Kuinka löytää suuren luvun juuri. Kuinka löytää neliöjuuri? Ominaisuudet, juurtumisesimerkit

Juuren poimiminen suuresta määrästä. Rakkaat ystävät!Tässä artikkelissa näytämme sinulle, kuinka voit ottaa suuren luvun juuren ilman laskinta. Tämä ei ole välttämätöntä vain tietyntyyppisten USE-ongelmien ratkaisemiseksi (sellaisia ​​​​ongelmia on liikkumiselle), mutta on myös toivottavaa tuntea tämä analyyttinen tekniikka yleistä matemaattista kehitystä varten.

Vaikuttaa siltä, ​​​​että kaikki on yksinkertaista: tee tekijöitä ja pura. Ei ole mitään ongelmaa. Esimerkiksi numero 291600, kun se on laajennettu, antaa tuotteelle:

Laskemme:

On yksi MUTTA! Menetelmä on hyvä, jos jakajat 2, 3, 4 ja niin edelleen ovat helposti määritettävissä. Mutta entä jos luku, josta poimimme juuren, on alkulukujen tulo? Esimerkiksi 152881 on lukujen 17, 17, 23, 23 tulo. Yritä löytää nämä jakajat heti.

Käsittelemämme menetelmän ydin- tämä on puhdasta analyysiä. Juuri kertyneellä taidolla löytyy nopeasti. Jos taitoa ei kehitetä, mutta lähestymistapa yksinkertaisesti ymmärretään, niin se on hieman hitaampaa, mutta silti määrätietoista.

Otetaan vuoden 190969 juuret.

Ensin määritetään, minkä lukujen (sadan kerrannaisten) välissä tuloksemme on.

Tietenkin tietyn luvun juuren tulos on välillä 400-500, koska

400 2 = 160 000 ja 500 2 = 250 000

Todella:

keskellä, lähempänä 160 000 tai 250 000?

Numero 190969 on jossain puolivälissä, mutta silti lähempänä 160000. Voimme päätellä, että juuremme tulos on alle 450. Tarkistetaan:

Itse asiassa se on alle 450, koska 190 969< 202 500.

Tarkastetaan nyt numero 440:

Joten tuloksemme on alle 440, koska 190 969 < 193 600.

Numeron 430 tarkistaminen:

Olemme todenneet, että tämän juuren tulos on välillä 430-440.

Numeroihin 1 tai 9 päättyvien lukujen tulo antaa numeroon 1 päättyvän luvun. Esimerkiksi 21 kertaa 21 on 441.

Numeroihin 2 tai 8 päättyvien lukujen tulo antaa numeroon 4 päättyvän luvun. Esimerkiksi 18 kertaa 18 on 324.

Viiteen päättyvien lukujen tulo antaa viiteen päättyvän luvun. Esimerkiksi 25 kertaa 25 on 625.

Numeroihin 4 tai 6 päättyvien lukujen tulo antaa numeroon 6 päättyvän luvun. Esimerkiksi 26 kertaa 26 on 676.

Numeroihin 3 tai 7 päättyvien lukujen tulo antaa numeroon 9 päättyvän luvun. Esimerkiksi 17 kertaa 17 on 289.

Koska numero 190969 päättyy numeroon 9, tämä tuote on joko 433 tai 437.

*Vain he voivat antaa lopussa 9, kun ne ovat neliöissä.

Tarkistamme:

Joten juuren tulos on 437.

Eli me tavallaan "tuntimme" oikean vastauksen.

Kuten näet, enimmäismäärä, joka vaaditaan, on suorittaa 5 toimintoa sarakkeessa. Ehkä pääset heti asiaan tai teet vain kolme toimenpidettä. Kaikki riippuu siitä, kuinka tarkasti teet alustavan arvion numerosta.

Pura oma juuresi 148996:sta

Tällainen erotin saadaan ongelmassa:

Moottorilaiva kulkee jokea pitkin määränpäähän 336 km ja palaa pysäköinnin jälkeen lähtöpisteeseen. Selvitä laivan nopeus tyynessä vedessä, jos virran nopeus on 5 km/h, pysäköinti kestää 10 tuntia ja laiva palaa lähtöpisteeseen 48 tuntia sieltä lähtemisen jälkeen. Anna vastauksesi yksikössä km/h.

