كيفية إضافة الكسور غير الصحيحة. الأفعال مع الكسور

الصفحة الرئيسية / حب

في هذا الدرس ، سوف ننظر في جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة. نحن نعلم بالفعل كيفية جمع وطرح الكسور المشتركة ذات المقامات المختلفة. للقيام بذلك ، يجب اختزال الكسور إلى مقام مشترك. اتضح أن الكسور الجبرية تتبع نفس القواعد. في الوقت نفسه ، نعرف بالفعل كيفية اختزال الكسور الجبرية إلى مقام مشترك. تعد عملية جمع وطرح الكسور ذات القواسم المختلفة من أهم وأصعب الموضوعات في مقرر الصف الثامن. علاوة على ذلك ، سيكون هذا الموضوع موجودًا في العديد من موضوعات دورة الجبر ، والتي ستدرسها في المستقبل. كجزء من الدرس ، سوف ندرس قواعد جمع وطرح الكسور الجبرية ذات القواسم المختلفة ، وكذلك تحليل عدد من الأمثلة النموذجية.

ضع في اعتبارك أبسط مثال للكسور العادية.

مثال 1أضف الكسور:.

قرار:

تذكر قاعدة جمع الكسور. بادئ ذي بدء ، يجب اختزال الكسور إلى مقام مشترك. المقام المشترك للكسور العادية هو أقل مضاعف مشترك(LCM) من المقامات الأصلية.

تعريف

أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على كل من الأرقام و.

لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر ، من الضروري تحليل المقامات إلى عوامل أولية ، ثم تحديد جميع العوامل الأولية التي تم تضمينها في توسيع كلا المقامين.

؛ . ثم يجب أن يشتمل المضاعف المشترك الأصغر للأرقام على 2s واثنين 3s:.

بعد إيجاد المقام المشترك ، من الضروري إيجاد عامل إضافي لكل كسر (في الواقع ، اقسم المقام المشترك على مقام الكسر المقابل).

ثم يتم ضرب كل كسر بالعامل الإضافي الناتج. نحصل على كسور لها نفس القواسم التي تعلمنا جمعها وطرحها في الدروس السابقة.

نحن نحصل: .

إجابه:.

ضع في اعتبارك الآن إضافة كسور جبرية ذات قواسم مختلفة. ضع في اعتبارك أولاً الكسور التي تكون مقاماتها أعدادًا.

مثال 2أضف الكسور:.

قرار:

خوارزمية الحل مشابهة تمامًا للمثال السابق. من السهل إيجاد قاسم مشترك لهذه الكسور: وعوامل إضافية لكل منها.

إجابه:.

لذلك دعونا نصيغ خوارزمية لجمع وطرح الكسور الجبرية ذات القواسم المختلفة:

1. أوجد أصغر مقام مشترك للكسور.

2. أوجد عوامل إضافية لكل من الكسور (بقسمة المقام المشترك على مقام هذا الكسر).

3. اضرب البسط في العوامل الإضافية المناسبة.

4. اجمع أو اطرح الكسور باستخدام قواعد جمع وطرح الكسور التي لها نفس المقامات.

فكر الآن في مثال يحتوي على كسور ، يوجد في مقامها تعبيرات حرفية.

مثال 3أضف الكسور:.

قرار:

نظرًا لأن التعبيرات الحرفية في كلا المقامين متطابقة ، يجب أن تجد مقامًا مشتركًا للأرقام. سيبدو المقام المشترك النهائي كما يلي:. إذن الحل لهذا المثال هو:

إجابه:.

مثال 4اطرح الكسور:.

قرار:

إذا لم تتمكن من "الغش" عند اختيار قاسم مشترك (لا يمكنك تحليله إلى عوامل أو استخدام صيغ الضرب المختصرة) ، فعليك أن تأخذ حاصل ضرب مقامات كلا الكسرين كمقام مشترك.

إجابه:.

بشكل عام ، عند حل مثل هذه الأمثلة ، فإن أصعب مهمة هي العثور على قاسم مشترك.

لنلق نظرة على مثال أكثر تعقيدًا.

مثال 5تبسيط: .

قرار:

عند إيجاد مقام مشترك ، يجب أن تحاول أولاً تحليل مقامات الكسور الأصلية (لتبسيط المقام المشترك).

في هذه الحالة بالذات:

ثم من السهل تحديد القاسم المشترك: .

نحدد عوامل إضافية ونحل هذا المثال:

إجابه:.

نصلح الآن قواعد جمع وطرح الكسور ذات القواسم المختلفة.

مثال 6تبسيط: .

قرار:

إجابه:.

مثال 7تبسيط: .

قرار:

إجابه:.

ضع في اعتبارك الآن مثالًا لا يتم فيه إضافة كسرين ، بل ثلاثة (بعد كل شيء ، تظل قواعد الجمع والطرح لمزيد من الكسور كما هي).

المثال 8تبسيط: .

ضع في اعتبارك أبسط مثال للكسور العادية.

مثال 1أضف الكسور:.

قرار:

تعريف

أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على كل من الأرقام و.

؛ . ثم يجب أن يشتمل المضاعف المشترك الأصغر للأرقام على 2s واثنين 3s:.

نحن نحصل: .

إجابه:.

ضع في اعتبارك الآن إضافة كسور جبرية ذات قواسم مختلفة. ضع في اعتبارك أولاً الكسور التي تكون مقاماتها أعدادًا.

مثال 2أضف الكسور:.

قرار:

خوارزمية الحل مشابهة تمامًا للمثال السابق. من السهل إيجاد قاسم مشترك لهذه الكسور: وعوامل إضافية لكل منها.

إجابه:.

لذلك دعونا نصيغ خوارزمية لجمع وطرح الكسور الجبرية ذات القواسم المختلفة:

1. أوجد أصغر مقام مشترك للكسور.

2. أوجد عوامل إضافية لكل من الكسور (بقسمة المقام المشترك على مقام هذا الكسر).

3. اضرب البسط في العوامل الإضافية المناسبة.

4. اجمع أو اطرح الكسور باستخدام قواعد جمع وطرح الكسور التي لها نفس المقامات.

فكر الآن في مثال يحتوي على كسور ، يوجد في مقامها تعبيرات حرفية.

مثال 3أضف الكسور:.

قرار:

إجابه:.

مثال 4اطرح الكسور:.

قرار:

إجابه:.

بشكل عام ، عند حل مثل هذه الأمثلة ، فإن أصعب مهمة هي العثور على قاسم مشترك.

لنلق نظرة على مثال أكثر تعقيدًا.

مثال 5تبسيط: .

قرار:

عند إيجاد مقام مشترك ، يجب أن تحاول أولاً تحليل مقامات الكسور الأصلية (لتبسيط المقام المشترك).

في هذه الحالة بالذات:

ثم من السهل تحديد القاسم المشترك: .

نحدد عوامل إضافية ونحل هذا المثال:

إجابه:.

نصلح الآن قواعد جمع وطرح الكسور ذات القواسم المختلفة.

مثال 6تبسيط: .

قرار:

إجابه:.

مثال 7تبسيط: .

قرار:

إجابه:.

المثال 8تبسيط: .

يصعب على الطفل فهم التعبيرات الكسرية. معظم الناس لديهم صعوبات مع. عند دراسة موضوع "إضافة الكسور ذات الأعداد الصحيحة" ، يقع الطفل في ذهول ، ويجد صعوبة في حل المهمة. في العديد من الأمثلة ، يجب إجراء سلسلة من العمليات الحسابية قبل تنفيذ أي إجراء. على سبيل المثال ، قم بتحويل الكسور أو تحويل كسر غير فعلي إلى كسر صحيح.

اشرح للطفل بوضوح. خذ ثلاثة تفاحات ، اثنتان منها ستكون كاملة ، والثالثة تقطع إلى أربعة أجزاء. افصلي شريحة واحدة من التفاحة المقطعة ، وضعي الثلاثة المتبقية بجانب ثمرتين كاملتين. نحصل على ¼ تفاحة على جانب و 2 على الجانب الآخر. إذا جمعناها ، نحصل على ثلاث تفاحات كاملة. دعنا نحاول تقليل 2 تفاحة بمقدار ، أي إزالة شريحة أخرى ، نحصل على 2 2/4 تفاحة.

دعنا نلقي نظرة فاحصة على الإجراءات ذات الكسور ، والتي تشمل الأعداد الصحيحة:

أولاً ، لنتذكر قاعدة الحساب للتعبيرات الكسرية ذات المقام المشترك:

للوهلة الأولى ، كل شيء سهل وبسيط. لكن هذا ينطبق فقط على التعبيرات التي لا تتطلب التحويل.

