Rasional bərabərsizliklərin intervallar üsulu ilə həlli.
Aralıq Metodu- bu, məktəb cəbri kursunda baş verən demək olar ki, hər hansı bərabərsizlikləri həll etmək üçün universal bir yoldur. Bu funksiyaların aşağıdakı xüsusiyyətlərinə əsaslanır:
1. Davamlı g(x) funksiyası yalnız 0-a bərabər olduğu nöqtədə işarəsini dəyişə bilər. Qrafik olaraq, bu o deməkdir ki, fasiləsiz funksiyanın qrafiki yalnız x-dən keçdikdə bir yarımmüstəvidən digərinə keçə bilər. ox (xatırlayırıq ki, OX oxunda yerləşən istənilən nöqtənin ordinatı (absis oxu) sıfıra bərabərdir, yəni bu nöqtədə funksiyanın qiyməti 0-dır):
Qrafikdə göstərilən y=g(x) funksiyasının OX oxunu x= -8, x=-2, x=4, x=8 nöqtələrində kəsdiyini görürük. Bu nöqtələrə funksiyanın sıfırları deyilir. Və eyni nöqtələrdə g(x) funksiyası işarəni dəyişir.
2. Funksiya məxrəcin sıfırlarındakı işarəni də dəyişə bilər - məlum funksiyanın ən sadə nümunəsi:
Görürük ki, funksiya məxrəcin kökündə, nöqtəsində işarəni dəyişir, lakin heç bir nöqtədə yox olmur. Beləliklə, funksiyada kəsr varsa, məxrəcin köklərində işarəni dəyişə bilər.
2. Bununla belə, funksiya heç də həmişə payın kökündə və ya məxrəcin kökündə işarəni dəyişmir. Məsələn, y=x 2 funksiyası x=0 nöqtəsində işarəni dəyişmir:
Çünki x 2 \u003d 0 tənliyinin iki bərabər kökü var x \u003d 0, x \u003d 0 nöqtəsində funksiya, olduğu kimi, iki dəfə 0-a çevrilir.Belə bir kök ikinci çoxluğun kökü adlanır.
Funksiya 
payın sıfırında işarəni dəyişir, lakin məxrəcin sıfırında işarəni dəyişmir: , çünki kök ikinci çoxluğun, yəni cüt çoxluğun köküdür:
Vacibdir! Cüt çoxluğun köklərində funksiya işarəni dəyişmir.
Qeyd! Hər hansı qeyri-xətti cəbrin məktəb kursunun bərabərsizliyi, bir qayda olaraq, intervallar metodundan istifadə etməklə həll edilir.
Mən sizə ətraflı birini təklif edirəm, ondan sonra səhvlərdən qaçınmaq olar qeyri-xətti bərabərsizliklərin həlli.
1. Əvvəlcə bərabərsizliyi formaya gətirmək lazımdır
P(x)V0,
burada V bərabərsizlik işarəsidir:<,>,≤ və ya ≥. Bunun üçün sizə lazımdır:
a) bütün şərtləri bərabərsizliyin sol tərəfinə köçürün,
b) alınan ifadənin köklərini tapın,
c) bərabərsizliyin sol tərəfini faktorlara ayırın
d) dərəcə ilə eyni amilləri yazın.
Diqqət! Köklərin çoxluğu ilə səhv etməmək üçün son hərəkət edilməlidir - nəticə bərabər dərəcədə çarpandırsa, müvafiq kök bərabər çoxluğa malikdir.
2. Tapılan kökləri say xəttinə qoyun.
3. Bərabərsizlik ciddidirsə, onda ədədi oxda kökləri bildirən dairələr "boş" qalır, bərabərsizlik ciddi deyilsə, dairələr rənglənir.
4. Biz hətta çoxluğun köklərini seçirik - onlarda P(x) işarəsi dəyişmir.
5. İşarəni təyin edin P(x) boşluğun sağ tərəfində. Bunu etmək üçün ən böyük kökdən böyük olan ixtiyari x 0 dəyərini götürün və burada əvəz edin. P(x).
Əgər P(x 0)>0 (və ya ≥0), onda ən sağdakı intervala "+" işarəsini qoyuruq.
Əgər P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".
Cüt çoxluğun kökünü bildirən nöqtədən keçərkən işarə DƏYİŞMİR.
7. Bir daha ilkin bərabərsizliyin işarəsinə baxırıq və bizə lazım olan işarənin intervallarını seçirik.
8. Diqqət! Əgər bərabərsizliyimiz QƏTİ DEYİL, onda bərabərlik şərtini ayrıca yoxlayırıq.
9. Cavabı yazın.
Orijinal olsa bərabərsizlik məxrəcdə naməlumu ehtiva edir, sonra biz də bütün şərtləri sola köçürürük və bərabərsizliyin sol tərəfini formaya endiririk
(burada V bərabərsizlik işarəsidir:< или >)
Bu cür ciddi bərabərsizlik bərabərsizliyə bərabərdir
sərt DEYİL formanın bərabərsizliyi
-ə bərabərdir sistemi:
Praktikada funksiyanın forması varsa, onda aşağıdakı kimi hərəkət edirik:
- Hissənin və məxrəcin köklərini tapın.
- Onları oxa qoyduq. Bütün dairələr boşdur. Sonra, bərabərsizlik ciddi deyilsə, onda biz payın köklərini boyayırıq və məxrəcin köklərini həmişə boş buraxırıq.
- Sonra ümumi alqoritmə əməl edirik:
- Cüt çoxluğun köklərini seçirik (əgər pay və məxrəcdə eyni köklər varsa, onda eyni köklərin neçə dəfə baş verdiyini hesablayırıq). Hətta çoxluğun köklərində işarə dəyişikliyi yoxdur.
- Ən sağdakı intervaldakı işarəni tapırıq.
- İşarələr qoyuruq.
- Qeyri-səlis bərabərsizlik zamanı bərabərlik şərti, sıfıra bərabərlik şərti ayrıca yoxlanılır.
- Lazımi aralıqları və ayrıca dayanan kökləri seçirik.
- Cavabı yazırıq.
Daha yaxşı başa düşmək üçün bərabərsizliklərin interval üsulu ilə həlli alqoritmi, nümunənin ətraflı təhlil edildiyi VİDEO DƏRSƏ baxın bərabərsizliyin intervallar üsulu ilə həlli.
Rasional bərabərsizliklər sistemləri
Dərs mətni
mücərrəd [Bezdenejnıx L.V.]
Cəbr, 9-cu sinif UMK: A.G. Mordkoviç. Cəbr. 9-cu sinif Saat 2-də 1-ci hissə. Dərslik; Hissə 2. Tapşırıqlar kitabı; Moskva: Mnemosyne, 2010 Təhsil səviyyəsi: əsas Dərsin mövzusu: Rasional bərabərsizliklər sistemləri. (Mövzu üzrə ilk dərs, ümumilikdə, mövzunun öyrənilməsinə 3 saat vaxt ayrılır) Yeni mövzunun öyrənilməsi üçün dərs. Dərsin məqsədi: xətti bərabərsizliklərin həllini təkrarlamaq; bərabərsizliklər sistemi anlayışlarını təqdim edir, xətti bərabərsizliklərin ən sadə sistemlərinin həllini izah edir; istənilən mürəkkəbliyə malik xətti bərabərsizliklər sistemlərini həll etmək bacarığını formalaşdırmaq. Məqsədlər: Maarifləndirici: Mövcud biliklərə əsaslanaraq mövzunun öyrənilməsi, tələbələrin müstəqil işi və onlardan ən hazırlıqlılarının mühazirə və məsləhət fəaliyyəti nəticəsində xətti bərabərsizliklər sistemlərinin həllində praktiki bacarıq və bacarıqların möhkəmləndirilməsi. İnkişaf edən: kommunikativ-fəaliyyət metodlarından və problemli öyrənmə elementlərindən istifadə etməklə idrak marağının, düşüncə müstəqilliyinin, yaddaşın, tələbə təşəbbüsünün inkişafı. Təhsil: ünsiyyət bacarıqlarının formalaşması, ünsiyyət mədəniyyəti, əməkdaşlıq. Keçirmə üsulları: - söhbət və problemli öyrənmə elementləri ilə mühazirə; - tələbələrin dərsliyə uyğun nəzəri və praktiki materialla müstəqil işi; -xətti bərabərsizliklər sistemlərinin həllinin rəsmiləşdirilməsi mədəniyyətinin inkişafı. Gözlənilən nəticələr: şagirdlər xətti bərabərsizlikləri necə həll etməyi xatırlayacaq, bərabərsizliklərin həllərinin kəsişməsini real xətt üzərində qeyd edəcək, xətti bərabərsizliklər sistemlərinin həllini öyrənəcəklər. Dərsin avadanlığı: yazı lövhəsi, paylama materialları (tətbiq), dərsliklər, iş dəftərləri. Dərsin məzmunu: 1. Təşkilati məqam. Ev tapşırığını yoxlamaq. 2. Biliyin aktuallaşması. Şagirdlər müəllimlə birlikdə lövhədə cədvəli doldururlar: Bərabərsizlik Şəkil Boşluğu Aşağıda bitmiş cədvəl: Bərabərsizlik Şəkil Boşluğu 3. Riyazi diktə. Yeni mövzunun qavranılmasına hazırlıq. 1. Cədvəlin modelinə uyğun olaraq bərabərsizlikləri həll edin: Variant 1 2 Variant 3 Variant 4 2. Bərabərsizlikləri həll edin, eyni ox üzərində iki fiqur çəkin və 5 rəqəminin iki bərabərsizliyin həlli olub-olmadığını yoxlayın: Variant 1 Variant 2 3 Variant 4 4. Yeni materialın izahı . Yeni materialın izahı (səh. 40-44): 1. Bərabərsizliklər sistemini müəyyənləşdirin (s. 41). Tərif: Dəyişən ilə verilmiş bərabərsizliklərin hər birinin həqiqi ədədi bərabərsizliyə çevrildiyi dəyişənin bütün belə qiymətlərini tapmaq olarsa, bir x dəyişəni ilə bir neçə bərabərsizlik bərabərsizliklər sistemi təşkil edir. 2. Bərabərsizliklər sisteminin xüsusi və ümumi həlli anlayışını təqdim edin. X-in istənilən belə qiyməti bərabərsizliklər sisteminin həlli (və ya xüsusi həlli) adlanır. Bərabərsizliklər sisteminin bütün xüsusi həllər çoxluğu bərabərsizliklər sisteminin ümumi həllidir. 3. Dərslikdə 3-cü misal (a, b, c) üzrə bərabərsizliklər sistemlərinin həllini nəzərdən keçirin. 4. Sistemi həll etməklə əsaslandırmanı ümumiləşdirin:. 5. Yeni materialın konsolidasiyası. 4.20 (a, b), 4.21 (a, b) bəndlərindən tapşırıqları həll edin. 6. Yoxlama işi Variantlara uyğun olaraq tapşırıqların həllində fəal kömək etməklə yeni materialın mənimsənilməsini yoxlayın: Variant 1 a, № 4.6, 4.8 Variant 2 b, d № 4.6, 4.8 7. Yekunlaşdırma. Refleksiya Bu gün hansı yeni anlayışları öyrəndiniz? Xətti bərabərsizliklər sisteminin həllini necə tapmağı öyrəndinizmi? Ən çox nəyə nail oldunuz, ən uğurlu anlarınız hansı olub? 8. Ev tapşırığı: No 4.5, 4.7.; dərslikdə nəzəriyyə s. 40-44; Artan motivasiyalı tələbələr üçün No 4.23 (c, d). Əlavə. Variant 1. Bərabərsizlik Şəkil Aralıq 2. Bərabərsizlikləri həll edin, eyni ox üzərində iki fiqur çəkin və 5 rəqəminin iki bərabərsizliyin həlli olub-olmadığını yoxlayın: Bərabərsizlik Şəkil Suala cavab verin. Variant 2. Bərabərsizlik Şəkil Aralıq 2. Bərabərsizlikləri həll edin, eyni ox üzərində iki fiqur çəkin və 5 rəqəminin iki bərabərsizliyin həlli olub-olmadığını yoxlayın: Bərabərsizlik Şəkil Suala cavab verin. Variant 3. Bərabərsizlik Şəkil interval 2. Bərabərsizlikləri həll edin, eyni ox üzərində iki fiqur çəkin və 5 rəqəminin iki bərabərsizliyin həlli olub-olmadığını yoxlayın: Bərabərsizlik Şəkil Suala cavab verin. Variant 4. Bərabərsizlik Şəkil interval 2. Bərabərsizlikləri həll edin, eyni ox üzərində iki fiqur çəkin və 5 rəqəminin iki bərabərsizliyin həlli olub-olmadığını yoxlayın: Bərabərsizlik Şəkil Suala cavab verin.
