مدرسة Kopyevskaya الثانوية الريفية

10 طرق لحل المعادلات التربيعية

الرأس: باتريكيفا غالينا أناتوليفنا ،

مدرس رياضيات

s.Kopyevo ، 2007

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتجميع وحل المعادلات التربيعية

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

1.4 المعادلات التربيعية في الخوارزمي

1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا القرنين الثالث عشر والسابع عشر

1.6 حول نظرية فييتا

2. طرق حل المعادلات التربيعية

استنتاج

المؤلفات

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

كانت الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى ، ولكن أيضًا من الدرجة الثانية في العصور القديمة بسبب الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مناطق الأرض وأعمال الحفر ذات الطبيعة العسكرية ، وكذلك تطوير علم الفلك و الرياضيات نفسها. كانت المعادلات التربيعية قادرة على حل حوالي 2000 قبل الميلاد. ه. البابليون.

بتطبيق تدوين جبري حديث ، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية توجد ، بالإضافة إلى النصوص غير المكتملة ، على سبيل المثال ، معادلات تربيعية كاملة:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

تتطابق قاعدة حل هذه المعادلات ، المنصوص عليها في النصوص البابلية ، بشكل أساسي مع القاعدة الحديثة ، لكن من غير المعروف كيف جاء البابليون إلى هذه القاعدة. تقريبًا كل النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن لا تقدم سوى مشاكل تتعلق بالحلول المذكورة في شكل وصفات ، مع عدم وجود إشارة إلى كيفية العثور عليها.

على الرغم من المستوى العالي لتطور علم الجبر في بابل ، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم الرقم السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتجميع وحل المعادلات التربيعية.

لا يحتوي حساب Diophantus 'الحسابي على عرض منهجي للجبر ، ولكنه يحتوي على سلسلة منهجية من المسائل ، مصحوبة بتفسيرات ويتم حلها عن طريق صياغة معادلات بدرجات مختلفة.

عند تجميع المعادلات ، يختار Diophantus بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

هنا ، على سبيل المثال ، هي إحدى مهامه.

المهمة 11."أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96"

يجادل Diophantus على النحو التالي: ينتج عن حالة المشكلة أن الأرقام المرغوبة ليست متساوية ، لأنه إذا كانت متساوية ، فإن منتجها لن يساوي 96 ، بل 100. وهكذا ، سيكون أحدهما أكثر من نصف مجموعهم ، أي. 10 + سوالآخر أصغر أي 10 قطع. الفرق بينهما 2x .

ومن هنا جاءت المعادلة:

(10 + س) (10 - س) = 96

100 - × 2 = 96

× 2-4 = 0 (1)

من هنا س = 2. أحد الأرقام المطلوبة هو 12 ، آخر 8 . المحلول س = -2لأن Diophantus غير موجود ، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف الأعداد الموجبة فقط.

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأرقام المرغوبة باعتباره المجهول ، فسنصل إلى حل المعادلة

ص (20 - ص) = 96 ،

ص 2 - 20 ص + 96 = 0. (2)

من الواضح أن Diophantus يبسط الحل باختيار نصف فرق الأرقام المرغوبة على أنها غير معروفة ؛ تمكن من تقليل المشكلة إلى حل معادلة تربيعية غير كاملة (1).

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

تم العثور بالفعل على مشاكل المعادلات التربيعية في المسالك الفلكية "Aryabhattam" ، التي جمعت في عام 499 من قبل عالم الرياضيات والفلك الهندي أرياباتا. حدد عالم هندي آخر ، Brahmagupta (القرن السابع) ، القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية التي تم تقليصها إلى شكل أساسي واحد:

آه 2+ ب س = ج ، أ> 0. (1)

في المعادلة (1) ، المعاملات ، باستثناء أ، يمكن أن تكون سلبية أيضًا. يتطابق حكم براهماغوبتا بشكل أساسي مع حكمنا.

في الهند القديمة ، كانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. في أحد الكتب الهندية القديمة ، قيل ما يلي عن مثل هذه المسابقات: "عندما تشرق الشمس على النجوم بتألقها ، فإن الشخص المتعلم سوف يتفوق على مجد آخر في الاجتماعات العامة ، ويقترح ويحل المسائل الجبرية." غالبًا ما كانت ترتدي المهام في شكل شعري.

إليكم إحدى مشكلات عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارا.

المهمة 13.

"قطيع مرح من القرود واثنا عشر في الكروم ...

بعد أن أكل السلطة ، استمتع. بدأوا في القفز ، معلقين ...

الجزء الثامن منهم في مربع كم عدد القردة هناك ،

يلهون في المرج. أخبرني ، في هذا القطيع؟

يشير حل باسكارا إلى أنه كان على علم بالقيمة الثنائية لجذور المعادلات التربيعية (الشكل 3).

المعادلة المقابلة للمسألة 13 هي:

( x /8) 2 + 12 = x

يكتب باسكارا تحت ستار:

× 2 - 64 × = -768

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى مربع ، يضيف إلى كلا الجانبين 32 2 ، ثم الحصول على:

× 2 - 64 × + 32 2 = -768 + 1024 ،

(س - 32) 2 = 256 ،

س - 32 = ± 16 ،

× 1 = 16 ، × 2 = 48.

1.4 المعادلات التربيعية في الخوارزمي

تعطي أطروحة الخورزمي الجبرية تصنيفًا للمعادلات الخطية والتربيعية. يسرد المؤلف 6 أنواع من المعادلات ، معربًا عنها على النحو التالي:

1) "المربعات تساوي الجذور" ، أي الفأس 2 + ج = ب X.

2) المربعات تساوي الرقم ، أي الفأس 2 = ق.

3) "الجذور تساوي العدد" ، أي آه = ق.

4) "المربعات والأرقام تساوي الجذور" ، أي الفأس 2 + ج = ب X.

5) "المربعات والجذور تساوي العدد" ، أي آه 2+ bx = ق.

6) "الجذور والأرقام تساوي المربعات" ، أي bx + ج \ u003d فأس 2.

بالنسبة للخوارزمي ، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة ، فإن مصطلحات كل من هذه المعادلات هي عمليات الجمع ، وليس الطرح. في هذه الحالة ، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول إيجابية لا تؤخذ في الاعتبار. يوجز المؤلف طرق حل هذه المعادلات باستخدام طريقتي الجبر والمقبلة. قراراته ، بالطبع ، لا تتوافق تمامًا مع قراراتنا. ناهيك عن حقيقة أنها بلاغية بحتة ، وتجدر الإشارة ، على سبيل المثال ، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير مكتملة من النوع الأول

الخورزمي ، مثله مثل جميع علماء الرياضيات قبل القرن السابع عشر ، لا يأخذ في الحسبان الحل الصفري ، ربما لأنه لا يهم في مشاكل عملية محددة. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة ، يحدد الخورزمي قواعد الحل ، ثم البراهين الهندسية ، باستخدام أمثلة عددية معينة.

