Müntəzəm üçbucaq prizma xüsusiyyəti. Prizma

1. Ən az sayda kənarın tetraedri var - 6.

2. Prizmanın n üzü var. Onun bazasında hansı çoxbucaqlı yerləşir?

(n - 2) - kvadrat.

3. Prizmanın iki bitişik yan üzü əsas müstəvisinə perpendikulyardırsa, o, düzdürmü?

Bəli, elədir.

4. Hansı prizmada yan kənarları onun hündürlüyünə paraleldir?

düz prizmada.

5. Bütün kənarları bir-birinə bərabər olan prizma düzgündürmü?

Xeyr, birbaşa olmaya bilər.

6. Maili prizmanın yan üzlərindən birinin hündürlüyü də prizmanın hündürlüyünə bərabər ola bilərmi?

Bəli, əgər bu üz əsaslara perpendikulyardırsa.

7. Prizma varmı ki, orada: a) yan kənarı əsasın yalnız bir kənarına perpendikulyar olsun; b) yalnız bir yan üz bazaya perpendikulyardır?

a) bəli. b) yox.

8. Düzgün üçbucaqlı prizma əsasların orta xətlərindən keçən müstəvi ilə iki prizmaya bölünür. Bu prizmaların yan səthlərinin sahələri necədir?

27-ci bəndin teoreminə uyğun olaraq, yan səthlərin 5: 3 nisbətində əlaqəli olduğunu alırıq.

9. Yan üzləri düzgün üçbucaqlar olarsa, piramida nizamlı olacaqmı?

10. Piramidanın baza müstəvisinə perpendikulyar neçə üzü ola bilər?

11. Qarşı tərəfləri əsasa perpendikulyar olan dördbucaqlı piramida varmı?

Xeyr, əks halda əsaslara perpendikulyar olan ən azı iki düz xətt piramidanın yuxarı hissəsindən keçərdi.

12. Üçbucaqlı piramidanın bütün üzləri düzbucaqlı üçbucaq ola bilərmi?

Bəli (Şəkil 183).

“Get an A” video kursuna riyaziyyatdan imtahandan 60-65 balla uğurla keçmək üçün lazım olan bütün mövzular daxildir. Profilin bütün 1-13 tapşırıqlarını riyaziyyatda istifadə edin. Riyaziyyatda Əsas İSTİFADƏni keçmək üçün də uyğundur. İmtahanı 90-100 balla vermək istəyirsinizsə, 1-ci hissəni 30 dəqiqə ərzində və səhvsiz həll etməlisiniz!

10-11-ci siniflər, həmçinin müəllimlər üçün imtahana hazırlıq kursu. Riyaziyyatdan imtahanın 1-ci hissəsini (ilk 12 məsələ) və 13-cü məsələni (triqonometriya) həll etmək üçün lazım olan hər şey. Bu, Vahid Dövlət İmtahanında 70 baldan çoxdur və nə yüz ballıq tələbə, nə də humanist onlarsız edə bilməz.

Bütün zəruri nəzəriyyə. Tez həll yolları, tələlər və imtahanın sirləri. Bank of FIPI tapşırıqlarından 1-ci hissənin bütün müvafiq tapşırıqları təhlil edilmişdir. Kurs USE-2018 tələblərinə tam uyğundur.

Kurs hər biri 2,5 saat olmaqla 5 böyük mövzudan ibarətdir. Hər bir mövzu sıfırdan, sadə və aydın şəkildə verilir.

Yüzlərlə imtahan tapşırığı. Mətn problemləri və ehtimal nəzəriyyəsi. Sadə və yadda saxlamaq asan problem həlli alqoritmləri. Həndəsə. Nəzəriyyə, istinad materialı, USE tapşırıqlarının bütün növlərinin təhlili. Stereometriya. Həll üçün hiyləgər fəndlər, faydalı fırıldaq vərəqləri, məkan təxəyyülünün inkişafı. Sıfırdan triqonometriya - tapşırığa 13. Sıxmaq əvəzinə başa düşmək. Mürəkkəb anlayışların vizual izahı. Cəbr. Köklər, səlahiyyətlər və loqarifmlər, funksiya və törəmə. İmtahanın 2-ci hissəsinin mürəkkəb məsələlərinin həlli üçün əsas.

Düz prizma haqqında ümumi məlumat

Prizmanın yan səthi (daha doğrusu, yanal səth sahəsi) adlanır məbləğ yan üz sahələri. Prizmanın ümumi səthi yan səthin və əsasların sahələrinin cəminə bərabərdir.

Teorem 19.1. Düz prizmanın yan səthi təməlin perimetri ilə prizmanın hündürlüyünün hasilinə, yəni yan kənarın uzunluğuna bərabərdir.

