Vektorların skalyar hasilinin xassələri hansılardır. Vektorların nöqtə məhsulu: nəzəriyyə və problemin həlli

Vektorların nöqtə hasili

Biz vektorlarla məşğul olmağa davam edirik. İlk dərsdə Butaforlar üçün vektorlar vektor anlayışını, vektorlarla hərəkətləri, vektor koordinatlarını və vektorlarla ən sadə məsələləri nəzərdən keçirdik. Əgər siz bu səhifəyə ilk dəfə axtarış sistemindən gəlmisinizsə, yuxarıdakı giriş məqaləsini oxumağı çox tövsiyə edirəm, çünki materialı mənimsəmək üçün mənim istifadə etdiyim terminləri və qeydləri rəhbər tutmalı, vektorlar haqqında əsas biliklərə sahib olmalısınız. və elementar məsələləri həll etməyi bacarmalıdır. Bu dərs mövzunun məntiqi davamıdır və mən vektorların skalyar məhsulundan istifadə edən tipik tapşırıqları ətraflı təhlil edəcəyəm. Bu, ÇOX ƏHƏMİYYƏTLİ bir işdir.. Nümunələri qaçırmamağa çalışın, onlar faydalı bir bonusla gəlirlər - təcrübə əhatə olunan materialı birləşdirməyə və analitik həndəsənin ümumi problemlərinin həllində "əlinizi almağa" kömək edəcəkdir.

Vektorların əlavə edilməsi, vektorun ədədə vurulması.... Riyaziyyatçıların başqa bir şey tapmadığını düşünmək sadəlövhlük olardı. Artıq nəzərdən keçirilən hərəkətlərə əlavə olaraq vektorlarla bir sıra digər əməliyyatlar da var, yəni: vektorların nöqtə hasili, vektorların çarpaz məhsulu və vektorların qarışıq məhsulu. Vektorların skalyar hasili bizə məktəbdən tanışdır, digər iki məhsul ənənəvi olaraq ali riyaziyyat kursu ilə bağlıdır. Mövzular sadədir, bir çox məsələlərin həlli alqoritmi stereotip və başa düşüləndir. Yeganə şey. Layiqli miqdarda məlumat var, buna görə HƏR ŞEYİ VƏ BİRDƏN mənimsəməyə və həll etməyə çalışmaq arzuolunmazdır. Bu xüsusilə dummies üçün doğrudur, inanın, müəllif özünü riyaziyyatdan Çikatilo kimi hiss etmək istəmir. Yaxşı, riyaziyyatdan deyil, təbii ki, =) Daha hazırlıqlı tələbələr materialları seçərək, müəyyən mənada, çatışmayan bilikləri "əldə etmək" üçün istifadə edə bilər, sizin üçün zərərsiz Qraf Drakula olacam =)

Nəhayət, gəlin qapını bir az açaq və iki vektor bir-biri ilə qarşılaşdıqda nə baş verdiyinə nəzər salaq....

Vektorların skalyar hasilinin tərifi.
Skayar məhsulun xassələri. Tipik vəzifələr

Nöqtə məhsulu anlayışı

Əvvəlcə haqqında vektorlar arasındakı bucaq. Düşünürəm ki, hər kəs vektorlar arasındakı bucağın nə olduğunu intuitiv şəkildə başa düşür, amma hər halda, bir az daha çox. Sərbəst sıfırdan fərqli vektorları və . Bu vektorları ixtiyari bir nöqtədən təxirə salsaq, çoxlarının zehni olaraq təqdim etdiyi bir şəkil alırıq:

Etiraf edirəm, burada vəziyyəti ancaq anlayış səviyyəsində təsvir etdim. Vektorlar arasındakı bucağın ciddi tərifinə ehtiyacınız varsa, dərsliyə müraciət edin, amma praktik tapşırıqlar üçün, prinsipcə, buna ehtiyacımız yoxdur. Həmçinin BURADA və DAHA, mən bəzən sıfır vektorları aşağı praktik əhəmiyyətinə görə nəzərə almayacağam. Aşağıdakı ifadələrdən bəzilərinin nəzəri natamamlığına görə məni məzəmmət edə biləcək saytın qabaqcıl ziyarətçiləri üçün xüsusi olaraq rezervasiya etdim.

0-dan 180 dərəcə (0-dan radian) daxil olmaqla dəyərləri qəbul edə bilər. Analitik olaraq bu fakt ikiqat bərabərsizlik kimi yazılır:

və ya

(radianla).

Ədəbiyyatda bucaq işarəsi çox vaxt buraxılır və sadəcə yazılır.

Tərif:İki vektorun skalyar hasili bu vektorların uzunluqlarının hasilinə və aralarındakı bucağın kosinusuna bərabər olan SƏDDdir:

İndi bu, olduqca sərt bir tərifdir.

