Beregning af relativ målefejl. Beregning af målefejl

1. Introduktion

Arbejdet hos kemikere, fysikere og repræsentanter for andre naturvidenskabelige erhverv involverer ofte at udføre kvantitative målinger af forskellige mængder. I dette tilfælde opstår spørgsmålet om at analysere pålideligheden af ​​de opnåede værdier, behandle resultaterne af direkte målinger og vurdere fejlene i beregninger, der bruger værdierne af direkte målte egenskaber (sidstnævnte proces kaldes også behandling af resultater indirekte mål). Af en række objektive grunde er kendskabet til kandidater fra Det Kemiske Fakultet ved Moscow State University om beregningsfejl ikke altid tilstrækkelig til korrekt behandling af de modtagne data. En af disse årsager er fraværet i fakultetspensum af et kursus om statistisk behandling af måleresultater.

På dette tidspunkt er spørgsmålet om regnefejl naturligvis blevet grundigt undersøgt. Der er en lang række metodeudviklinger, lærebøger mv., hvori du kan finde information om regnefejl. Desværre er de fleste af disse værker overbelastet med yderligere og ikke altid nødvendige oplysninger. Især kræver det meste af arbejdet i elevworkshops ikke handlinger som at sammenligne stikprøver, vurdere konvergens osv. Derfor forekommer det hensigtsmæssigt at lave en kort udvikling, der skitserer algoritmerne for de mest anvendte beregninger, hvilket er hvad denne udvikling er afsat til.

2. Notation vedtaget i dette værk

Den målte værdi - gennemsnitsværdien af ​​den målte værdi - den absolutte fejl af gennemsnitsværdien af ​​den målte værdi - den relative fejl af middelværdien af ​​den målte værdi.

3. Beregning af fejl ved direkte målinger

Så lad os antage, at de blev udført n målinger af samme mængde under samme forhold. I dette tilfælde kan du beregne gennemsnitsværdien af ​​denne værdi i de foretagne målinger:

(1)

Hvordan beregner man fejlen? Efter følgende formel:

(2)

Denne formel bruger Student-koefficienten. Dens værdier ved forskellige tillidssandsynligheder og værdier er angivet.

3.1. Et eksempel på beregning af fejl ved direkte målinger:

Opgave.

Længden af ​​metalstangen blev målt. Der blev foretaget 10 målinger, og følgende værdier blev opnået: 10 mm, 11 mm, 12 mm, 13 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm. Det er nødvendigt at finde gennemsnitsværdien af ​​den målte mængde (længde af bjælken) og dens fejl.

Løsning.

Ved hjælp af formel (1) finder vi:

mm

Nu ved hjælp af formel (2) finder vi den absolutte fejl af gennemsnitsværdien med tillidssandsynlighed og antallet af frihedsgrader (vi bruger værdien = 2,262, taget fra):

Lad os skrive resultatet ned:

10,8±0,7 0,95 mm

4. Beregning af fejl ved indirekte målinger

Lad os antage, at under forsøget måles mængderne , og så c Ved hjælp af de opnåede værdier beregnes værdien ved hjælp af formlen . I dette tilfælde beregnes fejlene for direkte målte mængder som beskrevet i afsnit 3.

Beregningen af ​​gennemsnitsværdien af ​​en mængde udføres i henhold til afhængigheden ved hjælp af gennemsnitsværdierne af argumenterne.

Fejlværdien beregnes ved hjælp af følgende formel:

,(3)

hvor er antallet af argumenter, er den partielle afledte af funktionen i forhold til argumenterne, er den absolutte fejl af argumentets gennemsnitlige værdi.

Den absolutte fejl, som ved direkte målinger, beregnes ved hjælp af formlen.

4.1. Et eksempel på beregning af fejl ved direkte målinger:

Opgave.

Der blev udført 5 direkte målinger af og. Følgende værdier blev opnået for værdien: 50, 51, 52, 50, 47; følgende værdier blev opnået for mængden: 500, 510, 476, 354, 520. Det er påkrævet at beregne værdien af ​​mængden bestemt af formlen og finde fejlen for den opnåede værdi.

Fysik er en eksperimentel videnskab, hvilket betyder, at fysiske love etableres og verificeres ved at akkumulere og sammenligne eksperimentelle data. Formålet med fysikværkstedet er, at eleverne gennem erfaring studerer grundlæggende fysiske fænomener, lærer at måle de numeriske værdier af fysiske størrelser korrekt og sammenligne dem med teoretiske formler.

Alle målinger kan opdeles i to typer - lige Og indirekte.

På direkte Ved målinger opnås værdien af ​​den ønskede mængde direkte fra aflæsningerne af måleapparatet. Så for eksempel længde måles med en lineal, tid måles med et ur osv.

