Formler for mængder af geometriske legemer. Antal tal

For at løse problemer i geometri skal du kende formler - såsom arealet af en trekant eller arealet af et parallelogram - samt de enkle tricks, som vi vil tale om.

Lad os først lære formlerne for figurernes områder. Vi har specielt samlet dem i et praktisk bord. Udskriv, lær og ansøg!

Selvfølgelig er ikke alle geometriformler i vores tabel. For eksempel for at løse problemer i geometri og stereometri i den anden del af profilen BRUG i matematik bruges andre formler for arealet af en trekant også. Vi vil helt sikkert fortælle dig om dem.

Men hvad hvis du ikke behøver at finde arealet af en trapez eller trekant, men området af en kompleks figur? Der er universelle måder! Vi viser dem med eksempler fra FIPI -jobbanken.

1. Hvordan finder man området med en ikke-standardform? For eksempel en vilkårlig firkant? Et simpelt trick er at opdele denne figur i dem, som vi alle kender til, og finde dens område - som summen af ​​områderne i disse figurer.

Opdel denne firkant med en vandret linje i to trekanter med en fælles base lig med. Højderne på disse trekanter er lig med og. Derefter er firkantens areal lig med summen af ​​arealerne af to trekanter :.

Svar: .

2. I nogle tilfælde kan arealet af en figur repræsenteres som forskellen mellem nogle områder.

Det er ikke let at beregne, hvad grundlaget og højden er lig med i denne trekant! Men vi kan sige, at dens areal er lig med forskellen mellem arealerne på en firkant med en side og tre retvinklede trekanter. Kan du se dem på billedet? Vi får:.

Svar: .

3. Nogle gange i opgaven er det nødvendigt at finde området ikke af hele figuren, men af ​​dets del. Normalt taler vi om arealet af en sektor - en del af en cirkel. Find arealet af en sektor med en cirkel med radius, hvis længde på buen er.

På dette billede ser vi en del af en cirkel. Arealet af hele cirklen er lige siden. Det gjenstår at se, hvilken del af cirklen der er afbildet. Da hele cirkelens længde er lige (siden), og længden af ​​buen i denne sektor derfor er buens længde en gange mindre end længden af ​​hele cirklen. Vinklen, hvormed denne bue hviler, er også en gang mindre end en hel cirkel (det vil sige grader). Det betyder, at sektorens areal vil være en gang mindre end arealet af hele cirklen.

Og de gamle egyptere brugte metoder til at beregne områder af forskellige former, svarende til vores metoder.

I deres bøger "Begyndelser" den berømte antikke græske matematiker Euclid beskrev et temmelig stort antal metoder til beregning af arealerne på mange geometriske figurer. De første manuskripter i Rusland, som indeholder geometriske oplysninger, blev skrevet i $ XVI $ århundrede. De beskriver reglerne for at finde områder med figurer i forskellige former.

I dag kan du ved hjælp af moderne metoder finde området med enhver form med stor nøjagtighed.

Overvej en af ​​de enkleste former - et rektangel - og formlen til at finde sit område.

Formel for arealet af et rektangel

Overvej en figur (fig. 1), som består af $ 8 $ kvadrater med sider på $ 1 $ cm. Arealet af en firkant med sider $ 1 $ cm kaldes en kvadratcentimeter og skrives som $ 1 \ cm ^ 2 $.

Arealet af denne figur (fig. 1) vil være lig med $ 8 \ cm ^ 2 $.

Arealet af figuren, som kan opdeles i flere firkanter med sider $ 1 \ cm $ (f.eks. $ P $), vil være lig med $ p \ cm ^ 2 $.

Med andre ord vil figurens areal være lig med så mange $ cm ^ 2 $, hvor mange kvadrater med en side på $ 1 \ cm $ dette tal kan brydes.

Betragt et rektangel (fig. 2), der består af $ 3 $ strimler, som hver er opdelt i $ 5 $ firkanter med sider $ 1 \ cm $. hele rektanglet består af $ 5 \ cdot 3 = 15 $ sådanne firkanter, og dets areal er $ 15 \ cm ^ 2 $.

Billede 1.

Figur 2.

Figurernes område er normalt betegnet med bogstavet $ S $.

For at finde arealet af et rektangel skal du gange længden med bredden.

Hvis vi angiver dens længde med bogstavet $ a $ og bredden med bogstavet $ b $, så vil formlen for arealet af et rektangel se sådan ud:

Definition 1

Tallene kaldes lige, hvis figurerne falder sammen, når de ligger oven på hinanden. Lige former har lige områder og lige store omkredse.

Arealet af en figur kan findes som summen af ​​arealerne af dens dele.

