Formlen for tværsnittet af en cirkel. Areal af en cirkel: formel

Instruktioner

Brug Pi til at finde radius baseret på det kendte område af cirklen. Denne konstant indstiller forholdet mellem cirkelens diameter og længden af ​​dens kant (cirkel). Længden af ​​en cirkel er det maksimale areal af et plan, der kan dækkes med det, og diameteren er lig med to radier, derfor korrelerer området med radius også med hinanden med en andel, der kan udtrykkes gennem nummer Pi. Denne konstant (π) er defineret som arealet (S) og kvadratens radius (r) for cirklen. Det følger heraf, at radius kan udtrykkes som kvadratroden af ​​kvoten for at dividere arealet med tallet Pi: r = √ (S / π).

I lang tid stod Erastophenes i spidsen for biblioteket i Alexandria, det mest berømte bibliotek i den antikke verden. Ud over at beregne størrelsen på vores planet gjorde han en række vigtige opfindelser og opdagelser. Han opfandt en enkel metode til bestemmelse af primtal, der nu kaldes "Erastofen sigte."

Han tegnede et "kort over verden", hvor han viste alle de dele af verden, der var kendt for de gamle grækere på det tidspunkt. Kortet blev betragtet som et af de bedste for sin tid. Udviklede et system med længde- og breddegrad og en kalender, der omfattede skudår. Opfandt armillasfæren, en mekanisk anordning, der blev brugt af tidlige astronomer til at demonstrere og forudsige den tilsyneladende bevægelse af stjerner på himlen. Han udarbejdede også et stjernekatalog med 675 stjerner.

Kilder:

• Den græske videnskabsmand Eratosthenes fra Cyrene beregnede Jordens radius for første gang i verden
• Eratosthenes "Beregning af jordens omkreds
• Eratosthenes

Er en flad figur, der er et sæt punkter, der er lige langt fra midten. De er alle i samme afstand og danner en cirkel.

Det segment, der forbinder midten af ​​cirklen med dens cirkels punkter, kaldes radius... I hver cirkel er alle radier lig med hinanden. En lige linje, der forbinder to punkter på en cirkel og passerer gennem midten, kaldes diameter... Formlen for arealet af en cirkel beregnes ved hjælp af en matematisk konstant - tallet π ..

Det er interessant : Tal π. er forholdet mellem omkredsen af ​​en cirkel og længden af ​​dens diameter og er konstant. Værdien π = 3.1415926 blev anvendt efter L. Eulers værker i 1737.

Arealet af en cirkel kan beregnes ved hjælp af konstanten π. og cirkelens radius. Formlen for arealet af en cirkel med hensyn til radius ser sådan ud:

Lad os overveje et eksempel på beregning af arealet af en cirkel med hensyn til radius. Lad en cirkel med en radius R = 4 cm gives. Lad os finde figurens areal.

Vores omkreds vil være 50,24 kvadratmeter. cm.

Der er en formel område af en cirkel gennem diameter... Det er også meget udbredt til at beregne de nødvendige parametre. Disse formler kan bruges til at finde.

Overvej et eksempel på at beregne arealet af en cirkel gennem diameteren og kende dens radius. Lad en cirkel med en radius R = 4 cm gives. Til at begynde med finder vi diameteren, som som bekendt er to gange radius.


Nu bruger vi dataene til et eksempel på at beregne arealet af en cirkel ved hjælp af ovenstående formel:

Som du kan se, er resultatet det samme svar som i de første beregninger.

Kendskab til standardformler til beregning af en cirkels areal vil i fremtiden hjælpe med let at bestemme sektorområde og det er let at finde manglende mængder.

Vi ved allerede, at formlen for arealet af en cirkel beregnes gennem produktet af en konstant π ved kvadratet i cirkelens radius. Radius kan udtrykkes i form af omkredsen, og udtrykket kan erstattes i formlen for arealet af en cirkel med hensyn til omkredsen:
Nu erstatter vi denne lighed i formlen til beregning af en cirkels areal og får formlen til at finde arealet af en cirkel gennem omkredsen

Overvej et eksempel på beregning af arealet af en cirkel med hensyn til omkredsen. Lad en cirkel med en længde på l = 8 cm angives. Vi erstatter værdien i den afledte formel:

Det samlede areal af cirklen vil være 5 kvadratmeter. cm.

Areal af en cirkel, der er afgrænset omkring en firkant

Det er meget let at finde arealet af en cirkel, der er afgrænset omkring en firkant.

