Ang mga high-level na logarithmic inequalities ay mga halimbawa ng mga solusyon. Lahat tungkol sa logarithmic inequalities

Layunin ng Aralin:

Didactic:

• Antas 1 - ituro kung paano lutasin ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, gamit ang kahulugan ng isang logarithm, ang mga katangian ng logarithm;
• Antas 2 - lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, pagpili ng iyong sariling paraan ng solusyon;
• Level 3 - mailapat ang kaalaman at kasanayan sa mga hindi pamantayang sitwasyon.

Pagbuo: bumuo ng memorya, atensyon, lohikal na pag-iisip, mga kasanayan sa paghahambing, makapag-generalize at makagawa ng mga konklusyon

Pang-edukasyon: upang linangin ang katumpakan, responsibilidad para sa gawaing isinagawa, tulong sa isa't isa.

Mga pamamaraan ng pagtuturo: pasalita , biswal , praktikal , bahagyang paghahanap , sariling pamahalaan , kontrol.

Mga anyo ng organisasyon ng aktibidad ng nagbibigay-malay ng mga mag-aaral: pangharap , indibidwal , magtrabaho nang magkapares.

Kagamitan: isang hanay ng mga gawain sa pagsubok, isang tala ng sanggunian, mga blangkong sheet para sa mga solusyon.

Uri ng aralin: pag-aaral ng bagong materyal.

Sa panahon ng mga klase

1. Organisasyon sandali. Ang tema at layunin ng aralin ay inihayag, ang pamamaraan ng aralin: ang bawat mag-aaral ay binibigyan ng isang evaluation sheet, na pinupunan ng mag-aaral sa panahon ng aralin; para sa bawat pares ng mga mag-aaral - mga naka-print na materyales na may mga gawain, kailangan mong kumpletuhin ang mga gawain sa mga pares; mga blangkong sheet para sa mga desisyon; reference sheet: kahulugan ng logarithm; graph ng isang logarithmic function, ang mga katangian nito; mga katangian ng logarithms; algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic.

Ang lahat ng mga desisyon pagkatapos ng self-assessment ay isinumite sa guro.

Iskor ng estudyante

2. Aktwalisasyon ng kaalaman.

Mga tagubilin ng guro. Tandaan ang kahulugan ng logarithm, ang graph ng logarithmic function at ang mga katangian nito. Upang gawin ito, basahin ang teksto sa pp. 88–90, 98–101 ng aklat-aralin na “Algebra at ang simula ng pagsusuri 10–11” na inedit ni Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin at iba pa.

Ang mga mag-aaral ay binibigyan ng mga sheet kung saan nakasulat ang: ang kahulugan ng logarithm; nagpapakita ng isang graph ng isang logarithmic function, ang mga katangian nito; mga katangian ng logarithms; algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, isang halimbawa ng paglutas ng isang hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic na bumababa sa isang parisukat.

3. Pag-aaral ng bagong materyal.

Ang solusyon ng logarithmic inequalities ay batay sa monotonicity ng logarithmic function.

Algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic:

A) Hanapin ang domain ng kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay (ang sublogarithmic expression ay mas malaki kaysa sa zero).
B) Ipakita (kung maaari) ang kaliwa at kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay bilang logarithms sa parehong base.
C) Tukuyin kung ang logarithmic function ay tumataas o bumababa: kung t>1, pagkatapos ay tumataas; kung 0 1, pagkatapos ay bumababa.
D) Pumunta sa isang mas simpleng hindi pagkakapantay-pantay (sublogarithmic expression), isinasaalang-alang na ang inequality sign ay mananatili kung ang function ay tumataas, at magbabago kung ito ay bumababa.

Elemento ng pagkatuto #1.

Layunin: upang ayusin ang solusyon ng pinakasimpleng logarithmic inequalities

Form ng organisasyon ng aktibidad ng nagbibigay-malay ng mga mag-aaral: indibidwal na gawain.

Mga gawain para sa malayang gawain sa loob ng 10 minuto. Para sa bawat hindi pagkakapantay-pantay, mayroong ilang mga sagot, kailangan mong piliin ang tama at suriin sa pamamagitan ng susi.

KEY: 13321, pinakamataas na puntos - 6 p.

Elemento ng pagkatuto #2.

Layunin: upang ayusin ang solusyon ng logarithmic inequalities sa pamamagitan ng paglalapat ng mga katangian ng logarithms.

