Video lektion 2: Pyramide udfordring. Pyramidevolumen

Video lektion 3: Pyramide udfordring. Korrekt pyramide

Foredrag: Pyramiden, dens base, laterale kanter, højde, lateral overflade; trekantet pyramide; højre pyramide

Pyramide- Dette er en tredimensionel krop, der har en polygon i bunden, og alle dens flader består af trekanter.

Et særligt tilfælde af en pyramide er en kegle, i bunden af ​​hvilken der ligger en cirkel.

Overvej hovedelementerne i pyramiden:

Apotem er et segment, der forbinder toppen af ​​pyramiden med midten af ​​den nederste kant af sidefladen. Med andre ord er dette højden af ​​pyramidens ansigt.

På figuren kan du se trekanter ADS, ABS, BCS, CDS. Hvis man ser nærmere på navnene, kan man se, at hver trekant har ét fælles bogstav i sit navn – S. Det vil sige, at det betyder, at alle sideflader (trekanter) konvergerer i ét punkt, som kaldes toppen af ​​pyramiden.

Segmentet OS, som forbinder toppunktet med skæringspunktet for basens diagonaler (i tilfælde af trekanter, i skæringspunktet mellem højderne), kaldes pyramide højde.

Et diagonalt snit er et plan, der passerer gennem toppen af ​​pyramiden, såvel som en af ​​basens diagonaler.

Da den laterale overflade af pyramiden består af trekanter, for at finde det samlede areal af den laterale overflade, er det nødvendigt at finde områderne af hver flade og tilføje dem. Antallet og formen af ​​ansigterne afhænger af formen og størrelsen af ​​siderne af polygonen, der ligger ved bunden.

Det eneste plan i en pyramide, der ikke har et toppunkt kaldes basis pyramider.

På figuren ser vi, at basen er et parallelogram, dog kan der være en hvilken som helst vilkårlig polygon.

Ejendomme:

Overvej det første tilfælde af en pyramide, hvor den har kanter af samme længde:

• En cirkel kan beskrives omkring bunden af ​​en sådan pyramide. Hvis du projicerer toppen af ​​en sådan pyramide, vil dens projektion være placeret i midten af ​​cirklen.
• Vinklerne ved bunden af ​​pyramiden er de samme for hver flade.
• Samtidig kan en tilstrækkelig betingelse for, at en cirkel kan beskrives omkring pyramidens basis, og også at alle kanter er af forskellig længde, betragtes som de samme vinkler mellem bunden og hver kant af fladerne .

Hvis du støder på en pyramide, hvor vinklerne mellem sidefladerne og basen er ens, så er følgende egenskaber sande:

• Du vil være i stand til at beskrive en cirkel omkring bunden af ​​pyramiden, hvis top er projiceret nøjagtigt til midten.
• Hvis du tegner på hver side af højden til basen, vil de være lige lange.
• For at finde det laterale overfladeareal af en sådan pyramide er det nok at finde omkredsen af ​​basen og gange den med halvdelen af ​​højden.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• Typer af pyramide.
• Afhængigt af hvilken polygon der ligger i bunden af ​​pyramiden, kan de være trekantede, firkantede osv. Hvis en regulær polygon (med lige store sider) ligger i bunden af ​​pyramiden, så vil en sådan pyramide blive kaldt regulær.

Regelmæssig trekantet pyramide

Denne videotutorial hjælper brugere med at få en idé om Pyramid-temaet. Korrekt pyramide. I denne lektion vil vi stifte bekendtskab med begrebet en pyramide, give det en definition. Overvej, hvad en almindelig pyramide er, og hvilke egenskaber den har. Så beviser vi sætningen på sidefladen af ​​en regulær pyramide.

I denne lektion vil vi stifte bekendtskab med begrebet en pyramide, give det en definition.

Overvej en polygon A 1 A 2...A n, som ligger i planet α, og et punkt P, som ikke ligger i planet α (fig. 1). Lad os forbinde prikken P med toppe A 1, A 2, A 3, … A n. Få n trekanter: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R etc.

