حاصل الضرب النقطي للناقلات

نواصل التعامل مع النواقل. في الدرس الأول ناقلات للدمىدرسنا مفهوم المتجه ، والإجراءات مع المتجهات ، وإحداثيات المتجه وأبسط المهام مع المتجهات. إذا وصلت إلى هذه الصفحة لأول مرة من محرك بحث ، فإنني أوصي بشدة بقراءة المقالة التمهيدية أعلاه ، لأنه لإتقان المادة ، فأنت بحاجة إلى التنقل في المصطلحات والرموز التي أستخدمها ، ولديك معرفة أساسية بالمتجهات وأن تكون قادرة على حل المشاكل الأولية. هذا الدرس هو استمرار منطقي للموضوع ، وفيه سأحلل بالتفصيل المهام النموذجية التي يتم فيها استخدام المنتج النقطي للمتجهات. هذا نشاط مهم جدا.... حاول ألا تتخطى الأمثلة ، فهي مصحوبة بمكافأة مفيدة - ستساعدك الممارسة على توحيد المواد التي غطتها والحصول على حل للمشكلات الشائعة في الهندسة التحليلية.

إضافة نواقل ، ضرب متجه بعدد…. سيكون من السذاجة الاعتقاد بأن علماء الرياضيات لم يأتوا بأي شيء آخر. بالإضافة إلى الإجراءات التي تم النظر فيها بالفعل ، هناك عدد من العمليات الأخرى ذات النواقل ، وهي: حاصل الضرب النقطي من النواقل, ناقلات المنتج من النواقلو منتج مختلط من النواقل... المنتج القياسي للناقلات مألوف لنا من المدرسة ، والمنتجان الآخران مرتبطان تقليديًا بمسار الرياضيات العليا. المواضيع بسيطة ، وخوارزمية حل العديد من المشاكل مقولبة ومفهومة. الشيء الوحيد. هناك قدر لا بأس به من المعلومات ، لذلك من غير المرغوب فيه محاولة إتقان وحل كل شيء مرة واحدة. هذا ينطبق بشكل خاص على أقداح الشاي ، صدقوني ، المؤلف لا يريد أن يشعر مثل Chikatilo من الرياضيات على الإطلاق. حسنًا ، وليس من الرياضيات ، بالطبع ، أيضًا =) يمكن للطلاب الأكثر استعدادًا استخدام المواد بشكل انتقائي ، بمعنى ما ، "الحصول على" المعرفة المفقودة ، لأنني سأكون كونت دراكولا غير ضار =)

أخيرًا ، دعونا نفتح الباب قليلاً ونرى بحماس ما يحدث عندما يلتقي متجهان مع بعضهما البعض….

تحديد حاصل الضرب النقطي للمتجهات.
خصائص المنتج نقطة. المهام النموذجية

مفهوم المنتج النقطي

أولا الزاوية بين النواقل... أعتقد أن الجميع يفهم بشكل حدسي ماهية الزاوية بين المتجهات ، ولكن فقط في حالة ، بالتفصيل أكثر قليلاً. ضع في اعتبارك ناقلات غير صفرية و. إذا قمت بتأجيل هذه النواقل من نقطة تعسفية ، فستحصل على صورة تخيلها الكثيرون بالفعل في أذهانهم:

أعترف أنني هنا أوجزت الوضع على مستوى التفاهم فقط. إذا كنت بحاجة إلى تعريف صارم للزاوية بين المتجهات ، فيرجى الرجوع إلى الكتاب المدرسي ، ولكن بالنسبة للمشاكل العملية ، فإننا ، من حيث المبدأ ، لسنا في حاجة إليها. هنا وأيضًا سأقوم في بعض الأماكن بتجاهل صفر نواقل نظرًا لأهميتها العملية المنخفضة. لقد قمت بالحجز خصيصًا لزوار الموقع المتقدمين الذين يمكنهم لومني على عدم اكتمال بعض العبارات التالية نظريًا.

في الأدبيات ، غالبًا ما يتم تجاهل رمز الزاوية وكتابته ببساطة.

تعريف:الناتج القياسي لمتجهين هو الرقم NUMBER الذي يساوي حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات بواسطة جيب تمام الزاوية بينهما:

هذا بالفعل تعريف صارم تمامًا.

نحن نركز على المعلومات الأساسية:

تعيين:يتم الإشارة إلى المنتج النقطي بواسطة أو ببساطة.

نتيجة العملية هي رقم: يتم ضرب المتجه في المتجه ، والنتيجة هي رقم. في الواقع ، إذا كانت أطوال المتجهات أرقامًا ، فإن جيب تمام الزاوية هو رقم ، ثم حاصل ضربها سيكون أيضًا رقمًا.

فقط بعض الأمثلة على الإحماء:

مثال 1

المحلول:نستخدم الصيغة ... في هذه الحالة:

إجابه:

يمكن العثور على قيم جيب التمام في الجدول المثلثي... أوصي بطباعتها - ستكون مطلوبة في جميع أقسام البرج تقريبًا وستكون مطلوبة عدة مرات.

من وجهة نظر رياضية بحتة ، يكون المنتج النقطي بلا أبعاد ، أي أن النتيجة ، في هذه الحالة ، هي مجرد رقم وهذا كل شيء. من وجهة نظر المشاكل الفيزيائية ، يكون للمنتج القياسي دائمًا معنى فيزيائي معين ، أي بعد النتيجة ، يجب الإشارة إلى وحدة مادية أو أخرى. يمكن العثور على مثال أساسي لحساب عمل القوة في أي كتاب مدرسي (الصيغة هي بالضبط حاصل الضرب النقطي). يقاس عمل القوة بالجول ، لذلك سيتم تدوين الإجابة بشكل محدد تمامًا ، على سبيل المثال ،.

مثال 2

ابحث عما إذا كان ، والزاوية بين المتجهات.

هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك ، الإجابة في نهاية البرنامج التعليمي.

الزاوية بين المتجهات وقيمة المنتج النقطي

في المثال 1 ، تبين أن حاصل الضرب النقطي إيجابي ، وفي المثال 2 ، تبين أنه سلبي. دعنا نتعرف على ما تعتمد عليه علامة المنتج النقطي. ننظر إلى صيغتنا: ... أطوال المتجهات غير الصفرية تكون دائمًا موجبة: لذلك يمكن أن تعتمد الإشارة فقط على قيمة جيب التمام.

ملحوظة: لفهم المعلومات الواردة أدناه بشكل أفضل ، من الأفضل دراسة الرسم البياني لجيب التمام في الدليل الرسوم البيانية وخصائص الوظيفة... انظر كيف يتصرف جيب التمام على قطعة.

كما لوحظ بالفعل ، يمكن أن تختلف الزاوية بين المتجهات في الداخل ، والحالات التالية ممكنة:

1) إذا حقنةبين النواقل حار: (من 0 إلى 90 درجة) ، إذن ، و سيكون المنتج النقطي موجبًا شارك في الإخراج، ثم تُعتبر الزاوية بينهما صفرًا ، وسيكون حاصل الضرب القياسي موجبًا أيضًا. منذ ذلك الحين ، تم تبسيط الصيغة:.

