Какво се нарича нули на функция? Правило за нули на функцията

Стойности на аргумента z при което f(z) отива на нула, наречена. нулева точка, т.е. Ако f(а) = 0, тогава a - нулева точка.

Деф.Точка АНаречен нулев редн , Ако FKP може да бъде представен във формата f(z) = , където
аналитична функция и
0.

В този случай, в серията на Тейлър разширение на функцията (43), първата н коефициентите са нула

= =

и т.н. Определете реда на нула за
и (1 – cos z) при z = 0

=
=

нула 1-ви ред

1 – cos z =
=

нула 2-ри ред

Деф.Точка z =
Наречен точка в безкрайносттаИ нулафункции f(z), Ако f(
) = 0. Такава функция може да бъде разширена в редица по отрицателни степени z : f(z) =
. Ако първи н коефициентите са равни на нула, тогава стигаме до нулев ред н в точка в безкрайността: f(z) = z - н
.

Изолираните особени точки се делят на: а) подвижни особени точки; б) полюси на редан; V) по същество особени точки.

Точка АНаречен подвижна особена точкафункции f(z) ако при z
а лим f(z) = с -крайно число .

Точка АНаречен полюс на редан (н 1) функции f(z), ако обратната функция
= 1/ f(z) има нулев ред нв точката А.Такава функция винаги може да бъде представена като f(z) =
, Където
- аналитична функция и
.

Точка АНаречен по същество специална точкафункции f(z), ако при z
а лим f(z) не съществува.

Серия Лоран

Нека разгледаме случая на област на пръстеновидна конвергенция r < | z 0 – а| < Рцентриран в точка Аза функция f(z). Нека представим два нови кръга Л 1 (r) И Л 2 (Р) близо до границите на пръстена с точка z 0 между тях. Нека направим разрез на пръстена, свържете кръговете по ръбовете на разреза, преминете към просто свързана област и в

Интегрална формула на Коши (39) получаваме два интеграла по променливата z

f(z 0) =
+
, (42)

където интеграцията върви в противоположни посоки.

За интеграла над Л 1 условие е изпълнено | z 0 – а | > | z – а |, и за интеграла върху Л 2 обратно условие | z 0 – а | < | z – а |. Следователно факторът 1/( z – z 0) разгънете в серия (a) в интеграла върху Л 2 и в серия (b) в интеграла върху Л 1. В резултат на това получаваме разширението f(z) в областта на пръстена в Серия Лоранпо положителни и отрицателни степени ( z 0 – а)

f(z 0) =
А н (z 0 -а) н (43)

Където А н =
=
;А -н =

Разширение в положителни сили (z 0 - А) Наречен дясната частРедица на Лоран (серия на Тейлър) и се нарича разлагане в отрицателни степени. Главна частСерия Лоран.

Ако е вътре в кръга Л 1 няма особени точки и функцията е аналитична, то в (44) първият интеграл е равен на нула по теоремата на Коши и остава само правилната част в разложението на функцията. Отрицателните сили в разширението (45) се появяват само когато аналитичността е нарушена във вътрешния кръг и служат за описание на функцията близо до изолирани сингулярни точки.

Да се ​​конструира серията на Лоран (45) за f(z) можете да изчислите коефициентите на разширение, като използвате обща формула или да използвате разширения на елементарни функции, включени в f(z).

Брой термини ( н) на основната част от серията на Лоран зависи от вида на особената точка: подвижна особена точка (н = 0) ; по същество сингулярна точка (н
); полюсн- уау поръчка(н - крайно число).

и за f(z) = точка z = 0 подвижна особена точка,защото няма основна част. f(z) = (z -
) = 1 -

б) За f(z) = точка z = 0 - стълб от 1-ви ред

f(z) = (z -
) = -

в) За f(z) = д 1 / zточка z = 0 - по същество сингулярна точка

f(z) = д 1 / z =

Ако f(z) е аналитичен в домейна дс изключение на мизолирани сингулярни точки и | z 1 | < |z 2 | < . . . < |z м| , тогава при разширяване на функцията в правомощия zцялата равнина е разделена на м+ 1 пръстен | z аз | < | z | < | z аз+ 1 | а серията Laurent има различен външен вид за всеки пръстен. При разширяване на правомощията ( z – z аз ) областта на сходимост на редицата на Лоран е окръжността | z – z аз | < r, Където r – разстояние до най-близката отделна точка.

