تعريف دائرة هورنر المعادلات في الرياضيات العليا. الجذور العقلانية لمتعددات الحدود

الشريحة 3

هورنر ويليامز جورج (1786-22.9.1837) - عالم رياضيات إنجليزي. ولد في بريستول. درس وعمل هناك ثم في مدارس باث. الأعمال الأساسية في الجبر. في عام 1819 نشر طريقة للحساب التقريبي للجذور الحقيقية لكثيرة الحدود، والتي تسمى الآن طريقة روفيني هورنر (كانت هذه الطريقة معروفة للصينيين في القرن الثالث عشر). تم تسمية مخطط تقسيم كثير الحدود على X-A بعد هورنر.

الشريحة 4

مخطط هورنر

طريقة لتقسيم كثيرة الحدود من الدرجة n على ذات الحدين الخطية - أ، بناءً على حقيقة أن معاملات الحاصل غير المكتمل والباقي مرتبطان بمعاملات كثير الحدود التي يتم تقسيمها وبالصيغ:

الشريحة 5

يتم وضع الحسابات وفقًا لمخطط هورنر في الجدول:

مثال 1. القسمة: حاصل القسمة الجزئي هو x3-x2+3x - 13 والباقي هو 42=f(-3).

الشريحة 6

الميزة الرئيسية لهذه الطريقة هي ضغط التدوين والقدرة على تقسيم كثيرة الحدود بسرعة إلى ذات الحدين. في الواقع، مخطط هورنر هو شكل آخر من أشكال تسجيل طريقة التجميع، على الرغم من أنه، على عكس الأخير، غير مرئي تمامًا. والجواب (التحليل) يتم الحصول عليه هنا بنفسه، ولا نرى عملية الحصول عليه. لن ننخرط في إثبات صارم لمخطط هورنر، لكننا سنوضح فقط كيف يعمل.

الشريحة 7

مثال 2.

دعونا نثبت أن كثيرة الحدود P(x)=x4-6x3+7x-392 قابلة للقسمة على x-7، ونوجد حاصل القسمة. حل. وباستخدام مخطط هورنر نجد P(7): ومن هنا نحصل على P(7)=0، أي. والباقي عند قسمة كثيرة الحدود على x-7 يساوي الصفر، وبالتالي فإن كثيرة الحدود P(x) هي من مضاعفات (x-7). علاوة على ذلك، فإن الأرقام الموجودة في الصف الثاني من الجدول هي معاملات حاصل قسمة P(x) على (x-7)، وبالتالي P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

الشريحة 8

عامل متعدد الحدود x3 - 5x2 - 2x + 16.

هذا كثير الحدود له معاملات عددية. إذا كان العدد الصحيح هو جذر كثير الحدود هذا، فهو مقسوم على الرقم 16. وبالتالي، إذا كان كثير الحدود المعين له جذور صحيحة، فيمكن أن تكون هذه الأرقام ± 1 فقط؛ ±2; ± 4؛ ± 8؛ ±16. وبالتحقق المباشر اقتنعنا أن الرقم 2 هو جذر كثيرة الحدود هذه، أي x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x)، حيث Q(x) كثيرة الحدود من الدرجة الثانية

الشريحة 9

الأرقام الناتجة 1، −3، −8 هي معاملات كثيرة الحدود، والتي يتم الحصول عليها عن طريق قسمة كثيرة الحدود الأصلية على x - 2. وهذا يعني أن نتيجة القسمة هي: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. درجة كثيرة الحدود الناتجة عن القسمة تكون دائمًا أقل بمقدار 1 من درجة الدرجة الأصلية. إذن: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

إلخ. ذات طبيعة تعليمية عامة ولها أهمية كبيرة لدراسة الدورة الكاملة للرياضيات العليا. سنكرر اليوم المعادلات "المدرسة"، ولكن ليس فقط المعادلات "المدرسة" - ولكن تلك الموجودة في كل مكان في مسائل فيشمات المختلفة. وكالعادة سيتم سرد القصة بطريقة تطبيقية، أي. لن أركز على التعريفات والتصنيفات، ولكن سأشارككم تجربتي الشخصية في حلها. المعلومات مخصصة في المقام الأول للمبتدئين، ولكن القراء الأكثر تقدمًا سيجدون أيضًا العديد من النقاط المثيرة للاهتمام لأنفسهم. وبالطبع ستكون هناك مواد جديدة تتجاوز المرحلة الثانوية.

إذن المعادلة…. يتذكر الكثيرون هذه الكلمة بقشعريرة. ما هي المعادلات "المعقدة" التي لها جذور تستحق... ... انساها! لأنه بعد ذلك ستقابل "ممثلي" هذا النوع الأكثر ضررًا. أو معادلات مثلثية مملة مع العشرات من طرق الحل. بصراحة، أنا شخصياً لم أحبهم.. لا تُصب بالذعر! - إذًا في الغالب تنتظرك "الهندباء" بحل واضح في خطوة أو خطوتين. على الرغم من أن "الأرقطيون" يتشبث بالتأكيد، إلا أنك بحاجة إلى أن تكون موضوعيًا هنا.

ومن الغريب أنه في الرياضيات العليا، من الشائع جدًا التعامل مع معادلات بدائية جدًا مثل خطيالمعادلات

ماذا يعني حل هذه المعادلة؟ وهذا يعني العثور على قيمة "x" (الجذر) التي تحولها إلى مساواة حقيقية. دعونا نرمي "الثلاثة" إلى اليمين مع تغيير الإشارة:

وقم بإسقاط "الاثنين" على الجانب الأيمن (أو نفس الشيء - اضرب كلا الطرفين في) :

للتحقق من ذلك، دعونا نستبدل الكأس التي فاز بها في المعادلة الأصلية:

تم الحصول على المساواة الصحيحة، مما يعني أن القيمة الموجودة هي بالفعل جذر هذه المعادلة. أو كما يقولون أيضًا يحقق هذه المعادلة.

يرجى ملاحظة أنه يمكن أيضًا كتابة الجذر ككسر عشري:
وحاول ألا تتمسك بهذا الأسلوب السيئ! لقد كررت السبب أكثر من مرة، على وجه الخصوص، في الدرس الأول الجبر العالي.

وبالمناسبة، يمكن أيضًا حل المعادلة "باللغة العربية":

والأكثر إثارة للاهتمام هو أن هذا التسجيل قانوني تمامًا! ولكن إذا لم تكن مدرسا فمن الأفضل ألا تفعل ذلك، لأن الأصالة يعاقب عليها هنا =)

والآن قليلا عن

طريقة الحل الرسومية

المعادلة لها الشكل وجذرها هو الإحداثيات "X". نقاط التقاطع الرسم البياني وظيفة خطيةمع الرسم البياني للدالة الخطية (المحور س):

يبدو أن المثال أولي للغاية لدرجة أنه لا يوجد شيء آخر لتحليله هنا، ولكن يمكن "استخلاص" فارق بسيط آخر غير متوقع منه: دعنا نقدم نفس المعادلة في الشكل وننشئ الرسوم البيانية للوظائف:

حيث، من فضلك لا تخلط بين المفهومين: المعادلة هي معادلة، و وظيفة– هذه وظيفة! المهام مساعدة فقطالعثور على جذور المعادلة. وقد يكون منها اثنان، أو ثلاثة، أو أربعة، أو حتى عددًا لا نهائيًا. وأقرب مثال في هذا المعنى هو المشهور معادلة من الدرجة الثانية، خوارزمية الحل التي تلقت فقرة منفصلة الصيغ المدرسية "الساخنة".. وهذا ليس من قبيل الصدفة! إذا كنت تستطيع حل المعادلة التربيعية ومعرفة نظرية فيثاغورس، إذن، يمكن للمرء أن يقول، "نصف الرياضيات العليا موجود بالفعل في جيبك" =) مبالغ فيه بالطبع، لكنه ليس بعيدًا عن الحقيقة!

لذا، دعونا لا نتكاسل ونحل بعض المعادلات التربيعية باستخدام خوارزمية قياسية:

مما يعني أن المعادلة لها معادلة مختلفة صالحجذر:

من السهل التحقق من أن كلا القيمتين الموجودتين تلبيان هذه المعادلة بالفعل:

ماذا تفعل إذا نسيت خوارزمية الحل فجأة، ولا توجد وسائل/أيدي مساعدة في متناول اليد؟ قد تنشأ هذه الحالة، على سبيل المثال، أثناء الاختبار أو الامتحان. نحن نستخدم الطريقة الرسومية! وهناك طريقتان: يمكنك ذلك بناء نقطة بنقطةالقطع المكافئ وبالتالي معرفة مكان تقاطعه مع المحور (إذا عبرت على الإطلاق). ولكن من الأفضل أن تفعل شيئًا أكثر دهاءً: تخيل المعادلة في الصورة، وارسم رسومًا بيانية لدوال أبسط - و إحداثيات "X".نقاط تقاطعهم واضحة للعيان!


