Määritä kulmat. Makaa ristiin
Palauttaa mieleen lause kulmakulmien yhtäläisyydestä poikittain:
Jos sekvenssi leikkaa kaksi yhdensuuntaista viivaa, poikki kulkevat kulmat ovat yhtä suuret.
Lause:
Jos sekvenssi leikkaa kaksi yhdensuuntaista viivaa, vastaavat kulmat ovat yhtä suuret.
todisteet:
Olkoon yhdensuuntaiset viivat ja ja b ristikkäin c. On tarpeen todistaa, että vastaavat kulmat 1 ja 2 ovat yhtä suuret. Koska suora ja yhdensuuntainen suoran kanssa b, niin kulmakulmat 2 ja 3 ovat yhtä suuret. ∠1 ja ∠3 ovat yhtä suuret kuin pystysuorat. Yhtälöistä ∠2 \u003d ∠3 ja ∠1 \u003d следует3 seuraa, että ∠1 \u003d ∠2. Lause todistetaan.
Olkoon viiva MN yhdensuuntainen kolmion ABC puolittimen AD kanssa.
Sitten ∠NMC \u003d ∠BAD. Itse asiassa NMC: n ja DAC: n kulmat ovat yhtä suuret kuin vastaavat kulmat, ja 'DAC \u003d \u003d BAD, koska AD on puolittaja.
Lause:
Jos sekvenssi leikkaa kaksi yhdensuuntaista viivaa, niin yksipuolisten kulmien summa on 180 astetta.
todisteet:
Olkoon yhdensuuntaiset viivat ja ja b ristikkäin c. Todista ∠1 + ∠2 \u003d 180 astetta. Koska suora ja yhdensuuntainen suoran kanssa b, sitten vastaavat 1 ja ∠3 ovat yhtä suuret. ∠2 + ∠3 \u003d 180 astetta, koska kulmat 2 ja 3 ovat vierekkäin. Sitten yhtälöistä, kulmasta ∠1 \u003d ∠3 ja ∠2 + ∠3 \u003d 180 astetta, seuraa, että ∠1 + ∠2 \u003d 180 astetta. Lause todistetaan.
Esimerkiksi: anna viivan DE olla yhdensuuntainen kolmion ABC sivun AB kanssa. Sitten ∠BAD + ∠ADE \u003d 180 astetta.
Ray BD on kulman ABC puolittaja, suora viiva DE on yhdensuuntainen suoran AB kanssa ja ∠ ЕDB \u003d 32 astetta. Minkä verran ∠CED on?
Kulmat BDE ja ABD ovat yhtä suuret kuin sisäänpäin suuntautuvat kulmat yhdensuuntaisten suorien linjojen AB ja DE ja kiinnittimen BD kanssa. Eli ∠ABD \u003d 32 astetta. Sitten ∠АВС \u003d 64 astetta, koska ВD on sen puolittaja.
Kulmat ABC ja CED ovat vastaavat kulmat yhdensuuntaisille suoraviivoille AB ja DE ja kiinnitystasolle, mikä tarkoittaa, että ne ovat yhtä suuret. Siksi ∠CED \u003d 64 astetta.
Yhden sisäisen yksipuolisen kulman astemitta, joka muodostuu kahden yhdensuuntaisen suoran kiinnityslinjan leikkauksesta, on pienempi kuin toisen asteen mitta 26 astetta. Laske näiden kulmien asteen mitat.
Anna olla ja ja b yhdensuuntaiset suorat viivat c - secant näillä yhdensuuntaisilla viivoilla, ja ∠1 ja ∠2 ovat sisäisiä yksipuolisia.
Olkoon ∠1 \u003d xsitten ∠2 \u003d x-26. Koska ∠1 ja ∠2 ovat sisäisiä yksipuolisia yhdensuuntaisilla viivoilla ja ja b ja sekantti kanssa, sitten niiden summa on 180 astetta, toisin sanoen ∠1 + ∠2 \u003d 180 astetta.
Merkki linjojen yhdenmukaisuudesta makaavien kulmien tasa-arvoa pitkin:
Jos kahden suorassa linjassa, jotka leikkaavat poikittain, leikkauskulmat ovat yhtä suuret, niin viivat ovat yhdensuuntaiset.
Lause:
Jos kahden suuntaisen suoraviivan leikkauksessa vastaavat kulmat ovat yhtä suuret, niin suorat ovat yhdensuuntaiset.
todisteet:
Oletetaan, että linjojen leikkauspisteessä ja ja b secant c vastaavat kulmat 1 ja 2 ovat yhtä suuret.
