Ədədi seqmentlər, intervallar, yarım intervallar və şüalar ədədi intervallar adlanır. Ədədi intervallar Funksiya.Funksiya qrafiki

B) Say xətti

Say xəttini nəzərdən keçirək (Şəkil 6):

Rasional ədədlər toplusunu nəzərdən keçirək

Hər bir rasional ədəd ədəd oxundakı müəyyən bir nöqtə ilə təmsil olunur. Beləliklə, rəqəmlər şəkildə qeyd olunur.

Bunu sübut edək.

Sübut. Bir kəsr olsun: . Bu kəsri azalmaz hesab etmək hüququmuz var. -dən bəri - ədəd cütdür: - tək. Onun ifadəsini əvəz edərək, tapırıq: , bu da cüt ədəd olduğunu bildirir. Biz ifadəni sübut edən bir ziddiyyət əldə etdik.

Beləliklə, say oxundakı bütün nöqtələr rasional ədədləri təmsil etmir. Rasional ədədləri təmsil etməyən nöqtələr çağırılan ədədləri təmsil edir irrasional.

, formasının istənilən nömrəsi tam və ya irrasional ədəddir.

Rəqəmsal intervallar

Ədədi seqmentlər, intervallar, yarım intervallar və şüalar ədədi intervallar adlanır.

Nömrələri koordinat xəttində təmsil edək a Və b, həmçinin nömrə x onların arasında.

Şərtə cavab verən bütün nömrələr toplusu a ≤ x ≤ b, çağırdı ədədi seqment və ya sadəcə bir seqment. Aşağıdakı kimi təyin edilmişdir: [ a; b] - Bu belə oxunur: a-dan b-ə qədər seqment.

Şərtlərə cavab verən nömrələr toplusu a< x < b , çağırdı interval. Aşağıdakı kimi təyin olunur: ( a; b)

Bu belə oxunur: a-dan b-yə qədər interval.

a ≤ x şərtlərini ödəyən ədədlər çoxluğu< b или a<x ≤ b, adlandırılır yarım intervallar. Təyinatlar:

≤ x təyin edin< b обозначается так:[a; b), belə oxunur: yarım intervaldan aəvvəl b, o cümlədən a.

Bir dəstə a<x ≤ b aşağıdakı kimi göstərilir:( a; b], belə oxunur: yarım intervaldan aəvvəl b, o cümlədən b.

İndi təsəvvür edək Ray nöqtə ilə a, sağında və solunda bir sıra nömrələr var.

a, şərtə cavab verir x ≥ a, çağırdı ədədi şüa.

Aşağıdakı kimi təyin edilmişdir: [ a; +∞)-Belə oxunur: bir ədədi şüa aüstəgəl sonsuzluğa.

Nöqtənin sağındakı nömrələr dəsti a, bərabərsizliyə uyğundur x>a, çağırdı açıq nömrə şüası.

Aşağıdakı kimi təyin olunur: ( a; +∞)-Belə oxunur: açıq ədədi şüa aüstəgəl sonsuzluğa.

a, şərtə cavab verir x ≤ a, çağırdı mənfi sonsuzluqdan ədədi şüaa .

Aşağıdakı kimi təyin olunur:( - ∞; a]-Belə oxunur: mənfi sonsuzluqdan ədədi şüa a.

Nöqtənin solunda olan nömrələr dəsti a, bərabərsizliyə uyğundur x< a , çağırdı mənfi sonsuzluqdan rəqəm şüasını açına .

Aşağıdakı kimi təyin olunur: ( - ∞; a)-Belə oxunur: mənfi sonsuzluqdan açıq ədəd şüası a.

Həqiqi ədədlər çoxluğu bütün koordinat xətti ilə təmsil olunur. Onu çağırırlar nömrə xətti. Aşağıdakı kimi təyin olunur: ( - ∞; + ∞ )

3) Bir dəyişənli xətti tənliklər və bərabərsizliklər, onların həlli:

Tərkibində dəyişən olan tənliyə bir dəyişənli tənlik və ya bir naməlumlu tənlik deyilir. Məsələn, bir dəyişənli tənlik 3(2x+7)=4x-1-dir.