إذا اتضح أن الخط المستقيم يمس القطع المكافئ، فإن المعادلة لها جذرين متطابقين (متعددين). إذا تبين أن الخط المستقيم لا يتقاطع مع القطع المكافئ، فلا توجد جذور حقيقية.

للقيام بذلك، بالطبع، عليك أن تكون قادرًا على البناء الرسوم البيانية للوظائف الأوليةولكن حتى تلميذ المدرسة يمكنه القيام بهذه المهارات.

ومرة أخرى - المعادلة هي معادلة، والدوال هي دوال ساعد فقطحل المعادلة!

وهنا، بالمناسبة، سيكون من المناسب أن نتذكر شيئا آخر: إذا ضربت جميع معاملات المعادلة في عدد غير الصفر، فإن جذورها لن تتغير.

لذلك، على سبيل المثال، المعادلة له نفس الجذور. وك"دليل" بسيط، سأخرج الثابت من الأقواس:
وسوف أقوم بإزالته دون ألم (سأقسم كلا الجزأين على "ناقص اثنين"):

لكن!إذا نظرنا إلى الوظيفة ، فلا يمكنك التخلص من الثابت هنا! ولا يجوز إخراج المضاعف من القوسين إلا: .

كثير من الناس يقللون من شأن طريقة الحل الرسومية، معتبرين أنها أمر “مهين”، بل إن البعض ينسى هذا الاحتمال تمامًا. وهذا خطأ جوهري، لأن رسم الرسوم البيانية في بعض الأحيان ينقذ الموقف!

مثال آخر: لنفترض أنك لا تتذكر جذور أبسط معادلة مثلثية: . الصيغة العامة موجودة في الكتب المدرسية، في جميع الكتب المرجعية حول الرياضيات الابتدائية، لكنها غير متوفرة لك. ومع ذلك، فإن حل المعادلة أمر بالغ الأهمية (ويعرف أيضًا باسم "اثنين"). هناك مخرج! - بناء الرسوم البيانية للوظائف:


وبعد ذلك نكتب بهدوء إحداثيات "X" لنقاط تقاطعها:

هناك عدد لا نهائي من الجذور ويتم قبول ترميزها المكثف في الجبر:
، أين ( – مجموعة من الأعداد الصحيحة) .

ودون "الرحيل"، بضع كلمات عن الطريقة الرسومية لحل المتباينات بمتغير واحد. المبدأ هو نفسه. لذا، على سبيل المثال، حل المتراجحة هو أي "x"، لأن يقع الجيوب الأنفية بالكامل تقريبًا تحت الخط المستقيم. حل المتباينة هو مجموعة الفترات التي تقع فيها قطع الشكل الجيبى فوق الخط المستقيم تمامًا (المحور السيني):

أو باختصار:

ولكن فيما يلي الحلول العديدة لعدم المساواة: فارغلأنه لا توجد نقطة في الشكل الجيبى تقع فوق الخط المستقيم.

هل هناك أي شيء لا تفهمه؟ على وجه السرعة دراسة الدروس حول مجموعاتو الرسوم البيانية الوظيفية!

دعونا الاحماء:

التمرين 1

حل المعادلات المثلثية التالية بيانياً:

الإجابات في نهاية الدرس

كما ترون، لدراسة العلوم الدقيقة، ليس من الضروري على الإطلاق حشر الصيغ والكتب المرجعية! علاوة على ذلك، فإن هذا النهج معيب بشكل أساسي.

كما طمأنتك بالفعل في بداية الدرس، نادرًا ما يتم حل المعادلات المثلثية المعقدة في الدورة القياسية للرياضيات العليا. كل التعقيد، كقاعدة عامة، ينتهي بمعادلات مثل، حلها عبارة عن مجموعتين من الجذور تنشأ من أبسط المعادلات و . لا تقلق كثيرًا بشأن حل المشكلة الأخيرة – ابحث في كتاب أو ابحث عنها على الإنترنت =)

يمكن أن تساعد طريقة الحل الرسومية أيضًا في الحالات الأقل تافهة. خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، معادلة "الخرقة" التالية:

آفاق حلها تبدو... لا تبدو وكأنها أي شيء على الإطلاق، ولكن عليك فقط أن تتخيل المعادلة في الصورة، قم ببناء الرسوم البيانية الوظيفيةوسيصبح كل شيء بسيطًا بشكل لا يصدق. يوجد رسم في منتصف المقال عنه وظائف متناهية الصغر (سيتم فتحه في علامة التبويب التالية).

باستخدام نفس الطريقة الرسومية، يمكنك معرفة أن المعادلة لها جذرين بالفعل، أحدهما يساوي صفرًا، والآخر، على ما يبدو، غير منطقيوينتمي إلى هذا الجزء. يمكن حساب هذا الجذر تقريبًا، على سبيل المثال، طريقة الظل. بالمناسبة، في بعض المشاكل، يحدث أنك لا تحتاج إلى العثور على الجذور، بل تحتاج إلى اكتشافها هل هم موجودون على الإطلاق؟. وهنا أيضًا يمكن أن يساعد الرسم - إذا لم تتقاطع الرسوم البيانية، فلا توجد جذور.

الجذور المنطقية لكثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة.
مخطط هورنر

والآن أدعوك إلى تحويل نظرك إلى العصور الوسطى والشعور بالجو الفريد للجبر الكلاسيكي. لفهم المادة بشكل أفضل، أنصحك بقراءة القليل على الأقل ارقام مركبة.

هم الأفضل. كثيرات الحدود.

سيكون موضوع اهتمامنا هو كثيرات الحدود الأكثر شيوعًا في النموذج جميعمعاملات يسمى عدد طبيعي درجة كثير الحدود, عدد - معامل أعلى درجة (أو فقط أعلى معامل)، والمعامل هو عضو مجاني.

سأشير باختصار إلى كثير الحدود هذا بواسطة .

جذور كثيرة الحدوداستدعاء جذور المعادلة

أنا أحب المنطق الحديدي =)

على سبيل المثال، انتقل إلى بداية المقالة:

لا توجد مشاكل في العثور على جذور كثيرات الحدود من الدرجة الأولى والثانية، ولكن مع زيادة هذه المهمة تصبح أكثر صعوبة. على الرغم من أنه من ناحية أخرى، كل شيء أكثر إثارة للاهتمام! وهذا هو بالضبط ما سيتم تخصيص الجزء الثاني من الدرس له.

أولاً، حرفيًا نصف شاشة النظرية:

1) حسب النتيجة الطبيعية النظرية الأساسية للجبر، درجة كثير الحدود بالضبط معقدجذور. قد تكون بعض الجذور (أو حتى كلها) خاصة صالح. علاوة على ذلك، من بين الجذور الحقيقية قد تكون هناك جذور متطابقة (متعددة). (الحد الأدنى قطعتين والحد الأقصى).

إذا كان عدد مركب ما هو جذر كثيرة الحدود، إذن المترافقةرقمه هو أيضًا بالضرورة جذر كثير الحدود هذا (الجذور المعقدة المترافقة لها الشكل).

أبسط مثال هو المعادلة التربيعية، والتي تمت مواجهتها لأول مرة في 8 (يحب)الفصل الدراسي، والذي "انتهينا منه" أخيرًا في الموضوع ارقام مركبة. اسمحوا لي أن أذكرك: المعادلة التربيعية لها إما جذرين حقيقيين مختلفين، أو جذور متعددة، أو جذور معقدة مترافقة.

2) من نظرية بيزوتويترتب على ذلك أنه إذا كان الرقم هو جذر المعادلة، فيمكن تحليل كثير الحدود المقابل:
، حيث هو متعدد الحدود من الدرجة.

ومرة أخرى، مثالنا القديم: بما أن هذا هو جذر المعادلة، إذن . وبعد ذلك ليس من الصعب الحصول على التوسعة "المدرسة" المعروفة.

إن النتيجة الطبيعية لنظرية بيزوت لها قيمة عملية كبيرة: إذا عرفنا جذر معادلة من الدرجة الثالثة، فيمكننا تمثيلها بالشكل ومن السهل معرفة الجذور المتبقية من المعادلة التربيعية. إذا عرفنا جذر معادلة الدرجة الرابعة، فمن الممكن توسيع الجانب الأيسر إلى منتج، وما إلى ذلك.