كيفية إيجاد قيمة تعبير يختلف فيه المقامان

في بعض المهام ، من الضروري إيجاد قيمة تعبير تختلف فيه القواسم. ضع في اعتبارك حالة معينة:
3 2/7+6 1/3

أوجد قيمة هذا المقدار ، لذلك نجد مقامًا مشتركًا لكسرين.

بالنسبة للعددين 7 و 3 ، هذا هو 21. نترك الأجزاء الصحيحة كما هي ، ونختزل الأجزاء الكسرية إلى 21 ، لذلك نضرب الكسر الأول في 3 ، والثاني في 7 ، نحصل على:
6/21 + 7/21 ، لا تنسوا أن الأجزاء الكاملة لا تخضع للتحويل. نتيجة لذلك ، نحصل على كسرين بمقام واحد ونحسب مجموعهما:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
ماذا لو كانت نتيجة الجمع كسرًا غير فعلي يحتوي بالفعل على جزء صحيح:
2 1/3+3 2/3
في هذه الحالة ، نجمع الأجزاء الصحيحة والأجزاء الكسرية ، نحصل على:
5 3/3 ، كما تعلم ، 3/3 واحد ، لذا 2 1/3 + 3 2/3 = 5 3/3 = 5 + 1 = 6

بإيجاد المجموع ، كل شيء واضح ، دعنا نحلل عملية الطرح:

ومن كل ما قيل ، فإن قاعدة العمليات على الأعداد الكسرية تتبعها ، وهو ما يبدو كالتالي:

إذا كان من الضروري طرح عدد صحيح من تعبير كسري ، فليس من الضروري تمثيل الرقم الثاني ككسر ، يكفي العمل فقط على أجزاء صحيحة.

دعنا نحاول حساب قيمة التعبيرات بأنفسنا:

دعنا نلقي نظرة فاحصة على المثال الموجود أسفل الحرف "م":

4 5 / 11-2 8/11 ، بسط الكسر الأول أصغر من الثاني. للقيام بذلك ، نأخذ عددًا صحيحًا واحدًا من الكسر الأول ، ونحصل على
3 5/11 + 11/11 = 3 كلها 16/11 ، اطرح الكسر الثاني من الكسر الأول:
3 16 / 11-2 8/11 = 1 كامل 8/11

كن حذرًا عند إكمال المهمة ، لا تنسَ تحويل الكسور غير الصحيحة إلى الكسور المختلطة ، مع إبراز الجزء بالكامل. للقيام بذلك ، من الضروري قسمة قيمة البسط على قيمة المقام ، ثم ما حدث يحل محل الجزء الصحيح ، والباقي سيكون البسط ، على سبيل المثال:

19/4 = 4 ¾ ، تحقق: 4 * 4 + 3 = 19 ، في المقام 4 يبقى دون تغيير.

لخص:

قبل الشروع في المهمة المتعلقة بالكسور ، من الضروري تحليل نوع التعبير ، والتحولات التي يجب إجراؤها على الكسر حتى يكون الحل صحيحًا. ابحث عن حلول أكثر عقلانية. لا تذهب بالطريقة الصعبة. خطط لجميع الإجراءات ، وحدد أولاً في نسخة مسودة ، ثم انقلها إلى دفتر ملاحظات المدرسة.

لتجنب الالتباس عند حل التعبيرات الكسرية ، من الضروري اتباع قاعدة التسلسل. قرر كل شيء بعناية ، دون التسرع.

تعتبر الرياضيات من أهم العلوم ، والتي يمكن رؤية تطبيقاتها في تخصصات مثل الكيمياء والفيزياء وحتى علم الأحياء. تتيح لك دراسة هذا العلم تطوير بعض الصفات العقلية وتحسين القدرة على التركيز. من الموضوعات التي تستحق اهتمامًا خاصًا في مقرر "الرياضيات" جمع وطرح الكسور. يجد العديد من الطلاب صعوبة في الدراسة. ربما تساعد مقالتنا في فهم هذا الموضوع بشكل أفضل.

كيفية طرح الكسور التي تكون مقاماتها متشابهة

الكسور هي نفس الأرقام التي يمكنك من خلالها تنفيذ إجراءات متنوعة. يكمن اختلافهم عن الأعداد الصحيحة في وجود المقام. هذا هو السبب عند تنفيذ الإجراءات باستخدام الكسور ، فأنت بحاجة إلى دراسة بعض ميزاتها وقواعدها. أبسط حالة هي طرح الكسور العادية ، حيث يتم تمثيل مقاماتها بنفس العدد. لن يكون من الصعب تنفيذ هذا الإجراء إذا كنت تعرف قاعدة بسيطة:

لطرح الكسر الثاني من واحد ، من الضروري طرح بسط الكسر المراد طرحه من بسط الكسر المختزل. نكتب هذا الرقم في بسط الفرق ، ونترك المقام كما هو: k / m - b / m = (k-b) / m.

أمثلة على طرح الكسور التي تكون مقاماتها متشابهة

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

من بسط الكسر المصغر "7" اطرح بسط الكسر المطروح "3" ، نحصل على "4". نكتب هذا الرقم في بسط الإجابة ، ونضع في المقام نفس العدد الذي كان في مقامي الكسرين الأول والثاني - "19".

توضح الصورة أدناه بعض الأمثلة الأخرى.

ضع في اعتبارك مثالًا أكثر تعقيدًا حيث يتم طرح الكسور التي لها نفس القواسم:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

من بسط الكسر المختزل "29" بطرح البسط بدوره لكل الكسور اللاحقة - "3" ، "8" ، "2" ، "7". نتيجة لذلك ، نحصل على النتيجة "9" ، التي نكتبها في بسط الإجابة ، وفي المقام نكتب الرقم الموجود في مقامات كل هذه الكسور - "47".

جمع الكسور ذات المقام نفسه

يتم جمع وطرح الكسور العادية وفقًا لنفس المبدأ.

لإضافة كسور لها نفس المقامات ، تحتاج إلى جمع البسط. الرقم الناتج هو بسط المجموع ، ويبقى المقام كما هو: ك / م + ب / م = (ك + ب) / م.

دعونا نرى كيف تبدو في مثال:

1/4 + 2/4 = 3/4.

إلى بسط الحد الأول من الكسر - "1" - نضيف بسط الحد الثاني من الكسر - "2". النتيجة - "3" - مكتوبة في بسط المبلغ ، ويبقى المقام كما كان موجودًا في الكسور - "4".

الكسور ذات المقامات المختلفة وطرحها

لقد درسنا بالفعل الإجراء مع الكسور التي لها نفس المقام. كما ترى ، بمعرفة القواعد البسيطة ، فإن حل مثل هذه الأمثلة سهل للغاية. ولكن ماذا لو احتجت إلى تنفيذ إجراء باستخدام كسور لها قواسم مختلفة؟ كثير من طلاب المدارس الثانوية مرتبكون من مثل هذه الأمثلة. لكن حتى هنا ، إذا كنت تعرف مبدأ الحل ، فلن تكون الأمثلة صعبة عليك بعد الآن. هناك أيضًا قاعدة هنا ، بدونها يكون حل هذه الكسور مستحيلًا.

لطرح الكسور ذات المقامات المختلفة ، يجب اختزالها إلى نفس المقام الأصغر.

سنتحدث بمزيد من التفصيل حول كيفية القيام بذلك.

خاصية الكسر

لتقليل العديد من الكسور إلى نفس المقام ، تحتاج إلى استخدام الخاصية الرئيسية للكسر في الحل: بعد قسمة أو ضرب البسط والمقام على نفس العدد ، تحصل على كسر يساوي الكسر المعطى.

لذلك ، على سبيل المثال ، يمكن أن يحتوي الكسر 2/3 على مقامات مثل "6" و "9" و "12" وما إلى ذلك ، أي أنه يمكن أن يبدو مثل أي رقم يكون من مضاعفات "3". بعد أن نضرب البسط والمقام في "2" ، نحصل على كسر قدره 4/6. بعد أن نضرب بسط الكسر الأصلي ومقامه في "3" ، نحصل على 6/9 ، وإذا قمنا بإجراء مماثل مع الرقم "4" ، نحصل على 8/12. في معادلة واحدة ، يمكن كتابة هذا على النحو التالي:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

كيفية إحضار الكسور المتعددة إلى نفس المقام

ضع في اعتبارك كيفية اختزال عدة كسور إلى نفس المقام. على سبيل المثال ، خذ الكسور الموضحة في الصورة أدناه. تحتاج أولاً إلى تحديد الرقم الذي يمكن أن يصبح المقام لكل منهم. لتسهيل الأمر ، دعنا نحلل القواسم المتاحة إلى عوامل.