Yüklə: Cəbr 9kl - abstrakt [Bezdenejnıx L.V.].docx2-4 dərslərin xülasəsi [Zvereva L.P.]
Cəbr 9-cu sinif UMK: CƏBR-9KLASS, A.G. MORDKOVICH.P.V. Semyonov, 2014. Səviyyə - əsas təlim Dərsin mövzusu: Rasional bərabərsizliklər sistemləri Mövzunun öyrənilməsinə ayrılan ümumi saatların sayı 4 saatdır.Mövzu üzrə dərslər sistemində dərsin yeri 2;No3; № 4. Dərsin məqsədi: Şagirdlərə bərabərsizliklər sistemlərini tərtib etməyi öyrətmək, həmçinin dərsliyin müəllifinin təklif etdiyi hazır sistemlərin həllini öyrətmək. Dərsin məqsədləri: Bacarıqları formalaşdırmaq: bərabərsizliklər sistemlərini analitik şəkildə sərbəst həll etmək, həmçinin cavabı düzgün qeyd etmək üçün həlli koordinat xəttinə köçürmək, verilmiş materialla müstəqil işləmək. .Planlaşdırılan nəticələr: Şagirdlər hazır sistemləri həll etməyi bacarmalı, həmçinin tapşırıqların mətn vəziyyətinə uyğun bərabərsizliklər sistemlərini tərtib etməli və tərtib edilmiş modeli həll etməlidirlər. Dərsin texniki təminatı: UMK: ALGEBRA-9KLASS, A.G. MORDKOVICH.P.V. Semyonov. İş dəftəri, şifahi hesablama üçün proyektor, güclü tələbələr üçün əlavə tapşırıqların çapı. Dərs üçün əlavə metodiki və didaktik dəstək (İnternet resurslarına keçid mümkündür): 1. Dərslik N.N.Xlevnyuk, M.V. İvanova, V.G. İvaşçenko, N.S. Melkova "5-9-cu siniflərdə riyaziyyat dərslərində hesablama bacarıqlarının formalaşdırılması" 2.G.G.Levitas "Riyaziyyatdan diktələr" 7-11.3. T.G. Gulina "Riyazi simulyator" 5-11 (4 mürəkkəblik səviyyəsi) Riyaziyyat müəllimi: Zvereva L.P. Dərs No 2 Məqsədlər: Aydınlıq üçün həndəsi şərhin həlli nəticəsindən istifadə edərək rasional bərabərsizliklər sisteminin həlli bacarıqlarının inkişafı. Dərsin gedişi 1. Təşkilati məqam: Sinifdə işə başlamaq, dərsin mövzusunu və məqsədini bildirmək 11 Ev tapşırığının yoxlanılması 1. Nəzəri hissə: * Rasional bərabərsizliyin analitik qeydi nədir * Rasional bərabərsizliklər sisteminin analitik işarəsi nədir? * Bərabərsizliklər sistemini həll etmək nə deməkdir * Rasional bərabərsizliklər sisteminin həllinin nəticəsi nədir. 2. Praktiki hissə: * Tələbələrə çətinlik yaradan lövhədə tapşırıqları həll edin. Ev tapşırığının icrası zamanı II1 Təlimlərin yerinə yetirilməsi. 1. Çoxhədli faktorlara ayırma üsullarını təkrarlayın. 2. Bərabərsizlikləri həll edərkən interval metodunun nə olduğunu təkrarlayın. 3. Sistemi həll edin. Həll müəllimin nəzarəti altında lövhədə güclü bir şagird tərəfindən idarə olunur. 1) 3x - 10 > 5x - 5 bərabərsizliyini həll edin; 3x - 5x> - 5 + 10; – 2x> 5; X< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х>Bu bərabərsizliklər sisteminin həlli x> Cavab: x> 6. 4.10 (c) №-ni lövhədə və dəftərlərdə həll edin. 5x2 - 2x + 1 ≤ 0 bərabərsizliyini həll edək. 5x2 - 2x + 1 = 0; D = 4 - 20 = -16< 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 >0. 2x2 + 5x + 10 = 0; D = -55< 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >x> - 2, sonra - 2< х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р>7. 8. Əvvəllər öyrənilmiş materialın təkrarı. № 2.33 həll edin. Velosipedçinin ilkin sürəti x km/saat olsun, azaldıqdan sonra (x – 3) km/saat oldu. 15x - 45 + 6x = 1,5x(x - 3); 21x - 45 = 1,5x2 - 4,5x; 1,5x2 - 25,5x + 45 = 0 | : 1.5; onda x2 - 17x + 30 = 0; D = 169; x1 = 15; x2 = 2 məsələnin mənasını qane etmir. Cavab: 15 km/saat; 12 km/saat. IV.Dərsin yekunu: Dərsdə biz mürəkkəb tipli bərabərsizliklər sistemlərini, xüsusən modulla həll etməyi öyrəndik, müstəqil işdə gücümüzü sınadıq. İşarələrin qoyulması. Ev tapşırığı: 7-dən 10-a qədər 1 nömrəli ev tapşırığını yerinə yetirin, səhifədə ayrı-ayrı vərəqlərdə. 32–33, № 4.34 (a; b), № 4.35 (a; b). Dərs 4 Testə hazırlıq Məqsədlər: öyrənilən materialı ümumiləşdirmək və sistemləşdirmək, tələbələri “Rasional bərabərsizliklər sistemləri” mövzusunda testə hazırlamaq Dərsin gedişi 1. Təşkilat məqamı: Sinifdə işə başlamaq, mövzu və məqsəd haqqında hesabat vermək. dərs. 11. Öyrənilən materialın təkrarı. * Bərabərsizliklər sistemini həll etmək nə deməkdir * Rasional bərabərsizliklər sisteminin həllinin nəticəsi nədir 1. Tamamlanmış ev tapşırığı ilə vərəqələri toplayın. 2. Bərabərsizlikləri həll etmək üçün hansı qaydalardan istifadə olunur? Bərabərsizliklərin həllini izah edin: a) 3x - 8<х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 >0; b) - 2x2 + x - 5 > 0; c) 3x2 - x + 4 ≤ 0. 4. İki dəyişənli bərabərsizliklər sisteminin tərifini tərtib edin. Bərabərsizliklər sistemini həll etmək nə deməkdir? 5. Rasional bərabərsizliklərin həllində fəal istifadə olunan intervallar üsulu hansıdır? Bunu bərabərsizliyin həlli nümunəsi ilə izah edin: (2x – 4)(3 – x) ≥ 0; I11. Təlim məşqləri. 1. Bərabərsizliyi həll edin: a) 12(1 - x) ≥ 5x - (8x + 2); b) - 3x2 + 17x + 6< 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 >0, x> - 2. Bu a) və ya b) tapşırığına uyğun gəlmir. Deməli, p ≠ 2 olduğunu, yəni verilmiş bərabərsizliyin kvadrat olduğunu düşünə bilərik. a) ax2 + bx + c > 0 şəklində olan kvadrat bərabərsizliyin həlli yoxdur, əgər a< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с>0 hər hansı x dəyəri üçün yerinə yetirilir, əgər a > 0 və D olarsa< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р>IV. Dərs nəticələri. Evdə öyrənilən bütün materialı nəzərdən keçirmək və testə hazırlaşmaq lazımdır. Ev tapşırığı: No 1.21 (b; d), No 2.15 (c; d); № 4.14 (d), № 4.28 (d); № 4.19 (a), № 4.33 (d).
Biz “bir dəyişən ilə bərabərsizliklərin həlli” mövzusunu araşdırmağa davam edirik. Biz artıq xətti bərabərsizliklər və kvadrat bərabərsizliklərlə tanışıq. Onlar xüsusi hallardır. rasional bərabərsizliklər hansını indi öyrənəcəyik. Hansı bərabərsizliklərin rasional adlandırıldığını öyrənməklə başlayaq. Sonra, onların tam rasional və kəsrli rasional bərabərsizliklərə bölünməsi ilə məşğul olacağıq. Bundan sonra bir dəyişənli rasional bərabərsizliklərin həllinin necə aparıldığını öyrənəcəyik, müvafiq alqoritmləri yazacağıq və ətraflı izahatlarla tipik nümunələrin həllini nəzərdən keçirəcəyik.
Səhifə naviqasiyası.
Rasional bərabərsizliklər hansılardır?
Məktəbdə, cəbr dərslərində bərabərsizliklərin həlli söhbəti çıxan kimi rasional bərabərsizliklərlə görüş dərhal baş verir. Ancaq əvvəlcə onlar öz adları ilə çağırılmırlar, çünki bu mərhələdə bərabərsizlik növləri az maraq doğurur və əsas məqsəd bərabərsizliklərlə işləmək üçün ilkin bacarıqlar əldə etməkdir. "Rasional bərabərsizlik" termininin özü daha sonra 9-cu sinifdə, bu xüsusi növ bərabərsizliklərin ətraflı öyrənilməsi başlayanda təqdim olunur.
Rasional bərabərsizliklərin nə olduğunu öyrənək. Budur tərif:
Səslənən tərifdə dəyişənlərin sayı haqqında heç nə deyilmir, yəni onların istənilən sayına icazə verilir. Bundan asılı olaraq bir, iki və s. olan rasional bərabərsizliklər fərqləndirilir. dəyişənlər. Yeri gəlmişkən, dərslik oxşar tərif verir, lakin bir dəyişənli rasional bərabərsizliklər üçün. Bu başa düşüləndir, çünki məktəb bir dəyişənli bərabərsizliklərin həllinə diqqət yetirir (aşağıda biz həm də yalnız bir dəyişənli rasional bərabərsizliklərin həlli haqqında danışacağıq). İki dəyişənli bərabərsizliklər az nəzərə alınır və üç və ya daha çox dəyişəni olan bərabərsizliklərə praktiki olaraq ümumiyyətlə diqqət yetirilmir.
Deməli, rasional bərabərsizliyi onun qeydi ilə tanımaq olar, bunun üçün onun sol və sağ tərəflərindəki ifadələrə baxmaq və onların rasional ifadələr olduğuna əmin olmaq kifayətdir. Bu mülahizələr rasional bərabərsizliklərə misallar verməyə imkan verir. Məsələn, x>4, x 3 +2 y≤5 (y−1) (x 2 +1), rasional bərabərsizliklərdir. Və bərabərsizlik
rasional deyil, çünki onun sol tərəfində kök işarəsi altında dəyişən var və buna görə də rasional ifadə deyil. Bərabərsizlik də rasional deyil, çünki onun hər iki hissəsi rasional ifadə deyil.Əlavə təsvirin rahatlığı üçün rasional bərabərsizliklərin tam və fraksiyalılara bölünməsini təqdim edirik.
Tərif.
