Loqarifmik funksiyalar üçün düsturlar. Loqarifmik ifadələr
əsas xassələri.
- logax + logay = loqa(x y);
- logax − loqay = loqa (x: y).
eyni əsaslar
Log6 4 + log6 9.
İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək.
Loqarifmlərin həlli nümunələri
Bəs loqarifmin əsası və ya arqumenti gücdürsə? Sonra bu dərəcənin göstəricisi aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər:
Təbii ki, loqarifmin ODZ-i müşahidə edildikdə bütün bu qaydalar məna kəsb edir: a > 0, a ≠ 1, x >
Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:
Yeni bir təmələ keçid
Loqarifm loqaxı verilsin. Onda c > 0 və c ≠ 1 olan istənilən c ədədi üçün bərabərlik doğrudur:
Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:
Həmçinin bax:
Loqarifmin əsas xassələri
1.
2.
3.
4.
5. 
6.
7.
8.
9.
10.
11. 
12.
13.
14. 
15.
Göstərici 2,718281828… Eksponenti xatırlamaq üçün qaydanı öyrənə bilərsiniz: eksponent 2,7-yə bərabərdir və Leo Nikolaevich Tolstoyun doğum ilinin iki qatıdır.
Loqarifmlərin əsas xassələri
Bu qaydanı bilməklə siz həm eksponentin dəqiq dəyərini, həm də Lev Tolstoyun doğum tarixini biləcəksiniz.
Loqarifmlər üçün nümunələr
Loqarifm ifadələri
Misal 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
3.5 xassələrindən istifadə edərək hesablayırıq 
2.
3. 
4. 
Harada 
.
Misal 2. Əgər x tapın
Misal 3. Loqarifmlərin qiyməti verilsin
Əgər log(x) hesablayın
Loqarifmlərin əsas xassələri
Loqarifmlər, hər hansı bir rəqəm kimi, hər cür əlavə edilə, çıxıla və dəyişdirilə bilər. Amma loqarifmlər tam olaraq adi ədədlər olmadığı üçün burada adlanan qaydalar var əsas xassələri.
Bu qaydaları mütləq bilməlisiniz - onlar olmadan heç bir ciddi loqarifmik problem həll edilə bilməz. Bundan əlavə, onlardan çox azdır - bir gündə hər şeyi öyrənə bilərsiniz. Beləliklə, başlayaq.
Loqarifmlərin toplanması və çıxılması
Eyni əsasları olan iki loqarifmi nəzərdən keçirin: logax və loqay. Sonra onlar əlavə və çıxıla bilər və:
- logax + logay = loqa(x y);
- logax − loqay = loqa (x: y).
Deməli, loqarifmlərin cəmi məhsulun loqarifminə, fərqi isə hissənin loqarifmasına bərabərdir. Diqqət yetirin: burada əsas məqam budur eyni əsaslar. Səbəblər fərqlidirsə, bu qaydalar işləmir!
Bu düsturlar, hətta onun fərdi hissələri nəzərə alınmadıqda belə, loqarifmik ifadəni hesablamağa kömək edəcək (“Loqarifm nədir” dərsinə baxın). Nümunələrə nəzər salın və baxın:
Loqarifmlərin əsasları eyni olduğundan, biz cəmi düsturundan istifadə edirik:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log2 48 − log2 3.
Əsaslar eynidir, fərq düsturundan istifadə edirik:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log3 135 − log3 5.
Yenə də əsaslar eynidir, buna görə də bizdə:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Göründüyü kimi, orijinal ifadələr ayrıca hesablanmayan “pis” loqarifmlərdən ibarətdir. Amma çevrilmələrdən sonra tam normal ədədlər alınır. Bir çox testlər bu fakta əsaslanır. Bəli, Vahid Dövlət İmtahanında test kimi ifadələr bütün ciddiliklə (bəzən faktiki olaraq heç bir dəyişiklik olmadan) təklif olunur.
Loqarifmadan eksponentin çıxarılması
Sonuncu qaydanın ilk iki qaydaya əməl etdiyini görmək asandır. Ancaq hər halda bunu xatırlamaq daha yaxşıdır - bəzi hallarda hesablamaların miqdarını əhəmiyyətli dərəcədə azaldacaq.
Təbii ki, loqarifmin ODZ-si müşahidə olunarsa, bütün bu qaydalar məna kəsb edir: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Və daha bir şey: bütün düsturları yalnız soldan sağa deyil, həm də əksinə tətbiq etməyi öyrənin. , yəni. Loqarifmin özünə loqarifm işarəsindən əvvəlki rəqəmləri daxil edə bilərsiniz. Ən çox tələb olunan budur.
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log7 496.
Birinci düsturdan istifadə edərək arqumentdəki dərəcədən xilas olaq:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:
Qeyd edək ki, məxrəcdə bazası və arqumenti dəqiq güclər olan loqarifm var: 16 = 24; 49 = 72. Bizdə:
Düşünürəm ki, sonuncu misal müəyyən aydınlaşdırma tələb edir. Loqarifmlər hara getdi? Son ana qədər biz ancaq məxrəclə işləyirik.
Loqarifm düsturları. Loqarifmlərin həlli nümunələri.
Orada duran loqarifmin əsasını və arqumentini güclər şəklində təqdim etdik və eksponentləri çıxardıq - "üç mərtəbəli" bir kəsr aldıq.
İndi əsas hissəyə baxaq. Hissənin və məxrəcin eyni ədədi var: log2 7. log2 7 ≠ 0 olduğundan kəsri azalda bilərik - 2/4 məxrəcdə qalacaq. Hesab qaydalarına görə, dördü saya köçürmək olar, bu da edilir. Nəticə belə oldu: 2.
Yeni bir təmələ keçid
Loqarifmlərin toplanması və çıxılması qaydaları haqqında danışarkən, onların yalnız eyni əsaslarla işlədiyini xüsusi vurğuladım. Bəs səbəblər fərqlidirsə? Bəs onlar eyni sayda dəqiq səlahiyyətlər deyilsə?
Yeni bir təmələ keçid üçün düsturlar köməyə gəlir. Onları teorem şəklində tərtib edək:
Loqarifm loqaxı verilsin. Onda c > 0 və c ≠ 1 olan istənilən c ədədi üçün bərabərlik doğrudur:
Xüsusilə, c = x təyin etsək, alırıq:
İkinci düsturdan belə çıxır ki, loqarifmin əsası və arqumenti dəyişdirilə bilər, lakin bu halda bütün ifadə "çevrilir", yəni. loqarifm məxrəcdə görünür.