وهناك سؤالان هنا:

سؤال واحد. كيف تجد هذا الجذر بالذات؟ بادئ ذي بدء، دعونا نحدد طبيعتها: في العديد من مشاكل الرياضيات العليا، من الضروري العثور عليها عاقِل، بخاصة جميعجذور كثيرات الحدود، وفي هذا الصدد، سنهتم بها بشكل رئيسي أدناه.... ...إنها جيدة جدًا، ورقيقة جدًا، لدرجة أنك تريد العثور عليها فقط! =)

أول ما يتبادر إلى الذهن هو طريقة الاختيار. لنأخذ على سبيل المثال المعادلة. المصيد هنا هو في المصطلح الحر - إذا كان يساوي الصفر، فسيكون كل شيء على ما يرام - نخرج "X" من الأقواس والجذور نفسها "تسقط" على السطح:

لكن الحد الحر لدينا يساوي "ثلاثة"، وبالتالي نبدأ بالتعويض بأرقام مختلفة في المعادلة التي تدعي أنها "الجذر". بادئ ذي بدء، استبدال القيم الفردية يقترح نفسه. دعونا نستبدل:

تلقى غير صحيحالمساواة، وبالتالي فإن الوحدة "لم تكن مناسبة". حسنًا، حسنًا، لنستبدل:

تلقى حقيقيالمساواة! أي أن القيمة هي جذر هذه المعادلة.

للعثور على جذور كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة، هناك طريقة تحليلية (ما يسمى بصيغ كاردانو)لكننا الآن مهتمون بمهمة مختلفة قليلاً.

بما أن - هو جذر كثيرة الحدود لدينا، فيمكن تمثيل كثيرة الحدود في النموذج ونشوئها السؤال الثاني: كيف تجد "الأخ الأصغر"؟

أبسط الاعتبارات الجبرية تشير إلى أنه للقيام بذلك نحتاج إلى القسمة على . كيفية تقسيم كثير الحدود على كثير الحدود؟ نفس الطريقة المدرسية التي تقسم الأعداد العادية - "العمود"! لقد ناقشت هذه الطريقة بالتفصيل في الأمثلة الأولى للدرس. الحدود المعقدةوالآن سننظر إلى طريقة أخرى تسمى مخطط هورنر.

أولاً نكتب كثيرة الحدود "الأعلى". مع الجميع ، بما في ذلك المعاملات الصفرية:
، وبعد ذلك ندخل هذه المعاملات (بالترتيب الدقيق) في الصف العلوي من الجدول:

نكتب الجذر على اليسار:

سأحجز على الفور أن مخطط هورنر يعمل أيضًا إذا كان الرقم "أحمر". لاهو جذر كثير الحدود. ومع ذلك، دعونا لا نتعجل الأمور.

نقوم بإزالة المعامل الرئيسي من الأعلى:

عملية ملء الخلايا السفلية تذكرنا إلى حد ما بالتطريز، حيث "ناقص واحد" هو نوع من "الإبرة" التي تتخلل الخطوات اللاحقة. نضرب الرقم "المنقول" في (-1) ونضيف الرقم من الخلية العلوية إلى المنتج:

نضرب القيمة التي تم العثور عليها في "الإبرة الحمراء" ونضيف معامل المعادلة التالي إلى المنتج:

وأخيرًا، تتم معالجة القيمة الناتجة مرة أخرى باستخدام "الإبرة" والمعامل العلوي:

يخبرنا الصفر الموجود في الخلية الأخيرة أن كثيرة الحدود مقسمة إلى دون أن يترك أثرا (كما ينبغي أن يكون)، في حين تتم "إزالة" معاملات التمدد مباشرة من النتيجة النهائية للجدول:

وهكذا انتقلنا من المعادلة إلى معادلة مكافئة وكل شيء واضح مع الجذرين المتبقيين (في هذه الحالة نحصل على جذور معقدة مترافقة).

بالمناسبة، يمكن أيضًا حل المعادلة بيانيًا: مؤامرة "برق" ونرى أن الرسم البياني يعبر المحور السيني () عند نقطة . أو نفس الحيلة "الماكرة" - نعيد كتابة المعادلة في النموذج ونرسم الرسوم البيانية الأولية ونكتشف الإحداثيات "X" لنقطة التقاطع.

بالمناسبة، الرسم البياني لأي دالة متعددة الحدود من الدرجة الثالثة يتقاطع مع المحور مرة واحدة على الأقل، مما يعني أن المعادلة المقابلة لها على الأقلواحد صالحجذر. هذه الحقيقة صحيحة بالنسبة لأي دالة متعددة الحدود ذات درجة فردية.

وهنا أود أيضًا أن أتطرق إليه نقطة مهمةوالذي يتعلق بالمصطلحات: متعدد الحدودو الدالة متعددة الحدود – إنه ليس نفس الشيء! لكن من الناحية العملية، غالبًا ما يتحدثون، على سبيل المثال، عن "الرسم البياني لكثيرة الحدود"، وهو بالطبع إهمال.

ومع ذلك، دعونا نعود إلى مخطط هورنر. وكما ذكرت مؤخرًا، فإن هذا المخطط يعمل مع أرقام أخرى، ولكن إذا كان الرقم لاهو جذر المعادلة، ثم تظهر إضافة غير صفرية (الباقي) في صيغتنا:

فلنقم "بتشغيل" القيمة "غير الناجحة" وفقًا لمخطط هورنر. في هذه الحالة، من الملائم استخدام نفس الجدول - اكتب "إبرة" جديدة على اليسار، وحرك المعامل الرئيسي من الأعلى (السهم الأخضر الأيسر)، وها نحن ننطلق:

للتحقق، دعونا نفتح الأقواس ونقدم مصطلحات مماثلة:
، نعم.

من السهل ملاحظة أن الباقي ("ستة") هو بالضبط قيمة كثيرة الحدود عند . وفي الواقع - كيف هو:
وحتى أجمل - مثل هذا:

من السهل أن نفهم من الحسابات المذكورة أعلاه أن مخطط هورنر لا يسمح فقط بتحليل كثير الحدود، ولكن أيضًا إجراء اختيار "متحضر" للجذر. أقترح عليك دمج خوارزمية الحساب بنفسك بمهمة صغيرة:

المهمة 2

باستخدام مخطط هورنر، أوجد الجذر الصحيح للمعادلة وقم بتحليل كثيرة الحدود المقابلة لها

بمعنى آخر، هنا تحتاج إلى التحقق من الأرقام 1، -1، 2، -2، ... - حتى يتم "رسم" باقي الصفر في العمود الأخير. وهذا يعني أن "إبرة" هذا الخط هي جذر كثيرة الحدود

من الملائم ترتيب الحسابات في جدول واحد. الحل التفصيلي والإجابة في نهاية الدرس.

تعتبر طريقة اختيار الجذور جيدة للحالات البسيطة نسبيًا، ولكن إذا كانت المعاملات و/أو درجة كثير الحدود كبيرة، فقد تستغرق العملية وقتًا طويلاً. أو ربما هناك بعض القيم من نفس القائمة 1، –1، 2، –2 ولا فائدة من أخذها بعين الاعتبار؟ وإلى جانب ذلك، قد تكون الجذور كسرية، الأمر الذي سيؤدي إلى بدس غير علمي تماما.

لحسن الحظ، هناك نظريتان قويتان يمكن أن تقلل بشكل كبير من البحث عن القيم "المرشحة" للجذور المنطقية:

النظرية 1دعونا نفكر غير القابل للاختزالالكسر، حيث. إذا كان الرقم هو جذر المعادلة، فسيتم قسمة الحد الحر على ويقسم المعامل الرئيسي على.

بخاصة، إذا كان المعامل الرئيسي هو، فإن هذا الجذر العقلاني هو عدد صحيح:

ونبدأ في استغلال النظرية بهذه التفاصيل اللذيذة:

دعنا نعود إلى المعادلة. نظرًا لأن معاملها الرئيسي هو ، فإن الجذور المنطقية الافتراضية يمكن أن تكون عددًا صحيحًا حصريًا، ويجب بالضرورة تقسيم الحد الحر إلى هذه الجذور دون باقي. و"ثلاثة" لا يمكن تقسيمها إلا إلى 1 و-1 و3 و-3. وهذا يعني أن لدينا 4 "مرشحين جذريين" فقط. و بحسب النظرية 1، لا يمكن أن تكون الأعداد النسبية الأخرى جذورًا لهذه المعادلة من حيث المبدأ.