Rasional bərabərsizlik adlanacaq bütöv, əgər onun hər iki hissəsi tam rasional ifadələrdirsə.
Tərif.
Fraksiyalı rasional bərabərsizlikən azı bir hissəsi kəsr ifadəsi olan rasional bərabərsizlikdir.
Beləliklə, 0,5 x≤3 (2−5 y),
tam bərabərsizliklərdir və 1:x+3>0 və 
- fraksiyalı rasional.İndi biz rasional bərabərsizliklərin nə olduğunu aydın başa düşürük və bir dəyişənlə tam və kəsr rasional bərabərsizliklərin həlli prinsipləri ilə təhlükəsiz şəkildə məşğul ola bilərik.
Tam bərabərsizliklərin həlli
Gəlin özümüzə vəzifə qoyaq: gəlin r(x) formalı bir x dəyişəni ilə tam rasional bərabərsizliyi həll edək.
Biz ifadəni sağ tərəfdən sola köçürürük ki, bu da bizi r(x) − s(x) formasının ekvivalent bərabərsizliyinə aparacaq.<0 (≤, >, ≥) sağda sıfır ilə. Aydındır ki, sol tərəfdə əmələ gələn r(x)−s(x) ifadəsi də tam ədəddir və hər hansı . r(x)−s(x) ifadəsini eyni bərabər bərabər h(x) polinomuna çevirərək (burada qeyd edirik ki, r(x)−s(x) və h(x) ifadələri eyni x dəyişəninə malikdir), ekvivalent h(x) bərabərsizliyinə keçirik.<0 (≤, >, ≥).
Ən sadə hallarda, edilən çevrilmələr istənilən həlli əldə etmək üçün kifayət edəcəkdir, çünki onlar bizi orijinal tam rasional bərabərsizlikdən həll edə biləcəyimiz bərabərsizliyə, məsələn, xətti və ya kvadrata aparacaqdır. Nümunələri nəzərdən keçirin.
Misal.
Bütün x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 rasional bərabərsizliyinin həllini tapın.
Qərar.
Əvvəlcə ifadəni sağ tərəfdən sola köçürürük: x (x+3)+2 x−(x+1) 2 −1≤0. Sol tərəfdə hər şeyi etdikdən sonra, ilkin tam bərabərsizliyə ekvivalent olan 3·x−2≤0 xətti bərabərsizliyinə çatırıq. Onun həlli çətin deyil:
3 x≤2 ,
x≤2/3 .Cavab:
x≤2/3 .
Misal.
Bərabərsizliyi həll edin (x 2 +1) 2 −3 x 2 >(x 2 − x) (x 2 + x).
Qərar.
Həmişə olduğu kimi, ifadəni sağ tərəfdən hərəkət etdirərək başlayırıq və sonra sol tərəfdə aşağıdakılardan istifadə edərək transformasiyaları həyata keçiririk:
(x 2 +1) 2 −3 x 2 −(x 2 − x) (x 2 + x)>0,
x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0 .Beləliklə, ekvivalent çevrilmələri yerinə yetirərək, x dəyişəninin istənilən qiymətləri üçün doğru olan 1>0 bərabərsizliyinə gəldik. Və bu o deməkdir ki, orijinal tam bərabərsizliyin həlli istənilən həqiqi ədəddir.
Cavab:
x - hər hansı.
Misal.
Bərabərsizliyi həll edin x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.
Qərar.
Sağ tərəfdə sıfır var, ona görə də ondan heç nəyi köçürmək lazım deyil. Sol tərəfdəki bütün ifadəni çoxhədliyə çevirək:
x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0 .İlkin bərabərsizliyə ekvivalent olan kvadrat bərabərsizlik əldə etdik. Biz bunu bizə məlum olan istənilən üsulla həll edirik. Kvadrat bərabərsizliyi qrafik olaraq həll edəcəyik.
−2 x 2 +11 x+6 kvadrat üçhəcminin köklərini tapın:
Tapılan sıfırları qeyd etdiyimiz sxematik bir rəsm çəkirik və aparıcı əmsal mənfi olduğundan parabolanın budaqlarının aşağıya doğru yönəldildiyini nəzərə alırıq:
Biz bərabərsizliyi > işarəsi ilə həll etdiyimiz üçün bizi parabolanın x oxundan yuxarıda yerləşdiyi intervallarla maraqlandırırıq. Bu (−0,5, 6) intervalında baş verir və bu, arzu olunan həlldir.
Cavab:
(−0,5, 6) .
Daha mürəkkəb hallarda, h(x) bərabərsizliyinin sol tərəfində<0 (≤, >, ≥) üçüncü və ya daha yüksək dərəcə çoxhədli olacaq. Belə bərabərsizlikləri həll etmək üçün interval metodu uyğun gəlir, onun ilk addımında çoxhədli h (x) nin bütün köklərini tapmaq lazımdır ki, bu da tez-tez həyata keçirilir.
Misal.
Bütün rasional bərabərsizliyin (x 2 +2) (x+4) həllini tapın.<14−9·x .
Qərar.
Gəlin hər şeyi sol tərəfə keçirək, bundan sonra orada və:
(x 2 +2) (x+4)−14+9 x<0 ,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0 ,
x 3 +4 x 2 +11 x−6<0 .Görülən manipulyasiyalar bizi orijinala bərabər olan bərabərsizliyə aparır. Onun sol tərəfində üçüncü dərəcəli çoxhədlidir. Bu, interval metodundan istifadə etməklə həll edilə bilər. Bunun üçün ilk növbədə x 3 +4 x 2 +11 x−6=0 üzərində dayanan çoxhədlinin köklərini tapmaq lazımdır. Onun yalnız sərbəst terminin bölənləri arasında, yəni ±1, ±2, ±3, ±6 ədədləri arasında ola bilən rasional kökləri olub-olmadığını öyrənək. Bu ədədləri x 3 +4 x 2 +11 x−6=0 tənliyində x dəyişəninin yerinə növbə ilə əvəz etdikdə məlum olur ki, tənliyin kökləri 1 , 2 və 3 ədədləridir. Bu, x 3 +4 x 2 +11 x−6 polinomunu (x−1) (x−2) (x−3) və x 3 +4 x 2 +11 x− bərabərsizliyini hasil kimi təqdim etməyə imkan verir. 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.
Və sonra interval metodunun standart addımlarını yerinə yetirmək qalır: nömrə xəttində bu xətti dörd intervala bölən nöqtələri 1, 2 və 3 koordinatları ilə qeyd edin, işarələri təyin edin və yerləşdirin, mənfi işarə ilə intervallar üzərində lyuklar çəkin. (çünki bərabərsizliyi işarə ilə həll edirik<) и записать ответ.
Bizdə (−∞, 1)∪(2, 3) var.
Cavab:
(−∞, 1)∪(2, 3) .
Qeyd etmək lazımdır ki, bəzən r(x) − s(x) bərabərsizliyindən praktiki olmur.<0 (≤, >, ≥) h(x) bərabərsizliyinə keçin<0 (≤, >, ≥), burada h(x) ikidən böyük dərəcə çoxhədlidir. Bu, r(x) − s(x) ifadəsini xətti binomialların və kvadrat üçhəminlərin hasili kimi təqdim etməkdənsə, h(x) polinomunu faktorlara ayırmaq daha çətin olan hallara aiddir, məsələn, ümumi amili mötərizə ilə. Bunu bir misalla izah edək.
Misal.
Bərabərsizliyi həll edin (x 2 −2 x−1) (x 2 −19)≥2 x (x 2 −2 x−1).
Qərar.
Bu tam bərabərsizlikdir. Əgər ifadəni sağ tərəfdən sol tərəfə keçirsək, sonra mötərizələri açıb oxşar şərtləri gətirsək, bərabərsizlik əldə edirik. x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19≥0. Onun həlli çox çətindir, çünki dördüncü dərəcəli çoxhədlinin köklərini tapmaq lazımdır. Onun rasional köklərinin olmadığını yoxlamaq asandır (onlar 1, -1, 19 və ya -19 rəqəmləri ola bilər) və onun digər köklərini axtarmaq problemlidir. Ona görə də bu yol dalana dirənir.
Digər mümkün həll yollarını axtaraq. Asanlıqla görmək olar ki, ifadəni ilkin tam bərabərsizliyin sağ tərəfindən sol tərəfə köçürdükdən sonra mötərizədə x 2 −2 x −1 ümumi əmsalını götürə bilərik:
(x 2 −2 x−1) (x 2 −19)−2 x (x 2 −2 x−1)≥0,
(x 2 −2 x−1) (x 2 −2 x−19)≥0.Görülən çevrilmə ekvivalentdir, buna görə də yaranan bərabərsizliyin həlli ilkin bərabərsizliyin həlli olacaqdır.
İndi isə yaranan bərabərsizliyin sol tərəfində yerləşən ifadənin sıfırlarını tapa bilərik, bunun üçün bizə x 2 −2 x−1=0 və x 2 −2 x−19=0 lazımdır. Onların kökləri rəqəmlərdir
. Bu bizə ekvivalent bərabərsizliyə keçməyə imkan verir və biz onu interval üsulu ilə həll edə bilərik: 
Rəsmə görə cavabı yazırıq.
Cavab:
Bu paraqrafın sonunda əlavə etmək istərdim ki, h (x) çoxhədlinin bütün köklərini tapmaq həmişə mümkün deyil və nəticədə onu xətti binomların və kvadrat üçhəminlərin hasilinə genişləndirmək mümkün deyil. Bu hallarda h(x) bərabərsizliyini həll etmək üçün heç bir yol yoxdur.<0 (≤, >, ≥), bu o deməkdir ki, orijinal bütün rasional tənliyin həllini tapmaq üçün heç bir yol yoxdur.
Kəsrə görə rasional bərabərsizliklərin həlli
İndi belə bir məsələnin həlli ilə məşğul olaq: r(x) formalı bir x dəyişəni ilə kəsr rasional bərabərsizliyi həll etmək tələb olunsun.
Kəsrə görə rasional bərabərsizliyin həlli alqoritmi bir dəyişən r(x) ilə
- Əvvəlcə orijinal bərabərsizlik üçün x dəyişəninin məqbul dəyərlər diapazonunu (ODV) tapmalısınız.
- Sonra, ifadəni bərabərsizliyin sağ tərəfindən sola köçürməli və orada əmələ gələn r(x) − s(x) ifadəsini p(x)/q(x) kəsrinə çevirməlisiniz, burada p(x) və q(x) xətti binomların, parçalana bilməyən kvadrat üçhədlilərin və onların natural göstəricili dərəcələrinin hasilləri olan tam ədəd ifadələridir.
- Sonra, yaranan bərabərsizliyi intervallar üsulu ilə həll etməlisiniz.
- Nəhayət, əvvəlki addımda əldə edilən həlldən birinci addımda tapılmış orijinal bərabərsizlik üçün x dəyişəninin DPV-yə daxil olmayan nöqtələri çıxarmaq lazımdır.
Beləliklə, kəsr rasional bərabərsizliyin istənilən həlli alınacaq.
Alqoritmin ikinci addımı bəzi izahat tələb edir. İfadəni bərabərsizliyin sağ tərəfindən sola köçürmək r(x)−s(x) bərabərsizliyini verir.<0 (≤, >, ≥), orijinala bərabərdir. Burada hər şey aydındır. Lakin onun p(x)/q(x) formasına daha da çevrilməsi suallar doğurur.<0 (≤, >, ≥).
Birinci sual: “Bunu həyata keçirmək həmişə mümkündürmü”? Teorik olaraq, bəli. Hər şeyin mümkün olduğunu bilirik. Rasional kəsrin payı və məxrəci çoxhədlidir. Və cəbrin əsas teoremindən və Bezout teoremindən belə nəticə çıxır ki, bir dəyişəni olan n dərəcəli hər hansı çoxhədli xətti binomların hasili kimi göstərilə bilər. Bu, bu transformasiyanın həyata keçirilməsinin mümkünlüyünü izah edir.