المهمة 14."المربع والرقم 21 يساوي 10 جذور. ابحث عن الجذر " (بافتراض جذر المعادلة x 2 + 21 = 10x).

يتحول حل المؤلف إلى شيء كالتالي: اقسم عدد الجذور إلى النصف ، تحصل على 5 ، اضرب 5 في نفسه ، اطرح 21 من الناتج ، يتبقى 4. خذ جذر 4 ، تحصل على 2. اطرح 2 من 5 ، أنت الحصول على 3 ، سيكون هذا هو الجذر المطلوب. أو أضف 2 إلى 5 ، وهو ما يعطينا 7 ، فهذا أيضًا جذر.

تعتبر رسالة الخورزمي أول كتاب وصل إلينا ، حيث تم تحديد تصنيف المعادلات التربيعية بشكل منهجي وتقديم صيغ لحلها.

1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا الثالث عشر - السابع عشر قرون

تم وضع صيغ حل المعادلات التربيعية على نموذج الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في "كتاب العداد" ، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. يتميز هذا العمل الضخم ، الذي يعكس تأثير الرياضيات في كل من بلاد الإسلام واليونان القديمة ، بالاكتمال والوضوح في العرض. طور المؤلف بشكل مستقل بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان أول من اقترب من إدخال الأرقام السالبة في أوروبا. ساهم كتابه في انتشار المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا ، ولكن أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم تمرير العديد من المهام من "كتاب العداد" إلى جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر. وجزئيا الثامن عشر.

القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل أساسي واحد:

× 2+ bx = مع

لجميع التركيبات الممكنة لعلامات المعاملات ب , معتمت صياغته في أوروبا فقط في عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

لدى Vieta اشتقاق عام لصيغة حل المعادلة التربيعية ، لكن فييتا أدركت الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون Tartaglia و Cardano و Bombelli من بين الأوائل في القرن السادس عشر. ضع في اعتبارك ، بالإضافة إلى الجذور الإيجابية والسلبية. فقط في القرن السابع عشر. بفضل عمل جيرارد وديكارت ونيوتن وعلماء آخرين ، تأخذ طريقة حل المعادلات التربيعية نظرة حديثة.

1.6 حول نظرية فييتا

النظرية التي تعبر عن العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذورها ، التي تحمل اسم فيتا ، صاغها لأول مرة في عام 1591 على النحو التالي: "إذا ب + دمضروبا أ - أ 2 ، يساوي BD، ومن بعد أيساوي الخامسومتساو د ».

لفهم فييتا ، يجب على المرء أن يتذكر ذلك أ، مثل أي حرف علة ، يعني بالنسبة له المجهول (لدينا X)، حروف العلة الخامس، د- معاملات المجهول. في لغة الجبر الحديث ، فإن صياغة فييتا أعلاه تعني: إذا

(أ + ب ) س - س 2 = أب ,

× 2 - (أ + ب ) x + أ ب = 0,

س 1 = أ ، س 2 = ب .

للتعبير عن العلاقة بين جذور المعادلات ومعاملاتها بالصيغ العامة المكتوبة باستخدام الرموز ، أسس فيت التوحيد في طرق حل المعادلات. ومع ذلك ، فإن رمزية فييتا لا تزال بعيدة عن شكلها الحديث. لم يتعرف على الأرقام السالبة ، وبالتالي ، عند حل المعادلات ، لم يأخذ في الاعتبار سوى الحالات التي تكون فيها جميع الجذور موجبة.

2. طرق حل المعادلات التربيعية

المعادلات التربيعية هي الأساس الذي يقوم عليه صرح الجبر المهيب. تستخدم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في حل المعادلات المثلثية والأسية واللوغاريتمية وغير المنطقية والمتجاوزة. نعلم جميعًا كيفية حل المعادلات التربيعية من المدرسة (الصف الثامن) حتى التخرج.

في المجتمع الحديث ، يمكن أن تكون القدرة على العمل مع المعادلات التي تحتوي على متغير مربع مفيدة في العديد من مجالات النشاط وتستخدم على نطاق واسع في الممارسة في التطورات العلمية والتقنية. يمكن إثبات ذلك من خلال تصميم السفن البحرية والنهرية والطائرات والصواريخ. بمساعدة هذه الحسابات ، يتم تحديد مسارات حركة الأجسام المختلفة ، بما في ذلك الأجسام الفضائية. تستخدم أمثلة حل المعادلات التربيعية ليس فقط في التنبؤ الاقتصادي ، في تصميم المباني وتشييدها ، ولكن أيضًا في أكثر الظروف اليومية العادية. قد تكون هناك حاجة إليها في رحلات التخييم ، في الأحداث الرياضية ، في المتاجر عند التسوق وفي المواقف الأخرى الشائعة جدًا.

دعنا نقسم التعبير إلى عوامل مكونة

يتم تحديد درجة المعادلة من خلال الحد الأقصى لقيمة درجة المتغير التي يحتوي عليها التعبير المحدد. إذا كانت تساوي 2 ، فإن هذه المعادلة تسمى معادلة من الدرجة الثانية.

إذا تحدثنا بلغة الصيغ ، فإن هذه التعبيرات ، بغض النظر عن شكلها ، يمكن دائمًا إحضارها إلى النموذج عندما يتكون الجانب الأيسر من التعبير من ثلاثة مصطلحات. من بينها: ax 2 (أي متغير تربيع مع معامله) ، bx (مجهول بدون مربع بمعامله) و c (مكون مجاني ، أي رقم عادي). كل هذا على الجانب الأيمن يساوي 0. في حالة عدم احتواء كثير الحدود على أحد المصطلحات المكونة له ، باستثناء المحور 2 ، يطلق عليه معادلة تربيعية غير كاملة. ينبغي النظر أولاً في الأمثلة المتعلقة بحل مثل هذه المشكلات ، والتي لا يصعب العثور فيها على قيمة المتغيرات.

إذا بدا أن التعبير يحتوي على حدين في الجانب الأيمن من التعبير ، وبشكل أكثر دقة ax 2 و bx ، فمن الأسهل إيجاد x عن طريق وضع المتغير بين أقواس. ستبدو معادلتنا الآن على النحو التالي: x (ax + b). علاوة على ذلك ، يصبح من الواضح أن إما x = 0 ، أو يتم تقليل المشكلة لإيجاد متغير من التعبير التالي: ax + b = 0. هذا ما تمليه إحدى خصائص الضرب. تنص القاعدة على أن حاصل ضرب عاملين ينتج 0 فقط إذا كان أحدهما صفرًا.

