एकपदी की अवधारणा। एकपदी का मानक रूप

मोनोमियल के बारे में प्रारंभिक जानकारी में एक स्पष्टीकरण होता है कि किसी भी मोनोमियल को मानक रूप में घटाया जा सकता है। नीचे दी गई सामग्री में, हम इस मुद्दे पर अधिक विस्तार से विचार करेंगे: हम इस क्रिया के अर्थ को निरूपित करते हैं, उन चरणों को निर्धारित करते हैं जो हमें एकपदी के मानक रूप को निर्धारित करने की अनुमति देते हैं, और उदाहरणों को हल करके सिद्धांत को भी समेकित करते हैं।

एकपदी के मानक रूप में कमी का अर्थ

मानक रूप में एकपदी लिखने से इसके साथ काम करना अधिक सुविधाजनक हो जाता है। प्रायः एकपदी को अमानक रूप में दिया जाता है, और फिर दिए गए एकपदी को मानक रूप में लाने के लिए समान परिवर्तन करना आवश्यक हो जाता है।

परिभाषा 1

एकपदी को मानक रूप में घटानाएक मानक रूप में इसे लिखने के लिए एक मोनोमियल के साथ उपयुक्त क्रियाओं (समान परिवर्तन) का प्रदर्शन है।

एकपदी को मानक रूप में कम करने की विधि

यह परिभाषा से निम्नानुसार है कि एक गैर-मानक रूप का एक मोनोमियल संख्याओं, चर और उनकी शक्तियों का एक उत्पाद है, और उनकी पुनरावृत्ति संभव है। बदले में, मानक रूप के एकपदी में इसके अंकन में केवल एक संख्या और गैर-दोहराव वाले चर या उनकी डिग्री होती है।

एक गैर-मानक एकपदी को मानक रूप में बदलने के लिए, आपको निम्नलिखित का उपयोग करना चाहिए एकपदी को मानक रूप में कम करने का नियम:

• पहला कदम संख्यात्मक कारकों, समान चर और उनकी डिग्री को समूहित करना है;
• दूसरा चरण संख्याओं के गुणनफल की गणना करना और समान आधारों वाली घातों के गुणधर्म को लागू करना है।

उदाहरण और उनके समाधान

दिया गया एकपदी 3 x 2 x 2 . इसे मानक रूप में लाना जरूरी है।

समाधान

आइए चर x के साथ संख्यात्मक कारकों और कारकों के समूहन को अंजाम दें, परिणामस्वरूप, दिया गया एकपदी रूप लेगा: (3 2) (x x 2) .

कोष्ठक में उत्पाद 6 है। समान आधारों से घातों के गुणन के नियम को लागू करते हुए, कोष्ठक में व्यंजक को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: एक्स 1 + 2 = एक्स 3. नतीजतन, हम मानक रूप का एक मोनोमियल प्राप्त करते हैं: 6 · x 3।

समाधान का एक संक्षिप्त रिकॉर्ड इस तरह दिखता है: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3।

उत्तर: 3 x 2 x 2 = 6 x 3।

उदाहरण 2

एक मोनोमियल दिया गया है: a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b। इसे मानक रूप में लाना और इसके गुणांक को निर्दिष्ट करना आवश्यक है।

समाधान

दिए गए एकपदी के अंकन में एक संख्यात्मक गुणनखंड है: - 1, आइए इसे शुरुआत में ले जाएं। फिर हम कारकों को चर a और कारकों को चर b के साथ समूहित करेंगे। चर m को समूहित करने के लिए कुछ भी नहीं है, हम इसे इसके मूल रूप में छोड़ देते हैं। उपरोक्त क्रियाओं के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं: - 1 a 5 a 2 b 2 b m ।

आइए कोष्ठकों में अंशों के साथ संक्रियाएँ करें, फिर एकपदी मानक रूप लेगी: (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1) a 8 b 3 m। इस प्रविष्टि से, हम आसानी से एकपदी का गुणांक निर्धारित कर सकते हैं: यह -1 के बराबर है। माइनस वन को केवल माइनस साइन से बदलना काफी संभव है: (- 1) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m।

सभी क्रियाओं का सारांश इस तरह दिखता है:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1 ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m

