Logaritmer på eksamenseksemplerne. Logaritmer: eksempler og løsninger

Logaritmiske udtryk, løsningseksempler. I denne artikel vil vi se på problemer relateret til løsning af logaritmer. Opgaverne stiller spørgsmålet om at finde meningen med et udtryk. Det skal bemærkes, at begrebet logaritme bruges i mange opgaver, og at forstå dets betydning er ekstremt vigtigt. Hvad angår Unified State Exam, bruges logaritmen ved løsning af ligninger, i anvendte problemer og også i opgaver relateret til undersøgelse af funktioner.

Lad os give eksempler for at forstå selve betydningen af ​​logaritmen:

Grundlæggende logaritmisk identitet:

Egenskaber for logaritmer, der altid skal huskes:

*Produktets logaritme er lig med summen af ​​faktorernes logaritmer.

* * *

*Logaritmen af ​​en kvotient (brøk) er lig med forskellen mellem faktorernes logaritmer.

* * *

*Logaritmen af ​​en eksponent er lig med produktet af eksponenten og logaritmen af ​​dens base.

* * *

*Overgang til ny fond

* * *

Flere egenskaber:

* * *

Beregningen af ​​logaritmer er tæt forbundet med brugen af ​​egenskaber ved eksponenter.

Lad os liste nogle af dem:

Essensen af ​​denne egenskab er, at når tælleren overføres til nævneren og omvendt, ændres eksponentens fortegn til det modsatte. For eksempel:

En konsekvens af denne ejendom:

* * *

Når man hæver en potens til en potens, forbliver basen den samme, men eksponenterne ganges.

* * *

Som du har set, er begrebet logaritme i sig selv enkelt. Det vigtigste er, at du har brug for god øvelse, som giver dig en vis færdighed. Der kræves naturligvis kendskab til formler. Hvis færdigheden i at konvertere elementære logaritmer ikke er blevet udviklet, kan du nemt lave en fejl, når du løser simple opgaver.

Øv dig, løs først de enkleste eksempler fra matematikkurset, og gå derefter videre til mere komplekse. I fremtiden vil jeg helt sikkert vise, hvordan "grimme" logaritmer løses; der vil ikke være nogen af ​​disse på Unified State Exam, men de er af interesse, gå ikke glip af det!

Det er alt! Held og lykke!

Med venlig hilsen Alexander Krutitskikh

P.S: Jeg ville være taknemmelig, hvis du fortæller mig om webstedet på sociale netværk.

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, e-mailadresse mv.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig med unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, i retssager og/eller på grundlag af offentlige anmodninger eller anmodninger fra regeringsorganer i Den Russiske Føderation - om at videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

I denne videotutorial vil vi se på at løse en ret seriøs logaritmisk ligning, hvor du ikke kun skal finde rødderne, men også vælge dem, der ligger på et givet segment.

Opgave C1. Løs ligningen. Find alle rødder af denne ligning, der hører til intervallet.

En note om logaritmiske ligninger

Men fra år til år kommer der elever til mig, som forsøger at løse sådanne, ærligt talt, svære ligninger, men samtidig kan de ikke forstå: hvor skal de overhovedet starte, og hvordan skal man gribe logaritmer an? Dette problem kan opstå selv blandt stærke, velforberedte elever.

Som et resultat begynder mange at frygte dette emne eller endda betragte sig selv som dumme. Så husk: Hvis du ikke kan løse sådan en ligning, betyder det slet ikke, at du er dum. Fordi du for eksempel kan håndtere denne ligning næsten verbalt:

log 2 x = 4

Og hvis det ikke er tilfældet, ville du ikke læse denne tekst nu, fordi du havde travlt med enklere og mere hverdagsagtige opgaver. Selvfølgelig vil nogen nu indvende: "Hvad har denne enkleste ligning at gøre med vores sunde struktur?" Jeg svarer: enhver logaritmisk ligning, uanset hvor kompleks den måtte være, kommer i sidste ende til disse enkleste strukturer, der kan løses mundtligt.

Selvfølgelig skal man bevæge sig fra komplekse logaritmiske ligninger til mere simple, ikke gennem udvælgelse eller dans med en tamburin, men efter klare, længe definerede regler, som kaldes - regler for konvertering af logaritmiske udtryk. Når du kender dem, kan du nemt håndtere selv de mest sofistikerede ligninger i Unified State Examination i matematik.