لا يمكن تحليل مقام الكسر 1/2 والكسر 2/3. مقام 7/9 له عاملين 7/9 = 7 / (3 × 3) ، مقام الكسر 5/6 = 5 / (2 × 3). أنت الآن بحاجة إلى تحديد العوامل التي ستكون الأصغر لجميع هذه الكسور الأربعة. نظرًا لأن الكسر الأول يحتوي على الرقم "2" في المقام ، فهذا يعني أنه يجب أن يكون موجودًا في جميع القواسم ، في الكسر 7/9 هناك نوعان من ثلاثة أضعاف ، مما يعني أنه يجب أيضًا أن يكونا موجودين في المقام. بالنظر إلى ما سبق ، نحدد أن المقام يتكون من ثلاثة عوامل: 3 ، 2 ، 3 ويساوي 3 × 2 × 3 = 18.

اعتبر الكسر الأول - 1/2. يحتوي المقام على "2" ، ولكن لا يوجد "3" واحد ، ولكن يجب أن يكون هناك اثنان. للقيام بذلك ، نضرب المقام في ضعفين ، لكن وفقًا لخاصية الكسر ، يجب أن نضرب البسط في ثلاثة أضعاف:
1/2 = (1 × 3 × 3) / (2 × 3 × 3) = 9/18.

وبالمثل ، نقوم بتنفيذ الإجراءات مع الكسور المتبقية.

2/3 - واحد ثلاثة وواحد اثنان مفقودان في المقام:
2/3 = (2 × 3 × 2) / (3 × 3 × 2) = 12/18.
7/9 أو 7 / (3 × 3) - ينقص المقام اثنين:
7/9 = (7 × 2) / (9 × 2) = 14/18.
5/6 أو 5 / (2 × 3) - ينقص المقام على ثلاثية:
5/6 = (5 × 3) / (6 × 3) = 15/18.

كلهم يبدو مثل هذا:

كيفية طرح وجمع كسور ذات قواسم مختلفة

كما ذكرنا أعلاه ، من أجل جمع أو طرح الكسور ذات المقامات المختلفة ، يجب اختزالها إلى نفس المقام ، ثم استخدام قواعد طرح الكسور ذات المقام نفسه ، والتي تم وصفها بالفعل.

ضع في اعتبارك هذا بمثال: 4/18 - 3/15.

إيجاد مضاعفات 18 و 15:

الرقم 18 يتكون من 3 × 2 × 3.
الرقم 15 يتكون من 5 × 3.
يتكون المضاعف المشترك من العوامل التالية 5 × 3 × 3 × 2 = 90.

بعد إيجاد المقام ، من الضروري حساب العامل الذي سيكون مختلفًا لكل كسر ، أي الرقم الذي سيكون من الضروري فيه الضرب ليس فقط في المقام ، ولكن أيضًا في البسط. للقيام بذلك ، نقسم الرقم الذي وجدناه (المضاعف المشترك) على مقام الكسر الذي يجب تحديد عوامل إضافية له.

90 مقسومة على 15. الرقم الناتج "6" سيكون مضاعفًا لـ 3/15.
90 مقسومة على 18. الرقم الناتج "5" سيكون مضاعفًا لـ 4/18.

الخطوة التالية في الحل هي نقل كل كسر إلى المقام "90".

لقد ناقشنا بالفعل كيف يتم ذلك. دعونا نرى كيف كتب هذا في مثال:

(4 × 5) / (18 × 5) - (3 × 6) / (15 × 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

إذا كانت الكسور بأعداد صغيرة ، فيمكنك تحديد المقام المشترك ، كما في المثال الموضح في الصورة أدناه.

وبالمثل أنتجت ولها قواسم مختلفة.

الطرح ووجود عدد صحيح من الأجزاء

طرح الكسور وإضافتها ، سبق أن حللناها بالتفصيل. لكن كيف تطرح إذا كان الكسر يحتوي على جزء صحيح؟ مرة أخرى ، دعنا نستخدم بعض القواعد:

حول كل الكسور التي تحتوي على عدد صحيح إلى كسور غير صحيحة. بكلمات بسيطة ، قم بإزالة الجزء بالكامل. للقيام بذلك ، يتم ضرب رقم الجزء الصحيح في مقام الكسر ، ويتم إضافة المنتج الناتج إلى البسط. الرقم الذي سيتم الحصول عليه بعد هذه الإجراءات هو بسط الكسر غير الفعلي. يبقى المقام دون تغيير.
إذا كانت الكسور لها مقامات مختلفة ، فيجب اختزالها إلى نفس القواسم.
نفذ عمليات الجمع أو الطرح بنفس القواسم.
عند تلقي كسر غير فعلي ، حدد الجزء بالكامل.

هناك طريقة أخرى يمكنك من خلالها جمع وطرح الكسور ذات الأجزاء الصحيحة. لهذا ، يتم تنفيذ الإجراءات بشكل منفصل مع أجزاء صحيحة ، وبشكل منفصل مع الكسور ، ويتم تسجيل النتائج معًا.

يتكون المثال أعلاه من كسور لها نفس المقام. في حالة اختلاف المقامات ، يجب اختزالها إلى نفسها ، ثم اتباع الخطوات الموضحة في المثال.

طرح الكسور من عدد صحيح

من بين أنواع الإجراءات المختلفة مع الكسور الحالة التي يجب طرح الكسر فيها للوهلة الأولى ، يبدو من الصعب حل مثل هذا المثال. ومع ذلك ، كل شيء بسيط للغاية هنا. لحلها ، من الضروري تحويل عدد صحيح إلى كسر ، وبمثل هذا المقام ، الموجود في الكسر المراد طرحه. بعد ذلك ، نجري عملية طرح مشابهة للطرح بنفس القواسم. على سبيل المثال ، يبدو كالتالي:

7 - 4/9 = (7 × 9) / 9-4 / 9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

طرح الكسور الواردة في هذه المقالة (الدرجة 6) هو الأساس لحل أمثلة أكثر تعقيدًا ، والتي يتم أخذها في الاعتبار في الفئات اللاحقة. يتم استخدام المعرفة بهذا الموضوع لاحقًا لحل الوظائف والمشتقات وما إلى ذلك. لذلك ، من المهم جدًا فهم وفهم الإجراءات مع الكسور التي تمت مناقشتها أعلاه.

§ 87. جمع الكسور.

إضافة الكسور لها أوجه تشابه كثيرة مع جمع الأعداد الصحيحة. إضافة الكسور هي عملية تتكون من حقيقة أن العديد من الأرقام (المصطلحات) يتم دمجها في رقم واحد (مجموع) ، والذي يحتوي على جميع الوحدات وكسور وحدات المصطلحات.

سننظر في ثلاث حالات بدورها:

1. جمع كسور لها نفس القواسم.
2. جمع كسور ذات قواسم مختلفة.
3. جمع الأعداد الكسرية.

1. جمع كسور لها نفس القواسم.

فكر في مثال: 1/5 + 2/5.

خذ المقطع AB (الشكل 17) ، وخذها كوحدة وقسمها إلى 5 أجزاء متساوية ، ثم سيساوي الجزء AC من هذا المقطع 1/5 من المقطع AB ، والجزء من نفس المقطع CD سيساوي 2/5 AB.

يتضح من الرسم أنه إذا أخذنا المقطع AD ، فسيكون مساوياً لـ 3/5 AB ؛ لكن الجزء AD هو بالضبط مجموع المقاطع AC و CD. لذلك يمكننا أن نكتب:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

بالنظر إلى هذه المصطلحات والمبلغ الناتج ، نرى أنه تم الحصول على بسط المجموع عن طريق إضافة بسط المصطلحات ، وبقي المقام دون تغيير.

من هذا نحصل على القاعدة التالية: لإضافة كسور لها نفس المقامات ، يجب أن تجمع البسط وتترك نفس المقام.

فكر في مثال:

2. جمع كسور ذات قواسم مختلفة.

دعنا نجمع الكسور: 3/4 + 3/8 أولاً يجب اختزالها إلى القاسم المشترك الأصغر:

تعذر كتابة الرابط الوسيط 6/8 + 3/8 ؛ لقد كتبناه هنا لمزيد من الوضوح.

وبالتالي ، لإضافة كسور ذات مقامات مختلفة ، يجب عليك أولاً إحضارها إلى القاسم المشترك الأصغر ، وإضافة البسط والتوقيع على المقام المشترك.

فكر في مثال (سنكتب عوامل إضافية على الكسور المقابلة):

3. جمع الأعداد الكسرية.

لنجمع الأرقام: 2 3/8 + 3 5/6.

دعنا أولاً نحضر الأجزاء الكسرية من أعدادنا إلى مقام مشترك ونعيد كتابتها مرة أخرى:

الآن أضف العدد الصحيح والجزء الكسري بالتسلسل:

§ 88. طرح الكسور.