Mga tagubilin ng guro. Alalahanin ang mga pangunahing katangian ng logarithms. Upang gawin ito, basahin ang teksto ng teksbuk sa p.92, 103–104.

Mga gawain para sa malayang gawain sa loob ng 10 minuto.

KEY: 2113, ang maximum na bilang ng mga puntos ay 8 b.

Elemento ng pagkatuto #3.

Layunin: pag-aralan ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic sa pamamagitan ng paraan ng pagbawas sa parisukat.

Mga tagubilin ng guro: ang paraan ng pagbabawas ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang parisukat ay kailangan mong baguhin ang hindi pagkakapantay-pantay sa isang form na ang isang tiyak na logarithmic function ay tinutukoy ng isang bagong variable, habang nakakakuha ng isang parisukat na hindi pagkakapantay-pantay na may paggalang sa variable na ito.

Gamitin natin ang interval method.

Nalampasan mo ang unang antas ng asimilasyon ng materyal. Ngayon ay kailangan mong malayang pumili ng isang paraan para sa paglutas ng mga logarithmic equation, gamit ang lahat ng iyong kaalaman at kakayahan.

Elemento ng pagkatuto numero 4.

Layunin: upang pagsamahin ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic sa pamamagitan ng pagpili ng isang makatwirang paraan ng paglutas nito sa iyong sarili.

Mga gawain para sa malayang gawain sa loob ng 10 minuto

Elemento ng pagkatuto numero 5.

Mga tagubilin ng guro. Magaling! Kabisado mo ang solusyon ng mga equation ng pangalawang antas ng pagiging kumplikado. Ang layunin ng iyong karagdagang trabaho ay ilapat ang iyong kaalaman at kasanayan sa mas kumplikado at hindi karaniwang mga sitwasyon.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Mga tagubilin ng guro. Napakaganda kung nagawa mo na ang lahat ng gawain. Magaling!

Ang marka para sa buong aralin ay nakasalalay sa bilang ng mga puntos na nakuha para sa lahat ng elementong pang-edukasyon:

• kung N ≥ 20, makakakuha ka ng marka na “5”,
• para sa 16 ≤ N ≤ 19 – puntos “4”,
• para sa 8 ≤ N ≤ 15 – puntos “3”,
• sa N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Tinatayang mga fox na ibibigay sa guro.

5. Takdang-Aralin: kung nakakuha ka ng hindi hihigit sa 15 b - gawin ang mga pagkakamali (maaaring kunin ang mga solusyon mula sa guro), kung nakakuha ka ng higit sa 15 b - gumawa ng isang malikhaing gawain sa paksang "Logarithmic inequalities".

LOGARITHMIC INEQUALITIES SA PAGGAMIT

Sechin Mikhail Alexandrovich

Maliit na Academy of Sciences para sa mga Mag-aaral ng Republic of Kazakhstan "Seeker"

MBOU "Soviet secondary school No. 1", grade 11, bayan. Distrito ng Sovietsky Soviet

Gunko Lyudmila Dmitrievna, guro ng MBOU "Soviet secondary school No. 1"

Distrito ng Sovietsky

Layunin: pag-aaral ng mekanismo para sa paglutas ng C3 logarithmic inequalities gamit ang mga non-standard na pamamaraan, na nagpapakita ng mga interesanteng katotohanan tungkol sa logarithm.

Paksa ng pag-aaral:

3) Matutong lutasin ang mga partikular na logarithmic C3 na hindi pagkakapantay-pantay gamit ang mga hindi karaniwang pamamaraan.

Mga resulta:

Nilalaman

Panimula……………………………………………………………………………….4

Kabanata 1. Background………………………………………………………………...5

Kabanata 2. Koleksyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ……………………… 7

