Умножение отрицательных чисел правила. Умножение отрицательных чисел: правило, примеры

Тема открытого урока: «Умножение отрицательных и положительных чисел»

Дата: 17.03.2017 г.

Учитель: Куц В.В.

Класс: 6 г

Цель и задачи урока:

ввести правила умножения двух отрицательных чисел и чисел с разными знаками;

способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, произвольного внимания, наглядно-действенного мышления;

формирование внутренних процессов интеллектуального, личностного, эмоционального развития.

воспитывать культуру поведения при фронтальной работе, индивидуальной и групповой работе.

Тип урока: урок первичного предъявления новых знаний

Формы обучения: фронтальная, работа в парах, работа в группах, индивидуальная работа.

Методы обучения: словесные (беседа, диалог); наглядные (работа с дидактическим материалом); дедуктивные (анализ, применение знаний, обобщение, проектная деятельность).

Понятия и термины : модуль числа, положительные и отрицательные числа, умножение.

Планируемые результаты обучения

Применять правило умножения положительных и отрицательных чисел при решении упражнений, закрепить правила умножения десятичных и обыкновенных дробей.

Регулятивные – уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия. Планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета сделанных ошибок; высказывать свое предположение. Коммуникативные - уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им.

Познавательные - уметь ориентироваться в своей системе знаний, отличать новое знание от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания; находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.

Формирование ответственного отношения к учению на основе мотивации к познанию нового;

Формирование коммуникативной компетентности в процессе общения и сотрудничества со сверстниками в учебной деятельности;

Уметь осуществлять самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности; ориентироваться на успех в учебной деятельности.

Ход урока

Структурные элементы урока

Дидактические задачи

Проектируемая деятельность учителя

Проектируемая деятельность учащихся

Результат

1.Организационный момент

Мотивация к успешной деятельности

Проверка готовности к уроку.

- Добрый день, Ребята! Присаживайтесь! Проверьте все ли у вас готово к уроку: тетрадь и учебник, дневник и письменные принадлежности.

Я рада вас видеть сегодня на уроке в хорошем настроении.

Посмотрите друг другу в глаза, улыбнитесь, глазками пожелайте товарищу хорошего рабочего настроения.

Я тоже вам желаю сегодня хорошей работы.

Ребята девизом сегодняшнего урока будет цитата французского писателя Анатоля Франса:

«Учиться можно только весело. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».

Ребята, а кто мне скажет, что значит поглощать знания с аппетитом?

Вот и мы сегодня с вами на уроке будем поглощать знания с большим удовольствием, потому что они нам пригодятся в дальнейшем.

Поэтому скорее открываем тетрадочки и записываем число, классная работа.

Эмоциональный настрой

-С интересом, с удовольствием.

Готовность начать урок

Положительная мотивация к изучению новой темы

2. Активация познавательной деятельности

Подготовить их к усвоению новых знаний и способов действия.

Организовать фронтальный опрос по пройденному материалу.

Ребята, а кто мне скажет какой самый главный навык в математике? (Счет ). Правильно.

Вот я вас сейчас и проверю, как хорошо вы умеете считать.

Мы сейчас с вами выполним математическую разминку.

Работаем как обычно, устно считаем, а письменно записываем ответ. Даю вам 1 мин.

2,9+0,3=-2,6

9+0,3=9,3

6+7,21=13,21

15,22-3,34=-18,56

Давайте проверим ответы.

Будем проверять ответы, если вы согласны с ответом, то хлопаете в ладоши, если не согласны, то топаете ногами.

Молодцы ребята.

Скажите, а какие действия мы выполняли с числами?

Каким правилом мы пользовались при счете?

Сформулируйте данные правила.

Отвечают на вопросы, решая небольшие примеры.

Сложение и вычитание.

Сложение чисел с разными знаками, сложение чисел с отрицательными знаками, и вычитание положительных и отрицательных чисел.

Готовность обучающихся к постановке проблемного вопроса, к поиску путей решения проблемы.

