Teoreettinen materiaali. Mitä ovat funktion ääriarvot: maksimin ja minimin kriittiset pisteet Funktion maksimin ja minimin ääriarvot
merkitys
Suurin
merkitys
Vähiten
Maksimipiste
Minimipiste
Ekstreemifunktion pisteiden löytämisongelmat ratkaistaan vakiokaavion mukaisesti 3 vaiheessa.
Vaihe 1. Etsi funktion derivaatta
- Muista alkeisfunktioiden derivaattakaavat ja differentioinnin perussäännöt derivaatan löytämiseksi.
y′(x)=(x3-243x+19)′=3x2-243.
Vaihe 2. Etsi derivaatan nollat
- Ratkaise tuloksena oleva yhtälö löytääksesi derivaatan nollat.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
Vaihe 3. Etsi äärimmäisiä kohtia
- Käytä intervallimenetelmää derivaatan etumerkkien määrittämiseen;
- Minimipisteessä derivaatta on yhtä suuri kuin nolla ja muuttaa etumerkkiä miinuksesta plussaan ja maksimipisteessä plussasta miinukseen.
Käytetään tätä lähestymistapaa seuraavan ongelman ratkaisemiseen:
Etsi funktion y=x3−243x+19 maksimipiste.
1) Etsi derivaatta: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) Ratkaise yhtälö y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) Derivaata on positiivinen kohdille x>9 ja x<−9 и отрицательная при −9 Kuinka löytää funktion suurin ja pienin arvo Voit ratkaista funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämisen ongelman tarpeellista: Auttaa monissa tehtävissä lause: Jos janalla on vain yksi ääripiste ja tämä on minimipiste, siinä saavutetaan funktion pienin arvo. Jos tämä on maksimipiste, siellä saavutetaan suurin arvo. 14. Epämääräisen integraalin käsite ja perusominaisuudet. Jos toiminto f(x X, Ja k– numero siis Lyhyesti sanottuna: vakio voidaan ottaa pois integraalimerkistä. Jos toiminnot f(x) Ja g(x) sisältävät antijohdannaisia X, Tuo Lyhyesti sanottuna: summan integraali on yhtä suuri kuin integraalien summa. Jos toiminto f(x) -välillä on antijohdannainen X, sitten tämän intervallin sisäpisteille: Lyhyesti sanottuna: integraalin derivaatta on yhtä suuri kuin integrandi. Jos toiminto f(x) on jatkuva aikavälillä X ja on differentioituva tämän intervallin sisäpisteissä, niin: Lyhyesti sanottuna: funktion differentiaalin integraali on yhtä suuri kuin tämä funktio plus integrointivakio. Annetaan tiukka matemaattinen määritelmä määrittelemättömän integraalin käsitteet. Muodon ilmaisua kutsutaan funktion integraali f(x)
, Missä f(x)
- annettu integrandifunktio (tunnettu), dx
- erotus x
, jossa symboli on aina läsnä dx
. Määritelmä. Epämääräinen integraali kutsutaan funktioksi F(x) + C
, joka sisältää mielivaltaisen vakion C
, jonka ero on yhtä suuri kuin integrand ilmaisu f(x)dx
, eli Muistutetaan, että - differentiaalitoiminto ja se määritellään seuraavasti: Ongelman löytäminen epämääräinen integraali on löytää sellainen toiminto johdannainen joka on yhtä suuri kuin integrandi. Tämä funktio määritetään vakion tarkkuudella, koska vakion derivaatta on nolla. Esimerkiksi tiedetään, että , niin sitten käy niin Ongelman löytäminen epämääräinen integraali toiminnot ei ole niin yksinkertaista ja helppoa kuin miltä näyttää ensi silmäyksellä. Monissa tapauksissa on oltava taitoa työskennellä epämääräiset integraalit, täytyy olla kokemusta, joka tulee harjoituksen myötä ja jatkuvaa ratkaisemaan esimerkkejä epämääräisistä integraaleista. Kannattaa ottaa huomioon se tosiasia määrittelemättömät integraalit joistakin funktioista (niitä on melko paljon) ei oteta perusfunktioissa. 15. Taulukko epämääräisistä perusintegraaleista. Peruskaavat 16. Integraalisumman rajana määrätty integraali. Integraalin geometrinen ja fyysinen merkitys. Olkoon funktio y=ƒ(x) määritelty välille [a; b], a< b. Выполним следующие действия. 1. Käyttämällä pisteitä x 0 = a, x 1, x 2, ..., x n = B (x 0 2. Valitse kussakin osasegmentissä i = 1,2,...,n mielivaltainen piste, jossa on i є ja laske siinä olevan funktion arvo, eli arvo ƒ(i:n kanssa). 3. Kerro funktion löydetty arvo ƒ (i:n kanssa) vastaavan osasegmentin pituudella ∆x i =x i -x i-1: ƒ (i:n kanssa) ∆x i. 4. Tehdään kaikkien tällaisten tulojen summa S n: Muodon (35.1) summaa kutsutaan funktion y = ƒ(x) kokonaissummaksi välillä [a; b]. Merkitään λ:lla suurimman osasegmentin pituus: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. Etsitään integraalisumman (35.1) raja, kun n → ∞ niin, että λ→0. Jos tässä tapauksessa integraalisummalla S n on raja I, joka ei riipu segmentin [a; b] osittaisjanoilla eikä niissä olevien pisteiden valinnassa, niin lukua I kutsutaan funktion y = ƒ(x) määrätyksi integraaliksi janalla [a; b] ja on merkitty siten, Lukuja a ja b kutsutaan integroinnin ala- ja ylärajaksi, ƒ(x) - integrandifunktio, ƒ(x) dx - integrandi, x - integroinnin muuttuja, segmentti [a; b] - integrointialue (segmentti). Funktio y=ƒ(x), jolle välillä [a; b] tällä välillä on kiinteä integraali, jota kutsutaan integroitavaksi. Muotoilkaamme nyt lause määrätyn integraalin olemassaololle. Lause 35.1 (Cauchy). Jos funktio y = ƒ(x) on jatkuva välillä [a; b], sitten määrällinen integraali Huomaa, että funktion jatkuvuus on riittävä ehto sen integroitavuudelle. Määrätty integraali voi kuitenkin olla olemassa myös joillekin epäjatkuville funktioille, erityisesti mille tahansa funktiolle, joka on rajoittunut väliin, jossa on äärellinen määrä epäjatkuvuuspisteitä. Osoittakaamme joitain määrätyn integraalin ominaisuuksia, jotka seuraavat suoraan sen määritelmästä (35.2). 