مثال

س = 0 أو 8 س - 3 = 0

نتيجة لذلك ، حصلنا على جذرين للمعادلة: 0 و 0.375.

يمكن أن تصف المعادلات من هذا النوع حركة الأجسام تحت تأثير الجاذبية ، والتي بدأت تتحرك من نقطة معينة ، باعتبارها الأصل. هنا يأخذ الرمز الرياضي الشكل التالي: y = v 0 t + gt 2/2. من خلال استبدال القيم الضرورية ، معادلة الجانب الأيمن بالصفر وإيجاد المجهول المحتمل ، يمكنك معرفة الوقت المنقضي من لحظة صعود الجسم إلى لحظة سقوطه ، بالإضافة إلى العديد من الكميات الأخرى. لكن سنتحدث عن هذا لاحقًا.

تحليل التعبير

القاعدة الموصوفة أعلاه تجعل من الممكن حل هذه المشاكل في حالات أكثر تعقيدًا. ضع في اعتبارك أمثلة لحل المعادلات التربيعية من هذا النوع.

X2 - 33x + 200 = 0

اكتمل هذا المربع ثلاثي الحدود. أولاً ، نقوم بتحويل التعبير وتفكيكه إلى عوامل. يوجد اثنان منهم: (x-8) و (x-25) = 0. ونتيجة لذلك ، لدينا جذرين 8 و 25.

تسمح أمثلة حل المعادلات التربيعية في الصف 9 لهذه الطريقة بإيجاد متغير في التعبيرات ليس فقط من الرتب الثانية ، بل حتى في الرتبتين الثالثة والرابعة.

على سبيل المثال: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. عند تحليل الجانب الأيمن إلى عوامل ذات متغير ، هناك ثلاثة منهم ، وهي (x + 1) و (x-3) و (x + 3).

نتيجة لذلك ، يتضح أن هذه المعادلة لها ثلاثة جذور: -3؛ -واحد؛ 3.

استخراج الجذر التربيعي

حالة أخرى من معادلة الدرجة الثانية غير المكتملة هي تعبير مكتوب بلغة الحروف بطريقة يتم فيها بناء الجانب الأيمن من المكونين ax 2 و c. هنا للحصول على قيمة المتغير يتم نقل المصطلح الحر إلى الجانب الأيمن ، وبعد ذلك يتم استخراج الجذر التربيعي من طرفي المساواة. وتجدر الإشارة إلى أنه في هذه الحالة عادة ما يكون هناك جذران للمعادلة. الاستثناءات الوحيدة هي المساواة التي لا تحتوي على المصطلح c على الإطلاق ، حيث المتغير يساوي صفرًا ، وكذلك متغيرات التعبيرات عندما يكون الجانب الأيمن سالبًا. في الحالة الأخيرة ، لا توجد حلول على الإطلاق ، حيث لا يمكن تنفيذ الإجراءات المذكورة أعلاه بالجذور. ينبغي النظر في أمثلة على حلول المعادلات التربيعية من هذا النوع.

في هذه الحالة ، ستكون جذور المعادلة هي العددين -4 و 4.

حساب مساحة الارض

ظهرت الحاجة إلى هذا النوع من الحسابات في العصور القديمة ، لأن تطور الرياضيات في تلك الأوقات البعيدة كان يرجع إلى حد كبير إلى الحاجة إلى تحديد مناطق ومحيط قطع الأراضي بأكبر قدر من الدقة.

يجب أن ننظر أيضًا في أمثلة لحل المعادلات التربيعية التي تم تجميعها على أساس مشاكل من هذا النوع.

لنفترض أن هناك قطعة أرض مستطيلة يزيد عرضها بمقدار 16 مترًا. يجب إيجاد طول وعرض ومحيط الموقع إذا علم أن مساحته 612 م 2.

لنبدأ العمل ، في البداية سنقوم بعمل المعادلة اللازمة. دعنا نشير إلى عرض القسم على أنه x ، فسيكون طوله (x + 16). يستنتج مما كتب أن المنطقة تحدد بالتعبير x (x + 16) ، والذي ، وفقًا لحالة مشكلتنا ، هو 612. وهذا يعني أن x (x + 16) \ u003d 612.

لا يمكن حل المعادلات التربيعية الكاملة ، وهذا التعبير فقط ، بالطريقة نفسها. لماذا ا؟ على الرغم من أن الجانب الأيسر منه لا يزال يحتوي على عاملين ، إلا أن ناتجهما ليس صفرًا على الإطلاق ، لذلك يتم استخدام طرق أخرى هنا.

مميز

بادئ ذي بدء ، سنجري التحولات اللازمة ، ثم سيبدو ظهور هذا التعبير كما يلي: x 2 + 16x - 612 = 0. هذا يعني أننا تلقينا تعبيرًا في النموذج المقابل للمعيار المحدد مسبقًا ، حيث أ = 1 ، ب = 16 ، ج = -612.

يمكن أن يكون هذا مثالًا على حل المعادلات التربيعية من خلال المميز. هنا يتم إجراء الحسابات اللازمة وفقًا للمخطط: D = b 2 - 4ac. لا تتيح هذه القيمة المساعدة العثور على القيم المرغوبة في معادلة الدرجة الثانية فحسب ، بل إنها تحدد عدد الخيارات الممكنة. في حالة D> 0 ، يوجد اثنان منهم ؛ ل D = 0 هناك جذر واحد. في حالة د<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

حول الجذور وصيغتها

في حالتنا ، المميز هو: 256 - 4 (-612) = 2704. يشير هذا إلى أن مشكلتنا لها إجابة. إذا كنت تعلم ، يجب أن يستمر حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة أدناه. يسمح لك بحساب الجذور.

هذا يعني أنه في الحالة المعروضة: x 1 = 18 ، x 2 = -34. الخيار الثاني في هذه المعضلة لا يمكن أن يكون حلاً ، لأن حجم قطعة الأرض لا يمكن قياسه بقيم سالبة ، مما يعني أن x (أي عرض قطعة الأرض) هو 18 م. من هنا نحسب الطول: 18 + 16 = 34 ، والمحيط 2 (34+ 18) = 104 (م 2).

أمثلة ومهام

نواصل دراسة المعادلات التربيعية. سيتم إعطاء أمثلة وحل مفصل للعديد منها أدناه.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

دعنا ننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر من المساواة ، ونجري تحويلًا ، أي نحصل على شكل المعادلة ، والذي يُطلق عليه عادةً المعادلة القياسية ، ونساويها بالصفر.