Tənliyin kökü və ya həlli, tənliyin həqiqi ədədi bərabərliyə çevrildiyi dəyişənin qiymətidir. Məsələn, 1 rəqəmi 2x+5=8x-1 tənliyinin həllidir. x2+1=0 tənliyinin həlli yoxdur, çünki tənliyin sol tərəfi həmişə sıfırdan böyükdür. (x+3)(x-4) =0 tənliyinin iki kökü var: x1= -3, x2=4.

Tənliyin həlli onun bütün köklərini tapmaq və ya heç bir kök olmadığını sübut etmək deməkdir.

Əgər birinci tənliyin bütün kökləri ikinci tənliyin kökləridirsə və əksinə, ikinci tənliyin bütün kökləri birinci tənliyin kökləridirsə və ya hər iki tənliyin kökləri yoxdursa, tənliklər ekvivalent adlanır. Məsələn, x-8=2 və x+10=20 tənlikləri ekvivalentdir, çünki birinci tənliyin kökü x=10 həm də ikinci tənliyin köküdür və hər iki tənliyin kökü eynidir.

Tənlikləri həll edərkən aşağıdakı xüsusiyyətlərdən istifadə olunur:

Əgər tənlikdəki termini işarəsini dəyişdirərək bir hissədən digərinə keçirsəniz, verilmiş birinə ekvivalent tənlik alacaqsınız.

Tənliyin hər iki tərəfi eyni sıfırdan fərqli ədədə vurulursa və ya bölünürsə, verilmiş birinə ekvivalent tənlik alırsınız.

x-in dəyişən, a və b-nin isə bəzi ədədlər olduğu ax=b tənliyinə bir dəyişənli xətti tənlik deyilir.

Əgər a¹0, onda tənliyin unikal həlli var.

Əgər a=0, b=0 olarsa, onda tənlik x-in istənilən qiyməti ilə ödənilir.

Əgər a=0, b¹0, onda tənliyin həlli yoxdur, çünki 0x=b dəyişənin heç bir dəyəri üçün icra edilmir.
Nümunə 1. Tənliyi həll edin: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

Gəlin tənliyin hər iki tərəfindəki mötərizələri açaq, x ilə bütün şərtləri tənliyin sol tərəfinə, x-i ehtiva etməyən şərtləri isə sağ tərəfə keçirək:

16x-15x=88-40-12

Misal 2. Tənlikləri həll edin:

x3-2x2-98x+18=0;

Bu tənliklər xətti deyil, lakin biz belə tənliklərin necə həll oluna biləcəyini göstərəcəyik.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Məhsul sıfıra bərabərdir, əgər amillərdən biri sıfra bərabərdirsə, x1=0 alırıq; x2= .

Cavab: 0; .

Tənliyin sol tərəfini faktor edin:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), yəni. (x-2)(x-3)(x+3)=0. Bu onu göstərir ki, bu tənliyin həlli x1=2, x2=3, x3=-3 ədədləridir.

c) 7x-i 3x+4x kimi təsəvvür edin, onda bizdə: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, deməli, x1=-3, x2=- 4.

Cavab: -3; - 4.
Misal 3. Tənliyi həll edin: ½x+1ç+½x-1ç=3.

Ədədin modulunun tərifini xatırlayaq:

Məsələn: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.

Bu tənlikdə modul işarəsi altında x-1 və x+1 ədədləri var. Əgər x –1-dən kiçikdirsə, x+1 ədədi mənfidir, onda ½x+1½=-x-1. Və əgər x>-1 olarsa, onda ½x+1½=x+1. x=-1 ½x+1½=0-da.

Beləliklə,

Eynilə

a) x £-1 üçün bu ½x+1½+½x-1½=3 tənliyini nəzərdən keçirək, -x-1-x+1=3, -2x=3, x= tənliyinə ekvivalentdir, bu ədəd çoxluğa aiddir. x -1 funt sterlinq.

b) -1 olsun< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) x>1 halını nəzərdən keçirək.

x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Bu ədəd x>1 çoxluğuna aiddir.

