एक पूर्णांक द्वारा सरल अंशों का गुणन। एक पूर्णांक द्वारा भिन्न को गुणा और विभाजित करने के नियम

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पिछली बार हमने सीखा कि अंशों को कैसे जोड़ा और घटाया जाए (देखें "अंश जोड़ना और घटाना")। उन कार्यों में सबसे कठिन क्षण एक आम भाजक के लिए भिन्नता ला रहा था।

अब यह गुणा और भाग निकालने का समय है। अच्छी खबर यह है कि इन ऑपरेशनों में जोड़ और घटाव की तुलना में प्रदर्शन करना और भी आसान है। शुरू करने के लिए, एक सरल पूर्णांक भाग के बिना दो सकारात्मक अंश होने पर सबसे सरल स्थिति पर विचार करें।

दो अंशों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंशों और भाजकों को अलग-अलग गुणा करना होगा। पहला नंबर नए अंश का अंश होगा, और दूसरा भाजक होगा।

दो अंशों को विभाजित करने के लिए, आपको पहले भाग को "उलटा" दूसरे से गुणा करना होगा।

पदनाम:

परिभाषा से यह निम्नानुसार है कि भिन्न का विभाजन गुणन में कम हो जाता है। एक अंश को "फ्लिप" करने के लिए, बस अंश और हर को स्वैप करें। इसलिए, संपूर्ण पाठ हम मुख्य रूप से गुणा पर विचार करेंगे।

गुणन के परिणामस्वरूप, एक रद्द करने योग्य अंश उत्पन्न हो सकता है (और अक्सर उत्पन्न होता है) - यह, निश्चित रूप से, रद्द किया जाना चाहिए। यदि, सभी संकुचन के बाद, अंश गलत निकला, तो पूरे भाग का चयन किया जाना चाहिए। लेकिन निश्चित रूप से गुणन के साथ क्या नहीं होगा एक आम भाजक में कमी है: कोई criss- पार तरीकों, सबसे बड़े कारक और कम से कम गुणक।

परिभाषा के अनुसार, हमारे पास:

पूरे अंशों और नकारात्मक अंशों का गुणन

यदि अंशों में पूर्णांक भाग होता है, तो उन्हें गलत में परिवर्तित किया जाना चाहिए - और उसके बाद ही ऊपर उल्लिखित योजनाओं के अनुसार गुणा किया जाता है।

यदि किसी अंश के अंश में एक ऋणात्मक या हर के सामने होता है, तो इसे गुणा के दायरे से बाहर किया जा सकता है या निम्न नियमों के अनुसार हटाया जा सकता है:

प्लस और माइनस माइनस देता है;
दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं।

अब तक, ये नियम नकारात्मक अंशों को जोड़ने और घटाने के दौरान ही सामने आए हैं, जब पूरे भाग से छुटकारा पाना आवश्यक था। उत्पादन के लिए, उन्हें कई बार एक ही बार में "जला" सामान्यीकृत किया जा सकता है:

जब तक वे पूरी तरह से गायब न हो जाएं, तब तक जोड़े में से मंत्रों को पार करें। एक चरम मामले में, एक माइनस जीवित रह सकता है - वह जिसके लिए कोई जोड़ी नहीं थी;
यदि कोई मिन्यूज नहीं बचा है, तो ऑपरेशन पूरा हो गया है - आप गुणा करना शुरू कर सकते हैं। यदि अंतिम शून्य को पार नहीं किया जाता है, क्योंकि इसके लिए कोई जोड़ी नहीं थी, तो हम इसे गुणा की सीमा से बाहर ले जाते हैं। आपको नकारात्मक अंश मिलता है।

एक कार्य। अभिव्यक्ति का अर्थ ज्ञात करें:

हम सभी भिन्नों को गलत में बदल देते हैं, और फिर कई गुणा से सीमा तक ले जाते हैं। हम सामान्य नियमों के अनुसार बचे हुए को गुणा करते हैं। हमें मिला:

मुझे आपको एक बार फिर याद दिलाना है कि एक पूर्णांक पूर्णांक वाले हिस्से के साथ एक अंश के सामने खड़ा माइनस विशेष रूप से पूरे अंश को संदर्भित करता है, न कि केवल इसके पूर्णांक भाग पर (यह पिछले दो उदाहरणों पर लागू होता है)।

इसके अलावा, नकारात्मक संख्याओं पर ध्यान दें: गुणा करते समय, वे कोष्ठक में संलग्न होते हैं। यह गुणन संकेतों से minuses को अलग करने और पूरे अंकन को अधिक सटीक बनाने के लिए किया जाता है।

मक्खी पर अंशों को कम करना

गुणन एक बहुत ही श्रमसाध्य ऑपरेशन है। यहां संख्या काफी बड़ी है, और कार्य को सरल बनाने के लिए, आप अंश को और भी कम करने का प्रयास कर सकते हैं गुणा करने से पहले... दरअसल, संक्षेप में, अंशों के भाजक और भाजक साधारण कारक हैं, और, इसलिए, उन्हें एक अंश की मूल संपत्ति का उपयोग करके रद्द किया जा सकता है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

एक कार्य। अभिव्यक्ति का अर्थ ज्ञात करें:

परिभाषा के अनुसार, हमारे पास:

सभी उदाहरणों में, संख्या जो कम हो गई है और उनमें से जो बचा है, उसे लाल रंग में चिह्नित किया गया है।

कृपया ध्यान दें: पहले मामले में, गुणक पूरी तरह से कम हो गए हैं। उनके स्थान पर, केवल कुछ ही रह गए, जो आम तौर पर बोल रहे हैं, लिखा नहीं जा सकता। दूसरे उदाहरण में, पूर्ण कमी प्राप्त करना संभव नहीं था, लेकिन गणना की कुल मात्रा अभी भी कम हो गई है।

हालांकि, किसी भी मामले में भिन्नों को जोड़ने और घटाने के लिए इस तकनीक का उपयोग न करें! हां, कभी-कभी ऐसी ही संख्याएं होती हैं जिन्हें आप कम करना चाहते हैं। यहाँ, एक नज़र रखना:

आप ऐसा नहीं कर सकते!

त्रुटि इस तथ्य के कारण होती है कि अंश के अंश में जोड़ते समय योग दिखाई देता है, और संख्याओं का गुणनफल नहीं। इसलिए, एक अंश की मूल संपत्ति को लागू करना असंभव है, क्योंकि यह संपत्ति संख्याओं के गुणन के साथ सटीक रूप से व्यवहार करती है।

भिन्नों को कम करने का कोई अन्य कारण नहीं है, इसलिए पिछली समस्या का सही समाधान इस तरह दिखता है:

सही समाधान:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सही जवाब इतना सुंदर नहीं निकला। सामान्य तौर पर, सावधान रहें।

BYPASS इस गली पहले से ही! 🙂

गुणन और अंशों का विभाजन।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
सामग्री विशेष धारा 555 में।
उन लोगों के लिए जो बहुत मजबूत नहीं हैं। "
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ही" ")

यह ऑपरेशन जोड़-घटाव की तुलना में बहुत अच्छा है! क्योंकि यह आसान है। मुझे आपको याद दिलाना चाहिए: एक अंश को एक अंश से गुणा करने के लिए, आपको अंशों को गुणा करना होगा (यह परिणाम का अंश होगा) और भाजक (यह भाजक होगा)। अर्थात:

सब कुछ बेहद सरल है... और कृपया एक सामान्य भाजक की तलाश न करें! यहाँ उसकी ज़रूरत नहीं है ...