Əsas məlumatlara diqqət yetiririk:

Təyinat: skalyar hasil və ya sadəcə olaraq işarələnir.

Əməliyyatın nəticəsi NÖMRƏdir: Ədəd əldə etmək üçün vektoru vektora vurun. Həqiqətən, vektorların uzunluqları ədəddirsə, bucağın kosinusu ədəddirsə, onda onların məhsulu nömrə də olacaq.

Yalnız bir neçə istiləşmə nümunəsi:

Misal 1

Həll: Formuladan istifadə edirik . Bu halda:

Cavab:

Kosinus dəyərləri ilə tanış ola bilərsiniz triqonometrik cədvəl. Mən onu çap etməyi məsləhət görürəm - qüllənin demək olar ki, bütün bölmələrində tələb olunacaq və dəfələrlə tələb olunacaq.

Sırf riyazi nöqteyi-nəzərdən, skalyar hasil ölçüsüzdür, yəni nəticə, bu halda, sadəcə bir rəqəmdir və bu qədərdir. Fizikanın problemləri baxımından skalyar hasil həmişə müəyyən fiziki məna daşıyır, yəni nəticədən sonra bu və ya digər fiziki vahid göstərilməlidir. Bir qüvvənin işinin hesablanmasının kanonik nümunəsini hər hansı bir dərslikdə tapmaq olar (düstur tam olaraq nöqtə hasilidir). Bir qüvvənin işi Joules ilə ölçülür, buna görə də cavab olduqca xüsusi olaraq yazılacaq, məsələn,.

Misal 2

Əgər tapın , və vektorlar arasındakı bucaq .

Bu, öz-özünə qərar vermək üçün bir nümunədir, cavab dərsin sonundadır.

Vektorlar və nöqtə məhsul dəyəri arasındakı bucaq

1-ci misalda skalyar hasil müsbət, 2-ci misalda isə mənfi oldu. Skayar hasilin işarəsinin nədən asılı olduğunu öyrənək. Düsturumuza baxaq: . Sıfırdan fərqli vektorların uzunluqları həmişə müsbətdir: , ona görə də işarə yalnız kosinusun qiymətindən asılı ola bilər.

Qeyd: Aşağıdakı məlumatları daha yaxşı başa düşmək üçün təlimatda kosinus qrafikini öyrənmək daha yaxşıdır Qrafiklər və funksiya xassələri. Seqmentdə kosinusun necə davrandığına baxın.

Artıq qeyd edildiyi kimi, vektorlar arasındakı bucaq daxilində dəyişə bilər və aşağıdakı hallar mümkündür:

1) Əgər künc vektorlar arasında ədviyyatlı: (0-dan 90 dərəcəyə qədər), sonra , və nöqtə məhsulu müsbət olacaq birgə rəhbərlik etmişdir, onda onların arasındakı bucaq sıfır hesab olunur və skalyar hasil də müsbət olacaqdır. olduğundan, düstur sadələşdirilir: .

2) Əgər künc vektorlar arasında axmaq: (90-dan 180 dərəcəyə qədər), sonra , və müvafiq olaraq, nöqtə məhsulu mənfidir: . Xüsusi hal: vektorlar olarsa əks istiqamətə yönəldilib, sonra onların arasındakı bucaq nəzərə alınır yerləşdirilmiş: (180 dərəcə). Skayar hasil də mənfidir, çünki

Qarşılıqlı ifadələr də doğrudur:

1) Əgər , onda bu vektorlar arasındakı bucaq itidir. Alternativ olaraq vektorlar koordinatlıdır.

2) Əgər , onda bu vektorlar arasındakı bucaq kütdür. Alternativ olaraq vektorlar əks istiqamətə yönəldilir.

Lakin üçüncü hal xüsusi maraq doğurur:

3) Əgər künc vektorlar arasında düz: (90 dərəcə) sonra və nöqtə məhsulu sıfırdır: . Əksi də doğrudur: əgər , onda . Kompakt bəyanat aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir: Verilmiş vektorlar ortoqonal olduqda iki vektorun skalyar hasili sıfırdır. Qısa riyaziyyat qeydi:

! Qeyd : təkrarlamaq riyazi məntiqin əsasları: ikitərəfli məntiqi nəticə simvolu adətən "əgər və yalnız o zaman", "əgər və ancaq əgər" oxunur. Gördüyünüz kimi, oxlar hər iki istiqamətə yönəldilir - "bundan belə gəlir və əksinə - bundan belə gəlir". Yeri gəlmişkən, birtərəfli izləmə nişanından fərqi nədir? İkon iddia edir yalnız bunun əksinin doğru olması faktı yox, “bundan belə çıxır”. Məsələn: , lakin hər heyvan panter deyil, ona görə də bu halda ikonadan istifadə etmək olmaz. Eyni zamanda, simvol yerinə bacarmaq birtərəfli simvoldan istifadə edin. Məsələn, problemi həll edərkən vektorların ortoqonal olduğu qənaətinə gəldik: - belə bir qeyd düzgün və hətta daha uyğun olacaq .

