ibabang base o ang haba ng patayo na ito. tuwid na prisma tinatawag na prisma, kung saan ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga eroplano ng mga base. tama tinatawag na isang tuwid na prisma (Larawan 3), sa base kung saan namamalagi ang isang regular na polygon.

Mga pagtatalaga:
l - tadyang sa gilid;
P - base perimeter;
S o - base area;
H - taas;
P ^ - perimeter ng perpendikular na seksyon;
S b - bahagi ng ibabaw na lugar;
V - dami;
S p - lugar ng kabuuang ibabaw ng prisma.

Kahulugan 2 . Ang isang perpendikular na seksyon ng isang prismatic na ibabaw ay isang seksyon ng ibabaw na ito sa pamamagitan ng isang eroplanong patayo sa mga gilid nito. Batay sa nakaraang teorama, ang lahat ng mga perpendikular na seksyon ng parehong prismatic surface ay magiging pantay na mga polygon.

Kahulugan 3 . Ang prisma ay isang polyhedron na napapaligiran ng isang prismatic surface at dalawang eroplanong parallel sa isa't isa (ngunit hindi parallel sa mga gilid ng prismatic surface)
Tinatawag ang mga mukha na nakahiga sa mga huling eroplanong ito mga base ng prisma; mga mukha na kabilang sa isang prismatic surface - mga mukha sa gilid; mga gilid ng prismatic surface - gilid na gilid ng prisma. Sa bisa ng nakaraang teorama, ang mga base ng prisma ay pantay na polygons. Lahat ng gilid na mukha ng prisma paralelograms; lahat ng gilid ng gilid ay pantay sa bawat isa.
Malinaw na kung ang base ng prism ABCDE at isa sa mga gilid AA" ay ibinibigay sa magnitude at direksyon, kung gayon posible na bumuo ng isang prisma sa pamamagitan ng pagguhit ng mga gilid BB", CC", .., katumbas at kahanay sa ang gilid AA".

Kahulugan 4 . Ang taas ng isang prisma ay ang distansya sa pagitan ng mga eroplano ng mga base nito (HH").

Kahulugan 5 . Ang isang prisma ay tinatawag na isang tuwid na linya kung ang mga base nito ay patayo na mga seksyon ng isang prismatic surface. Sa kasong ito, ang taas ng prisma ay, siyempre, nito gilid tadyang; gilid gilid ay mga parihaba.
Maaaring uriin ang mga prisma ayon sa bilang ng mga mukha sa gilid, katumbas ng bilang ng mga gilid ng polygon na nagsisilbing base nito. Kaya, ang mga prisma ay maaaring tatsulok, quadrangular, pentagonal, atbp.

Teorama 2 . Ang lugar ng lateral surface ng prism ay katumbas ng produkto ng lateral edge at ang perimeter ng perpendicular section.
Hayaang ang ABCDEA"B"C"D"E" ang binigay na prism at abcde ang perpendikular na seksyon nito, upang ang mga segment na ab, bc, .. ay patayo sa mga gilid na gilid nito. Ang Face ABA"B" ay isang parallelogram; ang lawak nito ay katumbas ng produkto ng base AA " sa taas na tumutugma sa ab; ang lugar ng mukha BCV "C" ay katumbas ng produkto ng base BB" sa taas bc, atbp. Samakatuwid, ang gilid na ibabaw (ibig sabihin, ang kabuuan ng mga lugar ng mga gilid na mukha) ay katumbas ng produkto ng gilid na gilid, sa madaling salita, ang kabuuang haba ng mga segment na AA", BB", .., sa pamamagitan ng kabuuan na ab+bc+cd+de+ea.

Kahulugan. Prisma- ito ay isang polyhedron, ang lahat ng mga vertices na kung saan ay matatagpuan sa dalawang parallel na eroplano, at sa parehong dalawang eroplano mayroong dalawang mukha ng prism, na kung saan ay pantay na polygons na may ayon sa pagkakabanggit parallel panig, at lahat ng mga gilid na hindi namamalagi sa mga ito. ang mga eroplano ay parallel.

