Kopyevskaya rural secondary school

10 Paraan para Malutas ang Mga Quadratic Equation

Pinuno: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

guro sa matematika

s.Kopyevo, 2007

1. Kasaysayan ng pagbuo ng mga quadratic equation

1.1 Quadratic equation sa sinaunang Babylon

1.2 Paano pinagsama-sama at nalutas ni Diophantus ang mga quadratic equation

1.3 Quadratic equation sa India

1.4 Quadratic equation sa al-Khwarizmi

1.5 Quadratic equation sa Europe XIII - XVII siglo

1.6 Tungkol sa teorama ni Vieta

2. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation

Konklusyon

Panitikan

1. Kasaysayan ng pagbuo ng mga quadratic equation

1.1 Quadratic equation sa sinaunang Babylon

Ang pangangailangan upang malutas ang mga equation hindi lamang ng una, kundi pati na rin ng pangalawang antas sa sinaunang panahon ay sanhi ng pangangailangan upang malutas ang mga problema na may kaugnayan sa paghahanap ng mga lugar ng lupa at mga gawaing lupa ng isang militar na kalikasan, pati na rin ang pag-unlad ng astronomiya at matematika mismo. Ang mga quadratic equation ay nagawang malutas ang mga 2000 BC. e. Babylonians.

Ang paglalapat ng modernong algebraic notation, maaari nating sabihin na sa kanilang mga cuneiform na teksto ay mayroong, bilang karagdagan sa mga hindi kumpleto, tulad, halimbawa, kumpletong quadratic equation:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Ang tuntunin para sa paglutas ng mga equation na ito, na nakasaad sa mga tekstong Babylonian, ay talagang kasabay ng modernong isa, ngunit hindi alam kung paano napunta ang mga Babylonians sa panuntunang ito. Halos lahat ng mga tekstong cuneiform na natagpuan sa ngayon ay nagbibigay lamang ng mga problema sa mga solusyon na nakasaad sa anyo ng mga recipe, na walang indikasyon kung paano sila natagpuan.

Sa kabila ng mataas na antas ng pag-unlad ng algebra sa Babylon, ang mga cuneiform na teksto ay kulang sa konsepto ng isang negatibong numero at mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation.

1.2 Paano pinagsama-sama at nalutas ni Diophantus ang mga quadratic equation.

Ang Arithmetic ng Diophantus ay hindi naglalaman ng isang sistematikong paglalahad ng algebra, ngunit naglalaman ito ng isang sistematikong serye ng mga problema, na sinamahan ng mga paliwanag at nalutas sa pamamagitan ng pagguhit ng mga equation ng iba't ibang antas.

Kapag nag-compile ng mga equation, mahusay na pinipili ni Diophantus ang mga hindi alam upang gawing simple ang solusyon.

Narito, halimbawa, ang isa sa kanyang mga gawain.

Gawain 11."Maghanap ng dalawang numero na alam na ang kanilang kabuuan ay 20 at ang kanilang produkto ay 96"

Nagtalo si Diophantus bilang mga sumusunod: sumusunod mula sa kondisyon ng problema na ang mga nais na numero ay hindi pantay, dahil kung sila ay pantay, kung gayon ang kanilang produkto ay hindi magiging 96, ngunit 100. Kaya, ang isa sa kanila ay higit sa kalahati ng kanilang kabuuan, ibig sabihin. 10+x, ang isa ay mas maliit, i.e. 10's. Ang pagkakaiba sa pagitan nila 2x .

Kaya ang equation:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Mula rito x = 2. Isa sa mga gustong numero ay 12 , iba pa 8 . Solusyon x = -2 para sa Diophantus ay hindi umiiral, dahil ang Griyego matematika alam lamang positibong numero.

Kung malulutas natin ang problemang ito sa pamamagitan ng pagpili ng isa sa mga nais na numero bilang hindi alam, pagkatapos ay darating tayo sa solusyon ng equation

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Malinaw na pinasimple ni Diophantus ang solusyon sa pamamagitan ng pagpili ng kalahating pagkakaiba ng mga nais na numero bilang hindi alam; nagagawa niyang bawasan ang problema sa paglutas ng hindi kumpletong quadratic equation (1).

1.3 Quadratic equation sa India

Ang mga problema para sa quadratic equation ay matatagpuan na sa astronomical tract na "Aryabhattam", na pinagsama-sama noong 499 ng Indian mathematician at astronomer na si Aryabhatta. Ang isa pang Indian na siyentipiko, si Brahmagupta (ika-7 siglo), ay nagbalangkas ng pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa isang solong canonical form:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

Sa equation (1), ang mga coefficient, maliban sa a, maaari ding maging negatibo. Ang pamumuno ni Brahmagupta ay esensyal na tumutugma sa atin.

Sa sinaunang India, ang mga pampublikong kumpetisyon sa paglutas ng mahihirap na problema ay karaniwan. Sa isa sa mga lumang aklat ng India, ang mga sumusunod ay sinabi tungkol sa gayong mga kompetisyon: “Kung paanong ang araw ay nanggagaling sa mga bituin sa taglay nitong kinang, gayundin ang isang may-aral na tao ay hihigit sa kaluwalhatian ng iba sa mga pampublikong pagpupulong, na nagmumungkahi at naglulutas ng mga problema sa algebraic.” Ang mga gawain ay kadalasang binibihisan sa anyong patula.

Narito ang isa sa mga problema ng sikat na Indian mathematician ng XII century. Bhaskara.

Gawain 13.

"Isang makulit na kawan ng mga unggoy At labindalawa sa mga baging ...

Pagkakain ng lakas, naging masaya. Nagsimula silang tumalon, nakabitin ...

Walong bahagi ng mga ito sa isang parisukat Ilang unggoy ang naroon,

Nagsasaya sa parang. Sabihin mo sa akin, sa kawan na ito?

Ang solusyon ni Bhaskara ay nagpapahiwatig na alam niya ang tungkol sa dalawang halaga ng mga ugat ng quadratic equation (Larawan 3).

Ang equation na tumutugma sa problema 13 ay:

( x /8) 2 + 12 = x

Sumulat si Bhaskara sa ilalim ng pagkukunwari ng:

x 2 - 64x = -768

at, upang makumpleto ang kaliwang bahagi ng equation na ito sa isang parisukat, idinagdag niya ang magkabilang panig 32 2 , pagkuha pagkatapos:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Quadratic equation sa al-Khorezmi

Ang algebraic treatise ni Al-Khorezmi ay nagbibigay ng klasipikasyon ng linear at quadratic equation. Ang may-akda ay naglista ng 6 na uri ng mga equation, na nagpapahayag ng mga ito bilang mga sumusunod:

1) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga ugat", i.e. palakol 2 + c = b X.

