قبل إعطاء مفهوم منتج المتجه ، دعنا ننتقل إلى مسألة اتجاه الثلاثي المرتب من المتجهات a → ، b → ، c → في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

بادئ ذي بدء ، دعنا نضع المتجهات a → ، b → ، c → من نقطة واحدة. اتجاه الثلاثي a → ، b → ، c → يمينًا أو يسارًا ، اعتمادًا على اتجاه المتجه c →. من الاتجاه الذي يتم فيه أقصر دورة من المتجه a → إلى b → من نهاية المتجه c → ، سيتم تحديد شكل الثلاثي a → ، b → ، c →.

إذا كان أقصر دوران هو عكس اتجاه عقارب الساعة ، فسيتم استدعاء ثلاثية المتجهات a → ، b → ، c → الصحيحإذا في اتجاه عقارب الساعة - اليسار.

بعد ذلك ، خذ متجهين غير خطيين a → و b →. دعونا بعد ذلك نؤجل المتجهات A B → = a → و A C → = b → من النقطة A. دعونا نبني متجهًا A D → = c → ، وهو متعامد في نفس الوقت على كل من A B → و A C →. وبالتالي ، عند إنشاء المتجه A D → = c → ، يمكننا القيام بأمرين ، إما بإعطائه اتجاهًا واحدًا أو العكس (انظر الشكل التوضيحي).

يمكن أن يكون الثلاثي المرتب للمتجهات a → ، b → ، c → ، كما اكتشفنا ، يمينًا أو يسارًا اعتمادًا على اتجاه المتجه.

مما سبق ، يمكننا تقديم تعريف المنتج المتجه. يتم إعطاء هذا التعريف لمتجهين محددين في نظام إحداثيات مستطيل للفضاء ثلاثي الأبعاد.

التعريف 1

المنتج المتجه لمتجهين a → و b → سوف نسمي مثل هذا المتجه المعطى في نظام إحداثيات مستطيل للفضاء ثلاثي الأبعاد مثل:

• إذا كانت النواقل a → و b → متصلة ، فسيكون صفرًا ؛
• سيكون عموديًا على كل من المتجه a → والمتجه b → ie ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ؛
• يتم تحديد طوله بالصيغة: c → = a → b → sin ∠ a →، b →؛
• ثلاثية النواقل a → ، b → ، c → لها نفس اتجاه نظام الإحداثيات المحدد.

المنتج المتقاطع للمتجهات a → و b → له الترميز التالي: a → × b →.

عبر إحداثيات المنتج

نظرًا لأن أي متجه له إحداثيات معينة في نظام الإحداثيات ، فمن الممكن تقديم تعريف ثانٍ لحاصل الضرب التبادلي ، والذي سيسمح لك بالعثور على إحداثياته ​​من الإحداثيات المحددة للمتجهات.

التعريف 2

في نظام إحداثيات مستطيل من الفضاء ثلاثي الأبعاد منتج متجه لمتجهين a → = (أ س ؛ أ ص ؛ أ ض) و ب → = (ب س ؛ ب ص ؛ ب ض) استدعاء المتجه c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → ، حيث i → ، j → ، k → هي نواقل إحداثيات.

يمكن تمثيل حاصل الضرب المتجه كمحدد لمصفوفة مربعة من الدرجة الثالثة ، حيث يكون الصف الأول هو متجهات orta i → ، j → ، k → ، الصف الثاني يحتوي على إحداثيات المتجه a → ، والصف الثالث هي إحداثيات المتجه b → في نظام إحداثيات مستطيل معين ، يبدو محدد المصفوفة كالتالي: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

بتوسيع هذا المحدد على عناصر الصف الأول ، نحصل على المساواة: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → = = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

عبر خصائص المنتج

من المعروف أن منتج المتجه في الإحداثيات يتم تمثيله كمحدد للمصفوفة c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ، ثم على القاعدة خصائص محدد المصفوفةالأتى ناقلات خصائص المنتج:

1. anticommutativity a → × b → = - b → × a → ؛
2. التوزيعية a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → أو a → × b (1) → + b (2) → = a → × ب (1) → + أ → × ب (2) → ؛
3. الارتباط λ a → × b → = λ a → × b → أو a → × (λ b →) = λ a → × b → ، حيث λ هو رقم حقيقي تعسفي.

هذه الخصائص ليست لها براهين معقدة.

على سبيل المثال ، يمكننا إثبات الخاصية المضادة لمنتج متجه.

دليل على منع الحركة

بحكم التعريف ، a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z and b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. وإذا تم تبادل صفين من المصفوفة ، فيجب أن تتغير قيمة محدد المصفوفة إلى العكس ، لذلك ، a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a → ، والذي يثبت عدم قابلية التبادل للمنتج المتجه.

Vector Product - أمثلة وحلول

في معظم الحالات ، هناك ثلاثة أنواع من المهام.

في مسائل النوع الأول ، يتم تحديد أطوال متجهين والزاوية بينهما ، ولكن عليك إيجاد طول حاصل الضرب الاتجاهي. في هذه الحالة ، استخدم الصيغة التالية c → = a → b → sin ∠ a →، b →.

مثال 1

أوجد طول الضرب العرضي للمتجهات a → و b → إذا كان a → = 3 ، b → = 5 ، ∠ a → ، b → = π 4 معروف.

المحلول

باستخدام تعريف طول منتج المتجه للمتجهات a → و b → ، نحل هذه المشكلة: a → × b → = a → b → sin ∠ a → ، b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

إجابه: 15 2 2 .

المهام من النوع الثاني لها اتصال بإحداثيات المتجهات ، فهي تحتوي على منتج متجه ، وطوله ، وما إلى ذلك. يتم البحث عنها من خلال الإحداثيات المعروفة للمتجهات المعينة أ → = (أ س ؛ أ ص ؛ أ ض) و ب → = (ب س ؛ ب ص ؛ ب ض) .

بالنسبة لهذا النوع من المهام ، يمكنك حل الكثير من خيارات المهام. على سبيل المثال ، ليست إحداثيات المتجهات a → و b → ، ولكن توسعاتها في متجهات تنسيق النموذج b → = b x i → + b y j → + b z k → و c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → ، أو يمكن أن تكون المتجهات a → و b → من خلال إحداثيات نقطتي البداية والنهاية.

تأمل الأمثلة التالية.