2.1. Katumbas na mga transition at ang pangkalahatang paraan ng mga agwat…………… 7

2.2. Paraan ng rasyonalisasyon ……………………………………………………… 15

2.3. Di-karaniwang pagpapalit……………………………………………………………………………………………………………. ..... 22

2.4. Mga gawaing may mga bitag…………………………………………………… 27

Konklusyon…………………………………………………………………… 30

Panitikan………………………………………………………………. 31

Panimula

Ako ay nasa ika-11 na baitang at plano kong pumasok sa isang unibersidad kung saan ang matematika ay isang pangunahing asignatura. At iyon ang dahilan kung bakit marami akong ginagawa sa mga gawain ng bahagi C. Sa gawain C3, kailangan mong lutasin ang isang hindi karaniwang hindi pagkakapantay-pantay o isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, kadalasang nauugnay sa mga logarithms. Habang naghahanda para sa pagsusulit, nakatagpo ako ng problema ng kakulangan ng mga pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ng pagsusuri na inaalok sa C3. Ang mga pamamaraan na pinag-aaralan sa kurikulum ng paaralan sa paksang ito ay hindi nagbibigay ng batayan para sa paglutas ng mga gawain C3. Iminungkahi ng guro sa matematika na gawin ko ang mga takdang-aralin sa C3 nang mag-isa sa ilalim ng kanyang patnubay. Bilang karagdagan, interesado ako sa tanong: mayroon bang mga logarithms sa ating buhay?

Dahil dito, napili ang tema:

"Logarithmic inequalities sa pagsusulit"

Layunin: pag-aaral ng mekanismo para sa paglutas ng mga problema sa C3 gamit ang mga hindi pamantayang pamamaraan, na nagpapakita ng mga kagiliw-giliw na katotohanan tungkol sa logarithm.

Paksa ng pag-aaral:

1) Hanapin ang kinakailangang impormasyon tungkol sa mga hindi karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic.

2) Maghanap ng karagdagang impormasyon tungkol sa logarithms.

3) Matutong lutasin ang mga partikular na problema sa C3 gamit ang mga hindi karaniwang pamamaraan.

Mga resulta:

Ang praktikal na kahalagahan ay nakasalalay sa pagpapalawak ng kagamitan para sa paglutas ng mga problema C3. Ang materyal na ito ay maaaring gamitin sa ilang mga aralin, para sa pagsasagawa ng mga bilog, mga opsyonal na klase sa matematika.

Ang produkto ng proyekto ay ang koleksyon na "Logarithmic C3 inequalities with solutions".

Kabanata 1. Background

Noong ika-16 na siglo, mabilis na tumaas ang bilang ng mga tinatayang kalkulasyon, pangunahin sa astronomiya. Ang pagpapabuti ng mga instrumento, ang pag-aaral ng mga paggalaw ng planeta, at iba pang gawain ay nangangailangan ng napakalaki, minsan maraming taon, mga kalkulasyon. Ang Astronomy ay nasa tunay na panganib na malunod sa hindi natutupad na mga kalkulasyon. Ang mga paghihirap ay lumitaw din sa ibang mga lugar, halimbawa, sa negosyo ng seguro, ang mga talahanayan ng tambalang interes ay kailangan para sa iba't ibang mga halaga ng porsyento. Ang pangunahing kahirapan ay multiplikasyon, dibisyon ng mga multi-digit na numero, lalo na ang mga trigonometriko na dami.

Ang pagtuklas ng logarithms ay batay sa mga kilalang katangian ng mga pag-unlad sa pagtatapos ng ika-16 na siglo. Nagsalita si Archimedes tungkol sa koneksyon sa pagitan ng mga miyembro ng geometric progression q, q2, q3, ... at ang arithmetic progression ng kanilang mga indicator 1, 2, 3, ... sa Psalmite. Ang isa pang kinakailangan ay ang pagpapalawig ng konsepto ng degree sa mga negatibo at fractional exponent. Itinuro ng maraming may-akda na ang multiplikasyon, paghahati, pagtaas sa isang kapangyarihan, at pagkuha ng isang ugat ay katumbas ng pagpaparami sa aritmetika - sa parehong pagkakasunud-sunod - karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati.

Narito ang ideya ng logarithm bilang isang exponent.

Sa kasaysayan ng pag-unlad ng doktrina ng logarithms, maraming mga yugto ang lumipas.

Stage 1

Ang logarithms ay naimbento nang hindi lalampas sa 1594 nang nakapag-iisa ng Scottish baron Napier (1550-1617) at makalipas ang sampung taon ng Swiss mekaniko na si Burgi (1552-1632). Parehong gustong magbigay ng bagong maginhawang paraan ng mga kalkulasyon ng aritmetika, bagama't nilapitan nila ang problemang ito sa iba't ibang paraan. Napier kinematically ipinahayag ang logarithmic function at sa gayon ay pumasok sa isang bagong larangan ng function theory. Nanatili si Bürgi sa batayan ng pagsasaalang-alang ng mga discrete progressions. Gayunpaman, ang kahulugan ng logarithm para sa pareho ay hindi katulad ng modernong isa. Ang terminong "logarithm" (logarithmus) ay kabilang sa Napier. Nagmula ito sa kumbinasyon ng mga salitang Griyego: logos - "relasyon" at ariqmo - "numero", na nangangahulugang "bilang ng mga relasyon". Sa una, gumamit si Napier ng ibang termino: numeri artificiales - "artificial number", kumpara sa numeri naturalts - "natural na mga numero".