يوجد عدد أكبر قليلاً من "المتنافسين" في المعادلة: الحد الحر مقسم إلى 1، -1، 2، -2، 4، و-4.

يرجى ملاحظة أن الأرقام 1، -1 هي أرقام "نظامية" في قائمة الجذور المحتملة (نتيجة واضحة للنظرية)والخيار الأفضل لاختبار الأولوية.

دعنا ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحا:

المشكلة 3

حل: بما أن المعامل الرئيسي هو ، فإن الجذور المنطقية الافتراضية لا يمكن أن تكون إلا عددًا صحيحًا، ويجب أن تكون بالضرورة مقسومات على الحد الحر. ينقسم "ناقص أربعين" إلى أزواج الأرقام التالية:
- إجمالي 16 "مرشحا".

وهنا تظهر على الفور فكرة مغرية: هل من الممكن التخلص من كل الجذور السلبية أو الإيجابية؟ في بعض الحالات يكون ذلك ممكنا! سأصوغ علامتين:

1) إذا الجميعإذا كانت معاملات كثيرة الحدود غير سالبة، فلا يمكن أن يكون لها جذور موجبة. لسوء الحظ، هذه ليست حالتنا (الآن، إذا تم إعطاؤنا معادلة - فنعم، عند استبدال أي قيمة لكثيرة الحدود، تكون قيمة كثير الحدود موجبة تمامًا، مما يعني جميع الأرقام الموجبة (والغير عقلانية أيضاً)لا يمكن أن تكون جذور المعادلة.

2) إذا كانت معاملات القوى الفردية غير سالبة، ولجميع القوى الزوجية (بما في ذلك العضو الحر)سالبة، فإن كثيرة الحدود لا يمكن أن يكون لها جذور سلبية. هذه هي حالتنا! إذا نظرنا عن كثب، يمكنك أن ترى أنه عند استبدال أي علامة "X" سالبة في المعادلة، سيكون الطرف الأيسر سالبًا تمامًا، مما يعني اختفاء الجذور السالبة

وبالتالي، هناك 8 أرقام متبقية للبحث:

نحن "نفرض عليهم رسومًا" بالتسلسل وفقًا لمخطط هورنر. أتمنى أن تكون قد أتقنت بالفعل الحسابات الذهنية:

كان الحظ ينتظرنا عند اختبار "الاثنين". وبالتالي، هو جذر المعادلة قيد النظر، و

يبقى لدراسة المعادلة . من السهل القيام بذلك من خلال المُميِّز، لكنني سأجري اختبارًا إرشاديًا باستخدام نفس المخطط. أولا، دعونا نلاحظ أن الحد الحر يساوي 20، وهو ما يعني النظرية 1يسقط الرقمان 8 و40 من قائمة الجذور المحتملة، مما يترك القيم للبحث (تم القضاء على واحد وفقا لمخطط هورنر).

نكتب معاملات ثلاثية الحدود في الصف العلوي من الجدول الجديد و نبدأ في التحقق بنفس "الاثنين". لماذا؟ ولأن الجذور يمكن أن تكون مضاعفات، من فضلك: - هذه المعادلة لها 10 جذور متطابقة. لكن دعونا لا نشتت انتباهنا:

وهنا بالطبع كنت أكذب قليلاً، مع العلم أن الجذور عقلانية. بعد كل شيء، إذا كانت غير عقلانية أو معقدة، فسأواجه فحصًا غير ناجح لجميع الأرقام المتبقية. لذلك، في الممارسة العملية، الاسترشاد بالمميز.

إجابة: الجذور النسبية: 2، 4، 5

في المشكلة التي قمنا بتحليلها، كنا محظوظين، لأنه: أ) سقطت القيم السالبة على الفور، و ب) وجدنا الجذر بسرعة كبيرة (ونظريًا يمكننا التحقق من القائمة بأكملها).

لكن في الواقع الوضع أسوأ بكثير. أدعوكم لمشاهدة لعبة مثيرة تسمى "البطل الأخير":

المشكلة 4

أوجد الجذور العقلانية للمعادلة

حل: بواسطة النظرية 1يجب أن تستوفي بسط الجذور المنطقية الافتراضية الشرط (نقرأ "اثنا عشر مقسومة على إل")، والمقامات تتوافق مع الشرط. وبناء على ذلك نحصل على قائمتين:

"قائمة إل":
و "قائمة أم": (لحسن الحظ، الأرقام هنا طبيعية).

الآن دعونا نصنع قائمة بجميع الجذور الممكنة. أولاً، نقوم بتقسيم قائمة "el" على . ومن الواضح تمامًا أنه سيتم الحصول على نفس الأرقام. للراحة، دعونا نضعها في الجدول:

تم تقليل العديد من الكسور، مما أدى إلى ظهور قيم موجودة بالفعل في "قائمة الأبطال". نضيف فقط "المبتدئين":

وبالمثل، فإننا نقسم نفس "القائمة" على:

وأخيرا على

وهكذا يكتمل فريق المشاركين في لعبتنا:


لسوء الحظ، كثير الحدود في هذه المشكلة لا يفي بالمعيار "الإيجابي" أو "السلبي"، وبالتالي لا يمكننا تجاهل الصف العلوي أو السفلي. سيكون عليك العمل مع جميع الأرقام.

كيف تشعر؟ هيا، ارفع رأسك - هناك نظرية أخرى يمكن أن يطلق عليها مجازيًا "النظرية القاتلة"…. ..."المرشحين" بالطبع =)

لكن عليك أولاً التمرير عبر مخطط هورنر لواحد على الأقل الكلأعداد. تقليديا، دعونا نأخذ واحدة. في السطر العلوي نكتب معاملات كثيرة الحدود وكل شيء كالمعتاد:

وبما أن أربعة ليس صفرًا، فمن الواضح أن القيمة ليست جذر كثيرة الحدود المعنية. لكنها سوف تساعدنا كثيرا.

النظرية 2إذا للبعض على العمومقيمة كثيرة الحدود غير صفر، ثم جذورها النسبية (إذا كانوا)تلبية الشرط

في حالتنا، وبالتالي، يجب أن تستوفي جميع الجذور الممكنة الشرط (دعنا نسميها الشرط رقم 1). هؤلاء الأربعة سيكونون "القاتل" للعديد من "المرشحين". كعرض توضيحي، سألقي نظرة على بعض الشيكات:

دعونا نتحقق من "المرشح". للقيام بذلك، دعونا نمثلها بشكل مصطنع في شكل كسر، والذي يتبين منه بوضوح أن . دعونا نحسب فرق الاختبار: . أربعة مقسومًا على "ناقص اثنين": مما يعني أن الجذر المحتمل قد اجتاز الاختبار.

دعونا نتحقق من القيمة. هنا فرق الاختبار هو: . بالطبع، وبالتالي يبقى "الموضوع" الثاني أيضًا في القائمة.

يواصل موقع "مدرس الرياضيات المحترف" سلسلة المقالات المنهجية حول التدريس. أنشر أوصافًا لأساليب عملي مع الموضوعات الأكثر تعقيدًا وإشكالية في المناهج الدراسية. ستكون هذه المادة مفيدة للمعلمين والمدرسين في الرياضيات الذين يعملون مع الطلاب في الصفوف 8-11 سواء في البرنامج العادي أو في برنامج دروس الرياضيات.

لا يستطيع مدرس الرياضيات دائمًا شرح المواد التي يتم تقديمها بشكل سيء في الكتاب المدرسي. لسوء الحظ، أصبحت هذه المواضيع أكثر وأكثر عددا، ويتم ارتكاب أخطاء العرض التي تتبع مؤلفي الأدلة بشكل جماعي. وهذا لا ينطبق فقط على معلمي الرياضيات المبتدئين والمدرسين بدوام جزئي (المعلمون هم الطلاب والمعلمون الجامعيون)، ولكن أيضًا على المعلمين ذوي الخبرة، والمدرسين المحترفين، والمدرسين ذوي الخبرة والمؤهلات. ليس كل معلمي الرياضيات لديهم موهبة تصحيح الحواف الخشنة في الكتب المدرسية بكفاءة. ولا يفهم الجميع أيضًا أن هذه التصحيحات (أو الإضافات) ضرورية. عدد قليل من الأطفال يشاركون في تكييف المواد لإدراكها النوعي من قبل الأطفال. لسوء الحظ، لقد مر الوقت الذي ناقش فيه مدرسو الرياضيات، إلى جانب المنهجيين ومؤلفي المنشورات، بشكل جماعي كل حرف من الكتاب المدرسي. في السابق، قبل إصدار كتاب مدرسي في المدارس، تم إجراء تحليلات ودراسات جادة لنتائج التعلم. لقد حان الوقت للهواة الذين يسعون جاهدين لجعل الكتب المدرسية عالمية، وتعديلها لتتوافق مع معايير فصول الرياضيات القوية.