يتم تعريف طرح الكسور بنفس طريقة طرح الأعداد الصحيحة. هذا إجراء يتم من خلاله إيجاد مصطلح آخر ، بالنظر إلى مجموع حدين واحد منهما. لننظر في ثلاث حالات بدورها:

1. طرح الكسور من نفس القواسم.
2. طرح الكسور ذات القواسم المختلفة.
3. طرح الأعداد الكسرية.

1. طرح الكسور من نفس القواسم.

فكر في مثال:

13 / 15 - 4 / 15

لنأخذ المقطع AB (الشكل 18) ، ونأخذها كوحدة ونقسمها إلى 15 جزءًا متساويًا ؛ ثم سيكون الجزء AC من هذا المقطع 1/15 من AB ، وسيتوافق الجزء AD من نفس المقطع مع 13/15 AB. لنضع جانبًا مقطعًا آخر ED ، يساوي 4/15 AB.

علينا طرح 4/15 من 13/15. في الرسم ، هذا يعني أنه يجب طرح المقطع ED من المقطع AD. نتيجة لذلك ، سيبقى الجزء AE ، وهو 9/15 من المقطع AB. حتى نتمكن من كتابة:

يوضح المثال الذي قدمناه أنه تم الحصول على بسط الفرق بطرح البسط ، وبقي المقام كما هو.

لذلك ، لطرح الكسور ذات المقامات نفسها ، عليك طرح بسط المطروح من بسط المطروح وترك نفس المقام.

2. طرح الكسور ذات القواسم المختلفة.

مثال. 3/4 - 5/8

أولًا ، لنختصر هذه الكسور إلى أصغر مقام مشترك:

الرابط الوسيط 6/8 - 5/8 مكتوب هنا للتوضيح ، لكن يمكن تخطيه في المستقبل.

لذلك ، من أجل طرح كسر من كسر ، يجب عليك أولاً إحضاره إلى أصغر مقام مشترك ، ثم طرح بسط المطروح من بسط الحد الأدنى وتوقيع المقام المشترك تحت الفرق بينهما.

فكر في مثال:

3. طرح الأعداد الكسرية.

مثال. 10 3/4 - 7 2/3.

لنجلب الأجزاء الكسرية من المطروح والجزء الفرعي إلى القاسم المشترك الأصغر:

طرحنا الكل من الكل وكسرًا من كسر. ولكن هناك حالات يكون فيها الجزء الكسري من المطروح أكبر من الجزء الكسري من المطروح. في مثل هذه الحالات ، تحتاج إلى أخذ وحدة واحدة من الجزء الصحيح من الصغرى ، وتقسيمها إلى تلك الأجزاء التي يتم التعبير عن الجزء الكسري ، وإضافتها إلى الجزء الكسري من الصغرى. وبعد ذلك سيتم إجراء الطرح بنفس الطريقة كما في المثال السابق:

§ 89. ضرب الكسور.

عند دراسة ضرب الكسور ، سننظر في الأسئلة التالية:

1. ضرب الكسر في عدد صحيح.
2. إيجاد كسر من رقم معين.
3. ضرب عدد صحيح في كسر.
4. ضرب كسر في كسر.
5. ضرب الأعداد الكسرية.
6. مفهوم الفائدة.
7. إيجاد النسب المئوية لعدد معين. دعونا نعتبرها بالتسلسل.

1. ضرب الكسر في عدد صحيح.

ضرب الكسر في عدد صحيح له نفس معنى ضرب عدد صحيح في عدد صحيح. يعني ضرب الكسر (المضاعف) في عدد صحيح (المضاعف) تكوين مجموع المصطلحات المتطابقة ، حيث يكون كل مصطلح مساويًا للمضاعف ، وعدد المصطلحات يساوي المضاعف.

لذلك ، إذا كنت بحاجة إلى ضرب 1/9 في 7 ، فيمكن القيام بذلك على النحو التالي:

لقد حصلنا على النتيجة بسهولة ، حيث تم تقليل الإجراء إلى إضافة كسور لها نفس القواسم. لذلك،

يُظهر النظر في هذا الإجراء أن ضرب الكسر في عدد صحيح يعادل زيادة هذا الكسر عدة مرات حيث توجد وحدات في العدد الصحيح. وبما أن الزيادة في الكسر تتحقق إما بزيادة البسط

أو بإنقاص قاسمها ، إذن يمكننا إما ضرب البسط في العدد الصحيح ، أو قسمة المقام عليه ، إذا كان مثل هذا القسمة ممكنًا.

من هنا نحصل على القاعدة:

لضرب كسر في عدد صحيح ، تحتاج إلى ضرب البسط في هذا العدد الصحيح وترك نفس المقام أو ، إن أمكن ، قسمة المقام على هذا الرقم ، مع ترك البسط دون تغيير.

عند الضرب ، يمكن استخدام الاختصارات ، على سبيل المثال:

2. إيجاد كسر من رقم معين.هناك العديد من المشكلات التي يجب أن تجد فيها أو تحسب جزءًا من رقم معين. يتمثل الاختلاف بين هذه المهام والمهام الأخرى في أنها تعطي عددًا من العناصر أو وحدات القياس وتحتاج إلى العثور على جزء من هذا الرقم ، والذي يُشار إليه أيضًا هنا بكسر معين. لتسهيل الفهم ، سنقدم أولاً أمثلة على مثل هذه المشكلات ، ثم نقدم طريقة حلها.

مهمة 1.كان لدي 60 روبل. 1/3 من هذه الأموال التي أنفقتها على شراء الكتب. كم تكلفة الكتب؟

المهمة 2.يجب أن يقطع القطار المسافة بين المدينتين A و B تساوي 300 كم. لقد قطع بالفعل ثلثي تلك المسافة. كم كيلومتر هذا؟

المهمة 3.يوجد في القرية 400 منزل ، 3/4 منها من الآجر والباقي من الخشب. كم عدد المنازل المبنية من الطوب هناك؟

فيما يلي بعض المشكلات العديدة التي يتعين علينا التعامل معها لإيجاد كسر من رقم معين. يطلق عليهم عادة مشاكل لإيجاد كسر من رقم معين.

حل المشكلة 1.من 60 روبل. قضيت 1/3 على الكتب. لذا ، للعثور على تكلفة الكتب ، عليك قسمة الرقم 60 على 3:

حل المشكلة 2.معنى المشكلة أنك تحتاج إلى إيجاد 2/3 لمسافة 300 كم. احسب 1/3 الأول من 300 ؛ ويتحقق ذلك بقسمة 300 كيلومتر على 3:

300: 3 = 100 (أي 1/3 من 300).

لإيجاد ثلثي 300 ، تحتاج إلى مضاعفة حاصل القسمة الناتج ، أي الضرب في 2:

100 × 2 = 200 (أي 2/3 من 300).

حل المشكلة 3.هنا تحتاج إلى تحديد عدد المنازل المبنية من الطوب ، وهي 3/4 من 400. لنجد أولاً 1/4 من 400 ،

400: 4 = 100 (أي 1/4 من 400).

لحساب ثلاثة أرباع 400 ، يجب مضاعفة حاصل القسمة الناتج ثلاث مرات ، أي مضروبًا في 3:

100 × 3 = 300 (3/4 من 400).

بناءً على حل هذه المشكلات يمكننا استنباط القاعدة التالية:

لإيجاد قيمة كسر من رقم معين ، عليك قسمة هذا الرقم على مقام الكسر وضرب حاصل القسمة الناتج في البسط.

3. ضرب عدد صحيح في كسر.

في وقت سابق (§ 26) ، تم إثبات أن مضاعفة الأعداد الصحيحة يجب أن تُفهم على أنها إضافة مصطلحات متطابقة (5 × 4 \ u003d 5 + 5 + 5 + 5 \ u003d 20). في هذه الفقرة (الفقرة 1) ، تم التأكيد على أن ضرب الكسر في عدد صحيح يعني إيجاد مجموع المصطلحات المتطابقة التي تساوي هذا الكسر.

في كلتا الحالتين ، كان الضرب عبارة عن إيجاد مجموع المصطلحات المتطابقة.

ننتقل الآن إلى ضرب عدد صحيح في كسر. هنا سنلتقي بمثل هذا ، على سبيل المثال ، الضرب: 9 2/3. من الواضح تمامًا أن التعريف السابق للضرب لا ينطبق على هذه الحالة. يتضح هذا من حقيقة أنه لا يمكننا استبدال هذا الضرب بجمع أعداد متساوية.

لهذا السبب ، سيتعين علينا تقديم تعريف جديد للضرب ، أي بمعنى آخر ، للإجابة على السؤال حول ما يجب فهمه عن طريق الضرب في كسر ، وكيف ينبغي فهم هذا الإجراء.