Dalawang magkapantay na mukha ang tinatawag mga base ng prisma(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Ang lahat ng iba pang mga mukha ng prisma ay tinatawag mga mukha sa gilid(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Bumubuo ang lahat ng mukha sa gilid gilid na ibabaw ng prisma .

Ang lahat ng panig na mukha ng isang prisma ay mga paralelogram .

Ang mga gilid na hindi nakahiga sa mga base ay tinatawag na mga lateral na gilid ng prisma ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prism Diagonal tinatawag ang isang segment, ang mga dulo nito ay dalawang vertices ng prism na hindi nakahiga sa isa sa mga mukha nito (AD 1).

Ang haba ng segment na nagkokonekta sa mga base ng prism at patayo sa parehong mga base sa parehong oras ay tinatawag taas ng prisma .

pagtatalaga:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Una, sa bypass order, ang mga vertices ng isang base ay ipinahiwatig, at pagkatapos, sa parehong pagkakasunud-sunod, ang mga vertices ng isa pa; ang mga dulo ng bawat gilid na gilid ay itinalaga ng parehong mga titik, tanging ang mga vertices na nakahiga sa isang base ay ipinahiwatig ng mga titik na walang index, at sa isa pa - na may index)

Ang pangalan ng prism ay nauugnay sa bilang ng mga anggulo sa figure na nakahiga sa base nito, halimbawa, sa Figure 1, ang base ay isang pentagon, kaya ang prism ay tinatawag pentagonal prism. Pero dahil ang gayong prisma ay may 7 mukha, pagkatapos ito heptahedron(2 mukha ang mga base ng prisma, 5 mukha ay parallelograms, ang mga gilid na mukha nito)

Sa mga tuwid na prisma, ang isang partikular na uri ay namumukod-tangi: mga regular na prisma.

Ang isang tuwid na prisma ay tinatawag tama, kung ang mga base nito ay mga regular na polygon.

Ang isang regular na prisma ay may pantay na mga parihaba sa lahat ng panig. Ang isang espesyal na kaso ng isang prisma ay isang parallelepiped.

Parallelepiped

Parallelepiped- Ito ay isang quadrangular prism, sa base nito ay may parallelogram (oblique parallelepiped). Kanang parallelepiped- isang parallelepiped na ang mga lateral na gilid ay patayo sa mga eroplano ng base.

kuboid- isang kanang parallelepiped na ang base ay isang parihaba.

Mga katangian at teorema:

Ang ilang mga katangian ng isang parallelepiped ay katulad ng mga kilalang katangian ng isang parallelogram. Ang isang parihabang parallelepiped na may pantay na sukat ay tinatawag kubo .Ang isang kubo ay may lahat ng mukha ng pantay na mga parisukat.Ang parisukat ng isang dayagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng tatlong sukat nito

,

kung saan ang d ay ang dayagonal ng parisukat;
a - gilid ng parisukat.

Ang ideya ng isang prisma ay ibinigay ng:

• iba't ibang mga istraktura ng arkitektura;
• Mga laruan ng bata;
• mga kahon ng pag-iimpake;
• mga bagay na taga-disenyo, atbp.

Kabuuan at lateral surface area ng prisma

Kabuuang lugar ng ibabaw ng prisma ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha nito Lateral surface area ay tinatawag na kabuuan ng mga lugar ng mga gilid na mukha nito. ang mga base ng prism ay pantay na mga polygon, kung gayon ang kanilang mga lugar ay pantay. Kaya

S full \u003d S side + 2S main,

saan S puno- kabuuang lugar sa ibabaw, S gilid- bahagi ng ibabaw na lugar, S pangunahing- base na lugar

Ang lugar ng lateral surface ng isang tuwid na prism ay katumbas ng produkto ng perimeter ng base at ang taas ng prism.

S gilid\u003d P pangunahing * h,

saan S gilid ay ang lugar ng lateral surface ng isang tuwid na prisma,

P main - ang perimeter ng base ng isang tuwid na prisma,

h ay ang taas ng tuwid na prisma, katumbas ng gilid ng gilid.

Dami ng prisma

Ang dami ng isang prisma ay katumbas ng produkto ng lugar ng base at taas.