السباق لزيادة كمية المعلومات يؤدي فقط إلى انخفاض جودة استيعابها، ونتيجة لذلك، انخفاض في مستوى المعرفة الحقيقية في الرياضيات. لكن لا أحد ينتبه لهذا. ويضطر أطفالنا، بالفعل في الصف الثامن، إلى دراسة ما درسناه في المعهد: نظرية الاحتمال وحل المعادلات عالية الدرجة وشيء آخر. إن تكييف المواد الموجودة في الكتب من أجل الإدراك الكامل للطفل يترك الكثير مما هو مرغوب فيه، ويضطر مدرس الرياضيات إلى التعامل مع هذا بطريقة أو بأخرى.

دعونا نتحدث عن منهجية تدريس موضوع محدد مثل "تقسيم كثير الحدود على كثير الحدود على الزاوية"، والمعروف في الرياضيات للبالغين باسم "نظرية بيزوت ومخطط هورنر". قبل عامين فقط، لم يكن السؤال ملحًا جدًا بالنسبة لمدرس الرياضيات، لأنه لم يكن جزءًا من المنهج الدراسي الرئيسي. الآن قام مؤلفو الكتاب المدرسي المحترمون، الذين حرره تيلياكوفسكي، بإجراء تغييرات على أحدث طبعة لما هو، في رأيي، أفضل كتاب مدرسي، وبعد أن أفسدوه تمامًا، أضافوا فقط مخاوف غير ضرورية إلى المعلم. بدأ معلمو المدارس والفصول التي لا تتمتع بمكانة الرياضيات، مع التركيز على ابتكارات المؤلفين، في كثير من الأحيان بتضمين فقرات إضافية في دروسهم، والأطفال الفضوليون، الذين ينظرون إلى الصفحات الجميلة من كتاب الرياضيات المدرسي، يسألون بشكل متزايد المعلم: "ما هذا التقسيم للزاوية؟ هل سنمر بهذا؟ كيفية مشاركة الزاوية؟ لم يعد هناك مجال للاختباء من مثل هذه الأسئلة المباشرة. سيتعين على المعلم أن يخبر الطفل بشيء ما.

ولكن كما؟ ربما لم أكن لأصف طريقة العمل مع الموضوع إذا تم تقديمه بشكل صحيح في الكتب المدرسية. كيف تسير الأمور معنا؟ يجب طباعة الكتب المدرسية وبيعها. ولهذا يحتاجون إلى التحديث بانتظام. هل يشتكي أساتذة الجامعات من أن الأطفال يأتون إليهم خاليي الرؤوس، بلا علم ومهارات؟ هل تتزايد متطلبات المعرفة الرياضية؟ عظيم! لنقم بإزالة بعض التمارين وإدراج الموضوعات التي تمت دراستها في برامج أخرى بدلاً من ذلك. لماذا كتابنا المدرسي أسوأ؟ سنقوم بتضمين بعض الفصول الإضافية. تلاميذ المدارس لا يعرفون حكم التقسيم على الزاوية؟ هذه هي الرياضيات الأساسية. وينبغي جعل هذه الفقرة اختيارية بعنوان "لمن يريد معرفة المزيد". هل المعلمون ضد ذلك؟ لماذا نهتم بالمعلمين بشكل عام؟ المنهجيون ومعلمو المدارس هم أيضا ضد ذلك؟ لن نقوم بتعقيد المادة وسننظر في أبسط جزء منها.

وهذا هو المكان الذي يبدأ فيه الأمر. تكمن بساطة الموضوع وجودة استيعابه في المقام الأول في فهم منطقه، وليس في تنفيذ مجموعة معينة من العمليات التي لا ترتبط بشكل واضح ببعضها البعض، وفقًا لتعليمات مؤلفي الكتاب المدرسي. . وإلا سيكون هناك ضباب في رأس الطالب. إذا كان المؤلفون يستهدفون طلابًا أقوياء نسبيًا (ولكنهم يدرسون في برنامج عادي)، فلا ينبغي عليك تقديم الموضوع في نموذج أمر. ماذا نرى في الكتاب المدرسي؟ أيها الأطفال، يجب علينا أن نقسم وفقا لهذه القاعدة. احصل على كثير الحدود تحت الزاوية. وبالتالي، سيتم تحليل كثير الحدود الأصلي. ومع ذلك، ليس من الواضح أن نفهم لماذا يتم اختيار الحدود الموجودة تحت الزاوية بهذه الطريقة بالضبط، ولماذا يجب ضربها في كثيرة الحدود الموجودة فوق الزاوية، ثم طرحها من الباقي الحالي. والأهم من ذلك، أنه ليس من الواضح لماذا يجب في النهاية إضافة أحاديات الحد المحددة ولماذا ستكون الأقواس الناتجة امتدادًا لكثيرة الحدود الأصلية. سيضع أي عالم رياضيات مختص علامة استفهام جريئة على التوضيحات الواردة في الكتاب المدرسي.

أوجه انتباه المعلمين ومدرسي الرياضيات إلى حل المشكلة الذي يجعل كل ما هو مذكور في الكتاب المدرسي واضحًا للطالب. في الواقع، سنثبت نظرية بيزوت: إذا كان الرقم a هو جذر كثيرة الحدود، فيمكن تحليل كثيرة الحدود هذه إلى عوامل، أحدها x-a، ويتم الحصول على الثاني من الأصل بإحدى الطرق الثلاث: عن طريق عزل عامل خطي من خلال التحويلات، أو عن طريق القسمة على الزاوية، أو عن طريق مخطط هورنر. مع هذه الصيغة سيكون من الأسهل على مدرس الرياضيات العمل.

ما هي منهجية التدريس؟ بادئ ذي بدء، هذا ترتيب واضح في تسلسل التفسيرات والأمثلة التي يتم على أساسها استخلاص الاستنتاجات الرياضية. هذا الموضوع ليس استثناء. من المهم جدًا لمعلم الرياضيات أن يعرّف الطفل بنظرية بيزوت قبل التقسيم على زاوية. انها مهمة جدا! من الأفضل أن تكتسب الفهم باستخدام مثال محدد. لنأخذ بعض كثيرات الحدود ذات جذر محدد ونظهر تقنية تحليلها إلى عوامل باستخدام طريقة تحويلات الهوية المألوفة لأطفال المدارس من الصف السابع. من خلال التوضيحات المصاحبة المناسبة والتأكيدات والنصائح من مدرس الرياضيات، من الممكن تمامًا نقل المادة دون أي حسابات رياضية عامة ومعاملات وقوى عشوائية.

نصيحة هامة لمدرس الرياضيات- اتبع التعليمات من البداية إلى النهاية ولا تغير هذا التسلسل.

لذا، لنفترض أن لدينا كثيرة الحدود. إذا قمنا باستبدال الرقم 1 بدلاً من X، فإن قيمة كثيرة الحدود ستكون مساوية للصفر. وبالتالي فإن x=1 هو جذرها. دعونا نحاول تحليلها إلى مصطلحين بحيث يكون أحدهما حاصل ضرب تعبير خطي وبعض أحاديات الحد، والثاني له درجة أقل من . أي أننا نمثلها بالشكل

نختار وحيد الحد للحقل الأحمر بحيث أنه عند ضربه في الحد الرئيسي، فإنه يتطابق تمامًا مع الحد الرئيسي في كثير الحدود الأصلي. إذا لم يكن الطالب هو الأضعف، فسيكون قادرًا تمامًا على إخبار مدرس الرياضيات بالتعبير المطلوب: . يجب أن يُطلب من المعلم على الفور إدخاله في الحقل الأحمر وإظهار ما سيحدث عند فتحه. من الأفضل التوقيع على متعدد الحدود الافتراضي المؤقت هذا أسفل الأسهم (تحت الصورة الصغيرة)، مع تسليط الضوء عليه ببعض الألوان، على سبيل المثال، اللون الأزرق. سيساعدك هذا في تحديد مصطلح للحقل الأحمر، يسمى باقي التحديد. أنصح المعلمين أن يشيروا هنا إلى أنه يمكن إيجاد هذا الباقي عن طريق الطرح. بإجراء هذه العملية نحصل على:

يجب على مدرس الرياضيات أن يلفت انتباه الطالب إلى حقيقة أنه من خلال استبدال واحد في هذه المساواة، نضمن الحصول على صفر على الجانب الأيسر (نظرًا لأن 1 هو جذر كثير الحدود الأصلي)، وعلى الجانب الأيمن، من الواضح أننا سوف صفر أيضا خارج الفصل الأول. هذا يعني أنه بدون أي تحقق يمكننا القول أن واحدًا هو جذر "الباقي الأخضر".