2) "Ang mga parisukat ay katumbas ng numero", i.e. palakol 2 = s.

3) "Ang mga ugat ay katumbas ng bilang", i.e. ah = s.

4) "Ang mga parisukat at numero ay katumbas ng mga ugat", i.e. palakol 2 + c = b X.

5) "Ang mga parisukat at ugat ay katumbas ng bilang", i.e. ah 2+ bx = s.

6) "Ang mga ugat at numero ay katumbas ng mga parisukat", i.e. bx + c \u003d ax 2.

Para kay al-Khwarizmi, na umiwas sa paggamit ng mga negatibong numero, ang mga tuntunin ng bawat isa sa mga equation na ito ay mga addend, hindi mga pagbabawas. Sa kasong ito, ang mga equation na walang positibong solusyon ay malinaw na hindi isinasaalang-alang. Binabalangkas ng may-akda ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito, gamit ang mga pamamaraan ng al-jabr at al-muqabala. Ang kanyang mga desisyon, siyempre, ay hindi ganap na tumutugma sa atin. Hindi sa banggitin ang katotohanan na ito ay purong retorika, dapat itong tandaan, halimbawa, na kapag nilutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng unang uri

Si al-Khorezmi, tulad ng lahat ng mga mathematician bago ang ika-17 siglo, ay hindi isinasaalang-alang ang zero na solusyon, marahil dahil ito ay hindi mahalaga sa mga partikular na praktikal na problema. Kapag nilulutas ang kumpletong mga parisukat na equation, itinakda ni al-Khorezmi ang mga patakaran para sa paglutas, at pagkatapos ay mga geometric na patunay, gamit ang mga partikular na halimbawang numero.

Gawain 14.“Ang parisukat at ang bilang na 21 ay katumbas ng 10 ugat. Hanapin ang ugat" (ipagpalagay na ang ugat ng equation x 2 + 21 = 10x).

Ang solusyon ng may-akda ay ganito: hatiin ang bilang ng mga ugat sa kalahati, makakakuha ka ng 5, i-multiply ang 5 sa sarili nito, ibawas ang 21 sa produkto, 4 ang natitira. Kunin ang ugat ng 4, makakakuha ka ng 2. Ibawas ang 2 sa 5, ikaw makakuha ng 3, ito ang magiging ninanais na ugat. O magdagdag ng 2 hanggang 5, na magbibigay ng 7, ito ay ugat din.

Ang Treatise al - Khorezmi ay ang unang libro na dumating sa amin, kung saan ang pag-uuri ng mga quadratic equation ay sistematikong nakasaad at ibinigay ang mga formula para sa kanilang solusyon.

1.5 Quadratic equation sa Europe XIII - XVII mga siglo

Ang mga formula para sa paglutas ng mga quadratic equation sa modelo ng al - Khorezmi sa Europa ay unang itinakda sa "Book of the Abacus", na isinulat noong 1202 ng Italyano na matematiko na si Leonardo Fibonacci. Ang napakaraming gawaing ito, na sumasalamin sa impluwensya ng matematika, parehong mga bansa ng Islam at Sinaunang Greece, ay nakikilala sa pamamagitan ng parehong pagkakumpleto at kalinawan ng presentasyon. Ang may-akda ay nakapag-iisa na bumuo ng ilang mga bagong algebraic na halimbawa ng paglutas ng problema at siya ang una sa Europa na lumapit sa pagpapakilala ng mga negatibong numero. Ang kanyang libro ay nag-ambag sa paglaganap ng kaalaman sa algebraic hindi lamang sa Italya, kundi pati na rin sa Alemanya, Pransya at iba pang mga bansa sa Europa. Maraming mga gawain mula sa "Aklat ng Abacus" ang pumasa sa halos lahat ng mga aklat-aralin sa Europa noong ika-16 - ika-17 siglo. at bahagyang XVIII.

Ang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation ay binawasan sa isang solong canonical form:

x 2+ bx = kasama,

para sa lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga palatandaan ng coefficients b , Sa ay binuo sa Europa lamang noong 1544 ni M. Stiefel.

Ang Vieta ay may pangkalahatang derivation ng formula para sa paglutas ng isang quadratic equation, ngunit ang Vieta ay kumikilala lamang ng mga positibong ugat. Ang mga Italian mathematician na sina Tartaglia, Cardano, Bombelli ay kabilang sa mga una noong ika-16 na siglo. Isaalang-alang, bilang karagdagan sa positibo, at negatibong mga ugat. Sa siglo XVII lamang. Salamat sa gawain ni Girard, Descartes, Newton at iba pang mga siyentipiko, ang paraan upang malutas ang mga quadratic equation ay nagkakaroon ng modernong hitsura.

1.6 Tungkol sa teorama ni Vieta

Ang theorem na nagpapahayag ng ugnayan sa pagitan ng mga coefficient ng isang quadratic equation at ang mga ugat nito, na may pangalang Vieta, ay binuo niya sa unang pagkakataon noong 1591 tulad ng sumusunod: "Kung B + D pinarami ng A - A 2 , katumbas BD, pagkatapos A katumbas AT at pantay D ».

Upang maunawaan ang Vieta, dapat tandaan iyon PERO, tulad ng anumang patinig, para sa kanya ang hindi alam (aming X), ang mga patinig SA, D- coefficients para sa hindi alam. Sa wika ng modernong algebra, ang pormulasyon ni Vieta sa itaas ay nangangahulugang: kung

(isang + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Sa pagpapahayag ng ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng mga equation sa pamamagitan ng mga pangkalahatang formula na isinulat gamit ang mga simbolo, itinatag ng Viet ang pagkakapareho sa mga paraan ng paglutas ng mga equation. Gayunpaman, ang simbolismo ng Vieta ay malayo pa rin sa modernong anyo nito. Hindi niya nakilala ang mga negatibong numero, at samakatuwid, kapag nilulutas ang mga equation, isinasaalang-alang lamang niya ang mga kaso kung saan ang lahat ng mga ugat ay positibo.

2. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation

Ang mga quadratic equation ay ang pundasyon kung saan nakasalalay ang maringal na edipisyo ng algebra. Ang mga quadratic equation ay malawakang ginagamit sa paglutas ng trigonometriko, exponential, logarithmic, irrational at transcendental equation at inequalities. Alam nating lahat kung paano lutasin ang mga quadratic equation mula sa paaralan (grade 8) hanggang sa graduation.

Sa modernong lipunan, ang kakayahang gumana sa mga equation na naglalaman ng isang parisukat na variable ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa maraming larangan ng aktibidad at malawakang ginagamit sa pagsasanay sa siyentipiko at teknikal na mga pag-unlad. Ito ay mapapatunayan sa pamamagitan ng disenyo ng mga sasakyang dagat at ilog, sasakyang panghimpapawid at mga missile. Sa tulong ng naturang mga kalkulasyon, ang mga trajectory ng paggalaw ng iba't ibang mga katawan, kabilang ang mga bagay sa kalawakan, ay natutukoy. Ang mga halimbawa na may solusyon ng mga quadratic equation ay ginagamit hindi lamang sa pang-ekonomiyang pagtataya, sa disenyo at pagtatayo ng mga gusali, kundi pati na rin sa pinakakaraniwang pang-araw-araw na kalagayan. Maaaring kailanganin ang mga ito sa mga paglalakbay sa kamping, sa mga kaganapang pampalakasan, sa mga tindahan kapag namimili at sa iba pang mga karaniwang sitwasyon.

Hatiin natin ang expression sa mga component factor

Ang antas ng isang equation ay tinutukoy ng pinakamataas na halaga ng antas ng variable na nilalaman ng ibinigay na expression. Kung ito ay katumbas ng 2, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag na quadratic equation.

Kung nagsasalita tayo sa wika ng mga pormula, kung gayon ang mga ekspresyong ito, gaano man ang hitsura ng mga ito, ay maaaring palaging dalhin sa anyo kapag ang kaliwang bahagi ng expression ay binubuo ng tatlong termino. Kabilang sa mga ito: ax 2 (iyon ay, isang variable na squared kasama ang coefficient nito), bx (isang hindi kilalang walang square na may coefficient nito) at c (libreng bahagi, iyon ay, isang ordinaryong numero). Ang lahat ng ito ay katumbas ng 0 sa kanang bahagi. Sa kaso kapag ang naturang polynomial ay walang isa sa mga terminong bumubuo nito, maliban sa ax 2, ito ay tinatawag na hindi kumpletong quadratic equation. Ang mga halimbawa na may solusyon sa mga naturang problema, kung saan ang halaga ng mga variable ay hindi mahirap hanapin, ay dapat isaalang-alang muna.

Kung ang expression ay mukhang mayroon itong dalawang termino sa kanang bahagi ng expression, mas tiyak na ax 2 at bx, ito ay pinakamadaling mahanap ang x sa pamamagitan ng bracketing ng variable. Ngayon ang aming equation ay magiging ganito: x(ax+b). Dagdag pa, nagiging malinaw na ang alinman sa x=0, o ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng variable mula sa sumusunod na expression: ax+b=0. Ito ay idinidikta ng isa sa mga katangian ng multiplikasyon. Sinasabi ng panuntunan na ang produkto ng dalawang salik ay nagreresulta sa 0 lamang kung ang isa sa mga ito ay zero.

Halimbawa

x=0 o 8x - 3 = 0

Bilang resulta, nakakakuha tayo ng dalawang ugat ng equation: 0 at 0.375.

Ang mga equation ng ganitong uri ay maaaring ilarawan ang paggalaw ng mga katawan sa ilalim ng pagkilos ng gravity, na nagsimulang lumipat mula sa isang tiyak na punto, na kinuha bilang pinagmulan. Dito ang mathematical notation ay kumukuha ng sumusunod na anyo: y = v 0 t + gt 2 /2. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga kinakailangang halaga, pag-equate sa kanang bahagi sa 0 at paghahanap ng mga posibleng hindi alam, malalaman mo ang oras na lumipas mula sa sandaling tumaas ang katawan hanggang sa sandaling bumagsak ito, pati na rin ang maraming iba pang dami. Ngunit pag-uusapan natin ito mamaya.

Pagsasaliksik ng isang Ekspresyon

Ginagawang posible ng panuntunang inilarawan sa itaas na malutas ang mga problemang ito sa mas kumplikadong mga kaso. Isaalang-alang ang mga halimbawa na may solusyon ng mga quadratic equation ng ganitong uri.

X2 - 33x + 200 = 0

Kumpleto na ang square trinomial na ito. Una, binabago namin ang expression at nabubulok ito sa mga kadahilanan. Mayroong dalawa sa kanila: (x-8) at (x-25) = 0. Bilang resulta, mayroon tayong dalawang ugat 8 at 25.

Ang mga halimbawa na may solusyon ng mga quadratic equation sa grade 9 ay nagbibigay-daan sa paraang ito na makahanap ng variable sa mga expression hindi lamang ng pangalawa, kundi maging ng pangatlo at ikaapat na order.

Halimbawa: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kapag isinasali ang kanang bahagi sa mga salik na may variable, mayroong tatlo sa kanila, iyon ay, (x + 1), (x-3) at (x + 3).

Bilang resulta, nagiging malinaw na ang equation na ito ay may tatlong ugat: -3; -isa; 3.

Pag-extract ng square root

Ang isa pang kaso ng hindi kumpletong second-order equation ay isang expression na nakasulat sa wika ng mga titik sa paraang ang kanang bahagi ay binuo mula sa mga bahaging ax 2 at c. Dito, upang makuha ang halaga ng variable, ang libreng termino ay inililipat sa kanang bahagi, at pagkatapos nito, ang square root ay nakuha mula sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay. Dapat pansinin na sa kasong ito ay karaniwang may dalawang ugat ng equation. Ang tanging mga pagbubukod ay ang mga pagkakapantay-pantay na hindi naglalaman ng terminong c, kung saan ang variable ay katumbas ng zero, pati na rin ang mga variant ng mga expression kapag ang kanang bahagi ay lumabas na negatibo. Sa huling kaso, walang mga solusyon sa lahat, dahil ang mga aksyon sa itaas ay hindi maaaring isagawa gamit ang mga ugat. Ang mga halimbawa ng mga solusyon sa quadratic equation ng ganitong uri ay dapat isaalang-alang.