2) إذا حقنةبين النواقل حاد: (من 90 إلى 180 درجة) ، إذن و بالمقابل حاصل الضرب النقطي سلبي:. حالة خاصة: إذا كانت النواقل الاتجاه المعاكسثم تعتبر الزاوية بينهما نشر: (180 درجة). حاصل الضرب النقطي سلبي أيضًا ، منذ ذلك الحين

العبارات المعاكسة صحيحة أيضًا:

1) إذا كانت الزاوية بين هذه المتجهات حادة. بدلاً من ذلك ، تكون النواقل ذات اتجاه مشفر.

2) إذا كانت الزاوية بين المتجهات المعطاة منفرجة. بدلاً من ذلك ، يتم توجيه النواقل بشكل معاكس.

لكن الحالة الثالثة ذات أهمية خاصة:

3) إذا حقنةبين النواقل مستقيم: (90 درجة) اذن حاصل الضرب القياسي هو صفر:. والعكس صحيح أيضًا: إذا ، إذن. تمت صياغة البيان بشكل مضغوط على النحو التالي: يكون الناتج القياسي لمتجهين صفرًا فقط إذا كانت هذه المتجهات متعامدة... تدوين رياضي قصير:

! ملحوظة : كرر أسس المنطق الرياضي: عادةً ما تتم قراءة رمز النتيجة المنطقية على الوجهين "حينئذٍ وفقط بعد ذلك" ، "إذا وفقط إذا". كما ترى ، يتم توجيه الأسهم في كلا الاتجاهين - "من هذا يتبع هذا ، والعكس صحيح - مما يلي من هذا". بالمناسبة ، ما هو الفرق عن أيقونة المتابعة أحادية الاتجاه؟ يدعي الرمز هذا فقطأن "هذا يتبع من هذا" ، وليس حقيقة أن العكس هو الصحيح. على سبيل المثال: ولكن ليس كل حيوان هو النمر ، لذلك لا يمكن استخدام الرمز في هذه الحالة. في نفس الوقت ، بدلا من الأيقونة علبةاستخدام رمز أحادي الاتجاه. على سبيل المثال ، عند حل المشكلة ، اكتشفنا أننا استنتجنا أن المتجهات متعامدة: - سيكون هذا الإدخال صحيحًا ، بل وسيكون أكثر ملاءمة من .

الحالة الثالثة ذات أهمية عملية كبيرة.لأنه يسمح لك بالتحقق مما إذا كانت النواقل متعامدة أم لا. سنحل هذه المشكلة في القسم الثاني من الدرس.

خصائص المنتج نقطة

دعنا نعود إلى الحالة عند اثنين من النواقل شارك في الإخراج... في هذه الحالة ، الزاوية بينهما تساوي صفرًا ، وتتخذ صيغة حاصل الضرب القياسي الشكل :.

ماذا يحدث إذا تم ضرب المتجه بنفسه؟ من الواضح أن المتجه هو اتجاهي مع نفسه ، لذلك نستخدم الصيغة المبسطة أعلاه:

الرقم يسمى مربع عدديناقلات ، ويشار إليها باسم.

في هذا الطريق، المربع القياسي للمتجه يساوي مربع طول المتجه المحدد:

من هذه المساواة ، يمكنك الحصول على صيغة لحساب طول المتجه:

بينما يبدو الأمر غامضًا ، إلا أن مهام الدرس ستضع كل شيء في مكانه. لحل المشاكل ، نحتاج أيضًا خصائص المنتج نقطة.

بالنسبة إلى المتجهات التعسفية وأي رقم ، تكون الخصائص التالية صالحة:

1) - للإزاحة أو تبادليقانون المنتجات العددية.

2) - التوزيع أو توزيعيقانون المنتجات العددية. ببساطة ، يمكنك فك الأقواس.

3) - مجموعة أو ترابطيقانون المنتجات العددية. يمكن إخراج الثابت من حاصل الضرب النقطي.

في كثير من الأحيان ، ينظر الطلاب إلى جميع أنواع الخصائص (التي تحتاج أيضًا إلى إثبات!) على أنها سلة مهملات غير ضرورية ، والتي تحتاج فقط إلى الحفظ والنسيان بأمان بعد الاختبار مباشرة. يبدو أن المهم هنا أن الجميع يعلم من الصف الأول أن المنتج لا يتغير من إعادة ترتيب العوامل:. يجب أن أحذرك ، في الرياضيات العليا مع هذا النهج ، من السهل كسر الخشب. لذلك ، على سبيل المثال ، خاصية الإزاحة غير صالحة لـ المصفوفات الجبرية... كما أنه ليس صحيحًا بالنسبة لـ ناقلات المنتج من النواقل... لذلك ، من الأفضل على الأقل الخوض في أي خصائص تصادفها في سياق الرياضيات العليا لفهم ما يمكن وما لا يمكن فعله.

مثال 3

.

المحلول:أولاً ، دعنا نوضح الموقف بالمتجه. ما هذا على أي حال؟ مجموع المتجهات وهو متجه محدد جيدًا ، يتم الإشارة إليه بواسطة. يمكن العثور على التفسير الهندسي للإجراءات ذات النواقل في المقالة ناقلات للدمى... نفس البقدونس مع المتجه هو مجموع المتجهات و.

لذلك ، يجب أن يتم العثور على المنتج النقطي بشرط. من الناحية النظرية ، تحتاج إلى تطبيق صيغة العمل ولكن المشكلة أننا لا نعرف أطوال المتجهات والزاوية بينهما. لكن الشرط يعطي متغيرات متشابهة للمتجهات ، لذلك سنذهب في الاتجاه الآخر:

(1) استبدل التعبيرات المتجهة.

(2) نقوم بفك الأقواس وفقًا لقاعدة ضرب كثيرات الحدود ، يمكن العثور على ملف لسان مبتذل في المقالة ارقام مركبةأو تكامل دالة كسرية كسرية... لن أكرر نفسي =) بالمناسبة ، تسمح لنا خاصية التوزيع للمنتج القياسي بتوسيع الأقواس. لدينا الحق.

(3) في المصطلحين الأول والأخير ، نكتب بشكل مضغوط المربعات العددية للمتجهات: ... في المصطلح الثاني ، نستخدم تبادلية المنتج القياسي :.

(4) نعطي مصطلحات مماثلة:.

(5) في المصطلح الأول ، نستخدم صيغة المربع العددي ، التي تم ذكرها منذ وقت ليس ببعيد. في الفصل الأخير ، على التوالي ، يعمل نفس الشيء:. نقوم بتوسيع الحد الثاني وفقًا للصيغة القياسية .

(6) نستبدل هذه الشروط ، وقم بإجراء الحسابات النهائية بحذر.

إجابه:

توضح القيمة السالبة للمنتج النقطي حقيقة أن الزاوية بين المتجهين منفرجة.

المهمة نموذجية ، وإليك مثال لحل مستقل:

مثال 4

أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهات وإذا كان معروفًا ذلك .

الآن مهمة أخرى مشتركة ، فقط للصيغة الجديدة لطول المتجه. ستتداخل التعيينات هنا قليلاً ، لذا من أجل التوضيح ، سأعيد كتابتها بحرف مختلف:

مثال 5

أوجد طول المتجه إذا .

المحلولسيكون على النحو التالي:

(1) قم بتوفير تعبير متجه.

(2) نستخدم صيغة الطول: ، بينما يعمل التعبير كله كمتجه "ve".