Dette kræver kun siden af ​​firkanten og kendskabet til simple formler. Kvadratens diagonale vil være lig med cirkelens diagonal. Ved at kende siden a, kan den findes ved Pythagoras sætning: herfra.
Efter at have fundet diagonalen kan vi beregne radius :.
Og så erstatter vi alt i grundformlen for arealet af en cirkel beskrevet omkring en firkant:

En cirkel er en synlig samling af mange punkter, der er i samme afstand fra midten. For at finde sit område skal du vide, hvad radius, diameter, tal π og omkreds er.

De mængder, der er involveret i beregningen af ​​arealet af en cirkel

Den afstand, der er begrænset af cirkelens midterpunkt og ethvert af punkterne i cirklen, kaldes radius for denne geometriske figur. Længderne på alle radierne i en cirkel er de samme. Segmentet mellem 2 punkter i cirklen, der passerer gennem centrum, kaldes diameteren. Diameterens længde er lig med radiusens længde gange 2.

For at beregne arealet af en cirkel skal du bruge værdien π. Denne værdi er lig med forholdet mellem omkredsen og længden af ​​cirkelens diameter og har en konstant værdi. Π = 3.1415926. Omkredsen beregnes med formlen L = 2πR.

Find arealet af en cirkel gennem radius

Derfor er arealet af en cirkel lig med produktet af tallet π ved cirkelens radius, hævet til 2. effekt. Lad os som et eksempel tage længden af ​​radius af cirklen lig med 5 cm. Derefter vil arealet af cirklen S være 3,14 * 5 ^ 2 = 78,5 kvadratmeter. cm.

Areal af en cirkel gennem diameter

Arealet af en cirkel kan også beregnes ved at kende størrelsen på cirkelens diameter. I dette tilfælde er S = (π / 4) * d ^ 2, hvor d er cirkelens diameter. Lad os tage det samme eksempel, hvor radius er 5 cm. Derefter vil dens diameter være 5 * 2 = 10 cm. Cirkelens område S = 3,14 / 4 * 10 ^ 2 = 78,5 kvadrat Cm. Resultatet svarende til det samlede antal beregninger i det første eksempel bekræfter rigtigheden af ​​beregningerne i begge tilfælde.

Areal af en cirkel gennem omkredsen

Hvis cirkelens radius er repræsenteret i form af omkredsen, ser formlen således ud: R = (L / 2) π. Vi erstatter dette udtryk i formlen med arealet af en cirkel, og som et resultat får vi S = (L ^ 2) / 4π. Overvej et eksempel, hvor omkredsen er 10 cm. Så er cirklens areal S = (10 ^ 2) / 4 * 3,14 = 7,96 kvm. cm.

Areal af en cirkel gennem længden af ​​en side af en indskrevet firkant

Hvis en firkant er indskrevet i en cirkel, er længden af ​​cirkelens diameter lig med længden af ​​firkantens diagonal. Ved at kende størrelsen på kvadratets side kan du let finde ud af cirkelens diameter ved hjælp af formlen: d ^ 2 = 2a ^ 2. Med andre ord er 2 -effektdiameteren 2 -magesiden af ​​kvadratet gange 2.

Når du har beregnet værdien af ​​længden af ​​en cirkels diameter, kan du finde ud af dens radius og derefter bruge en af ​​formlerne til at bestemme arealet af en cirkel.

Område i en sektor af en cirkel

En sektor er en del af en cirkel afgrænset af 2 radier og en bue mellem dem. For at finde ud af dens område skal du måle sektorens vinkel. Derefter skal du lave en brøkdel, i tælleren, hvor der vil være værdien af ​​sektorens vinkel, og i nævneren - 360. For at beregne sektorens område opnås værdien som et resultat for at dividere brøken skal ganges med arealet af cirklen beregnet ved hjælp af en af ​​de ovenstående formler.

Cirkler kræver en mere omhyggelig tilgang og er meget mindre almindelige i B5 -artikler. Samtidig er det generelle løsningsskema endnu enklere end for polygoner (se lektionen "Områder med polygoner på et koordinatgitter").

Alt hvad der kræves i sådanne opgaver er at finde radius af cirklen R. Derefter kan du beregne arealet af cirklen ved hjælp af formlen S = πR 2. Det følger også af denne formel, at for en løsning er det nok at finde R2.

