الحد الأقصى للوظيفة. ما هي الحدود القصوى للدالة: النقاط الحرجة للحد الأقصى والحد الأدنى للوظيفة القصوى والدنيا

النقطة القصوى للدالة هي النقطة في مجال تعريف الدالة التي تأخذ فيها قيمة الدالة قيمة دنيا أو قصوى. تسمى قيم الوظيفة عند هذه النقاط الحدود القصوى (الحد الأدنى والحد الأقصى) للوظيفة.

تعريف. نقطة س1 مجال الوظيفة F(س) يسمى أقصى نقطة للوظيفة ، إذا كانت قيمة الدالة عند هذه النقطة أكبر من قيم الدالة عند نقاط قريبة بدرجة كافية منها، وتقع على يمينها ويسارها (أي أن التباين يحمل F(س0 ) > F(س 0 + Δ س) س1 أقصى.

تعريف. نقطة س2 مجال الوظيفة F(س) يسمى النقطة الدنيا للوظيفة، إذا كانت قيمة الدالة عند هذه النقطة أقل من قيم الدالة عند نقاط قريبة بدرجة كافية منها، وتقع على يمينها ويسارها (أي أن التباين يحمل F(س0 ) < F(س 0 + Δ س) ). في هذه الحالة نقول أن الدالة عند هذه النقطة س2 الحد الأدنى.

دعنا نقول نقطة س1 - النقطة القصوى للوظيفة F(س) . ثم في الفاصل الزمني حتى س1 تزيد الوظيفةوبالتالي فإن مشتقة الدالة أكبر من الصفر ( F "(س) > 0)، وفي الفاصل الزمني بعد ذلك س1 تنخفض الدالة وبالتالي مشتق من وظيفةأقل من الصفر ( F "(س) < 0 ). Тогда в точке س1

دعونا نفترض أيضا أن هذه النقطة س2 - النقطة الدنيا للوظيفة F(س) . ثم في الفاصل الزمني حتى س2 الدالة تتناقص، ومشتقة الدالة أقل من الصفر ( F "(س) < 0 ), а в интервале после س2 الدالة متزايدة، ومشتقة الدالة أكبر من الصفر ( F "(س)> 0). في هذه الحالة أيضا عند هذه النقطة س2 مشتق الدالة صفر أو غير موجود.

نظرية فيرما (علامة ضرورية على وجود الحد الأقصى للدالة). إذا كانت النقطة س0 - النقطة القصوى للوظيفة F(س) ، عند هذه النقطة يكون مشتق الدالة يساوي صفر ( F "(س) = 0) أو غير موجود.

تعريف. تسمى النقاط التي يكون فيها مشتق الدالة صفراً أو غير موجود نقاط حرجة .

مثال 1.دعونا نفكر في الوظيفة.

عند هذه النقطة س= 0 مشتقة الدالة هي صفر، وبالتالي النقطة س= 0 هي النقطة الحرجة. ومع ذلك، كما يمكن رؤيته في الرسم البياني للدالة، فإنها تزيد في جميع أنحاء مجال التعريف بأكمله، وبالتالي فإن هذه النقطة س= 0 ليست النقطة القصوى لهذه الدالة.

وبالتالي فإن الشروط التي تكون مشتقة الدالة عند نقطة ما تساوي صفرًا أو غير موجودة هي شروط ضرورية لحد أقصى، ولكنها ليست كافية، حيث يمكن إعطاء أمثلة أخرى لدوال تتوفر فيها هذه الشروط، ولكن الدالة لا يوجد حد أقصى عند النقطة المقابلة. لهذا يجب أن يكون هناك أدلة كافية، مما يسمح للمرء بالحكم على ما إذا كان هناك حد متطرف عند نقطة حرجة معينة ونوع الحد الأقصى هو - الحد الأقصى أو الحد الأدنى.

النظرية (أول علامة كافية على وجود الحد الأقصى للدالة).نقطة حرجة س0 F(س) إذا تغيرت إشارة مشتق الدالة عند المرور بهذه النقطة، وإذا تغيرت الإشارة من "زائد" إلى "ناقص"، فهي نقطة عظمى، وإذا كانت من "ناقص" إلى "زائد"، إذن إنها نقطة الحد الأدنى.

إذا كان بالقرب من هذه النقطة س0 ، إلى اليسار واليمين منه، يحتفظ المشتق بعلامته، وهذا يعني أن الدالة إما تتناقص فقط أو تزيد فقط في منطقة معينة من النقطة س0 . في هذه الحالة، عند هذه النقطة س0 لا يوجد تطرف.