Üçüncü hal böyük praktik əhəmiyyət kəsb edir., çünki o, vektorların ortoqonal olub olmadığını yoxlamağa imkan verir. Bu problemi dərsin ikinci hissəsində həll edəcəyik.

Nöqtə məhsulunun xüsusiyyətləri

İki vektor olduqda vəziyyətə qayıdaq birgə rəhbərlik etmişdir. Bu halda onların arasındakı bucaq sıfırdır, , və skalyar hasil düsturu formasını alır: .

Bir vektor özünə vurularsa nə olar? Aydındır ki, vektor özü ilə birgə yönləndirilir, ona görə də yuxarıdakı sadələşdirilmiş düsturdan istifadə edirik:

Nömrə çağırılır skalyar kvadrat vektor və kimi işarələnir.

Bu minvalla, vektorun skalyar kvadratı verilmiş vektorun uzunluğunun kvadratına bərabərdir:

Bu bərabərlikdən vektorun uzunluğunu hesablamaq üçün düstur ala bilərsiniz:

Qaranlıq görünsə də, dərsin tapşırıqları hər şeyi öz yerinə qoyacaq. Problemləri həll etmək üçün bizə də lazımdır nöqtə məhsulunun xüsusiyyətləri.

İxtiyari vektorlar və istənilən ədəd üçün aşağıdakı xüsusiyyətlər doğrudur:

1) - yerdəyişən və ya kommutativ skalyar məhsul qanunu.

2) - paylama və ya paylayıcı skalyar məhsul qanunu. Sadəcə olaraq, mötərizə aça bilərsiniz.

3) - birləşmə və ya assosiativ skalyar məhsul qanunu. Sabit skalyar hasildən çıxarıla bilər.

Çox vaxt hər cür xassələr (bunu da sübut etmək lazımdır!) Tələbələr tərəfindən lazımsız zibil kimi qəbul edilir, yalnız imtahandan dərhal sonra yadda saxlanmalı və təhlükəsiz şəkildə unudulmalıdır. Görünür ki, burada vacib olan hər kəs birinci sinifdən məhsulun faktorların dəyişməsindən dəyişmədiyini bilir: Sizi xəbərdar etməliyəm, ali riyaziyyatda belə bir yanaşma ilə işləri qarışdırmaq asandır. Beləliklə, məsələn, kommutativ xüsusiyyət üçün etibarlı deyil cəbri matrislər. üçün doğru deyil vektorların çarpaz məhsulu. Buna görə də, nəyin edilə biləcəyini və edilə bilməyəcəyini başa düşmək üçün ən azı ali riyaziyyat kursunda qarşılaşacağınız hər hansı bir xassələri araşdırmaq daha yaxşıdır.

Misal 3

Həll:Əvvəlcə vektorla bağlı vəziyyəti aydınlaşdıraq. Bütün bunlar nə ilə bağlıdır? ve vektorlarının cəmi yaxşı müəyyən edilmiş vektordur, ilə işarələnir. Vektorlarla hərəkətlərin həndəsi şərhini məqalədə tapa bilərsiniz Butaforlar üçün vektorlar. Vektorlu eyni cəfəri vektorların cəmidir və .

Deməli, şərtə uyğun olaraq skalyar hasili tapmaq tələb olunur. Teorik olaraq, iş düsturunu tətbiq etməlisiniz , lakin problem ondadır ki, vektorların uzunluqlarını və aralarındakı bucağı bilmirik. Ancaq vəziyyətdə, oxşar parametrlər vektorlar üçün verilir, buna görə də başqa yolla gedəcəyik:

(1) vektorların ifadələrini əvəz edirik.

(2) Çoxhədlilərin vurulması qaydasına uyğun olaraq mötərizələri açırıq, məqalədə vulqar dilin bükülməsini tapmaq olar Kompleks ədədlər və ya Kəsr-rasional funksiyanın inteqrasiyası. Özümü təkrar etməyəcəm =) Yeri gəlmişkən, skalyar hasilin paylanma xüsusiyyəti mötərizələri açmağa imkan verir. Bizim haqqımız var.

(3) Birinci və sonuncu şərtlərdə vektorların skalyar kvadratlarını yığcam şəkildə yazırıq: . İkinci termində skalyar hasilin dəyişmə qabiliyyətindən istifadə edirik: .

(4) Budur oxşar terminlər: .

(5) Birinci termində bir qədər əvvəl qeyd olunan skalyar kvadrat düsturundan istifadə edirik. Son müddətdə, müvafiq olaraq, eyni şey işləyir: . İkinci müddət standart düstura uyğun olaraq genişləndirilir .