Təcrübədə çoxhədli faktorları müəyyən etmək kifayət qədər çətindir və onların dərəcəsi dördüncüdən yüksəkdirsə, bu, həmişə mümkün olmur. Əgər faktorlara ayırma mümkün deyilsə, onda ilkin bərabərsizliyin həllini tapmaq mümkün olmayacaq, lakin belə hallar adətən məktəbdə baş vermir.
İkinci sual: “P(x)/q(x) bərabərsizliyi olacaqmı?<0 (≤, >, ≥) r(x)−s(x) bərabərsizliyinə ekvivalentdir<0 (≤, >, ≥) və deməli, orijinalı da”? O, ekvivalent və ya qeyri-bərabər ola bilər. p(x)/q(x) ifadəsi üçün ODZ r(x)−s(x) ifadəsi üçün ODZ ilə eyni olduqda ekvivalentdir. Bu halda alqoritmin son addımı lazımsız olacaqdır. Lakin p(x)/q(x) ifadəsi üçün DPV r(x)−s(x) ifadəsi üçün DPV-dən daha geniş ola bilər. ODZ-nin genişlənməsi fraksiyaların azaldılması zamanı baş verə bilər, məsələn, hərəkət edərkən
üçün. Həmçinin, ODZ-nin genişləndirilməsi, məsələn, keçiddə olduğu kimi oxşar terminlərin azaldılması ilə asanlaşdırıla bilər. 
üçün. Bu halda, ODZ-nin genişlənməsindən yaranan kənar həlləri aradan qaldıran alqoritmin son addımı nəzərdə tutulmuşdur. Nümunələrin həllini aşağıda təhlil edərkən buna diqqət yetirək.Riyazi bərabərsizlik anlayışı qədim zamanlarda yaranmışdır. Bu, ibtidai bir insanın müxtəlif obyektlərlə sayarkən və hərəkət edərkən onların sayını və ölçüsünü müqayisə etmək ehtiyacı yarandıqda baş verdi. Qədim dövrlərdən bəri bərabərsizliklərdən Arximed, Evklid və digər məşhur alimlər: riyaziyyatçılar, astronomlar, dizaynerlər və filosoflar öz mülahizələrində istifadə ediblər.
Amma onlar, bir qayda olaraq, öz əsərlərində şifahi terminologiyadan istifadə edirdilər. Bu gün hər bir məktəblinin bildiyi formada "daha çox" və "az" anlayışlarını ifadə edən müasir işarələr ilk dəfə İngiltərədə icad edilmiş və tətbiq edilmişdir. Riyaziyyatçı Tomas Harriot nəsillərə belə bir xidmət göstərmişdir. Və bu, təxminən dörd əsr əvvəl baş verdi.
Bərabərsizliklərin bir çox növləri var. Onların arasında sadə, tərkibində bir, iki və ya daha çox dəyişən, kvadrat, kəsr, mürəkkəb nisbətlər və hətta ifadələr sistemi ilə təmsil olunur. Bərabərsizlikləri necə həll edəcəyinizi başa düşmək üçün müxtəlif nümunələrdən istifadə etmək yaxşıdır.
Qatarı qaçırmayın
Başlamaq üçün təsəvvür edin ki, kənd sakini öz kəndindən 20 km aralıda yerləşən dəmir yolu stansiyasına tələsir. Saat 11-də gedən qatarı əldən verməmək üçün evdən vaxtında çıxmalıdır. Onun hərəkət sürəti 5 km/saat olarsa, bunu hansı vaxtda etmək lazımdır? Bu praktiki tapşırığın həlli ifadənin şərtlərinin yerinə yetirilməsinə endirilir: 5 (11 - X) ≥ 20, burada X - gediş vaxtıdır.
Bu başa düşüləndir, çünki kəndlinin stansiyaya qədər qət etməli olduğu məsafə hərəkət sürətinin yoldakı saatların sayına bərabərdir. İnsan daha tez gələ bilər, amma gecikə bilməz. Bərabərsizlikləri necə həll edəcəyimizi bilmək və bacarıqlarımızı praktikada tətbiq etməklə, nəticədə X ≤ 7 alacağıq, bu da cavabdır. Bu o deməkdir ki, kənd sakini dəmiryol stansiyasına səhər yeddidə və ya bir qədər tez getməlidir.
Koordinat xəttindəki boşluqların sayı
İndi təsvir olunan münasibətləri yuxarıda əldə edilən qeyri-bərabərliyə necə uyğunlaşdıracağını öyrənək. Bu o deməkdir ki, dəyişən 7-dən kiçik qiymətlər ala bilər və bu rəqəmə bərabər ola bilər. Başqa misallar verək. Bunu etmək üçün aşağıdakı dörd rəqəmi diqqətlə nəzərdən keçirin.
Onlardan birincisində intervalın qrafik təsvirini görə bilərsiniz [-7; 7]. O, koordinat xəttində yerləşən və sərhədləri daxil olmaqla -7 ilə 7 arasında yerləşən ədədlər toplusundan ibarətdir. Bu halda, qrafikdəki nöqtələr doldurulmuş dairələr kimi göstərilir və istifadə edərək interval qeyd olunur
İkinci rəqəm ciddi bərabərsizliyin qrafik təsviridir. Bu halda, deşilmiş (doldurulmamış) nöqtələrlə göstərilən -7 və 7 sərhəd nömrələri göstərilən dəstəyə daxil edilmir. Və intervalın özü mötərizədə aşağıdakı kimi qeyd olunur: (-7; 7).
Yəni, bu tip bərabərsizliklərin necə həll olunacağını anlayıb oxşar cavab aldıqdan sonra belə nəticəyə gələ bilərik ki, o, -7 və 7 istisna olmaqla, nəzərdən keçirilən sərhədlər arasında olan ədədlərdən ibarətdir. Növbəti iki halı qiymətləndirmək lazımdır. oxşar şəkildə. Üçüncü rəqəm boşluqların şəkillərini göstərir (-∞; -7] U
İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək və təkcə çoxhədliləri deyil, formanın rasional fraksiyalarını da nəzərdən keçirək:
burada $P\left(x \right)$ və $Q\left(x \right)$ $((a)_(n))((x)^(n))+( formasının eyni polinomlarıdır. ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ və ya belə çoxhədlilərin hasili.
Bu rasional bərabərsizlik olacaq. Əsas məqam məxrəcdə $x$ dəyişəninin olmasıdır. Məsələn, burada rasional bərabərsizliklər var:
\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \sağ)\left(11x+2 \sağ))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \sağ))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \sağ))\ge 0. \\ \end(align)\]
Və bu, rasional deyil, interval üsulu ilə həll olunan ən ümumi bərabərsizlikdir:
\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]
İrəliyə baxaraq, dərhal deyəcəyəm: rasional bərabərsizlikləri həll etməyin ən azı iki yolu var, lakin onların hamısı bu və ya digər şəkildə bizə artıq məlum olan intervallar metoduna endirilir. Buna görə də, bu üsulları təhlil etməzdən əvvəl köhnə faktları xatırlayaq, əks halda yeni materialdan heç bir məna olmayacaqdır.
Artıq bilməli olduğunuz şey
Çox vacib faktlar yoxdur. Həqiqətən bizə yalnız dörd lazımdır.
Qısaldılmış vurma düsturları
Bəli, bəli: məktəb riyaziyyat kurikulumu boyunca bizi təqib edəcəklər. Həm də universitetdə. Bu düsturlardan kifayət qədər çoxu var, lakin bizə yalnız aşağıdakılar lazımdır:
\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \sağ))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \sağ)\left(a+b \sağ); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \sağ)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\sağ); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \sağ)\left(((a)^(2))+ab+(b)^( 2))\sağ). \\ \end(hizalayın)\]
Son iki düstura diqqət yetirin - bu, kubların cəmi və fərqidir (və cəmin və ya fərqin kubu deyil!). Birinci mötərizədəki işarənin orijinal ifadədəki işarə ilə eyni olduğunu, ikinci mötərizədə isə ilkin ifadədəki işarənin əksi olduğunu görsəniz, onları yadda saxlamaq asandır.
Xətti tənliklər
Bunlar $ax+b=0$ formasının ən sadə tənlikləridir, burada $a$ və $b$ adi ədədlərdir və $a\ne 0$. Bu tənliyi həll etmək asandır:
\[\begin(align) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(hizalayın)\]
Qeyd edim ki, bizim $a$ əmsalına bölmək hüququmuz var, çünki $a\ne 0$. Bu tələb olduqca məntiqlidir, çünki $a=0$ ilə bunu əldə edirik:
Birincisi, bu tənlikdə $x$ dəyişəni yoxdur. Bu, ümumiyyətlə, bizi çaşdırmamalıdır (bu, məsələn, həndəsədə və çox vaxt olur), amma yenə də biz artıq xətti tənlik deyilik.
İkincisi, bu tənliyin həlli yalnız $b$ əmsalından asılıdır. Əgər $b$ da sıfırdırsa, onda bizim tənliyimiz $0=0$-dır. Bu bərabərlik həmişə doğrudur; deməli, $x$ istənilən ədəddir (adətən \mathbb(R)$-da $x\ şəklində yazılır). Əgər $b$ əmsalı sıfıra bərabər deyilsə, onda $b=0$ bərabərliyi heç vaxt təmin edilmir, yəni. cavab yoxdur (\varnothing $-da $x\ yazılıb və "həll toplusu boş" yazıb oxuyun).
Bütün bu mürəkkəbliklərdən qaçmaq üçün biz sadəcə olaraq $a\ne 0$ fərz edirik ki, bu da bizi heç bir şəkildə əlavə düşünməyimizi məhdudlaşdırmır.
Kvadrat tənliklər
Nəzərinizə çatdırım ki, buna kvadrat tənlik deyilir:
Burada solda ikinci dərəcəli çoxhədli və yenə də $a\ne 0$ (əks halda kvadrat tənlik əvəzinə xətti tənlik alırıq). Diskriminant vasitəsilə aşağıdakı tənliklər həll olunur:
- Əgər $D \gt 0$ olarsa, iki fərqli kök alırıq;
- Əgər $D=0$ olarsa, onda kök bir olacaq, lakin ikinci çoxluqdan (bu çoxluq nədir və onu necə nəzərə almaq olar - bu haqda daha sonra). Yaxud deyə bilərik ki, tənliyin iki eyni kökü var;
- $D \lt 0$ üçün heç bir kök yoxdur və hər hansı $x$ üçün $a((x)^(2))+bx+c$ polinomunun işarəsi $a əmsalının işarəsi ilə üst-üstə düşür. $. Bu, yeri gəlmişkən, cəbr dərslərində nədənsə söylənilməsi unudulan çox faydalı faktdır.
Köklərin özləri tanınmış düstura görə hesablanır:
\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]
Beləliklə, yeri gəlmişkən, diskriminant üzərində məhdudiyyətlər. Axı mənfi ədədin kvadrat kökü mövcud deyil. Köklərə gəldikdə, bir çox tələbələrin başlarında dəhşətli bir qarışıqlıq var, buna görə də xüsusi olaraq bütün bir dərsi qeyd etdim: cəbrdə kök nədir və onu necə hesablamaq olar - onu oxumağı çox tövsiyə edirəm. :)
Rasional kəsrlərlə əməliyyatlar
Yuxarıda yazılanların hamısı, intervallar metodunu öyrəndiyinizi artıq bilirsiniz. Ancaq indi təhlil edəcəyimiz şeyin keçmişdə analoqu yoxdur - bu, tamamilə yeni bir faktdır.