مثال 2

يتم تعيين متجهين في نظام إحداثيات مستطيل a → = (2 ؛ 1 ؛ - 3) ، b → = (0 ؛ - 1 ؛ 1). ابحث عن منتجهم المتجه.

المحلول

من خلال التعريف الثاني ، نجد منتج المتجه لمتجهين في إحداثيات معينة: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) ك → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) أنا → + ((- 3) 0-2 1) ي → + (2 (- 1) - 1 0) ك → = = - 2 ط ← - 2 ي ← - 2 ك ←.

إذا كتبنا منتج المتجه من خلال محدد المصفوفة ، فسيكون حل هذا المثال كما يلي: a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1-3 0-1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

إجابه: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

مثال 3

أوجد طول الناتج المتقاطع للمتجهات i → - j → و i → + j → + k → ، حيث i → ، j → ، k → - orts من نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل.

المحلول

أولاً ، لنجد إحداثيات منتج المتجه المحدد i → - j → × i → + j → + k → في نظام إحداثيات المستطيل المحدد.

من المعروف أن المتجهات i → - j → و i → + j → + k → لها إحداثيات (1 ؛ - 1 ؛ 0) و (1 ؛ 1 ؛ 1) على التوالي. أوجد طول منتج المتجه باستخدام محدد المصفوفة ، ثم لدينا i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 ك →.

لذلك ، فإن منتج المتجه i → - j → × i → + j → + k → له إحداثيات (- 1 ؛ - 1 ؛ 2) في نظام الإحداثيات المحدد.

نجد طول منتج المتجه بالصيغة (انظر القسم الخاص بإيجاد طول المتجه): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

إجابه: i → - j → × i → + j → + k → = 6. .

مثال 4

إحداثيات النقاط الثلاث أ (1 ، 0 ، 1) ، ب (0 ، 2 ، 3) ، ج (1 ، 4 ، 2) معطاة بنظام إحداثيات ديكارتي مستطيل. ابحث عن متجه عمودي على ب ← و ج ← في نفس الوقت.

المحلول

المتجهات A B → و A C → لها الإحداثيات التالية (- 1 ؛ 2 ؛ 2) و (0 ؛ 4 ؛ 1) على التوالي. بعد العثور على منتج المتجه للمتجهات A B → و A C → ، من الواضح أنه متجه عمودي بالتعريف لكل من A B → و A C → ، أي أنه حل مشكلتنا. ابحث عنه A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.

إجابه: - 6 i → + j → - 4 k →. هو أحد النواقل العمودية.

تركز مشاكل النوع الثالث على استخدام خصائص المنتج المتجه للمتجهات. بعد التقديم ، سوف نحصل على حل للمشكلة المحددة.

مثال 5

المتجهان a → و b → عموديان وأطوالهما 3 و 4 على التوالي. أوجد طول الضرب العرضي 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 أ → × - 2 ب → + - ب → × أ → + - ب → × - 2 ب →.

المحلول

من خلال خاصية التوزيع لمنتج المتجه ، يمكننا كتابة 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

من خلال خاصية الارتباط ، نخرج المعاملات العددية التي تتجاوز علامة المنتجات المتجهة في التعبير الأخير: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 ب → = = 3 أ → × أ → + 3 (- 2) أ → × ب → + (- 1) ب → × أ → + (- 1) (- 2) ب → × ب → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

منتجات المتجه a → × a → و b → × b → تساوي 0 ، حيث أن a → × a → = a → a → sin 0 = 0 و b → × b → = b → b → sin 0 = 0 ، ثم 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →. .

من anticommutativity للمنتج المتجه يتبع - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b →. .

باستخدام خصائص منتج المتجه ، نحصل على المساواة 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b →.

حسب الشرط ، يكون المتجهان a → و b → عموديين ، أي أن الزاوية بينهما تساوي π 2. الآن يبقى فقط استبدال القيم الموجودة في الصيغ المقابلة: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a → ، b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

إجابه: 3 أ ← - ب ← × أ ← - 2 ب ← = 60.

طول الناتج المتقاطع للمتجهات حسب التعريف هو a → × b → = a → · b → · sin ∠ a →، b →. بما أنه معروف بالفعل (من مقرر المدرسة) أن مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب أطوال ضلعيه مضروبًا في جيب الزاوية بين هذين الضلعين. لذلك ، فإن طول منتج المتجه يساوي مساحة متوازي الأضلاع - مثلث مضاعف ، أي ناتج الجوانب في شكل متجهات a → و b → ، تم تسريحه من نقطة واحدة ، بواسطة الجيب للزاوية بينهما sin ∠ a →، b →.

هذا هو المعنى الهندسي للمنتج المتجه.

المعنى المادي للمنتج المتجه

في الميكانيكا ، أحد فروع الفيزياء ، بفضل حاصل الضرب الاتجاهي ، يمكنك تحديد لحظة القوة بالنسبة إلى نقطة في الفضاء.

التعريف 3

تحت لحظة القوة F → ، المطبقة على النقطة B ، بالنسبة للنقطة A ، سوف نفهم المنتج المتجه التالي A B → × F →.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

منتج مختلط من ثلاثة نواقل وخصائصه

منتج مختلطثلاثة نواقل تسمى عددًا يساوي. يعني . هنا يتم ضرب المتجهين الأولين بشكل متجه ثم يتم ضرب المتجه الناتج بشكل تدريجي في المتجه الثالث. من الواضح أن مثل هذا المنتج هو بعض الأرقام.

ضع في اعتبارك خصائص المنتج المختلط.

1. المعنى الهندسيمنتج مختلط. الناتج المختلط لـ 3 نواقل ، حتى علامة ، يساوي حجم خط الموازي المبني على هذه المتجهات ، كما هو الحال في الحواف ، أي .

   وهكذا و .

   

   دليل. دعونا نؤجل المتجهات من الأصل المشترك ونبني عليها خط متوازي. دعونا نشير ونلاحظ ذلك. من خلال تعريف المنتج العددي

   على افتراض ذلك والدلالة عليه حنجد ارتفاع خط الموازي.

   وهكذا ، في

   إذا ، ثم و. لذلك، .

   الجمع بين هاتين الحالتين ، نحصل على أو.

   من إثبات هذه الخاصية ، على وجه الخصوص ، يترتب على ذلك أنه إذا كانت النواقل الثلاثية صحيحة ، فعندئذ يكون المنتج المختلط ، وإذا ترك ، إذن.