Noong 1615, sa isang pakikipag-usap kay Henry Briggs (1561-1631), isang propesor ng matematika sa Gresh College sa London, iminungkahi ni Napier na kunin ang zero para sa logarithm ng isa, at 100 para sa logarithm ng sampu, o, kung ano ang katumbas ng pareho. , 1 lang. Ganito na-print ang mga decimal logarithms at Ang unang logarithmic table. Nang maglaon, ang mga talahanayan ng Briggs ay dinagdagan ng Dutch bookeller at mathematician na si Andrian Flakk (1600-1667). Napier at Briggs, bagama't sila ay dumating sa logarithms bago ang iba, inilathala ang kanilang mga talahanayan nang mas huli kaysa sa iba - noong 1620. Ang mga sign log at Log ay ipinakilala noong 1624 ni I. Kepler. Ang terminong "natural logarithm" ay ipinakilala ni Mengoli noong 1659, na sinundan ni N. Mercator noong 1668, at ang guro sa London na si John Spadel ay naglathala ng mga talahanayan ng natural na logarithms ng mga numero mula 1 hanggang 1000 sa ilalim ng pangalang "New Logarithms".

Sa Russian, ang unang logarithmic table ay nai-publish noong 1703. Ngunit sa lahat ng logarithmic na talahanayan, ang mga pagkakamali ay ginawa sa pagkalkula. Ang unang mga talahanayan na walang error ay nai-publish noong 1857 sa Berlin sa pagproseso ng German mathematician na si K. Bremiker (1804-1877).

Stage 2

Ang karagdagang pag-unlad ng teorya ng logarithms ay nauugnay sa isang mas malawak na aplikasyon ng analytic geometry at infinitesimal calculus. Sa oras na iyon, ang koneksyon sa pagitan ng quadrature ng isang equilateral hyperbola at ang natural na logarithm ay naitatag. Ang teorya ng logarithms ng panahong ito ay nauugnay sa mga pangalan ng isang bilang ng mga mathematician.

German mathematician, astronomer at engineer na si Nikolaus Mercator sa kanyang sanaysay

Ang "Logarithmotechnics" (1668) ay nagbibigay ng isang serye na nagbibigay ng pagpapalawak ng ln(x + 1) sa mga tuntunin ng

kapangyarihan x:

Ang expression na ito ay eksaktong tumutugma sa kurso ng kanyang pag-iisip, bagaman, siyempre, hindi niya ginamit ang mga palatandaan d, ..., ngunit mas masalimuot na mga simbolo. Sa pagkatuklas ng logarithmic series, nagbago ang pamamaraan para sa pagkalkula ng logarithms: nagsimula silang matukoy gamit ang infinite series. Sa kanyang mga lektura "elementarya matematika mula sa isang mas mataas na punto ng view", basahin sa 1907-1908, F. Klein iminungkahing gamitin ang formula bilang isang panimulang punto para sa constructing ang teorya ng logarithms.

Stage 3

Kahulugan ng isang logarithmic function bilang isang function ng inverse

exponential, logarithm bilang isang exponent ng isang ibinigay na base

ay hindi na-formula kaagad. Ang gawa ni Leonhard Euler (1707-1783)

"Introduction to the analysis of infinitesimals" (1748) nagsilbi bilang karagdagang

pagbuo ng teorya ng logarithmic function. Sa ganitong paraan,

134 na taon na ang lumipas mula noong unang ipinakilala ang logarithms

(nagbibilang mula 1614) bago magkaroon ng kahulugan ang mga mathematician

ang konsepto ng logarithm, na ngayon ay batayan ng kurso sa paaralan.

Kabanata 2. Koleksyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic

2.1. Mga katumbas na transition at ang pangkalahatang paraan ng mga agwat.

Mga katumbas na transition

kung a > 1

kung 0 < а < 1

Pangkalahatang paraan ng pagitan

Ang pamamaraang ito ay ang pinaka-unibersal sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng halos anumang uri. Ang scheme ng solusyon ay ganito ang hitsura:

1. Dalhin ang hindi pagkakapantay-pantay sa ganoong anyo, kung saan matatagpuan ang function sa kaliwang bahagi
, at 0 sa kanan.