Hvis den ønskede fysiske størrelse ikke kan måles direkte af apparatet, men udtrykkes gennem de målte mængder ved hjælp af en formel, så kaldes sådanne målinger indirekte.

Måling af en hvilken som helst mængde giver ikke en absolut nøjagtig værdi for den mængde. Hver måling indeholder altid en eller anden fejl (fejl). Fejlen er forskellen mellem den målte og sande værdi.

Fejl opdeles normalt i systematisk Og tilfældig.

Systematisk kaldet en fejl, der forbliver konstant gennem hele rækken af ​​målinger. Sådanne fejl er forårsaget af måleinstrumentets ufuldkommenhed (for eksempel enhedens nulforskydning) eller målemetoden og kan i princippet udelukkes fra det endelige resultat ved at indføre en passende korrektion.

Systematiske fejl omfatter også fejl på måleinstrumenter. Nøjagtigheden af ​​enhver enhed er begrænset og er karakteriseret ved dens nøjagtighedsklasse, som normalt er angivet på måleskalaen.

Tilfældig kaldet en fejl, der varierer i forskellige forsøg og kan være både positiv og negativ. Tilfældige fejl er forårsaget af årsager, der afhænger både af måleapparatet (friktion, mellemrum osv.) og af eksterne forhold (vibrationer, spændingsudsving i netværket osv.).

Tilfældige fejl kan ikke udelukkes empirisk, men deres indflydelse på resultatet kan reduceres ved gentagne målinger.

Beregning af fejl i direkte målinger - gennemsnitsværdi og gennemsnitlig absolut fejl.

Lad os antage, at vi udfører en række målinger af værdien X. På grund af tilstedeværelsen af ​​tilfældige fejl får vi n forskellige betydninger:

X 1, X 2, X 3… X n

Gennemsnitsværdien tages normalt som måleresultat

Forskellen mellem gennemsnit og resultat jeg – af den måling vil vi kalde den absolutte fejl af denne måling

Som et mål for fejlen i gennemsnitsværdien kan vi tage gennemsnitsværdien af ​​den absolutte fejl af en individuel måling

(2)

Størrelse
kaldet den aritmetiske middelværdi (eller den gennemsnitlige absolutte) fejl.

Derefter skal måleresultatet skrives i skemaet

(3)

For at karakterisere nøjagtigheden af ​​målinger bruges den relative fejl, som normalt udtrykkes i procent

(4)

Lad de systematiske fejl i målinger være ubetydelige. Lad os overveje tilfældet, når målingen udføres et stort antal gange (n→∞).

Som erfaringen viser, er afvigelsen af ​​måleresultater fra deres gennemsnitsværdi op eller ned den samme. Måleresultater med små afvigelser fra gennemsnitsværdien observeres meget oftere end ved store afvigelser.

Lad os arrangere alle de numeriske værdier af måleresultaterne i en serie i stigende rækkefølge og opdele denne serie i lige store intervaller
. Lade – antal målinger med resultater, der falder inden for intervallet [
]. Størrelse
der er en sandsynlighed ΔP i (x) for at opnå et resultat med en værdi i intervallet [
].

Lad os præsentere det grafisk
, svarende til hvert interval [
] (fig. 1). Den trinvise kurve vist i fig. 1 kaldes et histogram. Lad os antage, at måleapparatet har ekstrem høj følsomhed. Så kan bredden af ​​intervallet gøres uendeligt lille dx. Den trinvise kurve i dette tilfælde erstattes af en kurve repræsenteret af funktionen φ(x) (fig. 2). Funktionen φ(x) kaldes normalt fordelingstæthedsfunktionen. Dets betydning er, at produktet φ(x)dx er sandsynligheden dP(x) for at opnå resultater med en værdi i området fra x til x+dx. Grafisk er sandsynlighedsværdien repræsenteret som arealet af et skraveret rektangel. Analytisk er fordelingstæthedsfunktionen skrevet som følger:

. (5)

Funktionen φ(x) præsenteret i formen (5) kaldes Gauss-funktionen, og den tilsvarende fordeling af måleresultater er Gaussisk eller normal.

Muligheder
og σ har følgende betydning (fig. 2).

– gennemsnitsværdi af måleresultater. På
=
den Gaussiske funktion når sin maksimale værdi. Hvis antallet af dimensioner er uendeligt stort, så
lig med den sande værdi af den målte mængde.

σ – karakteriserer graden af ​​spredning af måleresultater ud fra deres gennemsnitsværdi. Parameteren σ beregnes ved hjælp af formlen:

. (6)

Denne parameter repræsenterer den gennemsnitlige kvadratiske fejl. Størrelsen σ 2 i sandsynlighedsteori kaldes spredningen af ​​funktionen φ(x).

Jo højere målenøjagtigheden er, jo tættere er måleresultaterne på den sande værdi af den målte størrelse, og derfor er σ mindre.

Formen af ​​funktionen φ(x) afhænger naturligvis ikke af antallet af dimensioner.