دعونا نتعامل معها بنفس الطريقة التي تعاملنا بها مع كثيرة الحدود الأصلية، ونعزل عنها نفس العامل الخطي. يرسم مدرس الرياضيات إطارين أمام الطالب ويطلب منهم ملئهما من اليسار إلى اليمين.

يختار الطالب للمدرس وحيدة الحد للمجال الأحمر بحيث، عند ضربها في الحد الأعلى للتعبير الخطي، فإنها تعطي الحد الأعلى في كثير الحدود المتوسعة. نضعها في الإطار ونفتح الدعامة على الفور ونسلط الضوء باللون الأزرق على التعبير الذي يجب طرحه من التعبير القابل للطي. تنفيذ هذه العملية نحصل عليها

وأخيرًا، نفعل الشيء نفسه مع الباقي الأخير

سوف نحصل عليه أخيرا

الآن لنخرج التعبير من القوس وسنرى تحليل كثيرة الحدود الأصلية إلى عوامل، أحدها هو "x ناقص الجذر المحدد".

لكي لا يعتقد الطالب أن "الباقي الأخضر" الأخير قد تحلل عن طريق الخطأ إلى العوامل المطلوبة، يجب على مدرس الرياضيات أن يشير إلى خاصية مهمة لجميع البقايا الخضراء - كل منها له جذر 1. بما أن درجات تتناقص هذه البقايا، ثم مهما كانت درجة البداية بغض النظر عن مقدار كثيرة الحدود الممنوحة لنا، فعاجلاً أم آجلاً سنحصل على "بقي أخضر" خطي مع جذر 1، وبالتالي سوف يتحلل بالضرورة إلى حاصل ضرب عدد معين رقم وتعبير.

بعد هذا العمل التحضيري، لن يكون من الصعب على مدرس الرياضيات أن يشرح للطالب ما يحدث عند القسمة على زاوية. هذه هي نفس العملية، ولكن في شكل أقصر وأكثر إحكاما، دون علامات المساواة ودون إعادة كتابة نفس المصطلحات المميزة. تتم كتابة كثيرات الحدود التي يتم استخراج العامل الخطي منها على يسار الزاوية، ويتم جمع أحاديات الحد الحمراء المحددة بزاوية (يصبح من الواضح الآن سبب إضافتها)، للحصول على "متعددات الحدود الزرقاء" التي تحتاج إلى ضربها "الحمراء" بمقدار x-1، ثم اطرحها من المحدد حاليًا، كيف يتم ذلك في التقسيم المعتاد للأرقام في عمود (هنا تشبيه لما تمت دراسته مسبقًا). تخضع "المخلفات الخضراء" الناتجة لعزل جديد واختيار "أحادية الحد الحمراء". وهكذا حتى تحصل على "التوازن الأخضر" صفر. الشيء الأكثر أهمية هو أن يفهم الطالب المصير الإضافي لمتعددات الحدود المكتوبة أعلى الزاوية وتحتها. من الواضح أن هذه الأقواس حاصل ضربها يساوي كثيرة الحدود الأصلية.

المرحلة التالية من عمل مدرس الرياضيات هي صياغة نظرية بيزوت. في الواقع، تصبح صياغته بهذا الأسلوب من المعلم واضحة: إذا كان الرقم a هو جذر كثيرة الحدود، فيمكن تحليله، أحدهما هو، ويتم الحصول على الآخر من الرقم الأصلي بإحدى الطرق الثلاث :

• التحلل المباشر (مماثل لطريقة التجميع)
• القسمة على زاوية (في عمود)
• عبر دائرة هورنر

يجب أن أقول أنه ليس كل مدرسي الرياضيات يظهرون للطلاب مخطط هورنر، وليس كل معلمي المدارس (لحسن الحظ المعلمين أنفسهم) يتعمقون في الموضوع أثناء الدروس. ومع ذلك، بالنسبة لطالب صف الرياضيات، لا أرى أي سبب للتوقف عند القسمة المطولة. وعلاوة على ذلك، والأكثر ملاءمة و سريعتعتمد تقنية التحلل بدقة على مخطط هورنر. من أجل أن تشرح للطفل من أين يأتي، يكفي أن تتبع، باستخدام مثال القسمة على الزاوية، ظهور معاملات أعلى في البقايا الخضراء. يصبح من الواضح أن المعامل الرئيسي لكثيرة الحدود الأولية يُنقل إلى معامل "أحادية الحد الحمراء" الأولى، وبعيدًا عن المعامل الثاني لكثيرة الحدود العليا الحالية خصمنتيجة ضرب المعامل الحالي لـ "أحادية الحد الأحمر" بـ . ولذلك فمن الممكن يضيفنتيجة الضرب ب . بعد تركيز انتباه الطالب على تفاصيل الإجراءات باستخدام المعاملات، يمكن لمدرس الرياضيات أن يوضح كيفية تنفيذ هذه الإجراءات عادةً دون تسجيل المتغيرات نفسها. للقيام بذلك، من المناسب إدخال جذر ومعاملات كثيرة الحدود الأصلية حسب الأسبقية في الجدول التالي:

إذا كانت هناك أي درجة مفقودة في كثيرة الحدود، فسيتم إدخال معاملها الصفري في الجدول. يتم إدخال معاملات "متعددات الحدود الحمراء" واحدًا تلو الآخر في المحصلة النهائية وفقًا لقاعدة "الخطاف":

يتم ضرب الجذر في المعامل الأحمر الأخير، ويضاف إلى المعامل التالي في السطر العلوي، ويتم كتابة النتيجة إلى السطر السفلي. في العمود الأخير نضمن حصولنا على أعلى معامل للباقي الأخضر الأخير، أي صفر. بعد انتهاء العملية بالارقام يقع بين الجذر المطابق والباقي صفرتتحول إلى معاملات العامل الثاني (غير الخطي).

بما أن الجذر a يعطي صفرًا في نهاية السطر السفلي، فيمكن استخدام مخطط هورنر للتحقق من الأعداد الخاصة بعنوان جذر كثيرة الحدود. إذا كانت نظرية خاصة حول اختيار الجذر العقلاني. يتم ببساطة إدراج جميع المرشحين لهذا العنوان، الذين تم الحصول عليهم بمساعدته، بدورهم من اليسار في مخطط هورنر. وبمجرد أن نحصل على الصفر، فإن العدد الذي تم اختباره سيكون جذرًا، وفي نفس الوقت سنحصل على معاملات تحليل كثيرة الحدود الأصلية على خطها. بشكل مريح للغاية.

في الختام، أود أن أشير إلى أنه من أجل تقديم مخطط هورنر بدقة، وكذلك توحيد الموضوع عمليا، يجب أن يكون لدى مدرس الرياضيات عدد كاف من الساعات تحت تصرفه. يجب ألا يشارك المعلم الذي يعمل بنظام "مرة واحدة في الأسبوع" في تقسيم الزوايا. في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات وفي أكاديمية الدولة للرياضيات في الرياضيات، من غير المرجح أن تواجه في الجزء الأول معادلة من الدرجة الثالثة يمكن حلها بهذه الوسائل. إذا كان المعلم يقوم بإعداد طفل لامتحان الرياضيات في جامعة موسكو الحكومية، تصبح دراسة الموضوع إلزامية. مدرسو الجامعات، على عكس جامعي امتحان الدولة الموحدة، يحبون حقًا اختبار عمق معرفة مقدم الطلب.

كولباكوف ألكسندر نيكولاييفيتش، مدرس الرياضيات موسكو، ستروجينو

مخطط هورنر - طريقة لتقسيم كثير الحدود

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

على ذات الحدين $x-a$. سيتعين عليك العمل مع جدول يحتوي الصف الأول منه على معاملات كثيرة الحدود المحددة. العنصر الأول من السطر الثاني سيكون الرقم $a$، المأخوذ من ذات الحدين $x-a$:

بعد قسمة كثيرة الحدود من الدرجة n على ذات الحدين $x-a$، نحصل على كثيرة الحدود التي تكون درجتها أقل بدرجة واحدة من الدرجة الأصلية، أي. يساوي $n-1$. من الأسهل توضيح التطبيق المباشر لمخطط هورنر باستخدام الأمثلة.