Tərif. Rasional kəsr formanın ifadəsidir
\[\frac(P\left(x \sağ))(Q\sol(x \sağ))\]
burada $P\left(x \right)$ və $Q\left(x \right)$ polinomlardır.
Aydındır ki, belə bir kəsrdən bərabərsizlik əldə etmək asandır - sağa "böyük" və ya "kiçik" işarəsini aid etmək kifayətdir. Və bir az irəliləyəcəyik ki, bu cür problemlərin həlli bir zövqdür, orada hər şey çox sadədir.
Problemlər bir ifadədə bir neçə belə kəsr olduqda başlayır. Onları ümumi məxrəcə endirmək lazımdır - və bu anda çoxlu sayda hücum səhvləri edilir.
Buna görə də, rasional tənlikləri uğurla həll etmək üçün iki bacarığı möhkəm mənimsəmək lazımdır:
- $P\left(x \right)$ polinomunun faktorlaşdırılması;
- Əslində, kəsrlərin ortaq məxrəcə gətirilməsi.
Polinomu necə faktorlara ayırmaq olar? Çox sadə. Formanın çoxhədlisi olsun
Gəlin onu sıfıra bərabərləşdirək. $n$-ci dərəcə tənliyini alırıq:
\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]
Tutaq ki, biz bu tənliyi həll etdik və kökləri aldıq $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (narahat olmayın: əksər hallarda heç bir şey olmayacaq. bu köklərdən ikidən çoxu). Bu halda, orijinal çoxhədlimizi bu şəkildə yenidən yazmaq olar:
\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\sol(x) -((x)_(1)) \sağ)\cdot \left(x-((x)_(2)) \sağ)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \sağ) \son(align)\]
Hamısı budur! Diqqət yetirin: $((a)_(n))$ aparıcı əmsalı heç yerdə yoxa çıxmayıb - bu, mötərizələrin qarşısında ayrıca bir amil olacaq və lazım gələrsə, bu mötərizələrdən hər hansı birinə daxil edilə bilər (təcrübə göstərir). ki, $((a)_ (n))\ne \pm 1$ ilə köklər arasında demək olar ki, həmişə kəsrlər olur).
Tapşırıq. İfadəni sadələşdirin:
\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)(x+2)\]
Qərar. Əvvəlcə məxrəclərə baxaq: onların hamısı xətti binomlardır və burada faktorlara ayırmaq üçün heç nə yoxdur. Beləliklə, sayları faktorlara ayıraq:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\sol(x-\frac(3)(2) \sağ)\left(x-1 \sağ)=\sol(2x- 3\sağ)\sol(x-1\sağ); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\sol(x+2 \sağ)\left(x-\frac(2)(5) \sağ)=\sol(x +2 \sağ)\sol(2-5x \sağ). \\\end(hizalayın)\]
Diqqət yetirin: ikinci polinomda "2" böyük əmsalı, sxemimizə tam uyğun olaraq, əvvəlcə mötərizənin qarşısında göründü, sonra bir kəsr çıxdığı üçün birinci mötərizə daxil edildi.
Eyni şey üçüncü çoxhədlidə də baş verdi, yalnız orada şərtlərin sırası da qarışıqdır. Bununla belə, “−5” əmsalı ikinci mötərizəyə daxil edildi (unutmayın: bir və yalnız bir mötərizədə bir əmsalı daxil edə bilərsiniz!), bu, bizi fraksiya kökləri ilə əlaqəli narahatlıqdan xilas etdi.
Birinci çoxhədiyyəyə gəlincə, burada hər şey sadədir: onun kökləri ya diskriminant vasitəsilə standart şəkildə, ya da Vyeta teoremindən istifadə etməklə axtarılır.
Gəlin orijinal ifadəyə qayıdıb onu amillərə bölünmüş saylarla yenidən yazaq:
\[\begin(matris) \frac(\left(x+5 \sağ)\left(x-4 \sağ))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \sağ)\left( x-1 \sağ))(2x-3)-\frac(\sol(x+2 \sağ)\sol(2-5x \sağ))(x+2)= \\ =\sol(x+5) \sağ)-\sol(x-1 \sağ)-\sol(2-5x \sağ)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \son (matris)\]
Cavab: $5x+4$.
Gördüyünüz kimi, mürəkkəb bir şey yoxdur. Bir az 7-8-ci sinif riyaziyyatı və bu qədər. Bütün transformasiyaların məqsədi mürəkkəb və qorxulu ifadəni sadə və işləmək asan bir şeyə çevirməkdir.
Lakin bu, həmişə belə olmayacaq. Beləliklə, indi daha ciddi bir problemi nəzərdən keçirəcəyik.
Ancaq əvvəlcə iki kəsri ortaq məxrəcə necə gətirəcəyimizi anlayaq. Alqoritm çox sadədir:
- Hər iki məxrəci faktorlara ayırın;
- Birinci məxrəci nəzərdən keçirin və ona ikinci məxrəcdə mövcud olan amilləri əlavə edin, amma birincidə deyil. Nəticə məhsul ümumi məxrəc olacaq;
- İlkin fraksiyaların hər birində hansı amillərin çatışmadığını tapın ki, məxrəclər ümumiyə bərabər olsun.
Ola bilsin ki, bu alqoritm sizə sadəcə “çox hərflərin” olduğu mətn kimi görünəcək. Beləliklə, konkret bir nümunəyə nəzər salaq.
Tapşırıq. İfadəni sadələşdirin:
\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \sağ)\cdot \left(\frac(((x)^(2))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \sağ)\]
Qərar. Bu cür həcmli vəzifələr ən yaxşı şəkildə hissələrlə həll olunur. Birinci mötərizədə nə olduğunu yazaq:
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]
Əvvəlki problemdən fərqli olaraq, burada məxrəclər o qədər də sadə deyil. Gəlin onların hər birini faktorlara ayıraq.
$((x)^(2))+2x+4$ kvadrat trinomial faktorlara bölünə bilməz, çünki $((x)^(2))+2x+4=0$ tənliyinin kökləri yoxdur (diskriminant mənfidir) . Biz onu dəyişməz qoyuruq.
İkinci məxrəc, kub polinomu $((x)^(3))-8$, yaxından araşdırdıqda kublar fərqidir və qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə etməklə asanlıqla parçalana bilər:
\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \sağ)\sol((x) ^(2))+2x+4 \sağ)\]
Başqa heç nə faktorlara bölünə bilməz, çünki birinci mötərizə xətti binomial ehtiva edir, ikincisi isə bizə artıq tanış olan və real kökləri olmayan konstruksiyadır.
Nəhayət, üçüncü məxrəc parçalana bilməyən xətti binomdur. Beləliklə, tənliyimiz aşağıdakı formanı alacaq:
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \sağ)\sol (((x)^(2))+2x+4 \sağ))-\frac(1)(x-2)\]
Tamamilə aydındır ki, $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ ortaq məxrəc olacaq və ona bütün kəsrləri azaltmaq üçün siz birinci kəsri $\left(x-2 \right)$-a, sonuncunu isə $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$-a vurmaq lazımdır. Sonra yalnız aşağıdakıları gətirmək qalır:
\[\begin(matris) \frac(x\cdot \left(x-2 \sağ))(\left(x-2 \sağ)\left(((x)^(2))+2x+4 \ sağ))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \sağ)\left(((x)^(2))+2x+4 \sağ))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \sağ))(\left(x-2 \sağ)\left(((x)^(2))+2x +4 \sağ))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \sağ)+\left(((x)^(2))+8 \sağ)-\sol(((x) )^(2))+2x+4 \sağ))(\sol(x-2 \sağ)\left(((x)^(2))+2x+4 \sağ))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \sağ)\sol (((x)^(2))+2x+4 \sağ))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\sol(x-2 \sağ)\ sol(((x)^(2))+2x+4 \sağ)). \\ \son (matris)\]
İkinci sətirə diqqət yetirin: məxrəc artıq ümumi olduqda, yəni. üç ayrı fraksiya əvəzinə bir böyük yazdıq, mötərizədə dərhal qurtulmamalısınız. Əlavə bir sətir yazmaq və qeyd etmək daha yaxşıdır ki, məsələn, üçüncü fraksiyadan əvvəl bir mənfi var idi - və o, heç yerə getməyəcək, ancaq mötərizənin qarşısındakı sayğacda "asılacaq". Bu sizi çoxlu səhvlərdən xilas edəcək.
Yaxşı, son sətirdə payı faktorlara ayırmaq faydalıdır. Üstəlik, bu dəqiq bir kvadratdır və qısaldılmış vurma düsturları yenidən köməyimizə gəlir. Bizdə:
\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \sağ)\left(((x)^(2))+2x+4 \sağ))= \frac(((\sol(x-2 \sağ))^(2)))(\sol(x-2 \sağ)\left(((x)^(2))+2x+4 \sağ) )=\frac(x-2)((x)^(2))+2x+4)\]
İndi eyni şəkildə ikinci mötərizə ilə məşğul olaq. Burada sadəcə bərabərlik zəncirini yazacağam:
\[\begin(matris) \frac(((x)^(2))))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2))))(\sol(x-2 \sağ)\sol(x+2 \sağ))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac((x) ^(2)))(\sol(x-2 \sağ)\sol(x+2 \sağ))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac((x)^( 2)))(\sol(x-2 \sağ)\left(x+2 \sağ))+\frac(2\cdot \left(x+2 \sağ))(\sol(x-2 \sağ) )\cdot \left(x+2 \sağ))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \sağ))(\sol(x-2) \sağ)\sol(x+2 \sağ))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \sağ)\sol(x+2 \sağ) ). \\ \son (matris)\]
Orijinal problemə qayıdırıq və məhsula baxırıq:
\[\frac(x-2)((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\sol(x-2) \sağ)\sol(x+2 \sağ))=\frac(1)(x+2)\]
Cavab: \[\frac(1)(x+2)\].
Bu problemin mənası əvvəlki ilə eynidir: onların çevrilməsinə ağıllı yanaşsanız, rasional ifadələrin nə qədər sadələşdirilə biləcəyini göstərmək.
İndi isə bütün bunları bildiyiniz zaman keçək bugünkü dərsimizin əsas mövzusuna - kəsr rasional bərabərsizliklərin həllinə. Üstəlik, belə bir hazırlıqdan sonra bərabərsizliklər özləri qoz-fındıq kimi çırpılacaq. :)
Rasional bərabərsizliklərin həllinin əsas yolu
Rasional bərabərsizlikləri həll etmək üçün ən azı iki yanaşma var. İndi onlardan birini - məktəb riyaziyyat kursunda ümumi qəbul edilən birini nəzərdən keçirəcəyik.
Ancaq əvvəlcə vacib bir detalı qeyd edək. Bütün bərabərsizliklər iki növə bölünür:
- Ciddi: $f\left(x \sağ) \gt 0$ və ya $f\left(x \sağ) \lt 0$;
- Qeyri: $f\left(x \right)\ge 0$ və ya $f\left(x \sağ)\le 0$.
İkinci növ bərabərsizliklər asanlıqla birinciyə, eləcə də tənliyə endirilir:
Bu kiçik "əlavə" $f\left(x \right)=0$ doldurulmuş nöqtələr kimi xoşagəlməz bir şeyə gətirib çıxarır - biz onları interval metodunda yenidən qarşıladıq. Əks halda, ciddi və qeyri-bərabər bərabərsizliklər arasında heç bir fərq yoxdur, ona görə də universal alqoritmi təhlil edək:
- Bərabərsizlik işarəsinin bir tərəfində sıfırdan fərqli bütün elementləri toplayın. Məsələn, solda;
- Bütün kəsrləri ortaq məxrəcə gətirin (əgər bir neçə belə kəsr varsa), oxşarları gətirin. Sonra, mümkünsə, say və məxrəcə bölün. Bu və ya digər şəkildə $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$ şəklində bərabərsizliyi alırıq, burada gənə bərabərsizlik işarəsidir.