2. Hanapin ang saklaw ng function
.

3. Hanapin ang mga zero ng isang function
, ibig sabihin, lutasin ang equation
(at ang paglutas ng isang equation ay kadalasang mas madali kaysa sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay).

4. Iguhit ang domain ng kahulugan at mga zero ng function sa isang tunay na linya.

5. Tukuyin ang mga palatandaan ng function
sa mga natanggap na pagitan.

6. Piliin ang mga pagitan kung saan kinukuha ng function ang mga kinakailangang halaga, at isulat ang sagot.

Halimbawa 1

Solusyon:

Ilapat ang paraan ng pagitan

saan

Para sa mga halagang ito, ang lahat ng mga expression sa ilalim ng mga palatandaan ng logarithms ay positibo.

Sagot:

Halimbawa 2

Solusyon:

1st paraan . Ang ODZ ay tinutukoy ng hindi pagkakapantay-pantay x> 3. Pagkuha ng logarithms para sa ganoon x sa base 10, nakukuha namin

Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paglalapat ng mga panuntunan sa agnas, i.e. paghahambing ng mga kadahilanan sa zero. Gayunpaman, sa kasong ito ay madaling matukoy ang mga agwat ng patuloy na pag-andar

kaya maaaring ilapat ang paraan ng pagitan.

Function f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ ay tuloy-tuloy para sa x> 3 at naglalaho sa mga punto x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Kaya, tinutukoy namin ang mga agwat ng pare-pareho ng pag-andar f(x):

Sagot:

2nd way . Ilapat natin ang mga ideya ng paraan ng mga pagitan nang direkta sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.

Para dito, naaalala namin na ang mga expression a b- a c at ( a - 1)(b- 1) magkaroon ng isang tanda. Pagkatapos ang aming hindi pagkakapantay-pantay para sa x> 3 ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay

o

Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas sa pamamagitan ng paraan ng pagitan

Sagot:

Halimbawa 3

Solusyon:

Ilapat ang paraan ng pagitan

Sagot:

Halimbawa 4

Solusyon:

Mula noong 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 para sa lahat ng tunay x, pagkatapos

Upang malutas ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, ginagamit namin ang paraan ng pagitan

Sa unang hindi pagkakapantay-pantay, ginagawa natin ang pagbabago

pagkatapos ay dumating tayo sa hindi pagkakapantay-pantay 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay -0.5< y < 1.

Saan galing, kasi

nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay

na isinasagawa sa x, para saan 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Ngayon, isinasaalang-alang ang solusyon ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema, sa wakas ay nakuha namin

Sagot:

Halimbawa 5

Solusyon:

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng isang hanay ng mga sistema

o

Ilapat ang paraan ng pagitan o

Sagot:

Halimbawa 6

Solusyon:

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng isang sistema

Hayaan

pagkatapos y > 0,

at ang unang hindi pagkakapantay-pantay

kinukuha ng system ang form

o, lumalawak

square trinomial sa mga salik,

Paglalapat ng paraan ng pagitan sa huling hindi pagkakapantay-pantay,

nakikita natin na ang mga solusyon nito ay nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon y> 0 ang magiging lahat y > 4.

Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng sistema:

Kaya, ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay lahat

2.2. paraan ng rasyonalisasyon.

Noong nakaraan, ang paraan ng rasyonalisasyon ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nalutas, hindi ito kilala. Ito ay "isang bagong modernong epektibong paraan para sa paglutas ng mga exponential at logarithmic inequalities" (sipi mula sa aklat ni Kolesnikova S.I.)
At kahit na kilala siya ng guro, may takot - ngunit kilala ba siya ng eksperto sa USE, at bakit hindi nila siya ibigay sa paaralan? May mga sitwasyon nang sinabi ng guro sa mag-aaral: "Saan mo ito nakuha? Umupo - 2."
Ngayon ang pamamaraan ay itinataguyod sa lahat ng dako. At para sa mga eksperto, may mga alituntunin na nauugnay sa pamamaraang ito, at sa "Ang pinaka kumpletong mga edisyon ng mga variant ng uri ..." sa solusyon C3, ginagamit ang pamamaraang ito.
MAGANDA ANG PARAAN!

"Magic Table"

Sa ibang source

kung a >1 at b >1, pagkatapos ay mag-log a b >0 at (a -1)(b -1)>0;

kung a >1 at 0

kung 0<a<1 и b >1, pagkatapos ay mag-log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;