Bu düsturlara adi ədədi ifadələrdə nadir hallarda rast gəlinir. Onların nə qədər əlverişli olduğunu yalnız loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli zamanı qiymətləndirmək mümkündür.
Ancaq elə problemlər var ki, onları yeni təmələ keçməkdən başqa heç cür həll etmək mümkün deyil. Bunlardan bir neçəsinə baxaq:
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log5 16 log2 25.
Qeyd edək ki, hər iki loqarifmin arqumentlərində dəqiq səlahiyyətlər var. Göstəriciləri çıxaraq: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
İndi ikinci loqarifmanı “ters” edək:
Faktorları yenidən təşkil edərkən məhsul dəyişmədiyi üçün sakitcə dörd və ikini çoxaltdıq və sonra logarifmlərlə məşğul olduq.
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log9 100 lg 3.
Birinci loqarifmin əsası və arqumenti dəqiq güclərdir. Bunu yazaq və göstəricilərdən xilas olaq:
İndi yeni bazaya keçərək onluq loqarifmadan xilas olaq:
Əsas loqarifmik eynilik
Çox vaxt həll prosesində ədədi verilmiş bazaya loqarifm kimi təqdim etmək lazımdır. Bu vəziyyətdə aşağıdakı düsturlar bizə kömək edəcəkdir:
Birinci halda n ədədi arqumentdə eksponent olur. N rəqəmi tamamilə hər şey ola bilər, çünki bu, sadəcə loqarifm dəyəridir.
İkinci düstur əslində parafraz tərifdir. Buna belə deyilir: .
Əslində, b rəqəmi elə bir gücə qaldırılsa nə olar ki, bu qüvvəyə verilən b rəqəmi a rəqəmini versin? Düzdür: nəticə eyni a sayıdır. Bu paraqrafı bir daha diqqətlə oxuyun - bir çox insan ona ilişib qalır.
Yeni bazaya keçmək üçün düsturlar kimi, əsas loqarifmik eynilik bəzən yeganə mümkün həll yoludur.
Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:
Qeyd edək ki, log25 64 = log5 8 - sadəcə olaraq loqarifmin bazasından və arqumentindən kvadrat götürüb. Gücləri eyni baza ilə vurma qaydalarını nəzərə alaraq, alırıq:
Kimsə bilmirsə, bu Vahid Dövlət İmtahanından əsl tapşırıq idi :)
Loqarifmik vahid və loqarifmik sıfır
Yekun olaraq, mən çətin ki, xassələri adlandırmaq mümkün olmayan iki eyniliyi verəcəyəm - daha doğrusu, onlar loqarifmin tərifinin nəticəsidir. Onlar daim problemlərlə üzləşirlər və təəccüblüdür ki, hətta “qabaqcıl” tələbələr üçün də problemlər yaradırlar.
- logaa = 1-dir. Birdəfəlik xatırlayın: bu əsasın özünün istənilən a əsasının loqarifmi birə bərabərdir.
- loqa 1 = 0-dır. a əsası hər hansı bir şey ola bilər, lakin arqumentdə bir varsa, loqarifm sıfıra bərabərdir! Çünki a0 = 1 tərifin birbaşa nəticəsidir.
Bütün xassələri budur. Onları həyata keçirmək üçün məşq etməyinizə əmin olun! Dərsin əvvəlində fırıldaqçı vərəqini yükləyin, çap edin və problemləri həll edin.
Həmçinin bax:
b-nin a əsasının loqarifmi ifadəni bildirir. Loqarifmi hesablamaq bərabərliyin təmin olunduğu x () gücünü tapmaq deməkdir
Loqarifmin əsas xassələri
Yuxarıdakı xassələri bilmək lazımdır, çünki loqarifmlərlə bağlı demək olar ki, bütün məsələlər və nümunələr onların əsasında həll olunur. Qalan ekzotik xassələri bu düsturlarla riyazi manipulyasiyalar vasitəsilə əldə etmək olar
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Loqarifmlərin cəmi və fərqi (3.4) düsturunu hesablayarkən tez-tez rastlaşırsınız. Qalanları bir qədər mürəkkəbdir, lakin bir sıra tapşırıqlarda mürəkkəb ifadələri sadələşdirmək və onların dəyərlərini hesablamaq üçün əvəzolunmazdır.
Loqarifmlərin ümumi halları
Ümumi loqarifmlərdən bəziləri bazanın hətta on, eksponensial və ya iki olduğu loqarifmlərdir.
Onluq bazası üçün loqarifma adətən onluq loqarifm adlanır və sadəcə olaraq lg(x) ilə işarələnir.
Səs yazısından aydın olur ki, səsyazmada əsaslar yazılmayıb. Misal üçün
Natural loqarifm əsası eksponent olan loqarifmdir (ln(x) ilə işarə olunur).
Göstərici 2,718281828… Eksponenti xatırlamaq üçün qaydanı öyrənə bilərsiniz: eksponent 2,7-yə bərabərdir və Leo Nikolaevich Tolstoyun doğum ilinin iki qatıdır. Bu qaydanı bilməklə siz həm eksponentin dəqiq dəyərini, həm də Lev Tolstoyun doğum tarixini biləcəksiniz.
Və iki əsas üçün başqa bir vacib loqarifm ilə işarələnir
Funksiyanın loqarifminin törəməsi dəyişənə bölünən birinə bərabərdir
İnteqral və ya antiderivativ loqarifm əlaqə ilə müəyyən edilir
Verilmiş material loqarifm və loqarifmlərlə bağlı geniş sinif məsələləri həll etmək üçün kifayətdir. Materialı başa düşməyinizə kömək etmək üçün məktəb kurikulumundan və universitetlərdən yalnız bir neçə ümumi nümunə verəcəyəm.
Loqarifmlər üçün nümunələr
Loqarifm ifadələri
Misal 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
3.5 xassələrindən istifadə edərək hesablayırıq
2.
Loqarifmlərin fərqi xüsusiyyətinə görə bizdə var
3.