Sa kasong ito, ang mga ugat ng equation ay ang mga numero -4 at 4.

Pagkalkula ng lugar ng lupa

Ang pangangailangan para sa ganitong uri ng mga kalkulasyon ay lumitaw noong sinaunang panahon, dahil ang pag-unlad ng matematika sa mga malalayong panahon ay higit sa lahat dahil sa pangangailangan upang matukoy ang mga lugar at perimeter ng mga plot ng lupa na may pinakamalaking katumpakan.

Dapat din nating isaalang-alang ang mga halimbawa na may solusyon ng mga quadratic equation na pinagsama-sama sa batayan ng mga problema ng ganitong uri.

Kaya, sabihin nating mayroong isang hugis-parihaba na piraso ng lupa, ang haba nito ay 16 metro na higit sa lapad. Dapat mong mahanap ang haba, lapad at perimeter ng site, kung alam na ang lugar nito ay 612 m 2.

Pagbaba sa negosyo, sa una ay gagawin natin ang kinakailangang equation. Tukuyin natin ang lapad ng seksyon bilang x, kung gayon ang haba nito ay magiging (x + 16). Ito ay sumusunod mula sa kung ano ang nakasulat na ang lugar ay tinutukoy ng expression x (x + 16), na, ayon sa kondisyon ng aming problema, ay 612. Nangangahulugan ito na x (x + 16) \u003d 612.

Ang solusyon ng kumpletong quadratic equation, at ang expression na ito ay ganoon lang, ay hindi maaaring gawin sa parehong paraan. Bakit? Bagama't ang kaliwang bahagi nito ay naglalaman pa rin ng dalawang salik, ang produkto ng mga ito ay hindi katumbas ng 0, kaya iba pang mga pamamaraan ang ginagamit dito.

Nakakadiskrimina

Una sa lahat, gagawin namin ang mga kinakailangang pagbabago, kung gayon ang hitsura ng expression na ito ay magiging ganito: x 2 + 16x - 612 = 0. Nangangahulugan ito na nakatanggap kami ng isang expression sa form na naaayon sa naunang tinukoy na pamantayan, kung saan a=1, b=16, c= -612.

Maaari itong maging isang halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant. Narito ang mga kinakailangang kalkulasyon ay ginawa ayon sa scheme: D = b 2 - 4ac. Ang auxiliary value na ito ay hindi lamang ginagawang posible upang mahanap ang mga nais na halaga sa second-order equation, tinutukoy nito ang bilang ng mga posibleng opsyon. Sa kaso ng D>0, mayroong dalawa sa kanila; para sa D=0 mayroong isang ugat. Kung sakaling D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Tungkol sa mga ugat at ang kanilang formula

Sa aming kaso, ang discriminant ay: 256 - 4(-612) = 2704. Ito ay nagpapahiwatig na ang aming problema ay may sagot. Kung alam mo, upang, ang solusyon ng mga quadratic equation ay dapat ipagpatuloy gamit ang formula sa ibaba. Pinapayagan ka nitong kalkulahin ang mga ugat.

Nangangahulugan ito na sa ipinakita na kaso: x 1 =18, x 2 =-34. Ang pangalawang opsyon sa dilemma na ito ay hindi maaaring maging isang solusyon, dahil ang laki ng land plot ay hindi masusukat sa mga negatibong halaga, na nangangahulugan na ang x (iyon ay, ang lapad ng plot) ay 18 m. Mula dito kinakalkula namin ang haba: 18+16=34, at ang perimeter 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Mga halimbawa at gawain

Ipinagpapatuloy namin ang pag-aaral ng mga quadratic equation. Ang mga halimbawa at isang detalyadong solusyon ng ilan sa mga ito ay ibibigay sa ibaba.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, gumawa ng pagbabago, iyon ay, nakukuha natin ang anyo ng equation, na karaniwang tinatawag na pamantayan, at itinutumbas ito sa zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Ang pagkakaroon ng pagdaragdag ng mga katulad, tinutukoy namin ang discriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Kaya ang aming equation ay magkakaroon ng dalawang ugat. Kinakalkula namin ang mga ito ayon sa formula sa itaas, na nangangahulugang ang una sa kanila ay magiging katumbas ng 4/3, at ang pangalawang 1.

2) Ngayon ay magbubunyag tayo ng mga bugtong ng ibang uri.

Alamin natin kung may mga ugat x 2 - 4x + 5 = 1 dito sa lahat? Upang makakuha ng kumpletong sagot, dinadala namin ang polynomial sa kaukulang pamilyar na anyo at kalkulahin ang discriminant. Sa halimbawang ito, hindi kinakailangan upang malutas ang quadratic equation, dahil ang kakanyahan ng problema ay wala sa lahat dito. Sa kasong ito, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, na nangangahulugang wala talagang mga ugat.

Ang teorama ni Vieta

Ito ay maginhawa upang malutas ang mga quadratic equation sa pamamagitan ng mga formula sa itaas at ang discriminant, kapag ang square root ay nakuha mula sa halaga ng huli. Ngunit hindi ito palaging nangyayari. Gayunpaman, maraming mga paraan upang makuha ang mga halaga ng mga variable sa kasong ito. Halimbawa: paglutas ng mga quadratic equation gamit ang Vieta's theorem. Ito ay pinangalanan sa isang tao na nanirahan sa ika-16 na siglo ng France at nagkaroon ng napakatalino na karera salamat sa kanyang talento sa matematika at mga koneksyon sa korte. Ang kanyang larawan ay makikita sa artikulo.

Ang pattern na napansin ng sikat na Pranses ay ang mga sumusunod. Pinatunayan niya na ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay katumbas ng -p=b/a, at ang kanilang produkto ay tumutugma sa q=c/a.

Ngayon tingnan natin ang mga partikular na gawain.

3x2 + 21x - 54 = 0

Para sa pagiging simple, baguhin natin ang expression:

x 2 + 7x - 18 = 0

Gamit ang Vieta theorem, ito ay magbibigay sa atin ng sumusunod: ang kabuuan ng mga ugat ay -7, at ang kanilang produkto ay -18. Mula dito nakuha namin na ang mga ugat ng equation ay ang mga numero -9 at 2. Sa paggawa ng isang tseke, titiyakin namin na ang mga halagang ito ng mga variable ay talagang magkasya sa expression.