उत्तर:

a 5 b 2 a m (-1) a 2 b = - a 8 b 3 m, दिए गए एकपदी का गुणांक -1 है।

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मोनोमियल एक स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम के भाग के रूप में अध्ययन किए जाने वाले मुख्य प्रकार के भावों में से एक है। इस लेख में, हम आपको बताएंगे कि ये अभिव्यक्तियाँ क्या हैं, उनके मानक रूप को परिभाषित करें और उदाहरण दिखाएं, साथ ही संबंधित अवधारणाओं से निपटें, जैसे कि एक मोनोमियल की डिग्री और इसका गुणांक।

एकपदी क्या है

स्कूल की पाठ्यपुस्तकें आमतौर पर इस अवधारणा की निम्नलिखित परिभाषा देती हैं:

परिभाषा 1

मोनोमर्स में शामिल हैंसंख्या, चर, साथ ही प्राकृतिक संकेतक के साथ उनकी डिग्री, और उनसे बने विभिन्न प्रकार के उत्पाद।

इस परिभाषा के आधार पर हम ऐसे व्यंजकों के उदाहरण दे सकते हैं। तो, सभी संख्याएँ 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 एकपदी का उल्लेख करेंगी। सभी चर, उदाहरण के लिए, x , a , b , p , q , t , y , z भी परिभाषा के अनुसार एकपदी होंगे। इसमें चरों और संख्याओं की घातें भी शामिल हैं, उदाहरण के लिए, 6 3 , (− 7, 41) 7, x 2 और टी 15, साथ ही 65 x , 9 (- 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z आदि जैसे व्यंजक। कृपया ध्यान दें कि एक एकपदी में या तो एक संख्या या चर, या कई शामिल हो सकते हैं, और एक बहुपद के हिस्से के रूप में उनका कई बार उल्लेख किया जा सकता है।

इस प्रकार की संख्याएं जैसे पूर्णांक, परिमेय, प्राकृत भी एकपदी से संबंधित हैं। आप यहाँ वास्तविक और सम्मिश्र संख्याएँ भी शामिल कर सकते हैं। अतः, 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 x 3 जैसे व्यंजक भी एकपदी होंगे।

एकपदी का मानक रूप क्या होता है और व्यंजक को इसमें कैसे परिवर्तित किया जाता है

काम की सुविधा के लिए, सभी मोनोमियल को पहले एक विशेष रूप में घटाया जाता है, जिसे मानक कहा जाता है। आइए इसके बारे में विशिष्ट रूप से जानें कि इसका क्या अर्थ है।

परिभाषा 2

एकपदी का मानक रूपवे इसे एक ऐसा रूप कहते हैं जिसमें यह एक संख्यात्मक कारक और विभिन्न चरों की प्राकृतिक शक्तियों का गुणनफल होता है। संख्यात्मक कारक, जिसे एकपदी गुणांक भी कहा जाता है, आमतौर पर बाईं ओर से पहले लिखा जाता है।

स्पष्टता के लिए, हम मानक रूप के कई मोनोमियल का चयन करते हैं: 6 (यह चर के बिना एक मोनोमियल है), 4 · a , - 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 । इसमें अभिव्यक्ति भी शामिल है एक्स वाई(यहां गुणांक 1 के बराबर होगा), - एक्स 3(यहाँ गुणांक -1 है)।

अब हम एकपदी के उदाहरण देते हैं जिन्हें मानक रूप में लाने की आवश्यकता है: 4 ए 2 ए 3(यहां आपको समान चरों को संयोजित करने की आवश्यकता है), 5 एक्स (-1) 3 वाई 2(यहां आपको बाईं ओर संख्यात्मक कारकों को संयोजित करने की आवश्यकता है)।

आमतौर पर, उस स्थिति में जब एक मोनोमियल में अक्षरों में लिखे गए कई चर होते हैं, अक्षर कारक वर्णानुक्रम में लिखे जाते हैं। उदाहरण के लिए, पसंदीदा प्रविष्टि 6 ए बी 4 सी जेड 2, कैसे बी 4 6 ए जेड 2 सी. हालाँकि, यदि गणना के उद्देश्य की आवश्यकता होती है, तो क्रम भिन्न हो सकता है।