Og det er disse regler, vi vil tale om i dagens lektion. Gå!

Løsning af den logaritmiske ligning i opgave C1

Så vi løser ligningen:

Først og fremmest, når det kommer til logaritmiske ligninger, husker vi den grundlæggende taktik - så at sige grundreglen for løsning af logaritmiske ligninger. Den består af følgende:

Den kanoniske formsætning. Enhver logaritmisk ligning, uanset hvad den indeholder, uanset hvilke logaritmer, uanset hvilken base, og uanset hvad den indeholder, skal nødvendigvis reduceres til en ligning af formen:

log a f (x) = log a g (x)

Hvis vi ser på vores ligning, bemærker vi straks to problemer:

1. Til venstre har vi summen af ​​to tal, hvoraf den ene slet ikke er en logaritme.
2. Til højre er der en del logaritme, men ved dens base er der en rod. Og logaritmen til venstre er simpelthen 2, dvs. Grundlaget for logaritmer til venstre og højre er forskellige.

Så vi har samlet denne liste over problemer, der adskiller vores ligning fra det kanonisk ligning, hvortil enhver logaritmisk ligning skal reduceres under løsningsprocessen. At løse vores ligning på dette trin kommer således ned til at eliminere de to problemer beskrevet ovenfor.

Enhver logaritmisk ligning kan løses hurtigt og nemt, hvis du reducerer den til dens kanoniske form.

Sum af logaritmer og logaritme af produkt

Lad os fortsætte i rækkefølge. Lad os først se på strukturen til venstre. Hvad kan vi sige om summen af ​​to logaritmer? Lad os huske den vidunderlige formel:

log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

Men det er værd at overveje, at i vores tilfælde er det første led slet ikke en logaritme. Det betyder, at vi skal repræsentere enheden som en logaritme til grundtal 2 (præcis 2, fordi logaritmen til grundtal 2 er til venstre). Hvordan gør man det? Lad os igen huske den vidunderlige formel:

a = log b b a

Her skal du forstå: når vi siger "Enhver basis b", mener vi, at b stadig ikke kan være et vilkårligt tal. Hvis vi indsætter et tal i en logaritme, sikkert restriktioner, nemlig: basen af ​​logaritmen skal være større end 0 og må ikke være lig med 1. Ellers giver logaritmen simpelthen ikke mening. Lad os skrive dette ned:

0 < b ≠ 1

Lad os se, hvad der sker i vores tilfælde:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Lad os nu omskrive hele vores ligning under hensyntagen til dette faktum. Og vi anvender straks en anden regel: summen af ​​logaritmer er lig med logaritmen af ​​produktet af argumenterne. Som et resultat får vi:

Vi har en ny ligning. Som vi ser, er det allerede meget tættere på den kanoniske ligning, som vi stræber efter. Men der er et problem, vi skrev det ned som det andet punkt: vores logaritmer, som er til venstre og højre, forskellige årsager. Lad os gå videre til næste trin.

Regler for at trække potenser fra logaritmen

Så logaritmen til venstre har en base på kun 2, og logaritmen til højre har en rod ved basen. Men dette er ikke et problem, hvis vi husker, at grundlaget for logaritmens argumenter kan hæves til potenser. Lad os skrive en af ​​disse regler ned:

log a b n = n log a b

Oversat til et menneskeligt sprog: du kan tage kraften ud af logaritmens basis og sætte den foran som en multiplikator. Tallet n "migrerede" fra logaritmen udad og blev en koefficient foran.

Vi kan lige så nemt udlede potensen fra logaritmens basis. Det vil se sådan ud:

Med andre ord, hvis du fjerner graden fra logaritmens argument, skrives denne grad også som en faktor før logaritmen, men ikke som et tal, men som det gensidige tal 1/k.

Det er dog ikke alt! Vi kan kombinere disse to formler og komme op med følgende formel:

Når en potens optræder i både grundtallet og argumentet for en logaritme, kan vi spare tid og forenkle beregninger ved straks at tage potenserne ud af både grundtallet og argumentet. I dette tilfælde vil det, der var i argumentet (i vores tilfælde er dette koefficienten n) vises i tælleren. Og hvad var graden ved basen, a k, vil gå til nævneren.