Näytä ratkaisu

Juuren tulos on lukujen 300 ja 400 välissä:

300 2 =90000 400 2 =160000

Itse asiassa 90 000<148996<160000.

Lisäpäättelyn ydin on määrittää kuinka numero 148996 sijaitsee (etäisyys) suhteessa näihin lukuihin.

Laske erot 148996 - 90000=58996 ja 160000 - 148996=11004.

Osoittautuu, että 148996 on lähellä (paljon lähempänä) arvoa 160000. Siksi juuren tulos on varmasti suurempi kuin 350 ja jopa 360.

Voimme päätellä, että tuloksemme on suurempi kuin 370. Lisäksi on selvää: koska 148996 päättyy numeroon 6, tämä tarkoittaa, että sinun on neliöitävä joko 4:ään tai 6:een päättyvä luku. *Vain nämä luvut, kun ne ovat neliöissä loppu 6.

Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh.

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.

Ensimmäisen painoksensa In the Realm of Genuity (1908) esipuheessa E. I. Ignatiev kirjoittaa: Tulokset ovat luotettavia vain, kun johdatus matemaattisen tiedon kenttään tehdään helposti ja miellyttävästi, esineillä ja esimerkeillä arjen ja arjen tilanteista, jotka on valittu asianmukaisella nokkeluudella ja huvituksella.

Vuoden 1911 "The Role of Memory in Mathematics" -julkaisun esipuheessa E.I. Ignatiev kirjoittaa "... matematiikassa ei pitäisi muistaa kaavoja, vaan ajatteluprosessi."

Neliöjuuren poimimiseksi on kaksinumeroisten lukujen neliötaulukot, voit jakaa luvun alkutekijöiksi ja poimia neliöjuuren tuotteesta. Neliötaulukko ei riitä, juuren erottaminen factoring-menetelmällä on aikaa vievä tehtävä, joka ei myöskään aina johda haluttuun tulokseen. Yritä erottaa luvun 209764 neliöjuuri? Hajottaminen alkutekijöihin antaa tulon 2 * 2 * 52441. Yrityksellä ja erehdyksellä, valinta - tämä voidaan tietysti tehdä, jos olet varma, että tämä on kokonaisluku. Haluan ehdottaa, että voit ottaa neliöjuuren joka tapauksessa.

Kerran instituutissa (Perm State Pedagogical Institute) tutustuimme tähän menetelmään, josta haluan nyt puhua. En koskaan ajatellut, onko tällä menetelmällä todisteita, joten nyt minun piti päätellä joitain todisteita itse.

Tämän menetelmän perustana on luvun = koostumus.

=&, eli &2=596334.

1. Jaa numero (5963364) pareiksi oikealta vasemmalle (5`96`33`64)

2. Poimimme vasemmalla olevan ensimmäisen ryhmän neliöjuuren ( - numero 2). Joten saamme luvun & ensimmäisen numeron.

3. Etsi ensimmäisen numeron neliö (2 2 \u003d 4).

4. Etsi ero ensimmäisen ryhmän ja ensimmäisen numeron neliön välillä (5-4=1).

5. Puretaan seuraavat kaksi numeroa (saimme numeron 196).

6. Kaksinkertaistamme ensimmäisen löytämämme luvun, kirjoitamme sen vasemmalle rivin taakse (2*2=4).

7. Nyt sinun on löydettävä luvun & toinen numero: löytämämme kaksinkertaistettu ensimmäinen numero tulee luvun kymmenien numeroksi, kun kerrotaan yksiköiden määrällä, sinun on saatava luku, joka on pienempi kuin 196 ( tämä on numero 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 on &:n toinen numero.

8. Etsi ero (196-176=20).

9. Puramme seuraavan ryhmän (saamme numeron 2033).

10. Tuplaa luku 24, saamme 48.

11,48 kymmeniä luvussa, kun kerrotaan yksiköiden määrällä, meidän pitäisi saada luku, joka on pienempi kuin 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Löytämiemme yksiköiden numero (4) on luvun & kolmas numero.