For at finde de angivne værdier er det nok at pege på cirklen på det punkt, der ligger i skæringspunktet mellem gitterlinjerne. Og brug derefter Pythagoras sætning. Lad os overveje specifikke eksempler på beregning af radius:

Opgave. Find radierne for de tre cirkler vist i figuren:

Lad os udføre yderligere konstruktioner i hver cirkel:

I hvert tilfælde vælges punkt B på cirklen, så det ligger ved skæringspunktet mellem netlinjerne. Punkt C i cirkler 1 og 3 fuldender formen til en retvinklet trekant. Det er stadig at finde radierne:

Overvej en trekant ABC i den første cirkel. Ved Pythagoras sætning: R2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

For den anden cirkel er alt indlysende: R = AB = 2.

Den tredje sag ligner den første. Fra trekanten ABC ved Pythagoras sætning: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.

Nu ved vi, hvordan vi finder radius af en cirkel (eller i det mindste dens firkant). Derfor kan vi finde området. Der er opgaver, hvor du skal finde området i en sektor, og ikke hele cirklen. I sådanne tilfælde er det let at finde ud af, hvilken del af cirklen denne sektor er, og dermed finde området.

Opgave. Find området S i den fyldte sektor. Angiv venligst S / π i dit svar.

Det er klart, at sektoren er en kvart cirkel. Derfor er S = 0,25 · S cirkel.

Det er tilbage at finde S i cirklen - cirklens område. For at gøre dette udfører vi en yderligere konstruktion:

Trekant ABC er rektangulært. Ved Pythagoras sætning har vi: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Nu finder vi områderne af cirklen og sektoren: S af cirklen = πR 2 = 8π; S = 0,25 S cirkel = 2π.

Endelig er den søgte værdi S / π = 2.

Sektorområde ved ukendt radius

Dette er en helt ny type problem, intet som det var i 2010-2011. Ved betingelse får vi en cirkel af et bestemt område (nemlig området, ikke radius!). Derefter, inden for denne cirkel, fremhæves en sektor, hvis område findes.

Den gode nyhed er, at sådanne problemer er de letteste af alle firkantede problemer, der er i eksamen i matematik. Derudover placeres cirklen og sektoren altid på nettet. Derfor kan du bare se på billedet for at lære at løse sådanne problemer:

Lad den originale cirkel have området S i cirklen = 80. Derefter kan den opdeles i to sektorer med arealet S = 40 hver (se trin 2). På samme måde kan hver af disse "halvdele" sektorer deles i halve igen - vi får fire sektorer med område S = 20 hver (se trin 3). Endelig kan vi opdele hver af disse sektorer i to mere - vi får 8 "rester" sektorer. Arealet af hvert af disse "scrap" vil være S = 10.

Bemærk venligst: der er ingen finere opdeling i ethvert brugsproblem i matematik! Således er algoritmen til løsning af problem B-3 som følger:

1. Skær den originale cirkel i 8 "rester" sektorer. Arealet af hver af dem er nøjagtigt 1/8 af arealet af hele cirklen. For eksempel, hvis cirklen af ​​betingelsen har arealet S i cirklen = 240, så har "brikkerne" arealet S = 240: 8 = 30;
2. Find ud af, hvor mange "rester", der er placeret i den originale sektor, hvis område du vil finde. For eksempel, hvis der i vores sektor er 3 "stykker" med et areal på 30, så er området for den ønskede sektor S = 3 · 30 = 90. Dette vil være svaret.

Det er alt! Problemet løses praktisk talt mundtligt. Hvis du stadig ikke forstår noget, skal du købe en pizza og skære den i 8 stykker. Hvert sådant stykke vil være den samme "rester" -sektor, der kan kombineres i større stykker.

Lad os nu se på eksempler fra prøveeksamen:

Opgave. En cirkel tegnes på det ternede papir, hvis område er 40. Find området med den skraverede figur.

Så cirklens område er 40. Lad os opdele det i 8 sektorer - hver med område S = 40: 5 = 8. Vi får:

Det er klart, at den skyggefulde sektor består af nøjagtigt to "rester" sektorer. Derfor er dens område 2 · 5 = 10. Det er hele løsningen!

Opgave. En cirkel tegnes på det ternede papir, hvis område er 64. Find området med den skraverede figur.

Opdel hele cirklen i 8 lige store sektorer igen. Det er klart, at området for en af ​​dem er præcis, hvad du skal finde. Derfor er dets område S = 64: 8 = 8.

Opgave. En cirkel tegnes på ternet papir, hvis område er 48. Find området med den skraverede figur.

Opdel cirklen i 8 lige store sektorer igen. Arealet af hver af dem er lig med S = 48: 8 = 6. Præcis tre sektorer er placeret i den efterspurgte sektor - et "stykke" (se figur). Derfor er området for den ønskede sektor 3 6 = 18.