Graph at Equation ng isang Parabola

Ang mga konsepto ng isang quadratic function at quadratic equation ay malapit na nauugnay. Ang mga halimbawa nito ay naibigay na dati. Ngayon tingnan natin ang ilang mathematical puzzle nang mas detalyado. Ang anumang equation ng inilarawang uri ay maaaring maipakita nang biswal. Ang gayong pag-asa, na iginuhit sa anyo ng isang graph, ay tinatawag na isang parabola. Ang iba't ibang uri nito ay ipinapakita sa figure sa ibaba.

Ang anumang parabola ay may vertex, iyon ay, isang punto kung saan lumalabas ang mga sanga nito. Kung a>0, mataas ang mga ito sa infinity, at kapag a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Ang mga visual na representasyon ng mga function ay nakakatulong upang malutas ang anumang mga equation, kabilang ang mga quadratic. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na graphic. At ang halaga ng x variable ay ang abscissa coordinate sa mga punto kung saan ang linya ng graph ay nagsalubong sa 0x. Ang mga coordinate ng vertex ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula na ibinigay lamang x 0 = -b / 2a. At, pinapalitan ang nagresultang halaga sa orihinal na equation ng function, maaari mong malaman ang y 0, iyon ay, ang pangalawang coordinate ng parabola vertex na kabilang sa y-axis.

Ang intersection ng mga sanga ng parabola na may abscissa axis

Mayroong maraming mga halimbawa sa solusyon ng mga quadratic equation, ngunit mayroon ding mga pangkalahatang pattern. Isaalang-alang natin sila. Malinaw na ang intersection ng graph na may 0x axis para sa a>0 ay posible lamang kung ang y 0 ay kumukuha ng mga negatibong halaga. At para sa isang<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Kung hindi man D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Mula sa graph ng isang parabola, maaari mo ring matukoy ang mga ugat. Ang baligtad ay totoo rin. Iyon ay, kung hindi madaling makakuha ng visual na representasyon ng isang quadratic function, maaari mong ipantay ang kanang bahagi ng expression sa 0 at lutasin ang resultang equation. At alam ang mga punto ng intersection sa 0x axis, mas madaling mag-plot.

Mula sa kasaysayan

Sa tulong ng mga equation na naglalaman ng isang squared variable, sa mga lumang araw, hindi lamang ang mga kalkulasyon ng matematika at tinukoy ang lugar ng mga geometric na hugis. Ang mga sinaunang tao ay nangangailangan ng gayong mga kalkulasyon para sa magagandang pagtuklas sa larangan ng pisika at astronomiya, gayundin sa paggawa ng mga pagtataya sa astrolohiya.

Gaya ng iminumungkahi ng mga modernong siyentipiko, ang mga naninirahan sa Babylon ay kabilang sa mga unang nakalutas ng mga quadratic equation. Nangyari ito apat na siglo bago ang pagdating ng ating panahon. Siyempre, ang kanilang mga kalkulasyon ay sa panimula ay naiiba sa mga kasalukuyang tinatanggap at naging mas primitive. Halimbawa, walang ideya ang mga matematikong Mesopotamia tungkol sa pagkakaroon ng mga negatibong numero. Hindi rin sila pamilyar sa iba pang mga subtleties ng mga kilala ng sinumang mag-aaral sa ating panahon.

Marahil kahit na mas maaga kaysa sa mga siyentipiko ng Babylon, kinuha ng pantas mula sa India, Baudhayama, ang solusyon ng mga quadratic equation. Nangyari ito mga walong siglo bago ang pagdating ng panahon ni Kristo. Totoo, ang mga pangalawang-order na equation, ang mga pamamaraan para sa paglutas na ibinigay niya, ay ang pinakasimpleng. Bilang karagdagan sa kanya, ang mga Chinese mathematician ay interesado rin sa mga katulad na tanong noong unang panahon. Sa Europa, ang mga quadratic equation ay nagsimulang malutas lamang sa simula ng ika-13 siglo, ngunit kalaunan ay ginamit sila sa kanilang gawain ng mga dakilang siyentipiko tulad ng Newton, Descartes at marami pang iba.

Quadratic equation - madaling lutasin! *Dagdag sa tekstong "KU". Mga kaibigan, tila sa matematika ay mas madali ito kaysa sa paglutas ng gayong equation. Pero may nagsabi sa akin na maraming tao ang may problema sa kanya. Nagpasya akong makita kung gaano karaming mga impression ang ibinibigay ng Yandex bawat kahilingan bawat buwan. Narito ang nangyari, tingnan mo:

Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na humigit-kumulang 70,000 katao sa isang buwan ang naghahanap ng impormasyong ito, at ito ay tag-araw, at kung ano ang mangyayari sa taon ng pag-aaral - magkakaroon ng dalawang beses na mas maraming mga kahilingan. Hindi ito nakakagulat, dahil ang mga lalaki at babae na matagal nang nagtapos sa paaralan at naghahanda para sa pagsusulit ay naghahanap ng impormasyong ito, at sinusubukan din ng mga mag-aaral na i-refresh ang kanilang memorya.

Sa kabila ng katotohanan na maraming mga site na nagsasabi kung paano lutasin ang equation na ito, nagpasya akong mag-ambag din at mag-publish ng materyal. Una, gusto kong pumunta ang mga bisita sa aking site sa kahilingang ito; pangalawa, sa ibang mga artikulo, kapag lumabas ang talumpating "KU", magbibigay ako ng link sa artikulong ito; pangatlo, sasabihin ko sa iyo ang higit pa tungkol sa kanyang solusyon kaysa sa karaniwang nakasaad sa ibang mga site. Magsimula na tayo! Ang nilalaman ng artikulo:

Ang isang quadratic equation ay isang equation ng form:

kung saan ang mga coefficient a,bat may mga arbitrary na numero, na may a≠0.

Sa kurso ng paaralan, ang materyal ay ibinibigay sa sumusunod na anyo - ang paghahati ng mga equation sa tatlong klase ay may kondisyong ginagawa:

1. Magkaroon ng dalawang ugat.

2. * Magkaroon lamang ng isang ugat.

3. Walang mga ugat. Ito ay nagkakahalaga na tandaan dito na wala silang tunay na mga ugat

Paano kinakalkula ang mga ugat? Basta!

Kinakalkula namin ang discriminant. Sa ilalim ng "kakila-kilabot" na salitang ito ay may napakasimpleng formula:

Ang mga root formula ay ang mga sumusunod:

*Ang mga formula na ito ay dapat na kilala sa puso.