(3) نستخدم صيغة المدرسة لمربع المجموع. لاحظ كيف يعمل بشكل غريب هنا: - في الواقع ، إنه مربع الاختلاف ، وفي الواقع ، هو كذلك. يمكن للمهتمين إعادة ترتيب المتجهات في الأماكن: - اتضح الأمر نفسه حتى إعادة ترتيب المصطلحات.

(4) الباقي مألوف بالفعل من خلال المشكلتين السابقتين.

إجابه:

بما أننا نتحدث عن الطول ، لا تنس الإشارة إلى البعد - "الوحدات".

مثال 6

أوجد طول المتجه إذا .

هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية البرنامج التعليمي.

نستمر في إخراج الأشياء المفيدة من المنتج النقطي. لنلقِ نظرة على الصيغة مرة أخرى ... وفقًا لقاعدة التناسب ، دعنا نعيد ضبط أطوال المتجهات إلى مقام الجانب الأيسر:

وسنقوم بتبديل الأجزاء:

ما معنى هذه الصيغة؟ إذا كنت تعرف أطوال متجهين وحاصل ضربهما النقطي ، فيمكنك حساب جيب التمام للزاوية بين هذين المتجهين ، وبالتالي الزاوية نفسها.

هل المنتج النقطي رقم؟ عدد. هل أطوال المتجهات أرقام؟ أعداد. ومن ثم ، فإن الكسر هو أيضًا رقم معين. وإذا عرف جيب تمام الزاوية: ، ثم باستخدام الدالة العكسية ، من السهل العثور على الزاوية نفسها: .

مثال 7

أوجد الزاوية بين المتجهين وإذا عرفت ذلك.

المحلول:نستخدم الصيغة:

في المرحلة الأخيرة من الحسابات ، تم استخدام تقنية - القضاء على اللاعقلانية في المقام. للتخلص من اللاعقلانية ، قمت بضرب البسط والمقام في.

حتى إذا ، ومن بعد:

يمكن العثور على قيم الدوال المثلثية العكسية من خلال الجدول المثلثي... على الرغم من أن هذا نادرًا ما يحدث. في مشاكل الهندسة التحليلية ، يظهر نوع من الدب الخرقاء كثيرًا ، ويجب إيجاد قيمة الزاوية تقريبًا باستخدام الآلة الحاسبة. في الواقع ، سنرى مثل هذه الصورة أكثر من مرة.

إجابه:

مرة أخرى ، لا تنس الإشارة إلى البعد - الراديان والدرجات. شخصيًا ، من أجل "مسح جميع الأسئلة" عن قصد ، أفضل الإشارة إلى ذلك وذاك (ما لم يكن ، بالطبع ، حسب الشرط ، مطلوبًا تقديم الإجابة بالراديان فقط أو بالدرجات فقط).

الآن ستتمكن من التعامل مع مهمة أكثر صعوبة بمفردك:

المثال 7 *

معطى أطوال المتجهات ، والزاوية بينهما. أوجد الزاوية بين المتجهات.

المهمة ليست صعبة مثل الخطوات المتعددة.
دعنا نحلل خوارزمية الحل:

1) وفقًا للشرط ، يلزم إيجاد الزاوية بين المتجهات ، وبالتالي ، تحتاج إلى استخدام الصيغة .

2) ابحث عن حاصل الضرب النقطي (انظر الأمثلة رقم 3 ، 4).

3) أوجد طول المتجه وطول المتجه (انظر الأمثلة رقم 5 ، 6).

4) تطابق نهاية الحل مع المثال رقم 7 - نعرف الرقم ، مما يعني أنه من السهل إيجاد الزاوية نفسها:

حل قصير وإجابة في نهاية البرنامج التعليمي.

يركز القسم الثاني من الدرس على نفس المنتج النقطي. إحداثيات. سيكون أسهل مما كان عليه في الجزء الأول.

حاصل الضرب النقطي للناقلات ،
أعطيت بواسطة الإحداثيات على أساس متعامد

إجابه:

وغني عن القول ، أن التعامل مع الإحداثيات أكثر متعة.

المثال 14

أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهات وإذا

هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك. هنا يمكنك استخدام ترابطية العملية ، أي لا تحسب ، بل تحرك على الفور الثلاثي خارج المنتج العددي وضربه في النهاية. الحل والجواب في نهاية الدرس.

في نهاية الفقرة مثال استفزازي لحساب طول المتجه:

المثال 15

أوجد أطوال المتجهات ، إذا

المحلول:مرة أخرى ، فإن طريقة المقطع السابق تقترح نفسها: ولكن هناك طريقة أخرى:

ابحث عن المتجه:

وطوله حسب الصيغة التافهة :

المنتج النقطي غير وارد هنا على الإطلاق!

كما هو الحال خارج نطاق العمل عند حساب طول المتجه:
قف. لماذا لا تستفيد من الخاصية الواضحة لطول المتجه؟ ماذا عن طول المتجه؟ هذا المتجه أطول بخمس مرات من المتجه. الاتجاه معاكس لكن لا يهم لأن الحديث يدور حول الطول. من الواضح أن طول المتجه يساوي المنتج وحدةعدد لكل متجه طول:
- علامة الوحدة "يأكل" محتمل ناقص الرقم.

في هذا الطريق:

إجابه:

صيغة جيب التمام للزاوية بين المتجهات ، والتي تُعطى بالإحداثيات

الآن لدينا معلومات كاملة للتعبير عن الصيغة المشتقة مسبقًا لجيب تمام الزاوية بين المتجهات من حيث إحداثيات المتجهات:

جيب التمام للزاوية بين نواقل المستوىوتعطى على أساس متعامد ، معبر عنها بالصيغة:
.

جيب تمام الزاوية بين متجهات الفراغتعطى على أساس متعامد ، معبر عنها بالصيغة:

المثال 16

معطيات ثلاثة رؤوس للمثلث. أوجد (زاوية الرأس).

المحلول:وفقًا للشرط ، لا يلزم إجراء الرسم ، ولكن لا يزال:

الزاوية المطلوبة محددة بقوس أخضر. نذكر على الفور تسمية المدرسة للزاوية: - اهتمام خاص بـ معدلالحرف - هذا هو رأس الزاوية التي نحتاجها. للإيجاز ، يمكن أيضًا كتابته ببساطة.

يتضح من الرسم أن زاوية المثلث تتطابق مع الزاوية بين المتجهات ، وبعبارة أخرى: .

من المستحسن معرفة كيفية إجراء التحليل عقليًا.

البحث عن ناقلات:

دعنا نحسب حاصل الضرب القياسي:

وأطوال المتجهات:

جيب التمام لزاوية:

هذا هو ترتيب إكمال المهمة التي أوصي بها لأباريق الشاي. يمكن للقراء الأكثر تقدمًا كتابة الحسابات "في سطر واحد":

فيما يلي مثال على قيمة جيب التمام "السيئة". القيمة الناتجة ليست نهائية ، لذا فلا فائدة من التخلص من اللاعقلانية في المقام.

لنجد الزاوية نفسها:

إذا نظرت إلى الرسم ، فإن النتيجة معقولة تمامًا. للتحقق ، يمكن أيضًا قياس الزاوية بمنقلة. لا تتلف غطاء الشاشة =)

إجابه:

في الجواب لا تنسوا ذلك سئل عن زاوية المثلث(وليس حول الزاوية بين المتجهات) ، لا تنس الإشارة إلى الإجابة الدقيقة: والقيمة التقريبية للزاوية: وجدت مع الآلة الحاسبة.