Og det er disse formler, vi nu vil bruge for at reducere vores logaritmer til samme base.

Lad os først og fremmest vælge en mere eller mindre smuk base. Det er klart, at det er meget mere behageligt at arbejde med en toer i bunden end med en rod. Så lad os prøve at reducere den anden logaritme til base 2. Lad os skrive denne logaritme separat:

Hvad kan vi gøre her? Lad os huske potensformlen med en rationel eksponent. Med andre ord kan vi skrive rødderne som en potens med en rationel eksponent. Og så tager vi magten 1/2 ud af både argumentet og logaritmen. Vi reducerer toerne i koefficienterne i tælleren og nævneren mod logaritmen:

Lad os endelig omskrive den oprindelige ligning under hensyntagen til de nye koefficienter:

log 2 2(9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)

Vi har fået den kanoniske logaritmiske ligning. Både til venstre og til højre har vi en logaritme til samme grundtal 2. Udover disse logaritmer er der ingen koefficienter, ingen led hverken til venstre eller højre.

Følgelig kan vi slippe af med fortegnet for logaritmen. Selvfølgelig under hensyntagen til definitionsdomænet. Men før vi gør det, lad os gå tilbage og lave en lille afklaring om brøker.

At dividere en brøk med en brøk: Yderligere overvejelser

Ikke alle elever forstår, hvor faktorerne foran den rigtige logaritme kommer fra, og hvor de går hen. Lad os skrive det ned igen:

Lad os finde ud af, hvad en brøk er. Lad os skrive ned:

Lad os nu huske reglen for at dividere brøker: for at dividere med 1/2 skal du gange med den omvendte brøk:

For at gøre det lettere for yderligere beregninger kan vi selvfølgelig skrive to som 2/1 - og det er det, vi observerer som den anden koefficient i løsningsprocessen.

Jeg håber nu, at alle forstår, hvor den anden koefficient kommer fra, så lad os gå direkte til at løse vores kanoniske logaritmiske ligning.

At slippe af med logaritmetegnet

Lad mig minde dig om, at nu kan vi slippe af med logaritmer og efterlade følgende udtryk:

2(9x 2 + 5) = 8x 4 + 14

Lad os åbne parenteserne til venstre. Vi får:

18x 2 + 10 = 8x 4 + 14

Lad os flytte alt fra venstre side til højre:

8x 4 + 14 − 18x 2 − 10 = 0

Lad os tage lignende med og få:

8x 4 − 18x 2 + 4 = 0

Vi kan dividere begge sider af denne ligning med 2 for at forenkle koefficienterne, og vi får:

4x 4 − 9x 2 + 2 = 0

Foran os er det sædvanlige biquadratisk ligning, og dens rødder beregnes let gennem diskriminanten. Så lad os skrive diskriminanten ned:

D = 81 − 4 4 2 = 81 − 32 = 49

Fantastisk, diskriminanten er "smuk", roden til det er 7. Det er det, lad os selv tælle X'erne. Men i dette tilfælde vil rødderne ikke være x, men x 2, fordi vi har en biquadratisk ligning. Så vores muligheder:

Bemærk venligst: vi har udtrukket rødderne, så der vil være to svar, fordi... firkantet - selv funktion. Og hvis vi kun skriver roden af ​​to, så mister vi simpelthen den anden rod.

Nu skriver vi den anden rod af vores biquadratiske ligning:

Igen tager vi den aritmetiske kvadratrod af begge sider af vores ligning og får to rødder. Husk dog:

Det er ikke nok blot at sidestille logaritmernes argumenter i kanonisk form. Husk definitionsdomænet!

I alt fik vi fire rødder. Alle af dem er faktisk løsninger på vores oprindelige ligning. Tag et kig: I vores oprindelige logaritmiske ligning er logaritmerne indeni enten 9x 2 + 5 (denne funktion er altid positiv) eller 8x 4 + 14 - hvilket også altid er positivt. Derfor er definitionsdomænet for logaritmer opfyldt under alle omstændigheder, uanset hvilken rod vi får, hvilket betyder, at alle fire rødder er løsninger til vores ligning.