и т.н. Нека разширим функцията f(z) =в серията Laurent в правомощията zИ ( z - 1).

Решение. Нека представим функцията във формата f(z) = - z 2 . Използваме формулата за сумата от геометрична прогресия
. В кръга |z|< 1 ряд сходится и f(z) = - z 2 (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + . . .) = - z 2 - z 3 - z 4 - . . . , т.е. разлагането съдържа само правилноЧаст. Нека се преместим във външната област на окръжността |z| > 1. Нека представим функцията във формата
, където 1/| z| < 1, и получим разложение f(z) = z
=z + 1 +

защото , разширяване на функция по степени ( z - 1) има формата f(z) = (z - 1) -1 + 2 + (z - 1) за всички
1.

и т.н. Разширете функцията в серия на Лоран f(z) =
: а) по степени zв кръг | z| < 1; b) по степеням z пръстен 1< |z| < 3 ; c) по степеням (z – 2).Разтвор. Нека разложим функцията на прости дроби
= =+=
. От условията z =1
А = -1/2 , z =3
б = ½.

а) f(z) = ½ [
] = ½ [
-(1/3)
], с | z|< 1.

б) f(z) = - ½ [
+
] = - (
), на 1< |z| < 3.

с) f(z) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, с |2 - z| < 1

Това е кръг с радиус 1 с център z = 2 .

В някои случаи степенните редове могат да бъдат сведени до набор от геометрични прогресии и след това е лесно да се определи областта на тяхната конвергенция.

и т.н. Изследвайте сходимостта на редицата

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

Решение. Това е сумата от две геометрични прогресии с р 1 = , р 2 = () . От условията на тяхната конвергенция следва < 1 , < 1 или |z| > 1 , |z| < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z| < 2 .

Функционални нулиса стойностите на аргумента, при които функцията е равна на нула.

За да намерите нулите на функцията, дадена с формулата y=f(x), трябва да решите уравнението f(x)=0.

Ако уравнението няма корени, функцията няма нули.

Примери.

1) Намерете нулите на линейната функция y=3x+15.

За да намерите нулите на функцията, решете уравнението 3x+15=0.

Така нулата на функцията y=3x+15 е x= -5.

Отговор: x= -5.

2) Намерете нулите на квадратичната функция f(x)=x²-7x+12.

За да намерите нулите на функцията, решете квадратното уравнение

Нейните корени x1=3 и x2=4 са нули на тази функция.

Отговор: x=3; х=4.

Инструкции

1. Нулата на функция е стойността на аргумента x, при която стойността на функцията е равна на нула. Обаче само тези аргументи, които са в обхвата на дефиницията на изследваната функция, могат да бъдат нули. Тоест има много стойности, за които функцията f(x) е полезна. 2. Запишете дадената функция и я приравнете на нула, да кажем f(x) = 2x?+5x+2 = 0. Решете полученото уравнение и намерете реалните му корени. Корените на квадратно уравнение се изчисляват с подкрепа за намиране на дискриминанта. 2x?+5x+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;x1 = (-b+?D)/2*a = (-5+3)/2*2 = -0,5;x2 = (-b-?D)/2*a = (-5-3)/2*2 = -2 Така в този случай се получават два корена на квадратното уравнение, съответстващи на аргументи на началната функция f(x). 3. Проверете всички открити x стойности за принадлежност към домейна на дефиниране на дадената функция. Разберете OOF, за да направите това, проверете първоначалния израз за наличие на четни корени от формата?f (x), за наличие на дроби във функцията с аргумент в знаменателя, за наличие на логаритмични или тригонометрични изрази. 4. Когато разглеждате функция с израз под корен от четна степен, вземете като област на дефиниция всички аргументи x, чиито стойности не превръщат радикалния израз в отрицателно число (напротив, функцията прави няма смисъл). Проверете дали откритите нули на функцията попадат в определен диапазон от приемливи x стойности. 5. Знаменателят на дробта не може да стигне до нула; следователно изключете онези аргументи x, които водят до такъв резултат. За логаритмични количества трябва да се вземат предвид само тези стойности на аргумента, за които самият израз е по-голям от нула. Нулите на функцията, които превръщат сублогаритмичния израз в нула или отрицателно число, трябва да бъдат изхвърлени от крайния резултат. Забележка!При намиране на корените на уравнение може да се появят допълнителни корени. Това е лесно да се провери: просто заменете получената стойност на аргумента във функцията и се уверете дали функцията се превръща в нула. Полезен съветПонякога функцията не е изразена по очевиден начин чрез нейния аргумент, тогава е лесно да разберете каква е тази функция. Пример за това е уравнението на кръг.