Definition. Polyeder RA 1 A 2 ... A n, består af n-gon A 1 A 2...A n og n trekanter RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1, kaldet n- kulpyramide. Ris. en.

Ris. en

Overvej en firkantet pyramide PABCD(Fig. 2).

R- toppen af ​​pyramiden.

ABCD- bunden af ​​pyramiden.

RA- side rib.

AB- bundkant.

Fra et punkt R slip vinkelret RN på jordplanet ABCD. Den tegnede vinkelrette er pyramidens højde.

Ris. 2

Den samlede overflade af pyramiden består af den laterale overflade, det vil sige arealet af alle sideflader og basisarealet:

S fuld \u003d S side + S hoved

En pyramide kaldes korrekt, hvis:

• dens base er en regulær polygon;
• segmentet, der forbinder toppen af ​​pyramiden med midten af ​​basen, er dens højde.

Forklaring på eksemplet med en regulær firkantet pyramide

Overvej en regulær firkantet pyramide PABCD(Fig. 3).

R- toppen af ​​pyramiden. bunden af ​​pyramiden ABCD- en regulær firkant, det vil sige en firkant. Prik O, diagonalernes skæringspunkt, er midten af ​​kvadratet. Midler, RO er pyramidens højde.

Ris. 3

Forklaring: til højre n-gon, er midten af ​​den indskrevne cirkel og midten af ​​den omskrevne cirkel sammenfaldende. Dette center kaldes polygonens centrum. Nogle gange siger de, at toppen er projiceret ind i midten.

Højden af ​​sidefladen af ​​en regulær pyramide, tegnet fra dens top, kaldes apotem og betegnet h a.

1. alle sidekanter af en regulær pyramide er lige store;

2. sideflader er lige store trekanter.

Lad os bevise disse egenskaber ved at bruge eksemplet med en regulær firkantet pyramide.

Givet: RABSD- almindelig firkantet pyramide,

ABCD- firkantet,

RO er pyramidens højde.

Bevise:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Se fig. 4.

Ris. 4

Bevis.

RO er pyramidens højde. Altså lige RO vinkelret på planet ABC, og dermed direkte AO, VO, SO og GØR ligger i den. Altså trekanter ROA, ROV, ROS, ROD- rektangulær.

Overvej en firkant ABCD. Det følger af et kvadrats egenskaber, at AO = BO = CO = GØR.

Så de retvinklede trekanter ROA, ROV, ROS, ROD ben RO- generelt og ben AO, VO, SO og GØR ens, så disse trekanter er lige i to ben. Fra trekanters lighed følger ligheden af ​​segmenter, RA = PB = PC = PD. Punkt 1 er bevist.

Segmenter AB og Sol er ens, fordi de er sider af samme firkant, RA = RV = PC. Altså trekanter AVR og VCR - ligebenet og lige på tre sider.

På samme måde får vi, at trekanter ABP, BCP, CDP, DAP er ligebenede og lige, hvilket var påkrævet for at bevise i punkt 2.

Arealet af den laterale overflade af en regulær pyramide er lig med halvdelen af ​​produktet af omkredsen af ​​basen og apotemet:

Til beviset vælger vi en almindelig trekantet pyramide.

Givet: RAVS er en regulær trekantet pyramide.

AB = BC = AC.

RO- højde.

Bevise: . Se fig. 5.

Ris. 5

Bevis.

RAVS er en regulær trekantet pyramide. Det er AB= AC = BC. Lade O- midten af ​​trekanten ABC, derefter RO er pyramidens højde. Pyramidens bund er en ligesidet trekant. ABC. Læg mærke til det .

trekanter RAV, RVS, RSA- lige store ligebenede trekanter (efter egenskab). En trekantet pyramide har tre sideflader: RAV, RVS, RSA. Så arealet af pyramidens laterale overflade er:

S side = 3S RAB

Sætningen er blevet bevist.

Radius af en cirkel indskrevet i bunden af ​​en regulær firkantet pyramide er 3 m, pyramidens højde er 4 m. Find arealet af pyramidens sideflade.