एक अंश को एक अंश में विभाजित करने के लिए, आपको फ्लिप करने की आवश्यकता है दूसरा (यह महत्वपूर्ण है!) अंश और उन्हें गुणा करें, अर्थात:

यदि आप पूर्णांक और भिन्न के साथ गुणा या भाग में आते हैं - यह ठीक है। इसके अलावा, हम एक पूर्णांक से हर में एक के साथ एक अंश बनाते हैं - और जाओ! उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में, आपको अक्सर तीन-कहानी (या यहां तक \u200b\u200bकि चार-कहानी!) अंशों से निपटना पड़ता है। उदाहरण के लिए:

इस अंश को एक सभ्य रूप में कैसे लाया जाए? यह बहुत सरल है! दो-बिंदु विभाजन का उपयोग करें:

लेकिन विभाजन के आदेश को मत भूलना! गुणा के विपरीत, यह यहाँ बहुत महत्वपूर्ण है! बेशक, 4: 2 या 2: 4 हम भ्रमित नहीं करेंगे। लेकिन तीन-कहानी वाले अंश में गलती करना आसान है। नोट, उदाहरण के लिए:

पहले मामले में (बाईं ओर अभिव्यक्ति):

दूसरे में (दाईं ओर अभिव्यक्ति):

क्या आप अंतर महसूस करते हैं? 4 और 1/9!

और विभाजन का क्रम क्या निर्धारित करता है? या कोष्ठक, या (यहाँ के रूप में) क्षैतिज सलाखों की लंबाई। एक आँख विकसित करना। और अगर कोई कोष्ठक या डैश नहीं हैं, जैसे:

फिर हम विभाजित करते हैं क्रम में, बाएं से दाएं!

और एक और बहुत सरल और महत्वपूर्ण चाल। डिग्री वाले कार्यों में, ओह, वह कितना उपयोगी है! इकाई को किसी भी अंश से विभाजित करें, उदाहरण के लिए, 13/15 द्वारा:

अंश पलट गया! और यह हमेशा करता है। 1 को किसी अंश से विभाजित करते समय, परिणाम एक ही अंश होता है, केवल उलटा।

यह सब भिन्नों के लिए है। बात काफी सरल है, लेकिन यह पर्याप्त त्रुटियों से अधिक देता है। व्यावहारिक सुझावों पर ध्यान दें, और कम (गलतियाँ) होंगी!

1. भिन्नात्मक भावों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और देखभाल है! ये सामान्य शब्द नहीं हैं, शुभकामनाएं नहीं हैं! यह एक सख्त आवश्यकता है! परीक्षा में सभी गणना एक पूर्ण कार्य के रूप में एकाग्रता और स्पष्टता के साथ करें। एक मसौदे में दो अतिरिक्त पंक्तियों को लिखना बेहतर होता है, जब आपके सिर में गणना करते समय इसे गड़बड़ाना पड़ता है।

2. विभिन्न प्रकार के भिन्न के साथ उदाहरणों में - साधारण अंशों पर जाएं।

3. बंद करने के लिए सभी भिन्न होते हैं।

4. हम दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करके सामान्य लोगों के लिए बहु-मंजिला भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को कम करते हैं (विभाजन क्रम देखें!)।

यहां ऐसे कार्य हैं जिन्हें आपको निश्चित रूप से हल करना चाहिए। सभी कार्यों के बाद उत्तर दिए गए हैं। इस विषय पर सामग्री और व्यावहारिक सलाह का उपयोग करें। विचार करें कि आप कितने उदाहरणों को सही ढंग से हल करने में सक्षम थे। पहली बार! कोई कैलकुलेटर नहीं! और सही निष्कर्ष निकालें।

याद रखें - सही उत्तर है दूसरे (विशेषकर - तीसरे) समय से प्राप्त - गिनती नहीं करता है! यह कठोर जीवन है।

इसलिए, हम परीक्षा मोड में हल करते हैं ! यह पहले से ही परीक्षा की तैयारी कर रहा है, वैसे। हम उदाहरण को हल करते हैं, जांच करते हैं, अगले को हल करते हैं। हमने सब कुछ तय किया - पहले से आखिरी तक फिर से जाँच की। लेकिन सिर्फ बाद में जवाब देखो।

हम उन जवाबों की तलाश में हैं जो आपके मेल खाते हों। मैंने विशेष रूप से उन्हें एक गड़बड़ में लिखा था, प्रलोभन से दूर, इसलिए बोलने के लिए। यहां वे उत्तर हैं, अर्धविराम द्वारा अलग किए गए।

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

और अब हम निष्कर्ष निकालते हैं। अगर सब कुछ काम कर गया, तो मुझे आपके लिए खुशी है! अंशों के साथ बुनियादी गणना आपकी समस्या नहीं है! आप अधिक गंभीर चीजें कर सकते हैं। अगर नहीं।

तो आपको दो समस्याओं में से एक है। या दोनों एक साथ।) ज्ञान की कमी और / या असावधानी। परंतु। यह हल किया समस्या।

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नियम 1।

एक प्राकृतिक संख्या से कुछ अंश गुणा करने के लिए, आपको इस संख्या से इसके अंश को गुणा करना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

नियम २।

एक अंश द्वारा एक अंश को गुणा करने के लिए, आपको आवश्यकता है:

1. अंशों के उत्पाद और इन भिन्नों के हर का गुणनफल ज्ञात कीजिए

2. पहला काम अंश में लिखा जाना चाहिए, और दूसरा - हर में।

नियम ३।

मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्नों के रूप में लिखना होगा, और फिर भिन्नों को गुणा करने के लिए नियम का उपयोग करना होगा।

नियम ४।

एक अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, लाभांश को भाजक के पारस्परिक गुणन द्वारा गुणा किया जाना चाहिए।

उदाहरण 1।

गणना

उदाहरण 2।

गणना

उदाहरण 3।

गणना

उदाहरण 4।

गणना

गणित। अन्य सामग्री

एक संख्या को एक तर्कसंगत शक्ति में बढ़ाते हुए। (

एक प्राकृतिक शक्ति के लिए एक संख्या बढ़ाना। (

बीजीय असमानताओं को हल करने के लिए अंतराल की सामान्यीकृत विधि (लेखक कोल्चनोव ए.वी.)

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प्रभागीय परीक्षण (लुंगु अलीना)

अंशों के गुणन और विभाजन पर स्वयं को जांचें ’

अंशों का गुणा

हम कई तरीकों से साधारण अंशों के गुणन पर विचार करेंगे।

एक अंश से साधारण अंश का गुणन

यह सबसे सरल मामला है जिसमें आपको निम्नलिखित का उपयोग करने की आवश्यकता है भिन्नों को गुणा करने के नियम.

सेवा अंश से गुणा भिन्न, आप की जरूरत है:

पहले अंश के अंश को दूसरे अंश के अंश से गुणा किया जाता है और उनके उत्पाद को नए अंश के अंश में लिखा जाता है;

पहले अंश के हर को दूसरे अंश के हर से गुणा करें और अपने उत्पाद को नए भिन्न के हर में लिखिए;

संख्या और भाजक को गुणा करने से पहले, जांचें कि क्या अंश को रद्द किया जा सकता है। गणना में अंशों को कम करने से आपकी गणनाओं में काफी सुविधा होगी।

एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करना

अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करें आपको इस संख्या द्वारा अंश के अंश को गुणा करना होगा, और अंश के हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

यदि, गुणन के परिणामस्वरूप, एक गलत अंश प्राप्त होता है, तो इसे मिश्रित संख्या में बदलना न भूलें, अर्थात पूरे भाग का चयन करें।

मिश्रित संख्याओं का गुणन

मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर साधारण अंशों के गुणन के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

एक प्राकृतिक संख्या द्वारा एक अंश को गुणा करने का दूसरा तरीका

कभी-कभी, गणना करते समय, एक संख्या से एक साधारण अंश को गुणा करने की दूसरी विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है।