Функционални нулиИзвиква се стойността на абсцисата, при която стойността на функцията е равна на нула.

Ако функцията е дадена чрез нейното уравнение, тогава нулите на функцията ще бъдат решенията на уравнението. Ако е дадена графика на функция, тогава нулите на функцията са стойностите, при които графиката пресича оста x.

Съдържание:

Нулата на функция е стойността на x, при която стойността на функцията е нула. Обикновено намирането на нулите на функция се извършва чрез решаване на полиномно уравнение, като x 2 + 4x +3 = 0. Ето няколко начина за намиране на нулите на функция.

стъпки

1 Разлагане на множители

1. 1 Напишете уравнението така, че да изглежда нещо като x 2 + 5x + 4.Започнете с член от по-висок порядък (като x 2) и след това преминете към свободен член (константа без променлива; число). Приравнете получения израз на 0.
   • Полиноми (уравнения), написани правилно:
     • x 2 + 5x + 6 = 0
     • x 2 - 2x - 3 = 0
   • Полиноми (уравнения), написани неправилно:
     • 5x + 6 = -x 2
     • x 2 = 2x + 3
2. 2 а", "b", "° С". Това ще опрости проблема с факторизацията. Напишете уравнението в този формат: а x 2 ± b x ± c = 0. Сега намерете а, b, ° Сот даденото ви уравнение. Ето няколко примера:
   • x 2 + 5x + 6 = 0
     • а
     • b = 5
     • ° С = 6
   • x 2 - 2x - 3 = 0
     • а= 1 (няма коефициент преди „x“, така че коефициент = 1)
     • b = -2
     • ° С = -3
3. 3 Запишете всички двойки коефициенти " с". Двойка множители на дадено число са две числа, които, когато се умножат, дават това число. Обърнете специално внимание на отрицателните числа. Две отрицателни числа, когато се умножат, дават положително число. Редът на умножението няма значение ("1 x 4" е същото като "4 x 1").
   • Уравнение: x 2 + 5x + 6 = 0
   • Множител двойки 6, или ° С:
     • 1 х 6 = 6
     • -1 х -6 = 6
     • 2 х 3 = 6
     • -2 х -3 = 6
4. 4 Намерете двойка фактори, чиято сума е " b" . Вижте смисъла bи намерете коя от двойките, когато се сумират, ще даде това число.
   • b = 5
   • Двойка множители, чиято сума е 5, е 2 и 3
     • 2 + 3 = 5
5. 5 От тази двойка множители направете 2 бинома и ги комбинирайте в бином.Биномът е произведение на биноми от вида (x ± число)(x ± число). Как да разберете кой знак (плюс или минус) да изберете? Просто погледнете знака на числата от двойка фактори: положително число е знак плюс, отрицателно число е знак минус. Ето няколко фактора, с които направихме бинома:
   • (x + 2)(x + 3) = 0
6. 6 Решете всеки бином, като преместите неизвестното от другата страна на уравнението.Приравнете всеки бином на 0: (x + 2) = 0 и (x + 3) = 0 и след това решете уравнението:
   • (x + 2) = 0; х = -2
   • (x + 3) = 0; х = -3
7. 7 Това са нулите на функцията.

2 Решаване на квадратно уравнение

1. 1 Квадратното уравнение изглежда така:
2. 2 Означете коефициентите във вашето уравнение с " а", "b", "° С". Това ще опрости проблема с решаването на уравнението. Напишете уравнението в този формат: а x 2 ± b x ± c = 0.
3. 3 Сега намери а, b, ° Сот даденото ви уравнение.
4. 4 Решете уравнението.За да решите квадратно уравнение, трябва да знаете формулата за решаване на такова уравнение. Всичко останало е само заместване и пресмятане.
   • Друг вариант за решаване на квадратно уравнение е перфектният квадрат. Някои хора смятат този метод за по-прост от решаването по формула.
5. 5 Резултатът от решаването на квадратно уравнение с помощта на формулата ще бъдат „нулите“ на функцията, която търсите.Формулата дава отговора под формата на две числа, които са решението (нули) на тази функция.