Todistetaan tämä linja ja yhdensuuntainen suoran kanssa b. Huomaa, että kulmat 2 ja 3 ovat yhtä suuret, koska ne ovat pystysuorassa.
Siksi ∠1 \u003d ∠2 ja ∠2 \u003d ∠3, seuraa, että ∠1 \u003d ∠3. Ja koska kulmat 1 ja 3 ovat poikittaissuuntaisia \u200b\u200bkulmia, jotka muodostuu suorien linjojen leikkauksesta ja ja b secant c, sitten suorien linjojen rinnankäyttömerkin avulla, joka on yhtä suuri kuin poikittaissuunnassa kulma, saamme, että suora ja yhdensuuntainen suoran kanssa b. Lause todistetaan.
Suoraan ja yhdensuuntainen suoran kanssa b. Suoraan c - sekantti näillä yhdensuuntaisilla viivoilla. Löydä kaikki kulmat, jotka ovat yhtä suuria kuin kulma 1.
∠1 \u003d ∠5, koska nämä ovat vastaavat kulmat, joissa on yhdensuuntaiset viivat. Kulmat 1 ja 1 ovat yhtä suuret kuin pystysuorat. ∠5 \u003d ∠7, koska ne ovat myös pystysuorassa. Ja siksi ∠1 \u003d ∠7.
Suoraan ja leikkaa vastaavasti kolmion ABC sivut AB ja BC pisteissä M ja N siten, että kulma BMN on yhtä suuri kuin BAC: n kulma. Osoita, että linjat MN ja AC ovat yhdensuuntaiset.
Olkoon viiva AM kiinnittyvä linjoihin MN ja AC. Silloin kulmat BMN ja BAC vastaavat suoraa MN: tä ja AC: tä ja sekvenssiä AM. Ja koska ongelman olosuhteiden mukaan nämä kulmat ovat yhtä suuret, niin viiva MN on yhdensuuntainen viivan AC kanssa. M.o.t.
Suoraan ja leikkaa vastaavasti kolmion ABC sivut AB ja BC pisteissä D ja E siten, että ∠BED on yhtä suuri kuin kulma, joka on pystysuuntainen ∠BCA: lle. Osoita, että viivat DE ja AC ovat yhdensuuntaiset.
Pystysuora ∠CAA on ∠MCN. He ovat tasa-arvoisia. Ongelman olosuhteiden mukaan ∠BED \u003d ∠MCN. Ja siksi BED: n ja ICA: n kulmat ovat samat. Lisäksi kulmat BED ja ICA vastaavat suoraa DE: tä ja AC: tä ja peräkkäistä EU: ta. Ja koska nämä kulmat ovat samat, suorat DE ja AC ovat yhdensuuntaiset. M.o.t.
Mitkä sijaitsevat samassa tasossa ja ovat joko samat tai eivät leikkaudu. Joissakin koulumääritelmissä vastaavia rivejä ei pidetä rinnakkaisina, mutta tällöin tällaista määritelmää ei pidetä.
ominaisuudet
- Parallelismi on binaarinen ekvivalenttisuhde, joten se jakaa koko viivajoukon riviluokkiin, jotka ovat yhdensuuntaiset.
- Mistä tahansa pisteestä voit piirtää tarkalleen yhden suoran tämän suuntaisesti. Tämä on euklidisen geometrian erottuva ominaisuus, muissa geometrioissa numero 1 korvataan muilla (Lobachevsky-geometriassa on ainakin kaksi tällaista viivaa)
- 2 samansuuntaista viivaa avaruudessa sijaitsevat samassa tasossa.
- Risteyksessä 2 samansuuntaista viivaa kolmas, nimeltään secant:
- Sekvenssi leikkaa välttämättä molemmat viivat.
- Risteykseen muodostuu 8 kulmaa, joista joillakin ominaisilla pareilla on erityiset nimet ja ominaisuudet:
- Makaa ristiin kulmat ovat yhtä suuret.
- liittyvä kulmat ovat yhtä suuret.
- Yksipuolinen kulmien kokonaismäärä 180 °.