एक प्राकृतिक संख्या से भिन्न को गुणा करने के लिए, आपको इस संख्या से भिन्न के हर को विभाजित करना होगा, और अंश को उसी पर छोड़ना होगा।

जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, नियम का यह संस्करण उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है यदि अंश का भाजक बिना किसी शेष संख्या के प्राकृतिक संख्या से विभाज्य है।

एक संख्या से एक अंश को विभाजित करना

किसी संख्या को एक अंश से विभाजित करने का सबसे तेज़ तरीका क्या है? आइए सिद्धांत का विश्लेषण करते हैं, एक निष्कर्ष निकालते हैं, और उदाहरणों का उपयोग करके देखते हैं कि कैसे एक संख्या द्वारा एक अंश का विभाजन एक नए लघु नियम के अनुसार किया जा सकता है।

आमतौर पर, एक अंश द्वारा एक अंश को विभाजित करना भिन्न भिन्न के नियम के अनुसार किया जाता है। पहले नंबर (अंश) को दूसरे के व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है। चूंकि दूसरी संख्या एक पूर्णांक है, इसका व्युत्क्रम एक अंश है, जिसमें से अंश एक है और हर एक दिया गया संख्या है। योजनाबद्ध रूप से, एक अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना इस तरह दिखता है:

यहाँ से हम निष्कर्ष निकालते हैं:

एक अंश को एक संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको इस संख्या से हर को गुणा करना होगा, और अंश को उसी पर छोड़ना होगा। नियम को और भी छोटा बनाया जा सकता है:

किसी संख्या से भिन्न को विभाजित करते समय, संख्या हर में जाती है।

एक अंश को एक संख्या से विभाजित करें:

अंश को एक संख्या से विभाजित करने के लिए, अपरिवर्तित अंक को फिर से लिखें, और इस संख्या से हर को गुणा करें। 6 और 3 को 3 से कम करें।

किसी संख्या से भिन्न को विभाजित करते समय, अंश को फिर से लिखें, और इस संख्या से हर को गुणा करें। 16 और 24 को 8 से घटाएं।

किसी संख्या से भिन्न को विभाजित करते समय, संख्या हर में जाती है, इसलिए हम अंश को समान छोड़ते हैं, और भाजक द्वारा हर को गुणा करते हैं। 7 से 21 और 35 घटाएं।

गुणन और अंशों का विभाजन

दो अंशों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंशों और भाजकों को अलग-अलग गुणा करना होगा। पहला नंबर नए अंश का अंश होगा, और दूसरा भाजक होगा।

दो अंशों को विभाजित करने के लिए, आपको पहले भाग को "उलटा" दूसरे से गुणा करना होगा।

एक कार्य। अभिव्यक्ति का अर्थ ज्ञात करें:

परिभाषा के अनुसार, हमारे पास:

पूरे अंशों और नकारात्मक अंशों का गुणन

प्लस और माइनस माइनस देता है;
दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं।

जब तक वे पूरी तरह से गायब न हो जाएं, तब तक जोड़े में से मंत्रों को पार करें। एक चरम मामले में, एक माइनस जीवित रह सकता है - वह जिसके लिए कोई जोड़ी नहीं थी;
यदि कोई मिन्यूज नहीं बचा है, तो ऑपरेशन पूरा हो गया है - आप गुणा करना शुरू कर सकते हैं। यदि अंतिम शून्य को पार नहीं किया जाता है, क्योंकि इसके लिए कोई जोड़ी नहीं थी, तो हम इसे गुणा की सीमा से बाहर ले जाते हैं। आपको नकारात्मक अंश मिलता है।

मक्खी पर अंशों को कम करना

आप ऐसा नहीं कर सकते!

अंशों का विभाजन।

एक प्राकृतिक संख्या से एक अंश का विभाजन।

एक प्राकृतिक संख्या से एक अंश को विभाजित करने के उदाहरण

एक अंश द्वारा एक प्राकृतिक संख्या का विभाजन।

एक अंश द्वारा एक प्राकृतिक संख्या को विभाजित करने के उदाहरण

साधारण अंशों का विभाजन।

साधारण अंशों के विभाजन के उदाहरण

मिश्रित संख्याओं का विभाजन।

मिश्रित अंशों को अनुचित लोगों में परिवर्तित करें;
दूसरे के व्युत्क्रम से पहले अंश को गुणा करें;
परिणामी अंश को कम करें;
यदि परिणाम एक गलत अंश है, तो अनुचित अंश को मिश्रित में बदलें।

मिश्रित संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण

1 1 2: 2 2 3 \u003d 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 \u003d 3 2: 8 3 \u003d 3 2 3 8 \u003d 3 3 2 8 \u003d 9 16

2 1 7: 3 5 \u003d 2 7 + 1 7: 3 5 \u003d 15 7: 3 5 \u003d 15 7 5 3 \u003d 15 5 7 3 \u003d 5 5 7 \u003d 25 7 \u003d 7 3 + 4 7 \u003d ३ ४ 4

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भिन्न। गुणन और अंशों का विभाजन।

एक अंश से साधारण अंश का गुणन।

साधारण अंशों को गुणा करने के लिए, आपको अंश (हम उत्पाद के अंश प्राप्त करते हैं) और हर के भाजक से गुणक को गुणा करने की आवश्यकता होती है (हमें उत्पाद का भाजक मिलता है)।

अंशों को गुणा करने का सूत्र:

इससे पहले कि आप अंश और हर को गुणा करना शुरू करें, आपको अंश को कम करने की संभावना के लिए जांच करनी होगी। यदि आप अंश को कम कर सकते हैं, तो आपके लिए आगे की गणना करना आसान हो जाएगा।

ध्यान दें! यहाँ एक आम भाजक की तलाश करने की आवश्यकता नहीं है !!

एक साधारण अंश का एक अंश में विभाजन।

एक अंश में एक साधारण अंश का विभाजन इस प्रकार है: दूसरे अंश को (यानी अंश और हर को स्थानों में बदलकर) फ्लिप करें और उसके बाद अंशों को गुणा किया जाए।

साधारण अंशों के विभाजन के लिए सूत्र:

एक प्राकृतिक संख्या से एक अंश का गुणा।

ध्यान दें! जब किसी अंश को प्राकृतिक संख्या से गुणा किया जाता है, तो अंश का अंश हमारी प्राकृतिक संख्या से गुणा होता है, और अंश का हर भाग अपरिवर्तित रह जाता है। यदि उत्पाद का परिणाम एक गलत अंश निकला, तो गलत अंश को एक मिश्रित में बदलकर, पूरे भाग का चयन करना सुनिश्चित करें।

एक प्राकृतिक संख्या के साथ अंशों का विभाजन।

यह उतना डरावना नहीं है जितना लगता है। जैसा कि जोड़ के मामले में, हम एक पूर्णांक को हर में एक के साथ एक भिन्न में परिवर्तित करते हैं। उदाहरण के लिए:

मिश्रित अंशों का गुणन।

भिन्न (मिश्रित) गुणा करने के नियम:

मिश्रित अंशों को गलत लोगों में परिवर्तित करना;
हम अंशों के संख्या और हर को गुणा करते हैं;
हम अंश को कम करते हैं;
यदि आपको गलत अंश मिला है, तो गलत अंश को मिश्रित में बदल दें।

ध्यान दें! एक मिश्रित अंश को दूसरे मिश्रित अंश से गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों के रूप में लाना होगा, और फिर साधारण अंशों के गुणन के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

एक प्राकृतिक संख्या द्वारा एक अंश को गुणा करने का दूसरा तरीका।

एक संख्या से एक साधारण अंश को गुणा करने की दूसरी विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक हो सकता है।

ध्यान दें! एक प्राकृतिक संख्या से भिन्न को गुणा करने के लिए, आपको इस संख्या से भिन्न के हर को विभाजित करना होगा, और अंश को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

ऊपर दिए गए उदाहरण से, यह स्पष्ट है कि यह विकल्प उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है जब अंश का भाजक एक प्राकृतिक संख्या द्वारा शेष के बिना विभाजित किया जाता है।

बहुमंजिला अंश।

हाई स्कूल में, तीन-कहानी (या अधिक) अंश अक्सर पाए जाते हैं। उदाहरण:

इस तरह के अंश को अपने सामान्य रूप में लाने के लिए, 2 बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग किया जाता है:

ध्यान दें! अंशों को विभाजित करते समय, विभाजन का क्रम बहुत महत्वपूर्ण है। सावधान रहें, यहां भ्रमित होना आसान है।

ध्यान दें, उदाहरण के लिए:

किसी एक अंश को विभाजित करते समय, परिणाम एक ही अंश होगा, केवल उलटा:

भिन्न को गुणा और विभाजित करने के लिए व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक भावों के साथ काम करने में सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और देखभाल है। एकाग्रता और स्पष्टता के साथ सभी गणना सावधानीपूर्वक और सटीक रूप से करें। मसौदे में कुछ अतिरिक्त पंक्तियों को लिखने से बेहतर है कि आप अपने सिर की गणना में उलझ जाएं।

2. विभिन्न प्रकार के भिन्न के साथ कार्यों में - साधारण भिन्न के रूप में जाते हैं।

3. सभी अंशों को कम करें जब तक कि इसे कम करना असंभव न हो जाए।

4. बहुमंजिला भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को सामान्य से घटाया जाता है, 2 बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करते हुए।

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हम कई तरीकों से साधारण अंशों के गुणन पर विचार करेंगे।

एक अंश से साधारण अंश का गुणन

सेवा अंश से गुणा भिन्न, आप की जरूरत है:

पहले अंश के अंश को दूसरे अंश के अंश से गुणा किया जाता है और उनके उत्पाद को नए अंश के अंश में लिखा जाता है;
पहले अंश के हर को दूसरे अंश के हर से गुणा करें और अपने उत्पाद को नए भिन्न के हर में लिखिए;

एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करना

मिश्रित संख्याओं का गुणन

एक प्राकृतिक संख्या द्वारा एक अंश को गुणा करने का दूसरा तरीका

अंश क्रिया

समान भाजक के साथ अंश जोड़ना

भिन्न के दो प्रकार हैं:

समान भाजक के साथ अंश जोड़ना
विभिन्न विभाजनों के साथ अंश जोड़ना

पहले, आइए एक ही हर के साथ अंशों के जोड़ का अध्ययन करें। यहां सब कुछ सरल है। समान भाजक के साथ भिन्नों को जोड़ने के लिए, उनके अंशों को जोड़ें और भाजक को अपरिवर्तित छोड़ दें। उदाहरण के लिए, अंश जोड़ें और। संख्\u200dयाओं को जोड़ें, और भाजक को अपरिवर्तित छोड़ें:

यह उदाहरण आसानी से समझा जा सकता है यदि आप पिज्जा के बारे में सोचते हैं, जिसे चार भागों में विभाजित किया गया है। यदि आप पिज्जा में पिज्जा डालते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 2। अंश जोड़ें और।

फिर से, अंशों को जोड़ें, और भाजक को अपरिवर्तित छोड़ दें:

उत्तर गलत अंश है। यदि समस्या का अंत आता है, तो यह गलत अंशों से छुटकारा पाने के लिए प्रथागत है। गलत अंश से छुटकारा पाने के लिए, आपको इसमें पूरे भाग का चयन करने की आवश्यकता है। हमारे मामले में, पूरे हिस्से को आसानी से प्रतिष्ठित किया जाता है - दो को दो से विभाजित किया जाता है:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि आप पिज्जा के बारे में सोचते हैं, जिसे दो भागों में विभाजित किया गया है। यदि आप पिज्जा में पिज्जा जोड़ते हैं, तो आपको एक पूरा पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 3... अंश जोड़ें और।

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि आप पिज्जा के बारे में सोचते हैं, जिसे तीन भागों में विभाजित किया गया है। यदि आप पिज्जा में पिज्जा जोड़ते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 4। किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण पिछले वाले की तरह ही हल किया गया है। संख्याओं को जोड़ा जाना चाहिए, और भाजक को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए:

आइए एक चित्र का उपयोग करके हमारे समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज्जा में पिज्जा डालते हैं और पिज्जा में पिज्जा डालते हैं, तो आपको 1 और अधिक पिज्जा मिलता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान डिनोमिनेटर के साथ अंशों को जोड़ने में कुछ भी जटिल नहीं है। यह निम्नलिखित नियमों को समझने के लिए पर्याप्त है:

समान भाजक के साथ भिन्नों को जोड़ने के लिए, उनके अंशों को जोड़ें और भाजक को समान छोड़ दें;
यदि उत्तर गलत अंश है, तो आपको इसमें पूरे भाग का चयन करना होगा।

विभिन्न विभाजनों के साथ अंश जोड़ना

अब आइए जानें कि अलग-अलग हर के साथ अंशों को कैसे जोड़ा जाए। भिन्नों को जोड़ते समय, उन भिन्नों का हर समान होना चाहिए। लेकिन वे हमेशा समान नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, आप जोड़ सकते हैं और भिन्न कर सकते हैं क्योंकि उनके पास एक ही भाजक है।

लेकिन भिन्नों को तुरंत नहीं जोड़ा जा सकता है, क्योंकि इन अंशों में अलग-अलग भाजक होते हैं। ऐसे मामलों में, समान (सामान्य) हर को भिन्नों को कम करना चाहिए।

समान भाजक में भिन्नता लाने के कई तरीके हैं। आज हम उनमें से केवल एक पर विचार करेंगे, क्योंकि बाकी विधियां एक शुरुआत के लिए मुश्किल लग सकती हैं।

इस पद्धति का सार यह है कि दोनों अंशों के हर के सबसे पहले कम से कम सामान्य एकाधिक (LCM) मांगा जाता है। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त किया जाता है। दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करें - एलसीएम को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त किया जाता है।

फिर अंशों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा किया जाता है। इन क्रियाओं के परिणामस्वरूप, विभिन्न विभाजनों वाले भिन्नों को समान हरकों के साथ भिन्न में बदल दिया जाता है। और हम पहले से ही जानते हैं कि इस तरह के अंशों को कैसे जोड़ा जाए।

उदाहरण 1... अंश जोड़ें और

इन अंशों में अलग-अलग भाजक होते हैं, इसलिए आपको उन्हें समान (सामान्य) हर में लाने की आवश्यकता होती है।

सबसे पहले, हम दोनों अंशों के हर के सबसे कम बहु गुणकों को खोजते हैं। पहले अंश का हर 3 है, और दूसरे अंश का हर 2 है। इन संख्याओं में से कम से कम सामान्य गुणनफल 6 है

एलसीएम (2 और 3) \u003d 6

अब हम भिन्नों में लौटते हैं और सबसे पहले, LCM को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त करें। एलसीएम संख्या 6 है, और पहले अंश का भाजक संख्या 3 है। 6 को 3 से विभाजित करें, हमें 2 मिलता है।

परिणामी संख्या 2 पहला अतिरिक्त कारक है। हम इसे पहले अंश तक लिखते हैं। ऐसा करने के लिए, अंश के ऊपर एक छोटी सी तिरछी रेखा बनाएं और इसके ऊपर पाए गए अतिरिक्त कारक को लिखें:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम एलसीएम को दूसरे अंश के हर से विभाजित करते हैं और दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त करते हैं। एलसीएम 6 नंबर है, और दूसरे अंश का हर संख्या 2 है। 6 को 2 से विभाजित करें, हमें 3 मिलता है।

परिणामी संख्या 3 दूसरा अतिरिक्त कारक है। हम इसे दूसरे अंश तक लिखते हैं। फिर, हम दूसरे अंश के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा खींचते हैं और इसके ऊपर पाए गए अतिरिक्त कारक को लिखते हैं:

हम अब जोड़ने के लिए तैयार हैं। यह अंशों और अंशों को उनके अतिरिक्त कारकों द्वारा गुणा करने के लिए बना रहता है:

हम जो आए हैं, उसे करीब से देखें। हम इस नतीजे पर पहुँचे कि अलग-अलग विभाजनों वाले भिन्नों को एक ही हर के साथ भिन्न में बदल दिया गया। और हम पहले से ही जानते हैं कि इस तरह के अंशों को कैसे जोड़ा जाए। चलिए इस उदाहरण को अंत तक पूरा करते हैं:

इस प्रकार, उदाहरण समाप्त होता है। यह जोड़ने के लिए निकलता है।

आइए एक चित्र का उपयोग करके हमारे समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज्जा में पिज्जा जोड़ते हैं, तो आपको एक पूरा पिज्जा और दूसरा छठा पिज्जा मिलेगा:

समान (सामान्य) हर के लिए भिन्न की कमी को चित्र का उपयोग करके भी चित्रित किया जा सकता है। भिन्नों को कम करने और एक आम भाजक के लिए, हमें भिन्नों और मिला। इन दो अंशों को एक ही पिज्जा स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा। अंतर केवल इतना है कि इस बार उन्हें समान शेयरों में विभाजित किया जाएगा (समान भाजक के लिए कम)।

पहली ड्राइंग में एक अंश (छह में से चार टुकड़े) को दर्शाया गया है, और दूसरी ड्राइंग में एक अंश (छह में से तीन टुकड़े) को दर्शाया गया है। इन टुकड़ों को एक साथ रखने से हमें छह में से सात टुकड़े मिलते हैं। यह अंश गलत है, इसलिए हमने इसमें पूरे भाग को चुना है। परिणाम था (एक पूरा पिज्जा और दूसरा छठा पिज्जा)।

ध्यान दें कि हमने इस उदाहरण का बहुत विस्तार से वर्णन किया है। शिक्षण संस्थानों में, इस तरह के विस्तृत तरीके से लिखने का रिवाज नहीं है। आपको दोनों भाजक और अतिरिक्त कारकों के एलसीएम को जल्दी से ढूंढने में सक्षम होने की आवश्यकता है, साथ ही साथ अपने संख्यात्मक और भाजक द्वारा पाए गए अतिरिक्त कारकों को जल्दी से गुणा करें। स्कूल में रहते हुए, हमें इस उदाहरण को इस प्रकार लिखना होगा:

लेकिन सिक्के का एक नकारात्मक पहलू भी है। यदि गणित का अध्ययन करने के पहले चरणों में आप विस्तृत नोट्स नहीं बनाते हैं, तो इस तरह के प्रश्न दिखाई देने लगते हैं "वह आंकड़ा कहां से आया है?" "फ्रैक्चर अचानक अचानक पूरी तरह से भिन्न क्यों हो जाते हैं? «.

विभिन्न भाजक के साथ अंश जोड़ना आसान बनाने के लिए, आप निम्न चरण-दर-चरण निर्देशों का उपयोग कर सकते हैं:

भिन्न के हर के LCM ज्ञात कीजिये;
प्रत्येक अंश के भाजक द्वारा एलसीएम को विभाजित करें और प्रत्येक अंश के लिए एक अतिरिक्त कारक प्राप्त करें;
अपने अतिरिक्त कारकों द्वारा अंशों के अंश और हर को गुणा करें;
समान भाजक के साथ अंश जोड़ें;
यदि उत्तर गलत अंश निकला है, तो उसके पूरे भाग का चयन करें;

उदाहरण 2। किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए .

आइए हम उस योजना का उपयोग करें जो हमने ऊपर प्रस्तुत की है।

चरण 1. भिन्न के हर के लिए LCM ज्ञात कीजिए

दोनों भिन्नों के हर के लिए LCM ज्ञात कीजिए। भिन्नों के भाजक संख्या 2, 3 और 4 हैं। आपको इन संख्याओं के लिए LCM खोजने की आवश्यकता है:

चरण 2. प्रत्येक अंश के भाजक द्वारा एलसीएम को विभाजित करें और प्रत्येक अंश के लिए एक अतिरिक्त कारक प्राप्त करें

हम LCM को पहले भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और पहले अंश का हर एक संख्या 2 है। 12 को 2 से विभाजित करें, हमें 6. प्राप्त होता है। हमें पहला अतिरिक्त कारक मिला। 6. हम इसे पहले अंश पर लिखते हैं:

अब हम LCM को दूसरे अंश के हर से विभाजित करते हैं। LCM 12 का अंक है, और दूसरे अंश का हर है संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करें, हमें 4 मिलता है। हमें दूसरा अतिरिक्त कारक मिला है। हम इसे दूसरे अंश पर लिखते हैं:

अब हम LCM को तीसरे अंश के हर से विभाजित करते हैं। LCM 12 नंबर है, और तीसरे अंश का भाजक संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करें, हमें 3 मिलते हैं। हमें तीसरा अतिरिक्त कारक मिला है। हम इसे तीसरे अंश पर लिखते हैं:

चरण 3. अपने अतिरिक्त कारकों द्वारा अंशों और अंशों के भाजक को गुणा करें

हम अपने अतिरिक्त कारकों द्वारा अंश और हर को गुणा करते हैं:

चरण 4. समान भाजक के साथ अंश जोड़ें

हम इस नतीजे पर पहुँचे कि भिन्न भिन्न होने वाले भिन्नों को समान (सामान्य) हर के साथ भिन्न में बदल दिया गया। यह इन अंशों को जोड़ने के लिए बनी हुई है। हम जोड़ते हैं:

जोड़ एक पंक्ति पर फिट नहीं हुआ, इसलिए हमने शेष अभिव्यक्ति को अगली पंक्ति में स्थानांतरित कर दिया। गणित में इसकी अनुमति है। जब कोई अभिव्यक्ति एक पंक्ति में फिट नहीं होती है, तो इसे अगली पंक्ति में स्थानांतरित कर दिया जाता है, और आपको हमेशा पहली पंक्ति के अंत में और एक नई पंक्ति की शुरुआत में एक समान चिह्न (\u003d) डालना चाहिए। दूसरी पंक्ति पर बराबर संकेत इंगित करता है कि यह उस अभिव्यक्ति का एक सिलसिला है जो पहली पंक्ति में थी।

चरण 5. यदि उत्तर गलत अंश हो जाता है, तो उसके पूरे भाग का चयन करें

हमें अपने उत्तर में गलत अंश मिला। हमें इसमें से पूरे भाग का चयन करना है। हाइलाइट:

एक जवाब मिला

एक ही हर के साथ अंशों को घटाना

भिन्नों के घटाव के दो प्रकार हैं:

एक ही हर के साथ अंशों को घटाना
विभिन्न भाजक के साथ अंशों को घटाना

पहले, आइए एक ही हर के साथ अंशों के घटाव का अध्ययन करें। यहां सब कुछ सरल है। दूसरे को एक अंश से घटाने के लिए, आपको पहले अंश के अंश से दूसरे अंश के अंश को घटाना होगा, और हर को भी छोड़ना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए एक व्यंजक का मान ज्ञात करें। इस उदाहरण को हल करने के लिए, पहले अंश के अंश से दूसरे अंश के अंश को घटाएँ, और हर को छोड़ें। चलो इसे करते हैं:

यह उदाहरण आसानी से समझा जा सकता है यदि आप पिज्जा के बारे में सोचते हैं, जिसे चार भागों में विभाजित किया गया है। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 2। अभिव्यक्ति का मूल्य ज्ञात कीजिए।

फिर से, पहले अंश के अंश से दूसरे अंश के अंश को घटाएँ, और हर को समान छोड़ें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि आप पिज्जा के बारे में सोचते हैं, जिसे तीन भागों में विभाजित किया गया है। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 3। किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण पिछले वाले की तरह ही हल किया गया है। पहले अंश के अंश से, आपको शेष अंशों के अंशों को घटाना होगा:

उत्तर गलत अंश है। यदि उदाहरण पूरा हो गया है, तो यह गलत अंश से छुटकारा पाने के लिए प्रथागत है। आइए और हम उत्तर में गलत अंश से छुटकारा पाएं। ऐसा करने के लिए, इसके पूरे भाग का चयन करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान डिनोमिनेटरों के साथ अंशों को घटाने में कुछ भी मुश्किल नहीं है। यह निम्नलिखित नियमों को समझने के लिए पर्याप्त है:

दूसरे को एक अंश से घटाने के लिए, आपको पहले अंश के अंश से दूसरे अंश के अंश को घटाना होगा, और हर को भी छोड़ना होगा;

यदि उत्तर गलत अंश है, तो आपको इसके पूरे भाग का चयन करना होगा।

विभिन्न भाजक के साथ अंशों को घटाना

उदाहरण के लिए, आप एक अंश को एक अंश से घटा सकते हैं, क्योंकि इन अंशों में समान भाजक होता है। लेकिन आप एक अंश को एक अंश से घटा नहीं सकते हैं, क्योंकि इन अंशों में भिन्न-भिन्न होते हैं। ऐसे मामलों में, समान (सामान्य) हर को भिन्नों को कम करना चाहिए।

आम भाजक उसी सिद्धांत के अनुसार पाया जाता है जिसका उपयोग हमने विभिन्न संप्रदायों के साथ अंश जोड़ते समय किया था। सबसे पहले, दोनों अंशों के हर के LCM ज्ञात कीजिए। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जो पहले अंश पर लिखा जाता है। इसी तरह, एलसीएम को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त किया जाता है, जो दूसरे अंश पर लिखा जाता है।

अंशों को फिर उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा किया जाता है। इन ऑपरेशनों के परिणामस्वरूप, विभिन्न विभाजनों वाले भिन्नों को एक ही हर के साथ भिन्न में बदल दिया जाता है। हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे अंशों को कैसे घटाया जाए।

उदाहरण 1। एक अभिव्यक्ति का मूल्य ज्ञात कीजिए:

सबसे पहले, हम दोनों अंशों के हर के LCM ज्ञात करते हैं। पहले अंश का हर 3 है, और दूसरे अंश का हर 4 है। इन संख्याओं में से सबसे कम सामान्य गुणांक 12 है

एलसीएम (3 और 4) \u003d 12

अब वापस अंशों और

आइए पहले अंश के लिए एक अतिरिक्त कारक खोजें। ऐसा करने के लिए, हम पहले अंश के हर के द्वारा LCM को विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और पहले अंश का हर एक संख्या है 3. 12 को 3 से विभाजित करें, हमें मिलता है 4. पहले अंश से चार लिखें:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम LCM को दूसरे अंश के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और दूसरे अंश का हर है संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करें, हमें 3 मिलता है। तीन को दूसरे अंश पर लिखें:

अब हम घटाव के लिए तैयार हैं। यह आपके अतिरिक्त कारकों द्वारा अंशों को गुणा करने के लिए बना रहता है:

हम इस नतीजे पर पहुँचे कि अलग-अलग विभाजनों वाले भिन्नों को एक ही हर के साथ भिन्न में बदल दिया गया। हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे अंशों को कैसे घटाया जाए। चलिए इस उदाहरण को अंत तक पूरा करते हैं:

एक जवाब मिला

आइए एक चित्र का उपयोग करके हमारे समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है

यह समाधान का एक विस्तृत संस्करण है। स्कूल में, हमें इस उदाहरण को छोटे तरीके से हल करना होगा। ऐसा समाधान इस तरह दिखेगा:

आकृति का उपयोग करके अंशों की कमी और एक सामान्य भाजक को भी चित्रित किया जा सकता है। इन भिन्नों को एक सामान्य हर के लिए लाते हुए, हमें भिन्न और मिला। इन अंशों को समान पिज्जा स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा, लेकिन इस बार उन्हें समान शेयरों में विभाजित किया जाएगा (समान मूल्यवर्ग के लिए कम):

पहली ड्राइंग में एक अंश (बारह में से आठ टुकड़े) को दर्शाया गया है, और दूसरी ड्राइंग में एक अंश (बारह में से तीन टुकड़े) को दर्शाया गया है। आठ टुकड़ों में से तीन टुकड़े काटकर, हम बारह में से पांच टुकड़े प्राप्त करते हैं। अंश और इन पाँच टुकड़ों का वर्णन करता है।

उदाहरण 2। किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

इन अंशों में अलग-अलग भाजक होते हैं, इसलिए आपको पहले उन्हें समान (सामान्य) हर में लाने की आवश्यकता है।

इन अंशों के हर के LCM ज्ञात कीजिए।

भिन्न के हर 10, 3, और 5 हैं। इनमें से कम से कम सामान्य संख्या 30 है

एलसीएम (10, 3, 5) \u003d 30

अब हम प्रत्येक अंश के लिए अतिरिक्त कारक ढूंढते हैं। ऐसा करने के लिए, हम प्रत्येक अंश के हर के एलसीएम को विभाजित करते हैं।

आइए पहले अंश के लिए एक अतिरिक्त कारक खोजें। LCM 30 की संख्या है, और पहले अंश का हर 10 है। 30 को 10 से विभाजित करें, हमें पहला अतिरिक्त कारक मिलता है। 3. हम इसे पहले अंश पर लिखते हैं:

अब हम दूसरे अंश के लिए एक अतिरिक्त कारक ढूंढते हैं। LCM को दूसरे अंश के हर से विभाजित करें। LCM 30 की संख्या है, और दूसरे अंश का भाजक संख्या 3 है। 30 को 3 से विभाजित करें, हमें दूसरा अतिरिक्त कारक मिलता है। हम इसे दूसरे अंश पर लिखते हैं:

अब हम तीसरे अंश के लिए एक अतिरिक्त कारक ढूंढते हैं। तीसरे अंश के हर से LCM को विभाजित करें। एलसीएम 30 नंबर है, और तीसरे अंश का भाजक संख्या 5 है। 30 को 5 से विभाजित करें, हमें तीसरा अतिरिक्त कारक मिलता है। हम इसे तीसरे अंश पर लिखते हैं:

सब कुछ अब घटाव के लिए तैयार है। यह आपके अतिरिक्त कारकों द्वारा अंशों को गुणा करने के लिए बना रहता है:

हम इस नतीजे पर पहुँचे कि भिन्न भिन्न होने वाले भिन्नों को समान (सामान्य) हर के साथ भिन्न में बदल दिया गया। हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे अंशों को कैसे घटाया जाए। आइए इस उदाहरण को समाप्त करते हैं।

उदाहरण की निरंतरता एक पंक्ति पर फिट नहीं होगी, इसलिए हम निरंतरता को अगली पंक्ति में स्थानांतरित करते हैं। एक नई पंक्ति में बराबर चिह्न (\u003d) के बारे में मत भूलना:

उत्तर सही अंश निकला, और सब कुछ हमें सूट करने लगता है, लेकिन यह बहुत बोझिल और बदसूरत है। इसे सरल और अधिक सौंदर्यवादी रूप से मनभावन बनाया जाना चाहिए। क्या किया जा सकता है? आप इस अंश को छोटा कर सकते हैं। स्मरण करो कि अंश को कम करना अंश और हर के सबसे बड़े सामान्य कारक द्वारा अंश और हर का विभाजन है।

एक अंश को सही ढंग से कम करने के लिए, आपको इसके अंश और भाजक को संख्या 20 और 30 के सबसे बड़े सामान्य भाजक (GCD) द्वारा विभाजित करने की आवश्यकता है।

GCD को NOC से भ्रमित नहीं होना चाहिए। सबसे आम गलती कई newbies बनाते हैं। जीसीडी सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है। हम इसे अंश को कम करने के लिए पाते हैं।

और LCM कम से कम सामान्य बहु है। हम इसे समान (सामान्य) हर के लिए भिन्न लाने के लिए पाते हैं।

अब हम संख्या 20 और 30 की सबसे बड़ी सामान्य भाजक (GCD) पाएंगे।

इसलिए, हम संख्या 20 और 30 के लिए GCD पाते हैं:

जीसीडी (20 और 30) \u003d 10

अब हमारे उदाहरण पर वापस जाएँ और अंश के हर और भाजक को 10 से विभाजित करें:

हमें अच्छा जवाब मिला

एक अंश को एक संख्या से गुणा करना

किसी संख्या से भिन्न को गुणा करने के लिए, आपको इस संख्या से किसी अंश के अंश को गुणा करना होगा, और हर को भी छोड़ना होगा।

उदाहरण 1... अंश को 1 से गुणा करें।

अंश के अंश को 1 से गुणा करें

रिकॉर्डिंग को आधा 1 समय लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 1 बार पिज्जा लेते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है

हम गुणन के नियमों से जानते हैं कि यदि गुणक और गुणक को उलट दिया जाता है, तो उत्पाद नहीं बदलेगा। यदि अभिव्यक्ति के रूप में लिखा गया है, तो उत्पाद अभी भी बराबर होगा। फिर, एक पूर्णांक और एक अंश को गुणा करने का नियम काम करता है:

इस रिकॉर्ड को एक के आधे लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि 1 संपूर्ण पिज्जा है और हम उसका आधा हिस्सा लेते हैं, तो हमारे पास पिज्जा होगा:

उदाहरण 2... किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

अपने अंश के अंश को 4 से गुणा करें

अभिव्यक्ति को दो तिमाहियों में 4 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 4 बार पिज्जा लेते हैं, तो आपको दो पूरे पिज्जा मिलते हैं

और अगर हम स्थानों में गुणक और गुणक को बदलते हैं, तो हमें अभिव्यक्ति मिलती है। यह भी 2 के बराबर होगा। इस अभिव्यक्ति को चार पूरे पिज्जा से दो पिज्जा लेने के रूप में समझा जा सकता है:

अंशों का गुणा

अंशों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और भाजक को गुणा करना होगा। यदि उत्तर गलत अंश है, तो आपको इसमें पूरे भाग का चयन करना होगा।

उदाहरण 1। अभिव्यक्ति का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हमें जवाब मिला। इस अंश को छोटा करना वांछनीय है। अंश को 2 से कम किया जा सकता है। फिर अंतिम निर्णय निम्नलिखित रूप लेगा:

पिज्जा के आधे हिस्से से पिज्जा लेने के रूप में अभिव्यक्ति को समझा जा सकता है। मान लीजिए कि हमारे पास आधा पिज्जा है:

इस आधे के दो तिहाई कैसे प्राप्त करें? पहले आपको इस आधे हिस्से को तीन बराबर भागों में विभाजित करना होगा:

और इन तीन टुकड़ों में से दो लें:

हमारे पास पिज्जा होगा। याद रखें कि जब पिज्जा तीन भागों में विभाजित होता है तो कैसा दिखता है:

इस पिज्जा में से एक टुकड़ा और हमारे द्वारा लिए गए दो स्लाइस में समान आयाम होंगे:

दूसरे शब्दों में, हम उसी पिज्जा के आकार के बारे में बात कर रहे हैं। इसलिए, अभिव्यक्ति का मूल्य है

उदाहरण 2... किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

हम पहले अंश के अंश को दूसरे अंश के अंश से गुणा करते हैं, और दूसरे अंश के हर के द्वारा पहले भिन्न के हर का:

उत्तर गलत अंश है। आइए इसमें पूरा हिस्सा चुनें:

उदाहरण 3। किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

उत्तर एक सही अंश है, लेकिन इसे कम करें तो अच्छा होगा। इस अंश को कम करने के लिए, इसे अंश और हर के GCD द्वारा विभाजित किया जाना चाहिए। तो, चलो संख्या 105 और 450 का GCD खोजें:

जीसीडी के लिए (105 और 150) 15 है

अब हम अपने उत्तर के अंश और भाजक को GCD में विभाजित करते हैं:

पूर्णांक का अंश निरूपण

किसी भी पूर्णांक को एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 5 को इस रूप में दर्शाया जा सकता है। इस से, पाँच अपने मूल्य को नहीं बदलेंगे, क्योंकि अभिव्यक्ति का अर्थ है "संख्या पांच एक से विभाजित", और यह, जैसा कि आप जानते हैं, पाँच के बराबर है:

उलटे नंबर

अब हम गणित में एक बहुत ही दिलचस्प विषय से परिचित होंगे। इसे "बैक नंबर" कहा जाता है।

परिभाषा। संख्या का विलोम ए एक संख्या है, जिसे गुणा करने पर ए एक देता है।

एक चर के बजाय इस परिभाषा में स्थानापन्न करते हैं ए संख्या 5 और परिभाषा पढ़ने की कोशिश करें:

संख्या का विलोम 5 एक संख्या है, जिसे गुणा करने पर 5 एक देता है।

क्या एक संख्या खोजना संभव है, जब 5 से गुणा किया जाता है, एक देता है? यह आप कर सकते हैं पता चला है। चलो एक अंश के रूप में पांच का प्रतिनिधित्व करते हैं:

फिर इस अंश को अपने आप से गुणा करें, बस अंश और हर को स्वैप करें। दूसरे शब्दों में, भिन्न को स्वयं से गुणा करें, केवल उलटा:

इसका परिणाम क्या होगा? यदि हम इस उदाहरण को हल करना जारी रखते हैं, तो हमें एक मिलता है:

इसका मतलब यह है कि 5 का व्युत्क्रम एक संख्या है, जब से 5 को एक से गुणा किया जाता है।

पारस्परिक किसी अन्य पूर्णांक के लिए भी पाया जा सकता है।

3 का व्युत्क्रम अंश है
4 का व्युत्क्रम अंश है

आप किसी अन्य अंश के लिए पारस्परिक भी पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, बस इसे पलट दें।

गुणन और अंशों का विभाजन।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
सामग्री विशेष धारा 555 में।
उन लोगों के लिए जो "बहुत नहीं हैं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत भी ...")

यह ऑपरेशन जोड़-घटाव की तुलना में बहुत अच्छा है! क्योंकि यह आसान है। मुझे आपको याद दिलाना है: एक अंश को एक अंश से गुणा करने के लिए, आपको अंशों को गुणा करना होगा (यह परिणाम का अंश होगा) और भाजक (यह भाजक होगा)। अर्थात:

उदाहरण के लिए:

एक अंश को एक अंश में विभाजित करने के लिए, आपको फ्लिप करने की आवश्यकता है दूसरा(यह महत्वपूर्ण है!) अंश और उन्हें गुणा करें, अर्थात:

उदाहरण के लिए:

यदि आप पूर्णांक और भिन्न के साथ गुणा या भाग में आते हैं - यह ठीक है। इसके अलावा, हम एक पूर्णांक के हर में एक के साथ एक अंश बनाते हैं - और जाओ! उदाहरण के लिए:

पहले मामले में (बाईं ओर अभिव्यक्ति):

दूसरे में (दाईं ओर अभिव्यक्ति):

क्या आप अंतर महसूस करते हैं? 4 और 1/9!

फिर हम विभाजित करते हैं क्रम में, बाएं से दाएं!

व्यावहारिक सलाह:

1. भिन्नात्मक भावों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और देखभाल है! ये सामान्य शब्द नहीं हैं, शुभकामनाएं नहीं हैं! यह एक सख्त आवश्यकता है! परीक्षा में सभी गणना एक पूर्ण कार्य के रूप में एकाग्रता और स्पष्टता के साथ करें। मसौदे में दो अतिरिक्त पंक्तियों को लिखने से बेहतर है कि इसे दिमाग में गड़बड़ कर दिया जाए।

2. विभिन्न प्रकार के भिन्न के साथ उदाहरणों में - साधारण अंशों पर जाएं।

3. बंद करने के लिए सभी भिन्न होते हैं।

5. मानसिक रूप से अंश को मोड़कर, इकाई को मानसिक रूप से भिन्न में विभाजित करें।

इसलिए, हम परीक्षा मोड में हल करते हैं ! यह पहले से ही परीक्षा की तैयारी कर रहा है, वैसे। हम उदाहरण को हल करते हैं, इसे जांचते हैं, अगले को हल करते हैं। हमने सब कुछ तय किया - पहले से आखिरी तक फिर से जाँच की। लेकिन सिर्फ बाद में जवाब देखो।

गणना:

क्या आपने इसे हल किया है?

हम उन जवाबों की तलाश में हैं जो आपके मेल खाते हैं मैंने जान-बूझकर उन्हें एक झंझट में डाल दिया, मोह-माया से दूर, इसलिए बोलना ... यहाँ वे हैं, उत्तर, अर्धविराम से अलग।

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

और अब हम निष्कर्ष निकालते हैं। अगर सब कुछ काम कर गया, तो मुझे आपके लिए खुशी है! अंशों के साथ बुनियादी गणना आपकी समस्या नहीं है! आप अधिक गंभीर चीजें कर सकते हैं। अगर नहीं...

तो आपको दो समस्याओं में से एक है। या दोनों एक साथ।) ज्ञान की कमी और / या असावधानी। लेकिन यह हल किया समस्या।

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) और भाजक द्वारा भाजक (हम उत्पाद के हर को प्राप्त करते हैं)।

अंशों को गुणा करने का सूत्र:

उदाहरण के लिए:

इससे पहले कि आप अंश और भाजक को गुणा करना शुरू करें, आपको अंश को कम करने की संभावना के लिए जांच करनी होगी। यदि आप अंश को कम कर सकते हैं, तो आपके लिए आगे गणना करना आसान हो जाएगा।

एक साधारण अंश का एक अंश में विभाजन।

एक प्राकृतिक संख्या के साथ अंशों का विभाजन।

मिश्रित अंशों का गुणन।

भिन्न (मिश्रित) गुणा करने के नियम:

मिश्रित अंशों को गलत लोगों में परिवर्तित करना;
हम अंशों के संख्या और हर को गुणा करते हैं;
हम अंश को कम करते हैं;
यदि आपको गलत अंश मिला है, तो गलत अंश को मिश्रित में बदल दें।

एक प्राकृतिक संख्या से एक अंश को गुणा करने का दूसरा तरीका।

बहुमंजिला अंश।

हाई स्कूल में, तीन-कहानी (या अधिक) अंश अक्सर पाए जाते हैं। उदाहरण:

ध्यान दें!अंशों को विभाजित करते समय, विभाजन का क्रम बहुत महत्वपूर्ण है। सावधान रहें, यहां भ्रमित होना आसान है।

ध्यान दें, उदाहरण के लिए:

किसी एक अंश को विभाजित करते समय, परिणाम एक ही अंश होगा, केवल उलटा:

भिन्न को गुणा और विभाजित करने के लिए व्यावहारिक सुझाव:

3. सभी अंशों को कम करें जब तक कि इसे कम करना असंभव न हो जाए।

5. मानसिक रूप से अंश को मोड़कर, इकाई को मानसिक रूप से भिन्न में विभाजित करें।

पूरे अंशों और नकारात्मक अंशों का गुणन

मक्खी पर अंशों को कम करना

गुणन और अंशों का विभाजन।

अगर आपको यह साइट पसंद है।

एक संख्या को एक तर्कसंगत शक्ति में बढ़ाते हुए। (

एक प्राकृतिक शक्ति के लिए एक संख्या बढ़ाना। (

बीजीय असमानताओं को हल करने के लिए अंतराल की सामान्यीकृत विधि (लेखक कोल्चनोव ए.वी.)

बीजीय असमानताओं को हल करते समय कारकों को बदलने की विधि (लेखक कोल्चनोव ए.वी.)

प्रभागीय परीक्षण (लुंगु अलीना)

अंशों का गुणा

एक अंश से साधारण अंश का गुणन

एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करना

मिश्रित संख्याओं का गुणन

एक प्राकृतिक संख्या द्वारा एक अंश को गुणा करने का दूसरा तरीका

एक संख्या से एक अंश को विभाजित करना

गुणन और अंशों का विभाजन

पूरे अंशों और नकारात्मक अंशों का गुणन

मक्खी पर अंशों को कम करना

अंशों का विभाजन।

एक प्राकृतिक संख्या से एक अंश का विभाजन।

एक प्राकृतिक संख्या से एक अंश को विभाजित करने के उदाहरण

एक अंश द्वारा एक प्राकृतिक संख्या का विभाजन।

एक अंश द्वारा एक प्राकृतिक संख्या को विभाजित करने के उदाहरण

साधारण अंशों का विभाजन।

साधारण अंशों के विभाजन के उदाहरण

मिश्रित संख्याओं का विभाजन।

मिश्रित संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण

भिन्न। गुणन और अंशों का विभाजन।

एक अंश से साधारण अंश का गुणन।

एक साधारण अंश का एक अंश में विभाजन।

एक प्राकृतिक संख्या से एक अंश का गुणा।

एक प्राकृतिक संख्या के साथ अंशों का विभाजन।

मिश्रित अंशों का गुणन।

एक प्राकृतिक संख्या द्वारा एक अंश को गुणा करने का दूसरा तरीका।

बहुमंजिला अंश।

एक अंश से साधारण अंश का गुणन

एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करना

मिश्रित संख्याओं का गुणन

एक प्राकृतिक संख्या द्वारा एक अंश को गुणा करने का दूसरा तरीका

अंश क्रिया

समान भाजक के साथ अंश जोड़ना

विभिन्न विभाजनों के साथ अंश जोड़ना

एक ही हर के साथ अंशों को घटाना

विभिन्न भाजक के साथ अंशों को घटाना

एक अंश को एक संख्या से गुणा करना

अंशों का गुणा

पूर्णांक का अंश निरूपण

उलटे नंबर

गुणन और अंशों का विभाजन।

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एक साधारण अंश का एक अंश में विभाजन।

एक प्राकृतिक संख्या के साथ अंशों का विभाजन।

मिश्रित अंशों का गुणन।

एक प्राकृतिक संख्या से एक अंश को गुणा करने का दूसरा तरीका।

बहुमंजिला अंश।

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