Sübut. Düz prizmanın yan üzləri düzbucaqlıdır. Bu düzbucaqlıların əsasları prizmanın təməlində yerləşən çoxbucaqlının tərəfləridir, hündürlükləri isə yan kənarların uzunluğuna bərabərdir. Buradan belə çıxır ki, prizmanın yan səthi bərabərdir

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

burada a 1 və n əsasın qabırğalarının uzunluqları, p prizmanın əsasının perimetri, I isə yan qabırğaların uzunluğudur. Teorem sübut edilmişdir.

Praktik tapşırıq

Tapşırıq (22) . Maili prizmada bölmə, yan kənarlara perpendikulyar və bütün yan kənarları kəsən. Kesidin perimetri p, yan kənarları isə l olarsa, prizmanın yan səthini tapın.

Həll. Çəkilən kəsik müstəvisi prizmanı iki hissəyə ayırır (şək. 411). Onlardan birini prizmanın əsaslarını birləşdirən paralel tərcüməyə tabe edək. Bu halda biz düz prizma alırıq ki, burada ilkin prizmanın kəsişməsi əsas rolunu oynayır, yan kənarları isə l-ə bərabərdir. Bu prizma orijinal ilə eyni yan səthə malikdir. Beləliklə, orijinal prizmanın yan səthi pl-ə bərabərdir.

Mövzunun ümumiləşdirilməsi

İndi gəlin sizinlə prizmanın mövzusunu ümumiləşdirməyə və prizmanın hansı xassələrə malik olduğunu xatırlamağa çalışaq.

Prizmanın xassələri

Birincisi, prizma üçün onun bütün əsasları bərabər çoxbucaqlıdır;
İkincisi, prizma üçün onun bütün yan üzləri paraleloqramdır;
Üçüncüsü, prizma kimi çoxşaxəli bir fiqurda bütün yan kənarlar bərabərdir;

Həm də yadda saxlamaq lazımdır ki, prizmalar kimi çoxüzlülər düz və meylli ola bilər.

Düz prizma nədir?

Prizmanın yan kənarı onun əsasının müstəvisinə perpendikulyardırsa, belə prizmaya düz xətt deyilir.

Düz prizmanın yan üzlərinin düzbucaqlı olduğunu xatırlamaq artıq olmaz.

Bir əyri prizma nədir?

Ancaq prizmanın yan kənarı təməlinin müstəvisinə perpendikulyar deyilsə, bunun meylli bir prizma olduğunu əminliklə söyləyə bilərik.

Doğru prizma nədir?

Düz prizmanın təməlində düzgün çoxbucaqlı yerləşirsə, belə prizma müntəzəmdir.

İndi adi prizmanın malik olduğu xassələri xatırlayaq.

Normal prizmanın xassələri

Birincisi, müntəzəm çoxbucaqlılar həmişə müntəzəm prizmanın əsasları kimi xidmət edir;
İkincisi, müntəzəm prizmanın yan üzlərini nəzərə alsaq, onlar həmişə bərabər düzbucaqlıdırlar;
Üçüncüsü, yan qabırğaların ölçülərini müqayisə etsək, düzgün prizmada onlar həmişə bərabərdirlər.
Dördüncüsü, nizamlı prizma həmişə düzdür;
Beşincisi, əgər müntəzəm prizmada yan üzlər kvadrat şəklindədirsə, onda belə bir fiqur, bir qayda olaraq, yarı nizamlı çoxbucaqlı adlanır.

Prizma bölməsi

İndi prizmanın en kəsiyinə baxaq:

Ev tapşırığı

İndi isə problemləri həll etməklə öyrənilən mövzunu birləşdirməyə çalışaq.

Maili üçbucaqlı prizma çəkək, onun kənarları arasındakı məsafə: 3 sm, 4 sm və 5 sm, bu prizmanın yan səthi isə 60 sm2-ə bərabər olacaqdır. Bu parametrlərlə verilmiş prizmanın yan kənarını tapın.

Bilirsinizmi ki, həndəsi fiqurlar bizi təkcə həndəsə dərslərində deyil, həm də gündəlik həyatda bu və ya digər həndəsi fiqurlara bənzəyən obyektlər ilə əhatə edir.

Hər evdə, məktəbdə və ya işdə sistem bloku düz prizma şəklində olan kompüter var.

Sadə bir qələm götürsəniz, karandaşın əsas hissəsinin prizma olduğunu görərsiniz.

Şəhərin əsas küçəsi ilə gedərkən görürük ki, ayaqlarımızın altında altıbucaqlı prizma formasına malik olan kafel yatır.