3.5 xassələrindən istifadə edərək tapırıq
4. Harada .
Mürəkkəb görünən ifadə bir sıra qaydalardan istifadə etməklə sadələşdirilir
Loqarifm qiymətlərinin tapılması
Misal 2. Əgər x tapın
Həll. Hesablama üçün son 5 və 13 xassələrə müraciət edirik
Biz bunu yazıya qoyub yas tuturuq
Əsaslar bərabər olduğu üçün ifadələri bərabərləşdiririk
Loqarifmlər. Birinci səviyyə.
Loqarifmlərin qiyməti verilsin
Əgər log(x) hesablayın
Həlli: Loqarifmi onun şərtlərinin cəminə yazmaq üçün dəyişənin loqarifmini götürək.
Bu, loqarifmlər və onların xassələri ilə tanışlığımızın yalnız başlanğıcıdır. Hesablamaları məşq edin, praktiki bacarıqlarınızı zənginləşdirin - tezliklə loqarifmik tənlikləri həll etmək üçün əldə etdiyiniz biliyə ehtiyacınız olacaq. Bu cür tənliklərin həlli üçün əsas üsulları öyrəndikdən sonra biz sizin biliklərinizi eyni dərəcədə vacib olan başqa bir mövzuya - loqarifmik bərabərsizliklərə genişləndirəcəyik...
Loqarifmlərin əsas xassələri
Loqarifmlər, hər hansı bir rəqəm kimi, hər cür əlavə edilə, çıxıla və dəyişdirilə bilər. Amma loqarifmlər tam olaraq adi ədədlər olmadığı üçün burada adlanan qaydalar var əsas xassələri.
Bu qaydaları mütləq bilməlisiniz - onlar olmadan heç bir ciddi loqarifmik problem həll edilə bilməz. Bundan əlavə, onlardan çox azdır - bir gündə hər şeyi öyrənə bilərsiniz. Beləliklə, başlayaq.
Loqarifmlərin toplanması və çıxılması
Eyni əsasları olan iki loqarifmi nəzərdən keçirin: logax və loqay. Sonra onlar əlavə və çıxıla bilər və:
- logax + logay = loqa(x y);
- logax − loqay = loqa (x: y).
Deməli, loqarifmlərin cəmi məhsulun loqarifminə, fərqi isə hissənin loqarifmasına bərabərdir. Diqqət yetirin: burada əsas məqam budur eyni əsaslar. Səbəblər fərqlidirsə, bu qaydalar işləmir!
Bu düsturlar, hətta onun fərdi hissələri nəzərə alınmadıqda belə, loqarifmik ifadəni hesablamağa kömək edəcək (“Loqarifm nədir” dərsinə baxın). Nümunələrə nəzər salın və baxın:
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log6 4 + log6 9.
Loqarifmlərin əsasları eyni olduğundan, biz cəmi düsturundan istifadə edirik:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log2 48 − log2 3.
Əsaslar eynidir, fərq düsturundan istifadə edirik:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log3 135 − log3 5.
Yenə də əsaslar eynidir, buna görə də bizdə:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Göründüyü kimi, orijinal ifadələr ayrıca hesablanmayan “pis” loqarifmlərdən ibarətdir. Amma çevrilmələrdən sonra tam normal ədədlər alınır. Bir çox testlər bu fakta əsaslanır. Bəli, Vahid Dövlət İmtahanında test kimi ifadələr bütün ciddiliklə (bəzən faktiki olaraq heç bir dəyişiklik olmadan) təklif olunur.
Loqarifmadan eksponentin çıxarılması
İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək. Bəs loqarifmin əsası və ya arqumenti gücdürsə? Sonra bu dərəcənin göstəricisi aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər:
Sonuncu qaydanın ilk iki qaydaya əməl etdiyini görmək asandır. Ancaq hər halda bunu xatırlamaq daha yaxşıdır - bəzi hallarda hesablamaların miqdarını əhəmiyyətli dərəcədə azaldacaq.
Təbii ki, loqarifmin ODZ-si müşahidə olunarsa, bütün bu qaydalar məna kəsb edir: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Və daha bir şey: bütün düsturları yalnız soldan sağa deyil, həm də əksinə tətbiq etməyi öyrənin. , yəni. Loqarifmin özünə loqarifm işarəsindən əvvəlki rəqəmləri daxil edə bilərsiniz.
Loqarifmləri necə həll etmək olar
Ən çox tələb olunan budur.
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log7 496.
Birinci düsturdan istifadə edərək arqumentdəki dərəcədən xilas olaq:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:
Qeyd edək ki, məxrəcdə bazası və arqumenti dəqiq güclər olan loqarifm var: 16 = 24; 49 = 72. Bizdə:
Düşünürəm ki, sonuncu misal müəyyən aydınlaşdırma tələb edir. Loqarifmlər hara getdi? Son ana qədər biz ancaq məxrəclə işləyirik. Orada duran loqarifmin əsasını və arqumentini güclər şəklində təqdim etdik və eksponentləri çıxardıq - "üç mərtəbəli" bir kəsr aldıq.
İndi əsas hissəyə baxaq. Hissənin və məxrəcin eyni ədədi var: log2 7. log2 7 ≠ 0 olduğundan kəsri azalda bilərik - 2/4 məxrəcdə qalacaq. Hesab qaydalarına görə, dördü saya köçürmək olar, bu da edilir. Nəticə belə oldu: 2.
Yeni bir təmələ keçid
Loqarifmlərin toplanması və çıxılması qaydaları haqqında danışarkən, onların yalnız eyni əsaslarla işlədiyini xüsusi vurğuladım. Bəs səbəblər fərqlidirsə? Bəs onlar eyni sayda dəqiq səlahiyyətlər deyilsə?
Yeni bir təmələ keçid üçün düsturlar köməyə gəlir. Onları teorem şəklində tərtib edək:
Loqarifm loqaxı verilsin. Onda c > 0 və c ≠ 1 olan istənilən c ədədi üçün bərabərlik doğrudur:
Xüsusilə, c = x təyin etsək, alırıq:
İkinci düsturdan belə çıxır ki, loqarifmin əsası və arqumenti dəyişdirilə bilər, lakin bu halda bütün ifadə "çevrilir", yəni. loqarifm məxrəcdə görünür.
Bu düsturlara adi ədədi ifadələrdə nadir hallarda rast gəlinir. Onların nə qədər əlverişli olduğunu yalnız loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli zamanı qiymətləndirmək mümkündür.