किसी भी एकपदी को मानक रूप में घटाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको सभी आवश्यक समान परिवर्तन करने की आवश्यकता है।

एकपदी की डिग्री की अवधारणा

एकपदी की घात की संगत धारणा बहुत महत्वपूर्ण है। आइए हम इस अवधारणा की परिभाषा को लिखें।

परिभाषा 3

एकपदी की डिग्री, मानक रूप में लिखा गया है, सभी चर के घातांक का योग है जो इसके रिकॉर्ड में शामिल हैं। यदि इसमें एक भी चर नहीं है, और एकपदी स्वयं 0 से भिन्न है, तो इसकी डिग्री शून्य होगी।

आइए हम एकपदी की घातों के उदाहरण दें।

उदाहरण 1

अत: एकपदी a का घात 1 है क्योंकि a = a 1 है। यदि हमारे पास एक मोनोमियल 7 है, तो इसकी शून्य डिग्री होगी, क्योंकि इसमें कोई चर नहीं है और यह 0 से अलग है। और यहाँ प्रविष्टि है 7 ए 2 एक्स वाई 3 ए 2 8वीं डिग्री का एकपदी होगा, क्योंकि इसमें शामिल चरों के सभी अंशों के घातांकों का योग 8 के बराबर होगा: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

मानकीकृत एकपदी और मूल बहुपद की घात समान होगी।

उदाहरण 2

आइए दिखाते हैं कि एकपदी की डिग्री की गणना कैसे करें 3 x 2 y 3 x (- 2) x 5 y. मानक रूप में, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: -6 x 8 y 4. हम डिग्री की गणना करते हैं: 8 + 4 = 12 . अतः मूल बहुपद की घात भी 12 के बराबर है।

एकपदी गुणांक की अवधारणा

यदि हमारे पास एक मानकीकृत मोनोमियल है जिसमें कम से कम एक चर शामिल है, तो हम इसके बारे में एक संख्यात्मक कारक वाले उत्पाद के रूप में बात करते हैं। इस कारक को संख्यात्मक गुणांक या एकपदी गुणांक कहा जाता है। आइए परिभाषा लिखते हैं।

परिभाषा 4

एकपदी का गुणांक एक एकपदी का संख्यात्मक गुणनखंड है जिसे मानक रूप में घटाया जाता है।

उदाहरण के लिए, विभिन्न एकपदी के गुणांकों को लें।

उदाहरण 3

तो, अभिव्यक्ति में 8 ए 3गुणांक संख्या 8 होगी, और in (− 2 , 3) ​​x y zवे होंगे − 2 , 3 .

एक और माइनस एक के बराबर गुणांक पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए। एक नियम के रूप में, वे स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किए जाते हैं। यह माना जाता है कि मानक रूप के एक मोनोमियल में, जिसमें कोई संख्यात्मक कारक नहीं है, गुणांक 1 है, उदाहरण के लिए, भावों में a, x z 3, a t x, क्योंकि उन्हें 1 a, x z 3 माना जा सकता है - कैसे 1 एक्स जेड 3आदि।

इसी प्रकार, एकपदी में, जिसका कोई संख्यात्मक गुणनखंड नहीं होता है और जो ऋण चिह्न से शुरू होता है, हम गुणांक - 1 पर विचार कर सकते हैं।

उदाहरण 4

उदाहरण के लिए, व्यंजकों - x, - x 3 y z 3 में ऐसा गुणांक होगा, क्योंकि उन्हें - x = (− 1) x, - x 3 y z 3 = (- 1) x 3 y z 3 आदि के रूप में दर्शाया जा सकता है।

यदि एकपदी में एक भी शाब्दिक गुणक नहीं है, तो इस मामले में भी एक गुणांक के बारे में बात करना संभव है। ऐसे एकपदी-संख्याओं के गुणांक स्वयं ये संख्याएँ होंगी। इसलिए, उदाहरण के लिए, एकपदी 9 का गुणांक 9 के बराबर होगा।