3 Графика на квадратно уравнение

1. 1 Графика на функцията.Функцията се записва като x 2 + 8x + 12 = 0.
2. 2 Намерете х-пресечните.Тези две точки ще бъдат нулите на функцията.
3. 3 Използвайте графиката като начин за проверка, а не като начин за решаване на уравнение.Ако планирате да покажете нулите на функция, използвайте това, за да проверите отново резултатите си.

• Можете да проверите изчисленията си, като замените намерените решения в първоначалното уравнение. Ако уравнението е равно на нула, тогава решенията са правилни.

Математическото представяне на функция ясно показва как една величина напълно определя стойността на друга величина. Традиционно се считат числови функции, които присвояват едно число на друго. Нулата на функция обикновено е стойността на аргумента, при който функцията става нула.

Инструкции

1. За да откриете нулите на функция, трябва да приравните дясната й страна на нула и да решите полученото уравнение. Нека си представим, че ви е дадена функция f(x)=x-5.

2. За да намерим нулите на тази функция, нека вземем и приравним дясната й страна на нула: x-5=0.

3. След като решим това уравнение, намираме, че x=5 и тази стойност на аргумента ще бъде нулата на функцията. Тоест, когато стойността на аргумента е 5, функцията f(x) става нула.

Под гледката функциив математиката разбираме връзката между елементите на множествата. Казано по-правилно, това е „закон“, според който целият елемент от едно множество (наречен домейн на дефиниция) се свързва с определен елемент от друг набор (наречен домейн на стойностите).

Ще имаш нужда

• Познания по алгебра и математически преглед.

Инструкции

1. Стойности функцииТова е определена област, от която дадена функция може да приема стойности. Да кажем диапазона от стойности функции f(x)=|x| от 0 до безкрайност. За да откриете значение функциив определен момент трябва да замените аргумента функциинеговият цифров еквивалент, полученото число ще бъде значением функции. Нека функцията f(x)=|x| – 10 + 4x. Нека разберем значение функциив точка х=-2. Нека заместим x с числото -2: f(-2)=|-2| – 10 + 4*(-2) = 2 – 10 – 8 = -16. Това е значение функциив точка -2 е равно на -16.

Забележка!
Преди да потърсите стойността на функция в точка, уверете се, че тя е в домейна на функцията.

Полезен съвет
Подобен метод позволява да се открие значението на функцията на няколко аргумента. Разликата е, че вместо едно число ще трябва да замените няколко - според броя на аргументите на функцията.

Функцията представлява установената връзка между променливата y и променливата x. Освен това всички стойности на x, наречени аргумент, съответстват на изключителната стойност на y - функцията. В графичен вид функцията се изобразява върху декартова координатна система под формата на графика. Пресечните точки на графиката с абсцисната ос, върху които се нанасят аргументите x, се наричат ​​нули на функцията. Намирането на приемливи нули е една от задачите за намиране на дадена функция. В този случай се вземат предвид всички допустими стойности на независимата променлива x, които формират областта на дефиниране на функцията (DOF).

Инструкции

1. Нулата на функция е стойността на аргумента x, при която стойността на функцията е равна на нула. Обаче само онези аргументи, които са в обхвата на дефиницията на изследваната функция, могат да бъдат нули. Тоест има много стойности, за които функцията f(x) е полезна.

2. Запишете дадената функция и я приравнете на нула, да кажем f(x) = 2x?+5x+2 = 0. Решете полученото уравнение и намерете реалните му корени. Корените на квадратно уравнение се изчисляват с подкрепа за намиране на дискриминанта. 2x?+5x+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;x1 = (-b+?D)/2*a = (-5+3)/2*2 = -0,5;x2 = (-b-?D)/2*a = (-5-3)/2*2 = -2 Така в този случай се получават два корена на квадратното уравнение, съответстващи на аргументи на началната функция f(x).