Eksempel 1

For eksempel i figur $ 3 $ er rektanglet $ ABCD $ opdelt i to dele af linjen $ KLMN $. Arealet af den ene del er $ 12 \ cm ^ 2 $, og den anden er $ 9 \ cm ^ 2 $. Derefter vil arealet af rektanglet $ ABCD $ være $ 12 \ cm ^ 2 + 9 \ cm ^ 2 = 21 \ cm ^ 2 $. Lad os finde arealet af rektanglet med formlen:

Som du kan se, er de områder, der findes ved begge metoder, ens.

Figur 3.

Figur 4.

Segmentet $ AC $ deler rektanglet i to lige store trekanter: $ ABC $ og $ ADC $. Det betyder, at arealet af hver af trekanterne er lig med halvdelen af ​​arealet af hele rektanglet.

Definition 2

Et rektangel med lige sider kaldes firkant.

Hvis vi betegner kvadratets side med bogstavet $ a $, findes kvadratets areal med formlen:

Deraf navnet firkant af tallet $ a $.

Eksempel 2

For eksempel, hvis siden af ​​en firkant er $ 5 $ cm, så er dens areal:

Mængder

Med udviklingen af ​​handel og byggeri i de gamle civilisationers dage blev det nødvendigt at finde mængder. I matematik er der et afsnit af geometri, der omhandler studiet af rumlige figurer, kaldet stereometri. Omtaler af dette separate matematikområde blev stødt allerede i $ IV $ århundrede f.Kr.

Gamle matematikere udviklede en metode til beregning af mængden af ​​simple figurer - en terning og en parallelepiped. Alle strukturer i den tid var af præcis denne form. Men i fremtiden blev der fundet metoder til at beregne mængden af ​​figurer med mere komplekse former.

Volumen af ​​en rektangulær parallelepiped

Hvis du fylder formen med vådt sand og derefter vender den, får vi en volumetrisk figur, som er præget af volumen. Hvis du laver flere sådanne figurer ved hjælp af den samme form, får du figurer, der har samme volumen. Hvis du fylder formen med vand, er vandmængden og mængden af ​​sandfigur også lig.

Figur 5.

Du kan sammenligne mængderne af to beholdere ved at fylde den ene med vand og hælde den i den anden beholder. Hvis det andet kar er fuldstændigt fyldt, har karene lige store mængder. Hvis der i dette tilfælde forbliver vand i det første, er volumenet af det første kar større end volumenet af det andet. Hvis det ved hældning af vand fra det første kar ikke er muligt fuldstændigt at fylde det andet kar, er volumenet af det første kar mindre end volumenet af det andet.

Volumen måles ved hjælp af følgende enheder:

$ mm ^ 3 $ - kubik millimeter,

$ cm ^ 3 $ - kubikcentimeter,

$ dm ^ 3 $ - kubikdecimeter,

$ m ^ 3 $ - kubikmeter,

$ km ^ 3 $ - kubik kilometer.

Generel gennemgang. Stereometri formler!

Hej kære venner! I denne artikel besluttede jeg at lave en generel oversigt over de opgaver inden for stereometri, der vil være på Forenet statseksamen i matematiker e. Jeg må sige, at opgaverne fra denne gruppe er ret forskellige, men ikke svære. Disse er opgaver til at finde geometriske størrelser: længder, vinkler, områder, mængder.

Betragtes: terning, rektangulær parallelepiped, prisme, pyramide, sammensat polyhedron, cylinder, kegle, kugle. Det beklager, at nogle kandidater ikke engang påtager sig sådanne opgaver ved selve eksamen, selvom mere end 50% af dem er løst elementært, næsten verbalt.

Resten kræver lidt indsats, viden og særlige teknikker. I fremtidige artikler vil vi overveje disse opgaver, gå ikke glip af det, abonnere på blogopdateringen.

For at løse skal du vide det formler til overfladearealer og mængder parallelepiped, pyramide, prisme, cylinder, kegle og kugle. Der er ingen vanskelige opgaver, alle løses i 2-3 trin, det er vigtigt at "se" hvilken formel der skal anvendes.

Alle de nødvendige formler præsenteres nedenfor:

Bold eller kugle. En sfærisk eller sfærisk overflade (nogle gange bare en kugle) er stedet for punkter i rummet, der er lige langt fra et punkt - midten af ​​bolden.

Boldvolumen er lig med pyramidens volumen, hvis bund har samme areal som boldens overflade, og højden er boldens radius

Kuglens volumen er halvanden gang mindre end cylinderens volumen beskrevet omkring den.

En rund kegle kan opnås ved at dreje en rektangulær trekant omkring et af benene, derfor kaldes en rund kegle også for en omdrejningskegle. Se også Overflade på en cirkelformet kegle

Rund keglevolumen er lig med en tredjedel af produktet af basisarealet S med højden H:

(H er højden på terningens kant)

Et parallelepiped er et prisme, hvis base er et parallelogram. En parallelepiped har seks ansigter, og de er alle parallellogrammer. En parallelepiped, hvis fire sideflader er rektangler, kaldes lige. En rektangulær parallelepiped med alle seks flader på et rektangel kaldes rektangulær.