2. لأي ناقلات ، المساواة

   يأتي إثبات هذه الخاصية من الخاصية 1. في الواقع ، من السهل إظهار ذلك و. علاوة على ذلك ، يتم أخذ علامتي "+" و "-" في وقت واحد ، لأن الزوايا بين المتجهات و و كلاهما حادة أو منفرجة.

3. عندما يتم تبادل أي عاملين ، يتم تسجيل تغييرات المنتج المختلط.

   في الواقع ، إذا أخذنا في الاعتبار المنتج المختلط ، فعلى سبيل المثال ، أو

4. منتج مختلط فقط إذا كان أحد العوامل يساوي صفرًا أو كانت المتجهات متحدة المستوى.

   دليل.

   وبالتالي ، فإن الشرط الضروري والكافي لتوافق 3 نواقل هو المساواة إلى الصفر في منتجهم المختلط. بالإضافة إلى ذلك ، يستنتج من ذلك أن ثلاثة نواقل تشكل أساسًا في الفضاء إذا.

   إذا تم تقديم المتجهات في شكل إحداثيات ، فيمكن إظهار أن منتجها المختلط تم العثور عليه من خلال الصيغة:

   .

   وبالتالي ، فإن الناتج المختلط يساوي محددًا من الدرجة الثالثة يحتوي سطره الأول على إحداثيات المتجه الأول ، ويحتوي السطر الثاني على إحداثيات المتجه الثاني ، ويحتوي السطر الثالث على إحداثيات المتجه الثالث.

   أمثلة.

الهندسة التحليلية في الفضاء

المعادلة و (س ، ص ، ض)= 0 يعرّف في الفضاء Oxyzبعض السطح ، أي موضع النقاط إحداثياتها س ، ص ، ضتفي بهذه المعادلة. هذه المعادلة تسمى معادلة السطح ، و س ، ص ، ض- الإحداثيات الحالية.

ومع ذلك ، غالبًا لا يتم تعريف السطح بمعادلة ، ولكن كمجموعة من النقاط في الفضاء التي لها خاصية أو أخرى. في هذه الحالة ، مطلوب إيجاد معادلة السطح بناءً على خصائصه الهندسية.

طائرة.

ناقل الطائرة العادي.

معادلة مرور الطائرة عبر نقطة معينة

ضع في اعتبارك طائرة عشوائية σ في الفضاء. يتم تحديد موضعه عن طريق تعيين متجه عمودي على هذا المستوى ، وبعض النقاط الثابتة م 0(× 0, ص 0, ض 0) الكذب في الطائرة σ.

يسمى المتجه العمودي على المستوى σ عاديناقلات هذه الطائرة. دع المتجه لديه إحداثيات.

نشتق معادلة المستوى σ المار بالنقطة المحددة م 0ووجود ناقل طبيعي. للقيام بذلك ، خذ نقطة عشوائية على المستوى σ م (س ، ص ، ض)والنظر في المتجه.

لأي نقطة مÎ σ متجه ، وبالتالي فإن حاصل ضربهم القياسي يساوي صفرًا. هذه المساواة هي الشرط أن النقطة مО σ. وهي صالحة لجميع نقاط هذه الطائرة وتنتهك بمجرد النقطة مسيكون خارج الطائرة σ.

إذا أشرنا إلى متجه نصف القطر ، فإن النقاط م، هو متجه نصف قطر النقطة م 0، ثم يمكن كتابة المعادلة كـ

هذه المعادلة تسمى المتجهمعادلة الطائرة. دعنا نكتبها في شكل تنسيق. منذ ذلك الحين

إذن ، حصلنا على معادلة المستوى الذي يمر عبر النقطة المحددة. وبالتالي ، من أجل تكوين معادلة المستوى ، تحتاج إلى معرفة إحداثيات المتجه العادي وإحداثيات نقطة ما ملقاة على المستوى.

لاحظ أن معادلة المستوى هي معادلة من الدرجة الأولى فيما يتعلق بالإحداثيات الحالية س ، صو ض.

أمثلة.

المعادلات العامة للطائرة

يمكن إثبات أن أي معادلة من الدرجة الأولى فيما يتعلق بالإحداثيات الديكارتية س ، ص ، ضهي معادلة مستوى ما. هذه المعادلة مكتوبة على النحو التالي:

الفأس + ب + تشيك + د=0

ودعا معادلة عامةالطائرة والإحداثيات أ ، ب ، جها هي إحداثيات المتجه العادي للطائرة.

دعونا ننظر في حالات معينة من المعادلة العامة. لنكتشف كيف يقع المستوى بالنسبة إلى نظام الإحداثيات إذا اختفى واحد أو أكثر من معاملات المعادلة.

A هو طول المقطع المقطوع بالمستوى على المحور ثور. وبالمثل ، يمكن للمرء أن يظهر ذلك بو جهي أطوال الأجزاء المقطوعة بواسطة المستوى المدروس على المحاور أويو أوز.

من الملائم استخدام معادلة المستوى في مقاطع لبناء الطائرات.

7.1 تعريف المنتج المتقاطع

ثلاثة نواقل غير متحد المستوى أ ، ب ، ج ، مأخوذة بالترتيب المشار إليه ، تشكل ثلاثية يمنى إذا كان من نهاية المتجه الثالث c أقصر انعطاف من المتجه الأول أ إلى المتجه الثاني ب يكون عكس اتجاه عقارب الساعة ، و أ اليسار إذا كان في اتجاه عقارب الساعة (انظر الشكل السادس عشر).

يسمى منتج المتجه للمتجه a والمتجه b المتجه c ، والذي:

1. عمودي على المتجهين أ وب ، أي ج ^ أ وج ^ ب؛

2. له طول يساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع المبنية على المتجهين a وبكما في الجوانب (انظر الشكل 17) ، أي

3. تشكل النواقل أ ، ب ، ج ثلاثية أيمن.

يتم الإشارة إلى منتج المتجه a x b أو [a، b]. من تعريف المنتج المتجه ، العلاقات التالية بين الأنواع التي أتبعها مباشرة ، يو ك(انظر الشكل 18):

أنا x j \ u003d k، j x k \ u003d i، k x i \ u003d j.
دعونا نثبت ذلك ، على سبيل المثالأنا xj \ u003d ك.

1) ك ^ ط ، ك ^ ي ؛

2) | ك | = 1 ، لكن | أنا x ي| = | أنا | | ي | الخطيئة (90 درجة) = 1 ؛

3) النواقل i و j و كتشكل ثلاثية أيمن (انظر الشكل 16).