1. Määrätty integraali on riippumaton integrointimuuttujan nimestä: Tämä johtuu siitä, että integraalisumma (35.1) ja siten sen raja (35.2) eivät riipu siitä, millä kirjaimella tietyn funktion argumentti on merkitty. 2. Määrätty integraali, jolla on samat integrointirajat, on yhtä suuri kuin nolla: 3. Mille tahansa reaaliluvulle c. 17. Newton-Leibnizin kaava. Määrätyn integraalin perusominaisuudet. Anna toiminnon y = f(x) jatkuva segmentillä
Ja F(x) on yksi tämän segmentin funktion antijohdannaisista Newton-Leibnizin kaava: Newton-Leibnizin kaavaa kutsutaan integraalilaskennan peruskaava. Newton-Leibnizin kaavan todistamiseksi tarvitsemme käsitteen integraalista, jolla on muuttuva yläraja. Jos toiminto y = f(x) jatkuva segmentillä
, niin argumentille muodon integraali on ylärajan funktio. Merkitään tämä funktio Todellakin, kirjoitetaan argumentin inkrementtiä vastaavan funktion inkrementti ja käytetään määrätyn integraalin viidettä ominaisuutta ja kymmenestä ominaisuudesta saatua seurausta: Kirjoitetaan tämä yhtäläisyys muotoon Lasketaan Fa), käyttämällä määrätyn integraalin ensimmäistä ominaisuutta: Toiminnon lisäys merkitään yleensä nimellä Newton-Leibnizin kaavan soveltamiseksi riittää, että tunnemme yhden antijohdannaisista y=F(x) integrand-toiminto y=f(x) segmentillä
ja laske tämän antijohdannaisen lisäys tälle segmentille. Artikkelin integrointimenetelmät käsittelevät tärkeimpiä tapoja löytää antiderivaatti. Annetaan muutama esimerkki määrällisten integraalien laskemisesta käyttämällä selvennyksenä Newton-Leibnizin kaavaa. Esimerkki. Laske määrätyn integraalin arvo Newton-Leibnizin kaavalla. Ratkaisu. Aluksi huomaamme, että integrandi on jatkuva välissä
, joten se on integroitavissa siihen. (Puhuimme integroitavista funktioista osiossa funktioista, joille on olemassa selvä integraali.) Epämääräisten integraalien taulukosta käy selvästi ilmi, että funktiolle antiderivaattien joukko argumentin kaikille todellisille arvoille (ja siten arvolle ) kirjoitetaan muodossa Nyt on vielä käytettävä Newton-Leibnizin kaavaa määrätyn integraalin laskemiseen: 18. Määrällisen integraalin geometriset sovellukset. MÄÄRITETTYN INTEGRAALIN GEOMETRISET SOVELLUKSET Kehon tilavuuden laskeminen Kappaleen tilavuuden laskeminen yhdensuuntaisten poikkileikkausten tunnetuista alueista: Pyörimisrungon tilavuus: ; . Esimerkki 1. Etsi kuvion pinta-ala, jota y=sinx rajoittaa suorilla viivoilla Ratkaisu: Kuvan alueen löytäminen: Esimerkki 2. Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala Ratkaisu: Etsitään näiden funktioiden kuvaajien leikkauspisteiden abskissa. Tätä varten ratkaisemme yhtälöjärjestelmän Täältä löydämme x 1 = 0, x 2 = 2,5. 19. Differentiaalisen ohjauksen käsite. Ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöt. Differentiaaliyhtälö- yhtälö, joka yhdistää funktion derivaatan arvon itse funktioon, itsenäisen muuttujan arvoihin ja numeroihin (parametreihin). Yhtälöön sisältyvien johdannaisten järjestys voi olla erilainen (muodollisesti sitä ei rajoita mikään). Derivaatat, funktiot, riippumattomat muuttujat ja parametrit voivat esiintyä yhtälössä useissa yhdistelmissä tai kaikki yhtä lukuun ottamatta derivaatat voivat puuttua kokonaan. Kaikki tuntemattoman funktion johdannaisia sisältävät yhtälöt eivät ole differentiaaliyhtälöitä. Esimerkiksi, Osittaisdifferentiaaliyhtälöt(PDF) ovat yhtälöitä, jotka sisältävät useiden muuttujien tuntemattomia funktioita ja niiden osittaisia derivaattoja. Tällaisten yhtälöiden yleinen muoto voidaan esittää seuraavasti: missä ovat riippumattomat muuttujat, ja se on näiden muuttujien funktio. Osittaisten differentiaaliyhtälöiden järjestys voidaan määrittää samalla tavalla kuin tavallisille differentiaaliyhtälöille. Toinen tärkeä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden luokittelu on niiden jako elliptisiin, parabolisiin ja hyperbolisiin yhtälöihin, erityisesti toisen kertaluvun yhtälöille. Sekä tavalliset differentiaaliyhtälöt että osittaiset differentiaaliyhtälöt voidaan jakaa lineaarinen Ja epälineaarinen. Differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos tuntematon funktio ja sen derivaatat tulevat yhtälöön vain ensimmäisessä asteessa (eikä kerrota keskenään). Tällaisille yhtälöille ratkaisut muodostavat funktioavaruuden affiinin aliavaruuden. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden teoriaa on kehitetty paljon syvemmälle kuin epälineaaristen yhtälöiden teoriaa. Lineaarisen differentiaaliyhtälön yleinen näkymä n- järjestys: Missä p i(x) ovat riippumattoman muuttujan tunnettuja funktioita, joita kutsutaan yhtälön kertoimiksi. Toiminto r(x) oikealla puolella kutsutaan vapaa jäsen(ainoa termi, joka ei riipu tuntemattomasta funktiosta) Tärkeä erityinen lineaaristen yhtälöiden luokka ovat lineaariset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimet. Lineaaristen yhtälöiden alaluokka ovat homogeeninen differentiaaliyhtälöt - yhtälöt, jotka eivät sisällä vapaata termiä: r(x) = 0. Homogeenisille differentiaaliyhtälöille superpositioperiaate pätee: sellaisen yhtälön osaratkaisujen lineaarinen yhdistelmä on myös sen ratkaisu. Kaikkia muita lineaarisia differentiaaliyhtälöitä kutsutaan heterogeeninen differentiaaliyhtälöt. Epälineaarisilla differentiaaliyhtälöillä ei yleensä ole kehitetty ratkaisumenetelmiä, lukuun ottamatta joitain erikoisluokkia. Joissakin tapauksissa (käyttämällä tiettyjä approksimaatioita) ne voidaan pelkistää lineaariseksi. Esimerkiksi harmonisen oskillaattorin lineaarinen yhtälö · - toisen asteen homogeeninen differentiaaliyhtälö vakiokertoimilla. Ratkaisu on funktioperhe , jossa ja ovat mielivaltaisia vakioita, jotka tietylle ratkaisulle määritetään erikseen määritellyistä alkuehdoista. Tämä yhtälö kuvaa erityisesti harmonisen oskillaattorin liikettä, jonka syklinen taajuus on 3. Newtonin toinen laki voidaan kirjoittaa differentiaaliyhtälön muodossa missä m- kehomassa, x- sen koordinaatti, F(x, t) - voima, joka vaikuttaa kehoon koordinaatilla x tiettynä ajankohtana t. Sen ratkaisu on kehon liikerata määritellyn voiman vaikutuksesta. · Besselin differentiaaliyhtälö on tavallinen lineaarinen homogeeninen toissijainen yhtälö muuttuvilla kertoimilla: Sen ratkaisut ovat Besselin funktiot. · Esimerkki epähomogeenisesta epälineaarisesta tavallisesta 1. asteen differentiaaliyhtälöstä: Seuraavassa esimerkkiryhmässä on tuntematon funktio u riippuu kahdesta muuttujasta x Ja t tai x Ja y. · Ensimmäisen asteen homogeeninen lineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö: · Yksiulotteinen aaltoyhtälö - homogeeninen lineaarinen yhtälö toisen asteen hyperbolisen tyypin osittaisderivaataissa, joilla on vakiokertoimet, kuvaa merkkijonon värähtelyä, jos - merkkijonon taipuma pisteessä, jolla on koordinaatti x tiettynä ajankohtana t, ja parametri a asettaa merkkijonon ominaisuudet: · Laplacen yhtälö kaksiulotteisessa avaruudessa on homogeeninen lineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka on toisen asteen elliptinen tyyppi vakiokertoimilla, joka syntyy monissa mekaniikan, lämmönjohtavuuden, sähköstaattisen ja hydrauliikan fysikaalisissa ongelmissa: · Korteweg-de Vriesin yhtälö, kolmannen asteen epälineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka kuvaa paikallaan olevia epälineaarisia aaltoja, mukaan lukien solitonit: 20. Differentiaaliyhtälöt ja erotettavat soveltuvat. Lineaariset yhtälöt ja Bernoullin menetelmä. Ensimmäisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka on lineaarinen tuntemattoman funktion ja sen derivaatan suhteen. Sillä on muoto Koko voima. Todellakin, jos löydät ja korvaat yhtälöitä tarkastelun tyyppisiä, saat todellisen yhtälön. Kuten artikkelissa todetaan homogeeniset yhtälöt, jos ehdon mukaan vaaditaan vain tietyn ratkaisun löytämistä, niin funktio ei ilmeisistä syistä häiritse meitä, mutta kun vaaditaan yleisen ratkaisun/integraalin löytäminen, on varmistettava, että tämä toiminto ei ole menetetty! Toin kaikki suositut Bernoulli-yhtälön muunnelmat suuressa lahjapussissa ja aloin jakaa niitä. Ripusta sukat puun alle. Esimerkki 1 Etsi tiettyä alkuehtoa vastaavalle differentiaaliyhtälölle tietty ratkaisu. Luultavasti monet olivat yllättyneitä siitä, että ensimmäinen lahja otettiin heti pussista sen mukana Cauchy ongelma. Tämä ei ole onnettomuus. Kun Bernoullin yhtälöä ehdotetaan ratkaisuksi, jostain syystä on usein tarpeen löytää tietty ratkaisu. Kokoelmastani tein satunnaisen valinnan 10 Bernoulli-yhtälöstä, ja yleinen ratkaisu (ilman tiettyä ratkaisua) on löydettävä vain kahdesta yhtälöstä. Mutta itse asiassa tämä on pikku juttu, koska yleinen ratkaisu on joka tapauksessa etsittävä. Ratkaisu: Tällä diffuusorilla on muoto ja siksi se on Bernoullin yhtälö Toiminta ja sen ominaisuuksien tutkiminen on yksi modernin matematiikan