يمكن لأولئك الذين استمتعوا بالعملية حساب الزوايا والتأكد من صحة المساواة القانونية

المثال 17

يُعرَّف المثلث في الفضاء بإحداثيات رءوسه. أوجد الزاوية بين الجانبين و

هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية البرنامج التعليمي

سيتم تخصيص قسم أخير قصير للإسقاطات ، حيث يتم أيضًا "خلط" المنتج القياسي:

الإسقاط المتجه إلى المتجه. إسقاط المتجه على محاور الإحداثيات.
جيب التمام اتجاه المتجه

ضع في اعتبارك النواقل و:

نسقط المتجه على المتجه ، لذلك نحذف من بداية ونهاية المتجه عموديلكل متجه (خطوط منقطة خضراء). تخيل أن أشعة الضوء تسقط بشكل عمودي على المتجه. ثم المقطع (الخط الأحمر) سيكون "ظل" المتجه. في هذه الحالة ، يكون إسقاط المتجه على المتجه هو طول المقطع. أي أن الإسقاط رقم.

يتم الإشارة إلى هذا الرقم كما يلي: يشير "المتجه الكبير" إلى متجه الذيمشروع ، "ناقل منخفض منخفض" يشير إلى متجه على الالذي يتم توقعه.

السجل نفسه يقرأ مثل هذا: "إسقاط المتجه" a "على المتجه" bh "".

ماذا يحدث إذا كان المتجه "bs" "قصير جدًا"؟ نرسم خطًا مستقيمًا يحتوي على المتجه "be". وسيتم إسقاط المتجه "أ" بالفعل في اتجاه المتجه "bh"، ببساطة - على الخط المستقيم الذي يحتوي على المتجه "be". سيحدث نفس الشيء إذا تم تأجيل المتجه "a" في المملكة الثلاثين - سيظل من السهل إسقاطه على الخط المستقيم الذي يحتوي على المتجه "bh".

إذا كانت الزاويةبين النواقل حار(كما في الصورة) إذن

إذا كانت النواقل متعامد، إذن (الإسقاط هو نقطة يُفترض أن تكون أبعادها صفرًا).

إذا كانت الزاويةبين النواقل حاد(في الشكل ، قم بإعادة ترتيب سهم المتجه عقليًا) ، ثم (بنفس الطول ، ولكن بعلامة ناقص).

دعنا نؤجل هذه المتجهات من نقطة واحدة:

من الواضح ، عندما يتحرك المتجه ، لا يتغير إسقاطه.

حاصل الضرب المتجه والنقطي يجعل من السهل حساب الزاوية بين المتجهات. لنفترض أن هناك متجهين $ \ overline (a) $ و $ \ overline (b) $ ، الزاوية الموجهة بينهما $ \ varphi $. احسب القيم $ x = (\ overline (a)، \ overline (b)) $ و $ y = [\ overline (a)، \ overline (b)] $. ثم $ x = r \ cos \ varphi $ ، $ y = r \ sin \ varphi $ ، حيث $ r = | \ overline (a) | \ cdot | \ overline (b) | $ ، و $ \ varphi $ هو الزاوية المطلوبة ، أي أن النقطة $ (x، y) $ لها زاوية قطبية تساوي $ \ varphi $ ، وبالتالي يمكن العثور على $ \ varphi $ كـ atan2 (y، x).

مساحة المثلث

نظرًا لأن حاصل الضرب الاتجاهي يحتوي على حاصل ضرب طولين متجهين بواسطة جيب تمام الزاوية بينهما ، يمكن استخدام حاصل الضرب الاتجاهي لحساب مساحة المثلث ABC:

$ S_ (ABC) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB) ، \ overline (AC)] | $.

نقطة تنتمي إلى خط مستقيم

لنحصل على نقطة $ P $ وخط مستقيم $ AB $ (معطاة بنقطتين $ A $ و $ B $). من الضروري التحقق مما إذا كانت النقطة تنتمي إلى السطر $ AB $.

تنتمي النقطة إلى الخط المستقيم $ AB $ إذا وفقط إذا كان المتجهان $ AP $ و $ AB $ متواصلين ، أي إذا كان $ [\ overline (AP) ، \ overline (AB)] = 0 $.

انتماء نقطة إلى شعاع

دعنا نحصل على نقطة $ P $ وشعاع $ AB $ (معطاة بنقطتين - بداية الشعاع $ A $ ونقطة على الشعاع $ B $). من الضروري التحقق مما إذا كانت النقطة تنتمي إلى الشعاع $ AB $.

لشرط أن تكون النقطة $ P $ تنتمي إلى السطر $ AB $ ، من الضروري إضافة شرط إضافي - المتجهان $ AP $ و $ AB $ هما اتجاهان مشتركان ، أي أنهما مترابطان ومنتجهما القياسي غير سالب ، أي $ (\ overline (AB) ، \ overline (AP)) \ ge 0 $.

النقطة تنتمي إلى قطعة مستقيمة

أعط نقطة $ P $ وقطعة $ AB $. من الضروري التحقق مما إذا كانت النقطة تنتمي إلى المقطع $ AB $.

في هذه الحالة ، يجب أن تنتمي النقطة إلى كل من ray $ AB $ و ray $ BA $ ، لذلك يجب التحقق من الشروط التالية:

$ [\ overline (AP)، \ overline (AB)] = 0 $،

$ (\ overline (AB)، \ overline (AP)) \ ge 0 $،

$ (\ overline (BA)، \ overline (BP)) \ ge 0 $.

المسافة من نقطة إلى خط

لنحصل على نقطة $ P $ وخط مستقيم $ AB $ (معطاة بنقطتين $ A $ و $ B $). من الضروري إيجاد المسافة من نقطة الخط المستقيم $ AB $.

اعتبر المثلث ABP. من ناحية أخرى ، مساحتها $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB) ، \ overline (AP)] | $.

من ناحية أخرى ، مساحتها هي $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) h | AB | $ ، حيث $ h $ هو الارتفاع الذي انخفض من النقطة $ P $ ، أي المسافة من $ من P $ إلى $ AB $. من حيث $ h = | [\ overline (AB) ، \ overline (AP)] | / | AB | $.

أشر إلى مسافة الشعاع

دعنا نحصل على نقطة $ P $ وشعاع $ AB $ (معطاة بنقطتين - بداية الشعاع $ A $ ونقطة على الشعاع $ B $). من الضروري إيجاد المسافة من النقطة إلى الشعاع ، أي طول أقصر جزء من النقطة $ P $ إلى أي نقطة على الشعاع.

هذه المسافة تساوي إما الطول $ AP $ ، أو المسافة من النقطة $ P $ إلى الخط $ AB $. من السهل تحديد أي من الحالات التي تحدث من خلال الموضع النسبي للحزمة والنقطة. إذا كانت الزاوية PAB حادة ، أي $ (\ overline (AB) ، \ overline (AP))> 0 $ ، فستكون الإجابة هي المسافة من النقطة $ P $ إلى الخط المستقيم $ AB $ ، وإلا سيكون الجواب هو طول المقطع $ AB $.

المسافة من نقطة إلى خط

أعط نقطة $ P $ وقطعة $ AB $. من الضروري إيجاد المسافة من $ P $ إلى المقطع $ AB $.