(6) Bu şərtləri əvəz edin , və son hesablamaları DİQQƏTLƏ aparın.

Cavab:

Nöqtə hasilinin mənfi dəyəri vektorlar arasındakı bucağın küt olduğunu bildirir.

Tapşırıq tipikdir, burada müstəqil həll üçün bir nümunə var:

Misal 4

və vektorlarının skalyar hasilini tapın, əgər məlumdursa .

İndi başqa bir ümumi vəzifə, yalnız yeni vektor uzunluğu düsturu üçün. Buradakı təyinatlar bir az üst-üstə düşəcək, ona görə də aydınlıq üçün onu başqa hərflə yenidən yazacağam:

Misal 5

Əgər vektorun uzunluğunu tapın .

Həll aşağıdakı kimi olacaq:

(1) vektor ifadəsini təqdim edirik.

(2) Biz uzunluq düsturundan istifadə edirik: , "ve" vektoru kimi tam ifadəmiz var.

(3) Biz cəminin kvadratı üçün məktəb düsturundan istifadə edirik. Burada maraqlı şəkildə necə işlədiyinə diqqət yetirin: - əslində fərqin kvadratı budur və əslində belədir. Arzu edənlər vektorları yerlərdə yenidən təşkil edə bilərlər: - terminlərin yenidən qurulmasına qədər eyni şey çıxdı.

(4) Aşağıdakılar əvvəlki iki problemdən artıq tanışdır.

Cavab:

Uzunluqdan bəhs etdiyimiz üçün ölçüsü - "vahidləri" göstərməyi unutmayın.

Misal 6

Əgər vektorun uzunluğunu tapın .

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Skalar məhsuldan faydalı şeyləri sıxmağa davam edirik. Düsturumuza yenidən baxaq . Mütənasiblik qaydası ilə vektorların uzunluqlarını sol tərəfin məxrəcinə qaytarırıq:

Gəlin hissələri dəyişdirək:

Bu formulun mənası nədir? Əgər iki vektorun uzunluqları və onların skalyar hasili məlumdursa, onda bu vektorlar arasındakı bucağın kosinusu və deməli, bucağın özünü hesablamaq olar.

Skayar hasil ədəddir? Nömrə. Vektor uzunluqları ədədlərdir? Nömrələri. Beləliklə, kəsr də bir ədəddir. Və bucağın kosinusu məlumdursa: , onda tərs funksiyadan istifadə edərək bucağın özünü tapmaq asandır: .

Misal 7

və vektorları arasındakı bucağı tapın, əgər məlumdursa.

Həll: Formuladan istifadə edirik:

Hesablamaların son mərhələsində bir texnika istifadə edildi - məxrəcdə irrasionallığın aradan qaldırılması. Məntiqsizliyi aradan qaldırmaq üçün say və məxrəci vurdum.

Beləliklə əgər , sonra:

Tərs triqonometrik funksiyaların qiymətləri ilə tapıla bilər triqonometrik cədvəl. Baxmayaraq ki, bu nadir hallarda olur. Analitik həndəsə problemlərində bəzi yöndəmsiz ayılar daha tez-tez görünür və bucağın dəyərini təxminən bir kalkulyatordan istifadə edərək tapmaq lazımdır. Əslində biz bu mənzərəni dönə-dönə görəcəyik.

Cavab:

Yenə ölçüləri - radyanları və dərəcələri göstərməyi unutmayın. Şəxsən, qəsdən "bütün sualları silmək" üçün hər ikisini göstərməyi üstün tuturam (əlbəttə ki, şərtlə cavabı yalnız radyanla və ya yalnız dərəcələrlə təqdim etmək tələb olunmursa).

İndi daha çətin bir işin öhdəsindən özünüz gələ biləcəksiniz:

Misal 7*

Vektorların uzunluqları və aralarındakı bucaq verilmişdir. , vektorları arasındakı bucağı tapın.

Tapşırıq çoxtərəfli qədər çətin deyil.
Həll alqoritmini təhlil edək:

1) Şərtə görə və vektorları arasındakı bucağı tapmaq tələb olunur, ona görə də düsturdan istifadə etmək lazımdır. .

2) Skayar hasilini tapırıq (bax. Nümunələr № 3, 4).

3) Vektorun uzunluğunu və vektorun uzunluğunu tapın (bax. Nümunələr № 5, 6).

4) Həllin sonu 7-ci Nümunə ilə üst-üstə düşür - biz rəqəmi bilirik , bu o deməkdir ki, bucağın özünü tapmaq asandır:

Qısa həll və dərsin sonunda cavab.

Dərsin ikinci bölməsi eyni nöqtə hasilinə həsr edilmişdir. Koordinatlar. Birinci hissədən daha asan olacaq.

Vektorların nöqtə hasili,
ortonormal əsasda koordinatlarla verilir

Cavab:

Söz yox ki, koordinatlarla məşğul olmaq çox daha xoşdur.