Ancaq elə problemlər var ki, onları yeni təmələ keçməkdən başqa heç cür həll etmək mümkün deyil. Bunlardan bir neçəsinə baxaq:
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log5 16 log2 25.
Qeyd edək ki, hər iki loqarifmin arqumentlərində dəqiq səlahiyyətlər var. Göstəriciləri çıxaraq: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
İndi ikinci loqarifmanı “ters” edək:
Faktorları yenidən təşkil edərkən məhsul dəyişmədiyi üçün sakitcə dörd və ikini çoxaltdıq və sonra logarifmlərlə məşğul olduq.
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log9 100 lg 3.
Birinci loqarifmin əsası və arqumenti dəqiq güclərdir. Bunu yazaq və göstəricilərdən xilas olaq:
İndi yeni bazaya keçərək onluq loqarifmadan xilas olaq:
Əsas loqarifmik eynilik
Çox vaxt həll prosesində ədədi verilmiş bazaya loqarifm kimi təqdim etmək lazımdır. Bu vəziyyətdə aşağıdakı düsturlar bizə kömək edəcəkdir:
Birinci halda n ədədi arqumentdə eksponent olur. N rəqəmi tamamilə hər şey ola bilər, çünki bu, sadəcə loqarifm dəyəridir.
İkinci düstur əslində parafraz tərifdir. Buna belə deyilir: .
Əslində, b rəqəmi elə bir gücə qaldırılsa nə olar ki, bu qüvvəyə verilən b rəqəmi a rəqəmini versin? Düzdür: nəticə eyni a sayıdır. Bu paraqrafı bir daha diqqətlə oxuyun - bir çox insan ona ilişib qalır.
Yeni bazaya keçmək üçün düsturlar kimi, əsas loqarifmik eynilik bəzən yeganə mümkün həll yoludur.
Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:
Qeyd edək ki, log25 64 = log5 8 - sadəcə olaraq loqarifmin bazasından və arqumentindən kvadrat götürüb. Gücləri eyni baza ilə vurma qaydalarını nəzərə alaraq, alırıq:
Kimsə bilmirsə, bu Vahid Dövlət İmtahanından əsl tapşırıq idi :)
Loqarifmik vahid və loqarifmik sıfır
Yekun olaraq, mən çətin ki, xassələri adlandırmaq mümkün olmayan iki eyniliyi verəcəyəm - daha doğrusu, onlar loqarifmin tərifinin nəticəsidir. Onlar daim problemlərlə üzləşirlər və təəccüblüdür ki, hətta “qabaqcıl” tələbələr üçün də problemlər yaradırlar.
- logaa = 1-dir. Birdəfəlik xatırlayın: bu əsasın özünün istənilən a əsasının loqarifmi birə bərabərdir.
- loqa 1 = 0-dır. a əsası hər hansı bir şey ola bilər, lakin arqumentdə bir varsa, loqarifm sıfıra bərabərdir! Çünki a0 = 1 tərifin birbaşa nəticəsidir.
Bütün xassələri budur. Onları həyata keçirmək üçün məşq etməyinizə əmin olun! Dərsin əvvəlində fırıldaqçı vərəqini yükləyin, çap edin və problemləri həll edin.
ilə başlayaq bir loqarifminin xassələri. Onun tərtibi belədir: birliyin loqarifmi sıfıra bərabərdir, yəni, log a 1=0 hər hansı a>0, a≠1 üçün. Sübut çətin deyil: a>0 və a≠1 yuxarıdakı şərtləri ödəyən hər hansı a üçün a 0 =1 olduğundan, sübut edilməli olan log a 1=0 bərabərliyi dərhal loqarifmin tərifindən irəli gəlir.
Nəzərə alınan xassələrin tətbiqinə dair nümunələr verək: log 3 1=0, log1=0 və .
Növbəti əmlaka keçək: bazaya bərabər olan ədədin loqarifmi birə bərabərdir, yəni, log a a=1 a>0, a≠1 üçün. Həqiqətən, hər hansı a üçün a 1 =a olduğundan, loqarifmin tərifinə görə log a a=1 olur.
Loqarifmlərin bu xassəsindən istifadəyə misal olaraq log 5 5=1, log 5.6 5.6 və lne=1 bərabərliklərini göstərmək olar.
Məsələn, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 və 
.
İki müsbət ədədin hasilinin loqarifmi x və y bu ədədlərin loqarifmlərinin hasilinə bərabərdir: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Məhsulun loqarifminin xassəsini sübut edək. Dərəcənin xüsusiyyətlərinə görə a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, və əsas loqarifmik eyniliyə görə log a x =x və log a y =y olduğundan, log a x ·a log a y =x·y olur. Beləliklə, log a x+log a y =x·y, ondan loqarifmin tərifi ilə sübut olunan bərabərlik gəlir.
Məhsulun loqarifminin xassəsindən istifadə nümunələrini göstərək: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 və 
.
Məhsulun loqarifminin xassəsi x 1 , x 2 , …, x n müsbət ədədlərinin sonlu n ədədinin hasilinə ümumiləşdirilə bilər. log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Bu bərabərliyi problemsiz sübut etmək olar.
Məsələn, hasilin natural loqarifmini 4, e və rəqəmlərinin üç natural loqarifminin cəmi ilə əvəz etmək olar.
İki müsbət ədədin bölünməsinin loqarifmi x və y bu ədədlərin loqarifmləri arasındakı fərqə bərabərdir. Bölmənin loqarifminin xassəsi formanın düsturuna uyğundur, burada a>0, a≠1, x və y bəzi müsbət ədədlərdir. Bu düsturun etibarlılığı məhsulun loqarifmi üçün düstur kimi sübut edilmişdir: ildən 
, sonra loqarifmin tərifi ilə.
Loqarifmin bu xassəsindən istifadə nümunəsi: 
.
davam edək gücün loqarifminin xassəsi. Dərəcənin loqarifmi bu dərəcənin əsasının eksponentinin və modulunun loqarifmasının hasilinə bərabərdir. Gücün loqarifminin bu xassəsini düstur kimi yazaq: log a b p =p·log a |b|, burada a>0, a≠1, b və p elə ədədlərdir ki, b p dərəcəsi məna verir və b p >0.