Cavab: x1=-1,5; x2=1,5.
Misal 4. Tənliyi həll edin:½x+2½+3½x½=2½x-1½.

Tənliyin həllinin qısa bir qeydini göstərək, modulun "aralıqlarla" işarəsini ortaya qoyaq.

x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)

Cavab: [-2; 0]
Misal 5. Tənliyi həll edin: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), a parametrinin bütün qiymətləri üçün.

Bu tənlikdə əslində iki dəyişən var, lakin x-i naməlum, a-nı isə parametr hesab edin. a parametrinin istənilən qiyməti üçün x dəyişəni üçün tənliyi həll etmək tələb olunur.

Əgər a=1, onda tənlik 0×x=0 formasına malikdir; istənilən ədəd bu tənliyi ödəyir.

Əgər a=-1, onda tənlik 0×x=-2 kimi görünür; heç bir ədəd bu tənliyi təmin etmir.

Əgər a¹1, a¹-1, onda tənliyin unikal həlli var.

Cavab: əgər a=1, onda x istənilən ədəddir;

əgər a=-1, onda həll yolları yoxdur;

əgər a¹±1, onda .

B) Bir dəyişənli xətti bərabərsizliklər.

Əgər x dəyişəninə hər hansı ədədi qiymət verilirsə, onda biz ya doğru, ya da yalan ifadəni ifadə edən ədədi bərabərsizlik alırıq. Məsələn, 5x-1>3x+2 bərabərsizliyi verilsin. x=2 üçün 5·2-1>3·2+2 alırıq – doğru ifadə (həqiqi ədədi müddəa); x=0 üçün 5·0-1>3·0+2 alırıq – yanlış ifadə. Dəyişən ilə verilmiş bərabərsizliyin həqiqi ədədi bərabərsizliyə çevrildiyi dəyişənin istənilən qiyməti bərabərsizliyin həlli adlanır. Dəyişənli bərabərsizliyin həlli onun bütün həllər çoxluğunu tapmaq deməkdir.

Eyni x dəyişəni olan iki bərabərsizlik, bu bərabərsizliklərin həllər çoxluğu üst-üstə düşərsə, ekvivalent deyilir.

Bərabərsizliyin həllinin əsas ideyası belədir: verilmiş bərabərsizliyi başqa, daha sadə, lakin verilənə ekvivalentlə əvəz edirik; biz yenə də yaranan bərabərsizliyi ona ekvivalent olan daha sadə bərabərsizliklə əvəz edirik və s.

Bu cür dəyişdirmələr aşağıdakı ifadələr əsasında aparılır.

Teorem 1. Əgər bərabərsizliyin işarəsi dəyişməz qalaraq, bir dəyişənli bərabərsizliyin hər hansı bir həddi əks işarəli bərabərsizliyin bir hissəsindən əks işarəli digərinə köçürülərsə, onda verilənə ekvivalent bərabərsizlik alınacaqdır.

Teorem 2. Bir dəyişənli bərabərsizliyin hər iki tərəfi eyni müsbət ədədə vurularsa və ya bölünərsə, bərabərsizliyin işarəsi dəyişməz olarsa, onda verilənə ekvivalent bərabərsizlik alınar.

Teorem 3. Bir dəyişənli bərabərsizliyin hər iki tərəfi eyni mənfi ədədə vurularsa və ya bölünərsə, bərabərsizliyin işarəsi əksinə dəyişdirilərsə, onda verilənə ekvivalent bərabərsizlik alınar.

ax+b>0 formalı bərabərsizliyə xətti deyilir (müvafiq olaraq ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Misal 1. Bərabərsizliyi həll edin: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).

Mötərizələri açaraq 2x-6+5-5x³6x-15 alırıq,

“7-ci sinif Cəbr cədvəlləri” - Kvadratların fərqi. İfadələri. Məzmun. Cəbr iş vərəqləri.

“Ədədi funksiyalar” - X çoxluğuna təyinetmə oblastı və ya f funksiyasının təyinetmə oblastı deyilir və D (f) işarəsi ilə göstərilir. Funksiya qrafiki. Bununla belə, hər sətir hansısa funksiyanın qrafiki deyil. Nümunə 1. Paraşütçü uçan helikopterdən tullanır. Sadəcə bir nömrə. Funksiyaların hissə-hissə spesifikasiyası. Təbiət hadisələri bir-biri ilə sıx bağlıdır.