15x 2 + 20x + 5-12x 2-27x - 1 = 0

بعد إضافة متشابهة ، نحدد المميز: D \ u003d 49-48 \ u003d 1. إذن سيكون لمعادلتنا جذران. نحسبها وفقًا للصيغة أعلاه ، مما يعني أن أولهما سيساوي 4/3 ، والثاني إلى 1.

2) الآن سوف نكشف عن ألغاز من نوع مختلف.

لنكتشف ما إذا كانت هناك جذور x 2 - 4x + 5 = 1 هنا على الإطلاق؟ للحصول على إجابة شاملة ، نأخذ كثير الحدود إلى الشكل المألوف المقابل ونحسب المميز. في هذا المثال ، ليس من الضروري حل المعادلة التربيعية ، لأن جوهر المشكلة ليس في هذا على الإطلاق. في هذه الحالة ، D \ u003d 16-20 \ u003d -4 ، مما يعني أنه لا توجد جذور بالفعل.

نظرية فييتا

من الملائم حل المعادلات التربيعية من خلال الصيغ أعلاه والمميز ، عندما يتم استخراج الجذر التربيعي من قيمة الأخير. لكن هذا لا يحدث دائما. ومع ذلك ، هناك العديد من الطرق للحصول على قيم المتغيرات في هذه الحالة. مثال: حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا. تم تسميته على اسم رجل عاش في فرنسا في القرن السادس عشر وكان له مسيرة مهنية رائعة بفضل موهبته الرياضية وعلاقاته في المحكمة. يمكن رؤية صورته في المقال.

النمط الذي لاحظه الفرنسي الشهير كان على النحو التالي. لقد أثبت أن مجموع جذور المعادلة يساوي -p = b / a ، وناتجها يتوافق مع q = c / a.

الآن دعونا نلقي نظرة على مهام محددة.

3x2 + 21x - 54 = 0

للتبسيط ، دعنا نحول التعبير:

س 2 + 7 س - 18 = 0

باستخدام نظرية Vieta ، سوف يعطينا هذا ما يلي: مجموع الجذور هو -7 ، وحاصل ضربها -18. من هنا نتوصل إلى أن جذور المعادلة هي العددين -9 و 2. بعد إجراء فحص ، سوف نتأكد من أن قيم المتغيرات هذه تتلاءم حقًا مع التعبير.

رسم بياني ومعادلة القطع المكافئ

ترتبط مفاهيم الدالة التربيعية ارتباطًا وثيقًا بالمعادلات التربيعية. تم بالفعل تقديم أمثلة على ذلك مسبقًا. الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الألغاز الرياضية بمزيد من التفصيل. يمكن تمثيل أي معادلة من النوع الموصوف بصريًا. مثل هذا الاعتماد ، المرسوم في شكل رسم بياني ، يسمى القطع المكافئ. أنواعه المختلفة موضحة في الشكل أدناه.

أي قطع مكافئ له رأس ، أي النقطة التي تخرج منها فروعه. إذا كانت القيمة> 0 ، فإنها ترتفع إلى ما لا نهاية ، وعندما يكون<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

تساعد التمثيلات المرئية للوظائف في حل أي معادلات ، بما في ذلك المعادلات التربيعية. هذه الطريقة تسمى الرسم. وقيمة المتغير x هي إحداثيات الإحداثي عند النقاط التي يتقاطع فيها خط الرسم البياني مع 0x. يمكن إيجاد إحداثيات الرأس بالصيغة المعطاة x 0 = -b / 2a. وبالتعويض بالقيمة الناتجة في المعادلة الأصلية للدالة ، يمكنك معرفة y 0 ، أي الإحداثي الثاني لرأس القطع المكافئ الذي ينتمي إلى المحور y.

تقاطع فروع القطع المكافئ مع محور الإحداثيات

هناك الكثير من الأمثلة لحل المعادلات التربيعية ، ولكن هناك أيضًا أنماط عامة. دعونا نفكر فيها. من الواضح أن تقاطع الرسم البياني مع المحور 0x لـ a> 0 ممكن فقط إذا كانت y 0 تأخذ قيمًا سالبة. وللحصول على<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. خلاف ذلك د<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

من الرسم البياني للقطع المكافئ ، يمكنك أيضًا تحديد الجذور. والعكس صحيح أيضا. أي ، إذا لم يكن من السهل الحصول على تمثيل مرئي لوظيفة تربيعية ، فيمكنك مساواة الجانب الأيمن من التعبير بالرقم 0 وحل المعادلة الناتجة. ومعرفة نقاط التقاطع مع المحور 0x ، يسهل رسمها.

من التاريخ

بمساعدة المعادلات التي تحتوي على متغير مربع ، في الأيام الخوالي ، لم يتم إجراء الحسابات الرياضية فقط وتحديد مساحة الأشكال الهندسية. احتاج القدماء إلى مثل هذه الحسابات من أجل الاكتشافات العظيمة في مجال الفيزياء وعلم الفلك ، وكذلك لعمل تنبؤات فلكية.

كما يقترح العلماء المعاصرون ، كان سكان بابل من بين أول من حل المعادلات التربيعية. حدث ذلك قبل أربعة قرون من ظهور عصرنا. بالطبع ، كانت حساباتهم مختلفة اختلافًا جوهريًا عن تلك المقبولة حاليًا واتضح أنها أكثر بدائية. على سبيل المثال ، لم يكن لدى علماء الرياضيات في بلاد ما بين النهرين أي فكرة عن وجود الأرقام السالبة. كما أنهم لم يكونوا على دراية بأدق التفاصيل التي يعرفها أي طالب في عصرنا.

ربما حتى قبل علماء بابل ، توصل الحكيم من الهند ، Baudhayama ، إلى حل المعادلات التربيعية. حدث هذا قبل حوالي ثمانية قرون من ظهور عصر المسيح. صحيح أن معادلات الدرجة الثانية ، طرق الحل التي قدمها ، كانت أبسط. بالإضافة إليه ، كان علماء الرياضيات الصينيون مهتمين أيضًا بأسئلة مماثلة في الأيام الخوالي. في أوروبا ، بدأ حل المعادلات التربيعية فقط في بداية القرن الثالث عشر ، ولكن لاحقًا تم استخدامها في عملهم من قبل علماء عظماء مثل نيوتن وديكارت والعديد من الآخرين.