Lobachevskyn geometriassa
Lobachevsky-geometriassa pisteen läpi kulkevassa tasossa C tämän linjan ulkopuolella B kulkee ääretön määrä rivejä, jotka eivät leikkaudu B . Josta ovat yhdensuuntaiset B vain kahta kutsutaan. Suoraan CE kutsutaan tasasivuiseksi (rinnakkaiseksi) viivaksi B suuntaan että B , jos:
- pistettä B ja E makaa suoran toisella puolella C ;
- suoraan CE ei ylitä linjaa B mutta jokainen säde kulkee nurkan sisällä CE ylittää palkin B .
Samoin suora, tasasivuinen B suuntaan B että .
Kaikkia muita viivoja, jotka eivät leikkaa annettua, kutsutaan ultra-rinnakkaisia tai eriäviä.
Katso myös
Wikimedia-säätiö. 2010.
Katso mitä ”Crosswise” muissa sanakirjoissa:
Tämä on rinnakkaislinjan lause. Katso halkaisijaan perustuva kulma, katso toinen lause. Thalesin lause on yksi planimetrian lauseista. Jos toisella kahdesta suorasta, asetamme useita yhtä suuria segmenttejä peräkkäin ja vetämme ne niiden päiden läpi ... ... Wikipedia
Venäjän Pyhän Annen järjestyksen perusti Holsteinin Schleswigin herttuari Karl Frederick vuonna 1736 tsesarevnan vaimon Anna Petrovnan (Pietari Suuren tytär) kunniaksi. Keisari Peter III sijoittui Venäjän tilauksiin. Pyhän Annen järjestys ...
Kaikissa Länsi-Euroopan maissa sijaitsevien metsästyskivääritilojen testaamiseen. Kuuluisimpia niistä on Lontoossa, Birmingham, Luttych, Zul ja Saint Etienne. Englannissa äskettäin käyttöön otettujen uusien sääntöjen mukaan jokainen tavaratila ... Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus ja I.A. Efron
Tämä on yhden menetelmän nimi, jolla määritetään liuosten aineiden pitoisuus; K.: n menetelmiä voidaan käyttää kvantitatiiviseen määritykseen kaikille niille aineille, jotka antavat värillisiä liuoksia tai voivat olla millä tahansa reaktiolla, ... Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus ja I.A. Efron
Valitetaan erityisistä ansioista tai erottelusta, kiinteän muodon merkki, joka on kiinnitetty teippiin, ketjuun tai muuten. On viitteitä siitä, että Itä-Rooman valtakunnassa keisarit perustivat Konstantinus Suuren ajoista lähtien ratsuväen parisuhteita tai ... Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus ja I.A. Efron
Valitetaan erityisistä ansioista tai erottelusta, kiinteän muodon merkki, joka on kiinnitetty teippiin, ketjuun tai muuten. On merkkejä siitä, että itään. Rooman valtakunta Constantine Vel.: n ajasta lähtien, keisarit perustivat ratsuväen parisuhteita tai tilauksia, ... Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus ja I.A. Efron
Tämän järjestyksen toinen perhe koostuu yhdestä suvusta ja kurkkulajeista (Odobenus rosmarus) *, suurin kaikista sorkkaeläimistä. * Anatomian murtumilla on samankaltaisia \u200b\u200bkorvan hylkeitä ja ne ovat myös lähtöisin primitiivisestä karhumaisesta ... ... Elämä
- (muu kreikkalainen: παραλληλόγραμμον παράλληλος -suuntaisesta ja γραμμή -viivasta) tämä on nelisuuntainen ... Wikipedia
Linjojen leikkaukset (animaatio) Euklidisen parallelismin aksiooma tai viides postulaatti on yksi aksioomeista ... Wikipedia
Linjojen leikkaukset (animaatio) Euklidisen parallelismin aksiooma tai viides postulaatti on yksi klassisen planimetrian taustalla olevista aksioomeista. Ensimmäistä kertaa Euclidin "Alkuissa": Ja jos kahdelle riville putoava viiva muodostaa sisäisen ja ... Wikipedia
Minkä tahansa lauseen lausunnossa voidaan erottaa kaksi osaa: ehto ja päätelmä. Lauseen ehto onko se annettu, ja johtopäätös- tämä on todistettava.
Harkitse esimerkiksi yhtä rinnakkaisviivojen merkistä:
Jos kahden suorassa linjassa, jotka leikkaavat poikittain, leikkauskulmat ovat yhtä suuret, niin viivat ovat yhdensuuntaiset.
Tässä on väittämisedellytys: Jos kahden suoraviivan leikkauksessa ristikkäin kulmat ovat yhtä suuret. Ja johtopäätös: linjat ovat yhdensuuntaiset.