7.2 عبر خصائص المنتج

1. عندما يتم إعادة ترتيب العوامل ، يتغير المنتج المتجه ، أي و xb \ u003d (ب xa) (انظر الشكل 19).

المتجهات a xb و b xa خطية ، ولها نفس الوحدات (تظل مساحة متوازي الأضلاع دون تغيير) ، ولكنها موجهة بشكل معاكس (ثلاثيات a و b و xb و a و b و b x a ذات الاتجاه المعاكس). هذا هو اكسب = -(بكسا).

2. المنتج المتجه له خاصية مركبة فيما يتعلق بعامل قياسي ، أي l (a xb) \ u003d (l a) x b \ u003d a x (l b).

دع l> 0. المتجه l (a xb) عمودي على المتجهين a و b. المتجه ( لفأس بعمودي أيضًا على المتجهين a و ب(ناقلات أ ، للكن استلقي في نفس الطائرة). لذا فإن النواقل ل(أ x ب) و ( لفأس بعلاقة خطية متداخلة. من الواضح أن اتجاهاتهم تتوافق. لها نفس الطول:

لذا ل(أ x ب) = لأ إكس ب. ثبت بالمثل ل ل<0.

3. متجهان غير صفريين أ و بتكون خطية متداخلة إذا وفقط إذا كان منتجها المتجه يساوي المتجه الصفري ، أي ، و || b<=>و xb \ u003d 0.

على وجه الخصوص ، i * i = j * j = k * k = 0.

4. للمنتج المتجه خاصية التوزيع:

(أ + ب) xs = a xs + ب XS.

تقبل بدون دليل.

7.3. عبر تعبير المنتج من حيث الإحداثيات

سوف نستخدم جدول الإنتاج المتجهي الأول ، يو ك:

إذا كان اتجاه أقصر مسار من المتجه الأول إلى الثاني يتزامن مع اتجاه السهم ، فإن المنتج يكون مساويًا للمتجه الثالث ، وإذا لم يتطابق ، يتم أخذ المتجه الثالث بعلامة ناقص.

دع المتجهين a = a x i + a y ي+ az كو ب = ب س أنا+ بواسطة ي+ ب ك. لنجد حاصل الضرب المتجه لهذه المتجهات بضربها في صورة كثيرات الحدود (وفقًا لخصائص منتج المتجه):

يمكن كتابة الصيغة الناتجة بشكل أقصر:

حيث أن الجانب الأيمن من المساواة (7.1) يتوافق مع توسيع محدد الدرجة الثالثة من حيث عناصر الصف الأول ، ومن السهل تذكر المساواة (7.2).

7.4. بعض تطبيقات المنتج المتقاطع

إنشاء علاقة خطية متداخلة من النواقل

إيجاد مساحة متوازي أضلاع ومثلث

وفقًا لتعريف المنتج العرضي للمتجهات أوب | a xb | =| أ | * | b | sin g ، ie S par = | a x b |. وبالتالي ، D S \ u003d 1/2 | a x b |.

تحديد لحظة القوة عند نقطة ما

دع القوة تطبق عند النقطة أ F = ABدعها تذهب ا- نقطة ما في الفضاء (انظر الشكل 20).

ومن المعروف من الفيزياء أن عزم الدوران F نسبة إلى هذه النقطة ايسمى المتجه مالذي يمر بالنقطة او:

1) عمودي على المستوى الذي يمر عبر النقاط س ، أ ، ب ؛

2) يساوي عدديًا ناتج القوة والذراع

3) تشكل ثلاثية صحيحة مع المتجهين OA و A B.

لذلك ، M \ u003d OA x F.

إيجاد السرعة الخطية للدوران

سرعة الخامسالنقطة M لجسم صلب يدور بسرعة زاوية ثحول محور ثابت ، يتم تحديدها بواسطة صيغة أويلر v \ u003d w x r ، حيث r \ u003d OM ، حيث O هي نقطة ثابتة من المحور (انظر الشكل 21).

في هذا الدرس ، سنلقي نظرة على عمليتين أخريين باستخدام المتجهات: عبر المنتج من النواقلو منتج مختلط من النواقل (رابط فوري لمن يحتاجها). لا بأس ، يحدث ذلك أحيانًا من أجل السعادة الكاملة ، بالإضافة إلى حاصل الضرب النقطي من النواقل، هناك حاجة إلى المزيد والمزيد. هذا هو إدمان النواقل. قد يكون لدى المرء انطباع بأننا ندخل إلى غابة الهندسة التحليلية. هذا ليس صحيحا. في هذا القسم من الرياضيات العليا ، يوجد القليل بشكل عام من الحطب ، ربما باستثناء ما يكفي لبينوكيو. في الواقع ، المادة شائعة جدًا وبسيطة - بالكاد تكون أكثر صعوبة من نفس المادة منتج عددي، حتى أنه سيكون هناك عدد أقل من المهام المعتادة. الشيء الرئيسي في الهندسة التحليلية ، كما سيرى الكثيرون أو رأوه بالفعل ، هو عدم الخطأ في الحسابات. كرر مثل التعويذة ، وستكون سعيدًا =)

إذا كانت المتجهات تتألق في مكان ما بعيدًا ، مثل البرق في الأفق ، فلا يهم ، ابدأ بالدرس ناقلات للدمىلاستعادة أو استعادة المعرفة الأساسية حول النواقل. يمكن للقراء الأكثر استعدادًا التعرف على المعلومات بشكل انتقائي ، وقد حاولت جمع أكثر مجموعة كاملة من الأمثلة التي غالبًا ما توجد في العمل العملي

ما الذي يجعلك سعيدا؟ عندما كنت صغيرًا ، كان بإمكاني التوفيق بين اثنين وحتى ثلاث كرات. عملت بشكل جيد. الآن ليست هناك حاجة للتوفيق على الإطلاق ، لأننا سننظر نواقل الفضاء فقط، والمتجهات المسطحة ذات الإحداثيين سيتم استبعادها. لماذا ا؟ هذه هي الطريقة التي ولدت بها هذه الإجراءات - يتم تعريف المتجه والمنتج المختلط للمتجهات ويعملان في مساحة ثلاثية الأبعاد. بالفعل أسهل!

في هذه العملية ، بنفس طريقة المنتج القياسي ، نواقل اثنين. فليكن رسائل لا تفسد.