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इस पाठ में, हम एकपदी की एक सख्त परिभाषा देंगे, पाठ्यपुस्तक से विभिन्न उदाहरणों पर विचार करें। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को याद करें। आइए हम एकपदी के मानक रूप, एकपदी के गुणांक और उसके शाब्दिक भाग की परिभाषा दें। आइए मोनोमियल पर दो बुनियादी विशिष्ट संचालन पर विचार करें, अर्थात्, एक मानक रूप में कमी और इसमें शामिल शाब्दिक चर के दिए गए मानों के लिए एक मोनोमियल के विशिष्ट संख्यात्मक मान की गणना। आइए हम एकपदी को मानक रूप में कम करने के लिए नियम बनाते हैं। आइए जानें कि किसी एकपदी के साथ विशिष्ट समस्याओं को कैसे हल किया जाए।

विषय:एकपदी मोनोमियल पर अंकगणितीय संचालन

पाठ:एकपदी की अवधारणा। एकपदी का मानक रूप

कुछ उदाहरणों पर विचार करें:

3. ;

आइए दिए गए व्यंजकों के लिए सामान्य विशेषताएँ ज्ञात करें। सभी तीन मामलों में, व्यंजक संख्याओं और चरों का गुणनफल होता है जिसे घात तक बढ़ाया जाता है। इसके आधार पर, हम देते हैं एकपदी की परिभाषा : एकपदी एक बीजीय व्यंजक है जिसमें घातों और संख्याओं का गुणनफल होता है।

अब हम ऐसे व्यंजकों के उदाहरण देते हैं जो एकपदी नहीं हैं:

आइए हम इन अभिव्यक्तियों और पिछले वाले के बीच अंतर खोजें। यह इस तथ्य में समाहित है कि उदाहरण 4-7 में जोड़, घटाव या भाग के संचालन होते हैं, जबकि उदाहरण 1-3 में, जो एकपदी हैं, ये संचालन नहीं हैं।

यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

व्यंजक संख्या 8 एकपदी है, क्योंकि यह एक घात और एक संख्या का गुणनफल है, जबकि उदाहरण 9 एकपदी नहीं है।

आइए अब जानते हैं मोनोमियल पर कार्रवाई .

1. सरलीकरण। उदाहरण #3 . पर विचार करें ;और उदाहरण #2 /

दूसरे उदाहरण में, हम केवल एक गुणांक देखते हैं - प्रत्येक चर केवल एक बार होता है, अर्थात चर " एक" को एक ही उदाहरण में दर्शाया जाता है, जैसे "", इसी तरह, चर "" और "" केवल एक बार होते हैं।

उदाहरण संख्या 3 में, इसके विपरीत, दो अलग-अलग गुणांक हैं - और, हम चर "" को दो बार - "" के रूप में और "" के रूप में देखते हैं, इसी तरह, चर "" दो बार होता है। अर्थात्, इस अभिव्यक्ति को सरल बनाया जाना चाहिए, इस प्रकार, हम आते हैं एकपदी पर की जाने वाली पहली क्रिया एकपदी को मानक रूप में लाना है . ऐसा करने के लिए, हम उदाहरण 3 से व्यंजक को मानक रूप में लाते हैं, फिर हम इस संक्रिया को परिभाषित करते हैं और सीखते हैं कि किसी एकपदी को मानक रूप में कैसे लाया जाए।

तो एक उदाहरण पर विचार करें:

मानकीकरण ऑपरेशन में पहला कदम हमेशा सभी संख्यात्मक कारकों को गुणा करना है:

;

इस क्रिया का परिणाम कहा जाएगा एकपदी गुणांक .

अगला, आपको डिग्री को गुणा करने की आवश्यकता है। हम चर की डिग्री गुणा करते हैं " एक्स"एक ही आधार के साथ शक्तियों को गुणा करने के नियम के अनुसार, जो कहता है कि गुणा करने पर, घातांक जोड़ते हैं:

आइए अब शक्तियों को गुणा करें पर»:

;

तो यहाँ एक सरलीकृत अभिव्यक्ति है:

;

किसी भी एकपदी को मानक रूप में घटाया जा सकता है। आइए तैयार करें मानकीकरण नियम :

सभी संख्यात्मक कारकों को गुणा करें;

परिणामी गुणांक को पहले स्थान पर रखें;

सभी डिग्री गुणा करें, यानी अक्षर भाग प्राप्त करें;

यही है, किसी भी मोनोमियल को एक गुणांक और एक अक्षर भाग की विशेषता होती है। आगे देखते हुए, हम देखते हैं कि एक ही अक्षर वाले एकपदी को समान कहा जाता है।