3. Мотивация постановки темы и цели урока

Стимулировать обучающихся к постановке темы и цели урока.

Организовать работу в парах.

Ну что же, настало время переходить к изучению нового материала, но для начала давайте повторим материал предыдущих уроков. А поможет нам в этом математический кроссворд.

Но кроссворд этот не обычный, в нём зашифровано ключевое слово, которое подскажет нам тему сегодняшнего урока.

Ребята кроссворд лежит у вас на столах, работать с ним мы будем в парах. А раз в парах, напомните тогда мне, как это в парах?

Вспомнили правило работы в парах, ну а теперь приступаем к разгадыванию кроссворда, даю вам 1,5 мин. Кто все сделает, положите ручки, чтобы я видела.

(Приложение 1)

1.Какие числа используют при счета?

2.Расстояние от начала отсчета до какой-либо точки, называется?

3.Числа, которые представлены дробью, называются?

4. Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называются?

5.Какие числа лежат правее ноля на координатной прямой?

6.Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют?

7.Какое число называется нейтральным?

8. Число, показывающие положение точки на прямой?

9. Какие числа лежат левее ноля на координатной прямой?

Итак, время вышло. Давайте проверять.

Мы с вами разгадали весь кроссворд и тем самым повторили материал предыдущих уроков. Поднимите руку, кто совершил только одну ошибку, а кто две? (Так ребята вы молодцы).

Ну а теперь вернемся к нашему кроссворду. В самом начале я сказала, что в нем зашифровано слово, которое подскажет нам тему урока.

Так какая же тема будет нашего урока?

А что же мы сегодня будем с вами умножать?

Давайте подумаем, для этого вспомним виды чисел, которые мы с вами уже знаем.

Давайте подумаем, а какие числа мы уже умеем умножать?

Какие же числа мы научимся сегодня умножать?

Запишите в тетрадь тему урока: «Умножение положительных и отрицательных чисел».

Итак, ребята, выяснили, о чем будем говорить сегодня на уроке.

Скажите, мне, пожалуйста, цель нашего урока, что каждый из вас должен усвоить и чему постараться научиться к концу урока?

Ребята, ну а чтобы осуществить эту цель, какие мы должны будем решить с вами задачи?

Совершенно верно. Вот они эти две задачи, которые мы должны будем сегодня с вами решить.

Работают в парах, ставят тему и цель урока.

1.Натуральные

2.Модуль

3.Рациональные

4.Противоположные

5.Положительные

6.Целые

7.Ноль

8.Координата

9.Отрицательные

-«Умножение»

Положительные и отрицательные числа

«Умножение положительных и отрицательных чисел»

Цель урока:

Научиться умножать положительные и отрицательные числа

Во-первых, чтобы научиться умножать положительные и отрицательные числа, нужно получить правило.

Во-вторых, когда получим правило, что потом мы должны будем сделать? (учиться применять его при решении примеров).

4. Изучение новых знаний и способов действия

Овладеть новыми знаниями по теме.

-Организовать работу в группах (изучение нового материала)

- Сейчас, чтобы, достичь нашу цель, мы приступим к выполнению первой задачи, выведем правило умножения положительных и отрицательных чисел.

А поможет нам в этом исследовательская работа. А кто мне скажет, почему она называется исследовательской?- В этой работе мы будем исследовать, чтобы открыть правила «Умножение положительных и отрицательных чисел».

Ваша исследовательская работа будет проходить в группах, всего у нас будет 5 групп исследования.

У себя в голове повторили, как мы должны работать в группе. Если, кто-то забыл, то правила находятся перед вами на экране.

Цель вашей исследовательской работы: Исследуя задачи,постепенно вывести правило «Умножения отрицательных и положительных чисел» в задании №2, в задании №1 всего у вас 4 задачи. А чтобы решить эти задачи, для этого вам поможет наш термометр, у каждой группы он есть.

Все записи делаете у вас на листочке.

Как только у группы будет готово решение первой задачи, вы показываете его на доске.

На работу вам дается 5 -7 минут.