Godt, lad os nu gå videre til den anden del af problemet.

Udvælgelse af rødder til en logaritmisk ligning på et segment

Fra vores fire rødder udvælger vi dem, der ligger på segmentet [−1; 8/9]. Vi vender tilbage til vores rødder, og nu vil vi udføre deres valg. Til at begynde med foreslår jeg at tegne en koordinatakse og markere enderne af segmentet på den:

Begge punkter vil være skraverede. De der. I henhold til problemets betingelser er vi interesserede i det skraverede segment. Lad os nu se på rødderne.

Irrationelle rødder

Lad os starte med irrationelle rødder. Bemærk at 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

Det følger af dette, at roden af ​​to ikke falder ind i det segment, der interesserer os. Tilsvarende vil vi opnå med en negativ rod: den er mindre end −1, det vil sige, den ligger til venstre for segmentet af interesse for os.

Rationelle rødder

Der er to rødder tilbage: x = 1/2 og x = −1/2. Lad os bemærke, at den venstre ende af segmentet (−1) er negativ, og den højre ende (8/9) er positiv. Et sted mellem disse ender ligger derfor tallet 0. Roden x = −1/2 vil være mellem −1 og 0, dvs. vil ende i det endelige svar. Vi gør det samme med roden x = 1/2. Denne rod ligger også på det pågældende segment.

Du kan sikre dig, at 8/9 er større end 1/2. Lad os trække disse tal fra hinanden:

Vi fik brøken 7/18 > 0, hvilket per definition betyder, at 8/9 > 1/2.

Lad os markere de passende rødder på koordinataksen:

Det endelige svar vil være to rødder: 1/2 og −1/2.

Sammenligning af irrationelle tal: en universel algoritme

Afslutningsvis vil jeg gerne vende tilbage til irrationelle tal. Ved hjælp af deres eksempel vil vi nu se på, hvordan man sammenligner rationelle og irrationelle størrelser i matematik. Til at begynde med er der sådan et flueben mellem dem V - et "mere" eller "mindre" tegn, men vi ved endnu ikke, i hvilken retning det er rettet. Lad os skrive ned:

Hvorfor har vi overhovedet brug for nogen sammenligningsalgoritmer? Faktum er, at i dette problem var vi meget heldige: i processen med at løse opdelingsnummeret 1 opstod, om hvilket vi helt sikkert kan sige:

Du vil dog ikke altid se sådan et tal med det samme. Så lad os prøve at sammenligne vores tal direkte.

Hvordan gøres det? Vi gør det samme som med almindelige uligheder:

1. For det første, hvis vi havde negative koefficienter et sted, ville vi gange begge sider af uligheden med -1. Selvfølgelig skifter skiltet. Dette flueben V ville ændre til dette - Λ.
2. Men i vores tilfælde er begge sider allerede positive, så der er ingen grund til at ændre noget. Det der virkelig er brug for er firkantet begge sider at slippe af med det radikale.

Hvis det, når man sammenligner irrationelle tal, ikke umiddelbart er muligt at vælge det adskillende element, anbefaler jeg at udføre en sådan sammenligning "front-on" - at beskrive det som en almindelig ulighed.

Når man løser det, er det formaliseret sådan:

Nu er det hele nemt at sammenligne. Pointen er, at 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

Det er det, vi har fået et strengt bevis for, at alle tal er markeret på tallinjen x korrekt og præcist i den rækkefølge, de egentlig skal stå i. Ingen vil finde fejl ved denne løsning, så husk: hvis du ikke umiddelbart kan se deletallet (i vores tilfælde er det 1), så er du velkommen til at skrive ovenstående konstruktion ud, gange, kvadrere - og til sidst vil du få en smuk ulighed. Ud fra denne ulighed vil det fremgå, hvilket tal der er størst og hvilket der er mindre.

For at vende tilbage til vores problem, vil jeg gerne igen henlede din opmærksomhed på, hvad vi gjorde helt i begyndelsen, da vi løste vores ligning. Nemlig: vi kiggede nærmere på vores oprindelige logaritmiske ligning og forsøgte at reducere den til kanonisk logaritmisk ligning. Hvor der kun er logaritmer til venstre og højre - uden yderligere led, koefficienter foran osv. Vi behøver ikke to logaritmer baseret på a eller b, men en logaritme lig med en anden logaritme.