معنى ضرب عدد صحيح في كسر واضح من التعريف التالي: إن ضرب عدد صحيح (مضاعف) بكسر (مضاعف) يعني إيجاد هذا الكسر من المضاعف.

أي أن ضرب 9 في 2/3 يعني إيجاد 2/3 من تسع وحدات. في الفقرة السابقة تم حل هذه المشاكل. لذلك من السهل معرفة أننا سنحصل على 6

ولكن الآن يطرح سؤال مهم ومثير للاهتمام: لماذا تسمى هذه الأفعال التي تبدو مختلفة مثل إيجاد مجموع الأعداد المتساوية وإيجاد كسر العدد بالكلمة نفسها "الضرب" في الحساب؟

يحدث هذا لأن الإجراء السابق (تكرار الرقم مع المصطلحات عدة مرات) والإجراء الجديد (إيجاد كسر الرقم) يعطي إجابة لأسئلة متجانسة. هذا يعني أننا ننطلق هنا من الاعتبارات القائلة بأن الأسئلة أو المهام المتجانسة يتم حلها من خلال نفس الإجراء.

لفهم هذا ، ضع في اعتبارك المشكلة التالية: "1 متر من القماش يكلف 50 روبل. كم ستكون تكلفة 4 متر من قطعة القماش هذه؟

يتم حل هذه المشكلة بضرب عدد الروبل (50) في عدد الأمتار (4) ، أي 50 × 4 = 200 (روبل).

لنأخذ نفس المشكلة ، ولكن سيتم التعبير عن كمية القماش في صورة عدد كسري: "1 متر من القماش يكلف 50 روبل. كم سيكلف 3/4 م من هذا القماش؟

يجب حل هذه المشكلة أيضًا بضرب عدد الروبل (50) في عدد الأمتار (3/4).

يمكنك أيضًا تغيير الأرقام الموجودة فيه عدة مرات دون تغيير معنى المشكلة ، على سبيل المثال ، خذ 9/10 م أو 2 3/10 م ، إلخ.

نظرًا لأن هذه المشكلات لها نفس المحتوى وتختلف فقط في الأرقام ، فإننا نطلق على الإجراءات المستخدمة في حلها نفس الكلمة - الضرب.

كيف يتم ضرب عدد صحيح في كسر؟

لنأخذ الأرقام التي تمت مواجهتها في المشكلة الأخيرة:

وفقًا للتعريف ، يجب أن نجد 3/4 من 50. أولاً نجد 1/4 من 50 ، ثم 3/4.

1/4 من 50 هي 50/4 ؛

3/4 من 50 هو.

لذلك.

تأمل في مثال آخر: 12 5/8 =؟

1/8 من 12 هي 12/8 ،

5/8 من العدد 12 هو.

لذلك،

من هنا نحصل على القاعدة:

لضرب عدد صحيح في كسر ، تحتاج إلى ضرب العدد الصحيح في بسط الكسر وجعل هذا المنتج هو البسط ، وتوقيع مقام الكسر المعطى كمقام.

نكتب هذه القاعدة باستخدام الحروف:

لتوضيح هذه القاعدة تمامًا ، يجب أن نتذكر أن الكسر يمكن اعتباره حاصل قسمة. لذلك ، من المفيد مقارنة القاعدة التي تم العثور عليها بقاعدة ضرب رقم في حاصل القسمة ، والتي تم تحديدها في الفقرة 38

يجب أن نتذكر أنه قبل إجراء الضرب ، يجب أن تفعل (إن أمكن) التخفيضات، علي سبيل المثال:

4. ضرب كسر في كسر.ضرب الكسر في كسر له نفس معنى ضرب عدد صحيح في كسر ، أي عند ضرب كسر في كسر ، عليك إيجاد الكسر في المضاعف من الكسر الأول (مضاعف).

أي أن ضرب 3/4 في 1/2 (نصف) يعني إيجاد نصف 3/4.

كيف تضرب كسرًا في كسر؟

لنأخذ مثالاً: 3/4 مرات 5/7. هذا يعني أنك بحاجة إلى إيجاد 5/7 من 3/4. أوجد أول 1/7 من 3/4 ثم 5/7

سيتم التعبير عن 1/7 من 3/4 على النحو التالي:

5/7 الأرقام 3/4 سيتم التعبير عنها على النحو التالي:

هكذا،

مثال آخر: 5/8 ضرب 4/9.

1/9 من 5/8 هو ،

4/9 أرقام 5/8 هي.

هكذا،

من هذه الأمثلة يمكن استنتاج القاعدة التالية:

لضرب كسر في كسر ، عليك أن تضرب البسط في البسط والمقام في المقام وتجعل حاصل الضرب الأول هو البسط والحاصل الثاني هو مقام حاصل الضرب.

يمكن كتابة هذه القاعدة بشكل عام على النحو التالي:

عند الضرب ، من الضروري إجراء تخفيضات (إن أمكن). خذ بعين الاعتبار الأمثلة:

5. ضرب الأعداد الكسرية.نظرًا لأنه يمكن بسهولة استبدال الأرقام المختلطة بكسور غير صحيحة ، يتم استخدام هذا الظرف عادةً عند ضرب الأعداد الكسرية. هذا يعني أنه في الحالات التي يتم فيها التعبير عن المضاعف أو المضاعف أو كلا العاملين كأرقام مختلطة ، يتم استبدالهم بكسور غير صحيحة. اضرب ، على سبيل المثال ، الأعداد الكسرية: 2 1/2 و 3 1/5. نحول كل منها إلى كسر غير فعلي ثم نضرب الكسور الناتجة وفقًا لقاعدة ضرب الكسر في كسر:

القاعدة.لضرب الأعداد الكسرية ، يجب أولاً تحويلها إلى كسور غير فعلية ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسر في الكسر.

ملحوظة.إذا كان أحد العوامل عددًا صحيحًا ، فيمكن إجراء الضرب بناءً على قانون التوزيع على النحو التالي:

6. مفهوم الفائدة.عند حل المسائل وإجراء العمليات الحسابية المختلفة ، نستخدم جميع أنواع الكسور. لكن يجب على المرء أن يضع في اعتباره أن العديد من الكميات لا تسمح بأي منها ، ولكن التقسيمات الفرعية الطبيعية لها. على سبيل المثال ، يمكنك أن تأخذ مائة (1/100) من الروبل ، فستكون بنسًا واحدًا ، ومئتان تساوي 2 كوبيل ، وثلاث مائة تساوي 3 كوبيل. يمكنك أن تأخذ 1/10 من الروبل ، سيكون "10 كوبيل ، أو عشرة سنتات. يمكنك أن تأخذ ربع الروبل ، أي 25 كوبيل ، نصف روبل ، أي 50 كوبيل (خمسون كوبيل). لكنهم لا يفعلون ذلك عمليًا. لنأخذ ، على سبيل المثال ، 2/7 روبل لأن الروبل لا يقسم إلى سبعة.

تسمح وحدة قياس الوزن ، أي الكيلوجرام ، أولاً وقبل كل شيء ، بالتقسيمات العشرية ، على سبيل المثال ، 1/10 كجم ، أو 100 جم. وكسور الكيلوغرام مثل 1/6 ، 1/11 ، 1 / 13 غير شائعة.

بشكل عام ، تكون مقاييسنا (المترية) عشرية وتسمح بالتقسيمات الفرعية العشرية.

ومع ذلك ، تجدر الإشارة إلى أنه من المفيد للغاية والملائم في مجموعة متنوعة من الحالات استخدام نفس الطريقة (الموحدة) لتقسيم الكميات. لقد أظهرت سنوات عديدة من الخبرة أن مثل هذا التقسيم المبرر هو تقسيم "المئات". لنأخذ في الاعتبار بعض الأمثلة المتعلقة بأكثر مجالات الممارسة البشرية تنوعًا.

1. انخفض سعر الكتب بنسبة 12/100 عن السعر السابق.

مثال. السعر السابق للكتاب 10 روبل. نزلت بمقدار 1 روبل. 20 كوب.

2. تقوم بنوك الادخار خلال العام بدفع 2/100 للمودعين من المبلغ المودع في المدخرات.

مثال. يتم وضع 500 روبل في مكتب النقدية ، والدخل من هذا المبلغ للسنة هو 10 روبل.

3. بلغ عدد خريجي مدرسة واحدة 5/100 من إجمالي عدد الطلاب.

مثال فقط 1200 طالب درسوا في المدرسة ، 60 منهم تخرجوا من المدرسة.

يُطلق على المائة من الرقم نسبة مئوية..

كلمة "بالمائة" مستعارة من اللغة اللاتينية وجذرها "سنت" يعني مائة. مع حرف الجر (pro centum) ، هذه الكلمة تعني "لمائة". يأتي معنى هذا التعبير من حقيقة أنه في البداية في روما القديمة كانت الفائدة هي الأموال التي يدفعها المدين للمُقرض "لكل مائة". يتم سماع كلمة "سنت" في مثل هذه الكلمات المألوفة: centner (مائة كيلوغرام) ، السنتيمتر (يقولون سم).

على سبيل المثال ، بدلاً من القول إن المصنع أنتج 1/100 من جميع المنتجات التي أنتجها خلال الشهر الماضي ، سنقول هذا: أنتج المصنع واحد بالمائة من المرفوضات خلال الشهر الماضي. فبدلاً من القول: أنتج المصنع 4/100 منتجًا أكثر من الخطة الموضوعة ، سنقول: المصنع تجاوز الخطة بنسبة 4 بالمائة.

يمكن التعبير عن الأمثلة المذكورة أعلاه بشكل مختلف:

1. انخفض سعر الكتب بنسبة 12 بالمائة عن السعر السابق.

2. تدفع بنوك الادخار للمودعين 2 في المائة سنويًا من المبلغ المدخرات.

3. بلغ عدد خريجي مدرسة واحدة 5 بالمائة من مجموع الطلاب في المدرسة.

لتقصير الحرف ، من المعتاد كتابة علامة٪ بدلاً من كلمة "نسبة مئوية".

ومع ذلك ، يجب أن نتذكر أن علامة النسبة المئوية لا تُكتب عادةً في الحسابات ، ويمكن كتابتها في بيان المشكلة وفي النتيجة النهائية. عند إجراء العمليات الحسابية ، تحتاج إلى كتابة كسر مقامه 100 بدلاً من كتابة عدد صحيح باستخدام هذه الأيقونة.

يجب أن تكون قادرًا على استبدال عدد صحيح بالأيقونة المحددة بكسر مقام 100:

بالمقابل ، يجب أن تعتاد على كتابة عدد صحيح بالأيقونة المشار إليها بدلاً من كسر مقامه 100:

7. إيجاد النسب المئوية لعدد معين.

مهمة 1.استقبلت المدرسة 200 متر مكعب. متر من الحطب ، مع حطب خشب البتولا الذي يمثل 30 ٪. كم كان خشب البتولا هناك؟

معنى هذه المشكلة هو أن حطب البتولا لم يكن سوى جزء من الحطب الذي تم تسليمه إلى المدرسة ، ويتم التعبير عن هذا الجزء كجزء من 30/100. إذن ، نحن نواجه مهمة إيجاد كسر من رقم. لحلها ، يجب أن نضرب 200 في 30/100 (تُحل مهام إيجاد كسر العدد بضرب رقم في كسر.).

إذن 30٪ من 200 يساوي 60.

يمكن تقليل الكسر 30/100 الذي تم العثور عليه في هذه المشكلة بمقدار 10. سيكون من الممكن إجراء هذا التخفيض من البداية ؛ لن يتغير حل المشكلة.

المهمة 2.كان هناك 300 طفل من مختلف الأعمار في المخيم. كان الأطفال في سن 11 عامًا 21٪ ، والأطفال بعمر 12 عامًا 61٪ وأخيراً 13 عامًا 18٪. كم عدد الأطفال من كل عمر في المخيم؟

في هذه المسألة ، تحتاج إلى إجراء ثلاث عمليات حسابية ، أي إيجاد عدد الأطفال الذين تبلغ أعمارهم 11 عامًا ، ثم 12 عامًا ، وأخيرًا 13 عامًا.

إذن ، من الضروري هنا إيجاد كسر للعدد ثلاث مرات. دعنا نقوم به:

1) كم يبلغ عدد الأطفال 11 سنة؟

2) كم يبلغ عدد الأطفال 12 سنة؟

3) كم يبلغ عدد الأطفال 13 سنة؟

بعد حل المشكلة ، من المفيد إضافة الأرقام الموجودة ؛ يجب أن يكون مجموعهم 300:

63 + 183 + 54 = 300

يجب أيضًا الانتباه إلى حقيقة أن مجموع النسب المئوية المعطاة في حالة المشكلة هو 100:

21% + 61% + 18% = 100%

هذا يشير إلى أن العدد الإجمالي للأطفال في المخيم قد تم اعتباره 100٪.

3 أ دا تشا 3.تلقى العامل 1200 روبل شهريًا. ومن بين هؤلاء ، أنفق 65٪ على الطعام ، و 6٪ على الشقة والتدفئة ، و 4٪ على الغاز والكهرباء والراديو ، و 10٪ على الاحتياجات الثقافية و 15٪ على الادخار. ما مقدار الأموال التي تم إنفاقها على الاحتياجات المشار إليها في المهمة؟

لحل هذه المسألة ، عليك إيجاد كسر من العدد 1200 5 مرات ، لنفعل ذلك.

1) ما مقدار المال الذي يتم إنفاقه على الطعام؟ تقول المهمة أن هذه المصروفات تمثل 65٪ من إجمالي الأرباح ، أي 65/100 من العدد 1200. لنقم بالحساب:

2) كم من المال تم دفعه لشقة مع تدفئة؟ بجدل مثل السابق ، توصلنا إلى الحساب التالي:

3) كم من المال دفعته مقابل الغاز والكهرباء والراديو؟

4) ما مقدار الأموال التي يتم إنفاقها على الاحتياجات الثقافية؟

5) كم من المال ادخر العامل؟

للتحقق ، من المفيد إضافة الأرقام الموجودة في هذه الأسئلة الخمسة. يجب أن يكون المبلغ 1200 روبل. يتم أخذ جميع الأرباح على أنها 100٪ ، وهو أمر يسهل التحقق منه عن طريق جمع النسب المئوية الواردة في بيان المشكلة.

لقد حللنا ثلاث مشاكل. على الرغم من حقيقة أن هذه المهام كانت تتعلق بأمور مختلفة (توصيل الحطب للمدرسة ، وعدد الأطفال من مختلف الأعمار ، ونفقات العامل) ، فقد تم حلها بنفس الطريقة. حدث هذا لأنه كان من الضروري في جميع المهام العثور على نسبة قليلة من الأرقام المحددة.

§ 90. تقسيم الكسور.

عند دراسة قسمة الكسور ، سننظر في الأسئلة التالية:

1. قسّم عددًا صحيحًا على عدد صحيح.
2. قسمة الكسر على عدد صحيح
3. قسمة عدد صحيح على كسر.
4. قسمة الكسر على كسر.
5. تقسيم الأعداد الكسرية.
6. إيجاد رقم بمعلومية كسره.
7. إيجاد رقم بنسبته المئوية.

دعونا نعتبرها بالتسلسل.

1. قسّم عددًا صحيحًا على عدد صحيح.

كما هو موضح في قسم الأعداد الصحيحة ، فإن القسمة هي الإجراء الذي يتكون من حقيقة أنه ، بالنظر إلى حاصل ضرب عاملين (المقسوم) وأحد هذه العوامل (المقسوم) ، تم العثور على عامل آخر.

قسمة عدد صحيح على عدد صحيح اعتبرناه في قسم الأعداد الصحيحة. التقينا هناك حالتين من الانقسام: قسمة بدون باقي ، أو "بالكامل" (150: 10 = 15) ، والقسمة مع الباقي (100: 9 = 11 و 1 في الباقي). لذلك يمكننا القول أنه في عالم الأعداد الصحيحة ، ليس من الممكن دائمًا القسمة الدقيقة ، لأن المقسوم ليس دائمًا حاصل ضرب المقسوم عليه والعدد الصحيح. بعد إدخال الضرب على الكسر ، يمكننا اعتبار أي حالة من حالات قسمة الأعداد الصحيحة قدر الإمكان (يتم استبعاد القسمة على الصفر فقط).

على سبيل المثال ، قسمة 7 على 12 تعني إيجاد عدد حاصل ضربه في 12 سيكون 7. هذا الرقم هو الكسر 7/12 لأن 12/7/7 = 7. مثال آخر: 14: 25 = 14/25 لأن 14/25 25 = 14.

وبالتالي ، لقسمة عدد صحيح على عدد صحيح ، تحتاج إلى عمل كسر ، بسطه يساوي المقسوم ، والمقام هو المقسوم عليه.

2. قسمة الكسر على عدد صحيح.

قسّم الكسر 6/7 على 3. وفقًا لتعريف القسمة الموضح أعلاه ، لدينا هنا المنتج (6/7) وأحد العوامل (3) ؛ مطلوب إيجاد عامل ثانٍ ، عند ضربه في 3 ، سيعطي المنتج المحدد 6/7. من الواضح أنه يجب أن يكون أصغر بثلاث مرات من هذا المنتج. هذا يعني أن المهمة التي أمامنا كانت تقليل الكسر 6/7 بمقدار 3 مرات.