Misal 14

Vektorların skalyar hasilini tapın və əgər

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Burada əməliyyatın assosiativliyindən istifadə edə bilərsiniz, yəni saymayın, ancaq skalyar hasildən dərhal üçlüyü çıxarın və sonuncu dəfə ona vurun. Həll və cavab dərsin sonunda.

Paraqrafın sonunda vektorun uzunluğunu hesablamaq üçün təxribatçı bir nümunə:

Misal 15

Vektorların uzunluqlarını tapın , əgər

Həll: yenə əvvəlki bölmənin metodu özünü göstərir: lakin başqa bir yol var:

vektoru tapaq:

Və mənasız düstura görə uzunluğu :

Skayar məhsulun burada heç bir əhəmiyyəti yoxdur!

Vektorun uzunluğunu hesablayarkən nə dərəcədə işdən kənardır:
Dayan. Niyə vektorun açıq uzunluq xüsusiyyətindən istifadə etməyək? Vektorun uzunluğu haqqında nə demək olar? Bu vektor vektordan 5 dəfə uzundur. İstiqamət əksinədir, amma fərqi yoxdur, çünki biz uzunluqdan danışırıq. Aydındır ki, vektorun uzunluğu məhsula bərabərdir modul vektor uzunluğuna görə ədədlər:
- modulun işarəsi rəqəmin mümkün minusunu "yeyir".

Bu minvalla:

Cavab:

Koordinatlarla verilən vektorlar arasındakı bucağın kosinusu üçün düstur

İndi vektorların koordinatları baxımından vektorlar arasındakı bucağın kosinusu üçün əvvəllər alınmış düsturu ifadə etmək üçün tam məlumatımız var:

Müstəvi vektorlar arasındakı bucağın kosinusu və ortonormal əsasda verilmişdir, düsturu ilə ifadə edilir:
.

Kosmik vektorlar arasındakı bucağın kosinusu, ortonormal əsasda verilir, düsturu ilə ifadə edilir:

Misal 16

Üçbucağın üç təpəsi verilmişdir. Tapın (təpə bucağı).

Həll:Şərtlə, rəsm tələb olunmur, lakin yenə də:

Tələb olunan bucaq yaşıl qövslə qeyd olunur. Biz dərhal bucağın məktəb təyinatını xatırlayırıq: - xüsusi diqqət orta məktub - bu bizə lazım olan bucağın zirvəsidir. Qısalıq üçün onu sadə şəkildə də yazmaq olar.

Rəsmdən aydın olur ki, üçbucağın bucağı vektorlar arasındakı bucaqla üst-üstə düşür, başqa sözlə: .

Zehni olaraq həyata keçirilən analizin necə aparılacağını öyrənmək arzu edilir.

vektorları tapaq:

Skayar məhsulu hesablayaq:

Və vektorların uzunluqları:

Bucağın kosinusu:

Tapşırığın bu sıralamasını dummilərə tövsiyə edirəm. Daha qabaqcıl oxucular hesablamaları "bir sətirdə" yaza bilərlər:

Budur "pis" kosinus dəyərinə bir nümunə. Əldə edilən dəyər yekun deyil, ona görə də məxrəcdəki irrasionallıqdan qurtulmağın çox mənası yoxdur.

Bucağı tapaq:

Rəsmə baxsanız, nəticə olduqca inandırıcıdır. Bucağı yoxlamaq üçün bir iletki ilə də ölçülə bilər. Monitor örtüyünə zərər verməyin =)

Cavab:

Cavabda bunu unutma üçbucağın bucağı haqqında soruşdu(və vektorlar arasındakı bucaq haqqında deyil), dəqiq cavabı göstərməyi unutmayın: və bucağın təxmini dəyəri: kalkulyatorla tapılır.

Prosesdən həzz alanlar bucaqları hesablaya və kanonik bərabərliyin doğru olduğuna əmin ola bilərlər

Misal 17

Üçbucaq fəzada təpələrinin koordinatları ilə verilir. və tərəfləri arasındakı bucağı tapın

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Tam həll və dərsin sonunda cavab

Kiçik bir yekun bölmə skalyar məhsulun da "iştirak etdiyi" proqnozlara həsr olunacaq:

Vektorun vektor üzərinə proyeksiyası. Koordinat oxlarına vektor proyeksiyası.
Vektor istiqaməti kosinusları

Vektorları nəzərdən keçirin və:

Biz vektoru vektor üzərinə proyeksiya edirik, bunun üçün vektorun əvvəlindən və sonundan çıxırıq perpendikulyarlar vektor başına (yaşıl nöqtəli xətlər). Təsəvvür edin ki, işıq şüaları vektora perpendikulyar olaraq düşür. Sonra seqment (qırmızı xətt) vektorun "kölgəsi" olacaqdır. Bu halda vektorun vektora proyeksiyası seqmentin UZUNLUĞU olur. Yəni PROKEKSİYA NÖMRƏDİR.