Derudover skal logaritmernes basis også være ens. Desuden, hvis ligningen er sammensat korrekt, vil vi ved hjælp af elementære logaritmiske transformationer (sum af logaritmer, transformation af et tal til en logaritme osv.) reducere denne ligning til den kanoniske.

Derfor, når du fra nu af ser en logaritmisk ligning, der ikke kan løses med det samme, bør du ikke fare vild eller forsøge at finde ud af svaret. Alt du skal gøre er at følge disse trin:

1. Konverter alle frie elementer til en logaritme;
2. Tilføj derefter disse logaritmer;
3. I den resulterende konstruktion skal du reducere alle logaritmer til samme base.

Som et resultat vil du få en simpel ligning, der kan løses ved hjælp af elementære algebraværktøjer fra klasse 8-9 materialer. Generelt, gå til min hjemmeside, øv dig i at løse logaritmer, løs logaritmiske ligninger som mig, løs dem bedre end mig. Og det er alt for mig. Pavel Berdov var med dig. Vi ses!

Hvad er en logaritme?

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")

Hvad er en logaritme? Hvordan løser man logaritmer? Disse spørgsmål forvirrer mange kandidater. Traditionelt betragtes emnet logaritmer som komplekst, uforståeligt og skræmmende. Især ligninger med logaritmer.

Dette er absolut ikke sandt. Absolut! Tror du mig ikke? Bøde. Nu, på kun 10 - 20 minutter:

1. Du vil forstå hvad er en logaritme.

2. Lær at løse en hel klasse af eksponentialligninger. Også selvom du ikke har hørt noget om dem.

3. Lær at beregne simple logaritmer.

Desuden behøver du kun at kende multiplikationstabellen og hvordan man hæver et tal til en potens...

Jeg føler, at du er i tvivl... Nå, okay, sæt tiden af! Gå!

Løs først denne ligning i dit hoved:

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

Som du ved, når man multiplicerer udtryk med potenser, summeres deres eksponenter altid (a b *a c = a b+c). Denne matematiske lov blev udledt af Archimedes, og senere, i det 8. århundrede, skabte matematikeren Virasen en tabel med heltalseksponenter. Det var dem, der tjente til den videre opdagelse af logaritmer. Eksempler på brug af denne funktion kan findes næsten overalt, hvor du skal forenkle besværlig multiplikation ved simpel addition. Hvis du bruger 10 minutter på at læse denne artikel, vil vi forklare dig, hvad logaritmer er, og hvordan du arbejder med dem. I et enkelt og tilgængeligt sprog.

Definition i matematik

En logaritme er et udtryk af følgende form: log a b=c, dvs. logaritmen af ​​ethvert ikke-negativt tal (det vil sige ethvert positivt) "b" til dets grundtal "a" anses for at være potensen "c ”, hvortil grundtallet "a" skal hæves for i sidste ende at få værdien "b". Lad os analysere logaritmen ved hjælp af eksempler, lad os sige, at der er et udtryk log 2 8. Hvordan finder man svaret? Det er meget enkelt, du skal finde en potens, sådan at du fra 2 til den nødvendige effekt får 8. Efter at have lavet nogle beregninger i dit hoved, får vi tallet 3! Og det er sandt, fordi 2 i 3 potens giver svaret som 8.

Typer af logaritmer

For mange elever og studerende virker dette emne kompliceret og uforståeligt, men faktisk er logaritmer ikke så skræmmende, det vigtigste er at forstå deres generelle betydning og huske deres egenskaber og nogle regler. Der er tre separate typer logaritmiske udtryk:

1. Naturlig logaritme ln a, hvor grundtallet er Euler-tallet (e = 2,7).
2. Decimal a, hvor grundtallet er 10.
3. Logaritme af ethvert tal b til grundtal a>1.

Hver af dem er løst på en standard måde, herunder forenkling, reduktion og efterfølgende reduktion til en enkelt logaritme ved hjælp af logaritmiske sætninger. For at opnå de korrekte værdier af logaritmer skal du huske deres egenskaber og rækkefølgen af ​​handlinger, når du løser dem.