Volumen af ​​en rektangulær parallelepiped er lig med produktet af basisarealet med højden:

(S er arealet af pyramidens bund, h er pyramidens højde)

En pyramide er et polyeder med et flade - bunden af ​​pyramiden - en vilkårlig polygon, og resten - sideflader - trekanter med et fælles toppunkt, kaldet toppen af ​​pyramiden.

Et afsnit parallelt med pyramidens bund deler pyramiden i to dele. Delen af ​​pyramiden mellem dens base og dette afsnit er en afkortet pyramide.

Afkortet pyramidevolumen lig med en tredjedel af højdeproduktet h (OS) for summen af ​​områderne i den øverste base S1 (abcde), den afkortede pyramides bund S2 (ABCDE) og den gennemsnitlige proportionalitet mellem dem.

n - antallet af sider af en almindelig polygon - bunden af ​​en almindelig pyramide
a - side af en almindelig polygon - bund af en almindelig pyramide
h - højden af ​​den almindelige pyramide

En almindelig trekantet pyramide er et polyeder, hvor det ene ansigt - pyramidens bund - er en regelmæssig trekant, og resten - laterale flader - er lige store trekanter med et fælles toppunkt. Højden falder til midten af ​​basen fra toppen.

Volumen af ​​en almindelig trekantet pyramide er lig med en tredjedel af produktet af arealet af den almindelige trekant, som er basen S (ABC) til højden h (OS)

a - side af en almindelig trekant - bund af en almindelig trekantet pyramide
h - højden af ​​en almindelig trekantet pyramide

Afledning af formlen for volumenet af et tetraeder

Tetraederens volumen beregnes ved hjælp af den klassiske formel for en pyramides volumen. Det er nødvendigt at erstatte højden af ​​tetraederet og arealet af en regelmæssig (ligesidet) trekant i den.

Tetrahedron volumen- er lig med den brøkdel i tælleren, hvor kvadratroden af ​​to i nævneren er tolv ganget med terningen af ​​længden af ​​tetraederens kant

(h er længden af ​​rhombus -siden)

Omkreds s er cirka tre hele og en syvende længden af ​​cirkelens diameter. Det nøjagtige forhold mellem omkredsen af ​​en cirkel og dens diameter er angivet med det græske bogstav π

Som et resultat beregnes omkredsen af ​​en cirkel eller omkredsen af ​​en cirkel af formlen

(r er buens radius, n er buens midtervinkel i grader.)

Mål alle nødvendige afstande i meter. Mængden af ​​mange tredimensionelle former kan let beregnes ved hjælp af de passende formler. Alle værdier, der er angivet i formler, skal dog måles i meter. Så før du tilslutter værdier til formlen, skal du sørge for, at de alle måles i meter, eller at du har konverteret andre enheder til målere.

• 1 mm = 0,001 m
• 1 cm = 0,01 m
• 1 km = 1000 m

Videokurset "Få et A" indeholder alle de emner, der er nødvendige for at bestå eksamen i matematik på 60-65 point. Helt alle opgaver 1-13 i Profile Unified State Exam in Mathematics. Også velegnet til at bestå grundeksamen i matematik. Hvis du vil bestå eksamen for 90-100 point, skal du løse del 1 på 30 minutter og uden fejl!

Forberedelseskursus til eksamen for karaktererne 10-11, samt for lærere. Alt hvad du behøver for at løse del 1 af eksamen i matematik (første 12 opgaver) og opgave 13 (trigonometri). Og dette er mere end 70 point på eksamen, og hverken en hundrede-punkts studerende eller en humanistisk studerende kan undvære dem.

Al den teori du har brug for. Hurtige løsninger, fælder og hemmeligheder ved eksamen. Alle relevante opgaver i del 1 fra FIPI's opgaverbank er blevet adskilt. Kurset opfylder fuldt ud kravene i eksamen-2018.

Kurset indeholder 5 store emner, hver 2,5 timer. Hvert emne er givet fra bunden, enkelt og ligetil.

Hundredvis af eksamensopgaver. Ordproblemer og sandsynlighedsteori. Enkle og let at huske algoritmer til løsning af problemer. Geometri. Teori, referencemateriale, analyse af alle typer USE -opgaver. Stereometri. Tricky løsninger, nyttige snydeblade, rumlig fantasiudvikling. Trigonometri fra bunden til problem 13. Forståelse i stedet for at proppe. Visuel forklaring af komplekse begreber. Algebra. Rødder, grader og logaritmer, funktion og derivat. Grundlaget for løsning af komplekse problemer i 2. del af eksamen.