Bu NÖMRƏ aşağıdakı kimi işarələnir: , "böyük vektor" vektoru bildirir HANSI layihə, "kiçik alt simvol vektoru" vektoru bildirir ÜSTÜNDƏ hansı proqnozlaşdırılır.

Girişin özü belə oxunur: “a” vektorunun “ol” vektoruna proyeksiyası”.

"Ol" vektoru "çox qısa" olarsa nə olar? "Ol" vektorunu ehtiva edən düz xətt çəkirik. Və "a" vektoru artıq proqnozlaşdırılacaq "ol" vektorunun istiqamətinə, sadəcə olaraq - "ol" vektorunu ehtiva edən düz xətt üzərində. Otuzuncu səltənətdə "a" vektoru kənara qoyulsa, eyni şey baş verəcək - yenə də "ol" vektorunu ehtiva edən xəttə asanlıqla proyeksiya ediləcək.

Əgər bucaq vektorlar arasında ədviyyatlı(şəkildəki kimi), sonra

Əgər vektorlar ortoqonal, onda (proyeksiya ölçüləri sıfır olduğu qəbul edilən nöqtədir).

Əgər bucaq vektorlar arasında axmaq(şəkildə vektorun oxunu zehni olaraq yenidən düzəldin), sonra (eyni uzunluqda, lakin mənfi işarə ilə götürülür).

Bu vektorları bir nöqtədən kənara qoyun:

Aydındır ki, vektoru hərəkət etdirərkən onun proyeksiyası dəyişmir

I. Skayar hasil yalnız və yalnız vektorlardan ən azı biri sıfır olduqda və ya vektorlar perpendikulyar olduqda yox olur. Həqiqətən, əgər və ya, ya da sonra.

Əksinə, vurulan vektorlar sıfır deyilsə, o zaman şərtdən

aşağıdakı zaman:

Null vektorunun istiqaməti qeyri-müəyyən olduğundan, sıfır vektoru istənilən vektora perpendikulyar hesab etmək olar. Buna görə də, skalyar hasilin göstərilən xassəsini daha qısa şəkildə tərtib etmək olar: skalyar hasil yalnız vektorlar perpendikulyar olduqda yox olur.

II. Skayar məhsul yerdəyişmə xüsusiyyətinə malikdir:

Bu xüsusiyyət birbaşa tərifdən irəli gəlir:

çünki eyni bucaq üçün müxtəlif təyinatlar.

III. Dağıtım qanunu müstəsna əhəmiyyət kəsb edir. Onun tətbiqi adi arifmetikada və ya cəbrdə olduğu kimi böyükdür, burada aşağıdakı kimi tərtib edilir: cəmini çoxaltmaq üçün hər bir termini çoxaltmalı və nəticədə çıxan məhsulları əlavə etməlisiniz, yəni.

Aydındır ki, arifmetikada çoxqiymətli ədədlərin və ya cəbrdə çoxhədlilərin vurulması bu vurma xassəsinə əsaslanır.

Bu qanun vektor cəbrində eyni fundamental əhəmiyyətə malikdir, çünki onun əsasında polinomların vektorlara vurulması üçün adi qayda tətbiq edə bilərik.

İstənilən üç A, B, C vektoru üçün bərabərlik olduğunu sübut edək

Skalar məhsulun düsturla ifadə edilən ikinci tərifinə görə alırıq:

İndi § 5-dən proqnozların 2 xassəsini tətbiq edərək, tapırıq:

Q.E.D.

IV. Skayar hasil ədədi faktora görə birləşmə xassəsinə malikdir; bu xassə aşağıdakı düsturla ifadə edilir:

yəni vektorların skalyar məhsulunu ədədə vurmaq üçün amillərdən birini bu ədədə vurmaq kifayətdir.

Müstəqil həll üçün tapşırıqlar da olacaq, cavablarını görə bilərsiniz.

Əgər məsələdə vektorların həm uzunluqları, həm də onlar arasındakı bucaq “gümüş nimçədə” təqdim olunursa, problemin şərti və onun həlli belə görünür:

Misal 1 Vektorlar verilir. Vektorların uzunluqları və aralarındakı bucaq aşağıdakı qiymətlərlə ifadə edilərsə, onların skalyar hasilini tapın:

Başqa bir tərif də etibarlıdır ki, bu da 1-ci tərifə tam ekvivalentdir.

Tərif 2. Vektorların skalyar hasili bu vektorlardan birinin uzunluğu ilə digər vektorun bu vektorlardan birincisi ilə təyin olunan oxa proyeksiyasının hasilinə bərabər olan ədəddir (skalar). 2-ci tərifə görə düstur:

Növbəti mühüm nəzəri məqamdan sonra bu düsturdan istifadə edərək problemi həll edəcəyik.