keskeisistä luvuista. Minkä tahansa funktion pääkomponentti on kaaviot, jotka kuvaavat paitsi sen ominaisuuksia, myös tämän funktion derivaatan parametreja. Ymmärretään tämä vaikea aihe. Mikä on siis paras tapa löytää funktion maksimi- ja minimipisteet? Mitä tahansa muuttujaa, joka jollakin tavalla riippuu toisen suuren arvoista, voidaan kutsua funktioksi. Esimerkiksi funktio f(x 2) on neliöllinen ja määrittää arvot koko joukolle x. Oletetaan, että x = 9, niin funktiomme arvo on yhtä suuri kuin 9 2 = 81. Toimintoja on monenlaisia: loogisia, vektori-, logaritmisi-, trigonometrisiä, numeerisia ja muita toimintoja. Niitä tutkivat sellaiset upeat mielet kuin Lacroix, Lagrange, Leibniz ja Bernoulli. Heidän teoksensa toimivat perustana nykyaikaisille toimintojen tutkimisen tavoille. Ennen minimipisteiden löytämistä on erittäin tärkeää ymmärtää funktion ja sen derivaatan merkitys. Kaikki funktiot ovat riippuvaisia niiden muuttujista, mikä tarkoittaa, että ne voivat muuttaa arvoaan milloin tahansa. Kaaviossa tämä kuvataan käyränä, joka joko laskee tai nousee ordinaatta-akselia pitkin (tämä on koko joukko "y"-lukuja pitkin pystysuoraa kuvaajaa). Joten funktion maksimi- ja minimipisteiden määrittäminen liittyy juuri näihin "värähtelyihin". Selvitetään, mikä tämä suhde on. Minkä tahansa funktion derivaatta piirretään sen perusominaisuuksien tutkimiseksi ja laskemiseksi, kuinka nopeasti funktio muuttuu (eli muuttaa arvoaan muuttujan "x" mukaan). Sillä hetkellä, kun funktio kasvaa, myös sen derivaatan kuvaaja kasvaa, mutta minä hetkenä hyvänsä funktio voi alkaa pienentyä, jolloin derivaatan kuvaaja pienenee. Pisteitä, joissa derivaatta muuttuu miinusmerkistä plusmerkiksi, kutsutaan minimipisteiksi. Jotta tiedät kuinka löytää vähimmäispisteet, sinun pitäisi ymmärtää paremmin Määritelmä ja funktiot sisältävät useita käsitteitä kohteesta Yleisesti derivaatan määritelmä voidaan ilmaista seuraavasti: tämä on suure, joka osoittaa funktion muutosnopeuden. Matemaattinen tapa määrittää se näyttää monille opiskelijoille monimutkaiselta, mutta todellisuudessa kaikki on paljon yksinkertaisempaa. Sinun tarvitsee vain noudattaa vakiosuunnitelmaa minkä tahansa funktion johdannaisen löytämiseksi. Alla kuvataan, kuinka voit löytää funktion minimipisteen soveltamatta differentiaatiosääntöjä ja muistamatta derivaattataulukkoa. Koulun matematiikan opetussuunnitelmassa on mahdollista löytää funktion minimipiste kahdella tavalla. Olemme jo keskustelleet ensimmäisestä menetelmästä graafin avulla, mutta kuinka voimme määrittää derivaatan numeerisen arvon? Tätä varten sinun on opittava useita kaavoja, jotka kuvaavat derivaatan ominaisuuksia ja auttavat muuttamaan muuttujat, kuten "x" numeroiksi. Seuraava menetelmä on universaali, joten sitä voidaan soveltaa lähes kaikentyyppisiin funktioihin (sekä geometrisiin että logaritmiin). Peruskomponentti funktion ja sen derivaatan tutkimisessa on erilaistumissääntöjen tuntemus. Vain heidän avullaan voit muuttaa hankalia lausekkeita ja suuria monimutkaisia toimintoja. Tutustutaanpa niihin, niitä on melko paljon, mutta ne ovat kaikki hyvin yksinkertaisia sekä potenssi- että logaritmisfunktioiden luonnollisten ominaisuuksien vuoksi. Olemme jo keskustelleet minimipisteiden löytämisestä, mutta olemassa on myös funktion maksimipisteiden käsite. Jos minimi tarkoittaa niitä pisteitä, joissa funktio muuttuu miinusmerkistä plussaksi, niin maksimipisteet ovat niitä x-akselin pisteitä, joissa funktion derivaatta muuttuu plussasta päinvastaiseksi - miinus. Löydät sen yllä kuvatulla menetelmällä, mutta sinun tulee ottaa huomioon, että ne osoittavat alueita, joilla funktio alkaa laskea, eli derivaatta on pienempi kuin nolla. Matematiikassa on tapana yleistää molemmat käsitteet korvaamalla ne ilmauksella "ääripisteet". Kun tehtävä pyytää sinua määrittämään nämä pisteet, se tarkoittaa, että sinun on laskettava tietyn funktion derivaatta ja löydettävä minimi- ja maksimipisteet. Suurin funktion arvo Pienin funktion arvo Kuten kummisetä sanoi: "Ei mitään henkilökohtaista." Vain johdannaisia! Tilastotehtävää 12 pidetään melko vaikeana, ja kaikki siksi, että kaverit eivät lukeneet tätä artikkelia (vitsi). Useimmissa tapauksissa syy on huolimattomuudesta. 12 tehtävää on kahta tyyppiä: Yhtenäiset valtiontutkintotehtävät: Etsi funktion maksimipiste Etsi funktion minimipiste Yhtenäiset valtiontutkintotehtävät: Etsi funktion suurin arvo väliltä [−4; −1] Vastaus: -6 Etsi segmentin funktion suurin arvo Vastaus: 11 Johtopäätökset: Lause.
(välttämätön edellytys ääripään olemassaololle) Jos funktio f(x) on differentioituva pisteessä x = x 1 ja piste x 1 on ääripiste, niin funktion derivaatta katoaa tässä pisteessä. Todiste.