Givet: regulær firkantet pyramide ABCD,

ABCD- firkantet,

r= 3 m,

RO- højden af ​​pyramiden,

RO= 4 m.

Finde: S side. Se fig. 6.

Ris. 6

Opløsning.

Ifølge den beviste sætning,.

Find siden af ​​basen først AB. Vi ved, at radius af en cirkel indskrevet i bunden af ​​en regulær firkantet pyramide er 3 m.

Så m.

Find kvadratets omkreds ABCD med en side på 6 m:

Overvej en trekant BCD. Lade M- midterste side DC. Fordi O- midten BD, derefter (m).

Trekant DPC- ligebenet. M- midten DC. Det er, RM- medianen, og dermed højden i trekanten DPC. Derefter RM- apotem af pyramiden.

RO er pyramidens højde. Så lige RO vinkelret på planet ABC, og dermed den direkte OM ligger i den. Lad os finde et apotem RM fra en retvinklet trekant Rom.

Nu kan vi finde sidefladen af ​​pyramiden:

Svar: 60 m2.

Radius af en cirkel, der er omskrevet nær bunden af ​​en regulær trekantet pyramide, er m. Det laterale overfladeareal er 18 m 2. Find apotemets længde.

Givet: ABCP- almindelig trekantet pyramide,

AB = BC = SA,

R= m,

S-side = 18 m 2.

Finde: . Se fig. 7.

Ris. 7

Opløsning.

I en retvinklet trekant ABC givet radius af den omskrevne cirkel. Lad os finde en side AB denne trekant ved hjælp af sinussætningen.

Når vi kender siden af ​​en regulær trekant (m), finder vi dens omkreds.

Ifølge sætningen om arealet af den laterale overflade af en regulær pyramide, hvor h a- apotem af pyramiden. Derefter:

Svar: 4 m.

Så vi undersøgte, hvad en pyramide er, hvad en regulær pyramide er, vi beviste sætningen på den laterale overflade af en regulær pyramide. I den næste lektion vil vi stifte bekendtskab med den afkortede pyramide.

Bibliografi

1. Geometri. Klasse 10-11: en lærebog for studerende på uddannelsesinstitutioner (grund- og profilniveauer) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. udg., Rev. og yderligere - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
2. Geometri. 10-11 klasse: En lærebog for almene uddannelsesinstitutioner / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
3. Geometri. 10. klasse: Lærebog for almene uddannelsesinstitutioner med dybdegående og specialiserede studier i matematik / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. udg., stereotype. - M.: Bustard, 008. - 233 s.: ill.

1. Internetportal "Yaklass" ()
2. Internetportal "Festival for pædagogiske ideer "første september" ()
3. Internetportal "Slideshare.net" ()

Lektier

1. Kan en regulær polygon være bunden af ​​en uregelmæssig pyramide?
2. Bevis, at ikke-skærende kanter af en regulær pyramide er vinkelrette.
3. Find værdien af ​​den dihedriske vinkel ved siden af ​​bunden af ​​en regulær firkantet pyramide, hvis pyramidens apotem er lig med siden af ​​dens base.
4. RAVS er en regulær trekantet pyramide. Konstruer den lineære vinkel af den dihedriske vinkel ved bunden af ​​pyramiden.

Definition. Sideflade- dette er en trekant, hvor den ene vinkel ligger i toppen af ​​pyramiden, og den modsatte side af den falder sammen med siden af ​​basen (polygon).

Definition. Side ribben er de fælles sider af sidefladerne. En pyramide har lige så mange kanter, som der er hjørner i en polygon.

Definition. pyramide højde er en vinkelret faldet fra toppen til bunden af ​​pyramiden.

Definition. Apotem- dette er vinkelret på pyramidens sideflade, sænket fra toppen af ​​pyramiden til siden af ​​bunden.

Definition. Diagonalt snit- dette er et udsnit af pyramiden af ​​et plan, der går gennem toppen af ​​pyramiden og diagonalen af ​​basen.

Definition. Korrekt pyramide- Dette er en pyramide, hvor basen er en regulær polygon, og højden falder til midten af ​​basen.