المثال رقم 1

اقسم $5x^4+5x^3+x^2-11$ على $x-1$ باستخدام مخطط هورنر.

لنقم بعمل جدول من سطرين: في السطر الأول نكتب معاملات كثيرة الحدود $5x^4+5x^3+x^2-11$، مرتبة بترتيب تنازلي لقوى المتغير $x$. لاحظ أن كثير الحدود هذا لا يحتوي على $x$ إلى الدرجة الأولى، أي. معامل $x$ للقوة الأولى هو 0. وبما أننا نقسم على $x-1$، نكتب واحدًا في السطر الثاني:

لنبدأ بملء الخلايا الفارغة في السطر الثاني. في الخلية الثانية من السطر الثاني نكتب الرقم $5$، وذلك ببساطة عن طريق نقله من الخلية المقابلة في السطر الأول:

لنملأ الخلية التالية وفقًا لهذا المبدأ: $1\cdot 5+5=10$:

لنملأ الخلية الرابعة من السطر الثاني بنفس الطريقة: $1\cdot 10+1=11$:

بالنسبة للخلية الخامسة نحصل على: $1\cdot 11+0=11$:

وأخيرًا، بالنسبة للخلية السادسة الأخيرة، لدينا: $1\cdot 11+(-11)=0$:

تم حل المشكلة، كل ما تبقى هو كتابة الجواب:

كما ترون، فإن الأرقام الموجودة في السطر الثاني (بين واحد وصفر) هي معاملات كثيرة الحدود التي تم الحصول عليها بعد قسمة $5x^4+5x^3+x^2-11$ على $x-1$. بطبيعة الحال، بما أن درجة كثيرة الحدود الأصلية $5x^4+5x^3+x^2-11$ كانت تساوي أربعة، فإن درجة كثيرة الحدود الناتجة $5x^3+10x^2+11x+11$ هي واحدة أقل، أي. يساوي ثلاثة. الرقم الأخير في السطر الثاني (صفر) يعني الباقي عند قسمة كثير الحدود $5x^4+5x^3+x^2-11$ على $x-1$. وفي حالتنا الباقي هو صفر، أي. كثيرات الحدود قابلة للقسمة بالتساوي. يمكن أيضًا وصف هذه النتيجة على النحو التالي: قيمة كثيرة الحدود $5x^4+5x^3+x^2-11$ عند $x=1$ تساوي الصفر.

يمكن أيضًا صياغة الاستنتاج بهذه الصورة: نظرًا لأن قيمة كثيرة الحدود $5x^4+5x^3+x^2-11$ عند $x=1$ تساوي الصفر، فإن الوحدة هي جذر كثيرة الحدود $5x^4+5x^3+ x^2-11$.

المثال رقم 2

اقسم كثير الحدود $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ على $x+3$ باستخدام مخطط هورنر.

دعونا نشترط على الفور أن التعبير $x+3$ يجب أن يتم تمثيله بالشكل $x-(-3)$. سيتضمن مخطط هورنر بالضبط -3 دولارات. بما أن درجة كثيرة الحدود الأصلية $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ تساوي أربعة، فنتيجة للقسمة نحصل على كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة:

النتيجة تعني ذلك

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

في هذه الحالة، يكون الباقي عند قسمة $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ على $x+3$ هو $4$. أو، بالمثل، قيمة كثيرة الحدود $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ لـ $x=-3$ تساوي $4$. بالمناسبة، من السهل التحقق من ذلك مرة أخرى عن طريق الاستبدال المباشر $x=-3$ في كثيرة الحدود المحددة:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

أولئك. يمكن استخدام مخطط هورنر إذا كنت بحاجة إلى إيجاد قيمة كثيرة الحدود لقيمة معينة لمتغير. إذا كان هدفنا هو إيجاد جميع جذور كثيرة الحدود، فيمكن تطبيق مخطط هورنر عدة مرات متتالية حتى نستنفد جميع الجذور، كما تمت مناقشته في المثال رقم 3.

المثال رقم 3

أوجد جميع الجذور الصحيحة للكثيرة الحدود $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ باستخدام مخطط هورنر.

معاملات كثيرة الحدود المعنية هي أعداد صحيحة، ومعامل أعلى قوة للمتغير (أي $x^6$) يساوي واحدًا. في هذه الحالة، يجب البحث عن الجذور الصحيحة لكثيرة الحدود بين قواسم الحد الحر، أي. بين قواسم الرقم 45. بالنسبة للكثيرة حدود معينة، يمكن أن تكون هذه الجذور هي الأرقام $45؛ \; 15؛ \; 9؛ \; 5؛ \; 3؛ \; 1 دولار و-45 دولارًا؛ \; -15؛ \; -9؛ \; -5؛ \; -3؛ \; -1$. دعونا نتحقق، على سبيل المثال، من الرقم $1$:

كما ترون، قيمة كثيرة الحدود $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ مع $x=1$ تساوي $192$ (الرقم الأخير في السطر الثاني)، وليس $0 $، وبالتالي فإن الوحدة ليست جذر كثير الحدود هذا. نظرًا لفشل التحقق من أحد هذه العناصر، فلنتحقق من القيمة $x=-1$. لن نقوم بإنشاء جدول جديد لهذا، ولكننا سنستمر في استخدام الجدول. رقم 1 إضافة سطر (ثالث) جديد إليه. سيتم تمييز السطر الثاني، الذي تم تحديد قيمة $1$ فيه، باللون الأحمر ولن يتم استخدامه في مزيد من المناقشات.

يمكنك، بالطبع، إعادة كتابة الجدول مرة أخرى، لكن ملؤه يدويًا سيستغرق الكثير من الوقت. علاوة على ذلك، قد يكون هناك عدة أرقام سيفشل التحقق منها، ومن الصعب كتابة جدول جديد في كل مرة. عند الحساب "على الورق"، يمكن ببساطة شطب الخطوط الحمراء.

إذن، قيمة كثيرة الحدود $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ عند $x=-1$ تساوي صفر، أي. الرقم $-1$ هو جذر كثير الحدود هذا. بعد قسمة كثيرة الحدود $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ على ذات الحدين $x-(-1)=x+1$ نحصل على كثيرة الحدود $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$، والتي يتم أخذ معاملاتها من الصف الثالث من الجدول. رقم 2 (أنظر المثال رقم 1). يمكن أيضًا عرض نتيجة الحسابات في هذا النموذج:

\تبدأ(المعادلة)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\النهاية(المعادلة)

دعنا نواصل البحث عن الجذور الصحيحة. الآن نحن بحاجة للبحث عن جذور كثيرة الحدود $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. مرة أخرى، يتم البحث عن الجذور الصحيحة لكثيرة الحدود هذه بين مقسومات حدها الحر، الأرقام $45$. دعونا نحاول التحقق من الرقم $-1$ مرة أخرى. لن نقوم بإنشاء جدول جديد، ولكننا سنستمر في استخدام الجدول السابق. رقم 2، أي. دعنا نضيف سطرًا آخر إليه:

إذن، الرقم $-1$ هو جذر كثير الحدود $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. يمكن كتابة هذه النتيجة على النحو التالي:

\begin(معادلة)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(معادلة)

ومع مراعاة المساواة (2)، يمكن إعادة كتابة المساواة (1) بالشكل التالي:

\begin(معادلة)\begin(محاذاة) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\النهاية(محاذاة)\النهاية(المعادلة)

نحتاج الآن إلى البحث عن جذور كثيرة الحدود $x^4-22x^2+24x+45$ - بشكل طبيعي، بين قواسم حدها الحر (الأرقام $45$). دعونا نتحقق من الرقم $-1$ مرة أخرى:

الرقم $-1$ هو جذر كثير الحدود $x^4-22x^2+24x+45$. يمكن كتابة هذه النتيجة على النحو التالي:

\begin(معادلة)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(معادلة)

ومع مراعاة المساواة (4) نعيد كتابة المساواة (3) على الشكل التالي:

\begin(معادلة)\begin(محاذاة) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\النهاية(محاذاة)\النهاية(المعادلة)

نحن الآن نبحث عن جذور كثيرة الحدود $x^3-x^2-21x+45$. دعونا نتحقق من الرقم $-1$ مرة أخرى:

انتهى الشيك بالفشل. لنظلل السطر السادس باللون الأحمر ونحاول التحقق من رقم آخر، على سبيل المثال، الرقم $3$:

والباقي هو صفر، وبالتالي فإن الرقم $3$ هو جذر كثيرة الحدود المعنية. إذن $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. الآن يمكن إعادة كتابة المساواة (5) على النحو التالي.