إذا انخفض أساس العمود العمودي من $ P $ إلى السطر $ AB $ يقع في المقطع $ AB $ ، والذي يمكن التحقق منه بالشروط

$ (\ overline (AP)، \ overline (AB)) \ ge 0 $،

$ (\ overline (BP) \ overline (BA)) \ ge 0 $،

إذن الإجابة هي المسافة من النقطة $ P $ إلى السطر $ AB $. وإلا فإن المسافة ستكون مساوية لـ $ \ min (AP، BP) $.

التعريف 1

الناتج القياسي للمتجهات هو رقم يساوي حاصل ضرب دين هذه المتجهات وجيب الزاوية بينهما.

تدوين منتج المتجهات a → و b → له شكل a → ، b →. دعنا نحول إلى الصيغة:

a → ، b → = a → b → cos a → ، b → ^. a → و b → تشير إلى أطوال المتجهات ، a → ، b → ^ تشير إلى الزاوية بين المتجهات المعطاة. إذا كان هناك متجه واحد على الأقل يساوي صفرًا ، أي أنه يحتوي على قيمة 0 ، فستكون النتيجة أيضًا صفرًا ، a → ، b → = 0

عند ضرب المتجه في نفسه ، نحصل على مربع طوله:

a → ، b → = a → b → cos a → ، a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

التعريف 2

يسمى الضرب القياسي للمتجه بحد ذاته بالمربع العددي.

محسوبة بالصيغة:

a → ، b → = a → b → cos a → ، b → ^.

تدوين a →، b → = a → b → cos a →، b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → يوضح أن npb → a → هو الإسقاط العددي لـ a → على b → ، npa → a → هو إسقاط b → على a → ، على التوالي.

دعونا نصيغ تعريف المنتج لمتجهين:

يُطلق على المنتج القياسي لمتجهين a → بواسطة b → منتج طول المتجه a → بواسطة الإسقاط b → بالاتجاه a → أو منتج الطول b → بالإسقاط a → على التوالي.

حاصل الضرب النقطي في الإحداثيات

يمكن إجراء حساب حاصل الضرب النقطي من خلال إحداثيات المتجهات في مستوى معين أو في الفضاء.

يُطلق على الناتج القياسي لمتجهين على مستوى ، في مساحة ثلاثية الأبعاد ، مجموع إحداثيات المتجهات المعطاة a → و b →.

عند حساب الناتج القياسي للمتجهات المعطاة a → = (أ س ، أ ص) ، ب → = (ب س ، ب ص) في النظام الديكارتي ، استخدم:

أ → ، ب → = أ س ب س + أ ص ب ص ،

بالنسبة للفضاء ثلاثي الأبعاد ، ينطبق التعبير التالي:

أ → ، ب → = أ س ب س + أ ص ب ص + أ ع ض ب ع.

في الواقع ، هذا هو التعريف الثالث للمنتج النقطي.

دعنا نثبت ذلك.

إثبات 1

للإثبات ، نستخدم a → ، b → = a → b → cos a → ، b → ^ = ax bx + ay بواسطة المتجهات a → = (ax ، ay) ، b → = (bx ، by) على الديكارتي النظام.

يجب تأجيل النواقل

O A → = a → = a x و a y و O B → = b → = b x، b y.

ثم سيكون طول المتجه A B → مساويًا لـ A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x، b y - a y).

اعتبر مثلثًا O A B.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) صحيحة بناءً على نظرية جيب التمام.

وفقًا للشرط ، يمكن ملاحظة أن O A = a → ، O B = b → ، A B = b → - a → ، ∠ A O B = a → ، b → ^ ، لذلك ، نكتب الصيغة لإيجاد الزاوية بين المتجهات بشكل مختلف

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2-2 a → b → cos (a →، b → ^).

ثم يتبع من التعريف الأول أن b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a →، b →)، وبالتالي (a →، b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - ب → - أ → 2).

بتطبيق صيغة حساب طول المتجهات نحصل على:
a → ، b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay by

دعونا نثبت المساواة:

(أ → ، ب →) = أ → ب → كوس (أ → ، ب → ^) = = أ س ب س + أ ص ب ص + أ ع ض ب ض

- على التوالي لناقلات الفضاء ثلاثي الأبعاد.

يوضح المنتج القياسي للمتجهات ذات الإحداثيات أن المربع القياسي للمتجه يساوي مجموع مربعات إحداثياته ​​في الفضاء وعلى المستوى ، على التوالي. أ → = (أ س ، أ ص ، أ ض) ، ب → = (ب س ، ب ص ، ب ض) و (أ → ، أ →) = أ س 2 + أ ص 2.

المنتج النقطي وخصائصه

هناك خصائص المنتج النقطي التي تنطبق على a → ، b → ، و c →:

1. التبديل (أ → ، ب →) = (ب → ، أ →) ؛
2. التوزيع (أ → + ب → ، ج →) = (أ → ، ج →) + (ب → ، ج →) ، (أ → + ب → ، ج →) = (أ → ، ب →) + (أ → ، ج →) ؛
3. الخاصية المركبة (λ a → ، b →) = λ (a → ، b →) ، (a → ، λ b →) = λ (a → ، b →) ، λ هي أي رقم ؛
4. دائمًا ما يكون المربع القياسي أكبر من الصفر (a → ، a →) ≥ 0 ، حيث (a → ، a →) = 0 في الحالة التي تكون فيها a → صفرًا.

الخصائص قابلة للشرح بفضل تعريف المنتج النقطي على المستوى والخصائص عند إضافة وضرب الأعداد الحقيقية.

إثبات خاصية التبديل (أ → ، ب →) = (ب → ، أ →). من التعريف لدينا (a → ، b →) = a y b y + a y b y and (b → a →) = b x a x + b y a y.

من خلال خاصية التبديل ، فإن المعادلات a x b x = b x a x و a y b y = b y a y هي صحيحة ، لذا فإن a x b x + a y b y = b x a x + b y a y.

ويترتب على ذلك (أ → ، ب →) = (ب → ، أ →). Q.E.D.

التوزيع صالح لأي أرقام:

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →، b →) = (a (1) →، b →) + (a (2) →، b →) +. ... ... + (أ (ن) → ، ب →)

و (أ → ، ب (1) → + ب (2) → + .. + ب (ن) →) = (أ → ، ب (1) →) + (أ → ، ب (2) →) +. .. ... ... + (أ → ، ب → (ن)) ،

ومن ثم لدينا

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →، b (1) → + b (2) → + ... + b (m) →) = (a (1) → ، ب (1) →) + (أ (1) → ، ب (2) →) +. ... ... + (أ (1) → ، ب (م) →) + + (أ (2) → ، ب (1) →) + (أ (2) → ، ب (2) →) +. ... ... + (أ (2) → ، ب (م) →) +. ... ... + + (a (n) →، b (1) →) + (a (n) →، b (2) →) +. ... ... + (أ (ن) → ، ب (م) →)

المنتج النقطي مع الأمثلة والحلول

يتم حل أي مشكلة في مثل هذه الخطة باستخدام الخصائص والصيغ المتعلقة بالمنتج النقطي:

1. (أ → ، ب →) = أ → ب → كوس (أ → ، ب → ^) ؛
2. (a → ، b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a → ؛
3. (أ → ، ب →) = أ س ب س + أ ص ب ص أو (أ → ، ب →) = أ س ب س + أ ص ب ص + أ ض ب ع ؛
4. (أ → ، أ →) = أ → 2.