“Nömrə ardıcıllığı” - Dərs-konfrans. "Nömrələrin ardıcıllığı". Həndəsi irəliləmə. Tapşırıq üsulları. Arifmetik irəliləyiş. Nömrə ardıcıllığı.

“Ədədi ardıcıllığın həddi” - Həlli: Ardıcıllıqların təyin edilməsi üsulları. Məhdud sayda ardıcıllıq. n kəmiyyəti ardıcıllığın ümumi termini adlanır. Nömrə ardıcıllığının həddi. Bir nöqtədə funksiyanın davamlılığı. Nümunə: 1, 4, 9, 16, ..., n2, ... - aşağıdan 1 ilə məhdudlaşır. Analitik düstur təyin etməklə. Limitlərin xassələri.

“Nömrə ardıcıllığı” - Nömrə ardıcıllığı (rəqəmlər seriyası): müəyyən ardıcıllıqla yazılmış nömrələr. 2. Ardıcıllıqların təyin edilməsi üsulları. 1. Tərif. Ardıcıllığın təyini. Ardıcıllıqlar. 1. Ardıcıllığın n-ci üzvü üçün düstur: - ardıcıllığın istənilən üzvünü tapmağa imkan verir. 3. Nömrələrin ardıcıllığı qrafiki.

"Cədvəllər" - Neft və qaz hasilatı. Cədvəl 2. Cədvəl 5. Cədvəl informasiya modelləri. ƏS tipli cədvəlin qurulması qaydası. Cədvəl 4. İllik hesablamalar. Cədvəl nömrəsi. “Obyektlər – obyektlər” tipli cədvəllər. 10 "B" sinif şagirdləri. Cədvəl quruluşu. Obyekt-xassəli tipli cədvəllər. Obyektlərin cütləri təsvir olunur; Yalnız bir mülk var.

Rəqəmlər çoxluğu arasında obyektlərin ədədi intervallar olduğu çoxluqlar var. Dəsti göstərərkən, intervalla müəyyən etmək daha asandır. Buna görə də biz ədədi intervallardan istifadə edərək həllər dəstlərini yazırıq.

Bu məqalə ədədi intervallar, adlar, qeydlər, koordinat xəttindəki intervalların təsvirləri və bərabərsizliklərin uyğunluğu ilə bağlı suallara cavab verir. Nəhayət, boşluq cədvəli müzakirə olunacaq.

Hər bir ədədi interval aşağıdakılarla xarakterizə olunur:

• ad;
• adi və ya ikiqat bərabərsizliyin olması;
• təyinat;
• düz xətt koordinatında həndəsi təsvir.

Rəqəmsal interval yuxarıdakı siyahıdan hər hansı 3 metoddan istifadə etməklə müəyyən edilir. Yəni koordinat xəttində bərabərsizlik, qeyd, təsvirdən istifadə edərkən. Bu üsul ən uyğundur.

Yuxarıda göstərilən tərəflərlə ədədi intervalları təsvir edək:

Tərif 2

• Açıq nömrə şüası. Ad, onun buraxılması, açıq qalması ilə bağlıdır.

Bu intervalda müvafiq x bərabərsizlikləri var< a или x >a , burada a hansısa real ədəddir. Yəni, belə bir şüada a - (x< a) или больше a - (x >a) .

x formasının bərabərsizliyini təmin edəcək ədədlər toplusu< a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x >a kimi (a , + ∞) .

Açıq şüanın həndəsi mənası ədədi intervalın mövcudluğunu nəzərdə tutur. Koordinat xəttinin nöqtələri ilə onun nömrələri arasında uyğunluq var, buna görə xətt koordinat xətti adlanır. Əgər nömrələri müqayisə etmək lazımdırsa, o zaman koordinat xəttində daha böyük rəqəm sağdadır. Onda x formasının bərabərsizliyi< a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x >a – sağda olan nöqtələr. Nömrə özü həll üçün uyğun deyil, ona görə də rəsmdə deşilmiş nöqtə ilə göstərilir. Tələb olunan boşluq kölgədən istifadə edərək vurğulanır. Aşağıdakı rəqəmi nəzərdən keçirin.