Oletetaan, että funktiolla f(x) on maksimi pisteessä x = x 1. Sitten riittävän pienelle positiiviselle Dх>0 seuraava epäyhtälö on totta: A-priory: Nuo. jos Dх®0, mutta Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, sitten f¢(x 1) £0. Ja tämä on mahdollista vain, jos Dх®0 f¢(x 1) = 0. Siinä tapauksessa, että funktiolla f(x) on minimipisteessä x 2, lause todistetaan samalla tavalla. Lause on todistettu. Seuraus.
Käänteinen väite ei pidä paikkaansa. Jos funktion derivaatta tietyssä pisteessä on nolla, tämä ei tarkoita, että funktiolla on ääriarvo tässä pisteessä. Puhuva esimerkki tästä on funktio y = x 3, jonka derivaatta pisteessä x = 0 on yhtä suuri kuin nolla, mutta tässä vaiheessa funktiolla on vain taivutus, ei maksimi tai minimi. Määritelmä. Kriittiset kohdat funktiot ovat pisteitä, joissa funktion derivaatta ei ole olemassa tai on yhtä suuri kuin nolla. Yllä käsitelty lause antaa meille tarvittavat ehdot ääripään olemassaololle, mutta tämä ei riitä. Esimerkki: f(x) = ôxô Esimerkki: f(x) = Pisteessä x = 0 funktiolla on minimi, mutta pisteessä x = 0 funktiolla ei ole kumpaakaan ei ole johdannaista. maksimi, ei minimiä, ei tuotantoa Yleisesti ottaen funktiolla f(x) voi olla ääriarvo pisteissä, joissa derivaatta ei ole olemassa tai se on nolla. Lause.
(Riittävästi edellytykset ääripään olemassaololle) Olkoon funktio f(x) jatkuva alueella (a, b), joka sisältää kriittisen pisteen x 1, ja differentioituva kaikissa tämän välin pisteissä (paitsi ehkä itse piste x 1). Jos funktion f¢(x) derivaatta vaihtaa pisteen x 1 kautta vasemmalta oikealle merkin "+":sta "-", niin pisteessä x = x 1 funktiolla f(x) on maksimi, ja jos derivaatan etumerkki muuttuu arvosta "-" arvoon "+" - funktiolla on minimi. Todiste.
Antaa Lagrangen lauseen mukaan: f(x) – f(x 1) = f¢(e)(x – x 1), missä x< e < x 1 . Sitten: 1) Jos x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1). 2) Jos x > x 1, niin e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1). Koska vastaukset ovat samat, voimme sanoa, että f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума. Vähimmäispisteen lauseen todistus on samanlainen. Lause on todistettu. Yllä olevan perusteella voit kehittää yhtenäisen menettelyn segmentin funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi: 1) Etsi funktion kriittiset pisteet. 2) Etsi funktion arvot kriittisissä pisteissä. 3) Etsi funktion arvot segmentin päistä. 4) Valitse saaduista arvoista suurin ja pienin. Opiskellaan funktiota ääripäälle käyttäen korkeamman asteen johdannaiset. Olkoon pisteessä x = x 1 f¢(x 1) = 0 ja f¢¢(x 1) olemassa ja jatkuva jossain pisteen x 1 ympäristössä. Lause.
Jos f¢(x 1) = 0, niin funktiolla f(x) pisteessä x = x 1 on maksimi, jos f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.
Todiste.
Olkoon f¢(x 1) = 0 ja f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 . Koska f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 x:ssä Vähimmäisfunktion tapauksessa lause todistetaan samalla tavalla. Jos f¢¢(x) = 0, niin kriittisen pisteen luonne on tuntematon. Sen määrittämiseksi tarvitaan lisätutkimuksia. Käyrän kupera ja koveruus. Käännepisteet. Määritelmä.
Käyrä on kupera ylös välissä (a, b), jos kaikki sen pisteet ovat tämän välin minkä tahansa tangentin alapuolella. Ylöspäin kuperaa käyrää kutsutaan kupera, ja kutsutaan käyrää, joka on kuperasti alaspäin kovera. Kuvassa on esimerkki yllä olevasta määritelmästä. Lause 1.
Jos funktion f(x) toinen derivaatta on kaikissa välin (a, b) pisteissä negatiivinen, käyrä y = f(x) on ylöspäin kupera (konveksi). Todiste.
Olkoon x 0 О (a, b). Piirretään tässä vaiheessa käyrälle tangentti. Käyräyhtälö: y = f(x); Tangenttiyhtälö: Se on todistettava. Lagrangen lauseen mukaan f(x) – f(x 0): , x 0< c < x. Lagrangen lauseen mukaan Olkoon x > x 0 sitten x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 ja c – x 0 > 0 ja lisäksi ehdon mukaan Siksi,. Anna x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то Samoin on todistettu, että jos f¢¢(x) > 0 välillä (a, b), käyrä y=f(x) on kovera välillä (a, b). Lause on todistettu. Määritelmä.
Pistettä, joka erottaa käyrän kuperan osan koverasta osasta, kutsutaan käännekohta. On selvää, että käännepisteessä tangentti leikkaa käyrän. Lause 2.
Määritetään käyrä yhtälöllä y = f(x). Jos toista derivaatta f¢¢(a) = 0 tai f¢¢(a) ei ole olemassa ja kulkiessaan pisteen x = läpi a f¢¢(x) muuttaa etumerkkiä, käyrän piste abskissalla x = a on käännepiste. Todiste.
1) Olkoon f¢¢(x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >0 x > a. Sitten klo x< a кривая выпукла, а при x >a käyrä on kovera, ts. piste x = a – käännepiste. 2) Olkoon f¢¢(x) > 0 x:lle< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >b – kupera ylöspäin. Tällöin x = b on käännepiste. Lause on todistettu. Asymptootit. Funktioita tutkittaessa käy usein niin, että kun käyrän pisteen x-koordinaatti siirtyy äärettömään, käyrä lähestyy loputtomasti tiettyä suoraa. Määritelmä.