Vektorların skalyar hasilinin koordinatlar baxımından təyini

Çoxaldılmış vektorlar onların koordinatları ilə verilərsə, eyni sayda əldə edilə bilər.

Tərif 3. Vektorların nöqtə hasili onların müvafiq koordinatlarının qoşa hasillərinin cəminə bərabər olan ədəddir.

Səthdə

Əgər iki vektor və müstəvidə onların ikisi ilə müəyyən edilirsə Kartezyen koordinatları

onda bu vektorların nöqtə hasili onların müvafiq koordinatlarının qoşa hasillərinin cəminə bərabərdir:

Misal 2 Vektorun vektora paralel oxa proyeksiyasının ədədi qiymətini tapın.

Həll. Vektorların koordinatlarının cüt hasillərini əlavə etməklə onların skalyar hasilini tapırıq:

İndi əldə edilən skalyar məhsulu vektorun uzunluğunun hasilinə və vektorun vektora paralel oxa proyeksiyasına bərabərləşdirməliyik (düstura uyğun olaraq).

Vektorun uzunluğunu onun koordinatlarının kvadratlarının cəminin kvadrat kökü kimi tapırıq:

Tənlik yazın və həll edin:

Cavab verin. İstədiyiniz ədədi dəyər mənfi 8-dir.

Kosmosda

Əgər iki vektor və fəzada onların üç dekart düzbucaqlı koordinatları ilə müəyyən edilirsə

onda bu vektorların skalyar hasili də onların müvafiq koordinatlarının qoşa hasillərinin cəminə bərabərdir, yalnız artıq üç koordinat var:

Skayar hasilin nəzərdən keçirilən üsulla tapılması vəzifəsi skalyar hasilin xassələrini təhlil etdikdən sonradır. Çünki tapşırıqda vurulan vektorların hansı bucağı əmələ gətirdiyini müəyyən etmək lazım gələcək.

Vektorların Nöqtə hasilinin xassələri

Cəbri xassələri

1. (kommutativ mülkiyyət: onların skalyar hasilinin qiyməti vurulan vektorların yerlərinin dəyişdirilməsindən dəyişmir).

2. (ədədi amillə bağlı assosiativ xassə: vektorun hansısa əmsala vurulan skalyar hasili ilə başqa vektorun skalyar hasili bu vektorların eyni əmsala vurulan skalyar hasilinə bərabərdir).

3. (vektorların cəminə görə paylayıcı xassə: iki vektorun cəminin üçüncü vektor üzrə skalyar hasili birinci vektorun üçüncü vektorla, ikinci vektorun üçüncü vektor üzrə skalyar hasillərinin cəminə bərabərdir).

4. (sıfırdan böyük vektorun skalyar kvadratı) əgər sıfırdan fərqli vektordur və , əgər sıfır vektordur.

Həndəsi xassələri

Tədqiq olunan əməliyyatın təriflərində biz artıq iki vektor arasındakı bucaq anlayışına toxunmuşuq. Bu konsepsiyaya aydınlıq gətirməyin vaxtı gəldi.

Yuxarıdakı şəkildə, ümumi başlanğıca gətirilən iki vektor görünür. Və diqqət etməli olduğunuz ilk şey: bu vektorlar arasında iki bucaq var - φ 1 və φ 2 . Bu bucaqlardan hansı vektorların skalyar hasilinin təriflərində və xassələrində görünür? Nəzərə alınan bucaqların cəmi 2-dir π və buna görə də bu bucaqların kosinusları bərabərdir. Nöqtə hasilinin tərifi onun ifadə dəyərini deyil, yalnız bucağın kosinusunu ehtiva edir. Amma xassələrdə yalnız bir künc nəzərə alınır. Və bu, iki bucaqdan biri də keçmir π yəni 180 dərəcə. Bu bucaq şəkildə göstərilmişdir φ 1 .

1. İki vektor çağırılır ortoqonal və bu vektorlar arasındakı bucaq düzdür (90 dərəcə və ya π /2 ) əgər bu vektorların skalyar hasili sıfırdır :

Vektor cəbrində ortoqonallıq iki vektorun perpendikulyarlığıdır.

2. Sıfırdan fərqli iki vektor təşkil edir kəskin künc (0-dan 90 dərəcəyə qədər və ya eyni olan daha azdır π nöqtə məhsulu müsbətdir .

3. İki sıfırdan fərqli vektor təşkil edir küt bucaq (90 ilə 180 dərəcə arasında və ya eyni olan - daha çox π /2 ) yalnız və yalnız əgər nöqtə məhsulu mənfidir .

Misal 3 Vektorlar koordinatlarda verilir:

Verilmiş vektorların bütün cütlərinin nöqtə məhsullarını hesablayın. Bu vektor cütləri hansı bucağı (kəskin, sağ, küt) əmələ gətirir?