Əvvəlcə bu xassəni müsbət b üçün sübut edirik. Əsas loqarifmik eynilik bizə b ədədini log a b , sonra b p =(a log a b) p kimi təqdim etməyə imkan verir və nəticədə yaranan ifadə güc xassəsinə görə p·log a b bərabərdir. Beləliklə, biz b p =a p·log a b bərabərliyinə gəlirik, ondan loqarifmin tərifi ilə belə nəticəyə gəlirik ki, log a b p =p·log a b.
Bu xassəni mənfi b üçün sübut etmək qalır. Burada qeyd edirik ki, mənfi b üçün log a b p ifadəsi yalnız hətta p göstəriciləri üçün məna kəsb edir (çünki b p dərəcəsinin qiyməti sıfırdan böyük olmalıdır, əks halda loqarifmin mənası olmayacaq) və bu halda b p =|b| səh. Sonra b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, haradan log a b p =p·log a |b| .
Misal üçün, 
və ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Əvvəlki əmlakdan irəli gəlir kökdən loqarifmin xassəsi: n-ci kökün loqarifmi radikal ifadənin loqarifmi ilə 1/n kəsirinin hasilinə bərabərdir, yəni, 
, burada a>0, a≠1, n birdən böyük natural ədəddir, b>0.
Sübut istənilən müsbət b üçün etibarlı olan bərabərliyə (bax) və gücün loqarifminin xassəsinə əsaslanır: 
.
Bu əmlakdan istifadə nümunəsidir: 
.
İndi sübut edək yeni loqarifm bazasına keçmək üçün düstur mehriban 
. Bunun üçün bərabərlik log c b=log a blog·log c a-nın etibarlılığını sübut etmək kifayətdir. Əsas loqarifmik eynilik bizə b ədədini log a b, sonra log c b=log c a log a b kimi təqdim etməyə imkan verir. Dərəcənin loqarifminin xassəsindən istifadə etmək qalır: log c a log a b =log a b log c a. Bu log c b=log a b·log c a bərabərliyini sübut edir, yəni loqarifmin yeni bazasına keçid düsturu da sübut edilmişdir.
Loqarifmlərin bu xassəsindən istifadə etmək üçün bir neçə nümunə göstərək: və 
.
Yeni bazaya keçmək düsturu sizə “rahat” bazaya malik loqarifmlərlə işləməyə imkan verir. Məsələn, ondan natural və ya onluq loqarifmlərə keçmək üçün istifadə oluna bilər ki, loqarifmin dəyərini loqarifmlər cədvəlindən hesablaya biləsiniz. Yeni loqarifm bazasına keçmək düsturu, bəzi hallarda, bəzi loqarifmlərin digər əsaslarla dəyərləri məlum olduqda, verilmiş loqarifmin dəyərini tapmağa imkan verir.
Formanın c=b üçün yeni loqarifm bazasına keçid formulunun xüsusi halından tez-tez istifadə olunur 
. Bu, log a b və log b a – olduğunu göstərir. Məsələn, 
.
Formula da tez-tez istifadə olunur 
, loqarifm qiymətlərini tapmaq üçün əlverişlidir. Sözlərimizi təsdiqləmək üçün formanın loqarifminin dəyərini hesablamaq üçün necə istifadə olunacağını göstərəcəyik. bizdə var 
. Formulu sübut etmək üçün 
a loqarifminin yeni bazasına keçid üçün düsturdan istifadə etmək kifayətdir: 
.
Loqarifmlərin müqayisəsinin xüsusiyyətlərini sübut etmək qalır.
İstənilən müsbət ədədlər üçün b 1 və b 2, b 1 olduğunu sübut edək log a b 2 və a>1 üçün – bərabərsizlik log a b 1 Nəhayət, loqarifmlərin sadalanan son xassələrini sübut etmək qalır. Onun birinci hissəsinin isbatı ilə məhdudlaşaq, yəni sübut edəcəyik ki, a 1 >1, a 2 >1 və a 1 olarsa. 1 doğrudur log a 1 b>log a 2 b . Loqarifmlərin bu xassəsinin qalan müddəaları oxşar prinsipə əsasən isbat edilir. Gəlin əks üsuldan istifadə edək. Tutaq ki, 1 >1, 2 >1 və 1 üçün 1 doğrudur log a 1 b≤log a 2 b . Loqarifmlərin xassələrinə əsaslanaraq, bu bərabərsizliklər kimi yenidən yazmaq olar 
Və 
müvafiq olaraq və onlardan belə nəticə çıxır ki, müvafiq olaraq log b a 1 ≤log b a 2 və log b a 1 ≥log b a 2. Sonra eyni əsaslara malik güclərin xassələrinə görə b log b a 1 ≥b log b a 2 və b log b a 1 ≥b log b a 2 bərabərlikləri, yəni a 1 ≥a 2 olmalıdır. Beləliklə, a 1 şərtinə zidd bir vəziyyətə gəldik
Biblioqrafiya.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. və başqaları.Cəbr və təhlilin başlanğıcları: Ümumtəhsil müəssisələrinin 10-11-ci sinifləri üçün dərslik.
- Qusev V.A., Mordkoviç A.G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə daxil olanlar üçün dərslik).
Loqarifmlər, hər hansı bir rəqəm kimi, hər cür əlavə edilə, çıxıla və dəyişdirilə bilər. Amma loqarifmlər tam olaraq adi ədədlər olmadığı üçün burada adlanan qaydalar var əsas xassələri.
Bu qaydaları mütləq bilməlisiniz - onlar olmadan heç bir ciddi loqarifmik problem həll edilə bilməz. Bundan əlavə, onlardan çox azdır - bir gündə hər şeyi öyrənə bilərsiniz. Beləliklə, başlayaq.
Loqarifmlərin toplanması və çıxılması
Eyni əsasları olan iki loqarifmi nəzərdən keçirin: log a x və qeyd edin a y. Sonra onlar əlavə və çıxıla bilər və:
- log a x+ log a y= log a (x · y);
- log a x− jurnal a y= log a (x : y).
Deməli, loqarifmlərin cəmi məhsulun loqarifminə, fərqi isə hissənin loqarifmasına bərabərdir. Diqqət yetirin: burada əsas məqam budur eyni əsaslar. Səbəblər fərqlidirsə, bu qaydalar işləmir!
Bu düsturlar hətta onun fərdi hissələri nəzərə alınmadıqda belə loqarifmik ifadəni hesablamağa kömək edəcək (“Loqarifm nədir” dərsinə baxın). Nümunələrə nəzər salın və baxın:
Log 6 4 + log 6 9.