Suoraa kutsutaan asymptootti käyrä, jos etäisyys käyrän muuttuvasta pisteestä tähän suoraan pyrkii nollaan pisteen siirtyessä äärettömään. On huomattava, että jokaisella käyrällä ei ole asymptoottia. Asymptootit voivat olla suoria tai vinoja. Asymptootien esiintymisen funktioiden tutkiminen on erittäin tärkeää, ja sen avulla voit määrittää tarkemmin funktion luonteen ja käyräkaavion käyttäytymisen. Yleisesti ottaen käyrä, joka lähestyy loputtomasti asymptoottiaan, voi leikata sen, eikä yhdessä pisteessä, kuten alla olevan funktion kaaviossa näkyy Tarkastellaanpa tarkemmin menetelmiä käyrien asymptoottien löytämiseksi. Pystysuorat asymptootit. Asymptootin määritelmästä seuraa, että jos tai tai , niin suora x = a on käyrän y = f(x) asymptootti. Esimerkiksi funktiolle rivi x = 5 on pystysuora asymptootti. Viistot asymptootit. Oletetaan, että käyrällä y = f(x) on vino asymptootti y = kx + b. Merkitään käyrän ja asymptootin kohtisuoran leikkauspiste - M, P - tämän kohtisuoran ja asymptootin leikkauspiste. Merkitään asymptootin ja Ox-akselin välinen kulma j:nä. Ox-akseliin nähden kohtisuora MQ leikkaa asymptootin pisteessä N. Tällöin MQ = y on käyrän pisteen ordinaatti, NQ = on asymptootin pisteen N ordinaatta. Ehdon mukaan: , ÐNMP = j, . Kulma j on vakio eikä yhtä suuri kuin 90 0 Sitten Joten suora y = kx + b on käyrän asymptootti. Tämän suoran määrittämiseksi tarkasti on löydettävä tapa laskea kertoimet k ja b. Tuloksena olevassa lausekkeessa otetaan x pois suluista: Koska x®¥ siis Sitten Koska Huomaa, että vaaka-asymptootit ovat vino-asymptoottien erikoistapaus, kun k = 0. Esimerkki. 1) Pystyasymptootit: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, joten x = 0 on vertikaalinen asymptootti. 2) Viistot asymptootit: Siten suora y = x + 2 on vino asymptootti. Piirretään funktio: Esimerkki. Etsi asymptootteja ja piirrä funktio kaaviosta. Suorat x = 3 ja x = -3 ovat käyrän pystyasymptootteja. Etsitään vinot asymptootit: y = 0 – vaakasuuntainen asymptootti. Esimerkki. Etsi asymptootteja ja piirrä funktio kaaviosta Suora x = -2 on käyrän pystysuora asymptootti. Etsitään vinot asymptootit. Kaiken kaikkiaan suora y = x – 4 on vino asymptootti. Toimintotutkimussuunnitelma Toimintojen tutkimusprosessi koostuu useista vaiheista. Täydellisimmän ymmärryksen saamiseksi funktion käyttäytymisestä ja sen kaavion luonteesta on tarpeen löytää: 1) Toiminnon olemassaoloalue. Tämä käsite sisältää sekä arvojen alueen että funktion määritelmäalueen. 2) Murtumiskohdat. (Jos saatavilla). 3) Kasvu- ja laskuvälit. 4) Enimmäis- ja vähimmäispisteet. 5) Funktion suurin ja pienin arvo määrittelyalueellaan. 6) Kuperuuden ja koveruuden alueet. 7) Käännepisteet (jos sellaisia on). 8) Asymptootit (jos sellaisia on). 9) Kuvaajan rakentaminen. Katsotaanpa tämän järjestelmän soveltamista esimerkin avulla. Esimerkki. Tutustu funktioon ja rakenna sen kaavio. Löydämme funktion olemassaolon alueen. Se on selvää määritelmän alue funktio on alue (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). Toisaalta on selvää, että suorat x = 1, x = -1 ovat vertikaaliset asymptootit kiero. Arvoalue tämän funktion väli (-¥; ¥). Katkopisteet funktiot ovat pisteitä x = 1, x = -1. Löydämme kriittiset kohdat. Etsitään funktion derivaatta Kriittiset pisteet: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1. Etsitään funktion toinen derivaatta Määritetään käyrän kuperuus ja koveruus välein. -¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая - < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < 0, y¢¢ >0, kovera käyrä 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < , y¢¢ >0, kovera käyrä < x < ¥, y¢¢ >0, kovera käyrä Aukkojen löytäminen kasvaa Ja laskeva toimintoja. Tätä varten määritetään funktion derivaatan merkit intervalleilla. -¥ < x < - , y¢ >0, toiminto kasvaa - < x < -1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает < x < ¥, y¢¢ >0, toiminto kasvaa Voidaan nähdä, että piste x = - on piste enimmäismäärä, ja piste x = on piste minimi. Funktioarvot näissä kohdissa ovat vastaavasti -3 /2 ja 3 /2. Tietoja pystysuorasta asymptootteja on jo sanottu edellä. Nyt etsitään vinoja asymptootteja. Yhteensä vinon asymptootin yhtälö on y = x. Rakennetaan ajoittaa Ominaisuudet: Useiden muuttujien funktiot
Kun tarkastellaan useiden muuttujien funktioita, rajoitamme kahden muuttujan funktioiden yksityiskohtaiseen kuvaukseen, koska kaikki saadut tulokset ovat voimassa mielivaltaisen määrän muuttujia funktioille. Määritelmä: Jos jokainen toisistaan riippumattomien lukujen pari (x, y) tietystä joukosta, jonkin säännön mukaan, liittyy yhteen tai useampaan muuttujan z arvoon, muuttujaa z kutsutaan kahden muuttujan funktioksi. Määritelmä:
Jos lukupari (x, y) vastaa yhtä arvoa z, funktiota kutsutaan yksiselitteinen ja jos useampi kuin yksi, niin polysemanttinen. Määritelmä: Määritelmäalue funktio z on joukko pareja (x, y), joille funktio z on olemassa. Määritelmä: Pisteen naapurusto Säteen r M 0 (x 0, y 0) on joukko pisteitä (x, y), jotka täyttävät ehdon Määritelmä:
Numeroa A kutsutaan raja funktio f(x, y) pisteenä M(x, y) pyrkii pisteeseen M 0 (x 0, y 0), jos jokaiselle luvulle e > 0 on sellainen luku r > 0, että missä tahansa pisteessä M (x, y), jolle ehto on tosi ehto on myös totta Kirjoita ylös: Määritelmä:
Olkoon piste M 0 (x 0, y 0) funktion f(x, y) määritelmäalueeseen. Sitten kutsutaan funktiota z = f(x, y). jatkuva pisteessä M 0 (x 0, y 0), jos ja piste M(x, y) pyrkii mielivaltaisella tavalla pisteeseen M 0 (x 0, y 0). Jos jossakin pisteessä ehto (1) ei täyty, tätä pistettä kutsutaan taukopiste funktiot f(x, y). Tämä voi olla seuraavissa tapauksissa: 1) Funktiota z = f(x, y) ei ole määritelty pisteessä M 0 (x 0, y 0). 2) Ei ole rajaa. 3) Tämä raja on olemassa, mutta se ei ole yhtä suuri kuin f(x 0 , y 0). Omaisuus.