المعادلة التربيعية - سهلة الحل! * كذلك في النص "KU".أصدقائي ، يبدو أنه في الرياضيات يمكن أن يكون أسهل من حل مثل هذه المعادلة. لكن شيئًا ما أخبرني أن الكثير من الناس لديهم مشاكل معه. قررت معرفة عدد مرات الظهور التي يقدمها Yandex لكل طلب في الشهر. إليك ما حدث ، ألق نظرة:

ماذا يعني ذلك؟ هذا يعني أن حوالي 70000 شخص في الشهر يبحثون عن هذه المعلومات ، وهذا هو الصيف ، وما سيحدث خلال العام الدراسي - سيكون هناك ضعف عدد الطلبات. هذا ليس مفاجئًا ، لأن هؤلاء الرجال والفتيات الذين تخرجوا من المدرسة منذ فترة طويلة ويستعدون للامتحان يبحثون عن هذه المعلومات ، ويحاول أطفال المدارس أيضًا تجديد ذاكرتهم.

على الرغم من وجود الكثير من المواقع التي تخبرنا عن كيفية حل هذه المعادلة ، فقد قررت أيضًا المساهمة ونشر المادة. أولاً ، أريد أن يأتي الزوار إلى موقعي بناءً على هذا الطلب ؛ ثانيًا ، في مقالات أخرى ، عند طرح خطاب "KU" ، سأعطي رابطًا لهذه المقالة ؛ ثالثًا ، سأخبرك قليلاً عن حله أكثر مما هو مذكور عادةً في المواقع الأخرى. هيا بنا نبدأ!محتوى المقال:

المعادلة التربيعية هي معادلة للصيغة:

حيث المعاملات أ ،بوبأرقام عشوائية ، مع ≠ 0.

في الدورة المدرسية ، يتم تقديم المادة بالشكل التالي - يتم تقسيم المعادلات إلى ثلاث فئات بشكل مشروط:

1. لهما جذور.

2. * لها جذر واحد فقط.

3. ليس لها جذور. وتجدر الإشارة هنا إلى أنه ليس لديهم جذور حقيقية

كيف يتم حساب الجذور؟ فقط!

نحسب المميز. تحت هذه الكلمة "الرهيبة" تكمن صيغة بسيطة للغاية:

صيغ الجذر هي كما يلي:

* يجب معرفة هذه الصيغ عن ظهر قلب.

يمكنك أن تكتب على الفور وتقرر ما يلي:

مثال:

1. إذا كانت D> 0 ، فإن المعادلة لها جذرين.

2. إذا كانت D = 0 ، فإن المعادلة لها جذر واحد.

3. إذا د< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

لنلقِ نظرة على المعادلة:

في هذه المناسبة ، عندما يكون المميز صفرًا ، تقول الدورة المدرسية أنه تم الحصول على جذر واحد ، وهنا يساوي تسعة. هذا صحيح ، لكن ...

هذا التمثيل غير صحيح إلى حد ما. في الواقع ، هناك نوعان من الجذور. نعم ، نعم ، لا تتفاجأ ، فقد اتضح أن هناك جذرين متساويين ، ولكي تكون دقيقًا رياضيًا ، فيجب كتابة جذرين في الإجابة:

س 1 = 3 × 2 = 3

لكن هذا هو الحال - استطرادية صغيرة. في المدرسة ، يمكنك أن تكتب وتقول إن هناك جذرًا واحدًا فقط.

الآن المثال التالي:

كما نعلم ، لا يتم استخراج جذر العدد السالب ، لذلك لا يوجد حل في هذه الحالة.

هذه هي عملية اتخاذ القرار برمتها.

وظيفة من الدرجة الثانية.

إليك كيف يبدو الحل هندسيًا. هذا مهم للغاية لفهمه (في المستقبل ، في إحدى المقالات ، سنحلل بالتفصيل حل عدم المساواة التربيعية).

هذه هي وظيفة النموذج:

حيث x و y متغيران

أ ، ب ، ج معطاة أرقام ، حيث أ 0

الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ:

وهذا يعني أنه من خلال حل معادلة تربيعية تساوي "y" صفر ، نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور x. يمكن أن يكون هناك نقطتان من هذه النقاط (المميز موجب) ، واحد (المميز صفر) أو لا شيء (المميز سالب). المزيد عن الدالة التربيعية يمكنك مشاهدةمقال بقلم إينا فيلدمان.

خذ بعين الاعتبار الأمثلة:

مثال 1: قرر 2x 2 +8 x–192=0

أ = 2 ب = 8 ج = -192

د = ب 2 –4ac = 8 2 –4 ∙ 2 (–192) = 64 + 1536 = 1600

الجواب: × 1 = 8 × 2 = -12

* يمكنك على الفور قسمة الجانبين الأيمن والأيسر للمعادلة على 2 ، أي تبسيطها. الحسابات ستكون أسهل.

المثال 2: يقرر x2–22 س + 121 = 0

أ = 1 ب = -22 ج = 121

د = ب 2 –4ac = (- 22) 2 –4 ∙ 1 121 = 484–484 = 0

لقد حصلنا على ذلك x 1 \ u003d 11 و x 2 \ u003d 11

في الجواب يجوز كتابة x = 11.

الجواب: س = 11

المثال 3: يقرر × 2 –8 س + 72 = 0

أ = 1 ب = -8 ج = 72

د = ب 2 –4ac = (- 8) 2 –4 ∙ 1 72 = 64–288 = –224

المميز سالب ، ولا يوجد حل في الأعداد الحقيقية.

الجواب: لا يوجد حل

المميز سلبي. هل هناك حل!

هنا سنتحدث عن حل المعادلة في حالة الحصول على تمييز سلبي. هل تعرف أي شيء عن الأعداد المركبة؟ لن أخوض في التفاصيل هنا حول سبب ظهورهم وأين نشأوا وما هو دورهم المحدد وضرورتهم في الرياضيات ، هذا موضوع لمقال منفصل كبير.

مفهوم العدد المركب.

قليلا من النظرية.

العدد المركب z هو رقم على الصورة

ض = أ + ثنائية

حيث a و b عددان حقيقيان ، فإن i هو ما يسمى بالوحدة التخيلية.

أ + ثنائي هو رقم واحد ، وليس إضافة.

الوحدة التخيلية تساوي جذر ناقص واحد:

الآن ضع في اعتبارك المعادلة:

احصل على جذرين مترافقين.

معادلة تربيعية غير كاملة.

ضع في اعتبارك حالات خاصة ، عندما يكون المعامل "b" أو "c" مساويًا للصفر (أو كلاهما يساوي الصفر). يتم حلها بسهولة دون أي تمييز.

الحالة الأولى: المعامل ب = 0.

تأخذ المعادلة الشكل:

دعنا نتحول:

مثال:

4x 2-16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

الحالة الثانية: المعامل ج = 0.

تأخذ المعادلة الشكل:

التحويل والتحويل إلى عوامل:

* المنتج يساوي صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل مساويًا للصفر.