Volumen og overfladeareal af pyramiden

Formel. pyramidevolumen gennem grundareal og højde:

pyramide egenskaber

Hvis alle sidekanter er ens, så kan en cirkel omskrives omkring bunden af ​​pyramiden, og midten af ​​bunden falder sammen med midten af ​​cirklen. Også den vinkelrette faldet fra toppen passerer gennem midten af ​​basen (cirklen).

Hvis alle sideribber er ens, så hælder de til grundplanet i samme vinkler.

Sideribberne er ens, når de danner lige store vinkler med grundplanet, eller hvis en cirkel kan beskrives omkring pyramidens bund.

Hvis sidefladerne hælder til bundens plan i en vinkel, kan der indskrives en cirkel i bunden af ​​pyramiden, og toppen af ​​pyramiden projiceres ind i dens centrum.

Hvis sidefladerne hælder til grundplanet i en vinkel, er sidefladernes apotemer ens.

Egenskaber ved en almindelig pyramide

1. Toppen af ​​pyramiden er lige langt fra alle hjørner af basen.

2. Alle sidekanter er ens.

3. Alle sideribber er skråtstillede i samme vinkler i forhold til basen.

4. Apotemer af alle sideflader er ens.

5. Arealerne af alle sideflader er lige store.

6. Alle flader har de samme dihedriske (flade) vinkler.

7. En kugle kan beskrives omkring pyramiden. Centrum af den beskrevne kugle vil være skæringspunktet for de perpendikulære, der passerer gennem midten af ​​kanterne.

8. En kugle kan indskrives i en pyramide. Centrum af den indskrevne kugle vil være skæringspunktet for halveringslinjen, der udgår fra vinklen mellem kanten og bunden.

9. Hvis midten af ​​den indskrevne kugle falder sammen med midten af ​​den omskrevne kugle, så er summen af ​​de flade vinkler ved spidsen lig π eller omvendt, en vinkel er lig π / n, hvor n er tallet af vinkler ved bunden af ​​pyramiden.

Pyramidens forbindelse med kuglen

En kugle kan beskrives omkring pyramiden, når der ved bunden af ​​pyramiden ligger et polyeder, som en cirkel kan beskrives omkring (en nødvendig og tilstrækkelig betingelse). Kuglens centrum vil være skæringspunktet for planer, der passerer vinkelret gennem midtpunkterne på pyramidens sidekanter.

En kugle kan altid beskrives omkring enhver trekantet eller regulær pyramide.

En kugle kan indskrives i en pyramide, hvis halveringsfladen af ​​pyramidens indre dihedrale vinkler skærer hinanden i et punkt (en nødvendig og tilstrækkelig betingelse). Dette punkt vil være midten af ​​kuglen.

Forbindelsen af ​​pyramiden med keglen

En kegle kaldes indskrevet i en pyramide, hvis deres hjørner falder sammen, og keglens bund er indskrevet i bunden af ​​pyramiden.

En kegle kan indskrives i en pyramide, hvis pyramidens apotemer er ens.

En kegle siges at være omskrevet omkring en pyramide, hvis deres hjørner falder sammen, og keglens bund er omskrevet omkring bunden af ​​pyramiden.

En kegle kan beskrives omkring en pyramide, hvis alle sidekanter af pyramiden er lige hinanden.

Forbindelse af en pyramide med en cylinder

En pyramide siges at være indskrevet i en cylinder, hvis toppen af ​​pyramiden ligger på en base af cylinderen, og bunden af ​​pyramiden er indskrevet i en anden base af cylinderen.

En cylinder kan omskrives omkring en pyramide, hvis en cirkel kan omskrives omkring bunden af ​​pyramiden.

Et tetraeder har fire flader og fire spidser og seks kanter, hvor to kanter ikke har fælles spidser, men ikke rører hinanden.

Hvert vertex består af tre flader og kanter, der dannes trihedral vinkel.

Segmentet, der forbinder tetraederens toppunkt med midten af ​​den modsatte flade kaldes medianen af ​​tetraederet(GM).