العمل نفسه يعنيبالطريقة الآتية: . هناك خيارات أخرى ، لكنني معتاد على تحديد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات بهذه الطريقة ، بين قوسين مربعين مع تقاطع.

وعلى الفور سؤال: إذا كان في حاصل الضرب النقطي من النواقلمتجهان متورطان ، وهنا يتم أيضًا ضرب متجهين ، إذن ماهو الفرق؟ فرق واضح ، أولاً وقبل كل شيء ، في النتيجة:

نتيجة المنتج العددي للمتجهات هو رقم:

نتيجة حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات هو ناقل: ، أي أننا نضرب المتجهات ونحصل على متجه مرة أخرى. نادي مغلق. في الواقع ، ومن هنا جاء اسم العملية. في الأدبيات التعليمية المختلفة ، قد تختلف التسميات أيضًا ، سأستخدم الحرف.

تعريف المنتج المتقاطع

أولاً ، سيكون هناك تعريف بالصورة ، ثم التعليقات.

تعريف: المنتوج الوسيط غير متداخلةثلاثة أبعاد ، مأخوذة بهذا الترتيب، يسمى VECTOR ، الطولوهو عدديا يساوي مساحة متوازي الأضلاع، مبنية على هذه النواقل ؛ المتجه متعامد مع النواقل، ويتم توجيهها بحيث يكون للأساس التوجه الصحيح:

نحن نحلل التعريف بالعظام ، هناك الكثير من الأشياء المثيرة للاهتمام!

لذلك ، يمكننا إبراز النقاط المهمة التالية:

1) نواقل المصدر ، المشار إليها بأسهم حمراء ، حسب التعريف لا تربطه علاقة خطية متداخلة. سيكون من المناسب النظر في حالة النواقل الخطية بعد قليل.

2) النواقل المأخوذة بترتيب صارم: – يتم ضرب "a" بـ "be"، وليس "يكون" على "أ". نتيجة الضرب المتجههو VECTOR ، والذي يشار إليه باللون الأزرق. إذا تم ضرب المتجهات بترتيب عكسي ، فسنحصل على متجه متساوٍ في الطول ومعاكسًا في الاتجاه (لون قرمزي). هذا هو ، المساواة .

3) الآن دعنا نتعرف على المعنى الهندسي للمنتج المتجه. هذه نقطة مهمة جدا! طول المتجه الأزرق (وبالتالي ، المتجه القرمزي) يساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع المبنية على المتجهات. في الشكل ، متوازي الأضلاع هذا مظلل باللون الأسود.

ملحوظة : الرسم تخطيطي ، وبالطبع ، الطول الاسمي للمنتج المتقاطع لا يساوي مساحة متوازي الأضلاع.

نتذكر إحدى الصيغ الهندسية: مساحة متوازي الأضلاع تساوي حاصل ضرب الأضلاع المتجاورة وجيب الزاوية بينهما. لذلك ، بناءً على ما سبق ، فإن الصيغة الخاصة بحساب LENGTH لمنتج متجه صالحة:

أؤكد أنه في الصيغة نتحدث عن طول المتجه ، وليس عن المتجه نفسه. ما هو المعنى العملي؟ والمعنى هو أنه في مشاكل الهندسة التحليلية ، غالبًا ما يتم العثور على مساحة متوازي الأضلاع من خلال مفهوم المنتج المتجه:

نحصل على الصيغة الثانية المهمة. قطري متوازي الأضلاع (الخط الأحمر المنقط) يقسمه إلى مثلثين متساويين. لذلك ، يمكن إيجاد مساحة المثلث المبني على المتجهات (التظليل الأحمر) بالصيغة:

4) هناك حقيقة لا تقل أهمية وهي أن المتجه متعامد مع المتجهات ، أي . بالطبع ، المتجه الموجه عكسيا (السهم القرمزي) متعامد أيضًا مع المتجهات الأصلية.

5) يتم توجيه المتجه بحيث أساسلديها الصحيحاتجاه. في درس عن الانتقال إلى أساس جديدلقد تحدثت بالتفصيل عن اتجاه الطائرة، والآن سنكتشف ما هو اتجاه الفضاء. سأشرح على أصابعك اليد اليمنى. الجمع عقليا السبابةمع ناقل و الاصبع الوسطىمع ناقل. البنصر والإصبع الصغيراضغط في راحة يدك. نتيجة ل إبهام- سيبحث منتج المتجه. هذا هو الأساس الصحيح المنحى (موجود في الشكل). الآن قم بتبديل النواقل ( السبابة والأصابع الوسطى) في بعض الأماكن ، نتيجة لذلك ، سوف يستدير الإبهام ، وسوف ينظر منتج المتجه إلى الأسفل بالفعل. هذا هو أيضا أساس الحق المنحى. ربما لديك سؤال: ما هو الأساس الذي له التوجه الصحيح؟ "تعيين" نفس الأصابع اليد اليسرىالمتجهات ، والحصول على الأساس الأيسر واتجاه المساحة اليسرى (في هذه الحالة ، سيتم وضع الإبهام في اتجاه المتجه السفلي). من الناحية المجازية ، فإن هذه القواعد "تلف" أو توجه الفضاء في اتجاهات مختلفة. ولا ينبغي اعتبار هذا المفهوم شيئًا بعيد المنال أو مجردًا - على سبيل المثال ، تغير المرآة الأكثر شيوعًا اتجاه الفضاء ، وإذا قمت "بسحب الكائن المنعكس من المرآة" ، فلن يكون من الممكن بشكل عام ادمجه مع "الأصل". بالمناسبة ، أحضر ثلاثة أصابع إلى المرآة وحلل الانعكاس ؛-)

... ما مدى جودة ما تعرفه الآن يمينًا ويسارًا موجهًاالقواعد ، لأن أقوال بعض المحاضرين حول تغيير الاتجاه فظيعة =)

حاصل الضرب المتجه للناقلات الخطية

تم وضع التعريف بالتفصيل ، ويبقى معرفة ما يحدث عندما تكون المتجهات على خط واحد. إذا كانت المتجهات خطية ، فيمكن وضعها على خط مستقيم واحد ، كما يمكن أن "يطوي" متوازي الأضلاع في خط مستقيم واحد. مجال مثل هذا ، كما يقول علماء الرياضيات ، تتدهورمتوازي الأضلاع هو صفر. نفس الشيء يتبع من الصيغة - جيب صفر أو 180 درجة يساوي صفرًا ، مما يعني أن المنطقة تساوي صفرًا

وهكذا ، إذا ، إذن و . يرجى ملاحظة أن حاصل الضرب الاتجاهي نفسه يساوي المتجه الصفري ، ولكن من الناحية العملية يتم إهمال هذا غالبًا ويكتب أنه يساوي صفرًا أيضًا.

الحالة الخاصة هي المنتج المتجه للمتجه ونفسه:

باستخدام حاصل الضرب التبادلي ، يمكنك التحقق من العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات ثلاثية الأبعاد ، وسنقوم أيضًا بتحليل هذه المشكلة ، من بين أمور أخرى.

لحل الأمثلة العملية ، قد يكون ذلك ضروريًا الجدول المثلثيلإيجاد قيم الجيب منه.

حسنًا ، لنبدأ حريقًا:

مثال 1

أ) أوجد طول منتج المتجه للمتجهات إذا

ب) أوجد مساحة متوازي الأضلاع المبنية على المتجهات إذا

المحلول: لا ، هذا ليس خطأ إملائي ، لقد جعلت البيانات الأولية في عناصر الحالة كما هي. لأن تصميم الحلول سيكون مختلفًا!

أ) وفقًا للشرط ، يلزم البحث الطولناقلات (ناقل المنتج). وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابه:

نظرًا لسؤالنا عن الطول ، فإننا نشير في الإجابة إلى البعد - الوحدات.

ب) حسب الحالة ، يلزم البحث ميدانمتوازي الأضلاع مبني على المتجهات. مساحة متوازي الأضلاع هذا تساوي عدديًا طول الضرب الاتجاهي:

إجابه:

يرجى ملاحظة أنه في الإجابة حول منتج المتجه ، لا يوجد حديث على الإطلاق ، وقد سئلنا عنه منطقة الشكل، على التوالي ، البعد هو الوحدات المربعة.

نحن دائمًا ننظر إلى ما هو مطلوب توفره الحالة ، وبناءً على ذلك ، نقوم بصياغته صافيجواب. قد يبدو الأمر وكأنه حرفية ، ولكن هناك ما يكفي من الحرفيين بين المعلمين ، وستتم إعادة المهمة ذات الفرص الجيدة للمراجعة. على الرغم من أن هذا ليس أمرًا صعبًا بشكل خاص - إذا كانت الإجابة غير صحيحة ، فسيكون لدى المرء انطباع بأن الشخص لا يفهم الأشياء البسيطة و / أو لم يفهم جوهر المهمة. يجب دائمًا التحكم في هذه اللحظة ، وحل أي مشكلة في الرياضيات العليا ، وفي المواد الأخرى أيضًا.

أين ذهب الحرف الكبير "en"؟ من حيث المبدأ ، يمكن أن يكون عالقًا أيضًا في الحل ، لكن من أجل تقصير السجل ، لم أفعل. آمل أن يفهم الجميع ذلك ويتم تعيين نفس الشيء.

مثال شائع لحل افعل ذلك بنفسك:

مثال 2

أوجد مساحة المثلث المبني على المتجهات إذا

الصيغة الخاصة بإيجاد مساحة المثلث من خلال المنتج المتجه معطاة في التعليقات على التعريف. الحل والجواب في نهاية الدرس.

من الناحية العملية ، فإن المهمة شائعة جدًا حقًا ، ويمكن بشكل عام تعذيب المثلثات.

لحل المشاكل الأخرى ، نحتاج إلى:

خصائص حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات

لقد درسنا بالفعل بعض خصائص منتج المتجه ، ومع ذلك ، سأقوم بتضمينها في هذه القائمة.

بالنسبة إلى المتجهات التعسفية والرقم التعسفي ، فإن الخصائص التالية صحيحة:

1) في مصادر المعلومات الأخرى ، لا يتم تمييز هذا العنصر عادةً في الخصائص ، ولكنه مهم جدًا من الناحية العملية. لذا فليكن.

2) - تمت مناقشة العقار أيضًا أعلاه ، وأحيانًا يطلق عليه مضاد. بمعنى آخر ، ترتيب النواقل مهم.

3) - مزيج أو ترابطيناقلات قوانين المنتج. يتم إخراج الثوابت بسهولة من حدود منتج المتجه. حقا ، ماذا يفعلون هناك؟

4) - التوزيع أو توزيعناقلات قوانين المنتج. لا توجد مشاكل مع فتح الأقواس أيضًا.

كتوضيح ، ضع في اعتبارك مثالًا قصيرًا:

مثال 3

ابحث عما إذا كان

المحلول:حسب الشرط ، مطلوب مرة أخرى العثور على طول منتج المتجه. دعونا نرسم المنمنمات لدينا:

(1) وفقًا لقوانين الترابط ، نخرج الثوابت التي تتجاوز حدود منتج المتجه.

(2) نخرج الثابت من الوحدة النمطية ، بينما "تأكل" الوحدة النمطية علامة الطرح. لا يمكن أن يكون الطول سالبًا.

(3) ما يلي واضح.

إجابه:

حان وقت رمي ​​الحطب على النار:

مثال 4

احسب مساحة المثلث المبني على المتجهات إذا

المحلول: أوجد مساحة المثلث باستخدام الصيغة . العقبة هي أن المتجهين "ce" و "te" يتم تمثيلهما كمجموع من النواقل. الخوارزمية هنا قياسية وتذكرنا إلى حد ما بالأمثلة رقم 3 و 4 من الدرس. حاصل الضرب النقطي للناقلات. دعنا نقسمها إلى ثلاث خطوات للتوضيح:

1) في الخطوة الأولى ، نعبر عن المنتج المتجه من خلال منتج المتجه ، في الواقع ، التعبير عن المتجه من حيث المتجه. لا توجد كلمة مطولة حتى الآن!

(1) نحن نستبدل تعبيرات المتجهات.

(2) باستخدام قوانين التوزيع ، افتح الأقواس وفقًا لقاعدة ضرب كثيرات الحدود.

(3) باستخدام قوانين الترابط ، نحذف جميع الثوابت خارج حاصل الضرب المتجه. مع قليل من الخبرة ، يمكن تنفيذ الإجراءين 2 و 3 في وقت واحد.

(4) الحد الأول والأخير يساوي الصفر (متجه صفري) بسبب الخاصية الممتعة. في المصطلح الثاني ، نستخدم خاصية anticommutativity للمنتج المتجه:

(5) نقدم شروط مماثلة.