- Numeratoru sıfıra bərabərləşdirin: $P\left(x \right)=0$. Bu tənliyi həll edirik və kökləri alırıq $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Sonra tələb edirik məxrəcin sıfıra bərabər olmadığını: $Q\left(x \right)\ne 0$. Təbii ki, mahiyyət etibarı ilə $Q\left(x \right)=0$ tənliyini həll etməliyik və $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) köklərini alırıq. $, $x_(3 )^(*)$, ... (real məsələlərdə belə köklərin üçdən çox olması çətin ki).
- Biz bütün bu kökləri (həm ulduzlu, həm də ulduzsuz) bir ədəd sətirində qeyd edirik və ulduzsuz köklər rənglənir, ulduzlu köklər isə yumruqla çıxarılır.
- Artı və mənfi işarələrini qoyuruq, bizə lazım olan intervalları seçirik. Əgər bərabərsizlik $f\left(x \right) \gt 0$ formasına malikdirsə, onda cavab "plus" ilə işarələnmiş intervallar olacaq. Əgər $f\left(x \right) \lt 0$, onda "mənfilər" ilə intervallara baxırıq.
Təcrübə göstərir ki, 2 və 4-cü nöqtələr ən böyük çətinliklərə səbəb olur - səlahiyyətli çevrilmələr və artan qaydada nömrələrin düzgün təşkili. Yaxşı, son addımda son dərəcə diqqətli olun: biz həmişə işarələrə əsaslanaraq yerləşdiririk tənliklərə keçməzdən əvvəl yazılmış sonuncu bərabərsizlik. Bu, interval metodundan miras qalan universal bir qaydadır.
Deməli, bir sxem var. Gəl məşq edək.
Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:
\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]
Qərar. Bizdə $f\left(x \right) \lt 0$ formasında ciddi bərabərsizliyə sahibik. Aydındır ki, sxemimizdən 1 və 2-ci bəndlər artıq tamamlanmışdır: bərabərsizliyin bütün elementləri solda toplanır, heç bir şeyi ortaq məxrəcə endirmək lazım deyil. Beləliklə, üçüncü nöqtəyə keçək.
Numeratoru sıfıra qoyun:
\[\başlamaq(align) & x-3=0; \\ &x=3. \end(align)\]
Və məxrəc:
\[\başlamaq(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(hizalayın)\]
Bu yerdə çox adam ilişib qalır, çünki nəzəri olaraq ODZ-nin tələb etdiyi kimi $x+7\ne 0$ yazmalısınız (sıfıra bölmək olmaz, hamısı budur). Ancaq gələcəkdə məxrəcdən gələn nöqtələri çıxaracağıq, buna görə hesablamalarınızı bir daha çətinləşdirməməlisiniz - hər yerdə bərabər işarə yazın və narahat olmayın. Bunun üçün heç kim xal itirməyəcək. :)
Dördüncü nöqtə. Alınan kökləri say xəttində qeyd edirik:
Bərabərsizlik ciddi olduğundan bütün nöqtələr deşilir
Qeyd: orijinal bərabərsizlik ciddi olduğundan bütün nöqtələr deşilir. Və burada artıq əhəmiyyəti yoxdur: bu nöqtələr saydan və ya məxrəcdən gəldi.
Yaxşı, işarələrə baxın. İstənilən $((x)_(0)) \gt 3$ ədədini götürün. Məsələn, $((x)_(0))=100$ (lakin siz də $((x)_(0))=3.1$ və ya $((x)_(0)) götürə bilərdiniz = 1\000\000$). Biz əldə edirik:
Beləliklə, bütün köklərin sağında müsbət bir sahəmiz var. Və hər bir kökdən keçərkən işarə dəyişir (bu, həmişə belə olmayacaq, lakin daha sonra). Buna görə də, beşinci nöqtəyə keçirik: işarələri yerləşdiririk və düzgün birini seçirik:
Tənlikləri həll etməzdən əvvəl olan sonuncu bərabərsizliyə qayıdırıq. Əslində, bu, orijinalı ilə üst-üstə düşür, çünki bu vəzifədə heç bir transformasiya etmədik.
$f\left(x \right) \lt 0$ formasındakı bərabərsizliyi həll etmək lazım olduğundan, mən $x\intervalını \left(-7;3 \right)$ ilə kölgə saldım - yeganədir. mənfi işarə ilə qeyd olunur. Bu cavabdır.
Cavab: $x\in \left(-7;3 \right)$
Hamısı budur! Çətindir? Xeyr, çətin deyil. Doğrudan da, asan iş idi. İndi missiyanı bir az çətinləşdirək və daha "xülya" bərabərsizliyini nəzərdən keçirək. Onu həll edərkən, mən artıq belə ətraflı hesablamalar verməyəcəyəm - sadəcə əsas məqamları qeyd edəcəyəm. Ümumiyyətlə, biz bunu müstəqil işdə və ya imtahanda etdiyimiz kimi təşkil edəcəyik. :)
Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:
\[\frac(\left(7x+1 \sağ)\left(11x+2 \sağ))(13x-4)\ge 0\]
Qərar. Bu, $f\left(x \right)\ge 0$ formasının qeyri-ciddi bərabərsizliyidir. Bütün sıfır olmayan elementlər solda toplanır, fərqli məxrəclər yoxdur. Gəlin tənliklərə keçək.
Hesablayıcı:
\[\begin(align) & \left(7x+1 \sağ)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Sağ ox ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Sağ ox ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(hizalayın)\]
Məxrəc:
\[\başla(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(hizalayın)\]
Bu problemi hansı pozğun yaratdığını bilmirəm, amma köklər o qədər də yaxşı nəticə vermədi: onları bir sıra xəttində yerləşdirmək çətin olacaq. $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ kökü ilə hər şey az və ya çox aydındırsa (bu yeganə müsbət rəqəmdir - sağda olacaq), onda $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ və $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ əlavə araşdırma tələb edir: hansı daha böyükdür?
Bunu tapa bilərsiniz, məsələn:
\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]
Ümid edirəm ki, $-(2)/(14) rəqəmsal kəsrinin nə üçün izah edilməsinə ehtiyac yoxdur\; \gt -(2)/(11)\;$? Lazım gələrsə, kəsrlərlə hərəkətlərin necə yerinə yetiriləcəyini xatırlamağı məsləhət görürəm.
Və hər üç kökü say xəttində qeyd edirik:
Numeratordan olan nöqtələr kölgələnir, məxrəcdən onlar kəsilir İşarələr qoyuruq. Məsələn, $((x)_(0))=1$ götürüb bu nöqtədə işarəni tapa bilərsiniz:
\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \sağ)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \sağ)\left(11\cdot 1+2 \sağ))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]
Tənliklərdən əvvəlki sonuncu bərabərsizlik $f\left(x \right)\ge 0$ idi, ona görə də bizi plus işarəsi maraqlandırır.
İki dəstimiz var: biri adi seqment, digəri isə nömrə xəttində açıq şüadır.
Cavab: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$
Ən sağdakı intervaldakı işarəni tapmaq üçün əvəz etdiyimiz rəqəmlər haqqında vacib qeyd. Ən sağ kökə yaxın ədədi əvəz etmək lazım deyil. Siz milyardlarla və ya hətta "plus-sonsuzluq" da götürə bilərsiniz - bu halda, mötərizədə, pay və ya məxrəcdəki polinomun işarəsi yalnız aparıcı əmsalın işarəsi ilə müəyyən edilir.
Son bərabərsizlikdən $f\left(x \right)$ funksiyasına bir daha nəzər salaq:
O, üç polinomdan ibarətdir:
\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\sol(x \sağ)=11x+2; \\ & Q\sol(x\sağ)=13x-4. \end(align)\]
Onların hamısı xətti binomiallardır və hamısının müsbət əmsalları var (7, 11 və 13 rəqəmləri). Buna görə də, çox böyük ədədləri əvəz edərkən, polinomların özləri də müsbət olacaqdır. :)
Bu qayda həddən artıq mürəkkəb görünə bilər, ancaq əvvəlcə çox asan problemləri təhlil etdikdə. Ciddi bərabərsizliklərdə "plus-sonsuzluq" əvəzlənməsi bizə işarələri standart $((x)_(0))=100$-dan çox daha sürətli anlamağa imkan verəcək.
Tezliklə belə çətinliklərlə üzləşəcəyik. Ancaq əvvəlcə kəsr rasional bərabərsizlikləri həll etmək üçün alternativ üsula baxaq.
Alternativ yol
Bu texnikanı mənə tələbələrimdən biri təklif edib. Mən özüm heç vaxt istifadə etməmişəm, amma təcrübə göstərdi ki, bir çox tələbələr üçün bərabərsizlikləri bu şəkildə həll etmək həqiqətən daha əlverişlidir.
Beləliklə, orijinal məlumatlar eynidir. Kəsr rasional bərabərsizliyi həll etməliyik:
\[\frac(P\left(x \sağ))(Q\sol(x \sağ)) \gt 0\]
Gəlin düşünək: nə üçün $Q\left(x \right)$ polinomu $P\left(x \right)$ polinomundan “pisdir”? Nə üçün ayrı-ayrı kök qruplarını (ulduzlu və ulduzsuz) nəzərdən keçirməliyik, delikli nöqtələr haqqında düşünməliyik və s.? Bu sadədir: kəsr müəyyən bir sahəyə malikdir, ona görə kəsr yalnız məxrəci sıfırdan fərqli olduqda məna kəsb edir.
Əks halda, say və məxrəc arasında heç bir fərq yoxdur: biz də onu sıfıra bərabərləşdiririk, kökləri axtarırıq, sonra onları say xəttində qeyd edirik. Bəs niyə kəsr çubuğunu (əslində, bölmə işarəsini) adi vurma ilə əvəz etmirik və DHS-nin bütün tələblərini ayrıca bərabərsizlik kimi yazırıq? Məsələn, bu kimi:
\[\frac(P\left(x \sağ))(Q\left(x \sağ)) \gt 0\Sağ ox \sol\( \begin(align) & P\left(x \sağ)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \sağ.\]
Diqqət yetirin: bu yanaşma problemi fasilələr metoduna endirməyə imkan verəcək, lakin bu, həlli heç də çətinləşdirməyəcək. Axı, hər halda, biz $Q\left(x \right)$ polinomunu sıfıra bərabərləşdirəcəyik.
Gəlin onun real vəzifələrdə necə işlədiyini görək.
Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:
\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]
Qərar. Beləliklə, interval metoduna keçək:
\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Sağ ox \sol\( \begin(align) & \left(x+8 \sağ)\left(x-11 \sağ) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(hizalayın) \sağa.\]
Birinci bərabərsizlik elementar şəkildə həll edilir. Sadəcə hər mötərizəni sıfıra qoyun:
\[\begin(align) & x+8=0\Sağ ox ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Sağ ox ((x)_(2))=11. \\ \end(hizalayın)\]
İkinci bərabərsizliklə hər şey sadədir:
Həqiqi xəttdə $((x)_(1))$ və $((x)_(2))$ nöqtələrini qeyd edirik. Hamısı deşilir, çünki bərabərsizlik ciddidir:
Düzgün nöqtə iki dəfə deşildi. Bu yaxşıdır.$x=11$ nöqtəsinə diqqət yetirin. Belə çıxır ki, o, “iki dəfə oyulub”: bir tərəfdən bərabərsizliyin şiddətinə görə, digər tərəfdən ODZ-nin əlavə tələbinə görə onu çıxarırıq.