3. Проверете всички открити x стойности за принадлежност към домейна на дефиниране на дадената функция. Разберете OOF, за да направите това, проверете първоначалния израз за наличие на четни корени от формата?f (x), за наличие на дроби във функцията с аргумент в знаменателя, за наличие на логаритмични или тригонометрични изрази.

4. Когато разглеждате функция с израз под корен от четна степен, вземете като област на дефиниция всички аргументи x, чиито стойности не превръщат радикалния израз в отрицателно число (напротив, функцията прави няма смисъл). Проверете дали откритите нули на функцията попадат в определен диапазон от приемливи x стойности.

5. Знаменателят на дробта не може да стигне до нула; следователно изключете онези аргументи x, които водят до такъв резултат. За логаритмични количества трябва да се вземат предвид само тези стойности на аргумента, за които самият израз е по-голям от нула. Нулите на функцията, които превръщат сублогаритмичния израз в нула или отрицателно число, трябва да бъдат изхвърлени от крайния резултат.

Забележка!
При намиране на корените на уравнение може да се появят допълнителни корени. Това е лесно да се провери: просто заменете получената стойност на аргумента във функцията и се уверете дали функцията се превръща в нула.

Полезен съвет
Понякога функцията не е изразена по очевиден начин чрез нейния аргумент, тогава е лесно да разберете каква е тази функция. Пример за това е уравнението на кръг.

В който приема стойност нула. Например за функция, дадена от формулата

Е нула, защото

Нулите на функция също се наричат корени на функцията.

Концепцията за нули на функция може да се разглежда за всякакви функции, чийто диапазон от стойности съдържа нула или нулевия елемент на съответната алгебрична структура.

За функция на реална променлива нулите са стойностите, при които графиката на функцията пресича оста x.

Намирането на нулите на функция често изисква използването на числени методи (например метод на Нютон, градиентни методи).

Един от нерешените математически проблеми е намирането на нулите на дзета функцията на Риман.

Корен на полином

Вижте също

Литература

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е „Функция нула“ в други речници:

Точката, в която дадена функция f(z) изчезва; по този начин, N. f. f (z) е същото като корените на уравнението f (z) = 0. Например точките 0, π, π, 2π, 2π,... са нули на функцията sinz. Нули на аналитична функция (Вижте Аналитични... ...

Нулева функция, нулева функция... Правописен речник-справочник

Този термин има други значения, вижте Нула. Съдържанието на тази статия трябва да бъде преместено в статията „Нулева функция“. Можете да помогнете на проекта, като комбинирате статии. Ако е необходимо да се обсъди осъществимостта на сливането, заменете това ... Wikipedia

Или C string (от името на езика C) или ASCIZ string (от името на директивата на асемблера.asciz) метод за представяне на низове в езиците за програмиране, в който вместо въвеждане на специален тип низ, масив от знаци се използва, а в края ... ... Wikipedia

В квантовата теория на полето приетото (на жаргон) наименование за свойството за изчезване на коефициента на пренормиране на константата на свързване е където g0 е константата на голото свързване от лагранжиана на взаимодействието, физически. константа на свързване, облечена като взаимодействие. Равенство Z... Физическа енциклопедия

Нулева мутация n-алел- Нулева мутация, n. алел * нулева мутация, n. алел * нулева мутация или n. алелен или тих а. мутация, водеща до пълна загуба на функция в ДНК последователността, в която се е появила... Генетика. енциклопедичен речник

Твърдението в теорията на вероятностите, че всяко събитие (така нареченото остатъчно събитие), появата на което се определя само от произволно отдалечени елементи на поредица от независими случайни събития или случайни променливи, има... ... Математическа енциклопедия

1) Число, което има свойството, че всяко (реално или комплексно) число не се променя, когато се добави към него. Означава се със символа 0. Произведението на всяко число от N. е равно на N.: Ако произведението на две числа е равно на N., тогава един от факторите ... Математическа енциклопедия

Функции, дефинирани от връзки между независими променливи, които не са разрешени спрямо последните; тези отношения са един от начините за специфициране на функция. Например връзката x2 + y2 1 = 0 определя N.f. ... Велика съветска енциклопедия

Множеството от онези и само онези точки, в които в нито една околност на обобщената функция не се изтрива Обобщената функция на изчезва в отвореното множество ако за всички. Използвайки разширението на единица, се показва, че ако една обобщена функция ... Математическа енциклопедия