نتيجة لذلك ، تبين أن المتجه يتم التعبير عنه من خلال ناقل ، وهو ما كان مطلوبًا لتحقيقه:

2) في الخطوة الثانية ، نجد طول حاصل الضرب المتجه الذي نحتاجه. هذا الإجراء مشابه للمثال 3:

3) ابحث عن مساحة المثلث المطلوب:

يمكن ترتيب الخطوات 2-3 من الحل في سطر واحد.

إجابه:

المشكلة المدروسة شائعة جدًا في الاختبارات ، وهنا مثال على حل مستقل:

مثال 5

ابحث عما إذا كان

حل قصير والإجابة في نهاية الدرس. دعونا نرى مدى انتباهك عند دراسة الأمثلة السابقة ؛-)

حاصل ضرب المتجهات في الإحداثيات

الصيغة بسيطة حقًا: نكتب متجهات الإحداثيات في السطر العلوي للمحدد ، و "نحزم" إحداثيات المتجهات في السطر الثاني والثالث ، ونضع بترتيب صارم- أولاً ، إحداثيات المتجه "ve" ، ثم إحداثيات المتجه "double-ve". إذا كانت المتجهات بحاجة إلى الضرب بترتيب مختلف ، فيجب أيضًا تبديل السطور:

المثال 10

تحقق مما إذا كانت متجهات الفضاء التالية على خط واحد:
أ)
ب)

المحلول: يعتمد الاختبار على إحدى العبارات الواردة في هذا الدرس: إذا كانت المتجهات خطية ، فإن حاصل الضرب التبادلي هو صفر (متجه صفري): .

أ) ابحث عن منتج المتجه:

لذا فإن المتجهات ليست على علاقة خطية متداخلة.

ب) ابحث عن منتج المتجه:

إجابه: أ) غير خطية ، ب)

هنا ، ربما ، هي جميع المعلومات الأساسية حول المنتج المتجه للمتجهات.

لن يكون هذا القسم كبيرًا جدًا ، نظرًا لوجود عدد قليل من المشكلات حيث يتم استخدام المنتج المختلط من المتجهات. في الواقع ، كل شيء يعتمد على التعريف والمعنى الهندسي واثنين من صيغ العمل.

المنتج المختلط للناقلات هو نتاج ثلاثة نواقل:

هذه هي الطريقة التي يصطفون بها مثل القطار وينتظرون ، لا يمكنهم الانتظار حتى يتم حسابهم.

أولا مرة أخرى التعريف والصورة:

تعريف: منتج مختلط غير متحد المستوىثلاثة أبعاد ، مأخوذة بهذا الترتيب، يسمى حجم خط الموازي، مبني على هذه النواقل ، ومجهز بعلامة "+" إذا كان الأساس صحيحًا ، وعلامة "-" إذا كان الأساس متروكًا.

لنقم بالرسم. يتم رسم الخطوط غير المرئية بخط منقط:

دعنا نتعمق في التعريف:

2) النواقل المأخوذة بترتيب معين، أي أن تبديل النواقل في المنتج ، كما قد تتخيل ، لا يمر دون عواقب.

3) قبل التعليق على المعنى الهندسي ، سوف ألاحظ الحقيقة الواضحة: المنتج المختلط للناقلات هو رقم:. في الأدبيات التعليمية ، قد يكون التصميم مختلفًا نوعًا ما ، اعتدت تعيين منتج مختلط من خلاله ، ونتيجة الحسابات بالحرف "pe".

حسب التعريف المنتج المختلط هو حجم خط الموازي، مبني على نواقل (الشكل مرسوم بمتجهات حمراء وخطوط سوداء). أي أن الرقم يساوي حجم خط الموازي المحدد.

ملحوظة : الرسم تخطيطي.

4) دعونا لا نهتم مرة أخرى بمفهوم اتجاه الأساس والفضاء. معنى الجزء الأخير هو أنه يمكن إضافة علامة الطرح إلى المجلد. بعبارات بسيطة ، يمكن أن يكون المنتج المختلط سالبًا:.

صيغة حساب حجم خط متوازي مبني على المتجهات تتبع مباشرة من التعريف.

في هذه المقالة ، سوف نتناول مفهوم حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين. سنقدم التعريفات اللازمة ، ونكتب معادلة لإيجاد إحداثيات منتج متجه ، وسندرج خصائصه ونقوم بتبريرها. بعد ذلك ، سوف نتناول المعنى الهندسي للحاصل الضرب المتقاطع لمتجهين وننظر في حلول أمثلة نموذجية مختلفة.

التنقل في الصفحة.

تعريف منتج متجه.

قبل إعطاء تعريف لحاصل الضرب الاتجاهي ، دعنا نتعامل مع اتجاه ثلاثية مرتبة من المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

دعونا نؤجل المتجهات من نقطة واحدة. اعتمادًا على اتجاه المتجه ، يمكن أن يكون الثلاثي يمينًا أو يسارًا. لننظر من نهاية المتجه إلى كيفية دوران أقصر المتجه من المتجه إلى. إذا كان أقصر دوران في عكس اتجاه عقارب الساعة ، فسيتم استدعاء ثلاثية المتجهات الصحيح، غير ذلك - اليسار.

الآن لنأخذ متجهين غير خطيين و. ضع المتجهات جانباً ومن النقطة أ. دعونا نبني متجهًا متعامدًا على وفي نفس الوقت. من الواضح ، عند إنشاء متجه ، يمكننا القيام بأمرين ، بإعطائه إما اتجاه واحد أو عكس ذلك (انظر الشكل التوضيحي).

اعتمادًا على اتجاه المتجه ، يمكن أن تكون النواقل الثلاثية المرتبة يمينًا أو يسارًا.

لذلك اقتربنا من تعريف المنتج المتجه. يتم إعطاؤه لمتجهين معطى في نظام إحداثيات مستطيل للفضاء ثلاثي الأبعاد.

تعريف.

حاصل الضرب المتجه لاثنين من المتجهاتويعطى في نظام إحداثيات مستطيل للفضاء ثلاثي الأبعاد ، يسمى ناقل مثل هذا

حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات ويشار إليه على أنه.

إحداثيات المنتج المتجه.

نعطي الآن التعريف الثاني للمنتج المتجه ، والذي يسمح لنا بإيجاد إحداثياته ​​من إحداثيات المتجهات المعطاة و.

تعريف.

في نظام إحداثيات مستطيل من الفضاء ثلاثي الأبعاد حاصل ضرب اثنين من النواقل و هو متجه ، حيث توجد متجهات إحداثيات.

يعطينا هذا التعريف حاصل الضرب التبادلي في شكل تنسيق.

يتم تمثيل حاصل الضرب المتجه بشكل ملائم كمحدد لمصفوفة مربعة من الرتبة الثالثة ، الصف الأول منها هو orts ، والصف الثاني يحتوي على إحداثيات المتجه ، والصف الثالث يحتوي على إحداثيات المتجه في نظام إحداثيات مستطيل:

إذا قمنا بتوسيع هذا المحدد بواسطة عناصر الصف الأول ، نحصل على المساواة من تعريف المنتج المتجه في الإحداثيات (إذا لزم الأمر ، راجع المقالة):

وتجدر الإشارة إلى أن الشكل الإحداثي للمنتج المتقاطع يتوافق تمامًا مع التعريف الوارد في الفقرة الأولى من هذه المقالة. علاوة على ذلك ، فإن هذين التعريفين للمنتج المتقاطع متكافئان. يمكن العثور على دليل على هذه الحقيقة في الكتاب المشار إليه في نهاية المقال.

خصائص المنتج المتجه.

نظرًا لأنه يمكن تمثيل منتج المتجه في الإحداثيات كمحدد للمصفوفة ، يمكن إثبات ما يلي بسهولة على أساس ناقلات خصائص المنتج:

كمثال ، دعنا نثبت الخاصية المضادة لمنتج ناقل.

حسب التعريف و . نعلم أن قيمة محدد المصفوفة تنعكس عند تبديل صفين ، لذلك ، ، مما يثبت الخاصية المضادة لمنتج المتجه.

منتج المتجه - أمثلة وحلول.

هناك ثلاثة أنواع من المهام.

في مسائل النوع الأول ، يتم إعطاء أطوال متجهين والزاوية بينهما ، ومطلوب إيجاد طول حاصل الضرب الاتجاهي. في هذه الحالة ، يتم استخدام الصيغة .

مثال.

أوجد طول حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات وإذا كان معروفًا .

المحلول.

نعلم من التعريف أن طول حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات ويساوي حاصل ضرب أطوال المتجهات وضرب جيب الزاوية بينهما ، لذلك ، .

إجابه:

.

ترتبط مهام النوع الثاني بإحداثيات المتجهات ، حيث يتم البحث عن منتج المتجه أو طوله أو أي شيء آخر من خلال إحداثيات المتجهات المحددة و .

هناك العديد من الخيارات المختلفة المتاحة هنا. على سبيل المثال ، ليس إحداثيات المتجهات و لكن توسعاتها في متجهات إحداثيات للنموذج و ، أو المتجهات ويمكن تحديدها بواسطة إحداثيات نقطتي البداية والنهاية.

دعونا ننظر في الأمثلة النموذجية.

مثال.

يتم إعطاء متجهين في نظام إحداثيات مستطيل . ابحث عن منتجهم المتجه.

المحلول.

وفقًا للتعريف الثاني ، تتم كتابة الناتج المتقاطع لمتجهين في الإحداثيات على النحو التالي:

كنا سنصل إلى نفس النتيجة إذا كتبنا حاصل الضرب المتجه من خلال المحدد

إجابه:

.

مثال.

أوجد طول حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات وأين توجد أخطاء نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيلة.

المحلول.

أولاً ، أوجد إحداثيات حاصل الضرب المتجه في نظام إحداثيات مستطيل معين.

نظرًا لأن المتجهات ولديها إحداثيات وعلى التوالي (إذا لزم الأمر ، راجع إحداثيات المقالة للمتجه في نظام إحداثيات مستطيل) ، ثم من خلال التعريف الثاني للمنتج المتقاطع لدينا

هذا هو ، منتج المتجه لديه إحداثيات في نظام إحداثيات معين.

نجد طول منتج المتجه باعتباره الجذر التربيعي لمجموع مربعات إحداثياته ​​(حصلنا على هذه الصيغة لطول المتجه في القسم الخاص بإيجاد طول المتجه):

إجابه:

.

مثال.

يتم إعطاء إحداثيات النقاط الثلاث في نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل. ابحث عن متجه عمودي عليه وفي نفس الوقت.

المحلول.

المتجهات ولها إحداثيات و ، على التوالي (انظر المقالة التي تبحث عن إحداثيات متجه من خلال إحداثيات النقاط). إذا وجدنا حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات ، ومن ثم فهو متجه عموديًا على كل من وعليه ، أي أنه الحل لمشكلتنا. لنجده

إجابه:

هو أحد النواقل العمودية.

في مهام النوع الثالث ، يتم التحقق من مهارة استخدام خصائص المنتج المتجه للمتجهات. بعد تطبيق الخصائص ، يتم تطبيق الصيغ المقابلة.

مثال.

المتجهات والعمودية وأطوالها 3 و 4 على التوالي. أوجد طول حاصل الضرب المتجه .

المحلول.

من خلال خاصية التوزيع لمنتج المتجه ، يمكننا الكتابة

بحكم الخاصية الترابطية ، نخرج المعاملات العددية لعلامة المنتجات المتجهة في التعبير الأخير:

منتجات المتجهات وتساوي الصفر ، منذ ذلك الحين و ، ومن بعد .

بما أن منتج المتجه مضاد للتبديل ، إذن.

لذلك ، باستخدام خصائص المنتج المتجه ، وصلنا إلى المساواة .

حسب الشرط ، تكون المتجهات وعمودية ، أي أن الزاوية بينهما تساوي. أي ، لدينا جميع البيانات لإيجاد الطول المطلوب

إجابه:

.

المعنى الهندسي للمنتج المتجه.

بحكم التعريف ، فإن طول حاصل الضرب المتقاطع للمتجهات هو . ومن دورة الهندسة في المدرسة الثانوية ، نعلم أن مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب ضلعي المثلث وجيب الزاوية بينهما. لذلك ، فإن طول حاصل الضرب الاتجاهي يساوي ضعف مساحة المثلث بأضلاع المتجهات ، وإذا تم تأجيلها من نقطة واحدة. وبعبارة أخرى ، فإن طول حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات ويساوي مساحة متوازي الأضلاع مع الجوانب وتساوي الزاوية بينهما. هذا هو المعنى الهندسي للمنتج المتجه.