Lause päinvastainen, kutsutaan lauseeksi, jossa ehto on tämän lauseen päätelmä, ja päätelmä on tämän lauseen ehto.
Lause:
Jos sekvenssi leikkaa kaksi yhdensuuntaista viivaa, poikki kulkevat kulmat ovat yhtä suuret.
todisteet:
Anna linjat ja ja b rinnakkain ja ristikkäin sekvenssillä CD. Todista, että makuukulmat 1 ja 2 ovat yhtä suuret.
Oletetaan, että kulmat 1 ja 2 eivät ole yhtä suuret. Laitamme sitten лучЕCD \u003d ∠2 säde-CD: ltä niin, että ∠ЕCD ja ∠2 ovat kulmia, jotka sijaitsevat poikittain viivojen CE ja b leikkaamalla CD.
Rakenteellisesti nämä makaavat kulmat ovat yhtä suuret, ja siksi linjan CD on yhdensuuntainen viivan kanssa b. Saimme, että kaksi linjaa kulkee pisteen C läpi ( ja ja CE) linjan suuntainen b. Ja tämä on ristiriidassa olevien linjojen aksiooman kanssa. Siksi oletus on väärä ja kulma ∠1 \u003d ∠2. M.o.t.
Suora AB on yhdensuuntainen suoran CD: n kanssa, AD on kulman BAC puolustaja, ja ∠ADC \u003d 50 astetta. Minkä asteen mitta ∠CAD on?
Koska suorat AB ja CD ovat yhdensuuntaisia \u200b\u200bja AD on näiden rinnakkaisten viivojen sekvenssi, kulmat ADC ja BAD ovat ristiin yhtä suuret. Joten ADBAD \u003d 50 astetta.
Koska AD on ∠BAC: n puolittaja, ∠CAD \u003d ∠BAD. Siksi asteen mitta ∠CAD \u003d 50 astetta.
Suora AB ja CD ovat samansuuntaiset. Segmentti AB \u003d CD. Osoita, että viiva AC on yhdensuuntainen linjan BD kanssa.
Tarkastellaan kolmion ABD ja kolmion ACD.
AB \u003d CD ongelman tilan mukaan, AD - yleinen. Ja kulmat BAD ja ADC ovat yhtä suuret kuin ristikkäin kulmat yhdensuuntaisten suorien linjojen AB ja CD ja sekantin AD kanssa. Siksi kolmiot ABD ja ACD ovat yhtä suuret kolmioiden tasa-arvon ensimmäisessä merkissä. Tämä tarkoittaa, että niillä on yhtä suuret sivut ja kulmat.
Eli ∠CAD \u003d ∠BDA. Ja nämä kulmat sijaitsevat poikittain suorassa AC: ssä ja BD: ssä ja secantissa AD: ssä. Tämä tarkoittaa, että linjat AC ja BD ovat yhdensuuntaiset. M.o.t.
Kuvassa ∠CBD \u003d ∠ADB. Todista, että ∠ВСС \u003d ∠CAD.
Kulmat CBD ja ADB ovat suorakulmaisten kulmien kulmat suorille linjoille AD ja BC ja kiinnikkeelle BD. Ja koska nämä kulmat ovat yhtä suuret, suorat AD ja BC ovat yhdensuuntaiset.
∠BCA ja ∠CAD makaavat ristikkäin yhdensuuntaisten linjojen AD ja BC ja peräkkäisen kaiuttimen kanssa, ja siksi ne ovat yhtä suuret. M.o.t.
Huomaa, että jos jokin lause todistetaan, se ei tarkoita, että sen päinvastaisuus on totta.
Esimerkiksi, jos kulmat ovat pystysuoria, niin ne ovat yhtä suuret. Mutta jos kulmat ovat yhtä suuret, se ei tarkoita, että ne ovat pystysuorat.
Kahden viivan samansuuntaisuuden merkit
Lause 1. Jos kahden suoraviivaisen viivan leikkauksessa:
makaavat kulmat ovat yhtä suuret, tai
vastaavat kulmat ovat yhtä suuret, tai
yksipuolisten kulmien summa on sitten 180 °
viivat ovat yhdensuuntaiset (kuva 1).
Todisteita. Rajoitamme todisteita tapauksesta 1.
Oletetaan, että sekantin AB viivojen a ja b leikkauspisteessä makuukulmat ovat yhtä suuret. Esimerkiksi, ∠ 4 \u003d ∠ 6. Todistetaan, että a || b.