Həll. Müvafiq koordinatların məhsullarını əlavə etməklə hesablayacağıq.

Mənfi ədəd aldıq, buna görə vektorlar küt bucaq əmələ gətirir.

Müsbət ədəd aldıq, buna görə vektorlar kəskin bucaq əmələ gətirir.

Sıfır aldıq, buna görə vektorlar düz bucaq yaradır.

Müsbət ədəd aldıq, buna görə vektorlar kəskin bucaq əmələ gətirir.

Özünü sınamaq üçün istifadə edə bilərsiniz onlayn kalkulyator Vektorların nöqtə məhsulu və aralarındakı bucağın kosinusu.

Misal 4İki vektorun uzunluqları və aralarındakı bucaq verilmişdir:

Vektorların ədədin hansı qiymətində ortoqonal (perpendikulyar) olduğunu müəyyən edin.

Həll. Polinomların vurulması qaydasına uyğun olaraq vektorları çoxaldırıq:

İndi hər bir termini hesablayaq:

Gəlin bir tənlik yaradaq (məhsulun sıfıra bərabərliyi), oxşar şərtləri verək və tənliyi həll edək:

Cavab: dəyərini aldıq λ = 1.8 , vektorlar ortoqonaldır.

Misal 5 vektor olduğunu sübut edin vektora ortoqonal (perpendikulyar).

Həll. Ortoqonallığı yoxlamaq üçün vektorları və çoxhədliləri çoxalırıq, onun əvəzinə problem şəraitində verilmiş ifadəni əvəz edirik:

Bunu etmək üçün birinci çoxhədlinin hər bir üzvünü (müddətini) ikincinin hər bir üzvünə vurmalı və nəticədə alınan məhsulları əlavə etməlisiniz:

Nəticədə, ödənilməli olan fraksiya azalır. Aşağıdakı nəticə əldə edilir:

Nəticə: vurma nəticəsində sıfır aldıq, buna görə vektorların ortoqonallığı (perpendikulyarlığı) sübut edildi.

Problemi özünüz həll edin və sonra həllini görün

Misal 6 və vektorlarının uzunluqları nəzərə alınmaqla və bu vektorlar arasındakı bucaqdır π /dörd. Hansı dəyərdə olduğunu müəyyənləşdirin μ vektordur və qarşılıqlı perpendikulyardır.

Özünü sınamaq üçün istifadə edə bilərsiniz onlayn kalkulyator Vektorların nöqtə məhsulu və aralarındakı bucağın kosinusu.

Vektorların skalyar hasilinin və n ölçülü vektorların hasilinin matris təsviri

Bəzən aydınlıq üçün iki vurulan vektoru matrislər şəklində təqdim etmək sərfəlidir. Sonra birinci vektor sətir matrisi, ikincisi isə sütun matrisi kimi təqdim olunur:

Onda vektorların skalyar hasili olacaqdır bu matrislərin məhsulu :

Nəticə artıq nəzərdən keçirdiyimiz üsulla əldə edilənlə eynidir. Biz bir tək ədəd aldıq və matris cərgəsinin matris sütununa hasili də bir ədəddir.

Matris formasında mücərrəd n ölçülü vektorların məhsulunu təqdim etmək rahatdır. Beləliklə, iki dördölçülü vektorun hasili dörd elementli bir sətir matrisinin dörd elementli bir sütun matrisinin hasilinə, iki beşölçülü vektorun hasili isə beş elementli sətir matrisinin hasili olacaqdır. beş elementli sütun matrisi və s.

Misal 7 Cüt vektorların Nöqtə Məhsullarını tapın

matris təmsilindən istifadə etməklə.

Həll. İlk vektor cütü. Birinci vektoru sətir matrisi, ikincisini isə sütun matrisi kimi təqdim edirik. Bu vektorların skalyar hasilini sətir matrisinin sütun matrisinin hasili kimi tapırıq:

Eynilə, ikinci cütü təmsil edirik və tapırıq:

Gördüyünüz kimi, nəticələr 2-ci misaldakı eyni cütlərlə eynidir.

İki vektor arasındakı bucaq

İki vektor arasındakı bucağın kosinusu üçün düsturun çıxarılması çox gözəl və yığcamdır.

Vektorların nöqtə hasilini ifadə etmək

(1)

koordinat şəklində ilk növbədə ortsların skalyar hasilini tapırıq. Özü ilə vektorun skalyar hasili tərifinə görə belədir:

Yuxarıdakı düsturda yazılanlar deməkdir: vektorun özü ilə skalyar hasili onun uzunluğunun kvadratına bərabərdir. Sıfırın kosinusu birə bərabərdir, buna görə də hər bir orthun kvadratı birə bərabər olacaq: