Logaritmiset korkean tason epätasa-arvot ovat esimerkkejä ratkaisuista. Kaikki logaritmisista eriarvoisuuksista

Oppitunnin tavoitteet:

Didaktinen:

• Taso 1 - opettaa sinua ratkaisemaan yksinkertaisimmat logaritmiset epätasa-arvot käyttämällä logaritmin määritelmää, logaritmien ominaisuuksia;
• Taso 2 - ratkaise logaritmiset eriarvoisuudet valitsemalla oma ratkaisumenetelmäsi;
• Taso 3 - kyetä soveltamaan tietoja ja taitoja epätyypillisissä tilanteissa.

Developing: kehittää muistia, huomiokykyä, loogista ajattelua, vertailutaitoja, kykyä yleistää ja tehdä johtopäätöksiä

Koulutuksellinen:viljellä tarkkuutta, vastuuta tehtävästä, keskinäistä avunantoa.

Opetusmenetelmät: sanallinen , graafinen , käytännöllinen , osittainen haku , itse , kontrolli.

Opiskelijoiden kognitiivisen toiminnan organisoinnin muodot: otsa- , yksilö , työskennellä pareittain.

Laitteet: joukko testiaineita, sitä tukeva tiivistelmä, tyhjät arkit ratkaisuille.

Oppitunnin tyyppi: uuden materiaalin oppiminen.

Tuntien aikana

1. Organisaatiomomentti. Oppitunnin aihe ja tavoitteet, oppitunnin kaavio ilmoitetaan: jokaiselle opiskelijalle annetaan arviointilomake, jonka opiskelija täyttää oppitunnin aikana; jokaiselle opiskelijaparille - painetut materiaalit, joissa tehtävät; tehtävät on suoritettava pareittain; tyhjät arkit ratkaisuille; pohjalevyt: logaritmin määritelmä; logaritmisen funktion kuvaaja, sen ominaisuudet; logaritmien ominaisuudet; algoritmi logaritmisten epätasa-arvojen ratkaisemiseksi.

Kaikki itsearvioinnin jälkeen tehdyt päätökset annetaan opettajalle.

Opiskelija-asteikko

2. Päivitetään tietoa.

Opettajan ohjeet. Muista logaritmin määritelmä, logaritmisen funktion kuvaaja ja sen ominaisuudet. Tätä varten lue teksti S.A. Alimovin, Y. Koljaginin ym. Toimittaman ”Algebra ja analyysin alku 10–11” -kirjan, s. 88–90, 98–101, sivuille 88–90, 98–101.

Oppilaille annetaan arkit, joihin on kirjoitettu: logaritmin määritelmä; graafi logaritmisesta funktiosta, sen ominaisuudet; logaritmien ominaisuudet; algoritmi logaritmisten epätasa-arvojen ratkaisemiseksi, esimerkki logaritmisen epätasa-arvon ratkaisemiseksi, pienentäminen neliöksi.

3. Uuden materiaalin oppiminen.

Logaritmisten epätasa-arvojen ratkaisu perustuu logaritmisen funktion monotonisuuteen.

Algoritmi logaritmisten epätasa-arvojen ratkaisemiseksi:

A) Etsi epätasa-arvon määritelmäalue (sublogaritminen lauseke on suurempi kuin nolla).
B) Esitä (jos mahdollista) epätasa-arvon vasen ja oikea puoli logaritmien muodossa samalla perusteella.
B) Määritä, kasvaako logaritminen funktio vai pieneneekö se: jos t\u003e 1, niin kasvaa; jos 0 1 sitten pienenee.
D) Siirry yksinkertaisempaan epätasa-arvoon (alalogaritmiset lausekkeet), koska epätasa-arvon merkki säilyy, jos funktio kasvaa, ja muuttuu, jos se vähenee.

Harjoitteluelementti numero 1.

Tarkoitus: korjata ratkaisu yksinkertaisimpiin logaritmisiin epäyhtälöihin

Opiskelijoiden kognitiivisen toiminnan organisoinnin muoto: itsenäinen työ.

Tehtävät itsenäiseen työskentelyyn 10 minuuttia. Jokaiselle eriarvoisuudelle on useita vastauksia, sinun on valittava oikea ja tarkistettava näppäimellä.

AVAIN: 13321, pisteiden enimmäismäärä on 6 b.

Harjoitteluelementti numero 2.

Tarkoitus: korjata logaritmisten epätasa-arvojen ratkaisu käyttämällä logaritmien ominaisuuksia.

Opettajan ohjeet. Muista logaritmien perusominaisuudet. Tätä varten lue oppikirja sivuilla 92, 103–104.

Tehtävät itsenäiseen työskentelyyn 10 minuuttia.

AVAIN: 2113, pisteiden enimmäismäärä on 8 b.

Harjoitteluelementti numero 3.

Tarkoitus: tutkia logaritmisten epätasa-arvojen ratkaisua pelkistysmenetelmällä neliöksi.

Opettajan ohjeet: menetelmä eriarvoisuuden vähentämiseksi neliömäiseksi on muuntaa epätasa-arvo sellaiseen muotoon, että uusi muuttuja merkitsee tietyn logaritmisen funktion, samalla kun saadaan neliön epätasa-arvo tämän muuttujan suhteen.

Käytämme intervallimenetelmää.

Olet suorittanut ensimmäisen tason materiaalin hallitsemisen. Nyt sinun on valittava oma menetelmä logaritmisten yhtälöiden ratkaisemiseksi käyttämällä kaikkia tietojasi ja kykyjäsi.

Harjoitteluelementti numero 4.

Tarkoitus: vakiinnuttaa logaritmisten epätasa-arvojen ratkaisu valitsemalla itsenäisesti rationaalinen ratkaisumenetelmä.

Tehtävät itsenäiseen työskentelyyn 10 minuuttia

Harjoitteluelementti numero 5.

Opettajan ohjeet. Hyvin tehty! Olet hallinnut toisen monimutkaisuuden tason yhtälöiden ratkaisun. Jatkotyösi tarkoitus on soveltaa tietosi ja taitoja monimutkaisemmissa ja epästandardimmissa tilanteissa.

Tehtävät itsenäiseksi päätökseksi:

Opettajan ohjeet. Hienoa, jos selvität koko tehtävän. Hyvin tehty!

Koko oppitunnin arvosana riippuu pisteiden lukumäärästä kaikille opetuselementeille:

• jos N ≥ 20, saat arvosanan “5”,
• 16 ≤ N ≤ 19 - luokitus on “4”,
• 8 ≤ N ≤ 15 - luokitus on “3”,
• klo N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Arviointi kettu ohjaa opettajan.

5. Kotitehtävä: jos pisteit korkeintaan 15 b, tee työ virheiden varalta (päätökset voidaan tehdä opettajalta), jos pisteit enemmän kuin 15 b, suorita luova tehtävä aiheesta ”Logaritmiset eriarvoisuudet”.

LOGARITMISET EHDOTTOMUUDET KÄYTTÖÖN

Sechin Mihhail Alexandrovich

Kazakstanin tasavallan opiskelijoiden pieni tiedeakatemia "Etsijä"

MBOU "Neuvostoliiton koulu nro 1", luokka 11, kylä. Sovetsky Sovetsky District

Gunko Lyudmila Dmitrievna, MBOU: n "Neuvostoliiton koulu nro 1" -opettaja

Sovetskin alue

Työn tarkoitus: tutkitaan mekanismia C3: n logaritmisen epätasa-arvon ratkaisemiseksi epästandardeilla menetelmillä, logaritmin mielenkiintoisten tosiasioiden tunnistaminen.

Tutkimuksen aihe:

3) Opi ratkaisemaan tietyt C3-logaritmiset epätasa-arvot epästandardien menetelmien avulla.

tulokset:

Sisältö

Johdanto …………………………………………………………………………… .4

Luku 1. Taustaa ……………………………………………………… ... 5

Luku 2. Logaritmisten epäyhtälöiden kokoaminen ………………………… 7

2.1. Vastaavat siirtymät ja yleinen aikavälimenetelmä ................... 7

2.2. Järkeistämismenetelmä ………………………………………………… 15

2.3. Mukautettu korvaaminen ............................................................................. ..... 22

2.4. Tehtävät ansoilla …………………………………………………… 27

Päätelmä …………………………………………………… 30

Kirjallisuus……………………………………………………………………. 31

esittely

Olen 11. luokassa ja aion siirtyä yliopistoon, jossa matematiikka on erikoistunut aihe. Siksi työskentelen paljon osan C tehtävien kanssa. Tehtävässä C3 sinun on ratkaistava epästandardi eriarvoisuus tai epäyhtälöiden järjestelmä, joka yleensä liittyy logaritmeihin. Tenttiin valmistautuessaan kohtaan ongelman, joka koskee menetelmien ja tekniikoiden puutetta C3: ssa ehdotetun tutkimuksen logaritmisten epätasa-arvojen ratkaisemiseksi. Aiheesta koulujen opetussuunnitelmassa tutkitut menetelmät eivät tarjoa perustaa tehtävien ratkaisemiseen C3. Matematiikan opettaja kutsui minut työskentelemään omalla ohjauksellani C3-tehtäviin. Lisäksi minua kiinnosti kysymys: esiintyykö logaritmeja elämässämme?

Aihe valittiin tätä silmällä pitäen:

"Logaritmiset eriarvoisuudet tentissä"

Työn tarkoitus: C3-ongelmien ratkaisumekanismin tutkiminen epästandardeilla menetelmillä paljastaen mielenkiintoisia tosiasioita logaritmista.

Tutkimuksen aihe:

1) Löydä tarvittavat tiedot epästandardeista menetelmistä logaritmisten epätasa-arvojen ratkaisemiseksi.

2) Löydä lisätietoja logaritmeista.

3) Opi ratkaisemaan erityiset C3-ongelmat epästandardien menetelmien avulla.

tulokset:

Käytännön merkitys on laitteen laajentamisessa C3-tehtävien ratkaisemiseksi. Tätä materiaalia voidaan käyttää joissakin oppitunneissa ympyröiden johtamiseen, matematiikan valinnaisiin luokkiin.

Projektituote on kokoelma "Logaritmiset eriarvoisuudet C3 ratkaisuilla".

Luku 1. Taustaa

Koko 1500-luvulla likimääräisten laskelmien määrä kasvoi nopeasti, lähinnä tähtitieteen alalla. Työkalujen parantaminen, planeetan liikkeiden tutkiminen ja muu työ vaativat valtavia, joskus monien vuosien laskelmia. Tähtitiede oli todellinen hukkumisen vaara täyttämättä jääneissä laskelmissa. Vaikeuksia ilmeni myös muilla aloilla, esimerkiksi vakuutusalalla eri korkoarvoille tarvittiin korkotaulukoita. Suurin vaikeus oli moninumeroisten lukujen, etenkin trigonometristen suureiden, kertominen, jakaminen.

Logaritmien löytäminen perustui 1500-luvun loppuun mennessä hyvin tunnettujen etenemisten ominaisuuksiin. Archimedes mainitsi psalmitissa yhteyden geometrisen etenemisen ehtojen q, q2, q3, ... ja niiden indeksien 1, 2, 3, ... aritmeettisen etenemisen välillä. Toinen edellytys oli tutkinnon käsitteen laajentaminen negatiivisiin ja murto-osiin. Monet kirjoittajat ovat ilmoittaneet, että kertolasku, jako, eksponentitio ja juurtenpoisto vastaavat eksponentiaalisesti aritmeettisesti - samassa järjestyksessä - summausta, vähentämistä, kertolaskua ja jakoa.

Täällä kätkeytyi ajatus logaritmista eksponentiksi.

Logaritmitutkimuksen kehityksen historiassa on kulunut useita vaiheita.

Vaihe 1

Skotlantilainen paroni Napier (1550-1617) ja kymmenen vuotta myöhemmin sveitsiläinen mekaanikko Burgi (1552-1632) keksivät logaritmit itsenäisesti. Molemmat halusivat antaa uuden kätevän tavan aritmeettisiin laskelmiin, vaikka lähestyivät tätä tehtävää eri tavoin. Neper kinemaattisesti ilmaisi logaritmisen funktion ja siirtyi siten funktion teorian uudelle alueelle. Burgin motivaatio pysyi erillisten etenemisten huomioon ottamiseksi. Molempien logaritmin määritelmä ei kuitenkaan ole kuin nykyinen. Termi "logaritmi" (logaritmi) kuuluu Nepherille. Se tuli kreikkalaisten sanojen yhdistelmästä: logot - "suhde" ja ariqmo - "numero", mikä tarkoitti "suhteiden lukumäärää". Neper käytti alun perin toista termiä: numeri kunstiales - "keinotekoiset numerot", toisin kuin numeri-naturalit - "luonnolliset numerot".

Vuonna 1615 Neper ehdotti haastattelussa matematiikan professori Gresh College of Londonin, Henry Briggsin (1561-1631) kanssa, että nollayksiköt asetetaan logaritmille nolla ja 100 logaritmina kymmeneksi tai, joka laskee samaan, yksinkertaisesti 1. Joten desimaaliloggamitit ensimmäiset logaritmiset taulukot painettiin. Myöhemmin Briggs-taulukoita täydensi hollantilainen kirjakauppias ja matemaatikko Andrian Flack (1600-1667). Napier ja Briggs, vaikka he tulivat logaritmeihin aikaisemmin kuin kaikki muut, julkaisivat taulukonsa myöhemmin kuin muut - vuonna 1620. Merkit loki ja loki otettiin käyttöön vuonna 1624 I. Kepler. Termi "luonnollinen logaritmi" otettiin käyttöön Mengoli vuonna 1659, jota seurasi N. Mercator vuonna 1668, ja se julkaisi Lontoon opettajan John Speidelin luettelot 1 - 1000 luonnollisista logaritmeista nimellä "Uudet logaritmit".

Venäjän kielellä ensimmäiset logaritmiset taulukot julkaistiin vuonna 1703. Mutta kaikissa logaritmisissa taulukoissa laskelmissa tehtiin virheitä. Saksalaiset matemaatikot C. Bremiker (1804-1877) julkaisivat ensimmäiset virheetöntä taulukkoa Berliinissä vuonna 1857.

2 vaihe

Logaritmiteorian jatkokehittäminen liittyy analyyttisen geometrian laajempaan soveltamiseen ja äärettömän pieneen laskentaan. Tasasivuisen hyperbolin kvadratuurin ja luonnollisen logaritmin välisen suhteen luominen juontaa juurensa siihen aikaan. Tämän ajanjakson logaritmien teoria liittyy useiden matemaatikkojen nimiin.

Saksalainen matemaatikko, tähtitieteilijä ja insinööri Nicolaus Mercator sävellyksessä

Logaritmotekniikka (1668) antaa sarjan, joka antaa ln (x + 1): n laajennuksen tuumaa

astetta x:

Tämä ilmaus vastaa tarkalleen hänen ajatuksensa kulkua, vaikka hän tietysti ei käyttänyt merkkejä d, ..., mutta hankalampaa symbolismista. Logaritmisten sarjojen löytämisen myötä logaritmien laskentatekniikka muuttui: ne alkoivat määrittää äärettömien sarjojen avulla. F. Klein ehdotti luennoissaan "Perusmatematiikka korkeammasta näkökulmasta", vuosina 1907-1908, ehdottaa kaavan käyttöä lähtökohtana logaritmien teorian rakentamiselle.

3 vaihe

Määritelmä logaritminen funktio käänteisen funktiona

eksponentiaalinen, logaritmi tietyn emäksen asteen indikaattorina

sitä ei muotoiltu heti. Leonard Eulerin (1707-1783) työ

"Johdatus äärettömien mallien analyysiin" (1748) toimi edelleen

logaritmisen funktion teorian kehittäminen. Tällä tavoin,

logaritmien ensimmäisestä käyttöönotosta on kulunut 134 vuotta

(laskettu vuodesta 1614) ennen kuin matemaatikot tulivat määritelmään

logaritmin käsite, joka on nyt koulukurssin perusta.

Luku 2. Logaritmisten epätasa-arvojen kokoelma

2.1. Vastaavat siirtymät ja yleinen aikavälimenetelmä.

Vastaavat siirtymät

jos a\u003e 1

jos 0 < а < 1

Yleinen aikavälimenetelmä

Tämä menetelmä on yleisin ratkaisettaessa melkein minkä tahansa tyyppisiä epätasa-arvoisuuksia. Ratkaisu on seuraava:

1. Tuo epätasapaino muotoon, jossa toiminto on vasemmalla puolella
, ja oikealla 0.

2. Etsi toiminnon laajuus
.

3. Etsi funktion nollia
, eli ratkaise yhtälö
(ja yhtälön ratkaiseminen on yleensä helpompaa kuin eriarvoisuuden ratkaiseminen).

4. Piirrä numeroriville määrittelyalue ja funktion nollat.

5. Tunnista toimintamerkit
vastaanotetuin väliajoin.

6. Valitse väliajat, jolloin toiminto ottaa tarvittavat arvot, ja tallenna vastaus.

Esimerkki 1

Päätös:

Käytä intervallimenetelmää

mistä

Näillä arvoilla kaikki logaritmien merkkien alla olevat lausekkeet ovat positiivisia.

Vastaus:

Esimerkki 2

Päätös:

1st tapa . DLD määritetään eriarvoisuuden perusteella x \u003e 3. Logaritmi kanssa x 10: n perusteella saadaan

Viimeinen epätasa-arvo voitaisiin ratkaista soveltamalla hajoamissääntöjä, ts. vertaamalla tekijöitä nollaan. Tässä tapauksessa on kuitenkin helppo määrittää funktion vakiomerkkien välit

siksi aikavälimenetelmää voidaan käyttää.

Toimia f(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ jatkuvasti x \u003e 3 ja katoaa pisteistä x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 \u003d 4. Siten määritetään vakiofunktion väliset intervallit f(x):

Vastaus:

2. menetelmä . Käytämme suoraan alkuperäiseen epätasa-arvoisuuteen intervallimenetelmän ideoita.

Tätä varten muista, että lausekkeet b - c ja ( - 1)(b - 1) on yksi merkki. Sitten eriarvoisuutemme x \u003e 3 vastaa epätasa-arvoa

tai

Viimeinen epätasa-arvo ratkaistaan \u200b\u200bintervallimenetelmällä

Vastaus:

Esimerkki 3

Päätös:

Käytä intervallimenetelmää

Vastaus:

Esimerkki 4

Päätös:

Koska 2 x 2 - 3x + 3\u003e 0 kaikille voimassa xsitten

Toisen epätasa-arvon ratkaisemiseksi käytämme intervallimenetelmää

Ensimmäisessä epätasa-arvossa teemme korvauksen

sitten tulemme eriarvoisuuteen 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те yjotka täyttävät eriarvoisuuden -0,5< y < 1.

Mistä lähtien

saamme eriarvoisuuden

joka suoritetaan kun xjolle 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Nyt ottaen huomioon järjestelmän toisen eriarvoisuuden ratkaisu saamme lopulta aikaan

Vastaus:

Esimerkki 5

Päätös:

Eriarvoisuus merkitsee järjestelmien yhdistelmää

tai

Käytämme intervallimenetelmää tai

Vastaus:

Esimerkki 6

Päätös:

Eriarvoisuus merkitsee järjestelmää

Anna olla

sitten y > 0,

ja ensimmäinen epätasa-arvo

järjestelmä on muodoltaan

tai asettaa

neliön trinomiaalinen kertoin,

Sovellemalla intervallimenetelmää viimeiseen epätasa-arvoon,

nähdä, että hänen ratkaisunsa tyydyttävät ehdot y \u003e 0 on kaikki y > 4.

Siten alkuperäinen epätasa-arvo vastaa järjestelmää:

Joten ratkaisut epätasa-arvoisuuteen ovat kaikki

2.2. Rationalisointimenetelmä.

Aiemmin he eivät ratkaisseet eriarvoisuutta rationalisoimalla, he eivät tunteneet häntä. Tämä on "uusi nykyaikainen tehokas menetelmä eksponentiaalisten ja logaritmisten epätasa-arvojen ratkaisemiseksi" (lainaus kirjasta Kolesnikova SI)
Ja vaikka opettaja tunsi hänet, oli pelko - tunsiko tenttikokeen vastaanottaja hänet, ja miksi he eivät antaneet hänelle koulussa? Oli tilanteita, joissa opettaja kertoi oppilaalle: "Mistä sait sen? Istu - 2."
Nyt menetelmä etenee kaikkialla. Ja asiantuntijoille on tähän menetelmään liittyviä ohjeita, ja ratkaisussa C3 käytetään "Täydellisimpiä versioita tyypillisistä muunnelmista ..." -menetelmää.
Upea menetelmä!

Taikapöytä

Muissa lähteissä

jos a\u003e 1 ja b\u003e 1, kirjaa sitten a b\u003e 0 ja (a -1) (b -1)\u003e 0;

jos a\u003e 1 ja 0

jos 0<<1 и b >1, kirjaa sitten b<0 и (a -1)(b -1)<0;