Oletetaan, että viivat a ja b eivät ole yhdensuuntaiset. Sitten ne leikkaavat jossain pisteessä M, ja siksi yksi kulmista 4 tai 6 on kolmion ABM ulkokulma. Selvyyden vuoksi olkoon ∠ 4 kolmion ABM ulkokulma ja ∠ 6 sisäkulma. Kolmion ulkokulman lauseesta seuraa, että ∠ 4 on suurempi kuin ∠ 6, ja tämä on ristiriidassa ehdon kanssa, mikä tarkoittaa, että viivat a ja 6 eivät voi leikkautua, joten ne ovat yhdensuuntaiset.
Seuraus 1. Kaksi eri tasoa, kohtisuorassa samaan viivaan, ovat yhdensuuntaiset (kuva 2).
Kommentti. Tapaa, jolla olemme juuri todistaneet lauseen 1 tapauksen 1, kutsutaan menetelmäksi todistamaan ristiriitaisesti tai johtamaan absurdiin. Tämä menetelmä sai etunimensä, koska argumentin alussa tehdään oletus, joka on päinvastainen (vastapäätä) siihen, mikä on todistettava. Sitä kutsutaan pelkistykseksi absurdiksi johtuen siitä, että päätelmällä tehdyn olettamuksen perusteella olemme tulleet absurdiin johtopäätökseen (absurdiin). Tällaisen johtopäätöksen saaminen pakottaa meidät hylkäämään aluksi tehdyn oletuksen ja hyväksymään sen, joka vaadittiin todistamaan.
Tehtävä 1 Rakenna linja, joka kulkee tietyn pisteen M läpi ja yhdensuuntaisena tietyn linjan kanssa, joka ei kulje pisteen M läpi.
Päätös. Piirrä linjan M linja p kohtisuoraan linjaan a nähden (Kuva 3).
Vedä sitten pisteen M linjan b läpi kohtisuorassa linjaan p nähden. Lineaari b on yhdensuuntainen linjan a kanssa lauseen 1 seurauksen mukaan.
Tarkasteltavasta ongelmasta seuraa tärkeä johtopäätös:
pisteen kautta, joka ei ole annetulla viivalla, voit aina piirtää viivan tämän suuntaisesti.
Rinnakkaisviivojen pääominaisuus on seuraava.
Rinnakkaisviivojen aksioma. Tietyn pisteen kautta, joka ei ole tietyllä viivalla, vain yksi viiva kulkee samansuuntaisesti tämän kanssa.
Tarkastellaan joitain rinnakkaisviivojen ominaisuuksia, jotka seuraavat tätä aksioomia.
1) Jos viiva leikkaa toisen yhdensuuntaisista viivoista, niin se leikkaa toisen (kuva 4).
2) Jos kaksi erilaista viivaa ovat yhdensuuntaisia \u200b\u200bkolmannen viivan kanssa, niin ne ovat yhdensuuntaisia \u200b\u200b(kuva 5).
Seuraava lause on myös pätevä.
Lause 2. Jos sekantti katkaisee kaksi yhdensuuntaista viivaa, niin:
makuukulmat ovat samat poikki;
vastaavat kulmat ovat yhtä suuret;
yksipuolisten kulmien summa on 180 °.
Seuraus 2. Jos viiva on kohtisuora kahdelle yhdensuuntaiselle viivalle, niin se on kohtisuora toiseen (katso kuva 2).
Kommentti. Lausetta 2 kutsutaan käänteislauseeksi 1. Lauseen 1 päätelmä on lauseen 2 ehto. Ja Lauseen 1 ehto on lauseen 2 päätelmä. Kaikilla lauseella ei ole käänteistä, ts. Jos tämä lause on totta, käänteinen lause ei välttämättä ole totta.
Kuvailkaamme tätä esimerkiksi pystysuoran kulman lauseen avulla. Tämä lause voidaan muotoilla seuraavasti: Jos kaksi kulmaa on pystysuorassa, niin ne ovat yhtä suuret. Käänteinen lause olisi tämä: jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin ne ovat pystysuoria. Ja tämä ei tietenkään ole totta. Kahden saman kulman ei tarvitse olla ollenkaan pystysuuntaista.
Esimerkki 1 Kolmas ylittää kaksi yhdensuuntaista viivaa. Tiedetään, että ero kahden sisäisen yksipuolisen kulman välillä on 30 °. Löydä nämä kulmat.
Päätös. Anna ehdon täyttää kuva 6.