Maaari mong agad na isulat at lutasin ang:

Halimbawa:

1. Kung D > 0, ang equation ay may dalawang ugat.

2. Kung D = 0, ang equation ay may isang ugat.

3. Kung D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Tingnan natin ang equation:

Sa pagkakataong ito, kapag ang discriminant ay zero, ang kurso sa paaralan ay nagsasabi na ang isang ugat ay nakuha, dito ito ay katumbas ng siyam. Tama nga, pero...

Ang representasyong ito ay medyo hindi tama. Sa katunayan, mayroong dalawang ugat. Oo, oo, huwag magulat, lumalabas ang dalawang pantay na ugat, at upang maging tumpak sa matematika, kung gayon ang dalawang ugat ay dapat na nakasulat sa sagot:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ngunit ito ay kaya - isang maliit na digression. Sa paaralan, maaari mong isulat at sabihin na mayroon lamang isang ugat.

Ngayon ang sumusunod na halimbawa:

Tulad ng alam natin, ang ugat ng isang negatibong numero ay hindi nakuha, kaya walang solusyon sa kasong ito.

Iyan ang buong proseso ng desisyon.

Quadratic function.

Narito ang hitsura ng solusyon sa geometriko. Napakahalaga nitong maunawaan (sa hinaharap, sa isa sa mga artikulo, susuriin namin nang detalyado ang solusyon ng isang quadratic inequality).

Ito ay isang function ng form:

kung saan ang x at y ay mga variable

Ang a, b, c ay binibigyan ng mga numero, kung saan ang a ≠ 0

Ang graph ay isang parabola:

Iyon ay, lumalabas na sa pamamagitan ng paglutas ng isang quadratic equation na may "y" na katumbas ng zero, nahanap natin ang mga punto ng intersection ng parabola na may x-axis. Maaaring may dalawa sa mga puntong ito (positibo ang discriminant), isa (zero ang discriminant) o wala (negatibo ang discriminant). Higit pa tungkol sa quadratic function Maaari mong tingnan artikulo ni Inna Feldman.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

Halimbawa 1: Magpasya 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Sagot: x 1 = 8 x 2 = -12

* Maaari mong agad na hatiin ang kaliwa at kanang bahagi ng equation sa pamamagitan ng 2, ibig sabihin, pasimplehin ito. Ang mga kalkulasyon ay magiging mas madali.

Halimbawa 2: Magpasya x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Nakuha namin iyon x 1 \u003d 11 at x 2 \u003d 11

Sa sagot, pinahihintulutang isulat ang x = 11.

Sagot: x = 11

Halimbawa 3: Magpasya x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Ang discriminant ay negatibo, walang solusyon sa totoong mga numero.

Sagot: walang solusyon

Ang discriminant ay negatibo. May solusyon!

Dito ay pag-uusapan natin ang paglutas ng equation sa kaso kapag nakakuha ng negatibong diskriminasyon. May alam ka ba tungkol sa mga kumplikadong numero? Hindi ko na idedetalye dito kung bakit at saan sila bumangon at kung ano ang kanilang tiyak na papel at pangangailangan sa matematika, ito ay isang paksa para sa isang malaking hiwalay na artikulo.

Ang konsepto ng isang kumplikadong numero.

Medyo teorya.

Ang complex number z ay isang numero ng form

z = a + bi

kung saan ang a at b ay tunay na mga numero, ang i ay ang tinatawag na imaginary unit.

a+bi ay isang SINGLE NUMBER, hindi isang karagdagan.

Ang haka-haka na yunit ay katumbas ng ugat ng minus one:

Ngayon isaalang-alang ang equation:

Kumuha ng dalawang conjugate roots.

Hindi kumpletong quadratic equation.

Isaalang-alang ang mga espesyal na kaso, ito ay kapag ang coefficient na "b" o "c" ay katumbas ng zero (o pareho ay katumbas ng zero). Madali silang malulutas nang walang anumang diskriminasyon.

Case 1. Coefficient b = 0.

Ang equation ay tumatagal sa anyo:

Ibahin natin:

Halimbawa:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Case 2. Coefficient c = 0.

Ang equation ay tumatagal sa anyo:

Ibahin ang anyo, i-factorize:

*Ang produkto ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero.

Halimbawa:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 o x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Case 3. Coefficients b = 0 at c = 0.

Dito ay malinaw na ang solusyon sa equation ay palaging magiging x = 0.

Mga kapaki-pakinabang na katangian at pattern ng mga coefficient.

May mga katangian na nagpapahintulot sa paglutas ng mga equation na may malalaking coefficient.

ax 2 + bx+ c=0 pagkakapantay-pantay

a + b+ c = 0, pagkatapos

- kung para sa mga coefficient ng equation ax 2 + bx+ c=0 pagkakapantay-pantay

a+ na may =b, pagkatapos

Ang mga katangiang ito ay tumutulong sa paglutas ng isang partikular na uri ng equation.

Halimbawa 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Ang kabuuan ng mga coefficient ay 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, kaya

Halimbawa 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Pagkakapantay-pantay a+ na may =b, ibig sabihin

Regularities ng coefficients.

1. Kung sa equation ax 2 + bx + c \u003d 0 ang koepisyent na "b" ay (a 2 +1), at ang koepisyent na "c" ay numerong katumbas ng koepisyent na "a", kung gayon ang mga ugat nito ay

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Kung sa equation ax 2 - bx + c \u003d 0, ang koepisyent na "b" ay (a 2 +1), at ang koepisyent na "c" ay numerong katumbas ng koepisyent na "a", kung gayon ang mga ugat nito ay

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Kung sa equation ax 2 + bx - c = 0 koepisyent "b" katumbas ng (a 2 – 1), at ang koepisyent na “c” katumbas ng bilang sa koepisyent na "a", saka magkapantay ang mga ugat nito

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Kung sa equation ax 2 - bx - c \u003d 0, ang coefficient "b" ay katumbas ng (a 2 - 1), at ang coefficient c ay numerically katumbas ng coefficient "a", kung gayon ang mga ugat nito ay

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Ang teorama ni Vieta.

Ang theorem ni Vieta ay pinangalanan sa sikat na French mathematician na si Francois Vieta. Gamit ang teorama ni Vieta, maaaring ipahayag ng isa ang kabuuan at produkto ng mga ugat ng isang arbitrary na KU sa mga tuntunin ng mga coefficient nito.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Sa kabuuan, ang bilang na 14 ay nagbibigay lamang ng 5 at 9. Ito ang mga ugat. Sa isang tiyak na kasanayan, gamit ang ipinakita na teorama, maaari mong malutas kaagad ang maraming mga parisukat na equation nang pasalita.