نعلم بالفعل أنه يمكن تصغير الكسر إما بإنقاص البسط أو زيادة مقامه. لذلك يمكنك كتابة:

في هذه الحالة ، البسط 6 يقبل القسمة على 3 ، لذلك يجب تقليل البسط بمقدار 3 مرات.

لنأخذ مثالًا آخر: 5/8 مقسومًا على 2. هنا البسط 5 غير قابل للقسمة على 2 ، مما يعني أنه يجب ضرب المقام في هذا الرقم:

وبناء على ذلك يمكن أن نذكر القاعدة: لقسمة كسر على عدد صحيح ، تحتاج إلى قسمة بسط الكسر على هذا العدد الصحيح(اذا كان ممكنا)، مع ترك نفس المقام ، أو اضرب مقام الكسر في هذا العدد ، مع ترك نفس البسط.

3. قسمة عدد صحيح على كسر.

دعنا نطلب قسمة 5 على 1/2 ، أي العثور على رقم ، بعد الضرب في 1/2 ، سيعطي المنتج 5. من الواضح أن هذا الرقم يجب أن يكون أكبر من 5 ، لأن 1/2 هو كسر صحيح ، وعند ضرب رقم في كسر مناسب ، يجب أن يكون حاصل الضرب أقل من المضاعف. لتوضيح الأمر ، دعنا نكتب أفعالنا على النحو التالي: 5: 1/2 = X ، لذلك × 1/2 \ u003d 5.

يجب أن نجد مثل هذا الرقم X ، والتي ، عند ضربها في 1/2 ، تعطي 5. نظرًا لأن ضرب رقم معين في 1/2 يعني إيجاد 1/2 من هذا العدد ، إذن ، 1/2 من الرقم المجهول X هو 5 والعدد الصحيح X ضعف ذلك ، أي 5 2 \ u003d 10.

إذن ، 5: 1/2 = 5 2 = 10

دعونا تحقق:

لنفكر في مثال آخر. دعه يطلب قسمة 6 على 2/3. دعنا نحاول أولاً العثور على النتيجة المرجوة باستخدام الرسم (الشكل 19).

الشكل 19

ارسم قطعة AB ، تساوي 6 من بعض الوحدات ، وقسم كل وحدة إلى 3 أجزاء متساوية. في كل وحدة ، ثلاثة أثلاث (3/3) في المقطع AB بأكمله أكبر 6 مرات ، أي هـ. 18/3. نحن نتواصل بمساعدة أقواس صغيرة تم الحصول عليها 18 مقطعًا من 2 ؛ سيكون هناك 9 أجزاء فقط. هذا يعني أن الكسر 2/3 موجود في وحدات b 9 مرات ، أو بعبارة أخرى ، الكسر 2/3 أقل 9 مرات من 6 وحدات صحيحة. لذلك،

كيف تحصل على هذه النتيجة بدون رسم باستخدام الحسابات فقط؟ سنناقش على النحو التالي: مطلوب قسمة 6 على 2/3 ، أي مطلوب الإجابة على السؤال ، كم مرة يتم احتواء 2/3 في 6. دعنا نكتشف أولاً: كم مرة هو 1/3 الواردة في 6؟ في الوحدة الكاملة - 3 أثلاث ، وفي 6 وحدات - 6 مرات أكثر ، أي 18 ثلثًا ؛ لإيجاد هذا الرقم ، يجب أن نضرب 6 في 3. ومن ثم ، يتم احتواء 1/3 في وحدات b 18 مرة ، و 2/3 موجود في وحدات b ليس 18 مرة ، ولكن نصف عدد المرات ، أي 18: 2 = 9 . لذلك عند قسمة 6 على 2/3 قمنا بما يلي:

من هنا نحصل على قاعدة قسمة عدد صحيح على كسر. لقسمة عدد صحيح على كسر ، تحتاج إلى ضرب هذا العدد الصحيح في مقام الكسر المحدد ، وجعل هذا المنتج هو البسط ، وقسمته على بسط الكسر المحدد.

نكتب القاعدة بالحروف:

لتوضيح هذه القاعدة تمامًا ، يجب أن نتذكر أن الكسر يمكن اعتباره حاصل قسمة. لذلك ، من المفيد مقارنة القاعدة التي تم العثور عليها بقاعدة قسمة رقم على حاصل القسمة ، والتي تم تحديدها في الفقرة 38. لاحظ أنه تم الحصول على نفس الصيغة هناك.

عند القسمة ، يمكن استخدام الاختصارات ، على سبيل المثال:

4. قسمة الكسر على كسر.

دعه يطلب قسمة 3/4 على 3/8. ماذا سيشير إلى الرقم الذي سيتم الحصول عليه نتيجة القسمة؟ سوف يجيب على السؤال كم مرة يحتوي الكسر 3/8 في الكسر 3/4. لفهم هذه المشكلة ، دعنا نرسم (الشكل 20).

خذ المقطع AB ، واعتبره وحدة ، وقسمه إلى 4 أجزاء متساوية وحدد 3 أجزاء من هذا القبيل. سيساوي الجزء AC 3/4 الجزء AB. دعونا الآن نقسم كل جزء من الأجزاء الأربعة الأولية إلى نصفين ، ثم يتم تقسيم الجزء AB إلى 8 أجزاء متساوية وسيكون كل جزء مساويًا لـ 1/8 من المقطع AB. نقوم بتوصيل 3 مقاطع من هذا القبيل بأقواس ، ثم يكون كل جزء من المقاطع AD و DC مساوياً لـ 3/8 من المقطع AB. يوضح الرسم أن المقطع الذي يساوي 3/8 موجود في المقطع الذي يساوي 3/4 مرتين بالضبط ؛ لذلك يمكن كتابة نتيجة القسمة على النحو التالي:

3 / 4: 3 / 8 = 2

لنفكر في مثال آخر. فليطلب قسمة 15/16 على 3/32:

يمكننا أن نفكر على هذا النحو: نحتاج إلى إيجاد رقم ، بعد ضربه في 3/32 ، سيعطي حاصلًا يساوي 15/16. لنكتب الحسابات مثل هذا:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 رقم غير معروف X مكياج 15/16

32/1 رقم غير معروف X هو ،

32/32 رقمًا X ميك أب .

لذلك،

وهكذا ، لقسمة كسر على كسر ، تحتاج إلى ضرب بسط الكسر الأول في مقام الكسر الثاني ، وضرب مقام الكسر الأول في بسط الثاني ، وجعل حاصل الضرب الأول هو البسط والبسط. ثاني المقام.

دعنا نكتب القاعدة باستخدام الحروف:

عند القسمة ، يمكن استخدام الاختصارات ، على سبيل المثال:

5. تقسيم الأعداد الكسرية.

عند قسمة الأعداد الكسرية ، يجب أولاً تحويلها إلى كسور غير صحيحة ، ومن ثم يجب تقسيم الكسور الناتجة وفقًا لقواعد قسمة الأعداد الكسرية. فكر في مثال:

تحويل الأعداد الكسرية إلى كسور غير فعلية:

الآن دعنا نقسم:

وبالتالي ، لتقسيم الأعداد الكسرية ، تحتاج إلى تحويلها إلى كسور غير صحيحة ثم القسمة وفقًا لقاعدة قسمة الكسور.

6. إيجاد رقم بمعلومية كسره.

من بين المهام المختلفة على الكسور ، هناك أحيانًا تلك التي يتم فيها إعطاء قيمة جزء ما من رقم غير معروف ويكون مطلوبًا للعثور على هذا الرقم. هذا النوع من المسائل سيكون معكوسًا لمشكلة إيجاد كسر من رقم معين ؛ تم إعطاء رقم وكان مطلوبًا العثور على جزء من هذا الرقم ، هنا تم إعطاء كسر من الرقم ومطلوب لإيجاد هذا الرقم نفسه. ستصبح هذه الفكرة أكثر وضوحًا إذا لجأنا إلى حل هذا النوع من المشاكل.

مهمة 1.في اليوم الأول ، قامت الزجاجات بزجاج 50 نافذة ، أي 1/3 من جميع نوافذ المنزل المبني. كم عدد النوافذ في هذا المنزل؟

قرار.تشير المشكلة إلى أن 50 نافذة زجاجية تشكل ثلث جميع نوافذ المنزل ، مما يعني أن هناك نوافذ أكثر بثلاث مرات في المجموع ، أي

كان المنزل يحتوي على 150 نافذة.