अब आपको कमाने की जरूरत है मोनोमियल को मानक रूप में कम करने की तकनीक . पाठ्यपुस्तक से उदाहरणों पर विचार करें:

कार्य: मोनोमियल को मानक रूप में लाएं, गुणांक और अक्षर भाग को नाम दें।

कार्य को पूरा करने के लिए, हम एकपदी को मानक रूप में लाने के नियम और अंशों के गुणों का उपयोग करते हैं।

1. ;

3. ;

पहले उदाहरण पर टिप्पणियाँ: आरंभ करने के लिए, आइए निर्धारित करें कि क्या यह व्यंजक वास्तव में एकपदी है, इसके लिए हम जाँचते हैं कि इसमें संख्याओं और घातों के गुणन की संक्रियाएँ हैं या नहीं और इसमें जोड़, घटाव या भाग की संक्रियाएँ हैं या नहीं। हम कह सकते हैं कि यह व्यंजक एकपदी है, क्योंकि उपरोक्त शर्त पूरी होती है। इसके अलावा, एकपदी को मानक रूप में लाने के नियम के अनुसार, हम संख्यात्मक कारकों को गुणा करते हैं:

- हमें दिए गए एकपदी का गुणांक मिल गया है;

; ; ; अर्थात्, अभिव्यक्ति का शाब्दिक भाग प्राप्त होता है:;

उत्तर लिखिए: ;

दूसरे उदाहरण पर टिप्पणियाँ: नियम का पालन करते हुए, हम निष्पादित करते हैं:

1) संख्यात्मक कारकों को गुणा करें:

2) शक्तियों को गुणा करें:

चर और एक ही प्रति में प्रस्तुत किए जाते हैं, अर्थात उन्हें किसी भी चीज़ से गुणा नहीं किया जा सकता है, उन्हें बिना बदलाव के फिर से लिखा जाता है, डिग्री को गुणा किया जाता है:

उत्तर लिखिए:

;

इस उदाहरण में, एकपदी गुणांक एक के बराबर है, और शाब्दिक भाग है ।

तीसरे उदाहरण पर टिप्पणियाँ: aपिछले उदाहरणों के समान, हम निम्नलिखित क्रियाएं करते हैं:

1) संख्यात्मक कारकों को गुणा करें:

;

2) शक्तियों को गुणा करें:

;

उत्तर लिखें: ;

इस मामले में, एकपदी का गुणांक "" के बराबर है, और शाब्दिक भाग .

अब विचार करें मोनोमियल पर दूसरा मानक संचालन . चूँकि एकपदी एक बीजीय व्यंजक है जिसमें शाब्दिक चर होते हैं जो विशिष्ट संख्यात्मक मान ले सकते हैं, हमारे पास एक अंकगणितीय संख्यात्मक व्यंजक है जिसकी गणना की जानी चाहिए। अर्थात्, बहुपदों पर निम्नलिखित संक्रिया है: उनके विशिष्ट संख्यात्मक मान की गणना .

एक उदाहरण पर विचार करें। मोनोमियल दिया गया है:

इस मोनोमियल को पहले ही मानक रूप में घटा दिया गया है, इसका गुणांक एक के बराबर है, और शाब्दिक भाग

पहले हमने कहा था कि एक बीजीय व्यंजक की गणना हमेशा नहीं की जा सकती है, अर्थात उसमें दर्ज होने वाले चरों का कोई मूल्य नहीं हो सकता है। एकपदी के मामले में, इसमें शामिल चर कोई भी हो सकते हैं, यह एकपदी की एक विशेषता है।

इसलिए, दिए गए उदाहरण में, , , , के लिए एकपदी के मान की गणना करना आवश्यक है।

हमने देखा कि कोई भी एकपदी हो सकती है मानक रूप में लाना. इस लेख में, हम समझेंगे कि एक मानक रूप में एक मोनोमियल की कमी को क्या कहा जाता है, कौन सी क्रियाएं इस प्रक्रिया को करने की अनुमति देती हैं, और विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।

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एकपदी को मानक रूप में लाने का क्या अर्थ है?