Regler og nogle restriktioner

I matematik er der flere regler-begrænsninger, der accepteres som et aksiom, det vil sige, at de ikke er genstand for diskussion og er sandheden. For eksempel er det umuligt at dividere tal med nul, og det er også umuligt at udtrække den lige rod af negative tal. Logaritmer har også deres egne regler, hvorefter du nemt kan lære at arbejde selv med lange og rummelige logaritmiske udtryk:

• Grundtallet "a" skal altid være større end nul og ikke lig med 1, ellers vil udtrykket miste sin betydning, fordi "1" og "0" i enhver grad altid er lig med deres værdier;
• hvis a > 0, så a b >0, viser det sig, at "c" også skal være større end nul.

Hvordan løser man logaritmer?

For eksempel gives opgaven at finde svaret på ligningen 10 x = 100. Dette er meget nemt, du skal vælge en potens ved at hæve tallet ti, som vi får 100 til. Dette er selvfølgelig 10 2 = 100.

Lad os nu repræsentere dette udtryk i logaritmisk form. Vi får log 10 100 = 2. Når man løser logaritmer, konvergerer alle handlinger praktisk talt for at finde den potens, som det er nødvendigt at indtaste logaritmen til for at få et givet tal.

For nøjagtigt at bestemme værdien af ​​en ukendt grad, skal du lære at arbejde med en tabel med grader. Det ser sådan ud:

Som du kan se, kan nogle eksponenter gættes intuitivt, hvis du har et teknisk sind og viden om multiplikationstabellen. For større værdier skal du dog bruge et strømbord. Det kan bruges selv af dem, der slet ikke ved noget om komplekse matematiske emner. Den venstre kolonne indeholder tal (grundlag a), den øverste række af tal er værdien af ​​potensen c, som tallet a er hævet til. I skæringspunktet indeholder cellerne de talværdier, der er svaret (a c =b). Lad os for eksempel tage den allerførste celle med tallet 10 og kvadrere det, vi får værdien 100, som er angivet i skæringspunktet mellem vores to celler. Alt er så enkelt og nemt, at selv den mest sande humanist vil forstå!

Ligninger og uligheder

Det viser sig, at eksponenten under visse betingelser er logaritmen. Derfor kan ethvert matematisk numerisk udtryk skrives som en logaritmisk lighed. For eksempel kan 3 4 =81 skrives som basis 3-logaritmen af ​​81 lig med fire (log 3 81 = 4). For negative potenser er reglerne de samme: 2 -5 = 1/32 vi skriver det som en logaritme, vi får log 2 (1/32) = -5. En af de mest fascinerende dele af matematik er emnet "logaritmer". Vi vil se på eksempler og løsninger på ligninger nedenfor, umiddelbart efter at have studeret deres egenskaber. Lad os nu se på, hvordan uligheder ser ud, og hvordan man skelner dem fra ligninger.

Følgende udtryk er givet: log 2 (x-1) > 3 - det er en logaritmisk ulighed, da den ukendte værdi "x" er under det logaritmiske fortegn. Og også i udtrykket sammenlignes to størrelser: logaritmen af ​​det ønskede tal til base to er større end tallet tre.

Den vigtigste forskel mellem logaritmiske ligninger og uligheder er, at ligninger med logaritmer (f.eks. logaritmen 2 x = √9) indebærer en eller flere specifikke numeriske værdier i svaret, mens man ved løsning af en ulighed både er intervallet for acceptable værdier og punkterne bestemmes ved at bryde denne funktion. Som en konsekvens er svaret ikke et simpelt sæt af individuelle tal, som i svaret på en ligning, men en kontinuerlig række eller sæt af tal.

Grundsætninger om logaritmer

Når du løser primitive opgaver med at finde værdierne af logaritmen, er dens egenskaber muligvis ikke kendt. Men når det kommer til logaritmiske ligninger eller uligheder, er det først og fremmest nødvendigt at forstå og anvende alle logaritmers grundlæggende egenskaber i praksis. Vi vil se på eksempler på ligninger senere; lad os først se på hver egenskab mere detaljeret.