لنلقِ نظرة على بعض أمثلة الحلول.

مثال 2

طول a → هو 3 ، وطول b → هو 7. أوجد حاصل الضرب القياسي إذا كانت الزاوية 60 درجة.

المحلول

حسب الشرط ، لدينا جميع البيانات ، لذلك نحسب بالصيغة:

(a → ، b →) = a → b → cos (a →، b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

الجواب: (أ → ، ب →) = 21 2.

مثال 3

معطى المتجهات أ → = (1 ، - 1 ، 2-3) ، ب → = (0 ، 2 ، 2 + 3). ما هو حاصل الضرب النقطي.

المحلول

في هذا المثال ، يتم أخذ صيغة الحساب حسب الإحداثيات في الاعتبار ، نظرًا لأنها محددة في بيان المشكلة:

(أ → ، ب →) = فأس ب س + عاي بي + أز ب ز = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + (2-9) = - 9

الجواب: (أ → ، ب →) = - 9

مثال 4

أوجد حاصل الضرب القياسي A B → و A C →. النقاط أ (1 ، - 3) ، ب (5 ، 4) ، ج (1 ، 1) معطاة على المستوى الإحداثي.

المحلول

بادئ ذي بدء ، يتم حساب إحداثيات المتجهات ، حيث يتم توفير إحداثيات النقاط حسب الشرط:

أ ب → = (5-1 ، 4 - (- 3)) = (4 ، 7) أ ج → = (1-1 ، 1 - (- 3)) = (0 ، 4)

بالتعويض في الصيغة باستخدام الإحداثيات ، نحصل على:

(أ ب ← ، أ ج ←) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

الجواب: (أ ب ← ، أ ج ←) = 28.

مثال 5

بالنظر إلى المتجهات a → = 7 m → + 3 n → و b → = 5 m → + 8 n → ، أوجد حاصل ضربهما. m → يساوي 3 و n → يساوي وحدتين ، وهما عموديان.

المحلول

(أ → ، ب →) = (7 م → + 3 ن → ، 5 م → + 8 ن →). بتطبيق خاصية التوزيع نحصل على:

(7 م → + 3 ن → ، 5 م → + 8 ن →) = = (7 م → ، 5 م →) + (7 م → ، 8 ن →) + (3 ن → ، 5 م →) + ( 3 ن ← ، 8 ن ←)

نخرج المعامل الخاص بعلامة المنتج ونحصل على:

(7 م → ، 5 م →) + (7 م → ، 8 ن →) + (3 ن → ، 5 م →) + (3 ن → ، 8 ن →) = = 7 5 (م → ، م →) + 7 8 (م → ، ن →) + 3 5 (ن → ، م →) + 3 8 (ن → ، ن →) = = 35 (م → ، م →) + 56 (م → ، ن →) + 15 (ن → ، م →) + 24 (ن → ، ن →)

من خلال خاصية التبديل نقوم بتحويل:

35 (م → ، م →) + 56 (م → ، ن →) + 15 (ن → ، م →) + 24 (ن → ، ن →) = 35 (م → ، م →) + 56 (م → ، ن →) + 15 (م → ، ن →) + 24 (ن → ، ن →) = 35 (م → ، م →) + 71 (م → ، ن →) + 24 (ن → ، ن →)

نتيجة لذلك ، نحصل على:

(أ → ، ب →) = 35 (م → ، م →) + 71 (م → ، ن →) + 24 (ن → ، ن →).

لنطبق الآن صيغة حاصل الضرب النقطي بزاوية محددة مسبقًا:

(a → ، b →) = 35 (m → ، m →) + 71 (m → ، n →) + 24 (n → ، n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → ، n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411.

الجواب: (أ → ، ب →) = 411

إذا كان هناك إسقاط رقمي.

مثال 6

ابحث عن المنتج النقطي a → و b →. يحتوي المتجه a → على إحداثيات a → = (9 ، 3 ، - 3) ، الإسقاط b → بالإحداثيات (- 3 ، - 1 ، 1).

المحلول

من خلال الفرضية ، يتم توجيه المتجهات a → والإسقاط b → بشكل معاكس ، لأن a → = - 1 3 · npa → b → → ، وبالتالي فإن الإسقاط b → يتوافق مع الطول npa → b → → ، ومع الإشارة " - ":

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ،

بالتعويض في الصيغة ، نحصل على التعبير:

(أ → ، ب →) = أ → ن ص أ → ب → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33.

الجواب: (أ → ، ب →) = - 33.

مشاكل مع منتج نقطي معروف ، حيث يكون من الضروري إيجاد طول متجه أو إسقاط رقمي.

مثال 7

ما القيمة التي يجب أن تأخذها λ لمنتج قياسي معين a → = (1 ، 0 ، λ + 1) و b → = (، 1 ، λ) ستكون مساوية لـ -1.

المحلول

توضح الصيغة أنه من الضروري إيجاد مجموع حاصل ضرب الإحداثيات:

(أ → ، ب →) = 1 + 0 1 + (+ 1) λ = λ 2 + 2 λ.

إذا كان لدينا (أ → ، ب →) = - 1.

للعثور على λ ، نحسب المعادلة:

λ 2 + 2 λ = - 1 ، ومن ثم λ = - 1.

الجواب: λ = - 1.

المعنى المادي للمنتج النقطي

تتعامل الميكانيكا مع تطبيق المنتج النقطي.

عند العمل A بقوة ثابتة F → يتحرك الجسم من النقطة M إلى N ، يمكنك العثور على حاصل ضرب أطوال المتجهات F → و MN → مع جيب التمام للزاوية بينهما ، مما يعني أن الشغل متساوي إلى حاصل ضرب نواقل القوة والإزاحة:

أ = (F → ، M N →).

المثال 8

حركة نقطة مادية بمقدار 3 أمتار تحت تأثير قوة تساوي 5 نانو طن يتم توجيهها بزاوية 45 درجة بالنسبة للمحور. إعثر على.

المحلول

نظرًا لأن الشغل هو ناتج متجه القوة والإزاحة ، فهذا يعني أنه بناءً على الحالة F → = 5 ، S → = 3 ، (F → ، S → ^) = 45 ° ، نحصل على A = (F → ، S →) = F → S → cos (F →، S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2.

الجواب: أ = 15 2 2.

المثال 9

نقطة مادية ، تتحرك من M (2 ، - 1 ، - 3) إلى N (5 ، 3 λ - 2 ، 4) تحت القوة F → = (3 ، 1 ، 2) ، تؤدي عملاً يساوي 13 J. احسب طول الحركة.

المحلول

للإحداثيات المحددة للمتجه M N → لدينا M N → = (5-2 ، 3 λ - 2 - (- 1) ، 4 - (- 3)) = (3 ، 3 λ - 1 ، 7).

باستخدام الصيغة لإيجاد العمل مع المتجهات F → = (3 ، 1 ، 2) و MN → = (3 ، 3 λ - 1 ، 7) ، نحصل على A = (F ⇒ ، MN →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3.

من خلال الفرضية ، نجد أن أ = 13 ج ، ما يعني 22 + 3 λ = 13. ومن ثم λ = - 3 ، ومن ثم M N → = (3 ، 3 λ - 1 ، 7) = (3 ، - 10 ، 7).