لذا، لتحديد النقاط القصوى للوظيفة، عليك القيام بما يلي :

1. العثور على مشتق من وظيفة.
2. مساواة المشتقة بالصفر وتحديد النقاط الحرجة.
3. حدد النقاط الحرجة على خط الأعداد عقليًا أو على الورق وحدد علامات مشتق الدالة في الفترات الناتجة. إذا تغيرت إشارة المشتقة من "موجب" إلى "ناقص"، فإن النقطة الحرجة هي النقطة القصوى، وإذا كانت من "ناقص" إلى "موجب"، فإن النقطة الحرجة هي النقطة الصغرى.
4. احسب قيمة الدالة عند النقاط القصوى.

مثال 2.أوجد الحد الأقصى للدالة .

حل. لنجد مشتقة الدالة:

دعونا نساوي المشتقة بالصفر للعثور على النقاط الحرجة:

.

نظرًا لأن أي قيم لـ "x" لا يساوي المقام صفرًا، فإننا نساوي البسط بالصفر:

حصلت على نقطة حرجة واحدة س= 3 . دعونا نحدد إشارة المشتقة في الفترات المحددة بهذه النقطة:

في النطاق من ناقص اللانهاية إلى 3 - علامة ناقص، أي أن الدالة تتناقص،

في الفترة من 3 إلى زائد اللانهاية هناك علامة زائد، أي أن الدالة تزداد.

وهذا هو، الفترة س= 3 هي النقطة الدنيا.

لنجد قيمة الدالة عند النقطة الصغرى:

وبذلك يتم إيجاد النقطة القصوى للدالة: (3؛ 0)، وهي النقطة الصغرى.

النظرية (العلامة الكافية الثانية لوجود الحد الأقصى للدالة).نقطة حرجة س0 هي النقطة القصوى للوظيفة F(س) إذا كان المشتق الثاني للدالة عند هذه النقطة لا يساوي الصفر ( F ""(س) ≠ 0) وإذا كانت المشتقة الثانية أكبر من الصفر ( F ""(س) > 0)، فالنقطة القصوى، وإذا كانت المشتقة الثانية أقل من الصفر ( F ""(س) < 0 ), то точкой минимума.

ملاحظة 1. إذا كان عند هذه النقطة س0 فإذا اختفت المشتقتان الأولى والثانية، فإنه في هذه المرحلة لا يمكن الحكم على وجود الحد الأقصى بناء على المعيار الكافي الثاني. في هذه الحالة، تحتاج إلى استخدام المعيار الكافي الأول للحد الأقصى للدالة.

الملاحظة 2. المعيار الكافي الثاني للحد الأقصى للدالة لا ينطبق حتى عندما لا يكون المشتق الأول موجودًا عند نقطة ثابتة (ثم لا يكون المشتق الثاني موجودًا أيضًا). في هذه الحالة، تحتاج أيضًا إلى استخدام الإشارة الكافية الأولى للقيمة القصوى للدالة.

الطبيعة المحلية للدالة القصوى

يترتب على التعريفات المذكورة أعلاه أن الحد الأقصى للدالة محلي بطبيعته - فهو أكبر وأصغر قيمة للدالة مقارنة بالقيم القريبة.

لنفترض أنك تنظر إلى أرباحك على مدار عام واحد. إذا كسبت 45000 روبل في شهر مايو، وفي أبريل 42000 روبل وفي يونيو 39000 روبل، فإن أرباح شهر مايو هي الحد الأقصى لدالة الأرباح مقارنة بالقيم القريبة. لكن في أكتوبر كسبت 71000 روبل، وفي سبتمبر 75000 روبل، وفي نوفمبر 74000 روبل، لذا فإن أرباح شهر أكتوبر هي الحد الأدنى لدالة الأرباح مقارنة بالقيم القريبة. ويمكنك أن ترى بسهولة أن الحد الأقصى بين قيم أبريل ومايو ويونيو أقل من الحد الأدنى لشهر سبتمبر وأكتوبر ونوفمبر.

بشكل عام، يمكن أن يكون للدالة في فترة ما عدة نقاط قصوى، وقد يتبين أن قيمة صغرى معينة للدالة أكبر من أي قيمة عظمى. لذلك، بالنسبة للوظيفة الموضحة في الشكل أعلاه، .

وهذا يعني أنه لا ينبغي للمرء أن يعتقد أن الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة هما، على التوالي، أكبر وأصغر قيمها في المقطع بأكمله قيد النظر. عند النقطة القصوى تكون للدالة أكبر قيمة فقط بالمقارنة مع تلك القيم التي تكون عند جميع النقاط قريبة بما فيه الكفاية من النقطة القصوى، وعند النقطة الدنيا تكون لها أصغر قيمة فقط بالمقارنة مع تلك القيم ​​​​أنها قريبة بما فيه الكفاية من النقطة الدنيا في جميع النقاط.