Sandsynlighedsteori viser, at 68 % af alle målinger vil give et resultat, der ligger i intervallet, 95 % i intervallet og 99,7 % i intervallet.

Med en sandsynlighed (reliabilitet) på 68 % ligger måleresultatets afvigelse fra gennemsnitsværdien således i intervallet [
], med en sandsynlighed (pålidelighed) på 95 % – i intervallet [
] og med en sandsynlighed (reliabilitet) på 99,7 % – i intervallet [
].

Intervallet svarende til en bestemt sandsynlighed for afvigelse fra gennemsnitsværdien kaldes konfidens.

I rigtige eksperimenter kan antallet af dimensioner naturligvis ikke være uendeligt stort, så det er usandsynligt
faldt sammen med den sande værdi af den målte værdi
. I denne forbindelse er det vigtigt at estimere, baseret på sandsynlighedsteori, størrelsen af ​​den mulige afvigelse
fra
.

Beregninger viser, at når antallet af målinger er mere end 20, med en sandsynlighed på 68 %
falder inden for konfidensintervallet [
], med en sandsynlighed på 95 % – i intervallet[
], med en sandsynlighed på 99,7 % – i intervallet [
].

Størrelse , som definerer grænserne for konfidensintervallet, kaldes standardafvigelsen eller blot standarden.

Standard beregnet med formlen:

. (7)

Under hensyntagen til formel (6) har udtryk (7) følgende form:

. (8)

Jo større antal dimensioner n er, jo tættere er X
. Hvis antallet af målinger ikke er stort, mindre end 15, så anvendes i stedet for Gauss-fordelingen Student-fordelingen, hvilket fører til en forøgelse af bredden af ​​konfidensintervallet for den mulige afvigelse af X fra
int n, p gange.

Faktoren t n, p kaldes Student-koefficienten. Indeksene P og n angiver med hvilken pålidelighed og til hvilket antal målinger Student-koefficienten svarer. Værdien af ​​Student-koefficienten for et givet antal målinger og en given pålidelighed bestemmes i henhold til tabel 1.

tabel 1

Elevens koefficient.

For eksempel, med en given reliabilitet på 95 % og antallet af målinger n = 20, Elevens koefficient t 20,95 = 2,1 (konfidensinterval
) med antallet af målinger n=4, t 4,95 =3,2 (konfidensinterval
). Det vil sige med en stigning i antallet af målinger fra 4 til 20, en mulig afvigelse
fromX falder med 1.524 gange.

Nedenfor er et eksempel på beregning af den absolutte tilfældige fejl

Ved hjælp af formel (2) finder vi gennemsnitsværdien af ​​den målte værdi
(uden at angive dimensionen af ​​den fysiske mængde)

.

Ved hjælp af formel (8) beregner vi standardafvigelsen

.

Elevens koefficient bestemt for n=6 og P=95%, t 6,95 =2,6 slutresultat:

X=20,1±2,6·0,121=20,1±0,315 (med P=95%).

Vi beregner den relative fejl:

.

Ved registrering af det endelige måleresultat skal man huske på, at fejlen kun må indeholde ét signifikant tal (udover nul). To signifikante tal i fejlen registreres kun, hvis næstsidste tal er 1. Det nytter ikke at registrere et større antal signifikante tal, da de ikke vil være pålidelige. Ved registrering af middelværdien af ​​den målte værdi skal det sidste ciffer tilhøre samme ciffer som det sidste ciffer i registreringen af ​​fejlen.

X=(243±5)·102;

X=232,567±0,003.

At tage flere målinger kan give det samme resultat. Dette er muligt, hvis måleapparatets følsomhed er lav. Når målingen foretages med et apparat med lav følsomhed, er en enkelt måling tilstrækkelig. Det giver for eksempel ingen mening at gentagne gange måle bordets længde med et målebånd med centimeterinddelinger. Måleresultatet i dette tilfælde vil være det samme. Fejlen under en enkelt måling bestemmes af værdien af ​​den mindste division af enheden. Det kaldes instrumentfejl. Dens betydning
beregnet ved hjælp af følgende formel:

, (10)

hvor γ er deleprisen for enheden;

t ∞, p – Elevkoefficient svarende til et uendeligt stort antal målinger.

Under hensyntagen til instrumentfejlen bestemmes den absolutte fejl med en given pålidelighed af formlen:

, (11)

Hvor
.

Under hensyntagen til formlerne (8) og (10), er (11) skrevet som følger:

. (12)

I litteraturen, for at forkorte posten, er størrelsen af ​​fejlen nogle gange ikke angivet. Størrelsen af ​​fejlen antages at være halvdelen af ​​det sidste signifikante ciffer. For eksempel er jordens radius skrevet i formen
m. Det betyder, at fejlen skal tages som en værdi lig med ±
m.