Ang teorama ni Vieta, bukod dito. maginhawa dahil pagkatapos malutas ang quadratic equation sa karaniwang paraan (sa pamamagitan ng discriminant), maaaring suriin ang mga resultang ugat. Inirerekomenda kong gawin ito sa lahat ng oras.

PARAAN NG PAGLIPAT

Sa pamamaraang ito, ang koepisyent na "a" ay pinarami ng libreng termino, na parang "inilipat" dito, kaya naman tinawag itong paraan ng paglipat. Ginagamit ang paraang ito kapag madaling mahanap ang mga ugat ng isang equation gamit ang teorama ng Vieta at, higit sa lahat, kapag ang discriminant ay isang eksaktong parisukat.

Kung ang a± b+c≠ 0, pagkatapos ay ginagamit ang pamamaraan ng paglipat, halimbawa:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Ayon sa Vieta theorem sa equation (2), madaling matukoy na x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Ang nakuha na mga ugat ng equation ay dapat nahahati sa 2 (dahil ang dalawa ay "itinapon" mula sa x 2), nakukuha natin

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

Ano ang katwiran? Tingnan kung ano ang nangyayari.

Ang mga diskriminasyon ng mga equation (1) at (2) ay:

Kung titingnan mo ang mga ugat ng mga equation, magkakaibang denominator lamang ang nakuha, at ang resulta ay tiyak na nakasalalay sa koepisyent sa x 2:

Ang pangalawang (binagong) ugat ay 2 beses na mas malaki.

Samakatuwid, hinati namin ang resulta sa 2.

*Kung i-roll namin ang tatlo sa isang uri, pagkatapos ay hatiin namin ang resulta sa 3, at iba pa.

Sagot: x 1 = 5 x 2 = 0.5

sq. ur-ie at ang pagsusulit.

Sasabihin ko nang maikli ang tungkol sa kahalagahan nito - DAPAT KAYONG MAGPASIYA nang mabilis at nang hindi nag-iisip, kailangan mong malaman ang mga pormula ng mga ugat at ang discriminant sa pamamagitan ng puso. Marami sa mga gawain na bahagi ng mga gawain sa USE ay bumaba sa paglutas ng isang quadratic equation (kabilang ang mga geometric).

Ano ang dapat tandaan!

1. Ang anyo ng equation ay maaaring "implicit". Halimbawa, posible ang sumusunod na entry:

15+ 9x 2 - 45x = 0 o 15x+42+9x 2 - 45x=0 o 15 -5x+10x 2 = 0.

Kailangan mong dalhin ito sa isang karaniwang form (upang hindi malito kapag nag-solve).

2. Tandaan na ang x ay isang hindi kilalang halaga at maaari itong tukuyin ng anumang iba pang titik - t, q, p, h at iba pa.

”, iyon ay, mga equation ng unang antas. Sa araling ito, tutuklasin natin ano ang isang quadratic equation at kung paano ito lutasin.

Ano ang isang quadratic equation

Mahalaga!

Ang antas ng isang equation ay tinutukoy ng pinakamataas na antas kung saan ang hindi alam ay nakatayo.

Kung ang pinakamataas na antas kung saan ang hindi alam ay nakatayo ay "2", kung gayon mayroon kang isang quadratic equation.

Mga halimbawa ng quadratic equation

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Mahalaga! Ang pangkalahatang anyo ng quadratic equation ay ganito ang hitsura:

A x 2 + b x + c = 0

• "a" - ang una o senior coefficient;
• "b" - ang pangalawang koepisyent;
• Ang "c" ay isang libreng miyembro.

Upang mahanap ang "a", "b" at "c" Kailangan mong ihambing ang iyong equation sa pangkalahatang anyo ng quadratic equation na "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Magsanay tayo sa pagtukoy ng mga coefficient na "a", "b" at "c" sa mga quadratic equation.

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Paano malutas ang mga quadratic equation

Hindi tulad ng mga linear na equation, isang espesyal na equation ang ginagamit upang malutas ang mga quadratic equation. pormula para sa paghahanap ng mga ugat.

Tandaan!

Upang malutas ang isang quadratic equation kailangan mo:

• dalhin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo na "ax 2 + bx + c \u003d 0". Iyon ay, "0" lamang ang dapat manatili sa kanang bahagi;
• gamitin ang formula para sa mga ugat:

Gumamit tayo ng isang halimbawa upang malaman kung paano ilapat ang formula upang mahanap ang mga ugat ng isang quadratic equation. Lutasin natin ang quadratic equation.

X 2 - 3x - 4 = 0

Ang equation na "x 2 - 3x - 4 = 0" ay nabawasan na sa pangkalahatang anyo na "ax 2 + bx + c = 0" at hindi nangangailangan ng karagdagang pagpapasimple. Upang malutas ito, kailangan lang nating mag-apply formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation.

Tukuyin natin ang mga coefficient na "a", "b" at "c" para sa equation na ito.

Sa tulong nito, malulutas ang anumang quadratic equation.

Sa formula na "x 1; 2 \u003d" ang root expression ay madalas na pinapalitan
"b 2 − 4ac" sa letrang "D" at tinatawag na discriminant. Ang konsepto ng discriminant ay tinalakay nang mas detalyado sa aralin na "Ano ang discriminant".

Isaalang-alang ang isa pang halimbawa ng isang quadratic equation.

x 2 + 9 + x = 7x

Sa form na ito, medyo mahirap matukoy ang mga coefficient na "a", "b", at "c". Dalhin muna natin ang equation sa pangkalahatang anyo na "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Ngayon ay maaari mong gamitin ang formula para sa mga ugat.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

May mga pagkakataon na walang mga ugat sa quadratic equation. Nangyayari ang sitwasyong ito kapag may lumabas na negatibong numero sa formula sa ilalim ng ugat.

Sa math program na ito magagawa mo lutasin ang quadratic equation.

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng solusyon sa dalawang paraan:
- gamit ang discriminant
- gamit ang Vieta theorem (kung maaari).