A. V. Poqorelov, Həndəsə 7-11 siniflər üçün, Təhsil müəssisələri üçün dərslik

Tərif 1. Prizmatik səth
Teorem 1. Prizmatik səthin paralel kəsikləri haqqında
Tərif 2. Prizmatik səthin perpendikulyar kəsiyi
Tərif 3. Prizma
Tərif 4. Prizmanın hündürlüyü
Tərif 5. Birbaşa prizma
Teorem 2. Prizmanın yan səthinin sahəsi

Paralelepiped:
Tərif 6. Paralelepiped
Teorem 3. Paralelepipedin diaqonallarının kəsişməsi haqqında
Tərif 7. Sağ paralelepiped
Tərif 8. Düzbucaqlı paralelepiped
Tərif 9. Paralelepipedin ölçüləri
Tərif 10. Kub
Tərif 11. Rombedron
Teorem 4. Düzbucaqlı paralelepipedin diaqonalları haqqında
Teorem 5. Prizmanın həcmi
Teorem 6. Düz prizmanın həcmi
Teorem 7. Düzbucaqlı paralelepipedin həcmi

prizma iki üzün (əsasların) paralel müstəvilərdə yerləşdiyi və bu üzlərdə yatmayan kənarları bir-birinə paralel olan çoxüzlü adlanır.
Əsaslardan başqa üzlər deyilir yanal.
Yan üzlərin və əsasların tərəfləri deyilir prizma kənarları, kənarların ucları deyilir prizmanın zirvələri. Yanal qabırğalarəsaslara aid olmayan kənarlar adlanır. Yan üzlərin birləşməsinə deyilir prizmanın yan səthi, və bütün üzlərin birliyi deyilir prizmanın tam səthi. Prizmanın hündürlüyü yuxarı əsas nöqtəsindən aşağı bazanın müstəvisinə düşən perpendikulyar və ya bu perpendikulyarın uzunluğu deyilir. düz prizma yan kənarları əsasların müstəvilərinə perpendikulyar olan prizma adlanır. düzgün düz prizma adlanır (şəkil 3), onun əsasında düzgün çoxbucaqlı yerləşir.

Təyinatlar:
l - yan qabırğa;
P - baza perimetri;
S o - baza sahəsi;
H - hündürlük;
P ^ - perpendikulyar hissənin perimetri;
S b - yan səth sahəsi;
V - həcm;
S p - prizmanın ümumi səthinin sahəsi.

Tərif 2 . Prizmatik səthin perpendikulyar hissəsi bu səthin kənarlarına perpendikulyar olan bir müstəvi ilə kəsilməsidir. Əvvəlki teoremə əsasən, eyni prizmatik səthin bütün perpendikulyar kəsikləri bərabər çoxbucaqlılar olacaqdır.

Tərif 3 . Prizma prizmatik səthlə və bir-birinə paralel olan iki müstəvi ilə məhdudlaşan çoxüzlüdür (lakin prizmatik səthin kənarlarına paralel deyil)
Bu son müstəvilərdə yatan üzlər adlanır prizma əsasları; prizmatik səthə aid olan üzlər - yan üzlər; prizmatik səthin kənarları - prizmanın yan kənarları. Əvvəlki teorem əsasında prizmanın əsasları belədir bərabər çoxbucaqlılar. Prizmanın bütün yan üzləri paraleloqramlar; bütün yan kənarları bir-birinə bərabərdir.
Aydındır ki, ABCDE prizmasının əsası və kənarlarından biri AA" böyüklük və istiqamətlə verilmişdirsə, onda BB", CC", .., bərabər və paralel kənarlarını çəkməklə prizma qurmaq olar. kənar AA".

Tərif 4 . Prizmanın hündürlüyü onun əsaslarının müstəviləri arasındakı məsafədir (HH").

Tərif 5 . Prizmanın əsasları prizmatik səthin perpendikulyar hissələridirsə, ona düz xətt deyilir. Bu halda prizmanın hündürlüyü, təbii ki, onundur yan qabırğa; yan kənarları olacaq düzbucaqlılar.
Prizmalar, çoxbucaqlının əsası kimi xidmət edən tərəflərin sayına bərabər olan yan üzlərin sayına görə təsnif edilə bilər. Beləliklə, prizmalar üçbucaqlı, dördbucaqlı, beşbucaqlı və s.

Teorem 2 . Prizmanın yanal səthinin sahəsi yanal kənarın və perpendikulyar hissənin perimetrinin məhsuluna bərabərdir.
ABCDEA"B"C"D"E" verilmiş prizma, abcde isə onun perpendikulyar hissəsi olsun ki, ab, bc, .. seqmentləri onun yan kənarlarına perpendikulyar olsun. ABA"B" üzü paraleloqramdır; onun sahəsi əsas AA hasilinə bərabərdir " ab ilə uyğun gələn hündürlüyə; BCV "C" üzünün sahəsi bc hündürlüyünə görə BB əsasının məhsuluna bərabərdir və s. Buna görə də, yan səth (yəni yan üzlərin sahələrinin cəmi) yan kənarın hasilinə, başqa sözlə, AA", BB", .. seqmentlərinin ümumi uzunluğu ab+bc+cd+de+ea cəminə bərabərdir.