मानक रूप में लिखे जाने पर मोनोमियल के साथ काम करना सुविधाजनक होता है। हालांकि, मोनोमियल अक्सर मानक एक से अलग रूप में दिए जाते हैं। इन मामलों में, समान परिवर्तन करके मूल एकपदी से मानक रूप एकपदी में पारित करना हमेशा संभव होता है। ऐसे परिवर्तनों को करने की प्रक्रिया को एकपदी को मानक रूप में लाना कहा जाता है।

आइए हम उपरोक्त तर्क का सामान्यीकरण करें। एकपदी को मानक रूप में लाना- इसका मतलब है कि इसके साथ ऐसे समान परिवर्तन करना ताकि यह एक मानक रूप ले सके।

एकपदी को मानक रूप में कैसे लाया जाए?

यह पता लगाने का समय है कि मोनोमियल को मानक रूप में कैसे लाया जाए।

जैसा कि परिभाषा से जाना जाता है, एक गैर-मानक रूप के मोनोमियल संख्याओं, चर और उनकी शक्तियों के उत्पाद होते हैं, और संभवतः, दोहराए जाने वाले। और मानक रूप के मोनोमियल में इसके रिकॉर्ड में केवल एक संख्या और गैर-दोहराव वाले चर या उनकी डिग्री हो सकती है। अब यह समझना बाकी है कि पहले प्रकार के उत्पादों को दूसरे के रूप में कैसे कम किया जा सकता है?

ऐसा करने के लिए, आपको निम्नलिखित का उपयोग करने की आवश्यकता है एकपदी को मानक रूप में कम करने का नियमदो चरणों से मिलकर बनता है:

• सबसे पहले, संख्यात्मक कारकों का समूहन किया जाता है, साथ ही समान चर और उनकी डिग्री;
• दूसरे, संख्याओं के गुणनफल की गणना और अनुप्रयोग किया जाता है।

बताए गए नियम को लागू करने के परिणामस्वरूप, कोई भी मोनोमियल मानक रूप में कम हो जाएगा।

उदाहरण, समाधान

यह सीखना बाकी है कि उदाहरणों को हल करते समय पिछले पैराग्राफ से नियम कैसे लागू किया जाए।

उदाहरण।

एकपदी 3·x·2·x 2 को मानक रूप में लाएं।

समाधान।

आइए संख्यात्मक कारकों और कारकों को चर x के साथ समूहित करें। समूहबद्ध करने के बाद, मूल एकपदी (3 2) (x x 2) का रूप लेगी। पहले कोष्ठक में संख्याओं का गुणनफल 6 है, और समान आधारों से घातों को गुणा करने का नियम दूसरे कोष्ठक में व्यंजक को x 1 +2=x 3 के रूप में प्रदर्शित करने की अनुमति देता है। परिणामस्वरूप, हमें मानक रूप 6·x 3 का बहुपद प्राप्त होता है।

यहाँ समाधान का सारांश दिया गया है: 3 x 2 x 2 \u003d (3 2) (x x 2) \u003d 6 x 3.

उत्तर:

3 x 2 x 2 =6 x 3।

इसलिए, एक एकपदी को एक मानक रूप में लाने के लिए, कारकों को समूहबद्ध करने, संख्याओं का गुणन करने और शक्तियों के साथ काम करने में सक्षम होना आवश्यक है।

सामग्री को समेकित करने के लिए, आइए एक और उदाहरण हल करें।

उदाहरण।

मोनोमियल को मानक रूप में व्यक्त करें और इसके गुणांक को इंगित करें।

समाधान।

मूल एकपदी का अंकन में एक एकल संख्यात्मक गुणनखंड -1 है, आइए इसे शुरुआत में ले जाएं। उसके बाद, हम चर a के साथ कारकों को अलग से समूहित करते हैं, अलग-अलग - चर b के साथ, और चर m को समूहित करने के लिए कुछ भी नहीं है, इसे वैसे ही छोड़ दें, हमारे पास है . कोष्ठक में डिग्री के साथ संचालन करने के बाद, मोनोमियल हमारे लिए आवश्यक मानक रूप ले लेगा, जहां से आप एकपदी के गुणांक को -1 के बराबर देख सकते हैं। माइनस वन को माइनस साइन से बदला जा सकता है: .