Ədədin faktorinqi. Sadə və mürəkkəb ədədlər 6 ədədinin faktorinqi

Faktorinq nə deməkdir? Bunu necə etmək olar? Ədədi əsas amillərə ayırmaqdan nə öyrənə bilərsiniz? Bu sualların cavabları konkret misallarla təsvir edilmişdir.

Təriflər:

Tam iki fərqli bölən olan ədədə sadə deyilir.

İkidən çox bölən olan ədədə mürəkkəb deyilir.

Natural ədədi faktorlara ayırmaq onu natural ədədlərin hasili kimi göstərmək deməkdir.

Natural ədədi sadə amillərə ayırmaq onu sadə ədədlərin hasili kimi göstərmək deməkdir.

Qeydlər:

• Sadə ədədin parçalanmasında amillərdən biri birinə, digəri isə ədədin özünə bərabərdir.
• Faktorinq birliyindən danışmağın mənası yoxdur.
• Mürəkkəb ədəd, hər biri 1-dən fərqli olan faktorlara bölünə bilər.

Böyük ədədləri əsas amillərə ayırarkən, sütun qeydindən istifadə edin:

	216-ya bölünən ən kiçik sadə ədəd 2-dir. 216-nı 2-yə bölün. 108-i alırıq.
	Nəticədə çıxan 108 ədədi 2-yə bölünür. Bölməni edək. Nəticə 54-dür.
	2-yə bölünmə testinə görə 54 ədədi 2-yə bölünür. Böldükdən sonra 27 alırıq.
	27 rəqəmi 7 tək rəqəmi ilə bitir. O 2-yə bölünmür. Növbəti sadə ədəd 3-dür. 27-ni 3-ə bölün. 9-u alırıq. Ən az əsas 9-un bölündüyü rəqəm 3-dür. Üç özü sadə ədəddir, özünə və birə bölünür. 3-ü özümüzə bölək. Sonda 1 aldıq.

• Ədəd yalnız onun parçalanmasının bir hissəsi olan sadə ədədlərə bölünür.
• Ədəd yalnız o mürəkkəb ədədlərə bölünür ki, onların əsas amillərə parçalanması tamamilə onun tərkibindədir.

Nümunələrə baxaq:

Bu ədədlər aşağıdakı kimi sadə amillərə parçalanırsa, a ədədinin b ədədinə bölünmə hissəsini tapın: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Biblioqrafiya

1. Vilenkin N.Ya., Jokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Riyaziyyat 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Riyaziyyat 6 sinif. - Gimnaziya. 2006.
3. Depman İ.Ya., Vilenkin N.Ya. Riyaziyyat dərsliyinin səhifələrinin arxasında. - M.: Təhsil, 1989.
4. Rurukin A.N., Çaykovski İ.V. 5-6-cı siniflər üçün riyaziyyat kursu üçün tapşırıqlar. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Çaykovski K.G. Riyaziyyat 5-6. MEPhI qiyabi məktəbin 6-cı sinif şagirdləri üçün dərslik. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Şevrin L.N., Gein A.G., Koryakov İ.O., Volkov M.V. Riyaziyyat: Orta məktəbin 5-6-cı sinifləri üçün dərslik-həmsöhbət. - M.: Təhsil, Riyaziyyat müəllimi kitabxanası, 1989.

1. İnternet portalı Matematika-na.ru ().
2. Math-portal.ru internet portalı ().

Ev tapşırığı

1. Vilenkin N.Ya., Jokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Riyaziyyat 6. - M.: Mnemosyne, 2012. No 127, No 129, No 141.
2. Digər tapşırıqlar: No 133, No 144.

Hamısı həndəsi irəliləyişlə başlayır. Sətirlər haqqında ilk mühazirədə (bölmə bax 18.1. Əsas təriflər) bu funksiyanın silsilənin cəmi olduğunu sübut etdik , və sıra at funksiyasına yaxınlaşır
. Belə ki,

.

Bu seriyanın bir neçə növünü sadalayaq. Əvəz olunur X on - X , alırıq

əvəz edərkən X haqqında
alırıq

və s.; Bütün bu seriyaların yaxınlaşma bölgəsi eynidir:
.

2.
.

Bu nöqtədə funksiyanın bütün törəmələri X =0 bərabərdir
, belə ki, serial belə görünür

.

Bu seriyanın yaxınlaşma sahəsi bütün ədədi oxudur (bölmənin 6-cı nümunəsi 18.2.4.3. Qüvvət sırasının yaxınlaşma radiusu, yaxınlaşma intervalı və yaxınlaşma regionu), Buna görə də
saat
. Nəticədə, Taylor düsturunun qalan müddəti
. Beləliklə, seriya birləşir
istənilən nöqtədə X .

3.
.

Bu sıra tamamilə birləşir

, və onun cəmi həqiqətən bərabərdir
. Taylor düsturunun qalan hissəsi formaya malikdir
, Harada
və ya
- məhdud funksiya və
(bu, əvvəlki genişlənmənin ümumi müddətidir).

4.
.