Loqarifmlərin əsasları eyni olduğundan, biz cəmi düsturundan istifadə edirik:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 2 48 − log 2 3.
Əsaslar eynidir, fərq düsturundan istifadə edirik:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 3 135 − log 3 5.
Yenə də əsaslar eynidir, buna görə də bizdə:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Göründüyü kimi, orijinal ifadələr ayrıca hesablanmayan “pis” loqarifmlərdən ibarətdir. Amma çevrilmələrdən sonra tam normal ədədlər alınır. Bir çox testlər bu fakta əsaslanır. Bəli, Vahid Dövlət İmtahanında test kimi ifadələr bütün ciddiliklə (bəzən faktiki olaraq heç bir dəyişiklik olmadan) təklif olunur.
Loqarifmadan eksponentin çıxarılması
İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək. Bəs loqarifmin əsası və ya arqumenti gücdürsə? Sonra bu dərəcənin göstəricisi aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər:
Sonuncu qaydanın ilk iki qaydaya əməl etdiyini görmək asandır. Ancaq hər halda bunu xatırlamaq daha yaxşıdır - bəzi hallarda hesablamaların miqdarını əhəmiyyətli dərəcədə azaldacaq.
Əlbəttə ki, loqarifmin ODZ-i müşahidə edilərsə, bütün bu qaydalar məna kəsb edir: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Və daha bir şey: bütün düsturları yalnız soldan sağa deyil, həm də əksinə tətbiq etməyi öyrənin, yəni. Loqarifmin özünə loqarifm işarəsindən əvvəlki rəqəmləri daxil edə bilərsiniz. Ən çox tələb olunan budur.
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 7 49 6 .
Birinci düsturdan istifadə edərək arqumentdəki dərəcədən xilas olaq:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:
[Şəkil üçün başlıq]
Qeyd edək ki, məxrəcdə bazası və arqumenti dəqiq güclər olan loqarifm var: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Bizdə:
[Şəkil üçün başlıq] Düşünürəm ki, sonuncu misal müəyyən aydınlaşdırma tələb edir. Loqarifmlər hara getdi? Son ana qədər biz ancaq məxrəclə işləyirik. Orada duran loqarifmin əsasını və arqumentini güclər şəklində təqdim etdik və eksponentləri çıxardıq - "üç mərtəbəli" bir kəsr aldıq.
İndi əsas hissəyə baxaq. Say və məxrəc eyni ədədi ehtiva edir: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 olduğundan kəsri azalda bilərik - 2/4 məxrəcdə qalacaq. Hesab qaydalarına görə, dördü saya köçürmək olar, bu da edilir. Nəticə belə oldu: 2.
Yeni bir təmələ keçid
Loqarifmlərin toplanması və çıxılması qaydaları haqqında danışarkən, onların yalnız eyni əsaslarla işlədiyini xüsusi vurğuladım. Bəs səbəblər fərqlidirsə? Bəs onlar eyni sayda dəqiq səlahiyyətlər deyilsə?
Yeni bir təmələ keçid üçün düsturlar köməyə gəlir. Onları teorem şəklində tərtib edək:
Loqarifm jurnalı verilsin a x. Sonra istənilən nömrə üçün c belə c> 0 və c≠ 1, bərabərlik doğrudur:
[Şəkil üçün başlıq]
Xüsusilə qoysaq c = x, alırıq:
[Şəkil üçün başlıq]
İkinci düsturdan belə çıxır ki, loqarifmin əsası və arqumenti dəyişdirilə bilər, lakin bu halda bütün ifadə "çevrilir", yəni. loqarifm məxrəcdə görünür.
Bu düsturlara adi ədədi ifadələrdə nadir hallarda rast gəlinir. Onların nə qədər əlverişli olduğunu yalnız loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli zamanı qiymətləndirmək mümkündür.
Ancaq elə problemlər var ki, onları yeni təmələ keçməkdən başqa heç cür həll etmək mümkün deyil. Bunlardan bir neçəsinə baxaq:
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 5 16 log 2 25.
Qeyd edək ki, hər iki loqarifmin arqumentlərində dəqiq səlahiyyətlər var. Göstəriciləri çıxaraq: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
İndi ikinci loqarifmanı “ters” edək:
[Şəkil üçün başlıq]Faktorları yenidən təşkil edərkən məhsul dəyişmədiyi üçün sakitcə dörd və ikini çoxaltdıq və sonra logarifmlərlə məşğul olduq.
Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 9 100 lg 3.
Birinci loqarifmin əsası və arqumenti dəqiq güclərdir. Bunu yazaq və göstəricilərdən xilas olaq:
[Şəkil üçün başlıq]İndi yeni bazaya keçərək onluq loqarifmadan xilas olaq:
[Şəkil üçün başlıq]Əsas loqarifmik eynilik
Çox vaxt həll prosesində ədədi verilmiş bazaya loqarifm kimi təqdim etmək lazımdır. Bu vəziyyətdə aşağıdakı düsturlar bizə kömək edəcəkdir:
Birinci halda, nömrə n arqumentdə dayanan dərəcənin göstəricisinə çevrilir. Nömrə n tamamilə hər şey ola bilər, çünki bu, sadəcə loqarifm dəyəridir.
İkinci düstur əslində parafraz tərifdir. Buna belə deyilir: əsas loqarifmik eynilik.
Əslində sayı olsa nə olacaq b sayı elə bir gücə yüksəldi b bu gücə nömrə verir a? Düzdür: eyni nömrəni alırsınız a. Bu paraqrafı bir daha diqqətlə oxuyun - bir çox insan ona ilişib qalır.
Yeni bazaya keçmək üçün düsturlar kimi, əsas loqarifmik eynilik bəzən yeganə mümkün həll yoludur.
Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:
[Şəkil üçün başlıq]
Qeyd edək ki, log 25 64 = log 5 8 - sadəcə olaraq loqarifmin bazasından və arqumentindən kvadrat götürüb. Gücləri eyni baza ilə vurma qaydalarını nəzərə alaraq, alırıq:
[Şəkil üçün başlıq]Kimsə bilmirsə, bu Vahid Dövlət İmtahanından əsl tapşırıq idi :)
Loqarifmik vahid və loqarifmik sıfır
Yekun olaraq, mən çətin ki, xassələri adlandırmaq mümkün olmayan iki eyniliyi verəcəyəm - daha doğrusu, onlar loqarifmin tərifinin nəticəsidir. Onlar daim problemlərlə üzləşirlər və təəccüblüdür ki, hətta “qabaqcıl” tələbələr üçün də problemlər yaradırlar.