Todistuksen olen antanut tapauksille:

1. Kolminumeroisen luvun neliöjuuren erottaminen;

2. Nelinumeroisen luvun neliöjuuren erottaminen.

Likimääräiset menetelmät neliöjuuren erottamiseksi (ilman laskinta).

1. Muinaiset babylonialaiset käyttivät seuraavaa menetelmää löytääkseen x-luvun neliöjuuren likimääräisen arvon. He esittivät luvun x summana a 2 + b, jossa a 2 on lähinnä x:tä luonnollisen luvun a tarkka neliö (a 2 ? x), ja käyttivät kaavaa . (1)

Kaavan (1) avulla poimimme neliöjuuren esimerkiksi luvusta 28:

Tulos 28:n juuren purkamisesta käyttämällä MK 5.2915026:ta.

Kuten näette, babylonialainen menetelmä antaa hyvän likiarvon juuren tarkasta arvosta.

2. Isaac Newton kehitti neliöjuuren menetelmän, joka juontaa juurensa Aleksandrian Heronista (n. 100 jKr). Tämä menetelmä (tunnetaan nimellä Newtonin menetelmä) on seuraava.

Päästää a 1- luvun ensimmäinen approksimaatio (1:nä voit ottaa luonnollisen luvun neliöjuuren arvot - tarkka neliö, joka ei ylitä X) .

Seuraava, tarkempi likiarvo a 2 numeroita löytyy kaavan mukaan .

Fakta 1.
\(\bullet\) Ota jokin ei-negatiivinen luku \(a\) (eli \(a\geqslant 0\) ). Sitten (aritmeettinen) neliöjuuri luvusta \(a\) kutsutaan sellainen ei-negatiivinen luku \(b\), jonka neliöitäessä saamme luvun \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(sama as )\quad a=b^2\] Määritelmästä seuraa, että \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Nämä rajoitukset ovat tärkeä edellytys neliöjuuren olemassaololle ja ne tulee muistaa!
Muista, että mikä tahansa luku neliötettynä antaa ei-negatiivisen tuloksen. Eli \(100^2=10000\geqslant 0\) ja \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Mikä on \(\sqrt(25)\)? Tiedämme, että \(5^2=25\) ja \((-5)^2=25\) . Koska määritelmän mukaan meidän on löydettävä ei-negatiivinen luku, \(-5\) ei ole sopiva, joten \(\sqrt(25)=5\) (koska \(25=5^2\) ).
Arvon \(\sqrt a\) löytämistä kutsutaan luvun \(a\) neliöjuuren ottamiseksi, ja lukua \(a\) kutsutaan juurilausekkeeksi.
\(\bullet\) Määritelmän perusteella lausekkeet \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) jne. ei ole järkeä.

Fakta 2.
Nopeita laskelmia varten on hyödyllistä oppia luonnollisten lukujen neliötaulukko \(1\) - \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakta 3.
Mitä neliöjuurilla voidaan tehdä?
\(\bullet\) Neliöjuurien summa tai erotus EI OLE SAMASUURI summan tai erotuksen neliöjuuren kanssa, ts. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Jos sinun on siis laskettava esimerkiksi \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , sinun on ensin löydettävä arvot \(\sqrt(25)\) ja \(\sqrt (49)\ ) ja laske ne sitten yhteen. Siten, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jos arvoja \(\sqrt a\) tai \(\sqrt b\) ei löydy lisättäessä \(\sqrt a+\sqrt b\), tällaista lauseketta ei muunneta enempää ja se pysyy sellaisenaan. Esimerkiksi summasta \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) löydämme \(\sqrt(49)\) - tämä on \(7\) , mutta \(\sqrt 2\) ei voi olla muunnetaan millään tavalla, siksi \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Lisäksi tätä ilmaisua ei valitettavasti voida yksinkertaistaa millään tavalla.\(\bullet\) Neliöjuurien tulo/osamäärä on yhtä suuri kuin tulon/osamäärän neliöjuuri, ts. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (edellyttäen, että yhtäläisyyden molemmat osat ovat järkeviä)
Esimerkki: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Näitä ominaisuuksia käyttämällä on kätevää löytää suurten lukujen neliöjuuret kertomalla ne.
Harkitse esimerkkiä. Etsi \(\sqrt(44100)\) . Koska \(44100:100=441\) , sitten \(44100=100\cdot 441\) . Jaotuvuuskriteerin mukaan luku \(441\) on jaollinen luvulla \(9\) (koska sen numeroiden summa on 9 ja jaollinen 9:llä), joten \(441:9=49\) , eli \(441=9\ cdot 49\) .
Näin ollen saimme: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Katsotaanpa toista esimerkkiä: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Näytetään, kuinka neliöjuuren alle syötetään numeroita esimerkkinä lausekkeesta \(5\sqrt2\) (lyhenne lausekkeesta \(5\cdot \sqrt2\) ). Koska \(5=\sqrt(25)\) , niin \ Huomaa myös, että esim.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Miksi niin? Selitetään esimerkillä 1). Kuten jo ymmärsit, emme voi jotenkin muuntaa numeroa \(\sqrt2\) . Kuvittele, että \(\sqrt2\) on jokin luku \(a\) . Vastaavasti lauseke \(\sqrt2+3\sqrt2\) on vain \(a+3a\) (yksi numero \(a\) plus kolme muuta samaa numeroa \(a\) ). Ja tiedämme, että tämä on yhtä suuri kuin neljä tällaista lukua \(a\) , eli \(4\sqrt2\) .