Yuxarıdakı rəqəmdən aydın olur ki, ədədi intervallar xəttin hissələrinə, yəni başlanğıcı a ilə olan şüalara uyğundur. Başqa sözlə, onlara başlanğıcı olmayan şüalar deyilir. Buna görə açıq nömrə şüası adını aldı.

Gəlin bir neçə nümunəyə baxaq.

Misal 1

Verilmiş x > − 3 ciddi bərabərsizliyi üçün açıq şüa müəyyən edilir. Bu qeyd koordinatlar (− 3, ∞) şəklində göstərilə bilər. Yəni, bunların hamısı - 3-dən sağda yatan nöqtələrdir.

Misal 2

Əgər x şəklində bərabərsizliyimiz varsa< 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

Tərif 3

• Nömrə şüası. Həndəsi məna ondan ibarətdir ki, başlanğıc atılmır, başqa sözlə, şüa öz faydalılığını saxlayır.

Onun tapşırığı x ≤ a və ya x ≥ a formasının qeyri-ciddi bərabərsizliklərindən istifadə etməklə həyata keçirilir. Bu tip üçün formanın xüsusi qeydləri (− ∞, a ] və [ a , + ∞) qəbul edilir və kvadrat mötərizənin olması nöqtənin həllə və ya çoxluğa daxil olması deməkdir. Aşağıdakı rəqəmi nəzərdən keçirin.

Aydın bir nümunə üçün ədədi şüanı təyin edək.

Misal 3

X ≥ 5 formasının bərabərsizliyi [ 5 , + ∞ qeydinə uyğundur), onda aşağıdakı formanın şüasını alırıq:

Tərif 4

• Interval. Intervallardan istifadə edən ifadə ikiqat bərabərsizliklərdən istifadə etməklə yazılır a< x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a , b) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

Aşağıdakı rəqəmi nəzərdən keçirin.

Misal 4

İnterval nümunəsi − 1< x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

Tərif 5

• Rəqəmsal seqment. Bu interval sərhəd nöqtələrini ehtiva etməsi ilə fərqlənir, onda a ≤ x ≤ b formasına malikdir. Belə qeyri-ciddi bərabərsizlik onu deməyə əsas verir ki, ədədi seqment şəklində yazarkən kvadrat mötərizələrdən [a, b] istifadə olunur, bu da nöqtələrin çoxluğa daxil edildiyini və kölgəli kimi təsvir edildiyini bildirir.

Misal 5

Seqmenti tədqiq etdikdən sonra onun tərifinin 2, 3 formasında təmsil etdiyimiz 2 ≤ x ≤ 3 qoşa bərabərsizliyindən istifadə etməklə mümkün olduğunu gördük. Koordinat xəttində verilmiş nöqtələr həllə daxil ediləcək və kölgələnəcəkdir.

Tərif 6 Nümunə 6

Yarım interval (1, 3) varsa, onun təyinatı ikiqat bərabərsizlik 1 şəklində ola bilər.< x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

Intervallar aşağıdakı kimi təsvir edilə bilər:

• açıq nömrə şüası;
• nömrə şüası;
• interval;
• nömrə xətti;
• yarım interval

Hesablama prosesini sadələşdirmək üçün bir xəttin bütün növ ədədi intervalları üçün təyinatları ehtiva edən xüsusi bir cədvəldən istifadə etməlisiniz.

ad	Bərabərsizlik	Təyinat	Şəkil
Açıq nömrə şüası	x< a	- ∞ , a
	x>a	a , + ∞
Nömrə şüası	x ≤ a	(- ∞ , a ]
	x ≥ a	[a, + ∞)
Interval	a< x < b	a, b
Rəqəmsal seqment	a ≤ x ≤ b	a, b
Yarım interval

Rəqəmsal intervallara şüalar, seqmentlər, intervallar və yarım intervallar daxildir.