العودة إلى الأمام

انتباه! معاينات الشرائح هي لأغراض إعلامية فقط وقد لا تمثل جميع ميزات العرض التقديمي. إذا كنت مهتما بهذا العمل، يرجى تحميل النسخة الكاملة.

نوع الدرس: درس في إتقان وترسيخ المعرفة الأولية.

الغرض من الدرس:

• تعريف الطلاب بمفهوم جذور كثيرة الحدود وتعليمهم كيفية العثور عليها. تحسين المهارات في استخدام مخطط هورنر لتوسيع كثيرة الحدود بالقوى وقسمة كثيرة الحدود على ذات الحدين.
• تعلم كيفية العثور على جذور المعادلة باستخدام مخطط هورنر.
• تطوير التفكير المجرد.
• تعزيز ثقافة الحوسبة.
• تطوير الاتصالات بين التخصصات.

خلال الفصول الدراسية

1. اللحظة التنظيمية.

أبلغ موضوع الدرس وصياغة الأهداف.

2. التحقق من الواجبات المنزلية.

3. دراسة مواد جديدة.

دع Fn(x) = أ ن × ن +أ ن-1 × ن-1 +...+ أ 1 × +أ 0 - كثيرة الحدود لـ x من الدرجة n، حيث يتم إعطاء a 0 وa 1 و...,a n أرقامًا، وa 0 لا يساوي 0. إذا تم تقسيم كثير الحدود F n (x) مع الباقي على ذات الحدين x-a ، فإن خارج القسمة (حاصل القسمة غير المكتمل) هو كثير الحدود Q n-1 (x) من الدرجة n-1، والباقي R هو رقم، والمساواة صحيحة F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.كثير الحدود F n (x) قابل للقسمة على الحدين (x-a) فقط في حالة R=0.

نظرية بيزوت: الباقي R من قسمة كثيرة الحدود F n (x) على ذات الحدين (x-a) يساوي قيمة كثيرة الحدود F n (x) عند x=a، أي. ص = الحزب الشيوعي (أ).

قليلا من التاريخ. تعتبر نظرية بيزوت، على الرغم من بساطتها الواضحة ووضوحها، إحدى النظريات الأساسية في نظرية كثيرات الحدود. تربط هذه النظرية بين الخصائص الجبرية لكثيرات الحدود (التي تسمح بمعاملة كثيرات الحدود كأعداد صحيحة) مع خصائصها الوظيفية (التي تسمح بمعاملة كثيرات الحدود كوظائف). إحدى طرق حل المعادلات ذات الدرجات الأعلى هي تحليل كثير الحدود الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة. يتم حساب معاملات كثيرة الحدود والباقي على شكل جدول يسمى مخطط هورنر.

مخطط هورنر هو خوارزمية لتقسيم كثيرات الحدود، مكتوبة للحالة الخاصة عندما يكون حاصل القسمة مساويًا ذات الحدين س-أ.

هورنر ويليام جورج (1786 - 1837)، عالم رياضيات إنجليزي. ويتعلق البحث الرئيسي بنظرية المعادلات الجبرية. طور طريقة للحل التقريبي للمعادلات من أي درجة. في عام 1819، قدم طريقة مهمة للجبر تتمثل في تقسيم كثيرة الحدود على ذات الحدين x - a (مخطط هورنر).

اشتقاق الصيغة العامة لمخطط هورنر.

قسمة كثيرة الحدود f(x) مع باقي على ذات الحدين (x-c) تعني إيجاد كثيرة الحدود q(x) ورقم r بحيث يكون f(x)=(x-c)q(x)+r

ولنكتب هذه المساواة بالتفصيل:

و 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 س ن-3 +...+ ف ن-2 س + ف ن-1)+ر

دعونا نساوي المعاملات بنفس الدرجات:

س ن:	و 0 = ف 0	=> ف 0 = و 0
xn-1:	و 1 = س 1 - ج ف 0	=> ف 1 = و 1 + ج ف 0
xn-2:	و 2 = ف 2 - ج ف 1	=> ف 2 = و 2 + ج ف 1
...		...
×0:	و ن = ف ن - ج ف ن-1	=> ف ن = و ن + ج ف ن-1.

عرض لدائرة هورنر باستخدام مثال.

التمرين 1.باستخدام مخطط هورنر، نقسم كثيرة الحدود f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 مع الباقي على ذات الحدين x-2.

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4، حيث g(x)= (x 2 -3x-6)، r = -4 الباقي.

توسيع كثيرة الحدود في صلاحيات ذات الحدين.

باستخدام مخطط هورنر، نقوم بتوسيع كثيرة الحدود f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 في قوى ذات الحدين (x+2).

ونتيجة لذلك، يجب أن نحصل على التوسع f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( س+2 ) 2 -2(س+2)+12

غالبًا ما يستخدم مخطط هورنر عند حل المعادلات من الدرجات الثالثة والرابعة والأعلى، عندما يكون من المناسب توسيع كثيرة الحدود إلى ذات الحدين x-a. رقم أمُسَمًّى جذر كثير الحدود F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n، إذا كان في س=أقيمة كثير الحدود F n (x) تساوي الصفر: F n (a)=0، أي. إذا كان كثير الحدود قابلاً للقسمة على ذات الحدين x-a.

على سبيل المثال، الرقم 2 هو جذر كثيرة الحدود F 3 (x)=3x 3 -2x-20، حيث أن F 3 (2)=0. هذا يعني. أن تحليل كثير الحدود هذا يحتوي على العامل x-2.

ف 3 (س)=3س 3 -2س-20=(س-2)(3س 2 +6س+10).

أي كثيرة الحدود F n(x) من الدرجة ن 1 لا يمكن أن يكون أكثر من ذلك نجذور حقيقية.

أي جذر صحيح لمعادلة ذات معاملات صحيحة هو مقسوم على حدها الحر.

إذا كان المعامل الرئيسي للمعادلة هو 1، فإن جميع الجذور النسبية للمعادلة، إن وجدت، هي أعداد صحيحة.

توحيد المواد المدروسة.

لتوحيد المادة الجديدة، الطلاب مدعوون لاستكمال الأرقام من الكتاب المدرسي 2.41 و 2.42 (ص 65).

(يحل طلابان على السبورة، والباقي، بعد أن يقرروا، يتحققون من المهام في دفتر الملاحظات مع الإجابات الموجودة على السبورة).

تلخيص.

بعد فهم هيكل ومبدأ تشغيل مخطط هورنر، يمكن استخدامه أيضًا في دروس علوم الكمبيوتر، عند النظر في مسألة تحويل الأعداد الصحيحة من نظام الأرقام العشرية إلى النظام الثنائي والعكس. أساس الانتقال من نظام أرقام إلى آخر هو النظرية العامة التالية

نظرية.لتحويل عدد صحيح ا ف بمن ص-ary نظام الأرقام لنظام الأرقام الأساسية دضروري ا ف بالقسمة بالتتابع مع الباقي على العدد د، مكتوب في نفسه ص-ary النظام حتى يصبح الحاصل الناتج يساوي الصفر. أما الباقي من القسمة فيكون د-أرقام رقمية إعلان، بدءًا من الفئة الأصغر إلى الفئة الأقدم. يجب تنفيذ جميع الإجراءات في ص-نظام الأرقام ary. بالنسبة للشخص، هذه القاعدة مريحة فقط عندما ص= 10، أي عند الترجمة منالنظام العشري. أما الكمبيوتر، على العكس من ذلك، فهو “أكثر ملاءمة” له لإجراء العمليات الحسابية في النظام الثنائي. لذلك، لتحويل "2 إلى 10"، يتم استخدام التقسيم التسلسلي على عشرة في النظام الثنائي، و"10 إلى 2" هو جمع قوى العشرة. لتحسين حسابات إجراء "10 في 2"، يستخدم الكمبيوتر مخطط هورنر للحوسبة الاقتصادية.

العمل في المنزل. يقترح إكمال مهمتين.

الأول. باستخدام مخطط هورنر، اقسم كثيرة الحدود f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 على ذات الحدين (x-3).

الثاني. أوجد الجذور الصحيحة للكثيرة الحدود f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (مع الأخذ في الاعتبار أن أي جذر صحيح لمعادلة ذات معاملات صحيحة هو مقسوم على حدها الحر).

الأدب.

1. كوروش أ.ج. "دورة الجبر العالي."
2. نيكولسكي إس إم، بوتابوف إم كيه. وغيرها الصف العاشر "الجبر وبدايات التحليل الرياضي".
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.