Hər halda, bu, sadəcə deşilmiş bir nöqtə olacaq. Buna görə də $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ bərabərsizliyinə işarələr qoyuruq - tənlikləri həll etməyə başlamazdan əvvəl gördüyümüz sonuncu işarədir:
Bizi müsbət bölgələr maraqlandırır, çünki biz $f\left(x \right) \gt 0$ şəklində bərabərsizliyi həll edirik və onları rəngləndirəcəyik. Yalnız cavabı yazmaq qalır.
Cavab verin. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \sağ)$
Bu həlli nümunə kimi istifadə edərək, sizi yeni başlayan tələbələr arasında yayılmış bir səhvə qarşı xəbərdar etmək istərdim. Məhz: bərabərsizliklərdə heç vaxt mötərizə açmayın! Əksinə, hər şeyi nəzərə almağa çalışın - bu, həlli asanlaşdıracaq və sizi bir çox problemdən xilas edəcək.
İndi daha çətin bir şeyə cəhd edək.
Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:
\[\frac(\left(2x-13 \sağ)\left(12x-9 \sağ))(15x+33)\le 0\]
Qərar. Bu, $f\left(x \right)\le 0$ formasının qeyri-ciddi bərabərsizliyidir, ona görə də burada doldurulmuş nöqtələri diqqətlə izləmək lazımdır.
Keçək interval metoduna:
\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \sağ)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(düzləşdirin) \sağa.\]
Gəlin tənliyə keçək:
\[\başla(align) & \left(2x-13 \sağ)\left(12x-9 \sağ)\left(15x+33 \sağ)=0 \\ & 2x-13=0\Sağ ox ((x) )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Sağ ox ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Sağ ox ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(hizalayın)\]
Əlavə tələbi nəzərə alırıq:
Alınan bütün kökləri say xəttində qeyd edirik:
Nöqtə həm yumruqla vurulur, həm də doldurulursa, o, punch edilmiş sayılır.Yenə də iki nöqtə bir-birinə "üst-üstə düşür" - bu normaldır, həmişə belə olacaq. Yalnız onu başa düşmək vacibdir ki, həm dəliklənmiş, həm də doldurulmuş kimi qeyd olunan nöqtə əslində delikli nöqtədir. Bunlar. “Ovmaq” “boyanmaqdan” daha güclü bir hərəkətdir.
Bu tamamilə məntiqlidir, çünki deşməklə biz funksiyanın işarəsinə təsir edən nöqtələri qeyd edirik, lakin özləri cavabda iştirak etmirik. Əgər bir anda nömrə bizə uyğun gəlmirsə (məsələn, ODZ-yə düşmür), biz onu tapşırığın sonuna qədər nəzərdən keçiririk.
Ümumiyyətlə, fəlsəfəni dayandırın. İşarələri düzürük və mənfi işarə ilə qeyd olunan intervalları rəngləyirik:
Cavab verin. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.
Və yenə də bu tənliyə diqqətinizi çəkmək istədim:
\[\sol(2x-13 \sağ)\sol(12x-9 \sağ)\sol(15x+33 \sağ)=0\]
Bir daha: belə tənliklərdə heç vaxt mötərizə açmayın! Yalnız özünüz üçün çətinləşdirirsiniz. Unutmayın: amillərdən ən azı biri sıfır olduqda məhsul sıfırdır. Nəticə etibarilə, bu tənlik sadəcə olaraq əvvəlki problemdə həll etdiyimiz bir neçə kiçik tənliyə “parçalanır”.
Köklərin çoxluğunu nəzərə alaraq
Əvvəlki məsələlərdən görmək olar ki, ən çətin olan qeyri-ciddi bərabərsizliklərdir, çünki onlarda doldurulmuş nöqtələri izləmək lazımdır.
Ancaq dünyada daha böyük bir pislik var - bunlar bərabərsizliklərin çoxlu kökləridir. Burada artıq bəzi doldurulmuş nöqtələri izləmək lazımdır - burada bərabərsizlik işarəsi eyni nöqtələrdən keçərkən birdən dəyişməyə bilər.
Biz hələ bu dərsdə buna bənzər bir şey nəzərdən keçirməmişik (baxmayaraq ki, oxşar problemə tez-tez interval metodunda rast gəlinirdi). Beləliklə, yeni bir tərif təqdim edək:
Tərif. $((\left(x-a \right))^(n))=0$ tənliyinin kökü $x=a$-a bərabərdir və $n$-ci çoxluğun kökü adlanır.
Əslində, çoxluğun dəqiq dəyəri bizi xüsusilə maraqlandırmır. Yeganə vacib olan bu $n$ rəqəminin cüt və ya tək olmasıdır. Çünki:
- Əgər $x=a$ cüt çoxluğun köküdürsə, onda funksiyanın işarəsi ondan keçərkən dəyişmir;
- Və əksinə, əgər $x=a$ tək çoxluğun köküdürsə, onda funksiyanın işarəsi dəyişəcək.
Tək çoxluq kökünün xüsusi halı bu dərsdə nəzərdən keçirilən bütün əvvəlki problemlərdir: orada çoxluq hər yerdə birə bərabərdir.
Və daha da. Problemləri həll etməyə başlamazdan əvvəl diqqətinizi təcrübəli bir tələbə üçün açıq görünən, lakin bir çox yeni başlayanları stupor vəziyyətinə salan bir incəliyə cəlb etmək istərdim. Məhz:
$n$ çoxluq kökü yalnız bütün ifadə bu gücə qaldırıldıqda baş verir: $((\left(x-a \right))^(n))$, $\left(((x)^( n) deyil )-a\sağ)$.
Bir daha: $((\left(x-a \sağ))^(n))$ mötərizəsi bizə $n$ çoxluğunun $x=a$ kökünü verir, lakin mötərizə $\left(((x)^() n)) -a \right)$ və ya tez-tez olduğu kimi, $(a-((x)^(n)))$ bizə birinci çoxluğun kökünü (və ya $n$ cütdürsə, iki kök) verir. , nəyin $n$-a bərabər olmasından asılı olmayaraq.
Müqayisə edin:
\[((\sol(x-3 \sağ))^(5))=0\Sağ ox x=3\sol(5k \sağ)\]
Burada hər şey aydındır: bütün mötərizə beşinci gücə qaldırıldı, buna görə çıxışda beşinci dərəcənin kökünü aldıq. Və indi:
\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Sağ ox ((x)^(2))=4\Sağ ox x=\pm 2\]
Bizim iki kökümüz var, amma hər ikisinin birinci çoxluğu var. Və ya başqa biri:
\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]
Və onuncu dərəcə ilə çaşdırmayın. Əsas odur ki, 10 cüt ədəddir, ona görə də çıxışda iki kökümüz var və onların hər ikisi yenə birinci çoxluğa malikdir.
Ümumiyyətlə, diqqətli olun: çoxluq yalnız o zaman baş verir dərəcə yalnız dəyişənə deyil, bütün mötərizələrə aiddir.
Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:
\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \sağ))^(3))\left(x+4 \sağ))(((\sol(x+7) \sağ))^(5)))\ge 0\]
Qərar. Gəlin bunu alternativ bir şəkildə həll etməyə çalışaq - xüsusidən məhsula keçidlə:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \sağ)\cdot ( (\left(x+7 \sağ))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \sağ))^(5))\ne 0. \\ \end(düzləşdirin) )\sağ.\]
Birinci bərabərsizliyi interval metodundan istifadə edərək həll edirik:
\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left() x+7 \sağ))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Sağ ox x=0\sol(2k \sağ); \\ & ((\sol(6-x \sağ))^(3))=0\Sağ ox x=6\sol(3k \sağ); \\ & x+4=0\Sağ ox x=-4; \\ & ((\sol(x+7 \sağ))^(5))=0\Sağ ox x=-7\sol(5k \sağ). \\ \end(hizalayın)\]
Əlavə olaraq ikinci bərabərsizliyi həll edirik. Əslində, biz bunu artıq həll etmişik, lakin rəyçilərin həlldə səhv tapmaması üçün yenidən həll etmək daha yaxşıdır:
\[((\sol(x+7 \sağ))^(5))\ne 0\Sağ ox x\ne -7\]
Qeyd edək ki, sonuncu bərabərsizlikdə çoxluq yoxdur. Həqiqətən: ədəd xəttində $x=-7$ nöqtəsini neçə dəfə kəsməyin nə fərqi var? Ən azı bir dəfə, ən azı beş dəfə - nəticə eyni olacaq: deşilmiş nöqtə.
Nömrə xəttində əldə etdiyimiz hər şeyi qeyd edək:
Dediyim kimi, $x=-7$ nöqtəsi sonda silinəcək. Çoxluqlar bərabərsizliyin interval üsulu ilə həllinə əsasən düzülür.
İşarələri yerləşdirmək qalır:
$x=0$ nöqtəsi cüt çoxluğun kökü olduğundan, oradan keçəndə işarə dəyişmir. Qalan xalların qəribə çoxluğu var və onlarla hər şey sadədir.
Cavab verin. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$
Yenidən $x=0$-a diqqət yetirin. Bərabər çoxluq səbəbindən maraqlı bir effekt yaranır: onun solunda olan hər şey, sağda - həm də rənglənir və nöqtənin özü tamamilə rənglənir.
Nəticə etibarilə, cavab yazarkən onu təcrid etmək lazım deyil. Bunlar. $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ kimi bir şey yazmağa ehtiyac yoxdur (baxmayaraq ki, formal olaraq belə bir cavab da düzgün olardı). Bunun əvəzinə dərhal \left[ -4;6 \right]$-a $x\ yazırıq.
Bu cür təsirlər yalnız bərabər çoxluğun kökləri üçün mümkündür. Və növbəti tapşırıqda biz bu təsirin əks “təzahürü” ilə qarşılaşacağıq. Hazırsan?
Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:
\[\frac(((\left(x-3 \sağ))^(4))\left(x-4 \sağ))(((\left(x-1 \sağ))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \sağ))\ge 0\]
Qərar. Bu dəfə biz standart sxemə əməl edəcəyik. Numeratoru sıfıra qoyun:
\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\sol(x-3 \sağ))^(4))=0\Sağ ox ((x)_(1))=3\sol(4k \sağ); \\ & x-4=0\Sağ ox ((x)_(2))=4. \\ \end(hizalayın)\]
Və məxrəc:
\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \sağ)=0; \\ & ((\sol(x-1 \sağ))^(2))=0\Sağ ox x_(1)^(*)=1\sol(2k \sağ); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Sağ ox x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(hizalayın)\]
Biz $f\left(x \right)\ge 0$ formasının qeyri-ciddi bərabərsizliyini həll etdiyimiz üçün məxrəcdən (ulduz işarəsi olan) köklər kəsiləcək, saydan olanlar isə rənglənəcək. .
İşarələri düzəldirik və "artı" ilə qeyd olunan sahələri vururuq:
$x=3$ nöqtəsi təcrid olunub. Bu cavabın bir hissəsidir Yekun cavabı yazmazdan əvvəl şəklə diqqətlə baxın:
- $x=1$ nöqtəsi bərabər çoxluğa malikdir, lakin özü dəliklidir. Buna görə də cavabda onu təcrid etməli olacaqsınız: $x\in deyil, \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$-a $x\ yazmalısınız. \left(-\ infty ;2\right)$.
- $x=3$ nöqtəsi də bərabər çoxluğa malikdir və kölgəlidir. İşarələrin düzülüşü, nöqtənin özünün bizə uyğun olduğunu, ancaq sola və sağa bir addım olduğunu göstərir - və özümüzü qətiliklə bizə uyğun olmayan bir sahədə tapırıq. Belə nöqtələr təcrid olunmuş adlanır və $x\in \left\( 3 \right\)$ kimi yazılır.
Alınan bütün parçaları ümumi dəstdə birləşdiririk və cavabı yazırıq.
Cavab: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $
Tərif. Bərabərsizliyin həlli deməkdir onun bütün həllər çoxluğunu tapın, ya da bu çoxluğun boş olduğunu sübut edin.