Fakta 4.
\(\bullet\) Usein sanotaan "juurta ei voi purkaa", kun ei ole mahdollista päästä eroon juuren (radikaalin) merkistä \(\sqrt () \ \) löydettäessä jonkin luvun arvoa. Voit esimerkiksi juurtaa luvun \(16\), koska \(16=4^2\) , joten \(\sqrt(16)=4\) . Mutta juuren erottaminen luvusta \(3\) eli \(\sqrt3\) on mahdotonta, koska ei ole olemassa sellaista lukua, joka neliössä antaisi \(3\) .
Tällaiset luvut (tai lausekkeet sellaisilla numeroilla) ovat irrationaalisia. Esimerkiksi numerot \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) jne. ovat irrationaalisia.
Irrationaalisia ovat myös luvut \(\pi\) (luku "pi", suunnilleen yhtä suuri kuin \(3,14\) ), \(e\) (tätä lukua kutsutaan Euler-luvuksi, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin \(2) ,7\) ) jne.
\(\bullet\) Huomaa, että mikä tahansa luku on joko rationaalinen tai irrationaalinen. Ja yhdessä kaikki rationaaliset ja kaikki irrationaaliset luvut muodostavat joukon nimeltä joukko todellisia (todellisia) lukuja. Tämä joukko on merkitty kirjaimella \(\mathbb(R)\) .
Tämä tarkoittaa, että kaikkia tällä hetkellä tuntemiamme lukuja kutsutaan reaaliluvuiksi.

Fakta 5.
\(\bullet\) Reaaliluvun moduuli \(a\) on ei-negatiivinen luku \(|a|\) yhtä suuri kuin etäisyys reaaliluvun pisteestä \(a\) \(0\) linja. Esimerkiksi \(|3|\) ja \(|-3|\) ovat yhtä kuin 3, koska etäisyydet pisteistä \(3\) ja \(-3\) \(0\) ovat sama ja yhtä suuri kuin \(3 \) .
\(\bullet\) Jos \(a\) on ei-negatiivinen luku, niin \(|a|=a\) .
Esimerkki: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jos \(a\) on negatiivinen luku, niin \(|a|=-a\) .
Esimerkki: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
He sanovat, että negatiivisille luvuille moduuli "syö" miinuksen ja positiiviset luvut sekä luvun \(0\) moduuli jättää ennalleen.
MUTTA tämä sääntö koskee vain numeroita. Jos sinulla on tuntematon \(x\) (tai jokin muu tuntematon) moduulimerkin alla, esimerkiksi \(|x|\) , josta emme tiedä onko se positiivinen, yhtä suuri kuin nolla vai negatiivinen, niin emme voi päästä eroon moduulista. Tässä tapauksessa tämä lauseke pysyy seuraavana: \(|x|\) . \(\bullet\) Seuraavat kaavat ovat voimassa: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( edellyttäen ) a\geqslant 0\] Usein tehdään seuraava virhe: sanotaan, että \(\sqrt(a^2)\) ja \((\sqrt a)^2\) ovat sama asia. Tämä on totta vain, kun \(a\) on positiivinen luku tai nolla. Mutta jos \(a\) on negatiivinen luku, tämä ei ole totta. Riittää, kun pohditaan tällaista esimerkkiä. Otetaan numero \(-1\) \(a\) sijaan. Silloin \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , mutta lauseketta \((\sqrt (-1))^2\) ei ole ollenkaan (koska se on mahdotonta juurimerkin alle laita negatiiviset luvut!).
Siksi kiinnitämme huomiosi siihen tosiasiaan, että \(\sqrt(a^2)\) ei ole yhtä suuri kuin \((\sqrt a)^2\) ! Esimerkki: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), koska \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Koska \(\sqrt(a^2)=|a|\) , sitten \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (lauseke \(2n\) tarkoittaa parillista lukua)
Toisin sanoen, kun poimitaan juuri luvusta, joka on jossain määrin, tämä aste puolitetaan.
Esimerkki:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (huomaa, että jos moduulia ei ole asetettu, niin käy ilmi, että luvun juuri on yhtä suuri kuin \(-25) \) ; mutta muistamme , joka juuren määritelmän mukaan ei voi olla: juurta poimittaessa tulee aina saada positiivinen luku tai nolla)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (koska mikä tahansa luku parilliseen potenssiin ei ole negatiivinen)