لإيجاد طول الإزاحة M N → ، طبق الصيغة واستبدل القيم:

م N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

الجواب: 158.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl + Enter

ستكون هناك أيضًا مهام لحل مستقل ، يمكنك رؤية الإجابات عليها.

إذا تم عرض كل من أطوال المتجهات والزاوية بينهما في المشكلة "على طبق من الفضة" ، فإن حالة المشكلة وحلها تبدو كما يلي:

مثال 1.نواقل معينة. أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهات إذا تم تمثيل أطوالها والزاوية بينهما بالقيم التالية:

هناك تعريف آخر صالح أيضًا ، وهو مكافئ تمامًا للتعريف 1.

التعريف 2... الناتج القياسي للمتجهات هو رقم (قياسي) يساوي حاصل ضرب طول أحد هذه المتجهات من خلال إسقاط المتجه الآخر على المحور الذي يحدده أول المتجهات المشار إليها. الصيغة وفقًا للتعريف 2:

سنحل المشكلة باستخدام هذه الصيغة بعد النقطة النظرية المهمة التالية.

تحديد حاصل الضرب القياسي للمتجهات بدلالة الإحداثيات

يمكن الحصول على نفس العدد إذا تم ضرب المتجهات في إحداثياتها.

التعريف 3.حاصل الضرب القياسي للمتجهات هو رقم يساوي مجموع حاصل الضرب الزوجي للإحداثيات الخاصة بهما.

على السطح

إذا تم تعريف متجهين وعلى المستوى من خلال اثنين إحداثيات مستطيلة ديكارتية

إذن ، الناتج القياسي لهذه المتجهات يساوي مجموع حاصل الضرب الزوجي للإحداثيات الخاصة بكل منهما:

.

مثال 2.أوجد القيمة العددية لإسقاط المتجه على محور موازٍ للمتجه.

المحلول. نجد حاصل الضرب القياسي للمتجهات بإضافة حاصل الضرب الزوجي لإحداثياتها:

نحتاج الآن إلى مساواة الناتج القياسي الناتج بحاصل ضرب طول المتجه وإسقاط المتجه على المحور الموازي للمتجه (وفقًا للصيغة).

نجد طول المتجه باعتباره الجذر التربيعي لمجموع مربعات إحداثياته:

.

نضع معادلة ونحلها:

إجابه. القيمة العددية المطلوبة هي 8 سالب.

في الفضاء

إذا تم تحديد متجهين وفي الفضاء من خلال إحداثيات المستطيلات الثلاثة الديكارتية

,

ثم الناتج القياسي لهذه المتجهات يساوي أيضًا مجموع حاصل الضرب الزوجي للإحداثيات المقابلة لها ، وهناك فقط ثلاثة إحداثيات:

.

تكمن مشكلة إيجاد المنتج النقطي بالطريقة المدروسة بعد تحليل خصائص المنتج النقطي. لأنه في المهمة سيكون من الضروري تحديد الزاوية التي تشكل المتجهات المضاعفة.

خصائص المنتج نقطة المتجه

الخصائص الجبرية

1. (خاصية الإزاحة: حجم حاصل الضرب النقطي الخاص بهم لا يتغير من مبادلة المتجهات التي يتم ضربها).

2. (خاصية الاندماج المضاعف: حاصل الضرب النقطي لمتجه مضروبًا في عامل ومتجه آخر يساوي حاصل الضرب النقطي لهذه المتجهات مضروبًا في نفس العامل).

3. (الملكية التوزيعية فيما يتعلق بمجموع النواقل: حاصل الضرب القياسي لمجموع متجهين بالمتجه الثالث يساوي مجموع حاصل الضرب النقطي للمتجه الأول بالمتجه الثالث والمتجه الثاني بواسطة المتجه الثالث).

4. (المربع القياسي للمتجه أكبر من الصفر) ، إذا كان متجهًا غير صفري ، وإذا كان متجهًا صفريًا.

الخصائص الهندسية

في تعريفات العملية قيد الدراسة ، تطرقنا بالفعل إلى مفهوم الزاوية بين متجهين. حان الوقت لتوضيح هذا المفهوم.

في الصورة أعلاه ، هناك متجهان مرئيان ، يتم إحضارهما إلى أصل مشترك. وأول شيء يجب الانتباه إليه: هناك زاويتان بين هذه المتجهات - φ 1 و φ 2 ... أي من هذه الزوايا يظهر في تعريفات وخصائص حاصل الضرب القياسي للمتجهات؟ مجموع الزوايا المدروسة هو 2 π وبالتالي فإن جيب التمام لهذه الزوايا متساوي. يتضمن تعريف حاصل الضرب النقطي جيب تمام الزاوية فقط ، وليس قيمة تعبيرها. ولكن في العقارات ، يتم أخذ زاوية واحدة فقط في الاعتبار. وهذه هي إحدى زاويتين لا يتجاوزان π ، أي 180 درجة. في الشكل ، تم تحديد هذه الزاوية كـ φ 1 .

1. يتم استدعاء اثنين من النواقل متعامد و الزاوية بين هذين المتجهين هي خط مستقيم (90 درجة أو π / 2) إذا حاصل الضرب القياسي لهذه المتجهات هو صفر :

.

التعامد في الجبر المتجه هو عمودي متجهين.

2. اثنين من ناقلات غير صفرية تشكل زاوية حادة (من 0 إلى 90 درجة ، أو ، وهو نفس الشيء - أقل π حاصل الضرب النقطي إيجابي .

3. اثنين من ناقلات غير صفرية تشكل زاوية منفرجة (من 90 إلى 180 درجة ، أو ما هو نفسه - أكثر π / 2) إذا وفقط إذا كانت حاصل الضرب النقطي سلبي .

مثال 3.يتم إعطاء المتجهات في الإحداثيات:

.

احسب حاصل الضرب القياسي لجميع أزواج المتجهات المعطاة. ما الزاوية (الحادة ، المستقيمة ، المنفرجة) التي تتكون منها أزواج المتجهات هذه؟

المحلول. سنحسب بإضافة حاصل ضرب الإحداثيات المقابلة.

حصلنا على رقم سالب ، وبالتالي فإن المتجهات تشكل زاوية منفرجة.

حصلنا على عدد موجب ، وبالتالي تشكل المتجهات زاوية حادة.

حصلنا على صفر ، لذا فإن المتجهات تشكل زاوية قائمة.

حصلنا على عدد موجب ، وبالتالي تشكل المتجهات زاوية حادة.

.

حصلنا على عدد موجب ، وبالتالي تشكل المتجهات زاوية حادة.

للاختبار الذاتي ، يمكنك استخدام آلة حاسبة على الإنترنت حاصل الضرب النقطي للمتجهات وجيب الزاوية بينهما .

مثال 4.أطوال متجهين والزاوية بينهما معطاة:

.

تحديد ما هي قيمة عدد المتجهات والمتعامدة (عمودي).

المحلول. نضرب المتجهات وفقًا لقاعدة ضرب كثيرات الحدود:

الآن دعنا نحسب كل مصطلح:

.

دعنا نؤلف معادلة (تساوي المنتج مع الصفر) ، ونعطي مصطلحات مماثلة ونحل المعادلة:

الجواب: حصلنا على المعنى λ = 1.8 ، حيث تكون المتجهات متعامدة.