Belə görünür: burada anlaşılmaz nə ola bilər? Bəli, məsələ ondadır ki, dəstlər müxtəlif yollarla dəqiqləşdirilə bilər. Sonuncu məsələnin cavabını yenidən yazaq:
Yazılanları sözün əsl mənasında oxuyuruq. Dəyişən "x" müəyyən çoxluğa aiddir, onu dörd ayrı çoxluğun birləşməsindən ("U" simvolu) əldə edir:
- $\left(-\infty ;1 \right)$ intervalı, hərfi mənada "birdən kiçik bütün ədədlər, lakin bir özü deyil" mənasını verir;
- Aralıq $\left(1;2 \right)$, yəni. "1 və 2 arasında olan bütün rəqəmlər, lakin 1 və 2 rəqəmlərinin özləri deyil";
- Tək ədəddən ibarət olan $\left\( 3 \right\)$ dəsti - üç;
- $\left[ 4;5 \right)$ intervalı 4-dən 5-ə qədər olan bütün rəqəmləri, üstəgəl 4-ü ehtiva edir, lakin 5-i deyil.
Üçüncü məqam burada maraq doğurur. Sonsuz ədədlər çoxluğunu müəyyən edən və yalnız bu çoxluqların sərhədlərini ifadə edən intervallardan fərqli olaraq, $\left\( 3 \right\)$ çoxluğu sadalama ilə tam olaraq bir ədəd müəyyən edir.
Dəstə daxil olan xüsusi nömrələri sadaladığımızı başa düşmək üçün (və sərhədləri və ya başqa bir şeyi təyin etmədən) əyri mötərizələrdən istifadə olunur. Məsələn, $\left\( 1;2 \right\)$ qeydi tam olaraq "iki ədəddən ibarət çoxluq: 1 və 2" deməkdir, lakin 1-dən 2-yə qədər olan seqment deyil. Heç bir halda bu anlayışları qarışdırmayın. .
Çoxluq toplama qaydası
Yaxşı, bugünkü dərsin sonunda Pavel Berdovdan bir az qalay. :)
Diqqətli tələbələr yəqin ki, artıq özlərinə sual veriblər: ədəd və məxrəcdə eyni köklər tapılarsa, nə baş verəcək? Beləliklə, aşağıdakı qayda işləyir:
Eyni köklərin çoxluğu əlavə olunur. Həmişə. Bu kök həm payda, həm də məxrəcdə baş versə belə.
Bəzən danışmaqdansa qərar vermək daha yaxşıdır. Beləliklə, aşağıdakı problemi həll edirik:
Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:
\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \sağ)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \sağ))\ge 0\]
\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(hizalayın)\]
İndiyə qədər xüsusi bir şey yoxdur. Məxrəci sıfıra təyin edin:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \sağ)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Sağ ox x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Sağ ox x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(hizalayın)\]
İki eyni kök tapılır: $((x)_(1))=-2$ və $x_(4)^(*)=-2$. Hər ikisinin birinci çoxluğu var. Buna görə də biz onları bir köklə əvəz edirik $x_(4)^(*)=-2$, lakin 1+1=2 çoxluğu ilə.
Bundan əlavə, eyni köklər də var: $((x)_(2))=-4$ və $x_(2)^(*)=-4$. Onlar da birinci çoxluqdandırlar, ona görə də 1+1=2 çoxluğundan yalnız $x_(2)^(*)=-4$ qalır.
Diqqət yetirin: hər iki halda biz tam olaraq "kəsilmiş" kökü buraxdıq və "rənglənmiş" olanı nəzərdən keçirdik. Çünki dərsin əvvəlində belə razılaşdıq: əgər nöqtə eyni anda yumruqla çıxarılırsa və üzəri rənglənirsə, biz yenə də onu vurulmuş hesab edirik.
Nəticədə dörd kökümüz var və hamısının oyulmuş olduğu ortaya çıxdı:
\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\sol(2k \sağ); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\sol(2k \sağ). \\ \end(hizalayın)\]
Çoxluğu nəzərə alaraq onları nömrə xəttində qeyd edirik:
İşarələri yerləşdiririk və bizi maraqlandıran yerləri rəngləyirik:
Hər şey. Təcrid olunmuş nöqtələr və digər təhriflər yoxdur. Cavabı yaza bilərsiniz.
Cavab verin. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.
vurma qaydası
Bəzən daha da xoşagəlməz bir vəziyyət yaranır: bir neçə kökə malik olan tənliyin özü müəyyən bir gücə qaldırılır. Bu, bütün orijinal köklərin çoxluğunu dəyişir.
Bu nadir haldır, ona görə də əksər tələbələrin bu cür problemləri həll etmək təcrübəsi yoxdur. Və burada qayda belədir:
Tənlik $n$ gücünə qaldırıldıqda onun bütün köklərinin çoxluğu da $n$ faktoru ilə artır.
Başqa sözlə desək, bir gücə yüksəltmək çoxluqların eyni gücə çarpması ilə nəticələnir. Nümunə olaraq bu qaydanı götürək:
Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:
\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \sağ))^(2))((\left(x-4 \sağ))^(5)) )(((\left(2-x \sağ))^(3))((\left(x-1 \sağ))^(2)))\le 0\]
Qərar. Numeratoru sıfıra qoyun:
Faktorlardan ən azı biri sıfıra bərabər olduqda məhsul sıfıra bərabərdir. Birinci çarpanla hər şey aydındır: $x=0$. Və burada problemlər başlayır:
\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \sağ))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\sol(2k \sağ); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \sağ)\left(2k \sağ) \ \ & ((x)_(2))=3\sol(4k \sağ) \\ \end(align)\]
Gördüyünüz kimi, $((x)^(2))-6x+9=0$ tənliyinin ikinci çoxluğun unikal kökü var: $x=3$. Sonra bütün tənlik kvadratlaşdırılır. Buna görə də kökün çoxluğu $2\cdot 2=4$ olacaq ki, biz bunu nəhayət yazdıq.
\[((\sol(x-4 \sağ))^(5))=0\Sağ ox x=4\sol(5k \sağ)\]
Məxrəcdə də problem yoxdur:
\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\sol(2-x \sağ))^(3))=0\Sağ ox x_(1)^(*)=2\left(3k \sağ); \\ & ((\sol(x-1 \sağ))^(2))=0\Sağ ox x_(2)^(*)=1\sol(2k \sağ). \\ \end(hizalayın)\]
Ümumilikdə beş xal qazandıq: ikisi yumruqla vuruldu, üçü dolduruldu. Numeratorda və məxrəcdə üst-üstə düşən köklər yoxdur, ona görə də biz onları sadəcə rəqəm xəttində qeyd edirik:
Çoxluqları nəzərə alaraq işarələri düzəldirik və bizi maraqlandıran intervalları rəngləyirik:
Yenə bir təcrid olunmuş nöqtə və bir deşilmiş nöqtə Çoxsaylılığın kökünə görə yenidən bir neçə “qeyri-standart” element aldıq. Bu, $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, $x\in \left[ 0;2 \right)$ deyil, həmçinin təcrid olunmuş $ nöqtəsidir. x\in \sol\( 3 \sağ\)$.
Cavab verin. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$
Gördüyünüz kimi, hər şey o qədər də çətin deyil. Əsas odur ki, diqqətli olsun. Bu dərsin son bölməsi transformasiyalara həsr edilmişdir - ən əvvəldə müzakirə etdiyimiz şeylər.
Əvvəlcədən çevrilmələr
Bu bölmədə müzakirə edəcəyimiz bərabərsizliklər mürəkkəb deyil. Bununla belə, əvvəlki tapşırıqlardan fərqli olaraq, burada rasional kəsrlər nəzəriyyəsindən bacarıqları tətbiq etməli olacaqsınız - faktorlara ayırma və ortaq məxrəcə endirmə.
Biz bugünkü dərsin əvvəlində bu məsələni ətraflı müzakirə etdik. Əgər bunun nədən ibarət olduğunu başa düşdüyünüzə əmin deyilsinizsə, geri dönüb təkrar etməyinizi şiddətlə tövsiyə edirəm. Çünki fraksiyaların çevrilməsində “üzərsinizsə” bərabərsizliklərin həlli üsullarını sıxışdırmağın mənası yoxdur.
Ev tapşırıqlarında, yeri gəlmişkən, oxşar tapşırıqlar da çox olacaq. Onlar ayrı bir alt bölmədə yerləşdirilir. Və orada çox qeyri-trivial nümunələr tapa bilərsiniz. Ancaq bu ev tapşırığında olacaq, amma indi bir neçə belə bərabərsizliyi təhlil edək.
Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:
\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]
Qərar. Hər şeyi sola köçürmək:
\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]
Ortaq məxrəcə endiririk, mötərizələri açırıq, saydakı oxşar şərtləri veririk:
\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ sağa))(x\cdot \left(x-1 \sağ))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \sağ))(x\left(x-1 \sağ)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \sağ))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \sağ))\le 0. \\\end(align)\]
İndi bizim klassik kəsr rasional bərabərsizliyimiz var, onun həlli artıq çətin deyil. Mən bunu alternativ üsulla - intervallar üsulu ilə həll etməyi təklif edirəm:
\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(hizalayın)\]
Məxrəcdən gələn məhdudiyyəti unutma:
Nömrə xəttində bütün nömrələri və məhdudiyyətləri qeyd edirik:
Bütün köklərin birinci çoxluğu var. Problem deyil. Biz sadəcə işarələri yerləşdiririk və ehtiyac duyduğumuz sahələri rəngləyirik:
Hamısı var. Cavabı yaza bilərsiniz.
Cavab verin. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.
Təbii ki, bu çox sadə bir nümunə idi. Beləliklə, indi problemə daha yaxından nəzər salaq. Yeri gəlmişkən, bu tapşırığın səviyyəsi 8-ci sinifdə bu mövzuda müstəqil və nəzarət işi ilə kifayət qədər uyğundur.
Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:
\[\frac(1)((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]
Qərar. Hər şeyi sola köçürmək:
\[\frac(1)((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]
Hər iki kəsri ortaq məxrəcə gətirməzdən əvvəl bu məxrəcləri amillərə ayırırıq. Birdən eyni mötərizələr çıxacaq? Birinci məxrəclə bu asandır:
\[((x)^(2))+8x-9=\sol(x-1 \sağ)\sol(x+9 \sağ)\]
İkincisi bir az daha çətindir. Kəsrin tapıldığı mötərizəyə sabit çarpan əlavə etməkdən çekinmeyin. Unutmayın: orijinal çoxhədlinin tam əmsalları var idi, buna görə də faktorizasiyanın da tam əmsallara sahib olması ehtimalı yüksəkdir (əslində, diskriminantın irrasional olduğu hallar istisna olmaqla, həmişə olacaq).
\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \sağ)= \\ & =\sol(x-1 \sağ)\sol(3x-2 \sağ) \son(align)\]
Gördüyünüz kimi, ümumi mötərizə var: $\left(x-1 \right)$. Bərabərsizliyə qayıdırıq və hər iki kəsri ortaq məxrəcə gətiririk:
\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \sağ)\left(x+9 \sağ))-\frac(1)(\sol(x-1 \sağ)\ sol(3x-2\sağ))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \sağ)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \sağ))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \sağ)\left(x+9 \sağ)\left(3x-2 \sağ))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \sağ)\left(x+9 \sağ)\left(3x-2 \sağ))\ge 0; \\ \end(hizalayın)\]
Məxrəci sıfıra təyin edin:
\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( hizalayın)\]
Çoxluqlar və üst-üstə düşən köklər yoxdur. Düz bir xətt üzərində dörd rəqəmi qeyd edirik:
İşarələri yerləşdiririk:
Cavabı yazırıq.
Cavab: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ sağ) $.