Ədədi intervalların növləri

Cədvəldə a Və b sərhəd nöqtələridir və x- ədədi intervala aid olan istənilən nöqtənin koordinatını götürə bilən dəyişən.

Sərhəd nöqtəsi- bu ədədi intervalın sərhədini təyin edən nöqtədir. Sərhəd nöqtəsi ədədi intervala aid ola bilər və ya olmaya da bilər. Rəsmlərdə nəzərdən keçirilən ədədi intervala aid olmayan sərhəd nöqtələri açıq dairə ilə, onlara aid olanlar isə doldurulmuş dairə ilə göstərilir.

Açıq və qapalı şüa

Açıq şüa bu çoxluğa daxil olmayan sərhəd nöqtəsinin bir tərəfində yerləşən xətt üzərindəki nöqtələr toplusudur. Şüa ona aid olmayan sərhəd nöqtəsinə görə dəqiq olaraq açıq adlanır.

Koordinat xəttində koordinatı 2-dən böyük olan və buna görə də 2-ci nöqtənin sağında yerləşən nöqtələr toplusunu nəzərdən keçirək:

Belə bir çoxluq bərabərsizliklə müəyyən edilə bilər x> 2. Açıq şüalar mötərizələrdən istifadə etməklə işarələnir - (2; +∞), bu giriş belə oxunur: ikidən üstəgəl sonsuza qədər açıq rəqəmli şüa.

Bərabərsizliyin uyğun olduğu çoxluq x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

Qapalı şüa verilmiş çoxluğa aid olan sərhəd nöqtəsinin bir tərəfində yerləşən xəttin nöqtələr çoxluğudur. Rəsmlərdə baxılan dəstlərə aid olan sərhəd nöqtələri doldurulmuş dairə ilə göstərilir.

Qapalı sayda şüalar qeyri-ciddi bərabərsizliklərlə müəyyən edilir. Məsələn, bərabərsizliklər x 2 və x 2 belə təsvir edilə bilər:

Bu qapalı şüalar aşağıdakı kimi təyin olunur: , belə oxunur: ikidən artı sonsuzluğa ədədi şüa və mənfi sonsuzluqdan ikiyə ədədi şüa. Qeyddəki kvadrat mötərizə 2-ci nöqtənin ədədi intervala aid olduğunu göstərir.

Xətt seqmenti

Xətt seqmenti verilmiş çoxluğa aid iki sərhəd nöqtəsi arasında yerləşən xəttin nöqtələr çoxluğudur. Belə çoxluqlar ikiqat qeyri-ciddi bərabərsizliklərlə müəyyən edilir.

Sonları -2 və 3 nöqtələrində olan koordinat xəttinin bir hissəsini nəzərdən keçirin:

Verilmiş seqmenti təşkil edən nöqtələr çoxluğu ikiqat bərabərsizlik -2 ilə təyin edilə bilər x 3 və ya təyin edin [-2; 3], belə bir qeyd belə oxunur: mənfi ikidən üçə qədər bir seqment.

Interval və yarım interval

Interval- bu, bu çoxluğa aid olmayan iki sərhəd nöqtəsi arasında yerləşən xətt üzərindəki nöqtələr çoxluğudur. Belə çoxluqlar ikiqat ciddi bərabərsizliklərlə müəyyən edilir.

Sonları -2 və 3 nöqtələrində olan koordinat xəttinin bir hissəsini nəzərdən keçirin:

Verilmiş intervalı təşkil edən nöqtələr çoxluğunu -2 cüt bərabərsizliyi ilə təyin etmək olar< x < 3 или обозначить (-2; 3). Такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

Yarım interval biri çoxluğa aid olan, digəri isə olmayan iki sərhəd nöqtəsi arasında yerləşən xəttin nöqtələr çoxluğudur. Belə çoxluqlar ikiqat bərabərsizliklərlə müəyyən edilir:

Bu yarım intervallar aşağıdakı kimi təyin olunur: (-2; 3] və [-2; 3]. Bu belə oxunur: 3 daxil olmaqla mənfi ikidən üçə qədər yarım interval və mənfi ikidən üçə qədər yarım interval, mənfi iki də daxil olmaqla.