مثال:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x – 5) = 0 => x = 0 أو x –5 = 0

س 1 = 0 × 2 = 5

الحالة 3. المعامِلات b = 0 و c = 0.

من الواضح هنا أن حل المعادلة سيكون دائمًا x = 0.

خصائص وأنماط مفيدة للمعاملات.

هناك خصائص تسمح بحل المعادلات ذات المعاملات الكبيرة.

أx 2 + bx+ ج=0 المساواة

أ + ب+ ج = 0 ،ومن بعد

- إذا كانت لمعاملات المعادلة أx 2 + bx+ ج=0 المساواة

أ+ مع =ب, ومن بعد

تساعد هذه الخصائص في حل نوع معين من المعادلة.

مثال 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

مجموع المعاملات هو 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0 ، لذا

المثال 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

المساواة أ+ مع =ب, يعني

انتظام المعاملات.

1. إذا كان المعامل في المعادلة ax 2 + bx + c \ u003d 0 هو (a 2 +1) ، والمعامل "c" يساوي عدديًا المعامل "a" ، فإن جذوره تكون

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \ u003d 0 \ u003d \ u003e x 1 \ u003d -a x 2 \ u003d -1 / a.

مثال. اعتبر المعادلة 6x 2 + 37x + 6 = 0.

× 1 \ u003d -6 × 2 \ u003d -1/6.

2. إذا كان المعامل "b" في المعادلة 2 - bx + c \ u003d 0 هو (a 2 +1) ، والمعامل "c" يساوي عدديًا المعامل "a" ، فإن جذوره تكون

الفأس 2 - (أ 2 + 1) ∙ س + أ \ u003d 0 \ u003d \ u003e × 1 \ u003d أ × 2 \ u003d 1 / أ.

مثال. ضع في اعتبارك المعادلة 15x 2 –226x +15 = 0.

× 1 = 15 × 2 = 1/15.

3. إذا كان في المعادلةالفأس 2 + ب س - ج = 0 معامل "ب" يساوي (أ 2 - 1) والمعامل "ج" يساوي عدديًا المعامل "أ", ثم جذوره متساوية

فأس 2 + (أ 2 -1) ∙ س - أ \ u003d 0 \ u003d \ u003e × 1 \ u003d - أ × 2 \ u003d 1 / أ.

مثال. اعتبر المعادلة 17x 2 + 288x - 17 = 0.

× 1 \ u003d - 17 × 2 \ u003d 1/17.

4. إذا كان في المعادلة ax 2 - bx - c \ u003d 0 ، فإن المعامل "b" يساوي (a 2 - 1) ، والمعامل c يساوي عدديًا المعامل "a" ، فإن جذوره تكون

الفأس 2 - (أ 2 -1) ∙ س - أ \ u003d 0 \ u003d \ u003e × 1 \ u003d أ × 2 \ u003d - 1 / أ.

مثال. ضع في اعتبارك المعادلة 10x2 - 99x -10 = 0.

× 1 \ u003d 10 × 2 \ u003d - 1/10

نظرية فييتا.

سميت نظرية فييتا على اسم عالم الرياضيات الفرنسي الشهير فرانسوا فييتا. باستخدام نظرية فييتا ، يمكن للمرء أن يعبر عن مجموع ومنتج جذور KU التعسفي من حيث معاملاتها.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

باختصار ، العدد 14 يعطي فقط 5 و 9. هذه هي الجذور. بمهارة معينة ، باستخدام النظرية المقدمة ، يمكنك حل العديد من المعادلات التربيعية شفهيًا.

علاوة على ذلك ، نظرية فييتا. مناسب لأنه بعد حل المعادلة التربيعية بالطريقة المعتادة (من خلال المميز) ، يمكن التحقق من الجذور الناتجة. أوصي بفعل هذا طوال الوقت.

طريقة النقل

بهذه الطريقة يتم ضرب المعامل "a" بالمصطلح الحر كما لو "تم تحويله" إليه ولهذا سمي طريقة النقل.تُستخدم هذه الطريقة عندما يكون من السهل العثور على جذور المعادلة باستخدام نظرية فييتا ، والأهم من ذلك ، عندما يكون المميز مربعًا دقيقًا.

إذا أ± ب + ج≠ 0 ، ثم يتم استخدام تقنية النقل ، على سبيل المثال:

2X 2 – 11x + 5 = 0 (1) => X 2 – 11x + 10 = 0 (2)

وفقًا لنظرية Vieta في المعادلة (2) ، من السهل تحديد أن x 1 \ u003d 10 x 2 \ u003d 1

يجب تقسيم جذور المعادلة التي تم الحصول عليها على 2 (نظرًا لأن الاثنين تم "طرحهما" من × 2) ، نحصل على

× 1 \ u003d 5 × 2 \ u003d 0.5.

ما هو المبرر؟ انظر ماذا يحدث.

مميزات المعادلتين (1) و (2) هي:

إذا نظرت إلى جذور المعادلات ، فسنحصل على قواسم مختلفة فقط ، وتعتمد النتيجة بدقة على المعامل عند x 2:

الجذور الثانية (المعدلة) أكبر مرتين.

لذلك ، نقسم النتيجة على 2.

* إذا دحرجنا ثلاثة من نفس النوع ، فسنقسم النتيجة على 3 ، وهكذا.

الجواب: × 1 = 5 × 2 = 0.5

قدم مربع ur-ie والامتحان.

سأقول بإيجاز عن أهميتها - يجب أن تكون قادرًا على اتخاذ القرار بسرعة ودون تفكير ، تحتاج إلى معرفة صيغ الجذور والمميز عن ظهر قلب. ينزل الكثير من المهام التي تشكل جزءًا من مهام الاستخدام إلى حل معادلة تربيعية (بما في ذلك المعادلات الهندسية).

ما الجدير بالذكر!

1. يمكن أن يكون شكل المعادلة "ضمنيًا". على سبيل المثال ، الإدخال التالي ممكن:

15+ 9x 2-45x = 0 أو 15x + 42 + 9x 2-45x = 0 أو 15-5x + 10x 2 = 0.

تحتاج إلى إحضاره إلى نموذج قياسي (حتى لا يتم الخلط عند الحل).

2. تذكر أن x قيمة غير معروفة ويمكن الإشارة إليها بأي حرف آخر - t و q و p و h وغيرها.

"، أي معادلات من الدرجة الأولى. في هذا الدرس سوف نستكشف ما هي المعادلة التربيعيةوكيفية حلها.

ما هي المعادلة التربيعية

الأهمية!

يتم تحديد درجة المعادلة بأعلى درجة يقف عليها المجهول.