Fakta 6.
Kuinka vertailla kahta neliöjuurta?
\(\bullet\) Tosi neliöjuurille: jos \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aEsimerkki:
1) vertaa \(\sqrt(50)\) ja \(6\sqrt2\) . Ensin muunnamme toisen lausekkeen muotoon \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Siten vuodesta \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Minkä kokonaislukujen välissä on \(\sqrt(50)\) ?
Koska \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) ja \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Vertaa \(\sqrt 2-1\) ja \(0,5\) . Oletetaan \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(tasattu) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((lisää yksi molemmille puolille))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((neliöi molemmat osat))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(tasattu)\] Näemme, että olemme saaneet väärän epätasa-arvon. Siksi oletuksemme oli väärä ja \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Huomaa, että tietyn luvun lisääminen epäyhtälön molemmille puolille ei vaikuta sen etumerkkiin. Epäyhtälön molempien osien kertominen/jako positiivisella luvulla ei myöskään vaikuta sen etumerkkiin, mutta kertominen/jako negatiivisella luvulla kääntää epäyhtälön etumerkin!
Yhtälön/epäyhtälön molemmat puolet voidaan neliöidä VAIN JOS molemmat puolet eivät ole negatiivisia. Esimerkiksi edellisen esimerkin epäyhtälössä voit neliöttää molemmat puolet, epäyhtälössä \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Huomaa tämä \[\begin(tasattu) &\sqrt 2\noin 1,4\\ &\sqrt 3\noin 1,7 \end(tasattu)\] Näiden numeroiden likimääräisen merkityksen tunteminen auttaa sinua vertailemaan lukuja! \(\bullet\) Jotta juuri (jos se erotetaan) jostain suuresta luvusta, jota ei ole neliötaulukossa, voidaan erottaa, sinun on ensin määritettävä, minkä "satojen" välillä se on, sitten minkä "kymmenien" välillä. ja määritä sitten tämän luvun viimeinen numero. Näytämme esimerkin avulla, miten se toimii.
Ota \(\sqrt(28224)\) . Tiedämme, että \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) ja niin edelleen. Huomaa, että \(28224\) on välillä \(10\,000\) ja \(40\,000\) . Siksi \(\sqrt(28224)\) on välillä \(100\) ja \(200\) .
Määritetään nyt, minkä "kymmenien" välissä lukumme on (eli esimerkiksi välillä \(120\) ja \(130\) ). Neliötaulukosta tiedämme myös, että \(11^2=121\) , \(12^2=144\) jne., sitten \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \) ) . Joten näemme, että \(28224\) on välillä \(160^2\) ja \(170^2\) . Siksi numero \(\sqrt(28224)\) on välillä \(160\) ja \(170\) .
Yritetään määrittää viimeinen numero. Muistetaan mitä yksinumeroiset luvut neliöitettäessä antavat lopussa \ (4 \) ? Nämä ovat \(2^2\) ja \(8^2\) . Siksi \(\sqrt(28224)\) päättyy joko numeroon 2 tai 8. Tarkistetaan tämä. Etsi \(162^2\) ja \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Tästä syystä \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Jotta matematiikan tentti voitaisiin ratkaista riittävästi, on ensinnäkin tarpeen tutkia teoreettista materiaalia, joka esittelee lukuisia lauseita, kaavoja, algoritmeja jne. Ensi silmäyksellä saattaa tuntua, että tämä on melko yksinkertaista. Kuitenkin sellaisen lähteen löytäminen, jossa matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon teoria esitetään helposti ja ymmärrettävästi minkä tahansa koulutustason opiskelijoille, on itse asiassa melko vaikea tehtävä. Koulukirjoja ei aina voi pitää käsillä. Ja matematiikan tentin peruskaavojen löytäminen voi olla vaikeaa jopa Internetistä.