- log a a= 1 loqarifmik vahiddir. Birdəfəlik yadda saxla: istənilən bazaya loqarifm a bu əsasdan birə bərabərdir.
- log a 1 = 0 loqarifmik sıfırdır. Baza a hər şey ola bilər, amma arqumentdə bir varsa, loqarifm sıfıra bərabərdir! Çünki a 0 = 1 tərifin birbaşa nəticəsidir.
Bütün xassələri budur. Onları həyata keçirmək üçün məşq etməyinizə əmin olun! Dərsin əvvəlində fırıldaqçı vərəqini yükləyin, çap edin və problemləri həll edin.
Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.
Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi
Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.
İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.
Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.
Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:
- Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, e-poçt ünvanınız və s.
Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:
- Topladığımız şəxsi məlumatlar bizə unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlərlə bağlı sizinlə əlaqə saxlamağa imkan verir.
- Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
- Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
- Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.
Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması
Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.
İstisnalar:
- Zəruri hallarda - qanuna uyğun olaraq, məhkəmə qaydasında, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğular və ya Rusiya Federasiyasının ərazisində dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlamaq. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyətli məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
- Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varisə üçüncü tərəfə ötürə bilərik.
Şəxsi məlumatların qorunması
Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.
Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək
Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz əməkdaşlarımıza məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.
Loqarifmlər və onlarla işləmə qaydaları kifayət qədər əhatəli və sadədir. Ona görə də bu mövzunu başa düşmək sizin üçün çətin olmayacaq. Təbii loqarifmlərin bütün qaydalarını öyrəndikdən sonra istənilən problemi müstəqil həll etmək olar. Bu mövzu ilə ilk tanışlıq darıxdırıcı və mənasız görünə bilər, lakin məhz loqarifmlərin köməyi ilə XVI əsr riyaziyyatçılarının bir çox problemləri həll edildi. "Nə haqqındadır?" - düşündün. Məqaləni sona qədər oxuyun və öyrənin ki, “elmlər kraliçası”nın bu bölməsi təkcə riyaziyyatçılar və dəqiq elmlər üzrə alimlər üçün deyil, adi orta məktəb şagirdləri üçün də maraqlı ola bilər.
Loqarifmin tərifi
Loqarifmin tərifindən başlayaq. Bir çox dərsliklərdə deyildiyi kimi: a (loqab) əsası üçün b ədədinin loqarifmi müəyyən c ədədidir ki, onun üçün aşağıdakı bərabərlik təmin edilir: b=ac. Yəni, sadə sözlə desək, loqarifm müəyyən bir ədədi əldə etmək üçün əsasını qaldırdığımız müəyyən bir gücdür. Lakin yadda saxlamaq lazımdır ki, logab formasının loqarifmi yalnız aşağıdakı hallarda məna kəsb edir: a>0; a - 1-dən fərqli rəqəm; b>0, ona görə də belə nəticəyə gəlirik ki, loqarifm yalnız müsbət ədədlər üçün tapıla bilər.
Loqarifmlərin əsaslara görə təsnifatı
Loqarifmlərin bazasında istənilən müsbət ədəd ola bilər. Ancaq iki növ də var: natural və onluq loqarifmlər.
- Natural loqarifm - e əsaslı loqarifm (e Eyler ədədidir, ədədi olaraq təqribən 2,7-yə bərabərdir, y = ex eksponensial funksiyası üçün təqdim edilmiş irrasional ədəddir), ln a = logea kimi işarələnir;
- Onluq loqarifm bazası 10 olan loqarifmdir, yəni log10a = log a.
Loqarifmin əsas qaydaları
Əvvəlcə əsas loqarifmik eynilik ilə tanış olmalısınız: alogab=b, sonra iki əsas qayda:
- loga1 = 0 - sıfır gücünə hər hansı bir ədəd 1-ə bərabər olduğundan;
- loqa = 1.
Loqarifmin kəşfi sayəsində cavabı natural ədədlə ifadə edilə bilməyən, yalnız irrasional ədədlə ifadə olunan hər hansı bir eksponensial tənliyi həll etmək bizim üçün çətin olmayacaq. Məsələn: 5x = 9, x = log59 (çünki bu tənlik üçün təbii x yoxdur).
Loqarifmlərlə əməliyyatlar
- loga(x · y) = logax+ loqay - hasilin loqarifmini tapmaq üçün amillərin loqarifmlərini əlavə etmək lazımdır. Nəzərə alın ki, loqarifmlərin əsasları eynidir. Bunu tərs ardıcıllıqla yazsaq, loqarifmlərin toplanması qaydasını alırıq.
- loga xy = logax - logay - hissənin loqarifmini tapmaq üçün dividend və bölən loqarifmləri arasındakı fərqi tapmaq lazımdır. Diqqət yetirin: loqarifmlərin əsasları eynidir. Tərs ardıcıllıqla yazdıqda, loqarifmləri çıxmaq qaydasını alırıq.
- logakxp = (p/k)*logax - beləliklə, əgər loqarifmin arqumenti və əsası səlahiyyətlərdən ibarətdirsə, onda onları loqarifmin işarəsindən çıxarmaq olar.
- logax = logac xc - əvvəlki qaydanın xüsusi halı, eksponentlər bərabər olduqda, onları azaltmaq olar.
- logax = (logbx)(logba) - sözdə keçid modulu, loqarifmin başqa bazaya endirilməsi proseduru.
- logax = 1/logxa - keçidin xüsusi halı, bazanın yerlərinin və verilmiş ədədin dəyişdirilməsi. Bütün ifadə, obrazlı desək, tərsinə çevrilir və məxrəcdə yeni əsaslı loqarifm görünür.
Loqarifmlərin tarixi
16-cı əsrdə əsasən astronomiyada (məsələn, Günəşdən və ya ulduzlardan gəminin mövqeyinin müəyyən edilməsi) praktiki məsələlərin həlli üçün bir çox təxmini hesablamaların aparılması zərurəti yarandı.