المهمة 2.باع المحل 1500 كيلوغرام من الدقيق ، أي 3/8 من إجمالي مخزون الدقيق في المحل. ما هو العرض الأولي للدقيق من المتجر؟

قرار.يتضح من حالة المشكلة أن 1500 كجم من الدقيق المباع تشكل 3/8 من إجمالي المخزون ؛ هذا يعني أن 1/8 من هذا السهم سيكون أقل بثلاث مرات ، أي لحسابه ، تحتاج إلى تقليل 1500 بمقدار 3 مرات:

1500: 3 = 500 (أي 1/8 من المخزون).

من الواضح أن المخزون بالكامل سيكون أكبر بمقدار 8 مرات. لذلك،

500 8 = 4000 (كجم).

كان العرض الأولي للدقيق في المتجر 4000 كجم.

من خلال النظر في هذه المشكلة ، يمكن استنتاج القاعدة التالية.

لإيجاد رقم بقيمة معينة من كسره ، يكفي قسمة هذه القيمة على بسط الكسر وضرب الناتج في مقام الكسر.

حللنا مشكلتين لإيجاد عدد بمعلومية كسره. يتم حل مثل هذه المشكلات ، كما هو واضح بشكل خاص من المشكلة الأخيرة ، من خلال إجراءين: القسمة (عند العثور على جزء واحد) والضرب (عند العثور على العدد الصحيح).

ومع ذلك ، بعد أن درسنا قسمة الكسور ، يمكن حل المشكلات المذكورة أعلاه في إجراء واحد ، وهو: القسمة على كسر.

على سبيل المثال ، يمكن حل المهمة الأخيرة في إجراء واحد مثل هذا:

في المستقبل ، سنحل مشكلة إيجاد رقم بكسره في إجراء واحد - القسمة.

7. إيجاد رقم بنسبته المئوية.

في هذه المهام ، ستحتاج إلى العثور على رقم ، مع معرفة نسبة مئوية قليلة من هذا الرقم.

مهمة 1.في بداية هذا العام ، تلقيت 60 روبل من بنك التوفير. الدخل من المبلغ الذي أدخلته في المدخرات قبل عام. كم من المال وضعت في بنك التوفير؟ (تمنح المكاتب النقدية المودعين 2٪ من الدخل سنويًا).

معنى المشكلة هو أنني وضعت مبلغًا معينًا من المال في بنك ادخار وظل هناك لمدة عام. بعد عام ، تلقيت منها 60 روبل. الدخل ، وهو 2/100 من الأموال التي أضعها. كم من المال أودعت؟

لذلك ، بمعرفة جزء هذا المال ، معبراً عنه بطريقتين (بالروبل والكسور) ، يجب أن نجد المبلغ بالكامل ، غير المعروف حتى الآن. هذه مشكلة عادية لإيجاد رقم بمعلومية كسره. يتم حل المهام التالية عن طريق التقسيم:

لذلك ، تم وضع 3000 روبل في بنك الادخار.

المهمة 2.في أسبوعين حقق الصيادون الخطة الشهرية بنسبة 64٪ بعد أن أعدوا 512 طنًا من الأسماك. ماذا كانت خطتهم؟

من حالة المشكلة ، من المعروف أن الصيادين أكملوا جزءًا من المخطط. هذا الجزء يساوي 512 طن أي 64٪ من الخطة. كم أطنان من الأسماك يجب حصادها وفقًا للخطة ، لا نعرف. سيتكون حل المشكلة من إيجاد هذا الرقم.

يتم حل هذه المهام عن طريق قسمة:

لذلك ، وفقًا للخطة ، تحتاج إلى تحضير 800 طن من الأسماك.

المهمة 3.ذهب القطار من ريغا إلى موسكو. عندما تجاوز الكيلومتر 276 ، سأل أحد الركاب المحصل المار عن مقدار الرحلة التي قطعوها بالفعل. أجاب المحصل على ذلك: "لقد غطينا بالفعل 30٪ من الرحلة بأكملها." ما هي المسافة من ريغا الى موسكو؟

يتضح من حالة المشكلة أن 30٪ من الرحلة من ريغا إلى موسكو تبلغ 276 كم. نحتاج إلى إيجاد المسافة الكاملة بين هذه المدن ، أي في هذا الجزء ، أوجد الكل:

§ 91. الأعداد المتبادلة. استبدال القسمة بالضرب.

خذ الكسر 2/3 وأعد ترتيب البسط إلى مكان المقام ، نحصل على 3/2. حصلنا على كسر ، مقلوب هذا الكسر.

من أجل الحصول على مقلوب كسر لكسر ما ، عليك أن تضع بسطه مكان المقام ، والمقام مكان البسط. بهذه الطريقة ، يمكننا الحصول على كسر هو مقلوب أي كسر. علي سبيل المثال:

3/4 ، عكس 4/3 ؛ 5/6 ، عكس 6/5

يسمى كسران لهما خاصية أن بسط الأول هو مقام الثاني ومقام الأول هو بسط الثاني. متبادل معكوس.

لنفكر الآن في الكسر الذي سيكون مقلوب 1/2. من الواضح أنه سيكون 2/1 ، أو 2. عند البحث عن مقلوب هذا ، حصلنا على عدد صحيح. وهذه الحالة ليست معزولة. على العكس من ذلك ، بالنسبة لجميع الكسور ذات البسط 1 (واحد) ، سيكون المقلوب أعدادًا صحيحة ، على سبيل المثال:

1/3 ، معكوس 3 ؛ 1/5 ، عكس 5

نظرًا لأنه عند البحث عن التبادلات ، التقينا أيضًا بأعداد صحيحة ، في المستقبل لن نتحدث عن المعاملة بالمثل ، ولكن عن المعاملات بالمثل.

لنتعرف على كيفية كتابة مقلوب عدد صحيح. بالنسبة للكسور ، يتم حل ذلك ببساطة: تحتاج إلى وضع المقام في مكان البسط. بالطريقة نفسها ، يمكنك الحصول على مقلوب عدد صحيح ، لأن أي عدد صحيح يمكن أن يكون له مقام 1. لذا فإن مقلوب 7 سيكون 1/7 ، لأن 7 \ u003d 7/1 ؛ بالنسبة للرقم 10 ، يكون العكس هو 1/10 لأن 10 = 10/1

يمكن التعبير عن هذه الفكرة بطريقة أخرى: يتم الحصول على مقلوب رقم معين بقسمة واحد على الرقم المحدد. هذه العبارة صحيحة ليس فقط للأعداد الصحيحة ، ولكن أيضًا على الكسور. في الواقع ، إذا كنت تريد كتابة رقم مقلوب للكسر 5/9 ، فيمكننا أن نأخذ 1 ونقسمه على 5/9 ، أي

الآن دعنا نشير إلى واحد منشأهأرقام متبادلة متبادلة ، والتي ستكون مفيدة لنا: حاصل ضرب الأعداد المتبادلة يساوي واحدًا.بالفعل:

باستخدام هذه الخاصية ، يمكننا إيجاد المعادلات بالطريقة التالية. لنوجد مقلوب 8.

دعنا نشير إليها بالحرف X ، ثم 8 X = 1 ، وبالتالي X = 1/8. لنجد رقمًا آخر ، وهو معكوس 7/12 ، نشير إليه بحرف X ، ثم 7/12 X = 1 ، وبالتالي X = 1: 7/12 أو X = 12 / 7 .

قدمنا هنا مفهوم الأعداد المتبادلة من أجل استكمال المعلومات حول قسمة الكسور بشكل طفيف.

عندما نقسم الرقم 6 على 3/5 ، فإننا نقوم بما يلي:

انتبه بشكل خاص للتعبير وقارنه بالتعبير المعطى:.

إذا أخذنا التعبير بشكل منفصل ، دون الاتصال بالتعبير السابق ، فمن المستحيل حل السؤال من أين أتى: من قسمة 6 على 3/5 أو من ضرب 6 في 5/3. في كلتا الحالتين النتيجة واحدة. لذلك يمكننا القول أن قسمة رقم على آخر يمكن استبدالها بضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه.

الأمثلة التي نقدمها أدناه تؤكد تمامًا هذا الاستنتاج.

دعنا نلقي نظرة فاحصة على الإجراءات ذات الكسور ، والتي تشمل الأعداد الصحيحة:

كيفية إيجاد قيمة تعبير يختلف فيه المقامان

كيفية طرح الكسور التي تكون مقاماتها متشابهة

أمثلة على طرح الكسور التي تكون مقاماتها متشابهة

جمع الكسور ذات المقام نفسه

الكسور ذات المقامات المختلفة وطرحها

خاصية الكسر

كيفية إحضار الكسور المتعددة إلى نفس المقام

كيفية طرح وجمع كسور ذات قواسم مختلفة

الطرح ووجود عدد صحيح من الأجزاء

طرح الكسور من عدد صحيح

اختيار المحرر