Bimedian kaldes et segment, der forbinder midtpunkterne af modsatte kanter, der ikke rører hinanden (KL).

Alle bimedianer og medianer af et tetraeder skærer hinanden i et punkt (S). I dette tilfælde er bimedianerne opdelt i halvdelen, og medianerne i forholdet 3: 1 fra toppen.

Definition. Akut vinklet pyramide er en pyramide, hvor apotemet er mere end halvdelen af ​​længden af ​​siden af ​​basen.

Definition. stump pyramide er en pyramide, hvor apotem er mindre end halvdelen af ​​længden af ​​siden af ​​basen.

Definition. almindelig tetraeder Et tetraeder, hvis fire flader er ligesidede trekanter. Det er en af ​​fem regulære polygoner. I et regulært tetraeder er alle dihedriske vinkler (mellem flader) og trihedriske vinkler (ved et toppunkt) lige store.

Definition. Rektangulært tetraeder kaldes et tetraeder, som har en ret vinkel mellem tre kanter i toppunktet (kanterne er vinkelrette). Tre ansigter dannes rektangulær trihedrisk vinkel og fladerne er retvinklede trekanter, og basen er en vilkårlig trekant. Ethvert ansigts apotem er lig med halvdelen af ​​den side af bunden, som apotemet falder på.

Definition. Isohedral tetraeder Et tetraeder kaldes, hvor sidefladerne er lig med hinanden, og basen er en regulær trekant. Ansigterne på et sådant tetraeder er ligebenede trekanter.

Definition. Ortocentrisk tetraeder kaldes et tetraeder, hvor alle de højder (perpendikulære), der er sænket fra toppen til den modsatte flade, skærer hinanden i et punkt.

Definition. stjernepyramide Et polyeder, hvis basis er en stjerne, kaldes.

Pyramide. Stumpet pyramide

Pyramide kaldes et polyeder, hvis flader er en polygon ( grundlag ), og alle andre flader er trekanter med et fælles toppunkt ( sideflader ) (Fig. 15). Pyramiden kaldes korrekt , hvis dens base er en regulær polygon, og toppen af ​​pyramiden er projiceret ind i midten af ​​basen (fig. 16). En trekantet pyramide, hvor alle kanter er lige, kaldes tetraeder .

Side rib pyramide kaldes den side af sidefladen, der ikke hører til basen Højde pyramiden er afstanden fra dens top til bundens plan. Alle sidekanter af en regulær pyramide er ens med hinanden, alle sideflader er ens ligebenede trekanter. Højden af ​​sidefladen af ​​en regulær pyramide trukket fra toppunktet kaldes apotem . diagonalt snit En sektion af en pyramide kaldes et plan, der går gennem to sidekanter, der ikke hører til den samme flade.

Sideoverfladeareal pyramide kaldes summen af ​​arealerne af alle sideflader. Fuld overflade er summen af ​​arealerne af alle sidefladerne og basen.

Sætninger

1. Hvis alle sidekanter i en pyramide hælder lige meget til bundens plan, så projiceres toppen af ​​pyramiden ind i midten af ​​den omskrevne cirkel nær bunden.

2. Hvis alle sidekanter i en pyramide har samme længde, så projiceres toppen af ​​pyramiden ind i midten af ​​den omskrevne cirkel nær bunden.

3. Hvis alle flader i pyramiden hælder lige meget til bundens plan, så projiceres toppen af ​​pyramiden ind i midten af ​​cirklen, der er indskrevet i bunden.

For at beregne rumfanget af en vilkårlig pyramide er formlen korrekt:

hvor V- volumen;

S hoved- basisareal;

H er pyramidens højde.

For en almindelig pyramide er følgende formler sande:

hvor s- omkredsen af ​​basen;

h a- apotem;

H- højde;

S fuld

S side

S hoved- basisareal;

V er volumenet af en regulær pyramide.

afkortet pyramide kaldet den del af pyramiden, der er indesluttet mellem bunden og skæreplanet parallelt med pyramidens bund (fig. 17). Korrekt afkortet pyramide kaldet den del af en regulær pyramide, der er indesluttet mellem bunden og et skærende plan parallelt med bunden af ​​pyramiden.