1. Hovedidentiteten ser således ud: a logaB =B. Det gælder kun, når a er større end 0, ikke lig med en, og B er større end nul.
2. Produktets logaritme kan repræsenteres i følgende formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I dette tilfælde er den obligatoriske betingelse: d, s 1 og s 2 > 0; a≠1. Du kan give et bevis for denne logaritmiske formel med eksempler og løsning. Lad log a s 1 = f 1 og log a s 2 = f 2, så a f1 = s 1, a f2 = s 2. Vi opnår, at s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (egenskaber ved grader ), og så per definition: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, hvilket er det, der skulle bevises.
3. Logaritmen for kvotienten ser således ud: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Sætningen i form af en formel har følgende form: log a q b n = n/q log a b.

Denne formel kaldes "egenskaben for graden af ​​logaritme." Det ligner egenskaberne ved almindelige grader, og det er ikke overraskende, for al matematik er baseret på naturlige postulater. Lad os se på beviset.

Lad log a b = t, det viser sig a t =b. Hvis vi hæver begge dele til potensen m: a tn = b n ;

men da a tn = (a q) nt/q = b n, derfor log a q b n = (n*t)/t, så log a q b n = n/q log a b. Sætningen er blevet bevist.

Eksempler på problemer og uligheder

De mest almindelige typer problemer på logaritmer er eksempler på ligninger og uligheder. De findes i næsten alle opgavebøger og er også en obligatorisk del af matematikeksamener. For at komme ind på et universitet eller bestå optagelsesprøver i matematik skal du vide, hvordan du løser sådanne opgaver korrekt.

Desværre er der ingen enkelt plan eller skema til at løse og bestemme den ukendte værdi af logaritmen, men visse regler kan anvendes på hver matematisk ulighed eller logaritmisk ligning. Først og fremmest bør du finde ud af, om udtrykket kan forenkles eller reduceres til en generel form. Du kan forenkle lange logaritmiske udtryk, hvis du bruger deres egenskaber korrekt. Lad os lære dem hurtigt at kende.

Når vi løser logaritmiske ligninger, skal vi bestemme, hvilken type logaritme vi har: et eksempeludtryk kan indeholde en naturlig logaritme eller en decimal.

Her er eksempler på ln100, ln1026. Deres løsning bunder i, at de skal bestemme den effekt, som basen 10 vil være lig med henholdsvis 100 og 1026. For at løse naturlige logaritmer skal du anvende logaritmiske identiteter eller deres egenskaber. Lad os se på eksempler på løsning af logaritmiske problemer af forskellige typer.

Sådan bruges logaritmeformler: med eksempler og løsninger

Så lad os se på eksempler på brug af de grundlæggende sætninger om logaritmer.

1. Egenskaben for et produkts logaritme kan bruges i opgaver, hvor det er nødvendigt at dekomponere en stor værdi af tallet b i enklere faktorer. For eksempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret er 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, lykkedes det ved hjælp af den fjerde egenskab af logaritmepotensen at løse et tilsyneladende komplekst og uløseligt udtryk. Du skal blot faktorisere basen og derefter tage eksponentværdierne ud af logaritmens fortegn.

Opgaver fra Unified State-eksamenen

Logaritmer findes ofte i optagelsesprøver, især mange logaritmiske problemer i Unified State Exam (statseksamen for alle skolekandidater). Disse opgaver er typisk ikke kun til stede i del A (den nemmeste testdel af eksamen), men også i del C (de mest komplekse og omfangsrige opgaver). Eksamen kræver nøjagtig og perfekt viden om emnet "Naturlige logaritmer".

Eksempler og løsninger på problemer er taget fra de officielle versioner af Unified State Exam. Lad os se, hvordan sådanne opgaver løses.

Givet log 2 (2x-1) = 4. Løsning:
lad os omskrive udtrykket og simplificere det lidt log 2 (2x-1) = 2 2, ved definitionen af ​​logaritmen får vi at 2x-1 = 2 4, derfor 2x = 17; x = 8,5.

• Det er bedst at reducere alle logaritmer til samme base, så løsningen ikke bliver besværlig og forvirrende.
• Alle udtryk under logaritmetegnet er angivet som positive, og derfor, når eksponenten af ​​et udtryk, der er under logaritmetegnet og som dets base, tages ud som en multiplikator, skal det udtryk, der er tilbage under logaritmen, være positivt.