Bu ehtiyac sürətlə artdı və çoxrəqəmli ədədlərin vurulması və bölünməsi əhəmiyyətli çətinlik yaratdı. Riyaziyyatçı Napier, triqonometrik hesablamalar apararkən, bunun üçün bəzi irəliləyişləri müqayisə edərək, əmək tutumlu vurmanı adi toplama ilə əvəz etmək qərarına gəldi. Sonra bölmə, eynilə, daha sadə və daha etibarlı prosedur - çıxma ilə əvəz olunur və n-ci kökü çıxarmaq üçün radikal ifadənin loqarifmini n-ə bölmək lazımdır. Riyaziyyatda belə çətin məsələnin həlli Napierin elmdəki məqsədlərini aydın şəkildə əks etdirirdi. O, “Rabdologiya” kitabının əvvəlində bu haqda necə yazıb:
Mən həmişə gücüm və bacarığım imkan verdiyi qədər çalışmışam ki, insanları yoruculuğu adətən çoxlarını riyaziyyatı öyrənməkdən çəkindirən hesablamaların çətinliyindən və yorğunluğundan azad edim.
Loqarifmin adını Napier özü təklif etmişdir; birləşdikdə “nisbətlərin sayı” mənasını verən yunan sözlərini birləşdirərək əldə edilmişdir.
Loqarifmin əsasını Speidel təqdim etmişdir. Eyler bunu güclər nəzəriyyəsindən götürərək loqarifmlər nəzəriyyəsinə köçürdü. Loqarifm anlayışı 19-cu əsrdə Koppe sayəsində məşhurlaşdı. Təbii və onluq loqarifmlərin istifadəsi, eləcə də onların qeydləri Koşi sayəsində ortaya çıxdı.
1614-cü ildə Con Napier latın dilində “Loqarifmlərin heyrətamiz cədvəlinin təsviri” adlı esse nəşr etdi. Loqarifmlərin, qaydaların və onların xassələrinin qısa təsviri verilmişdir. Dəqiq elmlərdə “loqarifm” termini belə yarandı.
Loqarifm əməliyyatı və onun ilk xatırladılması Wallis və Johann Bernoulli sayəsində ortaya çıxdı və nəhayət 18-ci əsrdə Eyler tərəfindən quruldu.
y = loqas formasının loqarifmik funksiyasını kompleks sahəyə genişləndirməkdə Eylerin ləyaqətidir. 18-ci əsrin birinci yarısında onun eksponensial və loqarifmik funksiyaların müasir təriflərini özündə əks etdirən “Sonsuzların təhlilinə giriş” kitabı nəşr olundu.
Loqarifmik funksiya
y = logax formasının funksiyası (yalnız a > 0, a ≠ 1 olduqda məna kəsb edir).
- Loqarifmik funksiya bütün müsbət ədədlərin çoxluğu ilə müəyyən edilir, çünki giriş loqası yalnız x > 0; şərti altında mövcuddur.
- Bu funksiya R dəstindən (real ədədlər) tamamilə bütün dəyərləri götürə bilər. Hər bir real ədəd b müsbət x olduğuna görə loqaks = b bərabərliyi təmin olunsun, yəni bu tənliyin kökü var - x = ab (loqaab = b olmasından irəli gəlir).
- Funksiya a>0 intervalında artır, 0 intervalında isə azalır. a>0 olarsa, funksiya x>1 üçün müsbət qiymətlər alır.
Yadda saxlamaq lazımdır ki, y = logax loqarifmik funksiyasının istənilən qrafiki bir stasionar nöqtəyə (1; 0) malikdir, çünki loqa 1 = 0. Bu, aşağıdakı qrafikin təsvirində aydın görünür.
Şəkillərdə gördüyümüz kimi, funksiyanın pariteti və ya təkliyi yoxdur, maksimum və ya minimum qiymətləri yoxdur, yuxarıda və ya aşağıda məhdudlaşdırılmır.
y = logаx loqarifmik funksiyası və y = aх eksponensial funksiyası, burada (а>0, а≠1) qarşılıqlı tərsdir. Bunu onların qrafiklərinin təsvirində görmək olar.
Loqarifmlərlə bağlı məsələlərin həlli
Tipik olaraq, loqarifmləri ehtiva edən məsələnin həlli onların standart formaya çevrilməsinə əsaslanır və ya loqarifm işarəsi altında ifadələrin sadələşdirilməsinə yönəldilir. Yoxsa adi natural ədədləri tələb olunan baza ilə loqarifmə çevirməyə və ifadəni sadələşdirmək üçün əlavə əməliyyatlar aparmağa dəyərmi?
Unudulmaması lazım olan bəzi incəliklər var:
- Hər iki tərəf eyni əsaslı qaydaya uyğun olaraq loqarifmlər altında olduqda bərabərsizlikləri həll edərkən, loqarifmin işarəsini "atmağa" tələsməyin. Loqarifmik funksiyanın monotonluq intervallarından xəbərdar olun. Çünki əsas 1-dən böyükdürsə (funksiya artdıqda), bərabərsizlik işarəsi dəyişməz qalacaq, lakin baza 0-dan böyük və 1-dən kiçik olduqda (funksiya azaldıqda) bərabərsizlik. işarəsi əksinə dəyişəcək;
- Loqarifmin təriflərini unutma: logax = b, a>0, a≠1 və x>0, məqbul dəyərlərin hesablanmamış diapazonuna görə kökləri itirməmək üçün. İcazə verilən dəyər diapazonu (VA) demək olar ki, bütün mürəkkəb funksiyalar üçün mövcuddur.
Bunlar əhəmiyyətsiz, lakin böyük miqyaslı səhvlərdir ki, bir çoxları tapşırıq üçün düzgün cavab tapmaq yolunda qarşılaşırlar. Loqarifmləri həll etmək üçün çoxlu qaydalar yoxdur, buna görə də bu mövzu digərlərindən və sonrakılardan daha sadədir, lakin yaxşı başa düşməyə dəyər.
Nəticə
Bu mövzu ilk baxışdan mürəkkəb və çətin görünə bilər, lakin onu dərindən və dərindən öyrəndikcə mövzunun sadəcə olaraq bitdiyini və heç bir şeyin çətinlik yaratmadığını başa düşməyə başlayırsan. Loqarifmlər mövzusu ilə bağlı bütün xassələri, qaydaları və hətta səhvləri əhatə etdik. Təhsilinizdə uğurlar!