Jos funktio f(x, y, …) on määritelty ja jatkuva suljetussa ja rajattu alue D, niin tässä toimialueella on ainakin yksi piste N(x 0 , y 0 , …), niin, että jäljellä oleville pisteille epäyhtälö on tosi f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …) sekä piste N 1 (x 01, y 01, ...), niin että kaikille muille pisteille epäyhtälö on tosi f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …) sitten f(x 0 , y 0 , …) = M – korkein arvo funktiot ja f(x 01 , y 01 , ...) = m – pienin arvo funktiot f(x, y, …) alueella D. Jatkuva funktio suljetussa ja rajoitetussa alueella D saavuttaa suurimman arvonsa vähintään kerran ja pienimmän arvonsa kerran. Omaisuus.
Jos funktio f(x, y, …) on määritelty ja jatkuva suljetussa rajoitetussa alueella D, ja M ja m ovat vastaavasti funktion suurin ja pienin arvo tällä alueella, niin missä tahansa pisteessä m О on pointtia N 0 (x 0, y 0, …) siten, että f(x 0, y 0, …) = m. Yksinkertaisesti sanottuna jatkuva funktio ottaa alueella D kaikki väliarvot M:n ja m:n välillä. Tämän ominaisuuden seurauksena voi olla johtopäätös, että jos luvut M ja m ovat eri etumerkkejä, niin alueella D funktio katoaa ainakin kerran. Omaisuus.
Funktio f(x, y, …), jatkuva suljetussa rajoitetussa alueella D, rajoitettu tällä alueella, jos on sellainen luku K, että alueen kaikissa pisteissä epäyhtälö on tosi Omaisuus.
Jos funktio f(x, y, …) on määritelty ja jatkuva suljetussa rajoittuneessa alueella D, niin se tasaisesti jatkuva tällä alueella, ts. mille tahansa positiiviselle luvulle e on luku D > 0, jolloin epäyhtälö pätee missä tahansa kahdessa pisteessä (x 1, y 1) ja (x 2, y 2) alueella, jotka sijaitsevat pienemmällä etäisyydellä kuin D Yllä olevat ominaisuudet ovat samanlaisia kuin yhden muuttujan funktioiden ominaisuudet, jotka ovat jatkuvia intervalleilla. Katso intervallin jatkuvien funktioiden ominaisuudet. Funktioiden derivaatat ja differentiaalit useita muuttujia. Määritelmä.
Olkoon funktio z = f(x, y) jossain toimialueella. Otetaan mielivaltainen piste M(x, y) ja asetetaan inkrementti Dx muuttujalle x. Sitten kutsutaan suuruutta D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) funktion osittainen lisäys x:ssä. Voit kirjoittaa ylös Sitten sitä kutsutaan osittainen johdannainen funktiot z = f(x, y) x:ssä. Nimitys: Funktion osittaisderivaata y:n suhteen määritetään samalla tavalla. Geometrinen tunne osittaisderivaata (oletetaan) on pisteessä N 0 (x 0, y 0, z 0) piirretyn tangentin kaltevuuskulman tangentti tason y = y 0 pinnan leikkaukseen. Täysi lisäys ja täysi erotus.
tangenttitaso Olkoot N ja N 0 tämän pinnan pisteitä. Piirretään suora NN 0. Tasoa, joka kulkee pisteen N 0 kautta, kutsutaan tangenttitaso pintaan, jos sekantin NN 0 ja tämän tason välinen kulma pyrkii nollaan, kun etäisyys NN 0 pyrkii nollaan. Määritelmä. Normaali pintaan pisteessä N 0 on suora viiva, joka kulkee pisteen N 0 kautta kohtisuorassa tämän pinnan tangenttitasoon nähden. Missä tahansa pisteessä pinnalla on joko vain yksi tangenttitaso tai sitä ei ole ollenkaan. Jos pinta saadaan yhtälöllä z = f(x, y), missä f(x, y) on pisteessä M 0 (x 0, y 0) differentioituva funktio, tangenttitaso pisteessä N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) on olemassa ja sillä on yhtälö: Pinnan normaalin yhtälö tässä pisteessä on: Geometrinen tunne kahden muuttujan funktion f(x, y) kokonaisdifferentiaali pisteessä (x 0, y 0) on pintaan kohdistuvan tangentin tason aplikaatio (z-koordinaatit) siirrettäessä pisteestä (x 0) , y 0) pisteeseen (x 0 + Dx, y 0 +Dу). Kuten näet, kahden muuttujan funktion kokonaisdifferentiaalin geometrinen merkitys on spatiaalinen analogi yhden muuttujan funktion differentiaalin geometriselle merkitykselle. Esimerkki. Etsi tangenttitason ja pinnan normaalin yhtälöt pisteessä M(1, 1, 1). Tangenttitason yhtälö: Normaali yhtälö: Likimääräiset laskelmat kokonaisdifferentiaalien avulla.