Miksi matematiikan teorian opiskelu on niin tärkeää, ei vain kokeeseen osallistuville?

1. Koska se laajentaa näköalojasi. Matematiikan teoreettisen materiaalin opiskelu on hyödyllistä kaikille, jotka haluavat saada vastauksia monenlaisiin maailman tuntemiseen liittyviin kysymyksiin. Luonnossa kaikki on järjestettyä ja sillä on selkeä logiikka. Juuri tämä heijastuu tieteeseen, jonka kautta on mahdollista ymmärtää maailmaa.
2. Koska se kehittää älyä. Opiskellessaan matematiikan tentin viitemateriaaleja sekä ratkaisemalla erilaisia ​​​​ongelmia ihminen oppii ajattelemaan ja päättelemään loogisesti, muotoilemaan ajatuksia oikein ja selkeästi. Hän kehittää kykyä analysoida, yleistää ja tehdä johtopäätöksiä.

Kutsumme sinut henkilökohtaisesti arvioimaan kaikkia koulutusmateriaalien systematisointiin ja esittämiseen liittyvää lähestymistapaamme.

Ohje

Valitse radikaaliluku sellainen tekijä, jonka poistaminen alta juuri kelvollinen lauseke - muuten toiminto menettää . Esimerkiksi jos merkin alla juuri jonka eksponentti on kolme (kuutiojuuri) on arvoinen määrä 128, niin merkin alta voidaan ottaa pois esim. määrä 5. Samaan aikaan juuri määrä 128 on jaettava viidellä kuutiolla: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Jos merkin alla on murtoluku juuri ei ole ristiriidassa ongelman ehtojen kanssa, se on mahdollista tässä muodossa. Jos tarvitset yksinkertaisempaa vaihtoehtoa, jaa radikaalilauseke ensin sellaisiin kokonaislukutekijöihin, joista yhden kuutiojuuri on kokonaisluku määrä m. Esimerkki: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Käytä valitaksesi juuriluvun tekijät, jos luvun astetta ei ole mahdollista laskea mielessäsi. Tämä pätee erityisesti juuri m eksponentin ollessa suurempi kuin kaksi. Jos sinulla on Internet-yhteys, voit tehdä laskelmia Google- ja Nigma-hakukoneiden sisäänrakennetuilla laskimilla. Esimerkiksi, jos sinun on löydettävä suurin kokonaislukukerroin, joka voidaan ottaa pois kuution etumerkistä juuri jos numero on 250, mene sitten Googlen verkkosivustolle ja kirjoita kysely "6 ^ 3" tarkistaaksesi, onko mahdollista ottaa pois merkin alta juuri kuusi. Hakukone näyttää tuloksen, joka on 216. Valitettavasti 250:tä ei voi jakaa ilman jäännöstä tällä määrä. Kirjoita sitten kysely 5^3. Tuloksena on 125, ja tämä mahdollistaa 250:n jakamisen tekijöiksi 125 ja 2, mikä tarkoittaa sen poistamista merkistä juuri määrä 5 lähtee sieltä määrä 2.