Bu genişlənmə, əvvəlkilər kimi, ardıcıl olaraq törəmələrin hesablanması ilə əldə edilə bilər, lakin biz fərqli şəkildə davam edəcəyik. Əvvəlki seriya terminini terminə görə fərqləndirək:

Bütöv ox üzrə funksiyaya yaxınlaşma, dərəcələr seriyasının müddət üzrə diferensiallaşdırılması teoremindən irəli gəlir.

5. Müstəqil olaraq sübut edin ki, bütün ədədi oxda, .

6.
.

Bu funksiya üçün seriya adlanır binom sıra. Burada törəmələri hesablayacağıq.

...Maklaurin seriyasının forması var

Biz yaxınlaşma intervalını axtarırıq: deməli, yaxınlaşma intervalı belədir
. Qalan termini və yaxınlaşma intervalının sonunda seriyanın davranışını öyrənməyəcəyik; məlum olur ki, nə vaxt
Serial hər iki nöqtədə tamamilə birləşir
, saat
sıra şərti olaraq bir nöqtədə yaxınlaşır
və bir nöqtədə ayrılır
, saat
hər iki nöqtədə bir-birindən ayrılır.

7.
.

Burada biz bu faktdan istifadə edəcəyik
. O vaxtdan bəri, müddətli inteqrasiyadan sonra,

Bu seriyanın yaxınlaşma sahəsi yarım intervaldır
, daxili nöqtələrdə funksiyaya yaxınlaşma, nöqtədə dərəcə seriyasının müddət üzrə inteqrasiyası haqqında teoremdən irəli gəlir. X =1 - bütün nöqtələrdə həm funksiyanın, həm də güc sıralarının cəminin davamlılığından, ixtiyari olaraq yaxın X =1 qalıb. Qeyd edək ki, alınır X =1, seriyanın cəmini tapacağıq.

8. Seriya müddətini terminlə birləşdirərək, funksiya üçün genişlənmə əldə edirik
. Bütün hesablamaları özünüz aparın, yaxınlaşma bölgəsini yazın.

9. Funksiyanın genişlənməsini yazaq
ilə binom sıra düsturuna görə
: . Məxrəc
kimi təmsil olunur, ikiqat faktorial
ilə eyni paritetli bütün natural ədədlərin hasili deməkdir , artıq olmayan . Genişlənmə at funksiyasına yaxınlaşır
. Onun 0-dan müddətli terminə inteqrasiyası X , alacağıq. Belə çıxır ki, bu sıra bütün interval üzrə funksiyaya yaxınlaşır
; saat X =1 ədədin başqa gözəl təsvirini alırıq :
.

18.2.6.2. Funksiyaların ardıcıl genişlənməsini əhatə edən məsələlərin həlli. Elementar funksiyanı güc seriyasına genişləndirməyiniz lazım olan problemlərin əksəriyyəti
, standart genişləndirmələrdən istifadə etməklə həll edilir. Xoşbəxtlikdən, hər bir əsas elementar funksiya bunu etməyə imkan verən bir xüsusiyyətə malikdir. Bir sıra nümunələrə baxaq.

1. Funksiyanı genişləndirin
dərəcələrlə
.

Həll. . Serial birləşir
.

2. Funksiyanı genişləndirin
dərəcələrlə
.

Həll.
. Konvergensiya sahəsi:
.

3. Funksiyanı genişləndirin
dərəcələrlə
.

Həll. . Serial birləşir
.

4. Funksiyanı genişləndirin
dərəcələrlə
.

Həll. . Serial birləşir
.

5. Funksiyanı genişləndirin
dərəcələrlə
.

Həll. . Konvergensiya bölgəsi
.

6. Funksiyanı genişləndirin
dərəcələrlə
.

Həll. İkinci növ sadə rasional kəsrlər seriyasına genişlənmə birinci növ fraksiyaların müvafiq genişlənmələrinin müddət üzrə diferensiallaşdırılması yolu ilə əldə edilir. Bu misalda. Bundan əlavə, terminlər üzrə diferensiallaşdırma ilə biz funksiyaların genişləndirilməsini əldə edə bilərik
,
və s.

7. Funksiyanı genişləndirin
dərəcələrlə
.

Həll. Rasional kəsr sadə kəsr deyilsə, əvvəlcə sadə kəsrlərin cəmi kimi təqdim olunur:
, və sonra 5-ci misaldakı kimi davam edin: harada
.

Təbii ki, bu yanaşma, məsələn, funksiyanı parçalamaq üçün tətbiq olunmur dərəcələrlə X . Burada, Taylor seriyasının ilk bir neçə şərtini əldə etmək lazımdırsa, ən asan yol nöqtədəki dəyərləri tapmaqdır. X =0 ilk törəmələrin tələb olunan sayı.

Bu onlayn kalkulyator funksiyanı faktorlara ayırmaq üçün nəzərdə tutulmuşdur.

Məsələn, faktorlara ayırın: x 2 /3-3x+12. Onu x^2/3-3*x+12 kimi yazaq. Bütün hesablamaların Word formatında saxlandığı bu xidmətdən də istifadə edə bilərsiniz.