(Приложение 2 )

Работают в группах (заполняют таблицу, проводят исследования)

Работать в группах очень просто,

Умей пять правил соблюдать:

во-первых: не перебивать,

когда рассказывает

друг, быть тишина должна вокруг;

второе: громко не кричи,

а аргументы приводи;

и третье правило просто:

решите, что для вас важно;

в – четвертых: мало устно знать,

необходимо записать;

а в пятых: подведи итог, подумай,

что ты сделать смог.

Овладение

теми знаниями и способами действий, которые определены задачами урока

5.Физминутка

Установить правильность усвоения нового материала на данном этапе, выявить неверные представления и их коррекция

Хорошо, все ваши ответы я занесла в таблицу, теперь, давайте посмотрим, на каждую строчку в нашей таблице (см. Презентацию)

Какие выводы мы можем сделать при исследовании таблицы.

1 строчка. Какие числа мы умножаем? А какое число получается в ответе?

2 строчка. Какие числа мы умножаем? А какое число получается в ответе?

3 строчка. Какие числа мы умножаем? А какое число получается в ответе?

4 строчка. Какие числа мы умножаем? А какое число получается в ответе?

И так вы проанализировали примеры, и готовы сформулировать правила, для этого вам надо было заполнить пропуски во втором задании.

Как умножить отрицательное число на положительное?

- Как умножить два отрицательных числа?

Давайте немного отдохнём.

Положительный ответ-присядем, отрицательный-встаем.

5*6

2*2

7*(-4)

2*(-3)

8*(-8)

7*(-2)

5*3

4*(-9)

5*(-5)

9*(-8)

15*(-3)

7*(-6)

Умножая положительные числа, в ответе всегда получается положительное число.

Умножая отрицательное число на положительное, в ответе всегда получается отрицательно число.

Умножая отрицательные числа, в ответе всегда получается положительное число.

Умножая положительное на отрицательное число, получается отрицательное число.

Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак «-».

- Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули и поставить перед полученным числом знак «+».

Учащиеся выполняют физические упражнения, закрепляя правила.

Осуществляют профилактику утомляемости

7.Первичное закрепление нового материала

Освоить умение применять полученных знаний на практике.

Организовать фронтальную и самостоятельную работу по пройденному материалу.

Закрепим правила, и расскажем и друг другу в паре эти самые правила. Даю вам на это минуту.

Скажите, а теперь мы можем перейти к решению примеров? Да можем.

Открываем страницу 192 №1121

Все вместе мы сделаем 1ую и 2ую строчки а)5*(-6)=30

б)9*(-3)=-27

ж)0,7*(-8)=-5,6

з)-0,5*6=-3

н)1,2*(-14)=-16,8

о)-20,5*(-46)=943

три человека у доски

На решение примеров вам дается 5 минут.

И все вместе проверяем.

Творческое задание в парах.(Приложение 3)

Вставьте числа так, чтоб на каждом этаже их произведение равнялось числу на крыше дома.

Решают примеры, применяя полученные знания

Поднимите руки у кого не было ошибок, молодцы….

Активные действия обучающихся по применению знаний в жизни.

9. Рефлексия (итог урока, оценка результатов деятельности обучающихся)

Обеспечить рефлексию обучающихся, т.е. оценку ими своей деятельности

Организовать подведение итогов урока

Наш урок подошёл к концу, давайте подведём итоги.

Давайте ещё раз вспомним тему нашего урока? Какую цель мы ставили?- Достигли ли мы этой цели?

Какие затруднения вызвала у вас данная тема?

- Ребята, ну а чтобы оценить свою работу на уроке вы должны нарисовать смайлик в кружочках, которые лежат у вас на столах.

Улыбающийся смайлик означает, что вы все поняли. Зеленый означает, что поняли, но нужно потренироваться, а грустный смайлик, если вообще ничего не поняли. (Даю пол минутки)

Ну что, ребята, вы готовы показать, как вы сегодня поработали на уроке? Итак, поднимаем и, я вам тоже поднимаю смайлик.

Я очень довольна вами сегодня на уроке! Я вижу, что все поняли материал. Ребята, вы у меня молодцы!

Урок окончен, спасибо за внимание!

Отвечают на вопросы, оценивают свою работу

Да, достигли.

Открытость обучающихся к передаче и осмыслению своих действий, к выявлению положительных и отрицательных моментов урока

10 .Информация о домашнем задании

Обеспечить понимание цели, содержания и способов выполнения домашнего задания

Обеспечивает понимания цели домашнего задания.

Домашнее задание:

1. Выучить правила умножения
2.№ 1121(3 столбик).
3.Творческое задание: составить тест 5 вопросов с вариантами ответов.

Записывают домашнее задание, стараясь осмыслить и понять.

Реализация необходимости достижения условий для успешного выполнения домашнего задания всеми учащимися, в соответствии с поставленной задачей и уровнем развития обучающихся

Теперь давайте разберемся с умножением и делением .

Предположим, нам нужно умножить +3 на -4. Как это сделать?

Давайте рассмотрим такой случай. Три человека залезли в долги, и у каждого по 4 доллара долга. Чему равен общий долг? Для того чтобы его найти, надо сложить все три долга: 4 доллара + 4 доллара + 4 доллара = 12 долларов. Мы с вами решили, что сложение трех чисел 4 обозначается как 3×4. Поскольку в данном случае мы говорим о долге, перед 4 стоит знак «-». Мы знаем, что общий долг равен 12 долларам, так что теперь наша задача имеет вид 3х(-4)=-12.

Мы получим тот же результат, если по условию задачи каждый из четырех человек имеет долг по 3 доллара. Другими словами, (+4)х(-3)=-12. А поскольку порядок сомножителей значения не имеет, получаем (-4)х(+3)=-12 и (+4)х(-3)=-12.

Давайте обобщим результаты. При перемножении одного положительного и одного отрицательного числа результат всегда будет отрицательным числом . Численная величина ответа будет той же самой, как и в случае положительных чисел. Произведение (+4)х(+3)=+12. Присутствие знака «-» влияет только на знак, но не влияет на численную величину.

А как перемножить два отрицательных числа?

К сожалению, на эту тему очень трудно придумать подходящий пример из жизни. Легко себе представить долг в сумме 3 или 4 доллара, но совершенно невозможно вообразить -4 или -3 человека, которые залезли в долги.

Пожалуй, мы пойдем другим путем. В умножении при изменении знака одного из множителей меняется знак произведения. Если мы меняем знаки у обоих множителей, мы должны дважды сменить знак произведения , сначала с положительного на отрицательный, а затем наоборот, с отрицательного на положительный, то есть у произведения будет первоначальный знак.

Следовательно, вполне логично, хотя немного странно, что (-3)х(-4)=+12.

Положение знака при умножении изменяется таким образом:

• положительное число х положительное число = положительное число;
• отрицательное число х положительное число = отрицательное число;
• положительное число х отрицательное число = отрицательное число;
• отрицательное число х отрицательное число = положительное число.

Иначе говоря, перемножая два числа с одинаковыми знаками, мы получаем положительное число . Перемножая два числа с разными знаками, мы получаем отрицательное число .

Такое же правило справедливо и для действия противоположного умножению – для .

Вы легко можете в этом убедиться, проведя обратные операции умножения . Если в каждом из примеров, приведенных выше, вы умножите частное на делитель, то получите делимое, и убедитесь, что оно имеет тот же самый знак, например (-3)х(-4)=(+12).

Поскольку скоро зима, то пора уже подумать о том, в что переобуть своего железного коня, что бы не скользить по льду и чувствовать себя уверено на зимних дорогах. Можно, например, взять шины йокогама на сайте: mvo.ru или какие-то другие, главное, что бы качественный, больше информации и цены вы можете узнать на сайте Mvo.ru.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока.

Предметные:

• сформулировать правило умножения отрицательных чисел и чисел с разными знаками,
• научить учащихся применять это правило.

Метапредметные:

• формировать умения работать в соответствии с предложенным алгоритмом, составлять план-схему своих действий,
• развивать навыки самоконтроля.

Личностные:

• развивать коммуникативные навыки,
• формировать познавательный интерес учащихся.

Оборудование: компьютер, экран, мультимедийный проектор, презентация PowerPoint, раздаточный материал: таблица для записи правила, тесты.

(Учебник Н.Я. Виленкина “Математика. 6 класс”, М: “Мнемозина”, 2013.)

Ход урока

I. Организационный момент.

Сообщение темы урока и запись темы в тетрадях учащимися.

II. Мотивация.

Слайд № 2. (Цель урока. План урока).

Сегодня мы продолжим изучение важного арифметического свойства – умножения.

Вы уже умеете выполнять умножение натуральных чисел – устно и в столбик,

Научились умножать десятичные и обыкновенные дроби. Сегодня вам предстоит сформулировать правило умножения для отрицательных чисел и чисел с разными знаками. И не только сформулировать, но и научиться применять его.

III. Актуализация знаний.

1) Слайд № 3.

Решить уравнения: а) х: 1,8 = 0,15; б) у: = . (Ученик у доски)

Вывод: для решения подобных уравнений нужно уметь выполнять умножение различных чисел.

2) Проверка домашней самостоятельной работы. Повторение правил умножения десятичных дробей, обыкновенных дробей и смешанных чисел. (Слайды № 4 и № 5).

IV. Формулировка правила.

Рассмотреть задачу 1 (слайд № 6).

Рассмотреть задачу 2 (слайд № 7).

В процессе решения задач нам приходилось выполнять умножение чисел с разными знаками и отрицательных чисел. Рассмотрим подробнее это умножение и его результаты.

Выполнив умножение чисел с разными знаками, мы получили отрицательное число.

Рассмотрим другой пример. Найдите произведение (–2) * 3, заменяя умножение суммой одинаковых слагаемых. Аналогично найдите произведение 3 * (–2). (Проверка - слайд № 8).

Вопросы:

1) Каков знак результата при умножении чисел с разными знаками?

2) Как получен модуль результата? Формулируем правило умножения чисел с разными знаками и записываем правило в левый столбик таблицы. (Слайд № 9 и Приложение 1).

Правило умножения отрицательных чисел и чисел с разными знаками.

Вернёмся ко второй задаче, в которой мы выполняли умножение двух отрицательных чисел. Объяснить по-другому такое умножение довольно трудно.

Воспользуемся объяснением, которое дал ещё в 18 веке великий русский учёный (уроженец Швейцарии), математик и механик Леонард Эйлер. (Леонард Эйлер оставил после себя не только научные труды, но и написал ряд учебников по математике, предназначавшихся воспитанникам академической гимназии).

Итак, Эйлер объяснял результат примерно следующим образом. (Слайд № 10).

Ясно, что –2 · 3 = – 6. Поэтому произведение (–2) · (–3) не может быть равно –6. Однако, оно должно быть как-то связано с числом 6. Остаётся одна возможность: (–2) · (–3) = 6. .

Вопросы:

1) Каков знак произведения?

2) Как получен модуль произведения?

Формулируем правило умножения отрицательных чисел, заполняем правый столбик таблицы. (Слайд № 11).

Чтобы легче запомнить правило знаков при умножении, можно воспользоваться его формулировкой в стихах. (Слайд № 12).

Плюс на минус, умножая,
Ставим минус, не зевая.
Умножим минус с минусом
В ответ поставим плюс!

V. Формирование навыков.

Научимся применять это правило для вычислений. Сегодня на уроке будем производить вычисления только с целыми числами и с десятичными дробями.

1) Составление схемы действий.

Составляется схема применения правила. Делаются записи на доске. Примерная схема на слайде № 13.

2) Выполнение действий по схеме.

Решаем из учебника № 1121(б,в,и,к,п,р). Решение выполняем в соответствии с составленной схемой. Каждый пример поясняет один из учащихся. Одновременно решение демонстрируется на слайде № 14.

3) Работа в парах.

Задание на слайде № 15.

Учащиеся работают по вариантам. Сначала учащийся 1 варианта решает и объясняет решение 2 варианту, учащийся со 2 варианта внимательно слушает, при необходимости помогает и поправляет, а потом учащиеся меняются ролями.

Дополнительное задание для тех пар, которые раньше закончат работу: № 1125.

По окончании работы проводится поверка по готовому решению, размещённому на слайде № 15 (используется анимация).

Если многие успели решить № 1125 , то делается вывод об изменении знака числа при умножении на (?1).

4) Психологическая разгрузка.

5) Самостоятельная работа.

Самостоятельная работа – текст на слайде № 17. После выполнения работы – самопроверка по готовому решению (слайд № 17 – анимация, гиперссылка на слайд № 18).

VI. Проверка уровня усвоения изученного материала. Рефлексия.

Учащиеся выполняют тест. На этом же листочке оценивают свою работу на уроке, заполняя таблицу.

Тест “Правило умножения”. Вариант 1.

1) –13 * 5

А. –75. Б. – 65. В. 65. Г. 650.

2) –5 * (–33)

А. 165. Б. –165. В. 350 Г. –265.

3) –18 * (–9)

А. –162. Б. 180. В. 162. Г. 172.

4) –7 * (–11) * (–1)

А. 77. Б. 0. В.–77. Г. 72.

Тест “Правило умножения”. Вариант 2.

А. 84. Б. 74. В. –84. Г. 90.

2) –15 * (–6)

А. 80. Б. –90. В. 60. Г. 90.

А. 115. Б. –165. В. 165. Г. 0.

4) –6 * (–12) * (–1)

А. 60. Б. –72. В. 72. Г. 54.

VII. Домашнее задание.

П. 35, правила, № 1143 (а – з), № 1145 (в).

Литература.

1) Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. “Математика 6. Учебник для общеобразовательных учреждений”, - М: “Мнемозина”, 2013.

2) Чесноков А.С., Нешков К.И. “Дидактические материалы по математике для 6 класса”, М: “Просвещение”, 2013.

3) Никольский С.М. и др. “Арифметика 6”: учебник для общеобразовательных учреждений, М: “Просвещение”, 2010.

4) Ершова А.П., Голобородько В.В. “Самостоятельные и контрольные работы по математике для 6 класса”. М: “Илекса”, 2010.

5) “365 задач на смекалку”, составитель Г.Голубкова, М: “АСТ-ПРЕСС”, 2006.

6) “Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2010”, 3 CD.

В данной статье сформулируем правило умножения отрицательных чисел и дадим ему объяснение. Будет подробно рассмотрен процесс умножения отрицательных чисел. На примерах показаны все возможные случаи.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Умножение отрицательных чисел

Правило умножения отрицательных чисел заключается в том, что для того, чтобы умножить два отрицательных числа, необходимо перемножить их модули. Данное правило записывается так: для любых отрицательных чисел – a , - b данное равенство считается верным.

(- а) · (- b) = a · b .

Выше приведено правило умножения двух отрицательных чисел. Исходя из него, докажем выражение: (- а) · (- b) = a · b . Статья умножение чисел с разными знаками рассказывает о том, что равенств а · (- b) = - a · b справедливое, как и (- а) · b = - a · b . Это следует из свойства противоположных чисел, благодаря которому равенства запишутся следующим образом:

(- a) · (- b) = (- a · (- b)) = - (- (a · b)) = a · b .

Тут явно видно доказательство правила умножения отрицательных чисел. Исходя из примеров явно, что произведение двух отрицательных чисел – положительное число. При перемножении модулей чисел результат всегда положительное число.

Данное правило применимо для умножения действительных чисел, рациональных чисел, целых чисел.

Теперь рассмотрим подробно примеры умножения двух отрицательных чисел. При вычислении необходимо пользоваться правилом, написанным выше.

Пример 1

Произвести умножение чисел - 3 и - 5 .

Решение.

По модулю умножаемые данные два числа равны положительным числам 3 и 5 . Их произведение дает в результате 15 . Отсюда следует, что произведение заданных чисел равно 15

Запишем кратко само умножение отрицательных чисел:

(- 3) · (- 5) = 3 · 5 = 15

Ответ: (- 3) · (- 5) = 15 .

При умножении отрицательных рациональных чисел, применив разобранное правило, можно мобилизоваться к умножению дробей, умножению смешанных чисел, умножению десятичных дробей.

Пример 2

Вычислить произведение (- 0 , 125) · (- 6) .

Решение.

Используя правило умножения отрицательных чисел, получим, что (− 0 , 125) · (− 6) = 0 , 125 · 6 . Для получения результата необходимо выполнить умножение десятичной дроби на натуральное число столбиков. Это выглядит так:

Получили, что выражение примет вид (− 0 , 125) · (− 6) = 0 , 125 · 6 = 0 , 75 .

Ответ: (− 0 , 125) · (− 6) = 0 , 75 .

В случае, когда множители – иррациональные числа, тогда их произведение может быть записано в виде числового выражения. Значение вычисляется только по необходимости.

Пример 3

Необходимо произвести умножение отрицательного - 2 на неотрицательное log 5 1 3 .

Решение

Находим модули заданных чисел:

2 = 2 и log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Следуя из правил умножения отрицательных чисел, получим результат - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Это выражение и является ответом.

Ответ: - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

Для продолжения изучения темы необходимо повторить раздел умножение действительных чисел.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Задача 1. Точка движется по прямой слева направо со скоростью 4 дм. в секунду и в настоящий момент проходит через точку A. Где будет находиться движущаяся точка по прошествии 5 секунд?

Нетрудно сообразить, что точка будет находиться на 20 дм. вправо от A. Запишем решение этой задачи относительными числами. Для этого условимся в следующих знакоположениях:

1) скорость вправо будем обозначать знаком +, а влево знаком –, 2) расстояние движущейся точки от A вправо будем обозначать знаком + и влево знаком –, 3) промежуток времени после настоящего момента знаком + и до настоящего момента знаком –. В нашей задаче даны, след., такие числа: скорость = + 4 дм. в секунду, время = + 5 секунд и получилось, как сообразили арифметически, число + 20 дм., выражающее расстояние движущейся точки от A через 5 секунд. По смыслу задачи мы видим, что она относится к умножению. Поэтому решение задачи удобно записать:

(+ 4) ∙ (+ 5) = + 20.

Задача 2. Точка движется по прямой слева направо со скоростью по 4 дм. в секунду и в настоящий момент проходит через точку A. Где находилась эта точка 5 секунд назад?

Ответ ясен: точка находилась влево от A на расстоянии 20 дм.

Решение удобно, согласно условиям относительно знаков, и, имея в виду, что смысл задачи не изменился, записать так:

(+ 4) ∙ (– 5) = – 20.

Задача 3. Точка движется по прямой справа налево со скоростью 4 дм. в секунду и в настоящий момент проходит через точку A. Где будет находиться движущаяся точка спустя 5 секунд?

Ответ ясен: на 20 дм. слева от A. Поэтому, согласно тем же условиям относительно знаков, мы можем записать решение этой задачи так:

(– 4) ∙ (+ 5) = – 20.

Задача 4. Точка движется по прямой справа налево со скоростью по 4 дм. в секунду и в настоящий момент проходит через точку A. Где находилась движущаяся точка 5 секунд тому назад?

Ответ ясен: на расстоянии 20 дм. справа от A. Поэтому решение этой задачи следует записать так:

(– 4) ∙ (– 5) = + 20.

Рассмотренные задачи указывают, как следует распространить действие умножения на относительные числа. Мы имеем в задачах 4 случая умножения чисел со всевозможными комбинациями знаков:

1) (+ 4) ∙ (+ 5) = + 20;
2) (+ 4) ∙ (– 5) = – 20;
3) (– 4) ∙ (+ 5) = – 20;
4) (– 4) ∙ (– 5) = + 20.