Fundamenter afkortet pyramide - lignende polygoner. Sideflader - trapez. Højde afkortet pyramide kaldes afstanden mellem dens baser. Diagonal En afkortet pyramide er et segment, der forbinder dets hjørner, som ikke ligger på samme flade. diagonalt snit En sektion af en afkortet pyramide kaldes et plan, der går gennem to sidekanter, der ikke hører til den samme flade.

For en afkortet pyramide er formlerne gyldige:

(4)

hvor S 1 , S 2 - områder af de øvre og nedre baser;

S fuld er det samlede overfladeareal;

S side er det laterale overfladeareal;

H- højde;

V er volumenet af den afkortede pyramide.

For en regulær afkortet pyramide gælder følgende formel:

hvor s 1 , s 2 - basisomkredse;

h a- apotem af en regulær afkortet pyramide.

Eksempel 1 I en regulær trekantet pyramide er den dihedriske vinkel ved bunden 60º. Find tangenten af ​​hældningsvinklen af ​​sidekanten til basens plan.

Opløsning. Lad os lave en tegning (fig. 18).

Pyramiden er regulær, hvilket betyder, at basen er en ligesidet trekant, og alle sidefladerne er lige store trekanter. Den dihedriske vinkel ved bunden er hældningsvinklen af ​​pyramidens sideflade til bundens plan. Den lineære vinkel vil være vinklen -en mellem to perpendikulære: dvs. Pyramidens top er projiceret i midten af ​​trekanten (midten af ​​den omskrevne cirkel og den indskrevne cirkel i trekanten ABC). Hældningsvinklen af ​​sideribben (f.eks SB) er vinklen mellem selve kanten og dens projektion på basisplanet. Til ribben SB denne vinkel vil være vinklen SBD. For at finde tangenten skal du kende benene SÅ og OB. Lad længden af ​​segmentet BD er 3 -en. prik O afsnit BD er opdelt i dele: og Fra finder vi SÅ: Fra vi finder:

Svar:

Eksempel 2 Find rumfanget af en regulær afkortet firkantet pyramide, hvis diagonalerne på dens baser er cm og cm, og højden er 4 cm.

Opløsning. For at finde volumen af ​​en afkortet pyramide bruger vi formel (4). For at finde grundfladernes areal skal du finde siderne af grundkvadrene og kende deres diagonaler. Siderne af baserne er henholdsvis 2 cm og 8 cm. Det betyder, at basenes areal og Substituerer alle data i formlen, beregner vi rumfanget af den afkortede pyramide:

Svar: 112 cm3.

Eksempel 3 Find arealet af sidefladen af ​​en almindelig trekantet afkortet pyramide, hvis basissider er 10 cm og 4 cm, og pyramidens højde er 2 cm.

Opløsning. Lad os lave en tegning (fig. 19).

Sidefladen af ​​denne pyramide er et ligebenet trapez. For at beregne arealet af en trapez skal du kende baserne og højden. Baserne er givet efter tilstand, kun højden forbliver ukendt. Find det hvorfra EN 1 E vinkelret på et punkt EN 1 på planet for den nederste base, EN 1 D- vinkelret fra EN 1 på AC. EN 1 E\u003d 2 cm, da dette er højden af ​​pyramiden. For at finde DE vi vil lave en ekstra tegning, hvor vi vil afbilde en topvisning (fig. 20). Prik O- projektion af midten af ​​de øvre og nedre baser. siden (se Fig. 20) og På den anden side Okay er radius af den indskrevne cirkel og OM er radius af den indskrevne cirkel:

MK=DE.

Ifølge Pythagoras sætning fra

Sidefladeområde:

Svar:

Eksempel 4 I bunden af ​​pyramiden ligger en ligebenet trapez, hvis baser -en og b (-en> b). Hver sideflade danner en vinkel, der er lig med pyramidens bundplan j. Find det samlede overfladeareal af pyramiden.