مثال 5.إثبات أن المتجه متعامد (عمودي) على المتجه

المحلول. للتحقق من التعامد ، نقوم بضرب المتجهات وكمعدلات حدود ، مع استبدال التعبير الوارد في بيان المشكلة بدلاً من ذلك:

.

للقيام بذلك ، تحتاج إلى ضرب كل مصطلح (مصطلح) من كثير الحدود الأول في كل مصطلح من الثانية وإضافة الضربات الناتجة:

.

نتيجة لذلك ، يتم تقليل الكسر على حساب. والنتيجة هي ما يلي:

الخلاصة: نتيجة الضرب ، حصلنا على صفر ، لذلك تم إثبات تعامد (عمودية) المتجهات.

قم بحل المشكلة بنفسك ، ثم انظر إلى الحل

مثال 6.بالنظر إلى أطوال المتجهات و ، والزاوية بين هذين المتجهين هي π / 4. حدد بأي قيمة μ المتجهات ومتعامدة بشكل متبادل.

للاختبار الذاتي ، يمكنك استخدام آلة حاسبة على الإنترنت حاصل الضرب النقطي للمتجهات وجيب الزاوية بينهما .

تمثيل مصفوفة لحاصل الضرب النقطي للمتجهات وحاصل ضرب متجهات الأبعاد n

في بعض الأحيان يكون من المفيد من أجل الوضوح تمثيل المتجهين مضروبين في شكل مصفوفات. ثم يتم تمثيل المتجه الأول كمصفوفة صف ، والثاني - كمصفوفة عمود:

ثم سيكون الناتج القياسي للناقلات منتج هذه المصفوفات :

والنتيجة هي نفسها التي تم الحصول عليها بالطريقة التي درسناها بالفعل. يتم الحصول على رقم واحد ، وحاصل ضرب مصفوفة الصف بواسطة مصفوفة العمود هو أيضًا رقم واحد.

من الملائم تمثيل ناتج متجهات مجردة ذات أبعاد n في شكل مصفوفة. إذن ، حاصل ضرب متجهين رباعي الأبعاد سيكون ناتج مصفوفة صف مكونة من أربعة عناصر ومصفوفة عمود أيضًا مع أربعة عناصر ، حاصل ضرب متجهين خماسي الأبعاد سيكون حاصل ضرب مصفوفة صف مكونة من خمسة عناصر و مصفوفة عمود أيضًا تحتوي على خمسة عناصر ، وهكذا.

مثال 7.ابحث عن حاصل الضرب النقطي لأزواج من المتجهات

,

باستخدام تمثيل المصفوفة.

المحلول. الزوج الأول من النواقل. نمثل المتجه الأول كمصفوفة صف ، والثاني كمصفوفة عمود. نجد حاصل الضرب القياسي لهذه المتجهات كحاصل ضرب مصفوفة الصف بواسطة مصفوفة العمود:

وبالمثل ، نمثل الزوج الثاني ونجد:

كما ترى ، فإن النتائج هي نفسها تلك الخاصة بنفس الأزواج من المثال 2.

الزاوية بين متجهين

اشتقاق صيغة جيب تمام الزاوية بين متجهين جميل وموجز للغاية.

للتعبير عن حاصل الضرب النقطي للمتجهات

(1)

في صيغة الإحداثيات ، نجد أولاً الناتج القياسي لمتجهات الوحدة. حاصل الضرب النقطي للمتجه بحد ذاته بالتعريف:

ما هو مكتوب في الصيغة أعلاه يعني: حاصل الضرب القياسي للمتجه في حد ذاته يساوي مربع طوله... جيب تمام الصفر يساوي واحدًا ، لذا فإن مربع كل خطأ يساوي واحدًا:

منذ النواقل

تكون متعامدة بشكل زوجي ، فإن النواتج الزوجية لمتجهات الوحدة ستكون مساوية للصفر:

لنقم الآن بضرب كثيرات حدود المتجه:

نستبدل في الجانب الأيمن من المساواة قيم المنتجات العددية المقابلة لمتجهات الوحدة:

نحصل على صيغة جيب تمام الزاوية بين متجهين:

المثال 8.معطى ثلاث نقاط أ(1;1;1), ب(2;2;1), ج(2;1;2).

ابحث عن الزاوية.

المحلول. أوجد إحداثيات المتجهات:

,

.

وفقًا لصيغة جيب التمام للزاوية ، نحصل على:

لذلك، .

للاختبار الذاتي ، يمكنك استخدام آلة حاسبة على الإنترنت حاصل الضرب النقطي للمتجهات وجيب الزاوية بينهما .

المثال 9.يتم إعطاء متجهين

أوجد المجموع والفرق والطول وحاصل الضرب القياسي والزاوية بينهما.

2-الاختلاف

محاضرة: إحداثيات المتجهات ؛ المنتج النقطي للناقلات ؛ الزاوية بين النواقل

إحداثيات المتجهات

لذلك ، كما ذكرنا سابقًا ، المتجهات هي جزء موجه ، له بدايته ونهايته. إذا تم تمثيل البداية والنهاية ببعض النقاط ، فعندئذٍ على مستوى أو في الفضاء يكون لديهم إحداثيات خاصة بهم.

إذا كان لكل نقطة إحداثياتها الخاصة ، فيمكننا الحصول على إحداثيات المتجه بأكمله.

لنفترض أن لدينا متجهًا له بداية ونهاية المتجه التعيينات والإحداثيات التالية: A (A x؛ Ay) and B (B x؛ By)

للحصول على إحداثيات هذا المتجه ، من الضروري طرح إحداثيات البداية المقابلة من إحداثيات نهاية المتجه:

لتحديد إحداثيات متجه في الفضاء ، استخدم الصيغة التالية:

حاصل الضرب النقطي للناقلات

هناك طريقتان لتعريف المنتج النقطي:

• بطريقة هندسية. ووفقًا له ، فإن حاصل الضرب النقطي يساوي حاصل ضرب قيم هذه الوحدات بجيب تمام الزاوية بينهما.

• المعنى الجبري. من وجهة نظر الجبر ، فإن حاصل الضرب النقطي لمتجهين هو كمية معينة يتم الحصول عليها كنتيجة لمجموع حاصل ضرب المتجهات المقابلة.

إذا تم إعطاء المتجهات في الفراغ ، فيجب عليك استخدام صيغة مماثلة:

الخصائص:

• إذا ضربت متجهين متطابقين بشكل عددي ، فلن يكون حاصل الضرب النقطي سالبًا:

• إذا تبين أن الناتج القياسي لمتجهين متطابقين يساوي صفرًا ، فإن هذين المتجهين يعتبران صفرًا:

• إذا تم ضرب المتجه في نفسه ، فسيكون حاصل الضرب القياسي مساويًا لمربع مقياسه:

• المنتج العددي له خاصية تواصلية ، أي أن المنتج القياسي لن يتغير من تبديل المتجهات:

• يمكن أن يكون الناتج القياسي للمتجهات غير الصفرية صفرًا فقط إذا كانت المتجهات متعامدة مع بعضها البعض:

• بالنسبة إلى الناتج القياسي للمتجهات ، يكون قانون الإزاحة صالحًا في حالة ضرب أحد المتجهات في رقم:

• باستخدام حاصل الضرب النقطي ، يمكنك أيضًا استخدام خاصية التوزيع الخاصة بالضرب:

الزاوية بين النواقل