Bukod dito, ang sagot ay ipinapakita nang eksakto, hindi tinatayang.
Halimbawa, para sa equation na \(81x^2-16x-1=0\), ang sagot ay ipinapakita sa form na ito:

Ang program na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school bilang paghahanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, kapag sinusubukan ang kaalaman bago ang Pinag-isang Estado na Pagsusuri, para sa mga magulang na kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra sa lalong madaling panahon? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing dapat lutasin.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng square polynomial, inirerekumenda namin na pamilyar ka sa mga ito.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng square polynomial

Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.
Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atbp.

Maaaring ilagay ang mga numero bilang mga integer o fraction.
Bukod dito, ang mga fractional na numero ay maaaring ipasok hindi lamang sa anyo ng isang decimal, kundi pati na rin sa anyo ng isang ordinaryong fraction.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Sa mga decimal fraction, ang fractional na bahagi mula sa integer ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang tuldok o kuwit.
Halimbawa, maaari kang maglagay ng mga decimal tulad nito: 2.5x - 3.5x^2

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.

Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.

Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Ang integer na bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fraction ng isang ampersand: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resulta: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Kapag nagpapasok ng isang expression maaari kang gumamit ng mga bracket. Sa kasong ito, kapag nilulutas ang isang quadratic equation, ang ipinakilalang expression ay unang pinasimple.
Halimbawa: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Maghintay, mangyaring sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Medyo teorya.

Quadratic equation at mga ugat nito. Hindi kumpletong quadratic equation

Ang bawat isa sa mga equation
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
may porma
\(ax^2+bx+c=0, \)
kung saan ang x ay isang variable, ang a, b at c ay mga numero.
Sa unang equation a = -1, b = 6 at c = 1.4, sa pangalawa a = 8, b = -7 at c = 0, sa pangatlo a = 1, b = 0 at c = 4/9. Ang ganitong mga equation ay tinatawag quadratic equation.

Kahulugan.
quadratic equation tinatawag ang isang equation ng anyong ax 2 +bx+c=0, kung saan ang x ay variable, a, b at c ang ilang numero, at \(a \neq 0 \).

Ang mga numerong a, b at c ay ang mga coefficient ng quadratic equation. Ang numerong a ay tinatawag na unang koepisyent, ang bilang b ay ang pangalawang koepisyent at ang bilang c ay ang intercept.

Sa bawat isa sa mga equation ng anyong ax 2 +bx+c=0, kung saan ang \(a \neq 0 \), ang pinakamalaking kapangyarihan ng variable x ay isang parisukat. Kaya ang pangalan: quadratic equation.

Tandaan na ang isang quadratic equation ay tinatawag ding equation ng pangalawang degree, dahil ang kaliwang bahagi nito ay polynomial ng pangalawang degree.

Ang isang quadratic equation kung saan ang coefficient sa x 2 ay 1 ay tinatawag pinababang quadratic equation. Halimbawa, ang ibinigay na quadratic equation ay ang mga equation
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Kung sa quadratic equation ax 2 +bx+c=0 hindi bababa sa isa sa mga coefficients b o c ay katumbas ng zero, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag hindi kumpletong quadratic equation. Kaya, ang mga equation -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ay mga hindi kumpletong quadratic equation. Sa una sa kanila b=0, sa pangalawa c=0, sa pangatlo b=0 at c=0.

Ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay may tatlong uri:
1) ax 2 +c=0, kung saan \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kung saan \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Isaalang-alang ang solusyon ng mga equation ng bawat isa sa mga uri na ito.

Upang malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +c=0 para sa \(c \neq 0 \), ang libreng termino nito ay inililipat sa kanang bahagi at ang parehong bahagi ng equation ay hinati ng a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Dahil \(c \neq 0 \), pagkatapos \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Kung \(-\frac(c)(a)>0 \), ang equation ay may dalawang ugat.

Kung \(-\frac(c)(a) Upang lutasin ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng anyong ax 2 +bx=0 para sa \(b \neq 0 \) i-factor ang kaliwang bahagi nito at makuha ang equation
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Samakatuwid, ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +bx=0 para sa \(b \neq 0 \) ay palaging may dalawang ugat.

Ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form ax 2 \u003d 0 ay katumbas ng equation x 2 \u003d 0 at samakatuwid ay may isang solong ugat 0.

Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Isaalang-alang natin ngayon kung paano nalulutas ang mga quadratic equation kung saan ang parehong coefficients ng mga hindi alam at ang free term ay nonzero.

Nalulutas namin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo at bilang isang resulta nakuha namin ang formula ng mga ugat. Pagkatapos ang formula na ito ay maaaring ilapat upang malutas ang anumang quadratic equation.

Lutasin ang quadratic equation ax 2 +bx+c=0

Ang paghahati sa parehong bahagi nito sa pamamagitan ng a, makuha natin ang katumbas na pinababang quadratic equation
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Binabago namin ang equation na ito sa pamamagitan ng pag-highlight sa parisukat ng binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

Ang salitang ugat ay tinatawag discriminant ng isang quadratic equation ax 2 +bx+c=0 (“discriminant” sa Latin - distinguisher). Ito ay tinutukoy ng titik D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Ngayon, gamit ang notasyon ng discriminant, muling isusulat namin ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kung saan \(D= b^2-4ac \)

Malinaw na:
1) Kung D>0, kung gayon ang quadratic equation ay may dalawang ugat.
2) Kung D=0, kung gayon ang quadratic equation ay may isang ugat \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Kung D Kaya, depende sa halaga ng discriminant, ang quadratic equation ay maaaring magkaroon ng dalawang ugat (para sa D > 0), isang ugat (para sa D = 0) o walang ugat (para sa D Kapag nilulutas ang isang quadratic equation gamit ang formula na ito. , ipinapayong gawin ang sumusunod na paraan:
1) kalkulahin ang discriminant at ihambing ito sa zero;
2) kung ang discriminant ay positibo o katumbas ng zero, pagkatapos ay gamitin ang root formula, kung ang discriminant ay negatibo, pagkatapos ay isulat na walang mga ugat.

Ang teorama ni Vieta

Ang ibinigay na quadratic equation ax 2 -7x+10=0 ay may mga ugat 2 at 5. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7, at ang produkto ay 10. Nakikita namin na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino. Ang anumang pinababang quadratic equation na may mga ugat ay may ganitong katangian.

Ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng pangalawang koepisyent, kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino.

Yung. Ang theorem ng Vieta ay nagsasaad na ang mga ugat x 1 at x 2 ng pinababang quadratic equation x 2 +px+q=0 ay may katangian:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)