Opløsning. Lad os lave en tegning (fig. 21). Samlet overfladeareal af pyramiden SABCD er lig med summen af ​​arealerne og arealet af trapez ABCD.

Lad os bruge det udsagn, at hvis alle pyramidens flader er lige skråtstillede i forhold til basens plan, så projiceres toppunktet ind i midten af ​​cirklen, der er indskrevet i basen. Prik O- vertex projektion S ved bunden af ​​pyramiden. Trekant SOD er den ortogonale projektion af trekanten CSD til basisplanet. Ifølge teoremet om arealet af den ortogonale projektion af en flad figur får vi:

På samme måde betyder det Således blev problemet reduceret til at finde området af trapez ABCD. Tegn en trapez ABCD separat (fig. 22). Prik O er midten af ​​en cirkel indskrevet i en trapez.

Da en cirkel kan indskrives i en trapezoid, så eller Ved Pythagoras sætning har vi

• apotem- højden af ​​sidefladen af ​​en regulær pyramide, som er trukket fra dens top (derudover er apotemet længden af ​​vinkelret, som er sænket fra midten af ​​en regulær polygon til 1 af dens sider);
• sideflader (ASB, BSC, CSD, DSA) - trekanter, der konvergerer i toppen;
• side ribben ( SOM , BS , CS , D.S. ) - fælles sider af sidefladerne;
• toppen af ​​pyramiden (v. S) - et punkt, der forbinder sidekanterne, og som ikke ligger i bundens plan;
• højde ( SÅ ) - et segment af vinkelret, som er trukket gennem toppen af ​​pyramiden til planet af dets base (enderne af et sådant segment vil være toppen af ​​pyramiden og bunden af ​​vinkelret);
• diagonalt snit af en pyramide- sektion af pyramiden, som passerer gennem toppen og diagonalen af ​​basen;
• grundlag (ABCD) er en polygon, som toppen af ​​pyramiden ikke hører til.

pyramide egenskaber.

1. Når alle sidekanter har samme størrelse, så:

• nær bunden af ​​pyramiden er det let at beskrive en cirkel, mens toppen af ​​pyramiden vil blive projiceret ind i midten af ​​denne cirkel;
• sideribber danner lige store vinkler med basisplanet;
• desuden er det omvendt også sandt, dvs. når sidekanterne danner lige store vinkler med grundplanet, eller når en cirkel kan beskrives nær bunden af ​​pyramiden og toppen af ​​pyramiden vil blive projiceret ind i midten af ​​denne cirkel, så har alle pyramidens sidekanter samme størrelse.

2. Når sidefladerne har en hældningsvinkel til bundens plan med samme værdi, så:

• nær bunden af ​​pyramiden er det let at beskrive en cirkel, mens toppen af ​​pyramiden vil blive projiceret ind i midten af ​​denne cirkel;
• højderne af sidefladerne er lige lange;
• arealet af sidefladen er ½ produktet af bundens omkreds og højden af ​​sidefladen.

3. En kugle kan beskrives nær pyramiden, hvis bunden af ​​pyramiden er en polygon, som en cirkel kan beskrives omkring (en nødvendig og tilstrækkelig betingelse). Kuglens centrum vil være skæringspunktet for de fly, der passerer gennem midtpunkterne af pyramidens kanter vinkelret på dem. Fra denne sætning konkluderer vi, at en kugle kan beskrives både omkring enhver trekantet og omkring enhver regulær pyramide.

4. En kugle kan indskrives i en pyramide, hvis halveringsfladen af ​​pyramidens indre dihedrale vinkler skærer hinanden i 1. punkt (en nødvendig og tilstrækkelig betingelse). Dette punkt bliver kuglens centrum.

Den enkleste pyramide.

Ifølge antallet af hjørner af bunden af ​​pyramiden er de opdelt i trekantede, firkantede og så videre.

Pyramiden vil trekantet, firkantet, og så videre, når bunden af ​​pyramiden er en trekant, en firkant og så videre. En trekantet pyramide er et tetraeder - et tetraeder. Firkantet - pentahedron og så videre.