Tərif. Prizma- bu çoxüzlüdür, onun bütün təpələri iki paralel müstəvidə yerləşir və eyni iki müstəvidə prizmanın iki üzü var ki, onlar müvafiq olaraq paralel tərəfləri olan bərabər çoxbucaqlılar və bunlarda yatmayan bütün kənarları var. təyyarələr paraleldir.

İki bərabər üz deyilir prizma əsasları(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Prizmanın bütün digər üzləri adlanır yan üzlər(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Bütün yan üzlər əmələ gəlir prizmanın yan səthi .

Prizmanın bütün yan üzləri paraleloqramdır .

Bazalarda yatmayan kənarlara prizmanın yan kənarları deyilir ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Diaqonal prizma seqment adlanır ki, onun ucları prizmanın üzlərindən birində yatmayan iki təpəsidir (AD 1).

Prizmanın əsaslarını birləşdirən və eyni zamanda hər iki əsasa perpendikulyar olan seqmentin uzunluğu deyilir. prizmanın hündürlüyü .

Təyinat:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Əvvəlcə, dolama qaydasında bir əsasın təpələri, sonra isə eyni qaydada digərinin təpələri göstərilir; hər bir yan kənarın ucları eyni hərflərlə təyin olunur, yalnız yuxarıda yerləşən təpələr bir baza indekssiz hərflərlə, digərində isə indekslə göstərilir)

Prizmanın adı onun təməlində yerləşən fiqurun bucaqlarının sayı ilə əlaqələndirilir, məsələn, Şəkil 1-də əsas beşbucaqlıdır, ona görə də prizma adlanır. beşbucaqlı prizma. Amma o vaxtdan belə prizmanın 7 üzü var, onda o heptahedr(2 üz prizmanın əsaslarıdır, 5 üz paraleloqramdır, yan üzləridir)

Düz prizmalar arasında xüsusi bir növ fərqlənir: müntəzəm prizmalar.

Düz prizma adlanır düzgün, onun əsasları düzgün çoxbucaqlıdırsa.

Adi prizmanın bütün yan üzləri bərabər düzbucaqlılara malikdir. Prizmanın xüsusi halı paralelepipeddir.

Paralelepiped

Paralelepiped- Bu dördbucaqlı prizmadır, onun əsasında paraleloqram (çəp paralelepiped) yerləşir. Sağ paralelepiped- yan kənarları bazanın müstəvilərinə perpendikulyar olan paralelepiped.

kuboid- əsası düzbucaqlı olan düz paralelepiped.

Xüsusiyyətlər və teoremlər:

Paralelepipedin bəzi xassələri paraleloqramın məlum xassələrinə bənzəyir.Ölçüləri bərabər olan düzbucaqlı paralelepiped deyilir. kub .Kubun bütün üzləri bərabər kvadratlara malikdir.Diaqonalın kvadratı onun üç ölçüsünün kvadratlarının cəminə bərabərdir.

,

burada d kvadratın diaqonalıdır;
a - kvadratın tərəfi.

Prizma ideyası aşağıdakılarla verilir:

• müxtəlif memarlıq strukturları;
• uşaq oyuncaqları;
• qablaşdırma qutuları;
• dizayner əşyaları və s.

Prizmanın ümumi və yanal səth sahəsi

Prizmanın ümumi səth sahəsi onun bütün üzlərinin sahələrinin cəmidir Yan səth sahəsi onun yan üzlərinin sahələrinin cəmi adlanır. prizmanın əsasları bərabər çoxbucaqlıdır, onda onların sahələri bərabərdir. Buna görə də

S tam \u003d S tərəf + 2S əsas,

harada S dolu- ümumi səth sahəsi, S tərəfi- yan səth sahəsi, S əsas- baza sahəsi

Düz prizmanın yan səthinin sahəsi təməlin perimetri ilə prizmanın hündürlüyünün məhsuluna bərabərdir..

S tərəfi\u003d P əsas * h,

harada S tərəfi düz prizmanın yan səthinin sahəsidir,

P əsas - düz prizmanın əsasının perimetri,

h - düz prizmanın hündürlüyü, yan kənarına bərabərdir.

Prizmanın həcmi

Prizmanın həcmi təməlin sahəsi ilə hündürlüyün məhsuluna bərabərdir.