لذلك، يمكننا توضيح المفهوم أعلاه للنقاط القصوى للدالة ونسمي الحد الأدنى من النقاط المحلية، والحد الأقصى من النقاط المحلية.

نحن نبحث عن الحد الأقصى للدالة معًا

مثال 3.

الحل: الدالة معرفة ومستمرة على خط الأعداد بأكمله. مشتق منه موجود أيضًا على خط الأعداد بأكمله. لذلك، في هذه الحالة، النقاط الحرجة هي فقط تلك التي، أي. ، من أين و . النقاط الحرجة وتقسيم مجال تعريف الدالة بأكمله إلى ثلاث فترات من الرتابة: . دعونا نختار نقطة تحكم واحدة في كل منها ونوجد إشارة المشتقة عند هذه النقطة.

بالنسبة للفاصل الزمني، يمكن أن تكون نقطة التحكم: العثور على. بأخذ نقطة في الفترة نحصل عليها، وبأخذ نقطة في الفترة نحصل عليها. لذلك، في الفترات و ، وفي الفاصل الزمني. وفقًا للمعيار الكافي الأول للحد الأقصى، لا يوجد حد أقصى عند النقطة (نظرًا لأن المشتق يحتفظ بإشارته في الفترة)، وعند النقطة يكون للدالة حد أدنى (نظرًا لأن علامة المشتقة تتغير من ناقص إلى زائد عند المرور من خلال هذه النقطة). لنجد القيم المقابلة للدالة: , a . في هذه الفترة تقل الدالة، لأنه في هذه الفترة، وفي هذه الفترة تزيد، لأنه في هذه الفترة.

لتوضيح بناء الرسم البياني نجد نقاط تقاطعه مع محاور الإحداثيات. عندما نحصل على معادلة جذورها و، أي تم العثور على نقطتين (0؛ 0) و (4؛ 0) من الرسم البياني للدالة. باستخدام جميع المعلومات الواردة، نقوم ببناء رسم بياني (انظر بداية المثال).

للتحقق الذاتي أثناء العمليات الحسابية، يمكنك استخدام آلة حاسبة مشتقة على الانترنت .

مثال 4.أوجد الحد الأقصى للدالة وقم ببناء الرسم البياني الخاص بها.

مجال تعريف الدالة هو خط الأعداد بأكمله، باستثناء النقطة، أي. .

لاختصار الدراسة، يمكنك استخدام حقيقة أن هذه الوظيفة متساوية منذ ذلك الحين . ولذلك، فإن الرسم البياني له متماثل حول المحور أويولا يمكن إجراء الدراسة إلا خلال هذه الفترة.

العثور على المشتقة والنقاط الحرجة للوظيفة:

1) ;

2) ,

لكن الدالة تعاني من انقطاع عند هذه النقطة، لذا لا يمكن أن تكون نقطة متطرفة.

وبالتالي، فإن الدالة المعطاة لها نقطتان حاسمتان: و . مع الأخذ بعين الاعتبار تكافؤ الدالة، سوف نتحقق فقط من النقطة باستخدام المعيار الثاني الكافي للقيمة القصوى. للقيام بذلك، نجد المشتقة الثانية ونحدد علامتها في : نحصل . بما أن و، فهي النقطة الدنيا للدالة، و .

للحصول على صورة أكثر اكتمالا للرسم البياني للدالة، دعونا نتعرف على سلوكها عند حدود مجال التعريف:

(هنا يشير الرمز إلى الرغبة سإلى الصفر من اليمين، و سيظل إيجابيا؛ وبالمثل يعني الطموح سإلى الصفر من اليسار، و سيبقى سلبيا). وهكذا إذاً . التالي نجد

,

أولئك. اذا ثم .

الرسم البياني للدالة لا يحتوي على نقاط تقاطع مع المحاور. الصورة في بداية المثال.

للتحقق الذاتي أثناء العمليات الحسابية، يمكنك استخدام آلة حاسبة مشتقة على الانترنت .

نواصل البحث عن القيم القصوى للدالة معًا

مثال 8.أوجد الحد الأقصى للدالة.

حل. دعونا نجد مجال تعريف الوظيفة. بما أنه يجب استيفاء عدم المساواة، نحصل على من .

دعونا نجد المشتقة الأولى للدالة.

خوارزمية بسيطة للعثور على الحدود القصوى.

• إيجاد مشتقة الدالة
• نحن نساوي هذه المشتقة بالصفر
• نجد قيم متغير التعبير الناتج (قيم المتغير الذي يتم عنده تحويل المشتق إلى صفر)
• باستخدام هذه القيم، نقوم بتقسيم خط الإحداثيات إلى فترات (لا ننسى نقاط التوقف، والتي يجب أيضًا رسمها على الخط)، كل هذه النقاط تسمى نقاط "مشبوهة" للحد الأقصى
• نحسب أيًا من هذه الفترات ستكون المشتقة موجبة وأيها ستكون سالبة. للقيام بذلك، عليك استبدال القيمة من الفاصل الزمني بالمشتقة.

من النقاط المشبوهة لأقصى الحدود، فمن الضروري العثور عليها . للقيام بذلك، ننظر إلى الفواصل الزمنية الموجودة على الخط الإحداثي. إذا تغيرت إشارة المشتق عند المرور بنقطة ما من موجب إلى ناقص، فستكون هذه النقطة أقصى، وإذا كان من ناقص إلى زائد، ثم الحد الأدنى.

للعثور على القيم الأكبر والأصغر للدالة، تحتاج إلى حساب قيمة الدالة في نهايات المقطع وفي النقاط القصوى. ثم حدد القيمة الأكبر والأصغر.

لنلقي نظرة على مثال
نجد المشتقة ونساويها بالصفر:

نرسم قيم المتغيرات التي تم الحصول عليها على خط الإحداثيات ونحسب إشارة المشتق في كل فترة من الفترات. حسنًا، على سبيل المثال، لنأخذ الأمر الأول-2 ، فإن المشتقة ستكون متساوية-0,24 ، للثانية سنأخذها0 ، فإن المشتق سيكون2 وللثالث نأخذ2 ، فإن المشتق سيكون-0.24. نضع العلامات المناسبة.

نرى أنه عند المرور بالنقطة -1، تتغير إشارة المشتقة من ناقص إلى زائد، أي أن هذه ستكون النقطة الدنيا، وعند المرور بالنقطة 1، ستتغير الإشارة من زائد إلى ناقص، على التوالي، ستكون هذه هي النقطة النقطة القصوى.

تحتل الدالة ودراسة خصائصها أحد الفصول الرئيسية في الرياضيات الحديثة. المكون الرئيسي لأي وظيفة هو الرسوم البيانية التي تصور ليس فقط خصائصها، ولكن أيضا معلمات مشتق هذه الوظيفة. دعونا نفهم هذا الموضوع الصعب. إذن ما هي أفضل طريقة للعثور على النقاط القصوى والدنيا للدالة؟

الوظيفة: التعريف

أي متغير يعتمد بطريقة ما على قيم كمية أخرى يمكن أن يسمى دالة. على سبيل المثال، الدالة f(x 2) هي دالة تربيعية وتحدد قيم المجموعة x بأكملها. لنفترض أن x = 9، فإن قيمة الدالة ستكون 9 2 = 81.

تأتي الوظائف في أنواع مختلفة: منطقية، متجهة، لوغاريتمية، مثلثية، رقمية وغيرها. لقد تمت دراستهم من قبل عقول بارزة مثل لاكروا ولاغرانج ولايبنيز وبرنولي. تعتبر أعمالهم بمثابة الدعامة الأساسية في الطرق الحديثة لدراسة الوظائف. قبل العثور على الحد الأدنى من النقاط، من المهم جدًا فهم معنى الدالة ومشتقتها.

المشتقة ودورها

تعتمد جميع الدوال على متغيراتها، مما يعني أنها يمكن أن تغير قيمتها في أي وقت. على الرسم البياني، سيتم تصوير ذلك على أنه منحنى إما أن ينخفض ​​أو يرتفع على طول المحور الإحداثي (هذه هي المجموعة الكاملة من أرقام "y" على طول الرسم البياني الرأسي). لذا، فإن تحديد النقاط القصوى والدنيا للدالة يرتبط بدقة بهذه "التذبذبات". دعونا نوضح ما هي هذه العلاقة.

يتم رسم مشتق أي دالة بيانيا من أجل دراسة خصائصها الأساسية وحساب مدى سرعة تغير الدالة (أي تغير قيمتها اعتمادا على المتغير "x"). في اللحظة التي تزيد فيها الوظيفة، سيزداد الرسم البياني لمشتقتها أيضًا، ولكن في أي ثانية يمكن أن تبدأ الدالة في الانخفاض، ثم سينخفض ​​الرسم البياني للمشتقة. تلك النقاط التي يتغير عندها المشتق من علامة الطرح إلى علامة الجمع تسمى نقاط الحد الأدنى. من أجل معرفة كيفية العثور على الحد الأدنى من النقاط، يجب أن تفهم بشكل أفضل

كيفية حساب المشتقة؟

يتضمن التعريف والوظائف عدة مفاهيم بشكل عام، يمكن التعبير عن تعريف المشتق على النحو التالي: هذه هي الكمية التي توضح معدل تغير الوظيفة.

تبدو الطريقة الرياضية لتحديدها معقدة بالنسبة للعديد من الطلاب، ولكن في الواقع كل شيء أبسط بكثير. كل ما عليك فعله هو اتباع الخطة القياسية للعثور على مشتق أي دالة. نوضح أدناه كيف يمكنك العثور على النقطة الدنيا للدالة دون تطبيق قواعد التفاضل ودون حفظ جدول المشتقات.

1. يمكنك حساب مشتق دالة باستخدام الرسم البياني. للقيام بذلك، تحتاج إلى تصوير الوظيفة نفسها، ثم خذ نقطة واحدة عليها (النقطة أ في الشكل) ارسم خطًا عموديًا لأسفل حتى محور الإحداثي السيني (النقطة × 0)، وعند النقطة أ ارسم مماسًا للخط. الرسم البياني للوظيفة. يشكل المحور السيني والمماس زاوية معينة أ. لحساب قيمة مدى سرعة زيادة الدالة، تحتاج إلى حساب ظل هذه الزاوية أ.
2. وتبين أن ظل الزاوية بين المماس واتجاه المحور x هو مشتق الدالة في مساحة صغيرة ذات النقطة A. وتعتبر هذه الطريقة طريقة هندسية لتحديد المشتق.

طرق دراسة الوظيفة

في منهج الرياضيات المدرسي، من الممكن العثور على الحد الأدنى لنقطة دالة بطريقتين. لقد ناقشنا بالفعل الطريقة الأولى باستخدام الرسم البياني، ولكن كيف يمكننا تحديد القيمة العددية للمشتقة؟ للقيام بذلك، ستحتاج إلى تعلم العديد من الصيغ التي تصف خصائص المشتق وتساعد في تحويل المتغيرات مثل "x" إلى أرقام. الطريقة التالية عالمية، لذا يمكن تطبيقها على جميع أنواع الوظائف تقريبًا (سواء الهندسية أو اللوغاريتمية).

1. من الضروري مساواة الدالة بالدالة المشتقة، ثم تبسيط التعبير باستخدام قواعد التمايز.
2. في بعض الحالات، عند إعطاء دالة يكون فيها المتغير "x" في المقسوم عليه، فمن الضروري تحديد نطاق القيم المقبولة، باستثناء النقطة "0" منها (لسبب بسيط وهو أنه في الرياضيات لا ينبغي أبدًا اقسم على صفر).
3. بعد ذلك، عليك تحويل الشكل الأصلي للدالة إلى معادلة بسيطة، تساوي التعبير بأكمله بالصفر. على سبيل المثال، إذا كانت الدالة تبدو كما يلي: f(x) = 2x 3 +38x، فوفقًا لقواعد التفاضل يكون مشتقها يساوي f"(x) = 3x 2 +1. ثم نقوم بتحويل هذا التعبير إلى معادلة بالشكل التالي: 3x 2 +1 = 0 .
4. بعد حل المعادلة وإيجاد النقاط "x"، يجب عليك رسمها على المحور السيني وتحديد ما إذا كان المشتق في هذه الأقسام بين النقاط المحددة موجبًا أم سالبًا. بعد التعيين، سيصبح من الواضح عند أي نقطة تبدأ الوظيفة في الانخفاض، أي تغيير الإشارة من ناقص إلى العكس. وبهذه الطريقة يمكنك العثور على الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط.

قواعد التمايز

إن العنصر الأساسي في دراسة الدالة ومشتقاتها هو معرفة قواعد التفاضل. فقط بمساعدتهم يمكنك تحويل التعبيرات المرهقة والوظائف المعقدة الكبيرة. دعونا نتعرف عليهم، هناك الكثير منهم، لكنهم جميعا بسيطون للغاية بسبب الخصائص الطبيعية لكل من وظائف الطاقة واللوغاريتمية.

1. مشتقة أي ثابت تساوي الصفر (f(x) = 0). أي أن المشتقة f(x) = x 5 + x - 160 ستأخذ الصيغة التالية: f" (x) = 5x 4 +1.
2. مشتق من مجموع الحدين: (f+w)" = f"w + fw".
3. مشتق من دالة لوغاريتمية: (log a d)" = d/ln a*d. تنطبق هذه الصيغة على جميع أنواع اللوغاريتمات.
4. مشتقة القوة: (x n)"= n*x n-1. على سبيل المثال، (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. مشتقة الدالة الجيبية: (sin a)" = cos a. إذا كان sin الزاوية a يساوي 0.5، فإن مشتقتها هي √3/2.

النقاط القصوى

لقد ناقشنا بالفعل كيفية العثور على الحد الأدنى من النقاط، ولكن هناك أيضًا مفهوم الحد الأقصى من النقاط للدالة. إذا كان الحد الأدنى يشير إلى تلك النقاط التي تتغير عندها الدالة من علامة الطرح إلى علامة الجمع، فإن النقاط القصوى هي تلك النقاط الموجودة على المحور السيني التي يتغير عندها مشتق الدالة من علامة الزائد إلى العكس - ناقص.

يمكنك العثور عليها باستخدام الطريقة الموضحة أعلاه، ولكن يجب أن تأخذ في الاعتبار أنها تشير إلى تلك المناطق التي تبدأ فيها الدالة في الانخفاض، أي أن المشتق سيكون أقل من الصفر.

في الرياضيات، من المعتاد تعميم كلا المفهومين، واستبدالهما بعبارة "النقاط القصوى". عندما تطلب منك المهمة تحديد هذه النقاط، فهذا يعني أنك بحاجة إلى حساب مشتق دالة معينة والعثور على الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط.

النظر في الدالة y = f(x)، والتي تعتبر في الفترة (a، b).

إذا كان من الممكن الإشارة إلى جوار b لنقطة x1 تنتمي إلى المجال (a, b) بحيث يظل عدم المساواة f(x1) > f(x) ثابتًا بالنسبة لجميع x (x1, b)، ثم y1 = يتم استدعاء f1(x1). الحد الأقصى للوظيفةص = و(خ) انظر الشكل.

نشير إلى الحد الأقصى للدالة y = f(x) بواسطة الحد الأقصى f(x). إذا كان من الممكن الإشارة إلى جوار b لنقطة x2 تنتمي إلى المجال (a، b) بحيث تنتمي جميع x إلى O (x2، 6)، x لا تساوي x2، فإن عدم المساواة يظل قائمًا و(×2)< f(x) ، ثم y2= f(x2) يسمى الحد الأدنى للدالة y-f(x) (انظر الشكل).

للحصول على مثال لإيجاد الحد الأقصى، شاهد الفيديو التالي

وظائف الحد الأدنى

نشير إلى الحد الأدنى للدالة y = f(x) بواسطة min f(x). بعبارة أخرى، الحد الأقصى أو الأدنى للوظيفةص = و(س) مُسَمًّىقيمتها أكبر (أقل) من جميع القيم الأخرى المقبولة عند نقاط قريبة بدرجة كافية من القيمة المعطاة ومختلفة عنها.

ملاحظة 1. الوظيفة القصوى، الذي يحدده عدم المساواة يسمى الحد الأقصى الصارم؛ يتم تحديد الحد الأقصى غير الصارم من خلال عدم المساواة f(x1) > = f(x2)

ملاحظة 2. لها طابع محلي (هذه هي القيم الأكبر والأصغر للدالة في حي صغير بدرجة كافية من النقطة المقابلة)؛ قد يكون الحد الأدنى الفردي للدالة أكبر من الحد الأقصى لنفس الوظيفة

ونتيجة لذلك، يتم استدعاء الحد الأقصى (الحد الأدنى) للدالة الحد الأقصى المحلي(الحد الأدنى المحلي) على عكس الحد الأقصى المطلق (الحد الأدنى) - أكبر (أصغر) قيمة في مجال تعريف الوظيفة.

الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة يسمى أقصى . تم العثور على الحدود القصوى لبناء الرسوم البيانية للوظائف

اللاتينية أقصى يعني "المتطرفة" معنى. تسمى قيمة الوسيطة x التي يتم الوصول عندها إلى الحد الأقصى بالنقطة القصوى. يتم التعبير عن الشرط الضروري للأقصى من خلال النظرية التالية.

نظرية. عند النقطة القصوى للدالة القابلة للتفاضل، تكون مشتقتها تساوي صفرًا.

النظرية لها معنى هندسي بسيط: مماس الرسم البياني للدالة القابلة للتفاضل عند النقطة المقابلة يكون موازيًا لمحور الثور

1°. تحديد الحد الأقصى للدالة.

تتشابه مفاهيم الحد الأقصى والحد الأدنى والحد الأقصى لدالة لمتغيرين مع المفاهيم المقابلة لدالة متغير مستقل واحد.

دع الوظيفة ض =F (س ; ذ)المحددة في بعض المناطق دنقطة ن (س 0 ;ص 0) د.

نقطة (س 0 ;ص 0)تسمى نقطة أقصىالمهام ض= F (س ;ذ)،إذا كان هناك مثل هذا -حي النقطة (س 0 ;ص 0)،ذلك لكل نقطة (س؛ص)،مختلف عن (س 0 ;ص 0)من هذا الحي يستمر عدم المساواة F (س ;ذ)< F (س 0 ;ص 0).في الشكل 12: ن 1 -النقطة القصوى، أ ن 2 -النقطة الدنيا للوظيفة ض =F (س ;ذ).

يتم تحديد النقطة بالمثل الحد الأدنىالوظائف: لجميع النقاط (س 0 ;ص 0)،مختلف عن (س 0 ;ص 0)،من د - جوار نقطة (س 0 ;ص 0)يحمل عدم المساواة: F (س 0 ;ذ0)>F (س 0 ;ص 0).

يتم تحديد الحد الأقصى لوظيفة مكونة من ثلاثة متغيرات أو أكثر بالمثل.

يتم استدعاء قيمة الدالة عند النقطة القصوى (الدنيا). ما في وسعنا)المهام.

يتم استدعاء الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة التطرف.

لاحظ أن النقطة القصوى للدالة، بحكم التعريف، تقع داخل مجال تعريف الدالة؛ الحد الأقصى والحد الأدنى لديهم محليالحرف (المحلي): قيمة الدالة عند نقطة ما (س 0 ;ص 0)تتم مقارنتها بقيمها عند نقاط قريبة بدرجة كافية منها (س 0 ;ص 0).في المنطقة دقد تحتوي الدالة على عدة نقاط قصوى أو لا شيء.

2°. الشروط اللازمة للأقصى.

دعونا نفكر في شروط وجود الحد الأقصى للدالة.

المساواة هندسيا F"ذ (س 0 ;ص 0)= 0 و F"ذ (س 0 ;ص0) = 0 يعني أنه عند النقطة القصوى للوظيفة ض = F (س ; ذ)مستوى الظل على السطح الذي يمثل الوظيفة F (س ; ذ)،موازية للطائرة أوه هووبما أن معادلة المستوى المماس هي ض =ض 0.

تعليق.يمكن أن يكون للدالة حد أقصى عند النقاط التي لا توجد فيها واحدة على الأقل من المشتقات الجزئية. على سبيل المثال، الدالة لديه الحد الأقصى عند هذه النقطة عن(0;0)، ولكن لا يوجد لديه مشتقات جزئية في هذه المرحلة.

النقطة التي عندها المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى للدالة ض = F (س ;ذ)تساوي الصفر، أي. F"س = 0, F" ص= 0، دعا نقطة ثابتةالمهام ض.

تسمى النقاط الثابتة والنقاط التي لا يوجد عندها مشتق جزئي واحد على الأقل نقاط حرجة.

في النقاط الحرجة، قد تكون الوظيفة أو لا يكون لها حد متطرف. إن مساواة المشتقات الجزئية بالصفر شرط ضروري ولكنه غير كاف لوجود الحد الأقصى. خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، الوظيفة ض = هو.بالنسبة لها، النقطة 0(0; 0) حاسمة (تتحول إلى الصفر). غير أن الوظيفة القصوى فيه ض = صلا يوجد بها، لأنه في حي صغير بما فيه الكفاية من النقطة O(0;0) توجد نقاط لها ض> 0 (نقاط الربعين الأول والثالث) و ض< 0 (نقاط الربعين الثاني والرابع).

وبالتالي، للعثور على الحدود القصوى للدالة في منطقة معينة، فمن الضروري إخضاع كل نقطة حرجة للدالة إلى بحث إضافي.

يتم العثور على النقاط الثابتة عن طريق حل نظام المعادلات

(الشروط الضرورية للأقصى).

النظام (1) يعادل معادلة واحدة د(س، ص)=0.بشكل عام، في أقصى نقطة ف(أ، ب)المهام و (س، ص)أو د(س، ص)=0، أو مدافع (أ، ب) غير موجود.

3°. الظروف الكافية للأقصى. يترك ف(أ;ب)- النقطة الثابتة للوظيفة F(س، ص)،أي. . د(أ، ب) = 0. ثم:

و إذا د2ف (أ، ب)< 0 ثم بعد F(أ، ب) هنالك أقصىالمهام F (س، ص);

ب) إذا d2f (أ، ب) > 0ثم بعد F(أ، ب)هنالك الحد الأدنىالمهام F (س، ص);

ج) إذا د2ف (أ، ب)علامة التغييرات، ثم F (أ، ب) ليس الحد الأقصى للوظيفة F (س، ص).

الشروط المعطاة تعادل ما يلي: دع و . دعونا نؤلف تمييزي Δ=AC -ب².

1) إذا كانت Δ > 0، فإن الدالة لها حد أقصى عند هذه النقطة ف(أ;ب)وهي الحد الأقصى إذا أ<0 (أو مع<0 ) والحد الأدنى إذا أ>0(أو ج>0);

2) إذا Δ< 0, то экстремума в точке ف(أ;ب)لا؛

3) إذا كانت Δ = 0، فإن مسألة وجود الحد الأقصى للدالة عند هذه النقطة ف(أ;ب)يبقى مفتوحًا (يتطلب مزيدًا من البحث).

4 درجات. حالة دالة متعددة المتغيرات. بالنسبة لدالة ذات ثلاثة متغيرات أو أكثر، تكون الشروط الضرورية لوجود الحد الأقصى مشابهة للشروط (1)، والشروط الكافية مشابهة للشروط أ)، ب)، ج) 3°.

مثال. فحص الوظيفة القصوى ض=x³+3xy²-15x-12y.

حل. لنجد المشتقات الجزئية وننشئ نظام المعادلات (1):

بحل النظام نحصل على أربع نقاط ثابتة:

دعونا نجد مشتقات الدرجة الثانية

وإنشاء التمييز Δ=AC - B²لكل نقطة ثابتة

1) للنقطة: , Δ=AC-B²=36-144<0 . وهذا يعني أنه لا يوجد حد أقصى عند هذه النقطة.

2) بالنسبة للنقطة P2: أ=12، ب=6، ج=12؛ Δ=144-36>0, أ>0. عند النقطة P2، يكون للوظيفة حد أدنى. هذا الحد الأدنى يساوي قيمة الدالة عند x=2, y=1: ​​​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) النقطة: أ= -6، ب=-12، ج= -6؛ Δ = 36-144<0 . ليس هناك المدقع.

4) بالنسبة للنقطة P 4: أ=-12، ب=-6، ج=-12؛ Δ=144-36>0. عند النقطة P4، يكون للدالة حد أقصى يساوي زماكس=-8-6+30+12=28.

5°. الحد الأقصى المشروط. في أبسط الحالات أقصى مشروطالمهام F(س، ص) هو الحد الأقصى أو الأدنى لهذه الوظيفة، ويتم تحقيقه بشرط أن تكون وسيطاتها مرتبطة بالمعادلة φ(س،ص)=0 (معادلة الاتصال). للعثور على الحد الأقصى الشرطي للدالة F(س، ص) في وجود علاقة φ(س،ص) = 0، تشكل ما يسمى وظيفة لاغرانج

F (س,ذ )=F (س,ي)+λφ (س,ذ)،

حيث  هو عامل ثابت غير محدد، ويتم البحث عن الحد الأقصى المعتاد لهذه الوظيفة المساعدة. يتم تقليل الشروط اللازمة لحدوث أقصى إلى نظام من ثلاث معادلات

مع ثلاثة مجهولين س، ص، αوالتي يمكن، بشكل عام، تحديد هذه المجهولات.

تم حل مسألة وجود وطبيعة الحد الأقصى الشرطي بناء على دراسة إشارة التفاضل الثاني لدالة لاغرانج

لنظام القيم قيد الاختبار س، ص، α، حصل من (٢) بشرط ذلك dxو دوالمرتبطة بالمعادلة

.

وهي الوظيفة F(س، ص) لديه حد أقصى مشروط إذا د²F< 0، والحد الأدنى المشروط إذا د²ف>0. على وجه الخصوص، إذا كان المميز Δ للدالة و(س،ص)موجبة عند نقطة ثابتة، عند هذه النقطة يوجد حد أقصى مشروط للدالة F(س، ص)، لو أ< 0 (أو مع< 0)، والحد الأدنى المشروط إذا أ> أو(أو ج>0).

وبالمثل، يتم العثور على الحد الأقصى الشرطي لدالة مكونة من ثلاثة متغيرات أو أكثر في وجود معادلة اتصال واحدة أو أكثر (ومع ذلك، يجب أن يكون عددها أقل من عدد المتغيرات). يتعين علينا هنا إدخال العديد من العوامل غير المؤكدة في دالة لاغرانج مثل معادلات الاقتران.

مثال. أوجد الحد الأقصى للدالة ض = 6-4س -3ذبشرط أن تكون المتغيرات Xو فيإرضاء المعادلة س²+ص²=1.

حل. هندسيًا، تكمن المشكلة في إيجاد القيم الأكبر والأصغر للتطبيق ضطائرة ض=6 - 4س - زولنقاط تقاطعها مع الاسطوانة س2+ص2=1.

تجميع وظيفة لاغرانج F(x,y)=6 -4x -3y+lect(x2+y2 -1).).

لدينا . الشروط اللازمة تعطي نظام المعادلات

الحل الذي نجد:

.

,

د²و =2λ (دي إكس²+دي²).

إذا و، ثم د²و> 0، وبالتالي، في هذه المرحلة، يكون للدالة حد أدنى شرطي. لو وثم د²F<0, وبالتالي، عند هذه النقطة، يكون للدالة قيمة عظمى مشروطة.

هكذا،

6°. أكبر وأصغر قيم الدالة.

دع الوظيفة ض =F (س ; ذ)محددة ومستمرة في منطقة مغلقة محدودة . ثم تصل إلى بعض النقاط أعظم الخاص بك موالأقل تالقيم (ما يسمى الحد الأقصى العالمي).يتم تحقيق هذه القيم عن طريق الدالة في نقاط تقع داخل المنطقة , أو في نقاط تقع على حدود المنطقة.