Funktion u kokonaisdifferentiaali on yhtä suuri kuin: Tämän lausekkeen tarkka arvo on 1,049275225687319176. Korkeamman asteen osittaiset johdannaiset. Jos funktio f(x, y) on määritelty jossain alueella D, niin myös sen osittaiset derivaatat määritellään samalla alueella tai sen osassa. Kutsumme näitä johdannaisiksi ensimmäisen asteen osittaiset johdannaiset. Näiden funktioiden johdannaiset ovat toisen asteen osittaiset johdannaiset. Jatkamalla tuloksena olevien yhtälöiden erottamista, saamme korkeamman asteen osittaiset derivaatat. Tarkastellaan funktiota y = f(x), jota tarkastellaan välillä (a, b). Jos on mahdollista osoittaa väliin (a, b) kuuluvan pisteen x1 b-naapuri siten, että kaikilla x:illä (x1, b) pätee epäyhtälö f(x1) > f(x), niin y1 = kutsutaan f1(x1). toiminnon maksimi y = f(x) katso kuva. Merkitään funktion y = f(x) maksimi arvolla max f(x). Jos on mahdollista osoittaa väliin (a, b) kuuluvan pisteen x2 b-naapuri siten, että kaikille x:lle se kuuluu O:een (x2, 6), x ei ole yhtä suuri kuin x2, epäyhtälö pätee f(x2)< f(x)
, niin y2= f(x2) kutsutaan funktion y-f(x) minimiksi (katso kuva). Katso esimerkki maksimiarvon löytämisestä seuraavasta videosta Merkitään funktion y = f(x) minimi arvolla min f(x). Toisin sanoen, funktion maksimi tai minimi y = f(x) nimeltään sen arvo, joka on suurempi (pienempi) kuin kaikki muut arvot, jotka hyväksytään riittävän lähellä annettua arvoa ja eroavat siitä. Huomautus 1. Maksimitoiminto, jonka määrittelee epätasa-arvo, kutsutaan tiukaksi maksimiksi; ei-tiukka maksimi määräytyy epäyhtälöllä f(x1) > = f(x2) Muistio 2. niillä on paikallinen luonne (nämä ovat funktion suurimmat ja pienimmät arvot vastaavan pisteen riittävän pienellä alueella); funktion yksittäiset minimit voivat olla suurempia kuin saman funktion maksimi Funktion maksimi- ja minimiarvoa kutsutaan ääriarvoksi
. Extrema in on havaittu rakentavan kuvaajia funktioista Latina ääriarvo tarkoittaa "äärimmäistä"
merkitys. Argumentin x arvoa, jossa ääriarvo saavutetaan, kutsutaan ääriarvopisteeksi. Ekstreemin välttämätön ehto ilmaistaan seuraavalla lauseella. Lause. Differentioituvan funktion ääripisteessä sen derivaatta on yhtä suuri kuin nolla. Lauseen geometrinen merkitys on yksinkertainen: differentioituvan funktion kuvaajan tangentti vastaavassa pisteessä on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa
tai funktiota kutsutaan antiderivatiivinen toiminto. Funktion antiderivaata määritetään vakioarvoon asti.
, tässä on mielivaltainen vakio.
.
, ja tämä funktio on jatkuva ja yhtäläisyys on tosi 
.
Missä .
. Jos muistamme funktion derivaatan määritelmän ja menemme rajaan kohdassa , saamme . Eli tämä on yksi funktion antiderivaatteista y = f(x) segmentillä
. Siten joukko antijohdannaisia F(x) voidaan kirjoittaa nimellä 
, Missä KANSSA– mielivaltainen vakio.
, siis,. Käyttäkäämme tätä tulosta laskettaessa F(b): , tuo on 
. Tämä yhtäläisyys antaa todistettavan Newton-Leibnizin kaavan .
. Tätä merkintää käyttämällä Newton-Leibnizin kaava saa muodon 
.
. Otetaanpa antijohdannainen C = 0: .
.Suorakulmainen S.K. Toiminto määritetty parametrisesti Polyarnaya S.K.
Tasokuvioiden pinta-alojen laskeminen
Tasokäyrän kaaren pituuden laskeminen
Kierroksen pinta-alan laskeminen
ei ole differentiaaliyhtälö.
voidaan pitää epälineaarisen matemaattisen heiluriyhtälön approksimaationa 
kun kyseessä ovat pienet amplitudit, milloin y≈ synti y.
, Tehtävä: määritelmä
Johdannainen ja sen rooli
Kuinka laskea johdannainen?
Menetelmät funktion tutkimiseen
Erottamisen säännöt
Äärimmäiset pisteet
Toimintoarvot sekä maksimi- ja minimipisteet
Kuinka toimia näissä tapauksissa? Etsi maksimi/minimipiste
Aivan oikein, ensin funktio kasvaa, sitten pienenee - tämä on maksimipiste!
Vastaus: -15 
Vastaus: -2 Etsi funktion suurin/pienin arvo
v v
klo
. Sen vino asymptootti on y = x.
.
, koska b = siis vakio 
.
, siis,
.
, Tuo 
, siis,
.
.
.
.
(1)
.
.
Minimi toiminnot
Tämän seurauksena kutsutaan funktion maksimi (minimi). paikallinen maksimi(paikallinen minimi) toisin kuin absoluuttinen maksimi (minimi) - suurin (pienin) arvo funktion määritelmäalueella.