Məsələn, terminlərə bölün. (1-x^2)/(x^3+x) kimi yazaq. Həllin gedişatını görmək üçün Addımları göstər üzərinə klikləyin. Nəticəni Word formatında əldə etmək lazımdırsa, bu xidmətdən istifadə edin.

Qeyd: "pi" (π) ədədi pi kimi yazılır; kvadrat kök sqrt kimi , məsələn sqrt(3) , tangens tg yazılır tan . Cavaba baxmaq üçün Alternativə baxın.

1. Əgər sadə ifadə verilirsə, məsələn, 8*d+12*c*d, onda ifadənin faktorlara bölünməsi ifadənin amillər şəklində təmsil olunması deməkdir. Bunun üçün ümumi amilləri tapmaq lazımdır. Bu ifadəni belə yazaq: 4*d*(2+3*c) .
2. Məhsulu iki binom şəklində təqdim edin: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Burada artıq bir neçə ümumi faktoru tapmaq lazımdır: x(x+7z) + 3y(x + 7z). (x+7z) çıxarırıq və alırıq: (x+7z)(x + 3y) .

çoxhədlilərin künclə bölünməsinə də baxın (sütun ilə bölmənin bütün addımları göstərilib)

Faktorizasiya qaydalarını öyrənərkən faydalı olacaqdır qısaldılmış vurma düsturları, köməyi ilə mötərizələri kvadrat ilə necə açmaq aydın olacaq:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktorizasiya üsulları

1. Qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə.
2. Ümumi faktorun tapılması.

Birindən başqa hər bir natural ədədin iki və ya daha çox bölənləri var. Məsələn, 7 rəqəmi yalnız 1 və 7-yə qalıqsız bölünür, yəni iki bölən var. 8 rəqəminin isə 1, 2, 4, 8-ə bölənləri var, yəni eyni anda 4-ə qədər bölən var.

Sadə və mürəkkəb ədədlər arasındakı fərq nədir?

İkidən çox bölənləri olan ədədlərə mürəkkəb ədədlər deyilir. Yalnız iki bölən: bir və ədədin özü olan ədədlərə sadə ədədlər deyilir.

1 rəqəminin yalnız bir bölməsi var, yəni nömrənin özü. Biri nə sadə, nə də mürəkkəb ədəddir.

• Məsələn, 7 rəqəmi sadə, 8 rəqəmi isə mürəkkəbdir.

İlk 10 sadə ədəd: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. 2 rəqəmi yeganə cüt sadə ədəddir, qalan bütün sadə ədədlər təkdir.

78 rəqəmi mürəkkəbdir, çünki 1 və özündən əlavə 2-yə də bölünür. 2-yə bölünəndə 39 alınır. Yəni 78 = 2*39. Belə hallarda deyirlər ki, rəqəm 2 və 39 faktorlarına hesablanıb.

İstənilən mürəkkəb nömrə hər biri 1-dən böyük olan iki amilə parçalana bilər. Bu hiylə sadə ədədlə işləməyəcək. Beləliklə, gedir.

Ədədin əsas amillərə daxil edilməsi

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, hər hansı bir mürəkkəb ədəd iki amilə parçalana bilər. Məsələn, 210 rəqəmini götürək. Bu ədədi 21 və 10-a ayırmaq olar. Amma 21 və 10 ədədləri də mürəkkəbdir, gəlin onları iki amilə parçalayaq. 10 = 2*5, 21=3*7 alırıq. Və nəticədə 210 rəqəmi 4 amilə parçalandı: 2,3,5,7. Bu rəqəmlər artıq əsasdır və onları genişləndirmək mümkün deyil. Yəni 210 rəqəmini əsas amillərə ayırdıq.

Mürəkkəb ədədləri sadə amillərə ayırarkən onlar adətən artan qaydada yazılır.

Yadda saxlamaq lazımdır ki, hər hansı bir kompozit nömrə əsas amillərə və təkrarlanmaya qədər unikal şəkildə parçalana bilər.

• Adətən, bir ədədi əsas amillərə parçalayarkən, bölünmə meyarlarından istifadə olunur.

378 rəqəmini sadə amillərə ayıraq

Rəqəmləri şaquli xəttlə ayıraraq yazacağıq. 378 rəqəmi 8 ilə bitdiyi üçün 2-yə bölünür. Böləndə biz 189 rəqəmini alırıq. 189 rəqəminin rəqəmlərinin cəmi 3-ə bölünür, yəni 189 rəqəminin özü 3-ə bölünür. Nəticə 63-dür.

63 rəqəmi də bölünmə qabiliyyətinə görə 3-ə bölünür. 21 alırıq, 21 rəqəmini yenə 3-ə bölmək olar, 7-ni alırıq. Yeddi yalnız özünə bölünür, bir alırıq. Bu bölməni tamamlayır. Xəttdən sonra sağda 378 rəqəminin parçalandığı əsas amillər var.

378|2
189|3
63|3
21|3