إذا كانت الدرجة القصوى التي يقف عندها المجهول هي "2" ، فلديك معادلة من الدرجة الثانية.

أمثلة على المعادلات التربيعية

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• س 2 + 0.25 س = 0
• × 2-8 = 0

الأهمية! يبدو الشكل العام للمعادلة التربيعية كما يلي:

أ س 2 + ب س + ج = 0

• "أ" - المعامل الأول أو الأعلى ؛
• "ب" - المعامل الثاني ؛
• "c" عضو مجاني.

للعثور على "أ" و "ب" و "ج" تحتاج إلى مقارنة معادلتك بالصيغة العامة للمعادلة التربيعية "ax 2 + bx + c \ u003d 0".

لنتدرب على تحديد المعاملات "أ" و "ب" و "ج" في المعادلات التربيعية.

• أ = -1
• ب = 1
• ج =

  1

  3

• أ = 1
• ب = 0.25
• ج = 0

• أ = 1
• ب = 0
• ج = -8

كيفية حل المعادلات التربيعية

على عكس المعادلات الخطية ، يتم استخدام معادلة خاصة لحل المعادلات التربيعية. صيغة إيجاد الجذور.

يتذكر!

لحل معادلة من الدرجة الثانية تحتاج إلى:

• أحضر المعادلة التربيعية إلى الشكل العام "ax 2 + bx + c \ u003d 0". وهذا يعني أن "0" فقط يجب أن تبقى على الجانب الأيمن ؛
• استخدم صيغة الجذور:

دعنا نستخدم مثالاً لمعرفة كيفية تطبيق الصيغة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية. لنحل المعادلة التربيعية.

س 2 - 3 س - 4 = 0

تم بالفعل اختزال المعادلة "x 2 - 3x - 4 = 0" إلى الشكل العام "ax 2 + bx + c = 0" ولا تتطلب تبسيطات إضافية. لحلها ، نحتاج فقط إلى التقديم صيغة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية.

دعونا نحدد المعاملات "أ" و "ب" و "ج" لهذه المعادلة.

بمساعدتها ، يتم حل أي معادلة من الدرجة الثانية.

في الصيغة "× 1 ؛ 2 \ u003d" غالبًا ما يتم استبدال تعبير الجذر
"b 2 - 4ac" لحرف "D" وتسمى مميز. تتم مناقشة مفهوم المميز بمزيد من التفصيل في الدرس "ما هو المميز".

فكر في مثال آخر لمعادلة تربيعية.

س 2 + 9 + س = 7 س

في هذا الشكل ، من الصعب تحديد المعاملات "أ" و "ب" و "ج". لنجلب المعادلة إلى الشكل العام "ax 2 + bx + c \ u003d 0".

س 2 + 9 + س = 7 س
س 2 + 9 + س - 7 س = 0
x2 + 9-6x = 0
س 2-6 س + 9 = 0

الآن يمكنك استخدام صيغة الجذور.

× 1 ؛ 2 =
× 1 ؛ 2 =
× 1 ؛ 2 =
× 1 ؛ 2 =
س =

هناك أوقات لا توجد فيها جذور في المعادلات التربيعية. يحدث هذا الموقف عندما يظهر رقم سالب في الصيغة تحت الجذر.

مع برنامج الرياضيات هذا يمكنك حل المعادلة التربيعية.

لا يقدم البرنامج الإجابة على المشكلة فحسب ، بل يعرض أيضًا عملية الحل بطريقتين:
- باستخدام المميز
- استخدام نظرية فييتا (إن أمكن).

علاوة على ذلك ، يتم عرض الإجابة بدقة وليست تقريبية.
على سبيل المثال ، بالنسبة للمعادلة \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \) ، يتم عرض الإجابة بهذا الشكل:

يمكن أن يكون هذا البرنامج مفيدًا لطلاب المدارس الثانوية استعدادًا للاختبارات والامتحانات ، عند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحدة ، للآباء للتحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أو هل تريد فقط إنهاء واجباتك في الرياضيات أو الجبر في أسرع وقت ممكن؟ في هذه الحالة ، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع حل مفصل.

وبهذه الطريقة ، يمكنك إجراء تدريبك الخاص و / أو تدريب إخوتك أو أخواتك الأصغر سنًا ، مع زيادة مستوى التعليم في مجال المهام التي يتعين حلها.

إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال كثير حدود مربع ، فننصحك بالتعرف عليها.

قواعد إدخال مربع متعدد الحدود

يمكن لأي حرف لاتيني أن يعمل كمتغير.
على سبيل المثال: \ (x ، y ، z ، a ، b ، c ، o ، p ، q \) إلخ.

يمكن إدخال الأرقام كأعداد صحيحة أو كسور.
علاوة على ذلك ، يمكن إدخال الأرقام الكسرية ليس فقط في شكل رقم عشري ، ولكن أيضًا في شكل كسر عادي.

قواعد إدخال الكسور العشرية.
في الكسور العشرية ، يمكن فصل الجزء الكسري من العدد الصحيح إما بنقطة أو فاصلة.
على سبيل المثال ، يمكنك إدخال الكسور العشرية مثل هذا: 2.5x - 3.5x ^ 2

قواعد إدخال الكسور العادية.
فقط عدد صحيح يمكن أن يعمل كبسط ومقام وجزء صحيح من الكسر.

لا يمكن أن يكون المقام سالبًا.

عند إدخال كسر عددي ، يتم فصل البسط عن المقام بعلامة قسمة: /
يتم فصل الجزء الصحيح عن الكسر بواسطة علامة العطف: &
الإدخال: 3 & 1 / 3-5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
النتيجة: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

عند إدخال تعبير يمكنك استخدام الأقواس. في هذه الحالة ، عند حل معادلة تربيعية ، يتم أولاً تبسيط التعبير المقدم.
على سبيل المثال: 1/2 (ص -1) (ص + 1) - (5 ص -10 & 1/2)

تم العثور على أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المهمة لم يتم تحميلها ، وقد لا يعمل البرنامج.
قد يكون لديك AdBlock ممكّنًا.
في هذه الحالة ، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

لأن هناك الكثير من الأشخاص الذين يرغبون في حل المشكلة ، طلبك في قائمة الانتظار.
بعد بضع ثوانٍ ، سيظهر الحل أدناه.
أرجو الإنتظار ثانية ...

اذا أنت لاحظت وجود خطأ في الحل، ثم يمكنك الكتابة عنها في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى أي مهمةعليك أن تقرر ماذا أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

قليلا من النظرية.