Lähteet:

• kuinka se saa irti juuren alta
• Tuotteen neliöjuuri

Ota pois alta juuri yksi tekijöistä on välttämätön tilanteissa, joissa sinun on yksinkertaistettava matemaattista lauseketta. On tapauksia, joissa on mahdotonta suorittaa tarvittavia laskelmia laskimen avulla. Esimerkiksi jos numeroiden sijaan käytetään muuttujien kirjaimia.

Ohje

Jaa radikaalilauseke yksinkertaisiksi tekijöiksi. Katso mitkä tekijät toistuvat saman määrän kertoja indikaattoreissa juuri, tai enemmän. Esimerkiksi sinun on otettava luvun a juuri neljänteen potenssiin. Tässä tapauksessa luku voidaan esittää muodossa a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. indikaattori juuri tässä tapauksessa vastaa tekijä a3. Se on otettava pois merkistä.

Pura tuloksena olevien radikaalien juuret erikseen, mikäli mahdollista. uuttaminen juuri on algebrallinen operaatio, joka on käänteinen eksponentiolle. uuttaminen juuri mielivaltainen potenssi luvusta, etsi luku, joka nostettuna tähän mielivaltaiseen potenssiin johtaa tiettyyn numeroon. Jos uuttaminen juuri ei voida tuottaa, jätä radikaali ilmaisu merkin alle juuri niin kuin se on. Yllä olevien toimien seurauksena teet poiston alta merkki juuri.

Liittyvät videot

merkintä

Ole varovainen kirjoittaessasi radikaalia lauseketta tekijöiksi - virhe tässä vaiheessa johtaa vääriin tuloksiin.

Hyödyllisiä neuvoja

Juuria poimittaessa on kätevää käyttää erityisiä taulukoita tai logaritmisen juuritaulukoita - tämä vähentää merkittävästi oikean ratkaisun löytämiseen kuluvaa aikaa.

Lähteet:

• juurenpoistomerkki vuonna 2019

Algebrallisten lausekkeiden yksinkertaistamista tarvitaan monilla matematiikan aloilla, mukaan lukien korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisu, differentiointi ja integrointi. Tämä käyttää useita menetelmiä, mukaan lukien tekijöiden jakaminen. Tämän menetelmän soveltamiseksi sinun on löydettävä ja otettava yhteinen tekijä per suluissa.

Ohje

Yhteisen tekijän poistaminen suluissa- yksi yleisimmistä hajotusmenetelmistä. Tätä tekniikkaa käytetään yksinkertaistamaan pitkien algebrallisten lausekkeiden rakennetta, ts. polynomit. Yleinen voi olla luku, yksi tai binomi, ja sen löytämiseen käytetään kertolaskuominaisuutta.

Luku. Katso tarkasti kunkin polynomin kertoimia nähdäksesi, voidaanko ne jakaa samalla luvulla. Esimerkiksi lausekkeessa 12 z³ + 16 z² - 4, ilmeinen on tekijä 4. Muuntamisen jälkeen saat 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Toisin sanoen tämä luku on kaikkien kertoimien vähiten yhteinen kokonaislukujakaja.

Mononominen Määritä, onko sama muuttuja polynomin jokaisessa ehdossa. Oletetaan, että näin on, katso nyt kertoimia, kuten edellisessä tapauksessa. Esimerkki: 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

Tämän polynomin jokainen elementti sisältää muuttujan z. Lisäksi kaikki kertoimet ovat 3:n kerrannaisia. Siksi yhteinen tekijä on monomiaalinen 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).

Binomiaalinen.For suluissa yleistä tekijä kahdesta , muuttuja ja luku, joka on yleinen polynomi. Siksi jos tekijä-binomi ei ole ilmeinen, niin sinun on löydettävä vähintään yksi juuri. Korosta polynomin vapaa termi, tämä on kerroin ilman muuttujaa. Käytä nyt korvausmenetelmää vapaan termin kaikkien kokonaislukujakajien yhteiseen lausekkeeseen.

Tarkastellaan: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Tarkista, onko jokin kokonaislukujakajista 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Etsi z1 yksinkertaisesti korvaamalla = 1 ja z2 = 2, niin suluissa binomiaalit (z - 1) ja (z - 2) voidaan ottaa pois. Jos haluat löytää jäljellä olevan lausekkeen, käytä peräkkäistä jakoa sarakkeeseen.