Во всех четырех случаях абсолютные величины данных чисел следует перемножить, у произведения приходится ставить знак + тогда, когда у множителей одинаковые знаки (1-й и 4-й случаи) и знак –, когда у множителей разные знаки (случаи 2-й и 3-й).

Отсюда же видим, что от перестановки множимого и множителя произведение не изменяется.

Упражнения.

Выполним один пример на вычисление, где входят и сложение и вычитание и умножение.

Чтобы не спутать порядка действий, обратим внимание на формулу

Здесь написана сумма произведений двух пар чисел: надо, следовательно, сперва число a умножить на число b, потом число c умножить на число d и затем полученные произведения сложить. Также в формуле

надо сперва число b умножить на c и затем полученное произведение вычесть из a.

Если бы требовалось произведение чисел a и b сложить с c и полученную сумму умножить на d, то следовало бы написать: (ab + c)d (сравнить с формулой ab + cd).

Если бы надо было разность чисел a и b умножить на c, то написали бы (a – b)c (сравнить с формулой a – bc).

Поэтому установим вообще, что если порядок действий не обозначен скобками, то надо сначала выполнить умножение, а потом уже сложение или вычитание.

Приступаем к вычислению нашего выражения: выполним сначала сложения, написанные внутри всех маленьких скобок, получим:

Теперь надо выполнить умножение внутри квадратных скобок и затем из вычтем полученное произведение:

Теперь выполним действия внутри витых скобок: сначала умножение и потом вычитание:

Теперь останется выполнить умножение и вычитание:

16. Произведение нескольких множителей. Пусть требуется найти

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5).

Здесь надо первое число умножить на второе, полученное произведение на 3-е и т. д. Не трудно на основании предыдущего установить, что абсолютные величины всех чисел надо между собою перемножить.

Если бы все множители были положительны, то на основании предыдущего найдем, что и у произведения надо написать знак +. Если бы какой-либо один множитель был отрицателен

напр., (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) ∙ (–1) ∙ (+5) ∙ (+6),

то произведение всех предшествующих ему множителей дало бы знак + (в нашем примере (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) = +24, от умножения полученного произведения на отрицательное число (в нашем примере +24 умножить на –1) получили бы у нового произведения знак –; умножив его на следующий положительный множитель (в нашем примере –24 на +5), получим опять отрицательное число; так как все остальные множители предполагаются положительными, то знак у произведения более изменяться не может.

Если бы было два отрицательных множителя, то, рассуждая, как выше, нашли бы, что сначала, пока не дошил до первого отрицательного множителя, произведение было бы положительно, от умножения его на первый отрицательный множитель новое произведение получилось бы отрицательным и таковы бы оно и оставалось до тех пор, пока не дойдем до второго отрицательного множителя; тогда от умножения отрицательного числа на отрицательно новое произведение получилось бы положительным, которое таким останется и в дальнейшем, если остальные множители положительны.

Если бы был еще третий отрицательный множитель, то полученное положительно произведение от умножения его на этот третий отрицательный множитель сделалось бы отрицательным; оно таковым бы и осталось, если остальные множители были все положительны. Но если есть еще четвертый отрицательный множитель, то от умножения на него произведение сделается положительным. Рассуждая так же, найдем, что вообще:

Чтобы узнать знак произведения нескольких множителей, надо посмотреть, сколько среди этих множителей отрицательных: если их вовсе нет, или если их четное число, то произведение положительно: если же отрицательных множителей нечетное число, то произведение отрицательно.

Итак, теперь мы легко узнаем, что

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5) = +4200.

(+3) ∙ (–2) ∙ (+7) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–1) = –630.

Теперь нетрудно видеть, что знак произведения, а также и его абсолютная величина, не зависят от порядка множителей.

Удобно, когда имеем дело с дробными числами, находить произведение сразу:

Удобно это потому, то не приходится делать бесполезных умножений, так как предварительно полученное дробное выражение сокращается, сколько возможно.