المعادلة التربيعية وجذورها. معادلات تربيعية غير مكتملة

كل من المعادلات
\ (- x ^ 2 + 6x + 1،4 = 0، \ quad 8x ^ 2-7x = 0، \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
لديه الشكل
\ (فأس ^ 2 + ب س + ج = 0 ، \)
حيث x متغير و a و b و c أرقام.
في المعادلة الأولى أ = -1 ، ب = 6 ، ج = 1.4 ، في الثانية أ = 8 ، ب = -7 ، ج = 0 ، في الثالثة أ = 1 ، ب = 0 ، ج = 4/9. تسمى هذه المعادلات المعادلات التربيعية.

تعريف.
معادلة من الدرجة الثانيةيتم استدعاء معادلة من الشكل ax 2 + bx + c = 0 ، حيث x عبارة عن متغير ، و a و b و c هي بعض الأرقام ، و \ (a \ neq 0 \).

الأرقام أ ، ب ، ج هي معاملات المعادلة التربيعية. الرقم أ يسمى المعامل الأول ، الرقم ب هو المعامل الثاني والرقم ج هو التقاطع.

في كل من المعادلات على شكل ax 2 + bx + c = 0 ، حيث \ (a \ neq 0 \) ، أكبر قوة للمتغير x هي مربع. ومن هنا جاء الاسم: المعادلة التربيعية.

لاحظ أن المعادلة التربيعية تسمى أيضًا معادلة من الدرجة الثانية ، حيث أن جانبها الأيسر متعدد الحدود من الدرجة الثانية.

معادلة من الدرجة الثانية يسمى فيها المعامل عند x 2 هو 1 معادلة من الدرجة الثانية. على سبيل المثال ، المعادلات التربيعية المعطاة هي المعادلات
\ (س ^ 2-11x + 30 = 0 ، \ رباعي س ^ 2-6x = 0 ، \ رباعي × ^ 2-8 = 0 \)

إذا كانت المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0 على الأقل أحد المعاملين b أو c يساوي صفرًا ، فإن هذه المعادلة تسمى معادلة تربيعية غير كاملة. إذن ، المعادلات -2x 2 + 7 = 0 ، 3x 2-10x = 0 ، -4x 2 = 0 هي معادلات تربيعية غير كاملة. في أولها ب = 0 ، في الثانية ج = 0 ، في الثالثة ب = 0 وج = 0.

المعادلات التربيعية غير المكتملة من ثلاثة أنواع:
1) فأس 2 + ج = 0 ، حيث \ (ج \ neq 0 \) ؛
2) الفأس 2 + bx = 0 ، حيث \ (b \ neq 0 \) ؛
3) المحور 2 = 0.

ضع في اعتبارك حل المعادلات لكل من هذه الأنواع.

لحل معادلة تربيعية غير مكتملة للصيغة ax 2 + c = 0 لـ \ (c \ neq 0 \) ، يتم نقل المصطلح الحر إلى الجانب الأيمن ويتم تقسيم كلا الجزأين من المعادلة على:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Rightarrow x_ (1،2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)

بما أن \ (c \ neq 0 \) ، ثم \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

إذا كان \ (- \ frac (c) (a)> 0 \) ، فإن المعادلة لها جذرين.

إذا \ (- \ frac (c) (a) لحل معادلة تربيعية غير مكتملة للنموذج ax 2 + bx = 0 من أجل \ (b \ neq 0 \) قم بعامل جانبها الأيسر واحصل على المعادلة
\ (x (ax + b) = 0 \ Rightarrow \ left \ (\ start (array) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ end (array) \ right. \ rightarrow \ left \ (\ begin (مجموعة) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (array) \ right. \)

ومن ثم ، فإن المعادلة التربيعية غير المكتملة للشكل ax 2 + bx = 0 لـ \ (b \ neq 0 \) لها دائمًا جذرين.

المعادلة التربيعية غير المكتملة للنموذج ax 2 \ u003d 0 تعادل المعادلة x 2 \ u003d 0 وبالتالي لها جذر واحد 0.

صيغة جذور المعادلة التربيعية

دعونا الآن نفكر في كيفية حل المعادلات التربيعية التي يكون فيها كل من معاملات المجهول والمصطلح الحر غير صفري.

نحل المعادلة التربيعية بشكل عام ونتيجة لذلك نحصل على صيغة الجذور. ثم يمكن تطبيق هذه الصيغة لحل أي معادلة من الدرجة الثانية.

حل المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0

بقسمة كلا الجزأين على أ ، نحصل على المعادلة التربيعية المختزلة المكافئة
\ (س ^ 2 + \ فارك (ب) (أ) س + \ فارك (ج) (أ) = 0 \)

نقوم بتحويل هذه المعادلة من خلال إبراز مربع ذات الحدين:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2- \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Rightarrow \)

يسمى التعبير الجذر مميز لمعادلة تربيعية ax 2 + bx + c = 0 ("مميز" باللاتينية - distinguisher). يشار إليه بالحرف D ، أي
\ (د = ب ^ 2-4ac \)

الآن ، باستخدام تدوين المميز ، نعيد كتابة صيغة جذور المعادلة التربيعية:
\ (x_ (1،2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \) ، حيث \ (D = b ^ 2-4ac \)

من الواضح أن:
1) إذا كانت D> 0 ، فإن المعادلة التربيعية لها جذرين.
2) إذا كانت D = 0 ، فإن المعادلة التربيعية لها جذر واحد \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) إذا كانت D هكذا ، اعتمادًا على قيمة المميز ، يمكن أن يكون للمعادلة التربيعية جذران (لـ D> 0) ، جذر واحد (لـ D = 0) أو بدون جذور (لـ D عند حل معادلة من الدرجة الثانية باستخدام هذه الصيغة يُنصح باتباع الطريقة التالية:
1) احسب المميز وقارنه بالصفر ؛
2) إذا كان المميز موجبًا أو يساوي صفرًا ، فاستخدم صيغة الجذر ، وإذا كان المميز سالبًا ، فاكتب أنه لا توجد جذور.

نظرية فييتا

المعادلة التربيعية المعطاة ax 2 -7x + 10 = 0 لها جذور 2 و 5. مجموع الجذور هو 7 ، والحاصل ضرب 10. نرى أن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني ، مأخوذًا من علامة معاكسة ، وحاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح الحر. أي معادلة تربيعية مختصرة لها جذور لها هذه الخاصية.

مجموع جذور المعادلة التربيعية المعطاة يساوي المعامل الثاني ، مأخوذًا بعلامة معاكسة ، وحاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح المجاني.

أولئك. تنص نظرية فييتا على أن الجذور x 1 و x 2 للمعادلة التربيعية المختصرة x 2 + px + q = 0 لها الخاصية:
\ (\ left \ (\ start (array) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (array) \ right. \)